第三章静电场的边值问题
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问题-02-7-1 静电场的边值问题可分为哪几类,是否均满足唯一性定理?
解答:静电场中的典型边值条件包括3类:(1)给定场域边界上的电位值,称为第一类边值条件;(2)给定场域边界上电位的法向导数值,称为第二类边界条件;(3)部分场域边界上给定电位、另一部分场域边界上给定电位的法向导数,称为混合边界条件。
上述三类边界条件与标量电位满足的泛定方程组合成相应的边值问题。
对于第一类边值问题,电位和电场强度的解均唯一;对于第二类边值问题,电场强度的解唯一,电位的解可以相差某一常数,若选定电位参考点,则电位的解也唯一;对于混合边值问题,电位和电场强度的解均唯一。
静电场的边值问题
及求解
1.ϕ的微分方程
ϕ
∇=-E E D ε=0=⨯∇E ρ=⋅∇
D ρ
=⋅∇)(E ερϕ-=∇⋅∇)(ερ
ϕϕ-=∇⋅∇+∇⋅∇εερϕ-=∇⋅∇εερ
ϕ-
=∇202=∇ϕ⎯泊松方程⎯拉普拉斯方程
ρ=0的无源空间均匀介质0=∇ε
2.边界条件
(1)第一类边界条件:已知场域边界面上各点的电位值,即给定边界上的电位(2)第二类边界条件:已知场域边界面上各点的电位法向导数值,即给定边界上的电位法向导数
(3)第三类边界条件:一部分边界上给定每一点的电位,一部分边界上给定每一点的电位法向导数
3.唯一性定理
满足下述条件的电位函数的解,是给定场域静电场的唯一解:
(1)在给定场域电位满足泊松方程或拉普拉斯方程;
(2)在不同媒质分界面;
(3)在给定场域边界电位满足给定的边界条件。
4.静电场边值问题的求解
(1)直接法:直接求解电位的微分方程得到解析解,如直接积分法、分离变量法;(2)间接法:依据唯一性定理和物理概念间接求解,如镜象法;
(3)数值法:利用数值分析求近似解,如有限差分法、有限元法。
第三章静电场的边值问题
第三章静电场的边值问题
微
1.电位微分方程
2.镜像法
33.直角坐标系中的分离变量法
4.圆柱坐标系中的分离变量法
5.球坐标系中的分离变量法
1
31电位微分方程3.1 电位微分方程
E 已知电位?与电场强度的关系为
=E 对上式两边取散度,得?2
=??E 对于线性各向同性的均匀介质电场强度E 对于线性各向同性的均匀介质,电场强度E 的散
度为ρE ε
=??那么,电位满足的微分方程式为
ρ??=?2泊松方程
2
ε
ερ??=?2对于无源区上式变为
拉普拉斯方程
02=??对于无源区,,上式变为0ρ=已知分布在V ′中的电荷
在无限大的自由空)(r ′ρV V ′′?′=∫′d )
(π41)( r r r r ρε?间产生的电位为||上式为泊松方程在自由空间的特解。
利用格林函数可以求出泊松方程在有限空间的通解
利用格林函数可以求出泊松方程在有限空间的通解。
3
初始条件
数学物理方程描述物理量随时间和空间的变化特性。
静电场与时间无关因此电位所满足的泊松方程及拉定解条件边界条件
静电场与时间无关,因此电位所满足的泊松方程及拉普拉斯方程的解仅决定于边界条件。
根据给定的边界条件求解空间任一点的电位就是静电场的边值问题
场的边值问题。
此处边界条件实际上是指给定的边值,它不同于前一章描述静电场的边界上场量变化的边界条件。
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边界条件有三种类型:
第一类边界条件给定的是边界上的物理量,这种边值问题又称为狄赫利问题
狄里赫利问题。
第二类边界条件是给定边界上物理量的法向导数值,这种边值问题又称为诺依曼问题。
第三类边界条件是给定一部分边界上的物理量及另一第三类边界条件是给定部分边界上的物理量及另部分边界上物理量的法向导数值,这种边界条件又称为混合边界条件。
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惟性问题
解的存在、稳定及惟一性问题。
存在是指在给定的定解条件下,方程是否有解。
稳定性是指当定解条件发生微小变化时,所求得的
解是否变化很大。
惟一性是指在给定的定解条件下所求得的解是否是
惟一的解是变化
惟的。
静电场是客观存在的,因此电位微分方程解的存在
确信无疑泊松方程及拉普拉斯方程解的稳定性在数学中已经
确信无疑。
得到证明。
可以证明电位微分方程解具有惟一性。
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可以证明电位微分方程解具有惟性。
若静电场的边界为导体,此时给定导体上的电位就
是第一类边界。
是第类边界已知S n ρ?ε
=??可见,表面电荷给定等于给定了电位的法向导数值。
因此若给定导体表面上的电荷量就是第二类边界☆对于导体边界,当边界上的电位,或电位的法向因此,若给定导体表面上的电荷量就是第二类边界。
导数给定时,或导体表面电荷给定时,空间的静电场即被惟地确定这个结论称为静电场惟性定理即被惟一地确定。
这个结论称为静电场惟一性定理。
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对于线性各向同性的均匀介质,有源区中的电位满
ρ?=2足泊松方程方程ε
在无源区,电位满足拉普拉斯方程
静电场的边值问题——根据给定的边界条件求解静电02
=??场的电位分布。
利用格林函数,可以求解泊松方程。
利用分离变量法可以求解拉普拉斯方程。
求解静电场边值问题的另一种简单方法是镜像法。
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3.2 镜像法
实质: 以一个或几个等效电荷代替边界的影响,将原来具有边界的非均匀空间变成无限大的均匀自由空间,从而使计算过程大为简化。
这些等效电荷通常处于原电荷的镜像位置,因此称为镜像电荷,而这种方法称为镜像法。
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依据:惟一性定理。
等效电荷的引入不能改变原来的边界条件。
关键:确定镜像电荷的大小及其位置。
局限性:仅仅对于某些特殊的边界以及特殊的电荷分布才有可能确定其镜像电荷
荷分布才有可能确定其镜像电荷。
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(1)点电荷与无限大的导体平面
P
P q r εq r h
r ′ε介质导体介质h
q ′ε介质
个镜像点电荷代替边界的影响使整个空间变
以一个镜像点电荷q'代替边界的影响,使整个空间变成均匀的介电常数为ε的空间,则空间任一点P 的电位由q 及q'共同产生,即q ′r q r ′+= π4 π4εε?q
q ?=′无限大导体平面的电位为零11
无限大导体平面的位为零
电场线与等位面的分布特性与电偶极子的上半部分完全相同。
完全相同
z
⊕
\
电场线等位线
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q r P
q r P ε介质导体ε介质h
h
r ′′ε介质
*根据电荷守恒定律镜像点电荷的电荷量应该等q 根据电荷守恒定律,镜像点电荷的电荷量应该等于导体表面上感应电荷的总电荷量。
*上述等效性仅对于导体平面的上半空间成立,因为在上半空间中,源及边界条件未变。
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对于半无限大导体平面形成的劈形边界也可应用镜
像法。
但是为了保证这种劈形边界的电位为零,必须像法但是为了保证这种劈形边界的电位为零,必须引入几个镜像电荷。
例如,夹角为的导电劈需引入5个镜像电荷。
3π⊕\
⊕q π/3
⊕
π/3q
⊕
\\
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仅当这种导体劈的夹角等于π的整数分之一时,才可求出其镜像电荷。
为什么?
位于无限大的导体平面附近的线电荷,根据叠加原理得知同样可以应用镜像法求解
原理得知,同样可以应用镜像法求解。
ρl
ερl
ε–ρl
ε
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(2)点电荷与导体球
若导体球接地,导体球的电′位为零。
令镜像点电荷q 位于球心与点电荷q 的连线上,P a r
r ′那么球面上任一点电位为
q
f O d
q ′r q r q ′′+= π4 π4εε?为了保证球面上任一点电位为零,必须选择镜像
电荷为q r
r q ′?=′16
为了使镜像电荷具有个确定的值必须要求比为了使镜像电荷具有一个确定的值,必须要求比
值对于球面上任一点均具有同一数值。
r
r ′若△OPq ′~ △OqP ,则P
r 常数==′f
a r r q f O a
d q ′
r ′q a ?′求得镜像电荷为
镜像电荷离球心的距离d 应为
f q =f
a d 2
=17
若导体球不接地,则其电位
不为零。
由q 及q ′在球面边界上形
成的电位为零,因此必须再引
q 0?≠入一个镜像电荷q ″以产生一定
的电位
的电位。
q ″的位置和量值应该如何?
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为了保证球面边界是一个等位面,镜像电荷q ″
必须位于球心
必须位于球心。
为了满足电荷守恒定律,第
q ′
=′′二个镜像电荷q ″必须为
q q q'以保证导体球表面上总电荷
q "q 量为零值。
导体球的电位?f
q a q π4 π4εε?=′′=19。