勾股定理的应用(习题课)

勾股定理综合应用题(包含答案)勾股定理综合应用题及答案1.一艘船从A地出发，向东航行20海里到达B地，再向XXX15海里到达C地。

求AC的长度。

答案：25海里2.一块长方形的地，长60米，宽40米。

现在要在这块地上建造一个正方形的花坛，使剩下的土地面积最大。

问这个花坛的边长和剩余土地的面积。

答案：花坛边长为20米，剩余土地面积为2400平方米或者3987.5平方米。

3.一架飞机以每小时600千米的速度飞行，从A地飞往B 地，飞行时间是5小时。

飞机从B地返回A地的途中，由于风向的影响，飞机的速度变为每小时400千米，飞行时间是6小时。

求AB两地的距离。

答案：10千米。

4.一列货车从A地出发，以每小时50千米的速度行驶，3小时后到达B地，再以每小时40千米的速度行驶，2小时后到达C地。

求AC两地的距离。

答案：20km。

5.一辆汽车从A地出发，向东行驶30海里到达B地，再向北行驶40海里到达C地。

已知汽车的速度为60千米/小时，求（1）AB、BC两段路程所需的时间；（2）从C地返回A地的汽车速度为50千米/小时，求从C地返回A地所需的时间。

答案：（1）AB段需要0.5小时，BC段需要0.67小时；（2）从C地返回A地需要1小时。

6.一条长方形的草坪长12米，宽8米，现在要在这条草坪上建造一个半径为3米的圆形花坛，请问这个花坛占用的草坪面积是多少？答案：96平方米。

7.已知一条边长为4米的正方形，将这个正方形绕其中心旋转45度，求旋转后正方形所在的圆的周长。

答案：2√3–4.8.一座高度为8米的房子前有一座高度为6米的灯杆，灯杆顶部离房顶的最短距离为2米。

求灯杆离房子底部的最短距离。

答案：10米。

9.甲乙两人同时从A地出发，甲向B地行驶，乙向C地行驶，两人相遇于D地，甲行驶了8天，乙行驶了12天。

已知AB、DC两段路程长度相等，求AD的长度。

答案：10天。

10.一条直角三角形的斜边长为13米，一条直角边长为5米，求另一条直角边的长度。

专题01 勾股定理的基本应用题型一 求面积1．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设“赵爽弦图”中直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ，若2()24a b +=，大正方形的面积为14，则小正方形的面积为( )A ．2B ．3C ．4D ．5【解答】解：设大正方形的边长为c ，则22214c a b ==+，2()24a b +=Q ，22224a ab b \++=，解得5ab =，\小正方形的面积是：1441425141042ab -´=-´=-=，故选：C ．2．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A 、B 、D 的面积依次为6、10、24，则正方形C 的面积为( )A ．4B ．6C ．8D ．12【解答】解：由题意：A B E S S S +=正方形正方形正方形，D C E S S S -=正方形正方形正方形，A B D CS S S S \+=-正方形正方形正方形正方形Q 正方形A 、B 、D 的面积依次为6、10、24，24610C S \-=+正方形，8C S \=正方形．故选：C ．3．如图，点C 是线段AB 上的一点，分别以AC 、BC 为边向两侧作正方形．设6AB =，两个正方形的面积和1220S S +=，则图中BCD D 的面积为( )A ．4B ．6C ．8D ．10【解答】解：设AC a =，BC b =，由题意得：6a b +=，2220a b +=，222()2a b a b ab +=+-Q ，22062ab \=-，8ab \=，BCD \D 的面积118422ab ==´=．图中BCD D 的面积为4．故选：A ．4．正方形ABCD 的边长为1，其面积记为1S ，以CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为2S ，L 按此规律继续下去，则2022S 的值为( )A ．20221()2B ．20211()2C ．2022D ．2021【解答】解：在图中标上字母E ，如图所示．Q 正方形ABCD 的边长为1，CDE D 为等腰直角三角形，222DE CE CD \+=，DE CE =，221S S S \+=．观察，发现规律：2111S ==，211122S S ==，321124S S ==，431128S S ==，¼，11()2n n S -\=．当2022n =时，202212021202211()()22S -==，故选：B ．5．如图，以正方形ABCD 的边AD 为直径作一个半圆，点M 是半圆上一个动点，分别以线段AM 、DM 为边各自向外作一个正方形，其面积分别为1S 和2S ，若正方形的面积为10，随点M 的运动12S S +的值为( )A ．大于10B ．小于10C ．等于10D ．不确定【解答】解：AB Q 为半圆的直径，90AMD \Ð=°，22210AM DM AD \+==，21S AM =Q ，22S DM =，1210S S \+=．故选：C ．6．如图，在四边形ABDE 中，//AB DE ，AB BD ^，点C 是边BD 上一点，BC DE a ==，CD AB b ==，AC CE c ==．下列结论：①ABC CDE D @D ；②90ACE Ð=°；③四边形ABDE 的面积是21()2a b +；④22111()2222a b c ab +-=´；⑤该图可以验证勾股定理．其中正确的结论个数是( )A ．5B ．4C ．3D ．2【解答】解：//AB DE Q ，AB BD ^，DE BD \^，90B D \Ð=Ð=°．在ABC D 和CDE D 中，90AB CD B D BC DE =ìïÐ=Ð=°íï=î，()ABC CDE SAS \D @D，A DCE \Ð=Ð，ACB E Ð=Ð．90A ACB Ð+Ð=°Q ，90DCE ACB \Ð+Ð=°．180DCE ACB ACE Ð+Ð+Ð=°Q ，90ACE \Ð=°，故①②正确；//AB DE Q ，AB BD ^，\四边形ABDE 的面积是21()2a b +；故③正确；Q 梯形ABDE 的面积-直角三角形ACE 的面积=两个直角三角形的面积，\22111()2222a b c ab +-=´，222a b c \+=．故③④⑤都正确．故选：A ．7．如图，Rt ABC D 中，90C Ð=°，AD 平分BAC Ð，交BC 于点D ，6CD =，12AB =，则ABD D 的面积是( )A ．18B ．24C ．36D ．72【解答】解：作DH AB ^于D ，如图，AD Q 平分BAC Ð，DH AB ^，DC AC ^，6DH DC \==，1126362ABD S D \=´´=．故选：C ．8．如图，Rt ABC D 中，90C Ð=°，5AC =，12BC =，分别以AB 、AC 、BC 为边在AB 的同侧作正方形ABEF 、ACPQ 、BCMN ，四块阴影部分的面积分别为1S 、2S 、3S 、4S ，则1234S S S S +++等于( )A ．60B ．80C ．90D ．120【解答】解：连接PF ，过点F 作FD AK ^于点D ，AB EB =Q ，90ACB ENB Ð=Ð=°，而90CBA CBE EBN CBE Ð+Ð=Ð+Ð=°，CBA EBN \Ð=Ð，()CBA NBE AAS \D @D ，故4ABC S S D =；同理ADF ABC D @D ，AC DF AQ CP \===，90QAC KDF PCD Ð=Ð=Ð=°Q ，//AQ DF \，\四边形CDFP 是矩形，90CPF \Ð=°，180QPC CPF \Ð+Ð=°，Q \，P ，F 三点共线，又FA AB =Q ，90FDA ACB Ð=Ð=°，而90FAD CAB CAB ABC Ð+Ð=Ð+Ð=°，FAD ABC \Ð=Ð，()FAD ABC AAS \D @D ，同理可证ACT FDK D @D ，2FDA ABC S S S D D \==，同理可证TPF KME D @D ，AQF ABC D @D ，13ADF ABC S S S S D D \+==，综上所证：1234133125902ABC S S S S S D +++==´´´=．故选：C ．9．如图，直线l 上有三个正方形a ，b ，c ，若a ，c 的面积分别为4和10，则b 的面积为　14　．【解答】解：如图，a Q 、b 、c 都为正方形，BC BF \=，90CBF Ð=°，24AC =，210DF =，1290Ð+Ð=°Q ，2390Ð+Ð=°，13\Ð=Ð，在ABC D 和DFB D 中，13BAC FDB BC FB Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，ABC DFB \D @D ，AB DF \=，在ABC D 中，2222241014BC AC AB AC DF =+=+=+=，b \的面积为14．故答案为14．10．勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，90BAC Ð=°，3AB =，4AC =，点D ，E ，F ，G ，H ，I 都在矩形KLMJ 的边上，则空白部分的面积为 60　．【解答】解：如图，延长AB 交KF 于点O ，延长AC 交GM 于点P ，所以，四边形AOLP 是正方形，90BAC Ð=°Q ，3AB =，4AC =，347AO AB AC \=+=+=，3710KL \=+=，4711LM =+=，因此，矩形KLMJ 的面积为1011110´=，\空白部分的面积为22211034560---=，故答案为：60．11．我国古代著作《周髀算经》中记载了“赵爽弦图”．如图，若勾6AE =，弦10AD =，则小正方形EFGH 的面积是　4　．【解答】解：如图，Q 勾6AE =，弦AD =弦10AB =，\股8BE ==，\小正方形的边长862=-=，\小正方形的面积224==．故答案是：4．12．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A 、C 、D 的面积依次为4、6、18，则正方形B 的面积为　8　．【解答】解：由题意：A B E S S S +=正方形正方形正方形，D C E S S S -=正方形正方形正方形，A B D CS S S S \+=-正方形正方形正方形正方形Q 正方形A 、C 、D 的面积依次为4、6、18，4186B S \+=-正方形，8B S \=正方形．故答案为：8．13．如图，在同一平面内，直线l 同侧有三个正方形A ，B ，C ，若A ，C 的面积分别为9和4，则阴影部分的总面积为 6　．【解答】解：如图，作LM FE ^交FE 的延长线于点M ，交JI 的延长线于点N ，Q 四边形A 、B 、C 都是正方形，且正方形A 、C 的面积分别为9、4，90EKI EDR IHG \Ð=Ð=Ð=°，29DE =，24HI =，3DE \=，2HI =，1809090EDK KHI Ð=Ð=°-°=°Q ，90DKE KHI HIK \Ð=°-Ð=Ð，在EDK D 和KHI D 中，EDK KHI DKE HIK EK KI Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()EDK KHI AAS \D @D ，2DK HI \==，3DE HK ==，13232EDK KHI S S D D \==´´=；90DEF HIJ Ð=Ð=°Q ，18090DEM DEF \Ð=°-Ð=°，18090HIN HIJ Ð=°-Ð=°，90KEL KIL Ð=Ð=°Q，90MEL DEK KEM \Ð=Ð=°-Ð，90NIL HIK KIN Ð=Ð=°-Ð，//EF l Q ，//IJ l ，//EF IJ \，90EML EMN N \Ð=Ð=Ð=°，在EML D 和EDK D 中，MIL DEK EML EDK EL EK Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()EML EDK AAS \D @D ，EM ED EF \==，3EFL EML EDK S S S D D D \===；在LNI D 和KHI D 中，NIL HIK N KHI IL IK Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()LNI KHI AAS \D @D ，IN IE IJ ==Q ，3LJI LNI KHI S S S D D D \===，336EFL LJI S S D D \+=+=，\阴影部分的总面积为6．14．如图，正方形ABDE 、CDFI 、EFGH 的面积分别为25、9、16，AEH D 、BDC D 、GFI D 的面积分别为1S 、2S 、3S ，则123S S S ++=　18　．【解答】解：DF DC =Q ，DE DB =，且180EDF BDC Ð+Ð=°，过点A 作AJ EH ^，交HE 的延长线于点J ，90J DFE \Ð=Ð=°，90AEJ DEJ DEJ DEF Ð+Ð=Ð+Ð=°Q ，AEJ DEF \Ð=Ð，AE DE =Q ，()AEJ DEF AAS \D @D ，AJ DF \=，EH EF =Q ，AHE DEF S S D D \=，同理：BDC GFI DEF S S S D D D ==，1233AHE BDC GFI DEF S S S S S S S D D D D ++=++=´，13462DEF S D =´´=，12318S S S \++=．故答案为：18．题型二 求线段长15．一个大正方形，被两条线段分割成两个小正方形和两个小长方形，若两个小正方形的面积分别为10和6，则小长方形的对角线AB 的长为( )A ．4B ．6C ．10D ．16【解答】解：如图，Q 两个小正方形的面积分别为10和6，26AC \=，210BC =，由勾股定理得，4AB ===．故选：A ．16．如图，在Rt ABC D 中，90ABC Ð=°，以AB 为边在ABC D 外作正方形，其面积为9，以BC 为斜边在ABC D 外作等腰直角三角形，其面积为4，过点B 作BD AC ^交AC 于点D ，则(AD = )A ．85B ．94C ．95D ．2【解答】解：Q 以AB 为边的正方形的面积为9，29AB \=，Q 以BC 为斜边的等腰直角三角形的面积为4，\等腰直角三角形的腰长为216BC \=，在Rt ABC D 中，90ABC Ð=°，则5AC ===，1122ABC S AB AC AC BD D =´´=´´Q ，\1134522BD ´´=´´，解得：125BD =，由勾股定理得：95AD ===，故选：C ．17．如图，在Rt ABC D 中，90ACB Ð=°，CD AB ^于D ．已知15AB =，Rt ABC D 的周长为15+，则CD 的长为( )A ．5BC ．D ．6【解答】解：如图所示：Rt ABC D Q 的周长为15+，90ACB Ð=°，15AB =，AC BC \+=，222215225AC BC AB +===，22()AC BC \+=，即222405AC AC BC BC +´+=，2405225180AC BC \´=-=，90AC BC \´=，Q 1122AB CD AC BC ´=´，90615AC BC CD AB ´\===；故选：D ．18．若ABC=，高24=，则BC的长为( )cm．AD cmAC cmD中，30AB cm=，26A．28或8B．8C．28D．以上都不对Q为边BC上的高，【解答】解：AD\Ð=Ð=°．90ADB ADCBD===，在Rt ABDD中，18CD===．在Rt ACDD中，10当点D在线段BC上时，如图1，181028=+=+=；BC BD CD当点D在线段CB的延长线上时，如图2，18108=-=-=．BC BD CD\的长为28或8．BC故选：A．19．如图，在ABCBC=，6AB=，4AC=，则DE的^于D，且5D中，CE是AB边上的中线，CD AB长　2　．【解答】解：设BD x=-，=，则5AD x在Rt ACD D 中，222CD AC AD =-，在Rt BCD D 中，222CD BC BD =-，2222AC AD BC BD \-=-，即22226(5)4x x --=-，解得，12x =，则12BD =，2DE BE BD \=-=，贵答案为：2．20．如图，锐角三角形ABC 中，2C B Ð=Ð，AB =，8BC CA +=，则ABC D 的面积为　【解答】解：过A 作AE BC ^于E ，延长BC 到D 使CD AC =，则CAD D Ð=Ð，ACB D CAD Ð=Ð+ÐQ ，2ACB D \Ð=Ð，2C B Ð=ÐQ ，B D \Ð=Ð，AB AD \=，BE DE \=，8BC CA +=Q ，8BD BC CD BC AC \=+=+=，4BE \=，AE \==，222AE CE AC \+=，即228(4)(8)BC BC +-=-，解得：5BC =，ABC \D 的面积11522BC AE ==´´=g故答案为：．21．如图所示，ABC D 的顶点A 、B 、C 在边长为1的正方形网格的格点上，BD AC ^于点D ，则BD 的长为　3　．【解答】解：由图形可知，5BC =，BC 边上的高为3，ABC \D 的面积1155322=´´=，由勾股定理得，5AC ==，则115522BD ´´=，解得，3BD =，故答案为：3．22．如图，在Rt ABC D 中，90B Ð=°，3AB =，6BC =，AC 的中垂线DE 交AC 于点D ，交BC 于点E ．延长DE 交AB 的延长线于点F ，连接CF ．（1）求出CD 的长；（2）求出CF 的长．【解答】解：（1）在Rt ABC D 中，90B Ð=°，3AB =，6BC =，则AC ===，DE Q 是AC 的中垂线，12CD AC \==（2）DF Q 是AC 的中垂线，FA FC \=，3AB =Q ，33FB FA CF \=-=-，在Rt FBC D 中，222CF BC FB =+，即2226(3)CF CF =+-，解得：152CF =．23．如图，在ABC D 中，AB AC =，AD BC ^于点D ，45CBE Ð=°，BE 分别交AC ，AD 于点E 、F ．（1）如图1，若13AB =，10BC =，求AF 的长度；（2）如图2，若AF BC =，求证：222BF EF AE +=．【解答】（1）解：如图1，AB AC =Q ，AD BC ^，BD CD \=，10BC =Q ，5BD \=，Rt ABD D 中，13AB =Q ，12AD \==，Rt BDF D 中，45CBE Ð=°Q ，BDF \D 是等腰直角三角形，5DF BD \==，1257AF AD DF \=-=-=；（2）证明：如图2，在BF 上取一点H ，使BH EF =，连接CF 、CH 在CHB D 和AEF D 中，Q 45BH EFCBH AFE BC AF=ìïÐ=Ð=°íï=î，()CHB AEF SAS \D @D ，AE CH \=，AEF BHC Ð=Ð，CEF CHE \Ð=Ð，CE CH \=，BD CD =Q ，FD BC ^，CF BF \=，45CFD BFD \Ð=Ð=°，90CFB \Ð=°，EF FH \=，Rt CFH D 中，由勾股定理得：222CF FH CH +=，222BF EF AE \+=．24．如图，在ABC D 中，AD BC ^，垂足为点D ，13AB =，5BD =，15AC =．（1）求AD 的长；（2）求BC的长．【解答】解：（1）AD BC ^Q ，90ADB CDA \Ð=Ð=°．在Rt ADB D 中，90ADB Ð=°Q ，222AD BD AB \+=，222144AD AB BD \=-=．0AD >Q ，12AD \=．（2）在Rt ADC D 中，90CDA Ð=°Q ，222AD CD AC \+=，22281CD AC AD \=-=．0CD >Q ，9CD \=．5914BC BD CD \=+=+=．题型三 通过勾股定理设方程25．如图，四个全等的直角三角形围成正方形ABCD 和正方形EFGH ，即赵爽弦图．连接AC ，分别交EF 、GH 于点M ，N ，连接FN ．已知3AH DH =，且21ABCD S =正方形，则图中阴影部分的面积之和为( )A ．214B ．215C ．225D ．223【解答】解：21ABCD S =Q 正方形，221AB \=，设DH x =，则33AH DH x ==，22921x x \+=，22110x \=，根据题意可知：AE CG DH x ===，3CF AH x ==，32FE FG CF CG x x x \==-=-=，2FGN CGNS S D D \=AEM CGN S S D D =Q ，FGN AEM CGN S S S D D D \=+，\阴影部分的面积之和为：()12NGFM S NG FM FG =+×梯形1()2EM MF FG =+×12FE FG =×21(2)2x =´22x =215=．故选：B ．26．如图，在ABC D 中，90C Ð=°，点M 是AB 的中点，点N 在AC 上，MN AB ^．若8AC =，4BC =，则NC 的长为( )A ．3B ．4C ．5D ．【解答】解：如图，连接BN ，AB Q 的垂直平分线交AB 、AC 于点M 、N ，AN BN \=，设NC x =，则8AN BN x ==-，在Rt BCN D 中，由勾股定理得：222BN BC CN =+，即222(8)4x x -=+，解得：3x =，即3NC =，故选：A ．27．如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设CE a =，HG b =，则斜边BD 的长是()A B C ．a b +D ．a b-【解答】解：设CD x =，则DE a x =-，HG b =Q ，AH CD AG HG DE HG a x b x \==-=-=--=，2a bx -\=，22a b a bBC DE a -+\==-=，2222222()()222a b a b a b BD BC CD +-+\=+=+=，BD \=，故选：B ．28．在长方形ABCD 中，52AB =，4BC =，CE CF =，延长AB 至点E ，连接CE ，CF 平分ECD Ð，则BE =　76　．【解答】解：如图，延长CF ，BA 交于点G ，连接EF ，过点F 作FH CE ^于H ，过点E 作EM CF ^于M ，Q 四边形ABCD 是矩形，且52AB =，4BC =，//AB CD \，52AB CD ==，90D ABC CBE Ð=Ð=Ð=°，DCF G \Ð=Ð，CF Q 平分ECD Ð，DCF FCE \Ð=Ð，FH DF =，G ECF \Ð=Ð，EC EG \=，ECG \D 是等腰三角形，CM MG \=，CE CF =Q ，ECF \D 是等腰三角形，EM CF ^Q ，FH CE ^，EM \和FH 是等腰三角形腰上的高，EM FH DF \==，Rt CDF Rt CME(HL)\D @D ，52CM CD \==，5CG \=，Rt CBG D 中，3BG ===，设BE x =，则3EC EG x ==+，Rt CBE D 中，222(3)4x x +=+，解得：76x =，76BE \=．故答案为：76．29．如图是“赵爽弦图”， ABH D ，BCG D ，CDF D 和DAE D 是四个全等的直角三角形，四边形ABCD 和EFGH 都是正方形，如果10AB =，且:3:4AH AE =．那么AH 等于　6　．【解答】解：10AB =Q ，:3:4AH AE =，设AH 为3x ，AE 为4x ，由勾股定理得：222222(3)(4)(5)AB AH AE x x x =+=+=，510x \=，2x \=，6AH \=，故答案为：6．30．[阅读理解]如图，在ABC D 中，4AB =，6AC =，7BC =，过点A 作直线BC 的垂线，垂足为D ，求线段AD 的长．解：设BD x =，则7CD x =-．AD BC ^Q ，90ADB ADC \Ð=Ð=°．在Rt ABD D 中，222AD AB BD =-，在Rt ACD D 中，222AD AC CD =-，2222AB BD AC CD \-=-．又4AB =Q ，6AC =，222246(7)x x \-=--．解得2914x =，2914BD \=．AD \==．[知识迁移]（1）在ABC D 中，13AB =，15AC =，过点A 作直线BC 的垂线，垂足为D ．)i 如图1，若14BC =，求线段AD 的长；)ii 若12AD =，求线段BC 的长．（2）如图2，在ABC D 中，AB =，AC =，过点A 作直线BC 的垂线，交线段BC 于点D ，将ABD D 沿直线AB 翻折后得到对应的ABD D ¢，连接CD ¢，若252AD =，求线段CD ¢的长．【解答】解：（1）)i 设BD x =，则14CD x =-，AD BC ^Q ，90ADB ADC \Ð=Ð=°，在Rt ABD D 中，222AD AB BD =-，在Rt ACD D 中，222AD AC CD =-，2222AB BD AC CD \-=-，13AB =Q ，15AC =，22221315(14)x x \-=--，5x \=，5BD \=，12AD \===；)ii 在Rt ABD D 中，5BD ===，在Rt ACD D 中，9CD ===，当ABC Ð为锐角时，如图11-，5914BC BD CD =+=+=，当ABC Ð为钝角时，如图12-，954BC BD CD =-=-=；（2）如图2，连接DD ¢交AB 于点N ，则DD AB ¢^，过点D ¢作D H BD ¢^于H ，在Rt ABD D 中，254BD ==；在Rt ACD D 中，5CD ==，AB Q 垂直平分DD ¢，254D B DB ¢\==，2D D DN ¢=，1122ABD S AD BD AB DN D =×=×Q ，\252524DN ´=，DN \=2D D DN ¢\==，设HB m =，则254HD HB BD m =+=+，22222D H D D HD D B HB ¢¢¢=-=-Q ，22222525(()44m m \-+=-，154m \=，154HB \=，152541544HC HB BD CD \=++=++=，5D H ¢===，D C ¢\===．。

典型例题知识点一、直接应用勾股定理或勾股定理逆定理例1:如图，在单位正方形组成的网格图中标有 AB CD EF 、GH 四条线段, 其中能构成一个直角三角形三边的线段是（ ）1） 题意分析：本题考查勾照定理及勾股定理的逆定理./2） 解题思踏；可利用勾照定理直接求出各也长，再进行判断.卜 解答过程：#ai^AEAF 中，AF=h AE=2,根据勾股定理，得。

跻=J 招己'十』十F = 姊同理 = 2思* QH. = 1 CD = 2^5计算发现（右尸十0招”=（雁沪t 即/费+寥=奇,根据 勾股定理的迎定理得到以AE 、EF 、GH 为也的三角形是直角三角形.故选 B. *解题后B0思考、1.勾股定理只适用于直角三角形，而不适用于锐角三角形和钝角三角形. 因此，解跑时一定要认真分析题目所蛤条件，看是否可用勾股定理来解n ，L 在运用勾股定理时，要正确分析题目所给的条件，不要习惯性地认为 七”就是斜诳而.固执"地运用公式"二/十舛 其实，同样是四"6 NC 不一定就等于叩幻I 不一定就是斜遮，A ABC 不一定就是直角三痢 形.卜A. CD 、EF 、GH C. AB 、CD GHB. AB 、EF 、GHD. AB 、CD EF3.直角三角形的判定条件与勾股定理是互逆的.区别在于勾股定理的运用是一个从"形胡（一个三角形是直角三角形）到板'3’ =疽十瑟）的辿程，而直角三角形的判定是一个从W〔一个三角形的三满是L = ^+广的条件）到胃形'这个三弟形是直急三甬形）的过程.甘1在应用勾股定理解题时，要全面地毒虑问题.注意m题中存在的多种可能性，避免漏解。

/例2-如图'有一块直角三角形舐板幽G两直角边ACMkm, BWg 现博直甬边AC沿直线AD折叠,庾它落在斜辿AB上,且点C落到点E处, 则CD等于（EC 。

A. 2cmB. 3cm C 4an D 5cm*" iiEMraZJ VI :『n暴意分析，本题考查勾股定理的应用，：）解题思路；本题若直接在△XOQ中运用勾股定理是无法求得® ffi 长的，因为只知道一条迫应。

第2章《勾股定理》好题集（05）: 2.3勾股定理的应用举例选择题1. （ 2014春?巴南区校级期末）小明准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿竖直插到离岸 边1.5m 远的水底，竹竿高出水面齐，则河水的深度为（）A . 2mB . 2.5mC . 2.25m 2. （ 2002?湛江）如图，小红从 200米到C 地，这时小红距 AD . 50“^米3. （ 2014春?新泰市校级期中）如图一个圆桶儿，底面直径为 容下的最长的木棒为（）SenA . 8cmB . 10cmC . 4^13cmD . 20cm4. （ 2012春？铜陵期末）如图，一架 2.5米长的梯子AB ，斜靠在一竖直的墙 AC 上，这时梯 足B 到墙底端C的距离为0.7米，如果梯子的顶端下滑0.4米，则梯足将向外移（）D . 0.9 米5. （2012春？临沂期末）王英在荷塘边观看荷花，突然想测试池塘的水深，她把一株竖直的荷花（如图）拉到岸边，花柄正好与水面成 60°夹角，测得AB 长60cm ，则荷花处水深 OA为（ ）0.5m ，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相 D . 3mA 地向北偏东30°方向走100米到B 地，再从B 地向西走 地（ ）12cm ，高为8cm ,则桶内能cm C . 60cm D .6. —根旗杆在离底面 4.5米的地方折断，高为（）A . 10.5米 B . 7.5 米7. （ 2010春?建阳市期末）两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝前方挖，每分钟挖 朝左挖，每分钟挖 6cm ,10分钟后，两只小鼹鼠相距（A . 50cmB . 100cmC . 140cmD . 80cm& （ 2010春?綦江县期末）如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走捷径”在花铺内走出了一条 路”他们仅仅少走了多少米路，却踩伤了花草，真不应该呀.（ ）A . 2B . 4C . 5D . 69. （2013春？海淀区校级期中）如图，学校教学楼旁有一块矩形花铺，有极少数同学为了避开拐角走捷径”在花铺内走出了一条 路”他们仅仅少走了（ ）步路（假设2步为1米），却踩伤了花草.D . 310. （2008秋？昌邑市校级期末）现有两根铁棒，它们的长分别为个直角三角形铁架，那么第三根铁棒的长为（）A . U 卫米B •晶米C . U 正米或心j 米D . 土^/卫米11. （2010春？咅陵区校级期中）一位工人师傅测量一个等腰三角形工件的腰，底及底边上的高，并按顺序记录下数据，量完后，不小心与其他记录的数据记混了，请你帮助这位师傅 从下列数据中找出等腰三角形工件的数据（）A . 13, 10, 10B . 13, 10, 12C . 13, 12, 12D . 13, 10, 11 12.现有两根木棒的长度分别为40厘米和50厘米，若要钉成一个直角三角形框架，那么所需木棒的长一定为（）A . 30厘米B . 40厘米C . 50厘米D .以上都不对C . 12 米D . 2^^ cm旗杆顶端落在离旗杆底部6米处，则旗杆折断前8cm ，另一只2米和3米，如果想焊一C . 3 晶D . 314 . （2009?恩施州）如图，长方体的长为 一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 A20A .5^^ B . 25 C . 1^+5 D . 3515 . （2014秋？海口期末）如图，一只蚂蚁从长宽都是3，高是8的长方体纸箱的 A 点沿纸箱爬到B 点，那么它所行的最短路线的长是（）A . （W2+8） cmB . 10cmC . 14cmD .无法确定16 . （2013秋？滕州市校级期中）如图，是一块长、宽、高分别是4cm , 2cm 和1cm 的长方体木块、一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A 处，沿着长方体的表面到长方体上和 A 相对的顶点B 处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（）7 cm1的立方体中，一只蚂蚁从 A 顶点出发沿着立方）13. （2009?乐山）如图，一圆锥的底面半径为 蚂蚁从点A 出发，沿着圆锥的侧面爬行到点2,母线PB 的长为6，D 为PB 的中点.一只 D ，则蚂蚁爬行的最短路程为（）15,宽为10,高为20,点B 离点C 的距离为5, 爬到点B ，需要爬行的最短距离是（）A . 5cmB . 5.4cmC . 6.1cmD .17. （2011秋?长阳县期末）如图，边长为 体的外表面爬到 B 顶点的最短路程是（3第4页（共25页）AA . 3B .讥C .血+1D . 118.（ 2004?淄博）如图是一块长，宽，高分别是6cm , 4cm 和3cm 的长方体木块一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A 处，沿着长方体的表面到长方体上和A 相对的顶点B 处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（ ）A . （3+2^1^） cmB . cmC . cmD . V109cm19. （2014?博山区模拟）如图，点 A 的正方体左侧面的中心，点 B 是正方体的一个顶点,正方体的棱长为2, 一蚂蚁从点A 沿其表面爬到点B 的最短路程是（ ）C. ^LO D . 420. （2016春？宜昌校级期中）如图所示：有一个长、宽都是2米，高为3米的长方体纸盒, 一只小蚂蚁从 A 点爬到B 点，那么这只蚂蚁爬行的最短路径为（A . 3米B . 4米C . 5米D . 6米 21.（ 2011?浙江校级自主招生）如图，一圆柱体的底面圆周长为 是直径，ArG_____ =*=*/■Ay24cm ，高 AB 为 4cm , BCA 出发，沿着圆柱的表面爬行到点C 的最短路程是（）一只蚂蚁从点22. （2009?门头沟区一模）如图，是一个棱长为2的正方体，一只蜘蛛在顶点小昆虫在顶点B处，则蜘蛛接近小昆虫时所爬行的最短路线的长是（）BA处，一只AA . 6B . 2+^2C .从D. 2^523. （2008秋？焦作期中）如图，在棱长为向B爬去吃食，则蚂蚁所走最短路程是（B20cm的正方体盒子上有一只蚂蚁欲从）A点出发AA . 40cm B. 2^^ cm（ 24. （2015秋？丹东期末）M点的最短距离为（C . 20cmD . 2^5cm）正方体盒子的棱长为2, BC的中点为M ,）一只蚂蚁从A点爬行到A . ^13B . VnC . 525 . （2012春?花都区校级期中）有一长、宽、高分别是只蚂蚁要从长方体的一个顶点需要爬行的最短路径长为（BD. 2+/55cm, 4cm,A处沿长方体的表面爬到长方体上和）3cm的长方体木块，一A相对的顶点B处，则A . 5V^cmB . V74cmC . 4^5 cmD . 3烦cm26 .如图所示，是一个圆柱体，ABCD是它的一个横截面，AB=¥,BC=3，—只蚂蚁，要从A点爬行到C点，那么，最近的路程长为（BA . 7 B. ^7 C . ^^+9 D. 527. （2009?通州区一模）如图，边长为 2的正方体中，一只蚂蚁从正方体下方一边AB 的中点P 出发，沿着正方体的外表面爬到其一顶点A P 3A .届B • 2品C ^/5D .血28. （2012春？普宁市校级期中）如图是一个长 的A 处（长的四等分）有一只壁虎， 最短距离为（）m .A . 4.8B .7^C . 5D . 3+2V2填空题29. （2008?莆田）如图，Rt A ABC 的两直角边分别为 1 , 2,以Rt △ ABC 的斜边AC 为一直角边，另一直角边为1画第二个^ ACD ;在以△ ACD 的斜边AD 为一直角边，另一直角边 长为1画第三个^ADE ;…，依此类推，第n 个直角三角形的斜边长是 ______________________________________________ .30. （2006?玉溪）如图，小明要给正方形桌子买一块正方形桌布.铺成图1时，四周垂下的桌布，其长方形部分的宽均为20cm ;铺成图2时，四周垂下的桌布都是等腰直角三角形，且桌面四个角的顶点恰好在桌布边上，则要买桌布的边长是72^ 1.4, 1.7）圉丄C 处的最短路径是（4m ，宽3m ,高2m 的有盖仓库，在其内壁B 处（宽的三等分）有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子处cm .（提供数据:第7 页（共25页）•/ BC=200 , 第2章《勾股定理》好题集（05） : 2.3勾股定理的应用举例参考答案与试题解析选择题1. （ 2014春?巴南区校级期末）小明准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿竖直插到离岸 边1.5m 远的水底，竹竿高出水面 0.5m ，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相 齐，则河水的深度为（ ）A . 2mB . 2.5mC . 2.25mD . 3m【分析】经分析知：可以放到一个直角三角形中计算.此直角三角形的斜边是竹竿的长，设 为x 米.一条直角边是1.5，另一条直角边是（x - 0.5）米.根据勾股定理，得：X 2=1.52+2（X - 0.5） , X =2.5 .那么河水的深度即可解答.【解答】解：若假设竹竿长 X 米，则水深（X - 0.5）米，由题意得，X 2=1.52+ （ X - 0.5） 2 解之得，x=2.5所以水深2.5 - 0.5=2米.【点评】 此题的难点在于能够理解题意，正确画出图形.2. （ 2002?湛江）如图，小红从 A 地向北偏东30°方向走100米到B 地，再从B 地向西走 200米到C 地，这时小红距 A 地（ ）D . 50^^米【分析】根据题意画出图形，再根据勾股定理解答即可. 【解答】解： •// DAB=30 ••• DB=50 ,勾股定理得， 在 Rt △DCA在 Rt △ DAB 中, ° AB=100 ,DA=50••• DC=150 , •••DA=50,•••勾股定理得，AC=100 故选B .【点评】此题主要考查学生对方向角及勾股定理在实际生活中的运用.3. （ 2014春?新泰市校级期中）如图一个圆桶儿，底面直径为 容下的最长的木棒为（）SenA. 8cmB. 10cmC. ^^13cmD. 20cm【分析】桶内能容下的最长的木棒长是圆桶沿底面直径切面的长方形的对角线长, 求出桶的对角线长则可. 【解答】解：圆桶最长对角线长为： 位盯尹=4届cm , 桶内能容下的最长的木棒长为： 込cm .故选C .8CID【点评】本题考查正确运用勾股定理.善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键.4. （ 2012春？铜陵期末）如图，一架 2.5米长的梯子AB ，斜靠在一竖直的墙 AC 上，这时梯 足B 到墙底端C的距离为0.7米，如果梯子的顶端下滑0.4米，则梯足将向外移（）12cm ，高为8cm ,则桶内能 所以只要A . 0.6 米【分析】在本题中，运用两次勾股定理，即分别求出AC 和BC ,求二者之差即可解答.【解答】解：在直角三角形 ABC 中，首先根据勾股定理求得 AC=2.4 ,贝U A C=2.4 - 0.4=2,在直角三角形 A'B'C 中，根据勾股定理求得 B 0=1.5，所以B B =1.5 - 0.7=0.8,故选C .【点评】 此题中两个三角形的斜边不变，都是梯子的长度.运用两次勾股定理即可解决.5. （2012春？临沂期末）王英在荷塘边观看荷花，突然想测试池塘的水深，她把一株竖直的 荷花（如图）拉到岸边，花柄正好与水面成 60°夹角，测得AB 长60cm ，则荷花处水深 OA为（ ）6屮\ 60 cm*IXB . 60负mC . 60cmD . 2血 cm由图可看出，三角形OAB 为一直角三角形，已知一直角边和一角， 则可求另两边.解：在 Rt △ ABO 中，/ OAB=90 °, / ABO=60 °, AB=60，则 OA=6^3cm .故选 本题考查了：在直角三角形中 30°角所对的直角边等于斜边的一半，比较简单.6.一根旗杆在离底面 4.5米的地方折断，旗杆顶端落在离旗杆底部 6米处，则旗杆折断前高为（）A . 10.5 米B . 7.5 米C . 12 米D . 8 米【分析】旗杆折断后刚好构成一直角三角形，其直角边分别是 解题即可.【解答】解：如图所示，AC=6米，BC=4.5米，由勾股定理得，AB=^^PL|^=7.5 米. 故旗杆折断前高为：4.5+7.5=12米. 故选C .B . 0.7 米C . 0.8 米D . 0.9 米A . 120cm【分析】 【解答】 B .【点评】4.5米和6米.利用勾股定理9. （2013春？海淀区校级期中）如图，学校教学楼旁有一块矩形花铺，有极少数同学为了避 开拐角走捷径”在花铺内走出了一条 路”.他们仅仅少走了（ ）步路（假设2步为1米）,却踩伤了花草.【点评】此题考查利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题.7. （ 2010春?建阳市期末）两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝前方挖，每分钟挖 朝左挖，每分钟挖 6cm , 10分钟后，两只小鼹鼠相距（ ） A . 50cm B . 100cm C . 140cmD . 80cm【分析】首先根据题意知：它们挖的方向构成了直角.再根据路程定理即可求解.【解答】 解：由图可知，AC=8 X 10=80cm , BC=6 X 10=60cm ，由勾股定理得,8cm ，另一只 =速度X 时间，根据勾股AB= +呂0^6护=100cm .3【点评】本题考查了勾股定理的应用，首先要正确理解题意, 勾股定理进行计算.画出正确的图形，再熟练运用& （ 2010春?綦江县期末）如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走捷径”在花铺内走出了一条 路”他们仅仅少走了多少米路，却踩伤了花草，真不应该呀.（C . 5D . 6在图示的直角三角形，根据勾股定理就可求出斜边的长即可. 【解答】 解：斜边的长：寸3^+ 4 2=5米，少走：3+4 - 5=2 米. 故选A . 【点评】本题考查正确运用勾股定理解题，比较简单.故选B .【分析】D. 3【分析】在图示的直角三角形中，根据勾股定理可求出斜边的距离，再求出两直角边的长进行比较即可.【解答】解：根据勾股定理得，斜边的长：応盯孑=5米, 少走：3+4 - 5=2米，因为两步为1米，所以少走了2X 2=4步.故选C.【点评】本题考查正确运用勾股定理.善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键.10 . （2008秋？昌邑市校级期末）现有两根铁棒，它们的长分别为个直角三角2米和3米，如果想焊一形铁架，那么第三根铁棒的长为（）A .届米B . 米C.届米或米D . ±负米【分析】分两种情况讨论：①第三根铁棒的长为斜边；②第三根铁棒的长为直角边.【解答】解：①第三根铁棒为斜边时，其长度为：寸2 2 + 3 2"弓米;②第三根铁棒的长为直角边时，其长度为：仔二^Ws米.故选C.【点评】本题考查正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键.11. （2010春?涪陵区校级期中）一位工人师傅测量一个等腰三角形工件的腰，底及底边上的高，并按顺序记录下数据，量完后，不小心与其他记录的数据记混了，请你帮助这位师傅从下列数据中找出等腰三角形工件的数据（）A. 13, 10, 10B. 13, 10, 12C. 13, 12, 12D. 13, 10, 11【分析】根据等腰三角形的三线合一，得底边上的高也是底边上的中线•根据勾股定理知：底边的一半的平方加上高的平方应等于腰的平方，即可得出正确结论.【解答】解：由题可知，在等腰三角形中，底边的一半、底边上的高以及腰正好构成一个直in 2 2 2角三角形，且（学）+12 =13，符合勾股定理，故选B .2【点评】考查了等腰三角形的三线合一以及勾股定理的逆定理.12. 现有两根木棒的长度分别为40厘米和50厘米，若要钉成一个直角三角形框架，那么所需木棒的长一定为（）A . 30厘米B . 40厘米C . 50厘米D .以上都不对【分析】由于不明确直角三角形的斜边，故应分两种情况讨论.【解答】解：此题要分两种情况：50是直角边时，所需木棒的长是 4卅+ 50 2=10/ii ；14. （2009?恩施州）如图，长方体的长为15,宽为10,高为20,点B 离点C 的距离为5, 一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是（）(1 )当 （2 ）当 故选D .【点50是斜边时，所需木棒的长是 30.解答此题的关键是运用勾股定理解答,注意此题的两种情况.13. （2009?乐山）如图，一圆锥的底面半径为 蚂蚁从点A 出发，沿着圆锥的侧面爬行到点 2,母线PB 的长为6, D 为PB 的中点•一只 D ，则蚂蚁爬行的最短路程为（）3 屈 D . 3【分析】要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据 得出结果.【解答】 解：由题意知，底面圆的直径 故底面周长等于4n AB=4， 两点之间线段最短”设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为 根据底面周长等于展开后扇形的弧长得 解得n=120 °所以展开图中/ APD=120。

勾股定理的应用（北京习题集）（教师版）一．选择题（共5小题）1．（2019春•西城区期末）小红同学经常要测量学校旗杆的高度，她发现旗杆的绳子刚好垂到地面上，当她把绳子下端拉开5m 后，发现这时绳子的下端正好距地面1m ，学校旗杆的高度是( ) A ．21mB ．13mC ．10mD ．8m2．（2018秋•通州区期末）如图，为了测量某条河的宽度，现在河边的一岸边任意取一点A ，又在河的另一岸边取两点B 、C ，测得30α∠=︒，45β∠=︒，量得BC 长为80米．如果设河的宽度为x 米，那么下列关系式中正确的是( )A ．1802x x =+ B ．180xx =+ C ．2802x x =+ D ．3803x x =+ 3．（2017春•朝阳区期末）如图，在我海军某次海上编队演习中，两艘航母护卫舰从同一港口O 同时出发，1号舰沿南偏东30︒方向以12节(1节1=海里/小时）的速度航行，2号舰以16节的速度航行，离开港口1.5小时后它们分别到达A ，B 两点且相距30海里，则2号舰的航行方向是( )A ．北偏西30︒B ．南偏西30︒C ．南偏东60︒D ．南偏西60︒4．（2017春•西城区校级期中）小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多2米，当他把绳子的下端拉开6米后，发现绳子拉直且下端刚好接触地面，则旗杆的高是( ) A ．4米B ．6米C ．8米D ．10米5．（2016秋•朝阳区校级月考）放学以后，小明和小华从学校分开，分别向北和东走回家，若小明和小华行走的速度都是50米/分，小明用10分到家，小华用24分到家，小明和小华家的距离为()A ．600米B ．800米C ．1000米D ．1300米二．填空题（共7小题）6．（2019秋•怀柔区期末）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．其中第九卷《勾股》主要讲述了以测量问题为中心的直角三角形三边互求，之中记载了一道有趣的“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”译文：“一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远，则折断后的竹子高度为多少尺？”（备注：1丈10=尺）如果设竹梢到折断处的长度为x尺，那么折断处到竹子的根部用含x的代数式可表示为尺，根据题意，可列方程为．7．（2018秋•北京期末）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中记载了一个“折竹抵地”问题：“今有竹高二丈，末折抵地，去本六尺，问折者高几何？”译文：“有一根竹子，原高二丈(1丈10=尺），现被风折断，竹梢触地面处与竹根的距离为6尺，问折断处离地面的高度为多少尺？”如图，我们用点A，B，C分别表示竹梢，竹根和折断处，设折断处离地面的高度BC x=尺，则可列方程为．8．（2019春•海淀区期末）如图，某港口P位于南北延伸的海岸线上，东面是大海远洋号，长峰号两艘轮船同时离开港P，各自沿固定方向航行，“远洋”号每小时航行12n mile，“长峰”号每小时航行16n mile，它们离开港口1小时后，分别到达A，B两个位置，且20AB n=mile，已知“远洋”号沿着北偏东60︒方向航行，那么“长峰”号航行的方向是．9．（2019•怀柔区一模）如图，这是怀柔地图的一部分，分别以正东、正北方向为x轴、y轴正方向建立直角坐标系．规定：一个单位长度表示1km，北京生存岛实践基地A处的坐标是(2,0)，A处到雁栖湖国际会展中心B处相距4km，且A在B南偏西45︒方向上，则雁栖湖国际会展中心B处的坐标是．10．（2018春•海淀区期末）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有 3 尺．牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木根部8 尺处时绳索用尽．问绳索长是多少？设绳索长为x尺，可列方程为．11．（2018春•西城区期末）如图，一根垂直于地面的木杆在离地面高3m处折断，若木杆折断前的高度为8m，则木杆顶端落在地面的位置离木杆底端的距离为m．12．（2017秋•昌平区期末）现在人们锻炼身体的意识日渐增强，但是一些人保护环境的意识却很淡薄．右图是昌平滨河公园的一角，有人为了抄近道而避开横平竖直的路的拐角ABC∠，而走“捷径AC”，于是在草坪内走出了一条不该有的“路AC”．已知40BC=米，他们踩坏了米的草坪，只为少走米的路．AB=米，30三．解答题（共2小题）13．（2019春•海淀区期末）小东和小明要测量校园里的一块四边形场地ABCD（如图所示）的周长，其中边CD上有水池及建筑遮挡，没有办法直接测量其长度小东经测量得知5=，150BC mABC∠=︒A∠=︒，12AB AD m==，60小明说根据小东所得的数据可以求出CD的长度．你同意小明的说法吗？若同意，请求出CD的长度；若不同意，请说明理由．14．（2017秋•门头沟区期末）如图，小明想知道湖中两个小亭A、B之间的距离，他在与小亭A、B位于同一水平面且东西走向的湖边小道上某一观测点M处，测得亭A在点M的北偏东60︒，亭B在点M的北偏东30︒，当小明由点M沿小道向东走60米时，到达点N处，此时测得亭A恰好位于点N的正北方向，继续向东走30米时到达点Q处，此时亭B恰好位于点Q的正北方向．根据以上数据，请你帮助小明写出湖中两个小亭A、B之间距离的思路．勾股定理的应用（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．（2019春•西城区期末）小红同学经常要测量学校旗杆的高度，她发现旗杆的绳子刚好垂到地面上，当她把绳子下端拉开5m 后，发现这时绳子的下端正好距地面1m ，学校旗杆的高度是( ) A ．21mB ．13mC ．10mD ．8m【分析】根据题意设旗杆的高AB 为x 米，则绳子AC 的长为x 米，在Rt ACH ∆利用勾股定理构建方程即可解决问题． 【解答】解：如图，已知AB AC =，CD BD ⊥，CH AB ⊥，1CD =米，5CH =米，设AB AC x ==米．在Rt ACH ∆中，222AC AH CH =+，2225(1)x x ∴=+-， 13x ∴=， 13AB ∴=（米)，故选：B ．【点评】此题考查了勾股定理在实际问题中的应用，能够正确理解题意继而构造直角三角形是解决本题的关键，难度一般．2．（2018秋•通州区期末）如图，为了测量某条河的宽度，现在河边的一岸边任意取一点A ，又在河的另一岸边取两点B 、C ，测得30α∠=︒，45β∠=︒，量得BC 长为80米．如果设河的宽度为x 米，那么下列关系式中正确的是( )A ．1802x x =+ B ．180xx =+ C ．280x x +D ．380x x + 【分析】过点A 作AD BC ⊥于点D ，直接利用已知条件得出AD CD =，再利用tan30ADBD︒=，进而得出关系式． 【解答】解：如图，过点A 作AD BC ⊥于点D ， 45β∠=︒，AD CD x ∴==， Rt ABD ∆中，tan ADBDα=， 3tan30803x x ∴︒==+． 故选：D ．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键．3．（2017春•朝阳区期末）如图，在我海军某次海上编队演习中，两艘航母护卫舰从同一港口O 同时出发，1号舰沿南偏东30︒方向以12节(1节1=海里/小时）的速度航行，2号舰以16节的速度航行，离开港口1.5小时后它们分别到达A ，B 两点且相距30海里，则2号舰的航行方向是( )A ．北偏西30︒B ．南偏西30︒C ．南偏东60︒D ．南偏西60︒【分析】直接利用已知得出AO ，BO ，AB 的长，再利用勾股定理的逆定理得出BOA ∠的度数，进而得出答案． 【解答】解：由题意可得：16 1.524BO =⨯=（海里）， 12 1.518AO =⨯=（海里），30AB =海里， 则此时：222AO BO AB +=， 故AOB ∆是直角三角形， 则90BOA ∠=︒， 30AOD ∠=︒， 60DOB ∴∠=︒，2∴号舰的航行方向是：南偏西60︒．故选：D ．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用以及方向角，正确得出AOB ∆是直角三角形是解题关键．4．（2017春•西城区校级期中）小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多2米，当他把绳子的下端拉开6米后，发现绳子拉直且下端刚好接触地面，则旗杆的高是( ) A ．4米B ．6米C ．8米D ．10米【分析】根据题意设旗杆的高AB 为x 米，则绳子AC 的长为(2)x +米，再利用勾股定理即可求得AB 的长，即旗杆的高．【解答】解：画出示意图如下所示：设旗杆的高AB 为xm ，则绳子AC 的长为(2)x m +， 在Rt ABC ∆中，222AB BC AC +=，2226(2)x x ∴+=+， 解得：8x =， 8AB m ∴=，即旗杆的高是8m ． 故选：C ．【点评】此题考查了勾股定理在实际问题中的应用，能够正确理解题意继而构造直角三角形是解决本题的关键，难度一般．5．（2016秋•朝阳区校级月考）放学以后，小明和小华从学校分开，分别向北和东走回家，若小明和小华行走的速度都是50米/分，小明用10分到家，小华用24分到家，小明和小华家的距离为()A ．600米B ．800米C ．1000米D ．1300米【分析】根据题意画出图形，再根据勾股定理求解即可． 【解答】解：如图所示，小明用10分到家，小华用24分到家，1050500OA ∴=⨯=（米)，24501200OB =⨯=（米)， 221300AB OA OB ∴=+=（米)． 答：小明和小华家的距离为1300米． 故选：D ．【点评】本题考查的是勾股定理的应用，熟知在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．二．填空题（共7小题）6．（2019秋•怀柔区期末）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．其中第九卷《勾股》主要讲述了以测量问题为中心的直角三角形三边互求，之中记载了一道有趣的“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”译文：“一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远，则折断后的竹子高度为多少尺？”（备注：1丈10=尺）如果设竹梢到折断处的长度为x 尺，那么折断处到竹子的根部用含x 的代数式可表示为 (10)x - 尺，根据题意，可列方程为 ．【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x 尺，则斜边为(10)x -尺．利用勾股定理解题即可．【解答】解：设竹子折断处离地面x 尺，则斜边为(10)x -尺， 根据勾股定理得：222(10)4x x -+= 故答案为：(10)x -，222(10)4x x -+=．【点评】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．7．（2018秋•北京期末）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中记载了一个“折竹抵地”问题：“今有竹高二丈，末折抵地，去本六尺，问折者高几何？”译文：“有一根竹子，原高二丈(1丈10=尺），现被风折断，竹梢触地面处与竹根的距离为6尺，问折断处离地面的高度为多少尺？”如图，我们用点A ，B ，C 分别表示竹梢，竹根和折断处，设折断处离地面的高度BC x =尺，则可列方程为2226(20)x x +=- ．【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x 尺，则斜边为(20)x -尺，利用勾股定理解题即可．【解答】解：设竹子折断处离地面x 尺，则斜边为(20)x -尺， 根据勾股定理得：2226(20)x x +=-． 故答案为2226(20)x x +=-．【点评】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题． 8．（2019春•海淀区期末）如图，某港口P 位于南北延伸的海岸线上，东面是大海远洋号，长峰号两艘轮船同时离开港P ，各自沿固定方向航行，“远洋”号每小时航行12n mile ，“长峰”号每小时航行16n mile ，它们离开港口1小时后，分别到达A ，B 两个位置，且20AB n =mile ，已知“远洋”号沿着北偏东60︒方向航行，那么“长峰”号航行的方向是 南偏东30︒ ．【分析】由题意得：P 与O 重合，得出222OA OB AB +=，由勾股定理的逆定理得出PAB ∆是直角三角形，90AOB ∠=︒，求出30COP ∠=︒，即可得出答案．【解答】解：由题意得：P 与O 重合，如图所示： 12OA n =mile ，16OB n =mile ，20AB n =mile ，222121620+=， 222OA OB AB ∴+=，PAB ∴∆是直角三角形，90AOB ∴∠=︒， 60DOA ∠=︒，180906030COP ∴∠=︒-︒-︒=︒，∴ “长峰”号航行的方向是南偏东30︒，故答案为：南偏东30︒．【点评】此题主要考查了直角三角形的判定、勾股定理的逆定理及方向角的理解及运用．利用勾股定理的逆定理得出PAB ∆为直角三角形是解题的关键．9．（2019•怀柔区一模）如图，这是怀柔地图的一部分，分别以正东、正北方向为x 轴、y 轴正方向建立直角坐标系．规定：一个单位长度表示1km ，北京生存岛实践基地A 处的坐标是(2,0)，A 处到雁栖湖国际会展中心B 处相距4km ，且A 在B 南偏西45︒方向上，则雁栖湖国际会展中心B 处的坐标是 (222+，22) ．【分析】如图，过点B 作BC x ⊥轴于C ，作BD y ⊥轴于D ，利用勾股定理求得BC 的长度，则AC BC =，易得BD 的长度，从而求得点B 的坐标．【解答】解：如图，建立平面直角坐标系，过点B 作BC x ⊥轴于C ，作BD y ⊥轴于D ， 则BD OC =．A 处到雁栖湖国际会展中心B 处相距4km ，A 在B 南偏西45︒方向上，4AB km ∴=，45BAC ABC ∠=∠=︒．AC BC ∴=．22216AC BC AB +==， 22AC BC ∴==．222OC OA AC ∴=+=+．(222B ∴+，22)．故答案是：(222+，22)．【点评】考查了勾股定理的应用，坐标确定位置，方向角，根据题意建立平面直角坐标系是确定点B 坐标的关键所在．10．（2018春•海淀区期末）《九章算术》卷九“勾股”中记载： 今有立木， 系索其末， 委地三尺 ． 引索却行， 去本八尺而索尽， 问索长几何？译文： 今有一竖立着的木柱， 在木柱的上端系有绳索， 绳索从木柱上端顺木柱下垂后， 堆在地面的部分尚有 3 尺 ． 牵着绳索 （绳 索头与地面接触） 退行， 在距木根部 8 尺处时绳索用尽 ． 问绳索长是多少？设绳索长为x 尺， 可列方程为 22(3)64x x -+= ． 【分析】设绳索长为x 尺， 根据勾股定理列出方程解答即可 ．【解答】解： 设绳索长为x 尺， 可列方程为22(3)64x x -+=，故答案为：22(3)64x x -+=【点评】本题考查了勾股定理的应用， 找准等量关系， 正确列出一元二次方程是解题的关键 ．11．（2018春•西城区期末）如图，一根垂直于地面的木杆在离地面高3m 处折断，若木杆折断前的高度为8m ，则木杆顶端落在地面的位置离木杆底端的距离为 4 m ．【分析】由题意得，在直角三角形中，知道了两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出木杆顶端落在地面的位置离木杆底端的距离．【解答】解：一棵垂直于地面的木杆在离地面3米处折断，木杆折断前的高度为8m ，∴木杆顶端落在地面的位置离木杆底端的距离为22534()m -=，故答案为：4．【点评】此题考查了勾股定理的应用，主要考查学生对勾股定理在实际生活中的运用能力． 12．（2017秋•昌平区期末）现在人们锻炼身体的意识日渐增强，但是一些人保护环境的意识却很淡薄．右图是昌平滨河公园的一角，有人为了抄近道而避开横平竖直的路的拐角ABC ∠，而走“捷径AC ”，于是在草坪内走出了一条不该有的“路AC ”．已知40AB =米，30BC =米，他们踩坏了 50 米的草坪，只为少走 米的路．【分析】根据勾股定理求出AC 即可解决问题．【解答】解：在Rt ABC ∆中，40AB =米，30BC =米，22304050AC ∴=+，30405020+-=，∴他们踩坏了50米的草坪，只为少走20米的路．故答案为50，20【点评】本题考查勾股定理，解题的关键是理解题意，属于中考基础题．三．解答题（共2小题）13．（2019春•海淀区期末）小东和小明要测量校园里的一块四边形场地ABCD （如图所示）的周长，其中边CD 上有水池及建筑遮挡，没有办法直接测量其长度小东经测量得知5AB AD m ==，60A ∠=︒，12BC m =，150ABC ∠=︒小明说根据小东所得的数据可以求出CD 的长度．你同意小明的说法吗？若同意，请求出CD 的长度；若不同意，请说明理由．【分析】直接利用等边三角形的判定方法得出ABD ∆是等边三角形，再利用勾股定理得出答案．【解答】解：同意小明的说法．理由：连接BD ，5AB AD m ==，60A ∠=︒，ABD ∴∆是等边三角形，5BD m ∴=，60ABD ∠=︒，150ABC ∠=︒，90DBC ∴∠=︒，12BC m =，5BD m =， 2212513()DC m ∴=+=，答：CD 的长度为13m ．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用以及等边三角形的判定，正确得出ABD ∆是等边三角形是解题关键．14．（2017秋•门头沟区期末）如图，小明想知道湖中两个小亭A 、B 之间的距离，他在与小亭A 、B 位于同一水平面且东西走向的湖边小道上某一观测点M 处，测得亭A 在点M 的北偏东60︒，亭B 在点M 的北偏东30︒，当小明由点M 沿小道向东走60米时，到达点N 处，此时测得亭A 恰好位于点N 的正北方向，继续向东走30米时到达点Q 处，此时亭B 恰好位于点Q 的正北方向．根据以上数据，请你帮助小明写出湖中两个小亭A 、B 之间距离的思路．【分析】如图，由题意AMN ∆，BMQ ∆都是直角三角形，作AH BQ ⊥于H ，只要求出AH 、BH 即可利用勾股定理求出AB 的长．【解答】解：如图，由题意AMN ∆，BMQ ∆都是直角三角形，作AH BQ ⊥于H ，只要求出AH 、BH 即可利用勾股定理求出AB 的长．易知四边形ANQH 是矩形，可得30AH NQ ==米，在Rt AMN ∆中，根据tan 30203AN QH MN ==︒=米，在Rt MBQ ∆中，tan 60903BQ MQ =︒=，可得703BH BQ QH =-=米，再利用勾股定理求出AB 即可．【点评】本题考查勾股定理、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．。

专题11勾股定理的实际应用模型勾股定理将图形与数量关系有机结合起来，在解决实际问题和几何应用中有着广泛的应用。

运用勾股定理解决实际问题的一般步骤：（1）从实际问题中抽象出几何图形（建模）；（2）确定要求的线段所在的直角三角形；（3）确定三边，找准直角边和斜边：①若已知两边,则根据勾股定理直接计算第3边；②若已知一边,则根据勾股定理列方程间接求解。

（挖掘两个未知边之间的数量关系，设出一边为未知数，把另一边用含有未知数的式子表示出来）。

模型1、梯子滑动模型相关模型背景：梯子滑动、绳子移动等。

解题关键：梯子的长度为不变量、墙与地面垂直。

梯子滑动模型解题步骤：1）运用勾股定理求出梯子滑动之前在墙上或者地面上的距离；2）运用勾股定理求出梯子滑动之后在墙上或者地面上的距离；3）两者相减即可求出梯子在墙上或者地面上滑动的距离。

例1．（2023春·安徽亳州·八年级校考期中）风华中学八年级（2班）小明同学和他的好朋友小亮一起利用所学知识完成下面的操作，如图，梯子AB斜靠在墙角MON处，4mAB=，梯子底端离墙角的距离 2.4mBO=．(1)求这个梯子顶端A距地面有多高；(2)上下移动梯子的过程中，小明发现梯子上总有一个定点到墙角O的距离始终是不变，你能说出这个点并说明其中的道理吗？(3)若梯子顶端A下滑的距离为m a，底端B向左滑b，小亮认为a与b的值始终相等，小明认为b可能比a的值大，也可能比a的值小，也有可动的距离为m能相等．你认为他们两个谁说的正确，请说明理由．A．2m B．2.5m例3．（2023秋·河南郑州·八年级校考期末）图中的两个滑块平的滑道上滑动．开始时，滑块A时，滑块B滑动了厘米．例4．（2023春·重庆·八年级专题练习）位于沈阳周边的红河峡谷漂流项目深受欢迎，在景区游船放置区，工作人员把偏离的游船从点A子拉船移动，开始时绳子AC的长为D的位置，问此时游船移动的距离模型2、轮船航行模型相关模型背景：轮船航行等。

17.1勾股定理第二课时：勾股定理的实际应用当堂测评：1、如图17-1-1,为测量小区内池塘最宽处A,B两点间的距离,在池塘边取一点C,使∠BAC=90°,并测得AC 的长为18m,BC的长为30m,则最宽处AB的距离为（）A.18 mB.20 mC.22 mD.24 m图17-1-12、王大爷离家出门散步,他先向正北方向走了60m,接着又向正东方向走了80m,则此时他离家的距离为（）A.70 mB. 80 mC. 90 mD.100 m3、为迎接“五一”的到来,同学们做了许多拉花布置教室小刚搬来一架高2.5m的木梯,准备把拉花挂到2.4m 高的墙上,则梯脚与墙的距离应为(不计人的身高) （）A.0.7 mB.0.8 mC.0.9 mD.1.0 m4、如图17-1-2是一个矩形零件图,根据图中所给的尺寸(单位:mm),求两孔中心A,B之间的距离.图17-1-25、飞机在空中水平飞行,某一时刻刚好飞到个男孩头顶正上方4000m处,过20s飞机距离这个男孩头顶5000m,飞机每小时飞行多少千米?6、如图17-1-3,一架梯子长25m,斜靠在一面墙上的点A处,梯子底端在点B处且离墙7m.(1)这个梯子的顶端距地面有多高?(2)如果梯子的顶端下滑了4m到点A'处,那么梯子的底端B在水平方向滑动了几米？图17-1-3分层作业之基础达标1、如图17-1-4所示，是一扇高为2米，宽为1.5米的门框，李师傅有三块薄木板，尺寸如下：①号木板长3米，宽2.7米；②号木板长2.8米，宽2.8米；③号木板长4米，宽2.4米。

可以从这扇门通过的木板是（）A. ①号B.②号C.③号D.都不能通过 2、由于台风的影响，一棵树在离地6米处折断（如图17-1-5所示），树顶落在离树干底部8米处，则这棵树折断前的长度是（ ）A.8mB.10mC.16mD.18m图17-1-4 图17-1-5 图17-1-63、如图17-1-6小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左边时，梯子底端到左墙角的距离为0.7m ，顶端距离地面2.4m.如果保持梯子底端不动，将梯子斜靠在右边墙上时，顶端距离地面2m ，那么小巷的宽度为（ ）A.0.7 mB.1.5 mC.2.2 mD.2.4 m4、某楼梯如图17-1-7所示，欲在楼梯上铺设红色的地毯，已知这种地毯每平方米售价为30元，楼梯宽2米，则购买这种地毯需要 元。

1、如图：〔1〕你能得到关于a，b，c的一个等式吗？写出你的过程．〔2〕请用一句话描绘你的发现：在直角三角形中，______〔3〕请应用你学到的新知识解决下面这个问题：将一根长为30cm的筷子置于底面直径为5cm，高12cm的圆柱形的空水杯中，那么露出杯子外面的长度最短是______cm，最长是______ cm．假如把圆柱体换成一个长，宽，高分别为6，8，24的无盖长方体盒子．那么这根筷子露出盒子外面的长度最短是______cm．2、某楼梯的侧面视图如下图，其中AB=6.5米，BC=2.5米，∠C=90°，楼梯的宽度为6米，因某种活动要求铺设红色地毯，那么在AB段楼梯所铺地毯的面积应为．3、如下图，一只小蚂蚁从棱长为1的正方体的顶点A出发，经过每个面的中心点后，又回到A点，蚂蚁爬行最短程S满足〔〕A．5＜S≤6B．6＜S≤7C．7＜S≤8D．8＜S≤94、如图，：Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，将一块三角尺的直角顶点与斜边AB的中点M重合，当三角尺绕着点M旋转时，两直角边始终保持分别与边BC、AC交于D，E两点〔D、E不与B、A重合〕．〔1〕试说明：MD=ME；〔2〕求四边形MDCE的面积．5、小明在测量学校旗杆的高度时发现，旗杆的绳子垂到地上还多一米，当他把绳子拉直并把绳子的下端触地时，绳子分开旗杆5米，求旗杆的高度．6、印度数学家什迦逻〔1141年-1225年〕曾提出过“荷花问题〞：平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲．出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边，分开原处二尺远，花贴湖面像睡莲．能算诸君请解题，湖水如何知深浅？7、如图，在每个小方格的面积为1的4×4的方格纸上画一个正方形ABCD，使正方形ABCD的面积为5，并计算正方形的边长和周长．8、在以下4×4各图中，每个小正方形的边长都为1，请在每一个图中分别画出一条线段，且它们的长度均表示不等的无理数．表示：______9、自动门开启的连动装置如下图，∠AOB为直角，滑杆AB为定长100cm，端点A，B可分别在OA，OB上滑动，当滑杆AB的位置如下图时，OA=80cm、假设端点A向上滑动10cm，那么端点B滑动的间隔〔〕A．大于10cm B．等于10cm C．小于10cm D．不能确定10、如图，在长15米，宽8米的长方形ABCD花园内修一条长13米的笔直小路EF，小路出口一端E选在AD边上距D点3米处，另一端出口F应选在AB边上距B点几米处？11、如图，把一块三角形〔△ABC〕土地挖去一个直角三角形〔∠ADC=90°〕后，测得CD=6米，AD=8米，BC=24米，AB=26米．求剩余土地〔图中阴影局部〕的面积．12、距沿海某城市A的正南方向km的B处有一台风中心．根据海事预报，以台风中心为圆心，250km为半径的圆形区域内会受到台风影响．该台风中心如今正以15km/h的速度沿北偏东45°方向往C挪动，问：该城市是否会受到这次台风的影响？请说明理由．13、如图，设A城气象站测得台风中心在A城正西方向300千米的B处，正向北偏东60°的BF方向挪动，距台风中心200千米的范围内是受台风影响的区域，那么A城是否受到这次台风的影响？为什么？14、如图，南北方向PQ以东为我国领海，以西为公海，晚上10时28分，我边防反偷渡巡逻101号艇在A处发现其正西方向的C处有一艘可疑船只正向我沿海靠近，便立即通知下在PQ上B处巡逻的103号艇注意其动向，经检测，AC=10海里，AB=6海里，BC=8海里，假设该船只的速度为12.8海里/小时，那么可疑船只最早何时进入我领海？15、如图，铁路AB的一边有C、D两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，AB=25km，DA=15km，CB=10km，现要在铁路上建一个农产品收买站E，并使DE=CE．那么农产品收买站E应建在距点A多少千米处？16、如图，三个村庄A、B、C之间的间隔分别为AB=15km，BC=9km，AC=12km．A、B两村之间已修建了一条笔直的村级公路AB，为了实现村村通公路，如今要从C村修一条笔直公路CD直达AB．公路的造价为10000元/km，求修这条公路的最低造价是多少？17、如下图，一根长2.5米的木棍〔AB〕，斜靠在与地面〔OM〕垂直的墙〔ON〕上，此时OB的间隔为0.7米，设木棍的中点为P．假设木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行．〔1〕假如木棍的顶端A沿墙下滑0.4米，那么木棍的底端B向外挪动多少间隔？〔2〕请判断木棍滑动的过程中，点P到点O的间隔是否变化，并简述理由．〔3〕在木棍滑动的过程中，当滑动到什么位置时，△AOB的面积最大？简述理由，并求出面积的最大值．18、在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有一C处需要爆破，点C与公路上的停靠站A的间隔为300米，与公路上另一停靠站B的间隔为400米，且CA⊥CB，如图，为了平安起见，爆破点C周围半径250米范围内不得进入，问在进展爆破时，公路AB 段是否有危险，是否而需要暂时封锁？请通过计算进展说明．19、如图1，四根长度一定的木条，其中AB=6cm，CD=15cm，将这四根木条用小钉绞合在一起，构成一个四边形ABCD〔在A、B、C、D四点处是可以活动的〕．现固定AB边不动，转动这个四边形，使它的形状改变，在转动的过程中有以下两个特殊位置．位置一：当点D在BA的延长线上时，点C在线段AD上〔如图2〕；位置二：当点C在AB的延长线上时，∠C=90°．〔1〕在图2中，假设设BC的长为x，请用x的代数式表示AD的长；〔2〕在图3中画出位置二的准确图形；〔各木条长度需符合题目要求〕〔3〕利用图2、图3求图1的四边形ABCD中，BC、AD边的长．20、如图，小明准备建一个鲜花大棚，棚宽BE=4米，高AE=3米，长AD=10米，棚的斜面用矩形玻璃ABCD遮盖，不计墙的厚度，请计算阳光透过的最大面积．21、公园里有一块形如四边形ABCD的草地，测得BC=CD=20米，∠A=45°，∠B=∠C=120°，恳求出这块草地面积．22、如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D点．∠BAC=60°，∠DAE=45°，点D到地面的垂直间隔DE=3m．那么点B到地面的垂直间隔BC是．23、如图在一块直角三角形地被分成BD分成两块，其中斜边AB长为13m，一条直角边BC长为5m，∠BDC=45°，要在△ABD内种草皮，这种草皮每平方米售价a元，那么购置这种草皮至少需要元．24、一个游泳爱好者，要横跨一条宽AC=8m的河流，由于水流速度的原因，这位游泳爱好者向下游偏离了BC=6m，这位游泳爱好者在横跨河流的实际游泳间隔为多少米？25、，△ABC是边长3cm的等边三角形．动点P以1cm/s的速度从点A出发，沿线段AB向点B运动．〔1〕如图1，设点P的运动时间为t〔s〕，那么t=______〔s〕时，△PBC是直角三角形；〔2〕如图2，假设另一动点Q从点B出发，沿线段BC向点C运动，假如动点P、Q都以1cm/s的速度同时出发．设运动时间为t〔s〕，那么t为何值时，△PBQ是直角三角形？〔3〕如图3，假设另一动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动．连接PQ交AC于D．假如动点P、Q都以1cm/s的速度同时出发．设运动时间为t〔s〕，那么t为何值时，△DCQ是等腰三角形？〔4〕如图4，假设另一动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动．连接PQ交AC于D，连接PC．假如动点P、Q都以1cm/s的速度同时出发．请你猜测：在点P、Q的运动过程中，△PCD和△QCD的面积有什么关系？并说明理由．26、罗师傅想将一个正方形ABCD〔四个角都是直角，四条边都相等〕的余料，修剪成四边形ABEF的零件〔如图〕，要求∠AFE为直角．他是这样做的：取CD的中点F，取BC的四等分点E〔即〕，然后沿AF、FE剪裁就得到四边形AFEB．你认为这样剪裁得到的四边形AFEB符合要求吗？请说明理由．27、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？28、一块试验田的形状如下图，：∠CAB=90°，AC=3m，AB=4m，BD=13m，DC=12m．求这块试验田的面积．29、如图，小李准备建一个蔬菜大棚，棚宽4m，高3m，长8m，棚的斜面用塑料薄膜遮盖，不计墙的厚度，假设塑料薄膜每平方米1.2元，问小李至少要花多少钱？〔30题〕30、八年级三班小明和小亮同学学习了“勾股定理〞之后，为了测得以下图风筝CE的高度，他们进展了如下操作：〔1〕测得BD的长度为25米．〔2〕根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为65米．〔3〕牵线放风筝的小明身高1.6米．求风筝的高度CE．31、如图，一个电子跳蚤在4×5的网格〔网格中小格子均为边长为1的正方形〕中，沿A→B→C→A跳了一圈，它跳的总路程是．32、课间，小聪拿着教师的等腰直角三角板玩，不小心掉到两墙之间〔如下图〕，∠ACB=90°，AC=BC，从三角板的刻度可知AB=20cm，小聪很快就知道了砌墙砖块的厚度〔每块砖的厚度相等〕为 cm．33、由于水资源缺乏，B，C两地不得不从黄河上的扬水站A处引水，这就需要在A，B，C之间铺设地下输水管道．有人设计了3种铺设方案〔图中实线表示管道铺设线路〕．在图〔2〕中，AD⊥BC于点D，且BC=DC；在图〔3〕中，OA=OB=OC，且AO的延长线交BC于点E，AE⊥BC，BE=EC，OE=．为减少渗漏，节约水资源，并降低工程造价，铺设线路应尽量缩短．假设△ABC恰好是一个边长为a的等边三角形，请你通过计算，判断哪一个铺设方案最好．34、某消防队进展消防演练，在模拟现场，有一建筑物发生了火灾，消防车到达后，发现离建筑物的程度间隔最近为12米，即AD=BC=12米，此时建筑物中距地面12.8米高的P处有一被困人员需要救援，消防云梯的车身高AB是3.8米．为此消防车的云梯至少应伸长多少米？35、明朝数学家程大位在他的著作?算法统宗?中写了一首计算秋千绳索长度的词?西江月?：“平地秋千未起，踏板一尺离地°送行二步恰竿齐，五尺板高离地…〞翻译成现代文为：如图，秋千OA静止的时候，踏板离地高一尺〔AC=1尺〕，将它往前推进两步〔EB=10尺〕，此时踏板升高离地五尺〔BD=5尺〕，求秋千绳索〔OA或OB〕的长度．36、两根电线杆AB、CD，AB=5m，CD=3m，它们的底部相距8m，如今要在两根电线杆底端之间〔线段BD上〕选一点E，由E分别向两根电线杆顶端拉钢索AE、CE．假设使钢索AE与CE相等，那么点E应该选在距点B多少米处？37、如图，是一块四边形草坪，∠B=∠D=90°，AB=24m，BC=7m，CD=15m，求草坪面积．38、中日钓鱼岛争端持续，我海监船加大钓鱼岛海域的巡航维权利度．如图，OA⊥OB，OA=45海里，OB=15海里，钓鱼岛位于O点，我国海监船在点B处发现有一不明国籍的渔船，自A点出发沿着AO方向匀速驶向钓鱼岛所在地点O，我国海监船立即从B处出发以一样的速度沿某直线去拦截这艘渔船，结果在点C处截住了渔船．〔1〕请用直尺和圆规作出C处的位置；〔2〕求我国海监船行驶的航程BC的长39、探究：请你利用图1验证勾股定理．〔2〕应用：如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，分别以AC、BC为直径作半圆，面积分别记为S1、S2，那么S1+S2的值等于______．〔请直接写出结果〕〔3〕拓展：如图3所示，MN表示一条铁路，A、B是两个城市，它们到铁路所在直线MN的垂直间隔分别为AC=40千米，BD=60千米，且CD=80千米，现要在CD之间设一个中转站O，求出O应建在离C点多少千米处，才能使它到A、B两个城市的间隔相等．40、如图，A，B是笔直公路l同侧的两个村庄，且两个村庄到公路的间隔分别是300m和500m，两村庄之间的间隔为d 〔d2=400000m2〕，现要在公路上建一汽车停靠站，使两村到停靠站的间隔之和最小，问最小值是多少？41、如图，点A是4×5网格图形中的一个格点〔小正方形的顶点〕，图中每个小正方形的边长为1，以A为其中的一个顶点，腰长等于的格点等腰直角三角形〔三角形的三个顶点都是格点〕的个数是〔〕A．10 B．12 C．14 D．1642、如图，以数轴的单位长线段为边作一个矩形，以数轴的原点为旋转中心，将过原点的对角线逆时针旋转，使对角线的另一端点落在数轴负半轴的点A处，那么点A表示的数是．43、阅读下面的情景对话，然后解答问题：教师：我们新定义一种三角形，两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．小华：等边三角形一定是奇异三角形！小明：那直角三角形是否存在奇异三角形呢？〔1〕根据“奇异三角形〞的定义，请你判断小华提出的命题：“等边三角形一定是奇异三角形〞这句话是对还是错？______〔2〕在Rt△ABC中，两边长分别是a=5、c=10，这个三角形是否是奇异三角形？请说明理由．〔3〕在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，且b＞a，假设Rt△ABC是奇异三角形，求〔b+c〕：a的值．44、如图，1号、4号两个正方形的面积和为7，2号、3号两个正方形的面积和为4，那么a，b，c三个正方形的面积和为〔〕A．11 B．15 C．10 D．2245、如图，是2002年8月北京第24届国际数学家大会会标，由4个全等的直角三角形拼合而成．假设图中大小正方形的面积分别为和4，那么直角三角形的两条直角边边长分别为．46、如图，小明在广场上先向东走10米，又向南走40米，再向西走20米，又向南走40米，再向东走70米，小明到达的终止点与原出发点的间隔为〔〕米．A．80 B．100 C．110 D．18047、如图，A，B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地须经C地沿折线A-C-B行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶．AC=10km，∠A=30°，∠B=45°，那么隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走多少千米？〔结果准确到0.1km〕〔参考数据：≈1.41〕48、如图，让两个长为12，宽为8的矩形重叠，图中线段AB长为7，那么两个矩形重叠的阴影局部面积为．49、学校操场上有一块如下图三角形空地，量得AB=AC=10米，∠°×105平方厘米草皮，请你通过计算说明草皮是否够用．50、在合肥市地铁一号线的修建过程中，原设计的地铁车站出入口高度较低，为适应地形，把地铁车站出入口上下楼梯的高度普遍增加了，如下图，原设计楼梯BD长20米，在楼梯程度长度〔BC〕不发生改变的前提下，楼梯的倾斜角由30°增大到45°，那么新设计的楼梯高度将会增加多少米？〔结果保存整数，参考数据：≈1.414，≈1.732〕。