2016年北京大学数学科学学院直博生摸底考试
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北京大学数学科学学院硕士研究生入学考试页数:4
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北大数学系本科课程页数:4
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2018级研究生培养方案-北京大学数学科学学院页数:21
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2015年北京大学数学科学学院应用数学考博专业介绍,考博真题,真题解析
2
【全国百所名校定向保录】 【才思教育由命题组领专业化辅导】
comprehension of the formation and development as well as **************. If possible, I will go on with my study for doctorate degree. In a word, I am looking forward to making a solid foundation for future profession after two years study here.
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考试科目
1
备注
【全国百所名校定向保录】
12. 图像重建与图像处 理
13. 微分方程在图像处 理和信 号分析中的应 用
14. 信息物理融合系统
【才思教育由命题组领专业化辅导】
1. 自我介绍(self-introduce) Good morning. I am glad to be here for this interview. First let me introduce myself. My name is ***, 24. I come from ******,the capital of *******Province. I graduated from the ******* department of *****University in July ,2001.In the past two years I have been prepareing for the postgraduate examination while I have been teaching *****in NO.****middle School and I was a head-teacher of a class in junior grade two.Now all my hard work has got a result since I have a chance to be interview by you . I am open-minded ,quick in thought and very fond of history.In my spare time,I have broad interests like many other youngers.I like reading books, especially those about *******.Frequently I exchange with other people by making comments in the forum on line.In addition ,during my college years,I was once a Net-bar technician.So, I have a comparative good command of network application.I am able to operate the computer well.I am skillful in searching for information in Internet.I am a football fan for years.Italian team is my favorite.Anyway,I feel great pity for our country’s team. I always believe that one will easily lag behind unless he keeps on learning .Of course, if I am given a chance to study ****** in this famous University,I will stare no effort to master a good command of advance ******.
北京大学2016年博士研究生招生简章(校本部)
4
校按有关规定给予处分，直至开除学籍；对在职考生，将通知考生所在单位，由 考生所在单位视情节给予党纪或政纪处分。构成犯罪的，由司法机关依法追究刑 事责任。
十四、信息公开与监督 1、按照“公开、公平、公正”的原则，研究生院或各学院（系、所、中心） 将通过网站公布其博士生招生的相关说明、审核程序、进入复审或复试的名单和 拟录取名单。 、对招生录取过程中出现的争议，报名者可向各学院（系、所、中心）博 士研究生招生委员会提出申诉；若仍有争议，可向北京大学研究生招生办公室提 出申诉。 十五、其他事项 1、2016 年我校继续在多学科交叉领域招收博士研究生，交叉学科情况介绍 详见《2016 年重点交叉学科招生简介》（网址： /zsxx/bszs/bozsjzjml/index.htm）。 2、北京大学医学部、深圳研究生院博士研究生招生及奖助学金等有关信息， 详见其招生简章。 3、若国家在 2016 招生年度出台新的博士研究生招生政策，我校将做相应调 整，并将及时予以公布。
1
3、健康状况符合北京大学研究生入学体检标准。 4、报考专业学位博士者，除满足申请基本条件外，还须符合院系对申请者 提出的相关领域工作年限等条件的要求。 四、报名时间 报名时间从 2015 年 10 月中旬开始，届时详见博士研究生报名公告（网址： /zsxx/wsbm/）。 五、提交报名材料 符合报名条件的人员须按照招生简章、报名公告和院系招生说明的要求在规 定期限内向报考院系提交下列材料（交、寄报名材料地址：考生所报北京大学各 个招生院系研究生教务办公室，具体地点查询网址： /zsxx/dtxx/35835.htm）： 1、北京大学博士研究生入学报名表：请在规定的报名时间内登陆北京大学 研究生招生网（网址：/bm）进行网上报名，上传 相关材料，并打印《报名表》； 2、最高学历、学位证书复印件（应届硕士毕业生提交所在单位研究生院或 研究生部的证明信，在录取后须补交学历学位证明文件，经确认后方可报到注册）； 3、硕士学位论文（应届硕士毕业生可提供论文摘要和论文目录等）； 4、毕业院校的正式成绩单原件； 5、个人陈述（含对报考学科专业的认识、拟定研究计划，3000 字左右，下 载网址：/zsxx/bszs/bobmxx/）； 6、两封所报考学科专业领域内的副教授（含）以上或具有相当专业技术职 称专家的推荐信（下载网址：/zsxx/bszs/bobmxx/）； 7、报考采用“申请-考核制”招生院系的，还需要提交三年内的外语考试成 绩证明复印件，复审时携带原件进行确认（具体要求见各院系招生说明）。2015 年 12 月底，我校将首次举行“北京大学博士研究生英语水平考试”，预计于 2016 年 1 月发布成绩（若有时间变化，另行通知）。该项考试成绩将作为我校采用“申 请-考核制”招生院系认可的有效外语成绩。报考者可根据实际情况在网上报名 时自主选择是否参加该项考试（具体考试时间和地点另行通知）；
校按有关规定给予处分，直至开除学籍；对在职考生，将通知考生所在单位，由 考生所在单位视情节给予党纪或政纪处分。构成犯罪的，由司法机关依法追究刑 事责任。
十四、信息公开与监督 1、按照“公开、公平、公正”的原则，研究生院或各学院（系、所、中心） 将通过网站公布其博士生招生的相关说明、审核程序、进入复审或复试的名单和 拟录取名单。 、对招生录取过程中出现的争议，报名者可向各学院（系、所、中心）博 士研究生招生委员会提出申诉；若仍有争议，可向北京大学研究生招生办公室提 出申诉。 十五、其他事项 1、2016 年我校继续在多学科交叉领域招收博士研究生，交叉学科情况介绍 详见《2016 年重点交叉学科招生简介》（网址： /zsxx/bszs/bozsjzjml/index.htm）。 2、北京大学医学部、深圳研究生院博士研究生招生及奖助学金等有关信息， 详见其招生简章。 3、若国家在 2016 招生年度出台新的博士研究生招生政策，我校将做相应调 整，并将及时予以公布。
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3、健康状况符合北京大学研究生入学体检标准。 4、报考专业学位博士者，除满足申请基本条件外，还须符合院系对申请者 提出的相关领域工作年限等条件的要求。 四、报名时间 报名时间从 2015 年 10 月中旬开始，届时详见博士研究生报名公告（网址： /zsxx/wsbm/）。 五、提交报名材料 符合报名条件的人员须按照招生简章、报名公告和院系招生说明的要求在规 定期限内向报考院系提交下列材料（交、寄报名材料地址：考生所报北京大学各 个招生院系研究生教务办公室，具体地点查询网址： /zsxx/dtxx/35835.htm）： 1、北京大学博士研究生入学报名表：请在规定的报名时间内登陆北京大学 研究生招生网（网址：/bm）进行网上报名，上传 相关材料，并打印《报名表》； 2、最高学历、学位证书复印件（应届硕士毕业生提交所在单位研究生院或 研究生部的证明信，在录取后须补交学历学位证明文件，经确认后方可报到注册）； 3、硕士学位论文（应届硕士毕业生可提供论文摘要和论文目录等）； 4、毕业院校的正式成绩单原件； 5、个人陈述（含对报考学科专业的认识、拟定研究计划，3000 字左右，下 载网址：/zsxx/bszs/bobmxx/）； 6、两封所报考学科专业领域内的副教授（含）以上或具有相当专业技术职 称专家的推荐信（下载网址：/zsxx/bszs/bobmxx/）； 7、报考采用“申请-考核制”招生院系的，还需要提交三年内的外语考试成 绩证明复印件，复审时携带原件进行确认（具体要求见各院系招生说明）。2015 年 12 月底，我校将首次举行“北京大学博士研究生英语水平考试”，预计于 2016 年 1 月发布成绩（若有时间变化，另行通知）。该项考试成绩将作为我校采用“申 请-考核制”招生院系认可的有效外语成绩。报考者可根据实际情况在网上报名 时自主选择是否参加该项考试（具体考试时间和地点另行通知）；
北师大历年博士入学考试题
北师大历年专业博士入学考试试题教育学原理2008（A）1. 从现代教育的基本价值和功能分析教育对个人发展的意义（25 分）2. 试论教学过程的特殊性及对教学工作的意义（25 分）3. 互联网对青少年交往行为的影响并就学校教育由此面临的问题等谈谈你的看法。
（20 分）剩下的一题为各个方向规定选择的试题。
（30 分）今年实行的是3+1 模式。
2008 （B）（其中第2,3两题与教育学A卷一样，希望后来者有借鉴）1. 论述义务教育的基本特征以及政府应该承担的责任.（35 分）0 a O9 H\&d9L#F C'q"e（d4R2. 试论教学过程的特殊性及对教学工作的指导意义（35分）2……3. 论述互联网对青少年学生交往行为的影响并就学校教育由此面临的问题等谈谈你的对策。
（30 分）2007（A）1、试论现代教育的基本价值和功能及其对个人发展的意义。
（35 分）2、谈谈近年来教育研究方法论方面的若干变化及其意义。
（30 分）3、要求根据材料写篇小文章。
材料太长，我的准考证实在抄不下来哦，但是出自《发展教育学年鉴2 00 3 》，首都师大出版社2003 版。
具体内容是关于现代德育方面的。
（35 分）2007（B）1. 现代教育的价值取向以及与人美好生活的关系2. 评析基础教育课程改革的价值取向3. 有关网络道德教育插入：2007 年教育政治学与教育法真题1、怎样理解法律上的权利与义务的概念及分类。
2、试述教育与法律的关系。
（ ?（h8u-u4o7U'n8|4B3、高校与学生的法律关系辨析。
2007 经管学院的博士考试1. 教育财政公平与效率关系；2. 大学生就业难成因与对策分析；3. 各级教育中“市场化”问题分析；4. 择校问题成因分析；5. 分析人力资本理论与筛选理论关于教育作用的观点。
2006（B）1、从教育的本质属性角度，评析“教育产业化”。
2、现在德育概念有泛化的趋势，广义的德育包括（思想政治教育、道德品质教育、法制教育、心理健康教育等）以及狭义的德育（道德品质教育）概念的各自内涵及相互关系。
北京大学2016年数学分析试题及解答
10. 充分性: ∀ε > 0, ∃N > 0, 当 n > m > N 时,
令 x → R− 得
∑n akxk < ε, ∀x ∈ [0, R).
k=m
∑n
∑ ∞
akRk < ε =⇒ anRn 收敛.
k=m
n=1
必要性: 首先注意到
∑ ∞
anxn
=
∑ ∞
anRn
( x )n R
,
n=1
n=1
又因为
中的开集映为开集.
6.
(15
分)
x1
=
√ 2, xn+1
√ = 2 + xn.
证明
{xn}
收敛并求极限值.
7. (15 分) 证明 ∫ +∞ sin x dx 收敛并求值. 写出计算过程.
0
x
8. (15 分)
∫b
(1) 证明存在 [a, b] 上的多项式序列 {pn(x)} 使得 pi(x)pj(x) dx = δij 并使得对于 [a, b] 上的连续函数
准则
(不用证明)
并
i=1
用你叙述的 Cauchy 准则证明闭区间上的单调函数可积.
3. (15 分) (a, b) 上的连续函数 f (x) 有反函数. 证明反函数连续.
4.
(15
分)
f (x1, x2, x3)
是
C2
映射,
∂f ∂x1
(x01
,
x02,
x03
)
̸=
0.
证明
f (x1, x2, x3)
对于任意 n > m, x0 ∈ U, 因为 rank (J (f )|x=x0 ) = m, 不妨设 J (f )|x=x0 的前 m 列是线性无关的. 定义
北京大学数学科学学院关于2016年博士生招生的说明
北京大学数学科学学院关于2016年博士生招生的说明数学科学学院2016年招收博士研究生将试行以综合素质能力为基础的“申请-考核制”。
申请人须按照我校博士生招生简章和我院的相关要求进行报名并提交申请材料。
我院招生委员会将对申请人的材料审核评估后确认是否给予考核资格，并对获得考核资格者进行考核，最后确定是否录取。
一、基本条件1、报名者须身体健康，品行端正，遵守法律、法规和遵守学校的规章制度。
2、申请者必须符合下述条件之一：（1）已获得硕士或博士学位；（2）应届硕士毕业生须在博士入学前取得硕士学位；（3）获得学士学位后，在报考学科、专业或相近领域已工作6年或6年以上（从获得学位到录取为博士生当年的9月1日）的人员只能以同等学力资格申请。
3、健康状况符合北京大学研究生入学体检标准。
二、报名申请1、采取网上申报。
具体时间和程序请于10月中下旬登录北大研究生院主页查询。
2、申请者于2016年1月8日前，向我院研究生教务办公室寄（送）达以下申请材料：（1）通过网上报名系统打印的《报名登记表》；（2）学位、学历证书的复印件（应届硕士毕业生提交所在单位研究生主管部门的证明信）；如果是在国外获得学位，还需要提供教育部留学服务中心出具的《国外学历学位认证书》；（3）硕士期间课程成绩单的原件或复印件（提供复印件的同学须在复试时提交原件）；（4）硕士学位论文（应届硕士毕业生可提供论文摘要和目录等）；（5）两位与所申请学科相关的副教授（或相当于副教授）以上职称专家的推荐信；（模板请在/zsxx/wsbm/上下载）（6）攻读博士学位期间本人想致力研究的问题和设想的陈述书；（模板请在/zsxx/wsbm/上下载）（7）公开发表的学术论文、所获专利和其他原创性研究成果的陈述和证明；（8）英语水平证明（至少一项），请提交复印件：1)北京大学博士研究生英语水平考试；2)T OEFL成绩；3)GRE成绩；4) WSK(PETS 5)考试合格；5)国家英语四级、六级考试成绩；6) 国家英语专业四级考试；7) 雅思成绩；8）英语国家或地区的学位证；以上英语水平证明有效期为三年。
全国大学生数学竞赛模拟试卷六套详解(汪宏喜选编)
2ne e
n
1 ln(2 − 1 ) − (1 + ln 2) 1 − ln(1 − 1 ) > 0 ,为此引入辅助函数
n
n
n
n
g(x) = x ln(2 − x) − (1 + ln 2)x − ln(1 − x)(0 < x < 1) ,只需要证明 g(x) > 0 .
g′(x) = ln(2 − x) − x − (1 + ln 2) + 1 ,
适合 2016-2017 年全国大学生数学竞赛（非数学类）
汪宏喜教授设计选编
2016 年全国大学生数学竞赛模拟试卷（一）
考试形式： 闭卷 考试时间： 150 分钟 满分： 100 分.
一、下列各题（共 24 分,每小题各 6 分,要求写出重要步骤）.
（ 1 ） 设 函 数 f (x) 在 点 x = 0 处 有 定 义 , 且 f (0) = 1 , lim ln(1 − x) + sin x ⋅ f (x) = 0 . 求 x→0 ln(1 + x) ⋅ arctan x
.
∫ ∫ | ∫ 解：
π 2
f (x)dx = 2
π
2 f (x)d
π
π
x = 2 f (x) x 2 − 2 2
xdf (x)
0x
0
0
0
∫ ∫ ∫ π
=− 2
1 dx （令 t = tan x ） = −
0 1 + t;
1 t)(1 +
t
2
dx )
=
1 2
+∞ ⎜⎛ − 0⎝
c
线.
（1）求 f (x), g(x) 使得 f (0) = g(0) = 0 .（2）计算任一条曲线从点 (0,0) 到 (1,1) 积分.
北京大学2016数学科学夏令营初赛-评分标准
延长 QO 交 BC 于 R，由 CBO 90 A ABH ， BOR BHP ， BO BH ．
可得△BOR≌△BHP，从而 BR BP c ．
B
2
于是 cos C CM ，即 a2 b2 c2
1b 2
（20 分）．
CR
2ab
a1c
2
再由 ABC 60 可得 b2 a2 c2 ac ．
若
Px
ax
b（
a
1），则
a1
b a
，
a2
b
1 a
1 a2
，……．
一般的，有 an
b
an a
1
1 an
，由于 an
为整数，故只可能 a
1 ．
但此时 a3 a1 b ，不可能．（20 分）
若 P x 的次数不小于 2．且存在数列an 满足要求．
北京大学北20京16大年学数中学学科生学数夏学奖令营初赛 评分标准
个人能力挑战赛——试题评分标准
2016 年 7 月
本试卷共 4 题，每题 30 分，满分 120 分．考试时间 180 分钟．
1. 由 ABC 60 ．计算可得 BH AC cos B OB OQ ．
从而 BOQH 为菱形．（10 分）
综上即可得证．（30 分）
3. 注意到编号为 1 的牌永远在牌堆上方，编号为 2n 的牌永远在牌堆下方． 去掉这两张牌，只考虑中间 2n 2 张牌．此时相当于将所有从上往下数奇数位置的牌抽 出来，保持顺序放到牌堆的下方．（10 分） 假设此时某张牌在 k 次操作后所在的位置为从上往下数第 ak 张．
2016年北京大学博雅计划测试-物理学科试题及答案解析
2016年北京大学博雅计划测试物理学科注意事项：1．本试卷满分100分，和语文、数学、英语、化学共同测试，每个科目100分； 2．试卷为考生回忆版本，本回忆版本，为部分试题。
1．（1）两个一样的乒乓球，一个涂黑，另一个涂白，一盏白织灯放在两个小球的中间照明一段时间，涂____的球表面更烫。
（2）两个一样的白炽灯，同样一个涂黑一个涂白，将两个灯同时打开一段时间，涂____的白炽灯表面更烫。
2．一个带正电的均匀橡皮气球，在不断被吹大的过程中：（ ） A ．球内电场强度不变 B ．球内电势不变C ．球面上一点受其它电荷的作用力不变D ．气球掠过空间中某一点时，该点的电势变化是连续的3．如图，一个半径为R 的圆状物体中过圆心的杆上有一质量为m 的物体（忽略形状）固定在离圆心R /2处，下面正确的是A ．θ＝10°时，有两个稳定平衡位置B ．θ＝20°时，有一个稳定平衡位置，有一个不稳定平衡位置C ．θ＝30°时，有一个稳定平衡位置D ．θ＝40°时，没有稳定平衡位置4．质子的质量为2938Mev c ，电子的质量为20.511Mevc，其中c ＝3×108m /s ，基态氢原子的能量为-13.6eV ，氢原子从第一激发态跃迁回基态，放出光子的频率为f 1，氢原子从基态跃迁到第一激发态，吸收的光子频率为f 2。
求：1）初始静止的处于第一激发态的氢原子，跃迁回基态后的速度v2）相对偏差121||f f f −5．两个质量为m 的斜劈和一个质量为4m ，半径为R 的球在外力作用下保持如图所示的静止状态，忽略所有摩擦，然后某时刻撤去外力，求球掉到平面上所需要的时间。
6．一个通电螺线管，单位长度上的匝数为n ，长度为L 。
在螺线管中有一个等腰梯形线框，且OAB ，OCD 各在一条直线上，OB ＝OC ＝BC ＝l ，12AO OB =，通电螺线管中通有大小为I ＝kt +m ，（k ，t 为正的常数）的电流，某时刻产生的磁场如图。
2016北京大学金秋营数学试题(部分含答案)
2016 年北京大学优秀中学生数学金秋营试题学科专业能力测试一第一天2016 年 10 月 14 日下午 14:00— 17:301、在△ ABC内部有一点 P 满足∠ PAB=∠PCB=，L在AC上且BL平分∠ ABC，延长 PL 交△ APC的外接圆于 Q。
证明： BQ平分∠ AQC.2、对于f(的一个排列)={.}定义函数求所有的排列中，f() 的最小值。
3、求所有正整数a,b,c满足对任意实数u,v,0≤u＜v≤1. 存在正整数n, 使得{} ∈(u,v)成立 .4、设 p 为奇素数， p≡1(mod 4). 正整数 a,b 满足-p =1. 设 q 也为奇素数，(q,bp)=1.考虑同余方程-2a +1≡0(mod q). 证明下述 3 个论述等价 :（1） p 为模 q 的二次剩余；（2）同余方程存在一个解；（3）同余方程存在四个互不相同的解。
学科专业能力测试二第二天2016 年 10 月 15 日上午 09:00-12 ： 005、设函数 f(x)=, 且 x∈[-1,1]时，|f(x)|≤1，求|| 的最大可能值。
6、一个班里有 50 人，相互之间发短信，若在三个人 A,B,C 之间，仅有 A 给 B 发过短信， B 给 C 发过短信， C给 A 发过短信。
则称 A,B,C 三个人构成一个“循环”，试求这 50 个人中“循环”个数的最大可能值。
7、试求所有正整数 a, 使得对任意正整数 k , 都存在正整数 n, 使得 an+2016 是一个正整数的 k 次方。
8、对（ 0，1）中的实数称其中两个为相邻的，如果这两个数的十进制表示中只有一位不同，是否可以将（ 0，1）中的实数 10 染色，使得任意两个相邻的数颜色都不相同？【部分试题参考解答】第 6 题参考解答第 7 题参考解答。
北京大学数学科学学院考博计算数学专业考博笔记考博参考书考博真题
北京大学数学科学学院计算数学专业考博考试复习资料-育明考博一、北京大学数学科学学院计算数学专业考博考试内容分析（育明考博辅导中心)专业招生人数初审复试内容070102计算数学年份计划招生数推荐直博人数申请—考核制我院将根据各专业的具体要求对申请者的专业能力进行考核，方式为面试和笔试相结合。
考核时间一般安排在3月上中旬2016年62人47人育明考博辅导中心王老师解析：①北京大学数学科学学院计算数学专业考博的报录比平均在3:1左右②本专业有33个研究方向：01.有限群及其模表示论02.置换群及代数组合论03.球堆积与密码04.拓扑学05.低维拓扑06.微分几何及其应用07.微分几何08.子流形的整体微分几何09.非线性分析10.几何分析11.微分几何与PDE12.常微分方程与动力系统13.微分遍历论14.微分动力系统15.动力系统和哈密顿系统16.非线性偏微分方程17.代数几何18.偏微分方程及其应用19.密码学与信息安全理论20.数论：算术几何，p-进上同调21.调和分析及其应用22.李群及其作用23.调和分析与偏微方程24.表示理论与数学物理25.偏微分方程与几何分析26.共形几何与微分方程、广义相对论中的微分几何27.辛几何与数学物理28.微分几何与数学物理29.偏微分方程与数学物理30.拓扑量子计算31.组合数学；图论32.调和分析与非线性发展方程33.几何群论③以同等学力资格申请的申请者，还须提交两篇公开发表的学术论文复印件。
④2016年北京大学实行“申请—考核制”，没有提供雅思、托福等英语成绩等级证明的同学，需要参加“北京大学博士研究生英语水平考试”。
育明教育考博分校针对北京大学计算数学专业考博开设的辅导课程有：考博英语课程班·专业课课程班·视频班·复试保过班·高端协议班。
每年专业课课程班的平均通过率都在80%以上。
根植育明学校从2006年开始积累的深厚高校资源，整合利用历届育明优秀学员的成功经验与高分资料，为每一位学员构建考博成功的基础保障。
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七.(30 分) 欧式平面上保向的等距变换的一个子群 G，其中每一个非恒同的变换 g 都没有不动点，而且每一个平面上的点 p 在群 G 的作用下得到的轨道 (即点集 {g(p)|g ∈ G}) 在平面上无聚点。证明 G 可由一个或两个平移变换生成, 即 G = {nα|n ∈ Z} 或 G = {nα + mβ|n, m ∈ Z}，其中 Z 为整数集，n, m 为任意整数,α, β 为线性无关的平移 向量 (也表示其对应的平移变换)。nα + mβ 即对应线性组合所表示的平移
问题。
三.(40 分) 设 z = z(x, y) 为上题所述的函数，Ωδ 是原点 (0, 0) 的 δ 领域，当 δ 充分 小时, 证明如下极限存在并求之
∫∫
lim t
e−tz(x,y)dxdyt→+∞Ωδ四.(20 分) 设 A 是一个 2 阶复方阵，考虑 2 阶复方阵的线性空间 M2(C) 上的线性 变换
2
2016 年北京大学数学科学学院直博生摸底考试
2016.4.9 9:00-11:00
一. 证明题 (30 分，每小题 15 分) (1). 设 f (x) 在 (−∞, +∞) 上可导，且 f ′(x) > f (x), ∀x ∈ (−∞, +∞), 证明：f (x) 至多只有一个零点。
(2). 设 f (x) 在 (−∞, +∞) 上二阶可导，且 f ′′(x) > f (x), ∀x ∈ (−∞, +∞), 证明： f (x) 至多只有两个零点。
二.(30 分) 设 Φ(x, y, z) 是原点 O 某个领域上的 C∞ 函数，且 φ, Φx, ΦyΦxz, Φyz 在
原点
O
处为
0,Φxx, Φyy
在
O
处为
1，Φxy (O)
=
1 2 , Φz(O)
=
−1, 2
则
Φ(x, y, z)
在
O
的领
域存在隐函数 z = z(x, y)(已知 f (0, 0) = 0), 试讨论 z = z(x, y) 在 (0, 0) 点附近的极值
ϕA : M2(C) → M2(C); X → AX − XA ,
试确定 dim(ker(ϕA)) 的所有可能的取值
1
五.(30 分) 证明有理数域上的两个 n 阶方阵
A=
0
0 ...
1
0 ...
··· ... ...
1 ...
1
B
=
0
1 ...
0
0 ...
··· ... ...
0 ...
0
0 ··· 0 0
1 ··· 1 0
试证明两矩阵是相似的，并求出一个矩阵 T ，使得 A = T −1BT
六.(20 分)R[x] 中有多项式 f (x) = x4 + a1x3 + a2x2 + a3x + a4, 试用系数 a1, a2, a3, a4 的关系式给出 f (x) 能表达成某个不可约二次多项式 g(x) 之平方的充分必要条件