三大几何作图问题

三大几何作图问题三大几何作图问题是：倍立方、化圆为方和三等分任意角．由于限制了只能使用直尺和圆规，使问题变得难以解决并富有理论魁力，刺激了许多学者投身研究．早期对化圆为方作出贡献的有安纳萨戈拉斯（Anaxagoras，约500B.C.～428B.C.），希波克拉底（Hippocrates of chios，前5世纪下半叶）、安蒂丰（Antiphon，约480B.C.～411B.C.）和希比亚斯（Hippias of Elis，400B.C.左右）等人；从事倍立方问题研究的学者也很多，欧托基奥斯（Eutocius，约480～？）曾记载了柏拉图、埃拉托塞尼（Eratosthenes，约276B.C.～195B.C.）、阿波罗尼奥斯（Apollonius，约262B.C.～190B.C.）和帕波斯（Pappus，约300～350）等人共12种作图方法：尼科米迪斯（Nicomedes，约250B.C.左右）、帕波斯等人则给出了三等分角的方法．当然所有这些研究都无法严格遵守尺规作图的限制，但它们却引出了大量的新发现（如圆锥曲线、许多三、四次曲线和某些超越曲线等），对整个希腊几何产生巨大影响．三大作图问题自智人学派提出之时起，历经二千余年，最终被证明不可能只用直尺、圆规求解（1837年旺策尔「P.L.Wantze1」首先证明了倍立方和三等分任意角不可能只用尺规作图；1882年林德曼［C.L.F.Lindemann］证明了π的超越性，从而确立了尺规化圆为方的不可能）．关于三大几何作图问题的起源和古代探讨，在智人学派之后一些希腊学者的著述中留有记载，这些分散片断的记载，成为了解早期希腊数学的珍贵资料．以下选录部分内容，各节作者与出处将随文注明．倍立方A．赛翁论倍立方问题的可能起源于埃拉托塞尼在其题为《柏拉图》的著作中写道：当先知得到神的谕示向提洛岛的人们宣布，为了止息瘟疫，他们必须建造一个祭坛，体积是现有那个祭坛的两倍时，工匠们试图弄清怎样才能造成一个立体，使其体积为另一个立体的两倍，为此他们陷入深深的困惑之中，于是他们就这个问题去请教柏拉图．柏拉图告诉他们，先知发布这个谕示，并不是因为他想得到一个体积加倍的祭坛，而是因为他希望通过派给他们这项工作，来责罚希腊人对于数学的忽视和对几何学的轻视．B．普罗克洛斯论希波克拉底对这一问题的简化．“简化”是将一个问题或定理转化成另一个已知的或已构造出的问题或定理，使得原命题清晰明了．例如，为解决倍立方问题，几何学家们转而探究另一问题，即依赖于找到两个比例中项．从那以后，他们致力于如何找到两条已知线段间连比例中的两个中项的探索．据说最先有效地简化这些困难作图的是希俄斯的希波克拉底民他还化月牙形为方，并作出许多几何学上的其他发现．说到作图，如果曾经有过这方面的天才的话，这个人就是希波克拉底．历史上传说，古代的一位悲剧诗人描述了弥诺斯为格劳科斯修坟，当弥诺斯发现坟墓的每一边都是一百尺时，他说：“你们设计显然这是一个错误．因为如果边长加倍，表面积变成原来的四倍，体积变成八倍．当今的几何学家们也在探索将已知立方体的体积加倍而不改变其形状的途径．这个问题以二倍立方体著称，即已知一个立方体，他们想办法将其变为两倍”．当长期以来所有的探索都徒劳无功时，希俄斯的希波克拉底最先发现，如果能找到一个方法，作出已知的两条线段间连比例中的两个比例中项，其中长线段是短线段的两倍，立方体就变成两倍．这样他的难点被分解成另一个不太复杂的问题．“后来传说，某些提洛岛的人为遵循先知的谕示，想办法将一个祭坛加倍，他们陷入了同样的困境．于是他们派代表去请求学园中柏拉图学派的几何学家帮他们找到解法．这些几何学家们积极地着手解决这个问题，求两条已知线段间顺个比例中项．据说塔林敦的阿尔希塔斯应用半圆柱体得到一种解法，而欧多克索斯用了所谓的“曲线”所有解决这一问题的人在寻找演绎的证明方面是成功的，但除门奈赫莫斯①（尽管他只是很勉强地做到），他们都不能用行之有效的方法证明这个作图小现在我发现了一种简单方法，通过应用一种器具，不仅能得到两线段问的两个比例中项，而且能得到所需要的许多比例中项．应用这一发现，我们能够将任何表面是平行四边形的已知立体化成立方体，或者将其从一种形状变成另一种形状，而且也可以作出一个与已知立体形状相同，但体积大一些的立体，也就是保持相似性．……化圆为方A．安蒂丰化圆为方安蒂丰画了一个圆，并作一个能够内接于它的多边形．我们假设这个内接图形是正方形．然后他将正方形的每边分成两部分，从分点向圆周作垂线，显然这些垂线平分圆周上的相应弧段．接着他从垂线与圆周的交点向正方形边的端点连线，于是得到四个以线段（即正方形的边）为底的三角形，整个内接的图形现在成为八边形．他以同样的方法重复这一过程，得到的内接图形为十六边形．他一再地重复这一过程，随着圆面积的逐渐穷竭，一个多边形将内接于圆，由于其边极微小，将与圆重合．正如我们从《原本》中所知，既然通常我们能够作出一个等于任何已知多边形的正方形，那么注意到与圆重合的多边形与圆相等，事实上我们就作出了等于一个圆的正方形．B．布里松化圆为方他作一个正方形外切于圆，作另一个正方形内接于圆，在这两个正方形之间作第三个正方形．然后他说这两个正方形（即内接和外切正方形）之间的圆及中间的正方形都小于外部的正方形且大于内部的正方形，他认为分别比相同的量大和小的两个量相等．因此他说圆被化成正方形．三等分角帕波斯论三等分一个角的方法当早期的几何学家们用平面方法探究上述关于角的问题时他们无法解决它，因为这个问题从性质来看是一个立体问题,由于他们还不熟悉圆锥曲线，因此陷于困惑．但是他们后来借助于圆锥曲线用以下描述的斜伸法将角三等分．用斜伸法解已知一个直角平行四边形ABΓΔ,延长BΓ，使之满足作出AE，使得线段EZ等于已知线段．假设已经作出这些，并作ΔH，HZ平行于EZ，EΔ．由于ZE已知且等于ΔH，所以ΔH 也已知.Δ已知，所以H位于在适当位置给定的圆周上．由于BΓ，ΓΔ包含的矩形已知且等于BZ，EΔ包含的矩形已知，即BZ，ZH包含的矩形已知，故H位于一双曲线上．但它也位于在适当位置给定的圆周上，所以H已知．证明了这一点后，用下述方法三等分已知直线角．首先设ABΓ是一个锐角，从直线AB上任一点作垂线AΓ，并作平行四边形ΓZ，延长ZA至E，由于Γz是一个直角的平行四边形，在EA，AΓ间作线段EΔ,使之趋于B且等于AB的两倍——上面已经证明这是可能的，我认为EBΓ是已知角ABΓ的三分之一．因为设EΔ被H平分，连接AH，则三条线段ΔH，HA，HE相等，所以ΔE是AH的两倍．但它也是AB的两倍，所以BA等于AH，角ABΔ等于角AHΔ．由于AHΔ等于AEΔ,即ΓBΔ的两倍，所以ABΔ等于ΔBΓ的两倍．如果我们平分角ABΔ,那么就三等分了角ABΓ．用圆锥曲线的直接解法这种立体轨迹提供了另一种三分已知弧的方法，不必用到斜线．设过A,Γ的直线在适当的位置给定，从已知点A,Γ作折线ABΓ,使得角AΓB是角ΓAB 的2倍，我认为B位于一双曲线上．因为设BΔ垂直于AΓ并且截取ΔE等于ΓΔ,当连接BE时，它将与AE相等．设EZ等于ΔE,所以ΓZ=3ΓΔ.现在置ΓH等于AF/3，所以点H将给定，剩下部分AZ等于3*HΔ.由于BE*BE-EZ*EZ＝BΔ*BΔ，且BE*BE一EZ*EZ=ΔA*AZ，所以ΔA*AZ=BΔ*BΔ，即3*AΔ*ΔH=BΔ*BΔ，所以B位于以AH为横轴，AH为共轭轴的双曲线上．显然Γ点在圆锥曲线顶点H截取的线段ΓH是横轴AH的二分之一．综合也是清晰的．因为要求分割AΓ使得AH是HΓ的2倍 ,就要过H以AH为轴画共轭轴为AH的双曲线，并且证明它将使我们作出上面提到的具有2倍之比的角度．如果A，Γ两点是弧的端点，那么以这种方法画的双曲线截得已知圆上的一段弧的三分之一就易于理解了．。

教学过程逐字稿及师生活动2019.5.28开场白：上课-今天我们来学习选修3-1第三章《代数的进步》的第三节。

大千世界，万事万物再复杂，也离不开最基本的几何图形。

古代中国、埃及、古希腊等地都是几何学的重要发源地。

几何学在促进代数学进步的同时，也遇到难以解决的问题。

今天我们一起来学习《代数学与三大几何作图难题》。

几何学离不开尺规作图，下面，小组交流展示课前预习成果。

展示“尺规作图的由来” …..(写板书：3.3代数学与三大几何作图难题)通过第1组的展示，可以看出，尺规作图的限制是：无刻度直尺和圆规、有限次作图。

请用你所学过的尺规作图方法，作出以下图形。

公元前5世纪后，希腊人开始对几何学进行比较完整、系统的探讨，遇到了令他们百思不得其解的三个作图问题。

一个角既然能被平分，自然就会考虑它的三等分问题；正方形对角线上的正方形的面积是原正方形的2倍，就容易想到作一个立方体，使它的体积等于已知立方体的2倍；希腊人也讨论过图形等面积的变换问题，考虑作一个正方形使它的面积等于一个圆的面积也是极其自然的事。

这就是著名的三大几何问题：三等分角、倍立方体、化圆为方问题。

我们依次来探究古代数学家是如何解决这三个问题的。

下面小组交流展示交流公主的别墅与“三等分角”史话。

这个故事提出了一个数学问题：如何尺规作图三等分任意已知角。

那么数学家们是如何探索解决“三等分角”问题的呢？首先，考虑三等分特殊角，请同学们用尺规作图，三等分45°和90°角。

对于任意角三等分，解决的关键是什么呢？假设我们要做角A的三等分角：首先，角A是已知的，所以能作出角A，进而也就能作出cos(A)的值，设cosA=a ;同理，如果能作出角A的三等分角A/3，我们就可以作出cos(A/3)的值，设cos(A/3)=x ;这就需要在3 倍角之间建立联系。

下面根据三角公式推导三倍角余弦公式的推导。

于是就会有cos(A)=4*cos A3(A/3) - 3*cos(A/3)。

古希腊三大几何问题的解决【教学目标】1．知识与技能了解古希腊三大几何问题的解决的相关内容。

2．过程与方法用通俗易懂的语言，深入浅出地介绍该节课的基本教学内容及其基本思想。

引导学生简述相应的教学内容。

在学习过程中，可以针对学生的实际情况，布置不同的任务，采用自主学习与合作学习相结合的方式组织教学活动。

3．情感、态度与价值观让学生对于数学的科学价值和文化价值有更多的认识，开阔学生的视野，从数学的发展或从一个具体的数学分支，来认识数学的魅力和价值。

【教学重难点】重点：古希腊三大几何问题的解决的相关内容的了解。

难点：简述古希腊三大几何问题的解决。

【教学过程】一、直接引入师：今天这节课我们主要学习古希腊三大几何问题的解决。

我们主要了解它的具体内容。

二、讲授新课（1）教师引导学生在预习的基础上了解古希腊三大几何问题的解决的内容，形成初步感知。

（2）首先，我们先来学习三大几何问题的由来。

我们知道，雅典素有民主的传统，所以政治清明，经济繁荣，学术自由，百家争鸣，创造了灿烂的古代文明。

当时出现了许多学派，巧辩学派就是其中之一，该学派的数学研究中心是如下的三大几何问题：①化圆为方，即求作一个正方形与给定的圆面积相等。

②三等分角，即把任意角分成三等份。

③倍立方，即求作一个正方体，使其体积是已知正方体体积的两倍。

这些问题的难度在于，作图只能用直尺和圆规。

在数学史上很难找到其他问题能像这三个问题那样具有经久不衰的魅力。

此类问题激发了整个古希腊时代数学家的研究兴趣。

由于古希腊人限制了作图工具，因此这些问题变得难以解决并富有理论魅力。

（3）接着，我们再来看解决三大几何问题的早期努力。

最早研究化圆为方问题的是安纳萨哥拉斯（Anaxagoras,约公元前500-前428)，但具体细节不详。

巧辩学派的代表人物安蒂丰，他首先提出用圆的内接正多边形逼近圆面积的方法来化圆为方。

关于倍立方问题，一个关键的进展是希波克拉底对这一问题的简化。

几何三大难题如果不知道远溯古希腊前辈所建立和发展的概念、方法和结果，我们就不可能理解近50年来数学的目标，也不可能理解它的成就.Herm a nn Weyl§ 1 问题的提出和解决1.1 数学的心脏数学是由什么组成的？公理吗？定义吗？定理吗？证明吗吗？公式吗？诚然，没有这些组成部分数学就不存在，它们都数数学的必要组成部分，但是，它们中间的任一个都不是数学的心脏.数学家存在的主要理由就是提出问题和解决问题.因此，数学的真正组成部分是问题和解.两千多年以来，数学就是在解决各种问题中进行的.那么，什么样的问题是好问题呢？对此希尔伯特有一段精彩的论述：“要想预先正确判断一个问题的价值是困难的，并且常常是不可能的；因为最终的判断取决于科学从该问题获得的收益，虽说如此，我们仍然要问：是否存在一个一般准则，可以借以鉴别好的数学问题，一个老的法国数学家曾经说过：一种数学理论应该这样清晰，使你能向大街上遇到的第一个人解释它.在此以前，这一理论不能认为是完善的.这里对数学理论所坚持的清晰性和易懂性，我想更应该把它作为一个数学问题堪称完善的要求.因为清楚地、易于理解的问题吸引着人们的兴趣，而复杂的问题却使我们望而却步.”“其次，为了具有吸引力，一个数学问题应该是困难的，但却不能是完全不可解决的，使我们白费力气.在通向哪隐藏的真理的曲折道路上，它应该是指引我们前进的一盏明灯，最终以成功的喜悦作为我们的报偿.”在数学史上这样的例子是不胜枚举的.本章介绍的几何作图三大问题就是最著名的问题之一.1.2 希腊古典时期数学发展的路线希腊前300年的数学沿着三条不同的路线发展着.第一条是总结在欧几里得得《几何原本》中的材料.第二条路线是有关无穷小、极限以及求和过程的各种概念的发展，这些概念一直到近代，微积分诞生后才得以澄清.第三条路线是高等几何的发展，即园和直线以外的曲线以及球和平面以外的曲面的发展.令人惊奇的是，这种高等几何的大部分起源于解几何作图三大问题.1.3 几何作图三大问题古希腊人在几何学上提出著名的三大作图问题，它们是：( 1) 三等分任意角.( 2) 化园为方：求作一正方形，使其面积等于一已知园的面积.( 3) 立方倍积：求作一立方体，使其体积是已知立方体体积的两倍.解决这三大问题的限制是，只许使用没有刻度的直尺和圆规，并在有限次内完成.1.4问题的来源这三个问题是如何提出来的呢？由于年代久远，已无文献可查.据说，立方倍积问题起源于两个神话.厄拉多赛（Eratoshenes of Cyrene，约公元前27―约前194）是古希腊著名的科学家、天文学家、数学家和诗人.他是测量过地球周长的第一人.在他的《柏拉图》一书里，记述了一个神话故事.说是鼠疫袭击了爱琴海南部的一个小岛，叫提洛岛.一个预言者说，他得到了神的谕示：须将立方形的阿波罗祭坛体积加倍，瘟疫方能停息.建筑是很为难，不知道怎样才能使体积加倍.于是去请教哲学家柏拉图.柏拉图说，神的真正意图不在于神坛的加倍，而是想使希腊人因忽视几何学而羞愧.另一个故事也是厄多拉塞记述的.说古代一位悲剧诗人描述克里特国王米诺斯为他的儿子克劳科斯修坟的事.他嫌坟修造得太小，命令有关人必须把坟的体积加倍，但要保持立方的形状.接着又说，“赶快将每边的长都加倍.”厄拉多塞指出，这是错误的，因为边长加倍，体积就变成原来的8倍.这两个传说都表明，立方倍积问题起源于建筑的需要.三等分任意角的问题来自正多边形作图.用直尺和圆规二等分一个角是轻而易举的.由此可以容易地作出正4边形、正8边形，以及正2n次方边形，其中n ≥2是自然数.很自然地，人们会提出三等分一个角的问题.但这却是一个不可能用尺规解决的问题.圆和正方形都是最基本的几何图形，怎样做一个正方形和一个已知圆有相同的面积呢？这就是化园为方的问题.历史上恐怕没有一个几何问题像这个问题那样强烈地吸引人们的兴趣.早在公元前5世纪，就有很多人研究这个问题了，都想在这个问题上大显身手.化园为方的问题相当于用直尺和圆规作出√π的值.这个问题的最早研究者是安那克萨哥拉，可惜他的关于化圆为方的问题的研究没有流传下来，以后的研究者有希波克拉茨（Hippocrates of Chios，公元前约460年）.他在化圆为方的研究中求出了某些月牙形的面积 .此外.还有安提丰，他提出了一种穷竭法，具有划时代的意义，是近代极限论的先声.1.5 “规”和“矩”的规矩在欧几里得几何学中，几何作图的特定工具是直尺和圆规，而且直尺上没有刻度.直尺、在欧几里得几何学中，几何作图的特定工具是直尺和圆规，而且直尺上没有刻度.直尺、圆规的用场是直尺：（1）已知两点作一直线；（2）无限延长一已知直线.圆规：已知点Ｏ，Ａ，以Ｏ为心，以ＯＡ为半径作圆.希腊人强调，几何作图只能用直尺和圆规，其理由是：（1）希腊几何的基本精神是，从极少数的基本假定——定义、公理、公设——出发，推导出尽可能多的命题.对作图工具也相应地限制到不能再少的程度.（2）受柏拉图哲学思想的深刻影响.柏拉图特别重视数学在智力训练方面的作用，他主张通过几何学习达到训练逻辑思维的目的，因此对工具必须进行限制，正像体育竞赛对运动器械有限制一样.（3）毕达哥拉斯学派认为圆是最完美的平面图形，圆和直线是几何学最基本的研究对象，因此规定只使用这两种工具.1.6问题的解决用直尺和圆规能不能解决三大问题呢？答案是否定的，三大问题都是几何作图不能解决的.证明三大问题不可解决的工具本质上不是几何的而是代数的，再带舒缓没有发展到一定水平时是不能解决这些问题的.1637年迪卡儿创立了解析几何，沟通了几何学和代数学这两大数学分支，从而为解决尺规作图问题奠定了基础.1837年法国数学家旺策尔（Pierre L.W Antzel ）证明了，三等分任意角和立方倍积问题都是几何作图不能解决的问题，化圆为方问题相当于用尺规作出的值.1882年法国数学家林得曼证明了∏是超越数，不是任何整系数代数方程的根，从而证明了化圆为方的不可能性.但是，正是在研究这些问题的过程中促进了数学的发展.两千多年来.三大几何难题起了许多数学家的兴趣，对它们的深入研究不但给予希腊几何学以巨大影响，而且引出了大量的新发现.例如，许多二次曲线、三次曲线以及几种超越曲线的发现，后来又有关于有理数域、代数数与超越数、群论等的发展在化圆为方的研究中几乎从一开始就促进了穷竭法的发展，二穷竭法正是微积分的先导.§2 放弃“规矩”之后问题的难处在于限制用直尺和圆规.两千多年来，数学家为解决三大问题投入了热大量精力.如果解除这一限制，问题很容易解决.2. 1 帕普斯的方法帕普斯（Pappus ，约300―350前后)是希腊亚历山大学派晚期的数学家.他把希腊自古以来各名家的著作编为《数学汇编》，共8卷.其中也包括了他自己的创作.在第4 卷中，他讨论了三等分任意角的问题.下面的方法就是帕普斯的.设ОА＝α,过点А做角α的另一边的垂线АВ.过点А作ОВ的平行线.考虑过点О的一条直线，它交АВ于点С，交平行线于Ｄ，并使СＤ＝2ａ.这时∠СОВ＝13α. 证 如图15-1所示，只要证明了∠ＡＯＧ＝2∠ＣＯＢ，那么∠ＣＯＢ就是13α. 设Ｇ是ＣＤ的中点，并作ＧＥ⊥ＡＤ，从而直线ＧＥ与ＡＢ并行.由ＣＧ＝ＧＤ＝ａ ＡＥ＝ＥＤ， 可知△ＡＧＥ≌△ＤＧＥ，从而∠ＧＤＡ＝∠ＧＡＤ，ＡＧ＝ＧＤ＝图 15-1DGE BC A Oａ.又∠ＧＤＡ与∠ＣＯＢ是内错角，所以∠ＧＤＡ＝∠ＣＯＢ.注意到，△ＡＯＧ是等腰三角形，于是，∠ＡＯＧ＝∠ＡＧＯ＝∠ＧＤＡ＋∠ＧＡＤ＝2∠ＣＯＢ.这就是说，ＯＤ三等分了角α.这种作法的关键一步是，使СＤ＝2ОА.这只能使用有刻度的直尺才能实现，它违反了欧几里得几何学作图的规则.具体做法是这样的：在直尺上标出一段线段ＰＱ,其长为2ОА，然后调整直尺的位置，使它过点Ｏ，并且Ｐ在АВ上，Ｑ在过А的平行线上.这种办法叫“插入原则”.2. 2 阿基米德的方法在图15-2上，是任意给定的一个角，其顶点在点.我们的目的是三等分这个角.在该角的一边上取一点，然后以点为心，以为半径做一圆，圆与的延长线交于点Ｃ，与角的另一边交于点Ｂ.作图的关键步骤是，使用“插入原则”.在直尺上标出两点Ｌ和Ｒ，并且使ＬＲ＝.现在上直尺过点Ｂ，且使直尺上的点Ｒ在圆弧ＣＢ上，然后移动直尺，使Ｒ沿圆周运动，直到点Ｌ落在ＯＣ的延长线上.直线ＥＤＢ表示这时直尺的位置，即直尺过点Ｂ，且ＤＥ＝.设.因为是等腰三角形，所以.同时，是的外角，从而这就证明了是的三分之一.2. 3 时钟也会三等分任意角大家知道，时钟面上有时针、分针和秒针，秒针用不到，只看时针和分针.分针走一圈，时针就走一个字.也就是，分针转过角，时针转过角的12分之1，即转过角.注意到12是3的倍数，我们就可以利用时钟三等分一个任意角了.具体作法如下.把要三等分的任意角画在一张透明纸上.开始时，把时针和分针并在一起，设它们正好图15-2BAOCED在12的位置上（图15-3）.把透明纸铺到钟面上，使角的顶点落在针的轴心上，角的一边通过12的位置.然后把分针拨到和角的另一边重合的位置.这时时针转动了一个角，在透明纸上把时针的现在位置记下来.我们知道，时针所走过的∠ＡＯＣ一定是∠ＡＯＢ的12分之1.把∠ＡＯＣ放大4倍就是∠ＡＯＢ的3分之1.这种解法出现在前苏联别莱利曼的著作《趣味几何学》中，这是一本很好的科普读物，它告诉我们如何把几何知识用到实际中去.2. 4 达芬奇的化圆为方如何化圆为方的问题曾被欧洲文艺复兴时期的大师达·芬奇用以种巧妙的方法给出解答：取一圆柱，使其底和已知圆相等，高时底面半径ｒ的一半.将圆柱滚动一周，产生一个矩形，其面积为2πｒ×ｒ／2＝π.这正好是圆的面积.再将矩形化为正方形，问题就解决了.§ 3从几何到代数3.1用直尺圆规可以作什么图用欧几里得的直尺圆规可以完成哪些作图呢？下面的5种基本作图是可以胜任的（图15-4）：（1） 用一条直线连接两点. （2） 求两条直线的交点.（3） 以一点为心，定长为半径作一圆（4） 求一个圆与一条直线的交点，或切点. （5） 求两个圆的交点，或切点.还有，用直尺圆规作图必须在有限次内完成，不允许无限次地作下去.换言之，不允许采取极限手段完成作图.O12 1 2 3456 7 89 10 11 A BC图 15-3图15-4根据直尺的基本功能，我们有下面的重要结论：一个作图题可否用直尺完成，决定于是否能反复使用上面5种基本作图经有限次而完成.这就是用直尺圆规可能与不可能的基本依据.具体说来，用尺规作什么图呢？（1）二等分已知线段.（2）二等分已知角.（3）已知直线Ｌ和Ｌ外一点Ｐ，过Ｐ作直线垂直Ｌ.（4）任意给定自然数ｎ，作已知线段的ｎ倍，ｎ等分已知线段.（5）已知线段，可做其做法如图15-5所示.接着r 也可做，这里r是正有理数.这样做：设都是自然数，因此.先做的p倍，再做p，这样就做出来了.上面各条告诉我们，已知线段的加、减、乘、除能用几何作图来实现.图15-5另一方面，代数学告诉我们，从0，1出发利用四则运算可以构造出全部有理数.事实上，1+1=2，1+2=3，.因此，我们通过加法可以得到全体自然数.0减去任何一+bb1bb1个自然数都得到负整数，因此，借助减法可以得到全体负整数.从整数出发，借助除法，我们可以得到全体有理数.现在我们知道了，只要给定单位1，我们可以用尺规作出数轴上的全部有理点.几何与代数在这里达到了完全的统一.（6） 已知线段可作.这一条超出了有理作图的范围.如图15-6，OA a =，以OB 为直径作圆.过 A 作OB 的垂直线交圆周于C .直角三角形OA C 与直角三角形OBC 有一个公共角∠COB ，由 此可得，∠OCA =∠ABC. 这样一来，我们有， ∆OCA ∽∆ABC. 设AC =我们有，3.2域的定义近代代数是研究运算性质的，它把普通实数满足的运算法则推广到更大的范围中去.本段给出域的定义，为后面研究可构造数域做些准备.设R 是一个集合，下面的公理对R 中的任何元素，b ，都成立. 公理1 （1）； （2）； （3）存在唯一得元素，使得； （4）对任意的，都存在惟一的，使得. 公理2 （1）； （2）（3）存在惟一的元素1，使得. （4）对任意的（除外），都存在惟一的，使得 公理3我们把满足这些公理的集合R 叫做一个域.全体有理数对加法和乘法构成一个域，叫做有理数域.全体实数对加法和乘法构成一个域，叫做实域，全体复数也是一个域，叫复数域.3.3可构造数域在下面的讨论中，我们假定最初只给了一个元素，即单位长1.由1出发，我们用直尺和圆规通过有理运算——加、减、乘、除——能做出所有的有理数，这里r 和s 是整数，即做出整个有理数域.进而我们能做出平面上的所有有理点，即两个坐标皆为有理数的点.我们还能做出新的无理数，如，它不属于有理数域.从出发，通过“有理”作图，可以做出所有形如（15-1） 的数，这里是有理数.同样地，我们可以做出所有形如CO A B 图 15-6的数，这里，b，是有理数.但这些数总可以写成（15-1）的形式.例如这里是有理数，且分母不可能是零（为什么？）.同样，这里是有理数.因此，由的作图，我们产生了全部形如（15-1）的数集，其中，b是任意有理数.由此得命题1形如（15-1）形成一个域.这个域比有理数域大.事实上在（15-1）中取就可得到有理数域.有理数域是它的一部分，称为它的子域.但是，它显然小于全体实数数域.将有理数域记为F，这个构造的数域记为，称它为F的扩域.中的数都可用直尺和圆规做出来.现在我们继续扩充可作数的范围.在中取一个数，如.求它的平方根而得到可作图的数用它可以得到由所有形如的数，它们也形成一个域.称为的扩域，记为，现在可以是中的任意数，即，q形如，，b 为有理数.从出发，我们还可以进一步扩充作图的范围.这种办法一直继续下去.用这种办法得到的数都是可用直尺圆规作出来的.3.4进一步的讨论代数研究的对象是数、数偶（即坐标）、一次方程式、二次方程式等.几何研究的对象是点、直线、圆、曲线、等.通过坐标法，几何的对象与代数的对象紧密的联系在一起了.现在面临一个这样的问题：用直尺圆规作出来的数是不是都在有理数域的诸扩域中呢？会不会超出这个范围呢？下面来回答这一问题.假定我们可用直尺圆规作出某个数域F 中的所有数.命题2 从数域F出发，只用直尺作不出数域F 以外的数.证设∈F.过点（），（）的直线方程是或它的系数是由F 中的数作成的有理式.今有两条以F 中的数为系数的直线：解此联立方程，可得交点坐标它们都是F中数.这样一来，只用直尺的作图不能使我们超出F的范围.易见，用圆规可作出F以外的数.只需在F中取一数k，使不在F中.我们能作出，因而可作出所有形如（15-2）的数，其中，b在F中.所有形如（15-1）的数形一个域，它是F的扩域.命题3给定数域F，用圆规和直尺只能作出F扩域中的数.证首先指出，圆规在作图中所起的作用只是确定一个圆与一条直线的交点或切点，或一个圆与另一个圆的交点或切点.通过解联立方程可以把交点或切点求出来.以（，）为中心，以r为半径的圆的方程是设，，r.将上式展开得其中，，在F内.求圆与直线的交点或切点就是解联立方程组其中，，cＦ内.从第二个方程解出代入第一个方程，得到一个二次方程其中，，.其解为它们可以化为形式，p，q，k F.易见，是F的扩域.交点的y坐标由（15-3）给出，明显地，也在扩域中.这就是说，圆和直线的交点的坐标都在扩域中.接着我们研究两个圆的交点或切点.再带书上就是接二元一次联立方程：从第一个方程减去第二方程，得和前面一样，把它与第一个圆的方程联立起来求出，y.它们都不超出F的扩域.无论是哪一种情形，作图所产生的一个或两个新点的x坐标和y坐标，其量的形式都是.在特殊情况下，本身也可以属于F（例如，在有理数域中取k=4,那么仍在有理数域中）图 15-7这样，我们证明了；（1）如果开始给定域中的F一些量，那么从这些量出发，只用直尺经有限次有理运算可生成域F的任何量，但不能超出域F.（2）用圆规和直尺能把可作图的量扩充到F的扩域上.这种构造扩域的过程可以不断进行，而得出扩域最后，我们得到结论：可作图的量是而且仅仅是这一系列扩域中的数.例 1 说明数的构造过程.解设F表示有理数域.取得到域，取，得到，又知，取，得到 .因为，自然也有取，得到（）取，得到，进而这样，域包含我们所要求的数.3.5 可作图的书都是代数数如果起始数域是有理数域F，那么所有可作图的数就都代数数（图15-7）.扩域，中的数是以有理数位系数的2次方程的根，扩域中的数是以有理数位系数的4次方程的根，,一般地，扩域中的数是以有理数位系数的次方程的根.例2 证明是4次方程的根.证我们有展开，得到图 15-7或最后，我们有这是一个整系数的4次方程§4几个代数定理代数数超越数可代数数有理数作图数4.1根和系数的关系只要知道了二次方程的两个根就可将它分解因式：由此不难得出著名的伟达公式：利用代数基本定理我们可以得到更一般的公式.代数基本定理设是一个元n次多项式，它的系数是实数和复数，那么方程至少有一实数和复数根有了代数基本定理，我们就可以断言，一元n次多项式在复数域中有n个根，从而它可分解成一次因式的连成积，即这里为实数或复数，它们都是多项式（15-4）的根.事实上，设式方程的一个根，用（）去除，由于除式是一次的，所以余数就是一个常数R，我们有恒等式式中是一个次多项式.因为是的一个根，所以把代入上式，就得到于是这就是说，（）能整除此多项式.同样的道理，我们有n次分解之后，我们得到（15-5）式.把（15-5）式乘开，并比较系数就得到伟达公式：当代数方程的次数时，就是我们熟知的二次方程的根与系数的关系，当时，对三次方程我们有这就是三次方程的韦达公式，下面要用到此结果.定理 1 若整系数的一元n次方程有有理根（既约分数），则a是的因数，是的因数.证将有理根代入方程（15-9），得两边乘以，得移项，并提出公因数：记着a与b是互素的，所以a是的因数.同样，用提出公因数b的方法可证明，b是的因数.同样，用提出公因数b的方法可证明，b是的因数.系设整系数的一元n次方程的首项系数为1，即若它有理根，则此根一定是整数，且为常数项的因数.4.2 3次方程的根考虑有理系数的一元3次方程只需作变换，就可以把上面的方程化为缺项的3次方程（参考第九章4）：（15-10）这个方程的系数还是有理数.为简单计，我们考虑缺项的方程（15-10）.设方程（15-10）没有有理数，但有一个可作的数为根，那么将属于某一串扩域中最后的一个域.因为（15-10）没有有理根，所以k＞0.于是可以写成下面的形式：其中.今指出，也是方程（15-10）的根.为了证明这一点，只需做些计算.事实上把代入方程（15-10）得展开、合并同类项，得到其中，且.这时，若，必有与假设矛盾.所以一定有，从而也有.另一方面，把代入（15-10），并做同样的计算.在计算中，只需把换成，从而得到由此我们知道，是方程（15-10）.这个结论对方程（15-7）也是成立的.总之，我们证明了以下命题.命题4 若是（15-7）的根，则也是（15-7）的根.将上面结果应用到两个特殊方程上面去.例1证明方程（15-11）没有有理根.证有定理1的系知，如果（15-11）有有理根，则此根必是整数，而且是2的因数.直接验证就知道1，2不是方程（15-11）的根.这样一来，方程（15-11）没有有理根.例2 证明方程（15-12）没有有理根证如果方程（15-12）有有理根，则a是1的因子，b是8的因子.这样一来，方程（15-12）的有理根不外是直接验证知道它们都不是.因此，方程（15-12）,没有有理根.定理2 如果一个有理系数的3次方程没有有理根，则它没有一个根是由有理数域F出发的可作图的数.证我们用反证法来证明这个定理.假设是方程（15-7）的一个可作图的根，则将属于某一串扩域中的最后一个域，我们可以假定，k是使得扩域包含3次方程（15-7）的根的最小正整易次方程（15-7）的根的最小正整数.易见，k＞0.因此，可以写成下面的形式：其中.前面已指出，也是方程（15-7）的根.有韦达定理，方程的第3个根是：但，这指出，这里消失了，所以是中的数，这和k是使得扩域包含3次方程（15-9）的根的最小正整数的假设相矛盾.因此假设是错误的，在这种域中不可能有3次方程（15-7）的根.推论方程（15-11），（15-12）都没有可作图的数作为它们的根.§ 5 几何作图三大问题的解有了上面的准备，我们来解三大几何难题.5.1 倍积问题设给定立方体的边长是a.若体积为这立方体的两倍的立方体的边长是x（图15-8），则所以本题就是求满足下面方程的：取，则此方程化为更简单的形式：如果立方倍积问题可解，则我们一定能用直尺和圆规构造出长度为的线段.但是前面已证这是不可能的.这样一来，立方倍积问题是不可解的.5.2三等分任意角我们现在要证明只用直尺和圆规三等分任意一般说来是不可能的.当然，像和那样的角是可以三等分的.我们要说明的是，对每一个角的三等分都有效的办法是不存在的.为了证明这一点，只要证明有一个角不能三等分就足够了，因为一个合理的一般方法必须适用于每一种情况.因此如果我们能够证明角只用直尺和圆规不能三等分，那就证明了一般方法是不存的.如果15-9所示，我们从角着手.设，并设线段的长度为1.假定三等分任意角是可能的.如图设∠ＲＯＰ＝θ＝，那么，点Ｒ的纵坐标一定是有理数或可作图的数.这相当于说是有理数或可作图的数.我们需要公式现在，所以令并代人上式，得到这正是前面讨论过的方程（15-12）.这个方程没有有理根，也没有可作图的根.这说明我们的假定是不对的.这就证明了三等分任意角是不可能的.我们知道，角可作，因而正六边形可作，若角可三等分，则正18边形可作，从而正9边形也可作.刚才已经证明，角不可三等分，因而正9边形不能只用直尺和圆规作出来.当然，这个结论是指一般情形而言.若等于某些特殊的值，则作图还是可能的，例如，当时，而，我们得到方程yaQRO P图15-8 图15-9。

数学最有名的三大几何问题1637年笛卡儿创建解析几何以後，许多几何问题都能够转化为代数问题来研究。

1837年旺策尔(Wantzel)给出三等分任一角及倍立方不可能用尺规作图的证明。

1882年林得曼(Linderman)也证明了π的超越性(即&p i;不为任何整数系数多次式的根)，化圆为方的不可能性也得以确立。

平面几何作图限制只能用直尺、圆规，而那个地点所谓的直尺是指没有刻度只能画直线的尺。

用直尺与圆规因此能够做出许多种之图形，但有些图形如正七边形、正九边形就做不出来。

有些问题看起来看起来专门简单，但真正做出来却专门困难，这些问题之中最有名的确实是所谓的三大问题。

几何三大问题是:1.化圆为方-求作一正方形使其面积等於一已知圆;圆与正方形差不多上常见的几何图形，但如何作一个正方形和已知圆等面积呢?若已知圆的半径为1则其面积为π(1)2=π，因此化圆为方的问题等於去求一正方形其面积为π，也确实是用尺规做出长度为π1/ 2的线段(或者是π的线段)。

2.三等分任意角;三等分一个角的问题，对於某些角如90。

、180。

三等分并不难，然而否所有角都能够三等分呢?例如60。

，若能三等分则能够做出20。

的角，那麽正18边形及正九边形也都能够做出来了(注：圆内接一正十八边形每一边所对的圆周角为360。

/18=20。

)。

事实上三等分角的问题是由求作正多边形这一类问题所引起来的。

3.倍立方-求作一立方体使其体积是一已知立方体的二倍。

家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作，小孩一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。

我把幼儿在园里的阅读活动及阅读情形及时传递给家长，要求小孩回家向家长朗诵儿歌，表演故事。

我和家长共同配合，一道训练，幼儿的阅读能力提高专门快。

观看内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有打算的先安排与幼儿生活接近的，能明白得的观看内容。

立方倍积问题倍立方问题和三等分角问题、化圆为方问题共称为尺规作图不能问题，也叫做古希腊三大几何问题。

它指的是：作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的两倍。

相关传说传说中，这问题的来源，可追溯到公元前429年。

一场瘟疫袭击了希腊提洛岛（Delos），造成四分之一的人口死亡。

岛民们去神庙请示阿波罗的旨意，神谕说：要想遏止瘟疫，得将阿波罗神殿中那正立方的祭坛加大一倍。

人们便把每边增长一倍，结果体积当然就变成了8倍，瘟疫依旧蔓延；接着人们又试著把体积改成原来的2倍，但形状却变为一个长方体……第罗斯岛人在万般无奈的情况下，只好鼓足勇气到雅典去求救于当时著名的学者柏拉图。

开始，柏拉图和他的学生认为这个问题很容易。

他们根据平时的经验，觉得利用尺规作图可以轻而易举地作一个正方形，使它的面积等于已知正方形的2倍，那么作一个正方体，使它的体积等于已知正方体体积的2倍，还会难吗?在叙述倍立方问题前，首先需要介绍尺规作图的意思。

尺规作图问题是从现实中具体的“直尺和圆规画图可能性”问题抽象出来的数学问题，将现实中的直尺和圆规抽象为数学上的设定，研究的是能不能在若干个具体限制之下，在有限的步骤内作出给定的图形、结构或其他目标的问题。

在尺规作图中，直尺和圆规的定义是：直尺：一侧为无穷长的直线，没有刻度也无法标识刻度的工具。

只可以让笔摹下这个直线的全部或一部分。

圆规：由两端点构成的工具。

可以在保持两个端点之间的距离不变的情况下，将两个端点同时移动，或者只固定其中一个端点，让另一个端点移动，作出圆弧或圆。

两个端点之间的距离只能取已经作出的两点之间的距离，或者任意一个未知的距离。

定义了直尺和圆规的特性后，所有的作图步骤都可以归化为五种基本的步骤，称为作图公法：1) 通过两个已知点，作一直线；2) 已知圆心和半径，作一个圆；3) 若两已知直线相交，确定其交点；4) 若已知直线和一已知圆相交，确定其交点；5) 若两已知圆相交，确定其交点。

限定选修课《数学史选讲》课程研修成果有缘千里一线牵——三大几何作图与高次方程公式可解性的渊源有些问题明明看起来很简单，却让人费尽心思也琢磨不透，有些事情明明觉得天南地北没有丝毫的联系，却冥冥之中有着道不尽的渊源.三大几何作图咋看好像很简单，但真正做出来却很困难，研究了近两千年，虽然数学家在十九世纪就证明了三大难题是无解的，但许多外行人，或许不知道无解的意义，或许没听过已经被证明为无解这件事，还是锲而不舍地钻研这些题目.三大几何作图与高次方程公式可解性似乎扯不上边，可是在本质上却殊途同归，异曲同工！平面几何作图限制只能用直尺、圆规，而这里所谓的直尺是指没有刻度只能画直线的尺。

有些问题看起来好像很简单，但真正做出来却很困难，这些问题之中最有名的就是所谓的三大问题.几何作图的三大问题是 :问题一：三等分任意角；问题二：化圆为方即求作一正方形使其面积等于一已知圆；问题三：倍立方即给定一立方体（即其一边已知），用直尺及圆规做另一立方体使其体积为原立方体的两倍.关于三大问题的由来有着道不尽的美丽传说，给三大几何作图问题披了件神秘的面纱。

但实际上,这三个作图题更有可能是来自于已被希腊人解决了的问题扩张.对于问题一一个角既然可被平分,自然地可以考虑它的三等分问题, 对于某些角如90 、180 三等分并不难，但是否所有角都可以三等分呢？例如60 ，若能三等分则可以做出20 的角，那麽正18边形及正九边形也都可以做出来了（注：圆内接一正十八边形每一边所对的圆周角为20 ).其实三等分角的问题也有可能是由求作正多边形这一类问题所引起来的.针对问题二讨论了图形等面积的变换问题,考虑作一个正方形,使它的面积等于一个圆的面积亦是极自然的事；对于问题三人们往往喜欢类比，以正方形对角线为边作出的正方形是原来正方形的二倍,就容易想到作一个立方体,使它的体积等于已知立方体体积的二倍.这些问题困扰数学家一千多年都不得其解，而实际上这三大问题都不可能用直尺圆规经有限步骤可解决的.即：只用直尺及圆规，这三个做图题都是无解的. 许多人对“无解”的反应会是这样的：只是一时找不到适当的做图法吧！又没有把“所有”的方法一一试过，怎么就下结论说任何一种方法都不行？所以虽然数学家在十九世纪就证明了三大难题是无解的，但许多外行人，或许不知道无解的意义，或许没听过已经被证明为无解这件事，还是锲而不舍地钻研这些题目。