2011届高考数学第一轮考点复习测试题8

阶段性测试题十一(计数原理与随机变量(理))本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

满分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。

)1．函数f ：{1,2,3}→{1,2,3}，满足f (f (x ))＝f (x )，则 这样的函数个数共有 ( )A ．1个B ．2个C ．8个D ．10个 [答案] D[解析] 当f (x )＝1，f (x )＝2，f (x )＝3，f (x )＝x 时有4个． 根据元素地位的对等性，当f (1)＝1，f (2)＝1时，则必有f (3)＝3，假若f (3)＝2，则f (f (3))＝f (2)＝1≠3，类似这样的情况共有C 13C 22C 12＝6种．故共有10种，选D.2．2名男生和2名女生随机地排成一行，则两名男生排在一起的概率是 ( ) A.14 B.12 C.23 D.13 [答案] B[解析] 解法1：4人排一行共A 44＝24种排法，其中两男生相邻的排法有A 22·A 33＝12种，∴P ＝1224＝12.解法2：如下图四人站一行，共四个位置．两男生相邻的站位．只能是(1,2)，(2,3)，(3,4)．两男生不相邻的站位只能是(1,3)，(2,4)，(1,4)．故所求概率为P ＝36＝12.3．二项式(1＋sin x )n的展开式中，末尾两项的二项式系数之和为7，且二项式系数最大的一项的值为52，则在[－π，π]上x 的值为 ( )A.π6B.5π6C ．－π6或π6 D.π6或5π6[答案] D[解析] 由C n －1n ＋C n n ＝7得n ＝6，二项式系数最大的项为T 4项，即C 36(sin x )3＝52，∴sin x ＝12.∵x ∈[－π，π]，∴x ＝π6或5π6.4．用四种不同的颜色给正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的六个面涂色，要求相邻两个面涂不同颜色且四种颜色全用完，则所有不同涂色方法有 ( )A ．24种B ．96种C ．72种D ．48种 [答案] C[解析] 据题意知，要将4种颜色涂在正方体的6个面上，必有两个面要涂相同的颜色，并且由于相邻的面不能重色，故只能是正方体的3对相对的面中有两对要同色，故从3个相对的面中取2对相对的面，作为2个元素，同其它的2个面作为4个元素，再将4种颜色分别涂在这4个元素上即可，故共有C 23A 44＝72种不同的涂法．5．若ξ是离散型随机变量，P (ξ＝x 1)＝23，P (ξ＝x 2)＝13且x 1<x 2，又已知E (ξ)＝43，D (ξ)＝29，则x 1＋x 2的值为 ( )A.53B.73C ．3 D.113[答案] C[解析] 由期望和方差的计算公式得⎩⎨⎧x 1·23＋x 2·13＝43，⎝⎛x 1－432·23＋⎝⎛⎭⎫x 2－432×13＝29，即⎩⎪⎨⎪⎧2x 1＋x 2＝4 ①2⎝⎛x 1－432＋⎝⎛x 2－432＝23 ② 由①得x 2＝4－2x 1，代入②得，6⎝⎛⎭⎫x 1－432＝23，又x 1<x 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1x 2＝2，∴x 1＋x 2＝3.6．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴在y 轴的左侧，其中a 、b 、c ∈{－3，－2，－1,0,1,2,3}，在这些抛物线中，记随机变量ξ＝“|a －b |的取值”，则ξ的数学期望E (ξ)为 ( )A.89B.35C.25D.13 [答案] A[解析] ∵对称轴在y 轴左侧，∴－b2a<0，∴ab >0，即a 与b 同号，∴满足条件的抛物线有2C 13C 13C 17＝126条．ξ的取值为0、1、2，P (ξ＝0)＝6×7126＝13P (ξ＝1)＝8×7126＝49，P (ξ＝2)＝4×7126＝29.∴E (ξ)＝13×0＋49×1＋29×2＝89.7．随机变量ξ的分布列如下：其中a 、b 、c 成等差数列，若E (ξ)＝13，则D (ξ)的值是( )A.23B.49C.13D.59 [答案] D[解析] 由已知条件知 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1a ＋c ＝2b －1×a ＋0×b ＋1×c ＝13，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝16b ＝13c ＝12D (ξ)＝⎝⎛⎭⎫－1－132×16＋⎝⎛⎭⎫0－132×13＋⎝⎛⎭⎫1－132×12＝59.8．口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列{a n }：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1 第n 次摸取红球1 第n 次摸取白球，如果S n 为数列{a n }的前n 项和，那么S 7＝3的概率为( )A ．C 57⎝⎛⎭⎫132·⎝⎛⎭⎫235 B ．C 27⎝⎛⎭⎫232·⎝⎛⎭⎫135 C ．C 57⎝⎛⎭⎫132·⎝⎛⎭⎫135D ．C 37⎝⎛⎭⎫132·⎝⎛⎭⎫235 [答案] B[解析] 有放回地每次摸取一个球，摸到红球的概率为23，摸到白球的概率为13，这是一个独立重复试验．S 7＝3，说明共摸7次，摸到白球比摸到红球多3次，即摸到白球5次，摸到红球2次，所以S 7＝3的概率为C 27⎝⎛⎭⎫232⎝⎛⎭⎫135. 9．从5张100元，3张200元，2张300元的奥运预赛门票中任取3张．则所取3张中至少有2张价格相同的概率为 ( )A.14B.79120C.34D.2324 [答案] C[解析] 3张中没有价格相同的取法有C 15C 13C 12＝30，则3张中至少有2张相同的概率为C 310－30C 310＝34. 10．福娃是2008年北京第二十九届奥运会的吉祥物，每组福娃都由“贝贝”“晶晶”“欢欢”“迎迎”和“妮妮”这五个福娃组成，甲、乙两人随机地从一组五个福娃中选取一个留作纪念．按甲先选乙再选的顺序不放回的选择，则在他俩选择的福娃中“贝贝”和“晶晶”一只也没有被选中的概率是 ( )A.110B.35C.310D.25 [答案] C[解析] 依题意知，甲、乙两人谁先选，选哪一只都是等可能的，甲先选乙后选的总方法有5×4＝20种，而都没有选到“贝贝”和“晶晶”的方法有3×2＝6种，所以所求概率为620＝310.11．从圆的10等分点中任取3个点，组成一个三角形，可构成直角三角形的概率是 ( )A.12B.23C.13D.34 [答案] C[解析] 10个分点共构成C 310个三角形，10个点可构成5条直径，每条直径为斜边的直角三角形有8个，∴直角三角形共有5×8＝40个，∴所求概率为40C 310＝13，故选C.12．设随机变量ξ～N (1，σ2)，已知P (ξ≤2)＝0.92，则P (ξ≥0)的值为( ) A ．0.08 B ．0.84 C ．0.58 D ．0.92 [答案] D[解析] P (ξ≥0)＝1－P (ξ<0) ＝1－P (ξ>2)＝P (ξ≤2)＝0.92.[点评] 可据随机变量ξ的均值为1知，P (ξ≥0)＝P (ξ≤2)＝0.92.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13．在正方体上任意选择两条棱，则这两条棱相互平行的概率为________．[答案] 311[解析] 任选两棱共有C 212＝66种不同选法．选出的两棱平行共有3×C 24＝18(种)不同选法，概率为1866＝311.14．设a n (n ＝2,3,4，…)是(3－x )n的展开式中x 的一次项的系数，则32a 2＋33a 3＋…＋32009a 2009的值是________．[答案] 361442009[解析] 通项T r ＋1＝C r n 3n －r (－1)r x r2，令r 2＝1得r ＝2，∴a n ＝C 2n 3n －2， ∴32a 2＋33a 3＋…＋32009a 2009＝9×⎝⎛⎭⎫21×2＋22×3＋23×4…＋22008×2009＝18×⎝⎛⎭⎫1－12009＝361442009.15．设随机变量ξ～B ⎝⎛⎭⎫2，14，则D (2ξ＋1)＝________. [答案] 32[解析] ∵ξ～B ⎝⎛⎭⎫2，14，∴D (ξ)＝2×14×⎝⎛1－14＝38，∴D (2ξ＋1)＝4D (ξ)＝32.16．1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，则从2号箱取出红球的概率是________．[答案] 1127[分析] 从2号箱中取出红球的概率大小与从一号箱中取出的球有关，故应按从一号箱中取出红球和白球讨论，故这是一个条件概率问题．[解析] 记事件A ：最后从2号箱中取出的是红球；事件B ：从1号箱中取出的是红球．则P (B )＝42＋4＝23，P (B －)＝1－P (B )＝13，P (A |B )＝3＋18＋1＝49，P (A |B －)＝38＋1＝13，从而P (A )＝P (AB )＋P (A B －)＝P (A |B )P (B )＋P (A |B －)P (B －) ＝49×23＋13×13＝1127.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)(08·辽宁)某批发市场对某种商品的周销售量(单位：吨)进行统计，最近100(1)吨的频率；(2)已知每吨该商品的销售利润为2千元，ξ表示该种商品两周销售利润的和(单位：千元)．若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求ξ的分布列和数学期望．[解析] 解：(1)周销售量为2吨、3吨和4吨的频率分别为0.2、0.5和0.3. (2)ξ的可能值为8、10、12、14、16，且P (ξ＝8)＝0.22＝0.04，P (ξ＝10)＝2×0.2×0.5＝0.2，P (ξ＝12)＝0.52＋2×0.2×0.3＝0.37， P (ξ＝14)＝2×0.5×0.3＝0.3， P (ξ＝16)＝0.32＝0.09. ξ的分布列为E (ξ)＝8×0.04千元)．18．(本小题满分12分)某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留到小数点后第2位)：(1)5次预报中恰有2次准确的概率； (2)5次预报中至少有2次准确的概率；(3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率． [解析] (1)5次预报中恰有2次准确的概率为P 5(2)＝C 25×0.82×(1－0.8)5－2＝10×0.82×0.23 ≈0.05.(2)5次预报中至少有2次准确的概率为1－P 5(0)－P 5(1)＝1－C 05×0.80×(1－0.8)5－0－C 15×0.81×(1－0.8)5－1≈0.99. (3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率为0．8×C 14×0.8×(1－0.8)4－1＝4×0.82×0.23≈0.02.19．(本小题满分12分)把一颗骰子投掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为a ，第二次出现的点数为b ，试就方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝2ax ＋by ＝3，解答下列问题：(1)在出现点数有2的情况下，求方程组只有一个解的概率；(2)求方程组只有正数解的概率．[解析] (1)方程组无解⇔a ＝2b ，同时，该方程组不会出现无数组解的情况，又∵出现点数有2的情况共有11种，而当a ＝2，b ＝1；a ＝4，b ＝2时方程组无解，∴出现点数有2的情况下，方程组只有一个解的概率P 1＝1－211＝911.(2)要使方程组只有正数解，只需直线ax ＋by ＝3即x 3a ＋y3b＝1与直线2x ＋y ＝2交点在第一象限，如图所示．因此⎩⎨⎧ 3a >13b <2或⎩⎨⎧3a 3b，即⎩⎪⎨⎪⎧ a <3b >32，或⎩⎪⎨⎪⎧a >3b <32. 当a ＝1,2时，b ＝2,3,4,5,6.当b ＝1时，a ＝4,5,6；因此，方程组只有正数解的概率P 2＝3＋2×56×6＝1336.20．(本小题满分12分)(08·福建)某项考试按科目A 、科目B 依次进行，只有当科目A 成绩合格时，才可继续参加科目B 的考试．已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书．现某人参加这项考试，科目A 每次考试成绩合格的概率均为23，科目B 每次考试成绩合格的概率均为12.假设各次考试成绩合格与否均互不影响．(1)求他不需要补考就可获得证书的概率；(2)在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为ξ，求ξ的数学期望E (ξ)．[解析] 解：设“科目A 第一次考试合格”为事件A 1，“科目A 补考合格”为事件A 2；“科目B 第一次考试合格”为事件B 1，“科目B 补考合格”为事件B 2.(1)不需要补考就获得证书的事件为A 1·B 1，注意到A 1与B 1相互独立，则P (A 1·B 1)＝P (A 1)×P (B 1)＝23×12＝13.答：该考生不需要补考就获得证书的概率为13.(2)由已知得，ξ＝2,3,4，注意到各事件之间的独立性与互斥性，可得P (ξ＝2)＝P (A 1·B 1)＋P (A －1·A －2) ＝23×12＋13×13＝49， P (ξ＝3)＝P (A 1·B －1·B 2)＋P (A 1·B －1·B －2)＋P (A －1·A 2·B 1)＝23×12×12＋23×12×12＋13×23×12＝49. P (ξ＝4)＝P (A －1·A 2·B －1·B 2)＋P (A －1·A 2·B －1·B －2)＝13×23×12×12＋13×23×12×12＝19，故E (ξ)＝2×49＋3×49＋4×19＝83.答：该考生参加考试次数的数学期望为83.21．(本小题满分12分)设甲、乙两名射手在一次射击中分别射中的环数为两个相互独立的随机变量ξ，η，已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数大于6环，且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a ，a,0.1，乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.(1)求ξ，η的分布列；(2)求ξ，η的数学期望与方差，并以此比较甲、乙的射击技术． [解析] (1)依题意得0.5＋3a ＋a ＋0.1＝1解得a ＝0.1. ∵乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2， ∴乙射中7环的概率为1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2. ∴ξ的分布列为：η的分布列为：(2)由(1)可得：E (ξ)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2(环)， E (η)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7(环)，D (ξ)＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96， D (η)＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21.由于E (ξ)>E (η)，说明甲平均射中的环数比乙高；又因为D (ξ)<D (η)说明甲射中的环数比乙集中，比较稳定．所以，甲比乙的射击技术好．22．(本小题满分14分)某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18、19、20层可以停靠．若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为13，用ξ表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，求： (1)随机变量ξ的分布列； (2)随机变量ξ的期望．[分析] 本题中每位乘客在每层楼下的可能性是相等的，于是确定为“等可能性事件概率模型”，考查一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验，可确定为“n 次独立重复试验概率模型”．[解析] 解法1：(1)ξ的所有可能值为0、1、2、3、4、5. 由等可能性事件的概率公式得P (ξ＝0)＝2535＝32243，P (ξ＝1)＝C 15·2435＝80243. P (ξ＝2)＝C 25·2335＝80243，P (ξ＝3)＝C 35·2235＝40243.P (ξ＝4)＝C 45·235＝10243，P (ξ＝5)＝135＝1243.从而ξ(2)由(1)E (ξ)＝0×32243＋1×80243＋2×80243＋3×40243＋4×10243＋5×1243＝405243＝53.解法2：(1)考察一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验．即ξ～B ⎝⎛⎭⎫5，13，即有P (ξ＝k )＝C k 5⎝⎛⎭⎫13k ⎝⎛⎭⎫235－k，k ＝0,1,2,3,4,5.由此计算ξ的分布列同解法1.(2)E (ξ)＝5×13＝53.[点评] 1.考查运用概率知识解决实际问题的能力．本题是一个妙题，同为中档题，但命题者充分考虑从不同角度运用不同的解题思想，使不同思维层次的考生都有表现的机会．从而有效地区分不同的数学能力水平．体现了“多思少算”的命题原则，有利于高考选拔人才的宗旨．2．第(2)问由对称性与等可能性，在三层的任一层下电梯的人数同分布，故期望值相等．即3E(ξ)＝5，从而E(ξ)＝5 3 .。

例1 若b a //，A c b = ，则a ，c 的位置关系是（ ）． A ．异面直线 B ．相交直线C ．平行直线D ．相交直线或异面直线 分析：判断两条直线的位置关系，可以通过观察满足已知条件的模型或图形而得出正确结论．解：如图所示，在正方体1111D C B A ABCD -中，设a B A =11，b AB =，则b a //． 若设c B B =1，则a 与c 相交．若设c BC =，则a 与c 异面．故选D ．说明：利用具体模型或图形解决问题的方法既直观又易于理解．一般以正方体、四面体等为具体模型．例如，a ，b 相交，b ，c 相交，则a ，c 的位置关系是相交、平行或异面．类似地；a ，b 异面，b ，c 异面，则a ，c 的位置关系是平行、相交或异面．这些都可以用正方体模型来判断．典型例题二例2 已知直线a 和点A ，α∉A ，求证：过点A 有且只有一条直线和a 平行．分析：“有且只有”的含义表明既有又惟一，因而这里要证明的有两个方面，即存在性和惟一性．存在性，即证明满足条件的对象是存在的，它常用构造法（即找到满足条件的对象来证明）；惟一性，即证明满足条件的对象只有．．一个，换句话说，说是不存在第二个满足条件的对象．因此，这是否定性．．．命题，常用反证法． 证明：（1）存在性．∵ a A ∉，∴ a 和A 可确定一个平面α，由平面几何知识知，在α内存在着过点A 和a 平行的直线． （2）惟一性假设在空间过点A 有两条直线b 和c 满足a b //和a c //．根据公理4，必有c b //与A c b = 矛盾，∴ 过点A 有一条且只有一条直线和a 平行．说明：对于证明“有且只有”这类问题，一定要注意证明它的存在性和惟一性．例3 如图所示，设E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上的点，且λ==ADAH ABAE ，μ==CDCG CBCF ，求证： （1）当μλ=时，四边形EFGH 是平行四边形； （2）当μλ≠时，四边形EFGH 是梯形． 分析：只需利用空间等角定理证明FG EH //即可．证明：连结BD ， 在ABD ∆中，λ==AD AH AB AE ，∴ BD EH //，且BD EH λ=．在CBD ∆中，μ==CDCG CBCF ，∴ BD FG //，且BD FG μ=．∴ FG EH //，∴ 顶点E ，F ，G ，H 在由EH 和FG 确定的平面内． （1）当μλ=时，FG EH =，故四边形EFGH 为平行四边形； （2）当μλ≠时，FG EH ≠，故四边形EFGH 是梯形． 说明：显然，课本第11页的例题就是本题（2）的特殊情况． 特别地，当21==μλ时，E ，F ，G ，H 是空间四边形各边中点，以它们为顶点的四边形是平行四边形．如果再加上条件BD AC =，这时，平行四边形EFGH 是菱形．典型例题四例4 已知b a 、是两条异面直线，直线a 上的两点B A 、的距离为6，直线b 上的两点D C 、的距离为8，BD AC 、的中点分别为N M 、且5=MN ，求异面直线b a 、所成的角．分析：解题的关键在于依据异面直线所成角的定义构造成和异面直线b a 、平行的两条相交直线，然后把它们归纳到某一三角形中求解．解：如图，连结BC ，并取BC 的中点O ，连结ON OM 、，∵ON OM 、分别是ABC ∆和BCD ∆的中位线， ∴AB OM //，CD ON //，即a OM //，b ON //．∴ON OM 、所成的锐角或直角是异面直线b a 、所成的角． 又∵ 6=AB ，8=CD ，∴3=OM ，4=ON ． 在OMN ∆中，又∵5=MN ， ∴222MNONM =+，∴ 90=∠MON ．故异面直线b a 、所成的角是 90．说明：在求两条异面直线所成的角时，一般要依据已知条件，找出与两条异面直线分别平行并且相交于一点的两条直线．但是，异面直线所成角的定义中的点O 一般是在图形中存在着的，需要认真观察分析图形的性质，从而找出这一点和过这一点与两异面直线平行的直线，以得到两条异面直线所成的角，在求这个角的大小时，一般是根据平面图形中解三角形的知识求解的．典型例题五例5 已知四面体ABC S -的所有棱长均为a ．求：（1）异面直线AB SC 、的公垂线段EF 及EF 的长； （2）异面直线EF 和SA 所成的角．分析：依异面直线的公垂线的概念求作异面直线AB SC 、的公垂线段，进而求出其距离；对于异面直线所成的角可采取平移构造法求解． 解：（1）如图，分别取AB SC 、的中点F E 、，连结CF SF 、．由已知，得SAB ∆≌CAB ∆． ∴CF SF =，E 是SC 的中点，∴SC EF ⊥．同理可证AB EF ⊥∴EF 是AB SC 、的公垂线段． 在SEF Rt ∆中，a SF 23=，a SE 21=．∴22SE SFEF -=a aa 22414322=-．（2）取AC 的中点G ，连结EG ，则SA EG //．∴EF 和GE 所成的锐角或直角就是异面直线EF 和SA 所成的角． 连结FG ，在EFG ∆中，a EG 21=，a GF 21=，a EF 22=．由余弦定理，得22222124142412cos 222222=⋅⋅-+=⋅⋅-+=∠aa aa a EFEG GFEFEG GEF ．∴ 45=∠GEF ．故异面直线EF 和SA 所成的角为 45．说明：对于立体几何问题要注意转化为平面问题来解决，同时要将转化过程简要地写出来，然后再求值．典型例题六例6 如图所示，两个三角形ABC ∆和'''C B A ∆的对应顶点的连线'AA 、'BB 、'CC 交于同一点O ，且32'''===OC CO OB BO OA AO ．(1)证明：''//B A AB ，''//C A AC ，''//C B BC ； (2)求'''C B A ABC S S ∆∆的值．分析：证两线平等当然可用平面几何的方法．而求面积之比则需证两个三角形相似，由于三角形是平面图形，故也可用平面几何的方法证明．证明：(1)当ABC ∆和'''C B A ∆在O 点两侧时，如图甲 ∵'AA 与'BB 相交于O 点，且OB BO OA AO ''=，∴''//B A AB （因为'AA 、'BB 共面）． 同理''//C A AC ，''//C B BC ．(2)∵''//B A AB ，且''//C A AC ，AB 和''B A ，AC 和''C A 的方向相反，∴'''C A B BAC ∠=∠，同理'''C B A ABC ∠=∠．因此，ABC ∆∽'''C B A ∆． 又32'''==OA AO BA AB ，∴94322'''=⎪⎭⎫⎝⎛=∆∆C B A ABC S S ．当ABC ∆和'''C B A ∆在O 点的同侧时，如图乙所示，同理可得(1)(2)．说明：此题ABC ∆与'''C B A ∆是否共面并不重要，因为等角定理对各种位置已作说明．典型例题七例7 S 是矩形ABCD 所在平面外一点，BC SA ⊥，CD SB ⊥，SA 与CD 成︒60角，SD 与BC 成︒30角，a SA =，求：(1)直线SA 与CD 的距离； (2)求直线SB 与AD 的距离．分析：要求出SA 与CD 、SB 与AD 的距离，必须找到它们的公垂线段，公垂线段的长度即为异面直线间的距离．解：如图所示，在矩形ABCD 中，AD BC //．∵BC SA ⊥，∴AD SA ⊥．又AD CD ⊥，∴AD 是异面直线SA 、CD 的公垂线段， 其长度为异面直线SA 、CD 的距离．在SAD Rt ∆中，∵SDA ∠是SD 与BC 所成的角， ∴︒=∠30SDA ．又a SA =，∴a AD 3=．(2)在矩形ABCD 中，CD AB //，AD SB ⊥，∴AB SB ⊥，又AD AB ⊥，∴AB 是直线SB 、AD 的公垂线段，其长度为异面直线SB 、AD 的距离． 在SAB Rt ∆中，SAB ∠是异面直线SA 与CD 所成的角，∴︒=∠60SAB ． 又a SA =，∴260cos a a AB =︒=，∴直线SB 与AD 的距离为2a ．说明：(1)求异面直线之间距离的步骤是：①找（作）线段；②证线段是公垂线段；③求公垂线段的长度．(2)求异面直线间的距离的问题，高考中一般会给出公垂线段．典型例题八例8 a 、b 、c 是三条直线，若a 与b 异面，b 与c 异面，判断a 与c 的位置关系，并画图说明．分析：这是一道考查异面直线概念及空间直线位置关系的问题，同时也考查了图形语言的表达能力．解：直线a 与c 的位置关系有以下三种情形如图：∴直线a 与c 的位置关系可能平行（图中的(1)）；可能相交（如图中的(2)）； 可能异面（图中的(3)）．说明：本题也考查了空间想象能力和逻辑划分、分类讨论的能力．典型例题九例9 如果两条异面直线称作“一对”，那么在正方体的十二条棱中，共有几对异面直线（ ）．A ．12对B ．24对C ．36对D ．48对分析：一般地，立体几何中的计数问题，是由所数的量的性质，确定一规律，然后按此规律进行计数．正方体的各棱具有相同的位置关系．所以以一条棱为基量，考察与其异面的几对，问题可解．解：如图，正方体中与AB 异面有C C 1，D D 1，11C B ，11D A ，∵各棱具有相同的位置关系，且正方体有12条棱，排除两棱的重复计算成本， ∴异面直线共有242412=⨯对．说明：分析清楚几何体特点是避免重复计数的关键．计数问题必须避免盲目乱数，做到“不重不漏”．典型例题十例10 如图，已知不共面的直线a ，b ，c 相交于O 点，M 、P 是直线a 上两点，N 、Q 分别是b ，c 上一点．求证：MN 和PQ 是异面直线．证法1：假设MN 和PQ 不是异面直线， 则MN 与PQ 在同一平面内，设为α ∵a P M ∈、，α∈P M 、 ∴α⊂a ．又a O ∈，∴α∈O ．∵α∈N 且b O ∈，b N ∈， ∴α⊂b ． 同理：α⊂C∴a ，b ，c 共面于α，与已知a ，b ，c 不共面相矛盾， ∴MN 、PQ 是异面直线．证法2：∵O c a = ，∴直线a ，c 确定一平面设为β． ∵a P ∈，c Q ∈，∴β∈P ，β∈Q ， ∴β⊂PQ 且β∈M ，PQ M ∉． 又a ，b ，c 不共面，b N ∈，∴β∉N ， ∴MN 与PQ 为异面直线．说明：证明两条直线异面的方法有两种． (1)用定义证明（即定义法）：此时需借反证法，假设两条直线不异面，根据空间两条直线的位置关系，这两条直线一定共面，即这两条直线可能相交也可能平行，然后，推导出矛盾即可．(2)用定理证明（即定理法）：用该法证明时，必须阐述出定理满足的条件：α⊂a ，α∉A ，a B ∉，然后可以推导出直线a 与AB 是异面直线．典型例题十一例11 已知平面α与平面β相交于直线l ，A ，B 为直线l 上的两点．在α内作直线AC，在β内作直线BD．求证AC和BD是异面直线．已知：平面α 平面β=l，lAC，β⊂A∈，lB∈，αBD，如图．⊂求证：AC、BD是异面直线．证明：假设AC，BD不是异面直线，则它们必共面．∴A、B、C、D在同一平面内．即A、B、C所确定的平面α与A、B、D确定的平面β重合这与平面α 平面β=l矛盾∴AC、BD是异面直线．说明：证明两条直线为异面直线，用反证法往往比较简单．典型例题十二例12已知空间四边形ABCD，求证它的对角线AC和BD是异面直线．证法一：（反证法）如图假设AC和BD不是异面直线，则AC和BD在同一平面内．∴A、B、C、D在同一平面内，即四边形ABCD是平面四边形，这与已知条件矛盾，所以假设不成立．因此AC和BD是异面直线．证法二：（定理法）过BC和CD作一平面α，则对角线BD在平面α内．对角线AC与平面α交于BD外的一点C，即点C不在直线BD上，且A点在平面α外．∴根据异面直线判定定理知：AC和BD是异面直线．说明：判定两条直线是异面直线的证明问题常用这两种方法，即(1)反证法，(2)用判定定理．典型例题十三例13 已知空间四边形ABCD ，AC AB ≠，AE 是ABC ∆的BC 边上的高，DF 是BCD ∆的BC 边上的中线，求证：AE 和DF 是异面直线．证法一：（定理法）如图由题设条件可知点E 、F 不重合，设BCD ∆所在平面α． ∴⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∉∈∉⊂DF E E A DF αααAE 和DF 是异面直线．证法二：（反证法）若AE 和DF 不是异面直线，则AE 和DF 共面，设过AE 、DF 的平面为β． (1)若E 、F 重合，则E 是BC 的中点，这与题设AC AB ≠相矛盾． (2)若E 、F 不重合，∵EF B ∈，EF C ∈，β⊂EF ，∴β⊂BC ． ∵β∈A ，β∈D ，∴A 、B 、C 、D 四点共面，这与题设ABCD 是空间四边形相矛盾． 综上，假设不成立．故AE 和DF 是异面直线．说明：反证法不仅应用于有关数学问题的证明，在其他方面也有广泛的应用． 首先看一个有趣的实际问题：“三十六口缸，九条船来装，只准装单，不准装双，你说怎么装？”对于这个问题，同学们可试验做一做． 也许你在试验几次后却无法成功时，觉得这种装法的可能性是不存在的．那么你怎样才能清楚地从理论上解释这种装法是不可能呢？用反证法可以轻易地解决这个问题．假设这种装法是可行的，每条船装缸数为单数，则9个单数之和仍为单数，与36这个双数矛盾．只须两句话就解决了这个问题．典型例题十四例14 已知E 、1E 分别是正方体1111D C B A ABCD -的棱AD 、11D A 的中点． 求证：111C E B BEC ∠=∠．分析：欲证两个角相等，可通过等角定理或其推论来实现． 证明：如图，连结1EE∵1E ，E 分别为11D A ，AD 中点，∴11E A AE ，∴EA E A 11为平行四边形．∴A A 1E E 1．又∵AA 1B B 1，∴EE 1B B 1，∴四边形11EBB E 是平行四边形．∴EB B E //11．同理EC C E //11．又111B E C ∠与CEB ∠方向相同． ∴CEB B E C ∠=∠111．说明：有关证明角相等问题，一般采用下面三种途径：(1)利用等角定理及其推论；(2)利用证三角形相似；(3)利用证三角形全等．本例是通过第一种途径来实现．请同学们再利用第三种途径给予证明．典型例题十五例15 由四个全等的等边三角形的封面几何体称为正四面体，如图，正四面体ABCD 中，E 、F 分别是棱BC 、AD 的中点，CF 与DE 是一对异面直线，在图形中适当的选取一点作出异面直线CF 、DE 的平行线，找出异面直线CF 与DE 成的角．分析1：选取平面ACD ，该平面有以下两个特点，(1)该平面包含直线CF ，(2)该平面与DE 相交于点D ，伸展平面ACD ，在该平面中，过点D 作CF DM //交AC 的延长线于M ，连结EM ．可以看出：DE 与DM 所成的角，即为异面直线DE 与CF 所成的角．如图．分析2：选取平面BCF ，该平面有以下两个特点：(1)该平面包含直线CF ，(2)该平面与DE 相交于点E ．在平面BCF 中，过点E 作CF 的平行线交BF 于点N ，连结ND ，可以看出：EN 与ED 所成的角，即为异面直线FC 与ED 所成的角．如图．分析3：选取平面ADE ，该平面有如下两个特点：(1)该平面包含直线DE ，(2)该平面与CF 相交于点F ．在平面ADE 中，过点F 作DE FG //，与AE 相交于点G ，连结CG ，可以看出：FG 与FC 所成的角，即为异面直线CF 与DE 所成的角．分析4：选取平面BCD ，该平面有如下特点：(1)该平面包含直线DE ，(2)该平面与CF 相交于点C ，伸展平面BCD ，在该平面内过点C 作DE CK //与BD 的延长线交于点K ，且BD DK =，连结FK ，则CF 与CK 所成的角，即为异面直线CF 与DE 所成的角．如图．说明：(1)两条异面直线所成的角是非常重要的知识点，是每年高考的必考内容，要求牢固掌握两条异面直线所成的角的定义和两条异面直线互相垂直的概念，两条异面直线所成的角是刻划两条异面直线相对位置的一个量，是通过转化为相交直线成角来解决的，这里我们要注意：两条异面直线所成的角θ的范围是︒≤<︒900θ，当︒=90θ时，这两条异面直线互相垂直．求两条异面直线所成角的关键是作出这两条异面直线所成的角，作两条异面直线所成的角的方法是：将其中一条平移到某个位置使其与另一条相交或是将两条异面直线同时平移到某个位置使它们相交，然后在同一平面内求相交直线所成的角．值得注意的是：平移后相交所得的角必须容易算出，因此平移时要求选择恰当位置．一般提倡像思考2，那样作角，因为此角在几何体内部，易求．(2)本例题多方位、多角度思考问题，思路开阔、运用知识灵活，对我们解决异面直线所成角问题大有裨益，要认真理解．典型例题十六例16 如图，等腰直角三角形ABC 中，︒=∠90A ，2=BC ，AC DA ⊥，AB DA ⊥，若1=DA ，且E 为DA 的中点．求异面直线BE 与CD 所成角的余弦值．分析：根据异面直线所成角的定义，我们可以选择适当的点，分别引BE 与DC 的平行线，换句话说，平移BE （或CD ）．设想平移CD ，沿着DA 的方向，使D 移向E ，则C 移向AC 的中点F ，这样BE 与CD 所成的角即为BEF ∠或其补角，解EFB ∆即可获解．解：取AC 的中点F ，连结EF ，在ACD ∆中，E 、F 分别是AD 、AC 的中点， ∴CD EF //，∴BEF ∠即为所求的异面直线BE 与CD 所成的角或其补角． 在EAB Rt ∆中，1=AB ，2121==AD AE ，∴25=BE ．在AEF Rt ∆中，1=AC ，21=AE ，∴22=EF ．在ABF Rt ∆中，1=AB ，21=AE ，∴25=BF ．在等腰三角形EBF 中，1010254221cos ===∠BEEFFEB ，∴异面直线BE 与CD 所成角的余弦值为1010．说明：求角或求角的三角函数值的一般步骤是：①找（或作出）角，适合题意，②求角或求角的三角函数值，往往是化归成一个三角形的内角，通过解三角形求得．典型例题十七例17 在正四面体ABCD 中，已知E 是棱BC 的中点，求异面直线AE 和BD 所成角的余弦值．分析：可在平面BCD 内过E 作BD 平行线，可在AEF ∆中求得所成角的余弦值．解：如图，取CD 的中点F ，连结EF ，AF ， ∵E 为BC 的中点，∴EF 为CBD ∆的中位线，∴BD EF //，∴AE 与EF 所成的锐角或直角就是异面直线AE 和BD 所成的角． 设正四面体的棱长为a ，由正三角形的性质知，a AF AE 23==，a EF 21=．在AEF ∆中，6321cos ==∠AEEFAEF ，即异面直线AE 和BD 所成角的余弦值为63．说明：本题是利用三角形中位线达到平移的目的．这种作异面直线所成角的方法称为中位线平移法．典型例题十八例18 在正方体1111D C B A ABCD -中，求正方体对角线1BD 和面对角线AC 所成角的大小．解：如图．取D D 1上中点N ，则有：DN N D =1， 连结BD ．令O AC BD = ，则DO BO =， 连结NO ，NA ，NC∵N ，O 分别为D D 1，BD 的中点，∴NO121BD ，∴NOA ∠(或NOC ∠)是异面直线1BD 和AC 所成的角． 在NAD Rt ∆及NCD Rt ∆中， ∵CD AD =，ND ND =， ∴NAD Rt ∆≌NCD Rt ∆， ∴NC NA =，∴ANC ∆为等腰三角形． 又O 为AC 中点， ∴AC NO ⊥，∴异面直线1BD 和AC 所成角为︒90．说明：(1)由于异面直线所成角最大为直角，所以，在把异面直线平移得到的两个夹角中，必须选取其中较小的角为异面直线的所成角．(2)实际上，正方体的体对角线与任意一条面对角线所成角均为直角．典型例题十九例19 在正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别为1BB 、1CC 的中点，求AE 、BF 所成角的余弦值．分析1：可平移BF 至1EC ，可得到角1AEC ，再解三角形即可．但要注意到1AEC ∠为钝角．解法1：如图，连结1EC ，则BF EC //1，由AE 与1EC 所成的锐角或直角，就是AE 与BF 所成的角， 连1AC ，令正方体的棱长为a ，有a EC AE 251==，a AC 31=在1AEC ∆中，515612122cos 22122121-=-=-=-=∠AEAC AEAC AEAEC ，∴1AEC ∠的补角为异面直线AE 与BF 所成角． ∴AE 、BF 所成角的余弦值是51．分析2：连结DB 、FD ，可得DFB ∠即为异面直线AE 和BF 所成的角．进而求其余弦值．解法2：连结DB 、FD ，可证得AE FD //．(∵EF AD ) DFB ∠(或其补角)即为异面直线AE 、BF 所成的角．a BF DF 25==，a BD 2=．由余弦定理，有()5125245452525222525cos 222=-+=⋅⋅-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∠aa aa a DFB ，∴AE 、BF 所成角的余弦值是51．说明：异面直线所成角的范围是]90,0(︒︒，当求得某角的余弦值为负值时，则此角的补角是异面直线所成角．典型例题二十例20 在空间四边形ABCD 中：CD AB =，BD AC =，E ，F 分别是AD ，BC 的中点．求证：线段EF 是异面直线AD ，BC 的公垂线．证明：如图．连结AF 、DF 、BE 、CE ． 在ABD ∆和ACD ∆中，CD AB =，BD AC =，AD 公用∴ABD ∆≌ACD ∆． 又E 是AD 中点， ∴CE BE =．在BEC ∆中，F 是BC 的中点， ∴BC EF ⊥． 同理AD EF ⊥，∴EF 是异面直线AD 、BC 的公垂线．说明：证明某一条直线是两条异面直线的公垂线，须证明以下两点：(1)与两条异面直线都垂直；(2)与两条异面直线都相交．典型例题二十一例21 如图，空间四边形ABCD 中，四边AB 、BC 、CD 、DA 和对角线AC 、BD 都等于a ，E 、F 分别为AB 、CD 的中点．(1)求证：EF 是异面直线AB 、CD 的公垂线．(2)求异面直线AB 和CD 的距离．分析：要证明EF 是异面直线AB 与CD 的公垂线，必须说明两个方面的问题，一个方面EF 与AB 、CD 都相交，另一个方面AB 、CD 与EF 都垂直．(1)证明：连结AF 、BF ，由已知BCD ∆和ACD ∆均为正三角形，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，∴BF AF =，AB EF ⊥．同理CD EF ⊥，又EF 与AB 、CD 都相交， ∴EF 为异面直线AB 、CD 的公垂线．(2)解：∵空间四边形各边及对角线AC 、BD 的长均为a ， ∴a BF AF 23==，而a AE 21=，∴在AEF Rt ∆中，a AEAFEF 2222=-=．∴异面直线AB 和CD 之间的距离为a 22．说明：(1)求线段的长度一般地要把该线段放到一个三角形中去求解，尤其是放到特殊三角形中去求解，如直角三角形、等腰三角形等．(2)满足条件的该空间四边形其实质是空间正四面体，该问题实质上是求正四面体对棱之间的距离．典型例题二十二例22 已知a 、b 是异面直线，直线c //直线a ，那么c 与b （ ）． A ．一定是异面直线 B ．一定是相交直线C ．不可能是平行直线D ．不可能是相交直线解：由已知a 、b 是异面直线，直线c //直线a ，所以直线c 直线b ，否则若b c //，则有b a //与已知矛盾．所以c b ． ∴应选C ．说明：本题考察两直线位置关系和公理4的应用及异面直线定义．典型例题二十三例23 两条异面直线指的是（ ）． A ．在空间内不相交的两条直线 B ．分别位于两个不同平面内的两条直线C ．某平面内的一条直线和这个平面外的一条直线D ．不在同一平面内的两条直线解：对于A,在空间内不相交的两条直线也可能是平行，应排除A ． 对于B ，分别位于两个不同平面内的两条直线可能是异面直线，也可能是相交直线或平行直线，应排除B ．对于C ，某平面内的一条直线和这个平面外的一条直线可能是异面直线， 也可能是平行直线，应排除C ．∴应选D ．说明：本题主要考查对异面直线定义的掌握，特别是对“不同在任何一个平面内的两条直线”含义的理解．典型例题二十四例24 如图，在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，M 、N 分别为11B A 和1BB 的中点，那么直线AM 与CN 所成的角的余弦值是（ ）．A ．23 B ．1010 C ．53 D ．52解：在平面11A ABB 中，过N 点作AM NP //，交AB 于P ，连结PC ，如图，PNC ∠(或其补角)就是AM 与CN 所成的角．设AB 的中点为Q ，则P 是BQ 中点．可求得45=NP ，417=CP ，25=NC ．在PNC ∆中，由余弦定理得 522cos 222=⋅-+=∠PNNC PCPNNCPNC ．∴应选D ．说明：作出平行线PN ，进而在PNC ∆中利用余弦定理求出直线AM 与CN 所成角的余弦值．典型例题二十五例25 如图，1111D C B A ABCD -是正方体，4111111B A F D E B ==，则1BE 与1DF 所成的角的余弦值是（ ）．A ．1715 B ．21 C ．178 D ．23解：过A 点在平面11A ABB 内作1//DF AF ，再过1E 在平面11A ABB 内作FA E E //1， 则E BE 1∠(或其补角)即是1BE 与1DF 所成的角． 由已知4111111B A F D E B ==，1111D C B A ABCD -是正方体，所以可求得a BE 4171=(a 为正方体的棱长)，又E E AF DF 11==，而11BE DF =，∴a E E 4171=，显然a EB 21=．在E BE 1∆中，由余弦定理，得171541722141722cos 2211221211=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅-+=∠a a a EE BE EBE E BE E BE ． ∴应选A ．说明：(1)解答本题的关键是作平行线AF 、E E 1．进而在E BE 1∆中解出E BE 1∠的余弦值；(2)考查历届高考试题，求异面直线所成角的题常以正方体和正四面体为载体，在正方体和正四面体中命题．典型例题二十六例26 在棱长都相等的四面体BCD A -中，E 、F 分别是棱AD 、BC 的中点，连结AF 、CE ，如图所示，求异面直线AF 、CE 所成角的余弦值．解：连结DF ，取DF 的中点G ，连结EG ，CG ，又E 是AD 的中点，故AF EG //，所以GEC ∠是异面直线AF 、CE 所成角． ∵AF 是正三角形ABC 的高， ∴AB AF 23=，∴AB EG 43=．在FCG Rt ∆中，AB AB FD FG 43232121=⋅==，AB CF 21=，则AB AB AB FCFGCG 4721432222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=． 在EGC ∆中，AB CE 23=，AB EG 43=，AB CG 47=，用余弦定理可得32cos =∠GEC ．∴异面直线AF 、CE 所成角的余弦值是32．说明：求两条异面直线所成角或求所成角的函数值，关键是作出异面直线所成的角．作两条异面直线所成角的方法一般是：将其中一条平移到某个位置使其也另一条相交也或者将两条异面直线同时平移到某个位置使它们相交，使得这个角在某一个平面的三角形内，进而求出．但要注意：平移后相交所得的角必须容易算出，因此平移时应选择恰当的位置．。

2011届高考数学一轮单元达标精品试卷(六)第三单元 [不等]符号定，比较技巧深(时量:120分钟 150分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．1．不等式(1＋x )(1－|x |)＞0的解集是 A ．{x |0≤x ＜1} B ．{x |x ＜0且x ≠－1} C ．{x |－1＜x ＜1}D ．{x |x <1且x ≠－1}2．直角三角形ABC 的斜边AB ＝2，内切圆半径为r ，则r 的最大值是 A ． 2B ．1C ．22D ．2－13．给出下列三个命题 ①若1->≥b a ，则bba a +≥+11 ②若正整数m 和n 满足n m ≤，则2)(n m n m ≤- ③设),(11y x P 为圆9:221=+y x O 上任一点，圆2O 以),(b a Q 为圆心且半径为1． 当1)()(2121=-+-y b x a 时，圆1O 与圆2O 相切 其中假命题的个数为 A ．0B ．1C ．2D ．34．不等式|2x －log 2x |＜2x ＋|log 2x |的解集为 A ．(1，2) B ．(0，1)C ．(1，+∞)D ．(2，+∞)5．如果x ，y 是实数，那么“xy ＜0”是“|x －y |＝|x |＋|y |”的 A ．充分条件但不是必要条件 B ．必要条件但不是充分条件 C ．充要条件D ．非充分条件非必要条件6．若a ＝ln22，b ＝ln33，c ＝ln55，则A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <a <c7．已知a 、b 、c 满足c b a <<，且ac <0，那么下列选项中不一定成立的是 A ．ab ac > B ．c b a ()-<0 C ．cb ab 22< D ．0)(<-c a ac 8．设10<<a ，函数)22(log )(2--=x x a a a x f ，则使0)(<x f 的x 的取值范围是 A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，log a 3)D ．(log a 3，＋∞)9．某工厂第一年年产量为A ，第二年的增长率为a ，第三年的增长率为b ，这两年的平均增长率为x ，则 A ．x ＝2ba + B ．x ≤2b a + C ．x ＞2b a + D ．x ≥2ba + 10．设方程2x ＋x ＋2＝0和方程log 2x ＋x ＋2＝0的根分别为p 和q ，函数f (x )＝(x ＋p )(x ＋q )+2，则A ．f (2)＝f (0)<f (3)B ．f (0)<f (2)<f (3)C ．f (3)<f (0)＝f (2)D ．f (0)<f (3)<f (2)二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在横线上． 11．对于－1<a <1，使不等式(12)2x ax +<(12)2x +a －1成立的x 的取值范围是_______ ．12．若正整数m 满足m m 102105121<<-，则m ＝ ．(lg2≈0．3010)13．已知{1,0,()1,0,x f x x ≥=-<则不等式)2()2(+⋅++x f x x ≤5的解集是 ．14．已知a ＞0，b ＞0，且2212b a +=，则的最大值是 ． 15．对于10<<a ，给出下列四个不等式 ①)11(log )1(log aa a a +<+ ②)11(log )1(log aa a a +>+ ③aaa a 111++< ④aaa a111++> 其中成立的是 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．(本题满分l2分)设函数f (x )|1||1|2--+=x x ，求使f (x )≥22的x 取值范围．17．（本题满分12分）已知函数2()2sin sin 2,[0,2].f x x x x π=+∈求使()f x 为正值的x 的集合．18．（本题满分14分）⑴已知,a b 是正常数，a b ≠，,(0,)x y ∈+∞，求证：222()a b a b x y x y++≥+，指出等号成立的条件；⑵利用⑴的结论求函数29()12f x x x =+-（1(0,)2x ∈）的最小值，指出取最小值时x 的值．19．（本题满分14分）设函数f(x)＝|x－m|－mx，其中m为常数且m<0．⑴解关于x的不等式f(x)<0；⑵试探求f(x)存在最小值的充要条件，并求出相应的最小值．20．(本题满分14分)已知a>0，函数f(x)＝ax－bx2．⑴当b>0时，若对任意x∈R都有f(x)≤1，证明a≤2b；⑵当b>1时，证明对任意x∈[0，1]，都有|f(x)|≤1的充要条件是b－1≤a≤2b；⑶当0<b≤1时，讨论：对任意x∈[0，1]，都有|f(x)|≤1的充要条件．21．(本题满分14分)⑴设函数)10( )1(log )1(log )(22<<--+=x x x x x x f ，求)(x f 的最小值； ⑵设正数n p p p p 2321,,,, 满足12321=++++n p p p p ，证明 n p p p p p p p p n n -≥++++222323222121log log log log ．[不等]符号定，比较技巧深参考答案一、选择题二、填空题11．x ≤0或x ≥2； 12．155；13．]23,(-∞； 14； 15．②④三、解答题16．解：由于y ＝2x 是增函数，f (x )≥22等价于|x +1|－|x －1|≥32， ① (2)分(i)当x ≥1时，|x +1|－|x －1|＝2。

·高三数学·单元测试卷(十一)第十一单元 排列组合、二项式定理(时量:120分钟 150分)一、选择题：本大题共18小题，每小题5分，共90分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．5人排一个5天的值日表，每天排一人值日，每人可以排多天或不排，但相邻两天不能排同一人，值日表排法的总数为 A ．120B ．324C ．720D ．12802．一次考试中，要求考生从试卷上的9个题目中选6个进行答题，要求至少包含前5个题目中的3个，则考生答题的不同选法的种数是 A ．40B ．74C ．84D ．2003．以三棱柱的六个顶点中的四个顶点为顶点的三棱锥有 A ．18个B ．15个C ．12个D ．9个4．从一架钢琴挑出的十个音键中，分别选择3个，4个，5个，…，10个键同时按下，可发出和弦，若有一个音键不同，则发出不同的和弦，则这样的不同的和弦种数是 A ．512B ．968C ．1013D ．1024更多成套系列资源请您访问： （请按ctrl 键单击网址） 成套资源仅2元，以最低成本为您服务，谢谢您的大力支持，欢迎您的宝贵意见！5．如果(n x +的展开式中所有奇数项的系数和等于512，则展开式的中间项是A ．6810C xB ．5710C xC ．468C xD ．611C x6．用0，3，4，5，6排成无重复字的五位数，要求偶数字相邻，奇数字也相邻，则这样的五位数的个数是 A ．36B ．32C ．24D ．207．若n 是奇数，则112217777n n n n n n n C C C ---+++⋯⋯+被9除的余数是A ．0B ．2C ．7D ．88．现有一个碱基A ，2个碱基C ，3个碱基G ，由这6个碱基组成的不同的碱基序列有 A ．20个B ．60个C ．120个D ．90个9．某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个节目插入原节目单中，那么不同的插法种数为 A ．504B ．210C ．336D ．12010．在342005(1)(1)(1)x x x ++++⋯⋯++的展开式中，x 3的系数等于A ．42005CB ．42006CC ．32005CD ．32006C11．现有男女学生共8人，从男生中选2人，从女生中选1人，分别参加数理化三科竞赛，共有90种不同方案，则男、女生人数可能是 A ．2男6女B ．3男5女C ．5男3女D ．6男2女12．若x ∈R ，n ∈N ＋ ，定义nx M ＝x (x ＋1)(x ＋2)…(x ＋n －1)，例如55M -＝(－5)(－4)(－3)(－2)(－1)＝－120，则函数199()x f x xM -=的奇偶性为A ．是偶函数而不是奇函数B ．是奇函数而不是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数13．由等式43243212341234(1)(1)(1)(1),x a x a x a x a x b x b x b x b ++++=++++++++定义映射12341234:(,,,)(,,,),f a a a a b b b b →则f （4，3，2，1）等于 A ．（1，2，3，4）B ．（0，3，4，0）C ．（－1，0，2，－2）D ．（0，－3，4，－1）14．已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{4，5，6}，从A 到B 的映射f (x )，B 中有且仅有2个元素有原象，则这样的映射个数为 A ．8B ．9C ．24D ．2715．有五名学生站成一排照毕业纪念照，其中甲不排在乙的左边，又不与乙相邻，而不同的站法有A．24种B．36种C．60种D．66种16．等腰三角形的三边均为正数，它们周长不大于10，这样不同形状的三角形的种数为A．8 B．9 C．10 D．11 17．甲、乙、丙三同学在课余时间负责一个计算机房的周一至周六的值班工作，每天1人值班，每人值班2天，如果甲同学不值周一的班，乙同学不值周六的班，则可以排出不同的值班表有A．36种B．42种C．50种D．72种18．若1021022 012100210139 ),()()x a a x a x a x a a a a a a =+++⋯+++⋯+-++⋯+则的值为A．0 B．2 C．－1 D．1答题卡二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在横线上．19．某电子器件的电路中，在A，B之间有C，D，E，F四个焊点（如图），如果焊点脱落，则可能导致电路不通．今发现A，B间电路不通，则焊点脱落的不同情况有种．20．设f(x)＝x5－5x4＋10x3－10x2＋5x＋1,则f(x)的反函数f－1(x)＝．21．正整数a1a2…a n…a2n－2a2n－1称为凹数，如果a1>a2>…a n，且a2n－1>a2n－2>…>a n，其中a i（i＝1,2,3,…）∈{0,1,2,…,9}，请回答三位凹数a1a2a3（a1≠a3）共有个（用数字作答）．22．如果a1(x－1)4＋a2(x－1)3＋a3(x－1)2＋a4(x－1)＋a5＝x4，那么a2－a3＋a4．23．一栋7层的楼房备有电梯，在一楼有甲、乙、丙三人进了电梯，则满足有且仅有一人要上7楼，且甲不在2楼下电梯的所有可能情况种数有．24．已知（x＋1）6（ax－1）2的展开式中，x3的系数是56，则实数a的值为．三、解答题：本大题共3小题，共36分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．25．（本小题满分12分）将7个相同的小球任意放入四个不同的盒子中，每个盒子都不空，共有多少种不同的方法？26．（本小题满分12分）已知(41x＋3x2)n展开式中的倒数第三项的系数为45，求：⑴含x3的项；⑵系数最大的项．27．（本小题满分12分）求证：123114710(31)(32)2.n n n n n n C C C n C n -++++⋯++=+⋅第十一单元 排列组合、二项式定理参考答案一、选择题（每小题5分，共90分）：2．B 分三步：33425154545474.C C C C C C ++=3．C 46312.C -=4．B 分8类：34510121012101010101010101010101010()2(11045)968.C C C C C C C C C C C +++⋯+=+++⋯+-++=-++=5．B 12512,10,n n -=∴=中间项为555561010T C x C x==6．D 按首位数字的奇偶性分两类：2332223322()20A A A A A +-=7．C 原式＝（7＋1）n －1＝(9－1)2－1＝9k －2＝9k ’＋7（k 和k ’均为正整数）．8．B 分三步：12365360C C C =9．A 939966504,504.A A A ==或10．B 原式＝32003320062006442006(1)[1(1)](1)(1)(1).1(1)x x x x x x C x x+-+-+++=+-+即求中的系数为11．B 设有男生x 人，则2138390,(1)(8)30x x C C A x x x -=--=即，检验知B 正确．12．A 2222()(9)(8)(9191)(1)(4)(81).f x x x x x x x x x =--⋯-+-=--⋯- 13．D 比较等式两边x 3的系数，得4＝4＋b 1,则b 1＝0，故排除A ，C ；再比较等式两边的常数项，有1＝1＋b 1＋b 2＋b 3＋b 4,∴b 1＋b 2＋b 3＋b 4＝0． 14．D 223327.C =15．B 先排甲、乙外的3人，有33A 种排法，再插入甲、乙两人，有24A 种方法，又甲排乙的左边和甲排乙的右边各占12 ，故所求不同和站法有3234136().2A A =种16．C 共有（1，1，1），（1，2，2），（1，3，3），（1，4，4），（2，2，2），（2，2，3），（2，3，3），（2，4，4），（3，3，3）（3，3，4）10种．17．B 每人值班2天的排法或减去甲值周一或乙值周六的排法，再加上甲值周一且乙值周六的排法，共有2212264544242().C C A C A -+=种 18．D 设f (x )＝(2－x )10，则(a 0＋a 2＋…＋a 10)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝(a 0＋a 1＋…＋a 10)(a 0－a 1＋a 2－…－a 9＋a 10)＝f (1)f (－1)＝(2＋1)10(2－1)10＝1。

备考2011高考数学基础知识训练（3）班级______ 姓名_________ 学号_______ 得分_______一、填空题（每题5分，共70分）1．若集合A ={}3x x ≥，B ={}x x m <满足A ∪B =R ，A ∩B =∅，则实数m = ． 2．命题“03,2>+-∈∀x x R x ”的否定是______________________3. 函数lg(5)ln(5)3y x x x =++-+-的定义域为 ． 4．设函数f (x ) = xa (a ＞0且a ≠1),若f (2) =14，则f (–2)与f (1)的大小关系是________5．设(0,)2πα∈，若3sin 5α=)4πα+=_______________ 6．直角ABC ∆中, 90=∠C ,30=∠A ,1=BC ,D 为斜边AB 的中点，则 CD AB ⋅= ___7．已知}{n a 是递减的等差数列，若56,7758264=+=⋅a a a a ，则前 项和最大．8．设直线b x y +=21是曲线sin ((0,))y x x π=∈的一条切线，则实数b 的值是 9．已知()()2,1,,2a b t =-=，若b a 与的夹角为锐角， 则实数t 的取值范围为10. 已知01a <<，log log aa x =，1log 52a y =，log log a a z =，则,,x y z 由大到小的顺序为 ．11．已知函数()y f x =（x ∈R ）满足(2)()f x f x +=，且当[1,1]x ∈-时，2()f x x =，则()y f x =与5log y x =的图像的交点的个数为____________12．设()f x 是定义在R 上的奇函数，在(,0)-∞上有'()()0xf x f x +<且(2)0f -=，则不等式()0xf x <的解集为____________．13．设{}n a 是公比为q 的等比数列，10q q <≠且，若数列{}n a 有连续四项在集合{}54,24,18,36,81---中，则_______q =14．若关于x 的不等式211()22n x x +-≥0对任意*n N ∈在(,]x λ∈-∞恒成立，则实常数λ的取值范围是__________．二、解答题（共90分，写出详细的解题步骤）15. 设A ＝｛x ｜x 2＋4x ＝0｝，B ＝｛x ｜x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0｝，若A ∩B ＝B ，求实数a 的取值范围．16. 试讨论关于x 的方程k x =-|13|的解的个数．17．若奇函数f （x ）在定义域（－1，1）上是减函数， （1）求满足f （1－a ）＋f （－a ）＜0的a 的取值集合M ； （2）对于（1）中的a ，求函数F （x ）＝a log ［1－21()xa－］的定义域．18．经市场调查，某超市的一种小商品在过去的近20天内的销售量（件）与价格（元）均为时间t （天）的函数，且销售量近似满足g (t )＝80－2t （件），价格近似满足1()20|10|2f t t =--（元）． （1）试写出该种商品的日销售额y 与时间t （0≤t ≤20）的函数表达式； （2）求该种商品的日销售额y 的最大值与最小值．19. ()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，f(x)=2x －x 2； (1) 求x<0时，f(x)的解析式；(2) 问是否存在这样的正数a,b,当[,]x a b ∈时,g(x)=f(x),且g(x)的值域为[11,]?b a若存在，求出所有的a,b 值；若不存在，请说明理由．20．已知函数()2()log 21xf x =+.（1）求证：函数()f x 在(,)-∞+∞内单调递增；（2）若()2()log 21(0)xg x x =->，且关于x 的方程()()g x m f x =+在[1,2]上有解，求m 的取值范围.参考答案：1．解：结合数轴知，当且仅当m =3时满足A ∪B =R ，A ∩B =∅． 答案：3.2、 2,30x R x x ∃∈-+≤3. 解：由50501030x x x x +>⎧⎪->⎪⎨-≥⎪⎪-≠⎩ 得定义域为: [1,3)(3,5)⋃．答案：[1,3)(3,5)⋃．4、(2)(1)f f ->5、156、−17、 14 86π- 9、 (,4)(4,1)-∞-⋃- 10. 解：由对数运算法则知log ax=log a y=log a z =又由01a <<知log a y x =在(0,)+∞上为减函数, y x z ∴>>．答案：y x z >>． 11、4 12、(,2)(0,2)-∞-⋃ 13、 23- 14、1λ≤-15. 解：由x 2＋4x ＝0得，x 1＝0，x 2＝－4；∴A ＝｛0，－4｝． ∵A ∩B ＝B ，∴B ⊆A ． （1）若B ＝∅，则Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＜0，解得a ＜－1．（2）若0∈B ，则a 2－1＝0，∴a ＝±1；当a ＝－1时，B ＝｛0｝； 当a ＝1时，B ＝A ；都符合A ∩B ＝B ．（3）若－4∈B ，则(－4)2＋2(a ＋1)²(－4)＋a 2－1＝0，∴a ＝1或a ＝7；当a ＝7时，B ＝｛x ｜x 2＋2(7＋1)x ＋72－1＝0｝＝｛－4，－12｝，不符合A ∩B ＝B ． 综上，实数a 的取值范围是a ＝1或a ≤－1．16. 解：设()|31|x f x =-，则关于x 的方程k x=-|13|的解的个数可转化为观察函数()f x 的图象与直线y k =的交点个数；而函数31,(0)()|31|13,(0)xx xx f x x ⎧-≥⎪=-=⎨-<⎪⎩，由函数3xy =的图象通过图象变换易作出函数()f x 的图象，如下图所示：y=k(k>1)直线y k =是与x 轴平行或重合的直线，观察上图知：当0k <时，直线y k =与()f x 的图象没有交点，故方程k x =-|13|的解的个数为0个； 当0k =时，直线y k =与()f x 的图象有1个交点，故方程k x =-|13|的解的个数为1个； 当01k <<时，y k =与()f x 的图象有2个交点，故方程k x =-|13|的解的个数为2个； 当1k ≥时，直线y k =与()f x 的图象有1个交点，故方程k x =-|13|的解的个数为1个．17．解：（1）不等式f （1－a ）＋f （－a ）＜0可化为f （1－a ）＜－f （－a ），而f （x ）为奇函数，∴ f （1－a ）＜f （a ），又f （x ）在定义域（－1，1）上是减函数，∴111111a a a a ⎧⎪⎨⎪⎩－＜－＜，－＜-＜，－＞，解得0＜a ＜12， ∴M ＝{a |0＜a ＜12}．（2）为使F （x ）＝a log ［1－21()xa－］有意义，必须1－21()xa－＞0，即21()xa－＜1．由0＜a ＜12得12a>，∴2－x ＜0，∴x >2． ∴函数的定义域为{2}x x >． 18．解：（1）1()()(802)(20|10|)(40)(40|10|)2y g t f t t t t t =⋅=-⋅--=---＝(30)(40),(010),(40)(50),(1020).t t t t t t +-<⎧⎨--⎩≤≤≤（2）当0≤t ＜10时，y 的取值范围是[1200，1225]，在t ＝5时，y 取得最大值为1225； 当10≤t ≤20时，y 的取值范围是[600，1200]，在t ＝20时，y 取得最小值为600． ∴第5天，日销售额y 取得最大，为1225元； 第20天，日销售额y 取得最小，为600元．答：日销售额y 最大为1225元；最小为600元． 19. 解: (1)设0,x <则0x ->于是22()2,()()()2,f x x x f x f x f x x x -=--=--=+又为奇函数,所以0x <即时,2()2(0);f x x x x =+<(2)分下述三种情况: ①01,a b <<≤那么11a>,而当0,()x f x ≥的最大值为1,故此时不可能使()()g x f x =；②若01,a b <<<此时若()(),()g x f x g x =则的最大值为g(1)=f(1)=1,得a=1,这与01a b <<<矛盾;③若1,a b ≤<因为1x ≥时,f(x)是减函数,则2()2,f x x x =-于是有22221()2(1)(1)01(1)(1)0()2g b b b a a a b b b b g a a a a⎧==--⎪⎧--+=⎪⎪⇔⎨⎨---=⎪⎩⎪==-+⎪⎩考虑到1,a b ≤<解得11,2a b ==；综上所述，1,12a b =⎧⎪⎨=⎪⎩20．解：（1）证明：任取12x x <，则()()11221222221()()log 21log 21log 21x x x x f x f x +-=+-+=+，1212,02121x x x x <∴<+<+ ， 11222212101,log 02121x x xx ++∴<<∴<++， 12()()f x f x ∴<，即函数()f x 在(,)-∞+∞内单调递增.（2）解法1：由()()g x m f x =+得()()m g x f x =-=()()22log 21log 21x x--+22212log log 12121x x x -⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，当12x ≤≤时，222123,152133215x x ≤≤∴≤-≤++， m ∴的取值范围是2213log ,log 35⎡⎤⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.（2）解法2：解方程()()22log 21log 21xxm -=++，得221log 12m m x ⎛⎫+= ⎪-⎝⎭， 22112,1log 212m m x ⎛⎫+≤≤∴≤≤ ⎪-⎝⎭， 解得 2213log log 35m ⎛⎫⎛⎫≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.m ∴的取值范围是2213log ,log 35⎡⎤⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.备考2011高考数学基础知识训练（4）班级______ 姓名_________ 学号_______ 得分_______一、填空题（每题5分，共70分）1．若{}21A x x ==，{}2230B x x x =--=，则A B = ___________ 2．若a>2,则函数131)(23+-=ax x x f 在区间（0，2）上恰好有_______个零点 3．曲线34y x x =-在点()1,3--处的切线方程是4．若函数()x f 既是幂函数又是反比例函数,则这个函数是()x f =5．若(0)()ln (0)x e x g x x x ⎧≤=⎨>⎩,则1(()2g g =6．设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x--<的解集为__ _____ 7．若31)sin(,21)sin(=-=+ββαa ，则=βαtan tan _______________. 8．已知31)4sin(=+πθ，),2(ππθ∈，则=θ2sin _______________. 9．=︒︒︒40cos 20cos 10sin _______________.10．已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的取值范围是 _______________. 11．若παπ223<<，则=+-α2cos 21212121_______________. 12．在ABC ∆中，已知53sin =A ，135cos =B ，则=C cos _______________. 13．设函数f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧≥--<+,114,1)1(2x x x x 则使得f （x ）≥1的自变量x 的取值范围为_______________.14．已知α 、β为一个钝角三角形的两个锐角，下列四个不等式中错误．．的是__________.①1tan tan <βα； ②2sin sin <+βα；③1cos cos >+βα； ④2tan )tan(21βαβα+<+． 二、解答题（共90分，写出详细的解题步骤）15.(14分)已知παπ<<43，103cos sin -=αα；（1）求αtan 的值； （2）求)2sin(282cos 112cos2sin82sin 522ααααα--++．16．(14分)求下列直线的方程：（1）曲线123++=x x y 在P(-1,1)处的切线； （2）曲线2x y =过点P(3,5)的切线．17．(15分) 已知函数23bx ax y +=，当1x =时，有极大值3；（1）求,a b 的值； （2）求函数y 的极小值．18．(15分) 设命题:p 函数3()()2xf x a =-是R 上的减函数，命题:q 函数2()43f x x x =-+在[]0,a 的值域为[]1,3-．若“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，求a 的取值范围．19. (16分 )统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y （升）关于行驶速度x （千米/小时）的函数解析式可以表示为：3138(0120).12800080y x x x =-+<≤已知甲、乙两地相距100千米；（1）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ （2）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？20. (16分)设函数R x x x x f ∈+-=,56)(3 （1）求)(x f 的单调区间和极值；（2）若关于x 的方程a x f =)(有3个不同实根，求实数a 的取值范围； （3）已知当)1()(,),1(-≥+∞∈x k x f x 时恒成立，求实数k 的取值范围.参考答案： 1．}1{- 2．1 3．2y x =-4．1x 5．126、(10)(01)- ，，7、5； 8、97-； 9、81； 10、]3,3[-； 11、2sin α；12、651613、x ≤－2或0≤x ≤10 14、④15．（1）因为παπ<<43所以0tan 1<<-α又103cos sin -=αα 所以103tan 1tan cos sin cos sin 222-=+=+αααααα即03tan 10tan 32=++αα 解得：3tan -=α或31tan -=α，又0tan 1<<-α，所以31tan -=α.(2)原式αααααcos 282cos 6sin 4)2cos 52sin 5(222--+++=αααcos 282cos 6sin 452--++=αααcos 232cos 6sin 42--+=αααcos 2cos 3sin 4-+=625223tan 22-=--=α 16．解：（1） 123|y k 23 1)1,1(1x /2/23===∴+=∴++=-=－上，在曲线点－x x y x x y P所以切线方程为02 11=+-+=-y x x y 即，（2）显然点P （3，5）不在曲线上，所以可设切点为),(00y x A ，则200x y =①又函数的导数为x y 2/=，所以过),(00y x A 点的切线的斜率为0/2|0x y k x x ===，又切线过),(00y x A 、P(3,5)点，所以有352000--=x y x ②，由①②联立方程组得，⎩⎨⎧⎩⎨⎧====255110000y x y x 或，即切点为（1，1）时，切线斜率为;2201==x k ；当切点为（5，25）时，切线斜率为10202==x k ；所以所求的切线有两条，方程分别为2510 12 )5(1025)1(21-=-=-=--=-x y x y x y x y 或即，或17．解：（1）'232,y ax bx =+当1x =时，'11|320,|3x x y a b y a b ===+==+=，即320,6,93a b a b a b +=⎧=-=⎨+=⎩（2）32'269,1818y x x y x x =-+=-+，令'0y =，得0,1x x ==或0|0x y y =∴==极小值18、 P 真2523)1,0()23(<<⇔∈-⇔a a 1)2()(2--=x x f 的值域为[—1，3]42≤≤∴a429≤≤⇔a 真由题意知p 、q 中有一个为真命题，一个为假命题1°p 真q 假⎪⎩⎪⎨⎧><<<422523a a a 或223<<∴a 2°p 假q 真⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥≤422523a a a 或425≤≤∴a ∴综上所述a 的取值范围为]4,25[)2,23( 19、解：（1）当40x =时，汽车从甲地到乙地行驶了100 2.540=小时， 要耗没313(40408) 2.517.512800080⨯-⨯+⨯=（升）。

江苏省常州市中学2011高考冲刺复习单元卷—函数与不等式一、填空题：（请把答案直接填空在答题卷相应位置上。

）1. 若函数(1)f x +的定义域为[0，1]，则(31)f x -的定义域为 ▲ .2. 已知集合10x A x x⎧⎫-=>⎨⎬⎩⎭，13x B y y ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==⎨⎬⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则=B A ▲ .3. 下列说法错误的是: ▲ (1)命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为：“若1x ≠，则2320x x -+≠”(2)“1x >”是“||1x >”的充分不必要条件; (3)若p 且q 为假命题，则p 、q均为假命题;(4)命题p ：“x R ∃∈，使得210x x ++<”，则p ⌝：“x R ∀∈，均有210x x ++≥”4. 下列三个命题中,真命题是: ▲ ①“若1xy =,则,x y 互为倒数”的逆命题; ②“面积相等的三角形全等”的否命题;③“若1m ≤,则方程220x x m -+=有实根”的逆否命题.5．若函数()f x =,则a 的取值范围为 ▲ .6. 已知实数,x y 满足xx y y=-,则x 的取值范围是 ▲ .7. 函数()()y f x x R =∈的图象如图所示，则当01a <<时，函数()(log )a g x f x =的单调减区间是 ▲ .8.已知函数22()1(,)f x x ax b b a R b R =-++-+∈∈,成立，若当[]1,1x ∈-时，()0f x >恒成立，则b 的取值范围是 ▲ .9、已知00(,),(1,1),(5,2)A x y B C ，如果一个线性规划问题为可行域是ABC ∆边界及其内部，线性目标函数z ax by =+，在B 点处取得最小值3，在C 点处取得最大值12，则00ax by + 范围 ▲ .10、设(),()f x gx 均是定义在R 上奇函数,且当0x <时,'()()()'()0,(2)(2)0f xg x f x g x f g +<--=,则不等式()()0f x g x >的解集为 ▲ .11. 若12,x x 是方程1112()2xx-+=的两个实数解,则12x x += ▲ .12、线性目标函数z=2x －y 在线性约束条件{||1||1x y ≤≤下，取最小值的最优解是____ ▲13．若实数x 、y 满足10,0,2,x y x x -+≤⎧⎪>⎨⎪≤⎩则yx 的取值范围是 ▲ .14.已知,,x y z 满足5000x y x x y k -+≥⎧⎪≤⎨⎪++≥⎩,且24z x y =+的最小值为6-,则常数k 的值为 ▲ .二、解答题：(请在指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2011版高三数学一轮精品复习学案：命题及其关系、充分条件与必要条件【高考目标定位】一、考纲点击1、理解命题的概念；2、了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系；3、理解必要条件、充分条件与充要条件的意义。

二、热点、难点提示1、充分必要条件的判断和四种命题及其关系是本节考查的热点；2、多以选择题、填空题的形式出现，由于知识载体丰富，具有较强的综合性，属于中、低档题目；有时也在解答题中出现，考查对概念的理解与应用，难度不会太大。

【考纲知识梳理】1、命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题。

2、四种命题及其关系（1）四种命题（3）四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题互为逆命题或互为命题，它们的真假性没有关系；注：否命题是命题的否定吗？答：不是。

命题的否命题既否定命题的条件，又否定命题的结论，而命题的否定只否定命题的结论。

3、充分条件与必要条件（1）“若p ，则q ”为真命题，记p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。

（2）如果既有p q ⇒，又有q p ⇒，记作p q ⇔，则p 是q 的充要条件，q 也是p 的充要条件。

【热点难点突破】一、命题的关系与真假的判断 1、相关链接（1）对于命题真假的判定，关键是分清命题的条件与结论，只有将条件与结论分清，再结合所涉及的知识才能正确地判断命题的真假。

（2）四种命题的关系的应用掌握原命题和逆否命题，否命题和逆命题的等价性，当一个命题直接判断它的真假不易进行时，可以转而判断其逆否命题的真假。

注：当一个命题有大前提而写出其他三种命题时，必须保留大前提，大前提不动。

2、例题解析〖例1〗设原命题是“已知p 、q 、m 、n 是实数，若p=q ，m=n ，则p ＋m=q ＋n”写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．解：逆命题：“已知p 、q 、m 、n ∈R ，若p ＋m=q ＋n ，则p=q ，m=n(假)．原命题：“已知p 、q 、m 、n ∈R ，若p≠q ，m≠n ，则p ＋m≠q ＋n”(假)逆否命题：“已知p 、q 、m 、n∈R，若p ＋m≠q＋n ，则p≠q 或m≠n”(真) 注，否命题“若p≠q，m≠n”应理解为“p≠q 或m≠n”即是指：①p≠q，但m=n ，②p=q 但m≠n，而不含p≠q 且m≠n．因为原命题中的条件：“若p=q ，m=n ．”应理解为“若p=q 且m=n ，”而这一语句的否定应该是“p≠q 或m≠n”．〖例2〗写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题并判断其真假。

江苏省常州市中学2011高考冲刺复习单元卷—三角与解几一、填空题：（本题共10个小题，每题4分，共40分）1、已知向量a 与b 的夹角为120°，且5||,2||==，则=⋅-)2( 。

2、函数1312sin)(+-=x x x f π的零点个数为 个。

3、已知函数1()11x f x x -⎧=⎨≥⎩， ， <1， 则不等式(1)(1)3x f x x +⋅+≤-的解集为 。

4、设a 、b 、c 分别是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 所对边的边长，则直线sin 0x A ay c ⋅++= 与sin sin 0bx y B C -⋅+=的位置关系是 。

50y +-=截圆224x y +=得的劣弧所对的圆心角是 。

6、若把函数cos y x x =+的图象向右平移(0)m m >个单位后所得图象关于y 轴对称，则m 的最小值为 。

7、已知直线(14)(23)(312)0()k x k y k k R +---+=∈所经过的定点F 恰好是椭圆C 的一个焦点,且椭圆C 上的点到点F 的最大距离为8.则椭圆C 的标准方程为 。

8、已知方程abx x x x b a x a x 则且的两根为,10,,01)2(21212<<<=+++++的取值范围 。

9、设曲线()1x y ax e =-在点()01,A x y 处的切线为1l ，曲线()1xy x e -=-在点()02,B x y 处的切线为2l ，若存在0302x ≤≤，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围是 。

10、已知函数())2f x x π=≤≤，则()f x 的值域为 。

二、解答题：（本题共4大题，共60分）11、在平面直角坐标系中，点21(,cos )2P θ在角α的终边上，点2(sin ,1)Q θ-在角β的终边上，且12OP OQ ⋅=- . （1）求cos 2θ； （2）求sin()αβ+的值.12、设()f x 是定义在[]1,1-上的偶函数， ()()f x g x 与图像关于直线1x =对称，且当[]2,3x ∈时，3()3(2)4(2)g x x x =---。

2010届高考数学一轮达标精品试卷(八)第八单元 圆锥曲线(时量:120分钟 150分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．1．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的实轴长、虚轴长、焦距长成等差数列，则双曲线的离心率e 为A ．2B ．3C ．43D ．532．已知双曲线的两个焦点是椭圆16410022=+y x 的两个顶点，双曲线的两条准线经过椭圆的两个焦点，则此双曲线的方程是A ．1306022=-y x B ．1405022=-y x C ．1406022=-y x D ．1305022=-y x 3．已知P 是椭圆116922=+y x 上的一点，则P 到一条准线的距离与P 到相应焦点的距离之比为 A ．45 B ．54 C ．74 D ．474．若抛物线y 2＝2px (p >0)上一点到准线和抛物线的对称轴的距离分别为10和6，则该点横坐标为 A ．10 B ．9 C ．8 D ．65．已知动点P （x ，y ）满足|1243|)2()1(522++=-+-y x y x ，则P 点的轨迹是A ．两条相交直线B ．抛物线C ．双曲线D ．椭圆6．过抛物线y 2＝ － x 的焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，且A 、B 在直线x ＝14上的射影分别M ，N ，则∠MFN 等于A ．45°B ．60°C ．90°D ．以上都不对 7．直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同两点，则k 的取值范围是 A ．(－153，153) B ．(0，153) C ．(－153，0) D ．(－153，－1) 8．已知直线l 交椭圆4x 2＋5y 2＝80于M 、N 两点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，若△BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点，则直线l 的方程是A ．5x ＋6y －28＝0B ．5x －6y －28＝0C ．6x ＋5y －28＝0D ．6x －5y －28＝0 9．若动点P （x ，y ）与两定点M （－a ，0），N （a ，0）连线的斜率之积为常数k （ka ≠0），则P 点的轨迹一定不可能是A ．除M 、N 两点外的圆B ．除M 、N 两点外的椭圆C ．除M 、N 两点外的双曲线D ．除M 、N 两点外的抛物线10．点（x ，y ）在曲线)0(sin cos 2πθθθθ≤≤⎩⎨⎧=+-=，y x 为参数上，则 yx 的取值范围是A ．[－33，33] B ．[－33，0) C ．[－33，0] D ．(－∞，33] 答题卡二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在横线上．11．双曲线)0,0(1)2(2222>>=--b a by a x 的一条准线被它的两条渐近线截得线段的长度等于它的一个焦点到一条渐近线的距离，则双曲线的两条渐近线的夹角为 ．12．双曲线 的两个焦点F 1，F 2，点P 在双曲线上，若PF 1⊥PF 2，则点P 到x 轴的距离为 ．13．已知F 1、F 2是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的焦点，P 是椭圆上一点，且∠F 1PF 2＝90°，则椭圆的离心率e 的取值范围是 ．14．椭圆C 1：)0(12222>>=+b a by a x 在第一象限部分的一点P ，以P 点横坐标作为长轴长，纵坐标作为短轴长作椭圆C 2，如果C 2的离心率等于C 1的离心率，则P 点坐标为 ．15．设P 是双曲线y 2＝4(x －1)上的一个动点，则点P 到点（0，1）的距离与点P 到y 轴的距离之和的最小值是 ．三、解答题（本大题共6小题，共80分） 16．（本小题满分12分）过双曲线116922=-y x 的右焦点F 作倾斜角为π4的直线交双曲线于A 、B 两点，求线段AB 的中点C 到焦点F 的距离．17．（本小题满分12分）已知双曲线x 2－3y 2＝3的右焦点为F ，右准线为l ，以F 为左焦点，以l 为左准线的椭圆C 的中心为A ，又A 点关于直线y ＝2x 的对称点A ’恰好在双曲线的左准线上，求椭圆的方程． 18．（本小题满分14分） 如图所示，在直角梯形ABCD 中，|AD |＝3，|AB |＝4，|BC |＝ 3 ，曲线段DE 上任一点到A 、B 两点的距离之和都相等．（1）建立适当的直角坐标系，求曲线段DE 的方程； （2）过C 能否作一条直线与曲线段DE 相交，且所得弦以C 为中点，如果能，求该弦所在的直线 的方程；若不能，说明理由．19．（本小题满分14分）已知H （－3，0），点P 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点M 在直线PQ 上，且满足.23,0PM PM -==⋅⑴当点P 在y 轴上移动时，求点M 的轨迹C ；⑵过点T (－1，0)作直线l 与轨迹C 交于A 、B 两点，若在x 轴上存在一点E (x 0，0)，使得△ABE 是等边三角形，求x 0的值． 20．（本小题满分14分）如图，椭圆12222=+by a x 上的点M 与椭圆右焦点F 1的连线MF 1与x 轴垂直，且OM （O 是坐标原点）与椭圆长轴和短轴端点的连线AB 平行．（1）求椭圆的离心率；（2）F 2是椭圆的左焦点，C 是椭圆上的任一点，证明：∠F 1CF 2≤ π2；（3）过F 1且与AB 垂直的直线交椭圆于P 、Q ，若△PF 2Q 的面积是20 3 ，求此时椭圆的方程．21．（本小题满分14分）设x ，y ∈R ，i ，j 为直角坐标平面内x ，y 轴正方向上的单位向量，若向量a ＝xi ＋(y ＋2)j ，b ＝xi ＋(y －2)j ，且|a |＋|b |＝8．（1）求点M （x ，y ）的轨迹C 的方程；（2）过点（0，3）作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，设,+=是否存在这样的直线l ，使得四边形OAPB 为矩形？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，试说明理由．圆锥曲线参考答案一、选择题（每小题5分，共50分）：11．60°12．165 13． 14．,)22a 15三、解答题（共80分）16．解：由已知，AB 的方程为y ＝x －5，将其代入222112217903690.(,),(,)916x y x x A x y B x y -=+-=得设，则1290.7x x +=-AB 的中点C 的坐标为4580(,)77--，于是||CF = 17．解：依题意，F （2，0），l ：3.2x =设所求方程为2222,01,(1)(43)||2e e e x e x y x =<<---+-即2940,4e +-=其中心为2243(,0).2(1)e A e -- ∵A 与A ’关于直线y ＝2x 对称，∴A ’的坐标为223(43)(,10(1)e e ---222(43))5(1)e e -- 又A ’在直线22233(4)31,,210(1)22e x e e -=-∴-=-=-上解之得。

典型例题一例1 解不等式：（1）015223>--x x x ；（2）0)2()5)(4(32<-++x x x ． 分析：如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式0)(>x f （或0)(<x f ）可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况．解：（1）原不等式可化为0)3)(52(>-+x x x把方程0)3)(52(=-+x x x 的三个根3,25,0321=-==x x x 顺次标上数轴．然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分．∴原不等式解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><<-3025x x x 或 （2）原不等式等价于⎩⎨⎧>-<-≠⇔⎩⎨⎧>-+≠+⇔>-++2450)2)(4(050)2()5)(4(32x x x x x x x x x 或 ∴原不等式解集为{}2455>-<<--<x x x x 或或说明：用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中x 的系数必为正；②对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”，其法如下图．典型例题二例2 解下列分式不等式：（1）22123+-≤-x x ； （2）12731422<+-+-x x x x 分析：当分式不等式化为)0(0)()(≤<或x g x f 时，要注意它的等价变形①0)()(0)()(<⋅⇔<x g x f x g x f ②0)()(0)(0)()(0)(0)()(0)()(<⋅=⇔≤⎩⎨⎧≠≤⋅⇔≤x g x f x f x g x f x g x g x f x g x f 或或（1）解：原不等式等价于⎩⎨⎧≠-+≥+-+-⇔≥+-+-⇔≤+-++-⇔≤+---+⇔≤+--⇔+≤-0)2)(2(0)2)(2)(1)(6(0)2)(2()1)(6(0)2)(2(650)2)(2()2()2(302232232x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x用“穿根法”∴原不等式解集为[)[)+∞⋃-⋃--∞,62,1)2,(。