高考数学第一轮复习24函数的奇偶性与周期性跟踪测试

第3节函数的奇偶性与周期性考纲要求 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性；3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.知识梳理1.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那偶函数关于y轴对称么函数f(x)是偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，奇函数关于原点对称那么函数f(x)是奇函数2.函数的周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.1.(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).2.奇函数在两个关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个关于原点对称的区间上具有相反的单调性.3.函数周期性常用结论对f (x )定义域内任一自变量的值x ： (1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a (a >0). (2)若f (x ＋a )＝1f （x ），则T ＝2a (a >0). (3)若f (x ＋a )＝－1f （x ），则T ＝2a (a >0).4.对称性的三个常用结论(1)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称. (2)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，则函数y ＝f (x )的图象关于点(b ，0)中心对称.(3)若对于R 上的任意x 都有f (2a －x )＝f (x )或f (－x )＝f (2a ＋x )或f (a ＋x )＝f (a －x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称.诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)函数y ＝x 2在x ∈(0，＋∞)上是偶函数.( ) (2)若函数f (x )为奇函数，则一定有f (0)＝0.( )(3)若T 是函数的一个周期，则nT (n ∈Z ，n ≠0)也是函数的周期.( ) (4)若函数f (x )满足关系f (a ＋x )＝－f (b －x )，则函数f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，0对称.( )答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√解析 (1)由于偶函数的定义域关于原点对称，故y ＝x 2在(0，＋∞)上不具有奇偶性，(1)错误. (2)由奇函数定义可知，若f (x )为奇函数，且在x ＝0处有意义时才满足f (0)＝0，(2)错误.2.下列函数中为偶函数的是( )A.y ＝x 2sin xB.y ＝x 2cos xC.y ＝|ln x | D .y ＝2－x 答案 B解析 根据偶函数的定义知偶函数满足f (－x )＝f (x )，且定义域关于原点对称，A 选项为奇函数；B 选项为偶函数；C 选项的定义域为(0，＋∞)，不具有奇偶性；D 选项既不是奇函数，也不是偶函数.3.设f (x )是定义在R 上的奇函数，f (x )满足f (x ＋3)＝f (x )，且当x ∈⎣⎡⎭⎫0，32时，f (x )＝－x 3，则f ⎝⎛⎭⎫112＝________. 答案 18解析 由f (x ＋3)＝f (x )知函数f (x )的周期为3，又函数f (x )为奇函数，所以f ⎝⎛⎭⎫112＝f ⎝⎛⎭⎫－12 ＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫123＝18.4.(2020·江苏卷改编)已知y ＝f (x )是奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 23，则f (－8)的值是( )A.8B.－8C.4D.－4答案 D解析 f (8)＝823＝4，因为f (x )为奇函数，所以f (－8)＝－f (8)＝－4.5.(2021·日照一中月考)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (3－x )＝f (x )，则f (2 022)＝( ) A.－3 B.0 C.1 D.3答案 B解析 由于f (x )为奇函数，且f (x )＝f (3－x )， ∴f (3＋x )＝f (－x )＝－f (x )，从而知周期T ＝6， ∴f (2 022)＝f (0)＝0.6.(2020·全国大联考)已知f (x )＝e x ＋e ax 是偶函数，则f (x )的最小值为________. 答案 2解析 ∵f (x )＝e x ＋e ax 是偶函数，∴f (1)＝f (－1)，得e ＋e a ＝e －1＋e －a ，则a ＝－1. 所以f (x )＝e x ＋e －x ≥2e x ·e －x ＝2. 当且仅当x ＝0时取等号， 故函数f (x )的最小值为2.考点一 函数的奇偶性及其应用角度1 函数奇偶性的判断 【例1】 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝3－x 2＋x 2－3；(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2＋x ，x >0；(3)f (x )＝log 2(x ＋x 2＋1).解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2≥0，x 2－3≥0得x 2＝3，解得x ＝±3，即函数f (x )的定义域为{－3，3}， 从而f (x )＝3－x 2＋x 2－3＝0. 因此f (－x )＝－f (x )且f (－x )＝f (x )，∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数.(2)显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称.∵当x<0时，－x>0，则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；当x>0时，－x<0，则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；综上可知，对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)成立，∴函数f(x)为奇函数.(3)显然函数f(x)的定义域为R，f(－x)＝log2(－x＋（－x）2＋1)＝log2(x2＋1－x)＝log2(x2＋1＋x)－1＝－log2(x2＋1＋x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数.感悟升华判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立.角度2函数奇偶性的应用【例2】(1)(2019·全国Ⅱ卷)已知f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)＝－e ax，若f(ln 2)＝8，则a＝________.(2)设奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，若当x∈[0，5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集是________.答案 (1)－3 (2)(－2，0)∪(2，5]解析 (1)由题意得，当x >0，－x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－(－e －ax)＝e－ax，所以f (ln 2)＝e－a ln 2＝eln 2－a ＝2－a ＝8＝23，即2－a ＝23，所以a ＝－3.(2)由图象知，当0<x <2时，f (x )>0；当2<x ≤5时，f (x )<0，又f (x )是奇函数，∴当－2<x <0时，f (x )<0，当－5≤x <－2时，f (x )>0. 综上，f (x )<0的解集为(－2，0)∪(2，5].感悟升华 1.利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值.2.画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题.【训练1】 (1)(2021·百校联盟质检)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) A.y ＝x sin x B.y ＝x ln xC.y ＝e x －1e x ＋1D.y ＝x ln(x 2＋1－x )(2)已知f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋m ，则f (－3)＝________. 答案 (1)B (2)－7解析 (1)A 中，y ＝x sin x 为偶函数，D 中，y ＝x ln(x 2＋1－x )是偶函数. B 中，函数y ＝x ln x 的定义域为(0，＋∞)，非奇非偶函数. C 中，f (－x )＝e －x －1e －x ＋1＝1－e x 1＋e x ＝－f (x )，则y ＝e x －1e x ＋1为奇函数.(2)因为f (x )为R 上的奇函数，所以f (0)＝0， 即f (0)＝20＋m ＝0，解得m ＝－1， 故f (x )＝2x －1(x ≥0)，则f (－3)＝－f (3)＝－(23－1)＝－7.考点二 函数的周期性及其应用1.设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1，1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x <0，x ，0≤x <1，则f ⎝⎛⎭⎫32＝________. 答案 1解析 由题意得，f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－4×⎝⎛⎭⎫－122＋2＝1. 2.(2021·成都质检)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意的实数x ，f (x －2)＝f (x ＋2)，当x ∈(0，2)时，f (x )＝x 2，则f ⎝⎛⎭⎫132＝( ) A.－94B.－14C.14D.94答案 A解析 由f (x －2)＝f (x ＋2)，知y ＝f (x )的周期T ＝4， 又f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f ⎝⎛⎭⎫132＝f ⎝⎛⎭⎫8－32＝f ⎝⎛⎭⎫－32＝－f ⎝⎛⎭⎫32＝－94. 3.已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x ).若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝( ) A.－50 B.0 C.2 D.50答案 C解析 法一 ∵f (x )在R 上是奇函数，且f (1－x )＝f (1＋x ). ∴f (x ＋1)＝－f (x －1)，即f (x ＋2)＝－f (x ).因此f (x ＋4)＝f (x )，则函数f (x )是周期为4的函数， 由于f (1－x )＝f (1＋x )，f (1)＝2，故令x ＝1，得f (0)＝f (2)＝0，令x ＝2，得f (3)＝f (－1)＝－f (1)＝－2， 令x ＝3，得f (4)＝f (－2)＝－f (2)＝0， 故f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝2＋0－2＋0＝0，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝12×0＋f (1)＋f (2)＝2. 法二 由题意可设f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π2x ，作出f (x )的部分图象如图所示.由图可知，f (x )的一个周期为4，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝12[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (49)＋f (50)＝12×0＋f (1)＋f (2)＝2.4.已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[0，6]上与x 轴的交点个数为________. 答案 7解析 因为当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x .又f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且f (0)＝0， 则f (6)＝f (4)＝f (2)＝f (0)＝0. 又f (1)＝0，∴f (3)＝f (5)＝f (1)＝0，故函数y ＝f (x )的图象在区间[0，6]上与x 轴的交点有7个.感悟升华 1.求解与函数的周期有关问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期. 2.利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题. 考点三 函数性质的综合运用角度1 函数的单调性与奇偶性【例3】(1)已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x).若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c ＝g(3)，则a，b，c的大小关系为()A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a(2)(2020·新高考山东、海南卷)若定义在R的奇函数f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是()A.[－1，1]∪[3，＋∞)B.[－3，－1]∪[0，1]C.[－1，0]∪[1，＋∞)D.[－1，0]∪[1，3]答案(1)C(2)D解析(1)易知g(x)＝xf(x)在R上为偶函数，∵奇函数f(x)在R上是增函数，且f(0)＝0.∴g(x)在(0，＋∞)上是增函数.又3>log25.1>2>20.8，且a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)，∴g(3)>g(log25.1)>g(20.8)，则c>a>b.(2)因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0.又f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，画出函数f(x)的大致图象如图(1)所示，则函数f(x－1)的大致图象如图(2)所示.当x≤0时，要满足xf(x－1)≥0，则f(x－1)≤0，得－1≤x≤0.当x>0时，要满足xf(x－1)≥0，则f(x－1)≥0，得1≤x≤3.故满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是[－1，0]∪[1，3].故选D.感悟升华 1.比较函数值的大小问题，可以利用奇偶性，把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，再利用函数的单调性比较大小；2.对于抽象函数不等式的求解，应变形为f (x 1)>f (x 2)的形式，再结合单调性，脱去“f ”变成常规不等式，转化为x 1<x 2(或x 1>x 2)求解. 角度2 函数的奇偶性与周期性【例4】 (1)(2021·贵阳调研)定义在R 上的奇函数f (x )满足f (2－x )＝f (x )，且当－1≤x <0时，f (x )＝2x －1，则f (log 220)＝( ) A.14 B.15 C.－15D.－14(2)已知f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f (1)<1，f (5)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围为( ) A.(－1，4) B.(－2，0) C.(－1，0) D.(－1，2)答案 (1)B (2)A解析 (1)依题意，知f (2＋x )＝f (－x )＝－f (x )，则f (4＋x )＝f (x )，所以f (x )是周期函数，且周期为4.又2<log 25<3，则－1<2－log 25<0， 所以f (log 220)＝f (2＋log 25)＝f (log 25－2)＝－f (2－log 25)＝－(22－log 25－1)＝－⎝⎛⎭⎫45－1＝15. (2)因为f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数. ∴f (5)＝f (－1)＝f (1)<1. 从而2a －3a ＋1<1，解得－1<a <4.感悟升华 周期性与奇偶性结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行转换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解. 角度3 函数的奇偶性与对称性相结合【例5】 已知定义在R 上的函数f (x )，对任意实数x 有f (x ＋4)＝－f (x )，若函数f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称，f (－5)＝2，则f (2 021)＝________. 答案 2解析 由函数y ＝f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称可知，函数f (x )的图象关于y 轴对称，故f (x )为偶函数.由f (x ＋4)＝－f (x )，得f (x ＋4＋4)＝－f (x ＋4)＝f (x )，所以f (x )是周期T ＝8的偶函数，所以 f (2 021)＝f (5＋252×8)＝f (5)＝f (－5)＝2.感悟升华 函数f (x )满足的关系f (a ＋x )＝f (b －x )表明的是函数图象的对称性，函数f (x )满足的关系f (a ＋x )＝f (b ＋x )(a ≠b )表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆. 【训练2】 (1)(2020·银川调研)已知函数f (x )＝log 2⎝⎛⎭⎫1|x |＋1＋1x 2＋3，则不等式f (lg x )>3的解集为( ) A.⎝⎛⎭⎫110，10 B.⎝⎛⎭⎫－∞，110∪(10，＋∞) C.(1，10)D.⎝⎛⎭⎫110，1∪(1，10) (2)已知奇函数f (x )的图象关于直线x ＝3对称，当x ∈[0，3]时，f (x )＝－x ，则f (－16)＝________. 答案 (1)D (2)2解析 (1)∵f (x )的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}， 且f (－x )＝f (x )，则y ＝f (x )是偶函数，易知f (x )在(0，＋∞)上是单调递减函数，f (1)＝log 22＋4＝3， 所以不等式f (lg x )>3可化为0<|lg x |<1，即－1<lg x <1，且lg x ≠0，解得110<x <10，且x ≠1，所以所求不等式的解集为⎝⎛⎭⎫110，1∪(1，10). (2)根据题意，函数f (x )的图象关于直线x ＝3对称，则有f (x )＝f (6－x )， 又由函数为奇函数，则f (－x )＝－f (x )， 则f (x )＝－f (－x )＝－f (6＋x )， 则f (x )的最小正周期是12，故f (－16)＝f (－4)＝－f (4)＝－f (2)＝－(－2)＝2.活用函数性质中三类“二级结论”通过常见的“二级结论”解决数学问题，可优化数学运算的过程，使学生逐步形成规范化、程序化的思维品质.一、抽象函数的周期性问题(1)如果f (x ＋a )＝－f (x )(a ≠0)，那么f (x )是周期函数，其中的一个周期T ＝2a . (2)如果f (x ＋a )＝±1f （x ）(a ≠0)，那么f (x )是周期函数，其中的一个周期T ＝2a .【例1】 已知函数f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，有f (x ＋3)＝－f (x )，且当x ∈(0，3)时，f (x )＝x ＋1，则f (－2 023)＋f (2 024)＝( ) A.3 B.2 C.1 D.0答案 C解析 因为函数f (x )为定义在R 上的奇函数， 所以f (－2 023)＝－f (2 023)， 因为当x ≥0时，有f (x ＋3)＝－f (x )， 所以f (x ＋6)＝－f (x ＋3)＝f (x )，即当x ≥0时，自变量的值每增加6，对应函数值重复出现一次，又当x ∈(0，3)时，f (x )＝x ＋1，∴f (2 023)＝f (337×6＋1)＝f (1)＝2， f (2 024)＝f (337×6＋2)＝f (2)＝3.故f (－2 023)＋f (2 024)＝－f (2 023)＋3＝1. 二、函数的对称性问题(1)若函数y ＝f (x )为奇函数(或偶函数)，则函数y ＝f (x ＋a )的图象关于点(－a ，0)对称(或关于直线x ＝－a 对称).(2)若函数y ＝f (x ＋a )为奇函数(或偶函数)，则函数y ＝f (x )的图象关于点(a ，0)对称(或关于直线x ＝a 对称).(3)函数y ＝f (x )的图象关于点A (a ，b )对称的充要条件是f (x )＋f (2a －x )＝2b .【例2】 (1)(2020·鹰潭二模)已知偶函数f (x )的图象关于点(1，0)对称，当－1≤x ≤0时，f (x )＝－x 2＋1，则f (2 021)＝( ) A.2 B.0 C.－1D.1(2)(2021·长沙质检)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，且在区间[1，2]上单调递减，令a ＝ln 2，b ＝⎝⎛⎭⎫14－12，c ＝log 122，则f (a )，f (b )，f (c )的大小关系是( ) A.f (b )<f (c )<f (a ) B.f (a )<f (c )<f (b ) C.f (c )<f (b )<f (a ) D.f (c )<f (a )<f (b )答案 (1)B (2)C解析 (1)因为偶函数y ＝f (x )的图象关于点(1，0)对称， 所以f (－x )＝f (x )，f (2＋x )＋f (－x )＝0，所以f (x ＋2)＝－f (－x )＝－f (x )，则f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以函数y ＝f (x )是以4为周期的函数， 所以f (2 021)＝f (4×505＋1)＝f (1)＝f (－1). 又当－1≤x ≤0时，f (x )＝1－x 2， 故f (2 021)＝f (－1)＝1－(－1)2＝0.(2)依题意，定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，则f (x ＋2)＝f (－x )，即函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，且f (0)＝0.又f (x )在区间[1，2]上单调递减，则f (x )在区间[0，1]上单调递增，则f (1)>0. 由0<a ＝ln 2<1，得f (a )>f (0)＝0，b ＝⎝⎛⎭⎫14－12＝4＝2，则f (b )＝f (2)＝f (0)＝0， c ＝log 122＝－1，则f (c )＝f (－1)＝－f (1)<0，所以f (c )<f (b )<f (a ). 三、奇函数的最值问题已知函数f (x )是定义在区间D 上的奇函数，则对任意的x ∈D ，都有f (x )＋f (－x )＝0.特别地，若奇函数f (x )在D 上有最值，则f (x )max ＋f (x )min ＝0，且若0∈D ，则f (0)＝0.【例3】 设函数f (x )＝（x ＋1）2＋sin x x 2＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________.答案 2解析 显然函数f (x )的定义域为R ， 且f (x )＝（x ＋1）2＋sin x x 2＋1＝1＋2x ＋sin xx 2＋1， 设g (x )＝2x ＋sin xx 2＋1，则g (－x )＝－g (x )，∴g (x )为奇函数，由奇函数图象的对称性知g (x )max ＋g (x )min ＝0，∴M ＋m ＝[g (x )＋1]max ＋[g (x )＋1]min ＝2＋g (x )max ＋g (x )min ＝2.A 级 基础巩固一、选择题1.下列函数中，既是偶函数，又在(0，1)上单调递增的函数是( ) A.y ＝|log 3x | B.y ＝x 3 C.y ＝e |x | D.y ＝cos |x |答案 C解析 对于A ，函数定义域是(0，＋∞)，故是非奇非偶函数，显然B 中，y ＝x 3是奇函数. 对于C ，函数的定义域是R ，是偶函数，且当x ∈(0，＋∞)时，函数是增函数，故在(0，1)上单调递增，对于D ，y ＝cos |x |在(0，1)上单调递减.2.已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2，则f (2 021)＝( ) A.2 0212 B.1 C.0 D.－1答案 B解析 根据题意，函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，则有f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，即函数是周期为4的周期函数，则f (2 021)＝f (1＋2 020)＝f (1)＝12＝1.3.(2021·衡水中学检测)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增.若实数a 满足f (32a －1)≥f (－3)，则a 的最大值是( ) A.1 B.12 C.14D.34答案 D解析 ∵f (x )在R 上是偶函数，且在(－∞，0)上是增函数， ∴f (x )在(0，＋∞)上是减函数， 由f (32a －1)≥f (－3)＝f (3)， 得32a －1≤3，解之得a ≤34，故实数a 的最大值为34.4.若定义域为R 的函数f (x )在(4，＋∞)上为减函数，且函数y ＝f (x ＋4)为偶函数，则( ) A.f (2)>f (3) B.f (2)>f (5) C.f (3)>f (5) D.f (3)>f (6)答案 D解析 ∵y ＝f (x ＋4)为偶函数， ∴f (－x ＋4)＝f (x ＋4)，因此y ＝f (x )的图象关于直线x ＝4对称， ∴f (2)＝f (6)，f (3)＝f (5).又y ＝f (x )在(4，＋∞)上为减函数， ∴f (5)>f (6)，所以f (3)>f (6).5.(2021·昆明诊断)已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x ＋x x 2＋1－1，若f (a )＝－13，则f (－a )＝( ) A.13 B.23 C.－13D.－53答案 D解析 f (x )＝－sin 2x ＋xx 2＋1－1，设g (x )＝f (x )＋1＝－sin 2x ＋xx 2＋1，易知g (x )为奇函数，∴g (a )＝f (a )＋1＝23，则g (－a )＝－g (a )＝－23，因此f (－a )＋1＝－23，故f (－a )＝－53.6.若定义在R 上的奇函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎫x ＋32＝f (x )，当x ∈⎝⎛⎦⎤0，12时，f (x )＝log 12(1－x )，则f (x )在区间⎝⎛⎭⎫1，32内是( ) A.减函数且f (x )>0 B.减函数且f (x )<0 C.增函数且f (x )>0 D.增函数且f (x )<0答案 D解析 当x ∈⎝⎛⎦⎤0，12时，由f (x )＝log 12(1－x )可知，f (x )单调递增且f (x )>0. 又函数f (x )为奇函数，所以在区间⎣⎡⎭⎫－12，0上函数也单调递增，且f (x )<0. 由f ⎝⎛⎭⎫x ＋32＝f (x )知，函数的周期为32，所以在区间⎝⎛⎭⎫1，32上，函数单调递增且f (x )<0. 二、填空题7.已知奇函数f (x )在区间[3，6]上是增函数，且在区间[3，6]上的最大值为8，最小值为－1，则f (6)＋f (－3)的值为________. 答案 9解析 由于f (x )在[3，6]上为增函数，所以f (x )的最大值为f (6)＝8，f (x )的最小值为f (3)＝－1，因为f (x )为奇函数，所以f (－3)＝－f (3)＝1，所以f (6)＋f (－3)＝8＋1＝9.8.定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝f (x －1)，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x <0，|2－x |，0≤x <1，其中a ∈R ，若f (－5)＝f (4.5)，则a ＝________. 答案 2.5解析 由f (x ＋1)＝f (x －1)，得f (x ＋2)＝f [(x ＋1)＋1]＝f [(x ＋1)－1]＝f (x )， 所以f (x )是周期为2的周期函数.又f (－5)＝f (4.5)，所以f (－1)＝f (0.5)， 即－1＋a ＝1.5，解得a ＝2.5.9.若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是单调递增的.如果实数t 满足f (ln t )＋f ⎝⎛⎭⎫ln 1t ≤2f (1)，那么t 的取值范围是________. 答案 ⎣⎡⎦⎤1e ，e解析 由于函数f (x )是定义在R 上的偶函数， 所以f (ln t )＝f ⎝⎛⎭⎫ln 1t ， 由f (ln t )＋f ⎝⎛⎭⎫ln 1t ≤2f (1)，得f (ln t )≤f (1). 又函数f (x )在区间[0，＋∞)上是单调递增的， 所以|ln t |≤1，即－1≤ln t ≤1，故1e ≤t ≤e.三、解答题10.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数.(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围. 解 (1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x ). 于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ， 所以m ＝2.(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1<a ≤3，故实数a 的取值范围是(1，3].11.设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x ).当x ∈[0，2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数； (2)当x ∈[2，4]时，求f (x )的解析式. (1)证明 ∵f (x ＋2)＝－f (x )， ∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x ). ∴f (x )是周期为4的周期函数.(2)解 ∵x ∈[2，4]，∴－x ∈[－4，－2]， ∴4－x ∈[0，2]，∴f (4－x )＝2(4－x )－(4－x )2＝－x 2＋6x －8. ∵f (4－x )＝f (－x )＝－f (x )， ∴－f (x )＝－x 2＋6x －8，即当x ∈[2，4]时，f (x )＝x 2－6x ＋8.B 级 能力提升12.(2021·日照模拟)设函数f (x )＝12(e x －e －x )＋3x 3(－2<x <2)，则使得f (2x )＋f (x －1)>0成立的x的取值范围是( ) A.(－2，1) B.(－1，2) C.⎝⎛⎭⎫13，1 D.⎝⎛⎭⎫13，2答案 C解析 根据题意，有f (－x )＝12(e －x －e x )－3x 3＝－⎣⎡⎦⎤12（e x －e －x ）＋3x 3＝－f (x )， 即函数f (x )为奇函数，又f ′(x )＝12(e x ＋e －x )＋9x 2>0，所以f (x )在(－2，2)上为增函数，则f (2x )＋f (x －1)>0⇔f (2x )>f (1－x )， 因此⎩⎪⎨⎪⎧－2<2x <2，－2<x －1<2，2x >1－x ，解得13<x <1，故x 的取值范围为⎝⎛⎭⎫13，1.13.若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x )>0，f (x ＋2)＝1f （x ）对任意x ∈R 恒成立，则f (2 021)＝________. 答案 1解析 因为f (x )>0，f (x ＋2)＝1f （x ）， 所以f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝1f （x ＋2）＝11f （x ）＝f (x )，则函数f (x )的周期是4， 所以f (2 021)＝f (505×4＋1)＝f (1). 因为函数f (x )为偶函数， 所以f (2 021)＝f (－1)＝f (1).当x ＝－1时，f (－1＋2)＝1f （－1），得f (1)＝1f （1）.由f (x )>0，得f (1)＝1， 所以f (2 021)＝f (1)＝1.14.设f (x )是R 上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x . (1)求f (π)的值；(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图象与x 轴所围成图形的面积. 解 (1)由f (x ＋2)＝－f (x )得，f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以f (x )是以4为周期的周期函数，所以f (π)＝f (－1×4＋π)＝f (π－4)＝－f (4－π)＝－(4－π)＝π－4.(2)由f (x )是奇函数且f (x ＋2)＝－f (x )，得f [(x －1)＋2]＝－f (x －1)＝f [－(x －1)]，即f (1＋x )＝f (1－x ).故函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称.又当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，且f (x )的图象关于原点成中心对称，则f (x )的图象如图所示.当－4≤x ≤4时，f (x )的图象与x 轴围成的图形面积为S ，则S ＝4S △OAB ＝4× ⎝⎛⎭⎫12×2×1＝4.。

高考数学一轮复习 函数的奇偶性及周期性课时跟踪检测 理 湘教版第Ⅰ组：全员必做题1．x 为实数，[x ]表示不超过x 的最大整数，则函数f (x )＝x －[x ]在R 上为( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．增函数D ．周期函数2．(2013·湖南高考)已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，则g (1)等于( )A ．4B ．3C ．2D ．13．(2014·长春调研)已知函数f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1，若f (a )＝23，则f (－a )＝( )A.23 B ．－23C.43D ．－434．已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )是偶函数，递增区间是(0，＋∞) B ．f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1) C ．f (x )是奇函数，递减区间是(－1,1) D ．f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0)5．(2013·淄博一模)设定义在R 上的奇函数y ＝f (x )，满足对任意t ∈R ，都有f (t )＝f (1－t )，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12时，f (x )＝－x 2，则f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32的值等于( )A ．－12B ．－13C ．－14D ．－156．若偶函数y ＝f (x )为R 上的周期为6的周期函数，且满足f (x )＝(x ＋1)(x －a )(－3≤x ≤3)，则f (－6)等于________．7．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且f (x )－g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，则f (1)，g (0)，g (－1)之间的大小关系是______________．8．设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x ＜0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，则a ＋3b 的值为________．9．设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )， 当0≤x ≤1时，f (x )＝x . (1)求f (3)的值；(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图像与x 轴所围成图形的面积．10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．第Ⅱ组：重点选做题1．函数f (x )是周期为4的偶函数，当x ∈[0,2]时，f (x )＝x －1，则不等式xf (x )>0在[－1,3]上的解集为( )A ．(1,3)B ．(－1,1)C ．(－1,0)∪(1,3)D ．(－1,0)∪(0,1)2．设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当x ∈[0,1]时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121－x，则：①2是函数f (x )的周期；②函数f (x )在(1,2)上递减，在(2,3)上递增； ③函数f (x )的最大值是1，最小值是0；④当x ∈(3,4)时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －3.其中所有正确命题的序号是________．答 案第Ⅰ组：全员必做题1．选D 如图，当x ∈[0,1)时，画出函数图像，再左右扩展知f (x )为周期函数．故选D.2．选B 由已知可得，－f (1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (1)＝4，两式相加解得，g (1)＝3.3．选C 根据题意，f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1＝1＋x x 2＋1，而h (x )＝xx 2＋1是奇函数，故f (－a )＝1＋h (－a )＝1－h (a )＝2－[1＋h (a )]＝2－f (a )＝2－23＝43，故选C.4．选C 将函数f (x )＝x |x |－2x 去掉绝对值得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0，画出函数f (x )的图像，如图，观察图像可知，函数f (x )的图像关于原点对称，故函数f (x )为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．5．选C 由f (t )＝f (1－t )得f (1＋t )＝f (－t )＝－f (t )，所以f (2＋t )＝－f (1＋t )＝f (t )，所以f (x )的周期为2. 又f (1)＝f (1－1)＝f (0)＝0，所以f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝f (1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝－14. 6．解析：∵y ＝f (x )为偶函数，且f (x )＝(x ＋1)·(x －a )(－3≤x ≤3)， ∴f (x )＝x 2＋(1－a )x －a,1－a ＝0. ∴a ＝1.f (x )＝(x ＋1)(x －1)(－3≤x ≤3)．f (－6)＝f (－6＋6)＝f (0)＝－1.答案：－17．解析：在f (x )－g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 中，用－x 替换x ，得f (－x )－g (－x )＝2x，由于f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，所以f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，因此得－f (x )－g (x )＝2x.于是解得f (x )＝2－x －2x 2，g (x )＝－2－x ＋2x2，于是f (1)＝－34，g (0)＝－1，g (－1)＝－54，故f (1)>g (0)>g (－1)．答案：f (1)>g (0)>g (－1)8．解析：因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，且f (－1)＝f (1)，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，从而12b ＋212＋1＝－12a ＋1，即3a ＋2b ＝－2.① 由f (－1)＝f (1)，得－a ＋1＝b ＋22，即b ＝－2a .②由①②得a ＝2，b ＝－4，从而a ＋3b ＝－10. 答案：－109．解：(1)由f (x ＋2)＝－f (x )得，f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以f (x )是以4为周期的周期函数， 所以f (3)＝f (3－4)＝－f (1)＝－1.(2)由f (x )是奇函数与f (x ＋2)＝－f (x )，得f [(x －1)＋2]＝－f (x －1)＝f [－(x －1)]，即f (1＋x )＝f (1－x )．故知函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝1对称．又0≤x ≤1时，f (x )＝x ，且f (x )的图像关于原点成中心对称，则－1≤x ≤0时，f (x )＝x ，则f (x )的图像如图所示．当－4≤x ≤4时，设f (x )的图像与x 轴围成的图形面积为S ，则S ＝4S △OAB ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1＝4.10．解：(1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )， 于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2. (2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图像知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]． 第Ⅱ组：重点选做题 1．选C f (x )的图像如图．当x ∈(－1,0)时，由xf (x )>0得x ∈(－1,0)；当x ∈(0,1)时，由xf (x )<0得x ∈∅； 当x ∈(1,3)时，由xf (x )>0得x ∈(1,3)． 故x ∈(－1,0)∪(1,3)．2．解析：由已知条件：f (x ＋2)＝f (x )， 则y ＝f (x )是以2为周期的周期函数，①正确； 当－1≤x ≤0时0≤－x ≤1，f (x )＝f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋x ， 函数y ＝f (x )的图像如图所示：当3<x <4时，－1<x －4<0，f (x )＝f (x －4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －3，因此②④正确，③不正确．答案：①②④。

第四节函数的奇偶性与周期性[选题明细表]知识点、方法题号函数奇偶性的判定及应用1,3,14函数周期性的应用2,5,8,12利用奇偶性求函数值9,10,11函数性质的综合应用4,6,7,13,15一、选择题1.(2018·嘉兴一中高三测试)已知y=f(x)+x是偶函数,且f(2)=1,则f(2)等于( D )(A)2 (B)3 (C)4 (D)5解析:因为y=f(x)+x是偶函数,所以f(x)+x=f(x)x,当x=2时,f(2)+2=f(2)2,又f(2)=1,所以f(2)=5.故选D.2.(2018·温州高三5月模拟)已知定义在R上的函数f(x)的最小正周期等于T,则下列函数中最小正周期一定等于的是( A )(A)f(2x) (B)f() (C)2f(x) (D)f(x2)解析:A中函数f(2x)的最小正周期为,B中函数f()的最小正周期为2T,C中函数最小正周期为T,D中函数不一定是周期函数,故选A.3.(2019·杭二中高考仿真)现有四个函数:①y=x|sin x|;②y=xcos|x|;③y=;④y=xln|x|的部分图象如图,但顺序被打乱,则按照图象从左到右、从上到下的顺序,对应的函数序号正确的一组是( C ) (A)①④②③ (B)①④③②(C)③②④① (D)③④②①解析:结合图形及函数的解析式可知,y=x|sin x|,y=xcos|x|,y=xln|x|都是奇函数,而y=是非奇非偶函数,对比图象,第一个图象对应的解析式为③;对于函数 y=xcos|x|来说,当0<x<1时,y>0,当x=π时,y<0,可知第二个图象对应的解析式为②;对于函数y=xln|x|来说,当0<x<1时,y<0,且当x=1时,y=0,对比图象,可知第三个图象对应的解析式为④;对于函数y=x|sin x|来说,当x<0时,y≤0,当x>0时,y≥0,对比图象,可知第四个图象对应的解析式为①.由此可知,按照图象从左到右的顺序,对应的函数的序号正确的一组是③②④①,故选C.4.已知函数f(x)=x37x+sin x,若f(a2)+f(a2)>0,则实数a的取值范围是( D )(A)(∞,1) (B)(∞,3)(C)(1,2) (D)(2,1)解析:f(x)=f(x)且f′(x)=3x27+cos x<0,所以f(x)=x37x+sin x为奇函数且为单调减函数,f(a2)+f(a2)>0,则a2<2a,解得2<a<1,故选D.5.已知f(x)是定义域为R的奇函数,对于x≥0,都有f(x+2)=f(x),且当x∈[0,2]时,f(x)=e x1,则f(2 018)+f(2 019)等于( A )(A)1e (B)e1 (C)1e (D)e+1解析:因为f(x)是定义域为R的奇函数,对于x≥0,都有f(x+2)=f(x), 所以x≥0时,函数周期为T=2,f(2 018)=f(0)=0,f(2 019)=f(1)=e1, f( 2 019)=f(2 019),f(2 018)+f(2 019)=1e.故选A.6.已知f(x)是周期为2的奇函数,当0<x<1时,f(x)=lg x,设a=f(), b=f(),c=f(),则( A )(A)c<a<b (B)a<b<c(C)b<a<c (D)c<b<a解析:a=f()=f()=f()=lg =lg ,b=f()=f()=f()=lg=lg 2,c=f()=f()=lg ,因为2>>,所以lg 2>lg>lg,所以b>a>c.7.已知f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f(x)=f(2x),当x∈[0,1]时,f(x)=4x1,则f()等于( C )(A)0 (B)1 (C)1 (D)解析:由题意知f(x)的图象关于原点对称,且对称轴为x=1,故f(x)是周期为4的周期函数,则f()=f(2.5+8)=f(2.5)=f(22.5)=f(0.5)=f(0.5)=(41)=1,故选C.8.(2018·暨阳联谊学校高三4月联考)f(x)是定义在R上的函数,若f(2)=504,对任意x∈R,满足:f(x+4)f(x)≤2(x+1)及f(x+12) f(x)≥6(x+5),则的值为( C )(A)2 017 (B)2 018 (C)2 019 (D)2 020解析:因为f(x+4)f(x)≤2(x+1),所以f(x+8)f(x+4)≤2(x+5),进而有f(x+12)f(x+8)≤2(x+9),上述三式子相加得到f(x+12) f(x)≤6(x+5),结合已知f(x+12)f(x)≥6(x+5)得到f(x+12)f(x)=6(x+5),故f(2 018)f(2 006)+f(2 006)f(1 994)+f(1 994) f(1 982)+…+f(14)f(2)=30×168+6×=5 040+504×2 008=f(2 018)f(2),所以=2 019,故选C.二、填空题9.(2018·温州模拟)已知函数f(x)=,则f(0)= ,f(log23)+f(log2)= .解析:将x=0代入得f(0)=0,因为f(x)===f(x),所以f(x)是奇函数,所以f(x)+f(x)=0,所以f(log23)+f(log2)=f(log23)+f(log23)=0.答案:0 0∈R,函数f(x)=为奇函数.则f(1)= ,a= .解析:f(1)=(1)2+(1)=0,又因f(x)是奇函数,所以f(1)=f(1)=0,即f(1)=0,因此12+a×1=0,a=1.答案:0 111.偶函数f(x)满足f(x1)=f(x+1),且当x∈[0,1]时,f(x)=x,则f()= ;若在区间[1,3]内,函数g(x)=f(x)kxk有4个零点,则实数k的取值范围是.解析:因为偶函数f(x)满足f(x1)=f(x+1),所以f(x)=f(x+2),即函数f(x)是周期为2的周期函数,则f()=f(2)=f()=f()=,若1≤x≤0,则0≤x≤1,则f(x)=x=f(x),即f(x)=x,1≤x≤0,由g(x)=f(x)kxk=0得f(x)=k(x+1),要使函数g(x)=f(x)kxk有4个零点,即函数f(x)与h(x)=k(x+1)的图象有四个不同的交点,作出两个函数的图象如图.h(x)的图象过定点A(1,0),f(3)=1,则0<h(3)≤1,即0<4k≤1,得0<k≤,即实数k的取值范围是(0,].答案:(0,]12.若偶函数y=f(x)为R上的周期为6的周期函数,且满足f(x)=(x+1)(xa)(3≤x≤3),则f(6)等于.解析:因为y=f(x)为偶函数,且f(x)=(x+1)(xa)(3≤x≤3),所以f(x)=x2+(1a)xa,1a=0,所以a=1,f(x)=(x+1)(x1)(3≤x≤3).f(6)=f(6+6)=f(0)=1.答案:113.(2018·浙江诸暨高三5月适应性考试)已知f(x)是定义域为R的奇函数,且f(x)=f(4x),当2≤x<0时,f(x)=log3|x|,则f()=.解析:由f(x)=f(4x)知,f()=f(4)=f(),又因为f(x)是奇函数,所以f()=f()=log3||=1.答案:1三、解答题14.函数f(x)=(+)x3.(1)判断并证明f(x)的奇偶性;(2)求证:在定义域内f(x)恒为正.(1)解:判断:f(x)是偶函数.证明:f(x)的定义域为{x|x≠0},关于原点对称.对于任意x∈{x|x≠0},有f(x)=(+)(x)3=(+)x3=()x3=(+)x3=f(x),所以f(x)是偶函数.(2)证明:当x>0时,2x1>0且x3>0,所以f(x)=(+)x3>0,又因为f(x)是偶函数,所以当x<0时,f(x)>0也成立.综上,在定义域内f(x)恒为正.15.已知函数f(x)=x|2ax|+2x,a∈R.(1)若a=0,判断函数y=f(x)的奇偶性;(2)若函数f(x)在R上是增函数,求实数a的取值范围. 解:(1)当a=0时,f(x)=x|x|+2x,所以f(x)=x|x|2x=f(x),所以函数y=f(x)为奇函数.(2)f(x)=当x≥2a时,y=f(x)的对称轴为x=a1;当x<2a时,y=f(x)的对称轴为x=a+1;所以当a1≤2a≤a+1时,f(x)在R上是增函数,即1≤a≤1时,函数f(x)在R上是增函数.。

课时跟踪检测(六) 系统知识一一函数的单调性与最值、 奇偶性、周期性1下列函数为奇函数的是 ( )A . y = xB . y = |sin x|C . y = cosxD . y = e x - e x解析：选D 因为函数y =・｛的定义域为[0, +R ),不关于原点对称， 所以函数y = x为非奇非偶函数，排除 A ;因为y = |sin x|为偶函数，所以排除B ；因为y = cosx 为偶函数，所以排除 C ;因为 y = f(x)= e x — e x , f( — x)= e x 一 e x =— (e x — e x )=_ f (x )，所以函数 y = e —e —x为奇函数，故选D.2. (2019南昌调研)已知函数f(x)= x 2— 2x — 3,则该函数的单调递增区间为 ( )A .(―汽 1]B . [3,+^ )C . ( — m,— 1]D . [1 ,+^ )解析：选B 设t = x 2— 2x — 3,由t >0，得x 2— 2x — 3> 0，解得x < — 1或x > 3.所以函 数f(x)的定义域为(一m, — 1] U [3 ,+m ).因为函数t = x 2— 2x — 3的图象的对称轴为 x = 1 , 所以函数t 在(—m,— 1]上单调递减，在[3,+m )上单调递增.所以函数 f(x)的单调递增 区间为[3 , + m ).3.设f(x)— x 2= g(x), x € R ,若函数f(x)为偶函数，则g(x)的解析式可以为()3A. g(x) = x B . g(x) = cosxxC . g(x) = 1+ xD . g(x) = xe解析：选B 因为f(x) = x 2 + g(x),且函数f(x)为偶函数，所以有(—x)2 + g( — x)= x 2+ g(x), 即g(— x)= g(x)，所以g(x)为偶函数，由选项可知，只有选项 B 中的函数为偶函数，故选B.4. f(x)=((2019三明模拟)函数y = f(x)是 R 上的奇函数，当 x<0时，f(x)= 2x ,则当x>0时, ) —2x—x—2B . 2— xD . 2x C .解析：选 C x>0,— x<0. •••当 x<0 时，f(x)= 2x ,A 当 x>0 时，f(— x)= 2— x .••• f(x)是 R 上的奇函数，.••当 x>0 时，f(x) =— f( — x) = — 2—x .故选 C. 5 .函数f(x)=的图象关于()B .原点对称 D .直线y = x 对称解析：选B f(x)的定义域为[—3,0) U (0,3]关于原点对称，且f(— x) = — f(x),A . x 轴对称 C . y 轴对称• f(x)是奇函数，图象关于原点对称.0,若f(x — 1)>0，贝U x 的取值范围为(C . f(x) •— x) w 0 解析：选 C f(— x)=— f(x),6. (2019石家庄高三一检)已知函数 f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)单调递增，且f(1)=A . {x|0<x<1 或 x>2}B . {x|x<0 或 x>2}C. {x|x<0 或 x>3}{x|x<— 1 或 x>1}解析：选A 由于函数f(x)是奇函数，且当 x>0时，f(x)单调递增，f(1) = 0,故由f(x—1)>0，得—1<x — 1<0 或 x —1>1，所以 0<x<1 或 x>2，故选 A. 7. (2019天津模拟)若函数f(x)满足 "对任意 X 1, (0,+° )，当X 1VX 2时，都有f(X 1)>f(X 2)”，则f(x)的解析式可以是(2A . f(x)= (x — 1) xB . f(x) = e 1C . f(x)=D . f(x) = ln(x + 1)+ °)上单调递减.解析：选C 根据条件知，f(x)在(0, f(x)= (x — 1)2在(1, + °)上单调递增，排除 A ;对于对于 B , f(x) = e x 在(0,+°)上单调递增，排除 B ;对于 f(x)= ln(x + 1)在(0,+°)上单调递增，排除 D ;对于1f(x) = -在(0, + °)上单调递减，故选 C.8.函数 6 x € [12]f(x)=则f(x)的最大值、最小值分别为( )IX + 7, x € [ — 1, 1》A . 10,6B . 10,8C . 8,6D .以上都不对解析：选 A 当 K x w 2 时，8< 2x + 6W 10,当—K x<1 时，6< x + 7<8. •- f(x)min = f( — 1) = 6, f(x)max = f(2) = 10.9.当0w x w 2时，a< — x 2 + 2x 恒成立，则实数 a 的取值范围是(A .(―汽 1]B . (— °°, 0]C . ( —°, 0)1(0w x w 2)，函数图象如图所示：••• f(x)最小值为 f(0) = f(2) = 0.而 a< — x 2 + 2x 恒成立,/• a<0. 10.对于定义域为 R 的奇函数f(x)，下列结论成立的是( A . f(x)— f(— x)>0B . f(x) — f(— x) w 0D f ( — x)>0则 f(x) •(— x)=— f 2(x )w 0. 11.已知 f(x)在 R 上是奇函数，且满足 f(x + 4) = f(x),当 x € (0,2)时，f(x) = 2x 2,则 f(7) =( )A . — 2B . 2C . — 98D . 98解析：选 A 由 f(x + 4) = f(x),得 f(7) = f(3) = f(— 1).又T f(x)为奇函数， ••• f (— 1)=— f(1), f(1) = 2X 12= 2.A f(7) =— 2.故选 A. 12.若函数f(x)为偶函数，且在(0,+s )上是减函数，又 f(3) = 0，则f % — % <0的解集为()A .(—3,3) B .( — 3 — 3)U (3,+^ )C . (— 3,0)U (3, +3 ) D . ( — 3,— 3) U (0,3)解析：选CT f(x)为偶函数，f(— x)= f(x),故可化为佢<0,2x x '而f(x)在(0, +3)上是减函数，且 f(3) = 0, 故当 x>3 时，f(x)<0，当一3VXV0 时，f(x)>0 , 故 f xx<0 的解集为(—3,0) U (3, +3).2凶+1+ x 3+ 213 .已知函数f(x) =2|xi+ 1一的最大值为 M ，最小值为 m ，则M + m 等于()A . 0B . 2C . 4D . 8 解析：2 f 2|x|+1 + x 3x 3x3选 C f(x)=2ixi+ 1— 2+ 2ixi + 1，设 g(x) — 2m +〔，则 g( — x)=— g(x)(xR) , • g(x)为奇函数，• g(x)max+g(x)min= 0・ T M= f(x)max= 2+ g (x)max, m = f(x)min= 2+ g(x)min ， •-M + m=2+ g(x)max+ 2+ g(x)min=4,故选 C ・14.若函数f(x)= 3在区间［2 , a ］上的最大值与最小值的和为 3,则a= _________ .x 4解析：由f(x)= 一的图象知，f(x) = -在(0, + 3)上是减函数，T [2 , a ]? (0,+ 3), 3 1• f(x)=1在[2 , a]上也是减函数,1 1MX)” f(2)= 2, f(x)min = f(a) = a ,答案：41, x>0,15. (2019郑州模拟)设函数f(x)= 0, x = 0,g(x) = x 2f(x — 1)，则函数 g(x)的递减{- 1, x<0, 区间是 _________2x , x>1,解析：由题意知g(x) = 0, x = 1,函数的图象为如图所示的实— X 2, x<1，16.设定义在 R 上的函数f(x)同时满足以下条件：① f(x) + f( — x) = 0:②f(x) = f(x + 2); ③当 0W x<1 时,f(x) = 2x — 1,则 f 2 + f(1) + f 2 + f(2) + f 5 = _______________________ .解析：依题意知：函数f(x)为奇函数且周期为2,贝U f(1) + f( — 1)= 0, f(— 1) = f(1),即卩 f(1) = 0. •-f 2 + f(1)+f 3 + f(2)+f 5 =f (2»0+f (- 缺 f (°)+唱) =-+ 佝 + f i=f 1 + f(0)=21 — 1 + 20 — 1 2 = '•：;： 2— 1. 答案：2— 1线部分，根据图象，知答案：［0,1)g(x)的递减区间是［0,1).。

2.4 函数的奇偶性●知识梳理1.奇函数：对于函数f （x ）的定义域内任意一个x ，都有f （－x ）=－f （x ）〔或f （x ）+ f （－x ）=0〕，则称f （x ）为奇函数.2.偶函数：对于函数f （x ）的定义域内任意一个x ，都有f （－x ）=f （x ）〔或f （x ）－f （－x ）=0〕，则称f （x ）为偶函数.3.奇、偶函数的性质（1）具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）.（2）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称. （3）若奇函数的定义域包含数0，则f （0）=0. （4）奇函数的反函数也为奇函数.（5）定义在（－∞，+∞）上的任意函数f （x ）都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和.●点击双基1.下面四个结论中，正确①偶函数的图象一定与y 轴相交 ②奇函数的图象一定通过原点 ③偶函数的图象关于y 轴对称 ④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f （x ）=0（x ∈R ）A.1B.2C.3D.4解析：①不对；②不对，因为奇函数的定义域可能不包含原点；③正确；④不对，既是奇函数又是偶函数的函数可以为f （x ）=0〔x ∈（－a ，a ）〕.答案：A2.已知函数f （x ）=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）是偶函数，那么g （x ）=ax 3＋bx 2＋cx 是 A.奇函数 B.偶函数C.既奇且偶函数D.非奇非偶函数解析：由f （x ）为偶函数，知b=0，有g （x ）=ax 3＋cx （a ≠0）为奇函数. 答案：A3.若偶函数f （x ）在区间［－1，0］上是减函数，α、β是锐角三角形的两个内角，且α≠β，则下列不等式中正确的是A.f （cos α）＞f （cos β）B.f （sin α）＞f （cos β）C.f （sin α）＞f （sin β）D.f （cos α）＞f （sin β）解析：∵偶函数f （x ）在区间［－1，0］上是减函数，∴f （x ）在区间［0，1］上为增函数.由α、β是锐角三角形的两个内角，∴α+β＞90°，α＞90°－β.1＞sin α＞cos β＞0. ∴f （sin α）＞f （cos β）. 答案：B4.已知f （x ）＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为［a －1，2a ］，则a ＝___________，b ＝___________.解析：定义域应关于原点对称，故有a －1＝－2a ，得a ＝31. 又对于所给解析式，要使f （－x ）＝f （x ）恒成立，应b ＝0. 答案：310 5.给定函数:①y=x1（x ≠0）；②y=x 2+1；③y=2x ；④y=log 2x ；⑤y=log 2（x+12 x ）. 在这五个函数中，奇函数是_________，偶函数是_________，非奇非偶函数是__________.答案：①⑤ ② ③④ ●典例剖析【例1】 已知函数y=f （x ）是偶函数，y=f （x －2）在［0，2］上是单调减函数，则 A.f （0）＜f （－1）＜f （2） B.f （－1）＜f （0）＜f （2） C.f （－1）＜f （2）＜f （0） D.f （2）＜f （－1）＜f （0） 剖析：由f （x －2）在［0，2］上单调递减， ∴f （x ）在［－2，0］上单调递减. ∵y=f （x ）是偶函数，∴f （x ）在［0，2］上单调递增. 又f （－1）=f （1），故应选A. 答案：A【例2】 判断下列函数的奇偶性： （1）f （x ）=|x+1|－|x －1|； （2）f （x ）=（x －1）·xx-+11； （3）f （x ）=2|2|12-+-x x ；（4）f （x ）=⎩⎨⎧>+<-).0()1(),0()1(x x x x x x剖析：根据函数奇偶性的定义进行判断. 解：（1）函数的定义域x ∈（－∞，+∞），对称于原点.∵f （－x ）=|－x+1|－|－x －1|=|x －1|－|x+1|=－（|x+1|－|x －1|）=－f （x ）， ∴f （x ）=|x+1|－|x －1|是奇函数.（2）先确定函数的定义域.由xx-+11≥0，得－1≤x ＜1，其定义域不对称于原点，所以f （x ）既不是奇函数也不是偶函数.（3）去掉绝对值符号，根据定义判断. 由⎩⎨⎧≠-+≥-,02|2|,012x x 得⎩⎨⎧-≠≠≤≤-.40,11x x x 且故f （x ）的定义域为［－1，0）∪（0，1］，关于原点对称，且有x+2＞0.从而有f （x ）= 2212-+-x x =x x 21-，这时有f （－x ）=x x ---2)(1=－x x 21-=－f （x ），故f （x ）为奇函数.（4）∵函数f （x ）的定义域是（－∞，0）∪（0，+∞），并且当x ＞0时，－x ＜0， ∴f （－x ）=（－x ）［1－（－x ）］=－x （1+x ）=－f （x ）（x ＞0）. 当x ＜0时，－x ＞0，∴f （－x ）=－x （1－x ）=－f （x ）（x ＜0）. 故函数f （x ）为奇函数. 评述：（1）分段函数的奇偶性应分段证明.（2）判断函数的奇偶性应先求定义域再化简函数解析式.【例3】 （2005年北京东城区模拟题）函数f （x ）的定义域为D={x|x ≠0}，且满足对于任意x 1、x 2∈D ，有f （x 1·x 2）=f （x 1）+f （x 2）.（1）求f （1）的值；（2）判断f （x ）的奇偶性并证明；（3）如果f （4）=1，f （3x+1）+f （2x －6）≤3，且f （x ）在（0，+∞）上是增函数，求x 的取值范围.（1）解：令x 1=x 2=1，有f （1×1）=f （1）+f （1），解得f （1）=0. （2）证明：令x 1=x 2=－1，有f ［（－1）×（－1）］=f （－1）+f （－1）.解得f （－1）=0.令x 1=－1，x 2=x ，有f （－x ）=f （－1）+f （x ），∴f （－x ）=f （x ）.∴f （x ）为偶函数.（3）解：f （4×4）=f （4）+f （4）=2，f （16×4）=f （16）+f （4）=3. ∴f （3x+1）+f （2x －6）≤3即f ［（3x+1）（2x －6）］≤f （64）.（*） ∵f （x ）在（0，+∞）上是增函数， ∴（*）等价于不等式组 ⎩⎨⎧≤-+>-+64)62)(13(,0)62)(13(x x x x 或⎩⎨⎧≤-+-<-+,64)62)(13(,0)62)(13(x x x x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤--<>537,313x x x 或或⎪⎩⎪⎨⎧∈<<-.,331R x x ∴3＜x ≤5或－37≤x ＜－31或－31＜x ＜3.∴x 的取值范围为{x|－37≤x ＜－31或－31＜x ＜3或3＜x ≤5}.评述：解答本题易出现如下思维障碍：（1）无从下手，不知如何脱掉“f ”.解决办法:利用函数的单调性.（2）无法得到另一个不等式.解决办法：关于原点对称的两个区间上，奇函数的单调性相同，偶函数的单调性相反.深化拓展 已知f （x ）、g （x ）都是奇函数，f （x ）＞0的解集是（a 2，b ），g （x ）＞0的解集是（22a ，2b ），2b ＞a 2，那么f （x ）·g （x ）＞0的解集是 A.（22a ，2b ） B.（－b ，－a 2）C.（a 2，2b ）∪（－2b ，－a 2） D.（22a ，b ）∪（－b 2，－a 2）提示：f （x ）·g （x ）＞0⇔⎩⎨⎧>>0)(,0)(x g x f 或⎩⎨⎧<<.0)(,0)(x g x f∴x ∈（a 2，2b ）∪（－2b ，－a 2）.答案：C【例4】 （2004年天津模拟题）已知函数f （x ）=x+xp+m （p ≠0）是奇函数.（1）求m 的值. （2）（理）当x ∈［1，2］时，求f （x ）的最大值和最小值.（文）若p ＞1，当x ∈［1，2］时，求f （x ）的最大值和最小值. 解：（1）∵f （x ）是奇函数， ∴f （－x ）=－f （x ）.∴－x －x p +m=－x －xp－m.∴2m=0.∴m=0. （2）（理）（ⅰ）当p ＜0时，据定义可证明f （x ）在［1，2］上为增函数.∴f （x ）max =f （2）=2+2p，f （x ）min =f （1）=1+p. （ⅱ）当p ＞0时，据定义可证明f （x ）在（0，p ］上是减函数，在［p ，+∞）上是增函数.①当p ＜1，即0＜p ＜1时，f （x ）在［1，2］上为增函数，∴f （x ）max =f （2）=2+2p，f （x ）min =f （1）=1+p. ②当p ∈［1，2］时，f （x ）在［1，p ］上是减函数.在［p ，2］上是增函数.f （x ）min =f （p ）=2p .f （x ）max =max{f （1），f （2）}=max{1+p ，2+2p}. 当1≤p ≤2时，1+p ≤2+2p ，f （x ）max =f （2）；当2＜p ≤4时，1+p ≥2+2p ，f （x ）max =f （1）. ③当p ＞2，即p ＞4时，f （x ）在［1，2］上为减函数，∴f （x ）max =f （1）=1+p ，f （x ）min =f （2）=2+2p . （文）解答略.评述：f （x ）=x+xp（p ＞0）的单调性是一重要问题，利用单调性求最值是重要方法.深化拓展 f （x ）=x+xp的单调性也可根据导函数的符号来判断，本题如何用导数来解？ ●闯关训练 夯实基础1.定义在区间（－∞，+∞）上的奇函数f （x ）为增函数，偶函数g （x ）在区间［0，+∞）上的图象与f （x ）的图象重合，设a ＜b ＜0，给出下列不等式，其中成立的是①f （b ）－f （－a ）＞g （a ）－g （－b ） ②f （b ）－f （－a ）＜g （a ）－g （－b ） ③f （a ）－f （－b ）＞g （b ）－g （－a ） ④f （a ）－f （－b ）＜g （b ）－g （－a ）A.①④B.②③C.①③D.②④解析：不妨取符合题意的函数f （x ）=x 及g （x ）=|x|进行比较，或一般地g （x ）=⎩⎨⎧≤-≥,0)(,0)(x x f x x f f （0）=0，f （a ）＜f （b ）＜0. 答案：D2.（2003年北京海淀区二模题）函数f （x ）是定义域为R 的偶函数，又是以2为周期的周期函数.若f （x ）在［－1，0］上是减函数，那么f （x ）在［2，3］上是A.增函数B.减函数C.先增后减的函数D.先减后增的函数解析：∵偶函数f （x ）在［－1，0］上是减函数，∴f （x ）在［0，1］上是增函数.由周期为2知该函数在［2，3］上为增函数.答案：A3.已知f （x ）是奇函数，当x ∈（0，1）时，f （x ）=lg x+11，那么当x ∈（－1，0）时，f （x ）的表达式是__________.解析：当x ∈（－1，0）时，－x ∈（0，1），∴f （x ）=－f （－x ）=－lg x-11=lg （1－x ）.答案：lg （1－x ）4.（2003年北京）函数f （x ）=lg （1+x 2），g （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤-<+.12,1||0,12x x x x x h （x ）=tan2x 中，______________是偶函数.解析：∵f （－x ）=lg ［1+（－x ）2］=lg （1+x 2）=f （x ）， ∴f （x ）为偶函数.又∵1°当－1≤x ≤1时，－1≤－x ≤1， ∴g （－x ）=0.又g （x ）=0，∴g （－x ）=g （x ）. 2°当x ＜－1时，－x ＞1， ∴g （－x ）=－（－x ）+2=x+2.又∵g （x ）=x+2，∴g （－x ）=g （x ）. 3°当x ＞1时， －x ＜－1， ∴g （－x ）=（－x ）+2=－x+2.又∵g （x ）=－x+2，∴g （－x ）=g （x ）. 综上，对任意x ∈R 都有g （－x ）=g （x ）. ∴g （x ）为偶函数.h （－x ）=tan （－2x ）=－tan2x=－h （x ），∴h （x ）为奇函数. 答案：f （x ）、g （x ）5.若f （x ）=1222+-+⋅xx a a 为奇函数，求实数a 的值. 解：∵x ∈R ，∴要使f （x ）为奇函数，必须且只需f （x ）+f （－x ）=0，即a －122+x+ a －122+-x =0，得a=1.6.（理）定义在［－2，2］上的偶函数g （x ），当x ≥0时，g （x ）单调递减，若g （1－m ）＜g （m ），求m 的取值范围.解：由g （1－m ）＜g （m ）及g （x ）为偶函数，可得g （|1－m|）＜g （|m|）.又g （x ）在（0，+∞）上单调递减，∴|1－m|＞|m|，且|1－m|≤2，|m|≤2，解得－1≤m ＜21.说明：也可以作出g （x ）的示意图，结合图形进行分析. （文）（2005年北京西城区模拟题）定义在R 上的奇函数f （x ）在（0，+∞）上是增函数，又f （－3）=0，则不等式xf （x ）＜0的解集为A.（－3，0）∪（0，3）B.（－∞，－3）∪（3，+∞）C.（－3，0）∪（3，+∞）D.（－∞，－3）∪（0，3） 解析：由奇偶性和单调性的关系结合图象来解. 答案：A 培养能力7.已知f （x ）＝x （121-x ＋21）.（1）判断f （x ）的奇偶性； （2）证明f （x ）＞0.（1）解：f （x ）＝x ·)12(212-+xx ，其定义域为x ≠0的实数.又f （－x ）＝－x ·)12(212-+--x x ＝－x ·)21(221x x -+＝x ·)12(212-+x x ＝f （x ），∴f （x ）为偶函数.（2）证明：由解析式易见，当x ＞0时，有f （x ）＞0. 又f （x ）是偶函数，且当x ＜0时－x ＞0， ∴当x ＜0时f （x ）＝f （－x ）＞0，即对于x ≠0的任何实数x ，均有f （x ）＞0.探究创新8.设f （x ）=log 21（11--x ax）为奇函数，a 为常数， （1）求a 的值；（2）证明f （x ）在（1，+∞）内单调递增；（3）若对于［3，4］上的每一个x 的值，不等式f （x ）＞（21）x+m 恒成立，求实数m 的取值范围.（1）解：f （x ）是奇函数，∴f （－x ）=－f （x ）.∴log 2111--+x ax =－log 2111--x ax ⇔11--+x ax =ax x --11＞0⇒1－a 2x 2=1－x 2⇒a=±1.检验a=1（舍），∴a=－1.（2）证明：任取x 1＞x 2＞1，∴x 1－1＞x 2－1＞0.∴0＜121-x ＜122-x ⇒0＜1+121-x ＜1+122-x ⇒0＜1111-+x x ＜1122-+x x ⇒log 211111-+x x ＞log 211122-+x x ，即f （x 1）＞f （x 2）.∴f （x ）在（1，+∞）内单调递增. （3）解：f （x ）－（21）x＞m 恒成立. 令g （x ）=f （x ）－（21）x.只需g （x ）min ＞m ，用定义可以证g （x ）在［3，4］上是增函数，∴g （x ）min =g （3）=－89.∴m ＜－89时原式恒成立.●思悟小结1.函数的奇偶性是函数的整体性质，即自变量x 在整个定义域内任意取值.2.有时可直接根据图象的对称性来判断函数的奇偶性. ●教师下载中心 教学点睛1.函数的奇偶性经常与函数的其他性质，如单调性、周期性、对称性结合起来考查.因此，在复习过程中应加强知识横向间的联系.2.数形结合，以形助数是解决本节问题常用的思想方法.3.在教学过程中应强调函数的奇偶性是函数的整体性质，而单调性是其局部性质. 拓展题例【例1】 已知函数f （x ）=cbx ax ++12（a 、b 、c ∈Z ）是奇函数，又f （1）=2，f （2）＜3，求a 、b 、c 的值.解：由f （－x ）=－f （x ），得－bx+c=－（bx+c ）. ∴c=0.由f （1）=2，得a+1=2b.由f （2）＜3，得114++a a ＜3，解得－1＜a ＜2.又a ∈Z ，∴a=0或a=1.若a=0，则b=21，与b ∈Z 矛盾.∴a=1，b=1，c=0.【例2】 已知函数y=f （x ）的定义域为R ，对任意x 、x ′∈R 均有f （x+x ′）=f （x ）+f （x ′），且对任意x ＞0，都有f （x ）＜0，f （3）=－3.（1）试证明：函数y=f （x ）是R 上的单调减函数； （2）试证明：函数y=f （x ）是奇函数；（3）试求函数y=f（x）在［m，n］（m、n∈Z，且mn＜0）上的值域.分析：（1）可根据函数单调性的定义进行论证，考虑证明过程中如何利用题设条件.（2）可根据函数奇偶性的定义进行证明，应由条件先得到f（0）=0后，再利用条件f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）中x1、x2的任意性，可使结论得证.（3）由（1）的结论可知f（m）、f（n）分别是函数y=f（x）在［m、n］上的最大值与最小值，故求出f（m）与f（n）就可得所求值域.（1）证明：任取x1、x2∈R，且x1＜x2，f（x2）=f［x1+（x2－x1）］，于是由题设条件f（x+x′）=f（x）+f（x′）可知f（x2）=f（x1）+f（x2－x1）.∵x2＞x1，∴x2－x1＞0.∴f（x2－x1）＜0.∴f（x2）=f（x1）+f（x2－x1）＜f（x1）.故函数y=f（x）是单调减函数.（2）证明：∵对任意x、x′∈R均有f（x+x′）=f（x）+f（x′），∴若令x=x′=0，则f（0）=f（0）+f（0）.∴f（0）=0.再令x′=－x，则可得f（0）=f（x）+f（－x）.∵f（0）=0，∴f（－x）=－f（x）.故y=f（x）是奇函数.（3）解：由函数y=f（x）是R上的单调减函数，∴y=f（x）在［m，n］上也为单调减函数.∴y=f（x）在［m，n］上的最大值为f（m），最小值为f（n）.∴f（n）=f［1+（n－1）］=f（1）+f（n－1）=2f（1）+f（n－2）=…=nf（1）.同理，f（m）=mf（1）.∵f（3）=－3，∴f（3）=3f（1）=－3.∴f（1）=－1.∴f（m）=－m，f（n）=－n.因此，函数y=f（x）在［m，n］上的值域为［－n，－m］.评述：（1）满足题设条件f（x+x′）=f（x）+f（x′）的函数，只要其定义域是关于原点对称的，它就为奇函数.（2）若将题设条件中的x＞0，均有f（x）＜0改成均有f（x）＞0，则函数f（x）就是R上的单调增函数.（3）若题设条件中的m、n∈Z去掉，则我们就无法求出f（m）与f（n）的值，故m、n∈Z不可少.。

高三数学专项复习 函数的奇偶性与周期性一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)1．定义在R 上的函数f (x )满足：f (x )·f (x ＋2)＝13，f (1)＝2，则f (99)＝( )A ．13B ．2C.132D.213解析：由f (x )·f (x ＋2)＝13，知f (x ＋2)·f (x ＋4)＝13，所以f (x ＋4)＝f (x )，即f (x )是周期函数，周期为4.所以f (99)＝f (3＋4×24)＝f (3)＝13f (1)＝132. 答案：C2．(2010·郑州)定义在R 上的函数f (x )满足：对于任意α，β∈R ，总有f (α＋β)－[f (α)＋f (β)]＝2010，则下列说法正确的是( )A ．f (x )－1是奇函数B ．f (x )＋1是奇函数C ．f (x )－2010是奇函数D ．f (x )＋2010是奇函数解析：依题意，取α＝β＝0，得f (0)＝－2010；取α＝x ，β＝－x ，得f (0)－f (x )－f (－x )＝2010，f (－x )＋2010＝－[f (x )－f (0)]＝－[f (x )＋2010]，因此函数f (x )＋2010是奇函数，选D.答案：D3．设f (x )是定义在R 上以2为周期的偶函数，已知x ∈(0,1)时，f (x )＝log 12(1－x )，则函数f (x )在(1,2)上( )A ．是增函数，且f (x )<0B ．是增函数，且f (x )>0C ．是减函数，且f (x )<0D ．是减函数，且f (x )>0解析：由题意得当x ∈(1,2)时，0<2－x <1,0<x －1<1，f (x )＝f (－x )＝f (2－x )＝log 12[1－(2－x )]＝log 12(x －1)>0，则可知当x ∈(1,2)时，f (x )是减函数，选D.答案：D4．设f (x )是连续的偶函数，且当x >0时是单调函数，则满足f (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3x ＋4的所有x 之和为( ) A ．－3 B ．3C ．－8D ．8 解析：因为f (x )是连续的偶函数，且x >0时是单调函数，由偶函数的性质可知若f (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x ＋4，只有两种情况：①x ＝x ＋3x ＋4；②x ＋x ＋3x ＋4＝0.由①知x 2＋3x －3＝0，故两根之和为x 1＋x 2＝－3.由②知x 2＋5x ＋3＝0，故其两根之和为x 3＋x 4＝－5.因此满足条件的所有x 之和为－8.答案：C5．已知奇函数f (x )在区间[3,7]上是增函数，且最小值为5，那么函数f (x )在区间[－7，－3]上() A ．是增函数且最小值为－5B ．是增函数且最大值为－5C ．是减函数且最小值为－5D ．是减函数且最大值为－5解析：∵f (x )为奇函数，∴f (x )的图象关于原点对称．∵f (x )在[3,7]上是增函数，∴f (x )在[－7，－3]上也是增函数．∵f (x )在[3,7]上的最小值为5，∴由图可知函数f (x )在[－7，－3]上有最大值－5.答案：B评析：本题既涉及到函数的奇偶性，又涉及到函数的单调性，还涉及到函数的最值，是一道综合性较强的题目，由于所给的函数没有具体的解析式，因此我们画出函数f (x )在区间[3,7]上的示意图，由图形易得结论．6．(2010·新课标全国)设偶函数f (x )满足f (x )＝x 3－8(x ≥0)，则{x |f (x －2)>0}＝( )A ．{x |x <－2或x >4}B ．{x |x <0或x >4}C ．{x |x <0或x >6}D ．{x |x <－2或x >2}解析：当x <0时，－x >0，∴f (－x )＝(－x )3－8＝－x 3－8，又f (x )是偶函数，∴f (x )＝f (－x )＝－x 3－8，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 3－8，x ≥0－x 3－8，x <0. ∴f (x －2)＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －2)3－8，x ≥2－(x －2)3－8，x <2， ⎩⎨⎧ x ≥2(x －2)3－8>0或⎩⎨⎧x <2－(x －2)3－8>0， 解得x >4或x <0.故选B.答案：B二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．)7．(2010·江苏)设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x )(x ∈R )是偶函数，则实数a 的值为________． 解析：设g (x )＝x ，h (x )＝e x ＋a e －x ，因为函数g (x )＝x 是奇函数，则由题意知，函数h (x )＝e x ＋a e －x 为奇函数，又函数f (x )的定义域为R ，∴h (0)＝0，解得a ＝－1.答案：－18．已知函数f (x ＋1)是奇函数，f (x －1)是偶函数，且f (0)＝2，则f (4)＝________.解析：依题意有f (－x ＋1)＝－f (x ＋1)，f (－x －1)＝f (x －1)，所以f (4)＝f (－(－3)＋1)＝－f (－2)＝－f (－1－1)＝－f (0)＝－2.答案：－29．(2010·湖北八校)设函数f (x )的定义域、值域分别为A 、B ，且A ∩B 是单元集，下列命题①若A ∩B ＝{a }，则f (a )＝a ；②若B 不是单元集，则满足f [f (x )]＝f (x )的x 值可能不存在；③若f (x )具有奇偶性，则f (x )可能为偶函数；④若f (x )不是常数函数，则f (x )不可能为周期函数．其中，正确命题的序号为________．解析：如f (x )＝x ＋1，A ＝[－1,0]，B ＝[0,1]满足A ∩B ＝{0}，但f (0)≠0，且满足f [f (x )]＝f (x )的x 可能不存在，①错，②正确；如，f (x )＝1，A ＝R ，B ＝{1}，则f (x )＝1，A ＝R 是偶函数，③正确；如f (x )＝x －2k ＋1，A ＝[2k －1,2k ]，B ＝[0,1]，k ∈Z ，f (x )是周期函数，但不是常数函数，所以④错误．答案：②③10．对于定义在R 上的函数f (x )，有下述四个命题，其中正确命题的序号为________．①若f (x )是奇函数，则f (x －1)的图象关于点A (1,0)对称；②若对x ∈R ，有f (x ＋1)＝f (x －1)，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称；③若函数f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称，则f (x )为偶函数；④函数y ＝f (1＋x )与函数y ＝f (1－x )的图象关于直线x ＝1对称．解析：f (x －1)的图象是由f (x )的图象向右平移一个单位而得到，又f (x )是奇函数，其图象关于原点对称，所以f (x －1)的图象关于点A (1,0)对称，故①正确；由f (x ＋1)＝f (x －1)可知f (x )的周期为2，无法判断其对称轴，故②错误；f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称，则f (x )关于y 轴对称，故f (x )为偶函数，③正确；y ＝f (1＋x )的图象是由y ＝f (x )的图象向左平移一个单位后得到，y ＝f (1－x )是由y ＝f (x )的图象关于y 轴对称后再向右平移一个单位而得到，两者图象关于y 轴对称，故④错误．答案：①③三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)11．已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b 2x ＋1＋a是奇函数． (1)求a 、b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围．分析：(1)由f (0)＝0可求得b ，再由特殊值或奇函数定义求得a ；(2)先分析函数f (x )的单调性，根据单调性去掉函数符号f ，然后用判别式解决恒成立问题．解：(1)因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即b －1a ＋2＝0⇒b ＝1， 所以f (x )＝1－2xa ＋2x ＋1， 又由f (1)＝－f (－1)知1－2a ＋4＝－1－12a ＋1⇒a ＝2. (2)由(1)知f (x )＝1－2x2＋2x ＋1＝－12＋12x ＋1， 易知f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数．又因f (x )是奇函数，从而不等式：f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0等价于f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (k －2t 2)，因f (x )为减函数，由上式推得：t 2－2t >k －2t 2，即对t ∈R 有：3t 2－2t －k >0，从而Δ＝4＋12k <0⇒k <－13. 12．设函数f (x )的定义域为R ，对于任意的实数x ，y ，都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，当x ＞0时，f (x )＜0，求证：(1)f (x )为奇函数；(2)f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数．证明：(1)令x ＝y ＝0，得f (0)＝f (0)＋f (0)，∴f (0)＝0.再令y ＝－x ，得f (0)＝f (x )＋f (－x )，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．(2)设x 1、x 2∈(－∞，＋∞)且x 1＜x 2，则x 2－x 1＞0，∵当x ＞0时，f (x )＜0，∴f (x 2－x 1)＜0.又∵对于任意的实数x ，y 都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )且f (x )为奇函数， ∴f (x 2－x 1)＝f [x 2＋(－x 1)]＝f (x 2)＋f (－x 1)＝f (x 2)－f (x 1)．∴f (x 2)－f (x 1)＜0，∴f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数．13．设函数f (x )的定义域关于原点对称，且满足①f (x 1－x 2)＝f (x 1)f (x 2)＋1f (x 2)－f (x 1)； ②存在正常数a ，使f (a )＝1.求证：(1)f (x )是奇函数；(2)f (x )是周期函数，并且有一个周期为4a .证明：(1)不妨令x ＝x 1－x 2，则f (－x )＝f (x 2－x 1)＝f (x 2)f (x 1)＋1f (x 1)－f (x 2)＝－f (x 1)f (x 2)＋1f (x 2)－f (x 1)＝－f (x 1－x 2) ＝－f (x )．∴f (x )是奇函数．(2)要证f (x ＋4a )＝f (x )，可先计算f (x ＋a )，f (x ＋2a )，∵f (x ＋a )＝f [x －(－a )]＝f (－a )f (x )＋1f (－a )－f (x )＝－f (a )f (x )＋1－f (a )－f (x )＝f (x )－1f (x )＋1，(f (a )＝1)．∴f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝f(x＋a)－1f(x＋a)＋1＝f(x)－1f(x)＋1－1f(x)－1f(x)＋1＋1＝－1f(x).∴f(x＋4a)＝f[(x＋2a)＋2a]＝1－f(x＋2a)＝f(x)故f(x)是以4a为周期的周期函数．。

高三年级数学周考试题(函数单调性、奇偶性、周期性部分)一、选择题(每小题5分，共60分)1、下列函数中，与函数y ＝1x有相同定义域的是( )． A 、f (x )＝ln x B 、f (x )＝1x C 、f (x )＝|x | D 、f (x )＝e x2、若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图 象可能是( )．3、下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是( )． A 、y ＝x 3B 、y ＝－x 2＋1 C 、y ＝|x |＋1 D 、y ＝2－|x |4、已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x＋1，x <1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a 等于( )．A 、2B 、45C 、12D 、95、已知函数f (x )的图象是两条线段(如图，不含端点)，则f( f(31) )＝( )．A 、－13B 、13C 、－23D 、236、设f (x )为定义在R 上的奇函数．当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)等于( )． A 、3 B 、1 C 、－3D 、－17、已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)单调增加，则满足f (2x －1)＜f (31) 的x 的取值范围是( )．A 、(31, 32 )B 、[31, 32 )C 、（21, 32 )D 、[21, 32 )8、函数f (x )= 3x +log 2(x +2)在区间[-1,1]上的最小值为 （ ）A ．3 + log 23B 13 C 、3D 、无最大值9、函数f (x )＝ln(4＋3x －x 2)的单调递减区间是( )．A 、（∞-，23]B 、[23,∞+)C 、[23, 4)D 、(-1,23)10、若函数f (x )＝x(2x ＋1)(x －a )为奇函数，则a ＝( )．A 、12B 、23C 、34D 、111、已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x ＋3－3a (x ＜0)，a x (x ≥0)(a ＞0，且a ≠1)是(－∞，＋∞)上的减函数，则a的取值范围是( )．A 、(31,1]B 、（0，23]C 、()2，3D 、（21, 32]12、已知定义在R 上的奇函数，f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，则f (6)的值为( )．A 、－1B 、1C 、0D 、2（实验班）函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )＞2，则f (x )＞2x ＋4 的解集为( )．A 、(－1,1)B 、(－∞，－1)C 、(－1，＋∞)D 、(－∞，＋∞)二、填空题(每小题5分，共20-分)13已知函数f (x )、g (x )分别由下表给出：则f [g (1)]的值为________；满足f [g (x )]>g [f (x )]的x 的值是________．14、若函数f (x )＝1222--+aax x 的定义域为R ，则a 的取值范围为________．15、已知函数f (x )＝2ax 2＋4(a －3)x ＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a 的取值范围是________．16、设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]，当x ∈[0,5]时，函数y ＝f (x )的图 象如图所示，则使函数值y ＜0的x 的取值集合为 。

高考数学一轮复习函数的奇偶性与周期性专项检测（带解析）验证奇偶性的前提要求函数的定义域必须关于原点对称。

以下是函数的奇偶性与周期性专题检测，请大伙儿认真进行检测。

一、选择题1.设f(x)为定义在R上的奇函数.当x0时，f(x)=2x+2x+b(b为常数)，则f(-1)等于().A.3 B.1 C.-1 D.-3解析由f(-0)=-f(0)，即f(0)=0.则b=-1，f(x)=2x+2x-1，f(-1)=-f(1)=-3.答案D2.已知定义在R上的奇函数，f(x)满足f(x+2)=-f(x)，则f(6)的值为().A.-1B.0C.1D.2(构造法)构造函数f(x)=sin x，则有f(x+2)=sin=-sin x=-f(x)，因此f(x)= sin x是一个满足条件的函数，因此f(6)=sin 3=0，故选B.答案B3.定义在R上的函数f(x)满足f(x)=f(x+2)，当x[3,5]时，f(x)=2-|x-4|，则下列不等式一定成立的是().A.ffB.f(sin 1)f(sin 2)解析当x[-1,1]时，x+4[3,5]，由f(x)=f(x+2)=f(x+4)=2-|x+4-4|=2-|x|，明显当x[-1,0]时，f(x)为增函数;当x[0,1]时，f(x)为减函数，cos=-，sin =，又f=ff，因此ff.答案A4.已知函数f(x)=则该函数是().A.偶函数，且单调递增B.偶函数，且单调递减C.奇函数，且单调递增D.奇函数，且单调递减解析当x0时，f(-x)=2-x-1=-f(x);当x0时，f(-x)=1-2-(-x)=1-2x=-f(x).当x=0时，f(0)=0，故f(x)为奇函数，且f(x)=1-2-x在[0，+)上为增函数，f(x) =2x-1在(-，0)上为增函数，又x0时1-2-x0，x0时2x-10，故f(x)为R上的增函数.答案 C.已知f(x)是定义在R上的周期为2的周期函数，当x[0,1)时，f (x)=4x-1，则f(-5.5)的值为()A.2B.-1C.-D.1解析f(-5.5)=f(-5.5+6)=f(0.5)=40.5-1=1.答案.设函数D(x)=则下列结论错误的是().A.D(x)的值域为{0,1}B.D(x)是偶函数C.D(x)不是周期函数D.D(x)不是单调函数解析明显D(x)不单调，且D(x)的值域为{0,1}，因此选项A、D正确.若x是无理数，-x，x+1是无理数;若x是有理数，-x，x+1也是有理数.D(-x)=D(x)，D(x+1)=D(x).则D(x)是偶函数，D(x)为周期函数，B正确，C错误.答案C二、填空题.若函数f(x)=x2-|x+a|为偶函数，则实数a=________.解析由题意知，函数f(x)=x2-|x+a|为偶函数，则f(1)=f(-1)，1-|1+a|=1-| -1+a|，a=0.答案0.已知y=f(x)+x2是奇函数，且f(1)=1.若g(x)=f(x)+2，则g(-1)=_______ _.解析因为y=f(x)+x2是奇函数，且x=1时，y=2，因此当x=-1时，y=-2，即f(-1)+(-1)2=-2，得f(-1)=-3，因此g(-1)=f(-1)+2=-1.答案-1.设奇函数f(x)的定义域为[-5,5]，当x[0,5]时，函数y=f(x)的图象如图所示，则使函数值y0的x的取值集合为________.解析由原函数是奇函数，因此y=f(x)在[-5,5]上的图象关于坐标原点对称，由y=f(x)在[0,5]上的图象，得它在[-5,0]上的图象，如图所示.由图象知，使函数值y0的x 的取值集合为(-2,0)(2,5).答案(-2,0)(2,5)10. 设f(x)是偶函数，且当x0时是单调函数，则满足f(2x)=f的所有x 之和为________.解析f(x)是偶函数，f(2x)=f，f(|2x|)=f，又f(x)在(0，+)上为单调函数，|2x|=，即2x=或2x=-，整理得2x2+7x-1=0或2x2+9x+1=0，设方程2x2+7x-1=0的两根为x1，x2，方程2x2+9x+1=0的两根为x3，x4.则(x1+x2)+(x3+x4)=-+=-8.-8三、解答题.已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意x，y，f(x)都满足f(xy)=yf(x)+xf(y).(1)求f(1)，f(-1)的值;(2)判定函数f(x)的奇偶性.解(1)因为对定义域内任意x，y，f(x)满足f(xy)=yf(x)+xf(y)，因此令x =y=1，得f(1)=0，令x=y=-1，得f(-1)=0.(2)令y=-1，有f(-x)=-f(x)+xf(-1)，代入f(-1)=0得f(-x)=-f(x)，因此f(x)是(-，+)上的奇函数..已知函数f(x)对任意x，yR，都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且x0时，f(x)0，f (1)=-2.(1)求证f(x)是奇函数;(2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.(1)证明令x=y=0，知f(0)=0;再令y=-x，则f(0)=f(x)+f(-x)=0，因此f(x)为奇函数.(2)解任取x10，因此f(x2-x1)=f[x2+(-x1)]=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1)0，因此f(x)为减函数.而f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=3f(1)=-6，f(-3)=-f(3)=6.因此f(x)max=f(-3)=6，f(x)min=f(3)=-6.已知函数f(x)是(-，+)上的奇函数，且f(x)的图象关于x=1对称，当x[0, 1]时，f(x)=2x-1，(1)求证：f(x)是周期函数;(2)当x[1,2]时，求f(x)的解析式;(3)运算f(0)+f(1)+f(2)++f(2021)的值.(1)证明函数f(x)为奇函数，则f(-x)=-f(x)，函数f(x)的图象关于x=1对称，则f(2+x)=f(-x)=-f(x)，因此f(4+x)=f[(2+x)+2]=-f(2+x)=f(x)，因此f(x)是以4为周期的周期函数.(2) 当x[1,2]时，2-x[0,1]，又f(x)的图象关于x=1对称，则f(x)=f(2-x)=22-x-1，x[1,2].(3)f(0)=0，f(1)=1，f(2)=0，f(3)=f(-1)=-f(1)=-1又f(x)是以4为周期的周期函数.f(0)+f(1)+f(2)++f(2021)=f(2 012)+f(2 013)=f(0)+f(1)=1..已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x+2)=-f(x).(1)求证：f(x)是周期函数;(2)若f(x)为奇函数，且当01时，f(x)=x，求使f(x)=-在[0,2 014]上的所有x的个数.(1)证明f(x+2)=-f(x)，f(x+4)=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x)，f(x)是以4为周期的周期函数.(2)解当01时，f(x)=x，设-10，则01，f(-x)=(-x)=-x.f(x)是奇函数，f(-x)=-f(x)，-f(x)=-x，即f(x)=x.语文课本中的文章差不多上精选的比较优秀的文章,还有许多名家名篇。

【优化方案】2014届高考数学一轮复习 2.4 函数的奇偶性与周期性课时闯关 理（含解析）人教版一、选择题1．观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )＝( )A ．f (x )B ．－f (x )C ．g (x )D ．－g (x )解析：选D.由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数．因此当f (x )是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g (－x )＝－g (x )．2．(2011·高考广东卷)设函数f (x )和g (x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )A ．f (x )＋|g (x )|是偶函数B ．f (x )－|g (x )|是奇函数C ．|f (x )|＋g (x )是偶函数D ．|f (x )|－g (x )是奇函数解析：选A.由f (x )是偶函数，可得f (－x )＝f (x )，由g (x )是奇函数可得g (－x )＝－g (x )，故|g (x )|为偶函数，∴f (x )＋|g (x )|为偶函数．3．(2011·高考湖北卷)已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝a x －a －x ＋2(a >0，且a ≠1)．若g (2)＝a ，则f (2)＝( )A ．2 B.154C.174D ．a 2 解析：选B.∵f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，∴由f (x )＋g (x )＝a x －a －x ＋2，①得－f (x )＋g (x )＝a －x －a x ＋2，②①＋②，得g (x )＝2，①－②，得f (x )＝a x －a －x .又g (2)＝a ，∴a ＝2，∴f (x )＝2x －2－x ，∴f (2)＝22－2－2＝154. 4．(2013·宁波模拟)已知y ＝f (x )是偶函数，而y ＝f (x ＋1)是奇函数，且对任意0≤x ≤1，都有f ′(x )≥0，则a ＝f (9819)，b ＝f (10117)，c ＝f (10615)的大小关系是( ) A ．c <a <b B ．c <b <aC ．a <c <bD ．a <b <c解析：选A.由已知得f (－x )＝f (x )，f (－x ＋1)＝－f (x ＋1)．从而得f (x )＝f (x ＋4)，f (1)＝0.∴f (9819)＝－f (1619)，f (10117)＝－f (117)，f (10615)＝f (1415)． ∵0≤x ≤1时都有f ′(x )≥0，∴f (x )在[0,1]上递增，且在[0,1)上都有f (x )<0.∴f (1415)<0，f (117)<f (1619)<0.∴f (10615)<f (9819)<f (10117)，即c <a <b .5．已知定义域为R 的函数y ＝f (x )，则下列命题：①若f (x －1)＝f (1－x )恒成立，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称； ②若f (x ＋1)＋f (1－x )＝0恒成立，则函数y ＝f (x )的图象关于(1,0)点对称；③函数y ＝f (x －1)的图象与函数y ＝f (1－x )的图象关于y 轴对称；④函数y ＝－f (x －1)的图象与函数y ＝f (1－x )的图象关于原点对称；⑤若f (1＋x )＋f (x －1)＝0恒成立，则函数y ＝f (x )以4为周期．其中真命题有( )A ．①④B ．②③C ．②⑤D ．③⑤解析：选C.由f (x －1)＝f (1－x )知y ＝f (x )图象关于x ＝0对称，故①错；由f (1＋x )＋f (1－x )＝0知y ＝f (x )图象关于(1,0)点对称，②正确；函数y ＝f (x －1)的图象与函数y ＝f (1－x )图象关于x ＝1对称，故③错；函数y ＝－f (x －1)的图象与函数y ＝f (1－x )的图象关于(1,0)点对称，故④错；若f (1＋x )＋f (x －1)＝0，则f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，函数y ＝f (x )以4为周期，⑤正确．综上，②⑤正确，故选C.二、填空题6．(2011·高考浙江卷)若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝________.解析：∵函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即(－x )2－|－x ＋a |＝x 2－|x ＋a |，∴|－x ＋a |＝|x ＋a |，∴a ＝0.答案：07．(2012·高考课标全国卷)设函数f (x )＝x ＋2＋sin x x 2＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________.解析：f (x )＝x 2＋2x ＋1＋sin x x 2＋1＝1＋2x ＋sin x x 2＋1，考察函数g (x )＝2x ＋sin x x 2＋1，显然函数g (x )为奇函数，所以g (x )的最大值与最小值的和为0，所以函数f (x )的最大值与最小值的和为2.答案：28．若f (x )是R 上的奇函数，则函数y ＝f (x －12)＋1的图象必过点________． 解析：y ＝f (x －12)＋1由y ＝f (x )向右平移12个单位再向上平移1个单位．(0,0)→(12，1)．答案：(12，1) 三、解答题9．设a >0，f (x )＝e x a ＋a e x 是R 上的偶函数，求实数a 的值并求f (x )的值域． 解：∵f (x )是R 上的偶函数，∴f (－x )＝f (x )在R 上恒成立．即e －x a ＋a e －x ＝e x a ＋a e x ， 即(a 2－1)e 2x ＋1－a 2＝0，对任意的x 恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，a >0，解得a ＝1. ∴f (x )＝e x ＋1e x . 当x ∈R 时，e x >0，∴f (x )＝e x ＋1e x ≥2e x ·1ex ＝2. 当且仅当x ＝0时，取“＝”．∴f (x )的值域为[2，＋∞)．10．已知奇函数f (x )在定义域[－2,2]内递减，求满足：f (1－m )＋f (1－m 2)<0的实数m的取值范围．解：∵f (x )的定义域为[－2,2]，∴有⎩⎪⎨⎪⎧ －2≤1－m ≤2，－2≤1－m 2≤2，解得－1≤m ≤ 3，①又f (x )为奇函数，在[－2,2]上递减，∴f (1－m )<－f (1－m 2)＝f (m 2－1)，∴1－m >m 2－1，即－2<m <1.②综合①②可知，－1≤m <1.11．(探究选做)是否存在实数a ，使得函数f (x )＝log 2(x ＋x 2＋2)－a 为奇函数，同时使函数g (x )＝x ·(1a x －1＋a )为偶函数？证明你的结论．解：假设存在a 满足题目要求，则⎩⎪⎨⎪⎧ f －x ＝－f x g －x ＝g x ，令x ＝0，由f (0)＝0得a ＝12， 此时g (x )＝x ·(12－x －1＋12)， ∴g (－x )＝－x ·(12x －1＋12)＝x ·(11－2x －12) ＝x ·1＋2x －2x . 而g (x )＝x (12－x －1＋12)＝x ·1＋2x －2x ， ∴g (－x )＝g (x )，∴a ＝12时，g (x )为偶函数． 因此，存在a ＝12满足题目条件．。

第2章 第4节 知能训练·提升考点一：函数奇偶性的判断1．函数f (x )＝lg(1－x 2)|x ＋3|－3是 ( )A ．奇函数不是偶函数B ．偶函数不是奇函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数解析：f (x )的定义域为{x |－1＜x ＜1且x ≠0}，f (x )＝lg(1－x 2)x∴f (x )是奇函数而不是偶函数．答案：A2．f (x )，g (x )是定义在R 上的函数，h (x )＝f (x )＋g (x )，则“f (x )，g (x )均为偶函数”是“h (x )为偶函数”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：充分性易证：∵h (－x )＝f (－x )＋g (－x )＝f (x )＋g (x )＝h (x )对x ∈R 恒成立，∴h (x )是偶函数．但h (x )为偶函数，推不出f (x )，g (x )均为偶函数，反例如f (x )＝x ，g (x )＝－x ，h (x )＝0.虽然h (x )＝0为偶函数，但f (x )、g (x )却都不是偶函数．答案：B3．已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，则下列函数中是奇函数的是( )①y ＝f (|x |)；②y ＝f (－x )；③y ＝x ·f (x )；④y ＝f (x )＋x .A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④解析：∵f (x )的定义域为R ，∴f (|－x |)＝f (|x |)，∴y ＝f (|x |)是偶函数；令F (x )＝f (－x )，则F (－x )＝f (x )＝－f (－x )＝－F (x )，∴F (x )是奇函数，∴②是奇函数；令M (x )＝x ·f (x )，则M (－x )＝－x ·f (－x )＝x ·f (x )＝M (x )，∴M (x )是偶函数；令N (x )＝f (x )＋x ，则N (－x )＝f (－x )－x ＝－f (x )－x＝－[f (x )＋x ]＝－N (x )，∴N (x )是奇函数，故②、④是奇函数．答案：D考点二：函数的周期性的判定及证明4．若存在常数p ＞0使得函数f (x )满足f (px )＝f (px －p 2)(x ∈R )，则f (x )的一个正周期为________．解析：令px ＝t ，则f (t )＝f (t －p2)，∴f (t ＋p 2)＝f (t ＋p 2－p 2)＝f (t )， 故f (t )的一个周期为p 2或p 2的正整数倍． 答案：k ·p 2(k ∈N *) 5．已知函数f (x )的定义域为R ，且满足f (x ＋2)＝－f (x )．若f (x )是奇函数，有0≤x ≤1时，f (x )＝12x ，求x ∈[－1,3)的解析式． 解：由0≤x ≤1时，f (x )＝12x . 设－1≤x ≤0，则0≤－x ≤1，∴f (－x )＝12(－x )＝－12x ，即－f (x )＝－12x . ∴f (x )＝12x ，故f (x )＝12x (－1≤x ≤1)． 当1＜x ＜3时，同理可求f (x )＝－12(x －2)． f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 12x (－1≤x ≤1)，－12(x －2) (1＜x ＜3).考点三：函数奇偶性与周期性综合问题6．(2010·广东三校联考)定义在R 上的函数f (x )既是奇函数又是以2为周期的周期函数，则f (1)＋f (4)＋f (7)等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．4解析：定义在R 上的函数f (x )是奇函数，则f (0)＝0，又它是以2为周期的周期函数，则f (4)＝0，又f (－1)＝－f (1)，f (－1)＝f (1)，则f (1)＝0，同理也得f (7)＝0，则f (1)＋f (4)＋f (7)＝0，故选B.答案：B7．(2010·泉州质检)阅读下列材料，然后解答问题：对于任意实数x ，符号[x ]表示“不超过x 的最大整数”，在数轴上，当x 是整数，[x ]是x ，当x 不是整数时，[x ]是x 左侧的第一个整数，这个函数叫做“取整函数”，也叫高斯(Gauss)函数，如[－2]＝－2、[－1.5]＝－2、[2.5]＝2，定义函数{x }＝x －[x ]，给出下列四个命题：①函数{x }的定义域是R ，值域为[0,1]；②方程{x }＝12有无数个解； ③函数{x }是周期函数；④函数{x }是增函数．其中正确命题的序号是________．(写出所有正确结论的序号)．解析：∵函数{x }的值取不到1，∴①错误；当x 取…，－2.5，－1.5,0.5,1.5，…时，函数值均为12， ∴②正确；函数的一个周期为1，∴③正确；既然是周期函数，也就不可能是单调函数．∴④错误．答案：②③8．设函数f (x )在(－∞，＋∞)上满足f (2－x )＝f (2＋x )，f (7－x )＝f (7＋x )，且在闭区间[0,7]上，只有f (1)＝f (3)＝0.(1)试判断函数y ＝f (x )的奇偶性；(2)试求方程f (x )＝0在闭区间[－2 005,2 005]上的根的个数，并证明你的结论．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ f (2－x )＝f (2＋x )f (7－x )＝f (7＋x )⇒ ⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )＝f (4－x )f (x )＝f (14－x )⇒f (4－x )＝f (14－x )⇒f (x )＝f (x ＋10)，从而知函数y ＝f (x )的周期为T ＝10.又f (3)＝f (1)＝0，而f (7)≠0，故f (－3)≠0.故函数y ＝f (x )是非奇非偶函数．(2)由(1)知y ＝f (x )的周期为10.又f (3)＝f (1)＝0，f (11)＝f (13)＝f (－7)＝f (－9)＝0，故f (x )在[0,10]和[－10,0]上均有两个解，从而可知函数y ＝f (x )在[0,2 005]上有402个解，在[－2 005,0]上有400个解，所以函数y ＝f (x )在[－2 005,2 005]上有802个解.1.(2009·全国卷Ⅰ)函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)与f (x －1)都是奇函数，则( )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是奇函数C ．f (x )＝f (x ＋2)D ．f (x ＋3)是奇函数解析：由f (x ＋1)为奇函数，可知f (x )关于点(1,0)对称，f (x －1)为奇函数，可知f (x )关于点(－1,0)对称，则f (x )为周期函数且T ＝4，则f (x ＋3)＝f (x －1)，故选D.(排除法)若取函数f (x )＝sin πx ，g (x )＝cos π2x ，f (x )为奇函数，g (x )为偶函数， f (x )＝sin πx 左、右分别移1个单位都是奇函数，g (x )＝cos π2x 左、右分别移1个单位也都是奇函数，所以排除A 、B.又f (x )的周期为2，g (x )的周期为4，所以排除C ，故选D.答案：D2．(2009·重庆)若f (x )＝12x －1＋a 是奇函数，则a ＝________. 解析：∵f (x )是{x |x ≠0}上的奇函数，∴f (－1)＝－f (1)．∴a ＝12. 答案：123．(2009·山东)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数．若方程f (x )＝m (m ＞0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝________.解析：由已知，定义在R 上的奇函数f (x )图象一定过原点，又f (x )在[0,2]区间上为增函数，所以方程f (x )＝m (m ＞0)在[0,2]区间上有且只有一个根，记为x 1；由f (x )是R 上的奇函数和f (x )＝－f (x －4)，得：f (x 1)＝－f (－x 1)＝－[－f (－x 1－4)]，即f (x 1)＝f (－x 1－4)①∴－x 1－4∈[－6，－4]也是方程f (x )＝m 的一个根，记为x 2，则x 2＝－x 1－4.由f (x )＝－f (x －4)，易知f (x )＝－f (x －4)＝－[－f (x －4－4)]，即f (x )＝f (x －8)，∴函数f (x )是T ＝8的周期函数．②∴f (x 1)＝f (x 1－8)，∴x 1－8∈[－8，－6]也是方程的根，记为x 3，则x 3＝x 1－8.由①②知，f (x 1)＝f (－x 1－4)＝f (－x 1－4＋8)，即f (x 1)＝f (－x 1＋4)，∴－x 1＋4∈[2,4]也是一个根，记为x 4，则x 4＝－x 1＋4.综上，x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝x 1＋(－x 1－4)＋(x 1－8)＋(－x 1＋4)＝－8.答案：－84．(2009·四川)已知函数f (x )是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有xf (x ＋1)＝(1＋x )f (x )，则f [f (52)]的值是 ( ) A ．0 B.12C ．1 D.52解析：由已知令x ＝0，则f (0)＝0，由已知令x ＝－12，得－12f (12)＝12f (－12) ＝12f (12)， ∴f (12)＝0. 又令x ＝12，得12f (32)＝32f (12)， 又∵f (12)＝0，∴f (32)＝0. 再令x ＝32，得32f (52)＝52f (32)， ∵f (32)＝0，∴f (52)＝0. ∴f [f (52)]＝f (0)＝0. 答案：A1.设函数f (x )满足：①y ＝f (x ＋1)是偶函数；②在[1，＋∞)上为增函数，则f (－1)与f (2)的大小关系是( )A ．f (－1)＞f (2)B ．f (－1)＜f (2)C ．f (－1)＝f (2)D ．无法确定解析：由y ＝f (x ＋1)是偶函数，得到y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴f (－1)＝f (3)．又f (x )在[1，＋∞)上为单调增函数，∴f (3)＞f (2)，即f (－1)＞f (2)．答案：A2．已知函数f (x )＝ax 2＋1bx ＋c(a 、b 、c ∈R )是奇函数，又f (1)＝2，f (2)＝3. (1)求a 、b 、c 的值；(2)当x ∈(0，＋∞)时，讨论函数f (x )的单调性，并写出证明过程．解：(1)∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即ax 2＋1－bx ＋c ＝ax 2＋1－bx －c，比较分母的系数，得c ＝0. 由f (1)＝2，f (2)＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋1b ＝2，4a ＋12b ＝3.解得a ＝2，b ＝32.∴a ＝2，b ＝32，c ＝0. (2)∵f (x )＝2x 2＋132x ＝4x 2＋23x ， ∴f ′(x )＝12x 2－69x 2＝4x 2－23x 2＝4(x ＋22)(x －22)3x2. 又∵x ∈(0，＋∞)，∴当0＜x ≤22时，f ′(x )≤0. ∴f (x )在(0，22]上是减函数． 当x ＞22时，f ′(x )＞0， ∴f (x )在(22，＋∞)上是增函数． 综上所述，f (x )的递增区间为(22，＋∞)，f (x )的递减区间为(0，22]．。

班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的.）1. 【2014高考湖南卷第3题】已知)(),(x g x f 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且1)()(23++=-x x x g x f ，则=+)1()1(g f ( )A. 3-B. 1-C. 1D. 3 【答案】C【解析】分别令1x =和1x =-可得()()113f g -=和()()111f g ---=,因为函数)(),(x g x f 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数,所以()()()()11,11f f g g -=-=-,即()()111f g ---=()()111f g ⇒+=,则()()()()()()1131211111f g f f g g -==⎧⎧⎪⎪⇒⎨⎨+==-⎪⎪⎩⎩()()111f g ⇒+=,故选C. 2. 【浙江省嘉兴市第一中学2016届高三上学期能力测试数学（理）试题】已知(),(),()f x g x h x 为R 上的函数，其中函数()f x 为奇函数，函数()g x 为偶函数，则（ ） A. 函数(())h g x 为偶函数 B. 函数(())h f x 为奇函数 C. 函数(())g h x 为偶函数 D. 函数(())f h x 为奇函数 【答案】A【解析】设()(())F x h g x =，因为()g x 为偶函数，所以()()g x g x -=，则()(())(())F x h g x h g x -=-=＝()F x ，所以函数(())h g x 是偶函数，故选A ．3. 【2016年第四次全国大联考【浙江卷】理科】下列函数中，既是奇函数，又在区间(0+)∞，上为增函数的是（ ） A.1ln1x y x+=- B.3y x = C.3xy = D.x y sin = 【答案】B.【解析】A ：定义域为(1,1)-，不满足(0,)+∞上单调递增，故A 错误；B ：符合题意，故B正确；C ：不是奇函数，故C 错误；D ：不满足在(0,)+∞上单调递增，故D 错误，故选B. 4.【2015届山东省威海市高三第二次模考】周期为4的奇函数()f x 在[0,2]上的解析式为22,01()log 1,12x x f x x x ⎧≤≤=⎨+<≤⎩，则(2014)+(2015)f f =（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【答案】B【解析】因为函数()f x 是周期为4的奇函数，所以2(2014)(50342)(2)log 212f f f =⨯+==+=，2(2015)(50441)(1)(1)11f f f f =⨯-=-=-=-=-，(2014)+(2015)1f f =，故答案选B .5.【2015届内蒙古呼伦贝尔市统一考试】已知函数满足，关于轴对称，当时，，则下列结论中正确的是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】A6.【2015年山东卷】下列判断正确的是 ( )A.B.()f x )2()2(-=+x f x f (2)y f x =-y )2,0(∈x 22()log f x x =(4.5)(7)(6.5)f f f <<(7)(4.5)(6.5)f f f <<(7)(6.5)(4.5)f f f <<(4.5)(6.5)(7)f f f <<C.D. 函数1)(=x f 既是奇函数又是偶函数 【答案】C 【解析】试题分析：A 中函数定义域2x ≠，定义域不对称，不是奇函数，B 中定义域11x -<<，()()f x f x -≠，因此不是偶函数，C 中定义域44x -<<，函数化简为是偶函数，D 中函数是偶函数.7．【2015届北京市昌平区二模】则使()3f x >成立的x 的取值范围为（ ） （A ）（ ） （B ）（） （C ）0,1（） （D）1,+∞（）【答案】C8．【2016重庆一中模拟】若()f x 为偶函数，且当[)0,x ∈+∞时，，则不等式()11f x-<的解集为（ ）A.B.C.【答案】A【解析】因为 当1x =时，()()11001f f -==<，成立,所以排除C ，当0x =时，()()011f f -=-()111f ==<不成立，排除B 、D,故选A.9.【2016云南昆明模拟】已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数，且()f x 在(),0-∞上是减函数，()()()20,2f g x f x ==+，则不等式()0xg x ≤的解集是（ ） A ．(][),22,-∞-+∞ B ．[][)4,20,--+∞ C ．(][),42,-∞--+∞ D ．(][),40,-∞-+∞【答案】C【解析】由于)2()(+=x f x g 是)(x f 向左平移2个单位得到,结合函数的图象可知当4-≤x 或2-≥x ，纵横坐标的积不大于0, 即应选C.10. (2016宁波二模4)已知函数1(0)()1(0)x x f x x x +≥⎧=⎨-<⎩，并给出以下命题，其中正确的是（ C ）A.函数(sin )y f x =是奇函数，也是周期函数；B. 函数(sin )y f x =是偶函数，不是周期函数；C.函数1(sin )y f x =是偶函数，但不是周期函数；D.函数1(sin )y f x=是偶函数，也是周期函数； 【答案】C【解析】()1||f x x =+，就可判断A 、B 错，C 选项中，要能判断出1sin y x=不是周期的，当x →∞时1sin0x→。

课时跟踪检测（六）函数的奇偶性及周期性一抓基础，多练小题做到眼疾手快．函数()＝－的图象关于对称．解析：因为函数()的定义域为(－∞，)∪(，＋∞)，且对定义域内每一个，都有(－)＝－＋＝－()，所以函数()是奇函数，其图象关于原点对称．答案：原点．下面四个结论：①偶函数的图象一定与轴相交；②奇函数的图象一定过原点；③偶函数的图象关于轴对称；④没有一个函数既是奇函数又是偶函数．其中正确的结论是(填序号)．解析：函数＝是偶函数，但不与轴相交，故①错；函数＝是奇函数，但不过原点，故②错；由偶函数的性质，知③正确；函数()＝既是奇函数又是偶函数，故④错．答案：③．(·南通调研)设函数()为偶函数，当∈(，＋∞)时，()＝，则(－)＝.解析：因为函数()是偶函数，所以(－)＝()＝＝.答案：．设奇函数()的定义域为[－]．若当∈[]时，()的图象如图所示，则不等式()>的解集是．解析：奇函数的图象关于原点对称，作出函数()在[－]上的图象(图略)，由图象，可知不等式()>的解集是[－，－)∪()．答案：[－，－)∪()．函数()在上为奇函数，且>时，()＝＋，则当<时，()＝.解析：∵()为奇函数，>时，()＝＋，∴当<时，－>，()＝－(－)＝－(＋)，即<时，()＝－(＋)＝－－.答案：－－二保高考，全练题型做到高考达标．已知奇函数()的定义域为(－)∪()，当<<时，函数()是减函数，且()＝，则不等式()>的解集是．解析：由题意，可作出函数()的大致图象，如图所示，由图象可得不等式()>的解集是(－，－)∪()．答案：(－，－)∪()．已知()，()是定义在上的函数，()＝()·()，则“()，()均为偶函数”是“()为偶函数”的条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”)．解析：一方面，若()，()均为偶函数，则(－)＝()，(－)＝()，因此，(－)＝(－)(－)＝()()＝()，∴()是偶函数；另一方面，若()是偶函数，但()，()不一定均为偶函数，事实上，若()，()均为奇函数，()也是偶函数，因此，“()，()均为偶函数”是“()为偶函数”的充分不必要条件．答案：充分不必要．已知函数()是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，若对于任意的实数≥，都有(＋)＝()，且当∈[)时()＝(＋)，则(－ )＋( )的值为．解析：因为()是奇函数，且周期为，所以(－)＋( )＝－( )＋( )＝－()＋()．又当∈[)时，()＝(＋)，所以(－)＋( )＝－＋＝－.答案：－．已知函数＝()是定义在上的奇函数，当<时，()＝＋，那么不等式()－<的解集是．解析：由题意知，函数＝()的定义域是，当<时，()＝＋，则当>时，－<，所以(－)＝－＋，又函数＝()为定义在上的奇函数，所以()＝－(－)＝－，即()＝(\\(＋，<，，＝，－，>，))因此不等式()－<等价于(\\(<，(＋(－<))或(\\(＝，×－<))或(\\(>，(－(－<，))解得<－或＝或<<，故不等式()－<的解集为<－或≤<.答案：<－或≤<．已知()是定义在上的奇函数，当≥时，()＝＋，若(－)＞()，则实数的取值范围是．解析：∵()是奇函数，∴当＜时，()＝－＋.作出函数()的大致图象如图中实线所示，结合图象可知()是上的增函数，由(－)＞()，得－＞，解得－＜＜.答案：(－)．定义在上的奇函数＝()在(，＋∞)上递增，且＝，则满足()>的的集合为．解析：由奇函数＝()在(，＋∞)上递增，且＝，得函数＝()在(－∞，)上递增，且＝，∴()>时，>或－<<.即满足()>的的集合为.答案：．已知()，()分别是定义在上的奇函数和偶函数，且()－()＝，则()，()，(－)之间的大小关系是．。

课时跟踪检测七函数的奇偶性及周期性1．2022·广东高考设函数f和g分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是A．f＋|g|是偶函数B．f－|g|是奇函数C．|f|＋g是偶函数D．|f|－g是奇函数2．2022·揭阳统考设f是周期为2的奇函数，当0≤≤1时，f＝21－，则f错误!＝A．－错误!B．－错误!3．2022·北京海淀区期末已知函数f＝||－2，则下列结论正确的是A．f是偶函数，递增区间是0，＋∞B．f是偶函数，递减区间是－∞，1C．f是奇函数，递减区间是－1,1D．f是奇函数，递增区间是－∞，04．2022·珠海摸底考试f是奇函数，则①|f|一定是偶函数；②f·f－一定是偶函数；③f·f－≥0；④f－＋|f|＝0，其中错误的有A．1个 B．2个C．4个 D．0个5．2022·梅州月考已知函数f为定义在R上的奇函数，当≥0时，f＝2＋2＋mm为常数，则f－1的值为A．－3 B．－1C．1 D．36．若函数f＝错误!为奇函数，则a＝D．17．2022·江门模拟已知f是偶函数，当0时，f＝________82022·“江南十校”联考定义在[－2,2]上的奇函数f在0,2]上的图象如图所示，则不等式f>的解集为________．9．2022·中山模拟若偶函数＝f为R上的周期为6的周期函数，且满足f＝＋1－a－3≤≤3，则f－6等于________．10．2022·茂名期中已知函数f＝2＋错误!≠0，常数a∈R．1判断f的奇偶性，并说明理由；2若f1＝2，试判断f在[2，＋∞上的单调性．11．已知函数f＝错误!错误!3}B．{|3}D．{|－3f，1求f1；2解不等式f－＋f3－≥－2答案课时跟踪检测七A级1．选A 设F＝f＋|g|，由f和g分别是R上的偶函数和奇函数，得F－＝f－＋|g－|＝f＋|g|＝F，∴f＋|g|是偶函数，又可判断其他选项不恒成立．2．选A 由题意得f错误!＝－f错误!＝－f错误!＝－f错误!＝－错误!＝－错误!3．选C 将函数f＝||－2去掉绝对值得f＝错误!错误!0，－0时，f＝2－答案：2－8．解析：依题意，画出＝f与＝的图象，如图所示，注意到＝f的图象与直线＝的交点坐标是错误!和－错误!，－错误!，结合图象可知，f>的解集为错误!∪错误!答案：错误!∪错误!9．解析：∵＝f为偶函数，且f＝＋1－a－3≤≤3，∴f＝2＋1－a－a,1－a＝0∴a＝＝＋1－1－3≤≤3．f－6＝f－6＋6＝f0＝－1答案：－110．解：1当a＝0时，f＝2，f－＝f，函数是偶函数．当a≠0时，f＝2＋错误!≠0，常数a∈R，取＝±1，得f－1＋f1＝2≠0；f－1－f1＝－2a≠0，即f－1≠－f1，f－1≠f1．故函数f既不是奇函数也不是偶函数．2若f1＝2，即1＋a＝2，解得a＝1，这时f＝2＋错误!任取1，2∈[2，＋∞，且1错误!，所以f10，所以f－＝－－2＋2－＝－2－2又f为奇函数，所以f－＝－f，于是所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是1,3]．12．解：1证明：由函数f的图象关于直线＝1对称，得f＋1＝f1－，即有f－＝f＋2．又函数f是定义在R上的奇函数，故有f－＝－f．故f＋2＝－f．从而f＋4＝－f＋2＝f，即f是周期为4的周期函数．2由函数f是定义在R上的奇函数，有f0＝0∈[－1,0时，－∈0,1]，f＝－f－＝－错误!，又f0＝0，故∈[－1,0]时，f＝－错误!∈[－5，－4]，＋4∈[－1,0]，f＝f＋4＝－错误!从而，∈[－5，－4]时，函数f＝－错误!B级1．选D 由·f或错误!或错误!3a2a2f解得－1≤<0故不等式的解集为[－1,0．。

2021年高考数学一轮总复习 2.4函数的奇偶性与周期性练习一、选择题1．(xx·深圳调研)下列函数中，为奇函数的是( ) A ．y ＝2x ＋12xB ．y ＝x ，x ∈{0,1}C ．y ＝x ·sin xD ．y ＝⎩⎨⎧1，x <0，0，x ＝0，－1，x >0解析 A 中函数是偶函数；B 中函数是非奇非偶函数；C 中函数是偶函数；D 中函数是奇函数．答案 D2．函数f (x )＝ln x 2( )A ．是偶函数且在(－∞，0)上单调递增B ．是偶函数且在(0，＋∞)上单调递增C ．是奇函数且在(0，＋∞)上单调递减D ．是奇函数且在(－∞，0)上单调递减解析 函数f (x )的定义域为x ≠0，当x >0时，f (x )＝ln x 2＝2ln x ，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (－x )＝ln(－x )2＝ln x 2＝f (x )，∴f (x )为偶函数．答案 B3．若函数f (x )＝sin xx ＋a2是奇函数，则a 的值为( )A．0 B．1 C．2 D．4解析由f(－1)＝－f(1)，得sin－1－1＋a2＝－sin11＋a2，∴(－1＋a)2＝(1＋a)2解得a＝0.答案A4．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(7)等于( )A．－2 B．2C．－98 D．98解析∵f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)是周期为4的函数．∴f(7)＝f(2×4－1)＝f(－1)．又∵f(x)在R上是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．∴f(－1)＝－f(1)．而当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，∴f(1)＝2×12＝2.∴f(7)＝f(－1)＝－f(1)＝－2.故选A.答案A5．函数f(x)满足f(x)·f(x＋2)＝13，若f(1)＝2，则f(99)等于( ) A．13 B．2C.213D.132解析 ∵f (x )·f (x ＋2)＝13，∴f (x ＋2)＝13f x ，则f (x )＝13fx －2，故f (x )·f (x ＋2)＝13f x·13fx －2＝13，即f (x )f (x －2)＝13，∴f (x ＋2)＝f (x －2)， 故函数f (x )的周期为4，∴f (99)＝f (3)＝13f 1＝132. 答案 D6．设f (x )是奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，又f (－3)＝0，则x ·f (x )<0的解集是( )A ．{x |－3<x <0，或x >3}B ．{x |x <－3，或0<x <3}C ．{x |x <－3，或x >3}D ．{x |－3<x <0，或0<x <3}解析 由x ·f (x )<0，得⎩⎨⎧x <0，f x >0，或⎩⎨⎧x >0，f x <0.而f (－3)＝0，f (3)＝0， 即⎩⎨⎧x <0，f x >f－3，或⎩⎨⎧x >0，f x <f3.所以x ·f (x )<0的解集是{x |－3<x <0，或0<x <3}．答案 D 二、填空题7．函数f (x )在R 上为奇函数，且x >0时，f (x )＝x ＋1，则当x <0时，f (x )＝________.解析 ∵f (x )为奇函数，x >0时，f (x )＝x ＋1， ∴当x <0时，－x >0，f (x )＝－f (－x )＝－(－x ＋1)，即x <0时，f (x )＝－(－x ＋1)＝－－x －1. 答案 －－x －18．已知函数y ＝f (x )＋x 3为偶函数，且f (10)＝10，若函数g (x )＝f (x )＋4，则g (－10)＝________.解析 设h (x )＝f (x )＋x 3，由题意可得h (x )为偶函数，所以h (－10)＝h (10)，即f (－10)＋(－10)3＝f (10)＋103，故f (－10)＝f (10)＋2×103＝2 010， 所以g (－10)＝f (－10)＋4＝2 014. 答案 2 0149．已知函数f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32f (x )＝2 014，且当x ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，32时，f (x )＝log 2(2x ＋1)，则f (－2 015)＋f (2 013)＝________.解析 因为函数f (x )为奇函数且f (0)有定义，故f (0)＝0，且f (－2 015)＝－f (2 015)．当x ≥0时，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32f (x )＝2 014，可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝2 014f x ，故f (x ＋3)＝2 014f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝f (x )． 可得f (2 015)＝f (3×671＋2)＝f (2)，f (2 013)＝f (3×671)＝f (0)．由已知f (0)＝0，而f (2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32＝2 014f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫2×12＋1＝log 22＝1， 所以f (2)＝2 014f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2 014，即f (2 015)＝2 014， 故f (－2 015)＝－2 014. 综上，f (－2 015)＋f (2 013) ＝－2 014＋0＝－2 014. 答案 －2 014 三、解答题10．判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝x 3－1x.(2)f (x )＝x 2－1＋1－x 2.(3)f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2，x >0，0，x ＝0，－x 2－2，x <0.解 (1)原函数的定义域为{x |x ≠0}， 并且对于定义域内的任意一个x 都有f (－x )＝(－x )3－1－x ＝－⎝⎛⎭⎪⎫x 3－1x ＝－f (x )，从而函数f (x )为奇函数．(2)f (x )的定义域为{－1,1}，关于原点对称． 又f (－1)＝f (1)＝0，f (－1)＝－f (1)＝0， 所以f (x )既是奇函数又是偶函数． (3)f (x )的定义域为R ，关于原点对称，当x >0时，f (－x )＝－(－x )2－2＝－(x 2＋2)＝－f (x )； 当x <0时，f (－x )＝(－x )2＋2＝－(－x 2－2)＝－f (x )； 当x ＝0时，f (0)＝0，也满足f (－x )＝－f (x )． 故该函数为奇函数．11．(xx·曲阜师大附中质检)定义域为[－1,1]的奇函数f (x )满足f (x )＝f (x －2)，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x ＋x .(1)求f (x )在[－1,1]上的解析式； (2)求函数f (x )的值域．解 (1)当x ＝0时，f (0)＝－f (0)，故f (0)＝0. 当x ∈(－1,0)时，－x ∈(0,1)，f (x )＝－f (－x )＝－(－2x ＋－x )＝2x －－x . 若x ＝－1时，f (－1)＝－f (1)．又f (1)＝f (1－2)＝f (－1)，故f (1)＝－f (1)，得f (1)＝0，从而f (－1)＝－f (1)＝0.综上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －－x ，x ∈－1，0，0， x ＝0，±1，2x ＋x ， x ∈0，1.(2)∵x ∈(0,1)时，f (x )＝2x ＋x ，∴f ′(x )＝2＋12x＞0，故f (x )在(0,1)上单调递增．∴f (x )∈(0,3)．∵f (x )是定义域为[－1,1]上的奇函数，且f (0)＝f (1)＝f (－1)＝0， ∴当x ∈[－1,1]时，f (x )∈(－3,3)． ∴f (x )的值域为(－3,3)．培 优 演 练1．设定义在R 上的奇函数y ＝f (x )，满足对任意t ∈R ，都有f (t )＝f (1－t )，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12时，f (x )＝－x 2，则f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32的值等于( )A ．－12B ．－13C ．－14D ．－15解析 由f (t )＝f (1－t )， 得f (1＋t )＝f (－t )＝－f (t )． 所以f (2＋t )＝－f (1＋t )＝f (t )， 所以f (x )的周期为2.又f (1)＝f (1－1)＝f (0)＝0， 所以f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝f (1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝－14.故选C.答案 C2．若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是单调增函数．如果实数t 满足f (ln t )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1t <2f (1)时，那么t 的取值范围是________．解析 因为函数f (x )是偶函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1t ＝f (－ln t )＝f (ln t )＝f (|ln t |)．则有f (ln t )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1t <2f (1)⇒2f (ln t )<2f (1)⇒f (|ln t |)<f (1)⇒|ln t |<1⇒1e <t <e.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e3．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且f (x )－g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，则f (1)，g (0)，g (－1)之间的大小关系是________． 解析 在f (x )－g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 中，用－x 替换x ，得f (－x )－g (－x )＝2x ，由于f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，所以f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，因此得－f (x )－g (x )＝2x.于是解得f (x )＝2－x －2x 2，g (x )＝－2－x ＋2x 2，于是f (1)＝－34，g (0)＝－1，g (－1)＝－54，故f (1)>g (0)>g (－1)．答案 f (1)>g (0)>g (－1)4．定义在R 上的函数f (x )对任意a ，b ∈R 都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )＋k (k 为常数)．(1)判断k 为何值时f (x )为奇函数，并证明；(2)设k ＝－1，f (x )是R 上的增函数，且f (4)＝5，若不等式f (mx 2－2mx ＋3)>3对任意x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)若f (x )在R 上为奇函数，则f (0)＝0， 令x ＝y ＝0，则f (0＋0)＝f (0)＋f (0)＋k ，∴k ＝0. 证明：令a ＝b ＝0，由f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )， 得f (0＋0)＝f (0)＋f (0)，即f (0)＝0.令a ＝x ，b ＝－x ，则f (x －x )＝f (x )＋f (－x )， 又f (0)＝0，则有0＝f (x )＋f (－x )，即f (－x )＝－f (x )对任意x ∈R 成立，∴f (x )是奇函数． (2)∵f (4)＝f (2)＋f (2)－1＝5，∴f (2)＝3. ∴f (mx 2－2mx ＋3)>3＝f (2)对任意x ∈R 恒成立． 又f (x )是R 上的增函数，∴mx 2－2mx ＋3>2对任意x ∈R 恒成立， 即mx 2－2mx ＋1>0对任意x ∈R 恒成立， 当m ＝0时，显然成立； 当m ≠0时，由⎩⎨⎧m >0，Δ＝4m 2－4m <0，得0<m <1.∴实数m 的取值范围是[0,1)．20242 4F12 伒29981 751D 甝zL,27664 6C10 氐;38549 9695 隕23283 5AF3 嫳6H 35254 89B6 覶38380精品文档95EC 闬24707 6083 悃实用文档。

【与名师对话】2016版高考数学一轮复习 2.4函数的奇偶性与周期性随堂训练课时跟踪训练 文一、选择题1．对任意实数x ，下列函数中奇函数是( ) A ．y ＝2x －3 B ．y ＝－3x 2C ．y ＝ln 5xD ．y ＝－|x |cos x解析：选项B 、D 中函数为偶函数，选项A 中函数是非奇非偶函数，选项C 中y ＝x ln 5是奇函数．故选C.答案：C2．(2015·江西上饶期末)设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)＝( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析：依题意得f (1)＝－f (－1)＝－[2×(－1)2－ (－1)]＝－3，选A. 答案：A3．(2015·北京西城期末)已知函数f (x )＝x ＋b cos x ，其中b 为常数．那么“b ＝0”是“f (x )为奇函数”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若b ＝0，则f (x )＝x 为奇函数，反之，若f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－x ＋b cos(－x )＝－x ＋b cos x ＝－f (x )＝－x －b cos x ，∴b ＝0，故“b ＝0”是“f (x )为奇函数”的充要条件．选C.答案：C4．定义在R 上的偶函数y ＝f (x )在[0，＋∞)上递减，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，则满足f (log 14x )<0的x 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12∪()2，＋∞ B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1∪(1,2)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1∪(2，＋∞) 解析：由题意可得f (log 14 x )＝f (|log 14x |)<0＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，又f (x )在[0，＋∞)上递减，所以|log 14 x |>12，即log 14 x >12或log 14 x <－12，解得0<x <12或x >2，所以满足不等式f (log 14x )<0的x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞)．答案：C5．若函数f (x )、g (x )分别为R 上的奇函数、偶函数，且满足f (x )－g (x )＝e x，则有( ) A ．f (2)<f (3)<g (0) B ．g (0)<f (3)<f (2) C ．f (2)<g (0)<f (3) D ．g (0)<f (2)<f (3)解析：由已知条件可得f (－x )－g (－x )＝－f (x )－g (x )＝e －x ，又f (x )－g (x )＝e x，两式联立可得f (x )＝e x－e －x2，g (x )＝－e x ＋e －x2.因为函数f (x )为增函数，所以0<f (2)<f (3)． 又g (0)＝－1，所以g (0)<f (2)<f (3)，故应选D. 答案：D6．已知函数y ＝f (x )是一个以4为最小正周期的奇函数，则f (2)等于( ) A ．0 B ．－4 C ．4D ．不能确定解析：由题意知f (2)＝－f (－2)，又f (x )周期为4， 因此f (2)＝f (2－4)＝f (－2)，综上，可知f (2)＝0. 答案：A 二、填空题7．(2015·广州综测)若函数f (x )＝ln(x 2＋ax ＋1)是偶函数，则实数a 的值为__________．解析：由函数f (x )是偶函数得f (－x )＝f (x )，即(－x )2＋a (－x )＋1＝x 2＋ax ＋1，所以a ＝0.答案：08．已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，且在(－∞，0]上是减函数，若f (a )≥f (2)，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意得|a |≥2，∴a ≤－2或a ≥2. 答案：(－∞，－2]∪[2，＋∞)9．设函数f (x )是定义在R 上的周期为2的偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ＋1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝________.解析：由题意知，f 32＝f 32－2＝f －12＝f 12＝12＋1＝32.答案：32三、解答题10．已知f (x )是R 上的奇函数，且当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝－x lg(2－x )，求f (x )的解析式．解：∵f (x )是R 上的奇函数，可得f (0)＝0. 当x >0时，－x <0，由已知f (－x )＝x lg(2＋x )， ∴－f (x )＝x lg(2＋x )，即f (x )＝－x lg(2＋x )(x >0)．∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x－x ，x <0，－x ＋x ，x ≥0.即f (x )＝－x lg(2＋|x |)(x ∈R )． 11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0， x ＝0，x 2＋mx ， x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围． 解：(1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )， 于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2. (2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1<a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]． 12．函数f (x )＝ax ＋b 1＋x 2是定义在(－1,1)上的奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝25. (1)确定函数f (x )的解析式；(2)用定义证明f (x )在(－1,1)上是增函数； (3)解不等式f (t －1)＋f (t )<0.解：(1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧f ＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝25，即⎩⎪⎨⎪⎧b1＋02＝0，a 2＋b1＋14＝25⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0.∴f (x )＝x1＋x2.(2)证明：任取－1<x 1<x 2<1，f (x 1)－f (x 2)＝x 11＋x 21－x 21＋x 22 ＝x 1－x 2－x 1x 2＋x 21＋x 22. ∵－1<x 1<x 2<1，∴x 1－x 2<0,1＋x 21>0,1＋x 22>0. 又－1<x 1x 2<1，∴1－x 1x 2>0， ∴f (x 1)－f (x 2)<0，∴f (x )在(－1,1)上是增函数． (3)f (t －1)<－f (t )＝f (－t )． ∵f (x )在(－1,1)上是增函数， ∴－1<t －1<－t <1，解得0<t <12.。

A 基础稳固训练1. 【 2016 海南中学模拟】 已知函数 f (x) 对于直线 x 2 对称，且周期为 2，当 x [ 3, 2]时， f ( x)(x 2)2 ，则 f ( 5)（）2A ． 0B．1C． 1D． 1416【答案】 B【分析】由题意可得f (5 ) f (1 ) f ( 3) f ( 5)(52) 21，应选 B.2222242. 【浙江省金丽衢十二校 2016 届高三上学期第一次联考数学（理）试题】以下函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A ． y 0B ． y sin 2xC ． y x lg xD ．y 2x2 x【答案】 C.x 2 1, x 03. 【2016 河北孝感市模拟】已知函数f x，则以下结论正确的选项是（ ）cosx, x 0A ． f x 是偶函数B ． f x 是增函数C ． fx 是周期函数D ． fx 的值域为1，【答案】 D【分析】作出函数的图象，简单发现其不对于 x 轴对称，所以它不是偶函数，所以A 不对；函数在 ,0 上，既有增区间也有减区间，所以在整个定义域上其实不拥有单一性，B 不对；明显在区间0，+函数不具备周期性，所以 C 不对；由图象可知函数的最小值为 -1 ，向上无量延长，无最大值，其值域为1,，应选 D ．y12Ox14．已知 y f ( x) 是定义在 R 上的偶函数，且在 (0,) 上是减函数，假如 x 1 0, x 20 ，且 | x 1 | | x 2 |，则有（ ）A ． f ( x 1) f ( x 2 ) 0B ． f ( x 1 )C ． f ( x 1) f ( x 2 )D． f ( x 1 )【答案】 Cf ( x 2 ) 0f ( x 2 ) 0【分析】由题知 f x 1 f x 2 ，又因为 y f ( x) 是定义在 R 上的偶函数， x 1 0, x 2 0 ，所以 f ( x 1 )f ( x 2 ) 0 ，应选 C.5．【 2016 高考天津理数】已知f( x)是定义在 R 上的偶函数，且在区间（- ，0）上单一递增 .若实数 a 知足f (2 a 1 ) f (2) ，则 a 的取值范围是 ______.1 3【答案】(, )B 能力提高训练1 ．【 2016 山东烟台】设 f ( x) 是周期为2 的奇函数，当0 x 1时 , f ( x)x(1 x) , 则f ( 5).21【答案】4【分析】 f (5) f (25) f ( 1)f ( 1)1 ．222242．【 2016 广西模拟】已知奇函数f x 知足对随意 x R 都有 f x 6 f x f 3 成立，且f 11 f 2015 f 2016．，则【答案】1【解析】令 x 3 ，则 f 3 6f3 f 3，因为 f x是奇函数，所以f3f3，所以 f 30，所以 f x 6f x，所以 f x是周期为 6 的周期函数，f2015f1f11，f2016f0 0，f2015f20161．故答案为1.3．【 2016 吉林东北师大附中】已知函数 f ( x)x22x2, g( x)ax2bx c ，若这两个函数的图象对于(2,0)对称，则 f (c)（）（ A）122（ B）5（C）26（ D）121【答案】 A4．已知函数f ( x)x23x( x 0)为奇函数，则 f ( g(1))．g( x)( x0)【答案】 -28【分析】试题剖析：由函数是奇函数，f x f x，当 x0 时， x0 f x x2 3xf xx23xg x x23x f ( g(1)) f4161228.5．【 2016 湖北株洲市模拟】．已知是定义在R 上的函数，且对随意都有，若函数的图象对于点对称，且，则（）A 、B 、C 、D 、【答案】 DC思想拓展训练1 ．【 2016 高考江苏卷】设f ( x) 是定义在 R 上且周期为2 的函数，在区间[ 1,1) 上，x a, 1 x0,5 9f (x)2其 中 a R .x若f ( )f ( ) ， 则 f (5a) 的 值 是 x ,0 1,225▲.【答案】25【分析】 f ( 5)f ( 1)f ( 9) f ( 1)1 a 12 a3 ，22 2 2 2 255所以 f (5a) f (3)f (1)f ( 1)3 21552．【浙江省杭州市五校结盟 2016 届高考数学一诊试卷（理科）】已知函数 y=f （ x ）是 R上的偶函数，对于随意x ∈R ，都有 f （ x+6）=f （ x ）+f （ 3）建立，当 x 1，x 2∈[0，3] ，且 x 1≠x 2时，都有．给出以下命题：①f（ 3） =0；② 直线 x=﹣ 6 是函数 y=f （ x ）的图象的一条对称轴；③ 函数 y=f （x ）在 [﹣9，﹣ 6]上为增函数；④ 函数 y=f （x ）在 [﹣9， 9]上有四个零点．此中全部正确命题的序号为①②④ （把全部正确命题的序号都填上）【答案】 ①②④ ．【解答】 ① ：对于随意 x ∈R ，都有 f （ x+6）=f （ x ） +f （ 3）建立，令 x=﹣ 3，则=f （﹣ 3）+f （ 3），又因为 f （ x ）是 R 上的偶函数，所以 f （ 3） =0．② ：由（ 1）知 f （ x+6） =f （ x ），所以 f （x ）的周期为 6，f （﹣ 3+6）又因为 f （x ）是 R 上的偶函数，所以f （ x+6） =f （﹣ x ），故答案为： ①②④ ．3．【吉林市一般中学高中毕业班摸底测试理】 已知定义在 R 上的函数 yf ( x) 对随意的 x都知足 f (x 1)f ( x) ，当 1≤x ＜1 时， f ( x)x 3 ，若函数 g( x)f (x) log a x 至少 6 个零点，则 a 的取值范围是 ．【答案】（0, 1] （5,）5【分析】依据题意 f (x)f ( x 1) ，则 f (x)f (x 1) f ( x 1 1) f ( x 2) ，即函数 f (x) 为周期函数，周期为 2，又当1 x 1时， f ( x)x 3 ，得函数 f ( x) 的值域为1,1 ，若函数( ) f ( ) loga x 起码 6 个零点， 即函数 f ( x) 和函数 log a x 的图象g x x 起码 6 个交点，所以依据图象性质， 当0 a 1 log a 5 f (5) 1，得 5 ，即 a ，时，111a5则 0aa 1 时， log a 5f (5)1，得 a 5 ，所以 a 的取值范围是；当5 (0, 1](5, ).54．【 2016 河北衡水中学模拟】已知定义在 R 上的奇函数f ( x) 知足 f ( x 4)f ( x) ，且 x0,2 时， f ( x)log 2 (x 1) ，给出以下结论：① f (3) 1；②函数 f (x) 在 6, 2 上是增函数；③函数f (x) 的图像对于直线x=1 对称；④若m0,1，则对于x 的方程f ( x)m0 在[-8 ， 16] 上的全部根之和为12．则此中正确的命题为_________．【答案】①④5．【 2016 四川绵阳模拟】已知函数f xa x a , x 00 ，给出以下x a a, x，此中常数 a结论：① fx 是 R 上的奇函数；②当 a 4 时， f x a 2f x 对随意 x R 恒建立；③ fx 的图象对于x a 和 x a 对称；④若对x 1, 2 , x 2, 1 ，使得 f x 1 f x 21 ，则 a1,1 ．2此中正确的结论是．（请填上你以为全部正确结论的序号）【答案】①②a x a , x 02ax, x a【分析】 ∵ f xxx,a x a , 其图象以以下图所示， 因为x aa, x, ∴ f2a x, xa图象对于原点对称，故①正确；∵a 4 时， a 24a ，故可得 y f xa 2 的图象是由yf x 向右平移 a 2 个单位，故可得②正确；察看图可知③错误；对于④当a 2 ，即a 2 时 f x 1a, ， f x 2 a,，故当 f x 1 从负方向靠近于 0 时， f x 2 不知足题意，当2a1，即 1 a 2时，2 2 ,，，f x 1af x 2a,同上可知不知足题意，当a 1，即a1时，2 2 ,，x1a f x2 1 2a,f要使得和 f x1 1 2a0 ,即a 1时相对应时，需知足，故④错误 .2。

专练8函数的奇偶性与周期性[基础强化]一、选择题1．下列函数中，在(0，＋∞)上单调递减，并且是偶函数的是()A．y ＝x 2B．y ＝－x 3C．y ＝－lg |x |D．y ＝2x2．设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是()A．f (x )g (x )是偶函数B．f (x )|g (x )|是奇函数C．|f (x )|g (x )是奇函数D．|f (x )g (x )|是奇函数3．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝log 2x ，则f (－8)＝()A．3B．13C．－13D．－34．设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则)A．－12B．－14C．14D．125．[2023·广西桂林测试]定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，当x ∈[0，1]时，f (x )＝3x ，则()A．B．f (4)C．D．f (4)6．函数f (x )为奇函数，定义域为R ，若f (x ＋2)为偶函数，且f (1)＝1，则f (2016)＋f (2017)＝()A．－2B．－1C．0D．17．[2023·全国乙卷(理)]已知f (x )＝x e xe ax －1是偶函数，则a ＝()A．－2B．－1C．1D．28．(多选)[2023·新课标Ⅰ卷]已知函数f (x )的定义域为R ，f (xy )＝y 2f (x )＋x 2f (y )，则()A．f (0)＝0B．f (1)＝0C．f (x )是偶函数D．x ＝0为f (x )的极小值点9．已知f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f (1)<1，f (5)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围为()A．(－1，4)B．(－2，0)C．(－1，0)D．(－1，2)二、填空题10．[2021·新高考Ⅰ卷]已知函数f (x )＝x 3(a ·2x －2－x )是偶函数，则a ＝________．11．[2023·全国甲卷(理)]若f (x )＝(x －1)2＋ax ＋sin (x ＋π2)为偶函数，则a ＝________．12．[2022·全国乙卷(文)，16]若f (x )＝ln |a ＋11－x |＋b 是奇函数，则a ＝________，b＝________．[能力提升]13．[2023·新课标Ⅱ卷]若f (x )＝(x ＋a )ln 2x －12x ＋1为偶函数，则a ＝()A．－1B．0C．12D．114．[2022·全国乙卷(理)，12]已知函数f (x )，g (x )的定义域均为R ，且f (x )＋g (2－x )＝5，g (x )－f (x －4)＝7.若y ＝g (x )的图象关于直线x ＝2对称，g (2)＝4，则错误!f(k)＝()A ．－21B ．－22C ．－23D ．－2415．[2023·惠州一中测试]已知函数y＝f(x)的定义域为R ，且满足下列三个条件：①对任意的x 1，x 2∈[4，8]，当x 1<x 2时，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0恒成立；②f (x ＋4)＝－f (x )；③y ＝f (x ＋4)是偶函数．若a ＝f (6)，b ＝f (11)，c ＝f (2017)，则a ，b ，c 的大小关系正确的是()A．a <b <c B．b <a <c C．a <c <b D．c <b <af (x )及其导函数f ′(x )的定义域均为R ，记g (x )＝f ′(x ).若g )A．f (0)＝0B．C．f (－1)＝f (4)D．g (－1)＝g (2)专练8函数的奇偶性与周期性1．C 2．B 3．D∵f (x )为奇函数，∴f (－8)＝－f 24．A ∵f (x )为奇函数且周期为2，∴＝－2×12×＝－12.5．C ∵f (x ＋2)＝f (x f (－1)＝f (1)＝31＝3，∴f (2)＝f (0)＝1，∴f (4)＝f (0)＝1，＝3，33，∴6．D ∵f (x ＋2)为偶函数，∴f (2＋x )＝f (2－x )，又f (x )为奇函数，∴f (－x ＋2)＝－f (x －2)，∴f (x ＋2)＝－f (x －2)，∴f (x ＋4)＝－f (x )，∴f (x ＋8)＝－f (x ＋4)＝f (x )，∴f (x )是以8为周期的周期函数，∵f (0)＝0，∴f (2016)＝f (0)＝0，f (2017)＝f (1)＝1，∴f (2016)＋f (2017)＝0＋1＝1.7．D 方法一f (x )的定义域为{x |x ≠0}，因为f (x )是偶函数，所以f (x )＝f (－x )，即x e xe ax －1＝－x e －xe －ax－1，即e (1－a )x －e x ＝－e (a －1)x ＋e －x ，即e (1－a )x ＋e (a －1)x ＝e x ＋e －x ，所以a －1＝±1，解得a ＝0(舍去)或a ＝2，故选D.方法二f (x )＝x e x e ax －1＝xe （a －1）x －e－x ，f (x )是偶函数，又y ＝x 是奇函数，所以y ＝e (a －1)x －e －x 是奇函数，故a －1＝1，即a ＝2，故选D.8．ABC 取x ＝y ＝0，则f (0)＝0，故A 正确；取x ＝y ＝1，则f (1)＝f (1)＋f (1)，所以f (1)＝0，故B 正确；取x ＝y ＝－1，则f (1)＝f (－1)＋f (－1)，所以f (－1)＝0，取y ＝－1，则f (－x )＝f (x )＋x 2f (－1)，所以f (－x )＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数，故C 正确；由于f (0)＝0，且函数f (x )为偶函数，所以函数f (x )的图象关于y 轴对称，所以x ＝0可能为函数f (x )的极小值点，也可能为函数f (x )的极大值点，也可能不是函数f (x )的极值点，故D 不正确．综上，选ABC.9．A ∵f (x )是周期为3的偶函数，∴f (5)＝f (5－6)＝f (－1)＝f (1)＝2a －3a ＋1，又f (1)<1，∴2a －3a ＋1<1，得－1<a <4.10．1解析：因为f (x )＝x 3(a ·2x －2－x )，故f (－x )＝－x 3(a ·2－x －2x)，因为f (x )为偶函数，故f (－x )＝f (x )，即x 3(a ·2x －2－x )＝－x 3(a ·2－x －2x )，整理得到(a －1)(2x ＋2－x)＝0，故a ＝1.11．2f (x )为偶函数，所以f (－x )＝f (x )，即(－x －1)2－ax ＋sinx (x －1)2＋ax＋sina ＝2.方法二因为f (x )为偶函数，所以－π2－1－π2a＋π2a ，得a ＝2.12．－12ln 2解析：本题先采用特殊值法求出f (x )，再检验正确性．因为f (x )为奇函数，所以f （－2）＝0，|a ＋1|＋b ＝0①，|a －1|＋ln|a ＋13|＋2b ＝0②.由①可得－b ＝ln |a ＋1|③.将③代入②可得，|（a －1）（a ＋13）|＝|a ＋1|2.当(a －1)(a ＋13)＝(a ＋1)2时，解得a ＝－12.把a ＝－12代入①，可得b ＝ln 2，此时f (x )＝ln|－12＋11－x |＋ln 2＝ln |1＋x 1－x |，所以f (－x )＋f (x )＝ln |1－x 1＋x |＋ln |1＋x1－x |＝ln 1＝0，所以f (x )为奇函数，且f (0)，f (2)，f (－2)均有意义．当(a －1)(a ＋13)＝－(a ＋1)2时，整理可得a 2＋23a ＋13＝0，此时Δ＝49－4×13<0，所以a 无解．综上可得，a ＝－12，b ＝ln 2.13．B 方法一设g (x )＝ln 2x －12x ＋1，易知g (xg (－x )＝ln －2x －1－2x ＋1＝ln 2x ＋12x －1＝－ln 2x －12x ＋1＝－g (x )，所以g (x )为奇函数．若f (x )＝(x ＋a )ln2x －12x ＋1为偶函数，则y ＝x ＋a 也应为奇函数，所以a ＝0，故选B.方法二因为f (x )＝(x ＋a )ln 2x －12x ＋1为偶函数，f (－1)＝(a －1)ln 3，f (1)＝(a ＋1)ln 13＝－(a＋1)ln 3，所以(a －1)ln 3＝－(a ＋1)ln 3，解得a ＝0，故选B.14．D 若y ＝g (x )的图象关于直线x ＝2对称，则g (2－x )＝g (2＋x ).因为f (x )＋g (2－x )＝5，所以f (－x )＋g (2＋x )＝5，所以f (－x )＝f (x )，所以f (x )为偶函数．由g (2)＝4，f (0)＋g (2)＝5，得f (0)＝1.由g (x )－f (x －4)＝7，得g (2－x )＝f (－x －2)＋7，代入f (x )＋g (2－x )＝5，得f (x )＋f (－x －2)＝－2，所以f (x )的图象关于点(－1，－1)中心对称，所以f (1)＝f (－1)＝－1.由f (x )＋f (－x －2)＝－2，f (－x )＝f (x )，得f (x )＋f (x ＋2)＝－2，所以f (x ＋2)＋f (x ＋4)＝－2，所以f (x ＋4)＝f (x )，所以f (x )为周期函数，且周期为4.由f (0)＋f (2)＝－2，得f (2)＝－3.又因为f (3)＝f (－1)＝f (1)＝－1，所以f (4)＝－2－f (2)＝1，所以错误!f(k)＝6f(1)＋6f(2)＋5f(3)＋5f(4)＝6×(－1)＋6×(－3)＋5×(－1)＋5×1＝－24.故选D .15．B 由①知函数f(x)在区间[4，8]上为单调递增函数；由②知f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，即函数f(x)的周期为8，所以c＝f(2017)＝f(252×8＋1)＝f(1)，b＝f(11)＝f(3)；由③可知函数f(x)的图象关于直线x＝4对称，所以b＝f(3)＝f(5)，c＝f(1)＝f(7).因为函数f(x)在区间[4，8]上为单调递增函数，所以f(5)<f(6)<f(7)，即b<a<c，故选B .16．BC 因为f(32－2x)，g(2＋x)均为偶函数，所以f(32－2x)＝f(32＋2x)，g(2＋x)＝g(2－x).令t＝32－2x，则x＝34－t2，所以f(t)＝f(3－t)，即f(x)＝f(3－x).对两边求导，得f′(x)＝－f′(3－x)，即g(x)＋g(3－x)＝0，所以g(x)的图象关于点(32，0)对称，即g(32)＝0.又因为g(2＋x)＝g(2－x)，所以g(x)的图象关于直线x＝2对称，所以g(x)的周期为4×(2－32)＝2，所以g(32)＝g(－12)＝0，所以B 正确．因为f′(2＋x)＝f′(2－x)，所以f(2＋x)＝－f(2－x)＋C，其中C 为常数，所以f(2＋x)＋f(2－x)＝C，所以f(x)的图象关于点(2，C2)对称．又因为f(x)＝f(3－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝32对称，所以f(x)的周期为4×(2－32)＝2，所以f(－1)＝f(1)，f(4)＝f(2).又因为f(x)＝f(3－x)，所以f(1)＝f(2)，所以f(－1)＝f(4)，所以C 正确．g(x)的图象不关于直线x＝12对称，所以D错误．因为f(0)＝f(2)＝C2，所以当C＝0时，f(0)＝0，当C≠0时，f(0)≠0，所以A错误．故选BC.。