数字信号处理第1章 第2章 信号的采样--02

T 2
2
T
jm s t M ( t ) e dt T
s 2
T
2f s
1 2 T (t nT )e jm s t dt T 2 n
1 1 jm s t (t )e dt T T
所以
T 2 T 2
1 jm s t M (t ) e T m
G ( j )
T
xa (t )
s / 2

g (t )
ya (t ) xa (t )
Ya ( j) X a ( j)
s / 2
X a ( j)

G ( j )
T G( j ) 0
s 2 s 2
该滤波器的输出 ya (t ) 就是所要恢复的原连续信号。
采样后
ˆ ( j) x ˆ a (t ) X a
ˆ ( j)与X ( j)关系? X a a
采样后会导致的现象？ 周期延拓、混叠效应
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3、采样信号的频谱
M (t )
n
(t nT ) a
m


m
e
jm s t
傅里叶级数展开式
1 am T
采样的理论和技术是模拟信号处理的关键技术。 模拟信号若在数字传输系统中传输 • 首先需要对其采样，采样后的结果就是离散时 间信号； • 将得到的离散时间信号在进行量化，得到的就 是数字信号。 所以，数字信号是离散时间信号量化的结果。
3
2.2 模拟信号的采样与重建
xa(t) 预滤 A/DC 数字信号处理 D/AC 平滑滤波 ya(t)
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3、采样信号的频谱
抗混叠滤波器
为避免高于折叠频率（采样频率之半（Ωs/2） ） 的噪声信号进入采样器造成频谱混叠，采样器前常常 加一个保护性的抗混叠滤波（前置低通滤波器），阻 止高于S/2频率分量进入，可以起到防止或降低混叠 效应的作用。
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归一化数字角频率
=T fs
数字角频率
50 sin(2 n ) 200 8 1 sin( n ) 2 8
当n=…0，1，2，3，…时，得到序列x(n)如下： x(n)={…0.382683,0.923879,-0.382683,-0.923879…}
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Xa(j)
ˆ ( j) X a ( j) TX a
采样
• 通过按等间隔T对模拟信号进行采样，得到一串采 样点上的样本数据，这一串样本数据可看作时域离 散信号（序列）。
• 设A/DC有M位，那么用M位二进制数表示并取代 这一串样本数据，即形成数字信号。
• 因此，采样以后到形成数字信号的这一过程是一个 量化编码的过程。
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【例】模拟信号xa(t)=sin(2πft+π/8))，式中f=50Hz， 选采样频率fs=200Hz，将t=nT代入Xa(t)中，得到采样 数据： 1 xa ( nT ) sin(2 fnT ), T 8 fs
1 g (t ) 2 T G( j)e d 2
jt

s 2 s 2
e jt d
s sin t si n t 2 T s t t T 2 ˆ ( j)G( j) X ( j) 频域相乘对应时域卷积 Y ( j) X a a
则理想采样的频谱就不会产生混叠，因此有
1 ˆ ( j) X ( j jm ) X a a s T m
1 ˆ X a ( j ) X a ( j ) T
││< S / 2
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（1）理想低通滤波器恢复原始信号
ˆ a (t ) 通过一个理想低通滤波器（只让基 将采样信号 x 带频谱通过），其带宽等于折迭频率S/2，特性如图。
M (t )
n
(t nT )

xa ( t )
以x ˆa (t )表示理想采样的输出，则
0
M (t )
t
ˆa (t ) xa (t ) M (t ) x

n
x (t ) (t nT )
a

0
ˆ a (t ) x
… t
1 fs T
n
x (nT ) (t nT )
2.2 模拟信号的采样和重建
1
2.2 模拟信号的采样与重建
大多数离散时间信号来源于采样连续时间信 号，如语音和声音信号、雷达和声纳数据、地震 和生物信号等。 把这些信号转换为数字形式的过程称为模拟数字（A/D）转换。 其反过程，即从采样重新形成数字信号的过 程称为数-模（D/A）转换。
2
2.2 模拟信号的采样与重建
T
实际抽样所得的抽样信号在τ→0的极限情况下，将成为一冲 激函数序列。这时, 周期脉冲信号p(t)变成了冲激函数序列 T (t )
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1、采样过程
一般τ很小 ,τ越小,采 样输出脉冲 的幅度越接 近输入信号 在离散时间 点上的瞬时 值。
如开关每次闭合τ秒，则采样器的输出是一串重复周期为 T，宽度为τ的脉冲 ，(如图)脉冲的幅度是这段时间内信号的幅度(如图)，这一采样过程可看作是一 个脉冲调幅过程，脉冲载波是一串周期为T、宽度为τ的矩形脉冲，以P(t)表示 , 调制信号是输入的连续信号xa(t)，则采样输出为 x (t ) x (t ) p(t )
•信号内容是否丢失（采样序列能否代表原始信号）；
•如何由离散信号恢复连续信号？
采样的这些性质对离散信号和系统的分析十分重要， 要了解这些性质，首先分析采样过程。
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1、采样过程
采样器一般由电子开关组成，开关每隔Ｔ秒短暂 地闭合一次，将连续信号接通，实现一次采样。
P(t)
T
采样：在离散时间点上对模拟信号 xa (t ) 进行取值的过程。 抽样后得到的即为离散信号 x p (t ) 。
模拟信号的数字处理方法分为三个阶段： • 模拟信号数字化
包括：离散(抽样)、量化成有限的位，称为A/D转换;
• 采用数字信号方法进行处理； • 通过内插恢复原信号，称为D/A转换。
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2.2 模拟信号的采样与重建
采样是对连续时间信号进行数字化处理的第一个环节。
研究内容：
•信号经采样后发生的变化（如时域、频谱的变化）；
注意：实际上，理想低通滤波器是不可能实现的，但在满足一定精度的情况下， 总可用一个可实现网络去逼近，在工程上只能近似实现。
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（1）理想低通滤波器恢复原始信号
xa (t )
X a ( j)


g (t )
ya (t ) xa (t )
Ya ( j) X a ( j)
G ( j )
采样信号通过此滤波器后，就可滤出原信号的频谱：
| | s / 2
前提：采样满足奈奎斯特定理，即 信号最高频率谱不超过折迭频率
0
s
2 s
3 s

ˆ ( j) X a
1 ˆ ( j) X ( j jm ) X a a s T m
0
s
2 s
3 s

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4、采样的恢复（恢复模拟信号）
恢复是采样的逆过程，用连续内插函数拟合
a
(t nT ) 只在 t nT 时不为零
0
t
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3、采样信号的频谱
采样前xa(t)的
X a ( j) F[ xa (t )] xa (t)e


jt
dt
傅里叶正变换
1 xa (t ) F [ X a ( j)] 2
1



X a ( j)e jt d 傅里叶逆变换
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3、采样信号的频谱
如果信号最高频谱超过s/2，那么在理想采样 频谱中，各次调制频谱就会互相交叠，出现频谱的 “混淆”现象。
Xa(j) Xa(j)
ˆ X ( j ) a X a ( j ) 0

s 2 s 2
0
s
ˆ ( j) X a
2 s
采样值可以恢复原始信号。信号的恢复也称信号
的复原或重建。 信号的恢复可以从频域的理想低通滤波器和 时域的内插公式两个方面来认识。
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（1）理想低通滤波器恢复原始信号
如果理想采样满足奈奎斯特定理， 即信号最高频率谱不超过折迭频率
X ( j) a X a ( j) 0 s s 2 2
ˆ ( j)G( j) X ( j) Y ( j) X a a
也就恢复了模拟信号： y(t ) xa (t )
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（2）内插公式恢复原始信号
—反映了由离散采样值恢复原始信号的过程
ˆ a (t ) 通过理想低通滤波器G(j)的响应过程。 讨论采样信号 x
理想低通G(j)的冲激响应为
a a
3、采样信号的频谱 1 e 所以 M (t ) T
jm s t m



xa (t)e jt dt
1 ˆ ( j) X ( j jm ) 因此,采样信号的频谱： X a a s T m 所以，理想采样信号的频谱是连续信号频谱的 2 周期延拓，重复周期为s（采样频率）。 T
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ˆ ˆ a (t )] F[ xa (t )M(t )] xa (t ) M (t )e jt dt Xa ( j) F[ x
1 xa (t ) e jmst e jt dt T m 1 xa (t )e j ( ms )t dt T m X ( j) F[ x (t )]
s
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3、采样信号的频谱
Xa(j)