平面与平面垂直的判定(导学案)

8.6.3平面与平面垂直的判定导学案编写:XXX 初审:谭光垠终审:谭光垠XXX【学习目标】1.理解二面角及其平面角的定义并会求一些简单二面角的大小2.理解两平面垂直的定义3.掌握两个平面垂直的判定定理并能应用判定定理证明面面垂直问题【自主学习】知识点1 二面角(1)定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形．(2)相关概念:①这条直线叫做二面角的棱,②两个半平面叫做二面角的面．(3)画法:(4)记法:二面角α－l－β或α－AB－β或P－l－Q或P－AB－Q.(5)二面角的平面角:若有①O∈l;②OA⊂α,OB⊂β;③OA⊥l,OB⊥l,则二面角α－l－β的平面角是∠AOB.知识点2 平面与平面垂直(1)平面与平面垂直①定义:一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直．②画法:③记作:α⊥β.(2)判定定理l⊥α,l⊂β⇒α⊥β【合作探究】探究一二面角的概念及求法【例1】如图,四边形ABCD是正方形,P A⊥平面ABCD,且P A＝AB.(1)求二面角A-PD-C平面角的度数;(2)求二面角B-P A-D平面角的度数;(3)求二面角B-P A-C平面角的度数．[分析](1)证明平面P AD⊥平面PCD;(2),(3)先找出二面角的平面角,再证明该角满足平面角的定义,最后在三角形中求角的大小．[解](1)∵P A⊥平面ABCD,∴P A⊥CD.又四边形ABCD为正方形,∴CD⊥AD.P A∩AD＝A,∴CD⊥平面P AD.又CD⊂平面PCD,∴平面P AD⊥平面PCD.∴二面角A-PD-C平面角的度数为90°.(2)∵P A⊥平面ABCD,∴AB⊥P A,AD⊥P A.∴∠BAD为二面角B-P A-D的平面角．又由题意知∠BAD＝90°,∴二面角B-P A-D平面角的度数为90°.(3)∵P A⊥平面ABCD,∴AB⊥P A,AC⊥P A.∴∠BAC为二面角B-P A-C的平面角．又四边形ABCD为正方形,∴∠BAC＝45°,即二面角B-P A-C平面角的度数为45°.归纳总结:清楚二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关,通常可根据需要选择特殊点作平面角的顶点.求二面角的大小的方法为:一作,即先作出二面角的平面角;二证,即说明所作角是二面角的平面角;三求,即利用二面角的平面角所在的三角形算出角的三角函数值,其中关键是“作”【练习1】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求二面角B-A1C1-B1的正切值．解:如图,取A1C1的中点O,连接B1O、BO.由题意知B1O⊥A1C1,又BA1＝BC1,O为A1C1的中点,所以BO⊥A1C1,所以∠BOB1即是二面角B-A1C1-B1的平面角．因为BB1⊥平面A1B1C1D1,OB1⊂平面A1B1C1D1,所以BB1⊥OB1.设正方体的棱长为a,则OB1＝2 2a.在Rt△BB1O中,tan∠BOB1＝BB1OB1＝a22a＝2,所以二面角B-A1C1-B1的正切值为 2.探究二平面与平面垂直的判定【例2】如图所示,四棱锥P-ABCD中,P A⊥平面ABCD,底面ABCD是直角梯形,AB⊥AD,CD ⊥AD.求证:平面PDC⊥平面P AD.[证明]∵P A⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,∴P A⊥CD.又∵CD⊥AD,P A∩AD＝A,∴CD⊥平面P AD.又∵CD⊂平面PDC,∴平面PDC⊥平面P AD.归纳总结:判定两平面垂直的常用方法:(1)定义法:即说明两个平面所成的二面角是直二面角;(2)判定定理法:其关键是在其中一个平面内寻找一直线与另一个平面垂直,即把问题转化为“线面垂直”;(3)性质法:两个平行平面中的一个垂直于第三个平面,则另一个也垂直于此平面【练习2】如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD＝AA1＝2,AB＝4,E为AB的中点．求证:平面DD1E⊥平面CD1E.证明:在矩形ABCD中,E为AB的中点,AD＝2,AB＝4,所以DE＝CE＝22,因为CD ＝4,所以CE ⊥DE , 因为D 1D ⊥平面ABCD ,所以D 1D ⊥CE ,因为D 1D ∩DE ＝D , 所以CE ⊥平面D 1DE ,又CE ⊂平面CED 1, 所以平面DD 1E ⊥平面CD 1E .探究三 线面垂直、面面垂直的综合应用【例3】如图所示,已知三棱锥P -ABC ,∠ACB ＝90°,CB ＝4,AB ＝20,D 为AB 的中点,且△PDB 是正三角形,P A ⊥PC .(1)求证:平面P AC ⊥平面ABC ; (2)求二面角D -AP -C 的正弦值;(3)若M 为PB 的中点,求三棱锥M -BCD 的体积．[分析] 本题的题设条件有三个:①△ABC 是直角三角形,BC ⊥AC ;②△PDB 是正三角形;③D 是AB 的中点,PD ＝DB ＝10.解答本题(1),只需证线面垂直,进而由线面垂直证明面面垂直,对于(2)首先应找出二面角的平面角,然后求其正弦值,解答(3)小题的关键是用等体积法求解．[解] (1)证明:∵D 是AB 的中点,△PDB 是正三角形,AB ＝20, ∴PD ＝12AB ＝10,∴△P AB 为直角三角形且∠APB ＝90°,∴AP ⊥PB . 又AP ⊥PC ,PB ∩PC ＝P ,∴AP ⊥平面PBC . 又BC ⊂平面PBC ,∴AP ⊥BC .又AC ⊥BC ,AP ∩AC ＝A ,∴BC ⊥平面P AC . 又BC ⊂平面ABC ,∴平面P AC ⊥平面ABC .(2)∵P A ⊥PC ,且P A ⊥PB ,∴∠BPC 是二面角D -AP -C 的平面角． 由(1)知BC ⊥平面P AC ,则BC ⊥PC , ∴sin ∠BPC ＝BC PB ＝25.(3)∵D 为AB 的中点,M 为PB 的中点, ∴DM ∥P A ,故DM ＝53,由(1)知P A ⊥平面PBC ,∴DM ⊥平面PBC . ∵S △BCM ＝12S △PBC ＝221,∴V M -BCD ＝V D -BCM ＝13×53×221＝107.归纳总结:本题是涉及线面垂直、面面垂直、二面角的求法等诸多知识点的一道综合题,解决这类问题的关键是转化:线线垂直⇒线面垂直⇒面面垂直【练习3】如图,在三棱锥P -ABC 中,PC ⊥平面ABC ,AB ⊥BC ,D ,E 分别是AB ,PB 的中点．(1)求证:DE ∥平面P AC ; (2)求证:AB ⊥PB ;(3)若PC ＝BC ,求二面角P -AB -C 的大小． 解:(1)证明:因为D ,E 分别是AB ,PB 的中点, 所以DE ∥P A .又因为P A ⊂平面P AC ,DE ⊄平面P AC ,所以DE∥平面P AC.(2)证明:因为PC⊥平面ABC,AB⊂平面ABC,所以PC⊥AB.又因为AB⊥BC,PC∩BC＝C,所以AB⊥平面PBC, 又因为PB⊂平面PBC,所以AB⊥PB.(3)由(2)知,AB⊥PB,AB⊥BC,所以∠PBC即为二面角P-AB-C的平面角,因为PC＝BC,∠PCB＝90°,所以∠PBC＝45°,所以二面角P-AB-C的大小为45°.课后作业A组基础题一、选择题1．下列不能确定两个平面垂直的是()A．两个平面相交,所成二面角是直二面角B．一个平面垂直于另一个平面内的一条直线C．一个平面经过另一个平面的一条垂线D．平面α内的直线a垂直于平面β内的直线b【答案】 D详细解析如图所示,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,平面A1B1CD内的直线A1B1垂直于平面ABCD内的一条直线BC,但平面A1B1CD与平面ABCD显然不垂直．2．关于直线a,b以及平面M,N,下列命题中正确的是()A．若a∥M,b∥M,则a∥bB．若b∥M,a⊥b,则a⊥MC．若b⊂M,a⊥b,则a⊥MD．若a⊥M,a⊂N,则M⊥N【答案】 D详细解析A中,当直线a,b都在一个平面上相交,且这个平面与M平行,可推断出A不一定成立;B中,可能存在a⊂M的情况,故B的结论不一定成立;C中,可能存在a∥M的情况,故C项错误;D中,若a⊥M,a⊂N,由面面垂直的判定定理可知M⊥N,故D项中说法正确．3．如图所示,在四面体D－ABC中,若AB＝BC,AD＝CD,E是AC的中点,则下列命题中正确的是()A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE,且平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC,且平面ADC⊥平面BDE【答案】 C详细解析因为AB＝BC,且E是AC的中点,所以BE⊥AC.同理,DE⊥AC.又BE∩DE＝E,所以AC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ACD,所以平面ACD⊥平面BDE.4．如图所示,在△ABC中,AD⊥BC,△ABD的面积是△ACD的面积的2倍．沿AD将△ABC 翻折,使翻折后BC⊥平面ACD,此时二面角B－AD－C的大小为()A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】 C详细解析由已知得BD＝2CD.翻折后,在Rt△BCD中,∠BDC＝60°,而AD⊥BD,CD⊥AD,故∠BDC是二面角B－AD－C的平面角,其大小为60°.5．如图,AB是圆O的直径,P A垂直于圆O所在平面ABC,点C是圆上的任意一点,图中互相垂直平面的对数为()A．4 B．3 C．2 D．1【答案】 B详细解析∵P A⊥圆O所在平面ABC,∴平面P AB⊥平面ABC,同理可得:平面P AC⊥平面ABC,∵AB是圆O的直径,∴BC⊥AC,又∵P A⊥圆O所在平面ABC,BC⊂平面ABC,∴P A⊥BC.又∵P A∩AC＝A,P A,AC⊂平面P AC.∴BC⊥平面P AC.又∵BC⊂平面PBC,∴平面PBC⊥平面P AC.综上相互垂直的平面共有3对．6．过两点与一个已知平面垂直的平面()A．有且只有一个B．有无数个C．有且只有一个或无数个D．可能不存在【答案】 C详细解析设两点为A,B,平面为α,若直线AB⊥α,则过A、B与α垂直的平面有无数个;若直线AB与α不垂直,即直线AB与α平行、相交或在平面α内,均存在唯一平面垂直于已知平面．7．在正四面体P ABC中,D、E、F分别是AB、BC、CA的中点,下面四个结论中不成立的是() A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面P AEC．平面PDF⊥平面ABC D．平面P AE⊥平面ABC【答案】 C详细解析如图所示,∵BC∥DF,∴BC∥平面PDF,∴A正确．由BC⊥PE,BC⊥AE,得BC⊥平面P AE,∴DF⊥平面P AE,∴B正确．∴平面ABC⊥平面P AE(BC⊥平面P AE),∴D正确．8．如图所示,已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形,P A⊥平面ABC,P A＝2AB,则下列结论正确的是()A．PB⊥ADB．平面P AB⊥平面PBCC．直线BC∥平面P AED．直线PD与平面ABC所成的角为45°【答案】 D详细解析∵P A⊥平面ABC,∴∠ADP是直线PD与平面ABC所成的角．∵六边形ABCDEF是正六边形,∴AD＝2AB,即tan∠ADP＝P AAD＝2AB2AB＝1,∴直线PD与平面ABC所成的角为45°.故选D.二、填空题9．已知α,β是两个不同的平面,l是平面α与β之外的直线,给出下列三个论断:①l⊥α,②l∥β,③α⊥β.以其中的两个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题:________.(用序号表示)【答案】①②⇒③详细解析由l∥β可在平面β内作l′∥l,又l⊥α,∴l′⊥α,∵l′⊂β,∴α⊥β,故①②⇒③.10．下列结论中,所有正确结论的序号是________．①两个相交平面形成的图形叫做二面角;②异面直线a,b分别和一个二面角的两个面垂直,则a,b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补;③二面角的平面角是从棱上一点出发,分别在两个面内作射线所成的角的最小角;④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．【答案】②④详细解析由二面角及二面角的平面角的定义知①③不正确,④正确;②中所成的角虽不是二面角的平面角,但由平面几何的知识易知②正确．11．如图所示,在长方体ABCD－A1B1C1D1中,BC＝2,AA1＝1,E,F分别在AD和BC上,且EF∥AB,若二面角C1－EF－C等于45°,则BF＝________.【答案】 1详细解析由题意知EF⊥BC.∵CC1⊥平面ABCD,∴CC1⊥EF,又BC∩CC1＝C,∴EF⊥平面CC1F,∴EF⊥C1F.故∠C1FC为二面角C1－EF－C的平面角,即∠C1FC＝45°,∵AA1＝1,∴CF＝1,又BC＝2,∴BF＝1.12．如图所示,在四棱锥P－ABCD中,P A⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足________时,平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)【答案】DM⊥PC(或BM⊥PC等)详细解析由定理可知,BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时,即有PC⊥平面MBD,而PC⊂平面PCD,∴平面MBD⊥平面PCD.三、解答题13．如图所示,在正三棱柱ABC－A1B1C1中,E为BB1的中点,求证:截面A1CE⊥侧面ACC1A1.证明 如图所示,取A 1C 的中点F ,AC 的中点G ,连接FG ,EF ,BG ,则FG ∥AA 1,且GF ＝12AA 1.因为BE ＝EB 1,A 1B 1＝CB ,∠A 1B 1E ＝∠CBE ＝90°, 所以△A 1B 1E ≌△CBE ,所以A 1E ＝CE . 因为F 为A 1C 的中点,所以EF ⊥A 1C . 又FG ∥AA 1∥BE ,GF ＝12AA 1＝BE ,且BE ⊥BG ,所以四边形BEFG 是矩形,所以EF ⊥FG . 因为A 1C ∩FG ＝F ,所以EF ⊥侧面ACC 1A 1.又因为EF ⊂平面A 1CE ,所以截面A 1CE ⊥侧面ACC 1A 1.14．如图,四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 为正方形,P A ⊥底面ABCD ,AC ,BD 交于点E ,F 是PB 的中点．求证: (1)EF ∥平面PCD ; (2)平面PBD ⊥平面P AC .证明 (1)∵四边形ABCD 是正方形,∴E 是BD 的中点． 又F 是PB 的中点,∴EF ∥PD . 又∵EF ⊄平面PCD ,PD ⊂平面PCD , ∴EF ∥平面PCD .(2)∵四边形ABCD 是正方形,∴BD ⊥AC . ∵P A ⊥平面ABC ,∴P A ⊥BD . 又P A ∩AC ＝A ,∴BD ⊥平面P AC . 又BD ⊂平面PBD , ∴平面PBD ⊥平面P AC .15．如图,在四面体A -BCD 中,BD ＝2a ,AB ＝AD ＝CB ＝CD ＝AC ＝a ,求证:平面ABD ⊥平面BCD .证明:如图,取BD 的中点E ,连接AE ,CE .由AB ＝AD ＝CB ＝CD ,知AE ⊥BD ,CE ⊥BD ,所以∠AEC 为二面角A -BD -C 的平面角．在△ABE 中,AB ＝a ,BE ＝12BD ＝22a ,所以AE 2＝AB 2－BE 2＝12a 2,同理CE 2＝12a 2,所以AE 2＋CE 2＝a 2＝AC 2, 所以∠AEC ＝90°.所以平面ABD ⊥平面BCD .B组能力提升一、选择题1．若P是等边三角形ABC所在平面外一点,且P A＝PB＝PC,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,则下列结论中不正确的是()A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面P AEC．平面P AE⊥平面ABC D．平面PDF⊥平面ABC【答案】D详细解析:∵P是等边三角形ABC所在平面外一点,且P A＝PB＝PC,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,∴DF∥BC,又∵DF⊂平面PDF,BC⊄平面PDF,∴BC∥平面PDF,故A正确．∵P A＝PB＝PC,△ABC为等边三角形,E是BC中点,∴PE⊥BC,AE⊥BC.∵PE∩AE＝E,∴BC⊥平面P AE.∵DF∥BC,∴DF⊥平面P AE,故B正确．∵BC⊥平面P AE,BC⊂平面ABC,∴平面P AE⊥平面ABC,故C正确．设AE∩DF＝O,连接PO.∵O不是等边三角形ABC的重心,∴PO与平面ABC不垂直,∴平面PDF与平面ABC不垂直,故D错误．2．在二面角α-l-β中,A∈α,AB⊥平面β于B,BC⊥平面α于C,若AB＝6,BC＝3,则二面角α-l-β的平面角的大小为()A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°【答案】D详细解析:如图,∵AB⊥β,∴AB⊥l,∵BC⊥α,∴BC⊥l,∴l⊥平面ABC.设平面ABC∩l＝D,则∠ADB为二面角α-l-β的平面角(或其补角),∵AB＝6,BC＝3,∴∠BAC＝30°,∴∠ADB＝60°,∴二面角大小为60°或120°.二、填空题3.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,P A⊥平面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上一动点．当点M满足时,平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)【答案】DM⊥PC(或BM⊥PC等)详细解析:如图,连接AC,则BD⊥AC.由P A⊥平面ABCD,可知BD⊥P A,所以BD⊥平面P AC,所以BD⊥PC,所以当DM⊥PC(或BM⊥PC)时,即有PC⊥平面MBD.而PC⊂平面PCD,所以平面MBD⊥平面PCD.三、解答题4.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面是边长为a的正方形,侧棱PD＝a,P A＝PC＝2a,(1)求证:PD⊥平面ABCD;(2)求证:平面P AC⊥平面PBD;(3)求二面角P-AC-D的正切值．解:(1)证明:∵PD＝a,DC＝a,PC＝2a, ∴PC2＝PD2＋DC2,∴PD⊥DC.同理可证PD⊥AD,又AD∩DC＝D,∴PD⊥平面ABCD.(2)证明:由(1)知PD⊥平面ABCD,∴PD⊥AC,而四边形ABCD是正方形, ∴AC⊥BD,又BD∩PD＝D,∴AC⊥平面PDB.又AC⊂平面P AC,∴平面P AC⊥平面PBD.(3)设AC∩BD＝O,如图,连接PO.由P A＝PC,知PO⊥AC.又由DO⊥AC,故∠POD为二面角P-AC-D的平面角．易知OD＝2 2a.在Rt△PDO中,tan∠POD＝PDOD＝a22a＝ 2.5．如图,在长方体ABCD－A1B1C1D1中,AD＝AA1＝1,AB＝2,点E在棱AB上移动．(1)证明:D1E⊥A1D;(2)求AE等于何值时,二面角D1－EC－D的大小为45°?(1)证明连接D1A,D1B.∵在长方形A1ADD1中,AD＝AA1＝1,∴四边形A1ADD1为正方形,∴A1D⊥AD1.又由题意知AB⊥A1D,且AB∩AD1＝A,∴A1D⊥平面ABD1.∵D1E⊂平面ABD1,∴A1D⊥D1E.(2)解过D作DF⊥EC于点F,连接D1F.∵D1D⊥平面DB,EC⊂平面DB,∴D1D⊥EC.又DF∩D1D＝D,∴EC⊥平面D1DF.∵D1F⊂平面D1DF,∴EC⊥D1F,∴∠DFD1为二面角D1－EC－D的平面角,∴∠DFD1＝45°,又∠D1DF＝90°,D1D＝1,∴DF＝1.在Rt△DFC中,∵DC＝2,∴∠DCF＝30°,∴∠ECB＝60°.在Rt△EBC中,∵BC＝1,∴EB＝3,AE＝2－ 3.。

两个平面垂直的判定和性质(一)一、素质教育目标(一)知识教学点1．两个平面垂直的定义、画法．2．两个平面垂直的判定定理．(二)能力训练点1．应用演绎的数学方法理解并掌握两个平面垂直的定义．2．掌握两个平面垂直的判定定理的证明过程，培养学生严格的逻辑推理，增强学生分析、解决问题的能力．3．利用转化的方法掌握和应用两个平面垂直的判定定理．(三)德育渗透点1．理解并掌握两个平面垂直定义的过程是培养学生从一般到特殊的思维方法的过程．2．让学生认识到掌握两个平面垂直的判定定理是人类生产实践的需要，并且应用于实践，进一步培养学生理论与实践相结合的观点．二、教学重点、难点、疑点及解决方法1．教学重点：掌握两个平面垂直的判定．2．教学难点：掌握两个平面垂直的判定及应用．三、课时安排本课题安排2课时．本节课为第一课时：主要讲解两个平面垂直的判定．四、教与学的过程设计(一)复习平面角的有关知识师：什么是二面角的平面角？生：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．师：一般地，作二面角的平面角有哪几种方法？生：三种．一是利用定义；二是利用三垂线(逆)定理；三是利用棱的垂面．师：下面我们来做道练习(幻灯显示)．已知：二面角α-AB-β等于45°，CD＜α，D∈AB，∠CDB＝45°．求：CD与平面β所成的角．生证明：作CO⊥β交β于点O，连结DO，则∠CDO为DC与β所成的角．过点O作OE⊥AB于E，连结CE，则CE⊥AB，∴∠CEO为二面角α-AB-β的平面角，即∠CEO=45°．∵CO⊥OE，OC＝OE，∴∠CDO=30°．即DC与β成30°角．师点评：本题涉及到直线与平面所成角的范围[0°，90°]以及利用三垂线定理寻找二面角的平面角．事实上，利用三垂线定理作二面角的平面角是最常用，也是最有效的一种方法．(二)两个平面垂直的定义、画法师：两个平面垂直是两个平面相交的特殊情况，日常我们见到的墙面和地面、以及一个长方体中，相邻的两个面都是互相垂直的．那么，什么是两个平面互相垂直呢？生：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．师：回答得很好．这个定义与平面几何里的两条直线互相垂直的定义相类似，也是用它们所成的角是直角来定义．知道了两个平面互相垂直的概念．如何画它们呢？生：如图1-128，把直立平面的竖边画成和水平平面的横边垂直．记作α⊥β．练习：(P.45中练习1)画互相垂直的两个平面、两两垂直的三个平面．如图1-129．(三)两个平面垂直的判定师：判定两个平面互相垂直，除了定义外，还有下面的判定定理．两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．求证：α⊥β．师提示：要证明两个平面互相垂直，只有根据两个平面互相垂直的定义，证明由它们组成的二面角是直二面角，因此必须作出它的一个平面角，并证明这个平面角是直角．如何作平面角呢？根据平面角的定义，可以作BE⊥CD，使∠ABE 为二面角α-CD-β的平面角．让学生独自写出证明过程．证明：设a∩β=CD，则B∈CD．∴AB⊥CD．在平面β内过点B作直线BE⊥CD，则∠ABE是二面角α-CD-β的平面角，又AB⊥BE，即二面角α-CD-β是直二面角．∴α⊥β．师：两个平面垂直的判定定理，不仅是判定两个平面互相垂直的依据，而且是找出垂直于一个平面的另一个平面的依据．如：建筑工人在砌墙时，常用一端系有铅锤的线来检查所砌的墙面是否和水平面垂直(图见课本P.43中图1-49)，实际上，就是依据这个原理．另外，这个定理说明要证明面面垂直，实质上是转化为线面垂直来证明．下面我们来做一道练习．练习：(P.45中练习2)如图1-131，检查工件的相邻两个面是否垂直时，只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上，另一边在工件的另一个面上转动一下，观察尺边是否和这个面密合就可以了．为什么？如果不转动呢？如果不转动，只能确定两条直线OA⊥OB，无法确定OA⊥β，从而无法确定α⊥β．(四)练习例：⊙O在平面α内，AB是⊙O的直径，PA⊥α，C为圆周上不同于A、B 的任意一点．求证：平面PAC⊥平面PBC．证明：在θO内．∵AB为θO的直径，∴BC⊥AC．又PA⊥BC，∴BC⊥平面PAC．∴平面PAC⊥平面PBC．(五)总结本节课我们讲解了两个平面垂直的定义、画法及判定方法．判定方法有两种，一是利用定义，二是利用判定定理．如何应用两个平面垂直的判定定理，把面面垂直的问题转化为线面垂直的问题是本节课学习的关键．五、作业P．46中习题六．6、7、8、10(1)，。

平面与平面垂直的判定》教学设计(优质课)叫做二面角的平面角，记作∠POQ。

二面角的大小等于其平面角的大小，即二面角的大小为∠POQ.二、两个平面互相垂直的判定1．判定定理两个平面互相垂直的充分必要条件是它们的法线互相垂直.2．应用举例1）判定两个平面垂直的方法：求出两个平面的法向量，判断法向量是否垂直即可.2）应用：在空间直角坐标系中，判定两个平面是否垂直，可以通过求出两个平面的法向量，然后判断法向量是否垂直来确定.3．注意事项1）两个平面垂直不一定相交；2）两个平面相交不一定垂直.三、教学反思本节课主要介绍了平面与平面垂直的判定，以及二面角的概念和求法.在教学过程中，我采用了实物观察、类比归纳、语言表达等多种教学方法，让学生通过实例感知概念的形成过程，通过类比已学知识，归纳出二面角的度量方法及两个平面垂直的判定定理.同时，也通过实验等方式激发学生的研究兴趣和探索意识，培养学生的观察、分析、解决问题能力.在教学中，我还注意到了两个平面垂直不一定相交，两个平面相交不一定垂直的注意事项，让学生在实际问题中更好地应用所学知识.P-AB-Q，若棱记作l，则二面角大小等于棱l的大小。

记作α-l-β或P-AB-Q。

若改变点O的位置，l-Q，则二面角的大小不变。

二面角的平面角定义为在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角。

该平面角的大小与O点位置无关，范围为[0.180°]，平面角为直角的二面角叫做直二面角。

平面与平面垂直的定义是，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，则这两个平面互相垂直。

一般地，两个互相垂直的平面通常画成一个平面过另一个平面的垂线。

平面α与β垂直，记作α⊥β。

两个平面互相垂直的判定定理是，一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

例如，在图中，平面PAC⊥平面PBC，因为点C是圆周上不同于A、B的任意一点，且AB是⊙O的直径，所以，∠BCA是直角，即BC⊥AC。

高中数学必修2“§2.3.1直线与平面垂直的判定(第一课时)”教学设计一、教学背景1、学情分析学生空间想象能力薄弱，在空间图形中提取线面关系的目标较易混淆。

2、教学重点直线与平面垂直的定义和判定定理。

3、教学难点直线与平面垂直的判定定理的探究。

二、教学目标1、学生结合实例感受直线和平面垂直的定义的形成过程，明确定义；2、学生明确直线与平面垂直在立体几何中的地位；在“感性认识”到“理性认识”的学习过程中获取新知；3、从直线和平面垂直的定义得到直线和平面垂直的性质；4、学生在动手探究活动中找出判定直线与平面垂直的方法；5、通过文字语言、符号语言、图形语言的转换，理解直线与平面垂直的判定定理；6、培养学生的几何直观能力，使他们在直观感知、操作确认的基础上学会归纳、概括结论。

7、直线与平面垂直的判定定理的运用中找齐条件证明直线与平面垂直。

三、教学设计（一）新课导入[创设情境]①请同学们把一本书竖直的放在桌面上，说出书脊与桌面的位置关系？②请同学们观察图片，说出广州塔与它在地面的影子有什么位置关系？（二）新课感知1、如何定义一条直线与一个平面垂直呢？如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α，直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面。

如图2-3-1，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。

并对图示表示进行说明。

lpα图2-3-12、性质：若l⊥α， b α则l⊥b.练习1：判断题：直线l与平面α垂直是指直线l与平面α内无数条直线都垂直。

（）分析：通过直线l与平面α内一组平行直线都垂直的动画效果加强直观性。

3、老师提出问题，让学生思考：（1）问题：虽然可以根据定义判定直线与平面垂直，但这种方法实际上难以实施。

有没有比较方便可行的方法来判断直线和平面垂直呢？找平面内一条直线可否？（2）小组活动：请同学们准备一张三角形的纸片（课前以小组分工准备等腰三角形、直角三角形、锐角三角形、钝角三角形各1个），我们一起来做如图2.3-2试验：沿过△ABC 的顶点A（最大角所在顶点）的直线折叠纸片，得到折痕AD，将折叠后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触），问如何折叠才能保证折痕AD与桌面所在平面垂直？AB D C图2.3-2（3）归纳结论：引导学生根据直观感知及已有经验（两条相交直线确定一个平面），进行合情推理，获得判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

§学案线面垂直的判定与性质题型1线面垂直的判定与性质题型2面面垂直的判定与性质题型3垂直关系的综合应用（线线角、线面角、长度、体积问题）要点一、直线和平面垂直的定义与判定1.直线和平面垂直的定义如果直线l 和平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面α互相垂直，记作l α⊥.直线l 叫平面α的垂线；平面α叫直线l 的垂面；垂线和平面的交点叫垂足.2.直线和平面垂直的判定定理文字语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．符号语言：,,,m n m n B l l m l n ααα⊂⊂=⎫⇒⊥⎬⊥⊥⎭I 特征：线线垂直⇒线面垂直要点诠释：①过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个；过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条．②如果两条平行线中的一条与一个平面垂直，那么另一条也与这个平面垂直．③如果两个平行平面中的一个与一条直线垂直，那么另一个也与这条直线垂直．要点二、平面与平面垂直的定义与判定1.平面与平面垂直定义定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面垂直.表示方法：平面α与β垂直，αβ⊥记作.画法：两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直.如图：2.平面与平面垂直的判定定理文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.符号语言：,l l αβαβ⊥⊂⇒⊥图形语言：要点三、直线与平面垂直的性质1.基本性质文字语言：一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线.符号语言：,l m l mαα⊥⊂⇒⊥图形语言：2.性质定理文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行.符号语言：,//l m l mαα⊥⊥⇒图形语言：3．直线与平面垂直的其他性质（1）若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．（2）若l α⊥于A ，AP l ⊥，则AP α⊂．（3）垂直于同一条直线的两个平面平行．（4）如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另一个平面．要点诠释：线面垂直关系是线线垂直、面面垂直关系的枢纽，通过线面垂直可以实现线线垂直和面面垂直关系的相互转化．要点四、平面与平面垂直的性质1．性质定理文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.符号语言：,,,m l l m l αβαββα⊥=⊂⊥⇒⊥ 要点五、垂直证明方法总结1、直线和平面垂直的证明证明线面垂直的基本思路：证明线垂直面内的两条相交直线。

线面垂直与面面垂直性质学习目标: 1．掌握直线和平面垂直的性质定理2．掌握平面和平面垂直的性质定理学习重点：掌握线面垂直的性质定理与平面和平面垂直的性质定理学习难点：线面垂直的性质定理;及平面和平面垂直的性质定理的应用.一自主学习1、复习：①直线与平面垂直的判定定理(用符号语言表示)②平面与平面垂直的判定定理(用符号语言表示) 2新知：（一）线面垂直的性质定理符号语言:（二）平面和平面垂直的性质定理符号语言: 二、合作探究例1 判断下列命题是否正确，并说明理由.⑴两条平行线中的一条垂直于某条直线，则另一条也垂直于这条直线；⑵两条平行线中的一条垂直于某个平面，则另一条也垂直于这个平面；⑶两个平行平面中的一个垂直于某平面，则另一个也垂直与这个平面；⑷垂直于同一条直线的两条直线互相平行；⑸垂直于同一条直线的两个平面互相平行；⑹垂直于同一个平面的两个平面互相平行.例2：如图，AB 是⊙O 的直径，C 是圆周上不同于A ，B 的任意一点，平面PAC ⊥平面ABC ，(1)判断BC 与平面PAC 的位置关系，并证明。

(2)判断平面PBC 与平面PAC 的位置关系。

三、总结提升※ 学习小结1、证明线面垂直的两种方法：线线垂直→线面垂直；面面垂直→线面垂直2. “平行”与“垂直”关系的相互转化※ 知识拓展1、直线与平面垂直其它性质(1)如果一条直线垂直于一个平面,则这条直线垂直于这个平面的 一条直线.(2) 两条平行直线中的一条垂直于一个平面,另一条也 于这个平面(3) 垂直于同一条直线的两个平面 .即（设,a m 和l 是直线，,αβ是平面）(1)l l a a αα⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭； (2)//l m m l αα⊥⎫⇒⊥⎬⎭ (3)//l l ααββ⊥⎫⎬⊥⎭2、两个平面垂直的其它性质：⑴如果两个平面互相垂直，那么经过一个平面内一点且垂直于另外一个平面的直线 这个平面内；(2)如果两个平面互相垂直,则与其中一个平面平行的平面 于另一个平面.(3) 如果两个平面互相垂直,那么其中一个平面的垂线 于另一个平面或在另一个平面内.A。

2.3.2平面与平面垂直的判定(教案)备课人授课时间课题§2.3.2平面与平面垂直的判定教学目标知识与技能使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；使学生理会“类比归纳”思想在数学问题解决上的作用。

过程与方法启发引导，充分发挥学生的主体作用情感态度价值观激发学生积极思维，培养学生的观察、分析、解决问题能力重点平面与平面垂直的判定难点如何度量二面角的大小第 2 页第 3 页角二面角图形A边顶点O边 BA梭lβBα定义从平面内一点出发的两条射线（半直线）所组成的图形从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形构成射线—点（顶点）一射线半平面一线（棱）一半平面表示∠AOB 二面角α-l-β或α-AB-β2、二面角的度量：二面角定理地反映了两个平面相交的位置关系，如我们常说“把门开大一些”，是指二面角大一些，那我们应如何度量二两角的大小呢？师生活动：师生共同做一个小实验（预先准备好的二面角的模型）在其棱上位取一点为顶点，在两个半平面内各作一射线（如图2.3-3），通过实验操作，2教教学内容教学环节与活动设计第 4 页学设计承上启下，引导学生观察，类比、自主探究，得两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

（三）应用举例，强化所学例题：课本P.69例3 做法：教师引导学生分析题意，先让学生自己动手推理证明，然后抽检学生掌握情况，教师最后讲评并板书证明过程。

（四）运用反馈，深化巩固问题：课本P.69的探究问题做法：学生思考（或分组讨论），老师与学生对话完成。

（五）课后巩固，拓展思维1、课后作业：自二面角内一点分别向两个面引垂线，求证：教学小结（1）二面角以及平面角的有关概念（2）两个平面垂直的判定定理的内容，它与直线与平面垂直的判定定理有何关系？课后反思第 5 页。

2.3.3直线与平面垂直的性质2.3.4平面与平面垂直的性质一、课标解读1.掌握直线和平面垂直的性质定理和推论的内容、推导和简单应用。

2.掌握等价转化思想在解决问题中的运用.3.使学生掌握直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质定理.4.能运用性质定理解决一些简单问题.了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系.二、自学导引问题1：如图，长方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，棱A A ′、B B ′、C C ′、D D ′所在直线都垂直于平面ABCD ，它们之间具有什么位置关系？问题2：已知：a α⊥，b α⊥。

求证：b ∥a直线和平面垂直的性质定理： 垂直于同一个平面的两条直线平行。

符号语言作用：a b问题3：黑板所在平面与地面所在平面垂直，你们能否在黑板上画一条直线与地面垂直呢？问题4：如图，长方体ABCD－A'B'C'D中，平面A'ADD’与平面ABCD垂直，直线A'A垂直于其交线AD，平面A'ADD’内的直线A'A与平面ABCD垂直吗？问题5：设α⊥β，α∩β＝CD，A B α，AB⊥CD，AB∩CD＝B，研究直线AB与平面β的位置关系。

归纳得到平面与平面垂直的性质定理：定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

想一想：用符号语言如何表述这个定理?三、典例精析例1 如图所示，正方体1111ABCD A B C D -中，D A AC EF 1及与异面直线都垂直相交. 求证：EF ∥1BD变式训练1 如图所示，已知SA 垂直于ABCD 所在平面，过A 且垂直于SC 的平面分别交 .,,,,G F E SD SC SB 于求证：SB AE ⊥例2 如图所示，平面⊥⊥PAC ABC PAB 平面平面,平面ABC ，⊥AE 平面PBC ,E 为垂足.（1） 求证：ABC PA 平面⊥（2） 当E 为PBC ∆的垂心时，求证：ABC ∆是直角三角形变式训练2 如图所示，是所在平面外一点，是四边形ABCD ABCD P60=∠DAB 且 边长ABCD PAD a 面垂直于底面为正三角形，其所在平的菱形，侧面. (1) 若PAD BG AD G 平面边的中点，求证：为⊥ (2) 求证：PB AD ⊥四、自主反馈 1．两异面直线在平面α内的射影（ ）A ．相交直线B ．平行直线C ．一条直线—个点D ．以上三种情况均有可能2．若两直线a 与b 异面，则过a 且与b 垂直的平面（ ）A ．有且只有—个B ．可能存在也可能不存在C ．有无数多个D ．—定不存在3．在空间，下列哪些命题是正确的（ ）①平行于同一条直线的两条直线互相平行；②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；③平行于同一个平面的两条直线互相平行；④垂直于同—个平面的两条直线互相平行．A ．仅②不正确B ．仅①、④正确C ．仅①正确D ．四个命题都正确4．若平面α的斜线l 在α上的射影为l ′，直线b ∥α，且b ⊥l ′，则b 与l （ ）A ．必相交B ．必为异面直线C ．垂直D ．无法确定5．下列命题①平面的每条斜线都垂直于这个平面内的无数条直线；②若一条直线垂直于平面的斜线，则此直线必垂直于斜线在此平面内的射影； ③若平面的两条斜线段相等，则它们在同一平面内的射影也相等；④若一条线段在平面外并且不垂直于这个平面，则它的射影长一定小于线段的长． 其中，正确的命题有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个 n 4个6．在下列四个命题中，假命题为（ ）A ．如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直B ．垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边C ．过点A 垂直于直线a 的所有直线都在过点A 垂直于a 的平面内D ．如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面7．已知P 是四边形ABCD 所在平面外一点且P 在平面ABCD 内的射影在四边形ABCD 内，若P 到这四边形各边的距离相等，那么这个四边形是（ ）A ．圆内接四边形B ．矩形C ．圆外切四边形D ．平行四边形8．在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，P A ⊥平面ABC ，P A ＝8，则P 到BC 的距离等于（ ）A ．5B ．52C ．35D ．45答案2.3.3 直线与平面垂直的性质2.3.4 平面与平面垂直的性质例1 证明：连接BD C B AB ,,11ABCD AC ABCD DD 平面平面⊂⊥,1D DD BD BD AC AC DD =⊥⊥∴11,, 又111,BD AC B BDD AC ⊥∴⊥∴平面C AB BD C B BD 1111,平面同理可证⊥∴⊥C BD A AD EF AC EF 11//,,又⊥⊥C AB EF C B EF 11,平面⊥∴⊥∴1//BD EF ∴例2 证明（1）在平面F AC DF D ABC 于作内取一点⊥,AC ABC PAC 且交线为平面平面,⊥AP DF PAC PA PAC DF ⊥∴⊂⊥∴,,平面平面AP DG G AB DG ⊥⊥同理可证于作,D DF DG ABC DF DG = 内，且都在平面,ABC PA 平面⊥∴(2)连接H PC BE 于并延长交BE PC PBC E ⊥∴∆的垂心，是又已知AE PC PBC AE ⊥∴的垂线，是平面AB PC ABE PC ⊥∴⊥∴,平面PAC AB AB PA ABC PA 平面平面又⊥∴⊥∴⊥,, 是直角三角形即ABC AC AB ∆⊥∴,变式训练1.SA BC ABCD BC ABCD SA ⊥∴⊂⊥,平面，平面证明：SAB SA SAB AB A SA AB AB BC 平面平面⊂⊂=⊥,,, BC AE SAB AE SAB BC ⊥∴⊂⊥∴,,平面平面 SC AE AEFG AE AEFG SC ⊥∴⊂⊥,,平面平面 SBC BC SBC SC C BC SC 平面平面又⊂⊂=,, SB AE SBC SB SBC AE ⊥∴⊂⊥∴,,平面平面2.略自主反馈1．D 2．B 3．B 4．C 5．A 6．A 7．C 8．D。

《2.3.4平面与平面垂直的性质》导学案1
学习目标：
1. 理解和掌握两个平面垂直的性质定理及其应用；
2. 进一步理解线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化及转化的数学思想. 学习重点：
平面与平面垂直的性质及其应用.
学习难点:
掌握两个平面垂直的性质及应用．
学习过程
课前预习
(预习教材P 71~ P 72，找出疑惑之处)
复习1：直线与平面垂直的性质定理是______________________________________________________.
复习2：直线与平面垂直的判定定理是______________________________________________________.
复习3：两个平面垂直的定义是什么？
课内探究
探究：平面与平面垂直的性质
问题1：如图13-1，黑板所在平面与地面所在平面垂直，在黑板上是否存在直线与地面垂直？若存在，怎样画线？
图13-1
问题2：如图13-2，在长方体中，面A ADD ''与面ABCD 垂直，AD 是其交线，则直线AA '与AD 关系如何？直线AA '与面ABCD 呢？
图13-2
反思：以上两个问题有什么共性？你得出了什么结论？请用图形和符号语言把它描述在下面，并试着证明这个结论.
新知：平面与平面垂直的性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.
反思：这个定理实现了什么关系的转化？
例1 如图13-3，已知平面,αβ，αβ⊥，直线a 满足a β⊥，a α⊄，求证： a ∥面α.
图13-3。