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第三章静电场的边值问题

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课件：静电场的边值问题

课件：静电场的边值问题

学院
16
工程电磁场
主讲人： 王泽忠
例 现有如图所示的三相交流电缆截面，
三相内导体分别加三相对称电压，相序为 A、B、C。
在 A 相电压达到最大
和达到零两种情况
下，分别表述静电场
的边值问题。要求求
解场域尽量小。
解 根据电缆内部结
构，电场分布区域含三相内导体、电缆皮层（外导体）
华北电力大学电气与电子工程
静电场的边值问题可以通过不同的方法求解，
所求得的解答是否相同？惟一性定理：
在给定场域上，
满足给定边界条件的静电场基本方程解答是唯一的。
理论上证明这个定理（略）。
华北电力大学电气与电子工程
2021/6/14
学院
11
工程电磁场 简例
主讲人： 王泽忠
华北电力大学电气与电子工程
2021/6/14
学院
12
工程电磁场
第一类边值问题表述为
2
1
f1
华北电力大学电气与电子工程
2021/6/14
学院
7
工程电磁场
主讲人： 王泽忠
已知求解区域内部的自由电荷分布，
给定求解区域边界上电位的法向导数
计算求解区域的电位和电场强度分布，
通常称为第二类边值问题，又叫做聂以曼问题。
相应的边界条件称为第二类边界条件。
第二类边值问题表述为
2021/6/14
学院
25
• 2
由此得到电位的基本方程
华北电力大学电气与电子工程
2021/6/14
学院
2
工程电磁场
2
主讲人： 王泽忠
称为静电场的泊松方程。
当场域中没有电荷分布时， 0 ，上式变为

静电场的边值问题

静电场的边值问题

问题-02-7-1 静电场的边值问题可分为哪几类，是否均满足唯一性定理？
解答：静电场中的典型边值条件包括3类：（1）给定场域边界上的电位值，称为第一类边值条件；（2）给定场域边界上电位的法向导数值，称为第二类边界条件；（3）部分场域边界上给定电位、另一部分场域边界上给定电位的法向导数，称为混合边界条件。

上述三类边界条件与标量电位满足的泛定方程组合成相应的边值问题。

对于第一类边值问题，电位和电场强度的解均唯一；对于第二类边值问题，电场强度的解唯一，电位的解可以相差某一常数，若选定电位参考点，则电位的解也唯一；对于混合边值问题，电位和电场强度的解均唯一。

电磁场与电磁波第三章静态场及其边值问题的解PPT课件

电磁场与电磁波第三章静态场及其边值问题的解PPT课件

解法的优缺点
分离变量法的优点是简单易行，适用于具有多个变量 的偏微分方程。但是，该方法要求边界条件和初始条
件相互独立，且解的形式较为复杂。
有限差分法的优点是简单直观，适用于各种形状的求 解区域。但是，该方法精度较低，且对于复杂边界条
件的处理较为困难。
有限元法的优点是精度较高，适用于各种形状的求解 区域和复杂的边界条件。但是，该方法计算量大，且
05 实例分析
实例一：简单电场的边值问题求解
总结词
通过一个简单的电场边值问题，介绍如 何运用数学方法求解静态场的边值问题 。
VS
详细描述
选取一个简单的电场模型，如平行板电容 器间的电场，通过建立微分方程和边界条 件，采用有限差分法或有限元法进行数值 求解，得出电场分布的解。
实例二：复杂电场的边值问题求解
恒定磁场与准静态场的定义与特性
恒定磁场
磁场强度不随时间变化的磁场。
准静态场
接近静态场的动态场，其特性随 时间缓慢变化。
特性
恒定磁场与准静态场均不产生电 磁波，具有空间稳定性和时间恒
定性。
恒定磁场与准静态场的边值问题
边值问题
描述场域边界上物理量（如电场强度、磁场强度）的约束条件。
解决边值问题的方法
静电屏蔽
在静电屏蔽现象中，静态 场用于解释金属屏蔽壳对 内部电荷或电场的隔离作 用。
高压输电
在高压输电线路中，静态 场用于分析电场分布和绝 缘性能。
02 边值问题的解法
定义与分类
定义
边值问题是指在一定的边界条件下，求解微分方程或积分方程的问题。在电磁场理论中，边值问题通常涉及到电 场、磁场和波的传播等物理量的边界条件。
特性
空间均匀性

镜像法

镜像法
设一镜像电荷q″位于区域1中，且位置与 q 重合，同时将整个空间视为均匀介质2。
p v R
则区域2中任一点的电位为：
2

q q
4π 2 R
q q
2
2
在分界面(R = R′= R″)上，应满足电位的边界条件：
1
1
设想用镜像电荷 代替界面上极化 电荷的作用，并 使镜像电荷和点 电荷共同作用， 满足界面上的边
界条件。
当待求区域为介质1所在区域时，在边界之外设一镜像电荷 q′
介质1中任一点的电位为：
1

q q
4π1R 4π1R
电磁场
第3章 静电场及其边值问题的解法
当待求区域为介质2所在区域时，
* 此时要保证z=0平面边界条件不变，即应为零电位。
q q 4R 4R
故对z=0平面上任意点有R R R0 :
于是，

q 4

1 R

1 R


q 4

q q 0 4 R0
1

x2 y2 (z h)2
电位的法向导数

n
s

f2 s
一、二类边界条件的 线性组合，即

n
s2

f4 s
电磁场
一、静电场边值问题及其分类
第3章 静电场及其边值问题的解法
1. 边值问题的分类----根据场域边界条件的不同
狄利克雷问题：给定整个场域边界上的电位函数值 s f1s
（第一类）
聂曼问题：给定待求位函数在边界上的法向导数值 （第二类）
U0
O
ax
第3章 静电场及其边值问题的解法

静电场边值问题唯一性定理

静电场边值问题唯一性定理

场分布。
02
指导数值计算
在数值计算中，唯一性定理为我们提供了判断计算结果正确性的依据。
如果计算结果不满足唯一性定理，则说明计算过程中存在错误或近似方
法不够精确。
03
简化问题求解
在某些情况下，唯一性定理可以帮助我们简化问题的求解过程。例如，
在某些对称性问题中，我们可以利用唯一性定理直接得出部分解或特殊
01 02 03
深入研究复杂边界条件下的静电场边值问题
目前的研究主要集中在简单边界条件下的问题，对于复杂 边界条件的研究相对较少。未来可以进一步探讨复杂边界 条件下的静电场边值问题，为实际应用提供更广泛的理论 支持。
发展高效稳定的数值计算方法
尽管现有的数值计算方法已经取得了显著的进展，但在处 理大规模、高维度问题时仍面临挑战。未来可以致力于发 展更高效稳定的数值计算方法，以应对日益复杂的实际问 题。
导体表面的电荷分布
导体表面电荷分布的特点
在静电平衡状态下，导体表面电荷分布是不 均匀的，电荷密度与导体表面的曲率有关， 曲率越大电荷密度越大。
导体表面电荷与电场的关系
导体表面电荷产生的电场与导体内部电荷产生的电 场相互抵消，使得导体内部电场为零。
导体表面电荷分布的求解 方法
可以通过求解泊松方程或拉普拉斯方程得到 导体表面的电荷分布。
数值计算方法的改进
针对静电场边值问题的求解，提出了一系列高效的数值计算方法，如有限元法、有限差分法等，这些方法在保持计算 精度的同时，显著提高了计算效率。
实际应用领域的拓展
将静电场边值问题唯一性定理应用于多个实际领域，如电子工程、生物医学等，成功解决了一系列具有 挑战性的实际问题。
对未来研究的展望
解，从而简化计算过程。

《电磁场理论》3.1 唯一性定理

《电磁场理论》3.1 唯一性定理

第一类边值问题：已知电位函数在全部边界面上的分 布值。 S f 第二类边值问题：已知电位函数在全部边界面上的法 向导数。 f n S 第三类边值问题（混合边值问题）：已知一部分边界 面上的电位函数值，和另一部分边界面上电位函数的法 向导数。 S f1 S S1 S2 f 2 1 01:52 2 n S2
+
-
z
+ +++
（r , )
+
+
-
1 (r, ) E0r cos
-
aO
- - -
-
当引入一个不带电的导体小球后， E0 球表面出现感应电荷。 静电平衡下的导体球为等电位体，球内电场为零， r>a空间内的电位由两个部分组成 01:52 12 1 2
1 2
唯一性定理:满足泊松方程或拉普拉斯方程及所给
的全部边界条件的解是唯一的。
利用反证法来证明。假设在一个由表面边界S包围的 体积V内，泊松方程有两个解 1 2 ，则有
2 1 2 * 1 2 2 * 21 22 0 令
01:52 11
例2：一不带电的孤立导体球（半径为a）位于均匀电 场中, E E0 e z ,如图所示，求电位函数。 解：在没有引入导体球时，均匀电场 E 的电位函数为
1 ( z ) E0 e z e z dz C E0 z C
若取z=0为电位参考点，则C=0， 1 ( z) E0 z 在球坐标内，z r cos
常数
n
n
(1)
根据式(1)仍然有
同理，有 C

V
2 ( ) dV 0

第三章 静态场及其边值问题的解


式中的比例系数 称为媒质电导率，单位：S/m（西门子/米）。
38
3.2.1 恒定电场的基本方程和边界条件 1. 基本方程
在恒定电场中，电荷的空间分布不随t变化，故有
根据电流连续性方程
得
• 恒定电场的基本方程为 微分形式：
若媒质是均匀的，则 • 恒定电场的电位函数
由
积分形式：
2. 恒定电场的边界条件 • 场矢量的边界条件
5. 电位的微分方程 在均匀介质中，有
在无源区域，
15
标量泊松方程
拉普拉斯方程
16
6. 静电位的边界条件 设P1和P2是介质分界面两侧紧贴界面的相邻两点，其电位分
别为1和2。当两点间距离⊿l→0时
由
和
媒质1 1 媒质2 2
1 P1 2 P2
l
• 若介质分界面上无自由电荷，即 • 导体表面上电位的边界条件： 常数，
当
时，
b oa
孤立导体球的电容
26
例 3.1.5 如图所示的平行双线传输线，导线半径为a，两导线 的轴线距离为D，且D >> a，求传输线单位长度的电容。
解 设两导线单位长度带电量分别为 和 。由于
，
故可近似地认为电荷分别均匀分布在两
y
导线的表面上。应用高斯定理和叠加原
理，可得到两导线之间的平面上任一点

媒质1 E1 1
媒质2 E2
2
2
( 2 1)
媒质1
1
0

媒质2 E2
en
E1 2
(1 0)
恒定电场同时存在于导体内部和外部，在导体表面上的电场 既有法向分量又有切向分量，电场并不垂直于导体表面，因 而导体表面不是等位面；

02-静电场的边值问题及求解PDF

静电场的边值问题
及求解
1.ϕ的微分方程
ϕ
∇=-E E D ε=0=⨯∇E ρ=⋅∇
D ρ
=⋅∇)(E ερϕ-=∇⋅∇)(ερ
ϕϕ-=∇⋅∇+∇⋅∇εερϕ-=∇⋅∇εερ
ϕ-
=∇202=∇ϕ⎯泊松方程⎯拉普拉斯方程
ρ=0的无源空间均匀介质0=∇ε
2.边界条件
(1)第一类边界条件：已知场域边界面上各点的电位值，即给定边界上的电位(2)第二类边界条件：已知场域边界面上各点的电位法向导数值，即给定边界上的电位法向导数
(3)第三类边界条件：一部分边界上给定每一点的电位，一部分边界上给定每一点的电位法向导数
3.唯一性定理
满足下述条件的电位函数的解，是给定场域静电场的唯一解：
(1)在给定场域电位满足泊松方程或拉普拉斯方程；
(2)在不同媒质分界面；
(3)在给定场域边界电位满足给定的边界条件。

4.静电场边值问题的求解
(1)直接法：直接求解电位的微分方程得到解析解，如直接积分法、分离变量法；(2)间接法：依据唯一性定理和物理概念间接求解，如镜象法；
(3)数值法：利用数值分析求近似解，如有限差分法、有限元法。

第三章静态电磁场及其边值问题


q 在闭合面内 q 在闭合面外
D0
（高斯定理的微分形式）
二、电场的旋度
在点电荷 q 的电场中，任取一条曲线 l ，积分
q E d l 4 0 l
e r dl q 2 R 4 0 l
dR q 2 R 4 0 RA
RB
1 1 R R A B
◇ 电位满足的边界条件
1 d 2 d r 2 r dr dr
r a
U 0
因此
C2 0
C1 aU
r
2
直接积分

aU r
E r er
aU er 2 r r
电位的边界条件：
3.1.19
若分界面上不存在面自 由电荷，即 s 0，则
e n E 1 E 2 0 1E 1n 2E 2 n
或
此时电位移矢量连续
3.1.2
电位函数
1.电位和电位差 由 E 0 E ， 称为静电场的标量位函数，又称电位函数
直 角 坐 标 系
E x x E e x ey ez E x y z y y E z ◇ E在任意方向上的分量 z El l ◇ 若选取 P( xP , yP , zP ) 为电位参（即 P 0 ◇ 由此可求得电位的微分 则任意点 A( x, y, z ) 的电位为 d El dl E dl
利用格林函数的性质和格林第二恒等式可得到有界空间中的泊松方程的积分解
1 r r ' G r, r ' d ' G r, r ' ' r ' r ' ' G r, r ' dS 0 S

第3章 边值问题的解法


ρV = 0
，故有 拉普拉斯方程
∇ ϕ =0
2
(3-1-6)
第三章 边值问题 的 解法
边值问题 微分方程 边界条件
∇2ϕ = − ∇2ϕ = 0
ρ ε
场域 边界条件
分界面 衔接条件
自然 边界条件
第一类 边界条件
第二类 边界条件
第三类 边界条件
ϕ1 =ϕ2 参考点电位 ∂ϕ ∂ϕ ε1 1 −ε2 2 =σ limrϕ =有限值 r→∞
r1 = r2 = r = x 2 + y 2 + d 2 导电平面上， 导电平面上，有
2qd 导体表面的感应电荷密度为 ρ S = D . a z = (ε 0 E ) . a z = − 4πr 3
如果导电平面无限大，可以看作半径为无限大的圆， 如果导电平面无限大，可以看作半径为无限大的圆，则 无限大导电平面的感应电荷为 导体表面感应 2π 2qd ∞ ρdρ 的总电荷正是 Q = ∫ ρ S dS = − ∫0 2 2 3 ∫0 dϕ = −q 预期值－q。 S 预期值－ 。 4π 2 (ρ + d )
y
(3,4,0)
(-3,4,0)
1 1 1 1 φ= ( − + − ) 4πε 0 r1 r2 r3 r4 q = 735.2V
则
r1
r2
0 r 3
(-3,-4,0)
(3,5,0)
r4
(3,-4,0)
x
保证y=0的平 面电位为零
E = −∇φ ∂φ ∂φ ∂φ ax − ay − az =− ∂x ∂y ∂z = −19.8a x + 891.36a y (V / m)
第三章 边值问题 的 解法
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第三章静电场的边值问题
第三章静电场的边值问题
微
1.电位微分方程
2.镜像法
33.直角坐标系中的分离变量法
4.圆柱坐标系中的分离变量法
5.球坐标系中的分离变量法
1
31电位微分方程3.1 电位微分方程
E 已知电位?与电场强度的关系为
=E 对上式两边取散度，得?2
=??E 对于线性各向同性的均匀介质电场强度E 对于线性各向同性的均匀介质，电场强度E 的散
度为ρE ε
=??那么，电位满足的微分方程式为
ρ??=?2泊松方程
2
ε
ερ??=?2对于无源区上式变为
拉普拉斯方程
02=??对于无源区，，上式变为0ρ=已知分布在V ′中的电荷
在无限大的自由空)(r ′ρV V ′′?′=∫′d )
(π41)( r r r r ρε?间产生的电位为||上式为泊松方程在自由空间的特解。

利用格林函数可以求出泊松方程在有限空间的通解
利用格林函数可以求出泊松方程在有限空间的通解。

3
初始条件
数学物理方程描述物理量随时间和空间的变化特性。

静电场与时间无关因此电位所满足的泊松方程及拉定解条件边界条件
静电场与时间无关，因此电位所满足的泊松方程及拉普拉斯方程的解仅决定于边界条件。

根据给定的边界条件求解空间任一点的电位就是静电场的边值问题
场的边值问题。

此处边界条件实际上是指给定的边值，它不同于前一章描述静电场的边界上场量变化的边界条件。

4
边界条件有三种类型：
第一类边界条件给定的是边界上的物理量，这种边值问题又称为狄赫利问题
狄里赫利问题。

第二类边界条件是给定边界上物理量的法向导数值，这种边值问题又称为诺依曼问题。

第三类边界条件是给定一部分边界上的物理量及另一第三类边界条件是给定部分边界上的物理量及另部分边界上物理量的法向导数值，这种边界条件又称为混合边界条件。

5
惟性问题
解的存在、稳定及惟一性问题。

存在是指在给定的定解条件下，方程是否有解。

稳定性是指当定解条件发生微小变化时，所求得的
解是否变化很大。

惟一性是指在给定的定解条件下所求得的解是否是
惟一的解是变化
惟的。

静电场是客观存在的，因此电位微分方程解的存在
确信无疑泊松方程及拉普拉斯方程解的稳定性在数学中已经
确信无疑。

得到证明。

可以证明电位微分方程解具有惟一性。

6
可以证明电位微分方程解具有惟性。

若静电场的边界为导体，此时给定导体上的电位就
是第一类边界。

是第类边界已知S n ρ?ε
=??可见，表面电荷给定等于给定了电位的法向导数值。

因此若给定导体表面上的电荷量就是第二类边界☆对于导体边界，当边界上的电位，或电位的法向因此，若给定导体表面上的电荷量就是第二类边界。

导数给定时，或导体表面电荷给定时，空间的静电场即被惟地确定这个结论称为静电场惟性定理即被惟一地确定。

这个结论称为静电场惟一性定理。

7
对于线性各向同性的均匀介质，有源区中的电位满
ρ?=2足泊松方程方程ε
在无源区，电位满足拉普拉斯方程
静电场的边值问题——根据给定的边界条件求解静电02
=??场的电位分布。

利用格林函数，可以求解泊松方程。

利用分离变量法可以求解拉普拉斯方程。

求解静电场边值问题的另一种简单方法是镜像法。

8
3.2 镜像法
实质: 以一个或几个等效电荷代替边界的影响，将原来具有边界的非均匀空间变成无限大的均匀自由空间，从而使计算过程大为简化。

这些等效电荷通常处于原电荷的镜像位置，因此称为镜像电荷，而这种方法称为镜像法。

9
依据：惟一性定理。

等效电荷的引入不能改变原来的边界条件。

关键：确定镜像电荷的大小及其位置。

局限性：仅仅对于某些特殊的边界以及特殊的电荷分布才有可能确定其镜像电荷
荷分布才有可能确定其镜像电荷。

10
（1）点电荷与无限大的导体平面
P
P q r εq r h
r ′ε介质导体介质h
q ′ε介质
个镜像点电荷代替边界的影响使整个空间变
以一个镜像点电荷q'代替边界的影响，使整个空间变成均匀的介电常数为ε的空间，则空间任一点P 的电位由q 及q'共同产生，即q ′r q r ′+= π4 π4εε?q
q ?=′无限大导体平面的电位为零11
无限大导体平面的位为零
电场线与等位面的分布特性与电偶极子的上半部分完全相同。

完全相同
z
⊕
\
电场线等位线
12
q r P
q r P ε介质导体ε介质h
h
r ′′ε介质
*根据电荷守恒定律镜像点电荷的电荷量应该等q 根据电荷守恒定律，镜像点电荷的电荷量应该等于导体表面上感应电荷的总电荷量。

*上述等效性仅对于导体平面的上半空间成立，因为在上半空间中，源及边界条件未变。

13
对于半无限大导体平面形成的劈形边界也可应用镜
像法。

但是为了保证这种劈形边界的电位为零，必须像法但是为了保证这种劈形边界的电位为零，必须引入几个镜像电荷。

例如，夹角为的导电劈需引入5个镜像电荷。

3π⊕\
⊕q π/3
⊕
π/3q
⊕
\\
14
仅当这种导体劈的夹角等于π的整数分之一时，才可求出其镜像电荷。

为什么？
位于无限大的导体平面附近的线电荷，根据叠加原理得知同样可以应用镜像法求解
原理得知，同样可以应用镜像法求解。

ρl
ερl
ε–ρl
ε
15
（2）点电荷与导体球
若导体球接地，导体球的电′位为零。

令镜像点电荷q 位于球心与点电荷q 的连线上，P a r
r ′那么球面上任一点电位为
q
f O d
q ′r q r q ′′+= π4 π4εε?为了保证球面上任一点电位为零，必须选择镜像
电荷为q r
r q ′?=′16
为了使镜像电荷具有个确定的值必须要求比为了使镜像电荷具有一个确定的值，必须要求比
值对于球面上任一点均具有同一数值。

r
r ′若△OPq ′~ △OqP ，则P
r 常数==′f
a r r q f O a
d q ′
r ′q a ?′求得镜像电荷为
镜像电荷离球心的距离d 应为
f q =f
a d 2
=17
若导体球不接地，则其电位
不为零。

由q 及q ′在球面边界上形
成的电位为零，因此必须再引
q 0?≠入一个镜像电荷q ″以产生一定
的电位
的电位。

q ″的位置和量值应该如何?
18
为了保证球面边界是一个等位面，镜像电荷q ″
必须位于球心
必须位于球心。

为了满足电荷守恒定律，第
q ′
=′′二个镜像电荷q ″必须为
q q q'以保证导体球表面上总电荷
q "q 量为零值。

导体球的电位?f
q a q π4 π4εε?=′′=19。