含参数的一元二次不等式的解法详细版.ppt

0
的解集.
一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 的解实
际上就是二次函数 y ax2 bx c(a 0)
与x轴交点的横坐标。
下面我们来研究如何应用二次函数的图 象来解一元二次不等式。
一元二次不等式的解集如下表
b2 4ac
说明:这类题要充分利用判别式和韦达定理.
课堂练习
1.若方程 x2 (k 2)x 4 0 有两负根,求k的
取值范围.
第二教材P74 15
例3.已知 A {x | x2 x 6 0}, B {x | x2 2x 8 0},
C {x | x2 4ax 3a2 0}, 若 A B C ,求实数a
的取值范围.
没有人能忽略这样一张脸孔：泪眼纷纷，呜咽声声，“求求，求求你们。”黑夜在颤抖，墨镜里，必藏着一双红肿、深陷、因其绝望而绝美的眼睛。 她叫苏珊,她说：“这原本是一个温良秋夜，她开车带着3岁和14个月大的两个孩子，行驶在静谧的公路上，忽然一个歹徒窜上车，持枪威逼她下车，带着她的孩子们，扬长而去。
二次函数
y ax2 bx c(a 0)
的图像
0
y
0 x1 x2 x
一元二次方程
ax2 bx c 0(a 0)
的根
x1 b
b2 4ac 2a
x2 b
b2 4ac 2a
ax2

bx c 0(a
的解集

0)
x
|
x

x1或x

x2
x R 恒成立,则必有
k>0
(6k)2 4k(k 8) 0

则原不等式的解集是x2<x<1a
；
当a＝12时，原不等式的解集是∅；
当a>12时，1a<2，则原不等式的解集是x1a<x<2
.
(2)当a＝0时，原不等式为－(x－2)<0，解得x>2，即原不等式的解集是{x|x>2}．
(3)当a<0时，原不等式可以化为a(x－2)x－1a<0，
根据不等式的性质，这个不等式等价于(x－2)x－1a>0， 由于1a<2，故原不等式的解集是
角度Ⅱ.含参二次不等式的解法 试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
3．解关于x的不等式ax2－(2a＋1)x＋2<0(a∈R)．
[解] 原不等式可化为(ax－1)(x－2)<0. (1)当a>0时，原不等式可以化为a(x－2) x－1a <0，根据不等式的性质，这个不等 式等价于(x－2)·x－1a<0. 因为方程(x－2)x－1a＝0的两个根分别是2，1a， 所以当0<a<12时，2<1a，
k1－k2或x>1－
1－k2 k
；
当k＝－1时，不等式的解集为{x|x≠－1}；
当k＜－1时，不等式的解集为R.
解/题/感/悟(小提示，大智慧) 对于含参二次不等式，应注意参数出现的位置．二次项系数出现参数，需要讨 论系数和零的大小；如果可以通过因式分解法求得两个根，根里面含参，那么就需 要对根的大小关系进行讨论；如不能因式分解求根，则需要对判别式进行讨论．总 之我们一定要关注参数出现的位置，往往既要讨论二次项系数，同时还需要讨论根 的大小！
(1)解析：由不等式x(1－2x)＞0，得不等式x(2x－1)＜0，解得0＜x＜12. (2)解析：当a＜0时，不等式(ax－1)(x－2)＜0可化为 x－1a (x－2)>0，解得x>2或 x<1a；当a＝0时，不等式(ax－1)(x－2)＜0可化为x－2＞0，解得x＞2.

2 2 2
一元二次方程 x x20 ，三者之间有什 关系
想一想
2
f x x x 2
2
x x20 x2 x 2 0
y
在初中学习二次函数时， 我们曾解决过这样的问题： 对二次函数y=x2-x-2， 当x为何值时，y=0？
-1
o
2
x
当x为何值时，y<0？
当x为何值时，y>0？
2
•
巩固练习
判断下列式子是不是一元二次不等式？
1 (1) x 5 x
( 2 ) xy 3 0
2
4 )x 3 x x ( x 1 ) ( 3 ) ( x 2 )( x 3 ) 0(
寻觅方法，解：
代数方法：
x x 2 0
2
x 2 x 1 0
3.2一元二次不等式的解法
现在有一家商店对某种成本价为650元的电视机有一个促销活 商品促销
动：
买一台电视机，单价950元； 买两台，单价是900元； 依次类推，每多买一台，单价降低50元。 要使商店保持每次交易赢利大于200元，
问每人最多买几台？
一元二次不等式
一个整式不等式，若只含有一个未知数，并且未知数
你还能写出多少个？
85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰· B· 塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔· 卡内基] 87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯· 瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士· 雷德非] 89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰] 91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。――[兰斯顿· 休斯] 92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。――[玛科斯· 奥雷利阿斯] 93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。[约翰· 纳森· 爱德瓦兹] 94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。――[约翰· 拉斯金] 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。――[威廉· 班] 96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。――[萧伯纳] 97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。 爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。――[J·E·丁格] 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。――[英国哲学家培根] 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。――[马塞尔· 普劳斯特] 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。――[罗丹] 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。――[托尔斯泰] 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候――。[叔本华] 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。――[梭罗] 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。――[威廉· 彭] 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。――[戴尔· 卡内基] 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。――[约翰· 罗伯克] 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。――[撒母耳· 厄尔曼] 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。――[卡雷贝· C· 科尔顿] 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。――[戴尔· 卡内基] 110.每天安静地坐十五分钟· 倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。――[艾瑞克· 佛洛姆] 111.你知道何谓沮丧---就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。－－[坎伯] 112.「伟大」这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。――[布鲁克斯] 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。――[罗根· 皮沙尔· 史密斯] 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。 ――[阿萨· 赫尔帕斯爵士] 115.旅行的精神在于其自由，完全能够随心所欲地去思考.去感觉.去行动的自由。――[威廉· 海兹利特] 116.昨天是张退票的支票，明天是张信用卡，只有今天才是现金；要善加利用。――[凯· 里昂] 117.所有的财富都是建立在健康之上。浪费金钱是愚蠢的事，浪费健康则是二级的谋杀罪。――[B·C·福比斯] 118.明知不可而为之的干劲可能会加速走向油尽灯枯的境地，努力挑战自己的极限固然是令人激奋的经验，但适度的休息绝不可少，否则迟早会崩溃。――[迈可· 汉默] 119.进步不是一条笔直的过程，而是螺旋形的路径，时而前进，时而折回，停滞后又前进，有失有得，有付出也有收获。――[奥古斯汀] 120.无论那个时代，能量之所以能够带来奇迹，主要源于一股活力，而活力的核心元素乃是意志。无论何处，活力皆是所谓“人格力量”的原动力，也是让一切伟大行动得以持续的力量。――[史迈尔斯] 121.有两种人是没有什么价值可言的：一种人无法做被吩咐去做的事，另一种人只能做被吩咐去做的事。――[C·H·K·寇蒂斯] 122.对于不会利用机会的人而言，机会就像波浪般奔向茫茫的大海，或是成为不会孵化的蛋。――[乔治桑] 123.未来不是固定在那里等你趋近的，而是要靠你创造。未来的路不会静待被发现，而是需要开拓，开路的过程，便同时改变了你和未来。――[约翰· 夏尔] 124.一个人的年纪就像他的鞋子的大小那样不重要。如果他对生活的兴趣不受到伤害，如果他很慈悲，如果时间使他成熟而没有了偏见。――[道格拉斯· 米尔多] 125.大凡宇宙万物，都存在着正、反两面，所以要养成由后面.里面，甚至是由相反的一面，来观看事物的态度――。[老子] 126.在寒冷中颤抖过的人倍觉太阳的温暖，经历过各种人生烦恼的人，才懂得生命的珍贵。――[怀特曼] 127.一般的伟人总是让身边的人感到渺小；但真正的伟人却能让身边的人认为自己很伟大。――[G.K.Chesteron] 128.医生知道的事如此的少，他们的收费却是如此的高。――[马克吐温] 129.问题不在于：一个人能够轻蔑、藐视或批评什么，而是在于：他能够喜爱、看重以及欣赏什么。――[约翰· 鲁斯金]

二次项含有参数应如何求解？
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考点
含参数的一元二次不等式
y
x1 O
x2 x
y
x1 O
x2 x
解不等式ax2 +(a-1)x-1>0(a R)
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例3 解关于 x 的不等式: 例1
2x kx k 0 2 若不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为
的值为( )
{ x则a＋1b x 1 },
（3x-1)(x-6) 0
相对应方程（3x-1)(x-6)=0的根x1
=
1 3
,x2
=6
不等式的解集（1 ,6） 3
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例1 解不等式x2 +(a-1)x-a>0(a>0)
这个不等式和前面那个不等式有什么不同的地方？
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含参数的不等式的解法
对于含有参数的不等式，由于参数的取值范围不 同，其结果就不同，因此必须对参数进行讨论，即要 产生一个划分参数的标准。 一元一次不等式ax+b>0(<0) 参数划分标准： 一次项系数a>0,a=0,a<0 一元二次不等式ax2+bx+c>0(<0) 参数划分标准：
x1 2a, x2 3a
x | x 2a或x 3a
x | x 0
x | x 3a或x 2a
综上所述： a 0时，原不等式解集为：x | x 3a或x 2a
a 0时，原不等式解集为 x | x 0
a 0时，原不等式解集为：x | x 2a或x 3a
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例2 解不等式ax2 +(a-1)x-1>0(a R)
； 当c<2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为{x|c<x<2}

定义：含有一个未知数且未知数最高次数为2次的不等式叫做一元二次不等式。
重要性：一元二次不等式在数学中有着重要的地位，是解决许多实际问题的基础。 表达式：一般地，一元二次不等式可以表示为ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c<0，其 中a、b、c是常数且a≠0。
解法：求解一元二次不等式可以通过配方法、图像法、公式法等多种方法进行求解。
添加 标题
化学：在化学中，一元二次不等式可以用来描 述化学反应过程中各物质的浓度变化情况，也 可以用来进行化学分析、计算等。
一元二次不等式的解法
一元二次不等式的解法公式及步骤
公式：$ax^{2} + bx + c = 0$， 其中a、b、c为系数，$\Delta = b^{2} - 4ac$
步骤2：判断不等式的解集
一元二次不等式在数学中的地位
概念：一元二次 不等式是指形如 ax^2+bx+c>0
或 ax^2+bx+c<0
的不等式
重要性：一元二 次不等式是中学 数学中一个重要 的内容，它与一 元二次方程、二 次函数等有着密
切的联系
解题思路：通过 观察和计算，确 定不等式的解集， 掌握解一元二次
不等式的方法
实际应用：一元 二次不等式在实 际生活中有着广 泛的应用，如环 境保护、金融投
题目难度适中，适合不同层次的学 生
覆盖知识点全面，体现一元二次不 等式的重点和难点
添加标题
添加标题
题量适当，避免过多或过少
添加标题
添加标题
题目类型多样，包括填空题、选择 题、解答题等
学生自主练习与思考
练习一元二次不等 式，掌握解题步骤

（ 5） 9x 6x 1 0
2
1 （ 6）x (a ) x 1 0(a 0, a R) a
2
总结解一元二次不等式的步骤：
第一步： 将二次项系数化正 第二步： 求 b 2 4ac ，判断
0 求出对称轴，然后结合图像
0 利用因式分解或求根公式求根，然后结合图像
一元一次不等式的解集
ax b 0
b x x a
思考：
函数
函数、方程、 不等式 三者关系？
方程
方程的根
不等式
不等式的端点
不等式大于0的解 不等式小于0的解
图象与x轴交点横坐标
x轴上方图象对应横坐标 x轴下方图象对应横坐标
一元二次不等式如何解呢？
一元二次不等式解集表
与x轴交 点横坐标
ax b 0
b x x a
一元一次不等式的解集
ax b 0
b x x a
b x x a
方程的根 b x x a 不等式解集 b 端点 x x a
∆=b2-4ac 二次函数 y=ax2+bx+c(a>0) 的图象 方程x2+bx+c=0 的根 △ >0 △ =0 △ <0
x1
x2
x1 ( x2 ) 有两个相 等实根 x1=x2 x≠x1 无解 无实根
有两个不等实 根 x1,x2(x1<x2) ax2+bx+c>0（a>0） x<x 或x>x 1 2 的解集 ax2+bx+c<0（a>0） 的解集 x1<x<x2