高考数学(文通用)一轮复习课件：第二章第4讲函数的奇偶性及周期性

第二章基本初等函数、导数及其应用函数的奇偶性及周期性教材回顾▼夯实基础课本温故追根求源和课梳理1.函数的奇偶性2. 周期性(1)周期函数：对于函数j=/(x),如果存在一个非零常数T,那么就称函数y=/a )为周期函数，称F 为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数/(兀)的所有周期中存在一个正周期.要点整會尸1. 辨明三个易误点 （1）应用函数的周期性时，应保证自变量在给定的区间内.使得当兀取定义域内的任何值时，都有 f(x+T)=f(x)的正数，那么这个最小 正数就叫做沧)的最小（2）判断函数的奇偶性，易忽视函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件. （3）判断函数/（兀）是奇函数，必须对定义域内的每一个x,均有/（一兀）=一/（兀），而不能说存在丸使/（一兀0）=—/（兀0），对于偶函数的判断以此类推.2.活用周期性三个常用结论对/(*)定义域内任一自变量的值(1)®f(x+a)= —f(x)9则T=2a；i⑵若Z(x+a)=y (乂),则T=2a； (1)(3)若f(x-\-a)=—屮(比)“,则T= 2a.3.奇、偶函数的三个性质(1)在奇、偶函数的定义中，f(-x)=-f(x)^ 定义域上的恒等式.(2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之也成立.利用这一性质可简化一些函数图象的画法.(3)设心)，g(x)的定义域分别是Di，6,那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇＞＜奇=偶，偶+偶=偶，偶X偶 =偶,奇乂偶=奇.（2015•高考福建卷）下列函数为奇函数的是（D B. y=e D. j=e x -e"x 双基自测 C ・ j=cosx1.2.已知/(x)=«x 2+Z»x 是定义在［«-1,加］上的偶函数，那 么"+方的值是(B )解析：因为f(x)=ax 2-\-bx 是定义在［«-1,加］上的偶函数, 所以a~l+2a=0,所以 a =-. 3X/(—x)=/(x),所以方=0,所以a+b=£ 3 A.D. 3 23.（2016•河北省五校联盟质量监测）设/（兀）是定义在R上的周期为3的函数，当xe[ - 2, 1)时，f(x)=4x2— 2, — 2WxW 0,X, 0<x<l,B. 1A. 0D. -1解析:因为心）是周期为3的周期函数，所以龙）=/（一扌+3）4.(必修1 P39习题1.3B组T3改编)若/(x)是偶函数且在(0,+ 8)上为增函数，则函数心)在(一8, °)上捋函数5.(必修1 P39习题X3A组T6改编)已知函数/(x)是定义在R 上的奇函数，当xMO时，gx) = x(1+x),则xVO时，/(x) = x(l—x)解析：当xVO时，则一x>0,所以/(—x) = (—x)(1—x)・又/(X)为奇函数，所以/(-x) = -/(x) = (-x)(1-x),所以/(X)=x(1—X)・國例1 (2014-高考安徽卷)若函ft/(x)(xe R)是周期为4的典例剖析护考点突破」 考点一函数的周期性名师导悟以例说法奇函数，且在［0 , 2］上的解析式为/(x)=\x (1—x) , OWxWl, 、sin Ji x, 1<X W2, 5/?)+眉)=—^因为当 1 <xW2 时，/(x)=sin Tix,所以 XS =sinZ r =_2-所以 3因为当 OWxWl 时，/(x)=x(l-x), 所以简兮X 。

-沪滸又因为/•(*)是奇函数，所以彳-沪-简=-需«-沪-岛今所以X5+层HW・Q互动探究若本例中“奇函数”变为"偶函数”，其他条件不变，结果如何？解：因为腭一沪⑥=缶XT)=X_6)=4)=Sin V=_2,所以眉)+令)=_5_~169函数周期性的判定与应用/(x+n=/(x)(r^o)ffi可证明函数是周期函数，且周期为T,函数的周期性他性质综合命题.(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则且比HO)也是函数的周期.1.（2016-广东省阳东一中、广雅中学高三联考） 已知函数/（兀）是定义在（一8, +8）上的奇函数，若对于任 意的实数都有/(x+2)=/(x),且当xE[0, 2)时几r)= log 2(x+l),则 /(-2 015)+7(2 016)的值为(A )B ・一2D ・1解析：因为/（兀）是奇函数，且周期为2,所以/（-20⑸+几2016) = -/(2 0均+/(2 016)=—/(1)+几0).又当 xe[0, 2)时,跟踪训练 A. -1 C. 2考点二判断函数的奇偶性f(x)=log2(x+1),所以/(—2 015)+/(2 016)= —1+0= — 1.判断下列函数的奇偶性.(2)f(x)=ylx2—1+\1—x2；X2+2, X>0,(3W)=R 兀=0,、一x2—2, xVO・［解］⑴原函数的定义域为{xlx^O},关于原点对称，并且对于定义考点二判断函数的奇偶性域内的任意一个兀都有/（一兀）=（一兀）'一」从而函数/（X）为奇函数.（2护（兀）的定义域为{一1, 1},关于原点对称.X/（-i）=/（i）=o, /（-1）=-/（1）=0,所以/（兀）既是奇函数又是偶函数.（3#（工）的定义域为R,关于原点对称，当兀＞0时，f（~x）= -（~X）2-2=-（X2+2）=一/々）；当xVO时，介一兀）=（一兀f+2= —（一工2_2）= _冷）；当兀=0时，y（o）=o,也满足/*（一兀）=_心）. 故该函数为奇函数.(1)判断函数奇偶性的常用方法及思路 ①定义法 (结论1②图象法⑵分段函数奇偶性的判断应注意:要注意定义域内X 取值的 任意性，应分段讨论，讨论时可依据兀的范围取相应的解析 式化简，判断沧）与n —兀）的关系，得出结论，也可以利用 图象作判断.［跟踪训练］2•判断下列函数的奇偶性. (1VU)=〈3—2¥+晶一3；(2W)=yj4_dI 兀+31—3；考点三函数奇偶性的应用(高频考点)解：(1)因为函数几兀)=〈3_加+畑_3的定义域为{|},不 关于坐标原点对称，所以函数/(X)既不是奇函数，也不是偶函数.(4—x 2^0 ,得一2WxW2且兀工0, lx+3l-3H0 所以/(兀)的定义域为[一2, 0)U (0, 2],关于原点对称. g ] ^4—X 2 ^4—X 2所以f(x)=」 ----- 一、——⑵由(x+3) —3 x所以/(x)= —/(—X ),所以/(x)是奇函数.函数的奇偶性是函数的重要性质，常与函数的单调性及周期性相结合命题，以选择题或填空题的形式考查，难度稍大, 为中高档题. 高考对函数奇偶性考査主要有以下五个命题角度：(1)求函数解析式；⑵求函数解析式中参数的值；(3)函数的奇偶性与单调性相结合;(4)函数的奇偶性与周期性相结合;(5)函数的奇偶性与对称性相结合.考点三函数奇偶性的应用(高频考点)典洌［3 （1）（2016-嘉兴一模）已知函数y=f（x）^x是奇函数，且/（2）=1,则/（—2）=（A ）A. -1B. 1C.一5D. 5⑵（2015•高考全国卷I ）若函数心）=jdn（x+S+Q为偶函数，贝!I a= 1（3）（2014-高考课标全国卷II）已知偶函数心）在［0, +8）单调递减，/（2） = 0.若/（兀一1）＞0，则x的取值范围是（一1，3）[解析]⑴因为y=f（x）+x是奇函数，所以f（—x）—x= — [f （x）+x],即/（—X）=—/（X）,所以/（兀）为奇函数，所以/（一2）=—/（2）= — 1,故选A・⑵因为/（兀）为偶函数，所以/（一兀）一/（兀）=0恒成立，所以一xln(—x+*\/a+?)—xln(x+^Ja+x2)—0 怛成立，所以xlna = 0恒成立，所以In a=0,即a = l.因为/（兀）是偶函数，所以图象关于y轴对称.又/（2）=0,且心）在［0, +8）单调递减，则沧）的大致图象如图所示，由f （x—1）>0,得一2<x—1<2,即一l<x<3.与函数奇偶性有关问题的解决方法（1）已知函数的奇偶性求函数值将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解.（2）已知函数的奇偶性求解析式将待求区间上的自变量，转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于/（巧的方程（组），从而得到/（兀）的解析式.(3)已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的值常常利用待定系数法：利用0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程求解.(4)应用奇偶性画图象和判断单调性利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性.3.(1)(2016-唐山高三年级统一考试)已知/(x)M［通关练习:R上的奇函数，当兀$0时，/(x)=x3+ ln(l+x),则当兀V0时，心)=2 )A. —x3—ln(l—x)B. x3+ln(l—x)C. x3—ln(l—x)D. —x3+ln(l—x)⑵(2016•洛阳统考诺函数j=/(2x+1)是偶函数，贝［|函数j =A2r)的图象的对称轴方程是(c)A. x=——1B. x=——丄22D.x=l 解析：⑴当x<0 时，—x>0, j(—x)=(―x)3+ ln(l—x),因为/⑴是R上的奇函数，所以当xVO时，/(x)=-/(-x)=—[(—x)3+ ln(l—x)],所以/(x)=X3— ln(l—x).(2)因为爪加+1)是偶函数，其图象关于y轴，即兀=0对称, 而/*(2x+l)=■/卜卜+夕]所以几2兀)的图象可由/(2r+1)的图象向右平移+个单位得到，即几加)的图象的对称轴方程是1X=-.2交汇创新——函数的新定义问题新定义函数问题主要包括两类：（1）概念型的新定义函数问题，主要以“新概念函数”为载体，利用新定义运算法则、新定义对应法则、新定义某种性质等方式给出“新概念函数”，此类新定义侧重函数的定义域与值域以及最值等有关的考查.（2）性质型新定义函数多以函数的单调性、奇偶性、对称性、最值等作为命题的背景.1对于函数/（◎ 若存在区间A=[m9 n]9使得{y[y= 心），xeA}=A,贝U称函数/3）为“同域函数”，区间A为函数/（兀）的一个“同域区间”.给出下列四个函数：®f（x）= COS-x；®f（x） = x2— 1；2®f（x）= lx2— II； ©/（X）=log2（x— 1）.存在“同域区间”的“同域函数”的是①②③.（请写出所有正确的序号）JI JI JI [解析]①取区间[o, i],则亍丘亍」，所以/(X)=COSY xe[0,1].所以该函数为存在“同域区间”的“同域函数”；②取区间[一1, 0],则函数/(x)=x2-1在该区间上单调递减, 故/•(0)W/々)W/(—l),即/(x)e[-l, 0].所以该函数为存在“同域区间”的“同域函数”；t x2—1, Ix|>l,®f(x)=\x2—l\=] ?取区间[0, 1],则函数/*(兀)11—x , IxIWl,= 1-X2在该区间上单调递减，故/(DW/WWAO),即/⑴e[0, 1].所以该函数为存在“同域区间”的“同域函数”；④函数/（X）=10g2（X—1）的定义域为（1，+8）,且该函数在定义域上为单调递增函数.假设存在区间勧，W],使得几log2(加―1) =m,log2 («—1)=n, [加，n],则有若该方程组有解，则方程夕=兀一1有两个不同的实数解.如图，分别作出函数尸2*与尸兀一1的图象，显然两函数图象没有公共点，即方程，=兀一1无解.所以不存在区间M，n]f使得/(x)e[w, W],即该函数不是存在“同域区间”的“同域函数”.综上，填①②③.厶名师点评该题以函数的定义域与值域的求解为背景，存在“同域区间”的“同域函数”的实质就是函数的定义域与值域相同，此类新定义函数问题以比较常见的基本初等函数为考查重点，涉及函数零点、方程根的个数的求解等问题.如④中的函数/(x)=log2(x-l),要利用函数的单调性把定义域与值域相同转化为方程解的个数进行求解.该题中方® 2X=X一1无解，所以不是新定义的函数；而如果该方程只有一个实数解，则也不是新定义的函数；当且仅当该方程有两个解时，该函数才是新定义的函数.跟踪別练设函数几兀)的定义域为D,如果存在非零常数T,对任意的xGD,都有f(x+T)=T-f(x)f则称函数/(兀)是“似周期函数”,非零常数T为函数心)的“似周期”.现有四个关于“似周期函数”的命题: ①如果“似周期函数”/(对的“似周期”为一1,那么它是周期为2的周期函数;③函数f(x)=2~x是“似周期函数”④如果函数f(x)=cos G兀是"似周期函数”，其中真那么“3=k命题有①③④•(写出所有真命题的序号) 解析:对于①，如果“似周期函数”心)的“似周期”为一1, 则f(x— 1)= —/(X),所以f(x— 1)= —/(X)= —[―/(x+ + 1),故它是周期为2的周期函数，故①正确；对于②，若函数/(劝=兀是“似周期函数”，则存在非零常数T,对任意的x^R,都有f(x+T)=T-f(x)f即x + T=Tx f即(1一7>+ T=0对任意的x£R恒成立，显然不成立，故②不正确;对于③，若函数/(对=2一“是“似周期函数”，则存在非零常数T,对任意的x£R,都有2"x_r=T-2~x,即(T-2T T)-27=0对任意的xER 恒成立，则T-2-T= 0,由函数尸^ 一土的单调性可知，存在T>0,使得卩一2“=0,闌1能训练▼轻松闯关* ［学生用书单独成册］以练促学强技提能故函数f(x)=2~x是“似周期函数”，故③正确；对于④，若函数/(x)=cos X是“似周期函数”，则存在非零常数T,使得cos[ (x+ T)]=cos(cox+ coT)=T9cos 6>x,故T= 1 或T=-l, K coT=kn , kWZ,故Jiez,故④正确.闌1能训练▼轻松闯关* ［学生用书单独成册］以练促学强技提能点击链接本部分内容讲解结束闌1能训练▼轻松闯关* ［学生用书单独成册］以练促学强技提能。