实系数一元二次方程

实际问题与一元二次方程所有公式好的，以下是为您生成的文章：一元二次方程，这玩意儿在咱们的数学学习中可是个“常客”。

从小学到高中，它时不时就出来露露脸，而且还挺重要！先来说说一元二次方程的一般形式：ax² + bx + c = 0 （a ≠ 0）。

这里的 a 叫二次项系数，b 是一次项系数，c 就是常数项啦。

那求根公式可得记住咯，x = [-b ± √(b² - 4ac)] / （2a）。

这个公式就像是打开一元二次方程宝藏的钥匙。

还记得我之前教过的一个学生小明，他刚开始接触一元二次方程的时候，那叫一个头疼。

每次看到那些公式和题目，就像是看到了一团乱麻，怎么也理不清。

有一次做作业，题目是这样的：x² + 2x - 3 = 0，让求方程的根。

小明盯着题目看了半天，也不知道从哪儿下手。

我就引导他，先看看二次项系数 a 是 1，一次项系数 b 是 2，常数项 c 是 -3，然后把这些值代入求根公式里。

小明跟着步骤一步一步来，可算的时候还是出错了，把符号给弄混了。

我又耐心地给他讲了一遍，告诉他一定要细心，注意符号的变化。

经过几次这样的练习，小明终于掌握了求根公式的用法，做题也越来越熟练了。

再来说说根的判别式，就是Δ = b² - 4ac 。

当Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根；当Δ = 0 时，方程有两个相等的实数根；当Δ < 0 时，方程没有实数根。

这判别式用处可大了。

比如说，要判断一个方程根的情况，就靠它。

咱们在实际问题中，一元二次方程也经常大显身手。

比如面积问题，有一块长方形的土地，长比宽多 3 米，面积是 10 平方米，求长和宽。

这时候就可以设宽为 x 米，长就是 x + 3 米，根据面积公式列出方程x(x + 3) = 10 ，整理得到 x² + 3x - 10 = 0 ，然后用求根公式或者其他方法来求解。

还有增长率问题，某商品原来的价格是 p 元，经过连续两次涨价，每次涨幅都是 m%，那么现在的价格就是 p(1 + m%)²元。

九年级上册数学一元二次方程解实际问题公式九年级上册数学一元二次方程解实际问题公式在九年级上册数学学习中，解决一元二次方程实际问题是重要的一环。

一元二次方程是由一次项、二次项和常数项组成的方程，其一般形式为ax² + bx + c = 0，其中a、b和c分别为实数且a≠0。

在解决实际问题时，可以利用一元二次方程的公式来求解。

一元二次方程的解可以通过公式来求解，即二次方程的求根公式：x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a这个公式是通过将一元二次方程化简后得到的，其中 b² - 4ac 被称为判别式。

判别式的值会决定方程的解的情况。

根据判别式的不同情况，可以得到方程有两个实根、有一个实根还是无实根。

当判别式的值大于0时，即 b² - 4ac > 0，方程有两个实根。

此时，可以使用上述公式来求解，并计算出两个不同的解。

当判别式的值等于0时，即 b² - 4ac = 0，方程有一个实根。

此时，也可以使用公式来求解，并计算出唯一的解。

当判别式的值小于0时，即 b² - 4ac < 0，方程无实根。

在这种情况下，方程无法用公式求解。

需要注意的是，当方程无实根时，我们可以通过观察方程的系数来判断其解的情况。

例如，当二次项系数a大于0时，方程图像开口向上，无实根；当二次项系数a小于0时，方程图像开口向下，也无实根。

在实际问题中，我们可以将问题抽象为一元二次方程，然后利用上述的公式来求解。

例如，某个问题要求解一个运动员从起点出发，在给定的速度和时间内到达终点的距离问题。

我们可以通过设定一个未知变量来表示距离，然后建立一元二次方程，利用公式来求解出这个未知变量的值。

总之，九年级上册的数学学习中，解决一元二次方程实际问题是一个重要的内容。

掌握一元二次方程的解法，并理解公式的原理和应用场景，能够帮助我们更好地解决实际问题，提高数学解题的能力。

⼀元⼆次⽅程根与系数的关系公式有哪些
韦达定理指出了⼀元⼆次⽅程根与系数的关系，让我们⼀起来了解⼀下吧。

下⾯是由店铺编辑为⼤家整理的“⼀元⼆次⽅程根与系数的关系公式有哪些”，仅供参考，欢迎⼤家阅读本⽂。

⼀元⼆次⽅程根与系数的关系
韦达定理指出：⼀元⼆次⽅程中两根的和等于它的⼀次项系数除以⼆次项系数所得的商的相反数;两根的积等于它的常数项除以⼆次项系数所得的商。

设⼀元⼆次⽅程ax²+bx+c=0中(a，b，c∈R，a≠0)，设此⼀元⼆次⽅程有两根x₁、x₂，有如下关系：
由⼀元⼆次⽅程求根公式如下：
达定理与根的判别式的关系更是密不可分。

⼀元⼆次⽅程的根的判别式为：△=b2-4ac(a，b，c分别为⼀元⼆次⽅程的⼆次项系数，⼀次项系数和常数项)。

根的判别式是判定⽅程是否有实根的充要条件，韦达定理说明了根与系数的关系。

⽆论⽅程有⽆实数根，实系数⼀元⼆次⽅程的根与系数之间适合韦达定理。

判别式与韦达定理的结合，则更有效地说明与判定⼀元⼆次⽅程根的状况和特征。

韦达定理为数学中的⼀元⽅程的研究奠定了基础，对⼀元⽅程的应⽤创造开拓了⼴泛的发展空间。

已知两个根其中的⼀个，就可以代⼊韦达定理的关系式⾥求得另⼀个根，并且还可以⽤另⼀个关系式来检验。

1元二次方程公式一元二次方程，这可是初中数学里的“大主角”！咱今天就来好好聊聊它。

先来说说啥是一元二次方程。

简单来讲，就是形如 ax² + bx + c = 0 （a ≠ 0）这样的式子。

其中，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项。

那一元二次方程的解咋求呢？这就得请出咱们的“大法宝”——一元二次方程的求根公式啦！求根公式是 x = [-b ± √(b² - 4ac)] / （2a）。

我还记得我当初教学生这个公式的时候，有个小同学一脸懵地问我：“老师，这公式咋来的呀？”我就给他解释，这是通过配方法推导出来的。

配方法就像是给方程这个“小家伙”梳妆打扮，让它变得规规矩矩，好让我们能看清它的真面目，找到它的解。

咱们来举个例子看看这公式咋用。

比如说方程 x² + 2x - 3 = 0 ，这里a = 1 ，b = 2 ，c = -3 。

把这些值带进求根公式里，先算 b² - 4ac ，就是2² - 4×1×(-3) = 16 。

然后 x = [-2 ± √16] / （2×1），算出来就是 x₁ = 1 ，x₂ = -3 。

在实际生活中，一元二次方程的用处可大着呢！比如说，有个果农伯伯要围一个矩形的果园，已知果园的周长是一定的，要让果园的面积最大，这就得靠一元二次方程来帮忙找出矩形的长和宽。

还有啊，有些同学刚开始用这个公式的时候，总是会粗心大意，不是把符号弄错了，就是忘了开根号。

这就像是走在一条小路上，一不小心就被石头绊了一跤。

所以，一定要认真仔细，可不能马虎哟！一元二次方程的公式虽然看起来有点复杂，但只要咱们多练习，多琢磨，就一定能把它拿下！就像爬山一样，一开始觉得山好高好难爬，但只要一步一个脚印，坚持往上走，总能到达山顶，看到美丽的风景！总之，一元二次方程公式是咱们解决数学问题的一把“利剑”，掌握好了它，数学的世界里就能更加畅通无阻啦！。

一元二次方程的解法及应用一元二次方程是数学中常见的二次多项式方程，其一般形式为ax²+bx+c=0，其中a、b、c为实数且a≠0。

解一元二次方程的方法通常有因式分解法、配方法和求根公式法等。

本文将依次介绍这几种解法，并探讨一元二次方程在实际生活中的应用。

一、因式分解法对于一元二次方程ax²+bx+c=0，当其可以因式分解成两个一次因式的乘积时，可以直接利用因式分解法求解。

具体步骤如下：1. 将方程转化为标准形式，即将方程两边移项合并同类项，使等式右边为0；2. 对方程进行因式分解，将二次项拆分为两个一次项的乘积；3. 令得到的每个一次项等于0，解出方程；4. 检查解是否满足原方程，若满足则为方程的解，若不满足则舍去。

例如，对于方程3x²+7x+2=0，可以进行因式分解得到(3x+1)(x+2)=0，解得x=-1/3和x=-2。

二、配方法配方法是通过变形将一元二次方程转化为一个完全平方的形式，进而求解方程。

其主要步骤如下：1. 将方程转化为标准形式；2. 将方程的一次项系数b通过添加或减去一个适当的常数c/2a使其成为一个完全平方；3. 将方程的左边转化为一个完全平方，即将一次项的系数与1/2a相乘后平方；4. 将方程的两边开平方，解出方程。

例如，对于方程x²+4x-3=0，可以通过配方法将其变形为(x+2)²-7=0，进而解得x=-2+√7和x=-2-√7。

三、求根公式法求根公式法也称为根号公式法，适用于任何一元二次方程的解法。

一元二次方程ax²+bx+c=0的解可通过求根公式x=(-b±√(b²-4ac))/2a得到。

具体步骤如下：1. 将方程的系数代入求根公式，并计算出方程的两个解；2. 验证解是否满足原方程，若满足则为方程的解，若不满足则舍去。

例如，对于方程2x²-5x+2=0，代入求根公式得到x=1和x=2/2。

一元二次方程的求解方法一元二次方程是形如ax^2+bx+c=0的方程，其中a、b、c是已知的实数，且a不等于0。

解一元二次方程是求出方程的根，即满足该方程的x的值。

求解一元二次方程的方法有多种，包括因式分解、配方法、求根公式等。

下面将分别介绍这些方法。

一、因式分解法：当一元二次方程可以因式分解时，可以通过因式分解的方法求解。

具体步骤如下：1. 将方程化为二次式的因式积形式，即ax^2+bx+c=0，其中a不等于0。

2. 将二次式的因式积形式分解为两个一次式相乘的形式，即(ax+m)(ax+n)=0，其中m和n是待定系数。

3. 根据“乘积为0则其中一个因子为0”的原理，可以得到两个一次式分别为0的两个方程：ax+m=0和ax+n=0。

4. 分别解这两个一次方程，得到x的值，即为方程的根。

二、配方法：当一元二次方程无法直接因式分解时，可以通过配方法将其转化为可以因式分解的形式。

具体步骤如下：1. 将方程化为标准形式，即ax^2+bx+c=0，其中a不等于0。

2. 如果a不等于1，可以将方程两边同时除以a，化简为a'x^2+b'x+c'=0，其中a'为1。

3. 将方程中的一次项b'x进行配方，即将b'x拆分为两个部分，使得其平方项可以与二次项a'x^2相消。

4. 根据配方公式，将b'x拆分为2个数的平方，即b'x=p^2+2pq+q^2，其中p和q是待定系数。

5. 将拆分后的方程重新组合，即将a'x^2+(p^2+2pq+q^2)+c'=0，化简为(a'x^2+p^2)+(2pq+a'x)+(q^2+c')=0。

6. 根据结合律，将方程重新组合，得到(a'x^2+p^2)+(2pq+a'x)+(q^2+c')=0。

7. 将方程分解为三个一次式的和等于0的形式，即(a'x+p)^2+2pq+a'x+q^2+c'=0。

一元二次方程与系数的关系1. 了解一元二次方程1.1 什么是一元二次方程说到一元二次方程，咱们得从它的名字说起。

大家可以把它想象成一个数学上的“小故事”。

这个方程长得像这样：( ax^2 + bx + c = 0 )。

这里的 ( a )、( b ) 和 ( c ) 就是我们说的“系数”。

它们分别代表了方程中的不同角色，而 ( x ) 则是我们要解的“主角”。

1.2 系数的含义在这个方程里，( a )、( b ) 和 ( c ) 是啥意思呢？简单来说，( a ) 是二次项的系数，它决定了曲线的开口方向和宽窄；( b ) 是一次项的系数，它影响到曲线的位置；( c ) 是常数项，它告诉我们曲线在纵轴上的位置。

2. 系数对方程的影响2.1 ( a ) 的作用说到 ( a )，咱们可以这么理解：如果 ( a ) 的值很大，二次曲线就会变得很“窄”，好像是把它拉长了；如果 ( a ) 的值很小，那曲线就会变得很“宽”，像一个大弯道。

而且，( a ) 的符号也很重要，正的 ( a ) 让曲线开口向上，负的 ( a ) 则让曲线开口向下。

这就像是你在山顶往下看的感觉，开口向上是面朝蓝天，开口向下则是面朝深渊。

2.2 ( b ) 的作用再来聊聊( b )。

它决定了曲线的“倾斜度”，也就是它的“偏移量”。

你可以想象一下，( b ) 就像是曲线的“倾斜器”，它让曲线在横轴上移动。

当 ( b ) 的值变动时，整个曲线会像受了风一样，左右晃动。

( b ) 的符号改变了曲线的偏移方向，正的 ( b ) 让曲线向左偏，负的 ( b ) 则向右偏。

2.3 ( c ) 的作用最后是 ( c )。

这个常数项控制的是曲线在纵轴上的位置。

你可以把 ( c ) 想象成曲线的“高度调节器”。

当 ( c ) 增大时，整个曲线会往上“升高”；当 ( c ) 减小时，曲线会往下“降低”。

它就像你在调节电视的亮度一样，调节了曲线的“亮度”或“阴影”。

一元2次方程的公式一元二次方程的公式在数学的世界里，一元二次方程是一个非常重要的概念。

它不仅在数学学科中有着广泛的应用，在物理、工程等领域也发挥着关键作用。

今天，咱们就来好好聊聊一元二次方程的公式。

一元二次方程的一般形式是：＄ax^2 ＋ bx ＋ c ＝ 0$（其中$a$、＄b$、＄c$是常数，且$a ＼neq 0$）。

对于这个方程，我们有一个神奇的求解公式，那就是：＼x ＝＼frac{b ＼pm ＼sqrt{b^2 4ac}｝｛2a}＼这个公式看起来可能有点复杂，但只要我们把它拆解开来，逐步理解，就会发现其实并没有那么难。

先来说说这个公式中的各个部分。

＄a$是二次项系数，它决定了方程的“形状”和“弯曲程度”。

＄b$是一次项系数，它在方程中也有着重要的作用。

＄c$是常数项，它是方程中的一个固定值。

那这个求解公式是怎么来的呢？这就得从配方法说起。

我们先将方程$ax^2 ＋ bx ＋ c ＝ 0$变形为$x^2 ＋＼frac{b}｛a}x＝＼frac{c}｛a}＄。

然后在等式两边加上$＼left(＼frac{b}｛2a}＼right)＾2$，得到：＼x^2 ＋＼frac{b}｛a}x ＋＼left(＼frac{b}｛2a}＼right)＾2 ＝＼left(＼frac{b}｛2a}＼right)＾2 ＼frac{c}｛a}＼左边可以写成完全平方式：＼（＼left(x ＋＼frac{b}｛2a}＼right)＾2\），右边经过化简得到：＼（＼frac{b^2 4ac}｛4a^2}＼）然后开平方，就得到了我们前面提到的求解公式。

有了这个公式，我们就可以求解任意一个一元二次方程的根。

但在使用这个公式的时候，要先计算$b^2 4ac$的值，这个值被称为判别式，通常用$＼Delta$表示。

当$＼Delta ＞ 0$时，方程有两个不相等的实数根；当$＼Delta ＝0$时，方程有两个相等的实数根；当$＼Delta ＜ 0$时，方程没有实数根，但有两个共轭复数根。

一元二次方程知识归纳总结一元二次方程是高中数学中的重要内容，也是解决实际问题的重要工具。

它的一般形式为：ax² + bx+ c= 0，其中a、b、c是已知实数，a≠ 0。

在本文中，我们将对一元二次方程的基本概念、性质以及解法进行归纳总结。

一、一元二次方程的基本概念一元二次方程是指只含有一个未知数的二次方程。

其中，a、b、c分别表示二次项系数、一次项系数和常数项。

二、一元二次方程的性质1. 解的存在性：一元二次方程必有两个解，或者一个解（二重解），或者无解。

2. 判别式：判别式Δ = b² - 4ac对于一元二次方程起到重要作用，它可以判断方程的解的情况。

- 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数解。

- 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数解。

- 当Δ < 0时，方程无实数解。

3. 顶点坐标：一元二次方程的图像是一个抛物线，其中顶点坐标可以通过公式h = -b/2a 和 k = -Δ/4a求得。

三、一元二次方程的解法1. 因式分解法：对于可以因式分解的一元二次方程，我们可以通过将方程的左、右两边同时因式分解，然后利用“零乘法”将方程等号两边置零，得到方程的解。

2. 公式法：对于一般形式的一元二次方程ax² + bx + c = 0，我们可以利用求根公式x = (-b ± √Δ) / 2a求得方程的解。

- 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数解。

- 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数解。

- 当Δ < 0时，方程无实数解。

3. 完全平方式：对于特殊的一元二次方程，可以通过将未知数的平方项转化为完全平方式，然后利用公式求解。

4. 图像法：通过观察和分析一元二次方程的抛物线图像，可以大致推测出方程的解的情况。

四、一元二次方程的应用一元二次方程不仅仅是一种数学形式，还具有广泛的应用。

它可以用来解决各种实际问题，例如物体的运动轨迹、汽车的行驶距离等。

一元二次方程公式
一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a ≠ 0。

一元二次方程的求解公式，也称为根的公式，给出了方程的两个
解x1和x2的计算公式：
x1 = (-b + √(b^2 - 4ac)) / (2a)
x2 = (-b - √(b^2 - 4ac)) / (2a)
这个公式成立的前提是方程的判别式 D = b^2 - 4ac大于等于零。

当D大于零时，方程有两个不相等的实根；当D等于零时，方程有两
个相等的实根；当D小于零时，方程没有实根，但有两个共轭复根。

拓展部分：
1.方程的判别式D有着重要的几何意义，它等于二次曲线所对应
的抛物线与x轴交点的个数。

当D大于零时，抛物线与x轴有两个交点；当D等于零时，抛物线与x轴相切于一个交点；当D小于零时，
抛物线与x轴没有交点。

2.一元二次方程的解还可以用完全平方的形式表示。

将方程写成(x + p)^2 = q的形式，其中p和q分别为常数，可以通过展开完全平方得到一元二次方程的标准形式。

3.当一元二次方程的系数为实数时，如果方程有两个不相等的实根，那么这两个实根一定是互为相反数。

也就是说，如果x1和x2是方程的两个实根，那么必须有x1 = -x2。

4.一元二次方程在物理学、工程学和经济学等领域中具有重要的应用。

例如，二次函数可以描述物体的运动轨迹、电路中的电流电压关系以及成本函数与收益函数之间的关系等。

求解一元二次方程可以帮助我们预测、优化和解决实际问题。

专题2.1 一元二次方程根与系数的关系【典例1】已知关于x的二次方程x2−ax+a2−4=0．（1）a为何值时，方程有两个不同的正根；（2）a为何值时，方程只有一个正根．（1）根据一元二次方程有两个不相等正根，则根的判别式Δ=(−a)2−4(a2−4)>0，x₁+x₂＞0，x₁·x₂＞0，组成不等式组求出a的取值范围即可；（2）根据一元二次方程只有一个正实数根，分为三种情况，一是有且只有一个正根，二是有两个根其中一个是正根，另一个根式负根或0，结合判别式以及根与系数的关系列不等式，求出a的值即可．解：（1）根据题意得，方程x2−ax+a2−4=0有两个不同的正根，∴Δ=(−a)2−4(a2−4)=−3a2+16＞0①，且x₁+x₂=a＞0②，x₁·x₂=a²-4＞0③，解由①②③组成的不等式组得，2＜a故当2＜a（2）Ⅰ当方程x2−ax+a2−4=0只且只有一个正根时，∴Δ=(−a)2−4(a2−4)=−3a2+16=0①，且x₁+x₂=a＞0②，x₁·x₂=a²-4＞0③，解①得：a=当②、③，而a=②，故舍去，故当Ⅱ 当方程x 2−ax +a 2−4=0有一个正根，一个负根，则Δ=(−a )2−4(a 2−4)=−3a 2+16>0①，且x₁·x₂=a²-4＜0②解①得：a 解②得：-2＜a ＜2，即−2<a <2Ⅲ 当方程x 2−ax +a 2−4=0有一个正根，一个0，则Δ=(−a )2−4(a 2−4)=−3a 2+16>0①，且x₁·x₂=a²-4=0②x₁+x₂=a ＞0③解①得：a 解②得： a=±2，由③a ＞0即a=2综上所述：−2<a ≤21．（2022·四川宜宾·九年级专题练习）关于x 的方程ax 2+（a +2）x +9a ＝0有两个不等的实数根x 1，x 2，且x 1＜1＜x 2，那么a 的取值范围是（ ）A ．﹣27＜a ＜25B ．a ＞25C ．a ＜﹣27D ．﹣211＜a ＜0【思路点拨】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于a 的不等式，求出a 的取值范围．又存在x 1＜1＜x 2，即（x 1-1）（x 2-1）＜0，x 1x 2-（x 1+x 2）+1＜0，利用根与系数的关系，从而最后确定a 的取值范围．【解题过程】解：∵方程有两个不相等的实数根，则a≠0且△＞0，由（a+2）2-4a×9a=-35a2+4a+4＞0，解得−27<a<25，又∵x1＜1＜x2，∴x1-1＜0，x2-1＞0，那么（x1-1）（x2-1）＜0，∴x1x2-（x1+x2）+1＜0，∵x1+x2=−a2a，x1x2=9，即9+1<0，解得−211<a<0，综上所述，a的取值范围为：−211<a<0.故选D．2．（2023春·安徽安庆·九年级校联考阶段练习）若方程x2+2px−3p−2=0的两个不相等的实数根x1、x2满足x12+x13=4−(x22+x23)，则实数p的所有值之和为（）A．0B．−34C．−1D．−54【思路点拨】先根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系得到x12+2px1−3p−2=0，x1+x2=−2p，进而推出x13 =3px1+2x1−2px12，则x13+x12=3px1+2x1−2px12+x12，x23+x22=3px2+2x2−2px22+x22，即可推出(3p+2)(x1+x2)+(1−2p)(x12+x22)=4，然后代入x1+x2=−2p，x12+x22=(x1+x2)2−4p得到2p(4p+3)(p+1)=0，再根据判别式求出符号题意的值即可得到答案．【解题过程】解：∵x1、x2是方程x2+2px−3p−2=0的两个相等的实数根，∴x12+2px1−3p−2=0，x1+x2=−2p，x1x2=−3p−2，∴x12+2px1=3p+2，∴x13+2px12=3px1+2x1，∴x13=3px1+2x1−2px12，∴x13+x12=3px1+2x1−2px12+x12，同理得x23+x22=3px2+2x2−2px22+x22，∵x12＋x13=4−(x22+x23)，∴x12+x13+(x22+x23)=4，∴3px1+2x1−2px12+x12+3px2+2x2−2px22+x22=4，∴(3p+2)(x1+x2)+(1−2p)(x12+x22)=4，∴(3p+2)(−2p)+(1−2p)(−2p)2−2(−3p−2)=4，∴−6p2−4p+(1−2p)4p2+6p+4=4，∴−6p2−4p+4p2+6p+4−2p4p2+6p+4=4，∴−2p2+2p−2p4p2+6p+4=0，∴−2p4p2+6p+4+p−1=0，∴2p4p2+7p+3=0，∴2p(4p+3)(p+1)=0，，解得p1=0，p2=−1，p3=−34∵Δ=(2p)2+4(3p+2)>0，∴p2+3p+2>0，∴(p+1)(p+3)>0，∴p=−1不符合题意，∴p1+p3=−34∴符合题意，故选B．3．（2022秋·全国·九年级专题练习）关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；②(m−1)2+(n−1)2≥2；③−1≤2m−2n≤1，其中正确结论的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个【思路点拨】设方程x2+2mx+2n=0的两根为x1、x2，方程y2+2ny+2m=0同的两根为y1、y2．①根据方程解的情况可得出x1•x2=2n＞0、y1•y2=2m＞0，结合根与系数的关系可得出x1+x2=-2m、y1+y2=-2n，进而得出这两个方程的根都是负根，①正确；②由方程有两个实数根结合根的判别式即可得出m2-2n≥0、n2-2m≥0，将（m-1）2+（n-1）2展开代入即可得出②正确；③根据根与系数的关系可得出2m-2n=（y1+1）（y2+1）-1、2n-2m=（x1+1）（x2+1）-1，结合x1、x2、y1、y2均为负整数即可得出-1≤2m-2n≤1，③成立．综上即可得出结论．【解题过程】解：设方程x2+2mx+2n=0的两根为x1、x2，方程y2+2ny+2m=0同的两根为y1、y2．①∵关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，∴x1•x2=2n＞0，y1•y2=2m＞0，∵x1+x2=-2m，y1+y2=-2n，∴这两个方程的根都是负根，①正确；②∵关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，∴4m2-8n≥0，4n2-8m≥0，∴m2-2n≥0，n2-2m≥0，∴（m-1）2+（n-1）2=m2-2n+1+n2-2m+1≥2，②正确；③∵y1•y2=2m，y1+y2=-2n，∴2m-2n=y1•y2+y1+y2=（y1+1）（y2+1）-1，∵y1、y2均为负整数，∴（y1+1）（y2+1）≥0，∴2m-2n≥-1．∵x1•x2=2n，x1+x2=-2m，∴2n-2m=x1•x2+x1+x2=（x1+1）（x2+1）-1，∵x1、x2均为负整数，∴（x1+1）（x2+1）≥0，∴2 n -2 m≥-1，即2m-2n≤1．∴-1≤2m-2n≤1，③成立．综上所述：成立的结论有①②③．故选D．4．（2022秋·江苏盐城·九年级统考期中）对于一切不小于2的自然数n，关于x的一元二次方程x2−(n+2)x−2n2=0的两个根为a n,b n(n≥2)，则1(a2−2)(b2−2)+1(a3−2)(b3−2)+⋯+1(a2021−2)(b2021−2)=__________．【思路点拨】由根与系数的关系得a n+b n=n+2，a n⋅b n=−2n2，所以(a n−2)(b n−2)=a n b n−2(a n+b n)+4=−2n2−2(n+2)+4=−2n(n+1)，则1(a n−2)(b n−2)=−12n(n1)=−12(1n−1n1)，然后代入即可求解．【解题过程】由根与系数的关系得a n+b n=n+2，a n⋅b n=−2n2，所以(a n−2)(b n−2)=a n b n−2(a n+b n)+4=−2n2−2(n+2)+4=−2n(n+1)，则1(a n−2)(b n−2)=12n(n1)=−12(1n−1n1)，则1(a2−2)(b2−2)+1(a3−2)(b3−2)+⋯+1(a2021−2)(b2021−2)=−12[(12−13)+(13−14)+…+(12021−12022)]=−12×(12−12022)=−12×10102022=−5052022．故答案为：−5052022．5．（2022秋·全国·九年级专题练习）关于x的方程x2−(m−2)x−m24=0两个实根x1,x2满足|x1|=|x2|+3，则m的值为_______．【思路点拨】先判断一元二次方程根的情况，然后利用根与系数的关系，得到x1+x2=m−2，x1•x2=−m24≤0，结合|x1 |−|x2|=3，通过变形求值，即可求出m的值.【解题过程】解：在方程x2−(m−2)x−m24=0中，有Δ=[−(m−2)]2−4×1×(−m24)=2m2−4m+4=2(m−1)2+2>0，∴原方程有两个不相等的实数根；根据根与系数的关系，有：x1+x2=−−(m−2)1=m−2，x1•x2=−m241=−m24≤0，∵|x1|=|x2|+3，∴|x 1|−|x 2|=3，∴x 21−2|x 1•x 2|+x 22=9，∴(x 1+x 2)2−2x 1•x 2−2|x 1•x 2|=9，∴(x 1+x 2)2−2x 1•x 2+2x 1•x 2=9，∴(m−2)2=9，解得：m 1=5，m 2=−1；故答案为：5或−1.6．（2022春·九年级课时练习）已知实系数一元二次方程ax 2+2bx +c ＝0有两个实根x 1，x 2，且a ＞b ＞c ，a +b +c ＝0，设d =|x 1−x 2|，则d 的取值范围为_____．【思路点拨】先根据一元二次方程根与系数的关系求出d 2的表达式，再根据二次函数性质求其取值范围即可．【解题过程】解：∵实系数一元二次方程ax 2+2bx +c ＝0有两个实根x 1、x 2，∴x 1+x 2＝﹣2b a ，x 1·x 2＝c a ，∴d 2＝|x 1﹣x 2|2=（x 1+x 2）2﹣4x 1·x 2＝（﹣2b a ）2﹣4c a＝−﹣4c a −4ac a 2＝4[（c a ）2+c a +1]＝4[（c a +12）2+34]，∵a ＞b ＞c ，a +b +c ＝0，∴a ＞0，c ＜0，a ＞﹣a ﹣c ＞c ，解得：﹣2＜c a ＜﹣12，∵y ＝4[（c a +12）2+34]的对称轴为：c a ＝﹣12，∴当﹣2＜ca ＜﹣12时，y随ca增大而减小，∴3＜d2＜12，<d<d<7．（2022秋·八年级单元测试）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根，甲由于看错了二次项系数，求得两个根为3和6，乙由于看错了某一项系数的符号，求得两个根为3+2b3c4a=____________【思路点拨】先利用两根分别表示出错误的方程为：对于甲：设k(x−3)(x−6)=0，得：kx2−9kx+18k=0；对于乙：设+=0，得：px2−6px−12p=0，乙的错误不可能是看错了一次项系数的符号，分两种情况：①若乙看错了二次项系数的符号，那么甲和乙的方程里面一次项和常数项分别相等；②若乙看错了常数项的符号，那么甲和乙的方程里面一次项相等，常数项互为相反数，则正确的方程为px2−6px+12p=0，求代数式的值即可.【解题过程】解：对于甲：设k(x−3)(x−6)=0得：kx2−9kx+18k=0对于乙：设+=0得：px2−6px−12p=0分情况讨论：①若乙看错了二次项系数的符号，那么−9k=−6p18k=−12p解得：k=p=0，不符合题意，舍去②若乙看错了常数项的符号，那么−9k=−6p18k−12p=0解得：p=32k则a=p,b=−6p,c=12p2b3c 4a =−12p36p4p=6③若乙看错了一次项项的符号，那么−9k=6p18k=−12p解得：p=−32k则a=p,b=6p,c=−12p2b+3c4a =12p−36p4p=−6故答案为±68．（2022春·四川内江·九年级专题练习）将两个关于x的一元二次方程整理成a(x+ℎ)2+k＝0（a≠0，a、h、k均为常数）的形式，如果只有系数a不同，其余完全相同，我们就称这样的两个方程为“同源二次方程”．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）与方程(x+1)2−2=0是“同源二次方程”，且方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个根为x1、x2，则b－2c＝______，ax1+x1x2+ax2的最大值是______．【思路点拨】利用ax2+bx+c=0（a≠0）与方程(x+1)2−2=0是“同源二次方程”得出b=2a，c=a−2，即可求出b−2c；利用一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2=−2，x1x2=a−2a，进而得出ax1+x1x2+ax2=−2a+1，设a+1a=t（t>0），得a2−t⋅a+1=0，根据方程a2−t⋅a+1=0有正数解可知Δ=t2−4≥0，求出t的取值范围即可求出ax1+x1x2+ax2的最大值．【解题过程】解：根据新的定义可知，方程ax2+bx+c=0（a≠0）可变形为a(x+1)2−2=0，∴a(x+1)2−2=ax2+bx+c，展开，ax2+2ax+a−2=ax2+bx+c，可得b=2a，c=a−2，∴b−2c=2a−2(a−2)=4；∵x1+x2=−2，x1x2=a−2a，∴ax1+x1x2+ax2=a(x1+x2)+x1x2=−2a+a−2a=−2a+1，∵方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个根为x1、x2，∴Δ=b2−4ac=(2a)2−4a(a−2)=8a≥0，且a≠0，∴a>0，=t（t>0），得a2−t⋅a+1=0，设a+1a∵方程a2−t⋅a+1=0有正数解，∴Δ=t2−4≥0，≥2，解得t≥2，即a+1a∴ax1+x1x2+ax2=−2a+1≤−3．故答案为：4，-3．9．（2022秋·广东江门·九年级统考阶段练习）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于“倍根方程”的说法，正确的有_____（填序号）．①方程x2−x−2=0是“倍根方程”；②若(x−2)(mx+n)=0是“倍根方程”，则4m2+5mn+n2=0；③若p,q满足pq=2，则关于x的方程px2+3x+q=0是“倍根方程”；④若方程ax2+bx+c=0是“倍根方程”，则必有2b2=9ac．【思路点拨】①求出方程的根，再判断是否为“倍根方程”；②根据“倍根方程”和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m，n之间的关系；③当p,q满足pq=2时，有px2+3x+q=(px+1)(x+q)=0，求出两个根，再根据pq=2代入可得两个根之间的关系，讲而判断是否为“倍根方程”；④用求根公式求出两个根，当x1=2x2或2x1=x2时，进一步化简，得出关系式，进行判断即可．【解题过程】解：①解方程x2−x−2=0，得x1=2，x2=−1，∵x1≠2x2，∴方程x2−x−2=0不是“倍根方程”．故①不正确；②∵(x−2)(mx+n)=0是“倍根方程”，且x1=2，因此x2=1或x2=4．当x2=1时，m+n=0，当x2=4时，4m+n=0，∴4m2+5mn+n2=(m+n)(4m+n)=0，故②正确；③∵pq=2，∴px2+3x+q=(px+1)(x+q)=0，∴x1=−1p，x2=−q，∴x2=−q=−2p=2x1，因此px2+3x+q=0是“倍根方程”，故③正确；④方程ax2+bx+c=0的根为x1=2若x1=2x2×2，2=0，=0，∴b+=0，∴=−b，∴9(b2−4ac)=b2，∴2b2=9ac，若2x1=x22==0，∴−b+=0，∴b=∴b2=9(b2−4ac)，∴2b2=9ac．故④正确，故答案为：②③④．10．（2023春·全国·八年级专题练习）已知关于x的一元二次方程kx2﹣2（k+1）x+k﹣1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）是否存在实数k，使1x1−1x2＝1成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）根据一元二次方程的根的判别式，建立关于k的不等式，求得k的取值范围．（2）利用根与系数的关系，根据1x 1−1x 2=x 2−x 1x 1x 2,即可求出k 的值，看是否满足（1）中k 的取值范围，从而确定k 的值是否存在．【解题过程】解：（1）由题意知，k ≠0且△＝b 2﹣4ac ＞0∴b 2﹣4ac ＝[﹣2（k +1）]2﹣4k （k ﹣1）＞0，即4k 2+8k +4﹣4k 2+4k ＞0，∴12k ＞﹣4解得：k ＞−13且k ≠0（2）存在，且k =7±∵x 1+x 2=2(k 1)k ,x 1x 2=k−1k,又有1x 1−1x 2=x 2−x 1x 1x 2=1,∴x 2−x 1=x 1x 2,∴x 22−2x 1x 2+x 21=x 21x 22,∴(x 1+x 2)2−4x 1x 2=(x 1x 2)2,∴2−4k−4k =(k−1k)2, ∴(2k +2)2−k(4k−4)=(k−1)2, ∴k 2−14k−3=0, ∵a =1,b =−14,c =−3, ∴Δ=b 2−4ac =208,∴k =7±∵ k ＞−13且k ≠0，∵≈−0.21＞−13, 7+−13.∴满足条件的k 值存在，且k =7±．11．（2022·浙江·九年级自主招生）已知方程x 2+4x +1=0的两根是α、β．（1）求|α−β|的值；（2（3）求作一个新的一元二次方程，使其两根分别等于α、β的倒数的立方．（参考公式：x 3+y 3=(x +y)x 2+y 2−xy ．【思路点拨】（1）利用一元二次方程根与系数的关系可得α+β=−4,αβ=1，再求得(α−β)2的值，进而求得|α−β|的值．（2）+α最后将α+β=−4,αβ=1代入计算即可；（3）+的值，然后根据一元二次方程根与系数的关系即可解答．【解题过程】（1）解：∵方程x 2+4x +1=0的两根是α、β∴α+β=−4,αβ=1∴(α−β)2=(α+β)2−4αβ=12∴|α−β|=（2）解：由（1）可知：α<0，β<0，∵=αβ+βα+2=α2+β2αβ+2=(α+β)2−2αβαβ+2=16，4（负值舍去）；（3+=(1α+1β+−===−1=−52==1所以新的一元二次方程x 2+52x +1=0．12．（2022春·四川南充·九年级专题练习）已知：关于x 的方程(k−1)x 2−2kx +k +2=0有实数根．（1）求k 的取值范围．（2）若x 1，x 2是方程(k−1)x 2−2kx +k +2=0的两个实数根，问：是否存在实数k ，使其满足(k−1)x 21+2k x 2+k +2=4x 1x 2，若存在，求出k 的值，若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）利用一元二次方程根的判别式列出不等式，再求解即可；（2）根据已知得出(k−1)x 21−2kx 1+k +2=0①，x 1+x 2=−−2kk−1=2kk−1，x 1⋅x 2x 2=2kk−1−x 1，求出(k−1)x 21−2kx 1+k +2+4k 2k−1=4⋅k 2k−1②，把①代入②得出4k 2k−1=4⋅k 2k−1，最后求出k 即可.【解题过程】解：（1）当k−1=0即k =1时，方程−2x +3=0，x =32，即方程有实数根，当k−1≠0时，Δ=(−2k)2−4⋅(k−1)⋅(k +2)≥0，方程有实数根，即k ≤2，综合上述：k 的取值范围是k ≤2．（2）∵x 1，x 2是方程(k−1)x 2−2kx +k +2=0的两个实数根，∴(k−1)x 21−2kx 1+k +2=0，①x 1+x 2=−−2kk−1=2kk−1，x 1⋅x 2=∴x 2=2kk−1−x 1，∵(k−1)x 21+2kx 2+k +2=4x 1x 2，∴(k−1)x 21+1+k +2=4⋅k 2k−1，∴(k−1)x 21+4k 2k−1−2kx 1+k +2=4⋅k 2k−1，即：(k−1)x 21−2kx 1+k +2+4k 2k−1=4⋅k 2k−1，②把①代入②得：4k 2k−1=4⋅k 2k−1，k 2−k−2=0，k =2，k =−1，由（1）可知k 需满足：k ≤2且k ≠1，∴k =2或−1．13．（2022秋·九年级单元测试）已知关于x 的一元二次方程x 2−2x−a 2−a =0(a >0)．（1）求证：这个方程的一根大于2，一根小于2；（2）若对于a =1，2，3，…，2019，2020时，相应得到的一元二次方程的两根分别为α1和β1,α2和β2,α3和β3，…，α2019和β2019,α2020和β2020，+1α2+1α3+…+1α2019+1β2+1β3+…+1β2019的值．【思路点拨】（1）设方程的两根是α1，β1，得出α1+β1=2，α1·β1=−a 2−a ，代入(α1−2)(β1−2)，=α1β1−2(α1+β1)+4，求出其结果是−a 2−a ，求出−a 2−a <0即可；（2）得出α1+β1=2，α1·β1=−a 2−a =−a(a +1)，把(1α1+1α2+1α3+…+1α2019+1α2020)+(1β1+1β2+1β3+…+1β2019+1β2020)112233+20202020−2×(1−12+12−13+13−14+…+12020−12021)，推出−2×(1−12021)，求出即可．【解题过程】解：（1）证明：设方程的两根是α1，β1，则α1+β1=2，α1·β1=−a 2−a ，∴(α1−2)(β1−2)=α1β1−2(α1+β1)+4=−a 2−a−2×2+4=−a 2−a ，∵a >0，∴−a 2−a <0，即这个方程的一根大于2，一根小于2；（2）∵α1+β1=2，α1·β1=−a2−a=−a(a+1)∵对于a=1，2，3，…，2019，2020时，相应得到的一元二次方程的两根分别为α1和β1，α2和β2，α3和β3，…，α2019和β2019，α2020和β2020，∴(1α1+1α2+1α3+…+1α2019+1α2020)+(1β1+1β2+1β3+…+1β2019+1β2020)=1α1+1β1+1α2+1β2+1α3+1β3+…+1α2019+1β2019+1α2020+1β2020=α1+β1α1β1+α2+β2α2β2+α3+β3α3β3+…+α2020+β2020α2020β2020=2−1×2+2−2×3+2−3×4+…+2−2020×2021=−2×(11×2+12×3+13×4+…+12020×2021)=−2×(1−12+12−13+13−14+…+12020−12021)=−2×(1−1 2021)=−40402021．14．（2022秋·九年级课时练习）一元二次方程x2+2ax+6−a=0的根x1,x2分别满足以下条件，求出实数a 的对应范围．（1）两个根同为正根；（2）两个根均大于1；（3）x1x2=3．【思路点拨】（1）由一元二次方程x2+2ax+6−a=0有两个正根，可列不等式组∴{△=(2a)2−4(6−a)≥0①x1+x2=−2a>0②x1x2=6−a>0③，再解不等式组即可；（2）由一元二次方程x2+2ax+6−a=0两个均大于1，可得(x1−1)(x2−1)>0,即x1x2−(x1+x2)+1>0,再结合根与系数的关系列不等式，结合△≥0，从而可得答案；（3）由x1x2=3可得x1=3x2,结合x1+x2=−2a,求解x1,x2,再利用x1x2=6−a,再解方程求解a的值，再检验即可.【解题过程】（1）解：∵一元二次方程x2+2ax+6−a=0有两个正根，∴{△=(2a)2−4(6−a)≥0①x 1+x 2=−2a >0②x 1x 2=6−a >0③由①得：a 2+a−6≥0, 解得：a ≥2或a ≤−3, 由②得：a <0, 由③得：a <6,所以a 的取值范围为：a ≤−3；（2）解： 由（1）得：a ≤−3,一元二次方程x 2+2ax +6−a =0两个均大于1，∴(x 1−1)(x 2−1)>0, 即x 1x 2−(x 1+x 2)+1>0, 而x 1+x 2=−2a,x 1x 2=6−a, ∴6−a +2a +1>0, 解得：a >−7, 综上−7<a ≤−3（3）解：∵ x 1x 2=3，则x 1=3x 2, ∵x 1+x 2=−2a, 解得：x 1=−32a,x 2=−12a, ∵x 1x 2=6−a, ∴34a 2=6−a,整理得：3a 2+4a−24=0,∴a ==∵ a ≥2或a ≤−3,经检验：a =a =.15．（2022秋·浙江杭州·八年级杭州外国语学校校考期末）设m 是不小于﹣1的实数，使得关于x 的方程x 2＋2（m ﹣2）x ＋m 2﹣3m ＋3＝0有两个实数根x 1，x 2．（1）若x 21+x 22=2，求m 的值；（2）令T ＝mx 11−x 1＋mx 21−x 2，求T 的取值范围．【思路点拨】首先根据方程有两个实数根及m是不小于-1的实数，确定m的取值范围，根据根与系数的关系，用含m的代数式表示出两根的和、两根的积．（1）变形x12+x22为（x1+x2）2-2x1x2，代入用含m表示的两根的和、两根的积得方程，解方程根据m的取值范围得到m的值；（2）化简T，用含m的式子表示出T，根据m的取值范围，得到T的取值范围．【解题过程】解：（1）∵关于x的方程x2+2（m-2）x+m2-3m+3=0有两个实数根，∴Δ=4（m-2）2-4（m2-3m+3）≥0，解得m≤1，∵m是不小于-1的实数，∴-1≤m≤1，∵方程x2+2（m-2）x+m2-3m+3=0的两个实数根为x1，x2，∴x1+x2=-2（m-2）=4-2m，x1•x2=m2-3m+3．∵x12+x22=2，∴（x1+x2）2-2x1x2=2，∴4（m-2）2-2（m2-3m+3）=2，整理得m2-5m+4=0，解得m1=1，m2=4（舍去），∴m的值为1；（2）T＝mx11−x1＋mx21−x2，=mx1(1−x2)mx2(1−x1)(1−x1)(1−x2)12)121−42m3=−2m(m−1)2m2−m=−2m(m−1)2m(m−1)=2-2m．∵当x=1时，方程为1＋2（m﹣2）＋m2﹣3m＋3＝0，解得m=1或m=0．∴当m=1或m=0时，T没有意义．∴−1≤m<1且m≠0∴0<2-2m≤4且T≠2．即0<T≤4且T≠2．16．（2022秋·福建泉州·九年级石狮市石光中学校考期中）已知关于x的一元二次方程mx2+(3m+1)x+3=0(m≠0)．（1）求证：方程有两个实数根；（2）若m<0，方程的两个实数根分别为x1,x2（其中x1<x2），若y是m的函数，且y=x1−1x2，求这个函数的解析式．（3）若m为正整数，关于x的一元二次方程mx2+(3m+1)x+3=0(m≠0)的两个根都是整数，a与a+b(b≠0)分别是关于x的方程mx2+(3m+1)x+3=0的两个根．求代数式4a2+12ab+5b2+16b+8的值．【思路点拨】（1）利用Δ求出关于m的式子，然后证明关于m的式子大于或等于0即可；（2）利用公式法确定两根，代入即可得出这个函数解析式；（3）利用根与系数的关系求出m的值，即可得到a与a+b(b≠0)分别是关于x的方程x2+4x+3−b=0的两个根，利用根与系数的关系得到a+a+b=−4，即a=−4b4，代入代数式化简即可求出答案．【解题过程】（1）解：∵由题意可知Δ=(3m+1)2−4m×3=9m2−6m+1=(3m−1)2≥0，∴方程有两个实数根；（2）mx2+(3m+1)x+3=0解：由（1）可知，方程有两个实数根，∴x<0)，∴x=−3m−1±(1−3m)2m，∵x1<x2，∴x1=−3，x2=−1m，∴y=x1−1x2=−3−1−1m=−3+m,(m<0)．∴y=−3+m,(m<0)．（3）解：∵a与a+b(b≠0)分别是关于x的方程mx2+(3m+1)x+3=0的两个根．∴a+a+b=2a+b=−3m1m =−3−1m，a(a+b)=3m，∵a与b是整数，∴1m 与3m同为整数，∵m是正整数，∴m=1，∴方程为x2+4x+3=0，∴a+a+b=2a+b=−4，∴a=−4−b2，将a=−4−b2代入4a2+12ab+5b2+16b+8原式=4×++5b2+16b+8=16+8b+b2−24b−6b2+5b2+16b+8=24．17．（2022秋·福建·九年级统考期末）已知关于x的方程mx2−(m−1)x+2=0有实数根．（1）若方程的两根之和为整数，求m的值；（2）若方程的根为有理根，求整数m的值．【思路点拨】（1）根据关于x的方程mx2−(m−1)x+2=0有两个根，且为实数根，先利用一元二次方程的根的判别式确定m的取值范围，再根据一元二次方程的根与系数的关系，可知x1+x2=m−1m，若方程的两根之和为整数，即m−1m为整数，即可确定m的值；（2）分两种情况讨论：当m=0时，此时关于x的方程为x+2=0，求解可得x=−2，符合题意；当m≠0时，对于关于x的方程mx2−(m−1)x+2=0可有x m为整数，则Δ=m2−10m+1为某一有理数的平方，据此分析即可获得答案．【解题过程】（1）解：∵关于x的方程mx2−(m−1)x+2=0有两个根，且为实数根，∴m≠0，且Δ=[−(m−1)]2−4m×2=m2−10m+1≥0，根据一元二次方程的根与系数的关系，可知x1+x2=−−(m−1)m =m−1m，若方程的两根之和为整数，即m−1m为整数，∵m−1m =1−1m，∴1m是整数，∴m=±1，当m=1时，Δ=1−10+1=−8<0，不符合题意；当m=−1时，Δ=1+10+1=12>0，m−1m =−1−1−1=2，为整数，符合题意；∴m的值为−1；（2）当m=0时，此时关于x的方程为x+2=0，解得x=−2；当m≠0时，对于关于x的方程mx2−(m−1)x+2=0的根为：x若方程的根为有理根，且m为整数，则Δ=m2−10m+1为完全平方数，设m2−10m+1=k2（k为正整数），则：m==5±∵m为整数，设24+k2=n2（n为正整数），∴(k+n)(n−k)=24，∴k+n=12n−k=2或k+n=6n−k=4或k+n=8n−k=3或k+n=24n−k=1，解得：k=5n=7或k=1n=5或k=52n=112（不合题意，舍去）或k=232n=252（不合题意，舍去）∴m2−10m+1=12=1或m2−10m+1=52=25；当m2−10m+1=1时，解得m=10或m=0（舍去）；当m2−10m+1=25时，解得m=−2或m=12，综上所述，若方程的根为有理根，则整数m的值为0或10或−2或12．18．（2022秋·四川资阳·九年级统考期末）定义：已知x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根，若x1<x2<0，且3<x1x2<4，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程x2+13x+30=0的两根为x1=−10，x2=−3，因−10<−3<0，3<−10−3<4，所以一元二次方程x2+13x+30=0为“限根方程”．请阅读以上材料，回答下列问题：（1）判断一元二次方程x2+9x+14=0是否为“限根方程”，并说明理由；（2）若关于x的一元二次方程2x2+(k+7)x+k2+3=0是“限根方程”，且两根x1、x2满足x1+x2+x1x2 =−1，求k的值；（3）若关于x的一元二次方程x2+(1−m)x−m=0是“限根方程”，求m的取值范围．【思路点拨】（1）解该一元二次方程，得出x1=−7，x2=−2，再根据“限根方程”的定义判断即可；（2）由一元二次方程根与系数的关系可得出x1+x2=−k72，x1x2x1+x2+x1x2=−1，即可求出k1=2，k2=−1．再结合“限根方程”的定义分类讨论舍去不合题意的值即可；（3）解该一元二次方程，得出x1=−1，x2=m或x1=m，x2=−1．再根据此方程为“限根方程”，即得出此方程有两个不相等的实数根，结合一元二次方程根的判别式即可得出Δ>0，m<0且m≠−1，可求出m 的取值范围．最后分类讨论即可求解．【解题过程】（1）解：x2+9x+14=0，(x+2)(x+7)=0，∴x+2=0或x+7=0，∴x1=−7，x2=−2．∵−7<−2，3<−7−2=72<4，∴此方程为“限根方程”；（2）∵方程2x2+(k+7)x+k2+3=0的两个根分比为x1、x2，∴x1+x2=−k72，x1x2=．∵x1+x2+x1x2=−1，∴=−1，解得：k1=2，k2=−1．分类讨论：①当k=2时，原方程为2x2+9x+7=0，∴x1=−72，x2=−1，∴x1<x2<0，3<x1x2=72<4，∴此时方程2x2+(k+7)x+k2+3=0是“限根方程”，∴k=2符合题意；②当k=−1时，原方程为2x2+6x+4=0，∴x1=−2，x2=−1，∴x1<x2<0，x1x2=2<3，∴此时方程2x2+(k+7)x+k2+3=0不是“限根方程”，∴k=−1不符合题意．综上可知k的值为2；（3）x2+(1−m)x−m=0，(x+1)(x−m)=0，∴x+1=0或x−m=0，∴x1=−1，x2=m或x1=m，x2=−1．∵此方程为“限根方程”，∴此方程有两个不相等的实数根，∴Δ>0，m<0且m≠−1，∴(1−m)2+4m>0，即(1+m)2>0，∴m<0且m≠−1．分类讨论：①当−1<m<0时，∴x1=−1，x2=m，∵3<x1x2<4，∴3<−1m<4，解得：−13<m<−14；②当m<−1时，∴x1=m，x2=−1，∵3<x1x2<4，∴3<m−1<4，解得：−4<m<−3．综上所述，m的取值范围为−13<m<−14或−4<m<−3．19．（2022秋·福建泉州·九年级福建省泉州第一中学校联考期中）已知方程①：2(x−k)=x−4为关于x的方程，且方程①的解为非正数；方程②：(k−1)x2+2mx+3−k+n=0（k、m、n均为实数）为关于x的一元二次方程．（1）求k的取值范围；（2）如果方程②的解为负整数，k−m=2，2k−n=6且k为整数，求整数m的值；（3）当方程②有两个实数根x1，x2满足(x1+x2)(x1−x2)+2m(x1−x2+m)=n+5，且k为正整数，试判断m2≤4是否成立？并说明理由．【思路点拨】（1）将k当作已知数解出方程2(x−k)=x−4的解，根据该方程的解为非正数，可得出k的取值范围，方程②：(k−1)x2+2mx+3−k+n=0（k、m、n均为实数）为关于x的一元二次方程，二次项系数不为0，即k −1≠0，解得k≠1，即可求出k的取值范围；（2）根据k−m=2，2k−n=6可得m=k−2，n=2k−6，代入方程②，可得(k−1)x2+2(k−2)x+(3−k)+2k−6=0，可得x1=−1+2k−1，x2=−1，由于②的解为负整数且k为整数，所以k−1=−1或k−1=−2，可得k=0或−1，即可求出整数m的值；（3）方法1：由（1）可知k≤2且k≠1，且k为正整数，可知k=2，所以方程②为x2+2mx+1+n=0，因为方程②有两个实数根x1，x2，所以Δ≥0，x1+x2=−2m，x1⋅x2=1+n，由Δ≥0可求出m2≥n+1，将x1+x2=−2 m，x1⋅x2=1+n，代入(x1+x2)(x1−x2)+2m(x1−x2+m)=n+5，可得n=2m2−5，将其代入m2≥n+1，即可证明m2≤4；方法2：先得出k=2，m2≥n+1，x1+x2=−2m，x1⋅x2=1+n，根据x1+x2=−2m，x1⋅x2=1+n求出(x1−x2)2=4(m2−1−n)，可得x1−x2x1−x2x1−x2=−2x1+x2=−2m，x1⋅x2=1+n，代入(x1+x2)(x1−x2)+2m(x1−x2+m)=n+5，可得n=2m2−5，将其代入m2≥n+1，即可证明m2≤4．【解题过程】（1）解：∵关于x的方程2(x−k)=x−4的解为x=2k−4，且该方程的解为非正数，∴2k−4≤0，解得k≤2，又∵关于x 的方程(k−1)x 2+2mx +(3−k )+n =0是一元二次方程，∴k−1≠0，k−1≠0，解得k≠1，综上所述，k 的取值范围是k≤2且k≠1．（2）解：由（1）可知k≤2且k≠1，∵k−m =2，2k−n =6，∴m =k−2，n =2k−6，∴方程②为(k−1)x 2+2(k−2)x +(3−k )+2k−6=0，即(k−1)x 2+2(k−2)x +k−3=0，[(k−1)x +(k−3)](x +1)=0，解得：x 1=3−kk−1=−(k−1)2k−1=−1+2k−1，x 2=−1，∵方程②为(k−1)x 2+2(k−2)x +(3−k )+2k−6=0，方程②的解为负整数，∴k−1=−1或k−1=−2，∴k =0或−1，当k =0时，m =k−2=0−2=−2，当k =−1时，m =k−2=−1−2=−3，∴m 的值为−2或−3．（3）解：方法1：m 2≤4成立，理由如下：由（1）可知k≤2且k≠1，又∵k 为正整数，∴k =2，∴方程②为x 2+2mx +1+n =0，∵方程②有两个实数根x 1，x 2，∴Δ≥0，x 1+x 2=−2m ，x 1⋅x 2=1+n ，∴(2m )2−4×1×(1+n )≥0，∴m 2≥n +1（*）∵(x 1+x 2)(x 1−x 2)+2m (x 1−x 2+m )=n +5，∴−2m (x 1−x 2)+2m (x 1−x 2+m )=n +5即−2m (x 1−x 2)+2m (x 1−x 2)+2m 2=n +5，即2m 2=n +5，即n =2m 2−5代入（*）∴m2≥2m2−5+1∴m2≤4；方法2：m2≤4成立，理由如下：由（1）可知k≤2且k≠1，又∵k为正整数，∴k=2，∴方程②为x2+2mx+1+n=0，∵方程②有两个实数根x1，x2，∴Δ≥0，x1+x2=−2m，x1⋅x2=1+n，∴(2m)2−4×1×(1+n)≥0，∴m2≥n+1，∵(x1−x2)2=(x1+x2)2−4x1⋅x2=(−2m)2−4(1+n)=4(m2−1−n)，∴x1−x2∵(x1+x2)(x1−x2)+2m(x1−x2+m)=n+5∴当x1−x2(−2m)⋅m2m=n+5，∴2m2=n+5，∴n=2m2−5，∴m2≥2m2−5+1，∴m2≤4；当x1−x2=1种情况扣1分）(−2m)⋅−2m−2m=n+5，∴2m2=n+5，∴n=2m2−5，∴m2≥2m2−5+1，∴m2≤4；综上所述，m2≤4成立．20．（2022春·湖南邵阳·九年级邵阳市第二中学校考自主招生）已知关于x的方程|x2+2px−3p2+5|−q=0．其中p，q都是实数．（1）若q=0时方程有两个不同的实数根x1，x2，且1x1+1x2=843．求实数p的值．（2）若方程有三个不同的实数根x1，x2，x3，且1x1+1x2+1x3=0．求实数p和q的值．（3）是否同时存在质数p和整数q使得方程有四个不同的实数根x1，x2，x3，x4，且x1x2x3x4=3若存在，求出所有满足条件的p，q．若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）利用根的判别式，根与系数关系定理，转化为一元二次方程求解即可．（2）根据方程根的情况，判定去绝对值后的两个方程，一个有两个不相等实数根，一个有两个相等实数根，运用根的判别式，根与系数关系定理，转化为一元二次方程求解即可．（3）根据方程根的情况，判定去绝对值后的两个方程，都有两个不相等实数根，运用根的判别式，根与系数关系定理，质数的性质，分类转化为一元二次方程求解即可．【解题过程】解：（1）当q=0时，方程为x2+2px−3p2+5=0，∴由Δ>0得p2>54，∵方程有两个不同的实数根x1，x2，∴x1+x2=−2p，x1x2=5−3p2，∵1 x1+1x2=843，∴x1x2x1x2=843，∴−2p 5−3p2=843，整理，得12p2−43p−20=0，解得：p=4，p=−512舍去，故P=4．（2）原方程化为：x2+2px−3p2+5−q=0，x2+2px−3p2+5+q=0．由题意可知q>0，∴Δ1=44p2−5+q>0，Δ2=44p2−5−q=0，∴x2+2px−3p2+5−q=0，x2+2px+p2=0，不妨设x1+x2=−2p，x1x2=−3p2+5−q，x3=−p，∵1 x1+1x2+1x3=0，12−1x3，∴−2p−3p25−q =−1−p，整理，得p2=5−q，∵4p2−5−q=0，解得q=3，p=±（3）同时存在质数p和整数q使得方程有四个不同的实数根x1，x2，x3，x4，且x1x2x3x4=3，原方程化为：x2+2px−3p2+5−q=0，x2+2px−3p2+5+q=0．由题意及q>0，∴Δ1=44p2−5+q>0，Δ2=44p2−5−q＞0，不妨设x1+x2=−2p，x1x2=−3p2+5−q，x3+x4=−2p，x3x4=−3p2+5+q，∵x1x2x3x4=，∴3p2−5+q3p2−5−q=3p4，∵q>0，p为质数，∴3p2−5+q>3p2−5−q，且3p2−5+q>p2，又3p4=3p4×1=p4×3=3p3×p=p3×3p=3p2×p2，∴3p2−5+q=3p43p2−5−q=1，此时Δ1=36−4×3×11＜0，方程组无解；3p2−5+q=3p33p2−5−q=p，此时3p3−6p2+p+10=0，∴3p2(p−2)+p+10=0，∵q>0，p为质数，∴3p2(p−2)+p+10＞0，此时方程组无解；3p2−5+q=p33p2−5−q=3p，此时p3−6p2+3p+10=0，(p−2)(p2−3p−5)=0，∴p=2或p=5或p=-1(舍去)；当p=2时，q=1；当p=5时，q=55；3p2−5+q=p43p2−5−q=3，此时Δ4=36−4×13×1＜0，方程组无解；3p2−5+q=3p23p2−5−q=p2，解得pq或p=q=，∵p是质数，∴不符合题意；综上所述，p=2，q=1或p=5，q=55．。

一元二次方程的实根分布问题引言一元二次方程是高中数学中重要的内容之一，也是解决实际问题中常见的一种数学模型。

解一元二次方程可以得到方程的实根，实根的个数和分布与方程的系数有密切关系。

本文将探讨一元二次方程的实根分布问题，并给出相应的和解题方法。

一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式为：ax2+bx+c=0，其中a、b和c分别为方程的系数，且a eq0。

实根、虚根和重根一个一元二次方程可能有三种情况：实根、虚根和重根。

- 当判别式D=b2−4ac大于 0 时，方程有两个不相等的实根； - 当判别式小于 0 时，方程没有实根，但有两个虚根； - 当判别式等于 0 时，方程有两个相等的实根（重根）。

实根分布问题实根分布问题即研究实根的个数和分布。

首先，我们考虑a>0的情况。

1. 当a>0时对于一元二次方程ax2+bx+c=0，当a>0时，判别式D=b2−4ac的符号关系决定了实根的个数和分布。

a) 当D>0时当判别式D=b2−4ac>0时，方程有两个不相等的实根。

实根的分布取决于方程的系数a、b和c。

根据配方法，我们可以将一元二次方程写成完全平方形式(x−p)2=q，其中p和q可以通过系数a、b和c表示出来。

b) 当D<0时当判别式D=b2−4ac<0时，方程没有实根，但有两个虚根。

c) 当D=0时当判别式D=b2−4ac=0时，方程有两个相等的实根（重根）。

2. 当a<0时对于一元二次方程ax2+bx+c=0，当a<0时，判别式D=b2−4ac的符号关系同样决定了实根的个数和分布。

a) 当D>0时当判别式D=b2−4ac>0时，方程有两个不相等的实根。

b) 当D<0时当判别式D=b2−4ac<0时，方程没有实根，但有两个虚根。

c) 当D=0时当判别式D=b2−4ac=0时，方程有两个相等的实根（重根）。

根据以上讨论，我们可以出一元二次方程的实根分布问题的： 1. 当判别式D= b2−4ac>0时，方程有两个不相等的实根； 2. 当判别式D=b2−4ac<0时，方程没有实根，但有两个虚根； 3. 当判别式D=b2−4ac=0时，方程有两个相等的实根（重根）。

一般一元二次方程的表达式为:ax^2+bx+c=0解一元二次方程的一般方法是用韦达定理，即x=[-b±根号(b^2-4ac)]/2ay=ax2+bx+c 化为顶点式是:y=a(x+b/2a)2+4ac-b2/4a,顶点坐标是：(-b/2a,4ac-b2/4a)解法阿贝尔定理指出，任意一元二次方程都可以根据a、b、c三个系数，通过初等代数运算来求解。

求得的解也被称为方程的根。

[因式分解法把一个一元二次方程变形成一般形式後，如果能够较简便地分解成两个一次因式的乘积，则一般用因式分解来解这个一元二次方程。

将方程左边分解成两个一次因式的乘积后(一般可用十字相乘法），分别令每一个因式等于零，可以得到两个一元一次方程。

解这两个一元一次方程，得到的两个解都是原方程的解。

如果一元二次方程存在两个實根x1,x2，那么它可以因式分解为。

例如，解一元二次方程x2 - 3x + 2 = 0时，可将原方程左边分解成。

所以，可解得。

公式解法对于，它的根可以表示为：有些時候也写成公式解的证明公式解可以由配方法得出。

首先先將一元二次方程的一般形式除以a（a在一元二次方程中不為零），我們將會得到亦即現在我們可以開始配方了。

為了配方，我們必須要加上一個常數（在這個例子裡，它是指一個不隨x而變的量）到等式的左邊，使等式左邊有完全平方的樣子。

當時我們得到亦即當我們在式子的兩邊加上我們將得到：式子的左邊變成了一個完全平方了。

並且可以看出是的平方。

式子的右邊則可以通分成一個分數，因此式子變成了：接下來，對式子的兩邊開根號：最後，式子兩邊同時減去公式解終於出現了：一般化一元二次方程的求根公式在方程的係數为有理数、实数、复数或是任意数域中适用。

它們的特征不可以是 2。

如果特征是2，2a便會變成零，但除法是不能除以0的。

二次方程中的判别式應該理解為「如果存在的話，兩個自乘後為 b2 − 4ac 的數當中任何一個」。

在某些数域中，有些數值没有平方根。

一元二次方程公式1. 引言在数学中，一元二次方程是一种只含有一个未知数的二次方程。

一元二次方程的一般形式为：ax^2 + bx + c = 0其中，a、b、c是已知的实数，a ≠ 0。

解一元二次方程的最常用方法之一是使用一元二次方程公式。

本文将介绍一元二次方程公式的推导过程和使用方法。

2. 一元二次方程公式的推导假设我们要解一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c是已知的实数，且a ≠ 0。

我们首先将方程化简为标准形式。

通过移项和因式分解，我们可以得到：x^2 + (b/a)x + c/a = 0进一步，我们可以将方程写成完全平方的形式：(x + (b/2a))^2 - (b^2/4a^2) + c/a = 0我们可以继续进行简化和合并项：(x + (b/2a))^2 = (b^2 - 4ac) / (4a^2)通过开方，我们可以得到：x + (b/2a) = ± √((b^2 - 4ac) / (4a^2))继续移项，我们最终得到一元二次方程公式：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)这就是一元二次方程的解的公式，也称为一元二次方程公式。

3. 使用一元二次方程公式求解方程使用一元二次方程公式求解一元二次方程的步骤如下：1.确定方程的系数a、b、c的值。

2.计算方程的判别式Δ = b^2 - 4ac。

3.判断判别式的值：–若Δ > 0，即判别式大于0，方程有两个实数解。

–若Δ = 0，即判别式等于0，方程有一个实数解。

–若Δ < 0，即判别式小于0，方程无实数解。

4.根据判别式的值，使用一元二次方程公式求解方程：–若Δ > 0，解为x = (-b ± √Δ) / (2a)。

–若Δ = 0，解为x = -b / (2a)。

–若Δ < 0，无实数解。

需要注意的是，一元二次方程公式仅适用于一元二次方程，不适用于其他类型的方程。

一元二次方程实际问题与一元二次方程一元二次方程是我们在代数学中常见的一种形式，它可以用来解决各种实际问题。

一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c分别为方程中的系数。

通过求解一元二次方程，我们可以得到方程的根，进而解决与方程相关的实际问题。

举一个关于一元二次方程的实际问题：假设一个物体自由下落，经过t秒后的高度为h米。

根据物体自由下落的运动规律，物体的高度与时间之间的关系可以表示为h = -4.9t^2 + v0t + h0，其中v0为物体的初始速度，h0为物体的初始高度。

如果我们知道物体的初始高度为10米，初始速度为0，要求物体落地时的高度为0，即求解方程-4.9t^2 + 10 = 0。

通过解一元二次方程-4.9t^2 + 10 = 0，我们可以得到物体落地时的时间t。

进而可以计算出物体自由落体到达地面时的速度、加速度等信息，为实际问题的分析提供依据。

另一个实际问题是关于二次方程的面积问题。

假设有一个矩形的面积为60平方米，且长比宽多5米。

我们可以建立方程表示这个矩形的长和宽，从而求解矩形的长和宽。

设矩形的长为x米，则宽为x-5米，根据矩形的面积公式面积=长*宽，可以得到方程x(x-5) = 60。

通过解一元二次方程x(x-5) = 60，我们可以得到矩形的长和宽，进而可以计算出矩形的周长、对角线长等信息，为实际问题的解决提供依据。

总的来说，一元二次方程在解决实际问题时具有重要的应用价值，通过建立方程、求解方程，我们可以得到问题的解决方案，为实际问题的分析和解决提供数学支持。

通过掌握一元二次方程的解法和应用，我们可以更好地理解和应用代数学知识，提高问题解决的能力和水平。

新教材高中数学教师用书：第2课时 复数的除法及实系数一元二次方程在复数范围内的解集[课程目标] 1.掌握复数的除法法则，并能运用复数的除法法则进行计算.2.会在复数范围内解实系数一元二次方程．知识点一 复数的除法[填一填](1)复数的除法如果复数z 2≠0，则满足zz 2＝z 1的复数z 称为z 1除以z 2的商，并记作z ＝z 1z 2(或z ＝z 1÷z 2)，z 1称为被除数，z 2称为除数．(2)复数的倒数给定复数z ≠0，称1z 为z 的倒数，z 1除以z 2的商z 1z 2也可以看成z 1与z 2的倒数之积．(3)运算法则(a ＋b i)÷(c ＋d i)＝a ＋b ic ＋d i ＝(a ＋b i)(1c ＋d i )＝(a ＋b i)·c －d ic 2＋d2＝ac ＋bd ＋bc －ad i c 2＋d 2＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d2i.[答一答]怎样理解和应用复数代数形式的除法法则？提示：(1)复数代数形式的除法是复数代数形式的乘法的逆运算． (2)复数除法的运算法则不必死记，在实际运算时，只需把商a ＋b ic ＋d i看作分数，分子、分母同乘以分母的共轭复数c －d i ，把分母变为实数，化简后，就可以得到运算结果． 知识点二 实系数一元二次方程[填一填]当a ，b ，c 都是实数且a ≠0时，关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0称为实系数一元二次方程，这个方程在复数范围内总是有解的，而且(1)当Δ＝b 2－4ac >0时，方程有两个不相等的实数根； (2)当Δ＝b 2－4ac ＝0时，方程有两个相等的实数根； (3)当Δ＝b 2－4ac <0时，方程有两个互为共轭的虚数根．复数的模的运算性质．设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，|z |＝a 2＋b 2， (1)|z |＝|z －|；(2)|z 1·z 2|＝|z 1|·|z 2|；(3)|z 1z 2|＝|z 1||z 2|(z 2≠0)；(4)|z n|＝|z |n； (5)|z |＝1⇔z ·z －＝1；(6)|z |2＝|z －|2＝|z 2|＝|z －2|＝z ·z －.类型一 复数的除法运算[例1] 计算下列各式： (1)1－4i 1＋i ＋2＋4i3＋4i ；(2)i －2i －11＋ii －1＋i.[分析] 题中既有加、减、乘、除运算，又有括号，同实数的运算顺序一致，先算括号里的，再算乘除，最后算加减．[解] (1)1－4i1＋i ＋2＋4i3＋4i＝1＋4＋－4＋1i ＋2＋4i 3＋4i ＝7＋i3＋4i＝7＋i3－4i 3＋4i 3－4i ＝21＋4＋3－28i 25＝25－25i25＝1－i. (2)i －2i －11＋ii －1＋i ＝－1－i －2i ＋2i －1－1－i ＋i ＝1－3i－2＋i＝1－3i －2－i －2＋i －2－i ＝－2－3＋6－1i5＝－5＋5i5＝－1＋i.复数的运算顺序与实数运算顺序相同，都是先进行高级运算乘方、开方，再进行次级运算乘、除，最后进行低级运算加、减.如i 的幂运算，先利用i 的幂的周期性，将其次数降低，然后再进行四则运算.[变式训练1] 计算：(1)2－i 3－4i 1＋i2＋(1－i)2；(2)i －231＋23i ＋(5＋i 3)－(1＋i 2)6.解：(1)2－i3－4i 1＋i2＋(1－i)2＝2－i 3－4i ·2i －2i ＝2－i 8＋6i －2i ＝2－i8－6i8＋6i8－6i－2i＝10－20i 100－2i ＝110－115i.(2)i －231＋23i ＋(5＋i 3)－(1＋i 2)6＝1＋23ii 1＋23i ＋(5＋i 2·i)－[(1＋i 2)2]3＝i ＋5－i －i 3＝5＋i.类型二 实系数一元二次方程的解集[例2] 求下列一元二次方程的解： (1)3x 2＋5x ＋1＝0； (2)2x 2－3x ＋3＝0； (3)4x 2－5x ＋2＝0.[分析] 求一元二次方程的根，最实用的方法是用求根公式法，如果Δ>0，则在实数系中有解，若Δ<0，则在复数系中有解.[解] (1)Δ＝52－4×3×1＝13， 故x ＝－5±132×3＝－5±136.(2)Δ＝(－3)2－4×2×3＝－15，故x ＝3±15i 2×2＝3±15i 4.(3)Δ＝(－5)2－4×4×2＝－7， 故x ＝5±7i 2×4＝5±7i8.在解一元二次方程的解时，要注意Δ的符号.[变式训练2] 已知关于x 的方程x 2－2ax ＋a 2－4a ＋4＝0(a ∈R )的两根为α、β，且|α|＋|β|＝3，求实数a 的值．解：由已知有Δ＝(－2a )2－4(a 2－4a ＋4)＝16a －16. ①当Δ≥0即a ≥1时，由⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＝2a >0，αβ＝a －22≥0可知两根都是非负实根，∴|α|＋|β|＝α＋β＝3＝2a ⇒a ＝32；②当Δ<0即a <1时，此时方程两根为共轭虚根， 设α＝m ＋n i ，则β＝m －n i.∴⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＝2m ＝2a ，αβ＝m 2＋n 2＝a －22.∴|α|＋|β|＝2m 2＋n 2＝2|a －2|＝3⇒a ＝12；综上，a ＝32或12.类型三 复数运算的综合应用[例3] 设z 是虚数，ω＝z ＋1z是实数，且－1<ω<2.(1)求|z |的值及z 的实部的取值范围； (2)设u ＝1－z1＋z ，求证：u 为纯虚数；(3)求ω－u 2的最小值．[分析] (1)ω是实数可得到哪些结论？(ω的虚部为0或ω＝ω)(2)u 为纯虚数可得到哪些结论？(u 的实部为0且虚部不为0，或u ＝－u )[解] (1)∵z 是虚数，∴可设z ＝x ＋y i ，x ，y ∈R ，且y ≠0.∴ω＝z ＋1z ＝x ＋y i ＋1x ＋y i＝x ＋y i ＋x －y i x 2＋y 2＝x ＋x x 2＋y 2＋(y －yx 2＋y 2)i. ∵ω是实数，且y ≠0，∴y －yx 2＋y 2＝0，∴x 2＋y 2＝1，即|z |＝1.此时ω＝2x . ∵－1<ω<2，∴－1<2x <2，从而有－12<x <1.即z 的实部的取值范围是(－12，1)．(2)证明：u ＝1－z 1＋z ＝1－x ＋y i1＋x ＋y i＝1－x －y i1＋x －y i 1＋x2＋y 2＝1－x 2－y 2－2y i1＋x 2＋y2＝－y1＋xi.∵x ∈(－12，1)，y ≠0，∴y1＋x ≠0.∴u 为纯虚数．(3)ω－u 2＝2x －(－y1＋x i)2＝2x ＋(y1＋x )2＝2x ＋1－x21＋x 2＝2x ＋1－x 1＋x ＝2x －1＋21＋x＝2(x ＋1)＋21＋x－3. ∵－12<x <1，∴1＋x >0.于是ω－u 2＝2(x ＋1)＋21＋x－3≥22x ＋1·21＋x－3＝1. 当且仅当2(x ＋1)＝21＋x ，即x ＝0时等号成立．∴ω－u 2的最小值为1，此时z ＝±i.该题涉及复数的基本概念和四则运算以及均值不等式等知识.只要概念清楚，运算熟练，按常规思路顺其自然不难求解.注意：解决后面的问题时，可以使用前面已经得到的结论.[变式训练3] 设z 2＝8＋6i ，求z 3－16z －100z.解：z 3－16z －100z ＝z 4－16z 2－100z＝z 2－82－164z＝6i2－164z ＝－200z ＝－200zz ·z＝－200z |z |2.∵|z |2＝|z 2|＝|8＋6i|＝10，又由z 2＝8＋6i ，得z ＝±(3＋i)，∴z ＝±(3－i)， ∴原式＝－200z|z |2＝－60＋20i 或60－20i.1．已知a 为正实数，i 为虚数单位，若a ＋ii的模为2，则a ＝( B ) A ．2 B. 3 C. 2 D ．1解析：因为a ＋ii＝1－a i ，所以1＋a 2＝2，又a >0，故a ＝3，故选B.2．在复平面内，复数10i3＋i 对应的点的坐标为( A )A ．(1,3)B ．(3,1)C ．(－1,3)D ．(3，－1) 解析：本题考查复数的乘法与除法． 10i3＋i＝10i 3－i 3＋i 3－i ＝10＋30i10＝1＋3i.∴复数10i3＋i对应的点的坐标为(1,3)．3．复数z 满足(z －i)(2－i)＝5，则z ＝( D ) A ．－2－2i B ．－2＋2i C ．2－2iD ．2＋2i解析：由题意可得，z －i ＝52－i ＝52＋i2－i 2＋i ＝2＋i ，所以z ＝2＋2i. 4．若x ，y ∈R ，且x1－i －y 1－2i ＝51－3i，则x ＝－1，y ＝－5. 解析：∵x 1－i －y 1－2i ＝51－3i，∴x 1－2i －y 1－i1－i1－2i＝51＋3i 1－3i 1＋3i ，∴x －y ＋y －2x i －1－3i＝1＋3i2，∴(x －y )＋(y －2x )i ＝－1＋3i22＝4－3i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝4，y －2x ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－5.。

一元二次方程公式大全通过求解一元二次方程，可以确定方程的根（零点）以及对应的解集。

一元二次方程的根可以分为以下几种情况：1. 当 b^2 - 4ac = 0 时，方程有两个相等的实数根 x = (-b) /(2a)。

2. 当 b^2 - 4ac > 0 时，方程有两个不相等的实数根 x = (-b ±√(b^2 - 4ac)) / (2a)。

3. 当 b^2 - 4ac < 0 时，方程没有实数根，但可以通过虚数表示根，x = (-b ± i√(4ac - b^2)) / (2a)，其中 i 是虚数单位。

下面是一元二次方程的求解公式总结：1.求解根的公式：当 b^2 - 4ac ≥ 0 时，根可以用以下公式求解：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)2.求和与乘积的公式：根据韦达定理，一元二次方程的根的和等于-b/a，根的乘积等于c/a。

3.判别式的公式：判别式Δ = b^2 - 4ac 可以用来判断方程的根的情况：i.当Δ>0时，有两个不相等的实数根；ii. 当Δ = 0 时，有两个相等的实数根；iii. 当Δ < 0 时，没有实数根，但可以用虚数表示根。

4.顶点坐标和对称轴的公式：对称轴与y轴的交点为方程的顶点，顶点坐标为(-b/(2a),f(-b/(2a)))。

5.平移和缩放公式：对一元二次方程进行平移和缩放时，可以通过调整a、b、c的系数实现。

i.平移：左右平移p个单位：f(x)->f(x-p)上下平移q个单位：f(x)->f(x)+qii. 缩放：按 x 方向缩放 k 倍：f(x) -> f(kx)按 y 方向缩放 k 倍：f(x) -> kf(x)这些公式可以帮助我们更有效地求解一元二次方程，理解方程的根的情况，并对方程进行变换和分析。

掌握了这些公式，可以更好地解决与一元二次方程相关的数学问题。

一元二次方程与系数之间的关系
一元二次方程里，根与系数的关系称为韦达定理，在条件为a≠0，且a，b，c 皆为常数的一元二次方程ax²+bx+c中，两根为x1、x2，那么两根的关系是：x1+x2=-b/a，x1x2=c/a，前提条件是判别式△=b²-4ac大于等于0。

韦达定理不仅可以说明一元二次方程根与系数的关系，还可以推广说明一元n次方程根与系数的关系。

韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。

韦达在16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。

韦达定理在求根的对称函数，讨论二次方程根的符号、解对称方程组以及解一些有关二次曲线的问题都凸显出独特的作用。

根的判别式是判定方程是否有实根的充要条件，韦达定理说明了根与系数的关系。

无论方程有无实数根，实系数一元二次方程的根与系数之间适合韦达定理。

判别式与韦达定理的结合，则更有效地说明与判定一元二次方程根的状况和特征。

韦达定理最重要的贡献是对代数学的推进，它最早系统地引入代数符号，推进了方程论的发展，用字母代替未知数，指出了根与系数之间的关系。

韦达定理为数学中的一元方程的研究奠定了基础，对一元方程的应用创造和开拓了广泛的发展空间。

一元2次方程4种公式一元二次方程是数学中常用的式子，它可以用来解决许多实际问题。

一元二次方程的表达式一般为 ax2 + bx + c = 0，其中a、b、c均为实数，x为未知数。

一元二次方程可以按照a的值来分为4种公式。

1.a=0，此时一元二次方程转换为一元一次方程。

这个情况下，一元二次方程的公式变成了bx + c = 0，可以使用简单的求解方法来求解，原方程的解为x=-c/b。

2.a≠0，此时一元二次方程称为二次项不为零的一元二次方程，有两种根。

具体求解方法为：原方程先化为bx2 + c’x + c” = 0的形式，其中b’为b/a，c为c/a，c”为-c/a。

此时原方程的解为：x1={-b+√(b2 - 4cc”)}/2， x2={-b -(b2 - 4cc”)}/2。

3.a=0，b=0，c=0，此时原方程为0=0，恒成立，所以此时所有实数都是解。

4.a=0，b=0，c≠0，此时原方程为0=c≠0，显然不成立，这个方程没有实数解。

在高中数学中，一元二次方程是不可避免的主题，它可以让我们更好地理解数学中的关系，具有很强的实际意义。

要求解一元二次方程，应该先根据二次项的系数是否为零来区分，再根据情况使用不同的求解方法。

理解了这四种公式，我们就可以对由一元二次方程表示的实际问题有更深入的认识，并加以解决。

一元二次方程广泛用于日常生活中，比如可以用来求解计算机技术中的二次函数表达式，例如求解抛物面的切线方程。

此外，一元二次方程可以解决经济学中的经济规划问题，例如求解最优购买量的线性组合问题，以及求解工资的满意度的最大化问题。

一元二次方程还可以用来求解物理中的问题，例如在力学中，可以用它求解质点运动的轨迹方程。

此外，一元二次方程在数字滤波技术中仍然被广泛应用，可以用来更好地模拟图像信息。

从上面可以看出，一元二次方程在现实生活中有着广泛的应用，可以简洁而有效地解决许多实际问题。

要想更好地使用一元二次方程，首先应深入理解4种公式，然后再根据实际问题的情况，使用正确的求解方法，最终达到运用一元二次方程解决实际问题的目的。