参数方程的概念ppt课件

+rcosθ ② 消去参数θ，
y=b+rsinθ
可得圆的普通方程 (x-a)2 +(y-b)2 =r2
例1、把下列参数方程化为普通方程
x 12cos (1)y 32sin
(为参数）
(2)xy a2b2((tt
1)
t (为参数， ab0)
1) t
例2、讨论下列两圆的位置关系：
练习： 1、若点P在圆(x-3)2 +(y+4)2 =25上，试求x+2y
的取值范围。 2、对于圆x2+(y-1)2=1上任一点P(x,y)，不等 式X+y+m≥0恒成立，求实数m的取值范围。
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x=f(t) ③并且对于t的每一个允许值，由方程
y=g(t)
组 ③所确定的点M（x,y)都在这条曲线上，那么方 程组 ③就叫做这条曲线的参数方程， 联系x,y之间 关系的变数t叫做参变数，简称参数 （参数方程中的参数可以是有物理、几何意义
的变数，也可以是没有明显意义的变数。）
练习：（1）
概念：相对于参数方程来说，以前所学的直接给出 曲线上点的坐标关系的方程叫做曲线的普通方程。
y=rsinθ y
P
rθ
O
Po x
方程， θ为参数。
追问：圆心为O1（a,b)，半径为r的圆的参数方程 是什么？ (a,b)=(x,y)-(rcosθ, rsinθ)
x=a+rcosθ ②y
y=b+rsinθ
O
O1(a,b) P(x,y)
P1(rcosθ ,rsinθ) x
定义：一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上 任意一点的坐标x,y都是某个变数 t 的函数，即

题型二 圆的参数方程及其应用
【例2】 圆的直径AB上有两点C、D，且|AB|＝10，|AC|＝ |BD|＝4，P为圆上一点，求|PC|＋|PD|的最大值． [思维启迪] 本题应考虑数形结合的方法，因此需要先建立 平面直角坐标系．将P点坐标用圆的参数方程的形式表示 出来，θ为参数，那么|PC|＋|PD|就可以用只含有θ的式子 来表示，再利用三角函数等相关知识计算出最大值． 解 以AB所在直线为x轴，以线段 AB的中点为原点建立平面直角坐标 系．
解 (1)由题意可知有1a＋ t2＝2t4＝5，故ta＝＝21.∴a＝1. (2)由已知及(1)可得，曲线 C 的方程为xy＝＝t12＋2t. 由第一个方程得 t＝x－2 1代入第二个方程，得 y＝x－2 12，即(x－1)2＝4y 为所求．
【反思感悟】 将曲线的参数方程化为普通方程主要是消 去参数，简称为“消参”．消参的常用方法是代入消元法和 利用三角恒等式消参法两种．
为参数)
1．曲线的普通方程直接地反映了一条曲线上的点的横、 纵坐标之间的联系，而参数方程是通过参数反映坐标 变量x、y间的间接联系．在具体问题中的参数可能有 相应的几何意义，也可能没有什么明显的几何意 义．曲线的参数方程常常是方程组的形式，任意给定 一个参数的允许取值就可得到曲线上的一个对应点， 反过来对于曲线上任一点也必然对应着其中的参数的 相应的允许取值．
3．圆的参数方程中参数的理解
在圆的参数方程中，设点 M 绕点 O 转动的角速度为ω(ω
为常数)转动的某一时刻为 t，因此取时刻 t 为参数可
得圆的参数方程为：yx＝＝rrscions
ωt， ωt (t
为参数)，此时参数
t 表示时间．
若以 OM 转过的角度 θ(∠M0OM＝θ)为参数，可得圆的参

为参数)
名师点睛
1.曲线的普通方程直接地反映了一条曲线上的点的横、 纵坐标之间的联系,而参数方程是通过参数反映坐标变量x、 y间的间接联系.在具体问题中的参数可能有相应的几何意 义,也可能没有什么明显的几何意义.曲线的参数方程常常 是方程组的形式,任意给定一个参数的允许取值就可得到曲 线上的一个对应点,反过来对于曲线上任一点也必然对应着 其中的参数的相应的允许取值．
(1)求常数a； (2)求曲线C的普通方程． 【思维启迪】本题主要应根据曲线与方程之间的关系,可知 点M(5,4)在该曲线上,则点M的坐标应适合曲线C的方程，从 而可求得其中的待定系数,进而消去参数得到其普通方程．
解 (1)由题意可知有1at＋2＝2t4＝5，故ta＝＝21.∴a＝1. (2)由已知及(1)可得，曲线 C 的方程为xy＝＝t12＋2t. 由第一个方程得 t＝x－2 1代入第二个方程，得 y＝x－2 12，即(x－1)2＝4y 为所求．
∴x2＋y2 的最大值为 11＋6 2，最小值为 11－6 2.
题型三 参数方程的实际应用
例3 某飞机进行投弹演习,已知飞机离地面高度为H＝ 2 000 m,水平飞行速度为v1＝100 m/s,如图所示．
(1)求飞机投弹t s后炸弹的水平位移和离地面的高度； (2)如果飞机追击一辆速度为v2＝20 m/s同向行驶的汽车， 欲使炸弹击中汽车，飞机应在距离汽车的水平距离多远处 投弹？(g＝10 m/s2)
点击1 考查圆的参数方程的应用 1.已知圆 C 的参数方程为xy＝＝1c＋ os sαin，α(α 为参数)，以原点为
极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 ρsin θ＝1，则直线 l 与圆 C 的交点的直角坐标为________．

yM
t sin
4
2
2t2 2
x
y
2t 1 2 （0 t 4 2t2
2)
2
公开课资
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三、巩固概念.理解应用 y 跟踪练习
tB
如图所示，已知点A(1，2)，B(5，6)， M•
H
点M是线段AB上的一个动点，试求 点M(x,y)轨迹的参数方程
A
C
O
x
方案二：解：设|MB|=t,易知 BMH ,
cos sin
( R)
x cos
y
sin
(
[0， ])
2
y
1 •M
x •Ox=θcoHsθyM=•s0in θ
-1
思考：这两个参数方程都表示圆C吗？
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四、课堂小结.提升能力
1、知识内容： 知道圆的参数方程以及曲线参数方程的概念； 能选取适当的参数建立参数方程； 通过对圆和直线的参数方程的研究，理解其中参 数的意义。
2、思想与方法：参数思想。
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五、课后作业
课后习题A组练习1、2、3
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谢谢！
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(1) 第一组图中，它们角速度之间的关系是____y____4__x_______；
x 1 t
2
(2) 第二组图中，它们角速度之间的关系是公_开_课__资_y____2_t _______；
4
二、建构概念.突破难点
1.填写下列两个表格，思考方程和方程的区别与联系
方程
xy y 4x
1
2
4
8
3
4
►试一试：能不能找出一个

中央电教馆资源中心制作
2003.12
高三数学参数方程的概念
1、参数方程的概念：
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s 的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾 区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放 时机呢？
投放点
提示： 即求飞行员在离救援点的水平距离 多远时，开始投放物资？
？ 救援点
1、参数方程的概念：
500
o
x
练习1
1、曲线
x
1t2
,(t为参数）
与x轴的交点坐标是(
B
)
y 4t 3
A、（1，4）；B、( 12
5 6
, 0 );
C、(1, 3);
D、 ( 2 5 , 0 ) ; 16
2、方程 yxcsions,(为参数）所表示的曲线上一点的坐标是
（）
A、（2，7）；B、( 1 , 2 ) ; 33
前面得到的规律对这个三角形还成立吗？
勾股定理 （gou－gu theorem）
如果直角三角形两直角边分别为a，b， 斜边为c，那么
a2b2c2
即直角三角形两直角边的平方和等于斜 边的平方.
想一想
小米妈妈买了一部29英寸 （74厘米）的电视机。小 米量了电视机的屏幕后， 发现屏幕只有58厘米长和 46厘米宽，他觉得一定是 售货员搞错了。你同意他 的想法吗？你能解释这是 为什么吗？
x 1 5t
y
2
12t
x 1 5t
所以，点M的轨迹参数方程为
y
Байду номын сангаас
2
12t
参数方程求法: （1）建立直角坐标系, 设曲线上任一点P坐标为 （2）选取适当的参数 （3）根据已知条件和图形的几何性质, 物理意义,

意义, 也可以没有明显意义。 2.同一曲线选取参数不同, 曲线参数方程形
式也不一样
3.在实际问题中要确定参数的取值范围
参数方程的定义：
普通方程：
相对于参数方程来说，前面学过的 直接给出曲线上点的坐标关系的方 程，叫曲线的普通方程.
利用参数方程 x 100t
解决问题
y
500
1 2
gt 2
由上面参数方程回答：
)
o
x
令y 0, 得t 10.10s.
代入x 100t,得 x 1010m.
所以，飞行员在离救援点的水平距离约为1010m时投放物资， 可以使其准确落在指定位置.
例题讲解：
已知曲线C的参数方程是xy
3t 2t
（t为参数） 2＋1
1、判断点M1(0，1)， M2(5，4)与 曲线C的位置关系；
引入
1.曲线上点M（x,y)直接满足方程 f (x , y) =0时；方程f (x , y) =0就 是曲线的方程。
2.当方程中x与y之间的关系不易 发现时，可通过另一个变量寻找 他们的关系;即要找一个参数。
探究活动：
一架救援飞机在离灾区地面 500m高处以100m/s的速度作水平直 线飞行，为使投放的救援物资准确 落于灾区指定的地面（不计空气阻 力），飞行员应如何确定投放时机 呢？
2、已知点M3（6，a）在曲线C上， 求a的值
解（1）把点M1的坐标（0，1） 代 入方程组，解得t＝0，所以 M1 在曲线C上。
把点M2的坐标（1，3）代入 方 程组，方程组无解，所以M2 不 在曲线C上。
(2)因为点M（3 6，a)在曲线C上，所以
ห้องสมุดไป่ตู้6＝3t
a
2t
2

建立点P坐标与参数的函数式 （4）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程
练习1
1、曲线
x
1t2
,(t为参数）
与x轴的交点坐标是(
B
)
y 4t 3
25
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速度作水平直线飞行.
A、（1，4）；B、( , 0 ) ; C、(1, 3); 茅台高级中学数学组 韦亚玉
x 100t,
y
500
1 2
g t 2 .（g=9.8m/s2)
令 y 0, 得t 10.10s.
o
x 代 入 x 1 0 0 t,得 x 1 0 1 0 m .
所 以 ， 飞 行 员 在 离 救 援 点 的 水 平 距 离 约 为 1 0 1 0 m 时 投 放 物 资 ，
可 以 使 其 准 确 落 在 指 定 位 置 .
作业：教材P26 第4题
1 6 即求飞行员在离救援点的水平距离
（1）判断点M1(0, 1)，M2(5, 4)与曲线C的位置关系；
D、 ( 2 5 , 0 。
物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：
重点：理解参数方程的概念
那么方程（2）就叫做这条曲线的参数方程，
B、
C、
D、
点M(5,4)在该 曲线上.
1+2t=5
解: (1)由题意可知:
a=1
at2=4
解得:
t=2
∴ a=1
x=1+2t
(2)由已知及(1)可得,曲线C的方程为: y=t2
由第一个方程得: t x 1
代入第二个方程得:
y
2 (
x
1)2
,
(x1)24y为 所 求 .

在物理学中，参数方程常用于描述周期性运动，如简谐振动、圆 周运动等。
工程设计中的应用
在工程设计中，参数方程常用于描述曲线和曲面，如机械零件的轮 廓曲线、建筑设计中的曲面等。
计算机图形学中的应用
在计算机图形学中，参数方程常用于描述二维或三维图形，如贝塞 尔曲线、旋转面等。
05
圆的参数方程的习题与解 析
基础习题及解析
01
02
03
04
基础习题1
求圆心在原点，半径为3的圆 的参数方程。
基础习题2
已知圆的参数方程为 x=3+4cosθ, y=4+4sinθ，
求该圆的圆心和半径。
基础习题3
将圆的参数方程转换为直角坐 标方程。
基础习题4
已知圆的直角坐标方程为 x^2+y^2=16，求该圆的参
数方程。
进阶习题及解析
高阶习题及解析
高阶习题1
高阶习题2
已知圆的参数方程为x=a+rcosθ, y=b+rsinθ，求该圆在任意点(x,y)处的切线 方程。
已知圆上两点A、B的坐标分别为 (3+2cosθ1, 2+2sinθ1)和(3+2cosθ2, 2+2sinθ2)，求线段AB的中点M的坐标。
高阶习题3
高阶习题4
已知圆的参数方程为x=a+rcosθ, பைடு நூலகம்=b+rsinθ，求该圆在任意点(x,y)处的法线 方程。
进阶习题1
已知圆的参数方程为 x=3+2cosθ, y=2+2sinθ，求
该圆在x轴上的截距。
进阶习题2
将给定的参数方程转换为极坐 标方程。
进阶习题3

|PQ|的最大值是____________.
2.已知点P(x,y)是圆x2+y2-6x-4y+12=0上的动点,求
(1)x+y的取值范围.
(2)点P到直线x+y-1=0的距离d的最值.
【解题探究】1.试述平面上两点间的距离公式.
2.利用圆的参数方程求解相关问题的优点是什么？
探究提示：
1.设平面上两点P(x1,y1),Q(x2,y2)，
参数方程的概念、 圆的参数方程
1.参数方程的概念
(1)一般地，在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐 标x,y都是某个变数t的函数 x f (t)，①.
y g(t)
(2)对于t的每一个允许值,由方程组①所确定的点M(x,y)都在
这条曲线上;
那么方程①就叫做这条曲线的_参__数__方__程__,联系变数x,y的变数 t叫做_参__变__数__,简称参数.相对于参数方程而言,直接给出点的 坐标间关系的方程叫做普通方程.
x cos ，
答案： y sin(θ为参数)
cos ，
sin (θ为参数).
1.曲线的方程的概念 一般地，在直角坐标系中，如果曲线C上的点与一个二元方程 f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系： (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解. (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线.
圆(x-a)2+(y-b)2=r2的参数方程为 y b rsin ， 如图所示,设其圆心为C,CM0∥x轴,则参数θ的几何意义是CM0
绕点C逆时针旋转到CM(M(x,y)是圆上的任一点)位置时转过的
角度.
类型 一 参数方程概念的理解
【典型例题】 1.已知点M(2,-2)在曲线C： x