直线与平面垂直判定定理新证作者：池志阳来源：《数理化学习·高一二版》2013年第01期立体几何中线面垂直的判定定理有多种证法，本文从高等数学中解析几何关于平面的定义出发，利用集合证明了直线与平面垂直判定定理.公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.公理2推论1：过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面.公理3：如果不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线.解析几何中平面的定义：在空间中，到两点距离相等的点的轨迹叫做平面.引理：若直线l与平面α内的两条相交直线都垂直，则l与α相交.证明：不妨设α内的两条相交直线a，b都与l垂直.假设l与α不相交，则lα或l∥α.显然lα是不可能的，于是l∥α.在α内任取一点A，由公理2推论1，设过l和点A的平面为β，由公理3，设β∩α=c.由l∥α知l∥c.因为l⊥a且l⊥b，所以c⊥a且c⊥b，又a，b，c同在α内，因为a∥b或a，b重合，这与a，b相交矛盾. 因为l与a相交.证毕.直线和平面垂直的判定定理：已知：mα，nα，m∩n=B，l⊥m，l⊥n，求证：l⊥α.中学数学课程中的一般证法：由已知及引理，不失一般性设l∩α=B（若l∩α=B′，在α内过B′作m′∥m，n′∥n，则l⊥m′，l⊥n′）.任取一条直线gα（g≠m，g≠n），不失一般性设g∩α=B.任取l上一点A，再取一点A′，使AB=A′B.任取一条直线h，使h交m于C点，交n于D点，交g于E点.因为l⊥m，l⊥n，AB=A′B，BC=BC，BD=D，所以△ABC≌△A′BC，△ABD≌△A′BD，所以AC=A′C，AD=A′D.又因为CD=CD，所以△ACD≌△A′CD，所以∠ACE=∠A′CE.因为∠ACE=∠A′CE，CE=CE，AC=A′C，所以△ACE≌△A′CE，所以AE=A′E.因为AE=A′E，BE=BE，AB=A′B，所以△AEB≌△A′EB，所以∠ABE=∠A′BE=90°.所以l⊥g.证毕.这种一般证法将空间几何的知识转化为平面几何的内容，从而进行处理.其过程方便简洁，并且符合高中生的知识储备和学习状况.新证：由已知及引理，不失一般性设l∩α=B（若l∩α=B′，在α内过B′作m′∥m，n′∥n，则l⊥m′，l⊥n′）.不妨构造一个集合O={过B点且垂直于直线l的所有直线}.下面证明集合O的所有元素构成一个平面.取l上到点B距离相等的两个点K，K′.h∈O，任取h上一点H，则l′O（l′为一过点B且垂直于l的直线），H∈l′，易得l′为线段KK′的中垂线，故|KH|=|K′H|，故O包含于一个由点K和点K′生成的平面O′.（由解析几何中平面的定义得）H′∈O′，有|KH′|=|K′H′|，故H′包含于一条线段KK′的中垂线l″.又易得l″∈O，故O′O，因此O′=O.因为mO，nO，所以O=α （两条相交直线确定一个平面）.任取α内一条直线g，若g过B点，则因为gO，所以g⊥l.若g不过B点，则过B点做一条直线g′∥g，易知g′O，故g′⊥l，故g⊥l.所以l⊥α.证毕.这种方法利用了高等数学里解析几何中关于平面的定义，并且结合了集合的内容，巧妙地证明了直线与平面的垂直定理.当然，这种证明方法可能不太适合高中教学，仅供参考.华南师范大学数学科学学院（510000）● 刘岩平面向量问题错解辨析摘要：平面向量已成为高中数学的主干知识，同时也是高考、竞赛、高校自主招生考试命题的热点内容.在学习本部分知识时，倘若对基础知识和基本技能掌握得不好，就很可能导致解题的失误，下面举例加以辨析，以期能对同学们的学习有所启发和帮助.关键词：数学教学；高中数学；平面向量一、基本概念不清例1 将向量a=（1，2）按向量m=（2，3）平移后所得到的向量的坐标为（）（A）（3，5）（B）（-1，-1）（C）（1，2）（D）（3，-1）错解：由平移公式x′=x+hy′=y+k知向量a按向量m=（2，3）平移后得到的向量的坐标为（3，5）. 选（A）.辨析：向量又称自由向量，即只要长度相等，且方向相同的向量就是同一向量，故任一向量平移后得到的向量仍是其本身，坐标也不发生变化. 选（C）.二、忽视定理前提例2 已知直线l上有不重合三点A、B、C，P是任意一点，且向量PA=αPB+βPC，则α+β的值为（）（A） 1 （B） -1 （C） 0 （D）不能确定错解：因为A、B、C不重合，所以CB≠0，由向量共线定理知：存在唯一的实数λ使得BA=λCB成立，即PA-PB=λ（PB-PC），整理得PA=（1+λ）PB-λPC，又因为PA=αPB+βPC，所以α=1+λ，β=-λ，所以α+β=1. 选（A）.辨析：由平面向量基本定理知：只有当向量PB、PC不共线，即Pl时，才可作为平面向量的一个基底，此时PA=αPB+βPC中的α、β是唯一的！即有α=1+λ，β=-λ；而当图1P∈l时α、β却不是唯一的.如图1所示，设B、C是有向线段AP的两个三等分点，显然有PA=0PB+3PC=PB+PC=-PB+5PC=…，因此对任意的点P，α+β的值是不确定的. 选（D）.三、混淆运算法则图2例3 如图2，在平行四边形ABCD中，若AC2·BD2=AB4+AD4 ，则∠DAB的大小为（）（A） 90°（B） 45°（C） 135°（D） 45°或135°错解：设AB=a，AD=b，则AC=a+b，BD=b-a，由已知可得（a+b）2·（b-a）2=（b2-a2）2=a4+b4-2（a·b）2=a4+b4，所以a·b=0，故∠DAB=90°. 选（A）.辨析：上述解题过程两次用到公式x2·y2=（x·y）2，误将向量运算当成实数运算. 事实上，x2·y2=|a|2|y|2，而（x·y）2=|x|2|y|2cos2θ，其中θ为向量x、y的夹角，因此只有当θ=0或θ=π时才有x2·y2=（x·y）2.正解：由已知可得（a+b）2（b-a）2=（a2+b2+2ab）（a2+b2-2ab）=（a2+b2）2-（2ab）2=a4+b4+2a2b2-4（a·b）2=a4+b4，所以a2b2=2（ab）2，所以a·b|a||b|=±22，故∠DAB=45°或135°. 选（D）.四、不是等价转化例4 在平面直角坐标系内，已知点A（0，0）、B（3，-3）、C（n2+1，-2）、D（n，1），若四边形ABCD是平行四边形（A、B、C、D四点按逆时针排列），则实数n的值为（）（A） -1 （B） 2 （C） -1或2 （D）不能确定错解：依题意有AB=DC，即（3，3）=（n2+1-n，-3），故n2+1-n=3，解得n=-1或n=2. 选（C）.辨析：四边形ABCD是平行四边形可推出AB=DC，但AB=DC却不能推出四边形ABCD 是平行四边形，还可能出现 A、B、C、D四点共线的情形.因此，上述解法的转化是不等价的！事实上，当n=-1时， A、B、C、D四点就共线. 选（B）.五、遗漏特殊情形例5 已知向量a=（λ，2），b=（-3，5），若向量a、b的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是（）（A）λ>103 （B）λ（C）λ错解：向量a、b的夹角为锐角a·b>0，即-3λ+10>0，解得λ辨析：非0向量m、n的夹角θ为锐角与m·n>0是不等价的，上述解题过程遗漏了两个向量a、b同向共线的情形.正解：接上，设a=kb（k>0得λ=-3k2=5k，解得k=25λ=-65，所以当λ=-65时，向量a、b 的夹角为0，不是锐角，故λ六、审题不够细致例6 设e1和e2是夹角为60°的两个单位向量，且a=e1+2e2，b=2e1+e2，则|a+b|的值为（）（A） 3 （B） 32 （C） 33 （D）非上述答案错解：因为a+b=e1+2e2+2e1+e2=3e1+3e2.所以a+b=（3，3），所以|a+b|=32. 选（B）.辨析：上述解法，由于审题不细误把夹角为60°的两个单位向量e1和e2当成了正交的单位向量，进而得出了a+b的坐标为（3，3）的错误结果，导致解题失误.正解：因为a+b=e1+2e2+2e1+e2=3e1+3e2，所以|a+b|=3|e1+e2|=3（e1+e2）2=3e21+2e1e2+e22=3|e1|2+2|e1||e2|cos60°+|e2|2=333 . 选（C）.七、方法选择不当例7 设a、 b不共线，则关于x的方程ax2+b x+c =0解的情况是（）（A）至少有一个实数解（B）至多有一个实数解（C）至多有两个实数解（D）可能有无数个实数解错解：在方程两边同乘a得a2x2+a·bx+a·c=0，Δ=（a·b）2-4a2（a·c），当Δ>0时，方程有两个不等实数解；当Δ=0时，方程有一个实数解；当Δ辨析：在方程两边同乘a得到方程a2x2+a·bx+a·c=0时会出现ax2+bx+c≠0 ，但向量a与向量ax2+bx+c垂直，仍有a2x2+a·bx+a·c=0的情况，进而产生了增解.正解：因为a、b不共线，由平面向量基本定理知：存在唯一的有序实数对（α，β）使得-c=αa+βb成立，又-c=ax2+bx，故若方程有解，则必有α=x2β=x，即β=α2.因此，若β=α2，则方程有一个实数解x=β；若β≠α2，则方程无实数解. 选（B）.对一些常见的典型易错题进行归纳、积累和总结，不但可以降低解题的失误率，更有利于形成缜密的、善于批判的思维品质.黑龙江省鸡西市一中（158100）。
大一高数上册课本知识点高等数学作为大一学生必修的一门课程，是培养学生抽象思维、逻辑推理和数学建模能力的基础。
下面将介绍大一高数上册课本的主要知识点，帮助同学们更好地理解和掌握这门课程。
一、函数与极限1. 函数概念：函数的定义、函数的三要素、常用函数的性质等；2. 一次函数与二次函数：函数的图像、基本性质、解析式、最值、单调性等；3. 指数函数与对数函数：指数函数、对数函数、性质与图像、指数方程与对数方程；4. 三角函数：正弦函数、余弦函数、正切函数、性质与图像、和差化积等；5. 极限与连续：函数极限的定义、性质、常用极限运算法则、连续函数的定义与性质等。
二、导数与微分1. 导数的概念：导数的定义、基本性质、几何意义、导数运算法则等；2. 常见函数的导数：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的导数计算；3. 高阶导数与导数的应用：高阶导数的定义、求解、函数的单调性与凹凸性、传导方程等；4. 微分学基本定理与应用：微分中值定理、极值判别法、应用题等。
三、定积分与不定积分1. 定积分的概念：定积分的定义、性质、几何意义；2. 定积分的计算：基本初等函数的定积分计算、换元法、分部积分法、定积分的几何应用等；3. 不定积分：不定积分的定义、性质、基本性质、变量代换法、分部积分法等；4. 定积分与不定积分的关系：牛顿—莱布尼茨公式、微积分基本定理等。
四、微分方程1. 微分方程基本概念：微分方程的定义、阶数、线性微分方程、常微分方程等；2. 一阶常微分方程：可分离变量方程、一阶线性方程、齐次线性方程、一阶线性齐次方程等；3. 高阶常微分方程：二阶齐次线性微分方程、二阶非齐次线性微分方程、常系数齐次线性方程等；4. 微分方程的应用：生物、物理、工程、经济等领域实际问题的建模和求解。
五、向量代数与空间解析几何1. 向量的定义、性质与运算：向量的概念、向量的线性运算、数量积、向量积等；2. 空间直线与平面：直线的方程与性质、平面的方程与性质、空间几何问题求解等；3. 空间向量的相关内容：向量方程、点线面距离、平面与平面的位置关系等。
习题7.41. 判断下列四点是否共面:(1) (1,0,1),(2,4,6),(3,1,2),(6,2,8)A B C D -;(2) (1,2,1),(2,2,3),(1,1,2),(4,5,6)A B C D --.2. 设≠0a ,(1) 若⋅=⋅a b a c , 则是否必有=b c ?(2) 若⨯=⨯a b a c , 则是否必有=b c ?(3) 若⋅=⋅a b a c ,且⨯=⨯a b a c , 则是否必有=b c ?3. 指出下列平面对于坐标轴或坐标面的相对位置：(1) 3210x y -+=; (2) 250x +=； (3) 0x y -=； (4)0Ax Cz +=.4. 求满足下列条件的平面方程：(1) 过点0(1,2,3)M -, 法向量为(2,1,5)=--n ;(2) 在x 轴,y 轴和z 轴上的截距分别为2,3,1-;(3) 过点(5,7,4)-且在x y z 、、轴上截距相等；(4) 过点(3,6,2)P -，且垂直于OP (O 为原点)；(5) 过点1(2,1,3)M -,2(5,1,4)M -和3(2,2,4)M -；(6) 过Ox 轴和点(4,3,1)--；(7) 平行于Oy 轴，且通过点(1,5,1)-和(3,2,2)-；(8) 平行于xOz 平面，且通过点(3,2,7)-；(9) 过点(1,3,2)-，且平行于平面520x y z +--=；(10) 过两点(8,3,1),(4,7,2)-，且垂直于平面35210x y z +--=；(11) 平行于平面2250x y z +++=而与三坐标面所构成的四面体的体积为１5. 指出下列直线的位置性态：(1) 123102x y z -++==- (2)113100x y z +-+==; (3) 6,5,3x t y t z t =-==-;(4) 12,23,0x t y t z =-=-+=. 6. 求满足下列条件的直线的对称式方程，并将其中(1)~(4)化为参数方程和一般式方程：(1) 过点0(1,2,3)M , 方向向量为(2,1,1)=-s ;(2) 过点0(1,2,0)M -, 方向向量为3-s =i k ;(3) 过点(2,3,8)-，且平行于y 轴;(4) 过点(2,3,8)-，且平行于直线243325x y z --+==-; (5) 过点(1,3,2)-，且垂直于平面520x y z +--=；(6) 过点1(1,2,3)M ,2(2,2,7)M -；(7) 过点(1,3,2)-，且与z 轴垂直相交；(8) 过点(1,2,1)-，且平行于直线210210x y z x y z +--=⎧⎨+-+=⎩(9) 垂直于三点1(1,2,3)M ,2(2,2,7)M -和3(0,1,5)M 所在平面，且过点1M ；(10) 过点(3,4,4)-，且与坐标轴夹角分别为π3,π4,2π3的直线方程.7. 求平面4210x y z -+-=与三个坐标面的交线方程.8. 将下列直线方程化为标准式方程：(1)240,3290;x y z x y z -+=⎧⎨--+=⎩ (2)35,28.x z y z =-⎧⎨=-⎩9. (1) 求点(1,3,2)-到平面32610x y z +--=的距离；(2) 求两平行平面326350,326560x y z x y z +--=+--=间的距离;(3) 求平行于平面221x y z +-=且与其距离为2的平面；(4) 证明：两平行平面120,0Ax By Cz D Ax By Cz D +++=+++=之间的距离是d =10. 求下面各组平面的夹角, 并判断它们是否平行或垂直？(1) 1x z +=,1y z -=;(2) 86210x y z --+-=,430x y z +-=;(3) 26310x y z -+-=,3450x y z --+=;(4) 236120x y z -+-=,2270x y z ++-=.11. 求下面各组直线的夹角，并判断它们是否平行？相交？或异面？在相交情况下求出它们的交点：(1) 1451:243x y z L -+-==-，221:132x y z L -+==； (2) 111:214x y z L --==，222:123x y z L ++==； (3) 1:6,19,3L x t y t z t =-=+=-，2:12,43,L x s y s z s =+=-=；(4) 1:1,2,3L x t y t z t =+=-=，2:2,12,4L x s y s z s =-=+=+.12. 求下面各组直线与平面的夹角，并判断它们是否平行？垂直？相交？在相交情况下求出它们的交点：(1) 34:273x y z L ++==--, :42230x y z ∏---=; (2) :327x y z L ==-, :32731x y z ∏-+=; (3) 223:314x y z L -+-==-, :3x y z ∏++=; (4) 221:312x y z L +-+==,:23380x y z ∏++-=. 13. (1) 求过点(3,2,1)--且垂直于直线11413x y z -+==-的平面; (2) 求点(1,0,1)-到直线51132x y z --==-的距离；(3) 求点(2,3,1)在直线722123x y z +++==上的投影. (4) 求点(3,1,1)--在平面23300x y z ++-=上的投影.14. 证明两直线11112x y z +-==和12134x y z +-==是异面直线，并求它们之间的距离,公垂线方程,及公垂线与两直线的交点.15. 求直线1010x y z x y z +--=⎧⎨-++=⎩在平面0x y z ++=上的投影直线方程. 16. 求过两平面0,20x y z x y z +-=++=的交线l 的两个互相垂直的平面，其中一个平面过点(0,1,1)A -.17. 求满足下列条件的平面方程：(1) 过点(3,2,1)--和直线31212x y z --==. (2) 过点(1,2,3)--，且和两直线25346x y z --==-及21122x y z +-==平行; (3) 过两平行直线31212x y z --==，11212x y z +-==; (4) 包含直线10230x z y z --=⎧⎨+-=⎩且与平面21x y z +-=垂直; (5) 过Ox 轴，且与平面y x =成π3的角度; (6) 过两平面50,40x y z x z ++=-+=的交线，且与平面48120x y z --+=的夹角为π4. 18. 求满足下列条件的直线方程：(1) 在平面1x y z ++=上, 且与直线1,1y z ==-垂直相交;(2) 过点(1,0,4)-,且平行于平面34100x y z -+-=，又与直线13312x y z +-==相交; (3) 过点(1,2,1)，且与直线2x y z ==-相交，又垂直于直线11321x y z -+==； 19. 一动点与两定点(2,2,1)，(1,3,4)等距离，求此动点轨迹的方程.。
