高三第一轮复习讲义【9】-函数的周期性与对称性

函数的对称性与周期性（归纳总结）一、函数对称性：1.2.3.4.5.6.7.8.f（a+x）=f（a-x）==>f（x）关于x=a对称f（a+x）=f（b-x）==>f（x）关于x=（a+b）/2对称f（a+x）=-f（a-x）==>f（x）关于点（a，0）对称f（a+x）=-f（a-x）+2b==>f（x）关于点（a，b）对称f（a+x）=-f（b-x）+c==>f（x）关于点[（a+b）/2，c/2]对称y=f（x）与y=f（-x）关于x=0对称y=f（x）与y=-f（x）关于y=0对称y=f（x）与y=-f（-x）关于点（0,0）对称例1：证明函数y=f（a+x）与y=f（b-x）关于x=（b-a）/2对称。

【解析】求两个不同函数的对称轴，用设点和对称原理作解。

证明：假设任意一点P（m，n）在函数y=f（a+x）上，令关于x=t的对称点Q（2tm，n），那么n=f（a+m）=f[b（2tm）] ∴b2t=a，==>t=（b-a）/2，即证得对称轴为x=（b-a）/2.例2：证明函数y=f（a-x）与y=f（xb）关于x=（a+b）/2对称。

证明：假设任意一点P（m，n）在函数y=f（a-x）上，令关于x=t的对称点Q（2tm，n），那么n=f（a-m）=f[（2tm）b] ∴2t-b=a，==>t=（a+b）/2，即证得对称轴为x=（a+b）/2.二、函数的周期性令a,b均不为零，若：1、函数y=f（x）存在f（x）=f（x+a）==>函数最小正周期T=|a|2、函数y=f（x）存在f（a+x）=f（b+x）==>函数最小正周期T=|b-a|3、函数y=f（x）存在f（x）=-f（x+a）==>函数最小正周期T=|2a|4、函数y=f（x）存在f（x+a）=1/f（x）==>函数最小正周期T=|2a|5、函数y=f（x）存在f（x+a）=[f（x）+1]/[1f（x）]==>函数最小正周期T=|4a|这里只对第2~5点进行解析。

2020-2021 年新高三数学一轮复习考点 函数的周期性与对称性一．最新考试说明：1. 理解函数的周期性，会判断函数的周期性．【例】(2018 全国卷Ⅱ)已知 f (x ) 是定义域为(-∞, +∞) 的奇函数，满足 f (1- x ) = f (1+x ) ． 若 f (1) = 2，则 f (1) + f (2) + f (3) +…+ f (50) = A ．-50 B ．0 C ．2 D ．50【答案】C【解析】解法一 ∵ f (x ) 是定义域为(-∞, +∞) 的奇函数， f (-x ) = - f (x ) ．且 f (0) = 0 ．∵ f (1- x ) = f (1+ x ) ，∴ f (x ) = f (2 - x )， f (-x ) = f (2 + x )，∴ f (2 + x ) = - f (x )，∴ f (4 + x ) = - f (2 + x ) = f (x ) ， ∴ f (x ) 是周期函数， 且一个周期为 4 ，∴ f ( 4 )= f( 0=) ，f (2) = f (1+1) = f (1-1) = f (0) = 0 ， f (3) = f (1+ 2) = f (1- 2) = - f (1) = -2，∴ f (1) + f (2) + f (3) +⋅⋅⋅+ f (50) =12⨯0 + f (49) + f (50) = f (1) + f (2) = 2 ，故选C ．π解法二 由题意可设 f (x ) = 2sin( 2x ) ，作出 f (x ) 的部分图象如图所示．由图可知， f (x ) 的一个周期为 4，所以 f (1) + f (2) + f (3) +⋅⋅⋅+ f (50) ， 所以 f (1) + f (2) + f (3) +⋅⋅⋅+ f (50) = 12⨯ 0 + f (1) + f (2) = 2，故选 C ．【例】(2016 山东)已知函数 f (x )的定义域为 R ．当 x <0 时， f (x ) = x 3 -1 ；当-1 ≤ x ≤ 1 时，f (-x ) = - f (x ) ；当 x > 1 2 时， f (x + 1) = f (x - 1) ，则 f (6)=2 2A ．−2B ．−1C ．0D ．2【答案】D 【解析】当-1剟x1 时， f (x ) 为奇函数，且当 x > 1时， f (x +1) = f (x )，2y23xO-241 2m所以 f (6) = f (5⨯1+1) = f (1) ．而 f (1) = - f (-1) = -[(-1)3 -1] = 2 ，所以 f (6) = 2 ，故选D ．2. 理解函数的对称性，会判断函数的对称性．【例】【2020 年高考天津卷 3】函数 y = 4xx 2 +1的图象大致为（ ）A.B ．C ．D ．【答案】A【思路导引】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象．【解析】由函数的解析式可得： f (-x ) =-4x x 2 +1= - f ( x ) ，则函数 f ( x ) 为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项 CD 错误；当 x = 1时， y = 41+1= 2 > 0 ，选项 B 错误．故选 A ．【专家解读】本题的特点是函数图象及其性质的应用，本题考查了函数图象的识别，考查数形结合思想， 考查数学运算、数学直观等学科素养．解题关键是观察函数图象，结合排除法解决问题．【方法总结】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．【例】(2016 全国 II) 已知函数 f ( x )( x ∈ R )满足 f (-x ) = 2 - f ( x ) ，若函数 y = x + 1 与 y = f ( x ) 图像的交点 x为( x 1 ，y 1 ) ， ( x 2 ，y 2 ) ，…， ( x m ，y m ) ，则∑( x i+ y i) =i =1A ．0B ．mC ．2mD ．4m【答案】B33 22【解析】由 f (-x ) = 2 - f ( x ) 得 f (-x ) + f (x ) = 2 ，可知 f ( x ) 关于(0 ，1) 对称，而 y =x +1 = 1+ 1 也关 xx于(0 ，1) 对称，∴对于每一组对称点 x i + x i ' = 0 y i + y i '=2 ，∴ mmmm． ∑( x i + y i ) = ∑ x i + ∑ y i = 0 + 2 ⋅ 2= mi =1i =1i =13. 利用函数周期性、对称性求函数值及求参数值．【例】(2014 新课标Ⅱ)偶函数 f (x ) 的图像关于直线x = 2 对称， f (3) = 3 ，则 f (-1) = ．【答案】3【解析】∵函数 f (x ) 的图像关于直线 x = 2 对称，所以 f (x ) = f (4 - x )，f (-x ) = f (4 + x )，又 f (-x ) = f (x ) ，所以 f (x ) = f (4 + x ) ，则 f (-1) = f (4 -1) = f (3) = 3 ．⎧-4x 2 + 2, 【例】(2014 四川)设 f (x ) 是定义在R 上的周期为 2 的函数，当 x ∈[-1,1) 时，f (x ) = ⎨ -1 ≤ x < 0,，则 f ( ) = ． 2【答案】1⎩x ,0 ≤ x < 1, 【解析】 f ( ) = f (- 1 ) = -4 ⨯(- 1 )2 + 2 = 1．2 2 2二．命题方向预测：1. 利用函数的周期性、对称性求函数的值、求函数的零点、求方程的根、研究函数的图象是历年高考考查的热点．2. 题型以选择题和填空题为主，函数性质与其它知识点交汇命题．三．课本结论总结：1. 若函数 f ( x ) 的定义域关于原点对称，则 f ( x ) 可以表示为 f ( x ) = 1 ⎡⎣ f ( x ) + f (-x )⎤⎦ + 1 ⎡⎣ f ( x ) - f (-x )⎤⎦ ，该式的特点是：右端为一个奇函数和一个偶函数的和．2. 函数 y = f (x )与函数 y = f (- x )的图像关于直线 x = 0（ y 轴）对称．3. 函数 y =f (x )与函数 y = - f (x )的图像关于直线 y = 0 （ x 轴）对称．4. 函数 y = f (x )与函数 y = - f (-x ) 的图像关于坐标原点中心对称．5. 函数 y = a x 与函数 y = logax (a > 0, a ≠ 1) 的图像关于直线 y = x 对称．6. 定义式 f(x＋T)＝f(x)对定义域内的 x 是恒成立的．若 f(x＋a)＝f(x＋b)，则函数 f(x)的周期为 T＝|a＝－b|.7. 若在定义域内满足 f (x ＋a )＝－f (x )，f (x ＋a ) 1 ，f (x ＋a )＝－ 1(a >0)．则 f(x)为周期函数，且 T＝2a 为它的一个周期．8. 对称性与周期的关系：f (x ) f (x ) (1) 若函数 f(x)的图象关于直线 x＝a 和直线x＝b 对称，则函数 f(x)必为周期函数，2|a－b|是它的一个周期．(2) 若函数 f(x)的图象关于点(a,0)和点(b,0)对称，则函数 f(x)必为周期函数，2|a－b|是它的一个周期．(3) 若函数 f(x)的图象关于点(a,0)和直线 x＝b 对称，则函数 f(x)必为周期函数，4|a－b|是它的一个周期．四、名师二级结论：一条规律若 T 是函数的周期，则kT(k∈Z 且 k≠0)也是函数的周期． 两个应用1. 已知函数的周期性求函数的值．2. 已知函数的对称性研究函数的图象． 三种方法求函数周期的三种方法：(1)定义法；(2)图象法；(3)公式法．五、课本经典习题：(1)新课标人教 A 版必修四第 46 页习题 1.4A 组第 10 题设函数 f (x )(x ∈ R ) 是以 2 为最小正周期的周期函数，且 x ∈[0, 2]时， f (x )=(x -1)2 ，求 f (3)，f ( 7 ) 的2值。

§2.3 函数的奇偶性、周期性与对称性考试要求 1.了解函数奇偶性的含义，结合三角函数，了解周期性与对称性及其几何意义. 2.会依据函数的性质进行简单的应用．知识梳理 1．函数的奇偶性奇偶性 定义图象特点 偶函数一般地，设函数f (x )的定义域为I ，如果∀x ∈I ，都有－x ∈I ，且f (－x )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做偶函数 关于y 轴对称奇函数 一般地，设函数f (x )的定义域为I ，如果∀x ∈I ，都有－x ∈I ，且f (－x )＝－f (x )，那么函数f (x )就叫做奇函数关于原点对称2.周期性(1)周期函数：一般地，设函数f (x )的定义域为D ，如果存在一个非零常数T ，使得对每一个x ∈D 都有x ＋T ∈D ，且f (x ＋T )＝f (x )，那么函数y ＝f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期． 常用结论1．奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性． 2．函数周期性常用结论对f (x )定义域内任一自变量的值x ： (1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a (a >0)． (2)若f (x ＋a )＝1f (x )，则T ＝2a (a >0)． 3．函数对称性常用结论(1)f (a －x )＝f (a ＋x )⇔f (－x )＝f (2a ＋x )⇔f (x )＝f (2a －x )⇔f (x )的图象关于直线x ＝a 对称． (2)f (a ＋x )＝f (b －x )⇔f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b2对称．f (a ＋x )＝－f (b －x )⇔f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，0对称．(3)f (2a －x )＝－f (x )＋2b ⇔f (x )的图象关于点(a ，b )对称．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若函数f (x )为奇函数，则f (0)＝0.( × )(2)若f (x )为奇函数，g (x )为偶函数，则y ＝f (x )g (x )为奇函数．( × ) (3)若T 是函数f (x )的一个周期，则kT (k ∈N *)也是函数的一个周期．( √ ) (4)若函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，则f (x )的图象关于直线x ＝2对称．( √ ) 教材改编题1．下列函数中为偶函数的是( ) A ．y ＝x 2sin x B ．y ＝x 2cos x C ．y ＝|ln x | D ．y ＝2－x答案 B解析 根据偶函数的定义知偶函数满足f (－x )＝f (x )且定义域关于原点对称，A 选项为奇函数；B 选项为偶函数；C 选项定义域为(0，＋∞)，不具有奇偶性；D 选项既不是奇函数，也不是偶函数．2．若f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[0,2)时，f (x )＝2－x ，则f (2 023)＝________. 答案 12解析 ∵f (x )的周期为2， ∴f (2 023)＝f (1)＝2－1＝12.3. 设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]，若当x ∈[0,5]时，f (x )的图象如图所示，则不等式f (x )<0的解集为________．答案 (－2,0)∪(2,5]解析 由图象可知，当0<x <2时，f (x )>0； 当2<x ≤5时，f (x )<0， 又f (x )是奇函数， ∴当－2<x <0时，f (x )<0，当－5≤x ＜－2时，f (x )>0.综上，f (x )<0的解集为(－2,0)∪(2,5]．题型一 函数的奇偶性 命题点1 判断函数的奇偶性 例1 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝3－x 2＋x 2－3；(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2＋x ，x >0；(3)f (x )＝log 2(x ＋x 2＋1)．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2≥0，x 2－3≥0，得x 2＝3，解得x ＝±3，即函数f (x )的定义域为{－3，3}， 从而f (x )＝3－x 2＋x 2－3＝0. 因此f (－x )＝－f (x )且f (－x )＝f (x )， 所以函数f (x )既是奇函数又是偶函数．(2)显然函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． ∵当x <0时，－x >0， 则f (－x )＝－(－x )2－x ＝－x 2－x ＝－f (x )； 当x >0时，－x <0，则f (－x )＝(－x )2－x ＝x 2－x ＝－f (x )；综上可知，对于定义域内的任意x ，总有f (－x )＝－f (x )成立， ∴函数f (x )为奇函数．(3)显然函数f (x )的定义域为R ， f (－x )＝log 2[－x ＋(－x )2＋1] ＝log 2(x 2＋1－x ) ＝log 2(x 2＋1＋x )－1＝－log 2(x 2＋1＋x )＝－f (x )， 故f (x )为奇函数．思维升华 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件(1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数．(2)判断f (x )与f (－x )是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f (x )＋f (－x )＝0(奇函数)或f (x )－f (－x )＝0(偶函数))是否成立． 命题点2 函数奇偶性的应用例2 (1)(2022·哈尔滨模拟)函数f (x )＝x (e x ＋e －x )＋1在区间[－2,2]上的最大值与最小值分别为M ，N ，则M ＋N 的值为( ) A ．－2 B ．0 C ．2 D ．4 答案 C解析 依题意，令g (x )＝x (e x ＋e －x )， 显然函数g (x )的定义域为R ， 则g (－x )＝－x (e －x ＋e x )＝－g (x )， 即函数g (x )是奇函数，因此，函数g (x )在区间[－2,2]上的最大值与最小值的和为0，而f (x )＝g (x )＋1， 则有M ＝g (x )max ＋1，N ＝g (x )min ＋1， 于是得M ＋N ＝g (x )max ＋1＋g (x )min ＋1＝2， 所以M ＋N 的值为2.(2)(2021·新高考全国Ⅰ)已知函数f (x )＝x 3(a ·2x －2－x )是偶函数，则a ＝________. 答案 1解析 方法一 (定义法)因为f (x )＝x 3(a ·2x －2－x )的定义域为R ，且是偶函数，所以f (－x )＝f (x )对任意的x ∈R 恒成立，所以(－x )3(a ·2－x －2x )＝x 3(a ·2x －2－x )对任意的x ∈R 恒成立，所以x 3(a －1)(2x ＋2－x )＝0对任意的x ∈R 恒成立，所以a ＝1.方法二 (取特殊值检验法)因为f (x )＝x 3(a ·2x －2－x )的定义域为R ，且是偶函数，所以f (－1)＝f (1)，所以－⎝⎛⎭⎫a 2－2＝2a －12，解得a ＝1，经检验，f (x )＝x 3(2x －2－x )为偶函数，所以a ＝1. 方法三 (转化法)由题意知f (x )＝x 3(a ·2x －2－x )的定义域为R ，且是偶函数．设g (x )＝x 3，h (x )＝a ·2x －2－x ，因为g (x )＝x 3为奇函数，所以h (x )＝a ·2x －2－x 为奇函数， 所以h (0)＝a ·20－2－0＝0，解得a ＝1，经检验，f (x )＝x 3(2x －2－x )为偶函数，所以a ＝1. 教师备选1．已知函数f (x )＝9－x 2|6－x |－6，则函数f (x )( )A ．既是奇函数也是偶函数B ．既不是奇函数也不是偶函数C ．是奇函数，但不是偶函数D ．是偶函数，但不是奇函数 答案 C解析 由9－x 2≥0且|6－x |－6≠0， 解得－3≤x ≤3且x ≠0，可得函数f (x )的定义域为{x |－3≤x ≤3且x ≠0}， 关于原点对称，所以f (x )＝9－x 2|6－x |－6＝9－x 26－x －6＝9－x 2－x ，又f (－x )＝9－(－x )2x ＝－9－x 2－x＝－f (x )，所以f (x )是奇函数，但不是偶函数．2．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g (x )，x <0，2x －3，x >0为奇函数，则f (g (－1))＝________.答案 －1解析 ∵f (x )为奇函数且f (－1)＝g (－1)， ∴f (－1)＝－f (1)＝－(－1)＝1， ∴g (－1)＝1， ∴f (g (－1))＝f (1)＝－1.思维升华 (1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值．(2)利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题．跟踪训练1 (1)(2021·全国乙卷)设函数f (x )＝1－x1＋x ，则下列函数中为奇函数的是( )A ．f (x －1)－1B ．f (x －1)＋1C ．f (x ＋1)－1D ．f (x ＋1)＋1答案 B解析 f (x )＝1－x 1＋x ＝2－(x ＋1)1＋x ＝21＋x －1，为保证函数变换之后为奇函数，需将函数y ＝f (x )的图象向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度，得到的图象对应的函数为y ＝f (x －1)＋1.(2)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0，f (x )＝2x －2x ＋a ，则a ＝________；当x <0时，f (x )＝________. 答案 －1 －2－x －2x ＋1解析 ∵f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (0)＝0，即1＋a ＝0， ∴a ＝－1.∴当x ≥0时，f (x )＝2x －2x －1， 设x <0，则－x >0，∴f (－x )＝2－x －2(－x )－1＝2－x ＋2x －1， 又f (x )为奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )， ∴－f (x )＝2－x ＋2x －1， ∴f (x )＝－2－x －2x ＋1. 题型二 函数的周期性例3 (1)(2022·重庆质检)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意的实数x ，f (x －2)＝f (x ＋2)，当x ∈(0,2)时，f (x )＝x 2，则f ⎝⎛⎭⎫132等于( ) A ．－94B ．－14C.14D.94答案 A解析 由f (x －2)＝f (x ＋2)，知y ＝f (x )的周期T ＝4， 又f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f ⎝⎛⎭⎫132＝f ⎝⎛⎭⎫8－32 ＝f ⎝⎛⎭⎫－32＝－f ⎝⎛⎭⎫32＝－94. (2)函数f (x )满足f (x )f (x ＋2)＝13，且f (1)＝2，则f (2 023)＝________. 答案132解析 ∵f (x )f (x ＋2)＝13， ∴f (x ＋2)＝13f (x )，∵f (x ＋4)＝13f (x ＋2)＝1313f (x )＝f (x )，∴f (x )的周期为4， ∴f (2 023)＝f (3)＝13f (1)＝132.教师备选若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，f (x －1)－f (x －2)，x >0，则f (2 023)＝________.答案 －1 解析 当x >0时， f (x )＝f (x －1)－f (x －2)， ① ∴f (x ＋1)＝f (x )－f (x －1)，②①＋②得，f (x ＋1)＝－f (x －2)， ∴f (x )的周期为6，∴f (2 023)＝f (337×6＋1)＝f (1) ＝f (0)－f (－1)＝20－21＝－1.思维升华 (1)求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期． (2)利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题．跟踪训练2(1)(2022·安庆模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2，当－1≤x<3时，f(x)＝x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 023)等于() A．336 B．338C．337 D．339答案 B解析因为f(x＋6)＝f(x)，所以函数的周期T＝6，于是f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－(－3＋2)2＝－1，f(4)＝f(－2)＝－(－2＋2)2＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝1，而2 023＝6×337＋1，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 023)＝337×1＋1＝338.(2)函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x－1)，且f(x)为定义在R上的奇函数，则f(2 021)＋f(2 022)＝________.答案0解析∵f(x＋1)＝f(x－1)，∴f(x)的周期为2，∴f(2 021)＋f(2 022)＝f(1)＋f(0)，又f(x)为定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0，且f(－1)＝－f(1)，①又f(x)的周期为2，∴f(－1)＝f(1)，②由①②得f(1)＝0，∴f(2 021)＋f(2 022)＝0.题型三函数的对称性例4(1)(多选)(2022·承德模拟)已知函数f(x)的定义域为R，对任意x都有f(2＋x)＝f(2－x)，且f (－x )＝f (x )，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )的图象关于直线x ＝2对称 B ．f (x )的图象关于点(2,0)对称 C ．f (x )的周期为4 D ．y ＝f (x ＋4)为偶函数 答案 ACD解析 ∵f (2＋x )＝f (2－x )，则f (x )的图象关于直线x ＝2对称，故A 正确，B 错误； ∵函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称， 则f (－x )＝f (x ＋4)，又f (－x )＝f (x )， ∴f (x ＋4)＝f (x )，∴T ＝4，故C 正确；∵T ＝4且f (x )为偶函数，故y ＝f (x ＋4)为偶函数，故D 正确．(2)已知函数y ＝f (x )－2为奇函数，g (x )＝2x ＋1x ，且f (x )与g (x )图象的交点分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x 6，y 6)，则y 1＋y 2＋…＋y 6＝________. 答案 12解析 ∵函数y ＝f (x )－2为奇函数， ∴函数y ＝f (x )的图象关于点(0,2)对称，又g (x )＝2x ＋1x ＝1x ＋2，其图象也关于(0,2)对称，∴两函数图象交点关于(0,2)对称， 则y 1＋y 2＋…＋y 6＝3×4＝12.延伸探究 在本例(2)中，把函数“y ＝f (x )－2”改为“y ＝f (x ＋1)－2”，把“g (x )＝2x ＋1x ”改为“g (x )＝2x －1x －1”，其他不变，求x 1＋x 2＋…＋x 6＋y 1＋y 2＋…＋y 6的值．解 ∵y ＝f (x ＋1)－2为奇函数， ∴函数f (x )的图象关于点(1,2)对称， 又g (x )＝2x －1x －1＝1x －1＋2，∴g (x )的图象也关于点(1,2)对称，则x 1＋x 2＋…＋x 6＋y 1＋y 2＋…＋y 6＝3×2＋3×4＝18. 教师备选1．函数f (x )＝lg|2x －1|图象的对称轴方程为________． 答案 x ＝12解析 内层函数t ＝|2x －1|的对称轴是x ＝12，所以函数f (x )＝lg |2x －1|图象的对称轴方程是x＝12. 2．已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋bx ＋1的图象关于点(0,1)对称，且f ′(1)＝4，则a －b ＝________. 答案 －1解析 因为f (x )关于点(0,1)对称， 所以f (x )＋f (－x )＝2， 故f (1)＋f (－1)＝2，即1－a ＋b ＋1＋(－1)－a －b ＋1＝2， 解得a ＝0，所以f (x )＝x 3＋bx ＋1， 又因为f ′(x )＝3x 2＋b ，所以f ′(1)＝3＋b ＝4，解得b ＝1， 所以a －b ＝－1.思维升华 (1)求解与函数的对称性有关的问题时，应根据题目特征和对称性的定义，求出函数的对称轴或对称中心．(2)解决函数对称性有关的问题，一般结合函数图象，利用对称性解决求值或参数问题． 跟踪训练3 (1)函数f (x )的周期为6，且f (x ＋2)为偶函数，当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －1，则 f (2 025)＝________. 答案 1解析 ∵f (x )的周期为6，则f (2 025)＝f (3)， 又f (x ＋2)为偶函数，∴f (x )的图象关于直线x ＝2对称， ∴f (3)＝f (1)＝1，∴f (2 025)＝1.(2)(多选)关于函数f (x )＝sin x ＋1sin x 有如下四个命题，其中正确的是( )A ．f (x )的图象关于y 轴对称B ．f (x )的图象关于原点对称C ．f (x )的图象关于直线x ＝π2对称D ．f (x )的图象关于点(π，0)对称 答案 BCD解析 ∵f (x )＝sin x ＋1sin x 的定义域为{x |x ≠k π，k ∈Z }，f (－x )＝sin(－x )＋1sin (－x )＝－sin x －1sin x＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，图象关于原点对称， 故A 错误，B 正确． ∵f ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝cos x ＋1cos x ， f ⎝⎛⎭⎫π2＋x ＝cos x ＋1cos x ， ∴f ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝f ⎝⎛⎭⎫π2＋x ， ∴f (x )的图象关于直线x ＝π2对称，故C 正确．又f (x ＋2π)＝sin(x ＋2π)＋1sin (x ＋2π)＝sin x ＋1sin x ，f (－x )＝－sin x －1sin x ，∴f (x ＋2π)＝－f (－x )，∴f (x )的图象关于点(π，0)对称，故D 正确．课时精练1．如果奇函数f (x )在[3,7]上单调递增且最小值为5，那么f (x )在区间[－7，－3]上( ) A ．单调递增且最小值为－5B ．单调递减且最小值为－5C ．单调递增且最大值为－5D ．单调递减且最大值为－5 答案 C解析 因为奇函数f (x )在[3,7]上单调递增且最小值为5，而奇函数的图象关于原点对称， 所以f (x )在区间[－7，－3]上单调递增且最大值为－5. 2．(2022·南昌模拟)函数f (x )＝9x ＋13x 的图象( )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于坐标原点对称D ．关于直线y ＝x 对称答案 B解析 f (x )＝32x ＋13x ＝3x ＋3－x ，f (－x )＝3－x ＋3x ，∴f (－x )＝f (x )，故f (x )为偶函数，其图象关于y 轴对称．3．已知函数f (x )的图象关于原点对称，且周期为4，f (3)＝－2，则f (2 021)等于( ) A ．2 B ．0 C ．－2 D ．－4 答案 A解析 依题意，函数f (x )的图象关于原点对称，则函数f (x )是奇函数，又f (x )的周期为4，且f (3)＝－2，则有f (2 021)＝f (－3＋506×4)＝f (－3)＝－f (3)＝2，所以f (2 021)＝2.4．(2022·宁德模拟)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意的x ∈R 都有f (x ＋2)＝－f (x )，当x ∈[0,2]时，f (x )＝x 2＋ax ＋b ，则a ＋b 等于( ) A ．0 B ．－1 C ．－2 D ．2 答案 C解析 因为f (x )是定义在R 上的奇函数， 且x ∈[0,2]时，f (x )＝x 2＋ax ＋b ， 所以f (0)＝b ＝0，f (－x )＝－f (x )， 又对任意的x ∈R 都有f (x ＋2)＝－f (x )， 所以f (x ＋2)＝f (－x )，所以函数图象关于直线x ＝1对称，所以－a＝1，解得a＝－2，2所以a＋b＝－2.5．(多选)已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是()A．y＝f(|x|) B．y＝f(－x)C．y＝xf(x) D．y＝f(x)＋x答案BD解析由奇函数的定义f(－x)＝－f(x)验证，A项，f(|－x|)＝f(|x|)，为偶函数；B项，f[－(－x)]＝f(x)＝－f(－x)，为奇函数；C项，－xf(－x)＝－x·[－f(x)]＝xf(x)，为偶函数；D项，f(－x)＋(－x)＝－[f(x)＋x]，为奇函数．可知BD正确．6．(多选)(2022·湖北新高考9＋N联盟模拟)已知f(x)为R上的偶函数，且f(x＋2)是奇函数，则()A．f(x)的图象关于点(2,0)对称B．f(x)的图象关于直线x＝2对称C．f(x)的周期为4D．f(x)的周期为8答案AD解析∵f(x)为偶函数，∴f(x)的图象关于y轴对称，f(－x)＝f(x)，又∵f(x＋2)是奇函数，∴f(－x＋2)＝－f(x＋2)，∴f(x－2)＋f(x＋2)＝0，∴f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，∴函数f(x)的图象关于点(2,0)对称，f(x)为周期函数且周期为8.7．(2022·湘豫名校联考)已知f(x)＝ax2＋bx＋1是定义在[a－1,2a]上的偶函数，则a＋b＝________.答案 13解析 因为f (x )＝ax 2＋bx ＋1是定义在[a －1,2a ]上的偶函数， 则有(a －1)＋2a ＝3a －1＝0，则a ＝13，同时f (－x )＝f (x )，即ax 2＋bx ＋1＝a (－x )2＋b (－x )＋1， 则有bx ＝0，必有b ＝0. 则a ＋b ＝13.8．已知函数f (x )满足对∀x ∈R ，有f (1－x )＝f (1＋x )，f (x ＋2)＝－f (x )，当x ∈(0,1)时，f (x )＝x 2＋mx ，若f ⎝⎛⎭⎫352＝12，则m ＝______. 答案 12解析 由f (1－x )＝f (1＋x )， f (x ＋2)＝－f (x )，知f (x )的图象关于直线x ＝1对称，f (x )的周期为4， ∴f ⎝⎛⎭⎫352＝f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫12＝12， ∴14＋12m ＝12， ∴m ＝12.9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围． 解 (1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )， 于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2) 要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象(如图所示)知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1<a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．10．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数； (2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式． (1)证明 ∵f (x ＋2)＝－f (x )， ∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )． ∴f (x )是周期为4的周期函数．(2)解 ∵x ∈[2,4]，∴－x ∈[－4，－2]， ∴4－x ∈[0,2]，∴f (4－x )＝2(4－x )－(4－x )2 ＝－x 2＋6x －8.∵f (4－x )＝f (－x )＝－f (x )， ∴－f (x )＝－x 2＋6x －8， 即当x ∈[2,4]时，f (x )＝x 2－6x ＋8.11．(2022·重庆模拟)已知函数f (x )＝ax 5＋bx 3＋2，若f (2)＝7，则f (－2)等于( ) A ．－7 B ．－3 C ．3 D ．7 答案 B解析 设g (x )＝f (x )－2＝ax 5＋bx 3，则g (－x )＝－ax 5－bx 3＝－g (x )， 即f (x )－2＝－f (－x )＋2， 故f (－2)＝－f (2)＋4＝－3.12．已知定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝a 2x －a －2x＋1(a >0，a ≠1)，则f (1)等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．2 答案 C解析 由已知可得f (1)＋g (1)＝a 2－a －2＋1， f (－1)＋g (－1)＝a －2－a 2＋1， 因为f (x )为偶函数，g (x )为奇函数， 所以f (1)－g (1)＝a －2－a 2＋1，联立⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＋g (1)＝a 2－a －2＋1，f (1)－g (1)＝a －2－a 2＋1，解得f (1)＝1.13．(多选)(2022·本溪统考)已知定义在R 上的奇函数f (x )对∀x ∈R 都有f (x ＋2)＝－f (x )，则下列判断正确的是( ) A ．f (x )是周期函数且周期为4 B ．f (x )的图象关于点(1,0)对称 C ．f (x )的图象关于直线x ＝－1对称 D ．f (x )在[－4,4]上至少有5个零点 答案 ACD解析 对于A 选项，因为f (x ＋2)＝－f (x )， 所以f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝－[－f (x )] ＝f (x )，所以函数f (x )的周期为4，故A 项正确； 对于B 选项，因为f (x ＋2)＝－f (x )， 且f (－x )＝－f (x )， 所以f (x ＋2)＝f (－x )，所以f (x )的图象关于直线x ＝1对称， 故B 项错误；对于C 选项，因为f (x ＋2)＝－f (x )， 所以f (x )＝－f (x －2)， 又因为f (－x )＝－f (x )， 所以f (x －2)＝f (－x )，所以f (x )的图象关于直线x ＝－1对称， 故C 项正确；对于D 选项，因为f (x )为定义在R 上的奇函数， 所以f (0)＝0，因为T ＝4， 所以f (4)＝f (－4)＝0， 因为f (x ＋2)＝－f (x )， 所以f (0＋2)＝－f (0)＝0， 所以f (2)＝0，因为T ＝4， 所以f (－2)＝0，故D 项正确．14．已知函数f (x )＝4x 4x ＋2，则f (x )＋f (1－x )＝____________，f ⎝⎛⎭⎫12 023＋f ⎝⎛⎭⎫22 023＋f ⎝⎛⎭⎫32 023＋…＋f ⎝⎛⎭⎫2 0222 023＝________. 答案 1 1 011解析 因为f (x )＝4x4x ＋2，所以f (x )＋f (1－x )＝4x4x ＋2＋41－x41－x ＋2＝4x4x ＋2＋44x44x＋2 ＝4x4x ＋2＋44x4＋2·4x4x＝4x 4x ＋2＋44＋2·4x ＝2·4x ＋44＋2·4x ＝1，设f ⎝⎛⎭⎫12 023＋f ⎝⎛⎭⎫22 023＋f ⎝⎛⎭⎫32 023＋…＋f ⎝⎛⎭⎫2 0222 023＝m ， ① 则f ⎝⎛⎭⎫2 0222 023＋…＋f ⎝⎛⎭⎫32 023＋f ⎝⎛⎭⎫22 023＋f ⎝⎛⎭⎫12 023＝m ，②①＋②得2 022＝2m ，即m ＝1 011，故f ⎝⎛⎭⎫12 023＋f ⎝⎛⎭⎫22 023＋f ⎝⎛⎭⎫32 023＋…＋f ⎝⎛⎭⎫2 0222 023＝1 011.15．(多选)(2022·岳阳质检)设x ∈R ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则y ＝[x ]称为高斯函数，也叫取整函数．令f (x )＝x －[x ]，以下结论正确的有( ) A ．f (－1.1)＝0.9 B ．函数f (x )为奇函数 C ．f (x ＋1)＝f (x )＋1 D ．函数f (x )的值域为[0,1) 答案 AD解析 对于A ，f (－1.1)＝－1.1－[－1.1] ＝－1.1＋2＝0.9，故A 正确．对于B ，取x ＝－1.1，则f (－1.1)＝0.9， 而f (1.1)＝1.1－[1.1]＝1.1－1＝0.1， 故f (－1.1)≠－f (1.1)，所以函数f (x )不为奇函数，故B 错误．对于C ，f (x ＋1)＝x ＋1－[x ＋1]＝x ＋1－[x ]－1＝f (x )，故C 错误． 对于D ，由C 的判断可知，f (x )为周期函数，且周期为1， 当0≤x ≤1时，则当x ＝0时，f (0)＝0－[0]＝0，当0<x <1时，f (x )＝x －[x ]＝x －0＝x ， 当x ＝1时，f (x )＝1－[1]＝1－1＝0， 故当0≤x ≤1时，则有0≤f (x )<1， 故函数f (x )的值域为[0,1)，故D 正确．16．(2022·北京西城区模拟)设函数f (x )的定义域为R .若存在常数T ，A (T >0，A >0)，使得对于任意x ∈R ，f (x ＋T )＝Af (x )成立，则称函数f (x )具有性质P . (1)判断函数y ＝x 和y ＝cos x 是否具有性质P ？(结论不要求证明)(2)若函数f (x )具有性质P ，且其对应的T ＝π，A ＝2.已知当x ∈(0，π]时，f (x )＝sin x ，求函数f (x )在区间[－π，0]上的最大值． 解 (1)因为函数y ＝x 是增函数， 所以函数y ＝x 不具有性质P ， 当A ＝1，T ＝2π时，函数y ＝cos x 对于任意x ∈R ， f (x ＋T )＝Af (x )成立， 所以y ＝cos x 具有性质P . (2)设x ∈(－π，0]， 则x ＋π∈(0，π]，由题意得f (x ＋π)＝2f (x )＝sin(x ＋π)， 所以f (x )＝－12sin x ，x ∈(－π，0]，由f (－π＋π)＝2f (－π)，f (0＋π)＝2f (0)， 得f (－π)＝14f (π)＝0，所以当x ∈[－π，0]时，f (x )＝－12sin x ，所以当x ＝－π2时，f (x )在[－π，0]上有最大值f ⎝⎛⎭⎫－π2＝12.。

第9讲：函数的周期性与对称性知识点总结： 考点1：函数的周期（1）)()(x f T x f =+⇔)(x f y =的周期为T（2）)()(x b f a x f +=+)(b a <⇔)(x f y =的周期为a b T -= （3）)()(x f a x f -=+⇔)(x f y =的周期为a T 2=（4）)()(x f ca x f =+(C 为常数) ⇔)(x f y =的周期为a T 2= 考点2：函数的对称轴（1）)2()(x a f x f -=⇔则函数)(x f y =的对称轴为直线a x =（2）)()(x b f a x f -=+⇔则函数)(x f y =的对称轴为直线2b a x +=（3）若函数)(x f y =的对称轴为直线a x =⇔)(x f y =满足)2()-(a x f x f += （4）)(x f y =有两条对称轴a x =和b x =（)b a <⇔)(x f y =周期)(2a b T -= 考点3：函数的奇偶性与对称轴和函数周期之间关系（1）偶函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y =周期a T 2=。

（2）奇函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y =周期a T 4=。

考点4：函数的对称中心若函数)(x f y =满足b x a f x f 2)2()(=-+则函数)(x f y =的对称中心为()b a ,例1：已知函数f（x）是（﹣∞，+∞）上的偶函数，若对于x≥0，都有f（x+2）＝f（x），且当x∈[0，2）时，f（x）＝log2（x+1），则f（﹣2009）+f（2010）的值为（）A．﹣2B．﹣1C．2D．1例2：设函数f（x）是定义在R上的奇函数，满足f（x+1）＝﹣f（x﹣1），若f（﹣1）＞1，f（5）＝a2﹣2a﹣4，则实数a的取值范围是。

高三函数周期性和对称性知识点在高三数学中，函数的周期性和对称性是一个重要的知识点。

了解和掌握函数的周期性和对称性可以帮助我们更加深入地理解和应用函数的性质。

本文将从周期函数、对称函数以及函数的应用等方面来介绍高三函数周期性和对称性的知识点。

一、周期函数周期函数是指在一定的区间内，函数的图像在某一特定规律下重复出现。

周期函数的特点是在一定的区间内有着相同的函数值。

常见的周期函数有正弦函数、余弦函数和正切函数等。

首先，我们来了解正弦函数和余弦函数。

正弦函数的图像是一条上下震荡的曲线，它的周期为2π。

也就是说，当自变量增加2π时，函数值会重新回到原来的值。

而余弦函数的图像也是一条上下震荡的曲线，它的周期也是2π。

正弦函数和余弦函数是非常常见的周期函数，在物理学、工程学等领域中有广泛的应用。

接下来，我们再来介绍一下正切函数。

正切函数的图像是一条摆动不定的曲线，它的周期为π。

也就是说，当自变量增加π时，函数值会重新回到原来的值。

正切函数相比于正弦函数和余弦函数而言，其周期要小一些。

二、对称函数对称函数是指函数的图像具有某种对称性质。

常见的对称函数有偶函数和奇函数。

偶函数是指函数的图像关于y轴对称。

也就是说，如果函数f(x)是一个偶函数，那么对于任意的x值，有f(-x) = f(x)成立。

一个简单的例子就是二次函数y = x^2，它的图像关于y轴对称。

奇函数是指函数的图像关于原点对称。

也就是说，如果函数f(x)是一个奇函数，那么对于任意的x值，有f(-x) = -f(x)成立。

一个简单的例子就是一次函数y = x，它的图像关于原点对称。

三、函数的应用周期性和对称性的函数在实际问题中有很广泛的应用。

例如，振动现象的描述常常使用正弦函数、余弦函数或正切函数。

另外，对称函数的特点也为问题的求解提供了方便。

以周期函数为例，我们来看一个具体的应用。

假设有一个正弦函数表示一个物体的振动情况，我们希望求出物体完成一次振动的时间。

高考数学一轮总复习函数的对称性与周期性分析方法高考数学一轮总复习：函数的对称性与周期性分析方法函数是数学中一个重要的概念，对称性与周期性是函数研究中的两个关键方面。

在高考数学中，对于函数的对称性与周期性的分析方法，学生需要掌握清楚并能够熟练运用。

本文将详细介绍高考数学中函数的对称性与周期性分析方法。

一、函数的对称性分析方法1. 基本对称性函数的基本对称性是指关于坐标轴的对称性，包括关于x轴的对称性和关于y轴的对称性。

关于x轴的对称性：如果函数$f(x)$满足$f(x) = f(-x)$，则函数关于x轴对称。

关于y轴的对称性：如果函数$f(x)$满足$f(x) = -f(-x)$，则函数关于y轴对称。

2. 奇偶性函数的奇偶性是对称性的一种特殊情况。

奇函数：如果函数$f(x)$满足$f(-x) = -f(x)$，则函数为奇函数。

奇函数的图像关于原点对称。

偶函数：如果函数$f(x)$满足$f(-x) = f(x)$，则函数为偶函数。

偶函数的图像关于y轴对称。

3. 周期性函数的周期性是指函数在一定区间内有规律地重复的性质。

函数$f(x)$的周期为T：如果对于任意的x值，有$f(x+T) = f(x)$，则函数的周期为T。

二、函数的周期性分析方法1. 函数图像法通过观察函数的图像，可以直观地判断函数的周期。

例如，对于正弦函数$y = \sin(x)$，我们可以观察到在区间[0, 2π]中，函数的图像重复周期为2π。

2. 方程法对于周期函数，可以通过解方程来确定函数的周期。

例如，对于正弦函数$y = \sin(ax)$，其中a为常数，若函数的周期为T，则有：$\sin(a(x+T)) = \sin(ax)$根据正弦函数的性质，上式成立的条件为：$a(x+T)-ax= k2π$其中k为整数，解得：$T = \frac{2π}{a}$通过方程法，我们可以得到正弦函数的周期为$\frac{2π}{a}$。

三、实例分析下面以一个具体的例子来说明函数的对称性与周期性分析方法。