河北省石家庄市普通高中2023届数学高一上期末调研试题含解析

2023-2024学年河北省邢台市部分重点高中高一（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．下列说法正确的是（）A．∅∈{0}B．0⊆N C．∈Q D．{﹣1}∈Z2．使|x|≤1成立的一个必要不充分条件是（）A．﹣1≤x≤1B．0＜x≤1C．x≤1D．﹣1＜x＜13．已知a＞b，且ab≠0，则（）A．a2＞ab B．a2＞b2C．D．4．一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解为{x|﹣2＜x＜3}，那么ax2﹣bx+c＞0的解集为（）A．{x|x＞3或x＜﹣2}B．{x|x＞2或x＜﹣3}C．{x|﹣2＜x＜3}D．{x|﹣3＜x＜2}5．我国古代数学家李善兰在《对数探源》中利用尖锥术理论来制作对数表，他通过“对数积”求得ln2≈0.693，，由此可知ln5的近似值为（）A．1.519B．1.726C．1.609D．1.3166．函数的单调递减区间是（）A．（﹣5，3]B．[3，11）C．（﹣∞，3]D．（11，+∞）7．已知tanθ＝2，则sin2θ+sinθcosθ＝（）A．B．C．D．8．已知α∈（0，π），若，则＝（）A．B．C．D．二、选择题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．集合，集合A还可以表示为（）A．{3，6}B．{x|x（x2﹣3x+2）＝0}C．{0，1，2}D．{x∈N|﹣1≤x＜3}10．使“0＜x＜1”成立的一个必要不充分条件可以是（）A．x≥0B．x≤0或x≥1C．0＜x＜2D．x＜011．下列函数中，在区间（﹣∞，0）上为减函数的是（）A．y＝﹣x B．y＝|x|C．D．y＝x+312．若a＜b＜0，下列不等式中不成立的是（）A．B．C．|a|＞﹣b D．b2＞a2三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。

石家庄市2022—2023学年第二学期高一级部期末考试数学试题（答案在最后）一、单选题1.已知复数z 满足()()1i i z a =-+，若复数z 的模为，则实数=a （）A.1 B.2C.3D.0【答案】D 【解析】【分析】先化简复数z ，再根据复数z 的模为求实数a 即可.【详解】()()()21i i =i i i 11i z a a a a a =-++--=++-,因为复数z ，所以z ==0a ∴=故选:D .2.某校高一年级15个班参加朗诵比赛的得分如下：858788898990919192939393949698则这组数据的40%分位数为（）A.90B.91C.90.5D.92【答案】C 【解析】【分析】根据百分位数的定义计算即可.【详解】由题意，150.46⨯=，故这组数据的40%分位数为从小到大第6，7位数据的平均数，即909190.52+=.故选：C3.在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1AD 与1DC 所成的角的大小为（）A.30︒ B.45︒C.60︒D.90︒【答案】C 【解析】【分析】连接1,BD BC ，则得1AD ∥1BC ，从而得1BC D ∠为异面直线1AD 与1DC 所成的角，然后在三角形1BC D 中可得答案【详解】解：连接1,BD BC ，因为11AB D C =,AB ∥11D C ，所以四边形11ABC D 为平行四边形，所以1AD ∥1BC ，所以1BC D ∠为异面直线1AD 与1DC 所成的角，在正方体1111ABCD A B C D -中，11BD BC DC ==，所以三角形1BC D 为等边三角形，所以160BC D ∠=︒，所以异面直线1AD 与1DC 所成的角的大小为60︒，故选：C【点睛】此题考查异面直线所成的角，属于基础题4.在钝角ABC 中，已知AB =，1AC =，30B ∠=︒，则ABC 的面积是（）A.2B.34C.32D.34【答案】B 【解析】【分析】根据正弦定理求出C ，进而算出A ，最后由三角形面积公式得到答案.【详解】由正弦定理，1sin sin sin 302C C =⇒=︒，若60C =︒，则ABC 为直角三角形，不合题意；所以120C =︒，则1801203030A =︒-︒-︒=︒,所以131sin 3024S ABC =⨯︒=.5.已知在边长为6的等边三角形ABC 中，12BD DC = ，则AD AC ⋅= （）A.24 B.6C.18D.24-【答案】A 【解析】【分析】由已知条件将AD 用,AB AC表示出来，然后再计算AD AC ⋅ 即可【详解】因为12BD DC =，所以11()33BD BC AC AB ==- ,所以121()333AD AB BD AB AC AB AB AC=+=+-=+因为边三角形ABC 的边长为6，所以66cos6018AC AB ⋅=⨯︒=，所以2133AD AC AB AC AC⎛⎫⋅=+⋅ ⎪⎝⎭22133AB AC AC =⋅+2118362433=⨯+⨯=，故选：A6.从四双不同的鞋中任意取出4只,事件“4只全部不成对”与事件“至少有2只成对”（）A.是对立事件B.不是互斥事件C.是互斥但不对立事件D.都是不可能事件【答案】A 【解析】【分析】从4双不同的鞋中任意摸出4只,可能的结果为:“恰有2只成对”,“4只全部成对”,“4只都不成对”,即可求得答案.【详解】从4双不同的鞋中任意摸出4只,可能的结果为:“恰有2只成对”,“4只全部成对”,“4只都不成对”,故:事件“4只全部成对”的对立事件为“恰有2只成对”+“4只都不成对”=“至少有两只不成对”.∴事件“4只全部不成对”与事件“至少有2只成对”是:对立事件.【点睛】本题主要考查了判断2个事件是否是对立事件,解题关键是掌握对立事件概念和结合实际问题具体分析,考查了分析能力,属于基础题.7.设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是（）A.若m αβ= ，n ⊂α，n m ⊥，则n β⊥.B.若m α⊥，//m n ，n β⊂，则αβ⊥.C.若//m α，//n α，则//m n .D.若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n .【答案】B 【解析】【分析】对于A ，由面面垂直的性质定理判断即可；对于B ，由面面垂直的判定定理判断即可；对于C ，由线面平行的性质判断；对于D ，由面面平行的性质判断即可【详解】解：对于A ，当m αβ= ，n ⊂α，n m ⊥，且αβ⊥时，才能得到n β⊥，所以A 错误；对于B ，当m α⊥，//m n 时，得n α⊥，因为n β⊂，所以由面面垂直的判定定理可得αβ⊥，所以B 正确；对于C ，当//m α，//n α时，m ，n 可能平行、可能相交、可能异面，所以C 错误；对于D ，当//αβ，m α⊂，n β⊂时，m ，n 可能平行、可能异面，所以D 错误，故选：B8.圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角（即ABC ∠）为26.5 ，夏至正午太阳高度角（即ADC ∠）为73.5 ，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB 的长）为a ，则表高（即AC 的长）为（）A.sin532sin 47a ︒︒B.2sin 47sin53a ︒︒C.tan 26.5tan 73.5tan 47a ︒︒︒D.sin 26.5sin 73.5sin 47a ︒︒︒【答案】D 【解析】【分析】先求BAD ∠，在BAD 中利用正弦定理求AD ，在Rt ACD 中即可求AC .【详解】73.526.547BAD ∠=-= ，在BAD 中由正弦定理得：sin sin BD AD BAD ABD=∠∠，即sin 47sin 26.5a AD= ，所以sin 26.5sin 47a AD =，又因为在Rt ACD 中，sin sin 73.5ACADC AD=∠= ，所以sin 26.5sin 73.5sin 73.5sin 47a AC AD =⨯=,故选：D【点睛】本题主要考查了解三角形应用举例，考查了正弦定理，属于中档题.二、多选题9.某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险．各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种的参保客户进行抽样调查，得出如下统计图例，则以下四个选项正确的是（）A.1829-周岁人群参保总费用最少B.30周岁以上的参保人群约占参保总人群的20%C.54周岁以上的参保人数最少D.丁险种更受参保人青睐【答案】ACD 【解析】【分析】根据统计图表给出信息逐个选项判断.【详解】对于A ：由第一个图可得54周岁及以上的参保人数最少，占比为130%33%20%17%---=，其余年龄段的参保人数均比1829-周岁人群参保人数多.由第二个图可得，因为20%400017%6000⨯<⨯，所以1829-周岁人群参保总费用最少，故A 对.对于B ：由第一个图可得，30周岁以上的参保人群约占参保总人群的80%，故B 错.对于C ：由第一个图可得，54周岁及以上的参保人数占参保总人数的130%33%20%17%---=，所以C 对.对于D ：由第三个图可得，丁险种参保人群约占参保总人群的55%，所以最受青睐，所以D 对.故选：ACD.10.已知z C ∈，则下列命题正确的是（）A.若z z =，则z 为纯虚数B.若()i 12i z =-，则z 的虚部为1C.i z a =+（a ∈R ）且z =，则1a =D.若1z =，则1z +的最大值为2【答案】BD 【解析】【分析】根据复数的定义，以及复数的运算，以及复数的几何意义，分别判断选项.【详解】A.若z z =，则z 是实数，故A 错误；B.若()i 12i i 2z =-=+，则z 的虚部为1，故B 正确；C.z ==1a =±，故C 错误；D.若1z =，则其复数z 对应的向量OZ的终点在以原点为圆心的单位圆上，1z +的几何意义表示，单位圆上的点与定点()1,0-的距离，很显然，点()1,0与()1,0-的距离最大，最大值是2，故D 正确.故选：BD11.下列命题中，正确的是（）A.在ABC 中，A B ∠>∠是sin sin A B >的充要条件B.在锐角ABC 中，不等式sin cos A B >恒成立C.在ABC 中，若cos cos a A b B =，则ABC 是等腰直角三角形D.在ABC 中，若60B =︒，2b ac =，则ABC 是等边三角形【答案】ABD 【解析】【分析】对于A ，应用正弦定理及三角形中大边对大角以及充要条件的定义即可判断正误；对于B 由锐角三角形易得022A B ππ>>->，根据锐角正弦函数的大小关系及诱导公式即可判断正误；对于C 由正弦定理边角关系，结合三角形内角的性质判断内角A 、B 的数量关系；对于D 利用余弦定理，结合已知得2()0a c -=，进而判断△ABC 的形状.【详解】解：对于A ：若sin sin A B >，而sin sin a bA B=，即a b >，故A B >，同理，若A B >，即a b >，而sin sin a bA B=，故sin sin A B >，所以A B ∠>∠是sin sin A B >的充要条件，故A 正确；对于B ：由锐角△ABC 知：2A B π+>，即022A B ππ>>->，则sin sin()cos 2A B B π>-=，故B 正确；对于C ：由题设得sin cos sin cos A A B B =，可得sin 2sin 2A B =，又,(0,)A B π∈，则22A B =或22A B π+=，即A B =或2A B π+=，故△ABC 为等腰或直角三角形，故C 错误；对于D ：由题设，2221cos 22a cb B ac +-==，即222ac a c b =+-，又2b ac =，所以22ac a c ac =+-，故2()0a c -=，即a c =，又60B =︒，所以a b c ==，故△ABC 必是等边三角形，故D 正确.故选：ABD.12.棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是线段1A B 上的动点，下列正确的是（）A.1AMD ∠的最大值为90°B.11DC D M⊥C.三棱锥1M DCC -的体积为定值 D.1AM MD +的最小值为4【答案】BC 【解析】【分析】对A，令1(01)A M t =≤≤，在1AA M △中，根据余弦定理求得2AM ，再在1AMD △中根据余弦定理求解1cos AMD ∠的表达式，判断出当102t <<时，1cos 0AMD ∠<即可；对B ，根据线面垂直的性质与判定，证明1C D ⊥平面11A BCD 即可；对C ，根据体积公式结合长方体的性质证明即可；对D ，把1AA B 与矩形11A BCD 展开在同一平面内，再分析最小值即可【详解】对A ，在正方体1111ABCD A B C D -中，连接11,,AD AM D M ，如图，而2AB =，则1A B =，令1(01)A M t =≤≤，在1AA M △中，145AA M ∠=，由余弦定理得22222)22cos 45884AM t t =+-⨯⨯=-+ ，根据线面垂直的性质有111D A A M ⊥，则222212)48D M t =+=+，1AMD △中，1AD =，222111118(21)cos 22AM D M AD t t AMD AM D M AM D M +--∠==⋅⋅，当102t <<时，1cos 0AMD ∠<，即1AMD ∠是钝角，A 不正确；对B ，因11A D ⊥平面11CDD C ，1C D ⊂平面11CDD C ，则111A D C D ⊥，正方形11CDD C 中，11CD C D ⊥，1111A D CD D ⋂=，111,A D CD ⊂平面11A BCD ，于是得1C D ⊥平面11A BCD ，又1D M ⊂平面11A BCD ，因此，11D M C D ⊥，B 正确；对C ，由题意，M 到平面1DCC 的距离为定值BC ，故1113M DCC DCC V S BC -=⋅ 为定值，C 正确；对D ，把1AA B 与矩形11A BCD 展开在同一平面内，连接1AD 交1A B 于点M '，如图，在1AA D △中，1135AA D ∠=，由余弦定理得：1AD ==因点M 在线段1A B 上，111AM MD AD AM M D ''+≥=+，当且仅当点M 与M '重合时取“=”，所以1AP PD +的最小值为，D 错误；故选：BC三、填空题13.为响应自己城市倡导的低碳出行，小李上班可以选择自行车，他记录了100次骑车所用时间（单位：分钟），得到频率分布直方图，则骑车时间的众数的估计值是_____分钟【答案】21【解析】【分析】利用最高矩形底边的中点值即为样本数据的众数可得结果.【详解】由频率分布直方图可知，骑车时间的众数的估计值是2022212+=分钟.故答案为：21.14.2(1i)(2i)i ---=___________.【答案】3i -【解析】【分析】根据题意，由复数的四则运算，即可得到结果.【详解】原式2i 2i 13i 1--+-==--.故答案为：3i -.15.已知向量()4,2a = ，向量()2,1b k k =-+，若a b a b +=- ，则k 的值为______．【答案】5【解析】【分析】由条件求得0a b ⋅= ，再根据数量积的坐标表示求k .【详解】a b a b +=- ，两边平方后得0a b ⋅= ，即()()42210k k -++=，解得：5k =.故答案为：516.已知长方体1111ABCD A B C D -的体积为接球的体积为__．【答案】52133π【解析】【分析】设矩形ABCD 的边长分别为a ，b ，利用基本不等式求出4a b ==时，表面积取得最小值，设此时长方体的外接球的半径为r ，利用勾股定理求出r ，即可求出外接球的体积.【详解】设矩形ABCD 的边长分别为a ，b ，由题意可得=，16ab ∴=，长方体的表面积为：22()32)32ab a b a b ++=+++当且仅当4a b ==时，表面积取得最小值，此时长方体的外接球的半径为r，2r =，r ∴=343r π=．故答案为：52133．四、解答题17.已知复数1i z a =+，21i z =-，其中a 是实数.（1）若212i z =-，求实数a 的值；（2）若12z z 是纯虚数，求23202311112222z z z z z z z z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【答案】（1）1-（2）1-【解析】【分析】（1）根据给定的条件，利用复数乘方运算及复数相等求出a 的值.（2）利用复数除法结合纯虚数的定义，求出12z z ，再利用i 乘方的周期性求解作答.【小问1详解】复数1i z a =+，则2212i)(1i )2(2i a a z a +=+==--，又a 是实数，因此21022a a ⎧-=⎨=-⎩，解得1a =-，所以实数a 的值是1-.【小问2详解】复数1i z a =+，21i z =-，R a ∈，则12i (i)(1i)(1)(1)i 11i 1i (1i)(1i)222z a a a a a a z +++-++-+====--+，因为12z z 是纯虚数，于是102102a a -⎧=⎪⎪⎨+⎪≠⎪⎩，解得1a =，因此12i z z =，又1234i i,i 1,i i,i 1==-=-=，则*4342414N ,i i,i 1,i i,i 1n n n n n ---∈==-=-=，即有*4342414N ,i i i i 0n n n n n ---∈+++=，所以2320232342311112222(()(505(i i i i )i i i i 1i 1z z z z z z z z ++++=++++++=--=- .18.某校为了解高一学生在五一假期中参加社会实践活动的情况，抽样调查了其中的100名学生，统计他们参加社会实践活动的时间（单位：小时），并将统计数据绘制成如图的频率分布直方图．（1）估计这100名学生在这个五一假期中参加社会实践活动的时间的平均数；（2）估计这100名学生在这个五一假期中参加社会实践活动的时间的75百分位数（结果保留两位小数）．【答案】（1）平均数为20.32（2）23.86【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图求出a 的值，然后求平均数即可；（2）根据75百分位数确定所在区间，再计算即可.【小问1详解】由频率分布直方图可得：(0.020.060.0750.025)41a ++++⨯=，解得0.07a =，所以这100名学生在这个五一假期中参加社会实践活动的时间的平均数为：(0.02120.06160.075200.07240.02528)420.32⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=.【小问2详解】75百分位数即为上四分位数，又∵(0.020.060.075)40.62++⨯=，(0.020.060.0750.07)40.9+++⨯=，∴上四分位数位于22~26之间，设上四分位数为y ，则220.750.6226220.90.62y --=--，解得132223.867y =+≈．19.如图，在ABC 中，342,,cos 25AB DC A CB ===的垂直平分线交边AC 于点D．（1）求AD 的长；（2）若AD AB >，求sin ACB ∠的值．【答案】（1）52AD =或710；（2）5sin 5ACB ∠=．【解析】【分析】（1）在ADB 中，利用余弦定理可求出AD 的长；（2）由（1）可得52AD =，在ABC 中，由余弦定理求出BC ，再利用正弦定理可求出sin ACB ∠的值【详解】解：（1）在ADB 中，2224cos 25AD AB BD A AD AB +-==⋅，整理得22064350AD AD -+=，即()()251070AD AD --=，所以52AD =或710．（2）因为AD AB >，由（1）得52AD =，所以4AC AD DC =+=．在ABC 中，由余弦定理得2224362cos 41622455BC AB AC AB AC A =+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=．所以5BC =．由4cos 5A =，得3sin 5A ==．在ABC 中，由正弦定理得sin sin BC AB A ACB∠∠=，即253sin 5ACB ∠=，所以sin 5ACB ∠=．20.如图，四边形ABCD 是边长为4的菱形，60,C PA ∠=⊥ 平面.ABCD 将菱形ABCD 沿对角线BD 折起，使得C 点到达点Q 的位置，且平面QBD ⊥平面ABD ．（1）求证：//PA 平面QBD ；（2）若PA =ABDQP 体积．【答案】（1）证明见解析；（2）12．【解析】【分析】（1）取BD 中点H ，连接QH ，由已知可得QH BD ⊥，平面QBD ⊥平面ABD ，得QH ⊥平面ABD ，所以//PA QH ，可得答案．（2）算出P ABD V -利用P BDQ A BDQ V V --=，可得ABDQP P ABD P BDQ P ABD Q ABD V V V V V ----=+=+.【详解】（1）取BD 中点H ，连接QH ，四边形ABCD 是边长为4的菱形，60C ∠= ，则QBD △为正三角形，所以QH BD ⊥，而平面QBD ⊥平面ABD ，平面QBD ⋂平面,ABD BD QH =⊂平面QBD ，所以QH ⊥平面ABD ，因为PA ⊥平面ABD ，所以//PA QH ，PA ⊄平面QBD ，所以//PA 平面QBD ．（2）依题意，211344334P ABD ABD V S PA -=⋅=⨯⨯= ，由（1）知，//PA 平面QBD ，所以点P 到平面QBD 的距离与点A 到平面QBD 的距离相等，则P BDQ A BDQ V V --=，而211348334A BDQ Q ABD ABD V V S QH --==⋅=⨯⨯⨯= ，所以多面体ABDQP 的体积为4812ABDQP P ABD P BDQ P ABD Q ABD V V V V V ----=+=+=+=.21.记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos tan 1sin A B A=+.（1）若2π3C =，求B ；（2）求222a b c+的最小值.【答案】（1）π6（2）5【解析】【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将cos tan 1sin A B A=+化成()cos sin A B B +=，再结合π02B <<，即可求出；（2）由（1）知，π2C B =+，π22A B =-，再利用正弦定理以及二倍角公式将222a b c+化成2224cos 5cos B B+-，然后利用基本不等式即可解出．【小问1详解】因为cos sin 1sin cos A B A B =+，即()1sin cos cos sin sin cos cos 2B A B A B A B C =-=+=-=，而π02B <<，所以π6B =；【小问2详解】由（1）知，sin cos 0B C =->，所以πππ,022C B <<<<，而πsin cos sin 2B C C ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以π2C B =+，即有π22A B =-，所以ππ3π0,,,424B C ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以222222222sin sin cos 21cos sin cos a b A B B B c C B+++-==()2222222cos 11cos 24cos 555cos cos B B B B B -+-==+-≥=．当且仅当22cos 2B =时取等号，所以222a b c+的最小值为5-．22.设四边形ABCD 为矩形，点P 为平面ABCD 外一点，且PA ⊥平面ABCD ，若1==PA AB ，2BC =.（1）求PC 与平面PAD 所成角的正切值；（2）在BC 边上是否存在一点G ，使得点D 到平面PAG ，若存在，求出BG 的值，若不存在，请说明理由；（3）若点E 是PD 的中点，在PAB 内确定一点H ，使CH EH +的值最小，并求此时HB 的值.【答案】（1）5；（2）存在，1BG =；（3）,,C H E '三点共线，3HB =.【解析】【分析】（1）由线面垂直的判定定理可得CD ⊥平面APD ，得到PC 与平面APD 所成角为CPD ∠，在直角CPD △中，即可求解直线PC 与平面PAD 所成角的正切值；（2）假设BC 边上存在一点G 满足题设条件，作DQ AG ⊥，得到DQ ⊥平面PAG ，求得DQ =，得到1BG =，即可得到答案.（3）延长CB 到C '，使BC BC '=，由线面垂直的判定定理,可得CB ⊥平面APB ，得出C '是点C 关于面APB 的对称点，连接C E '交面APB 于H ，得到点H 是使CH EH +的值最小时，进而求得HB 的长度.【详解】（1）因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以CD PA ⊥，又因为底面ABCD 是矩形，所以CD AD ⊥，由线面垂直的判定定理可得CD ⊥平面APD ，所以PC 与平面APD 所成角为CPD ∠，在直角PAD 中，1,2PA AD ==，可得PD ==,又由1CD =,在直角CPD △中，可得5tan 5CD CPD PD ∠==，即直线PC 与平面PAD 所成角的正切值为5.（2）假设BC 边上存在一点G 满足题设条件，作DQ AG ⊥，又因为,DQ PA PA AG A ⊥= ，可得DQ ⊥平面PAG ，所以DQ =，此时点G 为BC 的中点，所以1BG =故存在点G ，当1BG =时，使点D 到平面PAG .（3）延长CB 到C '，使得BC BC '=，因为PA ⊥平面ABCD ，CB ⊂平面ABCD ，所以CB PA ⊥，又因为底面ABCD 是矩形，所以CB AB ⊥，由线面垂直的判定定理,可得CB ⊥平面APB ，则C'是点C关于面APB的对称点，连接C E'，交面APB于H，则点H是使CH EH+的值最小时，在面APB上的一点.作EM DA⊥于M，则点M是AD的中点，连接C M'交AB于N，连接HN，则12AM ANBC NB=='，所以23HNEM=，又12EM=，所以13HN=，而2233BN AB==，所以3HB==.【点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征，线面位置的关系的判定及应用，以及直线与平面所成角的求解，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，以及线面角的求解方法是解答的关键，着重考查推理与运算能力.。

高一数学期末考试试卷及答案2023高一上学期数学期末考试试卷及答案考号班级姓名一、选择题(每小题5分，共60分)1.已知a=2，集合A={x|x≤2}，则下列表示正确的是( ).A.a∈AB.a/∈ AC.{a｝∈AD.a⊆A2.集合S={a，b｝，含有元素a的S的子集共有( ).A.1个B.2个C.3个D.4个3.已知集合M={x|x3｝，N={x|log2x1｝，则M∩N=( ).A. B.{x|04.函数y=4-x的定义域是( ).A.[4，+∞)B.(4，+∞)C.-∞，4]D.(-∞，4)5.国内快递1000g以内的包裹的邮资标准如下表：运送距离x (km) 0邮资y (元) 5.00 6.00 7.00 8.00 …如果某人在南京要快递800g的包裹到距南京1200km的某地，那么他应付的邮资是( ).A.5.00元B.6.00元C.7.00元D.8.00元6.幂函数y=x(是常数)的图象( ).A.一定经过点(0，0)B.一定经过点(1，-1)C.一定经过点(-1，D.一定经过点(1，1)7.0.44，1与40.4的大小关系是( ).A.0.4440.41B.0.44140.4C.10.4440.4D.l40.40.448.在同一坐标系中，函数y=2-x与y=log2x的图象是( ).A. B. C. D.9.方程x3=x+1的根所在的区间是( ).A.(0，1)B.(1，2)C.(2，3)D.(3，4)10.下列函数中，在区间(0，+∞)上是减函数的是( ).A.y=-1xB.y=xC.y=x2D.y=1-x11.若函数f (x)=13-x-1 +a是奇函数，则实数a的值为 ( ).A.12B.-12C.2D.-212.设集合A={0，1｝，B={2，3｝，定义集合运算：A⊙B={z︳z= xy(x+y)，x∈A，y∈B｝，则集合A⊙B中的所有元素之和为( ).A.0B.6C.12D.18二、填空题(每小题5分，共30分)13.集合S={1，2，3｝，集合T={2，3，4，5｝，则S∩T= .14.已知集合U={x|-3≤x≤3｝，M={x|-115.如果f (x)=x2+1(x≤0)，-2x(x0)，那么f (f (1))= .16.若函数f(x)=ax3+bx+7，且f(5)=3，则f(-5)=__________.17.已知2x+2-x=5，则4x+4-x的值是 .18.在下列从A到B的对应： (1)A=R，B=R，对应法则f：x→y=x2 ; (2) A=R，B=R，对应法则f：x→y=1x-3; (3)A=(0，+∞)，B={y|y≠0}，对应法则f：x→y=±x;(4)A=N__，B={-1，1}，对应法则f：x→y=(-1)x 其中是函数的有 .(只填写序号)三、解答题(共70分)19.(本题满分10分)计算：2log32-log3329+log38- .20.(本题满分10分)已知U=R，A={x|-1≤x≤3｝，B={x|x-a0｝.(1)若A B，求实数a的取值范围;(2) 若A∩B≠，求实数a的取值范围.21.(本题满分12分)已知二次函数的图象如图所示.(1)写出该函数的零点;(2)写出该函数的解析式.22.(本题满分12分)已知函数f(x)=lg(2+x)，g(x)=lg(2-x)，设h(x)=f(x)+g(x).(1)求函数h(x)的定义域;(2)判断函数h(x)的奇偶性，并说明理由.23.(本题满分12分)销售甲、乙两种商品所得利润分别是P(万元)和Q(万元)，它们与投入资金t(万元)的关系有经验公式P=35t，Q=15t.今将3万元资金投入经营甲、乙两种商品，其中对甲种商品投资x(万元).求：(1)经营甲、乙两种商品的总利润y(万元)关于x的函数表达式;(2)总利润y的最大值.24.(本题满分14分)已知函数f (x)=1x2.(1)判断f (x)在区间(0，+∞)的单调性，并用定义证明;(2)写出函数f (x)=1x2的单调区间.试卷答案一、选择题(每小题5分，共60分)1.A2.B3. D4.C5.C6.D7.B8.A9.B 10.D 11.A 12.D[二、填空题(每小题5分，共30分)13.{2，3｝14.[-3，-1]∪[1，3] 15.5 16.11 17.23 18.(1)(4)三、解答题(共70分)19.解原式=log34-log3329+log38-3=log3(4×932×8)-3=log39-3=2-3=-1.20.解(1)B={x|x-a0｝={x|xa｝.由A B，得a-1，即a的取值范围是{a| a-1｝;(2)由A∩B≠，则a3，即a的取值范围是{a| a3｝.21.(1)函数的零点是-1，3;(2)函数的解析式是y=x2-2x-3.22.解(1)由2+x0，2-x0，得-2(2) ∵h(-x)=lg(2-x)+lg(2+x)=h(x)，∴h(x)是偶函数.23.解(1)根据题意，得y=35x+15(3-x)，x∈[0，3].(2) y=-15(x-32)2+2120.∵32∈[0，3]，∴当x=32时，即x=94时，y最大值=2120.答：总利润的最大值是2120万元.24.解(1) f (x)在区间(0，+∞)为单调减函数.证明如下：设0因为00，x2-x10，x2+x10，即(x2-x1)( x2+x1)x12x220.所以f (x1)-f (x2) 0，即所以f (x1) f (x2)，f (x)在区间(0，+∞)为单调减函数.(2) f (x)=1x2的单调减区间(0，+∞);f (x)=1x2的单调增区间(—∞，0).高一数学知识点总结大全一、一次函数定义与定义式：自变量x和因变量y有如下关系：y=kx+b则此时称y是x的一次函数。

2023-2024学年河北省廊坊高一上册期末数学试题一、单选题1．设集合1,4A x x k k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，1,24k B y y k Z ⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭，则它们之间最准确的关系是（）．A ．AB =B ．A B ⊄C ．ABD ．A B⊆【正确答案】C【分析】利用列举法可判断集合A 、B 的包含关系.【详解】由集合A 得414k x +=，Z k ∈，则73159,,,,,44444A ⎧⎫=⋅⋅⋅--⋅⋅⋅⎨⎬⎩⎭，由集合B 得214k y -=，Z k ∈，则31135,,,,,44444B ⎧⎫=⋅⋅⋅--⋅⋅⋅⎨⎬⎩⎭，所以，A B ，故选：C ．2．下列命题中，真命题是（）．A ．x ∀∈R ，0x >B ．如果2x <，那么1x <C ．x ∃∈R ，21x ≤-D ．x ∀∈R ，使210x +≠【正确答案】D【分析】A 利用实数的范围判断；B 举例[)1,2x ∈判断；C 由20x ≥判断；D 由x ∀∈R 总有211x +≥判断.【详解】A 显然是假命题，B 中若[)1,2x ∈虽然2x <但x 不小于1，C 中不存在x ，使得21x ≤-，D 中对x ∀∈R 总有211x +≥，∴210x +≠，故D 是真命题，故选：D ．3．已知0x >，0y >，且1x y +=，则34x y+的最小值为（）．A ．7+B ．7+C ．7+D ．7+【正确答案】B化简得343434()()7y x x y x y x y x y+=+⨯+=++，再利用基本不等式求解.【详解】∵0x >，0y >，且1x y +=，∴343434()()777y x x y x y x y x y +=+⨯+=++≥+=+，当且仅当34y xx y=，即34x y =-+=-时等号成立，∴34x y+的最小值为7+.故选：B ．方法点睛：本题利用基本不等式求最值时用到了“1的代换”技巧，即把原式乘以“1”，再把“1”换成已知中的代数式，再利用基本不等式求解，可以提高解题效率.4．已知()1sin 30cos 3αα︒-=+，则()sin 2150α+︒=（）．A ．79-B ．C D ．79【正确答案】D【分析】利用两角和与差的三角公式结合诱导公式和二倍角公式化简求解即可.【详解】由()1sin 30cos 3αα︒-=+可得1sin 30cos cos 30sin cos 3ααα︒⋅-︒⋅=+，∴11cos sin cos 223ααα-=+，∴()11cos sin 30223ααα+=-=+︒，∴()()()()27sin 2150sin 90260cos 26012sin 309αααα+︒=︒++︒=+︒=-+︒=⎡⎤⎣⎦，故选：D ．5．若1522x <<，则函数()f x =的最大值为（）A ．1B CD ．【正确答案】D令y =，在该等式两边同时平方，利用基本不等式可求得2y 的最大值，进而可求得y 的最大值.【详解】1522x << ，210x ∴->，520x ->，令0y =>，两边平方()()221524y x x =-+-+=+又()()21524x x ≤-+-=，28y ∴≤，0y <≤2152x x -=-时，即当32x =时，等号成立，因此，()f x 的最大值为故选：D.应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．对于公式a b +≥22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，要弄清它们的作用、使用条件及内在联系，两个公式也体现了ab 和a b +的转化关系．6．若直线2y a =与函数()1xf x a =-(0a >且1a ≠)的图像有两个公共点，则a 的取值范围为（）.A ．1(02，B ．(0)1，C ．1(1)2D ．(1)+∞，【正确答案】A【分析】作出函数()y f x =的图象，及直线2y a =，由图象可得结论．【详解】作出01a <<和1a >两种图像，如图，作直线2y a =，由图可知02101a a <<⎧⎨<<⎩，∴102a <<，故选：A .本题考查指数型函数的图象与直线交点问题，分类讨论作出函数图象和直线，由图象可得结论．7．已知函数()2()121xf x ax a R =++∈+，则()()20212021f f +-=（）A ．22021a -+B ．2aC ．4D ．4042【正确答案】C【分析】直接代入解析式化简可得答案.【详解】因为()2()121x f x ax a R =++∈+，所以()()20212021f f +-=202120212220211202112121a a -+++-+++20212021202122222112⨯=++++202120212(21)221+=++22=+4=.故选：C8．已知数()πsin cos 22x f x x ⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭，则下列说法错误的是（）．A ．()y f x =的图象关于点()π,0对称B ．()y f x =的图象关于直线2πx =-对称C ．()f x 在3ππ,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D ．()f x 是周期函数【正确答案】C【分析】A.判断()()ππ0f x f x ++-=是否成立；B 判断()()2π2πf x f x -+=--是否成立；C.用特殊值判断；D.用周期函数的定义判断.【详解】()πsin cos cos cos 222x x f x x x ⎛⎫=+⋅=⋅ ⎪⎝⎭，∵()()ππcos πcos cos sin 22x xf x x x ++=+⋅=⋅，()()ππcos πcoscos sin 22x x f x x x --=-⋅=-⋅，∴()()ππ0f x f x ++-=，∴()f x 的图象关于点()π,0中心对称，A 正确，∵()()2π2πcos 2πcos cos cos 22x xf x x x -+-+=-+⋅=-⋅，()()2π2πcos 2πcoscos cos 22x x f x x x ----=--⋅=-⋅，∴()()2π2πf x f x -+=--，∴()f x 的图象关于直线2πx =-轴对称，B 正确，∵4421333cos cos ,cos cos 03334224f f ππππππ⎛⎫⎛⎫=⋅==⋅=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴4332f f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 错误；∵()()π4ππ4πsin 4πcossin cos 2222x x f x x x f x +⎛⎫⎛⎫+=++⋅=+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴4π是函数()f x 的一个周期，D 正确，故选：C ．二、多选题9．下面说法中正确的是（）A ．集合N +中最小的数是1B ．若N a +-∉，则N a +∈C ．若N ,N a b ++∈∈，则a b +的最小值是2D ．244x x +=的解组成的集合是{2}x =【正确答案】AC【分析】根据正整数集的含义即可判断A ，B ，C 的正误，根据集合中列举法即可判断D 选项的正误.【详解】对于A ，因为N +是正整数集，而最小的正整数是1，故A 正确；对于B ，当0a =时，N a +-∉，且N a +∉，故B 错误；对于C ，若N a +∈，则a 的最小值是1，若N b +∈，则b 的最小值也是1，当a 和b 都取最小值时，a b +取得最小值2，故C 正确；对于D ，由244x x +=得()220x -=，解得2x =，故其解集为{}2，而{2}x =不符合集合的表示方法，故D 错误.故选：AC ．10．已知∈，x y R ，且0x y >>，则下列说法错误的是（）．A ．11x y->B ．sin sin 0x y ->C ．11022xy⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．ln ln 0x y +>【正确答案】ABD采用取特殊值或利用函数单调性比较大小.【详解】∵0x y >>，选项A ，取1x =，12y =，则111210x y -=-=-<，A 错，选项B ，取x π=，2y π=，则sin sin sin sin102x y ππ-=-=-<，B 错，选项C ，1()(2xf x =在R 上是减函数，∴11(()22x y <，∴11()()022x y -<成立，C 正确，选项D ，取2x =，12y =，则ln ln ln()ln10x y xy +===，D 错，故选：ABD11．给出函数()|2|2f x x =--，则下列说法错误的是（）A ．函数()f x 的定义域为[1,1]-B ．函数()f x 的值域为[1,1]-C ．函数()f x 的图像关于原点中心对称D ．函数()f x 的图像关于直线y 轴对称【正确答案】ABC【分析】根据函数定义域，值域，函数的奇偶性即可求解.【详解】对于A 选项：240220x x x ⎧-≥⎪⎨--≠⎪⎩，所以22(1)022x x x ⎧-≥⎪⎨-≠⎪⎩，所以2122x x ⎧≤⎪⎨-≠⎪⎩，所以110,4x x x -≤≤⎧⎨≠≠⎩，所以定义域为[1,0)(0,1]-⋃，故选项A 错误；因为[1,0)(0,1]x ∈-⋃所以()f x ===，当[1,0)x ∈-时，[)()0,1f x x-=-，当(0,1]x ∈时，(]()1,0f x =-，所以函数()f x 的值域为(1,1)-，故选项B 错误；对于C 选项：()f x =()f x -==，所以()()f x f x =-，所以函数()f x 的图像关于y 轴（直线0x =）对称，所以选项C 错误，选项D 正确.故选：ABC.12．已知函数2sin y x =的定义域为[,]a b ，值域为[2,1]-，则b a -的值可能是（）A ．3πB ．56πC ．πD ．76π【正确答案】BCD根据值域分析sin x 能取得最小值1-，最大值只能取到12，考虑正弦函数在一个周期内的图象处理.【详解】因为2sin y x =的定义域为[,]a b ，值域为[2,1]-，所以[,]x a b ∈时，11sin 2x -≤≤，故sin x 能取得最小值1-，最大值只能取到12.在3,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内考虑:当,26a b ππ=-=或7,62a b ππ=-=-时，b a -最小，为23π；7,66a b ππ=-=时，b a -最大，为43π，即2433b a ππ≤-≤，故b a -的值可能为57,,66πππ，故选：BCD.此题考查根据正弦函数的值域分析定义域，关键在于准确找出最值取得的条件，数形结合求解.三、填空题13．设参加某会议的代表构成集合A ，其中的全体女代表构成集合B ，全体男代表构成集合C ，则B C =∪______．（填“A ”或“B ”或“C ”）【正确答案】A【分析】由代表只分男女，故男女代表的并集必为全体.【详解】B C ⋃表示参加该会议的全体女代表和全体男代表构成的集合即为集合A ，故B C A = ．故A14．函数log (3)1a y x =+-（0a >，且1a ≠）的图像恒过定点A ，若点A 在直线20mx ny ++=上，其中0m >，0n >，则21m n+的最小值为_________.【正确答案】92【分析】根据对数函数的性质先求出A 的坐标，代入直线方程可得m 、n 的关系，再利用1的代换结合均值不等式求解即可．【详解】∵x=-2时，y=log a 1-1=-1，∴函数()log 31a y x =+-（a ＞0，a≠1）的图象恒过定点（-2，-1）即A （-2，-1），∵点A 在直线mx+ny+2=0上，∴-2m-n+2=0，即2m+n=2，∵mn ＞0，∴m ＞0，n ＞0，21m n +=12（2m+n ）（21m n +）=12（5+22n mm n+）≥12（5+4）=92∴21m n +的最小值为92．故答案为92．本题考查了对数函数的性质和均值不等式等知识点，运用了整体代换思想，是高考考查的重点内容．15．若不等式2log a x x <对1(0)2x ∈，恒成立，则实数a 的取值范围为___________.【正确答案】1[1)16，【分析】不等式2log a x x <对1(0)2x ∈，恒成立，等价于当1(0)2x ∈，时，函数log a y x =的图像在函数2y x =的图像的上方，从而画出函数2y x =及log a y x =的图像，利用图像求解【详解】结合函数2y x =及log a y x =在1(0)2，上的图像易知，a 只需满足条件：01a <<，且11log 24a≥即可，从而得到1[1)16a ∈，.故1[1)16此题考查不等式恒成立问题，考查二次函数和对数函数的性质，考查数形结合的思想，属于中档题16．若函数()()()222,,f x a b x a c a b c R =+⋅-++∈的值域为[)0,∞+，则a b c ++的最小值为______．【分析】分析可得0∆=，可得出()()223a b a c +⋅+=，然后利用基本不等式可求得a b c ++的最小值.【详解】 二次函数()()()222f x a b x a c x =+⋅-++∈R 的值域为[)0,∞+，20a b ∴+>，()()124220a b a c ∆=-+⋅+=，则()()223a b a c +⋅+=，所以，20a c +>，0a b c ++>，由基本不等式可得()()()22223222a b a c a b a c a b c +++⎛⎫=++≤=++ ⎪⎝⎭，所以，3a b c ++≥，当且仅当b c =时等号成立，因此，a b c ++故答案为四、解答题17．已知命题:p 关于x 的方程242250x ax a -++=的解集至多有两个子集，命题:11q m x m -≤≤+，0m >,若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.【正确答案】[)9,+∞【分析】先求出命题p 为真命题时实数m 的取值范围，由p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，得出命题q ⌝中的集合是命题p ⌝中的集合的真子集，于是得出不等式求解，可得出实数m 的取值范围．【详解】当命题p 是真命题时，则关于x 的方程242250x ax a -++=的解集至多有两个子集，即关于x 的方程242250x ax a -++=的解集至多只有一个实数解，()2416250a a ∴∆=--≤，化简得28200a a --≤，解得210a -≤≤，:2p a ⌝∴<-或10a >，且:1q x m ⌝<-或1x m >+，由于p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，则{}{}21011a a a x x mx m --+或或×，所以，12110m m -≤-⎧⎨+≥⎩，解得9m ≥，因此，实数m 的取值范围是[)9,+∞.本题考查利用充分必要性求参数的取值范围，解这类问题一般利用充分必要性转化为集合的包含关系来处理，具体关系如下：（1）A B Ü，则“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件；（2）A B Ý，则“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件；（3）A B =，则“x A ∈”是“x B ∈”的充要条件；（4）A B ⊄，则“x A ∈”是“x B ∈”的既不充分也不必要条件．18．已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，且对任意的正实数x 、y 都有()()()f xy f x f y =+，且当1x >时，()0f x >，()41f =．（1）求证：()10f =；（2）求116f ⎛⎫⎪⎝⎭；（3）解不等式()()31f x f x +-≤．【正确答案】（1）证明见解析；（2）1216f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（3）{|34}x x <≤．【分析】（1）令4x =，1y =，由此可求出答案；（2）令4x y ==，可求得()16f ，再令16x =，116y =，可求得116f ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）先求出函数()f x 在()0,∞+上的单调性，根据条件将原不等式化为()()34f x x f -≤⎡⎤⎣⎦，结合单调性即可求出答案．【详解】解：（1）令4x =，1y =，则()()()()44141f f f f =⨯=+，∴()10f =；（2）∵()()()()1644442f f f f =⨯=+=，()()111161601616f f f f ⎛⎫⎛⎫=⨯=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴1216f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（3）设1x 、20x >且12x x >，于是120x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，∴()()()11122222x x f x f x f f x f x x x ⎛⎫⎛⎫=⋅=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()f x 在()0,∞+上为增函数，又∵()()()()3314f x f x f x x f +-=-≤=⎡⎤⎣⎦，∴()03034x x x x ⎧>⎪->⎨⎪-≤⎩，解得34x <≤，∴原不等式的解集为{|34}x x <≤．19．已知函数()2sin(2)16f x x a π=+++，且当[0,2x π∈时()f x 的最小值为2.（1）求a 的值；（2）先将函数()y f x =的图像上点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的12，再将所得的图像向右平移12π个单位，得到函数()y g x =的图像，求方程()4g x =在区间[0,2π上所有根之和.【正确答案】（1）2a =；（2）3π.【分析】（1）由于当[0,2x π∈时()f x 的最小值为2，所以min ()112f x a =-++=，从而可求出a 的值；（2）由图像变化可得()2sin(4)36g x x π=-+，由()4g x =得1sin(4)62x π-=，从而可求出x 的值【详解】（1）()2sin(2)16f x x a π=+++，∵[0,]2x π∈，∴72[,666x πππ+∈，∴min ()112f x a =-++=，∴2a =；（2）依题意得()2sin(4)36g x x π=-+，由()4g x =得1sin(4)62x π-=，∴4266x k πππ-=+(Z k ∈)或54266x k πππ-=+(Z k ∈)，∴212k x ππ=+或24k x =+ππ，解得12x π=或4x π=，∴所有根的和为1243πππ+=.此题考查三角函数的图像和性质，考查三角函数的图像的变换，考查转化能力和计算能力，属于基础题20．已知幂函数22()k k f x x -++=(Z k ∈)满足(2)(3)f f <.（1）求k 的值并求出相应的()f x 的解析式；（2）对于（1）中得到的函数()f x ，试判断是否存在q (0q >)，使函数()1()(21)g x q f x q x =-⋅+-⋅在区间[12]-，上的值域为17[4]8-，？若存在，求出q ；若不存在，说明理由.【正确答案】（1）0k =或1k =，2()f x x =；（2）存在，2q =.【分析】（1）利用幂函数的单调性求解．（2）根据二次函数的性质确定最大值，由最大值为178可得q ．【详解】（1）∵(2)(3)f f <，且当220k k -++≠时()f x 在第一象限一定单调，∴()f x 在第一象限是单调递增函数，故220k k -++>，解得12k -<<，又∵Z k ∈，∴0k =或1k =，当0k =或1k =时222k k -++=，∴2()f x x =；（2）假设存在q (0q >)满足题设，由（1）知2()(21)1g x qx q x =-+-+，1[]2x ∈-，，∵(2)1=-g ，∴两个最值点只能在端点(1(1))g --，和顶点22141()24q q q q-+，处取得，而2224141(41)(1)(23)0444q q q g q q q q++---=--=≥，∴2max 4117()48q g x q +==，min ()(1)234g x g q =-=-=-，解得2q =，∴存在2q =满足题意.本题考查求幂函数的解析式，考查幂函数的单调性，考查二次函数的性质．二次函数在给定区间的最值问题，需要讨论对称轴与所给区间的关系．21．已知定义域为R 的函数()f x 满足22()()f f x x x f x x x ⎡⎤-+=-+⎣⎦.（1）若(2)3f =，求(1)f ；又若(0)f a =，求()f a .（2）设有且仅有一个实数0x ，使得00()f x x =，求函数()f x 的解析式.【正确答案】（1）()11f =，()f a a =；（2）2()1f x x x =-+.【分析】（1）首先可根据22()()f f x x x f x x x ⎡⎤-+=-+⎣⎦得出22(2)22(2)22f f f ⎡⎤-+=-+⎣⎦，然后带入(2)3f =，即可求出()1f 的值，最后采用同样的方法即可求出()f a 的值；（2）本题首先可根据00()f x x =得出20()f x x x x -+=，然后令0x x =，通过计算得出00x =或1，最后对00x =、01x =分别进行检验，即可得出结果.【详解】（1）因为22()()f f x x x f x x x ⎡⎤-+=-+⎣⎦，所以22(2)22(2)22f f f ⎡⎤-+=-+⎣⎦，因为(2)3f =，所以22322322f ⎡⎤-+=-+⎣⎦，即()11f =，因为(0)f a =，22(0)00(0)00f f f ⎡⎤-+=-+⎣⎦，所以()f a a =，（2）因为22()()f f x x x f x x x ⎡⎤-+=-+⎣⎦，有且仅有一个实数0x 使00()f x x =，所以对于任意的x R ∈，有20()f x x x x -+=，令0x x =，则20000()f x x x x -+=，即200x x =，解得00x =或1，若00x =，则2()0f x x x -+=，即2()f x x x =-，但方程2x x x -=有两个不相同实根，与题设条件矛盾，故00x ≠，若01x =，则2()1f x x x -+=，即2()1f x x x =-+，此时()f x x =有且仅有一个实数根1，综上所述，函数()f x 的解析式为2()1f x x x =-+.本题考查函数值的求法以及函数解析式的求法，考查了函数的赋值法的应用，赋值法主要应用于抽象函数的解析式或者函数解析式比较复杂的函数，能够很好的解决函数求值的问题，考查计算能力，是中档题.22．已知函数()ππ2sin cos 144f x x x ⎛⎫⎛⎫=+⋅-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（1）求函数()f x 的周期；（2）若函数()()2g x f x x =-，试求函数()g x 的单调递增区间；（3）若()22cos 27f x x m m -≥--恒成立，试求实数m 的取值范围．【正确答案】（1）π；（2）π5ππ,π1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，Z k ∈；（3）[]2,3-．【分析】（1）将函数转化为()sin 2f x x =，利用周期公式求解；（2）由（1）得到()2sin(2)3g x x π=--（3）将22()cos 27f x x m m -≥--恒成立，转化为22min 7[()cos 2]m m f x x --≤-求解.【详解】（1）∵ππ()2sin sin 144f x x x ⎛⎫⎛⎫=+⋅+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2π2sin 14x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，πcos 2sin 22x x ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，∴()f x 的周期2ππ2T ==．（2）由（1），知2()()g x f x x =-，sin 22x x =2sin(2)3x π=--由πππ2π22π232k x k -≤-≤+，Z k ∈，解得π5πππ1212k x k -≤≤+，Z k ∈，∴函数()g x 的单调递增区间π5ππ,π1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，Z k ∈．（3）∵22()cos 2sin (2)cos 2f x x x x -=-，2cos (2)cos 21x x =--+，215cos 224x ⎛⎫=-++ ⎝⎭，∴当cos 21x =时，2min [()cos 2]1f x x -=-，∵22()cos 27f x x m m -≥--恒成立，等价于22min 7[()cos 2]m m f x x --≤-，∴271m m --≤-，即260m m --≤，解得23m -≤≤，∴实数m 的取值范围为[]2,3-．。

石家庄市2023-2024学年度第二学期期末教学质量检测高一数学（本试卷满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答卷的、考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后、用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知i 是虚数单位，复数，则z 的虚部为（ ）A ．B ．1C ．D ．i2．若D 为的边BC 的中点，则（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知a ，B 为两个不同平面，m ，n 为不同的直线，下列命题不正确的是（ ）A ．若，则B ．若，则C ．若，则D ．若，则4．已知甲、乙两名同学在高三的6次数学测试的成绩统计如图（图标中心点所对纵坐标代表该次数学测试成绩），则下列说法不正确的是（）A ．甲成绩的极差小于乙成绩的极差B ．甲成绩的第25百分位数大于乙成绩的第75百分位数C ．甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数D．甲成绩的方差小于乙成绩的方差21iz =-1-i -ABC △AC =2AB AD + 2AB AD - 2AD AB + 2AD AB- ,m n m α⊥∥n a ⊥,m m αβ⊥⊥αβ∥,m ααβ⊥⊥m β∥,m m αβ⊥⊂αβ⊥5．正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（）A ．B ．C ．D ．6．如图所示，为测量河对岸的塔高AB ，选取了与塔底B 在同一水平面内的两个测量基点C 与D ，现测得，则塔高AB 为（ ）A ．B ．C ．D ．7．如图，在中，．P 为CD 上一点，且满足．若在的面积为．则的最小值为（ ）AB ．C ．3D 8．如图，已知在中，，D 是BC 边上一点，且，将沿AD 进行翻折，使得动点B 在平面AD C 上的射影在内部及边界上，则在翻折过程中，动点B 的轨迹长度为（）O A B C ''''1cm 8cm 6cm (2+(2+33tan ,50m cos 45ACB CD BCD BDC ∠==∠=∠=，ABC △π,23BAC AD DB ∠==12AP mAC AB =+ ABC△||AP43ABC △1,3,AB BC AB BC ==⊥1BD =ABD △ADC △ABCD二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。