第四章 边界层理论(1)

可以简化为
u x u x 2u x ux uy ( 2 ) x y y 连续性方程仍为
u x u y 0 x y
24
用类似的方法可以获得能量(温度)边界层方程
t t 2t ux uy ( 2 ) x y y
和浓度边界层方程：
c A c A 2c A ux uy D AB ( 2 ) x y y
7Байду номын сангаас
4 . 2. 边界层分离
在某些情况下，边界层内的流体会产生倒流，并引起 边界层与固体壁面之间的分离现象，同时产生旋涡，造成 能量损失。这种现象称为边界层分离。
8
（a）流线形物体；（b）非流线形物体 曲面边界层分离现象示意图
9
流体横流过圆柱体是的压强变化情况
(1) 从D到E流动加速，为顺压 梯度区；流体静压能向动能 转变，不发生边界层分离 (2) 从E到F流动减速, 为逆压 梯度区；E到F段动能只存在 损耗，速度减小很快 (3) 在S点处出现粘滞 ，由于 压力的升高产生回流导致边 界层分离，并形成尾涡
21
通过上述分析，可以看出，y方向的奈维－斯托克斯 方程与x方向相比，整个方程可以略去。同时由于pd/y = 0，最后可以将奈维－斯托克斯方程组简化为一个方程， 称为普兰特边界层方程：
u x u x 2u x 1 pd ux uy ( 2 ) x y x y
25
(2) 卡门边界层方程
卡门根据边界层概念，直接对边界层进行动量，热量 及质量衡算，导出了边界层动量，热量及质量方程。 此种方法要比由N-S方程求解简单的多。
26
边界层动量方程的推导：
设流体呈一维流动，即流动仅沿x方向进行，边界层 外主体流速为u, 边界层厚度为， 微元体边长： y X方向为dx u Y方向为l (l>) Z方向为1个长度单位
b u
u
8 8
Re xc
xc u 0
u
8

Rexc=xcu0/ Rexc=Dub/
Le
x
4
边界层厚度的定义：
一般约定速度等于流体主体速度0.99处为速度边界 层的外缘，即
u 0.99 u
传热边界层及传热边界层厚度t： 类似于速度边界层，在传热过程中也存在传热边界 层，其形成过程与速度边界层相似。同理，传热边界层 厚度的定义为
ts t 0.99 t s t
5
传质边界层: 类似于速度边界层，在传质过程中也存在传质边界 层，其形成过程与速度边界层相似。同理，传质边界层 厚度c的定义为
Cs C 0.99 C s C
边界层理论的应用 普兰特首创边界层理论以来，经过他的学生以及其 他学者的共同努力，从二维定态层流流动的研究开始， 发展成完整的粘性流体力学。该理论的主要内容包括二 维、三维层流边界层，自由剪切湍流（射流），壁面剪 切湍流，可压缩流体边界层，分离流等。
dP －l dx y 0
31
因在<y<l 内，ux=u，则
du x d － (u u x ) u x dy = dy dx 0
dP －l dx y 0
对于流体流经平壁，
dP 0 ，且 const. ，则 dx
y 0
du d (u u x ) u x dy x dx 0 dy
2 u x dy ； 0 l

2 u x dy 0
l
d l 2 ( u x dy)dx dx 0
28
A4 为壁面，无流体流入。
由于在z方向无流体的流入与流出，所以通过A2和A1 面质量速率之差，必等于通过平面A3的质量速率，即
d l ( u x dy)dx dx 0
平面A3在边界层外，其流速为u，则通过A3进入的动量速 率为
12
a) 当流体主体的Re数很大时，在边界层内粘滞 力的作用仍不能忽略，因为这里的惯性力与粘滞 力具有相同的数量级；
b) 普兰特发现，当流体的Re数较大时，边界层 厚度较定性长度L小得多。 下面推导流体在平壁上稳定流动时的二维边界层 方程。取x轴与平壁平行，y轴垂直平壁，此时不 可压缩流体作稳定层流时的基本方程组为：
即，数量级为O(1/)；
2u y
u y u y O( ) ( ) O( ) 2 2 x x x x O(1)O(1)
即，数量级为O ()。
18
根据上面的分析，可得
u x u x 2u x 2u x 1 pd ux uy ( 2 ) 2 x y x x y
ux u y x uy u y 1 p d ( 2 ) 2 y y x y 2u y 2u y
(1) ()
() (1)
(2) [()
(1/)]
20
可见，除动压梯度项外，其余各项的数量级均等于 或小于O()，所以 1 p d y
的数量级也应为O()。 由于1/有一定数值，所以在边界层内由壁面到边 界层外缘在垂直方向上，压强几乎没有什么变化。可以 认为沿y方向上，边界层内的压强近似等于边界层外主 体的压强，即pd/y = 0。
2u x u x u x O(1) ( ) O(1 / 2 ) y 2 y y y 2 O( 2 )
即，数量级为O(1/2)，这是一个很大的数量级；
17
2u y
u y u y O( ) ( ) O(1 / ) 2 2 y y y y O( )O( )
这样，求解平壁边界层的二维稳定层流问题，只需 联立求解普兰特边界层方程和连续性方程即可。
22
在流体流经平壁时，上述普兰特边界层方程还可
简化。 因pd/y = 0，可以认为边界层中的任一点的压 强与同x位置上主体流体中的压强相同。由柏努利方 程，对于水平流动，对于理想流体（只适用于主体流 动――不适用于边界层）： 2 u
2
边界层的形成可以用下图说明： (介绍 层流边界层和湍流边界层)
8
u
8
u
8
u
8
u
8
0.99u

b
xc x
边界层的形成与发展过程
3
对于流体平行流过平板，层流边界层转变为湍流边界层 的地点可用下列临界雷诺数表示：
对于光滑平板，2×105 <Rexc< 3×106。 对于园管，边界层的发展过程如下：
16
2u x u x u x O(1) ( ) O(1) 2 2 x x x x O(1)O(1)
即，数量级为O(1)；
ux/y: ux/y ux /y= O (1)/ O ()= O (1/ ), 即ux/y的数量级为O (1 / )。
10
流体横流过圆柱体时的传热系数变化情况
1.8 1.6 1.4 1.2
Re=1E4
0

180 90

1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0 30 60 90 120 150 180

11
4.3.边界层方程
描述边界层的基本方程，可以从奈维－斯托克 斯方程导出(称为普兰特边界层方程)，也可以根 据动量交换观点导出(称为卡门边界层方程)。在 此我们逐一进行介绍。 （1）普兰特边界层方程 将不可压缩流体的奈维－斯托克斯方程应用于边 界层流动时，需提出下述两点基本假设：
第四章 边界层理论 (boundary layer)
1
1904年，普兰特( Prandtl ) 提出边界层理论。
4.1. 边界层的概念
当流体在固体表面流过时，在固体壁面附近存在 有一薄层流体，其流速很小；但是其中的速度梯度(或 温度、浓度梯度)确非常大，其中的传递阻力占整体传 递阻力的绝大部分，此层流体称为边界层。在边界层 中，由于流体速度较小，所以动量改变率较小，惯性 力较小；但由于速度梯度很大，所以粘滞力作用不能 忽略，在边界层之内既需考虑惯性力作用，更需要考 虑粘滞力作用。 对于湍流流动，在边界层之外，由于速度梯度较 小，只需考虑惯性力的作用。
15
ux/x: ux/x ux /x= O (1)/ O (1)= O (1)， 即ux/x的数量级也为O (1)。 uy/y： 要使方程ux/x ＋uy/y ＝ 0 成立，各项应具相 同的数量级，即uy/y的数量级应为O(1)。 y：由于边界层的厚度由零变化到，所以y在边界层中 的数量级为O()。 uy：由于uy/y的数量级应为O(1) ，所以uy的数量级必 为O()。
p 2 const.
故p为常数，所以在边界层外，dp/dx = 0。 因为在边界层内，pd/y = 0，即压力可以穿过边界层
保持不变，因此在边界层内仍存在：
23
pd/ x = 0
故流经平壁的普兰特方程
u x u x 2u x 1 pd ux uy ( 2 ) x y x y
(1)(1) ()(1/) (1) (1/2)
上式右侧括号内第一项与第二项相比可以忽略不计。
因第二项的数量级为O(1/2)，要使等式成立，的 数量级必为O (2)才能保证整项的数量级为O (1)。 这表明，欲获得边界层流动，流体的粘性要非常低。
19
同理，
1 p d x
的数量级也应为O (1)，即说明在边界层内,x方向压强变 化较大。 同样，y方向的奈维－斯托克斯方程中各项的数量级为
13
u x u y 0 x y
u x u x 2u x 2u x 1 pd ux uy ( 2 ) 2 x y x x y
ux u y x uy u y 1 p d ( 2 ) 2 y y x y 2u y 2u y
30
压力： A1 平面为 P×(l×1)；
dP A2 平面为－ ( P dx) (l 1) ； dx dP 二者之差为－ l dx (负号表示与 X 方向相反) dx