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沧衡名校联盟高三年级2023—2024学年上学期期末联考数学考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若(12i)(32i)2i z ---=+，则z =（ ）A.33i- B.33i+ C.33i-+ D.33i--2.已知集合{}ln 1M x x =>，{}(1)(4)0N x x x =-->，则()M N =R ð（ ）A.{}ex x > B.{}4x x ≥C.{}1ex x ≤< D.{}e 4x x <≤3.已知向量,a b 满足2(2,3)a b +=- ，2(1,2)a b -=- ，则221||||4a b -= （ ）A.2B.1C.1-D.2-4.已知0αβπ<<<，则“tan tan 1αβ=-”的充要条件为（ ）A.2παβ+=B.αβπ+= C.2πβα-=D.4πβα-=5.已知椭圆22:13620x y C +=的左焦点为F ，M ，N 为C 上关于坐标原点O 对称的两个点，若MNF △的周长为22，则||OM =（ ）A.4B.5C.8D.106.某次乒乓球团体赛为五场三胜制，第一、二、四、五场为单打，第三场为双打，每支队伍有3名队员，每名队员出场2次，则每支队伍不同的出场安排种数为（ ）A.18B.27C.36D.457.将两个相同的正棱锥的底面重叠组成的几何体称为“正双棱锥”.如图，在正双三棱锥P ABC Q --中，,,PA PB PC 两两互相垂直，则二面角P AB Q --的余弦值为（ ）A. B. C.12-D.13-8.直线2y x =与曲线2e xy x =-的公共点的个数为（ ）A.1B.2C.3D.4二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.在一次数学考试中，某班成绩的频率分布直方图如图所示，则（）A.该班数学成绩的极差大于40B.该班数学成绩不低于115分的频率为0.15C.该班数学成绩在[95,105)内的学生比在[95,105)外的学生少D.估计该班数学成绩的20%分位数为97.510.已知函数()2cos()f x x ωϕ=+（0ω>，22ππϕ-<<）的部分图象如图所示，其中(0,1)A ，(4,1)B ，则（ ）A.2πω=B.3πϕ=C.()f x 在26,103⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减D.()f x 的图象向右平移23个单位长度后所得图象对应的函数为奇函数11.已知函数()()e (0)xf x ax b a =+≠满足(1)()(2)()x f x x f x '+=+（()f x '为()f x 的导函数），且()f x 在0x =处的切线倾斜角小于45︒，则（ ）A.1a b =+ B.102a <<C.()f x 有且仅有1个零点D.()f x 有且仅有1个极值点12.已知抛物线21:4y x Γ=的焦点为F ，准线为l ，A 是Γ上除坐标原点O 以外的动点，过点A 且与Γ相切的直线m 与y 轴交于点B ，与x 轴交于点C ，AD l ⊥，垂足为D ，则下列说法正确的是（ ）A.||||FA AD +的最小值为2B.若点B 落在l 上，则A 的横坐标为2C.四边形AFBD 为菱形D.||OB ，||BC ，||BD 成等比数列三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知n a =，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则21S =_________.14.若正数a ，b 满足222a b ab +=，则b 的最小值是_________.15.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现了平面内到两个定点的距离之比为定值(1)λλ≠的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.已知(0,P ，Q 为直线3y x =-上的动点，R 为圆22:4O x y +=上的动点，则1||||2RQ PR +的最小值为_________.16.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，M 为棱1CC 的中点，P ，Q 分别为线段1AC ，BM 上的动点，则PQ 的最小值为_________.四、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）已知在等差数列{}n a 中，37a =，5629a a +=.（I ）求{}n a 的通项公式；（II ）若{}n n b a +是等比数列，且10b =，22b =-，求数列{}n b 的前n 项和n S .18.（12分）在ABC △中，222sin sin sin cos cos B C C B A +=-.（I ）求A ；（II ）若24AB AC ==，点D 在边BC 上，AD 平分BAC ∠，求AD 的长.19.（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，23BAD π∠=，PA ⊥平面ABCD ，PA AD =，E 为棱CD 的中点，点Q 在棱PB 上.（I ）证明：平面QCD ⊥平面PAE ；（II ）若Q 为PB 的中点，求直线PE 与平面QCD 所成角的正弦值.20，（12分）一只LED 灯能闪烁红、黄、蓝三种颜色的光，受智能程序控制每隔1秒闪一次光，相邻两次闪光的颜色不相同.若某次闪红光，则下次有12的概率闪黄光；若某次闪黄光，则下次有34的概率闪蓝光；若某次闪蓝光，则下次有14的概率闪红光.已知第1次闪光为红光.（I ）求第4次闪光为红光的概率；（II ）求第n 次闪光为红光的概率.21.（12分）已知双曲线E 是关于x 轴和y 轴均对称的等轴双曲线，且经过点(4,.（I ）求E 的方程；（II ）若(,)A m n 是E 上一动点，直线8mx ny -=与E 交于B ，C 两点，证明：ABC △的面积为定值.22.（12分）已知函数()sin 2xf x x π=-.（I ）设0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且2cos θπ=，求()f x 在区间(1,1)-内的单调递减区间（用θ表示）；（II ）若0a >，函数()()ln ||g x f x a x =-有且仅有2个零点，求a 的值.沧衡名校联盟高三年级2023—2024学年上学期期末联考数学·答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.B 2.D 3.A 4.C 5.B 6.C 7.D 8.C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分每小题全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.BD10.AC11.BCD12.ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.211114.215.四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚.17.解析（I ）设{}n a 的公应为d .由3367,29,a a a =⎧⎨+=⎩得1127,2929,a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得11,3,a d =⎧⎨=⎩所以13(1)32n a n n =+-=-.（II ）由（I ）可知11a =，24a =，则111a b +=，222a b +=.因为{}n n b a +是等比数列，所以公比为2211221a b a b +==+，所以12n n n b a -+=，所以112(32)223n n n b n n --=--=+-.所以2123(1)3122112222n n n n n S n n n -+=+-=--+-.18.解析记内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.（I ）因为222sin si cos cos n sin C B A B C +=-，所以222sin sin sin sin sin B C C A B +=-，由正弦定理得222bc c a b +=-，故由余弦定理可得2221cos 22b c a A bc +-==-，因为0A π<<，所以23A π=.（II ）因为AD 平分BAC ∠，所以3BAD π∠=，因为2AB AC =，所以2BD CD =，所以23ABD ABC S S =△△，所以1212sin sin 23323c AD c b ππ⋅⋅=⋅⋅⋅，即12124sin 42sin 23323AD ππ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯，所以43AD =.19.解析（I ）如图，连接AC .由已知可得ACD △为正三角形，又E 为CD 的中点，所以CD AE ⊥.因为PA ⊥平面ABCD ，所以CD PA ⊥.因为PA AE A = ，所以CD ⊥平面PAE ，因为CD ⊂平面QCD ，所以平面QCD ⊥平面PAE .（II ）由已知得2BAE π∠=，所以,,AB AE AP 两两互相垂直，以A 为坐标原点，,,AB AE AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图.设2AD =，则(0,0,0)A ，(0,0,2)P ，(2,0,0)B，E ，(1,0,1)Q ，1(1,0,0)2EC AB ==，(1)QE =--，2)PE =-.设平面QCD 的法向量为(,,)n x y z =，则0,0,EC n x QE n x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩可取n = .设直线PE 与平面QCD 所成的角为θ，则||sin |cos ,|||||PE n PE n PE n θ⋅=〈〉===.20.解析（I ）由题意，前4次闪光的顺序为“红共蓝红”或“红蓝黄红”，所以131131324424416P =⨯⨯+⨯⨯=.（I ）设事件n A 表示“第n 次闪光为红光”，事件n B 表示“第n 次闪光为黄光”，事件n C 表示“第n 次闪光为蓝光”，且()()n P A f n =，()()n P B g n =，则()1()()n P C f n g n =--，由题意知()1(1)1f P A ==，当2n ≥时，()()()()()1111n n n n n n n P A P B P A B P C P A C ----=+，即11()(1)[1(1)(1)]44f n g n f n g n =-+----，整理得11()(1)44f n f n =--，所以111()(1)545f n f n ⎡⎤-=---⎢⎥⎣⎦，所以1()5f n ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以14(1)55f -=为首项，14-为公比的等比数列，所以1141()554n f n -⎛⎫-=⋅- ⎪⎝⎭，故()1411()545n n P A f n -⎛⎫==⋅-+ ⎪⎝⎭，即第n 次闪红光的概率为1411545n -⎛⎫⋅-+⎪⎝⎭.21.解析（I ）因为E 是关于x 轴和y 轴均对称的等轴双曲线，故可设其方程为22x y λ-=，又E经过点，所以2244λ=-=，所以E 的方程为224x y -=，即22144x y -=.（II ）因为(,)A m n 在E 上，所以224m n -=.联立方程得224,8,x y mx ny ⎧-=⎨-=⎩消去x 整理可得()2222164640m n y ny m --+-=，将224m n =+代入，可得224120y ny n -+-=.所以()2221641212480n n n ∆=--=+>.设()11,B x y ，()22,C x y ，则124y y n +=，21212y y n =-，所以1||BC y =-===.点A 到直线BC的距离为d ，所以ABC △的面积为11||22BC d ==，所以ABC △的面积为定值.22.解析（I ）()1cos 22xf x ππ'=-，由()0f x '=，得2cos2xππ=，当(1,1)x ∈-时，,222x πππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以2x πθ=±，即2x θπ=±，当22x θθππ-<<时，()0f x '<，当21x θπ-<<-或21x θπ<<时，()0f x '>，所以()f x 在区间(1,1)-内的单调递减区间为22,θθππ⎛⎫- ⎪⎝⎭.（II ）依题意，()sinln ||2xg x x a x π=--，定义域是(,0)(0,)-∞+∞ .（i ）当0x <时，有(1)0g -=.当1x <-时，sin12xπ-≤，ln ||0a x -<，所以()0g x <；当10x -<<时，由(I)知()f x 在21,θπ⎛⎫--⎪⎝⎭单调递增，在2,0θπ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减，又(1)(0)0f f -==，所以()sin 02xf x x π=->，又ln ||0a x ->，所以()0g x >.所以()g x 在(,0)-∞总有唯一的零点1-.（ii ）当0x >时，有(1)0g =，()1cos22xag x xππ'=--，(1)1g a '=-.若1a =，有()ln sin1sin022xxg x x x ππ=--≥-≥，当且仅当1x =时两个不等号中的等号同时成立，可知()g x 在(0,)+∞有且仅有1个零点1，符合题意.若1a >，有()g x '在(1,2)单调递增，(2)122a g π'=+-.①若(2)0g '≤，则当(1,2)x ∈时，有()0g x '<；②若(2)0g '>，又(1)0g '<，则可知1(1,2)x ∃∈，使得()10g x '=.由①②，可知()g x 在()11,x 单调递减，所以()1(1)0g x g <=，又当x →+∞时，()g x →+∞，所以()g x 在(1,)+∞至少有1个零点，则可知()g x 在(0,)+∞至少有2个零点，不符合题意.若01a <<，有()g x '在(0,1)单调递增，又(1)0g '>，11202g a ⎛⎫'=-<⎪⎝⎭，则可知2(0,1)x ∃∈，使得()20g x '=，且()g x 在()2,1x 单调递增，则有()2(1)0g x g <=，又当0x →时，()g x →+∞，所以()g x 在(0,1)至少有1个零点，则可知()g x 在(0,)+∞至少有2个零点，不符合题意.综上可知，1a =.。
河北省各地2023-2024学年高一上数学期末学业质量监测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共12小题，共60分）1．由直线1y x =+上的点向圆()2231x y -+=作切线，则切线长的最小值为（ ）A.1C.D.32．已知角α的始边与x 轴的正半轴重合，顶点在坐标原点，角α终边上的一点P ，若α=π4，则点P 的坐标为 ( )A.(1，1)D.(1，1)3．下列说法错误的是（） A.球体是旋转体B.圆柱的母线垂直于其底面C.斜棱柱的侧面中没有矩形D.用正棱锥截得的棱台叫做正棱台4．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数, 且在区间[0,)+∞单调递增.若实数a 满足212(log )(log )2(1)f a f a f +≤, 则a 的取值范围是 A.[1,2]B.10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C.1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.(0,2]5．函数()2x f x =的定义域为（ ） A.[1,)+∞ B.()0,∞+ C.[)0,+∞D.R6．已知cos α＝13，cos(α＋β)＝－13，且α，β∈0,2π⎛⎫⎪⎝⎭，则cos(α－β)的值等于 A.－12 B.12 C.－13 D.23277．已知3,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，tan 2α=，则cos α的值为 A.55-B.55 C.255-D.2558．已知函数()f x 与()g x 的部分图象如图1（粗线为()f x 部分图象，细线为()g x 部分图象）所示，则图2可能是下列哪个函数的部分图象（）A.()()y f g x = B.()()y f x g x = C.()()y g f x = D.()()f x yg x =9．设a >0，b >0，化简的结果是（ ）A.B.C.D.-3a10． “1a <”是“关于x 的方程2210ax x -+=有实数根”的（） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件11．函数()121f x x x =--的定义域为（） A.（－∞，2）B.（－∞，2]C.()(),11,2-∞⋃D.()(],11,2-∞⋃12．若函数()()R f x x ∈是偶函数，函数()()R g x x ∈是奇函数，则（） A.函数()()f x g x +是奇函数 B.函数()()⋅f x g x 是偶函数 C.函数()f g x ⎡⎤⎣⎦是偶函数D.函数()g f x ⎡⎤⎣⎦是奇函数二、填空题（本大题共4小题，共20分）13．设θ为向量,a b 的夹角，且2a b a b +=-，3a =，则cos θ的取值范围是_____. 14．函数()2252f x x x =-+的单调减区间为__________15．如图所示，将等腰直角ABC 沿斜边BC 上的高AD 折成一个二面角，使得60B AC '∠=︒．那么这个二面角大小是_______16．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是______三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．已知集合{}|33A x a x a =-≤≤+，{}2|40B x x x =-≥.（1）当2a =时，求A B ，A B ；（2）若0a >，且“x A ∈”是“Rx B ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.18．已知函数1()log 1ax f x x +=-，（0a >且1a ≠．） （1）求()f x 的定义域，并判断函数()f x 的奇偶性； （2）设1a >，对于[2,7]x ∈，()log (1)(8)amf x x x >--恒成立，求实数m 的取值范围19．如图，在三棱柱ABC A B C '''-中，侧棱CC '⊥底面ABC ，AB AC =，,,D E F 分别为棱,,AA BB BC ''的中点（1）求证：BC AF '⊥；（2）若2,22,AB BC CC ==='求三棱锥D AEF -的体积 20．设函数()()212f x ax b x =+-+.（1）若不等式()0f x <的解集为()1,2，求实数a ，b 的值； （2）若()15f -=，且存在x ∈R ，使()1f x <成立，求实数a 的取值范围.21．如图，射线OA 、OB 分别与x 轴正半轴成30和45︒角，过点()1,0P 作直线AB 分别交OA 、OB 于A 、B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线12y x =-上时，求直线AB 的方程22．已知平行四边形ABCD 的三个顶点的坐标为(123)A a a --，.（Ⅰ）在ABC ∆中，求边AC 中线所在直线方程 （Ⅱ） 求ABC ∆的面积.参考答案一、选择题（本大题共12小题，共60分） 1、B【解析】先求圆心到直线的距离，此时切线长最小，由勾股定理不难求解切线长的最小值 【详解】切线长的最小值是当直线1y x =+上的点与圆心距离最小时取得， 圆心(3,0)到直线的距离为222d =圆的半径为1，22817d r -- 故选：B【点睛】本题考查圆的切线方程，点到直线的距离，是基础题 2、D【解析】设出P 点坐标（x ，y ），利用正弦函数和余弦函数的定义结合4π的三角函数值求得x ，y 值得答案 【详解】设点P 的坐标为(x ，y)，则由三角函数的定义得π42π42sin cos ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即π214π2 1.4x cos y sin ⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩，故点P 的坐标为(1，1). 故选D【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，是基础的计算题 3、C【解析】利用空间几何体的结构特征可得.【详解】由旋转体的概念可知，球体是旋转体，故A 正确； 圆柱的母线平行于圆柱的轴，垂直于其底面，故B 正确； 斜棱柱的侧面中可能有矩形，故C 错误； 用正棱锥截得的棱台叫做正棱台，故D 正确. 故选：C. 4、C 【解析】函数是定义在上的偶函数，∴，等价为），即．∵函数是定义在上的偶函数，且在区间单调递增，∴）等价为．即，∴，解得,故选项为C考点：（1）函数的奇偶性与单调性；（2）对数不等式.【思路点晴】本题主要考查对数的基本运算以及函数奇偶性和单调性的应用，综合考查函数性质的综合应 用根据函数的奇偶数和单调性之间的关系，综合性较强.由偶函数结合对数的运算法则得：，即，结合单调性得：将不等式进行等价转化即可得到结论.5、D【解析】利用指数函数的性质即可得出选项. 【详解】指数函数()2x f x =的定义域为R . 故选：D 6、D【解析】∵α∈0,2π⎛⎫⎪⎝⎭，∴2α∈(0，π)．∵cos α＝13，∴cos 2α＝2cos 2α－1＝－79，∴sin 2α22129cos α－＝，而α，β∈0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴α＋β∈(0，π)，∴sin(α＋β)221()3cos αβ+－＝， ∴cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]＝cos 2αcos(α＋β)＋sin 2αsin(α＋β)＝714222()9393⎛⎫-⨯-⨯⨯ ⎪⎝⎭＝2327. 7、A【解析】根据角的范围可知sin 0α<，cos 0α<；利用同角三角函数的平方关系和商数关系构造方程可求得结果. 【详解】由3,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可知：sin 0α<，cos 0α< 由22sin tan 2cos sin cos 1ααααα⎧==⎪⎨⎪+=⎩得：5cos 5α=- 本题正确选项：A【点睛】本题考查同角三角函数值的求解，关键是能够熟练掌握同角三角函数的平方关系和商数关系，易错点是忽略角的范围造成函数值符号错误. 8、B【解析】结合函数的奇偶性、特殊点的函数值确定正确选项. 【详解】由图1可知()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，A 选项，()()()()()()f g x f g x f g x -=-=，所以()()y f g x =是偶函数，不符合图2.A 错. C 选项，()()()()g f x g f x -=，所以()()y g f x =是偶函数，不符合图2.C 错.D 选项，()00g =，所以()()f x yg x =的定义域不包括0，不符合图2.D 错.B 选项，()()()()f x g x f x g x --=-，所以()()y f x g x =是奇函数，符合图2，所以B 符合. 故选：B 9、D【解析】由分数指数幂的运算性质可得结果. 【详解】因为，，所以.故选：D. 10、A【解析】根据给定条件利用充分条件、必要条件的定义直接判断作答. 【详解】当0a =时，方程的实数根为12x =， 当0a ≠时，方程2210ax x -+=有实数根，则440a ∆=-≥，解得1a ≤，则有1a ≤且0a ≠， 因此，关于x 的方程2210ax x -+=有实数根等价于1a ≤，所以“1a <”是“关于x 的方程2210ax x -+=有实数根”的充分而不必要条件. 故选：A 11、D【解析】利用根式、分式的性质列不等式组求定义域即可.【详解】由题设，2010x x -≥⎧⎨-≠⎩，可得(,1)(1,2]x ∈-∞⋃，所以函数定义域为()(],11,2-∞⋃. 故选：D 12、C【解析】根据奇偶性的定义判断即可；【详解】解：因为函数()()R f x x ∈是偶函数，函数()()R g x x ∈是奇函数，所以()()f x f x -=、()()g x g x -=-， 对于A ：令()()()1h x f x g x =+，则()()()()()1h x f x g x f x g x -=-+-=-，故()()()1h x f x g x =+是非奇非偶函数，故A 错误；对于B ：令()()()2h x f x g x =⋅，则()()()()()()22h x f x g x f x g x h x -=-⋅-=-⋅=-，故()()()2h x f x g x =⋅为奇函数，故B 错误；对于C ：令()()3h x f g x =⎡⎤⎣⎦，则()()()()()33h x f g x f g x f g x h x -=-=-==⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦，故()()3h x f g x =⎡⎤⎣⎦为偶函数，故C 正确；对于D ：令()()4h x g f x ⎡⎤=⎣⎦，则()()()()44h x g f x g f x h x ⎡⎤⎡⎤-=-==⎣⎦⎣⎦，故()()4h x g f x ⎡⎤=⎣⎦为偶函数，故D 错误； 故选：C二、填空题（本大题共4小题，共20分） 13、3[,1]5【解析】将2a b a b +=-平方可得cos θ22293119101010b a b b a b b b⎛⎫++ ⎪=⋅==+ ⎪⎝⎭，利用对勾函数性质可得最小值，从而得解.【详解】两个不共线的向量a ，b 的夹角为θ，且2a b a b +=-， 可得：22222484a a b b a a b b +⋅+=-⋅+，可得cos θ2229311931010105b a b b a b b b⎛⎫++ ⎪=⋅==+≥ ⎪⎝⎭那么cos θ的取值范围：3,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦故答案为3,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查向量的数量积的应用，向量夹角的求法，考查计算能力，属于中档题. 14、1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦##1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【解析】由幂函数、二次函数的单调性及复合函数单调性的判断法则即可求解.【详解】解：函数()f x =[)1,2,2⎛⎤-∞+∞⎥⎝⎦，令()f u =()2252x x u x =-+，[)1,2,2x ⎛⎤∈-∞+∞ ⎥⎝⎦，因为函数()fu =[)0,∞+上单调递增，()2252x x u x =-+在1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上单调递减，在[)2,+∞上单调递增， 所以函数()f x =1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，单调增区间为[)2,+∞.故答案为：1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.15、2π 【解析】首先利用余弦定理求得B C '的长度，然后结合三角形的特征确定这个二面角大小即可. 【详解】由已知可得B DC '∠为所求二面角的平面角， 设等腰直角ABC ，则1B D CD '==， 由余弦定理可得：B C '==， 则在B DC '中，222B D CD B C ''+=，2B DC π'∴∠=即所求二面角大小是2π. 故答案为：π216、【解析】根据指数函数与二次函数的单调性，以及复合函数的单调性的判定方法，求得在上单调递增，在区间上单调递减，再结合题意，即可求解.【详解】令，可得抛物线的开口向上，且对称轴为，所以函数在上单调递减，在区间上单调递增，又由函数，根据复合函数的单调性的判定方法， 可得函数在上单调递增，在区间上单调递减，因为函数在上单调递减，则，可得实数的取值范围是.故答案：.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17、（1）{|45}A B x x ⋂=，{|0A B x x ⋃=或1}x ； （2）(0,1)【解析】（1）当2a =时，求出集合A ，B ，由此能求出A B ，A B ；（2）推导出0a >，R A B 是的真子集，求出{|04}RB x x =<<，A ≠∅，列出不等式组，能求出实数a 的取值范围【小问1详解】2{|40}{|0B x x x x x =-=或4}x ，当2a =时，{|15}A x x =，{|45}A B x x ∴⋂=， {|0A B x x ⋃=或1}x ；【小问2详解】若0a >，且“x A ∈”是“Rx B ∈”的充分不必要条件，0a ∴>，R A B 是的真子集，{|04}R B x x =<<，A ≠∅，∴3034a a ->⎧⎨+<⎩，解得01a << ∴实数a 的取值范围是(0,1)18、（1）定义域为(,1)(1,)-∞-+∞；()f x 为奇函数；（2）08m <<【解析】（1）由函数()f x 的定义域满足101x x +>-，可得其定义域，由()()0f x f x 可判断其奇偶性.(2) 先由对数型函数的定义域可得0m >，当1a >时，由对数函数的单调性可得11(1)(8)x m x x x +>---在[2,7]x ∈上恒成立，即(1)(8)m x x <+-在27x ≤≤上恒成立，即可得出答案.【详解】（1）由题意，函数1()log 1a x f x x +=-，由101x x +>-， 可得1x >或1x <-，即定义域为(,1)(1,)-∞-+∞； 由1()()log log log 10111a a a x x x f x f x x --+=+=+-=+， 即有()()f x f x -=-，可得()f x 为奇函数；（2）对于[2,7]x ∈，()log (1)(8)a m f x x x >--恒成立， 由27x ≤≤，则(1)(8)0x x -->，又0(1)(8)m x x >--，则0m > 由1a >，即11(1)(8)x m x x x +>---在[2,7]x ∈上恒成立. 由27x ≤≤,即(1)(8)m x x <+-在27x ≤≤上恒成立. 由2781(1)(8)24y x x x ⎛⎫=+-=--+ ⎪⎝⎭， 可得7x =时，y 取得最小值8，则08m <<，因此可得，1a >时，m 的取值范围是：08m <<【点睛】关键点睛：本题考查对数型函数的定义域和奇偶性的判断，不等式恒成立求参数问题，解答本题的关键是由对数型函数的定义域则满足0(1)(8)m x x >--，可得0m >，然后将问题化为由27x ≤≤,即(1)(8)m x x <+-在27x ≤≤上恒成立，属于中档题.19、（1）见解析；（2）3. 【解析】（1）可证AF ⊥平面BCC '，从而得到BC AF '⊥.（2）取AB 的中点为G ，连接FG ，可证FG ⊥平面ADE ，故可求三棱锥D AEF -的体积【详解】（1）因为侧棱CC '⊥底面ABC ，AF ⊂平面ABC ，所以CC AF '⊥，因为F 为中点，AB AC =，故BC AF ⊥，而CC BC C '⋂=，故AF ⊥平面BCC '，而BC '⊂平面BCC '，故BC AF '⊥.（2）取AB 的中点为G ，连接FG .因为2,AB AC BC ===222BC AC AB =+，故AC AB ⊥，因为,CF FB AG GB ==，故//FG AC ，且1FG =，故FG AB ⊥，因为三棱柱ABC A B C '''-中，侧棱CC '⊥底面ABC ，故三棱柱ABC A B C '''-为直棱柱，故BB '⊥底面ABC ，因为FG ⊂底面ABC ，故BB FG '⊥，而BB AB B '⋂=，故FG ⊥平面ADE ，而111244ADE S AD AB AA AB CC AB ='⨯⨯=⨯⨯=⨯'⨯=故113A DEF F ADE V V --===.【点睛】思路点睛：线线垂直的判定可由线面垂直得到，也可以由两条线所成的角为2π得到，而线面垂直又可以由面面垂直得到，解题中注意三种垂直关系的转化.又三棱锥的体积的计算需选择合适的顶点和底面，此时顶点到底面的距离容易计算.20、（1）1,2a b ==-；（2）9a >或1a <.【解析】（1）根据()()2120f x ax b x =+-+<的解集为1,2，利用根与系数的关系求解； （2）根据()15f -=，得到2a b -=，再由存在x ∈R ，()2310ax a x +-+<成立，分0a =，0a <，0a >，利用判别式法求解.【小问1详解】解：因为()()2120f x ax b x =+-+<的解集为1,2， 所以01322a b aa⎧⎪>⎪-⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，解得1,2a b ==-； 【小问2详解】（2）因为()15f -=，所以2a b -=，因为存在x ∈R ，()()2121f x ax b x =+-+<成立，即存在x ∈R ，()2310ax a x +-+<成立， 当0a =时，13x >，成立； 当0a <时，函数()231y ax a x =+-+图象开口向下，成立；当0a >时，()2340a a ∆=-->，即21090a a -+>，解得9a >或1a <，此时，9a >或01a <<，综上：实数a 的取值范围9a >或1a <.21、(3230x y ++-=【解析】先求出OA 、OB 所在的直线方程，根据直线方程分别设A 、B 点坐标，进而求出AB 的中点C 的坐标，利用点C 在直线12y x =-上以及A 、B 、P 三点共线列关系式解出B 点坐标，从而求出直线AB 的斜率，然后代入点斜式方程化简即可.【详解】解：由题意可得tan 30OA k =⋅︒=， ()tan 180451OB k =︒-︒=-，所以直线:OA l y x =，:OB l y x =-设,)A m ，(,)B n n -，所以AB的中点2m n C ⎫-⎪⎪⎝⎭由点C 在12y x =-上，且A 、P 、B 三点共线得12201m n n n ⎧-=-⎪⎪⎨--=-解得n =B又()1,0P，所以AB BP k k ===所以:1)AB l y x =-， 即直线AB的方程为(3230x y ++-=【点睛】知识点点睛：（1）中点坐标公式：()()1122,,,A x y B x y ，则AB 的中点为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭； （2）直线的点斜式方程：11y k x x y .22、 (I)95130x y -+=；(II)8.【解析】（I ）由中点坐标公式得AC 边的中点17,22M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由斜率公式得直线BM 斜率，进而可得点斜式方程，化为一般式即可；（II ）由两点间距离公式可得可得BC 的值，由两点式可得直线BC 的方程为10x y -+=，由点到直线距离公式可得点A 到直线BC的距离d =由三角形的面积公式可得结果.试题解析：(I)设AC 边中点为M ，则M 点坐标为1722（，） ∴直线71921522BM k +==+. ∴直线BM 方程为： ()()9125y x --=+ 即： 95130x y -+=∴AC 边中线所在直线的方程为： 95130x y -+=(II) ()21),23B C --（，，BC ∴==由()()2,1,23B C --，得直线BC 的方程为： 10x y -+= A ∴到直线BC 的距离(),,d A B C==182ABC S ∆∴=⨯=.。
河北省沧州市华北油田机关中学2023-2024学年高一数学文期末试卷含解析专业课理论基础部分一、选择题（每题1分，共5分）1.下列函数中，奇函数是（）A. y = x^3B. y = x^2C. y = |x|D. y = e^x2.已知函数f(x) = 2x + 3，那么f(-1)等于（）A. 1B. -5C. -1D. 53.下列不等式中，正确的是（）A. a^2 < b^2B. a^2 = b^2C. a^2 > b^2D. a^2 ≥ b^24.若直线y = kx + b与圆x^2 + y^2 = 1相切，则k的取值范围是（）A. k ≠ 0B. k ≥ 0C. k ≤ 0D. k ∈ R5.设集合A = {x | x = 2k + 1, k ∈ Z}，B = {x | x = 3k + 2, k ∈ Z}，那么A∩B 等于（）A. ∅B. {x | x = 6k + 3, k ∈ Z}C. {x | x = 2k + 1, k ∈ Z}D. {x | x = 3k + 2, k ∈ Z}二、判断题（每题1分，共5分）1.若两个函数的图像关于原点对称，则这两个函数一定是奇函数。
（）2.任何两个实数的和都是实数。
（）3.若函数f(x)在区间[a, b]上单调递增，则f’(x)在同一区间上非负。
（）4.若两个集合的交集为空集，则这两个集合一定相等。
（）5.平行四边形的对角线互相平分。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1.若函数f(x) = ax^2 + bx + c（a ≠ 0），那么f(x)的图像是一个_______。
（）2.两个互为相反数的和是_______。
（）3.若矩阵A = ()，那么A的行列式值为_______。
（）4.设向量( = (x, y))与向量( = (1, -1))平行，则x - y = _______。
（）5.若复数z = a + bi（a, b ∈ R），则z的模为|z| = _______。
2023-2024学年河北省沧州市高一上册期末数学试题一、单选题1．已知集合{}{}1,2,3,5,2,3,5,6,7A B ==，则A B ⋂的子集的个数为（）A ．5B ．6C ．7D ．8【正确答案】D【分析】先求A B ⋂中元素的个数，再求A B ⋂的子集的个数.【详解】因为集合{}{}1,2,3,5,2,3,5,6,7A B ==，所以{}2,3,5A B = ，所以A B ⋂的子集的个数为328=个.故选：D.2．下列函数是幂函数的是（）A ．22y x =B ．21y x =C ．1y x -=-D ．2xy =【正确答案】B【分析】根据幂函数的概念，即可得出答案.【详解】B 项可化为2y x -=，根据幂函数的概念，可知函数2y x -=是幂函数，即函数21y x =是幂函数.ACD 均不是幂函数.故选：B.3．“lg lg a b <”是“33a b <”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】根据充分条件以及必要条件的定义，分别判断充分性以及必要性即可得出答案.【详解】由lg lg a b <，根据函数lg y x =在()0,∞+上单调递增，可得0a b <<，由3y x =在R 上单调递增，则有33a b <，所以充分性成立；当33a b <时，由3y x =在R 上单调递增，可得a b <，在0a b <<的情况下，lg lg a b <不成立，所以必要性不成立.所以，“lg lg a b <”是“33a b <”的充分不必要条件.故选：A.4．已知函数()21,0πtan ,03x x f x x x ⎧-<⎪=⎨⎛⎫-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩.设()0f a =，则()f a =（）A ．1-B ．0C ．12D ．2【正确答案】D【分析】根据分段函数的解析式，结合已知求出a =.【详解】由已知可得，()π0tan 3f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭a =又(312f =-=，所以()2f a =.故选：D.5．若1t >，则关于x 的不等式()10t x x t ⎛⎫--> ⎪⎝⎭的解集是（）A ．1|x x t t ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭B ．1|x x t ⎧<⎨⎩或}x t >C ．{|x x t <或1x t ⎫>⎬⎭D ．1|x t x t ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【正确答案】A【分析】首先根据不等式的性质可得1t t <，进而将不等式转化为()10x t x t ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，求解即可得出结果.【详解】因为()()111t t t t t+--=，1t >，所以10t t ->，所以1t t >.原不等式()10t x x t ⎛⎫--> ⎪⎝⎭可化为所以()10x t x t ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，解得1x t t <<.所以，不等式()10t x x t ⎛⎫--> ⎪⎝⎭的解集为1|x x t t ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭.故选：A.6．已知sin α，cos α=tan 2α等于（）A．2B．2C2D．2)±-【正确答案】C【分析】应用半角正切公式即可求值，注意法二：2α正切值的符号.【详解】方法一：∵sin α=cos α=∴sin tan221cos ααα==-+.方法二：∵sin 0α=>，cos 0α=>，∴α的终边落在第一象限，2α的终边落在第一或第三象限，即tan02α>，∴tan 2.2α=-故选：C7．函数sin cos y x x x =-的部分图象是（）A．B．C ．D．【正确答案】C【分析】首先判断函数的奇偶性，即可排除AD ，又3333sin cos 102222y f ππππ⎛⎫==-=-< ⎪⎝⎭，即可排除B.【详解】因为()sin cos y f x x x x ==-，定义域为R ，关于原点对称，又()()()()()sin cos sin cos f x x x x f x x x x f x =-+-=-+-==-，故函数()sin cos y f x x x x ==-为奇函数，图象关于原点对称，故排除AD ；又3333sincos 102222y f ππππ⎛⎫==-=-< ⎪⎝⎭，故排除B.故选：C.8．定义：对于()f x 定义域内的任意一个自变量的值1x ，都存在唯一一个2x 1=成立，则称函数()f x 为“正积函数”.下列函数是“正积函数”的是（）A ．()ln f x x =B ．()exf x =C ．()sin exf x =D ．()cos f x x=【正确答案】B【分析】根据“正积函数”的定义一一判断即可.【详解】对于A ，()ln f x x =，121ln ln 1x x ==⇒=，当11x =时，则不存在2x 满足情况，故A 不是正积函数；对于B ，()e xf x =，12121e e 10x x x x ==⇒=⇒+=，则任意一个自变量的值1x ，都存在唯一一个2x 满足120x x +=，故B 是正积函数；对于C ，()sin e xf x =，1212sin sin sin sin 1e e 1e 1x x x x +==⇒=⇒=，得12sin sin 0x x +=，当10x =时，则2sin 0x =，2πx k =，k ∈Z ，则2x 不唯一，故C 不是正积函数；对于D ，()cos f x x =，121cos cos 1x x ==⇒=，当[)1cos 0,1x ∈时，则不存在2x 满足情况，故D 不是正积函数.故选:B.二、多选题9．若“,0x M x ∃∈<”为真命题，“,3x M x ∃∈≥”为假命题，则集合M 可以是（）A ．(,1)-∞B ．[]1,3-C ．[)0,2D ．()3,3-【正确答案】AD【分析】由已知条件，写出命题,3x M x ∃∈≥的否定，即为真命题，四个选项逐一判断即可.【详解】由题意,0x M x ∃∈<为真命题，,3x M x ∀∈<为真命题，则应满足选项为集合{}3x x <的子集，且满足,0x M x ∃∈<，AD 选项均满足，B 选项当3x =时不符合,3x M x ∀∈<，故错误，C 选项不存在,0x M x ∈<，故错误.故选：AD10．设0a b <<，且2a b +=，则（）A ．12b <<B ．21a b -<C ．1ab <D ．123a b+≥【正确答案】ABC【分析】结合选项及条件逐个判定，把2a b =-代入0a b <<可得A 正确，利用指数函数单调性可得B 正确，利用基本不等式可得C 正确，利用1的代换及基本不等式可得D 不正确.【详解】对于A ，0a b <<，且2,02a b b b +=∴<-<，解得12b <<，故A 正确；对于B ，a b < ，即0a b -<，0221a b -∴<=，故B 正确；对于C ，0a b <<，且2()2,14a b a b ab ++=∴≤=，当且仅当1a b ==时，等号成立，1ab ∴<，故C 正确；对于D ，0a b <<，2a b +=，∴()(1211212113332222b a a b a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+=+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当2b aa b=，即2,4a b ==-时等号成立，又((131330,33,222+-=<∴+<故D 错误.故选.ABC11．已知函数()()sin 2(0π)f x x ϕϕ=+<<为偶函数，则（）A ．()f x 的图象关于直线πx =对称B ．()f x 的最小正周期是πC ．()f x 的图象关于点()2π,0-对称D ．()f x 在区间()2,3上是增函数【正确答案】ABD【分析】先利用偶函数求出ϕ，再利用周期公式求解周期，利用图象的性质求解对称性和单调性.【详解】因为()f x 为偶函数，所以ππ,2k k ϕ=+∈Z ，又0πϕ<<，所以π2ϕ=，即()πsin 2cos22f x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭.对于A ，由2π,x k k =∈Z ，得π,2k x k =∈Z .当2k =时，πx =，故()f x 的图象关于直线πx =对称，A 正确；对于B,()f x 的最小正周期是2ππ,2T ==B 正确；对于C,()()cos2,f x x f x =图象的对称中心为()ππ,0,42k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z C 错误；对于D ，令2π+π22π+2π,k x k k ≤≤∈Z ，则ππ+π+π,2k x k k ≤≤∈Z ，即π,π2⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的一个单调增区间；由于()()π2,3,π,2f x ⎛⎫⊆ ⎪⎝⎭在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，D 正确.故选:ABD.12．设函数()f x 的定义域为R ，()1f x -为奇函数，()1f x +为偶函数，当()1,1x ∈-时，()21f x x =-+，则下列结论正确的是（）A ．7324f ⎛⎫=⎪⎝⎭B ．()7f x +为奇函数C ．()f x 在()6,8上为减函数D ．方程()lg 0f x x +=仅有6个实数解【正确答案】BD【分析】由已知可推出()()22f x f x +=--，令32x =，可得7122f f ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求出函数值，即可判断A 项；由题意可推出()f x 周期为8，结合()1f x -为奇函数，可判断B 项；根据()f x 的对称性，结合已知可推出()f x 在()2,0-上单调递增，进而根据周期性即可判断C 项；根据()f x 的性质画出图象以及lg y x =-的图象，由lg121-<-结合图象即可判断D 项.【详解】因为()1f x -为奇函数，所以()()11f x f x --=--，所以()()2f x f x -=--.因为()1f x +为偶函数，所以()()11f x f x +=-+，所以()()2f x f x -=+.所以有()()22f x f x +=--，所以()()26f x f x -=--，所以()()26f x f x +=-，即有()()8f x f x +=，所以()f x 的一个周期为8.对于A 项，因为()()22f x f x +=--，且21131224f ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.令32x =，有713224f f ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错误；对于B 项，因为()1f x -为奇函数，()f x 的周期为8.故()()71f x f x +=-，()()71f x f x -+=--.所以()()()()7117f x f x f x f x -+=--=--=-+，从而()7f x +为奇函数，故B 正确；对于C 项，()21f x x =-+在区间(]1,0-上是增函数，且()f x 的图象关于点()1,0-对称，所以()f x 在()2,0-上单调递增，又()f x 周期为8，故()f x 在()6,8上单调递增，故C 项错误；对于D 项，作出()f x 与lg y x =-的大致图象，如图所示.其中lg y x =-单调递减且lg121-<-，所以两函数图象有6个交点，故方程()lg 0f x x +=仅有6个实数解，故D 正确.故选：BD.方法点睛：根据抽象函数的奇偶性，可根据对称性得出解析式关系式，进而由两个关系式，即可得出函数的周期.三、填空题13．已知()222x f x =+，则()1f =__________.【正确答案】2【分析】对x 赋值即可求得(1)f .【详解】()()0212022f f ==+=.故2.14．函数()22log 4y x -的定义域是__________.【正确答案】(]()2,01,2-⋃【分析】由已知，解不等式组2011040xx x x ⎧≥⎪-⎪-≠⎨⎪->⎪⎩，即可得出答案.【详解】要使函数有意义，则2011040xx x x ⎧≥⎪-⎪-≠⎨⎪->⎪⎩，解得20x -<≤或12x <<，所以函数的定义域为(2,0](1,2)-⋃.故答案为.(2,0](1,2)-⋃15．在直角坐标系中，O 是原点，A1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__.【正确答案】(－1【分析】由已知∠AOx ＝30°，则∠BOx ＝120°，又OB=2，结合三角函数定义求点B 的坐标.【详解】依题意知OA ＝OB ＝2，∠AOx ＝30°，∠BOx ＝120°，设点B 坐标为(x ，y )，所以x ＝2cos 120°＝－1，y ＝2sin 120°B (－1故(－116．若正实数0x 是关于x 的方程e ln x x ax ax +=+的根，则00e xax -=__________.【正确答案】0【分析】设()e xf x x =+，同构变形得到ln e e ln x ax x ax +=+，即()()ln f x f ax =，从而得到00ln x ax =，即00e x ax =，从而结果.【详解】令()e xf x x =+，则()f x 在()0,∞+上单调递增，e ln x x ax ax +=+，即ln e e ln x ax x ax +=+，故()()lnf x f ax =，∵正实数0x 是方程e ln x x ax ax +=+的根，()()00ln f x f ax ∴=，则00ln x ax =，得00e x ax =，即00e 0x ax -=.故0四、解答题17．已知集合{|13}A x x =<<，{}24x B x=>∣.(1)求集合A B ⋃，B R ð；(2)若关于x 的不等式20x ax b ++<的解集为A B ⋂，求,a b 的值.【正确答案】(1){1}A B xx ⋃=>∣，{}R 2B x x =≤∣ð；(2)5a =-，6b =.【分析】（1）解出集合B ，根据并集以及补集的运算，即可求出答案；（2）先求出交集，进而根据一元二次不等式的解集，得出一元二次方程的根，代入即可求出答案.【详解】（1）解24x >可得，2x >，所以{2}B x x =>∣.因为{13}A xx =<<∣，所以{1}A B xx ⋃=>∣，{}R 2B x x =≤∣ð.（2）由（1）知，{23}A B xx ⋂=<<∣，所以20x ax b ++<的解集为{23}xx <<∣，所以20x ax b ++=的解为2，3.所以420930a b a b ++=⎧⎨++=⎩，解得56a b =-⎧⎨=⎩.所以，5a =-，6b =.18．已知函数||()2x f x =-(1)判断并证明函数()f x 的奇偶性;(2)判断函数()f x 在区间[0,)+∞上的单调性（不必写出过程），并解不等式(2)(21).f x f x +>-【正确答案】(1)函数()f x 是R 上的偶函数，证明见解析(2)函数()f x 在[)0,∞+上单调递增，1,33⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）利用偶函数的定义判断并证明函数为偶函数；（2）根据指数函数和复合函数及函数的加减合成的单调性规律判定函数的单调性，然后结合函数是偶函数，将不等式转化为221x x +>-，进而两边同时平方，等价转化为二次方程，求解即得.【详解】（1）证明：依题意，函数()f x 的定义域为R ．对于任意R x ∈，都有()()22xxf x f x --===，所以函数()f x 是R 上的偶函数．（2）解：函数()f x 在[)0,∞+上单调递增．因为函数()f x R 上的偶数函数，所以()()221f x f x +>-等价于()()221f x f x +>-．因为函数()f x 在[)0,∞+上单调递增，所以221x x +>-，即23830x x --<，解得133x -<<，所以不等式()()221f x f x +>-的解集为1,33⎛⎫- ⎪⎝⎭．19．已知函数()π2sin 216f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.(1)求函数()f x 的单调增区间；(2)当ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域.【正确答案】(1)()πππ,πZ 36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；(2)[]0,3.【分析】（1）由正弦函数性质知在()πππ2π22πZ 262k x k k -≤+≤+∈上递增，即可求增区间；（2）应用整体法求π26x +的区间，再由正弦函数性质求值域.【详解】（1）由()πππππ2π22πππZ 26236k x k k x k k -≤+≤+⇒-≤≤+∈，所以函数()f x 的单调增区间是()πππ,πZ 36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.（2）由ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，可得ππ5π2,666x -≤+≤从而1sin 2,162πx ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以[]π2sin 210,36x ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭.所以()f x 的值域为[]0,3.20．将函数()2cos 2sin g x x x x =-的图象向左平移π02ϕϕ⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭个单位长度后得到()f x 的图象.(1)若()()0f x f ≤恒成立，求ϕ；(2)若()f x 在7ππ,6⎛⎫⎪⎝⎭上是单调函数，求ϕ的取值范围.【正确答案】(1)π6ϕ=(2)ππ,62ϕ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【分析】（1）先化简()g x ，根据平移规律可得到()f x ，利用()0f 是函数的最大值即可求解；（2）由7ππ,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得πππ222π2,2π2662x ϕϕϕ⎛⎫++∈++++ ⎪⎝⎭，结合函数的周期可考虑区间ππ2,262ϕϕ⎛⎫++⎪⎝⎭，利用正弦函数的性质列出不等式即可【详解】（1）∵()()2πcos 2sin 21cos 22sin 216g x x x x x x x ⎛⎫=-=--=+- ⎪⎝⎭，∴()2sin 2216f x x ϕπ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，又()()0f x f ≤恒成立，∴()0f 是函数的最大值，故()ππ22π62k k ϕ+=+∈Z ，得ππ6k ϕ=+，k ∈Z ，∵π02ϕ<≤，∴π6ϕ=.（2）∵7ππ,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴πππ222π2,2π2662x ϕϕϕ⎛⎫++∈++++ ⎪⎝⎭，令π226t x ϕ=++，所以()f x 在7ππ,6⎛⎫⎪⎝⎭上是单调函数可转化成()()2sin 1f x h t t ==-在ππ2π2,2π262ϕϕ⎛⎫++++ ⎪⎝⎭是单调函数，因为()2sin 1h t t =-的周期为2πT =，所以()2sin 1h t t =-在ππ2,262ϕϕ⎛⎫++ ⎪⎝⎭是单调函数，∵π02ϕ<≤，∴ππ7π2666ϕ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦，ππ3π2,222ϕ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦.∵()2sin 1h t t =-在ππ2,262ϕϕ⎛⎫++ ⎪⎝⎭是单调函数，∴ππ2,62π02ϕϕ⎧+≥⎪⎪⎨⎪<≤⎪⎩∴ππ,62ϕ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.21．某书商为提高某套丛书的销售量，准备举办一场展销会，据市场调查，当每套丛书售价定为x 元时，销售量可达到()100.1x -万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为20元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10．假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润=售价-供货价格.（1）求每套丛书利润y 与售价x 的函数关系，并求出每套丛书售价定为80元时，书商能获得的总利润是多少万元？（2）每套丛书售价定为多少元时，每套丛书的利润最大？并求出最大利润.【正确答案】（1）()100200100100y x x x=--<<-，总利润为110(万元)；（2）当90元时，每套利润最大为60元.（1）首先据销售量求得x 的范围，然后计算出供货价格，可得利润函数，令80x =代入计算出每套书的利润，再乘以销量可得总利润；（2）利用基本不等式可得最值．【详解】（1）∵0100.10x x >⎧⎨->⎩∴0100x <<()1010020200100100.1100y x x x x x ⎛⎫=-+=--<< --⎝⎭当80x =时，10080205510080y =--=-(元)此时销量为100.1802-⨯=(万件)总利润为255110⨯=(万元)（2）10020100y x x=---∵0100x <<∴1000x ->∴()100100808060100y x x ⎡⎤=-+-+≤-=⎢⎥-⎣⎦当且仅当100100100x x=--，即x =90元时，每套利润最大为60元.．本题考查基本不等式的实际应用，解题关键是确定利润函数，并凑出应用基本不等式的条件“一正二定”，然后再考虑“三相等”．22．已知函数()21log f x a x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其中a ∈R .(1)若()13f <，求实数a 的取值范围；(2)设函数()()()2log 425g x f x a x a ⎡⎤=--+-⎣⎦，试讨论函数()g x 的零点个数.【正确答案】(1)()1,7-；(2)答案见解析.【分析】（1）求出()1f ，根据对数函数的单调性，列出不等式，求解即可得到答案；（2）原题可转化为，结合()g x 的定义域，求方程()()24510a x a x -+--=根的个数.对a 的取值范围分类讨论，得出()()24510a x a x -+--=根的个数，结合函数()g x 的定义域即可得出答案.【详解】（1）因为()()221log 13log 8f a =+<=，所以018a <+<，即17a -<<，所以a 的取值范围为()1,7-.（2）由已知可得，()()()2log 425g x f x a x a ⎡⎤=--+-⎣⎦()221log log 425a a x a x ⎛⎫⎡⎤=+--+- ⎪⎣⎦⎝⎭.求函数()g x 零点的个数，即求方程()0g x =根的个数.由()0g x =，可得()221log log 425a a x a x ⎛⎫+=-+-⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，即()1425a a x a x+=-+-，整理可得，()()24510a x a x -+--=.①当4a =时，可化为10x +=，解得=1x -，方程只有一个根，故此时函数()g x 有一个零点；②当3a =时，方程可化为2210x x ++=，解得=1x -，方程只有一个根，故此时函数()g x 有一个零点；③当4a ≠且3a ≠时，解方程()()24510a x a x -+--=得，=1x -或14x a =-.令()1u x a x=+，()()425v x a x a =-+-.则()()111u v a -=-=-，112444u v a a a ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭.（ⅰ）2a >且4a ≠且3a ≠，则10a ->且240a ->，此时有()()110u v -=->，11044u v a a ⎛⎫⎛⎫=> ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，故此时函数()g x 有两个零点；（ⅱ）12a <≤，则10a ->，240a -<，则()()110u v -=->，11044u v a a ⎛⎫⎛⎫=≤ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，即14a -不在函数()g x 的定义域内，故此时函数()g x 有一个零点；（ⅲ）当1a ≤，则10a -≤，240a -<，则()()110u v -=-≤，11044u v a a ⎛⎫⎛⎫=< ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，即此时1-和14a -均不在函数()g x 的定义域内，故此时函数()g x 无零点.综上，当(],1a ∈-∞时，()g x 无零点；当(]{}1,23,4a ∈⋃时，()g x 有一个零点；当()()2,33,4(4,)a ∈⋃⋃+∞时，()g x 恰有2个零点.方法点睛：结合()g x 的定义域，转化为求方程()()24510a x a x -+--=根的个数.然后对a 分类讨论，即可得出解析.。
2023～2024学年度第一学期高一年级12月月考试卷数学（答案在最后）考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色黑水签字笔将密封线内项目填写清楚．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色黑水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上作答无效．．．．．．．．．4．本卷命题范围：人数A 版必修第一册第一章～第五章第5节．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}1A x x =≤-，{}2,1,0,1,2B =--，则()A B =R ð（）A ．{}0,1,2B ．{}1,0,1,2-C ．{}2,1--D ．{}1,22．2log 322log +=（）A ．52B ．3C ．72D ．33．已知某扇形的弧长为3π2，半径为3，则该扇形的面积为（）A ．π4B ．π6C ．π2D ．9π44．“24x =”是“38x =”成立的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．函数①2πcos 2y x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；②[]sin ,0,2πy x x =∈；③sin 2y x =，[]π,πx ∈-中，奇函数的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．36．已知132a =，0.43b =，0.4log 0.5c =，则（）A ．a b c>>B ．b c a >>C ．b a c >>D ．c b a>>7．函数()e e 22x xf x x --=-的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．8．已知函数()cos f x x x =-的定义域为[],a b ，值域为[]1,2-，则b a -的取值范围是（）A ．π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．π5π,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．π4π,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．2π4π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列化简正确的是（）A ．()sin 2023πsin αα-=B ．()tan 2023πtan αα-=-C ．11πsin cos 2αα⎛⎫+=-⎪⎝⎭D ．7πcos sin 2αα⎛⎫-= ⎪⎝⎭10．下列函数中，最小值为2的是（）A ．114x y x=++B ．y =C ．11121y x x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭（01x <<）D ．y =11．已知函数()πtan 3f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，若()f x 在区间π,3m ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增，则m 的可能取值是（）A ．π4B ．2π3C ．7π6D ．5π412．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()()20f x f x +-=，当12x ≤≤时，()1f x x =-+，则（）A ．()f x 的图像关于点()1,0对称B ．()30f =C ．当22x -≤≤时，()1f x x =-+D ．()f x 在[)0,+∞上单调递减三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知幂函数()211m y m m x +=-+的图象关于原点对称，则m =______．14．已知函数2sin y x ω=（0ω>）在区间ππ,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为2，则实数ω的取值范围为______．15．若不等式210x ax -+≥对一切0x >恒成立，则实数a 的取值范围是______．16．设函数()()ln 1,1,163,1,1x a x f x x a x x ⎧++<⎪=⎨+-≥⎪+⎩若()f x 恰有两个零点，则实数a 的取值范围是______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已知α，β为锐角，sin 5α=，()cos π10β-=-．（1）求sin 2α的值；（2）求()cos αβ-的值．18．（本小题满分12分）已知p1≤，q ：1x a -≤≤．（1）若q 是p 的必要非充分条件，求实数a 的取值范围；（2）若1a =，且p ，q 至少有一个成立，求x 的取值范围．19．（本小题满分12分）已知定义在R 上的偶函数()f x ，当0x ≥时，()3xf x a =-（a ∈R ），且()326f -=．（1）求a 的值；（2）求函数()f x 的解析式；（3）解不等式：()2f x >．20．（本小题满分12分）已知π6，t 是函数()()cos f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，π02ϕ<<）的两个雾点，π6t -的最小值为π2，且ππ262f ω⎛⎫+=⎪⎝⎭．（1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 在ππ,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上的值域．21．（本小题满分12分）定义：将人每小时步行扫过地面的面积记为人的扫码速度，单位是平方公里/小时，如扫码速度为1平方公里/小时表示人每小时步行扫过的面积为1平方公里．十一黄金周期间，黄山景区是中国最繁忙的景区之一．假设黄山上的游客游玩的扫码速度为v （单位：平方公里/小时），游客的密集度为x （单位：人/平方公里），当黄山上的游客密集度为250人/平方公里时，景区道路拥堵，此时游客的步行速度为0；当游客密集度不超过50人/平方公里时，游客游玩的扫码速度为5平方公里/小时，数据统计表明：当50250x ≤≤时，游客的扫码速度是游客密集度x 的一次函数．（1）当0250x ≤≤时，求函数()v x 的表达式；（2）当游客密集度x 为多少时，单位时间内通过的游客数量()()f x xv x =可以达到最大值？22．（本小题满分12分）设函数()()log xa f x ab =-（0a >且1a ≠，b ∈R ），已知()21f =，()log 62a f =．（1）求()f x 的定义域；（2）是否存在实数λ，使得()f x 在区间[],m n 上的值域是[]2,2m n λλ--？若存在，请求出λ的取值范围；若不存在，请说明理由．2023～2024学年度第一学期高一年级12月月考试卷·数学参考答案、提示及评分细则1．A因为集合{}1A x x =≤-，所以{}1A x x =>-R ð，(){}0,1,2A B =R ð．故选A ．2．C 原式21log 3222172log 3log 2322=+=+=+=．故选C ．3．D 扇形的面积113π93π2224S lr ==⨯⨯=．故选D ．4．B由242x x =⇒=±，可知38x =±，充分性不成立；由32824x x x =⇒=⇒=，必要性成立；即“24x =”是“38x =”成立的必要不充分条件．故选B ．5．B根据奇函数定义，②中[]0,2πx ∈违背了定义域要关于原点对称这一要求，所以排除②；对于①22πcos sin 2y x x x x ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，()()()()22sin sin f x x x x x f x -=--=-=-，是奇函数；对于③sin 2y x =，()()sin 2sin 2f x x x f x -=-==，是偶函数．故选B ．6．C0.40.4log 0.5log 0.41c =<=，1321a =>，0.431b =>，则有a c >，b c >，又110.433233a =<<，故有b a c >>．故选C ．7．C 函数()e e 22x xf x x --=-的定义域为()()(),11,11,-∞--+∞ ，且()()e e e e 2222x x x xf x f x x x -----==-=----，则函数()f x 为奇函数，故排除D 项；又因为当0.5x =时，()0f x <，故排除A 项；当 1.5x =时，()0f x >，故排除B 项．故选C ．8．D()πcos 2sin 6f x x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，因为[],x a b ∈，所以πππ,666x a b ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，因为π12sin 26x ⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，所以1πsin 126x ⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭．正弦函数sin y x =在一个周期π3π,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内要满足上式，则ππ7π,666x ⎡⎤-∈-⎢⎣⎦，所以()max 7ππ4π663b a ⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭，()min 7ππ2π623b a -=-=，所以b a -的取值范围是24,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故选D ．9．AC()()()sin 2023πsin 2022ππsin πsin αααα-=+-=-=，故A 正确；()tan 2023πtan αα-=，故B 错误；11ππππsin sin 6sin sin cos 2222απαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-+=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故C 正确；7π3πcos cos sin 22ααα⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 错误．故选AC ．10．CD对于A ，114x y x =++，当4x =-时，104y =-<，不符合要求，故A 错误；对于B，2y =≥==得241x +=显然不成立，所以等号取不到，即y =2，故B 错误；对于C ，因为01x <<，所以10x ->，()2111111122121212y x x x x ⎛⎫=+=⋅≥⋅= ⎪--⎝⎭⎛⎫⎪⎝⎭，当且仅当12x =时取等号，最小值是2，故C 正确；对于D，y =+22x -≤≤，0y ≥，则2224y x x =-++++，当240x -=即2x =或2-时，2y 有最小值4，即y有最小值2，故D 正确．故选CD ．11．BC因为π,3x m ⎛⎫∈⎪⎝⎭，π2ππ,333x m ⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，因为函数()πtan 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间π,3m ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增，所以π3π32m +≤，所以π7π36m <≤．故选BC ．12．ABC对于A ，由题设()()20f x f x +-=，可知()f x 的图象关于点()1,0对称，A 正确；对于B ，在()()20f x f x +-=中，令3x =，得()()()3110f f f =--=-=，B 正确；对于C ，当01x ≤≤时，122x ≤-≤，所以()()2211f x x x -=--+=-，又()()20f x f x +-=，所以()()21f x f x x =--=-+，即当02x ≤≤时，()1f x x =-+，而()f x 为偶函数，所以当20x -≤≤时，()1f x x =+，综上可知，当22x -≤≤时，()1f x x =-+，C 正确；对于D ，由B 的解析可知()()310f f ==，故D 错误．故选ABC ．13．0由于函数是幂函数，所以211m m -+=，解得0m =或1m =．当0m =时，y x =，是奇函数，图像关于原点对称；当1m =时，2y x =，是偶函数，图象不关于原点对称，所以m 的值为0．14．[)2,+∞当0ω>时，ππ,34x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ ，则ππ,34x ωωω⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，由题意可得ππ42ω≥，2ω∴≥．15．(],2-∞因为不等式210x ax -+≥对一切0x >恒成立，所以1a x x≤+对一切0x >恒成立，因为0x >，所以12x x +≥=，当且仅当1x x =，即1x =时取等号，所以2a ≤，即a 的取值范围是(],2-∞．16．()73,3⎧⎫+∞⎨⎬⎩⎭()ln 1y x a =++ 的零点为x a =-，∴当1a -<即1a >-时，1631y x a x =+-+在[)1,+∞内有且仅有一个零点．可得161311x a x ++=++，令12t x =+≥，则16y t t=+与31y a =+的图象在[)2,+∞内只有一个交点．结合图象可得318a +=或3110a +>，即73a =或3a >；当1a -≥即1a ≤-时，1631y x a x =+-+在[)1,+∞内恰有两个零点，则16y t t=+与31y a =+的图象在[)2,+∞内恰有两个交点，结合图象可得83110a <+≤，即733a <≤，这与1a ≤-矛盾．综上，73a =或3a >．17．解：（1）因为sin 5α=，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos 5α==，所以2554sin 22sin cos 2555ααα==⨯=．（2）因为α，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()cos πcos 10ββ-=-=-，所以cos 10β=，sin 10β==，所以()522572310cos cos cos sin sin 51051010αβαβαβ-=+=⨯+⨯=．18．解：（1）设{}{}112A x x =≤=≤≤，{}1B x x a =-≤≤，因为q 是p 的必要非充分条件，所以A 是B 的真子集，则2a ≥，所以实数a 的取值范围为[)2,+∞．（2）当1a =时，p ：12x ≤≤，q ：11x -≤≤，考虑“p ，q 至少有一个成立”的否定：p ，q 均不成立，此时12,11,x x x x <>⎧⎨<->⎩或或解得1x <-或2x >．故p ，q 至少有一个成立时，x 的取值范围为[]1,2-．19．解：（1）因为()f x 是定义在R 上的偶函数，且()326f -=，所以()()3326f f =-=，即3326a -=，解得1a =．（2）当0x >时，()31xf x =-，设0x <，则0x ->，则()()31xf x f x -=-=-，故()31,0,31,0.x xx f x x -⎧-<=⎨-≥⎩（3）由题意，()()22312xf x fx >⇔>⇔->，得33x>，得1x >，解得1x <-或1x >，故()2f x >的解集是()(),11,-∞-+∞ ．20．解：（1）设()f x 的最小正周期为T ，因为π6，t 是函数()f x 的两个零点，π6t -的最小值为π2，所以ππ22T ω==，2ω=．由π06f ⎛⎫=⎪⎝⎭得πcos 206ϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，因为π02ϕ<<，所以ππ32ϕ+=，π6ϕ=，由π06f ⎛⎫=⎪⎝⎭，ππ262f ω⎛⎫+= ⎪⎝⎭，可得2A =，所以()π2cos 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．（2）当ππ2x -≤≤-时，11ππ5π2666x -≤+≤-，因为cos y x =在11π,π6⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，在5ππ,6⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增，且11πππcos cos 2πcos 6662⎛⎫⎛⎫-=-+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()cos π1-=-，5πcos 62⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以π22cos 26x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭所以()f x 在ππ,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上的值域为⎡-⎣．21．解：（1）由题意知050x ≤≤时，5v =公里/小时；当50250x ≤≤时，设()v x ax b =+（0a ≠），则505,2500,a b a b +=⎧⎨+=⎩解得1,4025.4a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故()5,050,125,50250.404x v x x x ≤≤⎧⎪=⎨-+≤≤⎪⎩（2）由（1）可得()()25,050,125,50250,404x x f x xv x x x x ≤≤⎧⎪==⎨-+≤≤⎪⎩当050x ≤≤时，()5f x x =，此时()max 505250f x =⨯=；当50250x ≤≤时，()()221251125390.62540440f x x x x =-+=--+，当125x =时，()max 390.625f x =；由于250390.625<，故当游客密集度为125人/平方公里时，通过的游客数量()()f x xv x =可以达到最大值．22．解：（1）由()21f =，得()2log 1a a b -=，即20a a b --=，由()log 62a f =，得()log 62a b -=，即26b a -=，2260a a ∴--=，解得2a =，或32a =-（舍），2b =，()()2log 22x f x ∴=-．220x -> ，1x ∴>，故()f x 的定义域为()1,+∞．（2）假设存在实数λ，1n m >>，使得()f x 在区间[],m n 上的值域是[]2,2m n λλ--．由（1）易知()f x 在()1,+∞上单调递增，()()22log 222,log 222,m n m n λλ⎧-=-⎪∴⎨-=-⎪⎩，即()()2222222,22222.m m n n λλλλ⎧⋅-⨯=⎪⎨⎪⋅-⨯=⎩令12m t =，22n t =，02t λ=（1t ，22t >），即1t ，2t 为方程20020t t t t -+=的两个不等实数根且1t ，22t >令()2002g t t t t t =-+，则()200080,2,220,t t t g ⎧∆=->⎪⎪>⎨⎪>⎪⎩解得08t >．即28λ>，3λ>，故存在实数λ符合条件，λ的取值范围是()3,+∞．。
河北省沧州市肃宁县2022-2023学年高一年级上学期期末模拟测试数学试题及参考答案一、单项选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分。
下列各题，每小题只有一个选项符合题意。
）1.已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{2,4}A =，{3,4}B =，则()U A B = ð（）A.{2，3，4}B.{1，2，4，5}C.{2，5}D.{2}2.已知全集U =R ，集合{}ln 1M x x =<，{}240N x x =-≥，则()U M N ⋂=ð（）A.()2,e - B.()2,2- C.()0,e D.()0,23.若点3,2sin6P π⎛⎫- ⎪⎝⎭在角α的终边上，则tan α的值为（）A.13 B.13-C.D.4.已知命题“x R ∀∈，210x ax ++>”是假命题，则实数a 的取值范围为（）A.(,2]-∞- B.[2,)+∞ C.[2,2]- D.(,2][2,)-∞-+∞ 5.在()0,2π内，使sin cos x x >成立的x 的取值范围是A.5,,424ππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B.,4ππ⎛⎫⎪⎝⎭C.5,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭ D.53,,442ππππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 6.已知()22,0,,0,x x x f x lnx x ⎧+≤=⎨>⎩若关于的方程()f x k =恰有两个不同的实数解，则实数k 的取值范围是（）A.{}1- B.(1,0)- C.(0,)+∞ D.{1}(0,)-⋃+∞7.函数()()233ln x x f x x -=+的图象大致是（）8.已知函数()f x 满足∶当1x ≤时，()31f x x =+，当1x >时，2()1f x x =-，若n m >，且()()f n f m =，设t n m =-，则()A.t 没有最小值B.t 的最小值为51-C.t 的最小值为43D.t 的最小值为1712二.多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列函数中，既是偶函数又在区间()0,∞+上单调递增的函数是（）A.||x y e = B.x xy e e -=- C.()2ln 1y x =+ D.cos y x=10.下列选项中正确的是（）A.不等式2a b a b +≥恒成立B.若a ､b 为正实数，则2b aa b+≥C.当0a ≠，不等式12a a+≥恒成立D.若正实数x ，y 满足21x y +=，则218x y +≥11.下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增的是（）A.sin y x= B.cos y x= C.tan y x= D.cos 2y x=12.已知定义在区间[],ππ-的函数()2cos f x x x =-，则下列条件中能使()()12f x f x <恒成立的有（）A.120x x π-≤<≤ B.120x x π≤<≤ C.12x x > D.2212x x <三.填空题(共4题，总计16分)13.若命题p 是命题“:0q xy >”的充分不必要条件，则p 可以是___________.（写出满足题意的一个即可）14.某简谐运动的图象如图所示，则该简谐运动的函数解析式为___________.15.已知函数()()()2log 0102x x x f x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫≤⎪ ⎪⎝⎭⎩，若()4f a =，则=a ______.16.已知函数()21xf x -=-，()2log ,023,2x x g x x x ⎧<≤=⎨->⎩，且方程()f x m =有两个不同的解，则实数m 的取值范围为__________，方程()g f x m =⎡⎤⎣⎦解的个数为_________．四.解答题(共6题，总计74分)17.已知5:21p x ≥+，22:20q x mx m --≤，其中0m >．（1）若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围；（2）是否存在m ，使得p ⌝是q 的必要条件？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．18.化简求值（1）112424(7)381()9--+⨯+；（2）若3πα=，求sin(2)cos tan(3)29cos()sin 2παπαπαππαα⎛⎫--- ⎪⎝⎭⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的值19.为了在冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层､某栋房屋要建造能使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层的建造成本是6万元，该栋房屋每年的能源消耗费用C （万元）与隔热层厚度x （厘米）满足关系式：()()01038kC x x x =≤≤+，若无隔热层，则每年能源消耗费用为5万元.设()f x 为隔热层建造费用与使用20年的能源消耗费用之和.（1）求()C x 和()f x 的表达式；（2）当隔热层修建多少厘米厚时，总费用()f x 最小，并求出最小值.20.已知函数())6f x x π=+，x ∈R .（1）求函数()f x 的最小正周期以及单调递增区间；（2）求函数()f x 在区间[0,2x π∈上的最小值及相应的x 的值.21.已知函数()2121x x a f x ⋅-=+是定义在R 上的奇函数.（1）求实数a 的值；（2）解关于x 的不等式()()223130f x x f x +-+-<；（3）是否存在实数k ，使得函数()f x 在区间[],m n 上的取值范围是,22mn k k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦？若存在，求出实数k 的取值范围；若不存在，请说明理由.22.设函数()142221x x xf x +-+=-，0x >．（1）求函数()f x 的值域；（2）设函数()21g x x ax =-+，若对[]11,2x ∀∈，[]21,2x ∃∈，()()12f x g x =，求正实数a 的取值范围．参考答案一.单项选择题1.【答案】：B【解析】：∵全集{1,2,3,4,5}U =，{3,4}B =，∴{1,2,5}U B =ð，又∵集合{2,4}A =，∴(){1,2,4,5}U A B ⋃=ð2.【答案】：D【解析】：题意得{}{}ln 10e M x x x x =<=<<，{}{2402N x x x x =-≥=≤-或}2x ≥，∴{}U 22N x x =-<<ð，所以()()U 0,2M N ⋂=ð.3.【答案】：B【解析】：由三角函数定义可知：π2sin16tan 33α==--.4.【答案】：D【解析】：由于命题“x R ∀∈，210x ax ++>”是假命题，∴命题“x R ∃∈，210x ax ++≤”是真命题；∴240a ∆=-≥，解得(,2][2,)a ∈-∞-+∞ .5.【答案】：C【解析】：画出函数图像，如图所示：根据图像知5,44x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.6.【答案】：D【解析】：作出函数()f x 的图象与直线y k =，观察图象，0k >或1k =-时，直线与曲线有两个交点，故实数k 的取值范围是{1}(0,)-⋃+∞．7.【答案】：C【解析】：∵()()233ln x x f x x -=+，定义域为()(),00,∞-+∞U ，又()()()()()2233ln 33ln x x x x f x x x f x ---=+-==+，∴函数()()233ln x x f x x -=+为偶函数，故AD 错误；又211221133ln 220f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎭<⎝，故B 错误.8.【答案】：B【解析】：∵()()f n f m =且n m >，则1m £，且1n >，∴2311m n +=-，即223n m -=，由21014n n >⎧⎨<-≤⎩⇒1n <≤，∴222211317(32)()333212n t n m n n n n -⎡⎤=-=-=---=--+⎢⎥⎣⎦，又∵1n <≤，∴当n =1t n m =-=-，当1n =时，413t n m =-=>-，故t 1-.二.多选题9.【答案】：AC【解析】：对于A 选项，设()1xf x e=，该函数的定义域为R ，()()11xxf x ee f x --===，∴函数||x y e =为偶函数，当0x >时，x y e =，该函数在区间()0,∞+上单调递增，A 选项合乎要求；对于B 选项，设()2x x f x e e -=-，该函数的定义域为R ，()()22x xf x e e f x --=-=-，∴函数x x y e e -=-为奇函数，B 选项不合乎要求；对于C 选项，设()()23ln 1f x x =+，该函数的定义域为R ，()()()233ln 1f x x f x -=+=，∴函数()2ln 1y x =+为偶函数，当0x >时，内层函数21u x =+单调递增，外层函数ln y u =也为增函数，∴函数()2ln 1y x =+在区间()0,∞+上单调递增，C 选项合乎要求；对于D 选项，函数cos y x =为偶函数，但该函数在区间()0,∞+上不单调，D 选项不合乎要求.10.【答案】：BD【解析】：取2a =-，1b =-，则3a b +=-，=错，∵a ､b 为正实数，∴0b a >，0ab>∴b a a b +≥，当且仅当a b =时等号成立，B 对，取1a =-，则12a a+=-，C 错，∵正实数x ，y 满足21x y +=，∴21214=()(2)=2+248y x x y x y x y x y +++++≥+=，当且仅当12x =，14y =时等号成立，D 对.11.【答案】：CD【解析】：对于A ，sin y x =最小正周期为π，在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上sin sin y x x ==单调递减，所以A 错误；对于B ，cos y x =最小正周期为2π，在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以B 错误；对于C ，tan y x =最小正周期为π，在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以C 正确；对于D ，cos 2y x =最小正周期为22T ππ==，在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故D 正确.12.【答案】：AC【解析】：解：∵()2cos f x x x =-，∴()()()2cos f x x x -=---()2cos x x f x =-=，∴函数()f x 是偶函数，由单调性的性质易知，函数()f x 在[],0π-上单调递增，在[]0,π上单调递减，则要使()()12f x f x <恒成立必须有12x x >.三.填空题13.【答案】：0x >，0y >（答案不唯一）【解析】：因为当0,0x y >>时，0xy >一定成立，而当0xy >时，可能0,0x y >>，可能0,0x y <<，所以0,0x y >>是0xy >的充分不必要条件，故答案为：0,0x y >>（答案不唯一）14.【答案】：3cos2y x π=【解析】：由图象可知，振幅为3，3122T=-=，∴周期4T =，可设函数的解析式为3cos()2y x πϕ=+，因为曲线过点(0,3)，则02,2k k Z πϕπ⨯+=∈，解得2,k k Z ϕπ=∈，所以所求解析式为3cos(2)3cos 22y x k x πππ=+=．15.【答案】：16或2-【解析】：当0a >时，2log 416a a =⇒=，成立，当0a ≤时，1422aa ⎛⎫=⇒=- ⎪⎝⎭，成立，所以16a =或2-.16.【答案】：①.01m <<②.4【解析】：函数()12,02121,0x xx x f x x ---⎧-≥=-=⎨-<⎩，当0x ≥时，0x -≤，则021x -<≤，此时()[)120,1xf x -=-∈，由题意可知，直线y m =与函数()y f x =的图象有两个不同的交点，如下图所示：由图可知，当01m <<时，直线y m =与函数()y f x =的图象有两个不同的交点，故01m <<；方程()g f x m =⎡⎤⎣⎦中，设()()0,t f x =∈+∞，即()g t m =，即函数()y g t =与直线()0,1y m =∈的交点问题，作出函数()2log ,023,2t t g t t t ⎧<≤=⎨->⎩的图象如下图所示：因为01m <<，函数()y g t =与y m =有3个交点，即()g t m =有三个根1t 、2t 、3t ，其中()10,1t ∈、()21,2t ∈、()32,3t ∈，再结合()y f x =图象可知，方程()1f x t =有2个不同的根，方程()2t f x =有1个根，方程()3t f x =有1个根，综上所述，方程()g f x m =⎡⎤⎣⎦有4个不同的解.四.解答题17.解：（1）由521x ≥+得2301x x -≤+，故有3:12p x -<≤．由2220x mx m --≤得()()20x m x m -+≤，即:2q m x m -≤≤．若p 是q 的充分条件，则p q ⇒成立，即1322m m -≤-⎧⎪⎨≥⎪⎩得m 1≥.（2）∵3:12p x -<≤，所以:1p x ⌝≤-或32x >．若p ⌝是q 的必要条件，则q p ⇒⌝成立，则21m ≤-或32m ->，显然这两个不等式均与0m >矛盾，故不存在满足条件的m ．18.解：（1）112424(7)381()9--+⨯+=1+12393⨯+=2．（2）∵原式=2sin sin tan[2()]sin (tan )cos sin[4()]cos sin()22ααππαααππαπααα⨯⨯+-⨯-=-⨯++-⨯+=333sin tan cos ααα-=-．∴当3πα=时，原式=3tan 3π=．19.解：（1）∵()()01038kC x x x =≤≤+，若无隔热层，则每年能源消耗费用为5万元，所以40k =，故()4038C x x =+，∵()f x 为隔热层建造费用与使用20年的能源消耗费用之和，∴()()800601038f x x x x =+≤≤+.（2）()()80080062381616643838f x x x x x =+=++-≥=++，当且仅当()80023838x x +=+，即4x =时，等号成立，即隔热层修建4厘米厚时，总费用达到最小值，最小值为64万元.20.解：（1）函数())6f x x π=+中，由22T ππ==得()f x 的最小正周期π，由222(Z)6k x k k ππππ-+≤+≤∈，解得7(Z)1212k x k k ππππ-+≤≤-+∈，即函数()f x 在7[,](Z)1212k k k ππππ-+-+∈上单调递增，∴()f x 的最小正周期是π，单调递增区间是7[,](Z)1212k k k ππππ-+-+∈.（2）当[0,2x π∈时，72666x πππ≤+≤，则当26x ππ+=，即512x π=时，min ()f x =，∴函数()f x 的最小值为，此时512x π=.21.解：（1）∵()f x 是定义在R 上的奇函数，∴()00f =，即102a -=，得1a =.此时()2121x x f x -=+，()()21221112x xx x f x f x ----===-++-，满足.∴1a =（2）由（1）知，()2121x x f x -=+，12,x x ∀∈R 且12x x <，则()()12121221212121x x x x f x f x ---=-++()()()()()()()()()21212121122121212122221212121x x x x x x x x x x -+--+-==++++.∵12x x <，∴12220x x -<，1210x +>，2210x +>∴()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，故()f x 在R 上为增函数∴原不等式可化为()()22313f x x f x +-<--，即()()22331f x x f x +-<-∴22331x x x +-<-，∴220x x --<，∴12x -<<，∴原不等式的解集为{}12x x -<<（3）解：设存在实数k ，使得函数()f x 在区间[],m n 上的取值范围是,22m n k k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则()()22m n k f m k f n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即()()22m n f m k f n k ⎧=⎪⎨=⎪⎩，∴方程()2x f x k =，即21221x xx k -=+有两个不相等的实数根∴方程()()22120x x k k -+-=有两个不相等的实数根令2x t =，则0t >，故方程()210t k t k -+-=有两个不相等的正根故()2140100k k k k ⎧++>⎪+>⎨⎪->⎩，解得30k -+<<∴存在实数k ，使得函数()f x 在区间[],m n 上的取值范围是,22m n k k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，其中k的取值范围为()3-+.22.解（1）∵()()21214221212121211x x x x xx x f x +-+-+===-+---，又0x >，210x ->，∴()2f x ≥=，当且仅当12121x x -=-，即1x =时取等号，∴()[)2,f x ∈+∞，即函数()f x 的值域为[)2,+∞．（2）∵()12121x x f x =-+-，设21x t =-，因为[]1,2x ∈，所以[]1,3t ∈，函数1y t t =+在[]1,3上单调递增，∴102,3y ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即()102,3f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，设[]1,2x ∈时，函数()g x 的值域为A ．由题意知102,3A ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦，∵函数()21g x x ax =-+，函数()g x 图象的对称轴为02a x =>，当12a ≤，即02a <≤时，函数()g x 在[]1,2上递增，则()()121023g g ⎧≤⎪⎨≥⎪⎩，即22112102213a a ⎧-+≤⎪⎨-+≥⎪⎩，∴506a <≤，当122a <<时，即24a <<时，函数()g x 在[]1,2上的最大值为()1g ，()2g 中的较大者，而()120g a =-<且()2521g a =-<，不合题意，当22a >，即4a >时，函数()g x 在[]1,2上递减，则()()101322g g ⎧≥⎪⎨⎪≤⎩，即22101132212a a ⎧-+≥⎪⎨⎪-+≤⎩，满足条件的a 不存在，综上，50,6a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦．。
河北省沧州市2021-2022学年高一上学期期末考试数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4本试卷主要考试内容：人教版必修第一册第一章至第五章前四节.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.（）A. B. C. D.3.指数函数在R上单调递减，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.4.若用二分法逐次计算函数在区间内的一个零点附近的函数值，所得数据如下：则方程的一个近似根（精度为0.1）为（）A.0.56B.0.57C.0.65D.0.85.关于x的一元二次不等式对于一切实数x都成立，则实数k满足（）A. B. C. D.6.“”是“”的（）A充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.某工厂设计了一款纯净水提炼装置，该装置可去除自来水中的杂质并提炼出可直接饮用的纯净水，假设该装置每次提炼能够减少水中50%的杂质，要使水中的杂质不超过原来的4%，则至少需要提炼的次数为（参考数据：取）（）A.5B.6C.7D.88.已知定义在R上的函数满足，且当时，，则（）A.B.C.D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9.下列函数中为偶函数的是（）A. B. C. D.10.已知，且，则的取值可以是（）A.8B.9C.11D.1211.已知函数，则下列结论错误的是（）A.的最小正周期是πB.的图象关于点对称C.在上单调递增D.是奇函数12.若，，且，则（）A. B.C. D.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13.已知，且，写出一个满足条件的的值：______.14.已知函数则______.15.某班有学生45人，参加了数学小组的学生有31人，参加了英语小组的学生有26人.已知该班每个学生都至少参加了这两个小组中的一个小组，则该班学生中既参加了数学小组，又参加了英语小组的学生有______人.16.若，，，则m的取值范围为______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）求下列各式的值：（1）；（2）.18.（12分）已知.（1）求的值；（2）求的值.19.（12分）已知函数.（1）判断的奇偶性，并说明理由；（2）用定义证明在上单调递增；（3）求在上的值域.20.（12分）已知函数，，且在上的最小值为0.（1）求的最小正周期及单调递增区间；（2）求的最大值以及取得最大值时x的取值集合.21.（12分）冰雪装备器材产业是冰雪产业的重要组成部分.加快发展冰雪装备器材产业，对筹办好北京2022年冬奥会、冬残奥会，带动我国3亿人参与冰雪运动具有重要的支撑作用.某冰雪装备器材生产企业，生产某种产品的年固定成本为300万元，每生产x千件，需另投入的成本为（万元）.当年产量低于60千件时，；当年产量不低于60千件时，.每千件产品的售价为60万元，且生产的产品能全部售完.（1）写出年利润L（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）当年产量为多少千件时，企业所获得的利润最大？最大利润是多少？22.（12分）已知函数.（1）当时，解方程；（2）当时，恒成立，求a的取值范围.高一期末考试试题数学参考答案1.A 因为，所以.2.B .3.D 由，得.4.B （由表格知在区间两端点处的函数值符号相反，且区间长度不超过0.1，符合精度要求.因此，近似值可取此区间上任一数.）5.C 由得，则.6.A 由，得.因为，所以“”是“”的充分不必要条件.7.A 设经过n次提炼后，水中的杂质不超过原来的4%，由题意得，得，所以至少需要5次提炼.8.A 因为，所以的周期为π.当时，，则在上单调递减，所以在上单调递减.因为，所以.故.9.ABD 函数，，为偶函数，函数上为奇函数.10.CD 因为，所以，则.因为，，所以，，所以（当且仅当时，等号成立），则.因为，所以，即.11.BCD 因为，所以A正确；因为，所以的图象不关于点对称，所以B错误；令，解得，当时，，因为，所以在上不单调，则C错误；因为，所以不是奇函数，则D错误.12.ABD 由，得，所以，即，A正确由，得，所以，B正确.由，得，即，构造函数，因为在上单调递增，且，所以，C错误.将代入，得，即，解得，D正确.13.0（答案不唯一）因为，所以，.则，或，，同时满足即可.14.5 由题意可得，则.15.12 设该班学生中既参加了数学小组，又参加了英语小组的学生有x人，则.16.由，得.由题意可得，，即，.因为，所以，故.17.解：（1）原式……2分……3分……4分.……5分（2）原式……7分……9分.……10分18.解：（1）由原式得，……2分所以，……4分解得，……5分故.……6分（2）……8分……10分.……12分19.（1）解：为奇函数.……1分由于的定义域为，关于原点对称，……2分且，所以为上的奇函数.……3分（画图正确，由图得出正确结论，也可以得分）（2）证明：设，，，……4分有.……6分由，，，得，，，，……7分，……8分即，所以函数在上单调递增.……9分（3）解：由（1）、（2）得函数在上单调递增，……10分故的最大值为，最小值为，……11分所以在上的值域为.……12分20.解：（1）的最小正周期为.……2分令，，解得，.所以的单调递增区间为.……5分（2）当时，.……6分，……7分解得.……8分所以.当，，即，时，取得最大值，……10分且最大值为3.……11分故的最大值为3，取得最大值时x的取值集合为.……12分21.解：（1）当时，；……2分当时，.……4分所以……5分（2）当时，，当时，L取最大值，且最大值为950.……7分当时，，……10分当且仅当时，等号成立.因为，所以当该企业年产量为50千件时，所获得的利润最大，最大利润是950万元.……12分22.解：（1）当时，，.原方程等价于且，，……1分即，且，，……2分所以，且.……3分令，则原方程化为，整理得，……4分解得或，即或（舍去），所以.故原方程的解为.……5分（2）因为，所以，即.……6分令，因为，所以，.……7分则恒成立，即在上恒成立.……8分令函数，因为函数与在上单调递增，所以在上单调递增.……9分因为，，所以，则，……10分所以，……11分解得或.故a的取值范围是.……12分。
