授课内容教学时数教学目标教学重点教学难点
教学方法与
手段
教
学
过
程
第八章λ－矩阵第一讲λ－矩阵
2 学时授课类型讲授法与练习法
使学生了解-矩阵的概念，以及-矩阵和数字矩阵的关系，基本掌握- 矩阵秩的判断，可逆的条件，以及求逆矩阵。
-矩阵秩的判断，可逆的条件，以及求逆矩阵。
求-矩阵的逆矩阵
启发式讲授，讨论，练习
n 阶矩阵
A
与对角阵相似的充要条件是
A
有 n 个线性无关的特征向量
.
那么当只有 m( m n) 个线性无关的特征向量时, A与对角阵是不相似的.对这种情况,我们“退而求其次” ,寻找“几乎对角的”矩阵来与A相似 .这就引出了矩阵在相
似下的各种标准型问题 .
Jordan 标准型是最接近对角的矩阵并且其有关的理论包含先前有关与对角
阵相似的理论作为特例 .此外 , Jordan 标准型的广泛应用涉及到 Hamilton-Cayley 定理的证明 ,矩阵分解 ,线性微分方程组的求解等等 .
由于Jordan 标准型的求解与特征多项式有关,而从函数的角度看,特征多项式实际上是特殊的函数矩阵（元素是函数的矩阵）,这就引出对-矩阵的研究 .
一、- 矩阵及其标准型
定义 1 称矩阵 A( ) ( f ij ( )) 为-矩阵 ,其中元素
f ij ( )(i 1,2,L , m; j 1,2,L , n)
为数域 F 上关于的多项式 .
定义 2 称 n 阶- 矩阵A( ) 是可逆的,如果有
A B B A I n
并称 B( ) 为A() 的逆矩阵.反之亦然.
定理 1 矩阵A() 可逆的充要条件是其行列式为非零的常数,即
det( A( )) c0 .
证明：（ 1）充分性设A=d 是一个非零的数. A*表示A() 的伴随矩阵 ,则d1A*也是一个-矩阵 ,且有
A d 1 A* d 1 A*A I
因此 ,A( ) 是可逆的.
(2) 必要性设A() 有可逆矩阵B() ,则
A B I
两边取行列式有
A B I 1
由于 A 与 B 都是多项式 ,而它们的乘积为1,所以它们都是零次多项式 , 即都是非零常数 .证毕 .
例题 1 判断-矩阵
2 +1 2 1
A = 1
1
是否可逆 .
解虽然
2 +1 2 1
A = 1 = 2 0
1
A( ) 是满秩的,但A 不是非零常数 ,因而A( ) 是不可逆的.
注意与数字矩阵不同的是满秩矩阵未必是可逆的.这么定义可逆是有必要的 ,可逆的本质就是要保证变换的矩阵可以通过非零常数的倒数逆回去.
定义3如果矩阵A() 经过有限次的初等变换化成矩阵B() ，则称矩阵A( ) 与B() 等价,记为
A B
定理2矩阵A() 与B() 等价的充要与条件是存在可逆矩阵P、Q,使得
B P A Q
证明因为 A B, 所以A() 可以经过有限次初等变换变成B() ,即存在初等矩阵
P ( ), P ( ),L , P ( )
12s
与初等矩阵
Q1 ( ), Q2 ( ),L ,Q t ( )
使得
B( ) P ( ) P ( )L P ( ) A( )Q ( )Q ( ) L Q ( )
12s12t
令
P( ) P1 ( )P2 ( )L P s () ,
Q( ) Q1( )Q2 ( )L Q t ( )
就是所要求的-矩阵 .它们都是初等矩阵的乘积,从而使可逆的 .证毕 .
定义 4 矩阵 A( ) 的所有非零k阶子式的首一（最高次项系数为1）最大公因式 D k 称为 A( ) 的k阶行列式因子.
定理 2 等价矩阵具有相同的秩和相同的各级行列式因子.
证明设-矩阵A( )经过一次行初等变换化为了B( ) ，f ( ) 与 g( ) 分别是 A( ) 与 B( ) 的 k 阶行列式因子.需要证明f( )= g( ) .分3 种情况讨论：（ 1）A( ) i , j B( ) ,此时,B( ) 的每个 k 阶子式或者等于A( ) 的某个k 阶子式,或者与A( ) 的某个阶子式反号,所以 , f ( ) 是B( ) 的k阶子式的公因子 ,从而f ()| g() .
（ 2）A( ) i(c)
B( ) ,此时,B( )的每个k阶子式或者等于A( ) 的某
个 k 阶子式,或者等于 A( ) 的某个 k 阶子式的c倍.所以,f( ) 是B( ) 的 k 阶子式的公因式 ,从而f( )| g( ) .
（ 3）A( ) i j( )
行与 j 行的阶子式和B( ) ,此时,B( )中那些包含i
那些不包含 i 行的 k 阶子式都等于A( ) 中对应的 k 阶子式； B( ) 中那些包含 i 行但不包含 j 行的 k 阶子式,按 i 行分成两个部分,而等于A( )的一个k阶子式与另一个 k 阶子式的( ) 倍的和,,也就是A( ) 的两个 k 阶子式的线性组合,
所以
, f( ) 是的
k
阶子式公因式从而 f( )| g( )
.
,
对于列变换, 可以一样地讨论.总之 , A( ) 经过一系列的初等变换变成B( ) ，那么f( )| g( ) .又由于初等变换的可逆性, B( )经过一系列的初等变
换可以变成 A( ) ,从而也有g( )| f( ) .
当 A( ) 所有的阶子式为零时, B( ) 所有的 k 阶子式也就等于零；反之亦然.
故 A( ) 与 B( ) 又相同的各阶行列式因子,从而有相同的秩.证毕.
既然初等变换不改变行列式因子,所以 ,每个-矩阵与它的标准型有完全相同的行列式因子.而求标准型的矩阵是较为简单的,因而 ,在求一个-矩阵的行列
式因子时 ,只要求出它的标准型的行列式因子即可.
讨论、练习与
作业
课后反思
