《等式性质与不等式性质》一元二次函数、方程和不等式PPT优质课件

()
④当 x>-3 时,一定有1������<-13. (
)
⑤若 a>b,则1������ < 1������. (
)
答案:①× ②× ③× ④× ⑤×
一二三四
(2)若a>b,则下列各式正确的是( ) A.a-2>b-2 B.2-a>2-b C.-2a>-2b D.a2>b2 解析:因为a>b,所以a-2>b-2,2-a<2-b,-2a<-2b,故A正确,B、C错误; 又取a=0,b=-1时,a>b,但a2<b2,D错误,故选A. 答案:A
性质 6(同向同正可乘性) 性质 7(可乘方性)
a>b>0,c>d>0⇒ac>bd a>b>0⇒an>bn(n∈N,n≥2)
一二三四
3.做一做
(1)判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误
的画“×”.
①在一个不等式的两边同乘一个非零实数,不等式仍然成立.
() ②同向不等式具有可加性和可乘性.( ) ③若两个数的比值大于1,则分子上的数就大于分母上的数.
探究一
探究二
探究三 思维辨析 随堂演练
用不等式(组)表示不等关系 例1已知甲、乙两种食物的维生素A,B含量如下表:
食物
甲乙
维生素 A/(单位/kg) 维生素 B/(单位/kg)
600 700 800 400
设用x kg的甲种食物与y kg的乙种食物配成混合食物,并使混合食 物内至少含有56 000单位的维生素A和63 000 单位的维生素B.试用 不等式组表示x,y所满足的不等关系.
分析:根据维生素A和B分别至少为56 000单位和63 000 单位列不 等式.

b＋c． 这就是说，不等式的两边都加上同一个
实数，所得不等式与原不等式同向．
B1
A1
b+c
aa+c
探究3：移项
用性质2证明 a＋b＞c ⟺ a＞c－b．
a + b > c a + b +(-b)> c +(-b) a > c - b.
一般地说，不等式中任何一项可以改变符号 后移到不等号的另一边.
补充练习
15．有外表一样，重量不同的四个小球，它们的重量分别是 a， b，c，d，已知 a＋b＝c＋d，a＋d>b＋c，a＋c<b，则这四个小球
由重到轻的排列顺序是( A )
A．d>b>a>c B．b>c>d>a C．d>b>c>a D．c>a>d>b
解析：∵a＋b＝c＋d，a＋d>b＋c，∴a＋d＋(a＋b)>b＋c ＋(c＋d)，即 a>c.∴b<d.又 a＋c<b，∴a<b.综上可得，d>b>a>c.
于是a× 1 ab
即 1 > 1.
>
b×a1同的b号实，的数两，个两不边相同等时 取倒数不等号
ba
改变方向
由c < 0,得 c > c .
ab
思考：还可以利用作差法证明吗？ 证明:
思考
糖水加糖后变得 更甜了
已知b克糖水中含有a克糖 （b＞a＞０），再添加m克 糖 （m＞０）（假设全部溶 解），糖水变甜了． 请将这一事实表示为一个不 等式，并证明这个不等式成 立．
cc
类比等式的基本性质，你能 猜想不等式的基本性质吗？

综上所述，当a＝b时，a3＋b3＝a2b＋ab2；
当a≠b时，a3＋b3>a2b＋ab2.
④下结论
方法归纳
反思感悟
单调性）
作差法比较两个实数大小的基本步骤（后续证明函数的
新知探究
D
C
F
G
E
a
b
H
A
B
追问1：如果直角三角形的两条直角边边长分别为，b (a≠b)，你能
将发现的不等关系用不等式表示吗？
范围，再去求其他不等式的范围.
课堂练习
已知-1≤x＋y≤4，2≤x-y≤3，则z=2x-3y的取值范围是_____________.
课堂小结
等式性质与不等式性质(2)
实际问题、
几何问题
不等
关系
数学抽象
不等式
不等式
性质
两个实数大小
关系的基本事
实（作差法）
性质的应用
判断命题的真假
基本不等式
D
G
正方形
4个直角三角
大于
ABCD的面积
形的面积和
1
2
2
＞
+
4 ×
2
A
H
F
a
2 + 2
C
E
b
B
≠
追问2：如果直角三角形的两条直角边边长相等( = )，不等式
D
2 + 2＞2还成立吗？
2 + 2
=
2GΒιβλιοθήκη AHFE
B
C
新知讲授
追问3：∀， ∈ R，2 + 2 ≥ 2,这个猜想成立吗？请证明.
关系的基本事
实（作差法）

[解析] ， ，又 , ，即 .又 ， ，即 ．故 ， ．
【变式探究】
已知 且 ，求 的取值范围．
[解析] 令 ， ，则 ， ．由 解得 ,又 ， ， ， ．
方法总结 不等式具有可加性（需同向）与可乘性（需同正），但不能相减或相除，应用时要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意等价变形．
方法总结 应用基本不等式时，注意下列常见变形中等号成立的条件：
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.1 等式性质与不等式性质
学习目标
1.会用不等式（组）表示实际问题中的不等关系.（数学建模）
2.会运用作差法比较两个数或式子的大小.（数学运算）
3.梳理等式的性质，掌握不等式的性质，会用不等式的性质证明不等式或解决范围问题.（逻辑推理）
自主预习·悟新知
合作探究·提素养
（2）已知 ， .求证： ．
②
[解析] （1）对于①，若 ， ， ， ，则 ，①错误；对于②，对于正数 ， ， ，若 ，则 ，所以 ，所以 ，又 ，所以 ，②正确．综上，正确结论的序号是②．（2）因为 ，所以 .所以 ．又因为 ，所以 .所以 ，即 ，所以 ．
探究2 重要不等式
设 ， ，记 ， ， 分别为 ， 的算术平均数、几何平均数、调和平均数.古希腊数学家帕波斯于公元4世纪在其名著《数学汇编》中研究过 时， ， ， 的大小关系.
问题1：.你能探究 ， ， 的大小关系吗？
[答案] 能,因为 ， ， ，所以 ，即 ； ，即 .所以 .所以 ， ， 中最大的为 ，最小的为 .
问题1：.小明的说法正确吗？用什么性质判断小明的说法是否正确？
[答案] 不正确，用等式的性质.当 时， 一定成立，反过来，当 时，不能推出 ，如当 时， 成立， 不成立.故“ 是 成立的充要条件”是错误的.

对点训练 1 若
ln2
ln3
a= 2 ,b= 3 ,则
a
b.(填“>”或“<”)
答案 <
解析(方法 1)易知 a,b

都是正数,
=
2ln3
3ln2
=
ln 32
3
ln 2
=
ln9
=log89>1,所以
ln8
b>a.
ln
1-ln
(方法 2)构造函数 f(x)= (x>0),∴f'(x)= 2 ,当 x∈(e,+∞)时,f'(x)<0,∴f(x)在区
用不等式的性质求得取值范围.
对点训练3(1)(2023江苏南通模拟)已知a-b∈[0,1],a+b∈[2,4],则4a-2b的取
值范围是(
)
A.[1,5] B.[2,7]
C.[1,6] D.[0,9]

(2)已知2b<a<-b,则 的取值范围为
答案 (1) B
.
(2) (-1,2)
解析(1)设4a-2b=m(a-b)+n(a+b)=(m+n)a-(m-n)b,
(1)对称性:a>b⇔ b<a .
(2)传递性:a>b,b>c⇒ a>c .
3.不等式的性质
(3)可加性:a>b⇔
a+c>b+c
.
ac<bc
ac>bc
;a>b,c<0⇒
(5)同向可加性:a>b,c>d⇒ a+c>b+d .
(4)可乘性:a>b,c>0⇒

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第二章 一元二次函数、方程和不等式
利用不等式的性质证明不等式的方法 (1)简单不等式的证明可直接由已知条件，利用不等式的性质， 通过对不等式变形得证． (2)对于不等号两边式子都比较复杂的情况，直接利用不等式的 性质不易得证，可考虑将不等式的两边作差，然后进行变形， 根据条件确定每一个因式(式子)的符号，利用符号法则判断最 终的符号，完成证明．
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
因此菜园面积 S＝x15－x2， 依题意有 S≥110，即 x15－x2≥110， 故该题中的不等关系可用不等式表示为 0<x≤18， x15－x2≥110.
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
1．本例(2)中，若矩形的长、宽都不能超过 11 m，对面积没有 要求，则 x 应满足的不等关系是什么？ 解：因为矩形的另一边 15－x2≤11，所以 x≥8，又 0<x≤18， 且 x≤11，所以 8≤x≤11. 2．本例(2)中，若要求 x∈N，则 x 可以取哪些值？ 解：函数 S＝x15－x2的对称轴方程为 x＝15，令 S≥110，x∈ N，经检验当 x＝13，14，15，16，17 时 S≥110.
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
某工厂在招标会上，购得甲材料 x 吨，乙材料 y 吨，若维持
工厂正常生产，甲、乙两种材料总量至少需要 120 吨，则 x，y
应满足的不等关系是( )
A．x＋y>120
B．x＋y<120
C．x＋y≥120
D．x＋y≤120
答案：C
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
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第二章 一元二次函数、方程和不等式

垂直于AB，垂足为 D，E 是线段AB 上不同于D的任意
一点，则 CD<CE
生活中的相等和不等关系
问题2某种杂志原以每本 25元的价格销售，可以售出8万本据市场调查，杂志的单价每提高
0.1元，销量就可能减少 2 000本如定才能使提价后的销总收入不低于 20万元?
设提价后每本杂志的定价为工元，则销售总收
以从等式的性质及其研究方法中获得启发.
不等式性质
等式有下面的基本性质：
性质1 如果a>b，那么b<a;如果b<a，那么a>b。
性质1 如果a=b，那么b=a；
即a＞b ⇌b＜a
性质2 如果a=b，b=c，那么a=c；
性质3 如果a=b，那么a士c=b士c；
性质4 如果a=b，那么ac=bc；

性质5 如果a=b，c≠0，那么 =
人民热情好客。你能在这个图中找出一些相等关系
和不等关系吗?
① 由正方形ABCDA的面积和＞四个直角三角形的面
积和，可以得到：a²+b²＞2ab
② 当直角三角形变为等腰直角三角形时，即a=b时，
可以得到：a²+b²=2ab
③ 以上汇总可得：a²+b²≥2ab
④ 利用完全平方公式，a²+b²-2ab=(a-b)²
a>b，c>0，ac>bc；a>b，c<0，ac<bc
性质2 如果a>b，b>c，那么a>c。(要了解证明过程)
即a>b，b>c ⇒ a>c
性质3 如果a>b，那么a+c>b+c。


a+b>c ⇒ a+b+(-b)>c+(-b) ⇒ a>c-b。

(2)×.取a=4，c=5，b=6，d=2.满足a+c>b+d，但不满足a>b.
(3)√.
12/8/2021
第十页，共三十七页。
2.(教材(jiàocái)二次开发：例题改编)若a>b>0，c<d<0，则一定有
A. >a Bb . <
ab
c
d
C. >a Db . <
cd ab
【解d 析】选c D.因为c<d<d0， c
【证明】方法一：因为(yīn wèi)a>b>0，所以1
因为c>0，所以 <c ， c
a
a 所以 c -1< -1，c 即
b
< c ，a c b
因为c>aa>b>0，b 所以c-a>0，ca-b>0. b
<1 ，
b
所以 a > . b 方法二c： 因a 为c>ca>bb >0，
所以0<c-a<c-b，
< ，1 故不1 正确；
ab
3.选C.对于A，若a<b，当a<0，b<0时，a2<b2不成立；
对于B，当a<0，b>0时，a2b>0，ab2<0，a2b<ab2不成立；
对于C，因为a<b， 1>0，所以 对于D，当a=-1，b=1a时2 b ，2 = b=-1.
a
1 ab 2
；
1
a2b
12/8/2021
又因为-3<-b<-2，所以-9<a-b<6.①
又((12))当当13 0-1b6≤<aa12<<.80时时，，00≤<-a<<46. ，ab

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第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.1 等式性质与不等式性质 第1课时 不等关系与不等式
2
学
习
目
标
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2．实数 a，b 的比较大小 文字语言
数学语言
a－b 是正数 a－b 等于零 a－b 是负数
a－b＞0 a－b＝0 a－b＜0
4
等价条件 a＞b a＝b a＜b
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3.重要不等式
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a＜0，ax2＋bx＋c＞0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y＝ax2＋bx＋c 在x＝α，x＝β时的函数值都大于0.
法二：分离参数，转化为函数的最大(小)值问题．
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课堂小结 SCQ NO.1 MIDDLE SCHOOL
➢两个题型
解分式不等式 一元二次不等式恒成立求参数范围
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典例精讲
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角度2 在给定范围上恒成立问题
典例精讲
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方法指导 SCQ NO.1 MIDDLE SCHOOL
一元二次不等式恒成立求参数范围解题方法
➢ 在R上恒成立 ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立⇔a>0且Δ<0. ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立⇔a<0且Δ≤0. ➢ 在给定范围上的恒成立 法一：a＞0，ax2＋bx＋c＜0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y＝ax2＋bx＋c 在x＝α，x＝β的函数值都小于0.
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解分式不等式的方法
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典例精讲
题型2 一元二次不等式恒成立问题求参数范围
角度1 在R上恒成立问题
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角度1 在R上恒成立问题
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
学习目标 典例精讲 课堂小结 随堂检测
学习目标
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