“三法”解决平面向量数量积问题

平面向量的数量积问题侧重于考查平面向量的加法、减法、数乘运算法则，数量积公式和向量的模的公式.平面向量的数量积问题的常见命题形式是：根据已知图形、向量及其关系，求两个向量的数量积或其范围.本文主要谈一谈解答平面向量的数量积问题的三种方法.一、公式法已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量||||||a →||||||b →cos θ称为a 和b 的数量积，即a ⋅b =||||||a →||||||b →cos θ.运用公式法解答平面向量的数量积问题主要就是利用平面向量的数量积公式，求出||||||a →、||||||b →及两个向量a →和b →的夹角的余弦值，即可求得两个平面向量a 和b 的数量积.特别要注意的是，在求两个向量的夹角θ时，需要使a 和b共起点.例1.在边长为1的正三角形ABC 中，D ,E 是边BC 的两个三等分点（D 靠近点B ），求 AD ⋅AE .解：因为D ,E 是边BC 的两个三等分点，所以BD =DE =CE =13，在△ABD 中，AD 2= BD 2+ AB 2-2 BD ∙ AB ∙cos 60°=æèöø132+12-2×13×1×12=79，即AD .同理可得AE ，在△ADE 中，由余弦定理可得cos ∠DAE = AD 2+ AE 2- DE 22 AD ⋅ AE 7979æö132=1314，所以 AD ⋅ AE =|| AD |AE cos ∠DAE =×1314=1318.对于本题，需要先用余弦定理求出两个向量的夹角的余弦值，再利用向量数量积的公式求解.当题目中两个向量的夹角或向量的模未知时，可以先利用解三角形知识求出它们的夹角或者向量的模，再将其代入数量积公式，运用公式法求解.二、基底法运用基底法求解平面向量的数量积问题，首先要确定一组基底，将题目中涉及的向量分别用这组基底表示出来，将问题转化为基底间的运算问题，通过向量运算求得问题的答案.此方法通常适用于向量的模或夹角不明确，无法用公式直接求出的题目.例2.如图1所示，已知正方形ABCD 的边长为1，E 是AB 边上的动点，则 DE ⋅ CB 的值为_____； DE ⋅ DC的最大值为_______.解：因为 DE = AE -AD ，所以 DE ⋅ CB =( AE - AD )⋅ CB = AE ⋅ CB - AD ⋅CB =1；DE ⋅ DC =( AE - AD )⋅ DC = AE ⋅ DC - AD ⋅ DC =|| AE ⋅|| DC ≤|| DC 2，所以() DE ⋅ DC max =|| DC max=1.解答本题，需以 AD 、AE 为基底，运用基底法求解.运用基底法求解向量的数量积问题，关键是根据已知条件选取恰当的基底，将所求向量用基底来表示，从而将问题简化.三、坐标法坐标法是指通过建立平面直角坐标系，用坐标的形式来表示各个向量，通过坐标运算求得问题的答案.运用坐标法解答平面向量的数量积问题，关键是根据题意或已知图形建立合适的平面直角坐标系.通常可以矩形的两条相邻的边为坐标轴；以直角三角形的两条直角边为坐标轴；正三角形的中线和底边为坐标轴来建立平面直角坐标系.例3.如图2，在直角△ABC 中，∠A =90°，D 为斜边BC 的中点，AB =2，AC =4，求 AD ⋅AB .解：建立如图2所示的平面直角坐标系，由题意可得 AD =(2,1)， AB =(0,2)，所以 AD ⋅AB =(2,1)⋅(0,2)=2.该三角形为直角三角形，于是以该直角三角形的两条直角边为坐标轴建立平面直角坐标系，便可通过向量坐标运算求解.总之，在求解平面向量的数量积问题时，同学们要根据题意和图形，灵活选用合适的方法进行求解，这样才能简化运算过程，达到快速解题的目的.（作者单位：江苏省如东县马塘中学）图1图2考点透视36。

“三法”解决平面向量数量积问题知识考点：1.平面向量的实际背景及基本概念2.向量的线性运算3.平面向量的基本定理及坐标表示4.平面向量的数量积5.向量的应用——坐标表示（法向量）、模、夹角已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，①a 与b 共线x 1y 2－x 2y 1＝0．②a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0； 平面向量的数量积是高考考查的重点、热点，往往以选择题或填空题的形式出现.常常以平面图形为载体，借助于向量的坐标形式等考查数量积、夹角、垂直的条件等问题；也易同三角函数、解析几何等知识相结合，以工具的形式出现．由于命题方式灵活多样，试题内容活泼、新颖，因此，在高考试卷中备受青睐，是一个稳定的高频考点．解决这类问题有三种基本方法：投影法、基底法和坐标法．类型一 投影定义法1.已知P 是边长为2的正△ABC 边BC 上的动点，则·（＋）＝_____________．【解析】设BC 的中点为D ，则AD ⊥BC ，类型二 基底法2.（2018年全国卷Ⅰ）如上图，在 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则 ( )A.B.C.D.【解析】 =3.如上图，中，是边上一点，，则________.⇔ABC 120,2,1,BAC AB AC D ∠===BC 2DC BD =AD BC ⋅=4.在平行四边形中， ， ， ， 为的中点，若是线段上一动点，则的取值范围是________【解析】根据题意，设，则，结合二次函数的性质，可知当时取得最小值，当时取得最大值，故答案是. 类型三 坐标法5.（2017年北京卷）已知点P 在圆x 2+y 2=1上，点A （﹣2，0），O 为原点，则• 的最大值为________．【解析】设P （cosα，sinα）.=（2，0）， =（cosα+2，sinα）．则•=2（cosα+2）≤6，当且仅当cosα=1时取等号．故答案为：6．6.如图，平行四边形的两条对角线相交于，点是的中点，若，，且，则_________【解析思路】本题抓住这个特殊角，可以考虑建立坐标系，同时由，可以写出各点坐标，从而将所求向量坐标化后即可求解.【解析】以为轴，过的垂线作为轴7.（2017年全国卷Ⅱ）已知边长为2的等边△ABC ，P 为平面ABC 内一点，则 •（+）的最小值是（ ）A. ﹣2B. ﹣C. ﹣D. ﹣1【解析】建立直角坐标系，以BC 中点为坐标原点，则A （0， ），B （﹣1，0），C （1，0），设P （x ，y ），则 =（﹣x ， ﹣y ）， =（﹣1﹣x ，﹣y ），=（1﹣x ，﹣y ），则•（+）=2x 2﹣2y+2y 2=2[x 2+（y ﹣）2﹣ ]∴当x=0，y= 时，取得最小值2×（﹣）=﹣，ABCD 2AB =1AD =60BAD ∠=︒E CD F BC AF FE ⋅()01BF BC λλ=≤≤()()AF FE AB BF FC CE ⋅=+⋅+()()112AB AD AD AB λλ⎡⎤=+⋅--⎢⎥⎣⎦()()22111122AB AD AD AB AB AD λλλλ=-⋅+---⋅2212122λλλλλλ=-+---=---21324λ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭1λ=52-0λ=1-5,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ABCD M P MD 2AB =1AD =60BAD ∠=AP CP ⋅=60BAD ∠=2AB =1AD =AB x A y。

龙源期刊网 求解平面向量数量积的三种方法作者：谢伟杰来源：《读写算》2018年第34期摘要梅州市高一数学质量抽测题第11题是一道关于平面向量数量积的考题，这道考题引起了笔者的注意。

此题很好地考察了学生对数量积概念的理解，也能很好地考察学生对求解平面向量数量积的方法是否掌握到位。

关键词平面向量数量积；解法中图分类号：O241.7 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2018） 34-0211-01做题中的“少运算”是建立在对基本概念理解的基础之上的，学生只有对相关的概念、性质有深刻的理解，而不是纯粹的记公式或套方法，才能在做题中真正实现“多思考，少运算”。

教师在教学中，要帮助学生去认识相关知识点的核心及实质，而不是认为学生只要能记住相关的公式或会套用某类方法解题就行，否则，在具体的问题情境中，学生极容易在公式与计算中迷失，从而找不到解决问题的有效途径。

一、原题呈现已知是边长为的等边三角形，点，分别是边，的中点，连接并延长到点，使得，则的值为（）二、解法展示与对比解法一：如图1，解法二：如图2，以点为坐标原点，为轴正方向，建立如图所示的直角坐标系。

则，，解法三：如图3，点在上的投影为点，作點在上的投影，则在是的投影为，由向量数量积的含义可知，易得与相似，所以，又，所以，即 . 故作为选择题，解法三有明显的优点，即我们只需将在上的投影作出，对图中线段的长度作大致估计，就可迅速判断只有选项才是合理的。

笔者认为这样并不是投机取巧，恰恰相反，在考场上会做这样的思考，并采取此策略的学生，说明该生对数量积的概念有更深刻的理解，并有更好的思维能力。

这与高考命题中所提倡的“多思考，少运算”的理念也是一致的。

思路探寻2考点透视= OA ∙ AB + CA2= OA ∙()AO + OB + CA 2= CA 2- OA 2+ OA ∙ OB = CA 2- OA 2= CA 2-1,当CA =2时， OC ∙ AB + CA ∙CB 取得最大值为3.首先根据三角形和外接圆的特点选择 OA 、OB 作为基底，并结合已知条件求出基底 OA 、OB 的数量积；然后用基底 OA 、 OB 表示出 OC 、 AB 、 CA 、CB，并根据向量的数量积公式求解.图3图4例3.如图4，在等腰直角△ABC 中，AC =2,点M 为线段AB 上的动点(包含端点)，点D 为AC 的中点，将AC 绕点D 旋转到EF ，则 ME ∙MF 的最小值为_____.解：连接MD ，则 ME ∙ MF =() MD + DE ∙()MD + ED =||MD 2-|| DE 2,当MD ⊥AB 时，MD 最小，即||MDmin=，由|| DE 2=1，可得 ME ∙ MF 最小值为-12.解答本题，需以 MD 、DE 为基底，并用基底表示出平面向量 ME 、MF ，将问题转化为求|| MD min.再结合图形的特点，确定|| MD 取最小值时的情形，即可解题.三、利用投影法运用投影法求解平面向量数量积问题，需根据平面向量数量积的几何意义，构造出相应的几何图形，通过研究几何图形中的垂直、平行等关系，确定向量投影之间的关系，从而求得平面向量的数量积.运用投影法解题，需熟练掌握并运用向量数量积的几何意义、模长公式、余弦函数的性质.例4.若在菱形ABCD 中，AC =4,则 CA ∙AB =______.解：如图5所示，连接BD 交AC 于点O ，∵四边形ABCD 是菱形，∴2AO =AC =4，且AC ⊥BO ，∴||AB cos ∠CAB =AO =2，∴CA ∙ AB =-|| AC ∙|| AB cos ∠CAB =-8.根据题意画出图形，通过观察图形，可以确定AB在CA 方向上的投影即为|| A O ，于是连接BD ，根据菱形的性质：对角线互相垂直，构造出直角三角形，即可通过解直角三角形求出投影||A O 的长度，从而利用射影法求得 CA ∙AB 数量积的大小.图5图6例5.在△ABC 中，∠ABC =π3,点O 是△ABC 的外心， BA ∙ BO =2, BC ∙ BO =4,则 BA ∙ BC =______.解：如图6所示，设AB ，BC 中点分别为D ，E ，连接OD ，OE ，则OD ⊥AB ，OE ⊥BC ,由 BA ∙BO =2，可得|| BA ∙|| BO cos ∠OBD =12||BA ∙|| BA =2，故||BA =2，由 BC ∙BO =4，可得|| BC ∙|| BO cos ∠OBE =12|| BC ∙|| BC =4,故||BC =22,所以 BA ∙ BC =|| BA ∙||BC cos ∠ABC =22.要求 BA 、 BC 的数量积，需求出向量 BA 、BC 的模长，于是根据 BO 及其在 BA 、BC 上的投影关系，分别求得|| BA 、||BC 的大小，就能根据射影法顺利求出目标向量数量积的大小.相比较而言，坐标法比较常用，且解题过程较为简单；射影法比较灵活，但通常很难想到.无论运用哪种方法，都需熟练掌握并运用平面向量的数量积公式及其几何意义、向量运算法则及其几何意义，根据已知条件和解题需求，选用合适的方法进行求解.（作者单位：江苏省泗洪姜堰高级中学）50。

注意平面向量数量积计算的三种方法向量的数量积计算的三种常用方法： （1）利用公式θcos b a b a ⋅=⋅（2）利用坐标公式2121y y x x b a +=⋅（3）利用几何意义。

说明：（A ）在向量的数量积计算时：若两向量的模和夹角都知道时用方法（1）； 若点（或向量）的坐标都知道时用方法（2）；若其中一个向量在另一个向量上的射影知道（或可求）时用方法（3）。

（B ）平面向量的计算中： 见模注意用22a a =，并注意与复数的模的区别：向量中有22aa =，而复数中没有；复数中有2121z z z z =，而向量中没有。

（C ）注意几何图形性质的作用（D ）向量ABAB 的意义——表示与向量AB 方向一致的单位向量。

例1、①设21e 、e 是两个单位向量，其夹角为600，求向量212e e a +=与 2123e e b +-=的夹角θ。

注：这里有12121==e e ，同理122=e，2160cos 2121=︒⋅=⋅e e e e ，∴2726222121-=+⋅+-=⋅e e e e b a ，()7222122=+===e ea a a ，同理7=b ，∴21cos -=⋅⋅=ba b a θ，∴θ=120°。

② （理）已知在平行六面体ABCD-中，AB=4，AD=3，A =5，∠BAD=90°，∠（1）求的长。

（2）求AC ＇与BC 所成角的余弦值。

说明：因为向量可以平移，虽然这里是立体 几何问题，但通过平移，任何两个向量都是共面的，即可看作是平面向量问题，也就是与平面向量的运算是一样的。

DABC高中数学总复习这个问题当然可用几何方法解，这里介绍用向量的方法解。

解：（1）由平行六面体知AD AB AC +=，又CC ＇AC AC ＇+=，AA ＇CC ＇=，∴AA ＇AD AB AC ＇++=，又由已知有0=⋅AD AB ，1060cos 45=︒⨯=⋅AB AA ＇21560cos 35=︒⨯=⋅AD AA ＇，162=AB ，92=AD ，252=AA ＇，∴()22AA ＇AD AB AC ＇++=AD AA ＇AB AA ＇AD AB AA ＇ADAB ⋅+⋅+⋅+++=22222285=，∴85=AC ＇即AC ＇=85（2）∵AD BC =，设所求的角为α，则cos α=AD AC ＇ADAC ＇⋅⋅， 又()AA ＇AD AB AD AD AC ＇++=⋅=9+215233=，∴cos α=1708511。

三法“完胜”平面向量数量积作者：侯仰古来源：《中学课程辅导·高考版》2017年第11期平面向量的数量积是向量知识中的重要内容，也是高考平面向量的主要考点，考题中往往会涉及到求值或者取值范围的小题或大题.那么面对平面向量的数量积问题，同学们一般可采用哪些方法呢？本文教你三法，助你“完胜”平面向量数量积！一、定义法直接利用平面向量的数量积运算的定义：a·b=|a|·|b|·cosθ.此法必须先根据几何或代数关系求非零向量的模和夹角.例1（1）如图，正六边形ABCDEF的边长为1，则AD·DB=.（2）已知向量a与b的夹角为60°，且a=（-2，-6），b=10，则a·b=.分析：（1）根据正六边形的几何特征易求|AD|，|DB|，以及两向量夹角，但是要注意起点一致，代入数量积定义可求.（2）先求|a|，再代入数量积定义即可求得.解：（1）根据正六边形性质，有∠ADB=30°，于是向量AD与DB的夹角为150°，且|AD|=2，|DB|=3，所以，AD·DB=|AD|·|DB|·cos150°=2×3×（-32）=-3.（2）因为a=（-2，-6），所以|a|=（-2）2+（-6）2=210，又|b|=10，向量a与b的夹角为60°，所以a·b=|a|·|b|·cos60°=210×10×12=10.点评：利用定义求两个非零向量数量积，关键要先搞清向量的夹角和模，尤其在图形中找向量夹角时，必须要注意两个向量的方向.否则极易把它们的夹角的补角当作它们的夹角.二、坐标法设a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a·b=x1x2+y1y2，用此法求平面向量数量积时，必须先建立恰当的平面直角坐标系，把向量坐标化，特别注意，当遇到特殊三角形或四边形时可以多考虑建系，以达到事半功倍的效果.例2（1）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sinC2=63，a=b=3，点P是边AB上的一个三等分点，则CP·CB+CP·CA=.（2）已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的动点，则|PA+3PB|的最小值为.分析：（1）由已知条件可求△ABC的高，和底边AB的长，根据对称关系，以AB所在的直线为x轴，高所在直线为y轴建立坐标系，用坐标表示相关点，用坐标求数量积.（2）建立平面直角坐标系，利用点坐标表示出各向量，或用向量的关系一一代换得出最简式，从而求出最小值.解：（1）过点C作CO⊥AB，垂足为O.如图所示，∵sinC2=63，∴cosC2=1-sin2C2=33.∴CO=AC·cosC2=3·33=3.∴AO=OB=32-（3）2=6.∴C（0，3），A（-6，0），B（6，0），取點P靠近点B的三等分点.则P（63，0）.∴CP·CB+CP·CA=CP·2CO=2（63，-3）·（0，-3）=6.同理取点P靠近点A的三等分点答案也是6.∴CP·CB+CP·CA=6.（2）以D为原点，分别以DA、DC所在直线为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC=a，DP=x.∴D（0，0），A（2，0），C（0，a），B（1，a），P（0，x），∴PA=（2，-x），PB=（1，a-x），∴PA+3PB=（5，3a-4x），∴|PA+3PB|2=25+（3a-4x）2≥25，∴|PA+3PB|的最小值为5.点评：用坐标法求平面向量数量积可以简化解题过程，坐标法思想能否灵活使用以及坐标系建立的恰当与否是解题关键.三、分解转化法分解转化法，也叫基底法，就是利用平面向量基本定理将所求向量用基底表示，在不含坐标系或者不宜建系的情况下，通过向量运算得到解题结果.这种方法也比较常见，应予以重视.例3（1）在△ABC中，已知∠BAC=90°，AB=6，若D点在斜边BC上，CD=2DB，则AB·AD的值为.（2）已知向量AB与AC的夹角为120°，且|AB|=3，|AC|=2.若AP=λAB+AC，且AP⊥BC，则实数λ的值为.分析：（1）由向量加法三角形法则和向量共线定理将AD用基底AB，AC表示，代入AB·AD中求解.（2）以向量AB与AC为基底，把BC写成AC-AB，再由AP⊥BC得AP·BC=0，将AP与BC代入，可转化为关于λ得方程.解：（1）AD=AC+23CB=AC+23（AB-AC）=23AB+13AC，∴AB·AD=AB·（23AB+13AC），由于∠BAC=90°，∴AB·AC=0，因此AB·AD=23AB2=23×36=24.（2）因为BC=AC-AB，AP=λAB+AC，由于AP⊥BC，所以AP·BC=0，即（λAB+AC）·（AC-AB）=-λAB2+AC2+（λ-1）AB·AC=0，即-9λ+4+（λ-1）×3×2×（-12）=0，解得λ=712.点评：利用分解转化法求平面向量数量积，关键是选基底，基底的选择决定解题成功与否.一般的，当已知条件中不共线的两个向量的模和夹角确定时，它们往往可以构成一组基底.（作者：侯仰古，太仓市明德高级中学）。

专题 破解平面向量数量积问题的三种途径1、对平面向量数量积的理解（1）cos ,a b a b a b =<>，即a b 等于a 的模长乘以b 在a 方向上的投影．（2）设1e ，2e 是同一个平面内的两个不共线的向量，由平面向量基本定理知，对于这一平面内的任一向量a ，存在唯一的一对实数1λ，2λ满足1122a e e λλ=+．由于a 与数对12(,)λλ是一一对应的，称有序数对12(,)λλ为a 在基底1e ，2e 下的坐标，记作(,)a x y =．这样，一个向量就和一个有序数对对应，实现了向量的代数化．设a 、b 在基底1e ，2e 下的坐标分别是11(,)x y ，22(,)x y ，即11(,)a x y =，22(,)b x y =，则a b =11122122()()x e y e x e y e ++2121x x e =+2122112122()x y x y e e y y e ++．从上面可以发现数量积的坐标形式较复杂，主要是受到基底的选择，那么基底怎么选择会使得上面式子会比较简单．不难发现当121e e ==，12e e ⊥时，则1212a b x x y y =+，22211a x y =+．以后没有特别说明，讲向量坐标时，都是默认取得是标准正交基底． （3）向量的坐标与直角中点的坐标的联系在直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，O 是坐标原点，则（1）(,)A x y (,)OA x y ⇔=；（2）设11(,)A x y 、22(,)B x y ，则2121(,)A B x x y y =--．可以通过建立直角坐标系，写出点的坐标，进而得到相应向量的坐标，通过向量的坐标运算，得到我们问题的解． 有上面的讨论可知，解决向量运算的途径通常有以下三种：定义法，分解转化法，坐标法． 2 、典型例题例1（2010年天津理科，15）如图，在ABC ∆中，AD AB ⊥，3BC BD =，1AD =，则A C A D ∙= ．例2（2013年厦门质检）ABC ∆中，2,45BC A ==，B 为锐角，点O 是ABC ∆外接圆的圆心，则OA BC ⋅的取值范围是 ．例3（2013年重庆，10）在平面上，12AB AB ⊥，121OB OB ==,12AP AB AB =+.若12OP <，则OA 的取值范围是A 、⎛ ⎝⎦B 、 ⎝⎦C 、 ⎝D 、⎝ 恒有00PB PC P B PC ≥，则A ．90ABC ∠=B ．90BAC ∠= C ． AB AC =D ．AC BC =例5（2013年安徽，理9）在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A ，B 满足2OA OB OA OB ===，则点集{|P OP OA OB λμ=+，1λμ+≤，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是A ．B ．C ．D ．。