广东省实验中学高三模拟3(数学理)
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广东省实验中学高三模拟测试3理科数学一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。
请将唯一正确答案的序号填在答题卷的答案表中。
1．已知向量a=(1，2)，b=（x,-4），若a ∥b ，则b a ⋅等于 A. -10 B. -6 C.0 D.6 2．等差数列}{n a 的前项和为S n ，8104=+a a ，则S 13的值为A. 26B. 48C. 52D.1043．若l 、m 、n 是互不相同的空间直线，α,β是不重合的两平面，则下列命题中为真命题的 是A ．若α//β，α⊂l ，β⊂n ,则l//nB ．若βα⊥，α⊂l ,则l ⊥βC ．若l ⊥n,m ⊥n ，则l//mD ．若l ⊥α，l//β,则α⊥β4．若集合}32|{<<=x x A ，}0))(2(|{<-+=a x x x B ，则“α=1”是“Φ=⋂B A ”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件5．已知椭圆14222=+by x )20(<<b 与y 轴交于A 、B 两点，点F 为该椭圆的一个焦点，则△ABF 面积的最大值为A ．1B ．2C ．4D ．86．若函数y=f(x)+sinx 在区间)43,4(ππ-内单调递增，则f(x)可以是A ．)sin(x -π B. )cos(x -π C. )2sin(x -π D.)2cos(x +π7．函数x x x f 3log cos )(-=π的零点个数是A ．1B ．2C ．3D ．48．设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线 垂直，那么此双曲线的离心率为(A)2 （B ）3 （C ）213+ （D ）215+ 二．填空题：本大题共7个小题（其中二题为选做题），每小题5分，满分30分。
请将答案填在答题卷的答案表中。
9．若函数m x x x f +-=2)(2在[2，+∞）的最小值为-2，则实数m=_________. 10．与直线0543=+-y x 关于x 轴对称的直线方程为____________.11．设函数⎩⎨⎧<+≥=0),1(0,2)(x x f x x f x ,则)21(-f =________.12.过点P(1，1)的直线l 交□8:22=+y x O 于A 、B 两点，且 120=∠AOB ，则直线l 的 方程为________。
13．下列四个命题中：①R x ∈∀，04322>+-x x ；②}0,1,1{-∈∀x ，012>+x ；③N x ∈∃，使x x ≤2;④N x ∈∃，使x 为29的约数。
则所有正确命题的序号有___________。
选做题（题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程）曲线⎩⎨⎧==θθ2sin sin y x （θ为参数）与直线y=x+a 有两个公共点，则实数a 的取值范围是__________. 15.（几何证明选讲）如图，AB 为⊙O 的直径，弦AC 、BD 交 于点P ，若AB=3，CD=1，则APD ∠sin =__________.三、解答题：本大题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16．（本小题满分12分）已知命题02:<+m p ，命题q ：方程012=++mx x 无实数根。
若“p ￢”为假，“q p ∧”为假命题，求实数m 的取值范围。
17.（本小题满分14分）设函数+=x m x f sin )()(cos R x x ∈的图象经过点)1,2(π(I)求y=f （x)的解析式，并求函数的最小正周期和最值．(Ⅱ)若)12(πf A sin 2=，其中A 是面积为233的锐角△ABC 的内角，且AB=2，求AC 和BC 的长. 18．（本小题满分14分）一个多面体的直观图和三视图（主视图、左视图、俯视图）如图所示，M 、N 分别为A 1B 、 B 1C 1的中点。
(I)求该几何体的体积(II)求证：MN//平面ACC 1A 1； (Ⅲ)求证：MN⊥平面A 1BC 。
19．（本小题满分14分）设函数+=x x f )(xxa ln ，其中a 为常数． (1)证明：对任意a∈R，y=f(x)的图象恒过定点；(2)当a=-1时，判断函数y=f （x)是否存在极值？若存在，证明你的结论并求出所有极值；若不存在，说明理由.本小题满分14分）已知抛物线C 1的方程为)0(2>=a ax y ，圆C 2的方程为5)1(22=++y x ，直线m x y l +=2:1)0(<m 是C 1、C 2的公切线．F 是C 1的焦点． (1)求m 与n 的值;(2)设A 是C 1上的一动点，以A 为切点的C 1的切线l 交y 轴于点B ，设FB FA FM +=， 证明：点M 在一定直线上．21.（本小题满分12分）已知}{n a 为递增的等比数列，且},,{531a a a }16,4,3,1,0,2,6,10{---⊂。
(I)求数列}{n a 的通项公式；(II)是否存在等差数列}{n b ，使得121-+n n b a b a ++-23n b a 112+=+n n b a 2--n 对一切 n∈N*都成立？若存在，求出b n ；若不存在，说明理由。
参考答案一、选择题：(每题5分，共40分）二、填空题：（每题5分，共30分）9．-2 10．0543=++y x 11.2 12．x+y-2=0 13.①③④14.]0,41(- 15．322 三、解答题：16．解：因为“p ⌝”为假，所以命题p 是真命题。
...2分又由“q p ∧”为假命题，所以命题q 是假命题。
....4分 当p 为真命题时，则得m<-2； ....5分 当q 为假命题时，则042≥-=∆m ，得:m≥2或m≤-2 ...8分 当p 是真命题且q 是假命题时，得m<-2。
........12分 17．解：(I)∵函数x m x f sin )(=)(cos R x x ∈+的图象经过点)1,2(π2sinπm ∴12cos=+π1=∴m ......................2分x x x f cos sin )(+=∴)4sin(2π+=x ………………4分 ∴函数的最小正周期π2=T …………5分 当)(24Z k k x ∈+=ππ时，f （x ）的最大值为2，当+=45πx )(2Z k k ∈π时，f （x)最小值为2- ..................... 7分(II)因为=)12(πf A sin 2 即sin 2)12(=πf A sin 23=π3sinsin π=∴A ∵A 是面积为233的锐角△ABC 的内角，3π=∴A ……10分 ∵S □AB 21=□323sin =A AC ∴AC=3 ……12分 由余弦定理得：222AB AC BC +=7cos 2=⋅⋅-A AC AB7=∴BC …………14分18.解：由题意可知，这个几何体是直三棱柱，且BC AC ⊥, AC=BC=CC 1 ...... 2分(I)221a S ABC =∆，高为AA 1=a 321a V =∴ ..........4分 (Ⅱ)连结AC 1，AB 1。
由直三棱柱的性质得⊥1AA 平面A 1B 1C 1，所以111B A AA ⊥，则四边形ABB 1A 1为矩形。
由矩形性质得AB 1过A 1B 的中点M在△AB 1C 1中，由中位线性质得MN//AC 1，………………6分 又⊂1AC 平面ACC 1A 1，⊂/MN 平面ACC 1A 1， 所以MN//平面ACC 1A 1 …………9分(Ⅲ)因为⊥BC 平面ACC 1A 1，⊂AC 平面ACC 1A 1，所以1AC BC ⊥ …………10分 在正方形ACC 1A 1中，11AC CA A ⊥又因为C C A BC =⋂1，所以⊥1AC 平面A 1BC …………12分由MN//AC 1，得⊥MN 平面A 1BC …………14分19.解：(1)令lnx=0，得x=1，且f(1)=1，所以y=f(x)的图象恒过定点(1，1) ....3分(2)当a=-1时，x xx x f ln )(-=，x>0,2/ln 11)(xx x f --= ……4分 221ln xx x -+= ..........................5分 经观察得f'(x)=0根x=1 …………………………………………7分令1ln )(2-+=x x x g ， xx x g 12)('+=……………8分 当x>0时，g'(x)>0，即y=g(x)在（0，+∞）上是单调递增函数，所以f'(x)=0有唯一根 x=1 ……………………………………10分当x∈(0,1)时，2)()('x x g x f =0)1(2=<xg ,f(x)在(0，1)上是减函数； ………11分 当x∈(1，+∞)时，2/)()(x x g x f =0)1(2=>xg ，f(x)在(1，+∞)上是增函数. ……12分所以x=1是f(x)的唯一极小值点．极小值是111ln 1)1(=-=f ……………14分：(1)由已知，圆5)1(:222=++y x C 的圆心为C 2（，半径5=r ……1分 由题设圆心到直线m x y l +=2:1的距离22)1(21-++=m d ……………3分即5)1(2|1|22=-++m ，解得m=-6（m=4舍去）． ………………………4分 设l 1与抛物线的相切点为),(000y x A ，又y'=2ax ………5分 得0022x ax ⇒=a 1=，a y 10=，代入直线方程得：621-=aa ，61=∴a所以m=-6，61=a ……7分 这里也可用判别式法来求a,解法为：直线与抛物线相切，则方程组⎩⎨⎧-==622x y ax y 有唯一解，得ax 2=2x-6有唯一解（a>0） 故0644=⨯-=∆a ，得61=a(2)由(1)知抛物线C 1方程为261x y =，焦点)23,0(F ……8分设)61,(211x x A ，由(1)知以A 为切点的切线l 的方程为 )(3111x x x y -=2161x + ……………10分令x=0，得切线l 交y 轴的B 点坐标为)61,0(21x - …………11分所以=FA )2361,(211-x x ，,0(=FB )236121--x ， …………………12分)3,(1-=+=∴x FB FA FM …13分因为F 是定点，所以点M 在定直线23-=y 上. ………………………………14分 21．本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力， 考查特殊与一般思想、化归与转化思想．满分12分.解法一：(I)因为}{n a 是递增的等比数列，所以数列}{n a 的公比q 是正数， 又},,{31s a a a }16,4,3,1,0,2,6,10{---⊂，所以11=a ，43=a ，16=s a …………3分 从而4132==a a q ，2=q ，1112--==n n n q a a 所以数列}{n a 的通项公式为12-=n n a …………6分（II ）假设存在满足条件的等整数列}{n b ，其公差为d,则当n=1时，111=b a ， 又11=a ，11=∴b ；当n=2时，41221=+b a b a ，4212=+b b ，22=b 则112=-=b b d ，d n b b n )1(1-+=∴n n =⨯-+=1)1(1 …………8分以下证明当b n =n 时，221121121--=+++++--n b a b a b a b a n n n n n 对一切n∈N*都成立． 设121121b a b a b a b a S n n n n n ++++=-- ，即21+⨯=n S n 22)1(+-⨯n 32)2(+-⨯n +-⨯)3(n 122212⨯+⨯+--n n ， (1)⨯+-⨯+⨯=322)1(222n n S n 1222)2(1⨯+⨯++--n n n ， （2)（2）-（1）得 n n n n S 22222132++++++-=-2221)21(21--=--+-=+n n n n ，所以存在等差数列}{n b ，b n =n 使得121-+n n b a b a ++-23n b a 112+=n n b a 2--n 对一切n∈N*都成立 ....12分。
