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相对论基础习题课

相对论基础习题课

2. 一尺静止时的长度为 0，若尺相对与参照系 以 一尺静止时的长度为l 若尺相对与参照系S以 0.8c的速度沿 轴正方向运动，则 的速度沿x轴正方向运动 的速度沿 轴正方向运动， （1）从参照系 测得该尺的长度为多少？ 测得该尺的长度为多少？ ）从参照系S测得该尺的长度为多少 的速度沿x轴正 （2）另一参照系 ′相对于 以5c/13的速度沿 轴正 ）另一参照系S′相对于S以 的速度沿 方向运动， 方向运动，从S′测得该尺的长度为多少？ ′测得该尺的长度为多少？
相对论基础习题课
1. 观察者甲和乙分别静止于惯性参照系 和 S′中 ， 观察者甲和乙分别静止于惯性参照系S和 ′ 甲测得在同一地点发生的两个事件的时间间隔为4s， 甲测得在同一地点发生的两个事件的时间间隔为 ， 而乙测得这两个事件的时间间隔为5s，求： 而乙测得这两个事件的时间间隔为 ， (1) S′相对 的运动速度； 的运动速度； ′相对S的运动速度 (2) 乙测得这两个事件发生的地点的距离。 乙测得这两个事件发生的地点的距离。
3. 一飞船以速度 u 远离地球而去。 远离地球而去。 飞船上沿着 角向前发出一光脉冲。 与飞行方向成 θ 角向前发出一光脉冲。 （1） 试求在地球上的观察者测得此脉冲的 ） 传播方向； 传播方向； （2） 证明地球上的观察者所测得的此光的 ） 速率仍然是 c。 。
4. 有一质量均匀的物体 ， 静止时质量为 0， 密度 有一质量均匀的物体，静止时质量为m 的物体。 为体积为ρ0的物体。 （ 1） 当该物体以 的速度作匀速直线运动时， ） 当该物体以0.6c的速度作匀速直线运动时 ， 的速度作匀速直线运动时 其密度变为多少？ 其密度变为多少？ （2）此时物体的动量和动能分别是多少？ ）一静止在实验室参照系中的粒子自发地分裂成沿 相反方向运动的两部分，其中一部分的速度为0.6c， 相反方向运动的两部分 ， 其中一部分的速度为 ， 另一部分速度为0.8c。设粒子分裂前的静止质量 为 。 设粒子分裂前的静止质量为 另一部分速度为 m0，求在实验室参照系中测得这两部分的质量、动 求在实验室参照系中测得这两部分的质量、 量和动能。 量和动能。

11习题课(相对论)

11习题课(相对论)

m0
1 1) Ek1 mc m0c m0 c ( 2 2 1 m 2 1 / c 非相对论动能 Ek 2 2 0 Ek 1 ) 2 5 1 0.786 c. 令 2 (c 2 Ek 2
2
2
习 题集
一、选择题 1.（P38）下列几种说法： （1）所有惯性系对物理基本规律都是等价的。 （2）在真空中，光的速度与光的频率、光源的 运动状态无关。 （3）在任何惯性系中，光在真空中沿任何方向 的传播速度都相同。其中哪些说法是正确的？ （A）只有（1）、（2）是正确的。 （B）只有（1）、（3）是正确的。 （C）只有（2）、（3）是正确的。 （D）三种说法都是正确的。 [ D]
6.16 在什么速度下，粒子的动量为非相对论动量的2倍？ 又在什么速度下，粒子的动能为非相对论动能的2倍。
1 2 / c2 非相对论动量 p2 m0 3 c 0.866 c . p1 1 令 2 2 p2 1 2 / c2
（2）相对论动能
2
解:（1）相对论动量 p1 m
V a a a
2
3
u 1 2 c
2
6.4 宇宙射线与大气相互作用时能产生π介子衰变，此 衰变在大气上层放出叫做 μ子的基本粒子。这些μ子的 速度接近光速(υ=0.998c)。由实验室内测得的静止μ子的 平均寿命等于2.2×10-6s，试问在 8000m高空由π介子衰 变放出的μ子能否飞到地面。
6.5 在系中观察到在同一地点发生两个事件，第二个事 件发生在第一事件 之后2 s。在S′系中观察到第二事件在 第一事件后 3s 发生。求在S′系中这两个事件的空间距离。
t t / 1 u2 / c2 )2 由此得: u c 1 ( t t

1习题课(相对论)

1习题课(相对论)
第六章 狭义相对论 习 题 课
一、选择题 1.下列几种说法： （1）所有惯性系对物理基本规律都是等价的。 （2）在真空中，光的速度与光的频率、光源的运动状 态无关。 （3）在任何惯性系中，光在真空中沿任何方向的传播 速度都相同。其中哪些说法是正确的？ （A）只有（1）、（2）是正确的。 （B）只有（1）、（3）是正确的。 （C）只有（2）、（3）是正确的。 （D）三种说法都是正确的。 [ D ]
（D） 0 ; l l 0
5.（1）对某观察者来说，发生在某惯性系中同一地点 、同一时刻的两个事件,对于相对该惯性系作匀速直线运 动的其它惯性系中的观察者来说，它们是否同 时发生？ （ 2 ）在某惯性系中发生于同一时刻、不同地点的两 个事件，它们在其它惯性系中是否同时发生？ （A）（1）同时，（2）不同时。 （B）（1）不同时，（2）同时。 （C）（1）同时，（2）同时。 （D）（1）不同时，（2）不同时。 [ A ]
c 或由： 2 2 1 u / c u t 2 x c t t 2 t 1 270 s c 1 u2 / c 2 t
2
x ct
270(m )
从这道题也可以看出，洛仑兹变换是建立在光速不 变原理这个基础之上的。
12）一观察者测得一沿米尺长度方向匀速运动着的米 8 -1 2.6× 10· 尺的长度为0.5m。则此米尺以速度υ= m s 接近观察者。 解: 匀速运动着的米尺的长度为动长 l
c2 c2
（C） 0 ; l l 0
4. 两个惯性系S 和 S ′,沿x（x ′)轴方向作相对运动，相 对速度为 u ，设在 S ′系中某点先后发生的两个事件，用 固定于该系的钟测出两事件的时间间隔为固有时τ0 。而 用固定在 S 系的钟测出这两个事件的时间间隔为τ 。又 在S ′系x ′轴上放置一固有长度为 l 0 的细杆，从S 系测得 此杆的长度为l ，则 [ D ] （A） 0 ; l l 0 （B） 0 ; l l 0

ch08-2 相对论习题课

ch08-2 相对论习题课

光脉冲从船尾传到船头为因果关联事件，在地球 系中时序不变：
∆t地球 ≠ 0， ∆l地球不是地球系中观测的飞 船长度， 而只是两事件的空间间 隔。
解二：设飞船系为 s′ ，地球系为s ，飞船系中
∆x′ = 90 ∆t′ = 90 c
由洛仑兹变换，地球系中：
∆ x = γ (∆ x ′ + u ∆ t ′)
=
3.75 ×10−7 (s)
例5：设飞船以0.866 c 速率相对地面飞行，先后 通过地面上的甲地和乙地。在飞船通过甲地时， 将地面和飞船钟校准指零。若地面系测得的飞船 由甲地至乙地的时间间隔为6小时，飞船系测得的 时间间隔为多少？为什么地面系和飞船系的观察 者都认为对方的钟走慢了？
注意：
1.每个惯性系中的观察者都认为本系内各处的钟是校对 同步的。
机械手在车厢上同时划出两个痕迹，求车厢上的
观察者乙测出两个痕迹间的距离为多少？
乙 ur
思考： 哪个长度为原长？
1m 甲
站台系：动系，两端同时测 ∆s = 1m 非原长
车厢系：静系，∆s′ = ? 为原长
∆s′ = γ∆s =
1
1−
u2 c2
> 1 (m)
练习2
一根米尺静止放置在 s′系中，与 o′x′ 轴成 30o 角，
c2 )
三.时间量度的相对性（动钟变慢） 练习1
半人马座 α 星是距离太阳系最近的恒星，它
距离地球 4.3 ×1016m ，设有一宇宙飞船自地球飞到
半人马 α 星，若宇宙飞船相对地球的速度为
0.999c，按地球上的时钟计算要用多少年时间？如 以飞船上的时钟计算，所需时间又为多少年？
思考：哪个时间为原时？
≈

相对论习题课

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解： 由洛仑兹变换得
u ∆t ′ = γ (∆t − 2 ∆x) c 1 0.6c = (10 − 2 ×100) ≈ 12.5 s c 0.6c 2 1− ( ) c
∆x′ = γ (∆x − u∆t ) = 1.25 × (100 − 0.6c ×10) = −2.25 ×109 m
在飞船中的观察者看来， 在飞船中的观察者看来，选手用12.5秒时间反向跑 了2.25×109米。
u ∆x ′ = γ (∆x − u∆t ) ∆t ′ = γ ∆t − 2 ∆x c 由题意： 由题意：∆ x = 1000 m , ∆ t = 0 , ∆ x ′ = 2000 m
′ x ∆ 可得： 可得： γ = ∆x = 1 1 − (u c ) 2 =2 得 u =
u ∆t = γ (∆t′ + 2 ∆x′) c
u ∆t′ = γ (∆t − 2 ∆x) c
六、长度收缩效应
L = γ L0
−1
原长： 原长：相对于被测物体静止的参考系测得的长度 相对于被测物体静止的参考系测得的长度。 的参考系测得的长度。 非原长： 非原长：相对于被测物体运动的参考系测得的长度 相对于被测物体运动的参考系测得的长度。 的参考系测得的长度。 注意事项: 1.长度收缩效应 应用的前提条件 : 应用的 t1 = t2;即:非原长两端同时测量 即:∆t=0 2.不符合此前提使用以下公式求空间间隔:
z′ = z t ′ = γ ( t − ux / c 2 )
注意： 注意：
x ′ = γ ( x − ut ) y′ = y
2 ′ ′ t = γ (t + u x / c )
1− u c
2 2

相对论习题课

相对论习题课
狭义相对论
一、绝对时空观： 空间间隔和时间间隔是绝对的
二、狭义相对论的两个基本假设：
1、爱因斯坦相对性原理： x ut x' 2 2 1 u / c 坐 y' y 标 变 z' z 2 换 t ux / c t ' 2 2 1 u / c 2、光速不变原理： vx u ' v x 1 uv / c 2 x 速 2 2 v 1 u / c y ' 度 v y 2 1 uv / c x 变 换 ' vz 1 u2 / c 2 v z 2 1 uv / c x
t1 0 t2
可知乙所测得的这两个事件的空间间隔是
x 2 x1
x 2 x1 v t 2 t1
1 2
5.20 104 m
y′ 例题9 在S′系中有一根米尺与o'x'轴 u 成30°角，且位于x'o'y′平面内，若要 使这一米尺与S系中的ox 轴成45°角， ①试问S′系应以多大的速率 u 沿 x 轴 x′ 30° 方向相对S系运动？②在S系中测得米 o o′ x 尺的长度是多少？ z′ z 解；设在S系和S′系中米尺的长度分别为l, l′,且 l′= 1m
M M0
而
M0
2m 0 1 2
这表明复合粒子的静止质量M0大于2m0，两者的差值
2m 2E 0 K M－ 2m － 2m 0 0 0 2 2 c 1
式中Ek为两粒子碰撞前的动能。由此可见，与动能相应 的这部分质量转化为静止质量，从而使碰撞后复合粒子 的静止质量增大了。
例题10 设有两个静止质量都是m0 的粒子，以大小相同、 方向相反的速度相撞，反应合成一个复合粒子。试求这个复 合粒子的静止质量和速度。 解 设两个粒子的速率都是v，由动量守恒和能量守恒定律得

相对论习题课


3. 时间延缓 (运动的时钟变慢)
t2 t1
4. 长度收缩 （运动的尺收缩）
0
u2 1 2 c
u2 L L0 1 2 c
狭义相对论动力学
动量 能量 质能关系 1. 动量： P mv
m0 v 1 2 c
2
v
m
m0 v2 1 2 c
2. 能量： 静能: 总能：
y
y
S
x S x
u
山洞长
lB lA 5 2 Δ t 10 s 山洞长 l 1 l 0.8km B 0 u l l 6 B A (2) S系： t 1.1110 s u
u
(3) S lA 系： lB
列车的长度比山洞长，整个列车不可 能有全在山洞内的时刻
l0 1.0km S系：列车长 l A
l A lB Δt 105 s 0.6c
lB 1.0 km山洞比车短， 火车可被闪电 击中否？
u
同时闪电时，车 正好在山洞里
车头到洞口，出 现第一个闪电
u
车尾到洞口， 出现第二个闪 电
u
闪电不同 时
例. 静止的 子的寿命约为０=210-6s。今在8km的高空，由于 介子的衰变产生一个速度为 u=0.998c 的 子，试论证此 子有无 可能到达地面。 L ' u 0
结果表明，光好像是被运动介质所拖动。但又不是完全的拖动， 只是运动介质速度的一部分， f=1-1/n2 加到了光速 v0=c/n 中。 1851年，菲佐从实验室中观测到了这个效应。然而，直到相对论 出现后，该效应才得到了满意的解释。
例：一山洞长1km，一列火车静止时长度也是1km。这列火车以 0.6c的速度穿过山洞时，在地面上测量，(1)列车从前端进入 山洞到尾端驶出山洞需要多长时间？ (2) 整个列车全在山洞 内的时间有多长？(3)如果在列车上测量呢？ 解： (1) S系： 列车长 l 1 2 l 0.8km

(14)相对论习题课


此时： x ′ ′ 0 = −64m A u (t A′ − tB′ ) − 2 ( x A′ − xB′ ) c = 60 c t′ ′ = t′ ′ − t′ ′ = A A B 1 − u2 c2 x ′ ′ 0 + ( − u )t ′ ′ A A
可以打中
= −64m − 0.6c × 60 / c = −100m
1.以地球系为S系，飞船为S´系 ( u = 0.8c ) 解： 飞船S´系：Δt ′ = 30′ (固有时 ) 30′ 宇航站时钟读数： Δt ′ Δt = = 50′ = 地球S系： 2
μ2 1−
c
2
例8.飞船以u=0.8c在中午飞经地球，飞船与地球的时钟都指示 12:00 1、当飞船中时钟读数为12:30´,飞船飞经一个相对地球静止的行星 宇航站，求宇航站时钟读数？
相对论质量相对论动量0221mvpmvvc?220kemcmc?相对论动能相对论能量2emc222240epcmc相对论的动量能量关系式相对论的动量能量关系式动量守恒定律能量守恒定律内容提要例1
狭义相对论习题课
北京科技大学物理系 王云良 physicsustb@
内容提要
1.狭义相对论基本假设： 爱因斯坦相对性原理 2.洛仑兹变换： 光速不变原理
5 = 3
例3. 已知，π介子V=βc，衰变为两个光子，两个光 子的运动轨道与原方向成相等的角度θ， 证明：1.两个光子能量相等；2.cosθ=β 动量守恒、总能量守恒 证明：
ν1
M
衰变
m1
光子1
π介子
θ θ
ν2
m2
光子2
动量守恒：
{ 0 = m c ⋅ sinθ − m c ⋅ sinθ
1 2

相对论习题及答案解析

2 2 ⎧ ⎪ ∆x = 1 − (u / c ) ∆x ′ = l 0 1 − (u / c ) cos θ ′ ⎨ ⎪ ⎩∆y = ∆y ′ = l0 sin θ ′
在 K 系中细杆的长度为
l = ∆x 2 + ∆y 2 = l0 1 − (u / c ) cos 2 θ ′ + si n 2 θ ′ = l0 1 − (u cos θ ′ / c )
(A) α > 45° ； (B) α < 45° ； (C) α = 45° ； (D) 若 u 沿 X ′ 轴正向，则 α > 45° ；若 u 沿 X ′ 轴反向，则 α < 45° 。 答案：A 4.电子的动能为 0.25MeV ，则它增加的质量约为静止质量的？ (A) 0.1 倍 答案：D 5. E k 是粒子的动能， p 是它的动量，那么粒子的静能 m0 c 等于 (A) ( p c − E k ) / 2 Ek
13. 静止质量为 9.1 × 10 −31 kg 的电子具有 5 倍于它的静能的总能量，试求它的动量和速率。 [提示：电子的静能为 E0 = 0.511 MeV ] 解：由总能量公式
夹角 θ 。 解：光线的速度在 K ′ 系中两个速度坐标上的投影分别为
⎧V x′ = c cos θ ′ ⎨ ′ ⎩V y = c sin θ ′
由速度变换关系
Vx =
u + Vx′ ， Vx′ ⋅ u 1+ 2 c
V y′ 1 − Vy =
1+
u2 c2
u V x′ c2
则在 K 系中速度的两个投影分别为
7.论证以下结论：在某个惯性系中有两个事件同时发生在不同的地点，在有相对运动的其他
惯性系中，这两个事件一定不同时发生 。 证明：令在某个惯性系中两事件满足

相对论习题课(xin)


S 2ay ax 0.6a2 60 Cm2
y
y
v
x
x
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狭义相对论习题课
例2. 一列火车长0.30km（火车上的观察者观测得到）， 以100km/h的速度行驶，地面上的观察者发现两个闪 电同时击中了火车的前部和后部两端。问火车上的观 察者观测得到的两个闪电击中火车的前部和后部两端 的时间间隔为多少？
解一：设地面为S系，火车为S’系。在S系中观察到 的，闪电击中火车前后两端的时间间隔为：
t2
பைடு நூலகம்1

(t2
t1) (x2 x1)u / c2 1u2 / c2
0
t2 t1 (x2 x1)u / c2 9.26 10 14 s
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狭义相对论习题课
解：（1） t 30 min
固有时间
地面的观察者
12:50 (2)
t
t 50min
1 u2 c2
s s´
s´
u
oo ut 0.8c 5060
7.21011m
o
o´
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狭义相对论习题课
(3)
t1

2. 光速不变原理：在所有惯性系中，真空中的光速各向
相同的量值c ,与光源的运动无关。
正变换
逆变换
x x vt
1
v2 c2
t

t

v c2
x
1
v2 c2
x x vt
1
v2 c2
t

t
v c2
x
1
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察到的，闪电击中火车前后两端的时间间隔分别 为：
t2 t1 (t2t1)1 (u x2 2 /c x1 2)u/c2
x2x1(x2 x1 ) 1u c2 2, t2t10
t2 t1 (x 2 x 1 ) u /c 2 9 .2 1 6 10 s 4
2.相对论的时间膨胀效应:
t2 t1
t2 t1 1u2/c2
3.相对论中同地的相对性: x2x1(x2 1 x1)u 2u/(ct2 2t1)
4.相对论中同时的相对性:
t2 t1
(t2
t1)(x2
x1)cu2
1u2 /c2
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狭义相对论习题课
1
u c2
vx
1
u2 c2
狭义相对论习题课 3.动力学定律
Fmdvvdm dt dt
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狭义相对论习题课
狭义相对论小结
洛沦兹变换 x
x ut u2
1 c2
t
u
t
x
c2
u2 1
c2
狭 运动学 义 相 对 论
动力学
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时间膨胀
y y z z
t
t
v x

vx u
1
u c2
vx
1u2 /c2
长度收缩 LL0 1u2/c2
m F d m P 0//d1 tm v2d d/vct 2 vddm P t m E v m m0v2c/E 10vm 2/0cc2 2 EKEE0 Em2c E2E02P2c2
2. 光速不变原理：在所有惯性系中，真空中的光速各向
相同的量值c ,与光源的运动无关。
正变换
逆变换
x x vt
1
v2 c2
t
t
v c2
x
1
v2 c2
x x vt
1
v2 c2
t

t
v c2
x
1

v2 c2
y y
y y
பைடு நூலகம்z z
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y
y
v
x
x
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狭义相对论习题课
例2. 一列火车长0.30km（火车上的观察者观测得到）， 以100km/h的速度行驶，地面上的观察者发现两个闪 电同时击中了火车的前部和后部两端。问火车上的观 察者观测得到的两个闪电击中火车的前部和后部两端 的时间间隔为多少？
解一：设地面为S系，火车为S’系。在S系中观察到 的，闪电击中火车前后两端的时间间隔为：
所以火箭发射到导弹到达地球所需时间为
t t1 t23.5 7 sec
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狭义相对论习题课 例4. 地球上的观察者发现一只以速率0.6c向东航行的宇宙 飞船将在5s后同一个以速率0.8c向西飞行的彗星相撞。 （1）飞船中的人们看到彗星以多大速率向他们接近。 （2）按照他们的钟，还有多少时间允许他们离开原来航 线避免碰撞。
狭义相对论习题课 四. 典型习题 例1. 在S参考系中，有一个静止的正方形，其面积为 100 cm2．观测者O＇以 0.8c的匀速度沿正方形的对角 线运动．求O＇所测得的该图形的面积．
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狭义相对论习题课
解：令S系中测得正方形边长为a，沿对角线取x轴正方向 (如图)，则边长在坐标轴上投影的大小为
t2t1(t2 t1 )1 (x u2 2 /cx2 1 )u/c20 t 2 t 1 ( x 2 x 1 ) u /c 2 9 .2 1 6 1 s 0 4
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解二：设地面为S系，火车为S系。在S 系中观
狭义相对论习题课 教学要求 1.掌握爱因斯坦两条基本假设 2.掌握洛伦兹变换；熟练掌握狭义相对论的时空观解决 问题。 3.掌握质量、动量、动能和能量的关系式，掌握能量和 动量的关系。
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狭义相对论习题课
一、基本概念 狭义相对论时空观
1.相对论的长度收缩效应: LL0 1u2/c2
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狭义相对论习题课 解：（1）选取两惯性参照系
（2）根据所选坐标系确定已知物理量 u0.6c vx 0.8c
（3）根据所选坐标系确定要求物理量
v x

vx u
5.相对论的质量
m m0 / 1 v2 / c2
6.相对论的 动量
p m v0
1

v2 c2
7.相对论的 动能
Ek m2cm0c2
二、基本定律和定理
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狭义相对论习题课
1. 相对性原理：物理学定律在所有惯性系中都是相同 的，即：描述物理学现象所有惯性系都是等价的 。
狭义相对论习题课
解：设静止的地球为S系，运动的火箭为S´系，则 在S系中导弹发射时间是在火箭发射t1之后 即： t1 t/ 1v2/c21.5 2s ec 在t1时间内，火箭相对地面飞行的距离为
Svt17.5c
所以火箭在离地球S远发射的导弹到达地球所需时间为
t2S/v12s5e c
1 ax 2
2a
ay

1 2
2a
面积可表示为： S2ay ax
在以速度v相对于S系沿x y
y
v
正方向运动的S＇系中
ax ax
1(v/c)2 =0.6× 1
2
2a
x
x
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狭义相对论习题课
ay
ay
1 2
2a
在O＇系中测得的图形为菱形，其面积亦可表示为
S2ayax0.6a260 Cm2
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狭义相对论习题课 例3.火箭相对地面以 v = 0.6c 的匀速度向上飞离地球，在 火箭发射 t´= 10s 后（火箭上的钟），该火箭向地面发 射一导弹，其相对地面的速度为v1=0.3c.问：火箭发射多 长时间后，导弹到达地面？（地面上的钟，计算中假设 地面不动）
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z z
狭义相对论习题课
洛仑兹速度变换式
正变换
逆变换
v x

vx u
1
u c2
vx
vx

v x u
1
u c2
v x
vy
vy
1
u c2
vx
1
u2 c2
vy
vy
1
u c2
vx
1
u2 c2
vz
vz
1
u c2
vx
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u2 1 c2
vz
vz