中考数学培优--对构造“最大角”模型的探究

【模型概述初三数学旋转之半角模型及解题方法探究】全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

【模型解读】过等腰三角形顶点两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型。

【常见模型及证法】常见的图形为正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。

半角模型（题中出现角度之间的半角关系）利用旋转——证全等——得到相关结论.【经典例题】——方法整合，对接中考1．（2022·湖北十堰·中考真题）【阅读材料】如图①，四边形ABCD 中，AB AD =，180B D ∠+∠=︒，点E ，F 分别在BC ，CD 上，若2BAD EAF ∠∠=，则EF BE DF =+．【解决问题】如图②，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形ABCD ．已知100m CD CB ==，60D ∠=︒，120ABC ∠=︒，150BCD ∠=︒，道路AD ，AB 上分别有景点M ，N ，且100m DM =，)501m BN =，若在M ，M N →的长比路线M A N →→的长少_________m （结果取整数，参考数据：1.7≈）．2．（2022·河北邢台·模拟演练）学完《旋转》，老师给同学们出了这样一道题：“如图1，在正方形ABCD 中，∠EAF＝45°，求证：EF＝BE＋DF．”小明同学的思路：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°．把△ABE 绕点A 逆时针旋转到ADE '△的位置，然后证明AFE AFE '≌△△，从而可得=EF E F '．E F E D DF BE DF ''=+=+，从而使问题得证．（1）【探究】请你参考小明的解题思路解决下面问题：如图2，在四边形ABCD 中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，12EAF BAD ∠=∠，直接写出EF，BE，DF 之间的数量关系．(2)【应用】如图3，在四边形ABCD 中，AB＝AD,∠B＋∠D＝180°,12EAF BAD ∠=∠,求证：EF＝BE＋DF．(3)【知识迁移】如图4，四边形ABPC 是O 的内接四边形，BC 是直径，AB＝AC，请直接写出PB＋PC 与AP 的关系．3．（2022·福建·龙岩九年级模拟）（1）【发现证明】如图1，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别是BC ，CD 边上的动点，且45EAF ∠=︒，求证：EF DF BE =+．小明发现，当把ABE △绕点A 顺时针旋转90°至ADG ，使AB 与AD 重合时能够证明，请你给出证明过程．（2）【类比引申】①如图2，在正方形ABCD 中，如果点E ，F 分别是CB ，DC 延长线上的动点，且45EAF ∠=︒，则（1）中的结论还成立吗？若不成立，请写出EF ，BE ，DF 之间的数量关系（不要求证明）.②如图3，如果点E ，F 分别是BC ，CD 延长线上的动点，且45EAF ∠=︒，则EF ，BE ，DF 之间的数量关系是（不要求证明）.（3）【联想拓展】如图1，若正方形ABCD 的边长为6，35AE =AF 的长．【讲练结合】——开发思维，熟能生巧【模型引入】当几何图形中，两个共顶点的角所在角度是公共大角一半的关系，我们称之为“半角模型”【模型探究】（1）如图1，在正方形ABCD 中，E、F 分别是AB、BC 边上的点，且∠EDF＝45°，探究图中线段EF，AE，FC 之间的数量关系．【模型应用】（2）如图2，如果四边形ABCD 中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠EAF＝45°，且BC＝7，DC＝13，CF＝5，求BE 的长．【拓展提高】(3)如图3，在四边形ABCD 中，AB＝AD，∠ABC 与∠ADC 互补，点E、F 分别在射线CB、DC 上，且∠EAF=12∠BAD．当BC＝4，DC＝7，CF＝1时， CEF 的周长等于．(4)如图4，正方形ABCD 中， AMN 的顶点M、N 分别在BC、CD 边上，AH⊥MN，且AH＝AB，连接BD 分别交AM、AN 于点E、F，若2EF 的长．(5)如图5，已知菱形ABCD 中，∠B=60°，点E、F 分别是边BC，CD 上的动点（不与端点重合），且∠EAF=60°．连接BD 分别与边AE、AF 交于M、N，当∠DAF＝15°时，求证：MN 2+DN 2=BM 2．【专项训练】——举一反三，巩固提高1.（2022·江西九江·一模）如图(2),在四边形ABCD 中,180B D ∠+∠=︒,AB AD =,以点A 为顶点作EAF ∠,且12EAF BAD ∠=∠,连接EF．(1)【观察猜想】如图（2），当90BAD B D ∠=∠=∠=︒时，①四边形ABCD 是______（填特殊四边形的名称）；②BE，DF，EF 之间的数量关系为______．(2)【类比探究】如图（1），线段BE，DF，EF 之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．(3)【问题解决】如图（3），在ABC 中，90BAC ∠=︒，4AB AC ==，点D，E 均在边BC 上，且45DAE ∠=︒，若2BD =，求DE 的长．2．（2022·浙江·九年级阶段练习）如图1，等腰直角三角板的一个锐角顶点与正方形ABCD的顶点A重合，将此三角板绕点A旋转，使三角板中该锐角的两条边分别交正方形的两边BC，DC于点E，F，连接EF．（1）猜想BE、EF、DF三条线段之间的数量关系，并证明你的猜想；（2）在图1中，过点A作AM⊥EF于点M，请写出AM和AB的数量关系；（3）如图2，将Rt△ABC沿斜边AC翻折得到Rt△ADC，E，F分别是BC，CD边上的点，∠EAF=12∠BAD，连接EF，过点A作AM⊥EF于点M，试猜想AM与AB之间的数量关系．并证明你的猜想．3．（2022·重庆市育才中学二模）（1）【初步探索】如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠ADC=90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF=BE+FD，探究图中∠BAE、∠FAD、∠EAF之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG=BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是_______________；（2）【灵活运用】如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E、F分别是BC、CD上的点，且EF=BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；（3）【拓展延伸】知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF=BE+FD，请直接写出∠EAF与∠DAB的数量关系．。

初中数学中考数学常用几何模型及构造方法大全
1.线段和角的构造：
(1)线段的平分线构造：通过线段的两个端点构造出它的平分线；
(2)角的平分线构造：通过角的两条边构造出它的平分线。

2.直线和角的性质：
(1)同位角和内错角的性质：对于两条平行线与同位角以及内错角的
关系给出了详细的构造方法；
(2)顶角与底角的性质：对于两个交角的顶角和底角的关系给出了构
造方法。

3.平面图形的特点与性质：
(1)正方形、矩形、菱形和平行四边形的构造方法：通过给出一些特
定线段的长度构造出相应的平面图形；
(2)三角形的构造方法：根据给定的边长或者角度构造出相应的三角形；
(3)全等三角形的构造方法：利用三个已知条件构造出全等的三角形；
(4)利用三角形的角平分线构造三角形的内心；
(5)利用三角形的垂心、外心和重心的构造方法。

4.圆的构造与性质：
(1)圆的半径的构造方法：通过给出的圆心和一个端点构造出圆的半径；
(2)弦的构造方法：通过给出圆上的两个点构造出相应的圆弦；
(3)弓形的构造方法：通过给出的端点和圆心构造出相应的弓形；
(4)圆的切线的构造方法：通过给出的切点构造出相应的圆的切线。

5.相似与全等的构造：
(1)利用角的平分线构造相似三角形：通过给出的角的平分线构造出相似的三角形；
(2)利用比的性质构造相似三角形：通过给出的比例构造出相似的三角形；
(3)利用比的性质构造全等三角形：通过给出的比例构造出全等的三角形。

以上是初中数学中考常用的几何模型及构造方法的大致内容。

当然，具体的内容还包括一些相关的定义和定理，这些都需要在学习中进一步深入理解和掌握。

【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案专题5倍长中线模型如图①，AD是△ABC的中线，延长AD至点E使DE＝AD，易证：△ADC≌△EDB（SAS）．如图②，D是BC中点，延长FD至点E使DE＝FD，易证：△FDB≌△EDC（SAS）当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线或类中线，构造全等三角形，目的是对已知条件中的线段进行转移．【例1】．（2020·陕西咸阳·一模）问题提出（1）如图，AD是△ABC的中线，则AB+AC__________2AD；（填“>”“<”或“=”）问题探究（2）如图，在矩形ABCD中，CD=3,BC=4，点E为BC的中点，点F为CD上任意一点，当△AEF的周长最小时，求CF的长；②图①图构造全等倍长类中线倍长中线D CBAFFAB CAB CDCA经典例题解题策略问题解决（3）如图，在矩形ABCD中，AC=4,BC=2，点O为对角线AC的中点，点P为AB上任意一点，点Q为AC上任意一点，连接PO、PQ、BQ，是否存在这样的点Q，使折线OPQB的长度最小？若存在，请确定点Q的位置，并求出折线OPQB的最小长度；若不存在，请说明理由．【例2】．（2021·湖北武汉·八年级期中）已知△ABC中，（1）如图1，点E为BC的中点，连AE并延长到点F，使FE=EA，则BF与AC的数量关系是________．（2）如图2，若AB=AC，点E为边AC一点，过点C作BC的垂线交BE的延长线于点D，连接AD，若∠DAC=∠ABD，求证：AE=EC．（3）如图3，点D在△ABC内部，且满足AD=BC，∠BAD=∠DCB，点M在DC的延长线上，连AM交BD的延长线于点N，若点N为AM的中点，求证：DM=AB．【例3】（2020·安徽合肥·二模）如图，正方形ABCD中，E为BC边上任意点，AF平分∠EAD，交CD于点F．(1)如图1，若点F恰好为CD中点，求证：AE=BE+2CE；(2)在(1)的条件下，求CE的值；BC(3)如图2，延长AF交BC的延长线于点G，延长AE交DC的延长线于点H，连接HG，当CG=DF时，求证：HG⊥AG．【例4】．（2020·江西宜春·一模）将一大、一小两个等腰直角三角形拼在一起，OA =OB,OC =OD,∠AOB =∠COD =90°，连接AC,BD ．（1）如图1,若A 、O 、D 三点在同一条直线上，则AC 与BD 的关系是 ；（2）如图2，若A 、O 、D 三点不在同一条直线上,AC 与BD 相交于点E ，连接OE ,猜想AE 、BE 、OE 之间的数量关系，并给予证明；（3）如图3，在(2)的条件下作BC 的中点F ,连接OF ，直接写出AD 与OF 之间的关系．一、解答题1．（2022·全国·八年级）如图1，在△ABC 中，若AB ＝10，BC ＝8，求AC 边上的中线BD 的取值范围． （1）小聪同学是这样思考的：延长BD 至E ，使DE ＝BD ，连接CE ，可证得△CED ≌△ABD ． ①请证明△CED ≌△ABD ； ②中线BD 的取值范围是 ．（2）问题拓展：如图2，在△ABC 中，点D 是AC 的中点，分别以AB ，BC 为直角边向△ABC 外作等腰直角三角形ABM 和等腰直角三角形BCN ，其中，AB ＝BM ，BC ＝BN ，∠ABM ＝∠NBC ＝∠90°，连接MN ．请写出BD 与MN 的数量关系，并说明理由．培优训练2．（2022·全国·八年级课时练习）【观察发现】如图①，△ABC中，AB＝7，AC＝5，点D为BC的中点，求AD的取值范围．小明的解法如下：延长AD到点E，使DE＝AD，连接CE．在△ABD与△ECD中{BD=DC∠ADB=∠EDCAD=DE∴△ABD≅△ECD（SAS）∴AB＝．又∵在△AEC中EC﹣AC＜AE＜EC+AC，而AB＝EC＝7，AC＝5，∴＜AE＜．又∵AE＝2AD．∴＜AD＜．【探索应用】如图②，AB∥CD，AB＝25，CD＝8，点E为BC的中点，∠DFE＝∠BAE，求DF的长为．（直接写答案）【应用拓展】如图③，∠BAC＝60°，∠CDE＝120°，AB＝AC，DC＝DE，连接BE，P为BE的中点，求证：AP⊥DP．3．（2022·江苏·八年级课时练习）某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入．【探究与发现】如图1，延长△ABC的边BC到D，使DC＝BC，过D作DE∥AB交AC延长线于点E，求证：△ABC≌△EDC．【理解与应用】如图2，已知在△ABC中，点E在边BC上且∠CAE＝∠B，点E是CD的中点，若AD平分∠BAE．（1）求证：AC＝BD；（2）若BD＝3，AD＝5，AE＝x，求x的取值范围．4．（2022·全国·八年级课时练习）已知：多项式x2+4x+5可以写成（x﹣1）2+a（x﹣1）+b的形式．(1)求a，b的值；(2)△ABC的两边BC，AC的长分别是a，b，求第三边AB上的中线CD的取值范围．5．（2022·山东淄博·八年级期末）如图，O为四边形ABCD内一点，E为AB的中点，OA＝OD，OB＝OC，∠AOB+∠COD＝180°．（1）若∠BOE＝∠BAO，AB＝2√2，求OB的长；（2）用等式表示线段OE和CD之间的关系，并证明．6．（2022·江苏·八年级课时练习）如图，在锐角△ABC中，∠A=60°，点D，E分别是边AB，AC上一动点，连接BE交直线CD于点F．(1)如图1，若AB>AC，且BD=CE，∠BCD=∠CBE，求∠CFE的度数；(2)如图2，若AB=AC，且BD=AE，在平面内将线段AC绕点C顺时针方向旋转60°得到线段CM，连接MF，点N是MF的中点，连接CN．在点D，E运动过程中，猜想线段BF，CF，CN之间存在的数量关系，并证明你的猜想．7．（2022·全国·八年级专题练习）如图1，在△ABC中，CM是AB边的中线，∠BCN=∠BCM交AB延长线于点N，2CM=CN．（1）求证AC=BN；的值．（2）如图2，NP平分∠ANC交CM于点P，交BC于点O，若∠AMC=120°，CP=kAC，求CPCM 8．（2021·全国·八年级单元测试）（1）如图1，△ABC中，AD为中线，求证：AB+AC＞2AD；（2）如图2，△ABC中，D为BC的中点，DE⊥DF交AB、AC于E、F．求证：BE+CF＞EF．9．（2022·江苏·八年级课时练习）（1）如图1，已知△ABC中，AD是中线，求证：AB+AC>2AD；（2）如图2，在△ABC中，D，E是BC的三等分点，求证：AB+AC>AD+AE；（3）如图3，在△ABC中，D，E在边BC上，且BD=CE．求证：AB+AC>AD+AE．10．（2022·全国·八年级课时练习）在△ABM中，AM⊥BM，垂足为M，AM＝BM，点D是线段AM上一动点．（1）如图1，点C是BM延长线上一点，MD＝MC，连接AC，若BD＝17，求AC的长；（2）如图2，在（1）的条件下，点E是△ABM外一点，EC＝AC，连接ED并延长交BC于点F，且点F 是线段BC的中点，求证：∠BDF＝∠CEF．（3）如图3，当E在BD的延长上，且AE⊥BE，AE＝EG时，请你直接写出∠1、∠2、∠3之间的数量关系．（不用证明）11．（2022·全国·八年级课时练习）已知：等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=90°．（1）如图1，延长DE交BC于点F，若∠BAE=68°，则∠DFC的度数为；（2）如图2，连接EC、BD，延长EA交BD于点M，若∠AEC=90°，求证：点M为BD中点；（3）如图3，连接EC、BD，点G是CE的中点，连接AG，交BD于点H，AG=9，HG=5，直接写出△AEC的面积．12．（2022·全国·八年级课时练习）在△ABC中，点P为BC边中点，直线a绕顶点A旋转，BM⊥直线a于点M．CN⊥直线a于点N，连接PM，PN．（1）如图1，若点B，P在直线a的异侧，延长MP交CN于点E．求证：PM=PE．（2）若直线a绕点A旋转到图2的位置时，点B，P在直线a的同侧，其它条件不变，此时S△BMP+S△CNP=7，BM=1，CN=3，求MN的长度．（3）若过P点作PG⊥直线a于点G．试探究线段PG、BM和CN的关系．13．（2021·陕西·西安市铁一中学八年级开学考试）（1）阅读理解：如图1，在△ABC中，若AB＝10，BC＝8．求AC边上的中线BD的取值范围，小聪同学是这样思考的：延长BD至E，使DE＝BD，连接CE．利用全等将边AB转化到CE，在△BCE中利用三角形三边关系即可求出中线BD的取值范围，在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是；中线BD的取值范围是．（2）问题拓展：如图2，在△ABC中，点D是AC的中点，分别以AB，BC为直角边向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中∠ABM＝∠NBC＝90°，连接MN，探索BD与MN的关系，并说明理由．14．（2020·辽宁·大连市第三十四中学八年级阶段练习）课堂上，老师出示了这样一个问题：如图1，点D是△ABC边BC的中点，AB=5，AC=3，求AD的取值范围．（1）小明的想法是，过点B作BE//AC交AD的延长线于点E，如图2，从而通过构造全等解决问题，请你按照小明的想法解决此问题；（2）请按照上述提示，解决下面问题：在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D边AC延长线上一点，连接BD，过点A作AE⊥BD于点E，过点A作AF⊥AE，且AF=AE，连接EF交BC于点G，连接CF，求证BG=CG．15．（2022·全国·八年级课时练习）如图，点P是∠MON内部一点，过点P分别作PA∥ON交OM于点A，PB∥OM交ON于点B（P A≥PB），在线段OB上取一点C，连接AC，将△AOC沿直线AC翻折，得到△ADC，延长AD交PB于点E，延长CD交PB于点F．（1）如图1，当四边形AOBP是正方形时，求证：DF＝PF；（2）如图2，当C为OB中点时，试探究线段AE，AO，BE之间满足的数量关系，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，连接CE，∠ACE的平分线CH交AE于点H，设OA＝a，BE＝b，若∠CAO ＝∠CEB，求△CDH的面积（用含a，b的代数式表示）．16．（2022·全国·八年级专题练习）（1）方法学习：数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题：如图1，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图2），①延长AD到M，使得DM＝AD；②连接BM，通过三角形全等把AB、AC、2AD转化在△ABM中；③利用三角形的三边关系可得AM的取值范围为AB﹣BM＜AM＜AB+BM，从而得到AD的取值范围是；方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．（2）请你写出图2中AC与BM的数量关系和位置关系，并加以证明．（3）深入思考：如图3，AD是△ABC的中线，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠CAF＝90°，请直接利用（2）的结论，试判断线段AD与EF的数量关系，并加以证明．17．（2022·全国·八年级课时练习）（1）阅读理解：如图1，在△ABC中，若AB＝5，AC＝8，求BC边上的中线AD的取值范围．小聪同学是这样思考的：延长AD至E，使DE＝AD，连接BE．利用全等将边AC 转化到BE，在△BAE中利用三角形三边关系即可求出中线AD的取值范围．在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是_________，中线AD的取值范围是_________；（2）问题解决：如图2，在△ABC中，点D是BC的中点，点M在AB边上，点N在AC边上，若DM⊥DN．求证：BM＋CN＞MN；（3）问题拓展：如图3，在△ABC中，点D是BC的中点，分别以AB，AC为直角边向△ABC外作Rt△ABM 和Rt△ACN，其中∠BAM＝∠NAC＝90°，AB＝AM，AC＝AN，连接MN，探索AD与MN的关系，并说明理由．18．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在等边△ABC中，点D，E分别是AC，AB上的动点，且AE＝CD，BD交CE于点P．（1）如图1，求证：∠BPC＝120°；（2）点M是边BC的中点，连接P A，PM，延长BP到点F，使PF＝PC，连接CF，①如图2，若点A，P，M三点共线，则AP与PM的数量关系是．②如图3，若点A，P，M三点不共线，问①中的结论还成立吗？若成立，请给出证明，若不成立，说明理由．19．（2022·山东德州·八年级期末）（1）方法呈现：如图①：在△ABC中，若AB=6，AC=4，点D为BC边的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE=AD，再连接BE，可证△ACD≌△EBD，从而把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是_______________，这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；（2）探究应用：如图②，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，判断BE+CF与EF的大小关系并证明；（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，AB//CD，AF与DC的延长线交于点F、点E是BC的中点，若AE是∠BAF的角平分线．试探究线段AB，AF，CF之间的数量关系，并加以证明．20．（2021·重庆市渝北中学校九年级阶段练习）（1）如图1．在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC ＝6，点D、E分别在边CA，CB上且CD＝3，CE＝4，连接AE，BD，F为AE的中点，连接CF交BD于点G，则线段CG所在直线与线段BD所在直线的位置关系是．（提示：延长CF到点M，使FM＝CF，连接AM）（2）将△DCE绕点C逆时针旋转至图2所示位置时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）将△DCE绕点C逆时针在平面内旋转，在旋转过程中，当B，D，E三点在同一条直线上时，CF的长为．21．（2022·安徽宿州·九年级期末）已知：在矩形ABCD中，连接AC，过点D作DF⊥AC，交AC于点E，交AB于点F．（1）如图1，若tan∠ACD=√2．2①求证：AF=BF；②连接BE，求证：CD=√2BE．（2）如图2，若AF2=AB⋅BF，求cos∠FDC的值．22．（2022·全国·八年级课时练习）阅读理解：（1）如图1，在△ABC中，若AB=10，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E，使得AD=DE，再连接BE，把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边关系即可判断中线AD的取值范围是______．（2）解决问题：如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF>EF．（3）问题拓展：如图3，在△ABC中，D是BC边上的中点，延长DA至E，使得AC=BE，求证：∠CAD=∠BED．23．（2022·全国·八年级课时练习）某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入．【探究与发现】（1）如图1，AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使ED=AD，连接BE，证明：△ACD≌△EBD．【理解与应用】（2）如图2，EP是△DEF的中线，若EF=5，DE=3，设EP=x，则x的取值范围是________．（3）如图3，AD是△ABC的中线，E、F分别在AB、AC上，且DE⊥DF，求证：BE+CF>EF．24．（2020·福建福州·九年级开学考试）如图1，已知正方形ABCD和等腰RtΔBEF，EF=BE，∠BEF=90°，F是线段BC上一点，取DF中点G，连接EG、CG．（1）探究EG与CG的数量与位置关系，并说明理由；（2）如图2，将图1中的等腰RtΔBEF绕点B顺时针旋转α°(0<α<90°)，则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；（3）在（2）的条件下，若AD=2，求2GE+BF的最小值．。

【中考必读】对角互补模型—构造全等或相似在做中学在学中做因为坚持就有希望。

一、2019年3月份测试卷(点击下方序号可跳转至试题)【1】2019年沈阳第126中学3月份测试卷解析【2】2019年沈阳第134中学3月份测试卷解析【3】2019年沈阳第 43 中学3月份测试卷解析【4】2019年沈阳3月私立校联考试卷解析-系列一【5】2019年沈阳3月私立校联考试卷解析-系列二二、模型(点击下方序号可跳转至试题)【1】角含半角模型【2】定弦定角模型【3】燕尾模型三、沈阳中考试题(点击下方序号可跳转至试题)【1】沈阳市2017年中考数学第25题解析【2】沈阳市2012-2018年中考数学第24题汇编【3】沈阳市2013-2018年中考数学第16题汇编常见的对角互补模型，都有哪些呢？分别能得出什么样的结论呢？下面跟着小编一起来探索其中的奥秘。

【对角互补模型-第一种】【原题再现】【对角互补模型-第二种】当∠ DCE的一边与AO的延长线相交于点D时 ,当∠ DCE的一边与BO的延长线相交于点E时 ,【2017年皇姑区二模[第24题]】【原题再现】【思维教练】（1）DE⊥AB；用四边形内角和为360°，求出∠AED的度数即可。

（2）只需证明△DEN和△DFM全等即可；（3）在旋转过程中要分两种情况讨论，如下图2，BN=CM=(1/2)BD=(1/4)AB，通过图3，证明EN=FM，所以BE+CF=BN+CM=2BN=BD=(1/2)AB；【对角互补模型-第三种】在此小编给出一种证法，另一种同前，延伸：当∠DCE的一边与∠AOB的一边延长线相交时，证法同上。

【对角互补模型-第四种】【2011年浙江绍兴中考数学[第25题]】【原题再现】【思维教练】【2015年沈河区二模[第25题]】【变式训练】。