高等数学：第四节：空间直线及其方程-七版

福建警察学院《高等数学一》课程教学大纲课程名称：高等数学一课程编号：学分：4适用对象：一、课程的地位、教学目标和基本要求(一)课程地位高等数学是各专业必修的一门重要的基础理论课程，它具有高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性，对培养和提高学生的思维素质、创新能力、科学精神、治学态度以及用数学解决实际问题的能力都有着非常重要的作用。

高等数学课程不仅仅是学习后继课程必不可少的基础，也是培养理性思维的重要载体，在培养学生数学素养、创新意识、创新精神和能力方面将会发挥其独特作用。

（二）教学目标通过本课程的学习，逐步培养学生使其具有数学运算能力、抽象思维能力、空间想象能力、科学创新能力，尤其具有综合运用数学知识、数学方法结合所学专业知识去分析和解决实际问题的能力，一是为后继课程提供必需的基础数学知识；二是传授数学思想，培养学生的创新意识，逐步提高学生的数学素养、数学思维能力和应用数学的能力。

（三）基本要求1、基本知识、基本理论方面：掌握理解极限和连续的基本概念及其应用；熟悉导数与微分的基本公式与运算法则；掌握中值定理及导数的应用；掌握不定积分的概念和积分方法；掌握定积分的概念与性质；掌握定积分在几何上的应用。

2、能力、技能培养方面：掌握一元微积分的基本概念、基本理论、基本运算技能和常用的数学方法，培养学生利用微积分解决实际问题的能力。

二、教学内容与要求第一章函数与极限【教学目的】通过本章学习1、理解函数的概念，了解函数的几种特性（有界性），掌握复合函数的概念及其分解，掌握基本初等函数的性质及其图形，理解初等函数的概念。

2、理解数列极限的概念、掌握数列极限的证明方法、了解收敛数列的性质。

3、理解函数极限和单侧极限的概念，掌握函数极限的证明方法、理解极限存在与左、右极限之间的关系，了解函数极限的性质。

4、理解无穷小和无穷大的概念、掌握无穷大和无穷小的证明方法。

5、掌握极限运算法则。

6、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。

空间直线及其方程§8.4 空间直线及其方程ü直线的一般方程ü直线的参数方程和对称方程ü两直线的夹角ü直线与平面的夹角一、空间直线的一般方程定义空间直线可看成两平面的交线．Π1:A1x+B1y+C1z+D1Π2:A2x+B2y+C2z+D2A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0空间直线的一般方程y注：表示同一直线的一般方程不唯一。

确定空间直线的条件•由两个平面确定一条直线；•由空间的两点确定一条直线；•由空间的一点和一个方向来确定一条直线。

二、空间直线的参数方程与对称式方程r如果一非零向量sr一条已知直线L，向量s线L的方向向量．设定点M0(x0,y0,z0)∈L,方向向量的定义：yr∀M(x,y,z)∈L,0//srs={m,n,p},M0={x−x0,y−y0,z−z0}则{x−x0,y−y0,z−z0}=t{m,n,p} x=x0+mt y=y0+ntz=z+pt0消去参数t，有直线的参数方程x−xy−yz−z==直线的对称式方程mnp直线的一组方向数方向向量的余弦称为直线的方向余弦.注：1. 表示同一直线的对称方程不唯一；2. 对称式方程可转化为一般方程;x=x0,x−x0y−y0z−z0 3.==理解为:y−y=z−z.0np p n4. 任一条直线均可表示为对称式方程.设直线过两点M(x1,y1,z1),N(x2,y2,z2)r则s={x2−x1,y2−y1,z2−z1}x−x1y−y1z−z1直线的对称方程为：==x2−x1y2−y1z2−z1例1用对称式方程及参数方程表示直线x+y+z+1=0.2x−y+3z+4=0解在直线上任取一点(x0,y0,z0)y0+z0+2=0取x0=1⇒,y0−3z0−6=0解得y0=0,z0=−2点坐标(1,0,−2),因所求直线与两平面的法向量都垂直取rrrs=n1×n2={4,−1,−3}, x−1y−0z+2对称式方程==,4−1−3x=1+4t.参数方程y=−tz=−2−3t例2 一直线过点A(2,−3,4)，且和y轴垂直相交，求其方程.解因为直线和y轴垂直相交,所以交点为B(0,−3,0),r取s=={2,0,4},x−2y+3z−4==.所求直线方程204三、两直线的夹角定义两直线的方向向量的夹角称之.（锐角）x−x1y−y1z−z1直线L1:==,p1m1n1x−x2y−y2z−z2直线L2:==,m2n2p2 ^cos(L,L)=12|mm+nn+pp|m1+n1+p1⋅m2+n2+p2两直线的夹角公式222222两直线的位置关系：(1)L1⊥L2⇐⇒m1m2+n1n2+p1p2=0,m1n1p1==,(2)L1//L2⇐⇒m2n2p2r例如，直线L1:s1={1,−4,0},r直线L2:s2={0,0,1},rrrrQs1⋅s2=0,∴s1⊥s2,即L1⊥L2.x−4z=3例3 一直线L过点(-3,2,5)，且和直线2x−y−5z=1平行，求其方程.vi解rrrQs=n1×n2=1vj0vk−4=−{4,3,1}2−1−5∴所求直线方程v方法2:设s={m,n,p}x+3y−2z−5==.431m−4p=0mnpvvvvQs⊥n1,s⊥n2∴⇒==4312m−n−5p=0v取s={4,3,1}………x+1y−1z==例4 一直线过点M0(2,1,3)，且与直线L: 32−1垂直相交，求其方程.解设所求直线为l , 先求两直线的交点。

第七版高等数学教材目录第一章极限与连续1.1 数列与极限1.1.1 数列的概念及表示方法1.1.2 数列极限的定义与性质1.1.3 常见数列的极限计算1.1.4 数列极限存在准则与夹逼定理1.2 函数与极限1.2.1 函数的概念与表示方法1.2.2 函数极限的定义与性质1.2.3 函数的连续性与间断点1.2.4 导数与微分1.2.5 函数的极值与最值1.3 极限的运算1.3.1 无穷小与无穷大量1.3.2 极限的四则运算1.3.3 极限的复合与反函数1.4 一元函数的连续性1.4.1 一元函数连续的概念1.4.2 连续函数的运算与性质1.4.3 闭区间上连续函数的性质第二章导数与微分2.1 函数的导数2.1.1 导数的定义与几何意义2.1.2 导数的运算法则2.1.3 高阶导数与导数的应用2.2 微分学基本定理2.2.1 微分的定义与计算2.2.2 微分的几何意义与应用2.3 隐函数与参数方程2.3.1 隐函数及其导数2.3.2 参数方程及其导数2.4 极值与最值2.4.1 极值与最值的概念2.4.2 高阶导数与极值判定2.4.3 边界条件下的最值问题2.5 凹凸性与拐点2.5.1 凹凸性与凹凸函数2.5.2 拐点及其判定条件2.5.3 曲线的凹凸性与拐点的应用第三章微分学的应用3.1 泰勒公式与函数逼近3.1.1 泰勒公式的定理与推论3.1.2 泰勒展开与函数逼近3.2 级数与幂级数3.2.1 级数的概念与性质3.2.2 幂级数的收敛域3.2.3 幂级数的运算与应用3.3 曲线的特性与曲率3.3.1 弧微分与曲线的弧长3.3.2 曲率及其计算3.3.3 曲线的曲率半径与造型设计3.4 微分方程3.4.1 常微分方程与初值问题3.4.2 一阶线性常微分方程3.4.3 可降解与可分离变量的微分方程3.4.4 高阶线性常微分方程第四章不定积分与定积分4.1 不定积分4.1.1 不定积分的概念与性质4.1.2 基本不定积分表4.1.3 牛顿—莱布尼茨公式4.1.4 积分方法与积分应用4.2 定积分4.2.1 定积分的概念与性质4.2.2 定积分的基本定理4.2.3 微积分基本公式4.2.4 定积分的性质与运算4.2.5 定积分的应用第五章微分方程与数值计算5.1 微分方程的基本概念5.1.1 微分方程的类型与表示5.1.2 微分方程的解与通解5.1.3 微分方程的初值问题5.2 一阶微分方程5.2.1 可分离变量的一阶微分方程5.2.2 线性一阶微分方程5.2.3 可降解的一阶微分方程5.2.4 齐次线性一阶微分方程5.3 高阶微分方程5.3.1 常系数线性高阶微分方程5.3.2 常系数齐次线性高阶微分方程5.3.3 变系数线性高阶微分方程第六章向量代数与空间解析几何6.1 向量的基本运算6.1.1 向量的表示与运算6.1.2 向量的数量积与夹角6.1.3 向量的向量积与混合积6.2 空间解析几何6.2.1 点与直线的位置关系6.2.2 空间直线的方程6.2.3 利用向量表示平面6.2.4 空间曲线的方程与几何性质第七章多元函数微分学7.1 多元函数的概念与表示7.1.1 多元函数的定义与场域7.1.2 多元函数的极限与连续性7.2 偏导数与全微分7.2.1 偏导数的概念与性质7.2.2 全微分与偏导数的关系7.3 多元函数的微分法7.3.1 隐函数与反函数的求导7.3.2 多元复合函数的求导7.3.3 链式法则与高阶导数7.4 多元函数的极值与最值7.4.1 多元函数的极值与最值的定义7.4.2 条件极值与拉格朗日乘数法7.5 多元函数的积分与曲线积分7.5.1 多元函数的积分定义与性质7.5.2 曲线积分与格林公式7.5.3 曲面积分与高斯公式7.6 多元函数的微分方程7.6.1 一阶常微分方程的几何解释7.6.2 齐次与非齐次的常微分方程7.6.3 二阶常系数线性微分方程以上是第七版高等数学教材的目录，涵盖了数学分析的基础知识与方法，包括极限与连续、导数与微分、微分方程、积分与微分学应用等内容。