高数 空间直线

高数下册常用常见知识点高等数学下册常用知识点第八章：空间解析几何与向量代数一、向量及其线性运算1.向量的概念及基本性质：包括向量相等、单位向量、零向量、向量平行、共线、共面等基本概念。

2.向量的线性运算：包括加减法和数乘。

3.空间直角坐标系：包括坐标轴、坐标面、卦限和向量的坐标分解式等。

4.利用坐标进行向量的运算：设向量a=(ax。

ay。

az)，向量b=(bx。

by。

bz)，则a±b=(ax±bx。

ay±by。

az±bz)，λa=(λax。

λay。

λaz)。

5.向量的模、方向角、投影：包括向量的模、两点间的距离公式、方向角、方向余弦和投影等。

二、数量积和向量积1.数量积：包括数量积的概念、性质和计算公式等。

2.向量积：包括向量积的概念、性质和计算公式等。

三、曲面及其方程1.曲面方程的概念：包括曲面方程的定义和基本性质等。

2.旋转曲面：包括旋转曲面的定义、方程和旋转后方程的计算等。

3.柱面：包括柱面的特点、方程和母线的概念等。

4.二次曲面：包括椭圆锥面的方程和图形等。

2.椭球面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$3.旋转椭球面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$4.单叶双曲面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$5.双叶双曲面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1$6.椭圆抛物面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z$7.双曲抛物面（马鞍面）：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=z$8.椭圆柱面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$9.双曲柱面：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$10.抛物柱面：$2x=ay^2$空间曲线及其方程：1.参数方程：$\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\\z=z(t)\end{cases}$，如螺旋线：$\begin{cases}x=a\cos t\\y=a\sin t\\z=bt\end{cases}$2.一般方程：$F(x,y,z)=0$，消去$z$，得到曲线在面$xoy$上的投影。

考点 40 确定直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系 203、平面 0 2 2 2 = + + - z y x 与平面 2310 x y z ---= 的位置关系是( )A.斜交B.平行C.垂直D.重合解：对应系数不成比例，对应系数乘积之和不等于零，所以两平面不平行也不垂直，故这两个平面的位 置关系是斜交。

选 A. 204、直线22253x y z +- == -- 与平面30 x y z --= 的位置关系为 （ ）A．直线与平面斜交 B．直线与平面垂直C．直线在平面内D．直线与平面平行解：直线的方向向量 { } 2,5,3 s =-- r ，平面的法向量为 { } 3,1,1 n =-- r.这两个向量既不平行又不垂直，因此直线与平面斜交，选 A. 205、平面 230 x y z +-+= 与空间直线 112311x y z -+- == - 的位置关系是 ( ) A.平行但直线不在平面内 B.既不平行也不垂直 C.垂直D.直线在平面上解：平面的法向量 { } 1,2,1 n =- r ，直线l 的方向向量是 { } 3,1,1 l =- r， 则 3210 n l ×=--= r r ，n l ^ r r，故平面π与直线l 平行.取直线l 上一点( ) 1,1,2 - 满足平面方程，因此直线在平面上.选 D. 206、和平面 210 x y z -++= 垂直的平面方程为 （）A． 2100 x y z ---+= B． 2350x y z -++= C．23460x y z +++= D． 540x y z --++= 解：两个平面系数对应的乘积之和为零,选 C.207、已知两平面 0 24 6 7 : = - - + z y mx a 与平面 0 19 11 3 2 : = - + - z my x b 相互垂直，求m 的值．解：两平面的法矢分别为 ( ) 6 , 1 , 1 - - = m n ， ( ) 11 , 3 , 2 2 m n - = ，由 1 n ⊥ 2 n ，得66 21 2 = - - m m 求出 1966-= m . 考点 41 由方程识别空间曲面或曲线的类型 208、柱面 20 x z += 的母线平行于（ ） A. y 轴B.x 轴C.z 轴D.zOx 面解：不含哪个变量，母线平行于哪个坐标轴，从而母线平行于 y 轴. 209、曲面 22 24 z x y =+ 称为（ ）A.椭球面B.圆锥面C.旋转抛物面D.椭圆抛物面解：根据方程的特点和截痕曲线，该曲面是椭圆抛物面，应选 D.210、在空间直角坐标系下，方程 2221 9916 4 x y z z ì ++= ï í ï = î表示的是（）A.一条直线B.一个点C. 椭圆D.两个圆解：在空间直角坐标系下方程 2221 9916x y z ++= 椭球面，而 4 z = 是平面，方程 2221 9916 4 x y z z ì ++= ï í ï = î表示其交痕，显然为(0,0,4)，即表示一个点，应选B.211、方程 222 0 x y z +-= 在空间直角坐标系内表示的二次曲面是 （ ）A. 球面椭球面B.旋转抛物面C.圆锥面D.圆柱面解：本题属于 222Ax By Cz D ++= 中的 0 D = ，且 1,1 A B C ===- ，该二次方程空间直角坐标系内 表示的二次曲面是圆锥面。

高等数学下册（同济大学第七版）知识点高等数学下册知识点下册预备知识第八章 空间解析几何与向量代数（一） 向量及其线性运算1、 向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面；2、 线性运算：加减法、数乘；3、 空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；4、 利用坐标做向量的运算：设),,(z y x a a a a = ，),,(z y x b b b b = ， 则 ),,(z z y y x x b a b a b a b a ±±±=±, ),,(z y x a a a a λλλλ= ；5、 向量的模、方向角、投影：1） 向量的模：222z y x r ++= ；2） 两点间的距离公式：212212212)()()(z z y y x x B A -+-+-=3） 方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角γβα,,4） 方向余弦：rz r y r x ===γβαcos ,cos ,cos 1cos cos cos 222=++γβα5） 投影：ϕcos Pr a a j u =，其中ϕ为向量a 与u 的夹角。

（二） 数量积，向量积1、 数量积：θcos b a b a=⋅1）2a a a =⋅高等数学（下）知识点 2）⇔⊥b a 0=⋅b az z y y x x b a b a b a b a ++=⋅2、 向量积：b a c⨯= 大小：θsin b a ，方向：c b a ,,符合右手规则1）0=⨯a a 2）b a //⇔0=⨯b a z y x z y x b b b a a a k j i b a =⨯ 运算律：反交换律 b a a b⨯-=⨯（三） 曲面及其方程1、 曲面方程的概念：0),,(:=z y x f S2、 旋转曲面： yoz 面上曲线0),(:=z y f C ，绕y 轴旋转一周：0),(22=+±z x y f 绕z 轴旋转一周：0),(22=+±z y x f3、 柱面：0),(=y x F 表示母线平行于z 轴，准线为⎪⎩⎪⎨⎧==00),(z y x F 的柱面 4、 二次曲面1）椭圆锥面：22222zbyax=+2）椭球面：1222222=++czbyax旋转椭球面：1222222=++czayax3）单叶双曲面：1222222=-+czbyax4）双叶双曲面：1222222=--czbyax5）椭圆抛物面：zbyax=+22226）双曲抛物面（马鞍面）：zbyax=-22227）椭圆柱面：12222=+byax8）双曲柱面：12222=-byax9）抛物柱面：ay x=2（四）空间曲线及其方程1、 一般方程：⎪⎩⎪⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F 2、 参数方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x ，如螺旋线：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===btz t a y t a x sin cos 3、 空间曲线在坐标面上的投影⎪⎩⎪⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F ，消去z ，得到曲线在面xoy 上的投影⎪⎩⎪⎨⎧==00),(z y x H（五） 平面及其方程1、 点法式方程：0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A法向量：),,(C B A n = ，过点),,(000z y x2、 一般式方程：0=+++D Cz By Ax 截距式方程：1=++cz b y a x 3、 两平面的夹角：),,(1111C B A n = ，),,(2222C B A n = ，222222212121212121cos C B A C B A C C B B A A ++⋅++++=θ⇔∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A⇔∏∏21// 212121C C B B A A ==4、 点),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离：222000C B A DCz By Ax d +++++=（六） 空间直线及其方程1、 一般式方程：⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++022221111D z C y B x A D z C y B x A 2、 对称式（点向式）方程：p z z n y y m x x 000-=-=-方向向量：),,(p n m s = ，过点),,(000z y x3、 参数式方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+=ptz z nt y y mt x x 000 4、 两直线的夹角：),,(1111p n m s = ，),,(2222p n m s = ，222222212121212121cos p n m p n m p p n n m m ++⋅++++=ϕ⇔⊥21L L 0212121=++p p n n m m⇔21//L L 212121p p n n m m ==5、 直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角，222222sin p n m C B A CpBn Am ++⋅++++=ϕ⇔∏//L 0=++Cp Bn Am⇔∏⊥L pC n B m A ==第九章 多元函数微分法及其应用（一） 基本概念（了解）1、 距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集。