第 10 讲 变化率与导数、导数的计算

第三章 导数及其应用复习备考资讯考纲点击1．变化率与导数、导数的计算(1)了解导数概念的实际背景．(2)理解导数的几何意义．(3)能根据导数定义求函数xy x y x y c y 1,,,2====的导数． (4)能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．2．导数在研究函数中的应用(1)了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）．(2)了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）．(3)会利用导数解决某些实际问题．考情分析1．导数的运算是导数的基本内容，在高考中每年必考，一般一单独命题，而在考查导数应用的同时考查．2．导数的几何意义是高考考查的重点内容，常与解析几何知识交汇命题，多以选择题、填空题的形式出现，有时也出现在解答题中关键的一步．3．利用导数研究函数的单调性、极值、最值以及解决生活中的优化问题，巳成为近几年高考炙手可热的考点。

4．选择题、填空题，侧重于利用导数确定函数的单调性和极值；解答题，侧重于导数与函数、解析几何、不等式、数列的综合应用，一般难度较大，属中高档题，第一节 变化率与导数、导数的计算预习设计 基础备考知识梳理1．函数)(x f y =从1x 到2x 的平均变化率函数)(x f y =从1x 到2x 的平均变化率为若),()(,1212x f x f y x x x -=∆-=∆则平均变化率可表示为2．函数)(x f y =在0x x =处的导数(1)定义；称函数0)(x x x f y ==在处的瞬时变化率 = 为函数)(x f y =在0x x =处的导数，记作,|)(0/0/x x y x f =或即=∆=---ΛAxy x r lim )(0 (2)几何意义：函数)(x f 在点0x 处的导数)(0/x f 的几何意义是在曲线)(x f y =上点 处的 ．相应地，切线方程为3．函数)(x f 的导函数称函数=)(/x f 为)(x f 的导函数，导函数有时也记作/y4．基本初等函数的导数公式5．导数运算法则=±/)]()]()[1(x g x f=/)]()()[2(x g x f=/])()()[3(x g x f ).0)((=/x g典题热身1．设,ln )(x x x f =若,2)(0/=x f 则=0x ( )2.e A e B . 22ln .c 2ln .D2．（2011．山东高考）曲线113+=x y 在点P(l ，12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( )9.-A 3.-B 9.C 15.D3．（2010．全国课标卷）曲线123+-=x x y 在点(1，O)处的切线方程为( )1-=⋅x y A 1+-=⋅x y B 22-=⋅x y C 22+-=⋅x y D4．设曲线2ax y =在点（1，a ）处的切线与直线062=--y x 平行，则=a1.A 21.B 21.-c 1.-D5．（2011．湖南高考）曲线21cos sin sin -+=x x x y 在点)0,4(πM 处的切线的斜率为 ( ) 21.-A 21.B 22.-c 22.D 课堂设计 方法备考【例1】 已知P ，Q 为抛物线y x 22=上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，-2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为__ __．【例2】已知曲线 ⋅+=34313x y (1)求曲线在点P(2，4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2，4)的切线方程；(3)求斜率为1的曲线的切线方程．例3已知函数)(x f y =的图象是折线段ABC ，其中).0,1().5,21()0,0(C B A 函数x x xf y ≤=0)(()1≤的图象与x 轴围成的图形的面积为解题思路解析 由已知可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈+-∈=],1,21(,1010],21,0[,10)(x x x x x f 则⎪⎩⎪⎨⎧∈+-∈==],1,21(,1010],21,0[,10)(22x x x x x x xf y 画出函数图象，如图所示，所求面积+=⎰+dx x s )10(20+=+-⎰++0321|310)1010(x dx x x +=+-+125|)5310(123x x )41581310()5310(⨯+⨯--+-⋅=45题型三 导数的几何意义及其应用【例3】设函数),,(1a )(z b a bx x x f ∈++=曲线)(x f y =在点(2，，f(2))处的切线方程为.3=y (1)求)(x f 的解析式；(2)证明函数)(x f y =的图像是一个中心对称图形，并求其对技法巧点1．函数求导的方法和步骤求导数时，先化简再求导是运算的基本方法．一般地，分式函数的求导，要先观察函数的结构特征，可否化为整式函数或较简单的分式函数；对数函数的求导，先化为和、差形式，再求导；三角函数求导，先应用三角公式转化为和或差的形式．2．与导数的几何意义有关的两类问题有关导数几何意义的题目一般有两类：一类是求曲线韵切线方程，这类题目要注意审好题，看到底是在某点处的切线还是过某点的切线，在某点处的切线一般有一条，过某点的切线可能有两条或更多；另一类是已知曲线的切线求字母的题目，已知曲线的切线一般转化为两个条件，即原函数一个条件，导函数一个条件，导函数的条件一般不会忽视，但原函数的条件很容易被忽视。

清单09导数的概念意义及运算（个考点梳理+题型解读+提升训练）【清单01】函数的平均变化率定义：一般地，函数()f x 在区间[]21,x x 上的平均变化率为：2121()()f x f x x x --，表示为函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率，若设21x x x ∆=-,21()()y f x f x ∆=-则平均变化率为211121()()()()y f x f x f x x f x x x x x∆-+∆-==∆-∆【清单02】函数()y f x =在0x x =处的导数（瞬时变化率）定义：函数()f x 在0x x =处瞬时变化率是()()xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆0000limlim，我们称它为函数()x f y =在0x x =处的导数,记作()　或0x f '即　0x x y ='()()()xx f x x f x yx f x x ∆-∆+=∆∆'→∆→∆00000limlim ＝.【清单03】导数的几何意义如图,在曲线()y f x =上任取一点(,())P x f x (,())P x f x ,如果当点(,())P x f x 沿着曲线()y f x =无限趋近于点000(,())P x f x 时,割线0P P 无限趋近于一个确定P最大为π(,0)2与(π,1)-连线的斜率，即为最小为()f x 在π(,0)2处的切线斜率，即所以cos 2(1,]ππa ∈--.【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、已知切线（斜率）求参数1(1,0)A ．()(012f f <'<'C ．()(021f f <'<'【答案】B【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角）、斜率与倾斜角的变化关系、已知两点求斜率【分析】结合图形，利用曲线上两点所在直线的斜率和过两点的切线斜率的比较即可得到【详解】如图，设函数()f x 的图象上有两点则直线,,A B AB l l 的斜率依次为由图知直线,,A B AB l l 的倾斜角因函数tan y x =在π(0,)2上递增，故即()()()0221f f f <'<-<故选：B.7．（23-24高三下·全国·阶段练习）若存在过原点的直线与函数则a 的取值范围是（）A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．()1,+∞【答案】D【知识点】求过一点的切线方程、导数的乘除法【分析】先求得()(222f x x a '⎡=+-⎣()2120t a t +-=，结合方程的根【详解】由函数()()22e x f x x ax =-，可得设切点为()(),(0)t f t t >，可得整理得()2120t a t +-=，解得因为存在过原点的直线与函数所以210t a =->，解得a >也是曲线x所以001622AOB S x x =⨯-⨯= 所以曲线=上任意一点处的切线与直线16．（23-24高二下·江苏常州(1)求曲线()y f x =过点(1,1(2)若曲线()y f x =在点(1,1【答案】(1)230x y +-=或(2)12t =【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求过一点的切线方程、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题【分析】（1）利用导数几何意义求过一点的切线方程；（2）利用导数几何意义，由切线平行列方程求参数值【详解】（1）由导数公式得设切点坐标为00(,)x y ，设切线方程为：由题意可得：003000201(3y k x y x x k x -=-⎧⎪=-+⎨⎪=-+⎩所以00112x y k =⎧⎪=⎨⎪=-⎩或00125814x y k ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，23x y +-=2e。

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课时提升作业(十三)一、选择题1.(2013·泰安模拟)已知函数f(x)=asin x且f′(π)=2，则a的值为( )(A)1 (B)2 (D)-22.(2013·合肥模拟)若抛物线y=x2在点(a,a2)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为16,则a=( )(A)4 (B)±4 (C)8 (D)±83.(2013·海口模拟)下列曲线的所有切线构成的集合中，存在无数对互相垂直的切线的曲线是( )(A)f(x)＝e x (B)f(x)＝x3(C)f(x)＝ln x (D)f(x)＝sin x4.(2013·青岛模拟)设函数f(x)=g(x)+x2,曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y=2x+1,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为( )(A)2 (B)-14(C)4 (D)-125.如图,其中有一个是函数f(x)=13x3+ax2+(a2-1)x+1(a∈R,a≠0)的导函数f′(x)的图象,则f(-1)为( )(A)2 (B)-13 (C)3 (D)-126.(2013·莱芜模拟)已知点P 在曲线x 4y e 1=+上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )(A)(0，4π) (B)(,42ππ)(C)(3,24ππ)(D)［3,4ππ)二、填空题7.如图，函数F(x)＝f(x)＋21x 5的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f(5)＋f ′(5)＝_________.8.设a ＞0，f(x)＝ax 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f(x)在点P(x 0，f(x 0))处切线的倾斜角的取值范围为［0，4π］，则点P 到曲线y ＝f(x)的对称轴的距离的取值范围为___________.9.(能力挑战题)若曲线f(x)=ax 2+lnx 存在垂直于y 轴的切线,则实数a 的取值范围是 . 三、解答题10.求下列各函数的导数: (1)y=(x+1)(x+2)(x+3)..(3)y ＝e -x sin 2x. 11.已知曲线y=314x 33,(1)求曲线过点P(2,4)的切线方程. (2)求曲线的斜率为4的切线方程.12.(能力挑战题)已知函数f(x)＝ax 3＋3x 2－6ax －11，g(x)＝3x 2＋6x ＋12和直线m ：y ＝kx ＋9，且f ′(－1)＝0. (1)求a 的值.(2)是否存在k 的值，使直线m 既是曲线y ＝f(x)的切线，又是曲线y ＝g(x)的切线？如果存在，求出k 的值；如果不存在，说明理由．答案解析1.【解析】选D.因为f ′(x)=acos x ， 所以f ′(π)=acos π=-a=2, 所以a=-2，故选D.2.【解析】选B.y ′=2x,所以在点(a,a 2)处的切线方程为:y-a 2=2a(x-a),令x=0,得y=-a 2;令y=0,得x=12a,所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积S=12〓|-a 2|〓|12a|=14|a 3|=16,解得a=〒4.3.【解析】选D.设切点的横坐标为x 1，x 2,则存在无数对互相垂直的切线，即f ′(x 1)·f ′(x 2)＝-1有无数对x 1，x 2使之成立,对于A 由于f ′(x)＝e x ＞0，所以不存在f ′(x 1)·f ′(x 2)＝－1成立； 对于B 由于f ′(x)＝3x 2≥0，所以也不存在f ′(x 1)·f ′(x 2)＝－1成立； 对于C 由于f(x)＝ln x 的定义域为(0，＋≦)， ≨f ′(x)＝1x＞0;对于D,由于f ′(x)＝cos x ，所以f ′(x 1)·f ′(x 2)＝cos x 1·cos x 2， 若x 1＝2m π，m ∈Z,x 2＝(2k ＋1)π，k ∈Z ， 则f ′(x 1)·f ′(x 2)＝－1恒成立．4.【解析】选C.因为曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y=2x+1,所以 g ′(1)=2.又f ′(x)=g ′(x)+2x,故曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为f ′(1)=g ′(1)+2=4. 5.【解析】选B.≧f ′(x)=x 2+2ax+(a 2-1), ≨导函数f ′(x)的图象开口向上. 又≧a ≠0,≨其图象必为(3).由图象特征知f ′(0)=0,且对称轴x=-a>0, ≨a=-1,故f(-1)=-13.6.【解析】选D.x xx 22x x 4e 4e y .(e 1)e 2e 1'=-=-+++设t=e x ∈(0,+≦),则24t 4y ,1t 2t 1(t )2t'=-=-++++≧1t 2t+≥,≨y ′∈［-1,0),α∈［3,4ππ). 7.【解析】F ′(x)＝f ′(x)＋25x ，由题意可知F ′(5)＝f ′(5)＋2＝－1， ≨f ′(5)＝－3.又点(5,3)在F(x)的图象上，≨f(5)＋5＝3， ≨f(5)＝－2，≨f(5)＋f ′(5)＝－5. 答案：－58.【解析】≧y ＝f(x)在点P(x 0，f(x 0))处切线的倾斜角的取值范围为［0，4π］，≨0≤f ′(x 0)≤1，即0≤2ax 0＋b ≤1.又≧a ＞0,≨b 2a －≤x 0≤1b 2a－，≨0≤x 0＋b 2a ≤12a ，即点P 到曲线y ＝f(x)的对称轴的距离的取值范围为［0，12a］．答案：［0，12a］9.【思路点拨】求出导函数,根据导函数有零点,求a 的取值范围.【解析】由题意该函数的定义域为(0,+≦),且f ′(x)=2ax+1x.因为存在垂直于y 轴的切线,故此时斜率为0,问题转化为x>0时导函数f ′(x)=2ax+1x存在零点的问题.方法一(图象法):再将之转化为g(x)=-2ax 与h(x)=1x存在交点.当a=0时不符合题意,当a>0时,如图1,数形结合可得没有交点,当a<0时,如图2,此时正好有一个交点,故有a<0,应填(-≦,0).方法二(分离变量法):上述也可等价于方程2ax+1x=0在(0,+≦)内有解,显然可得a=212x-∈(-≦,0). 答案:(-≦,0)10.【解析】(1)方法一:y=(x 2+3x+2)(x+3)=x 3+6x 2+11x+6, ≨y ′=3x 2+12x+11.方法二:y ′=[(x+1)(x+2)]′(x+3)+(x+1)(x+2)·(x+3)′ =[(x+1)′(x+2)+(x+1)(x+2)′](x+3)+(x+1)·(x+2) =(x+2+x+1)(x+3)+(x+1)(x+2) =(2x+3)(x+3)+(x+1)(x+2) =3x 2+12x+11. (2)≧21x＝－, ≨y ′=22221x 21x 1x 1x ''－（－）（）＝＝－（－）（－）. (3)y ′＝(－e －x )sin 2x ＋e －x (cos 2x)〓2 ＝e －x (2cos 2x －sin 2x)．11.【解析】(1)设曲线y=314x 33+与过点P(2,4)的切线相切于点A(x 0，13x 03+43)，则切线的斜率k=02x x 0y |x ='=，≨切线方程为y-(3014x 33+)=x 02(x-x 0)，即y=x 02·x-23x 03+43.≧点P(2,4)在切线上，≨4=2300242x x 33-+，即x 03-3x 02+4=0，≨x 03+x 02-4x 02+4=0， ≨(x 0+1)(x 0-2)2=0, 解得x 0=-1或x 0=2,故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0. (2)设切点为(x 0,y 0),则切线的斜率为k= x 02=4,x 0=〒2,所以切点为(2,4),(-2,-43), ≨切线方程为y-4=4(x-2)和y+43=4(x+2), 即4x-y-4=0和12x-3y+20=0. 【变式备选】已知函数f(x)=x 3+x-16.(1)求曲线y ＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程.(2)如果曲线y=f(x)的某一切线与直线y=-14x+3垂直,求切点坐标与切线的方程.【解析】(1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f(x)上． ≧f ′(x)＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1，≨在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13, ≨切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)， 即y ＝13x －32.(2)≧切线与直线y=-14x+3垂直, ≨切线的斜率k=4.设切点的坐标为(x 0,y 0),则f ′(x 0)=3x 02+1=4, ≨x 0=〒1,≨0000x 1x 1y 14y 18.⎧⎧⎨⎨⎩⎩＝，＝－，或＝－＝－≨切点坐标为(1,-14)或(-1,-18),切线方程为y=4(x-1)-14或y=4(x+1)-18. 即y=4x-18或y=4x-14.12.【解析】(1)f ′(x)＝3ax 2＋6x －6a ，f ′(－1)＝0， 即3a －6－6a ＝0，≨a ＝－2.(2)存在.≧直线m 恒过定点(0,9)，直线m 是曲线y ＝g(x)的切线，设切点为(x 0,3x 02＋6x 0＋12)， ≧g ′(x 0)＝6x 0＋6，≨切线方程为y －(3x 02＋6x 0＋12)＝(6x 0＋6)(x －x 0)，将点(0,9)代入，得 x 0＝〒1，当x 0＝－1时，切线方程为y ＝9； 当x 0＝1时，切线方程为y ＝12x ＋9. 由f ′(x)＝0得－6x 2＋6x ＋12＝0， 即有x ＝－1或x ＝2，当x ＝－1时，y ＝f(x)的切线方程为y ＝－18； 当x ＝2时，y ＝f(x)的切线方程为y ＝9. ≨公切线是y ＝9.又令f ′(x)＝12得－6x 2＋6x ＋12＝12， ≨x ＝0或x ＝1.当x ＝0时，y ＝f(x)的切线方程为y ＝12x －11； 当x ＝1时，y ＝f(x)的切线方程为y ＝12x －10， ≨公切线不是y ＝12x ＋9.综上所述公切线是y＝9，此时k＝0.关闭Word文档返回原板块。