15-16版：2.1 复数的加法与减法(创新设计)

《复数的加法和减法运算及其几何意义》教案设计一、教学目标：1. 让学生理解复数的加法和减法运算规则。

2. 让学生掌握复数加法和减法运算的几何意义。

3. 培养学生运用复数解决实际问题的能力。

二、教学内容：1. 复数的加法运算：两个复数相加，实部相加，虚部相加。

2. 复数的减法运算：两个复数相减，实部相减，虚部相减。

3. 复数加法和减法运算的几何意义：在复平面上表示复数的加法和减法。

三、教学重点与难点：1. 教学重点：复数的加法和减法运算规则，复数加法和减法运算的几何意义。

2. 教学难点：复数加法和减法运算在实际问题中的应用。

四、教学方法：1. 采用讲解法，讲解复数的加法和减法运算规则。

2. 采用直观演示法，利用复平面演示复数的加法和减法运算的几何意义。

3. 采用案例分析法，分析实际问题中的复数加法和减法运算。

五、教学过程：1. 导入：引导学生回顾实数加法和减法运算，引出复数的加法和减法运算。

2. 讲解：讲解复数的加法和减法运算规则，实部相加，虚部相加（减）。

3. 演示：利用复平面演示复数的加法和减法运算的几何意义。

4. 练习：让学生进行复数加法和减法运算的练习，巩固所学知识。

5. 案例分析：分析实际问题中的复数加法和减法运算，培养学生运用复数解决实际问题的能力。

6. 总结：对本节课的内容进行总结，复数的加法和减法运算及其几何意义。

7. 作业布置：布置有关复数加法和减法运算的练习题，巩固所学知识。

六、教学评价：1. 评价学生对复数加法和减法运算规则的理解程度。

2. 评价学生对复数加法和减法运算几何意义的掌握程度。

3. 评价学生运用复数解决实际问题的能力。

七、教学反馈：1. 课堂讲解过程中，注意观察学生的反应，及时解答学生的疑问。

2. 练习环节，及时批改学生的作业，给予反馈，指出错误并指导改正。

3. 案例分析环节，鼓励学生积极参与讨论，提出自己的观点和看法。

八、教学拓展：1. 引导学生思考复数加法和减法运算在实际生活中的应用。

《复数的加法和减法运算及其几何意义》教案设计一、教学目标1. 让学生理解复数的概念，掌握复数的加法和减法运算方法。

2. 让学生了解复数几何意义的内涵，能够将复数的加法和减法运算与几何图形相结合。

3. 培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力，提高学生解决实际问题的能力。

二、教学内容1. 复数的概念及表示方法。

2. 复数的加法运算：同号相加、异号相加。

3. 复数的减法运算：减去一个复数等于加上它的相反数。

4. 复数几何意义的介绍：复平面、复数轴、象限。

5. 复数加法和减法运算在几何意义上的应用。

三、教学方法1. 采用讲解法，讲解复数的概念、加法和减法运算方法及其几何意义。

2. 利用多媒体课件，展示复数的几何意义，增强学生的直观感受。

3. 运用例题，引导学生运用复数的加法和减法运算解决实际问题。

4. 组织小组讨论，让学生分享自己的理解和心得。

四、教学步骤1. 导入新课，复习复数的基本概念。

2. 讲解复数的加法运算，引导学生掌握加法法则。

3. 讲解复数的减法运算，引导学生掌握减法法则。

4. 介绍复数几何意义，引导学生理解复数与几何图形的关系。

5. 运用例题，让学生体会复数加法和减法运算在实际问题中的应用。

五、课后作业1. 复习本节课所学的复数加法和减法运算方法及其几何意义。

2. 完成课后练习题，巩固所学知识。

3. 思考如何将复数的加法和减法运算应用到实际问题中。

4. 预习下一节课内容，为学习复数的乘法和除法运算做准备。

六、教学评估1. 课堂讲解过程中，关注学生的学习反应，及时调整教学节奏和难度。

2. 通过课后作业和练习题，检查学生对复数加法和减法运算及其几何意义的掌握程度。

3. 组织课堂讨论，鼓励学生提问和分享，评估学生对知识点的理解和运用能力。

七、教学资源1. 多媒体课件：用于展示复数的几何意义，增强学生的直观感受。

2. 练习题：用于巩固学生对复数加法和减法运算的理解和运用。

3. 参考资料：为学生提供更多的学习资源，拓展知识视野。

10.2.1 复数的加法与减法教 学 目 标核 心 素 养1．掌握复数的加减法运算法则，能熟练地进行复数的加减运算．(重点)2.理解复数加减法运算的几何意义，能解决相关的问题．(难点、易混点) 通过复数的加法与减法的学习，提升学生的数学运算素养. 教学知识梳理 新知初探一、复数代数形式的加减法 1．运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )， 则z 1＋z 2＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ，z 1－z 2＝(a －c )＋(b －d )i. 2．加法运算律设z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1， (z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)． 二、复数加减法的几何意义若复数z 1，z 2对应的向量分别为OZ 1→，OZ 2→. 复数加法的几何意义复数z 1＋z 2是以OZ 1→，OZ 2→为邻边的平行四边形的对角线OZ →所对应的复数复数减法的几何意义 复数z 1－z 2是从向量OZ 2→的终点指向向量OZ 1→的终点的向量Z 2Z 1→所对应的复数1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)复数与向量一一对应．( ) (2)复数与复数相加减后结果只能是实数．( )(3)因为虚数不能比较大小，所以虚数的模也不能比较大小． ( ) 【答案】(1)× (2)× (3)×2．已知向量OZ →1对应的复数为2－3i ，向量OZ →2对应的复数为3－4i ，则向量Z 1Z 2→对应的复数为__________．【解析】Z 1Z 2→＝OZ →2－OZ →1＝(3－4i)－(2－3i)＝1－i.【答案】1－i3．已知z 1＝3＋4i ，z 2＝4－3i ，则(z 1＋z 2)－(z 1＋z 2)＝__________.【解析】z 1＋z 2＝3＋4i ＋4－3i ＝7＋i ， z 1＋z 2＝3－4i ＋4＋3i ＝7－i ， ∴(z 1＋z 2)－(z 1＋z 2)＝7＋i －(7－i)＝2i. 【答案】2i 教学案例【例1】 (1)⎝⎛⎭⎫13＋12i ＋(2－i)－⎝⎛⎭⎫43－32i ＝________. (2)已知复数z 满足z ＋1－3i ＝5－2i ，求z . (3)已知复数z 满足|z |＋z ＝1＋3i ，求z .(1)【解析】⎝⎛⎭⎫13＋12i ＋(2－i)－⎝⎛⎭⎫43－32i ＝⎝⎛⎭⎫13＋2－43＋⎝⎛⎭⎫12－1＋32i ＝1＋i. 【答案】1＋i(2)解：法一：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，因为z ＋1－3i ＝5－2i ，所以x ＋y i ＋(1－3i)＝5－2i ，即x ＋1＝5且y －3＝－2，解得x ＝4，y ＝1，所以z ＝4＋i.法二：因为z ＋1－3i ＝5－2i ，所以z ＝(5－2i)－(1－3i)＝4＋i.(3)解：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则|z |＝x 2＋y 2，又|z |＋z ＝1＋3i ，所以x 2＋y 2＋x ＋y i ＝1＋3i ，由复数相等得⎩⎨⎧x 2＋y 2＋x ＝1，y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝3，所以z ＝－4＋3i.规律方法1．复数加减运算法则的记忆(1)复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减．(2)把i 看作一个字母，类比多项式加减运算中的合并同类项．2．当一个等式中同时含有|z |与z 时，一般要用待定系数法，设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )． 跟踪训练1．复数(1－i)－(2＋i)＋3i 等于( )A ．－1＋iB ．1－iC ．iD ．－i【解析】(1－i)－(2＋i)＋3i ＝(1－2)＋(－i －i ＋3i)＝－1＋i.故选A. 【答案】A的复数分别是1＋3i ，－i,2＋i ，则点D 对应的复数为__________．(2)已知z 1，z 2∈C ，|z 1|＝|z 2|＝1，|z 1＋z 2|＝3，求|z 1－z 2|.[思路探究] (1)先写出点A ，B ，C 的坐标，利用向量AB →＝D C →列方程求解． (2)由复数的几何意义，画出图形，利用平行四边形解决．(1)【解析】设D (x ，y )，类比向量的运算知A B →＝D C →，所以有复数－i －(1＋3i)＝2＋i －(x ＋y i)，得x ＝3，y ＝5，所以D 对应的复数为3＋5i.【答案】3＋5i(2)解：设复数z 1，z 2，z 1＋z 2在复平面上对应的点分别为Z 1，Z 2，Z ，由|z 1|＝|z 2|＝1知，以OZ 1，OZ 2为邻边的平行四边形是菱形，在△OZ 1Z 中，由余弦定理，得cos ∠OZ 1Z ＝|z 1|2＋|z 2|2－|z 1＋z 2|22|z 1||z 2|＝－12，所以∠OZ 1Z ＝120°，所以∠Z 1OZ 2＝60°， 因此△OZ 1Z 2是正三角形， 所以|z 1－z 2|＝|Z 2Z 1|＝1．利用复数加减运算的几何意义解题的技巧及常见结论1．技巧(1)形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理． (2)数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中． 2．常见结论在复平面内，z 1，z 2对应的点分别为A ，B ，z 1＋z 2对应的点为C ，O 为坐标原点，则四边形OACB ：(1)为平行四边形；(2)若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则四边形OACB 为矩形；(3)若|z 1|＝|z 2|，则四边形OACB 为菱形；(4)若|z 1|＝|z 2|且|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则四边形OACB 为正方形．类型3复数加减法的几何意义的应用[探究问题]1．在实数范围内a －b ＞0⇔a ＞b 恒成立，在复数范围内是否有z 1－z 2＞0⇒z 1＞z 2恒成立呢？提示：若z 1，z 2∈R ，则z 1－z 2＞0⇒z 1＞z 2成立．否则z 1－z 2＞0⇒z 1＞z 2.如果z 1＝1＋i ，z 2＝i ，虽然z 1－z 2＝1＞0，但不能说1＋i 大于i. 2．复数|z 1－z 2|的几何意义是什么？提示：复数|z 1－z 2|表示复数z 1，z 2对应两点Z 1与Z 2间的距离．【例3】 复平面内点A ，B ，C 对应的复数分别为i,1,4＋2i ，由A →B →C →D 按逆时针顺序作ABCD ，求|BD →|.[思路探究] 首先由A ，C 两点坐标求解出AC 的中点坐标，然后再由点B 的坐标求解出点D 的坐标．解： 如图，设D (x ，y )，F 为ABCD 的对角线的交点，则点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫2，32， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝4，y ＋0＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3.所以点D 对应的复数为z ＝3＋3i ，所以BD →＝OD →－OB →＝3＋3i －1＝2＋3i ，所以|BD →|＝13. 规律方法1．解决此类问题的关键是由题意正确地画出图形，然后根据三角形法则或平行四边形法则借助复数相等即可求解．2．复数的几何意义包括三个方面：复数的表示(点和向量)、复数的模的几何意义及复数运算的几何意义．复数的几何意义充分体现了数形结合这一重要的数学思想方法，即通过几何图形来研究代数问题．跟踪训练2．已知z ∈C ，且|z ＋3－4i|＝1，求|z |的最大值与最小值．解： 由于|z ＋3－4i|＝|z －(－3＋4i)|＝1，所以在复平面上，复数z 对应的点Z 与复数－3＋4i 对应的点C 之间的距离等于1，故复数z 对应的点Z 的轨迹是以C (－3,4)为圆心，半径等于1的圆．而|z |表示复数z 对应的点Z 到原点O 的距离，又|OC |＝5，所以点Z 到原点O 的最大距离为5＋1＝6，最小距离为5－1＝4.即|z |最大值＝6，|z |最小值＝4. 当堂检测1．设复数z 满足|z －i|＝1，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则( )A ．(x ＋1)2＋y 2＝1B ．(x －1)2＋y 2＝1C ．x 2＋(y －1)2＝1D ．x 2＋(y ＋1)2＝1【答案】C2．设复数z ＝a ＋b i 对应的点在虚轴右侧，则( )A ．a >0，b >0B ．a >0，b <0C ．b >0，a ∈RD ．a >0，b ∈R 【解析】复数对应的点在虚轴右侧，则该复数的实部大于零，虚部可为任意实数． 【答案】D3．已知|z |＝3，且z ＋3i 是纯虚数，则z ＝________.【解析】设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，∴x 2＋y 2＝3①，且z ＋3i ＝x ＋y i ＋3i ＝x ＋(y ＋3)i 是纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＋3≠0，由①可得y ＝3.∴z ＝3i.【答案】3i4．若|z －2|＝|z ＋2|，则|z －1|的最小值是________ .【解析】由|z －2|＝|z ＋2|，知z 对应点的轨迹是到(2,0)与到点(－2,0)距离相等的点即虚轴，|z －1|表示z 对应的点到点(1,0)的距离，∴|z －1|最小值＝1．【答案】15．集合M ＝{z ||z －1|≤1，z ∈C }，N ＝{z ||z －1－i|＝|z －2|，z ∈C }，集合P ＝M ∩N .(1)指出集合P 在复平面内所表示的图形； (2)求集合P 中复数模的最大值和最小值．解：(1)由|z －1|≤1可知，集合M 在复平面内所对应的点集是以点E(1,0)为圆心，以1为半径的圆的内部及边界；由|z －1－i|＝|z －2|可知，集合N 在复平面内所对应的点集是以点(1,1)和(2,0)为端点的线段的垂直平分线l ，因此，集合P 在复平面内所表示的图形是圆面截直线l 所得的一条线段AB ，如图．(2)由(1)知，圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0， 直线l 的方程为y ＝x －1．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x ＝0，y ＝x －1，得A ⎝⎛⎭⎪⎫2＋22，22，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－22，－22. 所以|OA |＝2＋2，|OB |＝2－ 2.因为点O到直线l的距离为22，且过点O向l作垂线，垂足在线段B E上，22<2－2，所以集合P中复数模的最大值为2＋2，最小值为2 2.。

§2 复数的四则运算 2．1 复数的加法与减法 2．2 复数的乘法与除法(1)1．复数的加法与减法运算法则 (a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； (a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ． 复数的加法满足交换律、结合律，即对任意的复数z 1、z 2、z 3∈C ，都有z 1＋z 2＝z 2＋z 1(交换律)，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)(结合律)．(1)类比平面向量加、减运算理解复数的加法与减法的运算．(2)类比平面向量加、减运算的几何意义可得出复数加、减运算的几何意义． 2．复数的乘法设a ＋b i 与c ＋d i 分别是任意两个复数，(1)定义：(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ． (2)运算律： 交换律：z 1·z 2＝z 2·z 1． 结合律：(z 1·z 2)·z 3＝z 1·(z 2·z 3)． 分配律：z 1(z 2＋z 3)＝z 1z 2＋z 1z 3． 3．共轭复数(1)定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这样的两个复数叫作互为共轭复数．复数z 的共轭复数用z －__表示，即若z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i ．(2)性质：z ·z －＝|z |2＝|z －|2．判断下列说法是否正确．(在题后标注“√”或“×”) (1)两个共轭复数的和与积是实数．( )(2)复数的减法不满足结合律，即(z 1－z 2)－z 3＝z 1－(z 2＋z 3)可能不成立．( )(3)若|z ＋1|＝1，则复数z 对应的点的轨迹是以(1，0)为圆心，以1为半径的圆．( ) (4)复数加减乘的混合运算法则是先乘，后加减．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√ (1＋i)(2＋i)＝( ) A ．1－i B ．1＋3i C ．3＋i D ．3＋3i 解析：选B.依题意得(1＋i)(2＋i)＝2＋i 2＋3i ＝1＋3i ，选B. 设f (x )＝|z |，z 1＝3＋4i ，z 2＝－2－i ，则f (z 1－z 2)＝( )A.10 B ．5 5 C. 2D ．5 2解析：选D.因为z 1－z 2＝5＋5i ， 所以f (z 1－z 2)＝f (5＋5i)＝|5＋5i|＝5 2.若复数z 满足z ＝i(2－z )(i 是虚数单位)，则z ＝________． 解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则a ＋b i ＝i(2－a －b i)＝b ＋(2－a )i ，由复数相等的定义，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ，b ＝2－a .所以a ＝b ＝1，即z ＝1＋i. 答案：1＋i1．对复数加减法的理解(1)把复数的代数形式看成关于“i”的多项式，则复数的加法、减法运算，类似于多项式的加法、减法运算，只需要“合并同类项”就可以了．(2)复数的加减法中规定，两复数相加减，是实部与实部相加减，虚部与虚部相加减，复数的加减法可推广到多个复数相加减的情形．(3)两个复数的和(差)是复数，但两个虚数的和(差)不一定是虚数．例如，(3－2i)＋2i ＝3.2．对复数乘法的理解(1)复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i 2换成－1，再把实部、虚部分别合并．(2)两个复数的积仍然是一个复数，可推广到任意多个复数的积仍然是一个复数．复数的加、减法运算计算：(1)(－2＋3i)＋(5－i)； (2)(－1＋2i)＋(1＋2i)；(3)(a ＋b i)－(2a －3b i)－3i(a ，b ∈R )．【解】 (1)(－2＋3i)＋(5－i)＝(－2＋5)＋(3－1)i ＝3＋2i. (2)(－1＋2i)＋(1＋2i)＝(－1＋1)＋(2＋2)i ＝22i. (3)(a ＋b i)－(2a －3b i)－3i ＝(a －2a )＋(b ＋3b －3)i ＝－a ＋(4b －3)i.解决复数加减运算的思路两个复数相加(减)，就是把两个复数的实部相加(减)，虚部相加(减)．复数的减法是加法的逆运算，两个复数相减，也可以看成是加上这个复数的相反数．当多个复数相加(减)时，可将这些复数的所有实部相加(减)，所有虚部相加(减)．1.(1)(6－3i)－(3i ＋1)＋(2－2i)的结果为( )A ．5－3iB ．3＋5iC ．7－8iD ．7－2i(2)复数z ＝(3＋2i)－7i ，其中i 是虚数单位，则复数z 的虚部是________．(3)已知z 1＝(3x ＋y )＋(y －4x )i ，z 2＝(4y －2x )－(5x ＋3y )i(x ，y ∈R )，若z 1－z 2＝13－2i ，求z 1，z 2.解：(1)选C.(6－3i)－(3i ＋1)＋(2－2i) ＝(6－1)＋(－3－3)i ＋(2－2i)＝5＋(－6)i ＋(2－2i)＝(5＋2)＋(－6－2)i ＝7－8i.故选C.(2)z ＝(3＋2i)－7i ＝3－5i ，虚部是－5.故填－5. (3)z 1－z 2＝(3x ＋y )＋(y －4x )i －[(4y －2x )－(5x ＋3y )i] ＝[(3x ＋y )－(4y －2x )]＋[(y －4x )＋(5x ＋3y )]i ＝(5x －3y )＋(x ＋4y )i. 又因为z 1－z 2＝13－2i ， 所以(5x －3y )＋(x ＋4y )i ＝13－2i.所以⎩⎪⎨⎪⎧5x －3y ＝13，x ＋4y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1.所以z 1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i ＝5－9i ， z 2＝[4×(－1)－2×2]－[5×2＋3×(－1)]i ＝－8－7i.复数的乘法运算计算：(1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)； (2)⎝⎛⎭⎫－12＋32i ⎝⎛⎭⎫32＋12i (1＋i)； (3)(2＋i)(1＋2i)(2－i)－5i. 【解】 (1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i) ＝1－i 2＋(－1＋i) ＝2－1＋i ＝1＋i.(2)⎝⎛⎭⎫－12＋32i ⎝⎛⎭⎫32＋12i (1＋i) ＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－34－34＋⎝⎛⎭⎫34－14i (1＋i) ＝⎝⎛⎭⎫－32＋12i (1＋i) ＝⎝⎛⎭⎫－32－12＋⎝⎛⎭⎫12－32i ＝－1＋32＋1－32i.(3)(2＋i)(1＋2i)(2－i)－5i ＝(2＋i)(2－i)(1＋2i)－5i ＝(4－i 2)(1＋2i)－5i＝5(1＋2i)－5i ＝5＋10i －5i ＝5＋5i.(1)三个或三个以上的复数相乘，可按从左向右的顺序运算，或利用结合律运算．混合运算的顺序与实数的运算顺序一样．(2)平方差公式、完全平方公式等在复数范围内仍然成立．一些常见的结论要熟记：i 2＝－1，(1±i)2＝±2i.2.(1)下列各式的运算结果为纯虚数的是( )A ．i(1＋i)2B ．i 2(1－i)C ．(1＋i)2D ．i(1＋i) (2)设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|＝( ) A ．1B ． 2C. 3 D ．2解析：(1)选C.i(1＋i)2＝i·2i ＝－2，不是纯虚数，排除A ；i 2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i ，不是纯虚数，排除B ；(1＋i)2＝2i ，2i 是纯虚数．故选C.(2)选B.因为(1＋i)x ＝x ＋x i ＝1＋y i ，所以x ＝y ＝1，|x ＋y i|＝|1＋i|＝ 12＋12＝2，选B.共轭复数(1)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若a －i 与2＋b i 互为共轭复数，则(a ＋b i)2＝( ) A ．5－4i B ．5＋4i C ．3－4i D ．3＋4i (2)把复数z 的共轭复数记作z －，已知(1＋2i) z －＝4＋3i ，求z . 【解】 (1)选D.因为a －i 与2＋b i 互为共轭复数， 所以a ＝2，b ＝1，所以(a ＋b i)2＝(2＋i)2＝3＋4i. (2)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则z －＝a －b i ，由已知得：(1＋2i)(a －b i)＝(a ＋2b )＋(2a －b )i ＝4＋3i ，由复数相等的定义知，⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝4，2a －b ＝3.得a ＝2，b ＝1， 所以z ＝2＋i.共轭复数性质的巧用(1)z ·z －＝|z |2＝|z －|2是共轭复数的常用性质；(2)实数的共轭复数是它本身，即z ∈R ⇔z ＝z －，利用此性质可以证明一个复数是实数； (3)若z ≠0且z ＋z －＝0，则z 为纯虚数，利用此性质可证明一个复数是纯虚数．3.(1)设复数z 满足z ＋i ＝3－i ，则z －＝( )A ．－1＋2iB ．1－2iC ．3＋2iD ．3－2i(2)已知z ∈C ，z －为z 的共轭复数，若z ·z －－3i z －＝1＋3i ，求z .解：(1)选C.易知z ＝3－2i ，所以z －＝3＋2i. (2)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则z －＝a －b i(a ，b ∈R )，由题意得(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ， 即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－3b ＝1，－3a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.所以z ＝－1或z ＝－1＋3i.易错警示把复数运算混淆为实数运算致误已知M ＝{z ||z ＋1|＝1}，N ＝{z ||z ＋i|＝|z －i|}，则M ∩N ＝________． 【解析】 利用复数的几何意义解决问题．在复平面内，|z ＋1|＝1的几何意义是以点(－1，0)为圆心，以1为半径的圆． |z ＋i|＝|z －i|的几何意义是到点A (0，1)和点B (0，－1)距离相等的点的集合，是线段AB 的垂直平分线，也就是x 轴．M ∩N 的几何意义是x 轴与圆的公共点对应的复数． 故z ＝0或z ＝－2. 所以M ∩N ＝{0，－2}． 【答案】 {0，－2}本题若混淆复数运算与代数运算的不同，则会错误地将集合M 和N 化简为M ＝{z |z ＋1＝±1}，N ＝{z |z ＋i ＝±(z －i)}从而造成解题错误.在复数运算中，若z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则|z |＝a 2＋b 2，要注意与实数运算中的绝对值运算的区别.1．复数(1＋i)2(2＋3i)的值为( ) A ．6－4i B ．－6－4i C ．6＋4iD ．－6＋4i解析：选D.(1＋i)2(2＋3i)＝2i(2＋3i)＝4i －6＝－6＋4i. 2．已知(x ＋i)(1－i)＝y ，则( ) A ．x ＝－1，y ＝1 B ．x ＝－1，y ＝2 C ．x ＝1，y ＝1 D ．x ＝1，y ＝2解析：选D.由x ，y 为实数，且(x ＋i)(1－i)＝y ，得x ＋1＋(1－x )i ＝y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，1－x ＝0.所以x ＝1，y ＝2.3．向量OA →对应的复数为－1＋i ，OB →对应的复数为2＋3i ，BC →对应的复数为－2＋i ，则向量AC →对应的复数为________．解析：因为BC →＝OC →－OB →，所以OC →＝BC →＋OB →，OC →对应的复数为(－2＋i)＋(2＋3i)＝4i ， 又AC →＝OC →－OA →，所以AC →对应的复数为4i －(－1＋i)＝1＋3i. 答案：1＋3i4．已知x ，y ∈R ，x 2＋2x ＋(2y ＋x )i 和3x －(y ＋1)i 互为共轭复数，求复数z ＝x ＋y i 和z －.解：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＝3x ，2y ＋x ＝y ＋1，解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0.所以z ＝i 或z ＝1，z －＝－i 或z －＝1.[A 基础达标]1．复平面内表示复数z ＝i(－2＋i)的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选C.z ＝i(－2＋i)＝－2i ＋i 2＝－1－2i ，故复平面内表示复数z ＝i(－2＋i)的点位于第三象限，故选C.2．复数z 1＝a ＋4i(a ∈R )，z 2＝－3＋b i(b ∈R )，若它们的和为实数，差为纯虚数，则( ) A ．a ＝－3，b ＝－4 B ．a ＝－3，b ＝4 C ．a ＝3，b ＝－4 D ．a ＝3，b ＝4解析：选A.由题意，可知z 1＋z 2＝(a －3)＋(b ＋4)i 是实数，z 1－z 2＝(a ＋3)＋(4－b )i 是纯虚数，故⎩⎪⎨⎪⎧b ＋4＝0a ＋3＝04－b ≠0，解得a ＝－3，b ＝－4，故选A.3．若复数z 满足z ＋(2－3i)＝－1＋2i ，则z ＋2－5i 等于( ) A ．－1 B ．－1＋10i C ．1－6i D ．1－10i 解析：选A.由z ＋(2－3i)＝－1＋2i ， 得z ＝(－1＋2i)－(2－3i)＝－3＋5i ，于是z ＋2－5i ＝(－3＋5i)＋(2－5i)＝－1，故选A. 4．若z ＋z －＝6，z ·z －＝10，则z ＝( ) A ．1±3i B ．3±i C ．3＋iD ．3－i解析：选B.设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝6，a 2＋b 2＝10，解得a ＝3，b ＝±1，则z ＝3±i.5．设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2等于( ) A ．－5 B ．5 C ．－4＋i D ．－4－i 解析：选A.z 1＝2＋i ，由题意，z 2＝－2＋i ， 所以z 1·z 2＝(2＋i)(－2＋i)＝i 2－4＝－5.故选A.6．设z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i(x ，y ∈R )，且z 1＋z 2＝5－6i ，则z 1－z 2＝________． 解析：因为z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i ，z 1＋z 2＝5－6i ， 所以(3＋x )＋(2－y )i ＝5－6i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3＋x ＝5，2－y ＝－6，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝8.所以z 1－z 2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i.答案：－1＋10i7．已知|z |＝3，且z ＋3i 是纯虚数，则z ＝________． 解析：令z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则a 2＋b 2＝9.① 又z ＋3i ＝a ＋(3＋b )i 是纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＋3≠0.②由①②得a ＝0，b ＝3， 所以z ＝3i. 答案：3i8．设z 2＝z 1－i z －1(其中z －1表示z 1的共轭复数)，已知z 2的实部是－1，则z 2的虚部为________．解析：设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则z 2＝z 1－i z －1＝a ＋b i －i(a －b i) ＝(a －b )－(a －b )i.因为z 2的实部是－1，即a －b ＝－1，所以z 2的虚部为1. 答案：1 9．已知z 1＝32a ＋(a ＋1)i ，z 2＝－33b ＋(b ＋2)i ，(a ，b ∈R )，且z 1－z 2＝43，求复数z ＝a ＋b i.解：z 1－z 2＝⎣⎡⎦⎤32a ＋（a ＋1）i －[－33b ＋(b ＋2)i]＝⎝⎛⎭⎫32a ＋33b ＋(a －b －1)i ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧32a ＋33b ＝43，a －b －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.所以z ＝2＋i.10．已知复数3z －z －对应的点落在射线y ＝－x (x <0)上，|z ＋1|＝2，求复数z . 解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则3z －z －＝3a ＋3b i －a ＋b i ＝2a ＋4b i. 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧4b 2a ＝－1，b >0.①又由|z ＋1|＝2，得(a ＋1)2＋b 2＝2.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1，所以z ＝－2＋i.[B 能力提升]11．若z ∈C 且|z ＋2－2i|＝1，则|z －1－2i|的最小值是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 解析：选A.设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＋2－2i ＝(a ＋2)＋(b －2)i ， 所以|z ＋2－2i|＝（a ＋2）2＋（b －2）2＝1，即(a ＋2)2＋(b －2)2＝1，表示点(a ，b )的轨迹为以(－2，2)为圆心，以1为半径的圆．因为z －1－2i ＝(a －1)＋(b －2)i ，所以|z －1－2i|＝（a －1）2＋（b －2）2，表示点(a ，b )与点(1，2)间的距离．点(1，2)与(－2，2)间的距离d ＝|1－(－2)|＝3，所以|z －1－2i|min ＝3－1＝2.故A 正确．12．已知－1＋i 是关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0的一个根，则实数p ，q 的值为________． 解析：由题意知，(－1＋i)2＋p (－1＋i)＋q ＝0， 得(－p ＋q )＋(p －2)i ＝0， 根据复数相等的充要条件得，⎩⎪⎨⎪⎧－p ＋q ＝0，p －2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝2，q ＝2.答案：2，213．实数x ，y ，θ有以下关系：x ＋y i ＝3＋5cos θ＋i(－4＋5sin θ)，求x 2＋y 2的最大值． 解：由x ＋y i ＝3＋5cos θ＋i(－4＋5sin θ)得x ＝3＋5cos θ，y ＝－4＋5sin θ.所以x 2＋y 2＝(3＋5cos θ)2＋(－4＋5sin θ)2＝50－40sin θ＋30cos θ＝50－50sin(θ＋φ)，所以sin(θ＋φ)＝－1时，(x 2＋y 2)max ＝100.14．(选做题)已知复数z 满足z ＝(－1＋3i)·(1－i)－4.(1)求复数z 的共轭复数；(2)若ω＝z ＋a i ，且复数ω对应向量的模不大于复数z 所对应向量的模，求实数a 的取值范围．解：(1)z ＝－1＋i ＋3i ＋3－4＝－2＋4i ，所以复数z 的共轭复数为－2－4i.(2)ω＝－2＋(4＋a )i ，复数ω对应向量为(－2，4＋a )， 其模为4＋（4＋a ）2＝20＋8a ＋a 2.又复数z 所对应向量为(－2，4)，其模为2 5.由复数ω对应向量的模不大于复数z 所对应向量的模得，20＋8a ＋a 2≤20，a 2＋8a ≤0，a (a ＋8)≤0，所以，实数a 的取值范围是－8≤a ≤0.。