下载文档原格式
复数的平方根、立方根、实系数一元二次方程 这节课我们学什么1.复数的平方根、立方根的求法；2.实系数一元二次方程的虚根问题；3.虚系数一元二次方程；4.“1”的立方根问题。
知识框图知识点梳理1、,,a b R ∈则对于复数z a bi =+：（1）z 为虚数0;b ⇔≠（2）z 为纯虚数0,0;a b ⇔=≠（3）z =（4） z =a −bi ;（5）z 的实部;a =（6）z 的虚部();b bi =≠（7）0z R z z b ∈⇔=⇔=2、i 的运算规律：44142431;;1;nn n n i i i i i i +++===−=−（以上n Z ∈）3、复数相等得充要条件试题它们的实部和虚部对应相等，即：,,,a b c d R ∈，则a bi c di a c b d+=+⇔==且4、复数模的性质：2212112121122(1);(2);(3);(4); n nz z z z z z z z zz z z z z z ======121212(5)z z z z z z −≤±≤+5、实系数一元二次方程在复数范围内解的性质 （1）当042≥−=Δac b 时，方程有两个实根21,x x . （2）当042<−=Δac b 时，方程有两个共轭虚根，其中 21x x =.此时有ac x x x x ===212221且a ib x 22,1Δ−±−=.注意两种题型：12(1)||x x −12(2)||||x x +虚系数一元二次方程有实根问题：不能用判别式法，一般用两个复数相等求解.但仍然适用韦达定理.已知1x ，2x 是实系数一元二次方程20ax bx c ++=的两个根，求12||x x −的方法：（1）当042≥−=Δac b 时，aacb x x x x x x 44)(22122112−=−+=−(2)当042<−=Δac b 时，ab ac x x x x x x 2212211244)(−=−+=−已知1x ，2x 是实系数一元二次方程20ax bx c ++=的两个根，求12||||x x +的方法： （1）当042≥−=Δac b 时，①,021≥⋅x x 即0≥ac，则a b x x x x =+=+2112②,021<⋅x x 即0<ac，则aac b x x x x x x x x 44)(2212212112−=−+=−=+（2）当042<−=Δac b 时，ac x x x x x 22221112=⋅==+7、解方程000(0,,,)nn n n a x a a a a C n N +=≠∈∈的思路：将其化为0,nna x a =−问题转化为求0na a −的n 次方根8、关于含有,,z z z 等的方程，通常设(,)z x yi x y R =+∈代入方程，利用复数相等的充要条件求解典型例题分析1、 复数的平方根、立方根的求法； 例1、已设 z =1+i （是虚数单位），则复数2z+z 2对应的点位于象限。
复数模的几何意义及实系数一元二次方程的根及复数的开方运算【课前预习】 一、知识梳理1.复数的模的几何意义：复数),(R b a bi a z ∈+=的模22||b a z +=，它的几何意义是 .2.复数减法的模的几何意义：12,,,,,z a bi z c di a b c d R =+=+∈， 在复平面上对应的向量分别是12,OZ OZ，122112||||||z z Z Z Z Z -===，所以复数12,z z 在复平面上两点间的距离就是： .3.常见几何图形的复数表达式：复数1z 、2z 为定值，且21z z ≠，12,z z 在复平面上所应的点分别是12,Z Z(1)线段21Z Z 的垂直平分线方程： ； (2)以1Z 为圆心，半径为r 的圆方程： ；(3)以1Z 、2Z 为焦点，长轴长为)0(2>a a 的椭圆方程： ， 其中a z z 2||021<-<；(4)以1Z 、2Z 为焦点，实轴长为)0(2>a a 的双曲线方程： ，其中a z z 2||21>-.4.一元二次方程20(,,,0)ax bx c a b c R a ++=∈≠(1)0∆>⇔方程有两个不相等的实数根 ; (2)0∆=⇔方程有两个不相等的实数根 ; (3) 0∆<⇔方程有两个共轭虚根 .注:①实系数一元二次方程的根只可能是两个都是实数根或两个共轭虚根; ②解实系数一元二次方程,首先要判断∆的符号,以确定根是实数还是虚数，选用不同的求根公式.5.实系数一元二次方程根与系数的关系:方程20(,,,0)ax bx c a b c R a ++=∈≠的两根为12,x x C ∈,则1212x x x x ⎧+⎪⎪⎨⎪⎪⎩(*)注:①12,x x R ∈时(*)式成立,12,x x 为虚数时(*)式也成立;②若1x 为虚数,则21x x =,且21211212Re ;||b c x x x x x x a a+==-==6.复数的开方运算(1)复数的平方根如果复数a bi +和(,,,)c di a b c d R +∈满足: ,称a bi +是c di +的一个平方根.(2)复数的立方根若复数12,z z 满足:312z z =,则称1z 是2z 的一个立方根.1的立方根是21,,ωω.其中ω= ，具有性质3221,,10ωωωωω==++=.二、基础练习1.(1)已知||1z =，||z i -的最大值为 ． (2)已知复数z 满足|1|1z -=,那么z 的轨迹是 ．（用文字描述） 2.(1)在复数集内,方程2230x x ++=的解集为 . (2)在复数集内分解因式:223x x -+(3)若实系数一元二次方程的根为1x =则这个方程为( ) A. 2220x x -+= B.2240x x -+= C.2220x x ++= D.2240x x ++= 3.(1)若32i +是方程220(,)x bx c b c R ++=∈的一个根,则c 等于 .(2)方程22810()x x t t R -++=∈,则t = .4.512i +的平方根为 .5.设ω是方程210x x ++=的根,则231001ωωωω+++++= .6.(1)方程42560x x --=在复数集内的根的个数为( ) A.2 B.3 C. 4 D.5(2)“22a -≤≤”是“实系数一元二次方程210x ax ++=有虚根”的( ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件7.(1)若复数z 满足|3|z +=||z 的最大值是________，最小值是_______．(2)若复数z 满足||||2z i z i ++-=，则|1|z i ++的最大值是_______，最小值是________． (3)集合{||1|1,},{|||||,}M z z z C P z z i z i z C =+=∈=+=-∈，则M P = ．8.方程2236(1)10x m x m --++=的两个根均为虚数,且两个根的模之和为2,则实数m 的值为__________.【例题解析】例1.在复数集中解关于x 的方程：22(1)2340;(2)40x x x mx ++=++=．()m ∈R例2.已知方程012=+-px x （R p ∈）的两根为21x x ，，若1||21=-x x ， 求实数p 的值.例3.已知t R ∈且关于x 的方程220x x t ++=的两个根分别为,αβ，求||||αβ+．例4.已知关于x 的方程2(12)(31)0x i x m i ++--=有实根，求纯虚数m 的值.例5.已知两个复数集合},,2|{},2|2||{11R b A z b iz z z B z z A ∈∈+==≤-=。
高二数学春季班（教师版）一、复数的平方根与立方根 1．复数的平方根的定义若复数1z ，2z 满足212z z =，则称1z 是2z 的平方根．2．复数的平方根的求法2()(,,,)a bi c di a b c c +=+∈R即利用复数相等，把复数平方根问题转化为实数方程组来求． 3．复数的平方根的性质复数(0)z z ≠总有两个平方根1z ，2z ，且120z z +=（见图1）． 4．复数的立方根的定义类似的，若复数1z ，2z 满足312z z =，则称1z 是2z 的立方根．5．1的立方根设复数12ω=-+，则21,,ωω都是1的立方根． 6．ω的性质 ①210ωω++=， ②31ω=，③212ωω==-． 可运用这些性质化简相关问题（见图2）． 7．其他有用结论2(1)2i i -=-，2(1)2i i +=二、实系数一元二次方程实系数一元二次方程20(,,,0)ax bx c a b c a ++=∈≠R 中的24b ac ∆=-为根的判别式，那么（1）0∆>⇔方程有两个不相等的实根2b a-±；复数的方根与实系数一元二次方程知识梳理（2）0∆=⇔方程有两个相等的实根2b a-； （3）0∆<⇔，在（3）的情况下，方程的根与系数关系（韦达定理）仍然成立． 求解复数集上的方程的方法：（1）设(,)z x yi x y =+∈R 化归为实数方程来解决（化归思想）．（2）把z 看成一个未知数（而不是实部和虚部两个未知数），用复数的性质来变形（整体思想）． （3）对二次方程，直接用一元二次方程的求根公式（公式法）．三、常见几何图形的复数表达式复数1z ，2z 为定值，且12z z ≠．（1）线段12Z Z 的中垂线方程：12||||z z z z -=-； （2）以1Z 为圆心，半径为r 的圆方程：1||z z r -=； （3）以1Z 、2Z 为焦点，长轴长为2(0)a a >的椭圆方程：12||||2z z z z a -+-=（其中12||2z z a -<）； （4）以1Z 、2Z 为焦点，实轴长为2(0)a a >的双曲线方程：12||||||2z z z z a ---=（其中12||2z z a ->）．1、复数的平方根与立方根 【例1】求4-及86i -的平方根．【难度】★【答案】4-的平方根为2i 或2i -；86i -的平方根为3i -或3i -+ 【例2】计算：（112112(1)22i i i ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；（2）50820028)i +-++⎝⎭． 【难度】★★【答案】（1）513；（2）247+【例3】记12ω=-，求1ωω+，221ωω+． 【难度】★★ 【答案】11ωω+=-，2211ωω+=-【例4】已知等比数列123,,,,n z z z z ，其中11z =，2z x yi =+，3z y xi =+（,,0x y x ∈>R ）．（1）求,x y 的值； （2）试求使1230n z z z z ++++=的最小正整数n ；（3）对（2）中的正整数n ，求123n z z z z 的值．【难度】★★【答案】（1）12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；（2）12n =；（3）1-．【巩固训练】1．复数34i +的平方根是 ．例题解析【难度】★ 【答案】(2)i ±+2．计算：（11996= ． （2）151512(1)(1)(1)i -+=-+ ．【难度】★ 【答案】（1）12-；（2）03．已知ω满足等式210ωω++=．（1）计算4(1)ωω++；304050ωωω++；224(1)(1)ωωωω-+-+；（2）求证：对任意复数u ，有恒等式33233(1)()()3(1)u u u u ωω+++++=+； （3）计算：21n n ωω++，*n ∈N ． 【难度】★★【答案】（1）1-；0；4；（2）略；（3）*2**33()1031()032()n n n k k n k k n k k ωω⎧=∈⎪++==-∈⎨⎪=-∈⎩N N N2、复数中的代数式和方程【例5】在复数范围内分解因式：2223x x ++ 【难度】★【答案】22232x x x x ⎛++=-⎝⎭⎝⎭11222x x ⎛⎫⎛⎫-+=+- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【例6】复数z 满足方程210z z ++=，求()41z z ++的值 【难度】★★【答案】由210z z ++=得，21102z w z w w w ==-+=∴++=或 所以原式()()4428211w w ww w w w w =++=-+=+=+=-【巩固训练】1．若虚数z 满足327z =，则32315z z z +++的值为 ． 【难度】★★ 【答案】332．，，求的值.【难度】★★【答案】12ω=-时，原式=15-；12ω=-时，原式；3、实系数一元二次方程【例7】已知方程2350()x x m m -+=∈R ，求方程的解． 【难度】★【答案】920m ∆=- 当0∆>时，即920m <时，32x ±=；当0∆=时，即920m =时，32x =； 当0∆<时，即920m >时，32i x =．【例8】已知βα,是实系数一元二次方程02=++c bx ax 的两个虚根，且2αβ∈R ，求βα的值．【难度】★★【答案】∵2αβ∈R ，∴2222ααβαββαβ=⇒=，即330αβ-=∴12αβ=-± 1≠ω13=ω32302ωωω+++【例9】已知12,x x 是实系数方程20x x p ++=的两个根，且满足12||3x x -=，求实数p 的值． 【难度】★★ 【答案】14p ∆=-， （1）当0∆≥时，即14p ≤时，12,x x 是实根，∴12||3x x -==，即32p =⇒=-； （2）当0∆<时，即14p >时，12,x x 是共轭虚根，设1(,)x a bi a b =+∈R ，则2x a bi =-， ∴123|||2|2||32x x bi b b -===⇒=±，由1221x x a +==-，得12a =-．从而21215||2p x x x ===．综上，2p =-或52．【例10】已知,αβ是实系数一元二次方程230x mx -+=的两个根，求||||αβ+的值． 【难度】★★【答案】212m ∆=-，（1）当0∆≥时，即m ≥m ≤-30αβ=>，∴||||||||m αβαβ+=+=； （2）当0∆<时，即m -<<||||2||αβα+===．【例11】已知复数12,z z 满足1||2z =，2||1z =，12||2z z -=，求12z z ． 【难度】★★【答案】212121211121222||()()4z z z z z z z z z z z z z z -=--=⋅-⋅-⋅+⋅=， ∴12121z z z z ⋅+⋅=， ∴122211211z zz z z z z z ⋅⋅+⋅⋅=， ∴122141z zz z +=． 令12z t z =，则141t t+=，∴240t t -+=，∴122t =±，即12122z i z =±．【例12】（1）方程20()x px k p -+=∈R 有一个根为12i +，求实数k 的值； （2）方程240x x k -+=有一个根为12i +，求k 的值． 【难度】★【答案】（1）由题意：另一个根为12i -，∴(12)(12)5k i i =+-=； （2）由题意2(12)4(12)074i i k k i +-++=⇒=+．【例12】关于x 的方程2(2i)i 0x a b x a b --+-=有实根，且一个根的模是2，求实数a 、b 的值． 【难度】★★【答案】设()t t ∈R 是方程的一实根，则2(2)()i 0t at a bt b -++-=．则220,0t at a bt b ⎧-+=⎨-=⎩．（1）当0b =时，此方程为220x ax a -+=． ①有实根，0∆≥即1a ≥或0a ≤．当根为2时，440a a -+=．得43a =． 当根为2-时，440a a ++=．得45a =-．②有一对共轭虚根即01a <<．模为2，即有4a =（舍）．（2）当0b ≠时，则1t =，此时1a =．又因为模为2，所以b =所以4,30a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩或4,50a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩或1,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩1,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩【巩固训练】1．下列命题在复数集中是否正确？为什么？（1）若,,a b c ∈R ，0a ≠，且240b ac -≥，则方程20ax bx c ++=有两个实数根；（2）若,,a b c ∈R ，0a ≠，且12,x x 是方程20ax bx c ++=的两个根，则12b x x a +=-，12cx x a=； （3）若,,a b c ∈R ，0a ≠，且12,x x 是方程20ax bx c ++=的两个根，则221212||()x x x x -=-；（4）若,,a b c ∈R ，0a ≠，且α是方程20ax bx c ++=的根，则α也是方程的根． 【难度】★★ 【答案】（1）、（2）、（4）正确，（3）不正确2．若12,x x 为方程270x x -+=的两个根，则212||x x -= ．【难度】★★ 【答案】273．已知,0x y ≠且，求20092009()(x y x y x y+++的值. 【难度】★★【答案】14．关于x 的方程222(31)10x m x m --++=的两根为αβ、，且||||3αβ+=，求实数m 的值． 【难度】★★【答案】53m =-或2m =5．设αβ、为方程220x x t ++=，（t ∈R ）的两个根，()||||f t αβ=+， （1）求()f t 的解析式；（2）证明关于t 的方程()f t m =，当2m >时恰有两个不等的根，且两根之和为定值． 【难度】★★【答案】（1）0()2,010t f t t t ⎧<⎪=<≤⎨⎪<⎩．．．（2）证明：函数()y f t =的图像关于直线12t =对称（证略） 当(1,)t ∈+∞时，()f t 为增函数，且()(2,)f t ∈+∞；022=++y xy x当(,0)t ∈-∞时，()f t 为减函数，且()(2,)f t ∈+∞．所以当2m >，方程()f t m =在区间(1,)+∞上有唯一解1t ，在区间(,0)-∞上也有唯一解2t ， 则121212t t +=⨯=．4、复数方程综合问题【例13】关于x 的二次方程2120x z x z m +++=中，1z ，2z ，m 都是复数，且21241620z z i -=+，设这个方程的两个根α、β满足||αβ-=||m 的最大值和最小值． 【难度】★★【答案】根据韦达定理有12z z mαβαβ+=-⎧⎨=+⎩∵22212()()444z z m αβαβαβ-=+-=-- ∴2212|()||4(4)|28m z z αβ-=--=．∴2121|(4)|74m z z --=，即|(45)|7m i -+=， 这表明复数m 在以(4,5)C 为圆心，7为半径的圆周上，∴max ||7m =min ||7m =当5001,150log 22m t m t >⎧⎪<<⎨<-⎪⎩即2log 215050m t -<<．【例14】已知22016220160122016(1)x x a a x a x a x ++=++++，试求0362016a a a a ++++的值。
复数的平方根和立方根复数是数学中的一个重要概念，它包含了实数和虚数。
在实数中，我们可以轻松地计算平方根和立方根，但是在复数中，情况就有所不同了。
本文将介绍如何计算复数的平方根和立方根。
一、复数的表示形式复数可以用a+bi的形式表示，其中a和b为实数，i为虚数单位。
复数的实部为a，虚部为b。
二、复数的平方根要计算一个复数的平方根，我们需要使用泰勒级数展开和极坐标表示法。
1. 泰勒级数展开对于一个复数z=a+bi，其平方根z1的泰勒级数展开公式为：z1 = ±√[(|z|+a)/2] ± i√[(|z|-a)/2]其中，|z|为z的模，记作|r|。
2. 极坐标表示法我们也可以使用复数的极坐标来计算其平方根。
假设一个复数z在极坐标系中的表示为z=r(cosθ+isinθ)，其中r为模，θ为辐角。
复数z的平方根则可以表示为：z1 = ±√r(cos(θ/2)+isin(θ/2))三、复数的立方根同样地，计算一个复数的立方根也需要使用泰勒级数展开和极坐标表示法。
1. 泰勒级数展开对于一个复数z=a+bi，其立方根z1的泰勒级数展开公式为：z1 = ±[(|z|^(1/3)+a/3)^(1/2) + i√3(|z|^(1/3)-a/3)^(1/2)]2. 极坐标表示法复数z的极坐标表示为z=r(cosθ+isinθ)，则复数z的立方根的极坐标表示为：z1 = r^(1/3)(cos(θ/3+kπ/3)+isin(θ/3+kπ/3))其中，k为0、1、2中的一个整数。
结论在本文中，我们学习了如何计算复数的平方根和立方根。
通过泰勒级数展开和极坐标表示法，我们可以轻松地得出复数的平方根和立方根的表达式。
这些计算方法在数学和工程领域中有着广泛的应用，对于解决实际问题具有重要的意义。
以上是关于复数的平方根和立方根的讨论。
通过泰勒级数展开和极坐标表示法，我们可以计算复数的平方根和立方根，这对于解决实际问题具有重要的意义。
复数一元二次方程的求根公式一、引言一元二次方程的求解在初中数学中是一个重要的内容，而当提交这个方程的系数都是实数时，我们熟悉的求根公式就是${x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}}$。
然而，当系数包含负数时，这个公式就失效了，于是我们需要对这个公式进行一些改动，才能得到真正解决这个问题的求根公式。
二、负数的平方根当我们遇到类似$x^{2}=-1$这样的方程时，显然$x$在实数范围内是无解的，因为任何实数的平方都不可能是负数。
然而，我们可以引入一个虚数$i$，定义为$i^{2}=-1$，于是我们就可以得出$x=i$和$x=-i$两个解。
三、复数定义好了虚数之后，我们就可以进一步定义复数。
如果$a$和$b$都是实数，那么形式为$a+bi$的数就是一个复数，其中$a$称为实部，$b$称为虚部。
例如，$3+4i$就是一个复数，它的实部是$3$，虚部是$4$。
四、复数一元二次方程的求解现在我们开始考虑一元二次方程的求解。
假设有一个形式为$ax^{2}+bx+c=0$的方程，其中$a$，$b$，$c$都是复数。
我们还是按照原来的方法进行求解，先使用${x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}}$公式求得$x$的值，但是要注意在这种情况下$b^{2}-4ac$可能是负数，于是我们需要先把它开方。
这个时候，我们就需要使用到负数的平方根了。
回想一下前面我们已经定义了$i$使得$i^{2}=-1$，那么任意一个负数的平方根都可以用$i$表示。
例如，$\sqrt{-9}$可以写成$3i$，因为$3i^{2}=-9$。
因此，$b^{2}-4ac$的平方根可以表示为$d=\sqrt{b^{2}-4ac}$。
现在我们已经得到了$x=\frac{-b\pm d}{2a}$的公式。
但是，这并不是最终的答案。
回想一下前面我们已经定义了复数，但是这个公式中出现的${\frac{-b\pm d}{2a}}$并不一定是复数，因为$b$、$d$和$a$都可能是实数。
