2023届河北省沧州市普通高中高三上学期摸底考数学试题(解析版)

2023——2024学年河北省部分学校高三摸底考试数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

B．64πC．70πD．80π二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。

．B ．C ．D ．．已知二项展开式()831f x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，下列说法正确的有．()f x 的展开式中的常数项是56B ．()f x 的展开式中的各项系数之和为0．()f x 的展开式中的二项式系数最大值是70D ．()i 16f =-，其中为虚数单位．在ABC 中，若)*N A nB n =∈，则．对任意的2n ≥，都有sin sin A n B <B ．对任意的2n ≥，都有tan tan A n B <．存在n ，使sin sin A B >成立D ．存在n ，使tan tan A n B 成立四、解答题：本题共5小题，共77分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

，求异面直线1AF 和2BF 所成角的余弦值；②是否存在02πθθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，使得折叠后2ABF △的周长为152？若存在，求存在，请说明理由．2023——2024学年河北省部分学校高三摸底考试数学试题评分参考一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

1．C2．D3．A4．B5．D6．A7．D8．D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，部分选对得3分，有选错的得0分。

四、解答题：本题共5小题，共77分。

83,,05⎫-⎪⎭，()20,1,0F ，(10,1,F A = 所成角为ϕ，则12cos cos ,F A BF ϕ=<>=)，折叠后A ，B 在新图形中对应点记为22||8BF AB ++=，故AB A B -'221143my x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()22346m y my +-，()()221212A y B x x y -+-=，)()222212121212y x x y y ---++=，)22221212x y y =++，)222211124x y y y y -++=-，（ii ）)21212124y y y y -=-，)()2212y y -21212y y ⎛⎫=- ⎪，。

2023-2024学年河北省沧州市高考数学押题模拟试题（一模）一、单选题1．若复数z 满足5i 2iz =+，则z 的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第一象限C ．第二象限D ．第四象限【正确答案】B【分析】根据复数的除法运算化简复数，进而得12i z =-+，即可由几何意义求解.【详解】由5i 2iz =+，得()()()()512i 5512i i 2i 12i 12i 12i z --====--+-+-+--，所以12i z =-+，所以z 在复平面内对应的点为()1,2-，该点位于第二象限.故选:B.2．已知集合{}24,,3401A x x k B x x x k ⎧⎫=∈=∈=--≤⎨⎬+⎩⎭Z Z ∣∣，则A B = （）A ．{}1,1,2,4-B ．{}4,2,1,1---C ．[)(]1,00,4-⋃D ．[)(]4,00,1- 【正确答案】A【分析】根据列举法求解集合和求解一元二次不等式的解法即可求解.【详解】41x k =+，若要Z x ∈，则需14,2,1,1,2,4k +=---，所以解得1,2,4,4,2,1x =---所以{}4,2,1,1,2,4,A =---，{}()(){}{}234041014B x x x x x x xx =--≤=-+≤=-≤≤∣∣∣所以{}1,1,2,4A B ⋂=-.故选.A3．已知点)P为角α终边上一点，绕原点O 将OP 顺时针旋转5π6，点P 旋转到点Q 处，则点Q 的坐标为（）A ．()1-B ．(1,-C ．1,2⎛- ⎝⎭D ．1⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【正确答案】B【分析】由三角函数的定义求得1cos 2αα==，根据题意得到射线OQ 为角5π6α-的终边，结合两角差的正、余弦公式，求得5πcos 6α⎛⎫- ⎪⎝⎭和5πsin 6α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值，进而求得点Q 的坐标，得到答案.【详解】因为)P，可得2OP =，由三角函数的定义，可得1cos 2αα==，又由绕原点O 将OP 顺时针旋转5π6，可得且射线OQ 为角5π6α-的终边，所以5π5π5π1cos cos cos sin sin6662ααα⎛⎫-=+=- ⎪⎝⎭，5π5π5πsin sin cos cos sin 6662ααα⎛⎫-==- ⎪⎝⎭，所以点Q 的坐标为(1,-.故选：B.4．某圆锥的侧面展开图是一个半径为π的扇形，则该圆锥的内切球的体积为（）A B C ．4πD ．6π【正确答案】A【分析】根据圆锥侧面展开图可得圆锥的半径和高，进而利用相似即可求解内切球半径.【详解】设圆锥的底面半径为r ，高为h ，则2ππr =⨯，所以r h ==R ，作出轴截面如图，利用相=，所以R =，所以34π4π333R V ⨯==.故选：A.5．已知平面向量,a b满足||1,||a b == ，且a 与b 的夹角为θ，则“1a b -= ”是“π6θ=”的（）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】C【分析】根据平面向量的夹角公式以及充要条件的概念可得答案.【详解】若1a b -= ，则2221a b a b +-⋅=，所以32a b ⋅=，所以cos 2a b a b θ⋅==⋅ ，又[0,π]θ∈，所以π6θ=；若π6θ=，则222π||213213cos 16a b a b a b -=+-⋅=+-⨯= ，所以1a b -= ，所以a b -= 1”是“π6θ=”的充要条件.故选：C.6．2021年9月24日，继上世纪60年代在世界上首次完成人工合成结晶牛胰岛素之后，中国科学家又在人工合成淀粉方面取得颠覆性､原创性突破——国际上首次在实验室实现二氧化碳到淀粉的从头合成.网友戏称这一技术让“喝西北风”活着成为可能.从能量来源看，该技术涉及“光能一电能一化学能”等多种能量形式的转化，从技术流程上，该工艺分为四个模块：第一步是利用光伏发电将光能转变为电能，通过光伏电水解产生氢气，然后通过催化剂利用氢气将二氧化碳还原成甲醇，将电能转化为甲醇中储存的化学能；第二步是将甲醇转化为三碳；第三步利用三碳合成六碳；最后一步是将六碳聚合成淀粉.在这个过程中的能量转化效率超过10%，远超光合作用的能量利用效率.经过实验测试，已知通过催化剂利用氢气将二氧化碳还原生成甲醇的浓度()t ϕ与其催化时间t （小时）满足的函数关系式为()(0t t ma a ϕ=>，且1)a ≠.若催化后20小时，生成甲醇的浓度为20%，催化后30小时，生成甲醇的浓度为40%.若生成甲醇的浓度为50%，则需要催化时间约为（）（参考数据：lg20.301≈）A ．23.5小时B ．33.2小时C ．50.2小时D ．56小时【正确答案】B【分析】根据题意列方程组求得a 和m 的值，从而求出()t ϕ的表达式，令()0.5t ϕ=解方程即可求解.【详解】由题意得()()2030200.2,300.4,ma ma ϕϕ⎧==⎪⎨==⎪⎩解得1102,0.05a m ==，所以()100.052t t ϕ=⨯，令()100.0520.5t t ϕ=⨯=，所以10210t =，所以lg2lg1010t=，故lg10101033.2lg20.301t =⋅=≈小时.故选：B.7．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为(),4,(0)F A n n >为C 上一点，且5AF =，直线AF 交C 于另一点B ，记坐标原点为O ，则OA OB ⋅= （）A ．5B ．-4C ．3D ．-3【正确答案】D【分析】根据抛物线的焦半径可得2p =，进而可得()()1,0,4,4F A ，联立直线AF 与抛物线方程可得点1,14B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由向量数量积的坐标公式即可求解.【详解】由题意得，抛物线2:2(0)C y px p =>的准线为2px =-，因为()4,A n 为C 上一点，且5AF =，所以245,8,02pAF n p n =+==>，解得2,4p n ==，故抛物线2:4C y x =，焦点为()()1,0,4,4F A ，所以AF 的方程为()413y x =-，代入2:4C y x =，得216(1)49x x -=，整理得241740x x -+=，解得14x =或4x =，因为B 为C 上一点，则2144B y =⨯，由于A 在第一象限，所以1B y =-，所以1,14B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以143OA OB ⋅=-=-.故选:D.8．已知函数()f x 为R 上的奇函数，且在(],0-∞上单调递减，若34ln3351,,ln 81e 322a f b f c f⎛⎫⎛⎫⎛⎫===- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b<c<aD ．c<a<b【正确答案】C【分析】构造函数()ln x g x x =，求导得函数的单调性，进而可判断33lne ln32ln810e 3281>>>，结合()f x 的奇偶性和单调性即可求解.【详解】由题意知，33ln81lne 51ln32,,ln 81e 32232a f b f c f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫===-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令()ln x g x x =，则()21ln xg x x -'=，当()e,x ∈+∞时，()0g x '<，此时()g x 在()e,+∞上单调递减，又354e e 23<<<，所以()()()354e 23g g g >>，即33lne ln32ln810e 3281>>>，又()f x 为奇函数且在(],0-∞上单调递减，所以()f x 在[)0,∞+上单调递减，所以33lne ln32ln81e 3281f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即b<c<a .故选：C.二、多选题9．已知函数()2f x ax bx c =++，其中a b c >>，若()10f =，则（）A ．2b bc >B ．ac bc <C ．ab ac >D ．22a c >【正确答案】BC【分析】由()10f =可得0,0a c ><，作差法可判断A ，根据不等式的性质判断BCD.【详解】由()10f =，得0a b c ++=，又a b c >>，所以0,0a c ><，且b 的符号不确定，故()2b bc b b c -=-的符号也不确定，故A 错误；由,0a b c ><，得ac bc <，故B 正确；由,0b c a >>，得ab ac >，故C 正确；因为0a c >>，两边平方后不等式不一定成立，故D 错误.故选：BC.10．已知2012(2)n nn x a a x a x a x -=++++ ，若12411a a =-，则（）A ．0121n a a a a ++++=B ．0123(1)3n nn a a a a a -+-++-=- C ．1232312n a a a na ++++=- D ．123231n a a a na ++++=- 【正确答案】AC【分析】根据二项式通项公式，展开式系数对应关系和特殊值法即可求解.【详解】(2)n x -的通项为1C (2)rn rr r n T x -+=-，由题意得()1312(2),(2)1n n a n a n n --=-⋅=--⋅-，因为12411a a =-，所以12n =.故1221201212(2)x a a x a x a x -=++++ .令1x =，得012121a a a a ++++= ，故A 正确；令=1x -，得120123123a a a a a -+-++= ，故B 错误；将1221201212(2)x a a x a x a x -=++++ 两边求导，得112111231212(2)2312x a a x a x a x -=++++ ，令1x =，得12312231212a a a a ++++=- ，故C 正确，D 错误.故选.AC11．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，,P M 分别是棱11,BC A B 的中点，连接1,,,BM CM C M R 是线段BM 的中点，Q 是线段AB 上靠近点B 的四等分点，则下列说法正确的是（）A ．平面RPQ //平面1C CMB ．三棱锥B RPQ -的体积与正三棱柱111ABC A B C -的体积之比为1:48C ．直线AC 与平面RPQ 所成的角为30D ．若124AB AA ==，则过,,A P R 三点作平面α，截正三棱柱111ABC A B C -所得截面图形的393【正确答案】ABC【分析】根据中位线可证线面平行，即可判断A,利用锥体体积以及柱体体积公式，结合比例关系即可判断B,利用线面角的定义即可求解C,利用面面垂直得到线面垂直,进而利用线线垂直求解长度即可判断D.【详解】取AB 的中点N ，连接,MN CN ，则四边形1MNCC 是矩形，又,P R 分别是棱BC BM ⋅的中点，Q 是线段AB 上靠近点B 的四等分点，所以,PR MC PR ⊄∥平面1,C CM MC ⊂平面1C CM ，所以PR //平面1C CM ，同理可得PQ //平面1C CM ，又,,PR PQ P PR PQ =⊂ 平面PQR ，所以平面PQR平面1C CM ，故A 正确,11112224B PQR P BRQ C BRQ R BCQ R ABCV V V V V -----====⨯三棱锥三棱锥三棱锥三棱锥三棱锥11111111111111242242348ABC ABC A B C ABC A B C V V V ---=⨯⨯=⨯⨯⨯=三棱锥M 三棱柱三棱柱,棱锥B RPQ -的体积与正三棱柱111ABC A B C -的体积之比为1:48，故B 正确；因为AB ⊥平面1MNCC ，平面RPQ //平面1MNCC ，所以ACN ∠即直线AC 与平面RPQ 所成的角，又,2CN AB AC AN ⊥=，所以30ACN ∠= ，即直线AC 与平面PQR 所成的角为30 ，故C 正确；连接AR 并延长交1BB 于点S ，连接PS ，则平面α截正三棱柱111ABC A B C -所得截面图形为PAS ，由于AP ⊂底面ABC ,AP BC,^BC 是平面11CBB C 与底面ABC 的交线，且平面11CBB C ⊥面ABC ，所以AP ⊥平面11CBB C ，PS ⊂平面11CBB C ,所以AP PS ⊥，所以124AB AA ==，故42,23,3BP AP SB ===，故224213233SP ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，故121323923233PASS=⨯⨯=，故D 错误.故选.ABC12．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，离心率为2，焦点6过2F 作直线l 交双曲线C 的右支于A 、B 两点，若H 、G 分别为12AF F △与12BF F △的内心，则（）A ．C 的渐近线方程为3y x =B ．点H 与点G 均在同一条定直线上C ．直线HG 不可能与l 平行D ．HG 的取值范围为4622,3⎡⎢⎣⎭【正确答案】ABD【分析】根据题意求出b 、a 、c 的值，可得出双曲线C 的渐近线方程，可判断A 选项；利用切线长定理以及双曲线的定义可判断B 选项；取l x ⊥轴，可判断C 选项；设直线AB 的倾斜角为θ，求出22HG =求出θ的取值范围，结合正弦函数的基本性质求出HG 的取值范围，可判断D 选项.【详解】设双曲线C 半焦距为c ，双曲线C 的渐近线方程为by x a=±，即0bx ay ±=，双曲线C 的右焦点()2,0F c b ==由题意知2c e a ===，所以22a =，所以c ==，故双曲线C 的方程为22126x y -=，故渐近线方程为y =，故A 正确；对于B 选项，记12AF F △的内切圆在边1AF 、2AF 、12F F 上的切点分别为M 、N 、E ，由切线长定理可得AM AN =，11F M F E =，22F N F E =，由122AF AF a -=，即()122AM MF AN NF a +-+=，得122MF NF a -=，即122F E F E a -=，记H 的横坐标为0x ，则()0,0E x ，于是()002x c c x a +--=，得0x a =，同理内心G 的横坐标也为a ，故HG x ⊥轴，即H 、G 均在直线x a =上，故B 正确；对于C 选项，当l 与x 轴垂直时，//HG l ，故C 错误；对于D 选项，设直线AB 的倾斜角为θ，则22OF G θ∠=，2902HF O θ∠=-（O 为坐标原点），在2HF G △中，()()sin 90sin 22tan tan 9022cos cos 9022HG EG HE c a c a θθθθθθ⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎡⎤⎛⎫⎝⎭⎢⎥=+=-+-=-+ ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎢⎥⎣⎦- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.()()()sin cos 12222sin sin cos sin sin cos 2222c a c a c a θθθθθθθθ⎛⎫ ⎪-+=-=-⋅= ⎪⎝⎭，由于直线l 与C 的右支交于两点，且C的一条渐近线的斜率为ba=60 ，结合图形可知60120θ<< ，sin 1θ<≤，所以，sin 3HG θ⎡=∈⎢⎣⎭，故D 正确.故选：ABD.方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.三、填空题13．已知函数()log 2e a f x x x a =++-，若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线310x y -+=平行，则=a __________.【正确答案】e【分析】根据求导公式和导数的几何意义即可求解.【详解】由题意知()12ln f x x a=+'，所以曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线斜率()1123ln k f a'==+=，所以12=3ln a+，解得e a =，故答案为.e14．已知实数,a b 满足221a b +=，则2b a -的取值范围为__________.【正确答案】33,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】根据题意转化为圆221x y +=上的点与定点()2,0A 之间的连线的斜率，结合圆的性质，即可求解.【详解】由题意，设()(),,2,0P a b A ，且022b b k a a -==--可得2b a -表示点P 与点A 连线的斜率，其中点P 为圆221x y +=上的点，如图所示，在直角1OP A 中，可得1113tan 3OP OAP P A ∠==，可得直线1P A 的斜率为133k =-；在直角2OP A 中，可得2223tan 3OP OAP P A ∠==，可得直线2P A 的斜率为133k =，所以2b a -的范围为33,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故答案为.33,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦15．已知函数()()π2sin 22f x x ϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象关于直线π12x =-对称，将函数()f x 的图象向左平移π3个单位长度得到函数()g x 的图象，则下列判断正确的是__________.（请将所有正确答案的序号写在横线上）①()f x 的图象关于点π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭对称；②()g x 的图象关于点π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭对称；③()g x 在π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增；④()g x 的图象关于直线π12x =对称.【正确答案】①②④【分析】根据函数()f x 关于直线π12x =-对称可得π3ϕ=-，进而可判断①，由函数图象的平移可得()π2sin 23g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，进而利用代入验证可判断②④，利用正弦型函数的单调性可判断③.【详解】因为函数()()π2sin 22f x x ϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象关于直线π12x =-对称，所以ππ2π,Z 122k k ϕ⎛⎫⨯-+=+∈ ⎪⎝⎭，所以2ππ,Z 3k k ϕ=+∈，又π2<ϕ，所以π3ϕ=-，所以()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以π03f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以()f x 的图象关于点π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，故①正确；将函数()f x 的图象向左平移π3个单位长度得到函数()π2sin 23g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，所以π2sinπ03g ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以()g x 的图象关于点π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，故②正确；令πππ2π22π,Z 232k x k k -+≤+≤+∈，得5ππππ,Z 1212k x k k -+≤≤+∈，当1k =时，得函数()g x 在7π13π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以函数()g x 在π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不单调递增，故③错误；令ππ2π,32x k k +=+∈Z ，得ππ,122k x k =+∈Z ，当0k =时，得函数()g x 的图象关于直线π12x =对称，故④正确.综上，正确的结论有①②④.故①②④.四、双空题16．已知数列{}n a 的各项均为正数，n S 为其前n 项和，且()2*,,n n n a S a n ∈N 成等差数列.则{}n a 的通项公式为__________；若Πn 为数列212n n a a ⎧⎫-⎨⎩⎭的前n项积，不等式Πn ≤*n ∀∈N 恒成立，则实数λ的最小值为__________.【正确答案】n a n=2【分析】根据11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩即可求得n a ，求出Πn ，由Πn ≤得Πλ≥令()Πf n =()f n 的单调性，求出()f n 的最大值即可得解.【详解】由题意知22n n n S a a =+，又数列{}n a 的各项均为正数，所以当1n =时，11a =；当2n ≥时，21112n n n S a a ---=+，所以22112n n n n n a a a a a --=-+-，即11n n a a --=，所以数列{}n a 为首项为1，公差为1的等差数列，故2121,22n n n a n a n a n--==，所以135721Π24682n n n -=⨯⨯⨯⨯⨯ ，则1Π21Π22n n n n ++=+，由Πn ≤Πλ≥故问题转化为*N ,Πn λ∀∈≥令()Πf n =则()()121122f n n f n n ++===<+，所以()()1f n f n +<，所以()f n 单调递减，故()max ()1f n f =2λ≥，即实数λ故n a n =关键点点睛：利用比商法判断出函数()Πf n =.五、解答题17．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,,a b c ABC 的外接圆的半径为R ，且22sin sin 2sin sin c C a B R A B-=+.(1)求角C 的大小；(2)若c =ABC 的面积的最大值.【正确答案】(1)2π34.【分析】（1）利用正弦定理边角互化可得222a b c ab +-=-，由余弦定理即可求解，（2）利用余弦定理以及不等式即可求解.【详解】（1）22sin sin 2sin sin c C a B R A B-=+ ，∴由正弦定理得2222sin 2sin sin 2sin sin R C R A B R A B-=+，222sin sin sin 1sin sin C A B A B-∴=+，即222sin sin sin sin sin A B C A B +-=-，∴由正弦定理得222a b c ab +-=-，∴由余弦定理可得2221cos 222a b c ab C ab ab +--===-，2π0π,3C C <<∴=.（2）由（1）知222a b c ab +=-，所以223a b ab ++=，又223a b ab ab ++≥，当且仅当1a b ==时等号成立，所以33ab ≤，即1ab ≤，所以ABC 的面积1sin 2S ab C =，即ABC 18．据相关机构调查表明我国中小学生身体健康状况不容忽视，多项身体指标（如肺活量､柔㓞度､力量､速度､耐力等）自2000年起呈下降趋势，并且下降趋势明显，在国家的积极干预下，这种状况得到遏制，并向好的方向发展，到2019年中小学生在肺活量､柔㓞度､力量､速度､而力等多项指标出现好转，但肥胖､近视等问题依然严重，体育事业任重道远.某初中学校为提高学生身体素质，日常组织学生参加中短跑锻炼，学校在一次百米短跑测试中，抽取200名女生作为样本，统计她们的成绩（单位：秒），整理得到如图所示的频率分布直方图（每组区间包含左端点，不包含右端点）.(1)估计样本中女生短跑成绩的平均数；（同一组的数据用该组区间的中点值为代表）(2)由频率分布直方图，可以认为该校女生的短跑成绩()2,X N μσ，其中μ近似为女生短跑平均成绩2,x σ近似为样本方差2s ，经计算得2 5.79s =，若从该校女生中随机抽取10人，记其中短跑成绩在(]11.34,20.98内的人数为Y ，求()8P Y ≤（结果保留2个有效数字）.5.79 2.41≈，随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827,(22)0.9545,(33)0.9974,P X P X P X μσμσμσμσμσμσ-<≤+=-<≤+=-<≤+=101010990.68270.0220,0.95450.6277,0.99740.9743,0.68270.0322,0.95450.6576≈≈≈≈≈.【正确答案】(1)16.16(2)0.073【分析】（1）利用频率分布直方图求解平均数即可.（2）根据()2,X N μσ，可求得成绩在(]11.34,20.98内的概率，利用()10,0.9545Y B ~二项分布的概率公式求解即可.【详解】（1）估计样本中女生短跑成绩的平均数为：110.04130.12150.36170.28190.12210.06230.0216.16⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（2）由题意知()216.16,5.79,16.16, 5.79, 5.79 2.41X N μσσ~===≈，则211.34,220.98μσμσ-=+=，故该校女生短跑成绩在(]11.34,20.98内的概率(22)0.9545p P X μσμσ=-<≤+=，由题意可得()10,0.9545Y B ~，所以()()99109C 0.954510.9545100.65760.04550.299208P Y ==⨯⨯-≈⨯⨯=，()10101010C 0.95450.6277P Y ==⨯≈，所以()()()819100.073P Y P Y P Y ≤=-=-=≈.19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1n n S a +=.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设212log 1n n n b a a ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭，求数列{}n b 的前n 项和n T .【正确答案】(1)12n na =(2)2332n n n T +=-【分析】（1）由n a 与n S 的关系即可求解；（2）求出数列{}n b 的通项公式后用错位相减法求解.【详解】（1）因为1n n S a +=，所以当2n ≥时，()1111n n n n n a S S a a --=-=---，所以12n n a a -=，又当1n =时，121a =，解得112a =，所以0n a ≠，所以112n n a a -=，所以{}n a 是首项为12､公比为12的等比数列，所以{}n a 的通项公式为12n na =.（2）由（1）知21212log 12n n n n nb a a ⎛⎫-=⋅-= ⎪⎝⎭，所以231135232122222n n n n n T ---=+++++L ，所以231113232122222n n n n n T +--=++++ ，两式相减，得121111111111211213234222122222222212n n n n n n n n n T -+++⎛⎫- ⎪--+⎛⎫⎝⎭=+++-=+⨯-=- ⎪⎝⎭- ，所以2332n nn T +=-.20．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，E 为棱AB 的中点，DE 与AC 交于点,F G 为PBC 的重心.(1)求证：FG 平面PAB ；(2)已知4,3AB AD ==，若G 到平面PCD 的距离为2，求平面CFG 与平面PCD 所成的锐二面角的余弦值.【正确答案】(1)证明见解析(2)41【分析】（1）根据线线平行和线面平行的证法和线面平行的判定即可求解；（2）根据二面角的法向量求法即可求解.【详解】（1）证明：延长CG 交PB 于点H ，连接AH ，则H 为PB 的中点，因为E 为AB 的中点，所以2AB CD AE ==，又AE CD ∥，所以2CF CD FA AE==，因为G 为PBC 的重心，所以2CG GH =，所以CF CG FA GH=，所以FG AH ∥，又AH ⊂平面,PAB FG ⊄平面PAB ，所以FG 平面PAB .（2）由题意易知,,AB AD AP 两两垂直，故以A 为坐标原点，以直线AB ，,AD AP 分别为x 轴，y 轴，z轴建立如图所示坐标系，设3(0)AP λλ=>，则()()()()34,0,0,4,3,0,0,3,0,0,0,3,2,0,2B C D P H λλ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()()()334,3,3,4,0,0,4,3,0,2,0,,2,3,22PC CD AC AH CH λλλ⎛⎫⎛⎫=-=-===-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 因为23CG CH = ，所以4,2,3CG λ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.设平面PCD 的一个法向量(),,m x y z =，则0,0,m PC m CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即4330,40,x y z x λ+-=⎧⎨-=⎩令1z =，解得0,x y λ==，所以()0,,1m λ= ，因为G 到平面PCD的距离为2，所以2CG m m ⋅== ，解得1λ=，所以()30,1,1,2,0,2m AH ⎛⎫== ⎪⎝⎭ .设平面CFG 的一个法向量(),,n a b c = ，则0,0,n AC n AH ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即430,320,2a b a c +=⎧⎪⎨+=⎪⎩令4c =，解得3,4a b =-=，所以()3,4,4n =- ，.设平面CFG 与平面PCD 所成的锐二面角大小为θ，则cos cos ,41m n m n m n θ⋅====⋅ ，即平面CFG 与平面PCD所成的锐二面角的余弦值为41.21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为,F A 为C 上的一点，AF 的最大值与最小值的差为F 且垂直于x 轴的直线被C 截得的弦长为1.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知直线():0l y kx m k =+≠与椭圆C 交于,M N 两点，记C 的右顶点为P ，直线PM 与直线PN 的斜率分别为12,k k ，若12120k k =，求PMN 面积的取值范围.【正确答案】(1)2214x y +=(2)50,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【分析】（1）利用椭圆方程的性质可列出方程组，得到,a b ，即可得到椭圆方程.（2）根据题意，联立2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得到()222148440k x mkx m +++-=，利用韦达定理结合已知化简得2260m km k --=，即2m k =-或3m k =，讨论分析直线l 经过定点()3,0Q -，即可表示出PMN 面积，求出结果.【详解】（1）设C 的半焦距为c ，由题意知()()222221a c a c b a a b c ⎧+--=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，故椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）由题意知()2,0P ，设()()1122,,,M x y N x y ，由2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()222148440k x mkx m +++-=，所以()()2222Δ64414440m k k m =-+->，即22410k m -+>，且2121222844,1414mk m x x x x k k -+=-=++.因为12120k k =，所以121212220y y x x ⋅=--，又1122,kx m y kx m y =+=+，所以()()()()12122022kx m kx m x x ++=--，①因为()()()()2222121484414k x mkx m k x x x x +++-=+--，所以令2x =，得()()22122161642214k mk m x x k ++--=+，②令m x k =-，得()()2222122144414m m m k m k x x k k k ⎛⎫⎛⎫+⋅--=+---- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()22122414m k kx m kx m k -++=+，所以()()2212220802014m k kx m kx m k -++=+，③把②③代①，得2222161642080k mk m m k ++=-，化简得2260m km k --=，所以2m k =-或3m k =.所以当2m k =-时，直线l 的方程为()2y k x =-，直线过点()2,0P ，不合题意，舍去；当3m k =时，直线l 的方程为()3y k x =+，所以直线l 经过定点()3,0Q -，所以12121522PMN RQM RQN S S S PQ y y k x x =-=⋅-=-52==因为22410k m -+>且3m k =，所以2150k ->，所以2105k <<，设29411,5t k ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，所以50,3PMN S ⎛⎤= ⎥⎝⎦，即PMN 面积的取值范围为50,3⎛⎤ ⎥⎝⎦.22．已知函数()21e 21(0)2x f x x a x a =-+->的导函数为()f x '.(1)当1a =时，求函数()f x 的极值点的个数；(2)若()ln11a f x x x '<+++恒成立，求实数a 的取值范围.【正确答案】(1)2(2)()1,+∞.【分析】（1）求导得到导函数，构造()e 2x g x x =-+，再次求导得到导函数，确定函数的单调区间，计算最值确定()()200f f ''-⋅<，()()020f f ''⋅<，得到极值点个数.（2）变换得到()e ln 1ln 10x a x a -++->在()1,-+∞上恒成立，构造函数，考虑01a <≤和1a >两种情况，求导得到导函数，再次构造函数，确定函数的单调区间，利用隐零点代换得到答案.【详解】（1）当1a =时，()21e 212x f x x x =-+-，定义域为R ，()e 2x f x x =-+'，令()e 2x g x x =-+，则()1e x g x '=-.当0x <时，()0g x '>，当0x >时，()0g x '<，所以()g x 在(),0∞-上单调递增，在()0,∞+上单调递减，即()f x '在(),0∞-上单调递增，在()0,∞+上单调递减，所以()max ()010f x f =='>'，又()22e 0f --=-<'，()224e 0f =-<'，所以()()200f f ''-⋅<，()()020f f ''⋅<，所以存在唯一的()12,0x ∈-，()20,2x ∈，使得()()120f x f x ''==，且当()1,x x ∈-∞和()2,x x ∈+∞时，()0f x '<，函数单调递减；当()12,x x x ∈时，()0f x ¢>，函数单调递增，故()f x 在1x 处取得极小值，在2x 处取得极大值，即函数()f x 的极值点的个数为2.（2）()e 2x f x a x =-++'，()ln 11a f x x x '<+++，即e 2ln 11x a a x x x -++<+++恒成立，即()e ln 1ln 10x a x a -++->在()1,-+∞上恒成立.记()()()e ln 1ln 1,1,x h x a x a x ∞=-++-∈-+，当01a <≤时，()0ln 10h a a =+-≤，不合题意；当1a >时，()()1e 11e 11x xa x h x a x x +-=-=++'.记()()()1e 1,1,x x a x x ϕ=+-∈-+∞，则()()2e 0x x a x ϕ=+>'，所以()x ϕ在()1,-+∞上单调递增，又()()11,010a ϕϕ-=-=->，所以()31,0x ∃∈-使得()30x ϕ=，即()331e 10x a x +-=，①故当()31,x x ∈-时，()0x ϕ<，即()0h x '<，当()3,x x ∈+∞时，()0x ϕ>，即()0h x '>，所以()h x 在()31,x -上单调递减，在()3,x +∞上单调递增，所以()()3min 33()e ln 1ln 1x h x h x a x a ==-++-，②由①式可得331e 1x a x =+，所以()33ln ln 1a x x =-+-，代入②式得()()min 3331()12ln 11h x x x x =-+-++，因为()31,0x ∈-，即()310,1x +∈，故()()333110,2ln 101x x x -+>+<+，即min ()0h x >，所以当1a >时，()0h x >恒成立，故实数a 的取值范围为()1,+∞.关键点睛：本题考查了利用导数判断极值点个数，不等式恒成立问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中利用隐零点代换可以简化运算，是解题的关键，隐零点代换是常考的方法，需要熟练掌握.。

绝密★启用前2024年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟试题注意事项：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。

2.答卷前，考生务必将自己的班级和姓名填写在答题纸上。

3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题纸对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题纸上，写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{}30A x x =->，则()R N A = ð（）A.{}0,1,2 B.{}1,2 C.{}0,1,2,3 D.{}1,2,32.在递增的等比数列{}n a 中，若3152a a -=，23a =，则公比q =（）A.43B.32C.2D.523.已知函数()36x f x x =+-有一个零点0x x =，则0x 属于下列哪个区间（）A.1,12⎛⎫⎪⎝⎭B.31,2⎛⎫⎪⎝⎭C.3,22⎛⎫⎪⎝⎭D.52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭4.如图是国家统计局发布的2022年5月至2023年5月全国煤炭进口走势图，每组数据中的增速是与上一年同期相比的增速，则图中X 的值约为（）A.90.2B.90.8C.91.4D.92.65.如图是下列四个函数中某一个的部分图象，则该函数为（）A.()ln 2x f x x =+ B.()11e 1x x f x ++=-C.()()321x f x x =+ D.()()21xf x x =+6.已知离心率为32的椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，()00,P x y 是椭圆上位于第一象限的一点，且121cos 3F PF ∠=-，则0x =（）A.34a B.12a C.33a D.32a 7.已知对任意实数x ，y ，函数()f x 满足()()()111f xy f x f y +=+++，则()f x （）A.有对称中心B.有对称轴C.是增函数D.是减函数8.已知半径为R 的球中有一个内接正四棱锥，底面边长为a ，当正四棱锥的高为h 时，正四棱锥的体积取得最大值V ，则（）A.2h a= B.32h a =C.h a =D.12h a =二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知函数()ln f x x =，则（）A.()f x 是奇函数B.()f x 是增函数C.曲线()y f x =在e x =处的切线过原点D.存在实数a ，使得()y f x =的图象与xy a =的图象关于直线y x =对称10.先后两次抛掷一枚质地均匀的骰子，得到向上的点数分别为x ，y ，设事件1A =“5x y +=”，事件2A =“2y x =”，事件3A =“2x y +为奇数”，则（）A.()119P A =B.()2112P A =C.1A 与3A 相互独立D.2A 与3A 相互独立11.已知复数01i z =-，()i ,z x y x y =+∈R ，则下列结论正确的是（）A.方程02z z -=表示的z 在复平面内对应点的轨迹是圆B.方程002z z z z -+-=表示的z 在复平面内对应点的轨迹是椭圆C.方程001z z z z ---=表示的z 在复平面内对应点的轨迹是双曲线的一支D.方程()00012z z z z z ++=-表示的z 在复平面内对应点的轨迹是抛物线12.已知定义：1,0,e e ,0,xxx x +<⎧=⎨≥⎩则下列命题正确的是（）A.b +∀∈R ，()e e bx bx ++= B.若12,x x ∈R ，则2211e e e xxx x ++++⋅=C.x ∀∈R ，()ln e 1ln 22xx ++-≥ D.若12,x x ∈R ，则1221e e e x x x x-+++÷=三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若3cos 214cos 70θθ-+=，则cos 2θ=__________.14.高三（1）班某竞赛小组有3名男生和2名女生，现选派3人分别领取数学、物理、化学竞赛资料，则至少有一名女生的选派方法共有____________种.（用数字作答）15.已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，其右支上有一点P 满足1260F PF ∠=︒，过点2F 向12F PF ∠的平分线引垂线交于点H ，若212F H b =，则双曲线C 的离心率e =_________.16.在正四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 的边长为2，PAC △为正三角形，点M ，N 分别在PB ，PD 上，且2PM MB =，2PN ND =，过点A ，M ，N 的截面交PC 于点H ，则四棱锥P AMHN -的体积为_________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）已知公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()141n n n S n a a +=++.（1）证明：221n a d nd +=+；（2）若38a =，求12231111n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+.18.（本小题满分12分）已知函数()()f x x ωϕ=+的部分图象如图所示，2πϕ<，且90ACB ∠=︒.（1）求ω与ϕ的值；（2）若斜率为4的直线与曲线()y f x =相切，求切点坐标.19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，2PA =，底面ABCD 为直角梯形，90BAD ∠=︒，2AB =，1CD AD ==，N 是PB 的中点，点M ，Q 分别在线段PD 与AP 上，且DM MP λ= ，AQ QP μ=.（1）当1λ=时，求平面MDN 与平面DNC 的夹角大小；（2）若MQ ∥平面PBC ，证明：12μλ=+.20.（本小题满分12分）已知[)0,1x ∈，()e x f x =.（1）证明：()111x f x x+≤≤-；（2）比较()2f x 与11xx+-的大小.21.（本小题满分12分）已知抛物线C ：()220y px p =>上有一点()()1,0P m m >，F 为抛物线C 的焦点，,02p E ⎛⎫-⎪⎝⎭，且2EP =.（1）求抛物线C 的方程；（2）过点P 向圆E ：2222p x y r ⎛⎫++= ⎪⎝⎭（点P 在圆外）引两条切线，交抛物线C 于另外两点A ，B ，求证：直线AB 过定点.22.（本小题满分12分）某排球教练带领甲、乙两名排球主力运动员训练排球的接球与传球，首先由教练第一次传球给甲、乙中的某位运动员，然后该运动员再传回教练.每次教练接球后按下列规律传球：若教练上一次是传给某运动员，则这次有13的概率再传给该运动员，有23的概率传给另一位运动员.已知教练第一次传给了甲运动员，且教练第n 次传球传给甲运动员的概率为n p .（1）求2p ，3p ；（2）求n p 的表达式；（3）设21n n q p =-，证明：()()1111sin sin 2ni i i i i q q q q ++=--<∑.数学参考答案及评分细则题号123456789101112答案C B B D D C B C BCD ACD AC AC1.C 解析：∵(]R ,3A =-∞ð，∴(){}R N 0,1,2,3A = ð，故选C.[命题意图]该试题考查集合的补集与交集运算，数学能力思维方面主要考查运算思维与抽象思维.2.B 解析：由题得213a a q ==，2311152a a a q a -=-=，联立可得32q =或23q =-（舍），故选B.[命题意图]该试题考查等比数列的运算，是高考常考点，数学能力思维方面主要考查运算思维、变换思维、方程思想等.3.B 解析：由题知()f x 在R 上单调递增，∵1 5.502f ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，()120f =-<，3233 4.52f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，又323 4.50->，∴302f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，故选B.[命题意图]该试题考查零点存在定理和二分法，数学能力思维方面主要考查转化思想和特值思想.4.D 解析：由题得增速39582055%100%92.6%2055X -=⨯≈，故选D.[命题意图]该试题考查统计知识，是高考热点，数学能力思维方面主要考查数形结合和拓展思维.5.D 解析：对于A ，函数()f x 的定义域为()()()(),33,22,11,-∞------+∞ ，A 不正确；对于B ，()00f ≠，B 不正确；对于C ，结合题中图象，()()()6427843225169f f f =>=>=，C 不正确，故选D.[命题意图]该试题考查函数的图象及其性质，是高考常考点，数学能力思维方面主要考查特值思想与数形结合思想.6.C 解析：设()1PF m m a =>，则22PF a m =-，由2c e a ==，得2c =，由余弦定理得()()22223223a m a m m a m =+-+-，解得32m a =或2a m =（合），则22200924x a y a ⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭，联立椭圆方程解得033x a =，故选C.[命题意图]该试题考查椭圆的定义与性质，是高考必考点，数学能力思维方面主要考查静态思维与迁移思维.7.B 解析：令1x y ==，得()()()222f f f =+，∴()20f =；令1x y ==-，得()()2200f f ==，∴()00f =；令1y =-，得()()()()1101f x f x f f x -=++=+，∴()f x 的图象关于直线关于1x =对称，故选B.[命题意图]该试题考查抽象函数的性质，是高考常考点，数学能力思维方面主要考查赋值思维与抽象思维.8.C 解析：设球心到底面的距离为x ，则h R x =+，a =，∴()()223V R x R x =+-，则()()()3112222333R x R x R x V R x R x R x ++++-⎛⎫=++-≤⋅ ⎪⎝⎭，当且仅当22R x R x +=-，即3R x =时取等号，此时43R h =，43Ra =，即h a =，故选C.[命题意图]该试题考查球内接正棱锥的最值问题，是高考的常考点，数学能力思维方面主要考查建模思维与化归思维9.BCD 解析：根据函数性质可得A 错误，B 正确；对于C ，()1f x x '=，在e x =处的切线斜率为1e，切线方程为()11e ey x -=-，即e x y =，显然过原点，C 正确；当e a =时，()y f x =的图象与x y a =的图象关于直线y x =对称，D 正确，故选BCD.[命题意图]该试题考查函数的奇偶性、单调性，导数的几何意义以及反函数等，数学能力思维方面主要考查运算思想和数形结合思想.10.ACD 解析：满足事件1A 的有（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）共四种情形，其概率()141369P A ==A 正确；满足事件2A 的有（1，1），（2，4）共两种情形，其概率()2118P A =，B 不正确；()312P A =，满足事件13A A 的有（1，4），（3，2）共两种情形，()()()1313118P A A P A P A ==，C 正确；满足事件23A A 的只有（1，1）一种情形，()()()2323136P A A P A P A ==，D 正确，故选ACD.[命题意图]该试题考查古典概型以及事件的相互独立性，是高考常考点之一，数学能力思维方面主要考查分类思维和运算思维.11.AC 解析：由复数模的几何意义知A 正确；由椭圆的定义知122a F F >，但002z z =-，故B 不正确；同理由双曲线的定义知C 正确；对于D ，由复数的几何意义知z 在复平面内对应点到两定点的距离相等，轨迹是直线，故D 不正确，故选AC.[命题意图]该试题考查复数模的几何意义、共轭复数等，是高考必考点，数学能力思维方面主要考查跳跃思维与认知思维.12.AC 解析：对于A ，显然正确；对于B ，令11x =-，22x =，则122e e e x x ++⋅=，12e e x x ++=，错误；同理D也错误；对于C ，当0x <时，()ln e 1ln 2ln 222xx x++-=->，成立，当0x ≥时，()()222ln e 1ln e 1ln e ln e e ln 22x x xxx x -+⎛⎫+-=+-=+≥ ⎪⎝⎭，正确，故选AC.[命题意图]该试题考查新情境、新定义下的数学知识的应用.是高考热点题目，数学能力思维方面主要考查创新思维和探索思维.13.79-解析：由已知得26cos314cos 70θθ--+=，解得1cos 3θ=或cos 2θ=（舍），故27cos 22cos 19θθ=-=-.[命题意图]该试题考查倍角公式以及一元二次方程，是高考常考点，数学能力思维方面主要考查方程思想和运算思想.14.54解析：由题得选派方法共有()2112323233C C C C A 54+=种.[命题意图]该试题考查排列组合知识，数学能力思维方面主要考查分类思想和抽象思维.15.3解析：延长2F H 交1F P 于点Q ，则2F Q b =，∵1260F PF ∠=︒，∴2PF PQ b ==，则12F Q a =，12120F QF ∠=︒，在12F QF △中，由余弦定理得222442c a b ab =++，即23a b =，则3e ==.[命题意图]该试题考查双曲线的定义与性质、余弦定理，数学能力思维方面主要考查方程思想和拓展思维.16.9解析：如图，连接BD ，交AC 于点O ，平面AMN 交PC 于点H ，交PO 于点G ，∵2PM MB =，2PN ND =，∴2PG GO =，即点G 是PBD △的重心，也是PAC △的重心，∴H 是PC 的中点，∴PC AH ⊥，∵PC BD ⊥，∴PC MN ⊥，又AH MN G = ，∴PC ⊥平面AMHN ，故1146329P AMHN V PH AH MN -=⋅⋅⋅⋅=.[命题意图]该试题考查截面问题、线面垂直、求几何体体积以及三角形重心的性质等，数学能力思维方面主要考查空间想象以及逻辑推理.17.解：（1）当1n =时，11241S a a =++，即121a d =+，∴()()()111112n a a n d d n d =+-=++-，即221n a d nd +=+.（2）∵38a =，∴1661d d +=+，解得3d =，∴31n a n =-，∴()()111111313233132n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，∴122311111111111325583132n n a a a a a a n n +⎛⎫++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪-+⎝⎭()1113232232nn n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭.[命题意图]该试题考查数列的性质、等差数列的定义与性质、裂项求和等，数学能力思维方面主要考查变换思维和跳跃思维.18.解：（1）如图，过点C 向x 轴引垂线交于点D ，由正弦曲线的性质知3AD DB =，由射影定理知2CD AD DB =⋅，而CD =，∴33DB DB =⋅，∴1DB =，∴24T πω==，解得2πω=.由102f ⎛⎫=⎪⎝⎭，得()24k k πϕπ+=∈Z ，当0k =时，4πϕ=-.（2）由（1）知()24f x x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭，∴()cos 224f x x ππ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭令()4f x '=，∴cos 242x ππ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则()2244x k k ππππ-=±∈Z ，∴4x k =或()41x k k =+∈Z ，∴其切点坐标为4,2k ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或()41,2k k ⎛+∈ ⎪⎝⎭Z .[命题意图]该试题考查三角函数的图象与性质、射影定理、导数的几何意义等，数学能力思维方面主要考查探索思维和拓展思维.19.解：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，则()1,0,0D ，()1,1,0C ，()0,2,0B ，()0,0,2P .当1λ=时，1,0,12M ⎛⎫⎪⎝⎭，()0,1,1N ，则1,1,02MN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()1,1,1DN =-，()1,0,1CN =- .设平面MDN 的法向量为(),,m x y z = ，平面DNC 的法向量为(),,n a b c =，∴102x y -+=且0x y z -++=，0a c -+=且0a b c -++=，令1y =，1a =，则()2,1,1m = ，()1,0,1n =，∴3cos ,262m n ==⨯ ，∴平面MDN 与平面DNC 的夹角大小为30°.（2）证明：设(),,M x y z '''，由DM MP λ=，得()()1,,,,2x y z x y z λ''''''-=---，∴12,0,11M λλλ⎛⎫⎪++⎝⎭，同理由AQ QP μ= ，得20,0,1Q μμ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，∴122,0,111MQ μλλμλ⎛⎫=-- ⎪+++⎝⎭.()0,2,2PB =- ，()1,1,0BC =- ，设平面PBC 的法向量为()111,,p x y z =，∴11220y z -=且110x y -=，令11x =，则()1,1,1p =，∴0p MQ ⋅= ，则1220111μλλμλ-+-=+++，即12μλ=+.[命题意图]该试题考查空间向量中的求夹角、线面平行等问题，是高考常考点，数学能力思维方面主要考查创新思维和数形结合思想.20.解：（1）证明：要证()111x f x x +≤≤-，即证11e 1x x x+≤≤-，设()e 1x h x x =--，∴()e 1x h x '=-，由()0h x '>，得0x >；由()0h x '<，得0x <，∴()h x 在0x =处取得最小值，即()()00h x h ≥=，∴e 1x x ≥+.当[)0,1x ∈时，∵e 1x x ≥+，用x -代替x ，得e 10x x -≥->，∴1e 1x x≤-，结论成立，∴不等式()111x f x x+≤≤-成立.（2）∵()22e x f x =，由题即证()e 1x x -与()e 1x x -+的大小，令()()()e 1e 1x x g x x x -=--+，∴()()ee x x g x x -'=-，当10,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，e e 0x x --≤，∴()g x 单调递减，∵()00g =，∴()0g x ≤，即()()e 1e 1x x x x --≤+，即有21e 1x x x≤+-，得证.[命题意图]该试题考查利用导数证明不等式，是高考必考点，数学能力思维方面主要考查构造思想和等价变换.21.解：（1）由已知得22m p =，且22212122p p m ⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2p =，∴抛物线C 的方程为24y x =.（2）由（1）知()1,2P ，设圆E ：()2221x y r ++=过点P 的切线方程为()21y k x -=-，设两条切线的斜率分别为1k ，2k，∴r =整理得()2224840r k k r --+-=，∴121k k =.设直线AB 方程为y tx n =+，代入C 的方程整理得2440ty y n -+=，设()11,A x y ，()22,B x y ，∴124y y t +=，124n y y t =，∴()()12121212221611122y y k k x x y y --=⋅==--++，∴48416n t t ++=，即32n t =-，∴直线AB 方程为()23y t x +=+，恒过点()3,2--.[命题意图]该试题考查抛物线的方程及其性质、直线与圆相切、直线与圆锥曲线的位置关系等，是高考必考内容，数学能力思维方面主要考查方程思想与转化思想。

A．[]0,1B．7．若不等式e lnx a x a+≥-0,∞+A．[)()()22g x g x ''∴-=-+，()'∴g x 关于()2,0中心对称，则()()4g x g x ''+=--，()g x 为奇函数，()()g x g x ∴-=-，左右求导得：()()g x g x ''--=-，()()g x g x ''∴=-，()'∴g x 为偶函数，图象关于y 轴对称，()()()()()()()844g x g x g x g x g x g x ''''''⎡⎤∴+=--+=-+=---=-=⎣⎦，()'∴g x 是周期为8的周期函数，()()()88g x g x g x '''∴-=-=，C 正确；()()5f x g x '+= ，()()225f g '∴-+-=，又()()220g g ''-==，()25f ∴-=，A 正确；令()()h x g x '=，则()()8h x h x +=，()()8h x h x ''∴+=，又()()5h x f x =-，()()858h x f x +=-+，()()8f x f x ''∴-+=-，即()()8f x f x +'='，D 正确；()()4g x g x ''+=- ，()()40g x g x ''∴++=，设()()()4F x g x g x =++，则()()()40F x g x g x '''=++=，()()F x C C ∴=∈R ，又()g x 为奇函数，()()()2220F g g ∴-=+-=，()0F x ∴=，即()()4g x g x +=-，B 错误.故选：ACD.结论点睛：本题考查利用抽象函数关系式求解函数周期性、对称性、奇偶性的问题；对于与导数有关的函数性质，有如下结论：①若()f x 连续且可导，那么若()f x 为奇函数，则()f x '为偶函数；若()f x 为偶函数，则()f x '为奇函数；②若()f x 连续且可导，那么若()f x '关于x a =对称，则()f x 关于点()(),a f a 对称；若()f x '关于(),0a 对称，则()f x 关于x a =对称.12．BD【分析】利用导数，根据极值点、零点、不等式恒成立、构造函数等知识对选项进行分析，从而。

数学参考答河北省2023届高三年级摸底考试案一、单选题1——4:BADD 5——8:BBBC 二、多选题9.AB10.ABD 11.BCD12.CD三、填空题13.1-14.15.116.12n n +⋅四、解答题17.【解析】(1)数列{}n a 中,0n a >,由112++=-n n n n a a a a ,可得2111=-+nn a a .…………………………………………………………………………2分又11111a ==,则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1公差为2的等差数列,则12)1(211-=-+=n n a n,则数列{}n a 的通项公式为121-=n a n .…………………………………………………4分(2)由(1)知121-=n a n ,则1111(21(21)(21)22121n n a b n n n n n ===-+-+-+,…………………………………6分则数列{}n b 的前n 项和111111111123352121221()()n S n n n =-+-++-=--++L ,………………………8分,012131,311210,312,*<+-≤-∴≤+<∴≥+∴∈n n n N n .2131,1121132<≤∴<+-≤∴n S n …………………………………………………10分18.【解析】(1)由题可知,X 的所有可能取值为0,30,50,60……………………………1分()010.40.6P X ==-=()()300.410.60.16P X ==⨯-=()500.40.6(10.8)0.048P X ==⨯⨯-=()600.40.60.80.192P X ==⨯⨯= (5)分所以X 的分布列为X0305060P0.60.160.0480.192………………………………………………………………………………………………6分(2)由(1)知,()00.6300.16500.048600.19218.72E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．若小康按照ABC 顺序答题,记Y 为小康答题的累计得分,则Y 的所有可能取值为0,10,30,60()010.80.2P Y ==-=()()100.810.60.32P Y ==-=()300.80.6(10.4)0.288P X ==⨯⨯-=()600.80.60.40.192P X ==⨯⨯=………………………………………………………10分所以()00.2100.32300.288600.19223.36E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=故小乐的判断正确…………………………………………………………………………12分19.【解析】(1)若选①,由正弦定理得,(),)()(a c a c b c b -=-+………………………2分即,222ac a c b -=-即,222ac b c a =-+2221cos ,222a cb ac B ac ac +-∴===……4分(0,),,3B B ππ∈∴=Q ……………………………………………………………………5分若选②cos2()3cos cos2()3cos cos23cos 1,A C B B B B B π++=-+=+=Q …………………2分,1cos 31cos 22=+-∴B B 即22cos 3cos 20,B B +-=即2cos -=B (舍)或21cos =B ,…………………………………………………………4分(0,),,3ππ∈∴=Q B B ……………………………………………………………………5分(2)BD AC ⊥Q ,BD 为AC 边上的高,当面积最大时,高取得最大值.…………………6分法一：由余弦定理得,B ac c a b cos 216222-+==,由重要不等式得162ac ac ac ≥-=,当且仅当a=c 时取等,……………….…….…….…….…….……….…………………9分所以34sin 21≤=∆B ac S ABC .…….…….…….…….…….…….………………10分所以AC 边上的高的最大值为4312b =..…….…….…….…….………………12分法二：由正弦定理得ABC ∆外接圆的直径为2sin b R B ==,.……………………7分利用正弦定理表示面积得:11sin sin 2233ABC S ac B A C B ∆==⋅122sin()sin()233A A A A ππ=-=-)363A π=-+≤……………………………………………………10分所以AC 边上的高的最大值为322134=b ..…….…….…….…….………………12分20.【解析】(1)证明：如右图,连接AE ,由题意知AB 为O 的直径,所以AE BE ⊥.因为AD ,EF 是圆柱的母线,所以AD EF ∥且AD EF =,所以四边形AEFD 是平行四边形.所以AE DF ∥,所以BE DF ⊥.因为EF 是圆柱的母线,所以EF ⊥平面ABE ,又因为BE ⊂平面ABE ,所以EF BE ⊥.又因为DF EF F = ,DF 、EF ⊂平面DEF ,所以BE ⊥平面DEF .………………………………………4分(2)由(1)知BE 是三棱锥B DEF -底面DEF 上的高,由(1)知EF AE ⊥,AE DF ∥,所以EF DF ⊥,即底面三角形DEF 是直角三角形.设DF AE x ==,BE y =,则22:6Rt ABE x y+=在中有,………………………………………………………………5分所以221113326622B DEF DEFx yV S BE x y-∆+⎛=⋅=⋅⋅⋅=≤=⎝,当且仅当3==yx时等号成立,即点E,F分别是»AB,»CD的中点时,三棱锥B DEF-的体积最大,…………………………………………………………………………………7分(:另解等积转化法:1.3B DEF D BEF D BCF B CDF CDFV V V V S BC----∆====⋅,)F CD E F AB CD易得当与距离最远时取到最大值此时、分别为 、 中点下面求二面角B DF E--的正弦值：法一：由(1)得BE⊥平面DEF,因为DF⊂平面DEF,所以BE DF⊥.又因为EF DF⊥,EF BE E⋂=,所以DF⊥平面BEF.因为BF⊂平面BEF,所以BF DF⊥,所以BFE∠是二面角B DF E--的平面角,……9分由(1)知BEF为直角三角形,则3BF==.故3sin3BEBFEBF∠==,所以二面角B DF E--的正弦值为分法二：由(1)知EA,EB,EF两两相互垂直,如图,以点E为原点,EA,EB,EF所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系E xyz-,则00000000(),(,,),(,B D E F.由(1)知BE⊥平面DEF,故平面DEF的法向量可取为00()EB=uuu r.设平面BDF的法向量为(,,)n x y z=,由((0,DF BF==,……………………………………………………8分得n DFn BF⎧⋅=⎨⋅=⎩,即⎧=⎪⎨+=⎪⎩,即xy=⎧⎪⎨=⎪⎩,取1z=,得n= (10)分设二面角B DF E --的平面角为θ,cos cos ,n EB n EB n EBθ⋅=<>==⋅r uur r uurr uur ,所以二面角B DF E --的正弦值为33.………………………………………………12分21.【解析】(1)解法一：由2ce a==得：2c a =,b ∴=,120PF PF ⋅=uuu r uuu rQ ,∴12PF PF ⊥,在12Rt F PF V 中,由122PF PF a -=得：222121224PF PF PF PF a +-=,代入222124PF PF c +=,126PF PF =得:224124c a -=解得:23b =,21a =,∴双曲线方程为：2213y x -=.………………………………………4分解法二：由2ce a==得：2c a =,b ∴==,设点()(),0P x y y >,则点P满足22221x y a b-=…①,120PF PF ⋅=uuu r uuu r Q ,()()222,,0c x y c x y x c y ∴---⋅--=-+=,即222x y c +=…②,121211222F PF S PF P y c F ⋅==,即3y c ⋅=…③,则由①②得：2b y c =,代入③得：23b =,21a =,∴双曲线方程为:2213y x -=.…………4分(2)解法一:当l 斜率不存在时,:2l x =,此时()2,3A ,()2,3B -,2(2)9QA QB m ⋅=--，uur uuu r当l 斜率为0时,:0l y =,此时()1,0A -,()10B ,,21QA QB m ⋅=-uur uuu r；QA QB ⋅若为定值，uur uuu r 22:(2)91.,0,1m m m QA QB ⋅=--=-=-则有解得uur uuu r:(10),:0.QA QB Q ⋅=-uur uuu r下证当为，时恒有；………………………………………………6分当l 斜率存在时,设():2l y k x =-,()11,A x y ,()22,B x y ,联立()22233y k x x y ⎧=-⎨-=⎩得()222234430k x k x k -+--=,则236360k ∆=+>,212243k x x k -∴+=-,2122433k x x k --=-,…………………………………8分()()121211QA QB x x y y ∴⋅=+++uur uuu r ()()212121212124x x x x k x x x x =++++-++⎡⎤⎣⎦()()()222121212114k x x k x x k =+--+++………………………………………………10分()()22222224341211433k k k k k k k ---=+--++--()222241(3)410.3k k k k+-=++=-综上所述：存在1m =-,使得0QA QB ⋅=uur uuu r；……………………………………………12分解法二：当l 斜率为0时,:0l y =,此时()1,0A -,()10B ,,由(),0Q m 得：21QA QB m ⋅=-uur uuu r；………………………………………………………………………6分当l 斜率不为0时,设:2l x ty =+,()11,A x y ,()22,B x y ,联立22233x ty x y =+⎧⎨-=⎩得：()22311290t y ty -++=,则236360t ∆=+>,1221231t y y t -∴+=-,122931y y t =-,…………………………………………………………8分()()()()11221212,,QA QB x m y x m y x m x m y y ∴⋅=-⋅-=--+uur uuu r2212121212(2)(2)(1)(2)()(2)ty m ty m y y t y y m t y y m =+-+-+=+⋅+-++-()2222222129(1215)9(1)(2)(2)(2)313131t m t t m t m m t t t --+=++-+-=+----,………………………10分若⋅uur uuu r QA QB 为定值,则1215931m -=-,1m ∴=-,()1,0Q ∴-,此时0QA QB ⋅=uur uuu r ；当1m =-,l 斜率为0时,210QA QB m ⋅=-=uur uuu r；综上所述,存在1m =-,使得0QA QB ⋅=uur uuu r；………………………………………………………………………………12分2min ln ln ln 122.(1)()ln 0,,(),()(0,),()0,(,),()0,()(0,)1(,),()(),20,();,()0,()x x x f x x ax a g x g x x x x x e g x x e g x g x e e g x g e ex g x x e g x x g x -'=+==-=-=''∈<∈+∞>∴+∞∴==-→→+∞><→+∞→【解析】令则设当时时在上单调递减，在上单调递增分时当时且时L L L L L L L L L L L L L L L L L Q 0,311,(),0,(),a f x a a f x e e∴<-=->分当时无零点当或时有一个零点L L L L L L L10,().5L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L a f x e-<<当时有两个零点分ln ()()()(2),((),7ln 10(0)ln 10(0),:()10(0)8()1,()1,(,0)x at atat t f x x x x f e x f e t f f t a x a ate t at t t at e t tf x e x h x x e h x e x --------=≤-⇔≤-++-≥>++-≥>+-≥>'=+-=-∈-∞设则分即证，即证即证，分设则当时L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L 00,()0,(0,),()0,()(,0),()(0),()(0)010110,0"",(1),,,()0x h x x h x h x h x h x h x e x a x ef x -'<∈+∞'>∴-∞+∞∴≥=∴+-≥==>-=当时在单调递减在，单调递增，分当且仅当时成立由知当时存在使得L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L ()11()()10,().12x f x f e xf x ef x a-∴+-≥∴≤-分分L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L。

河北省2023届高三模拟数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A．62B．82C．42 8．如图，在三棱锥S ABC-中，SA⊥平面ABC，AB与平面ABC所成的角为45︒，M为AC的中点，N是侧棱积最小时，异面直线SB与MN所成角的余弦值为（A．16B．23C．66二、多选题9．2022年6月18日，很多商场都在搞促销活动.重庆市物价局派人对同一天的销售量及其价格进行调查，得到该商品的售价据如下表所示：x9095100105110y1110865用最小二乘法求得y关于x的经验回归直线是 0.32y=-下列说法正确的有（）A．变量x与y负相关且相关性较强B．40a=$三、填空题四、解答题（1）若△CDE的面积为（2）若7CF＝418．若在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列二次得到数列1，a.n(1)求1n a+与n a满足的关系式；(1)证明：1A C ⊥平面ABC ；(2)若BC 与平面1AA B 所成角的正弦值为值.20．已知1F ，2F 分别为椭圆2222:1x y C a b+＝（到焦点距离的最小值与最大值之比为13，过（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过1F 的直线与椭圆C 相交的交点A 、是否存在最大值？若存在，试求出最大值；若不存在，说明理由．21．已知函数()ln(1)sin cos f x x x x =+++(1)当[0,π]x ∈时，求证：()0f x >；(2)若()1f x ax ≤+恒成立，求a 的值.22．某地区为居民集体筛查新型传染病毒，有以下两种检验方案，方案一，逐份检验，则需要检验份样本分别取样混合在一起检验一次，若检验结果为阴性，则验结果为阳性，为了确定k 份样本的阳性样本，则对合检验中的每一次检验费用都是16元，且料费和服务费．假设在接受检验的样本中，每份样本是否为阳性是相互独立的，且据统计每份样本是阴性的概率为()01p p <<．参考答案：在PAB △中，因为O 是AB 所以()12PO PA PB =+ ，平方得则BSE∠为异面直线SB与MN 因为SA⊥平面ABC，所以∠4SA AB==，所以42=SB又tanSA SESCAAC SC∠==，所以当145∠=OKB 时，1tan 1∠=OKB ，所以1=OO KO 由于//MN EF ，所以1D MN 为等腰直角三角形，MN 由于22EF =，所以四边形MNFE 为等腰梯形，必与则截面为六边形，故B 错误；若截面为正三角形EFG 时，则G 为1B B 的中点，所以三棱锥1D EFG -为正三棱锥，且2EF =设正三角形EFG 的外接圆的圆心为1O ，外接球的球心为则==DO OG R ，1262sin 603==EF O G ，因为所以22221111261003633⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭D O D G O G ，在若截面为四边形，则截面与底面1111D C B A 棱的交点必在平面1B EF 所成角的最大，此时的余弦值最小，连接1A 则11=FB B E ，1⊥OB EF ，四边形11A C EF 为等腰梯形，则1∠TOB 即为截面为11A C FE 时与平面1B EF 所成平面角，218=B T ，216218=+=TO ，在1 OTB 中，由余弦定理得22211111818cos 2218+-+-∠==⨯⨯B O OT TB TOB B O OT故选：AD.13．30【分析】利用二项式定理的原理与组合的意义求解即可【详解】因为()1022001201x x a a x a x +-=+++ ，所以若从10个()21x x +-式子中取出0个()2x -，则需要从中取出()0023********7C C C 1120x x x -=；若从10个()21x x +-式子中取出1个()2x -，则需要从中取出()1218831098C C C 190x x x -=-；24()PA PB PA PB ⋅=+ 当点P 在圆上运动时,当P 位于Q 处时,2PM 2[1,9],4PM PA PB ∈⋅∈所以[2,6]PA PB ⋅∈-故答案为:[]2,6-.15．2【分析】由递推公式可得数列周期【详解】因为1n n a a +⋅⋅两式相除得31n na a +=，即由12a =，212a =-，可得设{}n a 的前n 项积为T 所以当3n k =，N k ∈当31n k =+，N k *∈时，当32n k =+，N k *∈时，所以n T 的最大值为2.故答案为：216．32【分析】由离心率公式结合定义得出（2）过点C 作CF //AB ，以C 为坐标原点，CN 所在直线为x 轴，CF 间直角坐标系，则()()()(10,0,0,3,1,0,3,1,0,0,0,C BAA -()()(13,1,,0,2,0,3,AA m AB BC =-==- 设平面1AA B 的法向量为(),,t x y z =，则()()()()1,,3,1,3,,0,2,020t AA x y z m x y t AB x y z y ⎧⋅=⋅-=-++⎪⎨⎪⋅=⋅==⎩解得：0y =，设1x =，则3z m=，故平面1AA B 与平面11BB C C 夹角的余弦值为520．（1）22143x y +=；（2）存在，916π.【分析】（1）根据题意得到13a c a c -=+和22b a。

【新结构】2023-2024学年河北省部分学校高三上学期摸底考试数学试题❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知全集，，则集合B为()A. B.C. D.2.已知直线l、m、n与平面、，下列命题正确的是()A.若，，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，则3.若抛物线上一点到焦点的距离是4p，则p的值为()A. B. C. D.4.在党的二十大报告中，习近平总书记提出要发展“高质量教育”，促进城乡教育均衡发展.某地区教育行政部门积极响应党中央号召，近期将安排甲､乙､丙､丁4名教育专家前往某省教育相对落后的三个地区指导教育教学工作，则每个地区至少安排1名专家的概率为()A. B. C. D.5.蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关.如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”.画法如下：在水平直线上取长度为1的线段AB，作一个等边三角形ABC，然后以点B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧交线段CB的延长线于点第一段圆弧，再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧交线段AC的延长线于点E，再以点A为圆心，AE为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有15段圆弧时，“蚊香”的长度为()A. B.C. D.6.已知圆，直线与圆C 交于A ，B 两点.若为直角三角形，则()A.B. C. D.7.现有甲、乙两组数据，每组数据均由六个数组成，其中甲组数据的平均数为3，方差为5，乙组数据的平均数为5，方差为若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为()A.B.4C.D.58.“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼闵可夫斯基所创词汇，定义如下：在直角坐标平面上任意两点的曼哈顿距离为：已知点M 在圆上，点N在直线上，则的最小值为()A.B.C.D.二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

河北省沧州市（新版）2024高考数学人教版摸底(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知集合，，则（ ）A ．B ．ÆC ．D ．第(2)题已知函数（a ，b 为常数），且，则函数的图象的一条对称轴为（ ）A．直线B ．直线C ．直线D ．直线第(3)题已知平面向量与的夹角为．若，，，则（ ）A．B ．C ．D ．第(4)题已知圆，直线与圆交于，两点.若为直角三角形，则（ ）A ．B ．C ．D ．第(5)题函数的部分图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．第(6)题命题“，”的否定为（ ）A ．，B ．，C ．，D ．，第(7)题函数的单调递增区间是（ ）A ．B ．C ．D ．第(8)题为了解学生每天的体育活动时间，某市教育部门对全市高中学生进行调查，随机抽取1000名学生每天进行体育运动的时间，按照时长（单位：分钟）分成6组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，第六组．对统计数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论不正确的是（ ）A ．频率分布直方图中的B ．估计1000名学生每天体育活动不少于一个小时的学生人数为400C ．估计1000名学生每天体育活动时间的众数是55D．估计1000名学生每天体育活动时间的第25百分位数为二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题某学校课外社团活动课上，数学兴趣小组进行了一次有趣的数学实验操作，课题名称“不用尺规等工具，探究水面高度”.如图甲，是一个水平放置的装有一定量水的四棱锥密闭容器（容器材料厚度不计），底面为平行四边形，设棱锥高为，体积为，现将容器以棱为轴向左侧倾斜，如图乙，这时水面恰好经过，其中分别为棱的中点，则（）A．水的体积为B．水的体积为C．图甲中的水面高度为D．图甲中的水面高度为第(2)题摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．某摩天轮最高点距离地面高度为110米，转盘直径为100米，摩天轮的圆周上均匀地安装了36个座舱，游客甲从距离地面最近的位置进舱，开启后摩天轮按逆时针方向匀速旋转，开始转动t分钟后距离地面的高度为H米，当时，游客甲随舱第一次转至距离地面最远处．如图，以摩天轮的轴心O为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系，则，下列说法中正确的是（）A．关于的函数是偶函数B．若在时刻，游客甲距离地面的高度相等，则的最小值为30C．摩天轮旋转一周的过程中，游客甲距离地面的高度不低于85米的时长为10分钟D ．若甲、乙两游客分别坐在两个座舱里，且两人相隔5个座舱（将座舱视为圆周上的点），则劣弧的弧长米第(3)题已知函数的定义域为，，则下述正确的是（）A．为奇函数B．为偶函数C．的图象关于直线对称D．的图象关于点对称三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知圆柱的两个底面的圆周在表面积为的球O的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为______.第(2)题已知函数，令，，若，则的最大值为__________.第(3)题某元宵灯谜竞猜节目，有6名守擂选手和6名复活选手，从复活选手中挑选一名选手为攻擂者，从守擂选手中挑选1名选手为守擂者，则攻擂者、守擂者的不同构成方式共有______种．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知函数.(1)若，求的单调区间；(2)若恒成立，求的取值集合.第(2)题已知椭圆的左焦点为，且．(1)求椭圆的方程；(2)斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，设点，直线，分别与椭圆交于不同的点，若和点共线，求的值．第(3)题已知函数，，.(1)讨论函数的单调性；(2)当时，恒成立，求的取值范围.第(4)题某班甲、乙两名同学参加100米达标训练，在相同条件下两人10次训练的成绩(单位：秒)如下：12345678910甲11.612.213.213.914.011.513.114.511.714.3乙12.313.314.311.712.012.813.213.814.112.5(1)请作出样本数据的茎叶图；如果从甲、乙两名同学中选一名参加学校的100米比赛，从成绩的稳定性方面考虑，选派谁参加比赛更好，并说明理由(不用计算，可通过统计图直接回答结论)．(2)从甲、乙两人的10次训练成绩中各随机抽取一次，求抽取的成绩中至少有一个比12.8秒差的概率．(3)经过对甲、乙两位同学的多次成绩的统计，甲、乙的成绩都均匀分布在[11.5，14.5]之间，现甲、乙比赛一次，求甲、乙成绩之差的绝对值小于0．8秒的概率．第(5)题在平面直角坐标系中，圆为的内切圆.其中.（1）求圆的方程及点坐标；（2）在直线上是否存在异于的定点使得对圆上任意一点，都有为常数 )？若存在，求出点的坐标及的值；若不存在，请说明理由.。

河北省沧州市2024高三冲刺（高考数学）部编版摸底(提分卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题半径为2，中心角为的扇形的面积等于（ ）A．B．C ．D ．第(2)题已知复数，则（ ）A ．B．C ．D ．第(3)题若一个等比数列的公比为3，且首项为2，则该数列的第4项为（ ）A ．18B ．36C ．54D ．162第(4)题展开式中的系数为（ ）A ．15B ．20C ．30D ．0第(5)题在等差数列中，，则（ ）A ．8B ．9C ．11D ．12第(6)题已知的展开式中项的系数为160，则当，时，的最小值为（ ）A．4B ．C ．2D ．第(7)题某地的中学生中有的同学爱好滑冰，的同学爱好滑雪，的同学爱好滑冰或爱好滑雪，在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（ ）A ．0.8B ．0.4C ．0.2D ．0.1第(8)题已知向量和不共线，向量，，，若､､三点共线，则（ ）A ．3B ．2C ．1D ．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知椭圆：，，分别为它的左右焦点，，分别为它的左右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ）A．存在P 使得B ．的最小值为C ．，则的面积为9D ．直线与直线斜率乘积为定值第(2)题在三棱锥A －BCD 中，AB ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，AB ＝BC ＝1，BD ＝，三棱锥A －BCD 的所有顶点均在球O 的表面上，若点M 、N 分别为△BCD 与△ABD 的重心，直线MN 与球O 的表面相交于F 、G 两点，则（ ）A ．三棱锥A －BCD 的外接球表面积为B ．点O 到线段MN 的距离为C ．D ．第(3)题已知R ，复数，，则（ ）A ．，B ．若，时，C．若，，，则D．若，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知复数z满足（其中，i为虚数单位），则______.第(2)题定义：各项均不为零的数列中，所有满足的正整数的个数称为这个数列的变号数.已知数列的前项和，令，若数列的变号数为2，则实数的取值范围是______.第(3)题已知函数，若对任意，则所有满足条件的有序数对是_________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知函数．(1)判断并证明的零点个数(2)记在上的零点为，求证;（i）是一个递减数列（ii）．第(2)题在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线和曲线的极坐标方程；(2)已知射线：，将射线顺时针方向旋转得到：，且射线与曲线交于、两点，射线与曲线交于，两点，求的最大值.第(3)题已知函数，.（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若函数在上是减函数，求实数的取值范围.第(4)题已知函数.（1）当时，解不等式；（2）若不等式恒成立，求的最大值.第(5)题电信诈骗具有手段多样、犯罪组织性强、犯罪涉案区域辐射广泛等特点，严重危害群众财产安全，扰乱正常生产生活秩序，已成为影响社会稳定的突出问题.为此公安机关多次组织反诈骗宣传，力求使人民群众的损失降到最低，下面是某市连续四年电信犯罪案件的统计数据.年度2018201920202021年度代号x1234电信诈骗案件数y280250210180(1)请利用所给数据求电信诈骗案件数y与年度序号x之间的回归直线方程.并估算2022年诈骗案件数；(2)公安机关按统计学的方法从2018~2021年电信犯罪案件中抽取100个案例，分析了参与反诈骗意识宣传教育与是否被电信诈骗的关系，得到下表，则能否有99.5%的把握认为不参与反诈骗安全教育与被电信诈骗有关.不参与反诈骗安全教育参与反诈骗安全教育被诈骗146未被诈骗成功2654参考公式：，其中，参考公式：参考数据附表0.1000.0500.0100.0050.0012.70663.841 6.6357.87910.828。

河北省沧州市（新版）2024高考数学部编版摸底(强化卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题设函数，其中，若、、是的三条边长，则下列结论：①对于一切都有；②存在使、、不能构成一个三角形的三边长；③为钝角三角形，存在，使，其中正确的个数为______个A．3B．2C．1D．0第(2)题已知集合，集合，则（）A．B．C．D．第(3)题（）A．i B．C．1D．第(4)题某几何体的三视图如图所示，三个视图中的正方形的边长均为，俯视图中的两条曲线均为圆弧，则该几何体的体积为A．B．C．D．第(5)题阅读如图的程序框图，若输入的是100，则输出的变量和的值依次是（）A．2550，2500B．2550，2550C．2500，2500D．2500，2550第(6)题已知椭圆的左顶点为，右焦点为F，B为椭圆上一点，，，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．第(7)题设是等比数列，则“”是“为递增数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件第(8)题若，函数（）的值域为，则的取值范围是（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知a，b，c为三条不同的直线，为两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则第(2)题总和生育率有时也简称生育率，是指一个人口群体的各年龄别妇女生育率的总和．它反映的是一名妇女在每年都按照该年龄别现有生育率生育的假设下，在育龄期间生育的子女总数．为了了解中国人均GDP x（单位：万元）和总和生育率y以及女性平均受教育年限z（单位：年）的关系，采用2012~2022近十年来的数据绘制了散点图，并得到经验回归方程，，对应的决定系数分别为，，则（）A．人均GDP和女性平均受教育年限正相关．B．女性平均受教育年限和总和生育率负相关C．D．未来三年总和生育率一定继续降低第(3)题已知，若（为自然对数的底数），则（）A．B．C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题的展开式中含项的系数为______．（用数字作答）第(2)题已知双曲线的左，右焦点分别为，，过右焦点的直线交该双曲线的右支于，两点(点位于第一象限)，的内切圆半径为，的内切圆半径为，且满足，则直线的斜率为___________.第(3)题已知集合，，若则实数的值为________四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知，函数.(1)过原点作曲线的切线，求切线的方程；(2)证明：当或时，.第(2)题某商场零食区改造，如图，原零食区是区域，改造时可利用部分为扇形区域，已知，米，米，区域为三角形，区域是以为半径的扇形，且．(1)若需在区域外轮廓地面贴广告带，求广告带的总长度；(2)在区域中，设置矩形区域作为促销展示区，求促销展示区的面积的最大值．第(3)题某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产.其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如下五组质量指标值：.根据长期检测结果，得到芯片的质量指标值服从正态分布，并把质量指标值不小于80的产品称为等品，其它产品称为等品. 现从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图.(1)根据长期检测结果，该芯片质量指标值的标准差的近似值为11，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值. 若从生产线中任取一件芯片，试估计该芯片为等品的概率(保留小数点后面两位有效数字)；(①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据:若随机变量服从正态分布，则，. )(2)（i）从样本的质量指标值在和[85，95]的芯片中随机抽取3件，记其中质量指标值在[85，95]的芯片件数为，求的分布列和数学期望；（ii）该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的芯片按100件一箱包装. 已知一件等品芯片的利润是元，一件等品芯片的利润是元，根据(1)的计算结果，试求的值，使得每箱产品的利润最大.第(4)题已知数列的各项均为正整数，设集合，，记的元素个数为.(1)若数列A:1，3，5，7，求集合，并写出的值;(2)若是递减数列，求证:“”的充要条件是“为等差数列”;(3)已知数列，求证:.第(5)题已知函数，.（1）求的单调区间，并求当时，的最大值；（2）若对任意的，恒成立，求的取值范围.。