本章总结知识结构专题总结专题一复数的概念1.虚数单位i 的平方等于-1,实数可以与它进行四则运算,进行四则运算时,原有的加、乘运算律仍然成立.2.形如a+bi(a 、b ∈R )的数,叫做复数.全体复数所成的集合叫做复数集,一般用字母C 表示.3.复数表示成a+bi 的形式叫做复数的代数形式.4.对于复数a+bi,当且仅当b=0时,它是实数a;当且仅当a=b=0时,它是实数0;当b≠0时,叫做虚数;当a=0且b≠0时,叫做纯虚数;a 与b 分别叫做复数a+bi 的实部与虚部. 【例1】 (2005天津高考，理2) 若复数iia 213++(a ∈R ,i 为虚数单位)是纯虚数,则实数a 的值为( )A.-2B.4C.-6D.6 思路分析:因为iia 213++是纯虚数,所以,只要使其实部为零,虚部不为零即可,因此,要先化简i i a 213++,对其进行分母实数化,即i i a 213++=i aa i i i i a 52356)21)(21()21)(3(-++=-+-+,令其实部56+a =0且虚部523a-≠0,得a=-6. 答案:C【例2】 (2006四川高考，理2) 复数(1-i)3的虚部为( )A.3B.-3C.2D.-2 思路分析:将复数(1-i)3展开,整理得1-3i+3i 2-i 3=-2-2i,其虚部为-2.答案:D【例3】 (2005福建高考，理1) 复数z=i-11的共轭复数是( ) A.21+21i B.2121-i C.1-i D.1+i 思路分析:可先求共轭复数,再化简;也可先化简,再求共轭复数.即i i i i z 21211111)11(-=+=-=-=;或者是,因为z=i -11=21)1)(1(1ii i i +=+-+,21)21(i i z -=+==2121-i.答案:B专题二复数的四则运算1.两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减),即(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i.2.设z 1=a+bi,z 2=c+di 是任意两个复数,那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i;它们的商(a+bi)÷(c+di)=2222dc adbc d c bd ac +-+++i(c+di≠0). 3.在进行复数除法运算时,通常先把(a+bi)÷(c+di)写成dic bia ++的形式,再把分子与分母都乘分母的共轭复数(c-di).【例4】 (2007海南、宁夏高考，文15) i 是虚数单位,i+2i 2+3i 3+…+8i 8=______________.(用a+bi 的形式表示,a,b ∈R ) 思路分析:对任何n ∈N *，都有i 4n +1=i,i 4n +2=-1,i 4n +3=-i,i 4n =1.所以，i+2i 2+3i 3+…+8i 8=i-2-3i+4+5i-6-7i+8=4-4i.答案：4-4i【例5】 （2006广东高考，理10） 对于任意的两个实数对(a,b)和(c,d),规定(a,b)=(c,d)当且仅当a=c,b=d;运算“⊗”为：(a,b)⊗(c,d)=(ac-bd,bc+ad),运算“⊕”为:(a,b)⊕(c,d)=(a+c,b+d),设p,q ∈R ,若(1,2)⊗(p,q)=(5,0)则(1,2)⊕(p,q)=( )A.(4,0)B.(2,0)C.(0,2)D.(0,-4)思路分析:这是一个新定义型的信息迁移题,通过观察,我们不难发现,这个“⊗”运算,其实就是复数的乘法运算,即(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i,它与(a,b)⊗(c,d)=(ac-bd,bc+ad)完全对应.因此,在解题时,就将其作为复数乘法运算来处理.由(1,2)⊗(p,q)=(p-2q,2p+q)=(5,0),得⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧=+=-.2,1,02,52q p q p p p 所以(1,2)⊕(p,q)=(1,2)⊕(1,-2)=(2,0). 答案:B【例6】 (2005山东高考，理)22)1(1)1(1i ii i -+++-=( ) A.i B.-I C.1 D.-1 思路分析:本题要充分利用速算式(1±i)2=±2i,即i ii i i i i i i i i 2112121)1(1)1(122---=-++-=-+++-=-1. 答案:D专题三复数方程解复数方程时,可以综合利用解实数方程的相关技巧和复数的特有性质.【例7】 (2006上海高考，理5) 若复数z 同时满足z-z ＝2i,z ＝iz(i 为虚数单位),则z ＝_______________.思路分析:将z ＝iz 代入z-z ＝2i,得z-iz=2i,然后,对z 进行化简,我们观察可知,式z=ii-12中分子为2i,因此,分子分母同乘以1-i,则分母立刻可得-2i.当然也可以进行分母实数化化简.z=)1)(1()1(212i i i i i i ---=-=-1+i. 答案:-1+i【例8】 (2006上海春季高考，18) 已知复数ω满足ω-4=(3-2ω)i(i 为虚数单位),z=ω5+|ω-2|,求一个以z 为根的实系数一元二次方程. 思路分析:先将ω求出并化简,并将其代入z=ω5+|ω-2|化简,发现这一虚数如果是一个实系数的一元二次方程的根,那必定还有一个共轭复数根.然后利用韦达定理即可求得以z 为根的实系数一元二次方程. 也可设ω=a+bi(a 、b ∈R ),利用复数相等的定义,求出ω=2-i,以下和前面的思路分析内容相同. 解法1:∵ω(1+2i)=4+3i,∴ω=ii 2134++=2-i,∴z=i -25+|-i|=3+i,若实系数一元二次方程有虚根z=3+i,则必有共轭虚根z =3-i,∵z+z =6,z·z =10,∴所求的一个一元二次方程可以是x 2-6x+10=0. 解法2:设ω=a+bi(a 、b ∈R ).则a+bi-4=3i-2ai+2b,得⎩⎨⎧-==-,23,24a b b a ∴⎩⎨⎧-==,1,2b a ∴ω=2-i,以下同解法一.【例9】 (2005高考全国Ⅲ，理13) 已知复数z 0=3+2i,复数z 满足z·z 0=3z+z 0,则z=_________________. 思路分析:可将z·z 0=3z+z 0中的z 用z 0表示出来,并将z 0=3+2i 代入,再进行化简,即得,z=i i i z z 231223300-=+=-. 答案:1-23i 专题四复数的几何意义复数的几何意义,有两个方面:一是用点来表示复数,复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的,即复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b),这是复数的一个几何意义.二是用向量来表示复数,重点在于复数对应点的轨迹问题. 【例10】 (2005辽宁高考，理1文1) 复数z=ii++-11-1.在复平面内所对应的点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 思路分析:将复数z=ii++-11-1化简为a+bi(a,b ∈R)的形式,从而可判断其对应点的位置.z=i i ++-11-1=)1)(1()1)(1(i i i i -+-+--1=22i -1=-1+i,可知其在复平面内所对应的点为（-1，1）,应为第二象限.答案:B【例11】 (2005浙江高考，理4) 在复平面内,复数ii+1+(1+3i)2对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 思路分析:将复数ii+1+(1+3i)2化简为a+bi(a,b ∈R )的形式,从而可判断其对应点的位置. i i +1+(1+3i)2=)1)(1()1(i i i i -+-+1+23i-3=23-+(23+21)i,显然,其所对应点在第二象限.答案:B本章测试（时间：120分钟 满分：150分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题6分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）1.复数z 是实数的充分而不必要条件是( )A.|z|=zB.z=zC.z 2是实数D.z+z 是实数 答案:A思路分析：注意题目是求充分不必要条件而不是充要条件,即当满足条件时z 为实数,但复数z 为实数时该条件不一定成立. 当z ＝i 时,z 2=-1,故C 项不成立.当z 为虚数且非纯虚数时,z+z 是实数,故D 项不成立.若z=z ,设z=a ＋bi ，则z ＝a-bi,则复数相等得b=0,∴复数z 为实数;反之,若复数z 为实数,则必有z=z ，故B 项是充要条件.当|z|=z,设z=a ＋bi ，由复数相等得b=0,∴复数z 为实数;反之,若复数z 为实数且a<0时，得不出|z|=z.故正确答案是A 项.2.设复数z 满足关系式z ＋|z|＝2+i,那么z 等于( ) A.43-＋i B.43-i C.43--i D.43+i答案:D思路分析：设出复数由复数相等解方程组即可.设z=x+yi(x,y ∈R ),则x+yi ＋22y x +＝2＋i,∴⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧==++.1,43,1,222y x y y x x 解得∴z ＝43+i,∴应选D 项. 3.若z 2＋z ＋1＝０,则z 2００2＋z 2００３＋z 2００５＋z 2００６的值是（ ）A.2B.-2C.21-+23i D.21-±23i 答案:B思路分析：由z 2＋z ＋1＝０,不难联系到立方差公式,从而将z 得出.将z 2＋z ＋1＝０两边乘以(z-1)得z ３-1＝０,即z ３＝1(z≠1).则z ４＝z,z 2００2＝(z ３)６６７·z ＝z,于是原式＝z 2００2(1＋z ＋z ３＋z ４)＝z(2＋2z)＝2(z ＋z 2)＝-2.故选B 项. 4.复数z,a,x 满足x=azza --1,且|z|=1,则|x|等于（ ） A.0 B.1 C.|a| D.21 答案:B思路分析：由|z|=1得z z =1,将分母中的1代换,便可与分子约分,否则问题很复杂. 由|z|=1得|z|2=1,即z z =1,∴x=za z z z a az z z z a 1)(-=--=--=-z,∴|x|=|-z|=1,故答案选B 项.5.以复平面内的点(0,-1)为圆心,1为半径的圆的方程是（ ） A.|z-1|=1 B.|z+1|=1 C.|z-i|=1 D.|z+i|=1 答案:D思路分析：结合复数减法的几何意义来解.设复数为z=x+yi(x,y ∈R ),则|z+i|=22)1(++y x ,∴|z+i|=1表示以(0,-1)为圆心,1为半径的圆.故答案选D 项.6.若复数z 满足|z ＋３＋４i|≤６,则|z|的最小值和最大值分别为（ ）A.1和11B.0和11C.5和6D.0和1 答案:B思路分析：由复数减法的几何意义知，满足条件的点的集合为圆面,|z|即圆面上的点对应复数的模,利用数形结合及解决圆上点的最值办法转化为到圆心的距离减加半径即可. ∵方程|z ＋３＋４i|≤６是以(-３,―４)为圆心,６为半径的圆及其内部, ∴原点满足方程,故|z|的最小值为０,而|z|的最大值为６＋|３＋４i|＝６＋５＝11.故答案选B 项. 7.设f(n)=(i i -+11)n +(ii +-11)n(n ∈N ),则集合{x|x=f(n)}中元素个数是（ ） A.1 B.2 C.３ D.无穷多个答案:C思路分析：应先将i i -+11,i i+-11化简,再根据i 的周期性来解. 化简f(n)= i i -+11)n +(ii +-11)n(n ∈N )＝i n +(-i)n .由i 4n =1,i 4n+1=i,i 4n+2=-1,i 4n+3=-i,给n 赋值发现集合{x|x=f(n)}＝{０,-2,2},故选C 项.8.若方程x 2+x+m=0有两个虚根α、β,且|α-β|＝３,则实数m 的值为…（ ） A.25 B.25- C.2 D.-2 答案:A思路分析：实系数一元二次方程不能简单地利用韦达定理来解,应由方程的根适合方程及相关知识来解. ∵方程x 2+x+m=0为实系数一元二次方程,且有两个虚根α、β,∴α、β互为共轭复数. 设α＝a+bi,则β＝a-bi, 由|α-β|＝３,得b ＝±23.当b=23时,α＝a+23i,代入方程得(a+23i)2+(a+23i)+m=0, 即(a 2+a+m-49)＋(3a+23)i ＝０,∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-++.25,21.0233,0492m a a m a a 得出故选A 项.9.在复平面内,若复数z 满足|z ＋1|＝|1＋iz|,则z 在复平面内对应点的轨迹为（ ） A.直线 B.圆 C.椭圆 D.双曲线 答案:A思路分析：设复数z=x+yi(x,y ∈R )，求模，用几何意义来解即可.设z=x+yi(x,y ∈R),|x+1＋yi|＝22)1(y x ++,|1＋iz|＝|1＋i(x+yi)|＝22)1(x y +-,则22)1(y x ++＝22)1(x y +-.∴复数z=x+yi 对应点(x,y)的轨迹为到点(-1,０)和(０,1)距离相等的直线.故答案选A 项.10.已知|z 1|＝|z 2|＝1,|z 1-z 2|＝2,则|z 1＋z 2|＝( )A.2B.2C.3D.5答案:A 思路分析：由向量加减法的几何意义知,|z 1-z 2|是以z 1,z 2对应的向量为邻边的平行四边形的一对角线长,则|z 1＋z 2|为另一对角线长. 由向量的平行四边形法则,知∠z 1Oz 2＝９０°,∴对应的四边形为正方形.∴|z 1＋z 2|＝2.故答案选A 项.二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中横线上）11.设i yi i x -+-=+1231(x,y ∈R ),则x=_________,y=___________. 答案：53 59-思路分析：此题是复数相等的应用,将等式两边整理后列方程组求解即可. 由已知得)1)(1()1()2)(2()2(3)1)(1()1(i i i y i i i i i i x +-+++-+=-+-, 整理得:i y y i x x )253(25622+++=-. ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-+=.59,53,2532,2562y x y x y x 解得∴答案为x=53,y=59-. 12.设ω=21-+23i,A={x|x=ωk +ω-k ,k ∈Z },则集合A 中的元素有__________-个. 答案：2思路分析：此题是ω3=1,ω2=ω的周期性的应用.∵ω3=1,设n ∈Z ,∴k=3n 时x=2;k=3n+1时x=-1;k=3n+2时x=-1,故有2个元素. 13.(2007上海高考，理9文10) 对于非零实数a,b,以下四个命题都成立: ①a+a1≠0;②(a+b)2=a 2+2ab+b 2;③若|a|=|b|,则a=±b;④若a 2=ab,则a=b. 那么,对于非零复数a,b,仍然成立的命题的所有序号是_____________. 答案：②④思路分析：熟练掌握复数代数形式的四则运算是关键.我们也可以利用特例法进行一一验证.①不成立，例如，a=i,则a+a 1=i+i1=0;③不成立，例如，a=i,b=1,则|a|=|b|,而a≠±b. 14.(2007重庆高考，理11) 复数322ii+的虚部为_____________. 答案：54思路分析：化简542)2)(2()2(222223ii i i i i i i i +-=+-+=-=+，所以其虚部为54. 15.(2007海南、宁夏高考，理15) i 是虚数单位,ii43105++-=___________.(用a+bi 的形式表示,a,b ∈R ) 答案：25)43)(105()43)(43()43)(105(43105i i i i i i i i -+-=-+-+-=++-=1+2i. 思路分析：1+2i三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16.（本小题满分10分）已知复数z=3232++-x x x +(x 2+2x-3)i ，求实数x,使:(1)z 是实数;(2)z 是虚数;(3)z 是纯虚数.解：解方程3232++-x x x =0得x=1或x=2;解x 2+2x-3=0得x=-3或x=1.答：x=1时z 是实数；x≠-3且x≠1时z 是虚数；x=2时z 是纯虚数.思路分析：复数z=a+bi 表示实数的条件是b=0,表示虚数的条件是b≠0,表示纯虚数的条件是a=0且b≠0.17.（本小题满分12分）已知复数z 的实部和虚部分别是a 和1,z 是z 的共轭复数,且z ·(1-2i)∈R ,求z. 解：∵z=a ＋i,z =a-i,z ·(1-2i)=(a-i)(1-2i)=(a-2)-(1+2a)i. 又z ·(1-2i)∈R ,∴1＋2a=0,a=21-,∴z=21-＋i. 思路分析：依据复数的乘法法则化简后再由复数表示实数的条件求解.18.（本小题满分12分）设方程(1+i)x 2+(1+5i)x-(2-6i)=0有实根，求这个实数根. 解：方程整理为(x 2+x-2)+i(x 2+5x+6)=0.设方程的实根为x 0，则⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+)2(,065)1(,02020020x x x x解方程组得⎩⎨⎧--=-=.23,2100或或x x x同时满足①②的值为x 0=-2.∴所求的根为x 0=-2.思路分析：我们将方程的实根x 0代入方程，由复数相等的充要条件可得方程组，求解即可. 19.（本小题满分12分）已知x,y ∈R ,x 2+2x+(2y+x)i 和3x-(y+1）i 是共轭复数，求复数z=x+yi 和z .解：由已知得⎩⎨⎧+=+=+,12,322y x y x x x解方程组得⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==.0,1,1,0y x y x 或 ∴z=i 或z=1，z =-i 或z =1.思路分析：两个复数a+bi 与c+di 共轭，等价于a=c 且b=d.由此可以得到关于x 、y 的方程组.20.（本小题满分12分）解方程2102221222++=+-++x x x x x .解：原方程可化为2222223)1(1)1(2)2(++=+-++x x ,设z 1=2x+2i,z 2=1-x+i, z 1+z 2=1+x+3i, ∴原方程可化为|z 1|+|z 2|=|z 1+z 2|,显然，仅当1OZ 与2OZ 共线且同向时上式才成立，从而xx -=1122, ∴x=21时等号成立，即x=21是方程的根. 思路分析：无理方程一般解法是平方去根号转化为有理方程再求解.但平方后次数高，项数多，求解更加困难.由于本题根号里面可配方，类似复数的模，所以，可转化为复数问题来解决.21.（本小题满分12分）实系数一元二次方程ax 2+bx+c=0的两根之比为p ，求证： （1）当11+-p p 为实数时，原方程有实根； （2）当11+-p p 为纯虚数时，原方程有虚根. 证明：设α与β是实系数一元二次方程ax 2+bx+c=0的两根， 且βα=p,则α+β=a b -α·β=a c ,βαβαβαβα+-=+-=+-1111p p , （2222222224)()(4)()(4)()()()11(b ac b aa c ab p p -=---=+-+=+-=+-βααββαβαβα.① （1）当11+-p p 为实数时，(11+-p p )2≥0,则由①可得b 2-4ac≥0，故原方程有实根.（2）当11+-p p 为纯虚数时，（11+-p p )2<0，则由①可得b 2-4ac<0，故原方程有虚根. 思路分析：判定实系数一元二次方程根的实、虚，只要判定其判别式b 2-4ac 的符号就可以了.由题意，应在b 2-4ac 与11+-p p 之间建立起联系. 教材习题点拨 复习题五(P 112)A 组1.解:(1)（-4x+1)+(y+2)i=0⎪⎩⎪⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧=+=+-⇒.2,4102,014y x y x (2)（x-2y)-(3x+y)i=3-6i ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧-=+-=--⇒.73,156)3(,32y y x y x y x 思路分析:利用复数为0或复数相等的条件先列出方程组,然后再求出未知量.2.答案:i 11=i 4×2+3=i 3=-i,i 25=i 4×6+1=i,i 26=i 4×6+2=i 2=-1,i 36=i 4×9=1,i 70=i 4×17+2=i 2=-1,i 101=i 4×25+1=i,i 355=i 4×88+3=i 3=-i,i 400=i 4×100=1.思路分析:利用公式i 4n =1,i 4n +1=i,i 4n +2=-1,i 4n +3=-i.3.解:(1)（3+4i ）+（-5-3i ）=（3-5）+（4i-3i ）=-2+i ； (2)（1-5i ）+（2+3i ）=（1+2）+（-5i+3i ）=3-2i ； (3)（-2+3i ）+（6-5i ）=（-2+6）+（3i-5i ）=4-2i ； (4)（7-i ）-（2i-3）=（7+3）+（-i-2i ）=10-3i.4.解:(1)(-8-7i)(-3i)=24i-21;(2)(4-3i)(-5-4i)=-20-16i+15i-12=-32-i; (3)(21-+23i)(1+i)= 21-21-i+23i 23-=21-23--(2123-)i; (4)(1-2i)(2+i)(3-4i)=(2+i-4i+2)(3-4i)=(4-3i)(3-4i)=-25i. 5.解:(1)(1+2i)2=1+4i-4=-3+4i;(2)(2-3i)3=(2-3i)2(2-3i)=(-5-12i)(2-3i)=-10+15i-24i-36=-46-9i; (3)(21-+23i)(21-23-i)=(21-)2-(23i)2=41+43=1;(4)ii ii ∙=1=-i;(5)222)1)(1()1(212i i i i i i i +-=+-+=-=-1+i; (6)5521024)31)(31()31)(1(311i i i i i i i i -=-=-+-+=++. 6.解:ω2-ω+1=(231i +)2-(231i +)+1=231i +--231i ++1=0. 思路分析:通过计算不难得出ω2-ω+1=0这一结果,我们可以熟记这一结论,这有利于今后的计算.B 组1.解:(1)1321331323)32)(32()32(32i i i i i i i i +=+=-+-=+； (2)5512555567)2)(2()2)(3()2)(2()2)(4(2324i i i i i i i i i i i i i i i +=-++=+---++-++=+-+-+； (3)8244)22)(22()22)(57(225722643)1(2)32(2)1(2)1)(21(132221i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i --=--+---+=+-+=+-++-=+--++-=+---=21--3i ；` (4))53)(53()53)(53()35)(35()35)(35(53533535i i i i i i i i i ii i+-++-+-++=-+--+8152281522i i +--+==21. 2.解:将原式变为15)33()(18422-+---=-+-z z z z z z z =z-3+15-z ,然后将z=2+i 代入得: z-3+15-z =2+i-3+125-+i =2+i-3+i +15=2+i-3+)1)(1()1(5i i i -+-255i -=23-23i. 思路分析:此题有两种解法,另一种解法是原式不变形,直接将z=2+i 代入也可得出结果.高效率学习决定学习成败的七个因素决定学习成败的因素可分为两大类:一类是内在因素;另一类是外部因素.内在因素归纳起来有七个方面.1.学习的动力是否强大要使学习获得成功,学习动力是第一个因素.学习活动中,有两个系统在同时进行工作,一个是认识系统,另一个是动力系统.动力系统对学习系统起着指向的作用和原动力的作用.所以,搞好学习首先要增强学习的动力.2.基础知识,基本技能是否循序作好了准备不少学习成绩优秀的同学成功的一个重要原因,就是已经学过的基础知识和基本技能掌握得比较扎实.特别是连贯性比较强的知识和技能,一定要一步一个脚印地打好基础.3.阅读、书写、计算的技巧是否已经达到自动化、半自动化的熟练程度“工欲善其事,必先利其器”.学习活动最基本的工具就是阅读技能、书写技能、计算技能,如果读、写的速度太慢,上课就会跟不上老师的讲课进度,课后复习和作业就会比别人多用时间.据有的国家对落后生的调查统计说明,这是造成部分学生学习落后的主要原因.4.好的学习方法一般说来,好的学习方法符合以下三个条件:符合认识规律;符合自己的个性特点;符合不同学习的内容和不同教师教课的特点.5.学习的才能是否强学习的才能主要指三种能力:独立获取知识的自学能力;运用知识分析和解决实际问题的能力;创造才能、发展才能比获得具体知识更重要,学习才能既是提高学习成绩的重要因素,又是通过学习要努力追求的目标.6.是否养成了良好的学习习惯学习方法经过长时期的运用,就会形成比较稳定的学习习惯.好的习惯对于获得学习上的成功极为重要,不好的习惯常常导致学习的失败.7.体力与精力是否充沛要使大脑处于积极工作的状态,必须有健壮的身体和充沛的精力.有的同学经常不吃早饭去上学,到上午第四节课已经饿得不行了,这时,听课效率就会降低.。
