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高考数学一轮复习函数的奇偶性与周期性专题训练（含答案）若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f(x)=f(x+T) 恒成立，则f(x)叫做周期函数，下面是函数的奇偶性与周期性专题训练，请考生及时练习。
一、选择题1.设f(x)为定义在R上的奇函数.当x0时，f(x)=2x+2x+b(b 为常数)，则f(-1)等于().A.3 B.1 C.-1 D.-3解析由f(-0)=-f(0)，即f(0)=0.则b=-1，f(x)=2x+2x-1，f(-1)=-f(1)=-3.答案 D2.已知定义在R上的奇函数，f(x)满足f(x+2)=-f(x)，则f(6)的值为 ().A.-1B.0C.1D.2(构造法)构造函数f(x)=sin x，则有f(x+2)=sin=-sinx=-f(x)，所以f(x)=sin x是一个满足条件的函数，所以f(6)=sin 3=0，故选B.答案 B3.定义在R上的函数f(x)满足f(x)=f(x+2)，当x[3,5]时，f(x)=2-|x-4|，则下列不等式一定成立的是().A.ffB.f(sin 1)f(sin 2)解析当x[-1,1]时，x+4[3,5]，由f(x)=f(x+2)=f(x+4)=2-|x+4-4|=2-|x|，显然当x[-1,0]时，f(x)为增函数;当x[0,1]时，f(x)为减函数，cos=-，sin =，又f=ff，所以ff.答案 A4.已知函数f(x)=则该函数是().A.偶函数，且单调递增B.偶函数，且单调递减C.奇函数，且单调递增D.奇函数，且单调递减解析当x0时，f(-x)=2-x-1=-f(x);当x0时，f(-x)=1-2-(-x)=1-2x=-f(x).当x=0时，f(0)=0，故f(x)为奇函数，且f(x)=1-2-x在[0，+)上为增函数，f(x)=2x-1在(-，0)上为增函数，又x0时1-2-x0，x0时2x-10，故f(x)为R上的增函数.答案 C.已知f(x)是定义在R上的周期为2的周期函数，当x[0,1)时，f(x)=4x-1，则f(-5.5)的值为()A.2B.-1C.-D.1解析 f(-5.5)=f(-5.5+6)=f(0.5)=40.5-1=1.答案 .设函数D(x)=则下列结论错误的是().A.D(x)的值域为{0,1}B.D(x)是偶函数C.D(x)不是周期函数D.D(x)不是单调函数解析显然D(x)不单调，且D(x)的值域为{0,1}，因此选项A、D正确.若x是无理数，-x，x+1是无理数;若x是有理数，-x，x+1也是有理数.D(-x)=D(x)，D(x+1)=D(x).则D(x)是偶函数，D(x)为周期函数，B正确，C错误.答案 C二、填空题.若函数f(x)=x2-|x+a|为偶函数，则实数a=________.解析由题意知，函数f(x)=x2-|x+a|为偶函数，则f(1)=f(-1)，1-|1+a|=1-|-1+a|，a=0.答案 0.已知y=f(x)+x2是奇函数，且f(1)=1.若g(x)=f(x)+2，则g(-1)=________.解析因为y=f(x)+x2是奇函数，且x=1时，y=2，所以当x=-1时，y=-2，即f(-1)+(-1)2=-2，得f(-1)=-3，所以g(-1)=f(-1)+2=-1.答案 -1.设奇函数f(x)的定义域为[-5,5]，当x[0,5]时，函数y=f(x)的图象如图所示，则使函数值y0的x的取值集合为________.解析由原函数是奇函数，所以y=f(x)在[-5,5]上的图象关于坐标原点对称，由y=f(x)在[0,5]上的图象，得它在[-5,0]上的图象，如图所示.由图象知，使函数值y0的x的取值集合为(-2,0)(2,5).答案 (-2,0)(2,5) 10. 设f(x)是偶函数，且当x0时是单调函数，则满足f(2x)=f的所有x之和为________.解析 f(x)是偶函数，f(2x)=f，f(|2x|)=f，又f(x)在(0，+)上为单调函数，|2x|=，即2x=或2x=-，整理得2x2+7x-1=0或2x2+9x+1=0，设方程2x2+7x-1=0的两根为x1，x2，方程2x2+9x+1=0的两根为x3，x4.则(x1+x2)+(x3+x4)=-+=-8.-8三、解答题.已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意x，y，f(x)都满足f(xy)=yf(x)+xf(y).(1)求f(1)，f(-1)的值;(2)判断函数f(x)的奇偶性.解 (1)因为对定义域内任意x，y，f(x)满足f(xy)=yf(x)+xf(y)，所以令x=y=1，得f(1)=0，令x=y=-1，得f(-1)=0.(2)令y=-1，有f(-x)=-f(x)+xf(-1)，代入f(-1)=0得f(-x)=-f(x)，所以f(x)是(-，+)上的奇函数..已知函数f(x)对任意x，yR，都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且x0时，f(x)0，f(1)=-2.(1)求证f(x)是奇函数;(2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.(1)证明令x=y=0，知f(0)=0;再令y=-x，则f(0)=f(x)+f(-x)=0，所以f(x)为奇函数.(2)解任取x1所以f(x)max=f(-3)=6，f(x)min=f(3)=-6.已知函数f(x)是(-，+)上的奇函数，且f(x)的图象关于x=1对称，当x[0,1]时，f(x)=2x-1，(1)求证：f(x)是周期函数;(2)当x[1,2]时，求f(x)的解析式;(3)计算f(0)+f(1)+f(2)++f(2019)的值.(1)证明函数f(x)为奇函数，则f(-x)=-f(x)，函数f(x)的图象关于x=1对称，则f(2+x)=f(-x)=-f(x)，所以f(4+x)=f[(2+x)+2]=-f(2+x)=f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数.(2) 当x[1,2]时，2-x[0,1]，又f(x)的图象关于x=1对称，则f(x)=f(2-x)=22-x-1，x[1,2].(3)f(0)=0，f(1)=1，f(2)=0，f(3)=f(-1)=-f(1)=-1又f(x)是以4为周期的周期函数.f(0)+f(1)+f(2)++f(2019)=f(2 012)+f(2 013)=f(0)+f(1)=1..已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x+2)=-f(x).(1)求证：f(x)是周期函数;(2)若f(x)为奇函数，且当01时，f(x)=x，求使f(x)=-在[0,2 014]上的所有x的个数.(1)证明 f(x+2)=-f(x)，f(x+4)=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x)，f(x)是以4为周期的周期函数.(2)解当01时，f(x)=x，设-10，则01，f(-x)=(-x)=-x.f(x)是奇函数，f(-x)=-f(x)，-f(x)=-x，即f(x)=x.故f(x)=x(-11).函数的奇偶性与周期性专题训练及答案的全部内容就是这些，查字典数学网预祝考生可以取得优异的成绩。
函数的单调性与最值[A 组 基础保分练]1.下列函数中，在区间（－1，1）上为减函数的是（ ）A.y ＝11－xB.y ＝cos xC.y ＝ln （x ＋1）D.y ＝2－x解析：函数y ＝11－x，y ＝ln （x ＋1）在（－1，1）上都是增函数，函数y ＝cos x 在（－1，0）上是增函数，在（0，1）上是减函数，而函数y ＝2－x ＝⎝⎛⎭⎫12x 在（－1，1）上是减函数. 答案：D2.函数y ＝x 2－2x ＋3有（ ） A.最小值2 B.最小值2 C.最大值2 D.最大值2解析：易知y ＝（x －1）2＋2，因为（x －1）2＋2≥2，所以y ≥ 2. 答案：B3.函数f （x ）＝11－x （1－x ）的最大值是（ ）A.45B.54C.34D.43解析：由f （x ）＝1⎝⎛⎭⎫x －122＋34≤43，则f （x ）max ＝43.答案：D4.设偶函数f （x ）的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞）时，f （x ）是增函数，则f （－2），f （π），f （－3）的大小关系是（ ） A.f （π）＞f （－3）＞f （－2） B.f （π）＞f （－2）＞f （－3） C.f （π）＜f （－3）＜f （－2） D.f （π）＜f （－2）＜f （－3）解析：因为f （x ）是偶函数，所以f （－3）＝f （3），f （－2）＝f （2）.又因为函数f （x ）在[0，＋∞）上是增函数，所以f （π）＞f （3）＞f （2），即f （π）＞f （－3）＞f （－2）. 答案：A5.函数f （x ）＝log a （x 2－4x －5）（a ＞1）的单调递增区间是（ ） A.（－∞，－2） B.（－∞，－1） C.（2，＋∞） D.（5，＋∞）解析：根据题意，得x 2－4x －5＞0，解得x ＜－1或x ＞5，设u ＝x 2－4x －5＝（x －2）2－9，易知u ＝x 2－4x －5的单调递增区间为（2，＋∞），所以f （x ）＝log a （x 2－4x －5）的单调递增区间是（5，＋∞）. 答案：D6.已知函数f （x ）＝log 2x ＋11－x，若x 1∈（1，2），x 2∈（2，＋∞），则（ ）A.f （x 1）＜0，f （x 2）＜0B.f （x 1）＜0，f （x 2）＞0C.f （x 1）＞0，f （x 2）＜0D.f （x 1）＞0，f （x 2）＞0解析：因为函数f （x ）＝log 2x ＋11－x在（1，＋∞）上为增函数，且f （2）＝0，所以当x 1∈（1，2）时，f （x 1）＜f （2）＝0；当x 2∈（2，＋∞）时，f （x 2）＞f （2）＝0， 即f （x 1）＜0，f （x 2）＞0. 答案：B7.函数f （x ）＝xx －1（x ≥2）的最大值为__________.解析：易得f （x ）＝x x －1＝1＋1x －1，当x ≥2时，x －1＞0，易知f （x ）在[2，＋∞）上是减函数，∴f （x ）max ＝f （2）＝1＋12－1＝2.答案：28.设函数f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x >4.若函数y ＝f （x ）在区间（a ，a ＋1）上是增加的，则实数a 的取值范围是__________.解析：作出函数f （x ）的图像如图所示，由图像可知f （x ）在（a ，a ＋1）上是增加的，需满足a ≥4或a ＋1≤2，即a ≤1或a ≥4.答案：（－∞，1]∪[4，＋∞）9.已知f （x ）＝xx －a（x ≠a ）.（1）若a ＝－2，试证f （x ）在（－∞，－2）上单调递增；（2）若a ＞0且f （x ）在（1，＋∞）上单调递减，求a 的取值范围. 解析：（1）证明：设x 1＜x 2＜－2，则f （x 1）－f （x 2）＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2（x 1－x 2）（x 1＋2）（x 2＋2）.因为（x 1＋2）（x 2＋2）＞0，x 1－x 2＜0，所以f （x 1）－f （x 2）＜0，即f （x 1）＜f （x 2）， 所以f （x ）在（－∞，－2）上单调递增. （2）设1＜x 1＜x 2，则f （x 1）－f （x 2）＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a （x 2－x 1）（x 1－a ）（x 2－a ）.因为a ＞0，x 2－x 1＞0，所以要使f （x 1）－f （x 2）＞0， 只需（x 1－a ）（x 2－a ）＞0恒成立，所以a ≤1.综上所述，a 的取值范围是（0，1].[B 组 能力提升练]1.下列函数f （x ）中，满足“对任意的x 1，x 2∈（0，＋∞）时，均有（x 1－x 2）[f （x 1）－f （x 2）]＞0”的是（ ）A.f （x ）＝12B.f （x ）＝x 2－4x ＋4C.f （x ）＝2xD.f （x ）＝log 12x解析：（x 1－x 2）[f （x 1）－f （x 2）]＞0等价于x 1－x 2与f （x 1）－f （x 2）正负号相同，故函数f（x ）在（0，＋∞）上单调递增.显然只有函数f （x ）＝2x 符合. 答案：C2.已知函数f （x ）满足f （x －1）＝f （5－x ），且对任意的x 1，x 2∈[2，＋∞），x 1≠x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＜0成立，若p ＝f （log 216），q ＝f （log 47），m ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝⎛⎭⎫1525，则p ，q ，m 的大小关系为（ ） A.q ＜m ＜p B.p ＜m ＜q C.q ＜p ＜m D.p ＜q ＜m 解析：∵f （x －1）＝f （5－x ），∴函数f （x ）的图像关于直线x ＝2对称.又对任意的x 1，x 2∈[2，＋∞），x 1≠x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＜0成立，∴f （x ）在区间[2，＋∞）上单调递减，在（－∞，2）上单调递增.∵log 216＝4，∴f （log 216）＝f （4）＝f （0），又1＜log 47＜log 48＝32，0＜⎝⎛⎭⎫1525＜1，∴0＜⎝⎛⎭⎫1525＜1＜log 47＜2，∴p ＜m ＜q . 答案：B3.定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f （x ）＝（1⊕x ）x －（2⊕x ），x ∈[－2，2]的最大值等于（ ） A.－1 B.1 C.6 D.12解析：由已知得当－2≤x ≤1时，f （x ）＝x －2，当1<x ≤2时，f （x ）＝x 3－2， 因为f （x ）＝x －2在[－2，1]上是增函数， 所以f （x ）≤f （1）＝－1，因为f （x ）＝x 3－2在（1，2]上是增函数，所以f （x ）≤f （2）＝6，所以f （x ）max ＝f （2）＝6. 答案：C4.（2021·西安模拟）已知函数y ＝log 2（ax －1）在（1，2）上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A.（0，1] B.[1，2] C.[1，＋∞） D.[2，＋∞）解析：要使y ＝log 2（ax －1）在（1，2）上单调递增，则a ＞0且a －1≥0，∴a ≥1. 答案：C5.（2021·衡阳模拟）若函数f （x ）＝2x －a ＋1＋x －a －a 的定义域与值域相同，则a ＝（ ） A.－1 B.1 C.0 D.±1解析：∵函数f （x ）＝2x －a ＋1＋x －a －a ， ∴函数f （x ）的定义域为[a ，＋∞）. ∵函数f （x ）的定义域与值域相同， ∴函数f （x ）的值域为[a ，＋∞）.又∵函数f （x ）在[a ，＋∞）上是单调递增函数，∴当x ＝a 时，f （a ）＝2a －a ＋1－a ＝a ，解得a ＝1. 答案：B6.函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调递减区间是__________.解析：由题意知，当x ≥0时，y ＝－x 2＋2x ＋3＝－（x －1）2＋4；当x ＜0时，y ＝－x 2－2x ＋3＝－（x ＋1）2＋4，二次函数的图像如图所示，由图像可知，函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调递减区间为[－1，0]，[1，＋∞）.答案：[－1，0]，[1，＋∞）7.设f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧（x －a ）2，x ≤0，x ＋1x＋a ，x ＞0.若f （0）是f （x ）的最小值，则a 的取值范围为__________.解析：因为当x ≤0时，f （x ）＝（x －a ）2，f （0）是f （x ）的最小值，所以a ≥0.当x ＞0时，f （x ）＝x ＋1x＋a ≥2＋a ，当且仅当x ＝1时取“＝”.要满足f （0）是f （x ）的最小值，需2＋a ≥f （0）＝a 2，即a 2－a －2≤0，解得－1≤a ≤2， 所以a 的取值范围是[0，2]. 答案：[0，2]8.已知函数f （x ）＝x 2＋a |x －2|－4.（1）当a ＝2时，求f （x ）在[0，3]上的最大值和最小值；（2）若f （x ）在区间[－1，＋∞）上单调递增，求实数a 的取值范围.解析：（1）当a ＝2时，f （x ）＝x 2＋2|x －2|－4＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －8，x ≥2，x 2－2x ，x ＜2＝⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋1）2－9，x ≥2，（x －1）2－1，x ＜2，当x ∈[0，2）时，－1≤f （x ）≤0，当x ∈[2，3]时，0≤f （x ）≤7， 所以f （x ）在[0，3]上的最大值为7，最小值为－1.（2）因为f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax －2a －4，x ＞2，x 2－ax ＋2a －4，x ≤2，又f （x ）在区间[－1，＋∞）上单调递增，所以当x ＞2时，f （x ）单调递增，则－a2≤2，即a ≥－4.当－1≤x ≤2时，f （x ）单调递增，则a2≤－1.即a ≤－2，且4＋2a －2a －4≥4－2a ＋2a －4恒成立， 故a 的取值范围为[－4，－2].[C 组 创新应用练]1.定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，若函数f （x ）＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1 2－x x ＋3在（－∞，m ）上单调递减，则实数m 的取值范围是（ ） A.（－2，＋∞） B.[－2，＋∞） C.（－∞，－2） D.（－∞，－2]解析：∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，∴f （x ）＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1 2－x x ＋3＝（x －1）（x ＋3）－2×（－x ）＝x 2＋4x －3＝（x ＋2）2－7，∴f （x ）的单调递减区间为（－∞，－2）， ∵函数f （x ）在（－∞，m ）上单调递减， ∴（－∞，m ）⊆（－∞，－2），即m ≤－2. 答案：D2.如果函数y ＝f （x ）在区间I 上是增函数，且函数y ＝f （x ）x在区间I 上是减函数，那么称函数y ＝f （x ）是区间I 上的“缓增函数”，区间I 叫做“缓增区间”.若函数f （x ）＝12x 2－x ＋32是区间I 上的“缓增函数”，则“缓增区间”I 为（ ） A.[1，＋∞） B.[0，3] C.[0，1] D.[1，3]解析：因为函数f （x ）＝12x 2－x ＋32的对称轴为x ＝1，所以函数y ＝f （x ）在区间[1，＋∞）上是增函数，又当x ≥1时，f （x ）x ＝12x －1＋32x .令g （x ）＝12x －1＋32x （x ≥1），则g ′（x ）＝12－32x 2＝x 2－32x2，由g ′（x ）≤0得1≤x ≤3，即函数f （x ）x ＝12x －1＋32x在区间[1，3]上单调递减，故“缓增区间”I 为[1，3].答案：D3.已知定义在区间（0，＋∞）上的函数f （x ）满足f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2＝f （x 1）－f （x 2），且当x ＞1时，f （x ）＞0，f （3）＝1.（1）判断f （x ）的单调性；（2）解关于x 的不等式f （3x ＋6）＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＞2；（3）若f （x ）≤m 2－2am ＋1对所有x ∈（0，3]，a ∈[－1，1]恒成立，求实数m 的取值范围.解析：（1）设x 1＞x 2＞0，则x 1x 2＞1，因为当x ＞1时，f （x ）＞0，所以f （x 1）－f （x 2）＝f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2＞0， 所以f （x 1）＞f （x 2），所以函数f （x ）在区间（0，＋∞）上为增函数.（2）在f （x 1）－f （x 2）＝f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2中， 令x 1＝9，x 2＝3，所以f （9）－f （3）＝f （3）. 又f （3）＝1，所以f （9）＝2.所以不等式f （3x ＋6）＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＞2，可转化为f （3x ＋6）＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＞f （9）， 所以f （3x ＋6）＞f （9）－f ⎝⎛⎭⎫1x ＝f （9x ）， 由函数f （x ）为（0，＋∞）上的增函数，可得3x ＋6＞9x ＞0，所以0＜x ＜1， 所以原不等式的解集为（0，1）.（3）因为函数f （x ）在（0，3]上是增函数， 所以f （x ）在（0，3]上的最大值为f （3）＝1，所以不等式f （x ）≤m 2－2am ＋1对所有x ∈（0，3]，a ∈[－1，1]恒成立转化为1≤m 2－2am ＋1对所有a ∈[－1，1]恒成立，即m 2－2am ≥0对所有a ∈[－1，1]恒成立. 设g （a ）＝－2ma ＋m 2，所以需满足⎩⎪⎨⎪⎧g （－1）≥0，g （1）≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋m 2≥0，－2m ＋m 2≥0，解该不等式组，得m ≤－2或m ≥2或m ＝0，即实数m 的取值范围为（－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞）.函数的奇偶性与周期性[A 组 基础保分练]1.（2021·石家庄模拟）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，＋∞）上单调递增的是（ ）A.y ＝1xB.y ＝|x |－1C.y ＝lg xD.y ＝⎝⎛⎭⎫12|x |解析：∵函数y ＝|x |－1和y ＝⎝⎛⎭⎫12|x |是偶函数，其中y ＝|x |－1在（0，＋∞）上单调递增，y ＝⎝⎛⎭⎫12|x |在（0，＋∞）上单调递减.答案：B2.若函数f （x ）＝（x －a ）（x ＋2）为偶函数，则实数a ＝（ ） A.0 B.1 C.－1 D.2 解析：f （x ）＝（x －a ）（x ＋2）＝x 2＋（2－a ）x －2a 为偶函数，则2－a ＝0，即a ＝2. 答案：D3.已知f （x ）为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f （x ）＝2x ＋m ，则f （－2）＝（ ）A.－3B.－54C.54D.3 解析：因为f （x ）为R 上的奇函数，所以f （0）＝0，即f （0）＝20＋m ＝0，解得m ＝－1，则f （－2）＝－f （2）＝－（22－1）＝－3. 答案：A4.已知函数f （x ）是奇函数，在（0，＋∞）上是减函数，且在区间[a ，b ]（a ＜b ＜0）上的值域为[－3，4]，则在区间[－b ，－a ]上（ ） A.有最大值4 B.有最小值－4 C.有最大值－3 D.有最小值－3解析：根据题意作出y ＝f （x ）的简图如图所示，由图知，选B.答案：B5.定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （x ＋3）＝f （x ）.若f （2）＞1，f （7）＝a ，则实数a 的取值范围为（ ） A.（－∞，－3） B.（3，＋∞） C.（－∞，－1） D.（1，＋∞） 解析：因为f （x ＋3）＝f （x ），所以f （x ）是定义在R 上的以3为周期的周期函数，所以f （7）＝f （7－9）＝f （－2）.又因为函数f （x ）是偶函数， 所以f （－2）＝f （2），所以f （7）＝f （2）＞1， 所以a ＞1，即a ∈（1，＋∞）. 答案：D6.已知函数y ＝f （x ），满足y ＝f （－x ）和y ＝f （x ＋2）是偶函数，且f （1）＝π3，设F （x ）＝f （x ）＋f （－x ），则F （3）＝（ ） A.π3 B.2π3C.πD.4π3解析：由y ＝f （－x ）和y ＝f （x ＋2）是偶函数知，f （－x ）＝f （x ），f （x ＋2）＝f （－x ＋2）＝f （x －2），故f （x ）＝f （x ＋4），则F （3）＝f （3）＋f （－3）＝2f （3）＝2f （－1）＝2f（1）＝2π3.答案：B7.若函数f （x ）＝x ln （x ＋a ＋x 2）为偶函数，则a ＝__________.解析：因为f （x ）为偶函数，所以f （－x ）－f （x ）＝0恒成立，所以－x ln （－x ＋a ＋x 2）－x ln （x ＋a ＋x 2）＝0恒成立，所以x ln a ＝0恒成立，所以ln a ＝0，即a ＝1. 答案：18.（2021·乐山模拟）已知函数f （x ）满足：f （－x ）＋f （x ）＝0，且当x ≥0时，f （x ）＝2＋m2x－1，则f （－1）＝__________. 解析：因为f （－x ）＋f （x ）＝0， 所以f （x ）为奇函数，又当x ≥0时，f （x ）＝2＋m2x －1，则f （0）＝2＋m1－1＝0，所以m ＝－1.所以当x ≥0时，f （x ）＝12x －1，所以f （－1）＝－f （1）＝－⎝⎛⎭⎫12－1＝12.答案：129.已知函数f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ＞0，0， x ＝0，x 2＋mx ，x ＜0是奇函数.（1）求实数m 的值；（2）若函数f （x ）在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围. 解析：（1）设x ＜0，则－x ＞0，所以f （－x ）＝－（－x ）2＋2（－x ）＝－x 2－2x . 又f （x ）为奇函数，所以f （－x ）＝－f （x ），于是x ＜0时，f （x ）＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2. （2）要使f （x ）在[－1，a －2]上单调递增，结合f （x ）的图像知⎩⎪⎨⎪⎧a －2＞－1，a －2≤1，所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是（1，3].[B 组 能力提升练] 1.已知函数f （x ）＝a sin x ＋b 3x ＋4，若f （lg 3）＝3，则f ⎝⎛⎭⎫lg 13＝（ ） A.13 B.－13C.5D.8解析：因为f （x ）＝a sin x ＋b 3x ＋4，则f （－x ）＝－a sin x －b 3x ＋4，所以f （x ）＋f （－x ）＝8，由于f ⎝⎛⎭⎫lg 13＝f （－lg 3），因此f （lg 3）＋f （－lg 3）＝8，即3＋f （－lg 3）＝8，所以f （－lg 3）＝5，即f ⎝⎛⎭⎫lg 13＝f （－lg 3）＝5. 答案：C2.已知定义在R 上的奇函数f （x ）满足当x ≥0时f （x ）＝log 2（x ＋2）＋x ＋b ，则|f （x ）|＞3的解集为（ ）A.（－∞，－2）∪（2，＋∞）B.（－∞，－4）∪（4，＋∞）C.（－2，2）D.（－4，4）解析：由题意知，f （0）＝1＋b ＝0，所以b ＝－1，所以f （x ）＝log 2（x ＋2）＋x －1，所以f （2）＝3，且该函数在R 上单调递增.因为|f （x ）|＞3＝f （2），所以f （x ）＞f （2）或f （x ）＜－f （2）＝f （－2），所以x ＞2或x ＜－2. 答案：A3.设f （x ）是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f （x ）＝2x （1－x ），则f ⎝⎛⎭⎫－52等于（ ） A.－12 B.－14C.14D.12解析：f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫－52＋2＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝－2×12×⎝⎛⎭⎫1－12＝－12. 答案：A4.（2021·郴州模拟）已知f （x ）是定义在[2b ，1－b ]上的偶函数，且在[2b ，0]上为增函数，则f （x －1）≤f （2x ）的解集为（ ）A.⎣⎡⎦⎤－1，23B.⎣⎡⎦⎤－1，13 C.[－1，1] D.⎣⎡⎦⎤13，1解析：因为f （x ）是定义在[2b ，1－b ]上的偶函数，所以2b ＋1－b ＝0，所以b ＝－1，因为f （x ）在[2b ，0]上为增函数，即函数f （x ）在[－2，0]上为增函数，故函数f （x ）在（0，2]上为减函数，则由f （x －1）≤f （2x ），可得|x －1|≥|2x |，即（x －1）2≥4x 2，解得－1≤x ≤13.又因为定义域为[－2，2]，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x －1≤2，－2≤2x ≤2，解得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤3，－1≤x ≤1.综上，－1≤x ≤13.答案：B5.已知偶函数f （x ）在[0，＋∞）上单调递增，则对任意实数a ，b ，“a ＞|b |”是“f （a ）＞f （b ）”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：因为f （x ）为偶函数，所以f （x ）＝f （－x ）＝f （|x |），由于f （x ）在[0，＋∞）上单调递增，因此若a ＞|b |≥0，则f （a ）＞f （|b |），即f （a ）＞f （b ），所以a ＞|b |是f （a ）＞f （b ）的充分条件；若f （a ）＞f （b ），则f （|a |）＞f （|b |），可得|a |＞|b |≥0，由于a ，b 的正负不能判断，因此无法得到a ＞|b |，则a ＞|b |不是f （a ）＞f （b ）的必要条件，所以“a ＞|b |”是“f （a ）＞f （b ）”的充分不必要条件. 答案：A 6.函数y ＝f （x ）在[0，2]上单调递增，且函数f （x ＋2）是偶函数，则下列结论成立的是（ ）A.f （1）＜f ⎝⎛⎭⎫52＜f ⎝⎛⎭⎫72 B.f ⎝⎛⎭⎫72＜f （1）＜f ⎝⎛⎭⎫52 C.f ⎝⎛⎭⎫72＜f ⎝⎛⎭⎫52＜f （1） D.f ⎝⎛⎭⎫52＜f （1）＜f ⎝⎛⎭⎫72 解析：因为函数f （x ＋2）是偶函数，所以f （x ＋2）＝f （－x ＋2）， 所以函数f （x ）的图像关于x ＝2对称，所以f ⎝⎛⎭⎫52＝f ⎝⎛⎭⎫32，f ⎝⎛⎭⎫72＝f ⎝⎛⎭⎫12.因为y ＝f （x ）在[0，2]上单调递增，且12＜1＜32，所以f ⎝⎛⎭⎫12＜f （1）＜f ⎝⎛⎭⎫32，即f ⎝⎛⎭⎫72＜f （1）＜f ⎝⎛⎭⎫52. 答案：B7.定义在R 上的函数f （x ）满足f （x ）＝f （2－x ）及f （x ）＝－f （－x ），且在[0，1]上有f （x ）＝x 2，则f ⎝⎛⎭⎫2 01912＝__________. 解析：函数f （x ）的定义域是R ，f （x ）＝－f （－x ），所以函数f （x ）是奇函数.又f （x ）＝f （2－x ），所以f （－x ）＝f （2＋x ）＝－f （x ），所以f （4＋x ）＝－f （2＋x ）＝f （x ），故函数f （x ）是以4为周期的奇函数，所以f ⎝⎛⎭⎫2 01912＝f ⎝⎛⎭⎫2 020－12＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－f ⎝⎛⎭⎫12.因为在[0，1]上有f （x ）＝x 2，所以f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫122＝14，故f ⎝⎛⎭⎫2 01912＝－14. 答案：－148.（2021·柳州模拟）已知函数f （x ）对任意x ∈R 都有f （x ＋6）＋f （x ）＝2f （3），y ＝f （x －1）的图像关于点（1，0）对称且f （2）＝4，则f （22）＝__________.解析：因为y ＝f （x －1）的图像关于点（1，0）对称，所以y ＝f （x ）的图像关于点（0，0）对称，即函数f （x ）为奇函数，由f （x ＋6）＋f （x ）＝2f （3）得，f （x ＋12）＋f （x ＋6）＝2f （3），所以f （x ＋12）＝f （x ），T ＝12，因此f （22）＝f （－2）＝－f （2）＝－4. 答案：－49.已知函数f （x ）对任意x ∈R 满足f （x ）＋f （－x ）＝0，f （x －1）＝f （x ＋1），若当x ∈[0，1）时，f （x ）＝a x ＋b （a ＞0且a ≠1），且f ⎝⎛⎭⎫32＝12. （1）求实数a ，b 的值；（2）求函数g （x ）＝f 2（x ）＋f （x ）的值域. 解析：（1）因为f （x ）＋f （－x ）＝0， 所以f （－x ）＝－f （x ），即f （x ）是奇函数. 因为f （x －1）＝f （x ＋1），所以f （x ＋2）＝f （x ）， 即函数f （x ）是周期为2的周期函数， 所以f （0）＝0，即b ＝－1.又f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝1－a ＝12， 解得a ＝14.（2）当x ∈[0，1）时f （x ）＝a x＋b ＝⎝⎛⎭⎫14x －1∈⎝⎛⎦⎤－34，0， 由f （x ）为奇函数知，当x ∈（－1，0）时，f （x ）∈⎝⎛⎭⎫0，34， 又因为f （x ）是周期为2的周期函数，所以当x ∈R 时，f （x ）∈⎝⎛⎭⎫－34，34， 设t ＝f （x ）∈⎝⎛⎭⎫－34，34， 所以g （x ）＝f 2（x ）＋f （x ）＝t 2＋t ＝⎝⎛⎭⎫t ＋122－14， 即g （x ）＝⎝⎛⎭⎫t ＋122－14∈⎣⎡⎭⎫－14，2116.故函数g （x ）＝f 2（x ）＋f （x ）的值域为⎣⎡⎭⎫－14，2116. [C 组 创新应用练]1.（2021·兰州模拟）对任意实数x ，定义[x ]为不大于x 的最大整数（例如[3.4]＝3，[－3.4]＝－4等）.设函数f （x ）＝x －[x ]，给出下列四个结论：①f （x ）≥0；②f （x ）＜1；③f （x ）是周期函数；④f （x ）是偶函数.其中正确结论的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4解析：由题意有[x ]≤x ＜[x ]＋1，∴f （x ）＝x －[x ]≥0，且f （x ）＜1，∴①②正确；∵f （x ＋1）＝x ＋1－[x ＋1]＝x ＋1－（[x ]＋1）＝x －[x ]＝f （x ），∴f （x ）为周期函数，③正确；∵f （－0.1）＝－0.1－[－0.1]＝－0.1－（－1）＝0.9，f （0.1）＝0.1－[0.1]＝0.1－0＝0.1≠f （－0.1），∴f （x ）不是偶函数，④错误. 答案：C2.（2019·高考全国卷Ⅱ）设函数f （x ）的定义域为R ，满足f （x ＋1）＝2f （x ），且当x ∈（0，1] 时，f （x ）＝x （x －1）.若对任意x ∈（－∞，m ]，都有f （x ）≥－89，则m 的取值范围是（ ）A.⎝⎛⎦⎤－∞，94B.⎝⎛⎦⎤－∞，73C.⎝⎛⎦⎤－∞，52D.⎝⎛⎦⎤－∞，83 解析：当x ∈（0，1]时，f （x ）＝x （x －1），∴当x ∈（0，1]时，f （x ）∈⎣⎡⎦⎤－14，0. ∵f （x ＋1）＝2f （x ），∴当x ∈（－1，0]时，x ＋1∈（0，1]，f （x ）＝12f （x ＋1）＝12（x ＋1）x ，f （x ）∈⎣⎡⎦⎤－18，0； 当x ∈（－2，－1]时，x ＋1∈（－1，0]，f （x ）＝12f （x ＋1）＝14f （x ＋2）＝14（x ＋2）（x ＋1），f （x ）∈⎣⎡⎦⎤－116，0； …；当x ∈（1，2]时，x －1∈（0，1]，f （x ）＝2f （x －1）＝2（x －1）（x －2），f （x ）∈⎣⎡⎦⎤－12，0； 当x ∈（2，3]时，x －1∈（1，2]，f （x ）＝2f （x －1）＝4f （x －2）＝4（x －2）（x －3），f （x ）∈[－1，0]； ….f （x ）的图像如图所示.11若对任意x ∈（－∞，m ]，都有f （x ）≥－89，则有2＜m ≤3. 设f （m ）＝－89，则4（m －2）（m －3）＝－89， ∴m ＝73或m ＝83.结合图像可知，当m ≤73时，符合题意. 答案：B3.（2021·湘潭模拟）已知定义在R 上的偶函数y ＝f （x ＋2）的图像连续，当x ＞2时，函数y＝f （x ）是单调函数，则满足f （x ）＝f ⎝⎛⎭⎫1－1x ＋4的所有x 之积为__________. 解析：因为函数y ＝f （x ＋2）是连续的偶函数，所以直线x ＝0是它的图像的对称轴，所以直线x ＝2就是函数y ＝f （x ）图像的对称轴.因为f （x ）＝f ⎝⎛⎭⎫1－1x ＋4，所以x ＝1－1x ＋4或x ＋1－1x ＋4＝4.由x ＝1－1x ＋4，得x 2＋3x －3＝0，设方程的两根为x 1，x 2，所以x 1x 2＝－3；由x ＋1－1x ＋4＝4，得x 2＋x －13＝0，设方程的两根为x 3，x 4，所以x 3x 4＝－13.所以x 1x 2x 3x 4＝39. 答案：39。
分层精练）数周期性转化求值即可.【详解】因为()()110f x f x -++=，所以()()110f f -+=，且()()21log 111f =+=，则()11f -=-，又可得()()20f x f x ++=，()()240f x f x +++=，故()()4f x f x +=，所以函数()f x 是周期4T =的周期函数，()()()47412111f f f =⨯-=-=-．故选：D ．4．（2023·内蒙古赤峰·统考模拟预测）函数()y f x =是定义在R 上奇函数，且(4)()f x f x -=，(3)1f -=-，则(15)f =（）A ．0B ．1-C ．2D ．1【答案】B【分析】通过已知计算得出函数是周期为8的周期函数，则()()157f f =，根据已知得出(7)(3)1f f =-=-，即可得出答案.【详解】 函数()y f x =是定义在R 上奇函数，且(4)()f x f x -=，()()()4f x f x f x ∴+=-=-，()()()()4484f x f x f x f x ∴++=+=-+=，则函数()y f x =是周期为8的周期函数，则()()()151587f f f =-=，令3x =-，则(43)(3)1f f +=-=-，(15)1f ∴=-，故选：B.5．（2023上·山东烟台·高一校考期末）函数e x y =-与e x y -=的图象（）A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线y x =对称【答案】C【分析】画出函数图像即可判断.【详解】根据如下图像即可判断出函数图像关于原点对称.故选：C10,10由上图知：增区间为[2,1),[0,1)--，减区间为零点为2,0,2x =-共3个；最大值为1，最小值为（2）由题设()7.5(80.5)(0.5)f f f =-=-=（3）令[]21,22[1,1]1n n x x n ∈⇒-∈--+且，且存在常数若()()20h x t h x t -⋅+=有8个不同的实数解，令则20n tn t -+=有两个不等的实数根2Δ400t t t ⎧=->⎪>⎪。
专题03 函数的奇偶性、对称性、周期性【方法点拨】1.常见的与周期函数有关的结论如下：(1)如果f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.(2)如果f(x＋a)＝1f〔x〕(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.(3)如果f(x＋a)＋f(x)＝c(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.2.函数奇偶性、对称性间关系：(1)假如函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a＋x)＝f(a－x)恒成立，如此y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；一般的，假如f(a＋x)＝f(b－x)恒成立，如此y＝f(x)的图象关于直线x＝a＋b2对称．(2)假如函数y＝f(x＋a)是奇函数，即f(－x＋a)＋f(x＋a)＝0恒成立，如此函数y＝f(x)关于点(a，0)中心对称；一般的，假如对于R上的任意x都有f(a＋x)＋f(a－x)＝2b恒成立，如此y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称.3. 函数对称性、周期性间关系：假如函数有多重对称性，如此该函数具有周期性且最小正周期为相邻对称轴距离的2倍，为相邻对称中心距离的2倍，为对称轴与其相邻对称中心距离的4倍．(注：如果遇到抽象函数给出类似性质，可以联想y＝sin x，y＝cos x的对称轴、对称中心和周期之间的关系)4. 善于发现函数的对称性〔中心对称、轴对称〕，有时需将对称性与函数的奇偶性相互转化.【典型题示例】例1 〔2021·新高考全国Ⅱ卷·8〕函数()f x 的定义域为R ，()2f x +为偶函数，()21f x +为奇函数，如此〔〕 A. 102f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ B. ()10f -= C. ()20f = D. ()40f = 【答案】B【分析】推导出函数()f x 是以4为周期的周期函数，由条件得出()10f =，结合条件可得出结论.【解析】因为函数()2f x +为偶函数，如此()()22f x f x +=-，可得()()31f x f x +=-， 因为函数()21f x +为奇函数，如此()()1221f x f x -=-+，所以，()()11f x f x -=-+， 所以，()()()311f x f x f x +=-+=-，即()()4f x f x =+，故函数()f x 是以4为周期的周期函数，因为函数()()21F x f x =+为奇函数，如此()()010F f ==，故()()110f f -=-=，其它三个选项未知.应当选：B.例2 〔2021·全国甲卷〔理〕·12〕设函数()f x 的定义域为R ，()1f x +为奇函数，()2f x +为偶函数，当[]1,2x ∈时，2()f x ax b =+．假如()()036f f +=，如此92f ⎛⎫= ⎪⎝⎭〔〕A. 94-B. 32-C. 74D. 52 【答案】D【分析】通过()1f x +是奇函数和()2f x +是偶函数条件，可以确定出函数解析式()222f x x =-+，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．【解析】因为()1f x +是奇函数，所以()()11f x f x -+=-+①；因为()2f x +是偶函数，所以()()22f x f x +=-+②．令1x =，由①得：()()()024f f a b =-=-+，由②得：()()31f f a b ==+， 因为()()036f f +=，所以()462a b a b a -+++=⇒=-，令0x =，由①得：()()()11102f f f b =-⇒=⇒=，所以()222f x x =-+． 思路一：从定义入手．9551222222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1335112222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 511322=2222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以935222f f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数()f x 的周期4T =． 所以91352222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 应当选：D ．例3 函数f (x )对任意的x ∈R ，都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ，函数f (x ＋1)是奇函数，当－12≤x ≤12时，f (x )＝2x ，如此方程f (x )＝－12在区间[－3,5]内的所有根之和为________.【答案】4【分析】由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 对任意的x ∈R 恒成立，得f (x )关于直线x ＝12对称，由函数 f (x ＋1)是奇函数，f (x )关于点〔1,0〕中心对称，根据函数对称性、周期性间关系，知函数f (x )的周期为2，作出函数f (x )的图象即可.【解析】因为函数f (x ＋1)是奇函数，所以f (－x ＋1)＝－f (x ＋1)，又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ，所以f (1－x )＝f (x )，所以f (x ＋1)＝－f (x )，即f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，所以函数f (x )的周期为2，且图象关于直线x ＝12对称．作出函数f (x )的图象如下列图，由图象可得f (x )＝－12在区间[－3,5]内有8个零点，且所有根之和为12×2×4＝4. 例4 ()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+．假如(1)2f =，如此(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=…A ．50-B ．0C ．2D ．50【答案】C【分析】同例1得f (x )的周期为4，故f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝f (5)＋f (6)＋f (7)＋f (8)＝··＝f (45)＋f (46)＋f (47)＋f (48)，而f (1)＝2，f (2)＝f (0)＝0〔f (1－x )＝f (1＋x )中，取x ＝1〕、f (3)＝f (－1)＝－f (1)＝－2、f (4)＝f (0)＝0，故f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝f (5)＋f (6)＋f (7)＋f (8) ＝··＝f (45)＋f (46)＋f (47)＋f (48) ＝0，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋··＋f (50) ＝f (47)＋f (48) ＝f (1)＋f (2) ＝2.例5 函数()y f x =是R 上的奇函数，对任意x R ∈，都有(2)()f x f x f -=+〔2〕成立，当1x ，2[0x ∈，1]，且22x x ≠时，都有1212()()0f x f x x x ->-，如此如下结论正确的有() A ．f 〔1〕f +〔2〕f +〔3〕(2019)0f +⋯+=B ．直线5x =-是函数()y f x =图象的一条对称轴C ．函数()y f x =在[7-，7]上有5个零点D ．函数()y f x =在[7-，5]-上为减函数【分析】根据题意，利用特殊值法求出f 〔2〕的值，进而分析可得1x =是函数()f x 的一条对称轴，函数()f x 是周期为4的周期函数和()f x 在区间[1-，1]上为增函数，据此分析选项即可得答案．【解答】解：根据题意，函数()y f x =是R 上的奇函数，如此(0)0f =；对任意x R ∈，都有(2)()f x f x f -=+〔2〕成立，当2x =时，有(0)2f f =〔2〕0=，如此有f 〔2〕0=，如此有(2)()f x f x -=，即1x =是函数()f x 的一条对称轴；又由()f x 为奇函数，如此(2)()f x f x -=--，变形可得(2)()f x f x +=-，如此有(4)(2)()f x f x f x +=-+=，故函数()f x 是周期为4的周期函数，当1x ，2[0x ∈，1]，且22x x ≠时，都有1212()()0f x f x x x ->-，如此函数()f x 在区间[0，1]上为增函数，又由()y f x =是R 上的奇函数，如此()f x 在区间[1-，1]上为增函数；据此分析选项：对于A ，(2)()f x f x +=-，如此f 〔1〕f +〔2〕f +〔3〕f +〔4〕[f =〔1〕f +〔3〕][f +〔2〕f +〔4〕]0=， f 〔1〕f +〔2〕f +〔3〕(2019)504[f f +⋯+=⨯〔1〕f +〔2〕f +〔3〕f +〔4〕]f +〔1〕f +〔2〕+〔3〕f =〔2〕0=，A 正确；对于B ，1x =是函数()f x 的一条对称轴，且函数()f x 是周期为4的周期函数，如此5x =是函数()f x 的一条对称轴，又由函数为奇函数，如此直线5x =-是函数()y f x =图象的一条对称轴，B 正确； 对于C ，函数()y f x =在[7-，7]上有7个零点：分别为6-，4-，2-，0，2，4，6；C 错误；对于D ，()f x 在区间[1-，1]上为增函数且其周期为4，函数()y f x =在[5-，3]-上为增函数，又由5x =-为函数()f x 图象的一条对称轴，如此函数()y f x =在[7-，5]-上为减函数，D 正确；应当选：ABD ．【巩固训练】1．函数()1()2x a f x -=关于1x =对称,如此()()220f x f -≥的解集为_____.2．定义在R 上的函数()f x 满足(1)(3)f x f x +=--，且()f x 的图象与()lg 4x g x x=-的图象有四个交点，如此这四个交点的横纵坐标之和等于___________. 3.函数()()f x x R ∈满足(1)(1),(4)(4)f x f x f x f x +=-+=-，且33x -<≤时，()ln(f x x =，如此(2018)f =〔〕A ．0B ．1C ．2)D ．2)4.f (x )是定义域为R 的函数，满足f (x ＋1)＝f (x －3)，f (1＋x )＝f (3－x )，当0≤x ≤2时，f (x )＝x 2－x ，如此如下说法正确的答案是( )f (x )的周期为4f (x )图象关于直线x ＝2对称C.当0≤x ≤4时，函数f (x )的最大值为2D.当6≤x ≤8时，函数f (x )的最小值为－125.定义在R 上的奇函数，满足，且在区间[0，2]上是增函数，假如方程f (x )=m (m >0)在区间上有四个不同的根，如此86．(多项选择题)函数f (x )的定义域为R ，且f (x ＋1)与f (x ＋2)都为奇函数，如此( )A.f (x )为奇函数B.f (x )为周期函数C.f (x ＋3)为奇函数D.f (x ＋4)为偶函数7.假如定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x +=-，()1f x +是奇函数，现给出如下4个论断：①()f x 是周期为4的周期函数；②()f x 的图象关于点()1,0对称；③()f x 是偶函数；④()f x 的图象经过点()2,0-；其中正确论断的个数是______________. 8.(多项选择题)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝2－f (2－x )，且f (x )是偶函数，如下说法正确的答案是( )A.f (x )的图象关于点(1，1)对称B.f (x )是周期为4的函数f (x )满足对任意的x ∈[0，1]，都有f 〔x 2〕－f 〔x 1〕x 1－x 2<0，如此f (x )在[－3，－2]上单调递增f (x )在[1，2]上的解析式为f (x )＝ln x ＋1，如此f (x )在[2，3]上的解析式为f (x )＝1－ln(x －)(x f (4)()f x f x -=-[]8,8-1234,,,x x x x 1234_________.x x x x +++=2) 【答案与提示】 1．【答案】[]1,2【解析】∵函数()1()2x a f x -=关于1x =对称,∴()111,2x a f x -⎛⎫== ⎪⎝⎭, 如此由()()12202f x f -≥=,结合图象可得0222x ≤-≤,求得12x ≤≤.2．【答案】8【解析】()lg 4x g x x=-，故(4)()g x g x -=-，即()y g x =的图象关于点(2,0)对称，又函数()f x 满足(1)(3)f x f x +=--，如此函数()y f x =的图象关于点(2,0)对称，所以四个交点的横纵坐标之和为8.3.【答案】D【解析】因为()()()()11,44f x f x f x f x +=-+=-，所以()(2),()(8)(2)(8)826,f x f x f x f x f x f x T =-=-∴-=-∴=-=(2018)(2)ln(2f f ∴== .4.【答案】ABC【解析】 由f (x ＋1)＝f (x －3)，得f (x )＝f [(x －1)＋1]＝f [(x －1)－3]＝f (x －4)，所以函数f (xf (1＋x )＝f (3－x )，得f (2＋x )＝f (2－x )，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，B 正确.当0≤x ≤2时，函数f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12上单调递减，在⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2x ＝12时，函数f (x )在[0，2]上取得极小值－14，且f (0)＝0，ff (x )在[0，8]上的大致图象，如图.由图可知，当0≤x ≤4时，函数f (x )的最大值为f (2)＝2，C 正确；当6≤x ≤8时，函数f (x )的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫152＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－14，D 错误.应当选ABC.5.8【答案】－8【提示】四个根分别关于直线2x =，6x =-对称.6．【答案】ABC【解析】法一 由f (x ＋1)与f (x ＋2)都为奇函数知，函数f (x )的图象关于点(1，0)，(2，0)对称，所以f (－x )＋f (2＋x )＝0，f (－x )＋f (4＋x )＝0，所以f (2＋x )＝f (4＋x )，即f (x )＝f (2＋x )，所以f (xf (x ＋1)与f (x ＋2)都为奇函数，所以f (x )，f (x ＋3)，f (x ＋4)均为奇函数.应当选ABC.法二 由f (x ＋1)与f (x ＋2)都为奇函数知，函数f (x )的图象关于点(1，0)，(2，0)对称，所以f (x )的周期为2|2－1|＝2，所以f (x )与f (x ＋2)，f (x ＋4)的奇偶性一样，f (x ＋1)与f (x ＋3)的奇偶性一样，所以f (x )，f (x ＋3)，f (x ＋4)均为奇函数.应当选ABC.7.【答案】3【解析】命题①：由()()2f x f x +=-，得：()()()42f x f x f x +=-+=， 所以函数()f x 的周期为4，故①正确；命题②：由()1f x +是奇函数，知()1f x +的图象关于原点对称，所以函数()f x 的图象关于点()1,0对称，故②正确；命题③：由()1f x +是奇函数，得：()()11f x f x +=--，又()()2f x f x +=-，所以()()()()()()21111f x f x f x f x f x -=--+=-+-=--=，所以函数()f x 是偶函数，故③正确；命题④：()()()2220f f f -=--+=-，无法判断其值，故④错误.综上，正确论断的序号是：①②③. 8.【答案】ABC【解析】根据题意，f (x )的图象关于点(1，1)对称，A 正确；又f (x )的图象关于y 轴对称，所以f (x )＝f (－x )，如此2－f (2－x )＝f (－x )，f (x )＝2－f (x ＋2)，从而f (x ＋2)＝2－f (x ＋4)，所以f (x )＝f (x ＋4)，B 正确；由f 〔x 2〕－f 〔x 1〕x 1－x 2<0可知f (x )在[0，1]上单调递增，又f (x )的图象关于点(1，1)对称，所以f (x )在[1，2]上单调递增，因为f (x )的周期为4，所以f (x )在[－3，－2]上单调递增，C正确；因为f(x)＝f(－x)，x∈[－2，－1]时，－x∈[1，2]，所以f(x)＝f(－x)＝ln(－x)＋1，x∈[－2，－1]，因为f(x)的周期为4，f(x)＝f(x－4)，x∈[2，3]时，x－4∈[－2，－1]，所以f(x)＝f(x－4)＝ln(4－x)＋1，x∈[2，3]，D错误.综上，正确的答案是ABC.。
专题3.3函数的奇偶性与周期性练基础1．（2021·海南海口市·高三其他模拟）已知函数()(0)f x kx b k =+≠，则“(0)0f =”是“函数()f x 为奇函数”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】化简“(0)0f =”和“函数()f x 为奇函数”，再利用充分必要条件的定义判断得解.【详解】(0)0f =，所以0b =，函数()f x 为奇函数，所以()()0f x kx b f x kx b -=-+=-=--=，所以0b =.所以“(0)0f =”是“函数()f x 为奇函数”的充分必要条件.故选：C2．（2021·福建高三三模）若函数()y f x =的大致图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（）A ．()1xf x x =-B ．()1x f x x=-C ．()21x f x x =-D ．()21x f x x =-【答案】C 【解析】利用排除法，取特殊值分析判断即可得答案解：由图可知，当(0,1)x ∈时，()0f x <，取12x =，则对于B ，112(101212f ==>-，所以排除B ，对于D ，1122()012314f ==>-，所以排除D ，当0x >时，对于A ，()1111x f x x x ==+--，此函数是由1y x =向右平移1个单位，再向上平移1个单位，所以1x >时，()1f x >恒成立，而图中，当1x >时，()f x 可以小于1，所以排除A,故选：C3．（2021·广东高三其他模拟）下列函数中，既是奇函数又在区间()0,1上单调递增的是（）A．y =B ．1y x x=+C ．xx y ee =-﹣D ．2log y x=【答案】C 【解析】利用函数奇偶性的定义和函数的解析式判断.【详解】A.函数y =的定义域是[0,)+∞，所以函数是非奇非偶函数，故错误；B.1y x x=+在()0,1上单调递减，故错误；C.因为()()()xx x x f x ee e ef x --=---=-=﹣，所以函数是奇函数，且在()0,1上单调递增，正确；D.因为()()22log =log f x x x f x -=-=，所以函数是偶函数，故错误；故选：C ．4．（2021·湖南高三月考）定义函数1,()1,x D x x ⎧=⎨-⎩为有理数，为无理数，则下列命题中正确的是（）A ．()D x 不是周期函数B ．()D x 是奇函数C ．()yD x =的图象存在对称轴D ．()D x 是周期函数，且有最小正周期【答案】C 【解析】当m 为有理数时恒有()()D x m D x +=，所以()D x 是周期函数，且无最小正周期，又因为无论x 是有理数还是无理数总有()()D x D x -=，所以函数()D x 为偶函数，图象关于y 轴对称．当m 为有理数时，()1,1,x D x m x ⎧+=⎨-⎩为有理数为无理数，()()D x m D x ∴+=，∴任何一个有理数m 都是()D x 的周期，()D x ∴是周期函数，且无最小正周期，∴选项A ，D 错误，若x 为有理数，则x -也为有理数，()()D x D x ∴=-，若x 为无理数，则x -也为无理数，()()D x D x ∴=-，综上，总有()()D x D x -=，∴函数()D x 为偶函数，图象关于y 轴对称，∴选项B 错误，选项C 正确，故选：C5．【多选题】（2021·淮北市树人高级中学高一期末）对于定义在R 上的函数()f x ，下列说法正确的是（）A ．若()f x 是奇函数，则()1f x -的图像关于点()1,0对称B ．若对x ∈R ，有()()11f x f x =+-，则()f x 的图像关于直线1x =对称C ．若函数()1f x +的图像关于直线1x =-对称，则()f x 为偶函数D ．若()()112f x f x ++-=，则()f x 的图像关于点()1,1对称【答案】ACD 【解析】四个选项都是对函数性质的应用，在给出的四个选项中灵活的把变量x 加以代换，再结合函数的对称性、周期性和奇偶性就可以得到正确答案.【详解】对A ，()f x 是奇函数，故图象关于原点对称，将()f x 的图象向右平移1个单位得()1f x -的图象，故()1f x -的图象关于点（1，0）对称，正确；对B ，若对x ∈R ，有()()11f x f x =+-，得()()2f x f x +=，所以()f x 是一个周期为2的周期函数，不能说明其图象关于直线1x =对称，错误.；对C ，若函数()1f x +的图象关于直线1x =-对称，则()f x 的图象关于y 轴对称，故为偶函数，正确；对D ，由()()112f x f x ++-=得()()()()112,202f f f f +=+=，()()()()312,422,f f f f +-=+-= ，()f x 的图象关于（1，1）对称，正确.故选：ACD.6．【多选题】（2020·江苏南通市·金沙中学高一期中）已知偶函数()f x 在区间[)0,+∞上是增函数,则满足1(21)()3f x f -<的x 的取值是（）A ．0B ．12C ．712D ．1【答案】BC 【解析】根据偶函数和单调性求得不等式的解，然后判断各选项．．【详解】由题意1213x -<，解得1233x <<，只有BC 满足．故选：BC ．7．【多选题】（2021·广东高三二模）函数()f x 的定义域为R ，且()1f x -与()1f x +都为奇函数，则下列说法正确的是（）A ．()f x 是周期为2的周期函数B ．()f x 是周期为4的周期函数C ．()2f x +为奇函数D ．()3f x +为奇函数【答案】BD 【解析】AB 选项，利用周期函数的定义判断；CD 选项，利用周期性结合()1f x -，()1f x +为奇函数判断.【详解】因为函数()f x 的定义域为R ，且()1f x -与()1f x +都为奇函数，所以()()11f x f x --=--，()()11f x f x -+=-+，所以()()2f x f x =---，()()2f x f x =--+，所以()()22f x f x --=-+，即()()4f x f x +=，故B 正确A 错误；因为()()()3341f x f x f x +=+-=-，且()1f x -为奇函数，所以()3f x +为奇函数，故D 正确；因为()2f x +与()1f x +相差1，不是最小周期的整数倍，且()1f x +为奇函数，所以()2f x +不为奇函数，故C 错误.故选：BD.8．（2021·吉林高三二模（文））写出一个符合“对x R ∀∈，()()0f x f x +-=”的函数()f x =___________.【答案】3x （答案不唯一）【解析】分析可知函数()f x 的定义域为R ，且该函数为奇函数，由此可得结果.【详解】由题意可知，函数()f x 的定义域为R ，且该函数为奇函数，可取()3f x x =.故答案为：3x （答案不唯一）.9．（2021·全国高三二模（理））已知()y f x =为R 上的奇函数，且其图象关于点()2,0对称，若()11f =，则()2021f =__________．【答案】1【解析】根据函数的对称性及奇函数性质求得函数周期为4，从而()2021(1)1f f ==.【详解】函数关于点()2,0对称，则()(4)f x f x =--，又()y f x =为R 上的奇函数，则()(4)(4)f x f x f x =--=-，因此函数的周期为4，因此()2021(1)1f f ==.故答案为：1.10．（2021·上海高三二模）已知函数()f x 的定义域为R ，函数()g x 是奇函数，且()()2x g x f x =+，若(1)1f =-，则(1)f -=___________．【答案】32-【解析】通过计算(1)(1)g g +-可得．【详解】因为()g x 是奇函数，所以(1)(1)0g g +-=，即1(1)2(1)02f f ++-+=，所以53(1)122f -=-=-．故答案为：32-．练提升1．（2021·安徽高三三模（文））若把定义域为R 的函数()f x 的图象沿x 轴左右平移后，可以得到关于原点对称的图象，也可以得到关于y 轴对称的图象，则关于函数()f x 的性质叙述一定正确的是（）A ．()()0f x f x -+=B ．()()11f x f x -=-C ．()f x 是周期函数D ．()f x 存在单调递增区间【答案】C 【解析】通过举例说明选项ABD 错误；对于选项C 可以证明判断得解.【详解】定义域为R 的函数()f x 的图象沿x 轴左右平移后，可以得到关于原点对称的图象，也可以得到关于y 轴对称的图象，∴()f x 的图象既有对称中心又有对称轴，但()f x 不一定具有奇偶性，例如()sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，由()()0f x f x -+=，则()f x 为奇函数，故选项A 错误；由()()11f x f x -=-，可得函数()f x 图象关于0x =对称，故选项B 错误；由()0f x =时，()f x 不存在单调递增区间，故选项D 错误；由已知设()f x 图象的一条对称抽为直线x a =，一个对称中心为(),0b ，且a b ¹，∴()()2f a x f x +=-，()()2f x f b x -=-+，∴()()22f a x f b x +=-+，∴()()()2222f a x b f b x b f x +-=-+-=-，∴()()()()442222f x a b f b x b f x a b f x +-=-+-=-+-=，∴()f x 的一个周期()4T a b =-，故选项C 正确.故选：C2．（2021·天津高三二模）已知函数()f x 在R 上是减函数，且满足()()f x f x -=-，若31log 10a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()3log 9.1b f =，()0.82c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．b a c >>D ．c a b>>【答案】B 【解析】根据对数运算性质和对数函数单调性可得331log log 9.1210->>，根据指数函数单调性可知0.822<；利用()f x 为减函数可知()()0.8331log log 9.1210f f f ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭，结合()f x 为奇函数可得大小关系.【详解】33331log log 10log 9.1log 9210-=>>= ，0.822<即：0.8331log log 9.1210->>又()f x 是定义在R 上的减函数()()0.8331log log 9.1210f f f ⎛⎫∴-<< ⎪⎝⎭又()f x 为奇函数3311log log 1010f f⎛⎫⎛⎫∴-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()0.8331log log 9.1210f f f ⎛⎫∴-<< ⎪⎝⎭，即：c b a >>.故选：B.3.（2021·陕西高三三模（理））已知函数f (x )为R 上的奇函数，且()(2)f x f x -=+，当[0,1]x ∈时，()22x xaf x =+，则f (101)+f (105)的值为（）A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】A 【解析】根据函数为奇函数可求得函数的解析式，再由()(2)f x f x -=+求得函数f (x )是周期为4的周期函数，由此可计算得选项．【详解】解：根据题意，函数f (x )为R 上的奇函数，则f (0)=0，又由x ∈[0，1]时，()22xx a f x =+，则有f (0)=1+a =0，解可得：a =﹣1，则有1()22xxf x =-，又由f (﹣x )=f (2+x )，即f (x +2)=﹣f (x )，则有f (x +4)=﹣f (x +2)=f (x )，即函数f (x )是周期为4的周期函数，则1313(101)(1)2,(105)(1)22222f f f f ==-===-=，故有f (101)+f (105)=3，故选：A ．4．（2021·上海高三二模）若()f x 是R 上的奇函数，且()f x 在[0,)+∞上单调递增，则下列结论：①|()|y f x =是偶函数；②对任意的x ∈R 都有()|()|0f x f x -+=；③()()y f x f x =-在(,0]-∞上单调递增；④反函数1()y fx -=存在且在(,0]-∞上单调递增．其中正确结论的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】根据奇函数定义以及单调性性质，及反函数性质逐一进行判断选择.【详解】对于①，由()f x 是R 上的奇函数，得()()f x f x -=-，∴|()||()||()|-=-=f x f x f x ，所以|()|y f x =是偶函数，故①正确；对于②，由()f x 是R 上的奇函数，得()()0f x f x -+=，而()|()|f x f x =不一定成立，所以对任意的x ∈R ，不一定有()|()|0f x f x -+=，故②错误；对于③，因为()f x 是R 上的奇函数，且()f x 在[0,)+∞上单调递增，所以()f x 在(,0]-∞上单调递增，且()(0)0f x f £=，因此2()()[()]y f x f x f x =-=-，利用复合函数的单调性，知()()y f x f x =-在(,0]-∞上单调递增，故③正确.对于④，由已知得()f x 是R 上的单调递增函数，利用函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射，且函数与其反函数在相应区间内单调性一致，故反函数1()y f x -=存在且在(,0]-∞上单调递增，故④正确；故选：C5．【多选题】（2021·全国高三专题练习）已知函数()f x 是偶函数，(1)f x +是奇函数，并且当[]1,2x ∈，()1|2|f x x =--，则下列选项正确的是（）A ．()f x 在(3,2)--上为减函数B ．()f x 在(3,2)--上()0f x <C ．()f x 在(3,2)--上为增函数D ．()f x 在(3,2)--上()0f x >【答案】CD 【解析】根据题意，分析可得(4)()f x f x +=，结合函数的解析式可得当(3,2)x ∈--时函数的解析式，据此分析可得答案．【详解】解：根据题意，函数(1)f x +为奇函数，则有(1)(1)f x f x +=--+，即(2)()f x f x +=--，又由()f x 为偶函数，则()()f x f x -=，则有(2)()f x f x +=-，即有(4)()f x f x +=，当[1x ∈，2]时，()1|2|1f x x x =--=-，若(3,2)x ∈--，则4(1,2)x +∈，则(4)(4)13f x x x +=+-=+，则当(3,2)x ∈--时，有()3f x x =+，则()f x 为增函数且()(3)0f x f >-=；故()f x 在(3,2)--上为增函数，且()0f x >；故选：CD ．6．【多选题】（2021·全国高三专题练习）若函数()f x 对任意x ∈R 都有()()0f x f x +-=成立，m R ∈，则下列的点一定在函数()y f x =图象上的是（）A ．(0,0)B ．(,())m f m --C ．(,())m f m --D ．(,())m f m -【答案】ABC 【解析】根据任意x ∈R 满足()()0f x f x +-=，得到()f x 是奇函数判断.【详解】因为任意x ∈R 满足()()0f x f x +-=，所以()f x 是奇函数，又x ∈R ，所以令0x =，则(0)(0)f f -=-，得(0)0f =，所以点(0,0)，且点(,())m f m --与(,())m f m --也一定在()y f x =的图象上，故选：ABC ．7．【多选题】（2021·浙江高一期末）已知函数()y f x =是定义在[1,1]-上的奇函数，当0x >时，()(1)f x x x =-，则下列说法正确的是（）A ．函数()y f x =有2个零点B ．当0x <时，()(1)f x x x =-+C ．不等式()0f x <的解集是(0,1)D ．12,[1,1]x x ∀∈-，都有()()1212f x f x -≤【答案】BCD 【解析】根据函数奇偶性定义和零点定义对选项一一判断即可．【详解】对A ，当0x >时，由()(1)0f x x x =-=得1x =，又因为()y f x =是定义在[1,1]-上的奇函数，所以()()()00,110f f f =-=-=，故函数()y f x =有3个零点，则A 错；对B ，设0x <，则0x ->，则()()()()11f x f x x x x x =--=----=-+⎡⎤⎣⎦，则B 对；对C ，当01x <≤时，由()(1)0f x x x =-<，得01x <<；当10x -≤≤时，由()(1)0f x x x =-+<，得x 无解；则C 对；对D ，12,[1,1]x x ∀∈-，都有()()()()12max min 1111122442f x f x f x f x f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≤-=--=--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则D 对．故选：BCD ．8．【多选题】（2021·苏州市第五中学校高一月考）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，[]y x =也被称为“高斯函数”，例如：[ 3.5]4-=-，[2.1]2=.已知函数()[1]f x x x =+-，下列说法中正确的是（）A ．()f x 是周期函数B ．()f x 的值域是[0,1]C ．()f x 在(0,1)上是减函数D ．x ∀∈R ，[()]0f x =【答案】AC 【解析】根据[]x 定义将函数()f x 写成分段函数的形式，再画出函数的图象，根据图象判断函数的性质.【详解】由题意可知[]1,210,1011,012,12x x x x x --≤<-⎧⎪-≤<⎪⎪+=≤<⎨⎪≤<⎪⎪⎩，()[]1,21,1011,012,12x x x x f x x x x x x x ---≤<-⎧⎪--≤<⎪⎪∴=+-=-≤<⎨⎪-≤<⎪⎪⎩，可画出函数图像，如图：可得到函数()f x 是周期为1的函数，且值域为(]0,1，在()0,1上单调递减，故选项AC 正确，B 错误；对于D ，取1x =-()11f -=，则()11f -=⎡⎤⎣⎦，故D 错误.故选：AC ．9．【多选题】（2021·湖南高三月考）函数()f x 满足以下条件：①()f x 的定义域是R ，且其图象是一条连续不断的曲线；②()f x 是偶函数；③()f x 在()0,∞+上不是单调函数；④()f x 恰有2个零点.则函数()f x 的解析式可以是（）A ．2()2f x x x =-B ．()ln 1f x x =-C ．2()1f x x x =-++D ．()2xf x e =-【答案】CD 【解析】利用函数图象变换画出选项A ，B ，C ，D 对应的函数图象，逐一分析即可求解.【详解】解：显然题设选项的四个函数均为偶函数，但()ln 1f x x =-的定义域为{}0x x R ≠≠，所以选项B 错误；函数2()2f x x x =-的定义域是R ，在(),1-∞-，()0,1单调递减，在()1,0-，()1,+∞单调递增，但()()()2020f f f -===有3个零点，选项A 错误；函数2()1f x x x =-++的定义域是R ，当()0,x ∈+∞时，2()1f x x x =-++的图象对称轴为12x =，其图象是开口向下的抛物线，故()f x 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减，由图得()f x 恰有2个零点，选项C 正确；函数()2xf x e =-的定义域是R ，在(),ln 2-∞-，()0,ln 2单调递减，在()ln 2,0-，()ln 2,+∞单调递增，且()()ln 2ln 20f f -==有2个零点，选项D 正确.故选：CD.10．（2021·黑龙江大庆市·高三二模（理））定义在R 上的函数()f x 满足()2()f x f x +=，当[]1,1x ∈-时，2()f x x =，则函数()f x 的图象与()3x g x =的图象的交点个数为___________.【答案】7由题设可知()f x 的周期为2，结合已知区间的解析式及()3x g x =，可得两函数图象，即知图象交点个数.【详解】由题意知：()f x 的周期为2，当[1,1]x ∈-时，2()f x x =，∴()f x 、()g x 的图象如下：即()f x 与()g x 共有7个交点，故答案为：7.【点睛】结论点睛：()()f m x f x +=有()f x 的周期为||m .练真题1.（2020·天津高考真题）函数241xy x =+的图象大致为（）A．B．C．D．【解析】【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.【详解】由函数的解析式可得：()()241xf x f x x --==-+，则函数()f x 为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD 错误；当1x =时，42011y ==>+，选项B 错误.故选：A.2.（2020·全国高考真题（理））设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )（）A．是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B．是奇函数，且在11(,22-单调递减C．是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D．是奇函数，且在1(,2-∞-单调递减【答案】D 【解析】由()ln 21ln 21f x x x =+--得()f x 定义域为12x x ⎧⎫≠±⎨⎬⎩⎭，关于坐标原点对称，又()()ln 12ln 21ln 21ln 21f x x x x x f x -=----=--+=-，()f x ∴为定义域上的奇函数，可排除AC；当11,22x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()()()ln 21ln 12f x x x =+--，()ln 21y x =+Q 在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，()ln 12y x =-在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，()f x ∴在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，排除B；当1,2x ⎛⎫∈-∞-⎪⎝⎭时，()()()212ln 21ln 12ln ln 12121x f x x x x x +⎛⎫=----==+ ⎪--⎝⎭，2121x μ=+- 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，()ln f μμ=在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：()f x 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，D 正确.故选：D.3．（2020·海南省高考真题）若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（）A．[)1,1][3,-+∞ B．3,1][,[01]-- C．[1,0][1,)-⋃+∞D．[1,0][1,3]-⋃【答案】D 【解析】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =，所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞ 时，()0f x <，所以由(10)xf x -≥可得：021012x x x <⎧⎨-≤-≤-≥⎩或或001212x x x >⎧⎨≤-≤-≤-⎩或或0x =解得10x -≤≤或13x ≤≤，所以满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是[1,0][1,3]-⋃，故选：D.4.（2018年理全国卷II）已知op 是定义域为(−∞,+ ∞)的奇函数，满足o1−p =o1+p ．若o1)=2，则o1)+o2)+o3)+⋯+o50)=()A.−50B.0C.2D.50【答案】C 【解析】因为op 是定义域为(−∞,+ ∞)的奇函数，且o1−p =o1+p ，所以o1+p =−o −1)∴o3+p =−o +1)=o −1)∴=4,因此o1)+o2)+o3)+⋯+o50)=12[o1)+o2)+o3)+o4)]+o1)+o2)，因为o3)=−o1)，o4)=−o2)，所以o1)+o2)+o3)+o4)=0，∵o2)=o −2)=−o2)∴o2)=0，从而o1)+o2)+o3)+⋯+o50)=o1)=2，选C.5.（2019·全国高考真题（文））设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,∞+单调递减，则（）A．233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B．233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C．23332122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D．23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】C 【解析】()f x 是R 的偶函数，()331log log 44f f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭．223303322333log 4log 31,1222log 422---->==>>∴>> ，又()f x 在(0，+∞)单调递减，∴()23323log 422f f f --⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选C．6.（2019·全国高考真题（理））已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e ax f x =-.若(ln 2)8f =，则a =__________.【答案】-3【解析】因为()f x 是奇函数，且当0x >时0x ->，()()ax f x f x e -=--=．又因为ln 2(0,1)∈，(ln 2)8f =，所以ln 28a e-=，两边取以e 为底的对数得ln 23ln 2a -=，所以3a -=，即3a =-．。
学习资料2022版高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用第四讲函数的奇偶性与周期性学案（含解析）新人教版班级：科目：第四讲 函数的奇偶性与周期性知识梳理·双基自测 知错误!错误!错误!知识点一 函数的奇偶性 偶函数奇函数定义 如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x都有__f （－x )＝f （x )__，那么函数f （x )是偶函数都有__f （－x )＝－f (x )__,那么函数f (x ）是奇函数 图象特征 关于__y 轴__对称 关于__原点__对称 1．周期函数对于函数y ＝f （x )，如果存在一个非零常数T ,使得当x 取定义域内的任何值时，都有__f （x ＋T )＝f (x )__，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数,称T 为这个函数的周期．2．最小正周期如果在周期函数f （x )的所有周期中存在一个__最小的正数__，那么这个__最小正数__就叫做f （x )的最小正周期．错误!错误!错误!错误!1．奇(偶）函数定义的等价形式(1）f （－x )＝f (x ）⇔f (－x ）－f （x )＝0⇔f (－x )f (x )＝1（f (x ）≠0)⇔f （x ）为偶函数； （2)f (－x ）＝－f (x )⇔f （－x ）＋f (x )＝0⇔错误!＝－1(f （x )≠0)⇔f （x ）为奇函数．2．对f （x ）的定义域内任一自变量的值x ,最小正周期为T(1）若f （x ＋a )＝－f （x ），则T ＝2｜a ｜；(2)若f (x ＋a ）＝错误!，则T ＝2｜a ｜；(3）若f （x ＋a )＝f (x ＋b ），则T ＝|a －b |.3．函数图象的对称关系(1)若函数f （x )满足关系f (a ＋x )＝f (b －x ),则f （x ）的图象关于直线x ＝错误!对称；（2)若函数f （x )满足关系f （a ＋x )＝－f （b －x ），则f （x )的图象关于点错误!对称．4．一些重要类型的奇偶函数（1）函数f （x ）＝a x ＋a －x 为偶函数，函数f （x )＝a x －a －x 为奇函数;（2)函数f(x）＝错误!＝错误!为奇函数；(3)函数f（x)＝log a错误!为奇函数；(4）函数f(x)＝log a（x＋x2＋1)为奇函数．双基错误!错误!题组一走出误区1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）(1）函数y＝x2，x∈（0，＋∞）是偶函数．（×）(2)若函数f(x)是奇函数，则必有f(0）＝0.（×）（3)若函数y＝f(x＋a)是偶函数,则函数y＝f（x)的图象关于直线x＝a对称．（√）(4)若函数y＝f（x＋b）是奇函数,则函数y＝f(x）的图象关于点（b,0）中心对称．(√)(5)2π是函数f(x)＝sin x，x∈(－∞，0)的一个周期．(×)题组二走进教材2．(必修1P35例5改编）下列函数中为奇函数的序号是__②③⑤__；偶函数的序号是__①__。
第三节 函数的奇偶性与周期性考试要求：1．了解函数的奇偶性的概念及几何意义．2．结合三角函数，了解函数的周期性、对称性及其几何意义．一、教材概念·结论·性质重现1．函数的奇偶性的定义奇偶性偶函数奇函数条件一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I结论f(－x)＝f(x)f(－x)＝－f(x)图象特点关于y轴对称关于原点对称1．函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．2．函数图象的对称性(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于点(b,0)中心对称．3．函数的周期性(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．非零常数T 就叫做这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期(若不加特别说明，T一般都是指最小正周期)．4．对称性与周期的关系(1)若函数f(x)的图象关于直线x＝a和直线x＝b对称，则函数f(x)必为周期函数，2|a－b|是它的一个周期．(2)若函数f(x)的图象关于点(a,0)和点(b,0)对称，则函数f(x)必为周期函数，2|a－b|是它的一个周期．(3)若函数f(x)的图象关于点(a,0)和直线x＝b对称，则函数f(x)必为周期函数，4|a －b|是它的一个周期．5．常用结论(1)如果函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，那么一定有f(0)＝0；如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(3)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．(4)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)．(5)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)．二、基本技能·思想·活动经验1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)＝0．( × )(2)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b,0)中心对称．( √ )(3)如果函数f(x)，g(x)是定义域相同的偶函数，那么F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．( √ )(4)若T为y＝f(x)的一个周期，则nT(n∈Z)是函数f(x)的周期．( × ) 2．函数f(x)＝－x的图象关于( )A．y轴对称B．直线y＝－x对称C．坐标原点对称D．直线y＝x对称C 解析：因为函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝－＋x＝－＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．所以f(x)的图象关于坐标原点对称．3．已知f(x)满足f(x＋2)＝f(x)．当x∈[0,1]时，f(x)＝2x，则f等于( )A． B． C． D．1B 解析：由f(x＋2)＝f(x)，知函数f(x)的周期T＝2，所以f＝f＝2＝．4．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是( )A．－ B． C． D．－B 解析：因为f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，所以a－1＋2a＝0，所以a＝． 又f(－x)＝f(x)，所以b＝0，所以a＋b＝．5．(多选题)已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是( ) A．y＝f(|x|)B．y＝f(－x)C．y＝xf(x)D．y＝f(x)＋xBD 解析：由奇函数的定义f(－x)＝－f(x)验证．对于选项A，f(|－x|)＝f(|x|)，为偶函数；对于选项B，f(－(－x))＝f(x)＝－f(－x)，为奇函数；对于选项C，－xf(－x)＝－x·[－f(x)]＝xf(x)，为偶函数；对于选项D，f(－x)＋(－x)＝－[f(x)＋x]，为奇函数．故选BD．考点1 函数的奇偶性——基础性1．(多选题)若函数f(x)(x∈R)是奇函数，函数g(x)(x∈R)是偶函数，则下列结论中正确的是( )A．函数f(g(x))是偶函数B．函数g(f(x))是偶函数C．函数f(x)·g(x)是奇函数D．函数f(x)＋g(x)是奇函数ABC 解析：对于选项A，f(g(x))是偶函数，A正确；对于选项B，g(f(x))是偶函数，B正确；对于选项C，设h(x)＝f(x)g(x)，h(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－h(x)是奇函数；对于选项D，f(x)＋g(x)不一定具备奇偶性．故选ABC．2．设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝e x－1，则当x<0时，f(x)＝( )A．e－x－1B．e－x＋1C．－e－x－1D．－e－x＋1D 解析：当x<0时，－x>0．因为当x≥0时，f(x)＝e x－1，所以 f(－x)＝e－x－1． 又因为 f(x)为奇函数，所以 f(x)＝－f(－x)＝－e－x＋1．3．若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝e x，则g(x)＝( ) A．e x－e－x B．(e x＋e－x)C．(e－x－e x)D．(e x－e－x)D 解析：因为f(x)＋g(x)＝e x，所以f(－x)＋g(－x)＝f(x)－g(x)＝e－x，所以g(x)＝(e x－e－x)．4．已知函数f(x)＝则该函数的奇偶性是_________．奇函数 解析：当x>0时，－x<0，所以f(－x)＝x2－x＝－(－x2＋x)＝－f(x)；当x<0时，－x>0，f(－x)＝－x2－x＝－(x2＋x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．(1)解决这类问题要优先考虑用定义法，然后考虑用图象法．考点2 函数的周期性——综合性(1)设f(x)是周期为3的函数，当1≤x≤3时，f(x)＝2x＋3，则f(8)＝______．当－2≤x≤0时，f(x)＝________．7 2x＋9 解析：因为f(x)是周期为3的函数，所以f(8)＝f(2)＝2×2＋3＝7．当－2≤x≤0时，f(x)＝f(x＋3)＝2(x＋3)＋3＝2x＋9．(2)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)>0，f(x＋2)＝对任意x∈R恒成立，则f(2 023)＝________．1 解析：因为f(x)>0，f(x＋2)＝，所以f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝＝＝f(x)，则函数f(x)的周期为4，所以f(2 023)＝f(506×4－1)＝f(－1)．因为函数f(x)为偶函数，所以f(2 023)＝f(－1)＝f(1)．当x＝－1时，f(－1＋2)＝，得f(1)＝．由f(x)>0，得f(1)＝1，所以f(2 023)＝f(1)＝1．(3)设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件：①f(x)＋f(－x)＝0；②f(x)＝f(x＋2)；③当0≤x<1时，f(x)＝2x－1．则f＋f(1)＋f＋f(2)＋f＝__________．－1 解析：依题意知函数f(x)为奇函数且周期为2，则f(1)＋f(－1)＝0，f(－1)＝f(1)，即f(1)＝0．所以f＋f(1)＋f＋f(2)＋f＝f＋0＋f＋f(0)＋f＝f－f＋f(0)＋f＝f＋f(0)＝2－1＋20－1＝－1．1．(2021·长春质量监测)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为( ) A．6B．7C．8D．9B 解析：因为f(x)是最小正周期为2的周期函数，且0≤x<2时，f(x)＝x3－x＝x(x －1)(x＋1)，所以当0≤x<2时，f(x)＝0有两个根，即x1＝0，x2＝1．由周期函数的性质知，当2≤x<4时，f(x)＝0有两个根，即x3＝2，x4＝3；当4≤x≤6时，f(x)＝0有三个根，即x5＝4，x6＝5，x7＝6，故f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点个数为7．2．(多选题)(2022·长春质检)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)＋f(2－x)＝0，则下列结论正确的是( )A．f(x)的图象关于点(1,0)对称B．f(x＋2)＝f(x)C．f(3－x)＝f(x－1)D．f(x－2)＝f(x)ABD 解析：对于A，由f(x)＋f(2－x)＝0得f(x)的图象关于点(1,0)对称，选项A正确；对于B，用－x替换f(x)＋f(2－x)＝0中的x，得f(－x)＋f(2＋x)＝0，所以f(x＋2)＝－f(－x)＝f(x)，选项B正确；对于C，用x－1替换f(x)＋f(2－x)＝0中的x，得f(3－x)＝－f(x－1)，选项C错误；对于D，用x－2替换f(x＋2)＝f(x)中的x，得f(x－2)＝f(x)，选项D正确．3．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3,0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________．6 解析：因为f(x＋4)＝f(x－2)，所以f((x＋2)＋4)＝f((x＋2)－2)，即f(x＋6)＝f(x)，所以f(x)是周期为6的周期函数，所以f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1)．又f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(1)＝f(－1)＝6，即f(919)＝6．考点3 函数性质的综合应用——应用性考向1 函数的单调性与奇偶性综合(1)已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x)．若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为( )A．a<b<c B．c<b<aC．b<a<c D．b<c<aC 解析：易知g(x)＝xf(x)在R上为偶函数．因为奇函数f(x)在R上单调递增，且f(0)＝0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增．又3>log25.1>2>20.8，且a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)，所以g(3)>g(log25.1)>g(20.8)，即c>a>b．(2)(2020·全国Ⅱ卷)设函数f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|，则f(x)( )A．是偶函数，且在单调递增B．是奇函数，且在单调递减C．是偶函数，且在单调递增D．是奇函数，且在单调递减D 解析：f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|的定义域为x≠±．又f(－x)＝ln|－2x＋1|－ln|－2x－1|＝ln|2x－1|－ln|2x＋1|＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，故排除A，C．又当x∈时，f(x)＝ln(－2x－1)－ln(1－2x)＝ln ＝ln ＝ln．因为y＝1＋在上单调递减，由复合函数的单调性可得f(x)在上单调递减．考向2 函数的奇偶性与周期性结合(1)设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋4)＝f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2，则f(2 023)＝________．－1 解析：因为f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)的周期T＝4． 又f(1)＝1，所以f(2 023)＝f(－1＋4×506)＝f(－1)＝－f(1)＝－1．(2)设f(x)是定义在实数集R上的函数，且满足f(1＋x)＝f(1－x)，f(2＋x)＝－f(2－x)，则f(x)是( )A．偶函数，又是周期函数B．偶函数，但不是周期函数C．奇函数，又是周期函数D．奇函数，但不是周期函数A 解析：由f(x＋1)＝－f(x－1)，可得f(x＋2)＝－f(x)，则f(x＋4)＝f(x)，故函数f(x)的周期为4，则f(5)＝f(1)＝a2－2a－4．又因为f(x)是定义在R上的奇函数，f(－1)＞1，所以f(1)＜－1，所以a2－2a－4＜－1，解得－1＜a＜3．若本例(1)中的条件不变，当x∈[2,4]时，f(x)的解析式是____________．f(x)＝x2－6x＋8 解析：当x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]．由已知得f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2．又f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2． 所以f(x)＝x2＋2x．又当x∈[2,4]时，x－4∈[－2,0]，所以f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)．又f(x)是周期为4的周期函数，所以f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8．故x∈[2,4]时，f(x)＝x2－6x＋8．函数周期性有关问题的求解方法(1)求解与函数的周期性有关的问题，应根据题目特征及周期的定义求出函数的周期．(2)根据函数的周期性，可以由函数的局部性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能．考向3 函数的单调性、奇偶性与周期性结合定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且在[－1,0]上单调递减．设a ＝f(－2.8)，b＝f(－1.6)，c＝f(0.5)，则a，b，c的大小关系是( )A．a>b>c B．c>a>bC．b>c>a D．a>c>bD 解析：因为偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为2．所以a＝f(－2.8)＝f(－0.8)，b＝f(－1.6)＝f(0.4)＝f(－0.4)，c＝f(0.5)＝f(－0.5)．因为－0.8<－0.5<－0.4，且函数f(x)在[－1,0]上单调递减，所以a>c>b．故选D．1．解决这类问题一定要1．已知函数f(x)的图象关于原点对称，且周期为4．若f(－2)＝2，则f(2 022)＝( )A．2B．0C．－2D．－4C 解析：因为函数f(x)的图象关于原点对称，且周期为4，所以f(x)为奇函数，所以f(2 022)＝f(505×4＋2)＝f(2)＝－f(－2)＝－2．故选C．2．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)．若f(2)>1，f(7)＝a，则实数a的取值范围为( )A．(－∞，－3)B．(3，＋∞)C．(－∞，－1)D．(1，＋∞)D 解析：因为f(x＋3)＝f(x)，所以f(x)是定义在R上的以3为周期的函数，所以f(7)＝f(7－9)＝f(－2)．又因为函数f(x)是偶函数，所以f(－2)＝f(2)，所以f(7)＝f(2)>1，所以a>1，即a∈(1，＋∞)．故选D．3．已知奇函数f(x)的图象关于直线x＝3对称，当x∈[0,3]时，f(x)＝－x，则f(－16)＝________．2 解析：根据题意，函数f(x)的图象关于直线x＝3对称，则有f(x)＝f(6－x)．又函数f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＝－f(6－x)＝f(x－12)．所以f(x)的最小正周期是12．故f(－16)＝f(－4)＝－f(4)＝－f(2)＝－(－2)＝2．4．定义在实数集R上的函数f(x)满足f(x)＋f(x＋2)＝0，且f(4－x)＝f(x)．现有以下三种叙述：①8是函数f(x)的一个周期；②f(x)的图象关于直线x＝2对称；③f(x)是偶函数．其中正确的序号是________．①②③ 解析：由f(x)＋f(x＋2)＝0，得f(x＋2)＝－f(x)，则f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即4是f(x)的一个周期，8也是f(x)的一个周期，故①正确；由f(4－x)＝f(x)，得f(x)的图象关于直线x＝2对称，故②正确；由f(4－x)＝f(x)与f(x＋4)＝f(x)，得f(4－x)＝f(－x)，f(－x)＝f(x)，即函数f(x)为偶函数，故③正确．。
2022年新高考数学总复习：三角函数的周期性、奇偶性、对称性角度1周期性例3求下列函数的周期：(1)y ＝(2)y ＝3|x ；(3)y ＝|tan x |；(4)y ＝－2sinx 6sin x cos x －2cos 2x ＋1.[解析](1)∵y ＝∴T ＝2π23＝3π，即y ＝2sin 3π.(2)画图知y ＝|cos x |的周期是y ＝cos x 的周期的一半，∴y ＝3|x 的最小正周期是y ＝3cosx T ＝12×2π2＝π2.(3)画出y ＝|tan x |的图象．如图所示．由图象易知T ＝π.∴y ＝|tan x |的图象与y ＝tan x 的周期相同.(4)y ＝－2sin 2x ·cos π4－2cos 2x ·sin π4＋3sin 2x －cos 2x ＝2sin 2x －2cos 2x ＝22sinx f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.[答案](1)3π(2)π2(3)π(4)π角度2奇偶性例4已知函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋3cos(x ＋θ)，θ∈－π2，π2是偶函数，则θ的值为(B)A ．0B ．π6C ．π4D ．π3[解析]因为f (x )＝2sin x ＋π3＋θ是偶函数，所以π3＋θ＝π2＋k π，即θ＝π6＋k π(k ∈Z )，又因为θ∈－π2，π2，故θ＝π6.角度3对称性例5已知函数f (x )＝sinωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象(D)A π6，0B ．关于直线x ＝π4对称C π4，0D ．关于直线x ＝π12对称[解析]由T ＝π知ω＝2πT ＝2ππ＝2，所以函数f (x )＝sin2x ＋π3.函数f (x )的对称轴满足2x ＋π3＝π2＋k π(k ∈Z )，解得x ＝π12＋k π2(k ∈Z )；函数f (x )的对称中心的横坐标满足2x ＋π3＝k π(k ∈Z )，解得x ＝－π6＋k π2(k ∈Z )．故选D ．名师点拨(1)求三角函数的最小正周期，一般先通过恒等变形化为y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)或y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ≠0)的形式，再分别应用公式T ＝2π|ω|或T ＝π|ω|求解．(2)三角函数型奇偶性判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质，对y ＝A sin(ωx ＋φ)代入x ＝0，若y ＝0则为奇函数，若y 为最大或最小值则为偶函数．若y ＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则φ＝k π(k ∈Z )，若y ＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则φ＝π2＋k π(k ∈Z )．(3)求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称中心、对称轴问题往往转化为解方程问题．①∵y ＝sin x 的对称中心是(k π，0)，(k ∈Z )，∴y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称中心，由方程ωx ＋φ＝k π解出x ＝k π－φω，故对称中心为k ∈Z )．②∵y ＝sin x 的对称轴是x ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴ωx ＋φ＝k π＋π2解出x ＝k π＋π2－φω，即x ＝k π＋π2－φω为函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴方程．③函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ≠0)图象的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是否是函数图象的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断．(4)注意y ＝tan x k ∈Z )．〔变式训练2〕(1)(角度1)(2018·课标全国Ⅲ，6)函数f (x )＝tan x 1＋tan 2x 的最小正周期为(C )A ．π4B ．π2C ．πD ．2π(2)(角度2)下列函数中，最小正周期为π的奇函数是(D)A ．y ＝xB ．y ＝C ．y ＝sin 2x ＋cos 2xD ．y ＝x x(3)(角度3)(2018·江苏)已知函数y ＝sin(2x ＋φ－π2<φx ＝π3对称，则φ的值是__－π6__.[解析](1)本题考查三角函数的周期．解法一：f (x )|x ≠k π＋π2，k ∈.f (x )＝sin xcos x 1＝sin x ·cos x ＝12sin 2x ，∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.解法二：f (x ＋π)＝tan (x ＋π)1＋tan 2(x ＋π)＝tan x1＋tan 2x ＝f (x )，∴π是f (x )的周期．1＋tan而＝cos x －sin x ＝－1tan x ，∴＝－tan x 1＋tan 2x ≠f (x )，∴π2不是f (x )的周期，∴π4也不是f (x )的周期．故选C ．(2)y＝xcos 2x 是偶函数，不符合题意．y ＝sin 12x 是T ＝4π的奇函数，不符合题意，同理C 不是奇函数，D 为y ＝2sin 2x ，故选D．(3)由题意可得±1，所以2π3＋φ＝π2＋k π，φ＝－π6＋k π(k ∈Z )，因为－π2<φ<π2，所以k ＝0，φ＝－π6.故填－π6.。
函数的奇偶性与周期性一、选择题1．[2021·开封市高三模拟考试]已知定义在[m －5,1－2m ]上的奇函数f (x )，满足x >0时，f (x )＝2x－1，则f (m )的值为( )A ．－15B ．－7C ．3D ．152．[2021·广州市高三年级阶段训练题]已知函数f (x )满足f (1－x )＝f (1＋x )，当x ≥1时，f (x )＝x －2x，则{x |f (x ＋2)>1}＝( )A ．{x |x <－3或x >0}B ．{x |x <0或x >2}C ．{x |x <－2或x >0}D ．{x |x <2或x >4}3．[2021·黄冈中学，华师附中等八校联考]定义在R 上的奇函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝0，则满足f (18log x )>0的x 的取值范围是( ) A ．(0，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(1,2) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 4．定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋3)＝f (x )，若f (2)>1，f (7)＝a ，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－3)B ．(3，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(1，＋∞)5．定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 21－x ，x ≤0，f x －1－f x －2，x >0，则f (2 025)的值为( )A ．－2B ．－1C ．2D ．0 二、填空题6．[2021·长沙市高三年级统一模拟考试]已知函数f (x )＝ax －log 2(2x＋1)＋cosx (a ∈R )为偶函数，则a ＝________.7．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且f (x )－g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，则f (1)，g (0)，g (－1)之间的大小关系是________．8．[2021·南昌市高三年级摸底测试卷]已知定义在R 上的偶函数f (x )满足f (2－x )－f (x )＝0，f (0)＝3，则f (10)＝________.三、解答题9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．10．设f (x )是定义域为R 的周期函数，最小正周期为2，且f (1＋x )＝f (1－x )，当－1≤x ≤0时，f (x )＝－x .(1)判定f (x )的奇偶性；(2)试求出函数f (x )在区间[－1,2]上的表达式．11．[2021·山西省八校高三联考]已知函数f (x )的定义域为R ，满足f (x ＋1)＝2f (x －1)，且当x ∈(－1,1]时，f (x )＝2x －1，则f (2 020)＝( ) A ．22 019B ．22 018C ．21 010D ．21 00912．[2021·福建省高三毕业班质量检测]已知f (x )是定义在R 上的偶函数，其图象关于点(1,0)对称．以下关于f (x )的结论：①f (x )是周期函数；②f (x )满足f (x )＝f (4－x )；③f (x )在(0,2)上单调递减；④f (x )＝cos πx2是满足条件的一个函数．其中正确结论的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．113．[2021·广东省七校联合体高三联考试题]已知定义在R 上的偶函数y ＝f (x ＋2)，其图象连续不间断，当x >2时，函数y ＝f (x )是单调函数，则满足f (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫1－1x ＋4的所有x 之积为( )A ．3B ．－3C ．－39D ．39答案与解析1．解析：由题意知，(m －5)＋(1－2m )＝0，解得m ＝－4.又当x >0时，f (x )＝2x－1，则f (m )＝f (－4)＝－f (4)＝－(24－1)＝－15.故选A.答案：A2．解析：由f (1－x )＝f (1＋x )知函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．因为当x ≥1时，f (x )＝x －2x，易知函数f (x )在[1，＋∞)上单调递增，且f (2)＝1，所以f (x )在(－∞，1)上单调递减，f (0)＝1，所以由f (x ＋2)>1得x ＋2>2或x ＋2<0，解得x >0或x <－2，故选C.答案：C3．解析：由已知得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝0，且f (x )在(－∞，0)和(0，＋∞)上均单调递增，由f (18log x )>0，得18log x >13或－13< 18log x <0，解得0<x <12或1<x <2，所以满足f (18log x )>0的x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(1,2)．故选B.答案：B4．解析：因为f (x ＋3)＝f (x )，所以f (x )是定义在R 上的以3为周期的周期函数，所以f (7)＝f (7－9)＝f (－2)．又因为函数f (x )是偶函数，所以f (－2)＝f (2)，所以f (7)＝f (2)>1.所以a >1，即a ∈(1，＋∞)．故选D.答案：D5．解析：当x >0时，f (x )＝f (x －1)－f (x －2) ①，当x >1时，f (x －1)＝f (x －2)－f (x －3) ②，两式相加可得f (x )＝－f (x －3)，所以f (x ＋3)＝－f (x )，f (x ＋6)＝－f (x＋3)＝f (x )，因此当x >1时，f (x )是以6为周期的周期函数．由2 025＝6×337＋3可知f (2025)＝f (3)＝f (2)－f (1)＝－f (0)＝－log 21＝0.故选D 项．答案：D6．解析：通解 ∵f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即－ax －log 2(2－x＋1)＋cos(－x )＝ax －log 2(2x＋1)＋cos x ，∴2ax ＝log 2(2x＋1)－log 2(2－x＋1)＝log 22x＋12－x ＋1＝x ，由x 的任意性，可得a ＝12.优解 因为f (x )是偶函数，所以f (2)＝f (－2)，即2a －log 2 5＋cos 2＝－2a －log 254＋cos(－2)，所以4a ＝log 2 5－log 254＝2，解得a ＝12.答案：127．解析：在f (x )－g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 中，用－x 替换x ，得f (－x )－g (－x )＝2x，由于f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，所以f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，因此得－f (x )－g (x )＝2x.联立方程组解得f (x )＝2－x－2x 2，g (x )＝－2－x ＋2x2，于是f (1)＝－34，g (0)＝－1，g (－1)＝－54，故f (1)>g (0)>g (－1)．答案：f (1)>g (0)>g (－1)8．解析：由f (2－x )－f (x )＝0得f (2－x )＝f (x )，又f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )，即f (2－x )＝f (－x )，则f (2＋x )＝f (x )，所以函数f (x )是周期为2的函数，所以f (10)＝f (0)＝ 3.答案： 39．解析：(1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )， 于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象(如图所示)知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1<a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．10．解析：(1)因为f (1＋x )＝f (1－x )，所以f (－x )＝f (2＋x )． 又f (x ＋2)＝f (x )，所以f (－x )＝f (x )． 又f (x )的定义域为R ， 所以f (x )是偶函数．(2)当x ∈[0,1]时，－x ∈[－1,0]， 则f (x )＝f (－x )＝x ；从而当1≤x ≤2时，－1≤x －2≤0，f (x )＝f (x －2)＝－(x －2)＝－x ＋2.故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，x ∈[－1，0]，x ，x ∈0，1，－x ＋2，x ∈[1，2].11．解析：由f (x ＋1)＝2f (x －1)得，f (x ＋2)＝2f (x )，于是f (2 020)＝f (2 020－2＋2)＝2f (2 020－2)＝22f (2 020－2×2)＝23f (2 020－2×3)＝…＝21 010f (2 020－2×1 010)＝21 010f (0)．当x ∈(－1,1]时，f (x )＝2x －1，所以f (0)＝2－1＝12，所以f (2 020)＝21 010f (0)＝21 010×12＝21 009，故选D. 答案：D12．解析：因为f (x )为偶函数，所以f (－x )＝f (x )，又其图象关于点(1,0)对称，所以f (－x )＝－f (2＋x )，故f (x ＋2)＝－f (x )，故有f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，即f (x )是以4为周期的周期函数，故①正确．f (－x )＝f (x )＝f (x ＋4)，把x 替换成－x 可得f (x )＝f (4－x )，故②正确．f (x )＝cos πx2是定义在R 上的偶函数，且(1,0)是它的图象的一个对称中心，可得④正确．不妨令f (x )＝－cos πx2，此时f (x )满足题意，但f (x )在(0,2)上单调递增，故③错误．故正确结论的个数是3.答案：B13．解析：因为函数y ＝f (x ＋2)是连续的偶函数，所以直线x ＝0是其图象的对称轴，从而直线x ＝2就是函数y ＝f (x )图象的对称轴．因为f (x )＝f (4－x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫1－1x ＋4，所以x ＝1－1x ＋4或4－x ＝1－1x ＋4. 由x ＝1－1x ＋4，得x 2＋3x －3＝0，Δ>0，设方程的两根为x 1，x 2，则x 1x 2＝－3； 由4－x ＝1－1x ＋4，得x 2＋x －13＝0，Δ>0，设方程的两根为x 3，x 4，则x 3x 4＝－13，所以x 1x 2x 3x 4＝39.故选D.答案：D。
函数的奇偶性与周期性A 级——基础达标1．下列函数中，既是奇函数，又是增函数的为( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝－x 2 C ．y ＝1xD ．y ＝x |x |解析：选D 对于A ，y ＝x ＋1为非奇非偶函数，不满足条件．对于B ，y ＝－x 2是偶函数，不满足条件．对于C ，y ＝1x 是奇函数，但在定义域上不是增函数，不满足条件．对于D ，设f (x )＝x |x |，则f (－x )＝－x |x |＝－f (x )，则函数为奇函数，当x >0时，y ＝x |x |＝x 2，此时为增函数，当x ≤0时，y ＝x |x |＝－x 2，此时为增函数，综上，y ＝x |x |在R 上为增函数．故选D.2．(2021·河北唐山模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－ax ，x ≤0，ax 2＋x ，x ＞0为奇函数，则a ＝( )A ．－1B ．1C ．0D ．±1解析：选A ∵函数f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，则有f (－1)＝－f (1)，即1＋a ＝－a －1，即2a ＝－2，得a ＝－1(符合题意)，故选A.3．若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x ，则g (x )＝( ) A ．e x －e －xB.12(e x ＋e －x ) C.12(e －x －e x ) D ．12(e x －e －x )解析：选D 因为f (x )＋g (x )＝e x ，所以f (－x )＋g (－x )＝f (x )－g (x )＝e －x ，所以g (x )＝12(e x －e －x )．故选D.4．定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，且在[0,1]上是减函数，则有( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫32<f ⎝⎛⎭⎫－14<f ⎝⎛⎭⎫14 B ．f ⎝⎛⎭⎫14<f ⎝⎛⎭⎫－14<f ⎝⎛⎭⎫32 C ．f ⎝⎛⎭⎫32<f ⎝⎛⎭⎫14<f ⎝⎛⎭⎫－14 D ．f ⎝⎛⎭⎫－14<f ⎝⎛⎭⎫32<f ⎝⎛⎭⎫14解析：选C 因为f (x ＋2)＝－f (x )，所以f (x ＋2＋2)＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以函数的周期为4，作出f (x )的草图，如图，由图可知f ⎝⎛⎭⎫32<f ⎝⎛⎭⎫14<f ⎝⎛⎭⎫－14.故选C.5．(多选)(2021·潍坊模拟)已知定义在区间[－7,7]上的一个偶函数，它在[0,7]上的图象如图，则下列说法正确的有( )A ．这个函数有两个单调递增区间B ．这个函数有三个单调递减区间C ．这个函数在其定义域内有最大值7D ．这个函数在其定义域内有最小值－7解析：选BC 根据偶函数在[0,7]上的图象及其对称性，作出其在[－7,7]上的图象，如图所示．由图象可知这个函数有三个单调递增区间，有三个单调递减区间，在其定义域内有最大值7，最小值不是－7，故选B 、C.6．(多选)(2021·淄博质检)已知f (x )是定义域为R 的奇函数，且函数f (x ＋2)为偶函数，则下列结论正确的是( )A ．函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称B ．f (4)＝0C ．f (x ＋8)＝f (x )D ．若f (－3)＝－1，则f (2 021)＝－1解析：选BCD 根据题意，f (x )是定义域为R 的奇函数， 则f (－x )＝－f (x )， 又由函数f (x ＋2)为偶函数，则函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称， 则有f (－x )＝f (4＋x )， 则有f (x ＋4)＝－f (x )， 即f (x ＋8)＝－f (x ＋4)＝f (x )，则函数f (x )是周期为8的周期函数； 据此分析选项：对于A ，函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，A 错误；对于B ，f (x )是定义域为R 的奇函数，则f (0)＝0，又由函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，则f (4)＝0，B 正确；对于C ，函数f (x )是周期为8的周期函数，即f (x ＋8)＝f (x )，C 正确； 对于D ，若f (－3)＝－1，则f (2 021)＝f (－3＋253×8)＝f (－3)＝－1，D 正确． 7．函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝⎛⎭⎫52＝________. 解析：∵f (x ＋1)＝－f (x )，∴f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，即函数f (x )的周期为 2.∴f ⎝⎛⎭⎫52＝f ⎝⎛⎭⎫12＋2＝f ⎝⎛⎭⎫12＝2×12×⎝⎛⎭⎫1－12＝12. 答案：128．(2021·北京东城区综合练习)能说明“若f (x )>f (0)对任意的x ∈(0,2]都成立，则f (x )在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是________．解析：设f (x )＝sin x ，则f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数，在⎣⎡⎦⎤π2，2上是减函数．由正弦函数图象的对称性知，当x ∈(0,2]时，f (x )>f (0)＝sin 0＝0，故f (x )＝sin x 满足条件f (x )>f (0)对任意的x ∈(0,2]都成立，但f (x )在[0,2]上不一直都是增函数．答案：f (x )＝sin x (答案不唯一)9．设函数f (x )＝x 3x 2＋1＋1在x ∈[－9,9]上的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________.解析：f (x )＝x 3x 2＋1＋1，其中x 3x 2＋1上奇下偶明显是奇函数，最大、最小值之和为零，那么f (x )的最大值与最小值之和就是2×1＝2.答案：210．已知f (x )的定义域为R ，其函数图象关于x ＝－1对称，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈[－4，－1]时，f (x )＝6－x ，则f (919)＝________.解析：由f (x ＋4)＝f (x －2)，得f (x ＋6)＝f (x )．故f (x )是周期为6的函数． 所以f (919)＝f (6×153＋1)＝f (1)． 因为f (x )的图象关于x ＝－1对称， 所以f (1)＝f (－3)．又x ∈[－4，－1]时，f (x )＝6－x ， 所以f (－3)＝6－(－3)＝216. 从而f (1)＝216，故f (919)＝216. 答案：21611．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0为奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围． 解：(1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )， 于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ， 所以m ＝2.(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，作出f (x )的图象如图所示，结合f (x )的图象知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．12．设f (x )是定义域为R 的周期函数，最小正周期为2，且f (1＋x )＝f (1－x )，当－1≤x ≤0时，f (x )＝－x .(1)判断f (x )的奇偶性；(2)试求出函数f (x )在区间[－1,2]上的表达式． 解：(1)∵f (1＋x )＝f (1－x )，∴f (－x )＝f (2＋x )． 又f (x ＋2)＝f (x )，∴f (－x )＝f (x )．又f (x )的定义域为R ，∴f (x )是偶函数． (2)当x ∈[0,1]时，－x ∈[－1,0]， 则f (x )＝f (－x )＝x ；从而当1≤x ≤2时，－1≤x －2≤0， f (x )＝f (x －2)＝－(x －2)＝－x ＋2. 故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，x ∈[－1，0]，x ，x ∈(0，1)，－x ＋2，x ∈[1，2].B 级——综合应用13．(多选)如图放置的边长为1的正方形PABC 沿x 轴滚动，点B 恰好经过原点，设顶点P (x ，y )的轨迹方程是y ＝f (x )，则下列说法正确的是( )A ．函数y ＝f (x )是偶函数B ．对任意的x ∈R ，都有f (x ＋2)＝f (x －2)C ．函数y ＝f (x )在区间[2,3]上单调递减D ．函数y ＝f (x )的值域是[0,1]解析：选AB 当－2≤x ≤－1时，P 的轨迹是以A (即(－1,0))为圆心，1为半径的14圆；当－1＜x ≤1时，P 的轨迹是以B (即(0,0))为圆心，2为半径的14圆；当1＜x ≤2时，P 的轨迹是以C (即(1,0))为圆心，1为半径的14圆，当2＜x ≤3时，P 的轨迹是以A (即(3,0))为圆心，1为半径的14圆．所以函数f (x )的周期为4，图象如图所示，根据图象的对称性可知y ＝f (x )是偶函数，所以A 项正确；因为f (x )的周期为4，所以B 项正确；函数f (x )在[2,3]上单调递增，所以C 项不正确；函数f (x )的值域为[0， 2 ]，所以D 项不正确．故选A 、B.14．设定义在R 上的函数f (x )同时满足以下条件：①f (x )＋f (－x )＝0；②f (x )＝f (x ＋2)；③当0≤x <1时，f (x )＝2x －1，则f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫32＋f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫52＝________. 解析：依题意知，函数f (x )为奇函数且周期为2， 则f (1)＋f (－1)＝0，f (－1)＝f (1)，即f (1)＝0. ∴f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫32＋f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫52 ＝f ⎝⎛⎭⎫12＋0＋f ⎝⎛⎭⎫－12＋f (0)＋f ⎝⎛⎭⎫12 ＝f ⎝⎛⎭⎫12－f ⎝⎛⎭⎫12＋f (0)＋f ⎝⎛⎭⎫12 ＝f ⎝⎛⎭⎫12＋f (0) ＝212－1＋20－1＝2－1. 答案：2－115．函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)．(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f (4)＝1，f (x －1)<2，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围． 解：(1)因为对于任意x 1，x 2∈D 有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，所以令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，所以f (1)＝0.(2)f (x )为偶函数．证明如下：f (x )定义域关于原点对称，令x 1＝x 2＝－1， 有f (1)＝f (－1)＋f (－1)，所以f (－1)＝12f (1)＝0.令x 1＝－1，x 2＝x 有f (－x )＝f (－1)＋f (x )，所以f (－x )＝f (x )，所以f (x )为偶函数．(3)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2，由(2)知f (x )是偶函数，所以f (x －1)<2等价于f (|x －1|)<f (16)．又f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以0<|x －1|<16，解得－15<x <17且x ≠1， 所以x 的取值范围是(－15,1)∪(1,17)．C 级——迁移创新16．(多选)(2021·徐州月考)如果对定义在R 上的奇函数y ＝f (x )，对任意两个不相等的实数x 1，x 2，都有x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)＞x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)，则称函数y ＝f (x )为“H 函数”，下列函数为H 函数的是( )A ．f (x )＝sin xB ．f (x )＝e xC ．f (x )＝x 3＋3xD ．f (x )＝x |x |解析：选CD 因为任意两个不相等的实数x 1，x 2，都有x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)＞x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)， 故x 1f (x 1)－x 1f (x 2)＞－x 2f (x 2)＋x 2f (x 1)，即(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0，所以函数f (x )在R 上单调递增． 对于A ，y ＝sin x 在R 上不单调，不符合题意；对于B ，y ＝e x 在R 上单调递增，但是非奇非偶函数，不符合题意； 对于C ，f ′(x )＝3x 2＋3＞0恒成立，故f (x )在R 上单调递增，符合题意；对于D ，由于y ＝x |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x <0，在R 上单调递增，符合题意．故选C 、D.。
专题5 函数的基本性质-奇偶性、单调性、周期性一、单选题（本大题共10小题，共50.0分）1.已知函数f(x)=lnx2−2ln(x2+1)，则下列说法正确的是A. 函数f(x)为奇函数B. 函数f(x)的值域为(−∞,−1]C. 当x>0时，函数f(x)的图象关于直线x=1对称D. 函数f(x)的增区间为(−∞,−1)，减区间为(0,1)2.已知函数f(x)=x4−x2，则错误的是()A. f(x)的图象关于y轴对称B. 方程f(x)=0的解的个数为2C. f(x)在(1,+∞)上单调递增D. f(x)的最小值为−143.已知函数f(x)=cosxsin2x，给出下列命题：①∀x∈R，都有f(−x)=−f(x)成立；②存在常数T≠0,∀x∈R恒有f(x+T)=f(x)成立；③f(x)的最大值为2√39；④y=f(x)在[−π6,π6]上是增函数．以上命题中正确的为()A. ①②③④B. ②③C. ①②③D. ①②④4.函数，则下列结论正确的是()A. 函数f(x)在[1,+∞)上为增函数B. 函数f(x)的最小正周期为4C. 函数f(x)是奇函数D. 函数f(x)无最小值5.已知函数f(x)=ln1+x1−x+x+1，且f(a)+f(a+1)>2，则a的取值范围是()A. (−12,+∞) B. (−1,−12) C. (−12,0) D. (−12,1)6.已知函数f(x+1)是偶函数，当1<x1<x2时，[f(x2)−f(x1)](x2−x1)>0恒成立，设a=f(−12)，b=f(2)，c=f(3)，则a，b，c的大小关系为()A. b<a<cB. c<b<aC. b<c<aD. a<b<c7.已知定义在R上的函数f(x)，若函数y=f(x+2)为偶函数，且f(x)对任意x1，，都有f(x2)−f(x1)x2−x1<0，若f(a)⩽f(3a+1)，则实数a的取值范围是()A. [−12,34] B. [−2,−1] C. D.8.设函数f(x)=ln|2x+1|−ln|2x−1|，则f(x)()A. 是偶函数，且在(12,+∞)单调递增B. 是奇函数，且在(−12,12)单调递减C. 是偶函数，且在(−∞,−12)单调递增D. 是奇函数，且在(−∞,−12)单调递减9.设函数f(x)满足对∀x∈R，都有f(4−x)=f(x)，且在(2,+∞)上单调递增，f(4)=0，g(x)=x4，则函数y=f(x+2)g(x)的大致图象可能是()A. B.C. D.10.设f(x)是定义在R上的函数，g(x)=f(x+1).若函数g(x)满足下列条件：①g(x)是偶函数；②g(x)在区间[0,+∞)上是增函数；③g(x)有一个零点为2，则不等式(x+1)f(x)>0的解集是()A. (3,+∞)B. (1,+∞)C. (−∞,−1)∪(1,+∞)D. (−∞,−1)∪(3,+∞)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）11.设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x+1)=f(x−1)，已知当x ∈[0,1]时，f(x)=(12)1−x ，给出下列结论：①对任意x ∈R ，都有f(x +2)=f(x)； ②函数f(x)在(1,2)上递减，在(2,3)上递增；③函数f(x)的最大值是1，最小值是0； ④当x ∈(3,4)时，f(x)=(12)x−3.则其中正确结论的序号是_________．12. 已知函数f(x)=|x 2−2ax +b|(x ∈R)，给出下列命题：①f(x)必是偶函数；②当f(0)=f(2)时，f(x)的图象关于直线x =1对称； ③若a 2−b ≤0，则f(x)在[a,+∞)上是增函数； ④若a >0，在[−a,a]上f(x)有最大值|a 2−b|． 其中正确的命题序号是________．13. 已知函数f (x )=x 3+x ，关于x 的不等式f (mx 2+2)+f (−x )<0的在区间[1,5]上有解，则实数m 的取值范围为________．14. 设函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈恒有f (x +1)=f (x −1)，已知当x ∈[0,1]时，f(x)=(12)1−x，则下列命题：①对任意x ∈，都有f (x +2)=f (x )；②函数f(x)在(1,2)上递减，在(2,3)上递增；③函数f(x)的最大值是1，最小值是0；④当x ∈(3,4)时，f(x)=(12)x−3．其中正确命题的序号有_________．三、解答题（本大题共4小题，共30分）15. 如果函数y =f (x )的定义域为R ，对于定义域内的任意x ，存在实数a 使得f (x +a )=f (−x )成立，则称此函数具有“P (a )性质”．(1)判断函数y =sinx 是否具有“P (a )性质”，若具有“P (a )性质”，求出所有a 的值；若不具有“P (a )性质”，请说明理由．(2)已知y =f (x )具有“P (0)性质”，且当x ≤0时f (x )=(x +m )2，求y =f (x )在[0,1]上的最小值． (3)设函数y =g (x )具有“P (±1)性质”，且当−12≤x ≤12时，g (x )=|x |若y =g (x )与y =mx 交点个数为2018个，其中m >0，求m 的取值范围．16.函数f(x)=log a(2−ax)(a>0,a≠1)(Ⅰ)当a=3时，求函数f(x)的定义域；(Ⅱ)若g(x)=f(x)−log a(2+ax)，判断g(x)的奇偶性；(Ⅲ)是否存在实数a，使函数f(x)在[2,3]递增，并且最大值为1，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．17.已知函数f(x)对任意实数x、y恒有f(x+y)=f(x)+f(y)，当x>0时，f(x)<0，且f(1)=−2．(1)判断f(x)的奇偶性；(2)求f(x)在区间[−3,3]上的最大值；(3)若f(x)<m2−2am+2对所有的x∈[−1,1],a∈[−1,1]恒成立，求实数m的取值范围．18.试分别解答下列两个小题：(Ⅰ)已知函数f(x)=√log(4x−3)+2x x−1−1的定义域为M，求g(x)=x2−2ax在x∈M时的最小0.5值；(Ⅱ)已知f(x)是定义在[−2,2]上的奇函数，且f(x)在[−2,2]上为减函数，若f(3a)+f(3a−1)<0，试求实数a的取值范围．专题5 函数的基本性质-奇偶性、单调性、周期性一、单选题（本大题共10小题，共50.0分）19. 已知函数f(x)=lnx 2−2ln(x 2+1)，则下列说法正确的是A. 函数f(x)为奇函数B. 函数f(x)的值域为(−∞,−1]C. 当x >0时，函数f(x)的图象关于直线x =1对称D. 函数f(x)的增区间为(−∞,−1)，减区间为(0,1)【答案】D【解析】 由f(−x)=ln(−x)2−2ln[(−x)2+1]=lnx 2−2ln(x 2+1)=f(x)， 可知函数f(x)为偶函数；不妨设x >0，此时f (x )=2lnx −2ln (x 2+1)=2ln xx 2+1， 由xx 2+1=1x+1x≤12√x⋅1x=12(当且仅当x =1时取“=”)， 由0<x x 2+1≤12，可得f(x)≤2ln 12=−2ln2，可知函数f(x)的值域为(−∞,−2ln2]； 由f (12)=ln 14−2ln 54=−ln4−2ln5+2ln4=ln4−2ln5=ln 425，f (32)=ln 94−2ln134=2ln613≠f (12)，可知当x >0时，函数f(x)的图象不关于直线x =1对称；由函数y =x +1x (x >0)的增区间为(1,+∞)，减区间为(0,1)，可知函数f(x)的增区间为(−∞,−1)，减区间为(0,1)． 故选D ．20. 已知函数f(x)=x 4−x 2，则错误的是( )A. f(x)的图象关于y 轴对称B. 方程f(x)=0的解的个数为2C. f(x)在(1,+∞)上单调递增D. f(x)的最小值为−14【答案】B【解析】解：因为函数f(x)=x 4−x 2，满足f(−x)=x 4−x 2=f(x)，所以函数是偶函数，所以A 正确； 令f(x)=0即x 2(x +1)(x −1)=0，解得：x =0，1，−1，函数f(x)有3个零点：0；−1；1，所以方程f(x)=0的解的个数为3，所以B 不正确； 令t =x 2，g(t)=t 2−t =(t −12)2−14，x >1时，函数t =x 2，g(t)=t 2−t 都为递增函数，故f(x)在(1,+∞)递增，故C 正确；由t=12时，g(t)取得最小值−14，故f(x)的最小值是−14，故D正确．故选：B．21.已知函数f(x)=cosxsin2x，给出下列命题：①∀x∈R，都有f(−x)=−f(x)成立；②存在常数T≠0,∀x∈R恒有f(x+T)=f(x)成立；③f(x)的最大值为2√39；④y=f(x)在[−π6,π6]上是增函数．以上命题中正确的为()A. ①②③④B. ②③C. ①②③D. ①②④【答案】D【解析】解：对于①，∀x∈R，f(−x)=cos(−x)sin(−2x)=−cosxsin2x=−f(x)，f(x)为奇函数，①正确；对于②，∀x∈R，由f(x+2π)=cos(x+2π)sin2(x+2π)=cosxsin2x=f(x)，f(x)为周期函数，②正确；对于③，f(x)=2sinxcos2x=2sinx(1−sin2x)=2sinx−2sin3x，令t=sinx，t∈[−1,1]，则y(t)=2t−2t3，令y′=2−6t2=0，得t=±√33，且y(−1)=0，y(√33)=4√39为最大值，③错误；对于④，当x∈[−π6,π6]时，sinx∈[−12,12]⊆[−√33,√33]，所以f(x)在[−π6,π6]上为增函数，④正确．综上知，正确的命题序号是①②④．故选：D．22.函数，则下列结论正确的是()A. 函数f(x)在[1,+∞)上为增函数B. 函数f(x)的最小正周期为4C. 函数f(x)是奇函数D. 函数f(x)无最小值【答案】A【解析】画出函数f(x)={|x3+1|,|x|>12sinπ2x,|x|⩽1，的图象，如图．观察图象可得：函数f(x)在[1,+∞)上为增函数，故A正确；函数f(x)的不是周期函数，故B错；函数f(x)的图象不关于原点对称，不是奇函数，故C错；函数f(x)在x=−1处取得最小值−2，故D错．故选A．23.已知函数f(x)=ln1+x1−x+x+1，且f(a)+f(a+1)>2，则a的取值范围是()A. (−12,+∞) B. (−1,−12) C. (−12,0) D. (−12,1)【答案】C【解析】解：令，因为是(−1,1)上的增函数，所以函数F(x)是(−1,1)上的增函数．又因为，所以函数F(x)是(−1,1)上的奇函数．由f(a)+f(a+1)>2得f(a)−1+f(a+1)−1>0，即F(a)+F(a+1)>0，所以F(a+1)>F(−a)，因此{a+1>−a−1<a+1<1−1<−a<1，解得−12<a<0．故选C．24.已知函数f(x+1)是偶函数，当1<x1<x2时，[f(x2)−f(x1)](x2−x1)>0恒成立，设a=f(−12)，b=f(2)，c=f(3)，则a，b，c的大小关系为()A. b<a<cB. c<b<aC. b<c<aD. a<b<c【答案】A【解析】解：∵当1<x1<x2时，[f(x1)−f(x2)](x1−x2)>0恒成立，∴当1<x1<x2时，f (x2)−f(x1)>0，即f (x2)>f(x1)，∴函数f(x)在(1,+∞)上为单调增函数，∵函数f(x +1)是偶函数， ∴函数f(x)关于x =1对称， ∴a =f(−12)=f(52)，又函数f(x)在(1,+∞)上为单调增函数， ∴f(2)<f(52)<f(3)，即f(2)<f(−12)<f(3)，∴a ，b ，c 的大小关系为b <a <c ． 故选A ．25. 已知定义在R 上的函数f(x)，若函数y =f(x +2)为偶函数，且f(x)对任意x 1，，都有f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1<0，若f(a)⩽f(3a +1)，则实数a 的取值范围是( )A. [−12,34]B. [−2,−1]C.D.【答案】A【解析】解：因为函数y =f (x +2)为偶函数， 所以函数f (x )的图象关于x =2对称，因为f (x )对任意x 1，x 2∈[2,+∞)(x 1≠x 2)，都有f (x 2)−f (x 1)x 2−x 1<0，所以函数f (x )在[2,+∞)上为减函数， 则f(a)⩽f(3a +1)⇔|a −2|⩾|3a −1|， 两边平方解得−12≤a ≤34． 即实数a 的取值范围是[−12,34]， 故选A ．26. 设函数f(x)=ln|2x +1|−ln|2x −1|，则f(x)( )A. 是偶函数，且在(12,+∞)单调递增 B. 是奇函数，且在(−12,12)单调递减 C. 是偶函数，且在(−∞,−12)单调递增 D. 是奇函数，且在(−∞,−12)单调递减【答案】D【解析】【试题解析】解：由{2x +1≠02x −1≠0，得x ≠±12．又f(−x)=ln|−2x +1|−ln|−2x −1| =−(ln|2x +1|−ln|2x −1|)=−f(x)， ∴f(x)为奇函数；由f(x)=ln|2x +1|−ln|2x −1| =ln |2x+1||2x−1|=ln|2x+12x−1|， ∵2x +12x −1=2x −1+22x −1=1+22x −1=1+22(x−12)=1+1x−12．可得内层函数t =|2x+12x−1|的图象如图，在(−∞,−12)上单调递减，在(−12,12)上单调递增，再(12,+∞)上单调递减． 又对数函数y =lnt 是定义域内的增函数，由复合函数的单调性可得，f(x)在(−∞,−12)上单调递减． 故选：D ．27. 设函数f(x)满足对∀x ∈R ，都有f(4−x)=f(x)，且在(2,+∞)上单调递增，f(4)=0，g(x)=x 4，则函数y =f(x +2)g(x)的大致图象可能是( )A. B.C. D.【答案】B【解析】解：令h(x)=f(x+2)，F(x)=h(x)g(x)=x4h(x)，因为f(4−x)=f(x)，故y=f(x)的图象关于直线x=2对称，故h(x)=f(x+2)的图象关于y轴对称，即h(−x)=h(x)，故F(−x)=x4h(−x)=F(x)，故F(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，故排除AD．因为y=f(x)在(2,+∞)上单调递增，故h(x)在(0,+∞)为增函数，因为f(4)=0，故h(2)=0，故0<x<2时，h(x)<0，故F(x)<0，故排除C，故选B．28.设f(x)是定义在R上的函数，g(x)=f(x+1).若函数g(x)满足下列条件：①g(x)是偶函数；②g(x)在区间[0,+∞)上是增函数；③g(x)有一个零点为2，则不等式(x+1)f(x)>0的解集是()A. (3,+∞)B. (1,+∞)C. (−∞,−1)∪(1,+∞)D. (−∞,−1)∪(3,+∞)【答案】A【解析】解：由g(x)=f(x+1)，可得g(x−1)=f(x)，即f(x)为g(x)向右平移一个单位得到．故由g(x)是偶函数，可得f(x)关于直线x=1对称；又由g(x)在区间[0,+∞)上是增函数，可得f(x)在区间[1,+∞)上是增函数；由g(x)有一个零点为2，可得f(x)有一个零点为3．结合图象可得f(x)>0的解集为(−∞,−1)∪(3,+∞)，f(x)<0的解集为(−1,3)，又因为y=x+1过点(−1,0)且单调递增，所以由(x+1)f(x)>0的解集为：(3,+∞)．故选A．二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）29. 设函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f(x +1)=f(x −1)，已知当x ∈[0,1]时，f(x)=(12)1−x ，给出下列结论：①对任意x ∈R ，都有f(x +2)=f(x)； ②函数f(x)在(1,2)上递减，在(2,3)上递增；③函数f(x)的最大值是1，最小值是0；④当x ∈(3,4)时，f(x)=(12)x−3.则其中正确结论的序号是_________．【答案】①②④【解析】解：由题意，函数f (x )对任意的x ∈R 恒有f (x +1)=f (x −1)，可得f (x +2)=f[f(x +1)+1]=f[(x +1)−1]=f (x )，所以①正确；由x ∈[0,1]时，f(x)=(12)1−x 为单调递增函数，因为函数f (x )是定义在R 上的偶函数，可得x ∈[−1,0]时，函数f(x)为单调递减函数，又由函数的周期为2，可得函数f(x)在(1,2)上递减，在(2,3)上递增，所以②正确；由②可得，当x =2时，函数取得最小值，最小值为f (2)=f (0)=12；当x =3时，函数取得最大值，最大值为f (3)=f (1)=1，根据函数的周期性，可得函数的最大值为1，最小值为12，所以③不正确；当x ∈(3,4)时，则4−x ∈(0,1)，可得f (4−x )=f(2−x)=f(−x)=f (x )=(12)1−(4−x)=(12)x−3，所以④正确．故答案为：①②④． 30. 已知函数f(x)=|x 2−2ax +b|(x ∈R)，给出下列命题：①f(x)必是偶函数；②当f(0)=f(2)时，f(x)的图象关于直线x =1对称；③若a2−b≤0，则f(x)在[a,+∞)上是增函数；④若a>0，在[−a,a]上f(x)有最大值|a2−b|．其中正确的命题序号是________．【答案】③【解析】解：对于①，当且仅当a=0时，函数f(x)=|x2−2ax+b|为偶函数，①错误；对于②，当a=0，b=−2时，满足f(0)=2=f(2)，此时函数图象不关于直线x=1对称，②错误；对于③，当a2−b≤0时，(−2a)2−4b=4(a2−b)≤0，所以f(x)=x2−2ax+b，则f(x)在[a,+∞)上是增函数，③正确；对于④，当a=1，b=4时，满足a>0，此时f(x)=|x2−2x+4|在[−1,1]上的最大值为f(−1)=|(−1)2−2×(−1)+4|=7≠|12−4|，④错误．综上所述，正确结论的序号为③．故答案是③．31.已知函数f(x)=x3+x，关于x的不等式f(mx2+2)+f(−x)<0的在区间[1,5]上有解，则实数m的取值范围为________．【答案】m<18【解析】解：f(−x)=(−x)3−x=，∴函数f(x)是奇函数，f(x)=x3+x，则函数f(x)在R上单调递增，∵f(mx2+2)+f(−x)<0，∴f(mx2+2)<−f(−x)=f(x)，∴mx2+2<x在区间[1,5]上有解，即m<x−2x2在区间[1,5]上有解，令g(x)=x−2x2，x∈[1,5]，则只需要m<g max(x)即可，g(x)=x−2x2=1x−2x2，令t=1x，t∈[15,1]，则y=t−2t2，对称轴为t=14，当t=14时，y有最大值为18，则g max (x )=18，∴m <18． 故答案为m <18．32. 设函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈恒有f (x +1)=f (x −1)，已知当x ∈[0,1]时，f(x)=(12)1−x ，则下列命题：①对任意x ∈，都有f (x +2)=f (x )；②函数f(x)在(1,2)上递减，在(2,3)上递增；③函数f(x)的最大值是1，最小值是0；④当x ∈(3,4)时，f(x)=(12)x−3．其中正确命题的序号有_________．【答案】①②④【解析】解：由f(x +1)=f(x −1)，可得f(x +2)=f[(x +1)+1]=f[(x +1)−1]=f(x)，故①正确；当x ∈[0,1]时，f(x)=(12)1−x 为增函数，由f(x)为R 上的偶函数，可得x ∈[−1,0]时，f(x)为减函数，结合函数的周期为2，可得函数f(x)在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数，故②正确；当x 为奇数时，函数f(x)的最大值是1，当x 为偶数时，函数的最小值是12，故③错误；当x ∈(3,4)时，x −4∈(−1,0)，可得f(x −4)=(12)1+x−4=f(x)，故④正确．故答案为：①②④．三、解答题（本大题共4小题，共30分） 33. 如果函数y =f (x )的定义域为R ，对于定义域内的任意x ，存在实数a 使得f (x +a )=f (−x )成立，则称此函数具有“P (a )性质”．(1)判断函数y =sinx 是否具有“P (a )性质”，若具有“P (a )性质”，求出所有a 的值；若不具有“P (a )性质”，请说明理由．(2)已知y =f (x )具有“P (0)性质”，且当x ≤0时f (x )=(x +m )2，求y =f (x )在[0,1]上的最小值．(3)设函数y =g (x )具有“P (±1)性质”，且当−12≤x ≤12时，g (x )=|x |若y =g (x )与y =mx 交点个数为2018个，其中m >0，求m 的取值范围．【答案】解：(1)由sin(x +a)=sin(−x)得sin(x +a)=−sinx ，根据诱导公式得a =2kπ+π，k ∈Z ，所以y =sinx 具有“P(a)性质”，其中a =2kπ+π，k ∈Z ；(2)y =f(x)具有P(0)性质，则有f(x)=f(−x)，设x > 0，则−x <0，f(x)=f(−x)=(x −m)2，所以f(x)={(x +m)2,x ≤0(x −m)2,x >0, 当m ≤0时，函数在[0,1]单调递增，所以最小值为f(0)=m 2，当m ≥1时，函数在[0,1]单调递减，所以最小值为f(1)=(1−m)2，当0<m <1时，函数在[0,m]单调递减，在[m,1]单调递增，所以最小值为f(m)=0；(3)因为y =g (x )具有“P(±1)性质”，所以g(1+x)=g(−x)，g(−1+x)=g(−x)，所以y =g (x )的函数图象关于直线x =±12对称， 且g(x +2)=g(1+1+x)=g(−1−x)=g(x)，从而得到y =g(x)是以2为周期的函数，又设12≤x ≤32，则−12≤1−x ≤12，g(x)=g(x −2)=g(−1+x −1)=g(−x +1)=|−x +1|=|x −1|=g(x −1)，根据函数y =g(x)在一个周期上的解析式得到，y =g(x)是以2为周期的偶函数，由于m >0，在每一个[k,k +1]，k ∈N ，区间内均有两个交点，故当直线y =mx 过点(1009−12,12)和(1009+12,12)之间(不取此两点)，代入得． 34. 函数f(x)=log a (2−ax)(a >0,a ≠1)(Ⅰ)当a =3时，求函数f(x)的定义域；(Ⅱ)若g(x)=f(x)−log a (2+ax)，判断g(x)的奇偶性；(Ⅲ)是否存在实数a ，使函数f(x)在[2,3]递增，并且最大值为1，若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．【答案】解：(Ⅰ)由题意得f(x)=log 3(2−3x)，∴2−3x >0，即x <23，∴函数f(x)的定义域为(−∞,23)；(Ⅱ)易知g(x)=log a (2−ax)−log a (2+ax)，∵2−ax >0且2+ax >0，∴−2a <x <2a，定义域关于原点对称． 又∵g(x)=log a (2−ax)−log a (2+ax)=log a 2−ax 2+ax ，∴g(−x)=log a 2+ax 2−ax =−log a 2−ax 2+ax =−g(x)，∴g(x)为奇函数．(3)令μ=2−ax ，∵a >0，a ≠1，∴μ=2−ax 在[2,3]上单调递减，又∵函数f(x)在[2,3]上递增，∴0<a <1又∵函数f(x)在[2,3]上的最大值为1，∴f(3)=1，即f(3)=log a (2−3a)=1，∴a =12，∵0<a <1，a =12符合题意．即存在实数a =12，使函数f(x)在[2,3]上递增，并且最大值为1． 35. 已知函数f(x)对任意实数x 、y 恒有f(x +y)=f(x)+f(y)，当x >0时，f(x)<0，且f(1)=−2．(1)判断f(x)的奇偶性；(2)求f(x)在区间[−3,3]上的最大值；(3)若f(x)<m 2−2am +2对所有的x ∈[−1,1],a ∈[−1,1]恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】解：(1)取x = y = 0，则f(0 + 0)= 2f(0)，∴f(0)= 0，取y = −x ，则f(x −x)= f(x)+ f(−x)=f(0)=0，∴f(−x)= − f(x)对任意x ∈R 恒成立，∴f(x)为奇函数；(2)任取x 1，x 2 ∈(−∞,+∞)且x 1<x 2，则x 2−x 1> 0，f(x 2)+ f(−x 1)= f(x 2 −x 1)<0，∴f(x 2)< − f(−x 1)，又f(x)为奇函数，∴f(x 1)> f(x 2).故f(x)为R 上的减函数．∴x ∈[−3,3]，f(x)≤f(−3)，∵f (3) = 3f(1)= − 2×3 = −6，∴f(−3)= − f(3)= 6，故f(x)在[−3,3]上的最大值为6；(3)∵f(x)在[−1,1]上是减函数，∴f(x)≤f(−1)=−f(1)= 2，∵f(x)<m 2−2am +2，对所有x ∈[−1,1]，a ∈[−1,1]恒成立．∴m 2−2am +2>2，∀a ∈[−1,1]恒成立;即m 2−2am >0，∀a ∈[−1,1]恒成立，令g(a)=−2am +m 2，则{g(−1)>0g(1)>0，即{2m +m 2>0−2m +m 2>0，解得：m > 2或m <−2． ∴实数m 的取值范围为(−∞,−2)∪(2,+∞)．36. 试分别解答下列两个小题：(Ⅰ)已知函数f (x )=√log 0.5(4x −3)+2xx−1−1的定义域为M ，求g (x )=x 2−2ax 在x ∈M 时的最小值；(Ⅱ)已知f (x )是定义在[−2,2]上的奇函数，且f (x )在[−2,2]上为减函数，若f (3a )+f (3a −1)<0，试求实数a 的取值范围．【答案】解：(Ⅰ)由{log 0.5(4x −3)⩾0x −1≠0可得： {0<4x −3⩽1x −1≠0⇒34<x <1, 所以f(x)的定义域为：M =(34,1)对于g(x)=x 2−2ax ，其对称轴为：x =a ，当a ⩽34时，g (x )的最小值只能在x =34时取到， 但34∉M ，所以此时取不到最小值；当a ⩾1时，g(x)的最小值只能在x =1时取到， 但1∉M ，所以此时取不到最小值；当34<a <1时，g(x)min =g(a)=−a 2； (Ⅱ)∵f(x)是定义在[−2,2]上的函数，∴为使f(3a)+f(3a −1)<0有意义，必须{−2⩽3a ⩽2−2⩽3a −1⩽2,① 由f(3a)+f(3a −1)<0可得：f(3a)<−f(3a −1)， ∵f(x)是奇函数，∴f(3a)<f(1−3a)，∵f(x)在[−2,2]上为减函数，∴3a >1−3a ，②由①②得：16<a ⩽23．。
专题三 函数的奇偶性及周期性一、题型全归纳题型一 函数奇偶性的判断【题型要点】判断函数奇偶性的方法(1)根据定义判断，首先看函数的定义域是否关于原点对称，在定义域关于原点对称的条件下，再化简解析式，根据f (－x )与f (x )的关系作出判断． (2)利用函数图象特征判断．(3)分段函数奇偶性的判断，要分别从x >0或x <0来寻找等式f (－x )＝f (x )或f (－x )＝－f (x )成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性．【例1】判断函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，x 2－x ，x >0.的奇偶性。
【解析】法一：图象法画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，x 2－x ，x >0的图象如图所示，图象关于y 轴对称，故f (x )为偶函数．法二：定义法易知函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，当x >0时，f (x )＝x 2－x ，则当x <0时，－x >0，故f (－x )＝x 2＋x ＝f (x )；当x <0时，f (x )＝x 2＋x ，则当x >0时，－x <0，故f (－x )＝x 2－x ＝f (x )，故原函数是偶函数． 法三：f (x )还可以写成f (x )＝x 2－|x |(x ≠0)，故f (x )为偶函数【例2】已知函数f (x )＝x 2x －1，g (x )＝x2，则下列结论正确的是( )A ．h (x )＝f (x )＋g (x )是偶函数B ．h (x )＝f (x )＋g (x )是奇函数C ．h (x )＝f (x )g (x )是奇函数D ．h (x )＝f (x )g (x )是偶函数 【答案】A.【解析】：易知h (x )＝f (x )＋g (x )的定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称．因为f (－x )＋g (－x )＝－x 2－x －1＋－x2＝－x ·2x 1－2x －x 2＝x （1－2x ）－x 1－2x －x 2＝x 2x －1＋x2＝f (x )＋g (x )，所以h (x )＝f (x )＋g (x )是偶函数．故选A. 题型二 函数奇偶性的应用【题型要点】与函数奇偶性有关的问题及解决方法(1)已知函数的奇偶性求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．(2)已知函数的奇偶性求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f (x )的方程(组)，从而得到f (x )的解析式．(3)已知函数的奇偶性求函数解析式中参数的值：常常利用待定系数法，由f (x )±f (－x )＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或对方程求解．(4)应用奇偶性画图象和判断单调性：利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象并判断另一区间上的单调性． 【例1】(2019·高考全国卷Ⅱ)设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝e x －1，则当x ＜0时，f (x )＝( ) A ．e －x －1 B ．e －x ＋1 C ．－e －x －1D ．－e －x ＋1【解析】解法一：依题意得，当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－(e －x －1)＝－e －x ＋1，选D. 解法二：依题意得，f (－1)＝－f (1)＝－(e 1－1)＝1－e ，结合选项知，选D.【例2】已知函数f (x )为奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－x ，则当x <0时，函数f (x )的最大值为 ． 【解析】：解法一：当x <0时，－x >0，所以f (－x )＝x 2＋x .又因为函数f (x )为奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－x 2－x ＝－221⎪⎭⎫ ⎝⎛+x ＋14，所以当x <0时，函数f (x )的最大值为14.解法二：当x >0时，f (x )＝x 2－x ＝221⎪⎭⎫ ⎝⎛+x －14，最小值为－14，因为函数f (x )为奇函数，所以当x <0时，函数f (x )的最大值为14.题型三 函数的周期性【题型要点】函数周期性的判断与应用(1)判断函数的周期性只需证明f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T ，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z ，且k ≠0)也是函数的周期．【例1】(2020·广东六校第一次联考)在R 上函数f (x )满足f (x ＋1)＝f (x －1)，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x <0|2－x |，0≤x <1，其中a∈R ，若f (－5)＝f (4.5)，则a ＝( ) A ．0.5 B ．1.5 C ．2.5D ．3.5【解析】由f (x ＋1)＝f (x －1)，得f (x )是周期为2的函数，又f (－5)＝f (4.5)，所以f (－1)＝f (0.5)，即－1＋a ＝1.5，所以a ＝2.5.故选C.【例2】已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[0，4]上与x 轴的交点的个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5【解析】当0≤x <2时，令f (x )＝x 3－x ＝x (x 2－1)＝0，所以y ＝f (x )的图象与x 轴交点的横坐标分别为x 1＝0，x 2＝1.当2≤x <4时，0≤x －2<2，又f (x )的最小正周期为2，所以f (x －2)＝f (x )，所以f (x )＝(x －2)(x －1)(x －3)，所以当2≤x <4时，y ＝f (x )的图象与x 轴交点的横坐标分别为x 3＝2，x 4＝3.又f (4)＝f (2)＝f (0)＝0，综上可知，共有5个交点．题型四 函数性质的综合应用【题型要点】函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略(1)单调性与奇偶性的综合：注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．(2)周期性与奇偶性的综合：此类问题多考查求值问题，常用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．(3)单调性、奇偶性与周期性的综合：解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．【例1】已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x )．若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝( ) A ．－50 B ．0 C ．2 D ．50【答案】C【解析】因为f (x ＋2)＝f [1＋(1＋x )]＝f [1－(1＋x )]＝f (－x )＝－f (x )，所以f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，即f (x )是周期为4的周期函数．又f (x )为奇函数，且x ∈R ，所以f (0)＝0，f (1)＝2，f (2)＝f (1＋1)＝f (0)＝0，f (3)＝f (1＋2)＝f (1－2)＝f (－1)＝－f (1)＝－2，f (4)＝f (0)＝0，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0，而50＝4×12＋2，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝f (1)＋f (2)＝2.【例2】(2020池州联考)已知函数f (x )的定义域为R ，且满足下列三个条件：①∀x 1，x 2∈[4,8]，当x 1<x 2时，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0；②f (x ＋4)＝－f (x )；③y ＝f (x ＋4)是偶函数．若a ＝f (6)，b ＝f (11)，c ＝f (2 025)，则a ，b ，c 的大小关系正确的是( ) A ．a <b <c B ．b <a <c C ．a <c <b D ．c <b <a 【答案】B【解析】由条件①知，当x ∈[4,8]时，f (x )为增函数；由条件②知，f (x ＋8)＝－f (x ＋4)＝f (x )，f (x )是周期为8的周期函数；由条件③知，y ＝f (x )关于直线x ＝4对称，所以f (11)＝f (3)＝f (5)，f (2025)＝f (1)＝f (7)，故f (5)＜f (6)＜f (7)，即b ＜a ＜c .故选B.二、高效训练突破 一、选择题1.(2020·洛阳一中月考）下列函数中，与函数y ＝－3|x |的奇偶性相同，且在(－∞，0)上单调性也相同的是( ) A ．y ＝－1xB ．y ＝log 2|x |C ．y ＝1－x 2D ．y ＝x 3－1【答案】C.【解析】：函数y ＝－3|x |为偶函数，在(－∞，0)上为增函数，选项A 的函数为奇函数，不符合要求；选项B 的函数是偶函数，但其单调性不符合要求；选项D 的函数为非奇非偶函数，不符合要求；只有选项C 符合要求．2．已知f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋m ，则f (－2)＝( ) A ．－3 B ．－54C.54 D ．3 【答案】A【解析】：.由f (x )为R 上的奇函数，知f (0)＝0，即f (0)＝20＋m ＝0，解得m ＝－1，则f (－2)＝－f (2)＝－(22－1)＝－3.3.已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝3x ＋m (m 为常数)，则f (－log 35)＝( ) A ．－6 B ．6 C ．4 D ．－4 【答案】D【解析】 因为f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝3x ＋m ，所以f (0)＝1＋m ＝0⇒m ＝－1，则f (－log 35)＝－f (log 35)＝－(3log 35－1)＝－4.4.已知定义在R 上的奇函数f (x )满足：当x >0时，f (x )＝2x －2x ，则f (x )x>0的解集为( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(0,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)【解析】因为当x >0时，函数f (x )单调递增，又f (1)＝0，所以f (x )＝2x －2x >0的解集为(1，＋∞)，所以f (x )x ＞0在(0，＋∞)上的解集为(1，＋∞)．因为f (x )是奇函数，所以f (x )x 是偶函数，则f (x )x >0在R 上的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．5.已知定义域为R 的奇函数f (x )满足⎪⎭⎫⎝⎛+x f 23＝⎪⎭⎫⎝⎛x f -21，且当0≤x ≤1时，f (x )＝x 3，则⎪⎭⎫⎝⎛25f ＝( ) A ．－278B ．－18C.18D.278【解析】：因为⎪⎭⎫⎝⎛+x f 23＝⎪⎭⎫⎝⎛x f -21，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛25f ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛+123f ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛1-21f ＝⎪⎭⎫⎝⎛21-f ，又因为函数为奇函数，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛21-f ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛21-f ＝321-⎪⎭⎫⎝⎛＝－18.6.已知函数f (x )＝2|x |＋x 3＋12|x |＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m 等于( )A ．0B ．2C ．4D ．8【解析】：f (x )＝2|x |＋x 3＋12|x |＋1＝1＋x 32|x |＋1.设g (x )＝x 32|x |＋1，因为g (x )定义域为R ，关于原点对称，且g (－x )＝－g (x )，所以g (x )为奇函数，所以g (x )max ＋g (x )min ＝0.因为M ＝f (x )max ＝1＋g (x )max ，m ＝f (x )min ＝1＋g (x )min ，所以M ＋m ＝1＋g (x )max ＋1＋g (x )min ＝2.7.(2019·沈阳测试)设函数f (x )＝ln(1＋x )＋m ln(1－x )是偶函数，则( )A ．m ＝1，且f (x )在(0,1)上是增函数B ．m ＝1，且f (x )在(0,1)上是减函数C ．m ＝－1，且f (x )在(0,1)上是增函数D ．m ＝－1，且f (x )在(0,1)上是减函数 【答案】B【解析】因为函数f (x )＝ln(1＋x )＋m ln(1－x )是偶函数，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛21f ＝⎪⎭⎫⎝⎛21-f ，则(m －1)ln 3＝0，即m ＝1，则f (x )＝ln(1＋x )＋ln(1－x )＝ln(1－x 2)，因为当x ∈(0,1)时，y ＝1－x 2是减函数，故f (x )在(0,1)上是减函数．故选B.8．(2019·广州模拟)定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x )＝f (x ＋4)，且当x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x ＋15，则f (log 220)＝( ) A ．1B.45 C ．－1D ．－45【解析】 因为x ∈R ，且f (－x )＝－f (x )，所以函数为奇函数．因为f (x )＝f (x ＋4)，所以函数的周期为4.故f (log 220)＝f (log 220－4)＝⎪⎭⎫ ⎝⎛45log 2f ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛45log --2f ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛54log --2f ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛+-5154log 22＝⎪⎭⎫⎝⎛+-5154＝－1.故选C.9．(2020·成都八中月考)设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，则使f (x )＞f (2x －1)成立的x 的取值范围是( ) A.⎪⎭⎫⎝⎛131，B.⎪⎭⎫ ⎝⎛∞31-，∪(1，＋∞)C.⎪⎭⎫ ⎝⎛3131，D.⎪⎭⎫ ⎝⎛∞31-，∪⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+，31 【解析】 由题意知f (－x )＝f (x )，所以函数f (x )是偶函数，当x ≥0时，易得函数f (x )＝ln(1＋x )－11＋x 2是增函数，所以不等式f (x )＞f (2x －1)等价于|2x －1|＜|x |，解得13＜x ＜1，则x 的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛131， 10.(2020·福建龙岩期末)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，满足f (x ＋1)＝－f (x －1)，若f (－1)>1，f (5)＝a 2－2a －4，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1，3) B ．(－∞，－1)∪(3，＋∞) C ．(－3，1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)【解析】：由f (x ＋1)＝－f (x －1)，可得f (x ＋2)＝－f (x )，则f (x ＋4)＝f (x )，故函数f (x )的周期为4，则f (5)＝f (1)＝a 2－2a －4，又因为f (x )是定义在R 上的奇函数，f (－1)>1，所以f (1)<－1，所以a 2－2a －4<－1，解得－1<a <3，故答案为A.二、填空题1.已知定义在R 上的函数满足f (x ＋2)＝－1f （x ），当x ∈(0，2]时，f (x )＝2x －1.则f (17)＝ ，f (20)＝ ． 【答案】：1 －13【解析】： 因为f (x ＋2)＝－1f （x ）， 所以f (x ＋4)＝－1f （x ＋2）＝f (x )，所以函数y ＝f (x )的周期T ＝4. f (17)＝f (4×4＋1)＝f (1)＝1.f (20)＝f (4×4＋4)＝f (4)＝f (2＋2)＝－1f （2）＝－12×2－1＝－13.2.(2020·晋中模拟)已知f (x )是R 上的奇函数，f (1)＝2，且对任意x ∈R 都有f (x ＋6)＝f (x )＋f (3)成立，则f (2 023)＝__________. 【答案】 2【解析】因为f (x ＋6)＝f (x )＋f (3)，令x ＝－3，f (3)＝f (－3)＋f (3)＝－f (3)＋f (3)＝0，所以f (x ＋6)＝f (x )＋0＝f (x )，所以T ＝6，f (2 023)＝f (337×6＋1)＝f (1)＝2.3.已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，则g (1)等于 ． 【答案】：3【解析】：f (－1)＋g (1)＝2，即－f (1)＋g (1)＝2①， f (1)＋g (－1)＝4，即f (1)＋g (1)＝4②， 由①②得，2g (1)＝6，即g (1)＝3.4.设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3（x ＋1），x ≥0，g （x ），x <0，则g (f (－8))＝ ．【答案】：－1【解析】：因为f (x )是定义在R 上的奇函数， 所以f (－8)＝－f (8)＝－log 39＝－2，所以g (f (－8))＝g (－2)＝f (－2)＝－f (2)＝－log 33＝－1.5.设函数f (x )是定义在R 上周期为2的偶函数，当x ∈[0，1]时，f (x )＝x ＋1，则⎪⎭⎫⎝⎛23f ＝ ．【答案】：32【解析】：依题意得，f (2＋x )＝f (x )，f (－x )＝f (x )，则⎪⎭⎫⎝⎛23f ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛21-f ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛21f ＝12＋1＝32.6.已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且f (x )－g (x )＝x⎪⎭⎫⎝⎛21，则f (1)，g (0)，g (－1)之间的大小关系是 ． 【答案】：f (1)>g (0)>g (－1)【解析】：在f (x )－g (x )＝x⎪⎭⎫ ⎝⎛21中，用－x 替换x ，得f (－x )－g (－x )＝2x ，由于f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，所以f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，因此得－f (x )－g (x )＝2x.联立方程组解得f (x )＝2－x －2x2，g (x )＝－2－x ＋2x 2，于是f (1)＝－34，g (0)＝－1，g (－1)＝－54，故f (1)>g (0)>g (－1)．7.(2019·常德模拟)设f (x )是偶函数，且当x ＞0时，f (x )是单调函数，则满足f (2x )＝⎪⎭⎫⎝⎛++41x x f 的所有x 之和为______。
