北京大学数学科学学院2005级研究生保送考试数学分析试卷

2005北京卷试题及答案本试卷分第1卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第1卷l 至2页，第Ⅱ卷3至9页．共150分考试时阃120分钟考试结束，将本试卷和答题卡—并交回第1卷(选择题 共40分)注意事项：1．答第1卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号不能答在试卷上一、本大题共8小题每小题5分共40分在每小题列出的四个选项中．选出符合题目要求的一项(1)设全集U=R ，集合M={x ∣x>l}，P={x ∣x 2>l}，则下列关系中正确的是(A)M=P (B) M P ⊂ (C) P M ⊂ (D) ∅=⋂P M C U (2)“m=21”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0相互垂直”的 (A)充分必要条件 (B)充分而不必要条件 (C)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件 (3)1=．c =a +b ，且c ⊥a ，则向量a 与b 的夹角为 (A)300(B)600(C)1200(D)1500(4)从原点向圆271222+-+y y x =0作两条切线，则该圆夹在两条切线问的劣弧长为 (A)π (B)2π (C)4π (D)6π (5)对任意的锐角α，β，下列不等关系中正确的是(A)sin(α+β)>sin α+sin β (B)sin(α+β)>cos α+cos β (C)cos (α+β)<sin α+sin β (D)cos (α+β)<cos α+cos β(6)在正四面体P —ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，下面四个结论中不成立的是(A)BC∥平面PDF (B)DF ⊥平面PAE(C)平面PDF ⊥平面ABC (D)平面PAE ⊥平面ABC(7)北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为 (A)1412C124C 84C (B)1214C 412A 48A(C)33484121214A C C C (D) 1214C 412A 48C 33A(8)函数xxx f cos 2cos 1)(-=(A)在[0，2π)，(2π，π]上递增，在[π，23π)，(23π，2π]上递减(B)在[0，2π)，[π，23π)上递增，在(2π，π]，(23π，2π]上递减(C)在(2π，π]，(23π，2π]上递增，在[0，2π)，[π，23π)上递减(D)在[π，23π)，(23π，2π]上递增，在[0，2π)，(2π，π]上递减第Ⅱ卷(共110分)注意事项：1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上 2答卷前将密封线内的项目填写清楚二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分把答案填在题中横线上(9)若z l =a+2i ，z 2=3-4i ，且21z z 为纯虚数，则实数a 的值为 (10)已知tan 2α=2，则tan α的值为 ，tan(α+4π)的值为 (11)6)1(xx -的展开式中的常数项是 (用数字作答)(12)过原点作曲线y=xe 的切线，则切点的坐标为 ，切线的斜率为(13) 对于函数()f x 定义域中任意的12,x x (12x x ≠)，有如下结论：①1212()()()f x x f x f x +=； ②1212()()()f x x f x f x ⋅=+； ③2121)()(x x x f x f -->0； ④)2(21x x f +<2)()(21x f x f +当()lg f x x =时，上述结论中正确结论的序号是(14) 已知n 次多项式()n P x =n n n n a x a x a x a ++++--1110如果在一种算法中，计算kx 0(k=2，3，4，…，n)的值需要k-1次乘法，计算30()P x 的值共需要9次运算(6次乘法，3次加法)，那么计算0()n P x 的值共需要 次运算．下面给出一种减少运算次数的算法：00()P x =0a n+1(x )=x P n (x )+1+k a (k=0,l ，2，…，n-1)．利用该算法，计算30()P x 的值共需要6次运算，计算0()n P x 的值共需要 次运算三、解答题：本大题共6小题共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15 （本小题共13分）已知函数a x x x x f +++-=93)(23(I)求)(x f 的单调递减区间；(Ⅱ)若)(x f 在区间[一2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值(16)(本小题共14分)如图,在直四棱柱1111ABCD A B C D -中,12,AB AD DC AA AD DC ====⊥,AC BD ⊥垂足为E(Ⅰ)求证1BD A C ⊥;(Ⅱ)求二面角11A BD C --的大小; (Ⅲ)求异面直线AD 与1BC 所成角的大小(17)(本小题共13分)甲、乙俩人各进行3次射击,甲每次击中目标的概率为12,3(Ⅰ)记甲击中目标的次数为ξ,求ξ的概率分布及数学期望E ξ; (Ⅱ)求乙至多击中目标2次的概率;(Ⅲ)求甲恰好比乙多击中目标2次的概率如图,直线1:(l y kx k =＞0)与直线2:l y kx =-之间的阴影区域(不含边界)记为W ,其左半部分记为1W ,右半部分记为2W(Ⅰ)分别有不等式组表示1W 和2W(Ⅱ)若区域W 中的动点(,)P x y 到12,l l 的距离之积等于2d ,求点P 的轨迹C 的方程;(Ⅲ)设不过原点O 的直线l 与(Ⅱ)中的曲线C 相交于12,M M 两点,且与12,l l 分别交于34,M M 两点.求证△12OM M 的重心与△34OM M 的重心重合(19)(本小题共12分)设数列{}n a 的首项114a ≠,且11214nn n a n a a n +⎧⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩，是偶，是奇,记211,1,2,34n n b a n -=-=⋅⋅⋅(Ⅰ)求23,;a a(Ⅱ)判断数列{}n b 是否为等比数列,并证明你的结论; (Ⅲ)求12lim()n n b b b →∞++⋅⋅⋅设()f x 是定义在[0，1]上的函数，若存在)1,0(∈*x ，使得()f x 在[0，x ]上单调递增，在[x ，1]单调递减，则称()f x 为[0，1]上的单峰函数，x 为峰点，包含峰点的区间为含峰区间对任意的[0，1]上的单峰函数()f x ，下面研究缩短其含峰区间长度的方法（Ⅰ）证明：对任意的12,x x )1,0(∈, 12x x <,若)()(21x f x f ≥，则（0，2x ）为含峰区间；若)()(21x f x f ≤，则（1x ，1）为含峰区间；（Ⅱ）对给定的r （0<r <0.5），证明：存在12,x x )1,0(∈,满足r x x 212≥-，使得由（Ⅰ）确定的含峰区间的长度不大于0.5+r ;(Ⅲ)选取12,x x )1,0(∈,12x x < 由（Ⅰ）可确定含峰区间为（0，2x ）或（1x ，1），在所得的含峰区间内选取3x ,由3x 与1x 或3x 与2x 类似地可确定是一个新的含峰区间．在第一次确定的含峰区间为（0，2x ）的情况下，试确定123,,x x x 的值，满足两两之差的绝对值不小于0.02且使得新的含峰区间的长度缩短到0.34（区间长度等于区间的右端点与左端点之差）2005北京卷试题及答案参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）（1） C （2）B （3）C （4）B （5）D （6）C （7）A （8）A 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（9）38 （10）－34；－71（11）15 （12）(1, e )；e （13）②③ （14）21n (n ＋3)；2n三、解答题（本大题共6小题，共80分） （15）（共13分）解：（I ） 2()369f x x x '=-++． 令()f x ' <0，解得x <－1或x >3，所以函数f (x )的单调递减区间为（－∞，－1），（3，＋∞）．（II ）因为f (－2)＝8＋12－18＋a =2＋a ，f (2)＝－8＋12＋18＋a ＝22＋a ，所以f (2)>f (－2)．因为在（－1，3）上()f x ' >0，所以f (x )在[－1, 2]上单调递增，又由于f (x )在[－2，－1]上单调递减，因此f (2)和f (－1)分别是f (x )在区间[－2，2]上的最大值和最小值，于是有 22＋a ＝20，解得 a ＝－2．故f (x )=－x 3＋3x 2＋9x －2，因此f (－1)＝1＋3－9－2＝－7， 即函数f (x )在区间[－2，2]上的最小值为－7．（16）（共14分）（I ）在直四棱柱ABCD －AB 1C 1D 1中， ∵AA 1⊥底面ABCD ．∴ AC 是A 1C 在平面ABCD 上的射影．∵BD ⊥AC ．∴ BD ⊥A 1C ；（II ）连结A 1E ，C 1E ，A 1 C 1．与（I ）同理可证BD ⊥A 1E ，BD ⊥C 1E ，∴ ∠A 1EC 1为二面角A 1－BD －C 1的平面角． ∵ AD ⊥DC ，∴ ∠A 1D 1C 1=∠ADC ＝90°， 又A 1D 1=AD ＝2，D 1C 1= DC ＝23，AA 1=3且 AC ⊥BD ， ∴ A 1C 1＝4，AE ＝1，EC ＝3，∴ A 1E ＝2，C 1E ＝23， 在△A 1EC 1中，A 1C 12＝A 1E 2＋C 1E 2， ∴ ∠A 1EC 1＝90°， 即二面角A 1－BD －C 1的大小为90°．（III ）过B 作 BF //AD 交 AC 于 F ，连结FC 1， 则∠C 1BF 就是AD 与BC 1所成的角． ∵ AB ＝AD ＝2， BD ⊥AC ，AE ＝1，∴ BF =2，EF ＝1，FC ＝2，BC ＝DC ，∴ FC 1=7，BC 1在△BFC 1中，1cos C BF ∠==∴ ∠C 1BF=arccos 5 即异面直线AD 与BC 1所成角的大小为arccos 5． 解法二：（Ⅰ）同解法一（Ⅱ）如图，以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系连结111 1.,,A E C E AC与(1)同理可证,11,BD A E BD C E ⊥⊥, ∴11A EC ∠为二面角11A ED C --的平面角.由113(0,2A C E得11(,22EA =-13(,22EC =- ∴113930,44EA EC ⋅=--+= ∴11,EA EC ⊥即11.EA EC ⊥ ∴二面角11A ED C --的大小为90（Ⅲ）如图,由(0,0,0)D ,(2,0,0),A 1C B得1(2,0,0),(AD BC =-=- ∴116,2,15,AD BC AD BC ⋅===∴111,6cos ,2AD BC AD BC AD BC ===∵异面直线AD 与1BC 所成角的大小为arccos 5解法三：（Ⅰ）同解法一.（Ⅱ）如图,建立空间直角坐标系,坐标原点为E.连结1111,,A E C E AC.与（Ⅰ）同理可证11,,BD A E BD C E ⊥⊥ ∴11A EC ∠为二面角11A BD C --的平面角由11(0,0,0),(0,1E A C -得11(0,1,3),EA EC =-= ∵11330,EA EC =-+=∴11EA EC ⊥即11,EA EC ⊥ ∴二面角11A BD C --的大小为90（17）（共13分）解：（I ）P (ξ＝0)＝03311()28C =，P (ξ＝1)＝13313()28C =，P (ξ＝2)＝23313()28C =，P (ξ＝3)＝33311()28C =，ξ的概率分布如下表：E ξ＝13310123 1.58888⋅+⋅+⋅+⋅=, （或E ξ=3·21=1.5）； （II ）乙至多击中目标2次的概率为1－3332()3C =1927； （III ）设甲恰比乙多击中目标2次为事件A ，甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次为事件B 1，甲恰击中目标 3次且乙恰击中目标 1次为事件B 2，则A ＝B 1＋B 2， B 1，B 2为互斥事件1231121()()()8278924P A P B P B =+=⋅+⋅=所以，甲恰好比乙多击中目标2次的概率为124（18）（共14分） 解：（I ）W 1={(x , y )| k x <y <－k x , x <0}，W 2={(x , y )| －k x <y <k x , x >0}， （II ）直线l 1：k x －y ＝0，直线l 2：k x ＋y＝0，由题意得2d =, 即22222||1k x y d k -=+， 由P (x , y )∈W ，知k 2x 2－y 2>0，所以 222221k x y d k -=+，即22222(1)0k x y k d --+=,所以动点P 的轨迹C 的方程为22222(1)0k x y k d --+=；（III ）当直线l 与x 轴垂直时，可设直线l 的方程为x ＝a （a ≠0）．由于直线l ，曲线C 关于x 轴对称，且l 1与l 2关于x 轴对称，于是M 1M 2，M 3M 4的中点坐标都为（a ，0），所以△OM 1M 2，△OM 3M 4的重心坐标都为（32a ，0），即它们的重心重合， 当直线l 1与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y =mx +n （n ≠0）由22222(1)0k x y k d y mx n ⎧--+=⎨=+⎩，得2222222()20k m x mnx n k d d -----=由直线l 与曲线C 有两个不同交点，可知k 2－m 2≠0且△=2222222(2)4()()mn k m n k d d +-⨯++>0 设M 1，M 2的坐标分别为(x 1, y 1)，(x 2, y 2)， 则12222mnx x k m +=-, 1212()2y y m x x n +=++,设M 3，M 4的坐标分别为(x 3, y 3)，(x 4, y 4)， 由及y kxy kx y mx n y mx n ⎧==-⎧⎨⎨=+=+⎩⎩得34,n nx x k m k m -==-+ 从而3412222mnx x x x k m +==+-，所以y 3+y 4=m (x 3+x 4)+2n ＝m (x 1+x 2)+2n ＝y 1+y 2, 于是△OM 1M 2的重心与△OM 3M 4的重心也重合． （19）（共12分） 解：（I ）a 2＝a 1+41=a +41，a 3=21a 2=21a +81； （II ）∵ a 4=a 3+41=21a +83, 所以a 5=21a 4=41a +316,所以b 1=a 1－41=a －41, b 2=a 3－41=21(a －41), b 3=a 5－41=41(a －41),猜想：{b n }是公比为21的等比数列·证明如下：因为b n +1＝a 2n +1－41=21a 2n －41=21(a 2n －1－41)=21b n , (n ∈N *) 所以{b n }是首项为a －41, 公比为21的等比数列（III ）11121(1)12lim()lim2()1141122n n n n b b b b b a →∞→∞-+++===---. （20）（共14分）（I ）证明：设x *为f (x ) 的峰点，则由单峰函数定义可知，f (x )在[0, x *]上单调递增，在[x *, 1]上单调递减．当f (x 1)≥f (x 2)时，假设x *∉(0, x 2)，则x 1<x 2<x *，从而f (x *)≥f (x 2)>f (x 1)， 这与f (x 1)≥f (x 2)矛盾，所以x *∈(0, x 2)，即(0, x 2)是含峰区间当f (x 1)≤f (x 2)时，假设x *∉( x 2, 1)，则x *<≤x 1<x 2，从而f (x *)≥f (x 1)>f (x 2)， 这与f (x 1)≤f (x 2)矛盾，所以x *∈(x 1, 1)，即(x 1, 1)是含峰区间 （II ）证明：由（I ）的结论可知：当f (x 1)≥f (x 2)时，含峰区间的长度为l 1＝x 2； 当f (x 1)≤f (x 2)时，含峰区间的长度为l 2=1－x 1； 对于上述两种情况，由题意得210.510.5x rx r +⎧⎨-+⎩≤≤ ①由①得 1＋x 2－x 1≤1+2r ，即x 1－x 1≤2r 又因为x 2－x 1≥2r ，所以x 2－x 1=2r, ② 将②代入①得x 1≤0.5－r, x 2≥0.5－r ， ③ 由①和③解得 x 1＝0.5－r ， x 2＝0.5＋r所以这时含峰区间的长度l 1＝l 1＝0.5＋r ，即存在x 1，x 2使得所确定的含峰区间的长度不大于0.5＋r（III ）解：对先选择的x 1；x 2，x 1<x 2，由（II ）可知 x 1＋x 2＝l ， ④在第一次确定的含峰区间为(0, x 2)的情况下，x 3的取值应满足 x 3＋x 1＝x 2， ⑤由④与⑤可得2131112x x x x =-⎧⎨=-⎩,当x 1>x 3时，含峰区间的长度为x 1．由条件x 1－x 3≥0.02，得x 1－(1－2x 1)≥0.02，从而x 1≥0.34因此，为了将含峰区间的长度缩短到0.34，只要取x 1＝0.34，x 2＝0.66，x 3=0.32。

中南大学2005年研究生入学考试试题考试科目考试科目：：数学分析一、（共30分，每小题10分）（1）求极限2lim 1(),(0);3n n n n x x x →+∞++≥ （2）求极限1lim [()()];n n x x a x a x →+∞++−L（3）设lim ,n n x a →+∞=证明lim ;n n y b →+∞=其中， 0011!,2!()!n n n nn nn k n C x C x C xn y C k n k +++==−L 0,1,,k n =L二、（共20分，每小题10分）分别讨论函数2()f x x =在下列区间中是否一致连续：（1）(,)l l −，这里l 为随便多大的正数；（2）在区间(,)−∞+∞上。

三、（20分）证明下列拉格朗日定理并叙述其几何意义： “若函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 上可导；则在(,)a b 内至少存在一点0x ，使'()()()f b f a f x b a−=−。

” 四、（20分）求半径为R 的球内嵌入有最大体积的圆柱体的体积。

五、（共36分，每小题12分）（1）求积分10,(0)ln b a x x dx b a x −>>∫； （2）求第一类曲面积分22(),Sx y dS +∫∫其中S 为体积221x y z +≤≤的边界； （3）分别研究函数项级数1sin n nx n ∞=∑在下列区间上的一致收敛性：（a ）在2x επε≤≤−上，其中0ε>（b ）在02x π≤≤上。

六、（12分）设{()}n x φ是[0,1]上的非负可积函数序列，且10lim ()n n K x dx φ→+∞=∫存在。

若(0,1]α∀∈，有1lim()0n nx dx αφ→+∞=∫；证明对任何一个[0,1]上的连续函数()f x 都有 10lim ()()(0)nn x f x dx Kf φ→+∞=∫。

2005年考研数学一真题一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分。

答案写在题中横线上）(1)曲线y=x22x+1的斜渐近线方程为。

【答案】y=12x−14【解析】a=limx→∞yx=limx→∞x2(2x+1)x=12b=limx→∞(y−ax)=limx→∞(x22x+1−12x)=limx→∞−x2(2x+1)=−14所以斜渐近线方程为y=12x−14。

综上所述，本题正确答案是y=12x−14。

【考点】高等数学—一元函数微分学—函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(2)微分方程xy′+2y=xlnx满足y(1)=−19的解为。

【答案】y=13xlnx−19x【解析】原方程等价于y′+2yx=lnx 所以通解为y=e−∫2x dx[∫lnx∙e∫2x dx dx+C]=1x2∙[∫x2lnx+C]=13xlnx−19x+C1x2将y(1)=−19代入可得C=0综上所述，本题正确答案是y =13xlnx −19x 。

【考点】高等数学—常微分方程—一阶线性微分方程 (3)设函数u (x,y,z )=1+x 26+y 212+z 218,单位向量n =√3{1,1,1}，则ðu ðn |(1,2,3)= 。

【答案】√33。

【解析】 因为 ðu ðx=x 3,ðu ðy =y 6,ðu ðz =z9所以ðuðn |(1,2,3)=13∙√3+13∙√3+13∙√3=√33综上所述，本题正确答案是√33。

【考点】高等数学—多元函数微分学—方向导数和梯度 (4)设Ω是由锥面z =√x 2+y 2与半球面z =√R 2−x 2−y 2围成的空间区域，Σ是Ω的整个边界的外侧，则∬xdydz +ydzdx +Σzdxdy = 。

【答案】2π(1−√22)R 3。

【解析】∬xdydz +ydzdx +zdxdy = Σ∭3dxdydz Ω=3∫ρ2dρ∫sinφdφπ40R 0∫dθ=2π2π(1−√22)R 3综上所述，本题正确答案是2π(1−√22)R 3。

2005年天津工业大学硕士研究生入学考试试题
试题编号：311（数学分析）数学分析试卷 第 1 页 （共 3 页）考生注意：本试卷共四大题，满分150分，考试时间为3小时；
所有答案均写在答题纸上，在此答题无效。

一.（本题共15小题，每小题8分，满分120分）
1）求极限.n n x x x 2
cos 2cos 2cos lim 2 ∞→2）设证明：.,lim ,01a x x x n
n n n =>+∞→a x n n n =∞→lim 3）证明：（用语言证明）。

24
52lim 222-=+--+→x x x x x δε-4）证明：闭区间[a,b]到[a,b]上的连续函必存在不动点（即：存在)(x f ）。

x x f b a x =∈)(],,[5）设和是任意的二阶连续可导函数，证明： 满)(x ϕ)(x φ)()(x
y x y x z φϕ+=足：022222222
=∂∂+∂∂∂+∂∂y z y y x z xy x z x 6）用“”或“”语言叙述下列概念：
δε-N -εa)数列无界，但不是无穷大量；
}{n a b)数列存在子列收敛于点.
}{n a a 7）证明：
⎩⎨⎧=.
,0,sin )(为有理数为有理数；x x x x f π在是整数）连续。

n n x (=8）设在（a,b ）内连续，则在(a,b)内一致连续的充分必要条件是
)(x f )(x f。