2022高考数学一轮复习—函数的单调性、奇偶性、周期性习题含答案

高考数学复习---《周期性、单调性、奇偶性、对称性的灵活运用》真题练习（含答案）1．（2022·全国·统考高考真题）已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()(),(1)1f x y f x y f x f y f ++−==，则221()k f k ==∑（ ）A ．3−B ．2−C ．0D ．1【答案】A 【解析】[方法一]：赋值加性质因为()()()()f x y f x y f x f y ++−=，令1,0x y ==可得，()()()2110f f f =，所以()02f =，令0x =可得，()()()2f y f y f y +−=，即()()f y f y =−，所以函数()f x 为偶函数，令1y =得，()()()()()111f x f x f x f f x ++−==，即有()()()21f x f x f x ++=+，从而可知()()21f x f x +=−−，()()14f x f x −=−−，故()()24f x f x +=−，即()()6f x f x =+，所以函数()f x 的一个周期为6．因为()()()210121f f f =−=−=−，()()()321112f f f =−=−−=−，()()()4221f f f =−==−，()()()5111f f f =−==，()()602f f ==，所以一个周期内的()()()1260f f f +++=．由于22除以6余4， 所以()()()()()221123411213k f k f f f f ==+++=−−−=−∑．故选：A ．[方法二]：【最优解】构造特殊函数由()()()()f x y f x y f x f y ++−=，联想到余弦函数和差化积公式()()cos cos 2cos cos x y x y x y ++−=，可设()cos f x a x ω=，则由方法一中()()02,11f f ==知2,cos 1a a ω==，解得1cos 2ω=，取3πω=， 所以()2cos 3f x x π=，则()()()()2cos 2cos 4cos cos 333333f x y f x y x y x y x y f x f y ππππππ⎛⎫⎛⎫++−=++−== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()2cos 3f x x π=符合条件，因此()f x 的周期263T ππ==，()()02,11f f ==，且()()()()()21,32,41,51,62f f f f f =−=−=−==，所以(1)(2)(3)(4)(5)(6)0f f f f f f +++++=，由于22除以6余4，所以()()()()()221123411213k f k f f f f ==+++=−−−=−∑．故选：A ．【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；2．（2022·全国·统考高考真题）已知函数(),()f x g x 的定义域均为R ，且()(2)5,()(4)7f x g x g x f x +−=−−=．若()y g x =的图像关于直线2x =对称，(2)4g =，则()221k f k ==∑（ ）A ．21−B ．22−C ．23−D ．24−【答案】D 【解析】因为()y g x =的图像关于直线2x =对称，所以()()22g x g x −=+，因为()(4)7g x f x −−=，所以(2)(2)7g x f x +−−=，即(2)7(2)g x f x +=+−，因为()(2)5f x g x +−=，所以()(2)5f x g x ++=，代入得[]()7(2)5f x f x ++−=，即()(2)2f x f x +−=−，所以()()()()35212510f f f +++=−⨯=−，()()()()46222510f f f +++=−⨯=−．因为()(2)5f x g x +−=，所以(0)(2)5f g +=，即()01f =，所以()(2)203f f =−−=−． 因为()(4)7g x f x −−=，所以(4)()7g x f x +−=，又因为()(2)5f x g x +−=，联立得，()()2412g x g x −++=，所以()y g x =的图像关于点()3,6中心对称，因为函数()g x 的定义域为R ，所以()36g =因为()(2)5f x g x ++=，所以()()1531f g =−=−．所以()()()()()()()()221123521462213101024()k f f f f f f f f f k =+++++++++=−−−−=−⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=∑．故选：D3．（多选题）（2022·全国·统考高考真题）已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，记()()g x f x '=，若322f x ⎛⎫− ⎪⎝⎭，(2)g x +均为偶函数，则（ ） A ．(0)0f = B ．102g ⎛⎫−= ⎪⎝⎭C ．(1)(4)f f −=D ．(1)(2)g g −=【答案】BC【解析】[方法一]：对称性和周期性的关系研究 对于()f x ，因为322f x ⎛⎫− ⎪⎝⎭为偶函数，所以332222f x f x ⎛⎫⎛⎫−=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即3322f x f x ⎛⎫⎛⎫−=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭①，所以()()3f x f x −=，所以()f x 关于32x =对称，则(1)(4)f f −=，故C 正确； 对于()g x ，因为(2)g x +为偶函数，(2)(2)g x g x +=−，(4)()g x g x −=，所以()g x 关于2x =对称，由①求导，和()()g x f x '=，得333333222222f x f x f x f x g x g x ''⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫''−=+⇔−−=+⇔−−=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，所以()()30g x g x −+=，所以()g x 关于3(,0)2对称，因为其定义域为R ，所以302g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，结合()g x 关于2x =对称，从而周期34222T ⎛⎫=⨯−= ⎪⎝⎭，所以13022g g ⎛⎫⎛⎫−== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()112g g g −==−，故B 正确，D 错误；若函数()f x 满足题设条件，则函数()f x C +（C 为常数）也满足题设条件，所以无法确定()f x 的函数值，故A 错误．故选：BC ．[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法．由方法一知()g x 周期为2，关于2x =对称，故可设()()cos πg x x =，则()()1sin ππf x x c =+，显然A ，D 错误，选BC ．故选：BC ．[方法三]： 因为322f x ⎛⎫− ⎪⎝⎭，(2)g x +均为偶函数， 所以332222f x f x ⎛⎫⎛⎫−=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即3322f x f x ⎛⎫⎛⎫−=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(2)(2)g x g x +=−， 所以()()3f x f x −=，(4)()g x g x −=，则(1)(4)f f −=，故C 正确；函数()f x ，()g x 的图象分别关于直线3,22x x ==对称， 又()()g x f x '=，且函数()f x 可导， 所以()()30,32g g x g x ⎛⎫=−=− ⎪⎝⎭， 所以()(4)()3g x g x g x −==−−，所以()(2)(1)g x g x g x +=−+=， 所以13022g g ⎛⎫⎛⎫−== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()112g g g −==−，故B 正确，D 错误； 若函数()f x 满足题设条件，则函数()f x C +（C 为常数）也满足题设条件，所以无法确定()f x 的函数值，故A 错误．故选：BC ．【整体点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的通性通法；方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解．4．（2022·全国·统考高考真题）若()1ln 1f x a b x++−=是奇函数，则=a _____，b =______． 【答案】 12−； ln 2． 【解析】[方法一]：奇函数定义域的对称性若0a =，则()f x 的定义域为{|1}x x ≠，不关于原点对称0a ∴≠ 若奇函数的1()||1f x ln a b x =++−有意义，则1x ≠且101a x+≠− 1x ∴≠且11x a ≠+， 函数()f x 为奇函数，定义域关于原点对称，111a ∴+=−，解得12a =−， 由(0)0f =得，102ln b +=，2b ln ∴=， 故答案为：12−；2ln ． [方法二]：函数的奇偶性求参111()111a ax ax a f x ln a b ln b ln b x x x−+−−=++=+=+−−− 1()1ax a f x ln b x++−=++ 函数()f x 为奇函数11()()2011ax a ax a f x f x ln ln b x x−−++∴+−=++=−+ 2222(1)201a x a lnb x −+∴+=− 22(1)1210112a a a a +∴=⇒+=⇒=− 1222241,22b ln b ln a b ln ln −==−⇒=∴=−= [方法三]：因为函数()1ln 1f x a b x ++−=为奇函数，所以其定义域关于原点对称． 由101a x+≠−可得，()()110x a ax −+−≠，所以11a x a +==−，解得：12a =−，即函数的定义域为()()(),11,11,−∞−⋃−⋃+∞，再由()00f =可得，ln 2b =．即()111ln ln 2ln 211x f x x x +=−++=−−，在定义域内满足()()f x f x −=−，符合题意． 故答案为：12−；ln 2． 本课结束。

高中数学：函数单调性和奇偶性的综合练习及答案1.下列函数中，既是偶函数又在$(0,+\infty)$上单调递增的函数是（）A。

$y=x^3$B。

$y=|x|+1$C。

$y=-x^2+1$D。

$y=2-|x|$2.已知函数$f(x)=x^2+|x|$A。

是偶函数，在$(-\infty,+\infty)$上是增函数B。

是偶函数，在$(-\infty,+\infty)$上是减函数C。

不是偶函数，在$(-\infty,+\infty)$上是增函数D。

是偶函数，且在$(0,+\infty)$上是增函数3.已知函数$f(x)=3x-(x\neq 0)$，则函数（）A。

是奇函数，且在$(0,+\infty)$上是减函数B。

是偶函数，且在$(0,+\infty)$上是减函数C。

是奇函数，且在$(0,+\infty)$上是增函数D。

是偶函数，且在$(0,+\infty)$上是增函数4.定义在$\mathbb{R}$上偶函数$f(x)$在$[1,2]$上是增函数，且具有性质$f(1+x)=f(1-x)$，则函数$f(x)$A。

在$[-1,0]$上是增函数B。

在$[-1,0]$上增函数，在$(-\infty,0]$上是减函数C。

在$[1,0]$上是减函数D。

在$[-1,0]$上是减函数，在$(-\infty,0]$上是增函数5.$f(x)$是定义在$\mathbb{R}$上的增函数，则下列结论一定正确的是（）A。

$f(x)+f(-x)$是偶函数且是增函数B。

$f(x)+f(-x)$是偶函数且是减函数C。

$f(x)-f(-x)$是奇函数且是增函数D。

$f(x)-f(-x)$是奇函数且是减函数6.已知偶函数$f(x)$在区间$[0,+\infty)$上的解析式为$f(x)=x+1$，下列大小关系正确的是（）A。

$f(1)>f(2)$B。

$f(1)>f(-2)$C。

$f(-1)>f(-2)$D。

$f(-1)<f(2)$7.已知$f(x)$是偶函数，对任意的$x_1,x_2\in(-\infty,-1]$，都有$(x_2-x_1)[f(x_2)-f(x_1)]<0$，则下列关系式中成立的是（）A。

函数的单调性一、单选题1．函数()f x = ）A ．(,1]-∞B ．[3,)+∞C ．(,1]-∞-D ．[1,)+∞2．已知2(2)ln f x xx -=-，则()f x 的单调增区间为（ ） A ．(2,)-+∞B ．(2,0)-C ．(0,)+∞D ．(0,2)3．函数213()log (6)f x x x =--的单调递增区间是（ ） A ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦D ． 13,2⎛⎤--⎥⎝⎦4．已知()y f x =在区间I 上是严格增函数，且12,x x I ∈，则12x x <是()()12f x f x ≤（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件5．设函数()ln 31ln 31f x x x =++-，则()f x （ ） A ．是偶函数，且在1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭单调递增B ．是奇函数，且在11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减C ．是偶函数，且在1,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭单调递增 D ．是奇函数，且在1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭单调递减6．设函数()11xa f xb a -=+-（0a >，1a ≠），则函数()f x 的单调性（ ） A ．与a 有关，且与b 有关 B ．与a 无关，且与b 有关C ．与a 有关，且与b 无关D ．与a 无关，且与b 无关7．定义在R 上的奇函数()f x 在[0,)+∞是减函数，且(2)1f -=，则满足1(2)1f x -≤-≤的x 的取值范围是（ ） A ．[-2,2]B ．[-2,1]C ．[1,3]-D ．[0,4]8．若2222log log 41a a a b b b -+=-++，则（ ）A ．2a b >B ．2a b <C ．21a b >+D ．21b a >+9．已知()(0)1x x f x =>+，则()f x 的最小值是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．810．已知函数()()22log 14f x x x =+≤≤，则函数()()22y f x f x =+⎡⎤⎣⎦的最大值为（ ） A ．6 B ．13 C ．22 D ．3311．已知x ，y ∈R ，且x y >，则下列说法是正确的是（ ）A ．11x y<B ．--+<+x yy x e e e e C ．11022x y⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．22x y >12．已知函数()f x 在R 上是减函数，且满足()()f x f x -=-，若31log 10a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()3log 9.1b f =，()0.82c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．b a c >>D ．c a b >>13．已知函数f (x )=221,143,1x x x x x ⎧-+<⎨-+≥⎩，在(0,3)a -上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[3，4]B ．[3，5]C ．(3，4]D ．(]3,514．已知()cos2sin f x x a x =-在区间,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[2,)-+∞ B ．(2,)-+∞C ．(,4)-∞-D ．(,4]-∞-二、填空题15．函数243y x x =-++，[]0,3x ∈的单调递增区间是_____．16．已知函数()f x 的定义域为R ，对任意实数,x y 满足：()()()12f x y f x f y +=++，且102f ⎛⎫=⎪⎝⎭，当12x >时，()0f x >.给出以下结论:①()102f =-;②()312f -=-;③()f x 为R 上的减函数;④()12f x +为奇函数;⑤()1f x +为偶函数.其中正确结论的序号是________.17．设()21,0f x x x =⎨--<⎩，0.50.7a -=，0.5log 0.7b =，0.7log 5c =，则比较()f a ，f b ，()f c 的大小关系_______.18．若函数()22()log 3f x x ax =++在区间(3,)+∞上单调递增，实数a 的取值范围是________． 三、解答题19．已知函数()21xf x x=+，[]1,1x ∈-. （1）用单调性的定义证明函数()y f x =在区间[]1,1-上是单调递增； （2）求关于x 的不等式()()1f x f x -<的解集.20．已知函数2()f x x bx c =-+满足(1)(1)f x f x +=-，且(0)3f =，比较()x f b 与()x f c 的大小关系21．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()2f x x x =-+． （1）求0x <时，函数()f x 的解析式；（2）若函数()f x 在区间[1,2]a --上单调递增，求实数a 的取值范围． （3）解不等式()2f x x ≥+．22．定义在()0,∞+上的函数()f x 对于任意的*,x y R ∈，总有()()()f x f y f xy +=，且当1x >时，()0f x <且()1f e =-． （1）求()1f 的值；（2）判断函数在()0,∞+上的单调性，并证明；（3）求函数()f x 在21,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值．答案解析1.【解析】由题意，可得2230x x --≥，解得1x ≤-或3x ≥，所以函数()f x =(][),13,-∞-⋃+∞，二次函数223y x x =--的对称轴为1x =，且在(][),13,-∞-⋃+∞上的单调递增区间为[3,)+∞，根据复合函数的单调性，可知函数()f x =[3,)+∞.故选：B.2.【解析】因为对数函数ln y x =在()0,∞+上是增函数，反比例函数2y x=-在()0,∞+上也是增函数， 所以2ln y x x=-在定义域()0,∞+上单调递增； 又()f x 是由(2)f x -向左平移两个单位得到，所以()f x 的单调增区间为(2,)-+∞.故选：A. 3.【解析】由题意知()f x 的定义域为()3,2-．令26t x x =--+， 则函数t 在13,2⎛⎤-- ⎥⎝⎦上递增在1,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上递减．又13log y =在其定义域上递减．故由复合函数的单调性知原函数的递增区间是1,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，故选：B 4.【解析】由()y f x =在区间I 上是严格增函数， ∴12,x x I ∈，12x x <时，2121()()0f x f x x x ->-，∴21()()0f x f x ->，即21()()f x f x >，故12x x <是()()12f x f x ≤充分非必要条件.故选：A.5.【解析】由310310x x ⎧+>⎪⎨->⎪⎩得：13x ≠±，()f x ∴定义域为1111,,,3333⎛⎫⎛⎫⎛⎫-∞--+∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； 又()()ln 31ln 31ln 31ln 31f x x x x x f x -=-++--=-++=，()f x ∴为定义域内的偶函数，可排除BD ；当1,3x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时，()()()()2ln 31ln 31ln 91f x x x x =--+-+=-，291t x =-在1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，ln y t =单调递增，()f x ∴在1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，可排除A ；()f x 为偶函数且在1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，()f x ∴在1,3⎛+∞⎫⎪⎝⎭上单调递增，C 正确.故选：C.6.【解析】函数()11x a f x b a -=+-（0a >，1a ≠）， 当01a <<时，()11xa f xb a -=+-单调递减. 当1a >时，()11xa f xb a -=+-单调递减. 则0a >且1a ≠，b R ∈，()11xa f xb a -=+-的单调性都为单调递减. 所以函数()11xa f xb a -=+-（0a >，1a ≠）的单调性与a b ，无关.故选：D 7.【解析】因为函数()f x 在R 上的奇函数，且(2)1f -=，所以()2(2)1f f =--=-， 又因为()f x 在[0,)+∞是减函数，所以()f x 在R 上是减函数，因为1(2)1f x -≤-≤， 所以()()21(2)12f f x f =-≤-≤=-，则222x -≤-≤，解得04x ≤≤，故选：D 8.【解析】根据题意，可知，0a >，0b >，∵22log 41b b b -++()22log 1(2)b b b =+-+()222log log 22(2)b b b b =+-++22log (2)2(2)b b b b -=++，∴222222log log (2)2(2)log (2)2(2)a a a b b b b b b b -+=-++>-+，令()()22()lo ,g 0f x x x xx =-∈++∞，即()()2f a f b >，∵211ln 2(2ln 2)()12ln 2ln 2x x f x x x x -⋅+⋅'=-+=⋅⋅， 令2()(2ln 2)ln 21g x x x =⋅-⋅+，∵0ln 21<<， ∴2(ln 2)8ln 2ln 2(ln 28)0∆=-=⋅-<，即对于任意的x ，恒有()0()0g x f x '>⇒>，∴()f x 在()0,∞+上单调递增， ∴2a b >.故选：A.9.【解析】令1,(0)t x x =+>，所以()1,1x t t =->;所以()236(0)1x x x x f x ++=>+转化为()()()231116t t y t t-+-+>=； 即()()()21316411y t t t t tt =++-+-+=>,又函数y 在()1,2上单调递减，在区间()2,+∞上单调递增， 所以当2t =时，y 取到最小值，最小值为5； 即当1x =时，()f x 取到最小值，最小值为5. 故选：B. 10.【解析】()22log f x x =+，22222[()]()(log )6log 6y f x f x x x ∴=+=++，14x ≤≤，∴21414x x ⎧⎨⎩， 22222[()]()(log )6log 6y f x f x x x ∴=+=++，的定义域是{}|12x x ．令2log x t =，因为12x ，所以01t ，则上式变为266y t t =++，01t ，266y t t =++在[]0,1上是增函数，当1t =时，y 取最大值13，故选：B ．11.【解析】A ：当2x =，3y =-时，11x y>，∴A 错误， B ：设x x y e e -=-，则函数为R 上的增函数，∵x y >，∴x x y y e e e e --->-，即y x y x e e e e --+>+，∴B 错误.C ：∵12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭为R 上的减函数，x y >，∴1122x y ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即11022x y⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴C 正确，D ：当2x =，3y =-时，22x y <，∴D 错误. 故选：C .12.【解析】33331log log 10log 9.1log 9210-=>>=，0.822<， 即：0.8331log log 9.1210->>，又()f x 是定义在R 上的减函数， ()()0.8331log log 9.1210f f f ⎛⎫∴-<< ⎪⎝⎭又()f x 为奇函数，3311log log 1010f f⎛⎫⎛⎫∴-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()0.8331log log 9.1210f f f ⎛⎫∴-<< ⎪⎝⎭，即：c b a >>. 13.【解析】函数221,1()43,1x x f x x x x ⎧-+<=⎨-+≥⎩，画出函数()f x 的大致图象，如图所示：函数()f x 在(0,3)a -上单调递减，∴由图象可知：032a <-≤，解得：35a <≤， 故实数a 的取值范围是：(]3,5.故选：D.14.【解析】()cos2sin f x x a x =- =22sin 1x asinx --+， 令sinx t =，由,62x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，可得1,12t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则： ()cos2sin f x x a x =-在区间,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数，等价于221y t at =--+在1,12⎛⎫⎪⎝⎭是增函数，只需对称轴：14a -≥，解得4a ≤-.故选：D.15.【解析】243y x x =-++的图象开口向下，又243y x x =-++的对称轴为42(1)2x =-=-⨯，()f x ∴的单调递增区间是[]0,2.16.【解析】由题意和,x y 的任意性，取0x y ==代入()()()12f x y f x f y +=++， 可得()()()01020=++f f f ，即1(0)2f =-，故①正确； 取12x =， 12y 代入可得()1110222⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f f f ，即1110222⎛⎫-=+-+ ⎪⎝⎭f ，解得112⎛⎫-=- ⎪⎝⎭f ； 再令12x y ==-代入可得()111122232122⎛⎫⎛⎫=-+-+=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭-⎝⎭f f f ，故②正确；令y x =-代入可得11(0)()()22-==+-+f f x f x ，即11()()022++-+=f x f x ，故1()2+f x 为奇函数，④正确；取1y =-代入可得()()()1112-=+-+f x f x f ，即()()()111102---=+=-<f x f x f ，即()()1f x f x -<，故()f x 为R 上减函数，③错误；⑤错误，因为11()1()22+=++f x f x ，由④可知1()()2=+g x f x 为奇函数，故11()()2()22-+--=-g x g x g x 不恒为0，故函数()1f x +不是偶函数.故答案为：①②④17.【解析】当0x ≥时，()11f x x =+≥，且()f x 在[)0,+∞上单调递增， 当0x <时，()211f x x =--<-，且()f x 在(),0-∞上单调递增，()f x ∴为R 上的增函数，又()()00.50.70.70.50.50.5log 5log 10log 1log 0.7log 0.510.70.7-<==<<==<，即c b a <<，()()()f a f b f c ∴>>18.【解析】设2log u x =，则其在区间(0,)+∞上单调递增； 设23v x ax =++，其开口向上，对称轴为直线2a x =-；在区间(,)2a-∞-上单调递减、在区间(,)2a-+∞上单调递增. 由复合函数的单调性知当内外层函数的单调性都为单调递增时，复合函数才单调递增. 所以要使函数()22()log 3f x x ax =++在区间(3,)+∞上单调递增，则需32a-≤， 同时还得保证其真数大于0，即令：2(3)3330v a =++≥，解得4a ≥-. 故答案为：[)4,-+∞.19.【解析】（1）令1211x x ，则()()()()()()()()22221221121212121222222212121211()()111111x x x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x +-+-+--=-==++++++()()()()12122212111x x x x x x --=++，∵22121211,(1)(1)0x x x x -≤<≤++>，1210x x ->，∴12())0(f x f x -<，故函数()y f x =在区间[]1,1-上是单调递增； （2）由（1）结论，及()()1f x f x -<知：111111x xx x -<⎧⎪-≤-≤⎨⎪-≤≤⎩，解得112x <≤.因此，不等式()()1f x f x -<的解集为112x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭.20.【解析】∵(1)(1)f x f x +=-，∴函数()f x 的对称轴是1x =．故2b =，又(0)3f =，∴3c =．∴函数()f x 在(]1-∞，上递减，在[)1+∞，上递增．若0x ≥，则321x x ≥≥， ∴(3)(2)x x f f ≥；若0x <，则321x x <<，∴(3)(2)x x f f >．综上可得(3)(2)x x f f ≥，即()()x x f c f b ≥．21.【解析】（1）设0x <，则0x ->，所以22()()2()2f x x x x x -=--+-=--又()f x 为奇函数，所以()()f x f x =--， 所以当0x <时，2()2f x x x =+，（2）作出函数()f x 的图像，如图所示：要使()f x 在[1,2]a --上单调递增，结合()f x 的图象知2121a a ->-⎧⎨-≤⎩，所以13a <≤，所以a 的取值范围是(1,3].（3）由（1）知222,0()2,0x x x f x x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，解不等式()2f x x ≥+，等价于2022x x x x ≥⎧⎨-+≥+⎩或2022x x x x <⎧⎨+≥+⎩，解得：∅或2x -≤ 综上可知，不等式的解集为(],2-∞-22.【解析】（1）令1x y ==，()()()()11110f f f f +=⇒=． （2）()f x 在()0,∞+单调递减，设120x x >>，令1xy x =，2x x =，则12x y x =，所以1y >，()0f y <， 得()()()()211112220⎛⎫⎛⎫+=⇒-=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x f f x f x x x f x f x x ， 即对任意()12,0,x x ∈+∞，若12x x >，则()()12f x f x <，()f x 在()0,∞+单调递减．（3）因为()1f e =-，令x y e ==，()()()22=+=-f e f e f e ， 令x e =，1y e =，()()110⎛⎫=+= ⎪⎝⎭f f e f e ，11f e ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 因为函数单调递减，所以()max 11⎛⎫== ⎪⎝⎭f x f e ，()()2min 2==-f x f e ．。

利用导数研究函数的单调性[A 组 基础保分练]1．已知函数f (x )＝x ln x ，则f (x )( )A ．在(0，＋∞)上单调递增B ．在(0，＋∞)上单调递减C ．在⎝⎛⎭⎫0，1e 上单调递增 D ．在⎝⎛⎭⎫0，1e 上单调递减 解析：因为函数f (x )＝x ln x ，定义域为(0，＋∞)，所以f ′(x )＝ln x ＋1(x ＞0)，当f ′(x )＞0时，解得x ＞1e，即函数的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞； 当f ′(x )＜0时，解得0＜x ＜1e， 即函数的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫0，1e . 答案：D2.已知定义在R 上的函数f (x )，其导函数f ′(x )的大致图像如图所示，则下列叙述正确的是( )A ．f (b )＞f (c )＞f (d )B ．f (b )＞f (a )＞f (e )C ．f (c )＞f (b )＞f (a )D ．f (c )＞f (e )＞f (d )解析：由题意得，当x ∈(－∞，c )时，f ′(x )＞0，所以函数f (x )在(－∞，c )上是增函数， 因为a ＜b ＜c ，所以f (c )＞f (b )＞f (a )．答案：C3．(2021·江西红色七校第一次联考)若函数f (x )＝2x 3－3mx 2＋6x 在区间(1，＋∞)上为增函数，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．(－∞，1)C ．(－∞，2]D ．(－∞，2)解析：f ′(x )＝6x 2－6mx ＋6，由已知条件知x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )≥0恒成立．设g (x )＝6x 2－6mx ＋6，则g (x )≥0在(1，＋∞)上恒成立．当Δ＝36(m 2－4)≤0，即－2≤m ≤2时，满足g (x )≥0在(1，＋∞)上恒成立；当Δ＝36(m 2－4)>0，即m <－2或m >2时，则需⎩⎪⎨⎪⎧m 2≤1，g （1）＝6－6m ＋6≥0，解得m ≤2，所以m <－2.综上得m ≤2，所以实数m 的取值范围是(－∞，2]．答案：C4．(2021·襄阳模拟)已知定义在R 上的可导函数f (x )的导函数y ＝f ′(x )，满足f ′(x )＜f (x )，f (0)＝1，则不等式f (x )＜e x 的解集为( )A ．(0，＋∞) B.(1，＋∞)C ．(－2，＋∞)D ．(4，＋∞)解析：令F (x )＝f （x ）e x ，则F (0)＝1，F ′(x )＝f ′（x ）e x －f （x ）e x e 2x ＝f ′（x ）－f （x ）e x＜0，故F (x )为R 上的减函数，有f (x )＜e x 等价于F (x )＜1，即F (x )＜F (0)．故不等式f (x )＜e x 的解集为(0，＋∞)．答案：A5．(2021·贵港模拟)若函数f (x )＝kx －2ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，－2] B.(－∞，－1]C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：因为f (x )＝kx －2ln x ，所以f ′(x )＝k －2x.因为f (x )在区间(1，＋∞)上单调递增，所以在区间(1，＋∞)上f ′(x )＝k －2x ≥0恒成立，即k ≥2x 恒成立，当x ∈(1，＋∞)时，0＜2x＜2，所以k ≥2. 答案：D6．已知定义在区间(－π，π)上的函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (x )的单调递增区间是________． 解析：f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x ，令f ′(x )＝x cos x ＞0，则其在区间(－π，π)上的解集为⎝⎛⎭⎫－π，－π2和⎝⎛⎭⎫0，π2，即f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－π，－π2和⎝⎛⎭⎫0，π2. 答案：⎝⎛⎭⎫－π，－π2和⎝⎛⎭⎫0，π2 7．若函数f (x )的定义域为R ，且满足f (2)＝2，f ′(x )＞1，则不等式f (x )－x ＞0的解集为________． 解析：令g (x )＝f (x )－x ，所以g ′(x )＝f ′(x )－1.由题意知g ′(x )＞0，所以g (x )为增函数．因为g (2)＝f (2)－2＝0，所以g (x )＞0的解集为(2，＋∞)．答案：(2，＋∞)8．求下列函数的单调区间：(1)f (x )＝12(x －5)2＋6ln x ； (2)f (x )＝x cos x －sin x ＋1(x ＞0)．解析：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝x －5＋6x ＝（x －2）（x －3）x. 令f ′(x )＝0，解得x 1＝2，x 2＝3.当0＜x ＜2或x ＞3时，f ′(x )＞0，故f (x )在(0，2)，(3，＋∞)上为增函数；当2＜x ＜3时，f ′(x )＜0，故f (x )在(2，3)上为减函数．所以函数f (x )的单调递增区间为(0，2)，(3，＋∞)；单调递减区间为(2，3)．(2)f ′(x )＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x .令f ′(x )＝0，得x ＝k π(k ∈N )．当x ∈(2k π，(2k ＋1)π)(k ∈N )时，sin x ＞0，此时f ′(x )＜0；当x ∈((2k ＋1)π，(2k ＋2)π)(k ∈N )时，sin x ＜0，此时f ′(x )＞0.故f (x )的单调递减区间为(2k π，(2k ＋1)π)(k ∈N )，单调递增区间为((2k ＋1)π，(2k ＋2)π)(k ∈N )．9．已知函数f (x )＝ln x ＋k e x(k 为常数，e 是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行．(1)求k 的值；(2)求f (x )的单调区间．解析：(1)由题意得f ′(x )＝1x －ln x －k e x，又因为f ′(1)＝1－k e＝0，故k ＝1. (2)由(1)知，f ′(x )＝1x －ln x －1e x， 设h (x )＝1x－ln x －1(x ＞0)， 则h ′(x )＝－1x 2－1x＜0， 即h (x )在(0，＋∞)上是减函数．由h (1)＝0知，当0＜x ＜1时，h (x )＞0，从而f ′(x )＞0；当x ＞1时，h (x )＜0，从而f ′(x )＜0.综上可知，f (x )的单调递增区间是(0，1)，单调递减区间是(1，＋∞)．[B 组 能力提升练]1．函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )＞2，则f (x )＞2x ＋4的解集为( )A ．(－1，1) B.(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞)解析：由f (x )＞2x ＋4，得f (x )－2x －4＞0.设F (x )＝f (x )－2x －4，则F ′(x )＝f ′(x )－2.因为f ′(x )＞2，所以F ′(x )＞0在R 上恒成立，所以F (x )在R 上单调递增，而F (－1)＝f (－1)－2×(－1)－4＝2＋2－4＝0，故不等式f (x )－2x －4＞0等价于F (x )＞F (－1)，所以x ＞－1.答案：B2．(2021·益阳模拟)定义在⎝⎛⎭⎫0，π2上的函数f (x )，f ′(x )是它的导函数，恒有f ′(x )＞f (x )tan x 成立，则有( ) A.3f ⎝⎛⎭⎫π6＜f ⎝⎛⎭⎫π3 B.3f ⎝⎛⎭⎫π6＞2cos 1·f (1)C ．2f ⎝⎛⎭⎫π4＜6f ⎝⎛⎭⎫π6 D.2f ⎝⎛⎭⎫π4＞f ⎝⎛⎭⎫π3解析：由于f ′(x )＞f (x )tan x 且x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则f ′(x )cos x －f (x )sin x ＞0.设g (x )＝f (x )cos x ，则g ′(x )＝f ′(x )cos x －f (x )sin x ＞0，所以g (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上是增函数，所以g ⎝⎛⎭⎫π3＞g ⎝⎛⎭⎫π6，即f ⎝⎛⎭⎫π3cos π3＞f ⎝⎛⎭⎫π6cos π6，即f ⎝⎛⎭⎫π3＞3f ⎝⎛⎭⎫π6.故A 正确．同理可得B ，C ，D 错误． 答案：A3．(2021·长沙模拟)若函数f (x )＝(2x 2－mx ＋4)e x 在区间[2，3]上不是单调函数，则实数m 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤203，172B.⎝⎛⎭⎫203，172 C.⎣⎡⎦⎤5，203 D.⎝⎛⎭⎫5，203 解析：因为f (x )＝(2x 2－mx ＋4)e x ，所以f ′(x )＝[2x 2＋(4－m )x ＋4－m ]e x ，因为函数f (x )在区间[2，3]上不是单调函数，所以f ′(x )＝0在区间(2，3)上有根，即2x 2＋(4－m )x ＋4－m ＝0在区间(2，3)上有根，所以m ＝2x 2＋4x ＋4x ＋1在区间(2，3)上有根，令t ＝x ＋1，则x ＝t －1，t ∈(3，4)，所以m ＝2（t －1）2＋4（t －1）＋4t ＝2t 2＋2t ＝2(t ＋1t)在t ∈(3，4)上有根，从而求得m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫203，172.答案：B4．(2021·遵义模拟)已知函数f (x )＝x －(e －1)·ln x ，则不等式f (e x )＜1的解集为( )A ．(0，1) B.(1，＋∞)C ．(0，e)D ．(e ，＋∞)解析：f ′(x )＝1－(e －1)1x ＝x －（e －1）x(x ＞0)．当x ∈(0，e －1)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当x ∈(e －1，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增．因为f (1)＝f (e)＝1，所以f (x )＜1的解集为(1，e)，即不等式1＜e x ＜e ，解得0＜x ＜1，即不等式f (e x )＜1的解集为(0，1)．答案：A5．(2021·安庆模拟)若函数f (x )＝13x 3－32x 2＋ax ＋4恰在[－1，4]上单调递减，则实数a 的值为________．解析：∵f (x )＝13x 3－32x 2＋ax ＋4，∴f ′(x )＝x 2－3x ＋a .又函数f (x )恰在[－1，4]上单调递减，∴－1，4是f ′(x )＝0的两根，∴a ＝－1×4＝－4.答案：－46．(2021·洛阳模拟)已知函数f (x )＝1－x ax＋ln x . (1)若函数f (x )在[1，＋∞)上为增函数，求正实数a 的取值范围；(2)讨论函数f (x )的单调性．解析：(1)∵f (x )＝1－x ax ＋ln x ，∴f ′(x )＝ax －1ax 2(a ＞0)． ∵函数f (x )在[1，＋∞)上为增函数，∴f ′(x )＝ax －1ax 2≥0对x ∈[1，＋∞)恒成立， ∴ax －1≥0对x ∈[1，＋∞)恒成立，即a ≥1x对x ∈[1，＋∞)恒成立，∴a ≥1. (2)∵a ≠0，f ′(x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －1a ax 2＝x －1a x 2，x ＞0， 当a ＜0时，f ′(x )＞0对x ∈(0，＋∞)恒成立，∴f (x )的增区间为(0，＋∞)．当a ＞0时，f ′(x )＞0⇒x ＞1a ，f ′(x )＜0⇒x ＜1a， ∴f (x )的增区间为⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞，减区间为⎝⎛⎭⎫0，1a . 7．已知函数f (x )＝(ax －1)e x ，a ∈R .(1)讨论f (x )的单调区间；(2)当m ＞n ＞0时，证明：m e n ＋n ＜n e m ＋m .解析：(1)f (x )的定义域为R ，且f ′(x )＝(ax ＋a －1)e x .①当a ＝0时，f ′(x )＝－e x ＜0，此时f (x )的单调递减区间为(－∞，＋∞)．②当a ＞0时，由f ′(x )＞0，得x ＞－a －1a； 由f ′(x )＜0，得x ＜－a －1a. 此时f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－∞，－a －1a ，单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－a －1a ，＋∞. ③当a ＜0时，由f ′(x )＞0，得x ＜－a －1a； 由f ′(x )＜0，得x ＞－a －1a.此时f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－a －1a ，＋∞，单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，－a －1a . (2)证明：当m ＞n ＞0时，要证m e n ＋n ＜n e m ＋m ，只要证m (e n －1)＜n (e m －1)，即证e m －1m ＞e n －1n. 设g (x )＝e x －1x，x ＞0， 则g ′(x )＝（x －1）e x ＋1x 2，x ＞0. 设h (x )＝(x －1)e x ＋1，由(1)知h (x )在[0，＋∞)上单调递增，所以当x ＞0时，h (x )＞h (0)＝0，于是g ′(x )＞0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以当m ＞n ＞0时，e m －1m ＞e n －1n式成立，故当m ＞n ＞0时，m e n ＋n ＜n e m ＋m .[C 组 创新应用练]1．(2021·长春模拟)已知函数f (x )是定义在R 上的函数，且满足f ′(x )＋f (x )＞0，其中f ′(x )为f (x )的导数，设a ＝f (0)，b ＝2f (ln 2)，c ＝e f (1)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c ＞b ＞a B.a ＞b ＞cC ．c ＞a ＞bD ．b ＞c ＞a解析：令g (x )＝e x f (x )，则g ′(x )＝e x [f (x )＋f ′(x )]＞0，所以函数g (x )在定义域R 上单调递增，从而g (0)＜g (ln 2)＜g (1)，得f (0)＜2f (ln 2)＜e f (1)，即a ＜b ＜c .答案：A2．(2021·商丘模拟)设f (x )，g (x )是定义在R 上的恒大于0的可导函数，且f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )＜0，则当a ＜x ＜b 时，有( )A ．f (x )g (x )＞f (b )g (b )B ．f (x )g (a )＞f (a )g (x )C ．f (x )g (b )＞f (b )g (x )D ．f (x )g (x )＞f (a )g (a )解析：令F (x )＝f （x ）g （x ），则F ′(x )＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2＜0，所以F (x )在R 上单调递减．又a ＜x ＜b ，所以f （a ）g （a ）＞f （x ）g （x ）＞f （b ）g （b ）.又f (x )＞0，g (x )＞0，所以f (x )g (b )＞f (b )g (x )． 答案：C3．已知f (x )为R 上的可导函数，且任意x ∈R ，均有f ′(x )＜2f (x )，则有( )A ．e 4 034f (－2 017)＜f (0)，f (2 017)＞e 4 034f (0)B ．e 4 034f (－2 017)＜f (0)，f (2 017)＜e 4 034f (0)C ．e 4 034f (－2 017)＞f (0)，f (2 017)＞e 4 034f (0)D ．e 4 034f (－2 017)＞f (0)，f (2 017)＜e 4 034f (0)解析：构造函数g (x )＝f （x ）e 2x ，g ′(x )＝f ′（x ）－2f （x ）e 2x，因为f ′(x )＜2f (x )，所以g ′(x )＜0，即g (x )在R 上单调递减，所以g (－2 017)＞g (0)．所以f （－2 017）e－4 034＞f （0）e 0.所以e 4 034f (－2 017)＞f (0)，同理得g (2 017)＜g (0)，所以f （2 017）e 4 034＜f （0）e 0.所以f (2 017)＜e 4 034f (0)． 答案：D利用导数研究函数的极值与最值[A 组 基础保分练]1．函数y ＝x e x 在[0，2]上的最大值是( ) A.1e B.2e 2 C ．0 D.12e解析：易知y ′＝1－x ex ，x ∈[0，2]，令y ′＞0，得0≤x ＜1，令y ′＜0，得1＜x ≤2，所以函数y ＝x e x 在[0，1]上单调递增，在(1，2]上单调递减，所以y ＝x e x 在[0，2]上的最大值是1e. 答案：A2．(2021·沈阳模拟)设函数f (x )＝x e x ＋1，则( )A ．x ＝1为f (x )的极大值点B ．x ＝1为f (x )的极小值点C ．x ＝－1为f (x )的极大值点D ．x ＝－1为f (x )的极小值点解析：由f (x )＝x e x ＋1，可得f ′(x )＝(x ＋1)e x ，令f ′(x )＞0可得x ＞－1，即函数f (x )在(－1，＋∞)上是增函数；令f ′(x )＜0可得x ＜－1，即函数f (x )在(－∞，－1)上是减函数，所以x ＝－1为f (x )的极小值点．答案：D3．(2021·肇庆模拟)已知x ＝1是f (x )＝[x 2－(a ＋3)x ＋2a ＋3]e x 的极小值点，则实数a 的取值范围是( )A ．(1，＋∞) B.(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，1)解析：依题意f ′(x )＝(x －a )(x －1)e x ，它的两个零点分别为x ＝1，x ＝a ，若x ＝1是函数f (x )的极小值点，则需a ＜1，此时函数f (x )在(a ，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，在x ＝1处取得极小值．答案：D4.若函数f (x )＝（2－m ）x x 2＋m的图像如图所示，则m 的取值范围为( )A ．(－∞，－1)B ．(－1，2)C ．(0，2)D ．(1，2)解析：f ′(x )＝（x 2－m ）（m －2）（x 2＋m ）2＝（x －m ）（x ＋m ）（m －2）（x 2＋m ）2，由函数图像的单调性及有两个极值点可知m －2＜0且m ＞0，故0＜m ＜2.又由题图易得m ＞1，即m ＞1.故1＜m ＜2.答案：D5．已知不等式x sin x ＋cos x ≤a 对任意的x ∈[0，π]恒成立，则整数a 的最小值为( )A ．2 B.1C ．0D ．－1解析：令f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x ，令f ′(x )＝0，则在(0，π)上x ＝π2.当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，当x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，又f (0)＝1，f ⎝⎛⎭⎫π2＝π2，f (π)＝－1，所以当x ＝π2时，f (x )取得最大值，即f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫π2＝π2，所以a ≥π2，即整数a 的最小值为2.答案：A6．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，若x ＝－3是函数f (x )的一个极值点，则实数a ＝________． 解析：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3.由题意知，x ＝－3是方程f ′(x )＝0的根，所以3×(－3)2＋2a ×(－3)＋3＝0，解得a ＝5.经检验，当a ＝5时，f (x )在x ＝－3处取得极值．答案：57.函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的大致图像如图所示，则x 21＋x 22＝________．解析：函数f (x )的图像过原点，所以d ＝0.又f (－1)＝0且f (2)＝0，即－1＋b －c ＝0且8＋4b ＋2c ＝0，解得b ＝－1，c ＝－2，所以函数f (x )＝x 3－x 2－2x ，所以f ′(x )＝3x 2－2x －2，由题意知x 1，x 2是函数的极值点，所以x 1，x 2是f ′(x )＝0的两个根，所以x 1＋x 2＝23，x 1x 2＝－23，所以x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝49＋43＝169. 答案：1698．已知函数f (x )＝sin x －a 2x 2，若f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上有唯一极大值点，求实数a 的取值范围． 解析：由已知得f ′(x )＝cos x －ax ，当a ≤0时，f ′(x )≥0，∴f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递增，此时f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上不存在极值点；当a ＞0时，f ″(x )＝－sin x －a ＜0，∴f ′(x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递减，又f ′(0)＝1＞0，f ′⎝⎛⎭⎫π2＝－π2a ＜0，故存在唯一x 0∈⎝⎛⎭⎫0，π2使得x ∈(0，x 0)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，x ∈⎝⎛⎭⎫x 0，π2时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减．此时，x 0是函数f (x )的唯一极大值点，综上可得，实数a 的取值范围是(0，＋∞)．9．已知函数f (x )＝ln x －12ax 2＋x ，a ∈R . (1)当a ＝0时，求曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程；(2)令g (x )＝f (x )－(ax －1)，求函数g (x )的极值．解析：(1)当a ＝0时，f (x )＝ln x ＋x ，则f (1)＝1，所以切点为(1，1)，又f ′(x )＝1x＋1， 所以切线斜率k ＝f ′(1)＝2，故切线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.(2)g (x )＝f (x )－(ax －1)＝ln x －12ax 2＋(1－a )x ＋1， 则g ′(x )＝1x －ax ＋(1－a )＝－ax 2＋（1－a ）x ＋1x， 当a ≤0时，因为x ＞0，所以g ′(x )＞0.所以g (x )在(0，＋∞)上是增函数，函数g (x )无极值点．当a ＞0时，g ′(x )＝－ax 2＋（1－a ）x ＋1x＝－a ⎝⎛⎭⎫x －1a （x ＋1）x， 令g ′(x )＝0得x ＝1a. 所以当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时，g ′(x )＞0； 当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时，g ′(x )＜0.因为g (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上是增函数，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上是减函数． 所以x ＝1a 时，g (x )有极大值g ⎝⎛⎭⎫1a ＝ln 1a －a 2×1a 2＋(1－a )·1a ＋1＝12a－ln a . 综上，当a ≤0时，函数g (x )无极值；当a ＞0时，函数g (x )有极大值12a－ln a ，无极小值． [B 组 能力提升练]1. (2021·太原模拟)函数y ＝f (x )的导函数的图像如图所示，则下列说法错误的是( )A ．(－1，3)为函数y ＝f (x )的单调递增区间B ．(3，5)为函数y ＝f (x )的单调递减区间C ．函数y ＝f (x )在x ＝0处取得极大值D ．函数y ＝f (x )在x ＝5处取得极小值解析：由函数y ＝f (x )的导函数的图像可知，当x ＜－1或3＜x ＜5时，f ′(x )＜0，y ＝f (x )单调递减；当x ＞5或－1＜x ＜3时，f ′(x )＞0，y ＝f (x )单调递增，所以函数y ＝f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，5)，单调递增区间为(－1，3)，(5，＋∞)，函数y ＝f (x )在x ＝－1，5处取得极小值，在x ＝3处取得极大值，故选项C 错误．答案：C2．函数f (x )＝2x 3＋9x 2－2在[－4，2]上的最大值和最小值分别是( )A ．25，－2 B.50，14C ．50，－2D ．50，－14解析：因为f (x )＝2x 3＋9x 2－2，所以f ′(x )＝6x 2＋18x ，当x ∈[－4，－3)或x ∈(0，2]时，f ′(x )＞0，f (x )为增函数，当x ∈(－3，0)时，f ′(x )＜0，f (x )为减函数，由f (－4)＝14，f (－3)＝25，f (0)＝－2，f (2)＝50，故函数f (x )＝2x 3＋9x 2－2在[－4，2]上的最大值和最小值分别是50，－2. 答案：C3．若函数f (x )＝x 3－3x 在(a ，6－a 2)上有最小值，则实数a 的取值范围是( )A ．(－5，1) B.[－5，1)C ．[－2，1)D ．(－2，1)解析：由f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝±1，且x ＝－1为函数的极大值点，x ＝1为函数的极小值点．若函数f (x )在区间(a ，6－a 2)上有最小值，则函数f (x )的极小值点必在区间(a ，6－a 2)内，且左端点的函数值不小于f (1)，即实数a 满足⎩⎪⎨⎪⎧a ＜1＜6－a 2，f （a ）≥f （1），得⎩⎨⎧－5＜a ＜1，a 3－3a ＋2≥0，解得－2≤a ＜1. 答案：C4．函数f (x )＝x 2e x 在区间(a ，a ＋1)上存在极值点，则实数a 的取值范围是( )A ．(－3，－1)∪(0，2) B.(－3，－2)∪(－1，0)C ．(－2，－1)∪(0，3)D ．(－3，－2)∪(0，1)解析：函数f (x )＝x 2e x 的导数为f ′(x )＝2x e x ＋x 2e x ＝x e x (x ＋2)，令f ′(x )＝0，则x ＝0或x ＝－2.当x ∈(－2，0)时，f (x )单调递减，当x ∈(－∞，－2)和x ∈(0，＋∞)时，f (x )单调递增，所以0和－2是函数的极值点．因为函数f (x )＝x 2e x 在区间(a ，a ＋1)上存在极值点，所以a ＜－2＜a ＋1或a ＜0＜a ＋1⇒－3＜a ＜－2或－1＜a ＜0.答案：B5．若x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1的极值点，则a ＝________，f (x )的极小值为________．解析：因为f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1，所以f ′(x )＝(2x ＋a )e x －1＋(x 2＋ax －1)e x －1＝[x 2＋(a ＋2)x ＋a－1]·e x －1.因为x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1的极值点，所以－2是x 2＋(a ＋2)x ＋a －1＝0的根，所以a ＝－1，f ′(x )＝(x 2＋x －2)e x －1＝(x ＋2)(x －1)e x －1.令f ′(x )＞0，解得x ＜－2或x ＞1，令f ′(x )＜0，解得－2＜x ＜1，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以当x ＝1时，f (x )取得极小值，即f (x )极小值＝f (1)＝－1.答案：－1 －16．若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域的一个子区间(k －1，k ＋1)内存在最小值，则实数k 的取值范围是________．解析：因为f (x )的定义域为(0，＋∞)，又f ′(x )＝4x －1x， 由f ′(x )＝0，得x ＝12. 据题意有⎩⎪⎨⎪⎧k －1＜12＜k ＋1，k －1≥0，解得1≤k ＜32. 答案：⎣⎡⎭⎫1，32 7．设函数f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x .(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行，求a ；(2)若f (x )在x ＝2处取得极小值，求a 的取值范围．解析：(1)因为f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x ，所以f ′(x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x .f ′(1)＝(1－a )e.由题设知f ′(1)＝0，即(1－a )e ＝0，解得a ＝1.此时f (1)＝3e ≠0.所以a 的值为1.(2)由(1)得f ′(x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x ＝(ax －1)(x －2)e x .若a ＞12，则当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，2时，f ′(x )＜0； 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＞0.所以f (x )在x ＝2处取得极小值．若a ≤12，则当x ∈(0，2)时，f ′(x )＞0. 所以2不是f (x )的极小值点．综上可知，a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，＋∞. 8．(2021·广州模拟)已知函数f (x )＝(x ＋2)ln x ＋ax 2－4x ＋7a .(1)若a ＝12，求函数f (x )的所有零点； (2)若a ≥12，证明函数f (x )不存在极值．解析：(1)当a ＝12时，f (x )＝(x ＋2)ln x ＋12x 2－4x ＋72， 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，则f ′(x )＝ln x ＋2x＋x －3. 设g (x )＝ln x ＋2x＋x －3， 则g ′(x )＝1x －2x 2＋1＝x 2＋x －2x 2＝（x ＋2）（x －1）x 2. 当0＜x ＜1时，g ′(x )＜0，当x ＞1时，g ′(x )＞0，所以函数g (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以当x ＞0时，g (x )≥g (1)＝0(当且仅当x ＝1时取等号)，即当x ＞0时，f ′(x )≥0(当且仅当x ＝1时取等号)．所以函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，至多有一个零点．因为f (1)＝0，所以x ＝1是函数f (x )唯一的零点．所以函数f (x )的零点只有x ＝1.(2)证明：法一：f (x )＝(x ＋2)ln x ＋ax 2－4x ＋7a ，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝ln x ＋x ＋2x＋2ax －4. 当a ≥12时，f ′(x )≥ln x ＋2x＋x －3， 由(1)知ln x ＋2x＋x －3≥0. 即当x ＞0时，f ′(x )≥0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增．所以f (x )不存在极值．法二：f (x )＝(x ＋2)ln x ＋ax 2－4x ＋7a ，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝ln x ＋x ＋2x＋2ax －4， 设m (x )＝ln x ＋x ＋2x＋2ax －4， 则m ′(x )＝1x －2x 2＋2a ＝2ax 2＋x －2x 2(x ＞0)． 设h (x )＝2ax 2＋x －2(x ＞0)，当a ≥12时，令h (x )＝2ax 2＋x －2＝0， 解得x 1＝－1－1＋16a 4a ＜0，x 2＝－1＋1＋16a 4a＞0. 可知当0＜x ＜x 2时，h (x )＜0，即m ′(x )＜0，当x ＞x 2时，h (x )＞0，即m ′(x )＞0，所以f ′(x )在(0，x 2)上单调递减，在(x 2，＋∞)上单调递增．由(1)知ln x ＋2x＋x －3≥0， 则f ′(x 2)＝ln x 2＋2x 2＋x 2－3＋(2a －1)x 2≥(2a －1)x 2≥0. 所以f ′(x )≥f ′(x 2)≥0，即f (x )在定义域上单调递增．所以f (x )不存在极值．[C 组 创新应用练]某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r 米，高为h 米，体积为V 立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．11 (1)将V 表示成r 的函数V (r )，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V (r )的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大．解析：(1)因为蓄水池侧面的总成本为100×2πrh ＝200πrh 元，底面的总成本为160πr 2元， 所以蓄水池的总成本为(200πrh ＋160πr 2)元．又根据题意知200πrh ＋160πr 2＝12 000π，所以h ＝15r(300－4r 2)， 从而V (r )＝πr 2h ＝π5(300r －4r 3)． 因为r ＞0，h ＞0，所以r ＜53，故函数V (r )的定义域为(0，53)．(2)因为V (r )＝π5(300r －4r 3)， 所以V ′(r )＝π5(300－12r 2)． 令V ′(r )＝0，解得r 1＝5，r 2＝－5(舍去)．当r ∈(0，5)时，V ′(r )＞0，故V (r )在(0，5)上为增函数；当r ∈(5，53)时，V ′(r )＜0，故V (r )在(5，53)上为减函数．由此可知，V (r )在r ＝5处取得最大值，此时h ＝8.即当r ＝5，h ＝8时，该蓄水池的体积最大．。

2022年新高考数学总复习：三角函数的周期性、奇偶性、对称性角度1周期性例3求下列函数的周期：(1)y ＝(2)y ＝3|x ；(3)y ＝|tan x |；(4)y ＝－2sinx 6sin x cos x －2cos 2x ＋1.[解析](1)∵y ＝∴T ＝2π23＝3π，即y ＝2sin 3π.(2)画图知y ＝|cos x |的周期是y ＝cos x 的周期的一半，∴y ＝3|x 的最小正周期是y ＝3cosx T ＝12×2π2＝π2.(3)画出y ＝|tan x |的图象．如图所示．由图象易知T ＝π.∴y ＝|tan x |的图象与y ＝tan x 的周期相同.(4)y ＝－2sin 2x ·cos π4－2cos 2x ·sin π4＋3sin 2x －cos 2x ＝2sin 2x －2cos 2x ＝22sinx f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.[答案](1)3π(2)π2(3)π(4)π角度2奇偶性例4已知函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋3cos(x ＋θ)，θ∈－π2，π2是偶函数，则θ的值为(B)A ．0B ．π6C ．π4D ．π3[解析]因为f (x )＝2sin x ＋π3＋θ是偶函数，所以π3＋θ＝π2＋k π，即θ＝π6＋k π(k ∈Z )，又因为θ∈－π2，π2，故θ＝π6.角度3对称性例5已知函数f (x )＝sinωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象(D)A π6，0B ．关于直线x ＝π4对称C π4，0D ．关于直线x ＝π12对称[解析]由T ＝π知ω＝2πT ＝2ππ＝2，所以函数f (x )＝sin2x ＋π3.函数f (x )的对称轴满足2x ＋π3＝π2＋k π(k ∈Z )，解得x ＝π12＋k π2(k ∈Z )；函数f (x )的对称中心的横坐标满足2x ＋π3＝k π(k ∈Z )，解得x ＝－π6＋k π2(k ∈Z )．故选D ．名师点拨(1)求三角函数的最小正周期，一般先通过恒等变形化为y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)或y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ≠0)的形式，再分别应用公式T ＝2π|ω|或T ＝π|ω|求解．(2)三角函数型奇偶性判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质，对y ＝A sin(ωx ＋φ)代入x ＝0，若y ＝0则为奇函数，若y 为最大或最小值则为偶函数．若y ＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则φ＝k π(k ∈Z )，若y ＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则φ＝π2＋k π(k ∈Z )．(3)求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称中心、对称轴问题往往转化为解方程问题．①∵y ＝sin x 的对称中心是(k π，0)，(k ∈Z )，∴y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称中心，由方程ωx ＋φ＝k π解出x ＝k π－φω，故对称中心为k ∈Z )．②∵y ＝sin x 的对称轴是x ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴ωx ＋φ＝k π＋π2解出x ＝k π＋π2－φω，即x ＝k π＋π2－φω为函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴方程．③函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ≠0)图象的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是否是函数图象的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断．(4)注意y ＝tan x k ∈Z )．〔变式训练2〕(1)(角度1)(2018·课标全国Ⅲ，6)函数f (x )＝tan x 1＋tan 2x 的最小正周期为(C )A ．π4B ．π2C ．πD ．2π(2)(角度2)下列函数中，最小正周期为π的奇函数是(D)A ．y ＝xB ．y ＝C ．y ＝sin 2x ＋cos 2xD ．y ＝x x(3)(角度3)(2018·江苏)已知函数y ＝sin(2x ＋φ－π2<φx ＝π3对称，则φ的值是__－π6__.[解析](1)本题考查三角函数的周期．解法一：f (x )|x ≠k π＋π2，k ∈.f (x )＝sin xcos x 1＝sin x ·cos x ＝12sin 2x ，∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.解法二：f (x ＋π)＝tan (x ＋π)1＋tan 2(x ＋π)＝tan x1＋tan 2x ＝f (x )，∴π是f (x )的周期．1＋tan而＝cos x －sin x ＝－1tan x ，∴＝－tan x 1＋tan 2x ≠f (x )，∴π2不是f (x )的周期，∴π4也不是f (x )的周期．故选C ．(2)y＝xcos 2x 是偶函数，不符合题意．y ＝sin 12x 是T ＝4π的奇函数，不符合题意，同理C 不是奇函数，D 为y ＝2sin 2x ，故选D．(3)由题意可得±1，所以2π3＋φ＝π2＋k π，φ＝－π6＋k π(k ∈Z )，因为－π2<φ<π2，所以k ＝0，φ＝－π6.故填－π6.。

高考数学复习----《抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性》典型例题讲解【典型例题】例1、（2023·广东·高三统考学业考试）已知函数()f x 对任意,R x y ∈，都有()()()f x y f x f y +=+成立．有以下结论：①()00f =；②()f x 是R 上的偶函数；③若()22f =，则()11f =；④当0x >时，恒有()0f x <，则函数()f x 在R 上单调递增．则上述所有正确结论的编号是________【答案】①③【解析】对于①令0x y ==，则()()()0000f f f +=+，解得()00f =，①正确；对于②令y x =−，则()()()00f f x f x =+−=，∴()()f x f x −=−，∴()f x 是R 上的奇函数，②错误；对于③令1x y ==，则()()()()211212f f f f =+==，∴()11f =，③正确；对于④设12x x >，则120x x −>，∴()()()12120f x x f x f x −=+−<，则()()()122f x f x f x <−−=，∴()f x 在R 上单调递减，④错误．故答案为：①③．例2、（2022·山东聊城·二模）已知()f x 为R 上的奇函数，()22f =，若对1x ∀，()20,x ∈+∞，当12x x >时，都有()()()1212210f x f x x x x x ⎡⎤−−<⎢⎥⎣⎦，则不等式()()114x f x ++>的解集为（ ） A ．()3,1−B ．()()3,11,1−−−C ．()(),11,1−∞−− D ．()(),31,−∞−⋃+∞ 【答案】B【解析】由()()121221()[]0f x f x x x x x −−<，得()()11221212()[]0x f x x f x x x x x −−<， 因为121200x x x x −>>，，所以()()11220x f x x f x −<，即()()1122x f x x f x <，设()()g x xf x =，则()g x 在()0,∞+上单调递减，而()()()()()1114222g x x f x f g +=++>==，则012x <+<，解得：11x −<<；因为()f x 为R 上的奇函数，所以()()()()g x xf x xf x g x −=−−==，则()g x 为R 上的偶函数，故()g x 在(,0)−∞上单调递增，()()()()11142g x x f x g +=++>=−，则210x −<+<，解得：31x −<<−；综上，原不等式的解集为(),111)3(,−−−．故选：B ．例4、（2022·全国·模拟预测（理））已知定义在R 上的奇函数()f x 的图像关于直线1x =对称，且()y f x =在[]0,1上单调递增，若()3a f =−，12b f ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，()2c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b <<【答案】C【解析】 由函数()f x 的图像关于直线1x =对称可得()()31f f =−，结合奇函数的性质可知 ()3a f =−()()()311f f f =−=−−=，()()200c f f ===．由奇函数的性质结合()y f x =在[]0,1上单调递增可得()y f x =在[]1,1−上单调递增， 所以()()1012f f f ⎛⎫−<< ⎪⎝⎭， 所以b c a <<．故选：C例5、（2022·黑龙江大庆·三模（理））已知定义域为R 的偶函数满足()()2f x f x −=，当01x ≤≤时，()1e 1x f x −=−，则方程()11f x x =−在区间[]3,5−上所有解的和为（ ） A ．8B ．7C ．6D ．5【答案】A【解析】 解：因为函数()f x 满足()()2f x f x −=，所以函数()f x 的图像关于直线1x =对称， 又函数()f x 为偶函数，所以()()()2−==−f x f x f x ，所以函数()f x 是周期为2的函数， 又1()1g x x =−的图像也关于直线1x =对称， 作出函数()f x 与()g x 在区间[]3,5−上的图像，如图所示：由图可知，函数()f x 与()g x 的图像在区间[]3,5−上有8个交点，且关于直线1x =对称， 所以方程。

考点5函数的单调性与最值、函数的奇偶性与周期性1.(2022·北京高考·T4)已知函数f (x )=11+2 ,则对任意实数x ,有()A .f (-x )+f (x )=0B .f (-x )-f (x )=0C .f (-x )+f (x )=1D .f (-x )-f (x )=13【命题意图】考查函数的奇偶性、对称性,中档题.【解析】选C .因为f (x )=11+2 ,所以f (-x )=11+2- =2 2 +1,f (x )+f (-x )=1+2 2 +1=1.2.(2022·新高考Ⅱ卷)已知函数f (x )的定义域为R,且f (x+y )+f (x-y )=f (x )f (y ),f (1)=1,则∑ =122f (k )=()A.-3B.-2C.0D.1【命题意图】本题考查抽象函数以及函数周期性的运用,考查运算求解能力.【解析】选A .因为f (x+y )+f (x-y )=f (x )f (y ),令x=1,y=0可得,2f (1)=f (1)f (0),所以f (0)=2,令x=0可得,f (y )+f (-y )=2f (y ),即f (y )=f (-y ),所以函数f (x )为偶函数,令y=1得,f (x+1)+f (x-1)=f (x )f (1)=f (x ),即有f (x+2)+f (x )=f (x+1),从而可知f (x+2)=-f (x-1),f (x-1)=-f (x-4),故f (x+2)=f (x-4),即f (x )=f (x+6),所以函数f (x )的一个周期为6,因为f (2)=f (1)-f (0)=1-2=-1,f (3)=f (2)-f (1)=-1-1=-2,f (4)=f (-2)=f (2)=-1,f (5)=f (-1)=f (1)=1,f (6)=f (0)=2,所以一个周期内的f (1)+f (2)+…+f (6)=0.由于22除以6余4,所以∑ =122f (k )=f (1)+f (2)+f (3)+f (4)=1-1-2-1=-3.3.(2022·全国甲卷文科)(同2022·全国甲卷理科T5)函数y=3 -3- cos x 在区间-π2()【命题意图】本题考查函数的奇偶性以及函数的图象的判断.【解析】选A .令f =3 -3- cos x ,x∈-π2则f - =3- -3 cos - =-(3x -3-x )cos x=-f (x ),所以f 为奇函数,排除B,D;又当x ∈0,,3x -3-x >0,cos x>0,所以f >0,排除C .4.(2022·全国乙卷理科·T12)已知函数f (x ),g (x )的定义域均为R,且f (x )+g (2-x )=5,g (x )-f (x-4)=7.若y=g (x )的图象关于直线x=2对称,g (2)=4,则∑ =122f (k )=()A .-21B .-22C .-23D .-24【命题意图】考查函数的对称性,转化与化归思想、数学运算求解能力.【解析】选D .因为y=g (x )的图象关于直线x=2对称,所以g (2-x )=g (x+2),因为g (x )-f (x-4)=7,所以g (x+2)-f (x-2)=7,即g (x+2)=7+f (x-2),因为f (x )+g (2-x )=5,所以f (x )+g (x+2)=5,代入得f (x )+[7+f (x-2)]=5,即f (x )+f (x-2)=-2,所以f (3)+f (5)+…+f (21)=(-2)×5=-10,f (4)+f (6)+…+f (22)=(-2)×5=-10.因为f (x )+g (2-x )=5,所以f (0)+g (2)=5,即f (0)=1,所以f (2)=-2-f (0)=-3.因为g (x )-f (x-4)=7,所以g (x+4)-f (x )=7,又因为f (x )+g (2-x )=5,联立得,g (2-x )+g (x+4)=12,所以y=g (x )的图象关于点(3,6)中心对称,因为函数g (x )的定义域为R,所以g (3)=6,因为f (x )+g (x+2)=5,所以f (1)=5-g (3)=-1.所以∑ =122f (k )=f (1)+f (2)+[f (3)+f (5)+…+f (21)]+[f (4)+f (6)+…+f (22)]=-1-3-10-10=-24.【误区警示】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽,考生需要根据已知条件进行恰当的转化,然后得到所需的一些数值或关系式从而解题.5.(2022·全国乙卷文科·T16)若f (x )=ln +是奇函数,则a=,b=.【命题意图】考查函数奇偶性的定义及其内涵,考查学生分析问题、解决问题的能力.【解析】因为函数f (x )=ln+为奇函数,所以其定义域关于原点对称.由a+11− ≠0可得,(1-x )(a+1-ax )≠0,所以x ≠±1,所以+1 =-1,解得:a=-12,即函数的定义域为(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,+∞),再由f (0)=0可得,b=ln 2.即f (x )=ln -12+ln 2=在定义域内满足f (-x )=-f (x ),符合题意.答案:-12ln 26.(2022·北京高考·T14)设函数f (x )=- +1, < ,( -2)2, ≥ .若f (x )存在最小值,则a 的一个取值为;a的最大值为.【命题意图】考查分段函数,函数单调性和最值,图像的应用,综合性较强.【解析】由已知,函数最值与单调性有关,故可以考虑以a=0,2为分界点研究函数的性质.①若a<0,则对于第一段f(x)=-ax+1,x<a,单调递增,有f(x)∈(-∞,-a2+1),所以f(x)没有最小值,不符合题意;②若a=0,则第一段为f(x)=1,x<0;第二段为f(x)=(x-2)2,x≥0,由二次函数性质得f(x)∈[0,+∞).所以f(x)的值域为[0,+∞).第一个空可以填0.③若0<a≤2,则对于第一段f(x)=-ax+1,x<a,单调递减,有f(x)∈(-a2+1,+∞);第二段为f(x)=(x-2)2,x≥a,由二次函数性质得f(x)∈[0,+∞).“f(x)存在最小值”,等价于-a2+1≥0,解得0<a≤1.④若a>2,对于第一段f(x)=-ax+1,x<a,单调递减,有f(x)∈(-a2+1,+∞);第二段为f(x)=(x-2)2,x≥a,由二次函数性质得f(x)∈[(a-2)2,+∞).“f(x)存在最小值”,等价于-a2+1≥(a-2)2,此不等式无解.综上,a的取值范围是[0,1],所以a的最大值是1.答案:0(答案不唯一)17.(2022·浙江高考数学科·T14)(6分)已知函数f(x)=- 2+2, ≤1,+1 -1, >1,则f f12=;若当x∈[a,b]时,1≤f(x)≤3,则b-a的最大值是.【命题意图】本题考查函数及分段函数的概念、分段函数的求值及最值.意在考查考生的运算求解能力.【解析】因为f12=-122+2=74,所以f f12=f74=74+174-1=3728.当x≤1时,由1≤f(x)≤3可得1≤-x2+2≤3,所以-1≤x≤1,当x>1时,由1≤f(x)≤3可得1≤x+1 -1≤3,所以1<x≤2+3,1≤f(x)≤3等价于-1≤x≤2+3,所以[a,b]⊆[-1,2+3],所以b-a的最大值为3+3.答案:37283+3【方法技巧】由分段函数求参数值的思路先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上,构造关于参数的方程,然后求出相应自变量的值,解此类题目易出现的失误有两个:①求出自变量的值,不代入检验,出现增根;②不能确定自变量的范围而随便把其值代入函数解析式.。

课时质量评价(八)(建议用时 : 45分钟) A 组 全考点巩固练1．(多项选择题)已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数 , 那么以下函数中为奇函数的是( )A ．y ＝f (|x |)B ．y ＝f (－x )C ．y ＝xf (x )D ．y ＝f (x )＋xBD 解析 : 由奇函数的定义f (－x )＝－f (x )验证． 对于选项A , f (|－x |)＝f (|x |) , 为偶函数 ;对于选项B , f (－(－x ))＝f (x )＝－f (－x ) , 为奇函数 ; 对于选项C , －xf (－x )＝－x ·[－f (x )]＝xf (x ) , 为偶函数 ; 对于选项D , f (－x )＋(－x )＝－[f (x )＋x ] , 为奇函数．应选BD ． 2．(多项选择题)设函数f (x )＝x 3－1x 3 , 那么f (x )( )A ．是奇函数B ．是偶函数C ．在(0 , ＋∞)单调递增D ．在(－∞ , 0)单调递减AC 解析 : 因为f (x )＝x 3－1x 3 , 那么f (－x )＝－x 3＋1x 3＝－f (x ) , 即f (x )为奇函数．根据幂函数的性质可知 , y ＝x 3在(0 , ＋∞)上单调递增 , 在(－∞ , 0)上单调递增 , 故y 1＝1x 3在(0 , ＋∞)上单调递减 , 在(－∞ , 0)上单调递减 , 所以函数f (x )＝x 3－1x 3在(－∞ , 0)上单调递增 , 在(0 , ＋∞)上单调递增．3．已知函数f (x )＝x ＋1x ＋1 , f (a )＝3 , 那么f (－a )的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．2B 解析 : 由题意得f (a )＋f (－a )＝a ＋1a ＋1＋(－a )＋1－a ＋1＝2, 所以f (－a )＝2－f (a )＝2－3＝－1.应选B ．4．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数 , 且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x ＋1)x ≥0g (x )x ＜0那么 f (－7)＝( )A ．3B ．－3C ．2D ．－2B 解析 : 因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数 ,且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x ＋1)x ≥0g (x )x ＜0所以f (－7)＝－f (7)＝－log 2(7＋1)＝－3.5．假设定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x , 那么g (x )＝( ) A ．e x －e －x B ．12(e x ＋e －x ) C ．12(e －x －e x ) D ．12(e x －e －x )D 解析 : 因为f (x )＋g (x )＝e x , 所以f (－x )＋g (－x )＝f (x )－g (x )＝e －x , 所以g (x )＝12(e x －e －x )．6．已知函数f (x )为奇函数 , 当x >0时 , f (x )＝x 2－x , 那么当x <0时 , 函数f (x )的最大值为________．14解析 : 设x <0 , 那么－x >0 , 所以f (－x )＝x 2＋x .又函数f (x )为奇函数 , 所以f (x )＝－f (－x )＝－x 2－x ＝－⎝⎛⎭⎫x ＋122＋14 , 所以当x <0时 , 函数f (x )的最大值为14. 7．已知函数 f (x )是偶函数 , 当x ＞0时 , f (x )＝ln x , 那么 f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫1e 2的值为________．ln 2 解析 : 由已知可得f ⎝⎛⎭⎫1e 2＝ln 1e 2＝－2 , 所以f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫1e 2＝f (－2)．又因为f (x )是偶函数 , 所以f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫1e 2＝f (－2)＝f (2)＝ln 2. 8．已知奇函数f (x )的图象关于直线x ＝3对称 , 当x ∈[0,3]时 , f (x )＝－x , 那么f (－16)＝________.2 解析 : 根据题意 , 函数f (x )的图象关于直线x ＝3对称 , 那么有f (x )＝f (6－x )． 又函数f (x )为奇函数 , 那么f (－x )＝－f (x ) , 所以f (x )＝－f (6－x )＝f (x －12)． 所以f (x )的最小正周期是12.故f (－16)＝f (－4)＝－f (4)＝－f (2)＝－(－2)＝2.9．假设函数f (x )＝ax ＋b , x ∈[a －4 , a ]的图象关于原点对称 , 那么a ＝________ ; 函数g (x )＝bx ＋ax, x ∈[－4 , －1]的值域为________．2 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 －12 解析 : 由函数f (x )的图象关于原点对称 , 可得a －4＋a ＝0 , 即a ＝2.那么函数f (x )＝2x ＋b , 其定义域为[－2,2] , 所以f (0)＝0 , 所以b ＝0 , 所以g (x )＝2x.易知g (x )在[－4 ,－1]上单调递减 , 故值域为[g (－1) , g (－4)] , 即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 －12.10．设f (x )是定义在R 上的奇函数 , 且对任意实数x , 恒有f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈[0,2]时 , f (x )＝2x －x 2.(1)求证 : f (x )是周期函数 ;(2)当x ∈[2,4]时 , 求f (x )的解析式． (1)证明 : 因为f (x ＋2)＝－f (x ) , 所以f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )． 所以f (x )是周期为4的周期函数．(2)解 : 因为x ∈[2,4] , 所以－x ∈[－4 , －2] , 所以4－x ∈[0,2] ,所以f (4－x )＝2(4－x )－(4－x )2＝－x 2＋6x －8. 因为f (4－x )＝f (－x )＝－f (x ) ,所以－f (x )＝－x 2＋6x －8 , 即f (x )＝x 2－6x ＋8 , x ∈[2,4]．B 组 新高考培优练11．(2020·新高考全国卷Ⅰ)假设定义在R 上的奇函数f (x )在(－∞ , 0)单调递减 , 且f (2)＝0 , 那么满足xf (x －1)≥0的x 的取值范围是( )A ．[－1,1]∪[3 , ＋∞)B ．[－3 , －1]∪[0,1]C ．[－1,0]∪[1 , ＋∞)D ．[－1,0]∪[1,3]D 解析 : f (x )的大致图象如下列图 :当x ＞0时 , 不等式xf (x －1)≥0等价为f (x －1)≥0 ,此时⎩⎪⎨⎪⎧x >00≤x －1≤2此时1≤x ≤3 ,当x ≤0时 , 不等式xf (x －1)≥0等价为f (x －1)≤0 , 即⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0 －2≤x －1≤0得－1≤x ≤0 ,综上 , －1≤x ≤0或1≤x ≤3 , 即实数x 的取值范围是[－1,0]∪[1,3]．12．假设定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x )>0 , f (x ＋2)＝1f (x )对任意x ∈R 恒成立 ,那么f (2 023)＝________.1 解析 : 因为f (x )>0 , f (x ＋2)＝1f (x ) , 所以f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝1f (x ＋2)＝11f (x )＝f (x ) ,即函数f (x )的周期是4 ,所以f (2 023)＝f (506×4－1)＝f (－1)．因为函数f (x )为偶函数 , 所以f (2 023)＝f (－1)＝f (1)．当x ＝－1时 , f (－1＋2)＝1f (－1), 得f (1)＝1f (1). 由f (x )>0 , 得f (1)＝1 , 所以f (2 023)＝f(1)＝1.13．定义在实数集R 上的函数f (x )满足f (x )＋f (x ＋2)＝0 , 且f (4－x )＝f (x )．现有以下三种表达 :①8是函数f (x )的一个周期 ; ②f (x )的图象关于直线x ＝2对称 ; ③f (x )是偶函数．其中正确的序号是________． ①②③ 解析 : 由f (x )＋f (x ＋2)＝0 ,得f (x ＋2)＝－f (x ) , 那么f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x ) , 即4是f (x )的一个周期 , 8也是f (x )的一个周期 , 故①正确 ; 由f (4－x )＝f (x ) , 得f (x )的图象关于直线x ＝2对称 , 故②正确 ; 由f (4－x )＝f (x )与f (x ＋4)＝f (x ) , 得f (4－x )＝f (－x ) , f (－x )＝f (x ) , 即函数f (x )为偶函数 , 故③正确．14．已知函数f (x )对任意x , y ∈R , 总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y ) , 且当x ＞0时 , f (x )＞0 , f (1)＝23.(1)求证 : f (x )是R 上的单调增函数 ; (2)求f (x )在[－3,3]上的最大值．解 : (1)令x ＝y ＝0 , 得f (0)＋f (0)＝f (0＋0)．所以f (0)＝0. 令y ＝－x , 得f (x )＋f (－x )＝f (0)＝0.所以f (x )是奇函数．任取x 1＜x 2 , 有f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f (x 1－x 2)＝－f (x 2－x 1)． 因为x 2－x 1＞0 , 所以f (x 2－x 1)＞0.所以f (x 1)－f (x 2)＜0 , f (x 1)＜f (x 2)． 所以f (x )在R 上为增函数．(2)由(1)得f (x )在R 上单调递增 , 所以函数f (x )的最大值为f (3) , 且f (3)＝f (2＋1)＝f (2)＋f (1)＝f (1＋1)＋f (1)＝3f (1)＝3×23＝2.15．设f (x )是(－∞ , ＋∞)上的奇函数 , f (x ＋2)＝－f (x )．当0≤x ≤1时 , f (x )＝x . (1)求f (π)的值 ;(2)当－4≤x ≤4时 , 求f (x )的图象与x 轴所围成图形的面积． 解 : (1)由f (x ＋2)＝－f (x ) , 得f (x ＋4)＝f ((x ＋2)＋2)＝－f (x ＋2)＝f (x ) , 所以f (x )是以4为周期的周期函数 ,所以f (π)＝f (－1×4＋π)＝f (π－4)＝－f (4－π)＝－(4－π)＝π－4.(2)由f (x)是奇函数且f (x＋2)＝－f (x) ,得f [(x－1)＋2]＝－f (x－1)＝f (－(x－1)) ,即f (1＋x)＝f (1－x)．故函数y＝f (x)的图象关于直线x＝1对称．又当0≤x≤1时, f (x)＝x, 且f (x)的图象关于原点成中心对称, 那么f (x)的图象如下列图．当－4≤x≤4时 , 设f (x)的图象与x轴围成的图形面积为S , 那么S＝4S△OAB＝4×1 2×2×1＝4.。

专题5 函数的基本性质-奇偶性、单调性、周期性一、单选题（本大题共10小题，共50.0分）1.已知函数f(x)=lnx2−2ln(x2+1)，则下列说法正确的是A. 函数f(x)为奇函数B. 函数f(x)的值域为(−∞,−1]C. 当x>0时，函数f(x)的图象关于直线x=1对称D. 函数f(x)的增区间为(−∞,−1)，减区间为(0,1)2.已知函数f(x)=x4−x2，则错误的是()A. f(x)的图象关于y轴对称B. 方程f(x)=0的解的个数为2C. f(x)在(1,+∞)上单调递增D. f(x)的最小值为−143.已知函数f(x)=cosxsin2x，给出下列命题：①∀x∈R，都有f(−x)=−f(x)成立；②存在常数T≠0,∀x∈R恒有f(x+T)=f(x)成立；③f(x)的最大值为2√39；④y=f(x)在[−π6,π6]上是增函数．以上命题中正确的为()A. ①②③④B. ②③C. ①②③D. ①②④4.函数，则下列结论正确的是()A. 函数f(x)在[1,+∞)上为增函数B. 函数f(x)的最小正周期为4C. 函数f(x)是奇函数D. 函数f(x)无最小值5.已知函数f(x)=ln1+x1−x+x+1，且f(a)+f(a+1)>2，则a的取值范围是()A. (−12,+∞) B. (−1,−12) C. (−12,0) D. (−12,1)6.已知函数f(x+1)是偶函数，当1<x1<x2时，[f(x2)−f(x1)](x2−x1)>0恒成立，设a=f(−12)，b=f(2)，c=f(3)，则a，b，c的大小关系为()A. b<a<cB. c<b<aC. b<c<aD. a<b<c7.已知定义在R上的函数f(x)，若函数y=f(x+2)为偶函数，且f(x)对任意x1，，都有f(x2)−f(x1)x2−x1<0，若f(a)⩽f(3a+1)，则实数a的取值范围是()A. [−12,34] B. [−2,−1] C. D.8.设函数f(x)=ln|2x+1|−ln|2x−1|，则f(x)()A. 是偶函数，且在(12,+∞)单调递增B. 是奇函数，且在(−12,12)单调递减C. 是偶函数，且在(−∞,−12)单调递增D. 是奇函数，且在(−∞,−12)单调递减9.设函数f(x)满足对∀x∈R，都有f(4−x)=f(x)，且在(2,+∞)上单调递增，f(4)=0，g(x)=x4，则函数y=f(x+2)g(x)的大致图象可能是()A. B.C. D.10.设f(x)是定义在R上的函数，g(x)=f(x+1).若函数g(x)满足下列条件：①g(x)是偶函数；②g(x)在区间[0,+∞)上是增函数；③g(x)有一个零点为2，则不等式(x+1)f(x)>0的解集是()A. (3,+∞)B. (1,+∞)C. (−∞,−1)∪(1,+∞)D. (−∞,−1)∪(3,+∞)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）11.设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x+1)=f(x−1)，已知当x ∈[0,1]时，f(x)=(12)1−x ，给出下列结论：①对任意x ∈R ，都有f(x +2)=f(x)； ②函数f(x)在(1,2)上递减，在(2,3)上递增；③函数f(x)的最大值是1，最小值是0； ④当x ∈(3,4)时，f(x)=(12)x−3.则其中正确结论的序号是_________．12. 已知函数f(x)=|x 2−2ax +b|(x ∈R)，给出下列命题：①f(x)必是偶函数；②当f(0)=f(2)时，f(x)的图象关于直线x =1对称； ③若a 2−b ≤0，则f(x)在[a,+∞)上是增函数； ④若a >0，在[−a,a]上f(x)有最大值|a 2−b|． 其中正确的命题序号是________．13. 已知函数f (x )=x 3+x ，关于x 的不等式f (mx 2+2)+f (−x )<0的在区间[1,5]上有解，则实数m 的取值范围为________．14. 设函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈恒有f (x +1)=f (x −1)，已知当x ∈[0,1]时，f(x)=(12)1−x，则下列命题：①对任意x ∈，都有f (x +2)=f (x )；②函数f(x)在(1,2)上递减，在(2,3)上递增；③函数f(x)的最大值是1，最小值是0；④当x ∈(3,4)时，f(x)=(12)x−3．其中正确命题的序号有_________．三、解答题（本大题共4小题，共30分）15. 如果函数y =f (x )的定义域为R ，对于定义域内的任意x ，存在实数a 使得f (x +a )=f (−x )成立，则称此函数具有“P (a )性质”．(1)判断函数y =sinx 是否具有“P (a )性质”，若具有“P (a )性质”，求出所有a 的值；若不具有“P (a )性质”，请说明理由．(2)已知y =f (x )具有“P (0)性质”，且当x ≤0时f (x )=(x +m )2，求y =f (x )在[0,1]上的最小值． (3)设函数y =g (x )具有“P (±1)性质”，且当−12≤x ≤12时，g (x )=|x |若y =g (x )与y =mx 交点个数为2018个，其中m >0，求m 的取值范围．16.函数f(x)=log a(2−ax)(a>0,a≠1)(Ⅰ)当a=3时，求函数f(x)的定义域；(Ⅱ)若g(x)=f(x)−log a(2+ax)，判断g(x)的奇偶性；(Ⅲ)是否存在实数a，使函数f(x)在[2,3]递增，并且最大值为1，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．17.已知函数f(x)对任意实数x、y恒有f(x+y)=f(x)+f(y)，当x>0时，f(x)<0，且f(1)=−2．(1)判断f(x)的奇偶性；(2)求f(x)在区间[−3,3]上的最大值；(3)若f(x)<m2−2am+2对所有的x∈[−1,1],a∈[−1,1]恒成立，求实数m的取值范围．18.试分别解答下列两个小题：(Ⅰ)已知函数f(x)=√log(4x−3)+2x x−1−1的定义域为M，求g(x)=x2−2ax在x∈M时的最小0.5值；(Ⅱ)已知f(x)是定义在[−2,2]上的奇函数，且f(x)在[−2,2]上为减函数，若f(3a)+f(3a−1)<0，试求实数a的取值范围．专题5 函数的基本性质-奇偶性、单调性、周期性一、单选题（本大题共10小题，共50.0分）19. 已知函数f(x)=lnx 2−2ln(x 2+1)，则下列说法正确的是A. 函数f(x)为奇函数B. 函数f(x)的值域为(−∞,−1]C. 当x >0时，函数f(x)的图象关于直线x =1对称D. 函数f(x)的增区间为(−∞,−1)，减区间为(0,1)【答案】D【解析】 由f(−x)=ln(−x)2−2ln[(−x)2+1]=lnx 2−2ln(x 2+1)=f(x)， 可知函数f(x)为偶函数；不妨设x >0，此时f (x )=2lnx −2ln (x 2+1)=2ln xx 2+1， 由xx 2+1=1x+1x≤12√x⋅1x=12(当且仅当x =1时取“=”)， 由0<x x 2+1≤12，可得f(x)≤2ln 12=−2ln2，可知函数f(x)的值域为(−∞,−2ln2]； 由f (12)=ln 14−2ln 54=−ln4−2ln5+2ln4=ln4−2ln5=ln 425，f (32)=ln 94−2ln134=2ln613≠f (12)，可知当x >0时，函数f(x)的图象不关于直线x =1对称；由函数y =x +1x (x >0)的增区间为(1,+∞)，减区间为(0,1)，可知函数f(x)的增区间为(−∞,−1)，减区间为(0,1)． 故选D ．20. 已知函数f(x)=x 4−x 2，则错误的是( )A. f(x)的图象关于y 轴对称B. 方程f(x)=0的解的个数为2C. f(x)在(1,+∞)上单调递增D. f(x)的最小值为−14【答案】B【解析】解：因为函数f(x)=x 4−x 2，满足f(−x)=x 4−x 2=f(x)，所以函数是偶函数，所以A 正确； 令f(x)=0即x 2(x +1)(x −1)=0，解得：x =0，1，−1，函数f(x)有3个零点：0；−1；1，所以方程f(x)=0的解的个数为3，所以B 不正确； 令t =x 2，g(t)=t 2−t =(t −12)2−14，x >1时，函数t =x 2，g(t)=t 2−t 都为递增函数，故f(x)在(1,+∞)递增，故C 正确；由t=12时，g(t)取得最小值−14，故f(x)的最小值是−14，故D正确．故选：B．21.已知函数f(x)=cosxsin2x，给出下列命题：①∀x∈R，都有f(−x)=−f(x)成立；②存在常数T≠0,∀x∈R恒有f(x+T)=f(x)成立；③f(x)的最大值为2√39；④y=f(x)在[−π6,π6]上是增函数．以上命题中正确的为()A. ①②③④B. ②③C. ①②③D. ①②④【答案】D【解析】解：对于①，∀x∈R，f(−x)=cos(−x)sin(−2x)=−cosxsin2x=−f(x)，f(x)为奇函数，①正确；对于②，∀x∈R，由f(x+2π)=cos(x+2π)sin2(x+2π)=cosxsin2x=f(x)，f(x)为周期函数，②正确；对于③，f(x)=2sinxcos2x=2sinx(1−sin2x)=2sinx−2sin3x，令t=sinx，t∈[−1,1]，则y(t)=2t−2t3，令y′=2−6t2=0，得t=±√33，且y(−1)=0，y(√33)=4√39为最大值，③错误；对于④，当x∈[−π6,π6]时，sinx∈[−12,12]⊆[−√33,√33]，所以f(x)在[−π6,π6]上为增函数，④正确．综上知，正确的命题序号是①②④．故选：D．22.函数，则下列结论正确的是()A. 函数f(x)在[1,+∞)上为增函数B. 函数f(x)的最小正周期为4C. 函数f(x)是奇函数D. 函数f(x)无最小值【答案】A【解析】画出函数f(x)={|x3+1|,|x|>12sinπ2x,|x|⩽1，的图象，如图．观察图象可得：函数f(x)在[1,+∞)上为增函数，故A正确；函数f(x)的不是周期函数，故B错；函数f(x)的图象不关于原点对称，不是奇函数，故C错；函数f(x)在x=−1处取得最小值−2，故D错．故选A．23.已知函数f(x)=ln1+x1−x+x+1，且f(a)+f(a+1)>2，则a的取值范围是()A. (−12,+∞) B. (−1,−12) C. (−12,0) D. (−12,1)【答案】C【解析】解：令，因为是(−1,1)上的增函数，所以函数F(x)是(−1,1)上的增函数．又因为，所以函数F(x)是(−1,1)上的奇函数．由f(a)+f(a+1)>2得f(a)−1+f(a+1)−1>0，即F(a)+F(a+1)>0，所以F(a+1)>F(−a)，因此{a+1>−a−1<a+1<1−1<−a<1，解得−12<a<0．故选C．24.已知函数f(x+1)是偶函数，当1<x1<x2时，[f(x2)−f(x1)](x2−x1)>0恒成立，设a=f(−12)，b=f(2)，c=f(3)，则a，b，c的大小关系为()A. b<a<cB. c<b<aC. b<c<aD. a<b<c【答案】A【解析】解：∵当1<x1<x2时，[f(x1)−f(x2)](x1−x2)>0恒成立，∴当1<x1<x2时，f (x2)−f(x1)>0，即f (x2)>f(x1)，∴函数f(x)在(1,+∞)上为单调增函数，∵函数f(x +1)是偶函数， ∴函数f(x)关于x =1对称， ∴a =f(−12)=f(52)，又函数f(x)在(1,+∞)上为单调增函数， ∴f(2)<f(52)<f(3)，即f(2)<f(−12)<f(3)，∴a ，b ，c 的大小关系为b <a <c ． 故选A ．25. 已知定义在R 上的函数f(x)，若函数y =f(x +2)为偶函数，且f(x)对任意x 1，，都有f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1<0，若f(a)⩽f(3a +1)，则实数a 的取值范围是( )A. [−12,34]B. [−2,−1]C.D.【答案】A【解析】解：因为函数y =f (x +2)为偶函数， 所以函数f (x )的图象关于x =2对称，因为f (x )对任意x 1，x 2∈[2,+∞)(x 1≠x 2)，都有f (x 2)−f (x 1)x 2−x 1<0，所以函数f (x )在[2,+∞)上为减函数， 则f(a)⩽f(3a +1)⇔|a −2|⩾|3a −1|， 两边平方解得−12≤a ≤34． 即实数a 的取值范围是[−12,34]， 故选A ．26. 设函数f(x)=ln|2x +1|−ln|2x −1|，则f(x)( )A. 是偶函数，且在(12,+∞)单调递增 B. 是奇函数，且在(−12,12)单调递减 C. 是偶函数，且在(−∞,−12)单调递增 D. 是奇函数，且在(−∞,−12)单调递减【答案】D【解析】【试题解析】解：由{2x +1≠02x −1≠0，得x ≠±12．又f(−x)=ln|−2x +1|−ln|−2x −1| =−(ln|2x +1|−ln|2x −1|)=−f(x)， ∴f(x)为奇函数；由f(x)=ln|2x +1|−ln|2x −1| =ln |2x+1||2x−1|=ln|2x+12x−1|， ∵2x +12x −1=2x −1+22x −1=1+22x −1=1+22(x−12)=1+1x−12．可得内层函数t =|2x+12x−1|的图象如图，在(−∞,−12)上单调递减，在(−12,12)上单调递增，再(12,+∞)上单调递减． 又对数函数y =lnt 是定义域内的增函数，由复合函数的单调性可得，f(x)在(−∞,−12)上单调递减． 故选：D ．27. 设函数f(x)满足对∀x ∈R ，都有f(4−x)=f(x)，且在(2,+∞)上单调递增，f(4)=0，g(x)=x 4，则函数y =f(x +2)g(x)的大致图象可能是( )A. B.C. D.【答案】B【解析】解：令h(x)=f(x+2)，F(x)=h(x)g(x)=x4h(x)，因为f(4−x)=f(x)，故y=f(x)的图象关于直线x=2对称，故h(x)=f(x+2)的图象关于y轴对称，即h(−x)=h(x)，故F(−x)=x4h(−x)=F(x)，故F(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，故排除AD．因为y=f(x)在(2,+∞)上单调递增，故h(x)在(0,+∞)为增函数，因为f(4)=0，故h(2)=0，故0<x<2时，h(x)<0，故F(x)<0，故排除C，故选B．28.设f(x)是定义在R上的函数，g(x)=f(x+1).若函数g(x)满足下列条件：①g(x)是偶函数；②g(x)在区间[0,+∞)上是增函数；③g(x)有一个零点为2，则不等式(x+1)f(x)>0的解集是()A. (3,+∞)B. (1,+∞)C. (−∞,−1)∪(1,+∞)D. (−∞,−1)∪(3,+∞)【答案】A【解析】解：由g(x)=f(x+1)，可得g(x−1)=f(x)，即f(x)为g(x)向右平移一个单位得到．故由g(x)是偶函数，可得f(x)关于直线x=1对称；又由g(x)在区间[0,+∞)上是增函数，可得f(x)在区间[1,+∞)上是增函数；由g(x)有一个零点为2，可得f(x)有一个零点为3．结合图象可得f(x)>0的解集为(−∞,−1)∪(3,+∞)，f(x)<0的解集为(−1,3)，又因为y=x+1过点(−1,0)且单调递增，所以由(x+1)f(x)>0的解集为：(3,+∞)．故选A．二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）29. 设函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f(x +1)=f(x −1)，已知当x ∈[0,1]时，f(x)=(12)1−x ，给出下列结论：①对任意x ∈R ，都有f(x +2)=f(x)； ②函数f(x)在(1,2)上递减，在(2,3)上递增；③函数f(x)的最大值是1，最小值是0；④当x ∈(3,4)时，f(x)=(12)x−3.则其中正确结论的序号是_________．【答案】①②④【解析】解：由题意，函数f (x )对任意的x ∈R 恒有f (x +1)=f (x −1)，可得f (x +2)=f[f(x +1)+1]=f[(x +1)−1]=f (x )，所以①正确；由x ∈[0,1]时，f(x)=(12)1−x 为单调递增函数，因为函数f (x )是定义在R 上的偶函数，可得x ∈[−1,0]时，函数f(x)为单调递减函数，又由函数的周期为2，可得函数f(x)在(1,2)上递减，在(2,3)上递增，所以②正确；由②可得，当x =2时，函数取得最小值，最小值为f (2)=f (0)=12；当x =3时，函数取得最大值，最大值为f (3)=f (1)=1，根据函数的周期性，可得函数的最大值为1，最小值为12，所以③不正确；当x ∈(3,4)时，则4−x ∈(0,1)，可得f (4−x )=f(2−x)=f(−x)=f (x )=(12)1−(4−x)=(12)x−3，所以④正确．故答案为：①②④． 30. 已知函数f(x)=|x 2−2ax +b|(x ∈R)，给出下列命题：①f(x)必是偶函数；②当f(0)=f(2)时，f(x)的图象关于直线x =1对称；③若a2−b≤0，则f(x)在[a,+∞)上是增函数；④若a>0，在[−a,a]上f(x)有最大值|a2−b|．其中正确的命题序号是________．【答案】③【解析】解：对于①，当且仅当a=0时，函数f(x)=|x2−2ax+b|为偶函数，①错误；对于②，当a=0，b=−2时，满足f(0)=2=f(2)，此时函数图象不关于直线x=1对称，②错误；对于③，当a2−b≤0时，(−2a)2−4b=4(a2−b)≤0，所以f(x)=x2−2ax+b，则f(x)在[a,+∞)上是增函数，③正确；对于④，当a=1，b=4时，满足a>0，此时f(x)=|x2−2x+4|在[−1,1]上的最大值为f(−1)=|(−1)2−2×(−1)+4|=7≠|12−4|，④错误．综上所述，正确结论的序号为③．故答案是③．31.已知函数f(x)=x3+x，关于x的不等式f(mx2+2)+f(−x)<0的在区间[1,5]上有解，则实数m的取值范围为________．【答案】m<18【解析】解：f(−x)=(−x)3−x=，∴函数f(x)是奇函数，f(x)=x3+x，则函数f(x)在R上单调递增，∵f(mx2+2)+f(−x)<0，∴f(mx2+2)<−f(−x)=f(x)，∴mx2+2<x在区间[1,5]上有解，即m<x−2x2在区间[1,5]上有解，令g(x)=x−2x2，x∈[1,5]，则只需要m<g max(x)即可，g(x)=x−2x2=1x−2x2，令t=1x，t∈[15,1]，则y=t−2t2，对称轴为t=14，当t=14时，y有最大值为18，则g max (x )=18，∴m <18． 故答案为m <18．32. 设函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈恒有f (x +1)=f (x −1)，已知当x ∈[0,1]时，f(x)=(12)1−x ，则下列命题：①对任意x ∈，都有f (x +2)=f (x )；②函数f(x)在(1,2)上递减，在(2,3)上递增；③函数f(x)的最大值是1，最小值是0；④当x ∈(3,4)时，f(x)=(12)x−3．其中正确命题的序号有_________．【答案】①②④【解析】解：由f(x +1)=f(x −1)，可得f(x +2)=f[(x +1)+1]=f[(x +1)−1]=f(x)，故①正确；当x ∈[0,1]时，f(x)=(12)1−x 为增函数，由f(x)为R 上的偶函数，可得x ∈[−1,0]时，f(x)为减函数，结合函数的周期为2，可得函数f(x)在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数，故②正确；当x 为奇数时，函数f(x)的最大值是1，当x 为偶数时，函数的最小值是12，故③错误；当x ∈(3,4)时，x −4∈(−1,0)，可得f(x −4)=(12)1+x−4=f(x)，故④正确．故答案为：①②④．三、解答题（本大题共4小题，共30分） 33. 如果函数y =f (x )的定义域为R ，对于定义域内的任意x ，存在实数a 使得f (x +a )=f (−x )成立，则称此函数具有“P (a )性质”．(1)判断函数y =sinx 是否具有“P (a )性质”，若具有“P (a )性质”，求出所有a 的值；若不具有“P (a )性质”，请说明理由．(2)已知y =f (x )具有“P (0)性质”，且当x ≤0时f (x )=(x +m )2，求y =f (x )在[0,1]上的最小值．(3)设函数y =g (x )具有“P (±1)性质”，且当−12≤x ≤12时，g (x )=|x |若y =g (x )与y =mx 交点个数为2018个，其中m >0，求m 的取值范围．【答案】解：(1)由sin(x +a)=sin(−x)得sin(x +a)=−sinx ，根据诱导公式得a =2kπ+π，k ∈Z ，所以y =sinx 具有“P(a)性质”，其中a =2kπ+π，k ∈Z ；(2)y =f(x)具有P(0)性质，则有f(x)=f(−x)，设x > 0，则−x <0，f(x)=f(−x)=(x −m)2，所以f(x)={(x +m)2,x ≤0(x −m)2,x >0, 当m ≤0时，函数在[0,1]单调递增，所以最小值为f(0)=m 2，当m ≥1时，函数在[0,1]单调递减，所以最小值为f(1)=(1−m)2，当0<m <1时，函数在[0,m]单调递减，在[m,1]单调递增，所以最小值为f(m)=0；(3)因为y =g (x )具有“P(±1)性质”，所以g(1+x)=g(−x)，g(−1+x)=g(−x)，所以y =g (x )的函数图象关于直线x =±12对称， 且g(x +2)=g(1+1+x)=g(−1−x)=g(x)，从而得到y =g(x)是以2为周期的函数，又设12≤x ≤32，则−12≤1−x ≤12，g(x)=g(x −2)=g(−1+x −1)=g(−x +1)=|−x +1|=|x −1|=g(x −1)，根据函数y =g(x)在一个周期上的解析式得到，y =g(x)是以2为周期的偶函数，由于m >0，在每一个[k,k +1]，k ∈N ，区间内均有两个交点，故当直线y =mx 过点(1009−12,12)和(1009+12,12)之间(不取此两点)，代入得． 34. 函数f(x)=log a (2−ax)(a >0,a ≠1)(Ⅰ)当a =3时，求函数f(x)的定义域；(Ⅱ)若g(x)=f(x)−log a (2+ax)，判断g(x)的奇偶性；(Ⅲ)是否存在实数a ，使函数f(x)在[2,3]递增，并且最大值为1，若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．【答案】解：(Ⅰ)由题意得f(x)=log 3(2−3x)，∴2−3x >0，即x <23，∴函数f(x)的定义域为(−∞,23)；(Ⅱ)易知g(x)=log a (2−ax)−log a (2+ax)，∵2−ax >0且2+ax >0，∴−2a <x <2a，定义域关于原点对称． 又∵g(x)=log a (2−ax)−log a (2+ax)=log a 2−ax 2+ax ，∴g(−x)=log a 2+ax 2−ax =−log a 2−ax 2+ax =−g(x)，∴g(x)为奇函数．(3)令μ=2−ax ，∵a >0，a ≠1，∴μ=2−ax 在[2,3]上单调递减，又∵函数f(x)在[2,3]上递增，∴0<a <1又∵函数f(x)在[2,3]上的最大值为1，∴f(3)=1，即f(3)=log a (2−3a)=1，∴a =12，∵0<a <1，a =12符合题意．即存在实数a =12，使函数f(x)在[2,3]上递增，并且最大值为1． 35. 已知函数f(x)对任意实数x 、y 恒有f(x +y)=f(x)+f(y)，当x >0时，f(x)<0，且f(1)=−2．(1)判断f(x)的奇偶性；(2)求f(x)在区间[−3,3]上的最大值；(3)若f(x)<m 2−2am +2对所有的x ∈[−1,1],a ∈[−1,1]恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】解：(1)取x = y = 0，则f(0 + 0)= 2f(0)，∴f(0)= 0，取y = −x ，则f(x −x)= f(x)+ f(−x)=f(0)=0，∴f(−x)= − f(x)对任意x ∈R 恒成立，∴f(x)为奇函数；(2)任取x 1，x 2 ∈(−∞,+∞)且x 1<x 2，则x 2−x 1> 0，f(x 2)+ f(−x 1)= f(x 2 −x 1)<0，∴f(x 2)< − f(−x 1)，又f(x)为奇函数，∴f(x 1)> f(x 2).故f(x)为R 上的减函数．∴x ∈[−3,3]，f(x)≤f(−3)，∵f (3) = 3f(1)= − 2×3 = −6，∴f(−3)= − f(3)= 6，故f(x)在[−3,3]上的最大值为6；(3)∵f(x)在[−1,1]上是减函数，∴f(x)≤f(−1)=−f(1)= 2，∵f(x)<m 2−2am +2，对所有x ∈[−1,1]，a ∈[−1,1]恒成立．∴m 2−2am +2>2，∀a ∈[−1,1]恒成立;即m 2−2am >0，∀a ∈[−1,1]恒成立，令g(a)=−2am +m 2，则{g(−1)>0g(1)>0，即{2m +m 2>0−2m +m 2>0，解得：m > 2或m <−2． ∴实数m 的取值范围为(−∞,−2)∪(2,+∞)．36. 试分别解答下列两个小题：(Ⅰ)已知函数f (x )=√log 0.5(4x −3)+2xx−1−1的定义域为M ，求g (x )=x 2−2ax 在x ∈M 时的最小值；(Ⅱ)已知f (x )是定义在[−2,2]上的奇函数，且f (x )在[−2,2]上为减函数，若f (3a )+f (3a −1)<0，试求实数a 的取值范围．【答案】解：(Ⅰ)由{log 0.5(4x −3)⩾0x −1≠0可得： {0<4x −3⩽1x −1≠0⇒34<x <1, 所以f(x)的定义域为：M =(34,1)对于g(x)=x 2−2ax ，其对称轴为：x =a ，当a ⩽34时，g (x )的最小值只能在x =34时取到， 但34∉M ，所以此时取不到最小值；当a ⩾1时，g(x)的最小值只能在x =1时取到， 但1∉M ，所以此时取不到最小值；当34<a <1时，g(x)min =g(a)=−a 2； (Ⅱ)∵f(x)是定义在[−2,2]上的函数，∴为使f(3a)+f(3a −1)<0有意义，必须{−2⩽3a ⩽2−2⩽3a −1⩽2,① 由f(3a)+f(3a −1)<0可得：f(3a)<−f(3a −1)， ∵f(x)是奇函数，∴f(3a)<f(1−3a)，∵f(x)在[−2,2]上为减函数，∴3a >1−3a ，②由①②得：16<a ⩽23．。

2022年新高考数学专题限时练习(十) 函数的奇偶性与周期性建议用时：40分钟一、选择题1．下列函数中，为偶函数的是( ) A ．y ＝(x ＋1)2 B ．y ＝2－xC ．y ＝|sin x |D ．y ＝lg(x ＋1)＋lg(x －1)C [对于A ，函数图象关于x ＝－1对称，故排除A. 对于B ，f (－x )＝2x ≠f (x )，函数不是偶函数．对于C ，f (－x )＝|sin(－x )|＝|－sin x |＝|sin x |＝f (x )，因此函数是偶函数． 对于D ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0x －1＞0得x ＞1，函数的定义域为(1，＋∞)，定义域不关于原点对称，因此函数不是偶函数，故选C.]2．函数f (x )＝9x ＋13x 的图象( ) A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称 C ．关于坐标原点对称D ．关于直线y ＝x 对称B [因为f (x )＝9x ＋13x ＝3x ＋3－x ，易知f (x )为偶函数，所以函数f (x )的图象关于y 轴对称．]3．设f (x )是定义在R 上周期为2的奇函数．当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2－x ，则 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝( )A ．－14B ．－12C ．14D ．12C [由题意知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫122－12＝14，故选C.]4．(多选)(2020·山东模拟)函数f (x )的定义域为R ，且f (x ＋1)与f (x ＋2)都为奇函数，则( )A ．f (x )为奇函数B ．f (x )为周期函数C ．f (x ＋3)为奇函数D ．f (x ＋4)为偶函数ABC [因为f (x ＋1)，f (x ＋2)均为奇函数，所以f (－x ＋1)＝－f (x ＋1)，f (－x ＋2)＝－f (x ＋2)．在f (－x ＋1)＝－f (x ＋1)中，以x ＋1代换x ，得f (－x )＝－f (x ＋2)，又f (－x ＋2)＝－f (x ＋2)，所以f (－x )＝f (－x ＋2)，以－x 代换x ，得f (x )＝f (x ＋2)，所以f (x )是以2为周期的周期函数，选项B 正确；由f (－x ＋2)＝－f (x ＋2)，得f (－x ＋2)＝－f (x )，以－x 代换x ，得f (x ＋2)＝－f (－x )，得f (x )＝－f (－x )，即f (－x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数，选项A 正确；f (x ＋3)＝f (x ＋1)，f (x ＋1)为奇函数，故f (x ＋3)为奇函数，选项C 正确；f (x ＋4)＝f (x ＋2)＝f (x )，若f (x ＋4)为偶函数，则f (x )也为偶函数，与f (x )为奇函数矛盾，故选项D 不正确．]5．已知函数f (x )＝a －2e x ＋1(a ∈R )是奇函数，则函数f (x )的值域为( ) A ．(－1,1) B ．(－2,2) C ．(－3,3)D ．(－4,4)A [法一：由f (x )是奇函数知f (－x )＝－f (x )，所以a －2e －x ＋1＝－a ＋2e x ＋1，得2a ＝2e x ＋1＋2e －x ＋1，所以a ＝1e x ＋1＋e x e x ＋1＝1，所以f (x )＝1－2e x ＋1.因为e x ＋1＞1，所以0＜1e x ＋1＜1，－1＜1－2e x＋1＜1，所以函数f (x )的值域为(－1,1)．法二：函数f (x )的定义域为R ，且函数f (x )是奇函数，所以f (0)＝a －1＝0，即a ＝1，所以f (x )＝1－2e x ＋1.因为e x＋1＞1，所以0＜1e x ＋1＜1，－1＜1－2e x＋1＜1，所以函数f (x )的值域为(－1,1)．]6．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－ax ，x ≤0，ax 2＋x ，x ＞0为奇函数，则f (a )＝( )A ．－1B ．1C ．0D ．±1C [∵函数f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，则有f (－1)＝－f (1)，即1＋a ＝－a －1，即2a ＝－2，得a ＝－1(符合题意)，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ≤0，－x 2＋x ，x ＞0.∴f (－1)＝(－1)2＋(－1)＝0.] 二、填空题7．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝log 2(－x )，则f (f (2))＝________.0 [f (2)＝－f (－2)＝－log 22＝－1，所以f (f (2))＝f (－1)＝log 21＝0.]8．已知f (x )是R 上的偶函数，且当x ＞0时，f (x )＝x 2－x －1，则当x ＜0时，f (x )＝________.x 2＋x －1 [当x ＜0时，－x ＞0，则f (－x )＝(－x )2－(－x )－1＝x 2＋x －1，又f (x )是偶函数，所以f (x )＝f (－x )＝x 2＋x －1.]9．(2020·北京牛栏山一中月考)函数f (x )＝e x －1e x ＋a 为奇函数，则a ＝________，f (x )的值域为________．1 (－1,1) [∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝e －x －1e －x ＋a ＝1－e x a e x ＋1＝－f (x )＝1－e xe x ＋a，∴a e x＋1＝e x ＋a ，∴a ＝1，∴f (x )＝e x －1e x ＋1＝1－2e x ＋1.∵e x ＞0，∴e x＋1＞1，∴0＜2e x ＋1＜2，∴－1＜1－2e x ＋1＜1，即f (x )的值域为(－1,1)．]三、解答题10．f (x )为R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝－2x 2＋3x ＋1，求f (x )的解析式． [解] 当x ＜0时，－x ＞0，则f (－x )＝－2(－x )2＋3(－x )＋1＝－2x 2－3x ＋1. 由于f (x )是奇函数，故f (x )＝－f (－x )， 所以当x ＜0时，f (x )＝2x 2＋3x －1. 因为f (x )为R 上的奇函数，故f (0)＝0. 综上可得f (x )的解析式为 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＋3x ＋1，x ＞0，0，x ＝0，2x 2＋3x －1，x ＜0.11．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意实数x 有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x 成立．(1)证明y ＝f (x )是周期函数，并指出其周期； (2)若f (1)＝2，求f (2)＋f (3)的值．(3)若g (x )＝x 2＋ax ＋3，且y ＝|f (x )|·g (x )是偶函数，求实数a 的值． [解] (1)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x ，且f (－x )＝－f (x )， 知f (3＋x )＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＋⎝⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32－⎝⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f (－x )＝f (x )，所以y＝f(x)是周期函数，且T＝3是其一个周期．(2)因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，且f(－1)＝－f(1)＝－2，又T＝3是y＝f(x)的一个周期，所以f(2)＋f(3)＝f(－1)＋f(0)＝－2＋0＝－2.(3)因为y＝|f(x)|·g(x)是偶函数，且|f(－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|，所以|f(x)|为偶函数．故g(x)＝x2＋ax＋3为偶函数，即g(－x)＝g(x)恒成立，于是(－x)2＋a(－x)＋3＝x2＋ax＋3恒成立．于是2ax＝0恒成立，所以a＝0.1．(多选)(2020·山东日照联考)已知定义在R上的函数f(x)满足条件f(x＋2)＝－f(x)，且函数f(x－1)为奇函数，则()A．函数f(x)是周期函数B．函数f(x)的图象关于点(－1,0)对称C．函数f(x)为R上的偶函数D．函数f(x)为R上的单调函数ABC[因为f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故f(x)是周期函数，A正确；因为函数f(x－1)为奇函数，所以函数f(x－1)的图象关于原点中心对称，所以f(x)的图象关于点(－1,0)对称，B正确；因为函数f(x－1)为奇函数，所以f(－x－1)＝－f(x－1)，又f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋1)＝－f(x－1)，所以f(x＋1)＝f(－x －1)，f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)为R上的偶函数，C正确；因为函数f(x－1)为奇函数，所以f(－1)＝0，又函数f(x)为R上的偶函数，所以f(1)＝0，所以函数f(x)不单调，D不正确．]2．(多选)(2020·山东烟台期中)已知函数y ＝f (x )是R 上的奇函数，对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (x )＋f (2)成立，当x 1，x 2∈[0,1]，且x 1≠x 2时，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0，则下列结论正确的有( )A ．f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 019)＝0B ．直线x ＝－5是函数y ＝f (x )的图象的一条对称轴C ．函数y ＝f (x )在[－7,7]上有5个零点D ．函数y ＝f (x )在[－7，－5]上单调递减ABD [由f (x )是奇函数可得f (0)＝0.令x ＝2，由f (2－x )＝f (x )＋f (2)可得f (2)＝0，则f (x )＝f (2－x )，f (x )的图象关于直线x ＝1对称．f (x )＝f (2－x )＝－f (x －2)＝－[－f (x －2－2)]＝f (x －4)，所以f (x )是周期为4的周期函数．当x 1，x 2∈[0,1]，且x 1≠x 2时，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0，所以f (x )在区间[0,1]上单调递增．根据以上信息可画出函数f (x )的草图如图所示．对于A ，易得f (1)＋f (3)＝…＝f (2 017)＋f (2 019)＝0，f (2)＝f (4)＝…＝f (2 018)＝0，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 019)＝0，A 正确．对于B ，直线x ＝－5是函数y ＝f (x )的图象的一条对称轴，B 正确．对于C ，函数y ＝f (x )在[－7,7]上有7个零点，C 不正确．对于D ，函数y ＝f (x )在[－7，－5]上单调递减，D 正确．故选ABD.]3．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数； (2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式． [解] (1)证明：∵f (x ＋2)＝－f (x )， ∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )．∴f (x )是周期为4的周期函数．(2)∵x ∈[2,4]，∴－x ∈[－4，－2]，∴4－x ∈[0,2]， ∴f (4－x )＝2(4－x )－(4－x )2＝－x 2＋6x －8. ∵f (4－x )＝f (－x )＝－f (x )，∴－f (x )＝－x 2＋6x －8， 即f (x )＝x 2－6x ＋8，x ∈[2,4]．1．已知函数f (x )＝log 2(x 2＋a －x )是奇函数，则a ＝________，若g (x )＝⎩⎨⎧f (x )，x ≤0，2x －1，x ＞0，则g (g (－1))＝______. 12 [由f (x )＝log 2(x 2＋a －x )得x 2＋a －x ＞0，则a ＞0，所以函数f (x )的定义域为R .因为函数f (x )是奇函数，所以f (0)＝log 2a ＝0，解得a ＝1.所以g (－1)＝f (－1)＝log 2(2＋1)＞0，g (g (－1))＝2－1＝ 2.]2．对于函数f (x )，若在定义域D 内存在实数x 0满足f (2－x 0)＝－f (x 0)，则称函数y ＝f (x )为“类对称函数”．(1)判断函数g (x )＝x 2－2x ＋1是否为“类对称函数”？若是，求出所有满足条件的x 0的值；若不是，请说明理由；(2)若函数h (x )＝3x ＋t 为定义在(－1,3)上的“类对称函数”，求实数t 的取值范围．[解] (1)是，且满足条件的x 0为1.g (x )＝(x －1)2，设实数x 0满足g (2－x 0)＝－g (x 0)，即(2－x 0－1)2＝－(x 0－1)2，解得x 0＝1，所以函数g (x )是“类对称函数”，且满足条件的x 0为1. (2)因为h (x )是“类对称函数”，所以存在x 0∈(－1,3)，使得32－x 0＋t ＝－(3x 0＋t )，t ＝－12(32－x 0＋3x0)， 设u ＝3x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫13，27，则t ＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫9u ＋u ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－413，－3，所以t 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－413，－3.。

2.3函数的奇偶性与周期性必备知识预案自诊知识梳理1.函数的奇偶性2.函数的周期性(1)周期函数一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个非零常数T,使得对每一个x∈D都有x+T ∈D,且f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期.(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.(3)周期不唯一:若T是函数y=f(x)(x∈R)的一个周期,则nT(n∈Z且n≠0)也是函数f(x)的周期,即f(x+nT)=f(x).1.函数奇偶性的五个重要结论(1)如果一个奇函数f(x)在x=0处有定义,即f(0)有意义,那么一定有f(0)=0.(2)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|).(3)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.(4)在公共定义域内有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇.(5)只有f(x)=0(定义域是关于原点对称的非空数集)既是奇函数又是偶函数.2.周期性的三个常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x(a,b为非零常数):(1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a;,则T=2a;(2)若f(x+a)=±1f(x)(3)若f(x+a)=f(x-b),则T=a+b.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”. (1)若函数f (x )为奇函数,则一定有f (0)=0. ( ) (2)若函数y=f (x+b )是奇函数,则函数y=f (x )的图象关于点(b ,0)中心对称. ( ) (3)如果函数f (x ),g (x )是定义域相同的偶函数,那么F (x )=f (x )+g (x )是偶函数. ( ) (4)已知函数y=f (x )是定义在R 上的偶函数,若f (x )在(-∞,0)上单调递减,则f (x )在(0,+∞)上单调递增. ( )(5)若T 为y=f (x )的一个周期,则nT (n ∈Z )是函数f (x )的周期. ( ) 2.已知f (x )是定义在R 上的奇函数,当x>0时,f (x )=a ln x+a.若f (-e)=4,则f (0)+f (1)=( ) A.-1 B.0 C.-2 D.13.已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数,当x ≥0时,f (x )=x (1+x ).则当x<0时,f (x )的解析式为( )A.f (x )=x (1+x )B.f (x )=x (1-x )C.f (x )=-x (1+x )D.f (x )=x (x-1)4.(2020江苏,7)已知y=f (x )是奇函数,当x ≥0时,f (x )=x 23,则f (-8)的值是 . 5.函数f (x )的定义域为R ,且对于x ∈R ,恒有f (x+2)=f (x ).当x ∈[2,4]时,f (x )=x 2-2x ,则f (2 021)= .关键能力学案突破考点函数奇偶性的判断【例1】(1)下列函数是奇函数的是 .①f (x )=x lg(x+√x 2+1);②f (x )={-x 2+2x +1,x >0,x 2+2x -1,x <0;③f (x )=√4-x 2|x+3|-3.(2)(2020河南实验中学4月模拟,3)设函数f (x ),g (x )的定义域都为R ,且f (x )是奇函数,g (x )是偶函数,则下列结论正确的是( )A.f (x )·g (x )是偶函数B.|f (x )|·g (x )是奇函数C.f (x )·|g (x )|是奇函数D.|f (x )·g (x )|是奇函数解题心得判断函数奇偶性的两种方法(1)定义法①定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的前提.②判断f (x )与f (-x )是否具有等量关系,在判断奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f (x )+f (-x )=0(奇函数)或f (x )-f (-x )=0(偶函数))是否成立.(2)图象法对点训练1(1)下列函数是奇函数的是 .①f (x )=x 3-x ; ②f (x )=(x+1)√1-x1+x ; ③f (x )={x 2+x ,x <0,-x 2+x ,x >0.(2)(多选)(2020山东模考卷,12)函数f (x )的定义域为R ,且f (x+1)与f (x+2)都为奇函数,则( )A.f (x )为奇函数B.f (x )为周期函数C.f (x+3)为奇函数D.f (x+4)为偶函数考点函数奇偶性的应用【例2】(1)已知函数f (x )为奇函数且定义域为R ,当x>0时,f (x )=x+1,则f (x )的解析式为 .(2)若函数f (x )={x 2-2x ,x ≥0,-x 2+ax ,x <0为奇函数,则实数a 的值为( )A.2B.-2C.1D.-1(3)(2020河北武邑中学三模,5)已知f (x )是定义在[2b ,1-b ]上的偶函数,且在[2b ,0]上单调递增,则f (x-1)≤f (2x )的解集为( )A.-1,23B.-1,13C.[-1,1]D.13,1解题心得已知函数奇偶性可以解决的几个问题(1)求函数值:利用函数奇偶性将待求值转化为已知区间上的函数值求解.(2)求解析式:将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用函数奇偶性求出.(3)求解析式中的参数:利用待定系数法求解,根据f (x )±f (-x )=0得到关于参数的恒等式,由系数对应相等得参数的方程或方程(组),进而得到参数的值.(4)解不等式:利用奇偶性与单调性将抽象函数的不等式转化为基本的不等式,进而得出未知数的范围.(5)画函数图象和判断单调性:利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性.对点训练2(1)若f (x )为奇函数,g (x )为偶函数,且f (x )-g (x )=x 2+3x+2,则f (x )+g (x )= .(2)(2020湖南师大附中一模,理13)已知函数f (x )=ax-log 2(2x +1)+cos x (a ∈R )为偶函数,则a= .(3)已知偶函数f (x )在区间[0,+∞)上单调递增,则满足f (2x-1)<f 13的x 的取值范围是 .考点函数周期性的应用【例3】(1)已知f (x )是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f (1-x )=f (1+x ).若f (1)=2,则f (1)+f (2)+f (3)+…+f (50)=( )A.-50B.0C.2D.50(2)(2020江西名校大联考,理13)已知函数f (x )={2x ,x ≤4,f (x -1),x >4,则f (5+log 26)的值为 .解题心得函数周期性的判断与应用(1)判断函数的周期性只需证明f (x+T )=f (x )(T ≠0)便可得到函数是周期函数,且周期为T ,函数的周期性常与函数的其他性质综合命题.(2)根据函数的周期性,可以由函数的局部性质得到函数的整体性质,即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能.对点训练3(1)(2020陕西西安中学八模,理8)已知函数f (x )定义域为R 且满足f (-x )=-f (x ),f (x )=f (2-x ),若f (1)=4,则f (6)+f (7)=( )A.-8B.-4C.0D.4(2)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数,若对于x ≥0,都有f (x+2)=-1f (x ),且当x ∈[0,2)时,f (x )=log 2(x+1),则f (-2 013)+f (2 015)= .考点函数的对称性【例4】已知函数f (x )(x ∈R )满足f (-x )=2-f (x ),若函数y=x+1x 与y=f (x )的图象的交点为(x 1,y 1),(x 2,y 2),…,(x m ,y m ),则∑i=1m(x i +y i )=( )A.0B.mC.2mD.4m解题心得函数对称性的判断与应用(1)对定义域的要求:无论是轴对称还是中心对称,均要求函数的定义域要关于对称轴或对称中心对称.(2)轴对称的等价描述:①f (a-x )=f (a+x )⇔f (x )的图象关于直线x=a 轴对称(当a=0时,恰好就是偶函数);②f (a-x )=f (b+x )⇔f (x )的图象关于直线x=a+b2轴对称;③f (x+a )是偶函数,则f (x+a )=f (-x+a ),进而可得到f (x )的图象关于直线x=a 轴对称.(3)中心对称的等价描述:①f (a-x )=-f (a+x )⇔f (x )的图象关于点(a ,0)中心对称(当a=0时,恰好就是奇函数);②f (a-x )=-f (b+x )⇔f (x )的图象关于点a+b2,0中心对称;③f (x+a )是奇函数,则f (x+a )=-f (-x+a ),进而可得到f (x )的图象关于点(a ,0)中心对称.对点训练4已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x-4)=-f (x ),且在区间[0,2]上单调递增.若方程f (x )=m (m>0)在区间[-8,8]上有四个不同的根x 1,x 2,x 3,x 4,则x 1+x 2+x 3+x 4= .考点函数性质的综合应用【例5】(1)(2020江西名校大联考,理9)已知奇函数f (x )在R 上是增函数,g (x )=xf (x ).若a=g (log 24.1),b=g (-20.2),c=g (π),则a ,b ,c 的大小关系为( )A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a(2)(2020安徽合肥一中模拟,理5)已知函数f (x )的图象为[-1,1]上连续不断的曲线,且2 019f (-x )=12019f (x ),f (x )在[0,1]上单调递减.若f lo g 12m <f lo g 14(m+2)成立,则实数m 的取值范围为( )A.(-1,2)B.12,2C.12,2 D.(0,2)(3)(2020山东潍坊二模,5)设函数f (x )为奇函数,且当x ≥0时,f (x )=e x -cos x ,则不等式f (2x-1)+f (x-2)>0的解集为( )A.(-∞,1)B.-∞,13 C.13,+∞D.(1,+∞)解题心得函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略(1)函数单调性与奇偶性结合.注意奇函数在对称区间上的单调性相同,偶函数在对称区间上的单调性相反.(2)周期性与奇偶性结合.此类问题多考查求值问题,常利用奇偶性及周期性进行转换,将所求函数值的自变量转化到已知解析式的定义域内求解.(3)周期性、奇偶性与单调性结合.解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间,再利用奇偶性和单调性求解.对点训练5(1)(2020河南开封三模,文12,理11)若函数f(x)对∀a,b∈R,同时满足当a+b=0时有f(a)+f(b)=0;当a+b>0时有f(a)+f(b)>0,则称f(x)为Ω函数.下列函数:①f(x)=x-sin x,②f(x)=e x-e-x,③f(x)=e x+e-x,④f(x)={0,x=0,-1x,x≠0,是Ω函数的为()A.①②B.②③C.③④D.①④(2)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上单调递增,则()A.f(-25)<f(11)<f(80)B.f(80)<f(11)<f(-25)C.f(11)<f(80)<f(-25)D.f(-25)<f(80)<f(11)(3)已知函数f(x)=lo g1e x2+1e-xe,则使得f(x+1)<f(2x-1)成立的x的取值范围是.2.3函数的奇偶性与周期性必备知识·预案自诊知识梳理1.f(-x)=f(x)f(-x)=-f(x)y轴原点考点自诊1.(1)×(2)√(3)√(4)√(5)×2.C 由题意f (-e)=-f (e)=-2a=4,可得a=-2.所以当x>0时,f (x )=-2ln x-2,所以f (1)=-2.又因为f (0)=0,所以f (0)+f (1)=-2.故选C .3.B 当x<0时,-x>0,∴f (-x )=-x [1+(-x )].又f (x )为奇函数,∴-f (x )=-x (1-x ),∴f (x )=x (1-x ),故选B .4.-4 ∵y=f (x )是奇函数,∴f (-8)=-f (8)=-823=-4.5.3 由f (x+2)=f (x ),知f (x )是周期为T=2的周期函数.∵当x ∈[2,4]时,f (x )=x 2-2x ,∴f (2021)=f (1009×2+3)=f (3)=32-2×3=3,即f (2021)=3.关键能力·学案突破例1(1)②③ (2)C (1)①∵√x 2+1>|x|≥0,∴函数f (x )的定义域为R ,关于原点对称.又f (-x )=(-x )lg(-x+√(-x )2+1)=-x lg(√x 2+1-x )=x lg(√x 2+1+x )=f (x ), 即f (-x )=f (x ),∴f (x )是偶函数.②由题意知函数的定义域为{x|x ≠0},关于原点对称. 当x>0时,-x<0,此时f (x )=-x 2+2x+1,f (-x )=x 2-2x-1=-f (x );当x<0时,-x>0,此时f (x )=x 2+2x-1,f (-x )=-x 2-2x+1=-f (x ).故对于x ∈(-∞,0)∪(0,+∞),均有f (-x )=-f (x ),即函数f (x )是奇函数.③由{4-x 2≥0,|x +3|≠3,解得-2≤x ≤2,且x ≠0.∴函数的定义域关于原点对称.∴f (x )=√4-x 2x+3-3=√4-x 2x.又f (-x )=√4-(-x )2-x=-√4-x 2x =-f (x ),∴f (-x )=-f (x ),即函数f (x )是奇函数.(2)∵f (x )是奇函数,g (x )是偶函数, ∴f (-x )=-f (x ),g (-x )=g (x ). f (-x )·g (-x )=-f (x )·g (x ),故函数f (x )·g (x )是奇函数,故A 错误; |f (-x )|·g (-x )=|f (x )|·g (x ),故函数|f (x )|·g (x )是偶函数,故B 错误; f (-x )·|g (-x )|=-f (x )·|g (x )|,故函数f (x )·|g (x )|是奇函数,故C 正确; |f (-x )·g (-x )|=|f (x )·g (x )|,故函数|f (x )·g (x )|为偶函数,故D 错误.故选C . 对点训练1(1)①③ (2)ABC (1)①定义域为R ,关于原点对称.又因为f (-x )=(-x )3-(-x )=-x 3+x=-(x 3-x )=-f (x ), 所以函数为奇函数.②由1-x1+x ≥0可得函数的定义域为(-1,1].∵函数定义域不关于原点对称,∴函数为非奇非偶函数. ③函数的定义域关于原点对称.当x>0时,-x<0,f (x )=-x 2+x , ∴f (-x )=(-x )2-x=x 2-x=-(-x 2+x )=-f (x ); 当x<0时,-x>0,f (x )=x 2+x ,∴f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x=-(x2+x)=-f(x).∴函数为奇函数.(2)∵f(x+1)与f(x+2)都为奇函数,∴f(-x+1)=-f(x+1), ①f(-x+2)=-f(x+2), ②∴由①可得f[-(x+1)+1]=-f(x+1+1),即f(-x)=-f(x+2), ③∴由②③得f(-x)=f(-x+2),∴f(x)的周期为2.∴f(x)=f(x+2),则f(x)为奇函数.∴f(x+1)=f(x+3),则f(x+3)为奇函数.故选ABC.例2(1)f(x)={x+1,x>0,0,x=0,x-1,x<0(2)B(3)B(1)当x<0时,-x>0,则f(-x)=-x+1.又f(x)=-f(-x),∴f(x)=x-1.∵f(x)是定义域为R的奇函数,∴f(0)=0.∴f(x)={x+1,x>0, 0,x=0,x-1,x<0.(2)∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x).当x<0时,-x>0,∴f(x)=-f(-x)=-(x2+2x)=-x2-2x.又当x<0时,f(x)=-x2+ax,∴a=-2.(3)∵f(x)是定义在[2b,1-b]上的偶函数,∴2b+1-b=0,∴b=-1.∵f(x)在[-2,0]上单调递增,∴f(x)在[0,2]上单调递减.由f(x-1)≤f(2x)可得|x-1|≥|2x|,即(x-1)2≥4x2,且-2≤x-1≤2,-2≤2x≤2,求得-1≤x≤13,故选B.对点训练2(1)-x2+3x-2(2)12(3)13,23(1)∵f(x)-g(x)=x2+3x+2,∴f(-x)-g(-x)=x2-3x+2.又f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,∴-f(x)-g(x)=x2-3x+2,∴f(x)+g(x)=-x2+3x-2.(2)f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x),即a(-x)-log2(2-x+1)+cos(-x)=ax-log2(2x+1)+cos x,变形可得2ax=log2(2x+1)-log2(2-x+1)=x,解得a=12.(3)∵f(x)是偶函数,且在[0,+∞)上单调递增,∴f(2x-1)<f13,即|2x-1|<13,∴-1 3<2x-1<13,则13<x<23,即x的取值范围为13,23.例3(1)C(2)12(1)因为f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,且f(1-x)=f(1+x),所以f(1+x)=-f(x-1),所以f (3+x )=-f (x+1)=f (x-1),所以周期T=4.因此f (1)+f (2)+f (3)+…+f (50)=12[f (1)+f (2)+f (3)+f (4)]+f (1)+f (2). 因为f (3)=-f (1),f (4)=-f (2), 所以f (1)+f (2)+f (3)+f (4)=0. 因为f (2)=f (-2)=-f (2), 所以f (2)=0.从而f (1)+f (2)+f (3)+…+f (50)=f (1)=2.故选C .(2)由题意当x>4时,函数f (x )=f (x-1),所以f (x )在(4,+∞)上的周期为1.因为2<log 26<3,所以5+log 26∈(7,8),1+log 26∈(3,4),所以f (5+log 26)=f (1+log 26)=21+log 26=2×6=12.对点训练3(1)B (2)0 (1)由f (-x )=-f (x ),得f (x )为奇函数,所以f (0)=0.由f (x )=f (2-x )=-f (x-2),则f (x-2)=-f (x-4)=-f (x ),所以f (x )的周期为4.f (6)+f (7)=f (2)+f (-1)=f (0)-f (1)=0-4=-4.故选B .(2)当x ≥0时,f (x+2)=-1f (x ),∴f (x+4)=f (x ),即4是f (x )(x ≥0)的一个周期.∴f (2013)=f (1)=log 22=1,f (-2013)=f (2013)=1,f (2015)=f (3)=-1f (1)=-1,∴f (-2013)+f (2015)=0.例4B 由f (-x )=2-f (x )得f (-x )+f (x )=2,即函数f (x )的图象关于点(0,1)中心对称.又y=x+1x =1+1x 的图象也关于点(0,1)中心对称,∴x 1+x 2+…+x m =0,y 1+y 2+…+y m =m ,∴∑i=1m(x i +y i )=m.对点训练4-8 ∵f (x )是奇函数,∴f (x-4)=-f (x )可化为f (x )=-f (x-4)=f (4-x ),即f (x )的图象关于直线x=2对称,且f (0)=0.由f (x-4)=-f (x )可知函数周期为8.不妨设x 1<x 2<x 3<x 4,则x 1+x 2=2×(-6)=-12,x 3+x 4=2×2=4,∴x 1+x 2+x 3+x 4=-8.例5(1)C (2)C (3)D (1)因为奇函数f (x )在R 上是增函数,所以当x>0时,f (x )>0.对任意的x 1,x 2∈(0,+∞)且x 1<x 2,有0<f (x 1)<f (x 2),故g (x 1)<g (x 2),所以g (x )在(0,+∞)上单调递增.因为g (-x )=-xf (-x )=xf (x ),所以g (x )为偶函数.又因为log 24.1∈(2,3),20.2∈(1,2),所以1<20.2<log 24.1<π,而b=g (-20.2)=g (20.2),所以b<a<c ,故选C .(2)由2019f (-x )=12019f (x ),得2019f (-x )·2019f (x )=1,即2019f (-x )+f (x )=1,即f (x )+f (-x )=0,故函数f (x )为奇函数,则f (x )在[-1,1]上单调递减.所以{ log 12m >log 14(m +2),-1≤log 12m ≤1,-1≤log 14(m +2)≤1,m >0,m +2>0, 解得12≤m<2.故选C .(3)当x≥0时,f'(x)=e x+sin x>0,则f(x)在[0,+∞)上单调递增.f(x)为奇函数,则f(x)在区间(-∞,0]上也单调递增,故f(x)为R上的增函数.由f(2x-1)+f(x-2)>0,可得f(2x-1)>-f(x-2),即f(2x-1)>f(2-x),又因为f(x)在R上为增函数,所以2x-1>2-x,解得x>1,故选D.对点训练5(1)A(2)D(3)(0,2)(1)当a+b=0时有f(a)+f(b)=0,即f(-a)=-f(a),则f(x)为R上的奇函数;当a+b>0时有f(a)+f(b)>0,即当a>-b时有f(a)>-f(b)=f(-b),可得f(x)为R上的增函数.则函数f(x)为R上的奇函数,且为增函数.由①f(x)=x-sin x,定义域为R,f(-x)=-x-sin(-x)=-x+sin x=-f(x),即有f(x)为奇函数;又f'(x)=1-cos x≥0,可得f(x)为R上的增函数,故①是Ω函数.②f(x)=e x-e-x,定义域为R,f(-x)=e-x-e x=-f(x),即有f(x)为奇函数,又f'(x)=e x+e-x>0,可得f(x)为R上的增函数,故②是Ω函数.③f(x)=e x+e-x,定义域为R,f(-x)=e-x+e x=f(x),可得f(x)为偶函数,故③不是Ω函数.④f(x)={0,x=0,-1x,x≠0,定义域为R,当x≠0时,f(-x)=1x=-f(x),可得f(x)为奇函数,又f(x)在(-∞,0),(0,+∞)上单调递增,但在R上不为增函数,比如f(-1)>f(1),故④不是Ω函数.故选A.(2)因为f(x)满足f(x-4)=-f(x),所以f(x-8)=f(x),所以函数f(x)是以8为周期的周期函数,则f(-25)=f(-1),f(80)=f(0),f(11)=f(3).由f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f(x-4)=-f(x),得f(11)=f(3)=-f(-1)=f(1).因为f(x)在区间[0,2]上单调递增,f(x)在R上是奇函数,所以f(x)在区间[-2,2]上单调递增,所以f(-1)<f(0)<f(1),即f(-25)<f(80)<f(11).(3)由题意得,函数f(x)定义域是R,∵f(-x)=lo g1e x2+1e-xe=f(x),∴f(x)是偶函数.∵偶函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,且f(x+1)<f(2x-1), ∴|x+1|>|2x-1|,解得0<x<2.。