§9.3 圆的方程
1.圆的定义
在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫圆. 2.确定一个圆最基本的要素是圆心和半径. 3.圆的标准方程
(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，其中(a ，b )为圆心，r 为半径. 4.圆的一般方程
x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是D 2＋E 2－4F >0，其中圆心为????－D 2
，－E
2，半
径r＝D2＋E2－4F
2.
5.确定圆的方程的方法和步骤
确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为
(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；
(2)根据条件列出关于a，b，r或D、E、F的方程组；
(3)解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一般方程.
6.点与圆的位置关系
点和圆的位置关系有三种.
圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)
(1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；
(2)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；
(3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2 1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径. (√) (2)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2) ＝0. (√) (3)方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆心为(－a 2，－a)，半径为 1 2－3a 2－4a＋4的 圆. (×) (4)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0. (√) 2.若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是() A.－1 B.0 C.a >1或a <－1 D.a ＝±1 答案 A 解析 因为点(1,1)在圆的内部， ∴(1－a )2＋(1＋a )2<4，∴－1 3.(2012·辽宁)将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是 ( ) A.x ＋y －1＝0 B.x ＋y ＋3＝0 C.x －y ＋1＝0 D.x －y ＋3＝0 答案 C 解析 因为圆心是(1,2)，所以将圆心坐标代入各选项验证知选C. 4.已知圆C 经过A (5,1)，B (1,3)两点，圆心在x 轴上，则圆C 的方程为______________. 答案 (x －2)2＋y 2＝10 解析 设圆心坐标为(a,0)， 易知 (a －5)2＋(－1)2＝ (a －1)2＋(－3)2， 解得a ＝2，∴圆心为(2,0)，半径为10， ∴圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝10. 5.圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是 ( ) A.(2,3) B.(－2,3) C.(－2，－3) D.(2，－3) 答案 D 解析 圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标为? ???? －－42 ，－62，即(2，－3). 题型一 求圆的方程 例1 根据下列条件，求圆的方程： (1)经过P (－2,4)、Q (3，－1)两点，并且在x 轴上截得的弦长等于6； (2)圆心在直线y ＝－4x 上，且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2). 思维启迪 (1)设圆的一般方程，利用待定系数法求解. (2)求圆心和半径，确定圆的标准方程. 解 (1)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 将P 、Q 两点的坐标分别代入得 ??? ?? 2D －4E －F ＝20， 3D －E ＋F ＝－10. ①② 又令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0. ③ 设x 1，x 2是方程③的两根， 由|x 1－x 2|＝6有D 2－4F ＝36， ④ 由①、②、④解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－8，或D ＝－6，E ＝－8，F ＝0. 故所求圆的方程为 x 2＋y 2－2x －4y －8＝0，或x 2＋y 2－6x －8y ＝0. (2)方法一 如图，设圆心(x 0，－4x 0)，依题意得4x 0－23－x 0＝1， ∴x 0＝1，即圆心坐标为(1，－4)，半径r ＝22， 故圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8. 方法二 设所求方程为(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝r 2， 根据已知条件得?? ? y 0＝－4x 0， (3－x 0)2 ＋(－2－y 0)2 ＝r 2 ， |x 0 ＋y 0 －1| 2＝r ， 解得???? ? x 0＝1，y 0 ＝－4， r ＝2 2. 因此所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8. 思维升华 求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程.一般来说，求圆的方程有两种方法： (1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质： ①圆心在过切点且垂直切线的直线上； ②圆心在任一弦的中垂线上； ③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线. (2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解. 与x 轴相切，圆心在直线3x －y ＝0上， 且被直线 x －y ＝0 截得的弦长为 2 7的圆的方程为 __________________________________________. 答案 (x －1)2＋(y －3)2＝9或(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝9 解析 设所求的圆的方程是(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 则圆心(a ，b )到直线x －y ＝0的距离为|a －b | 2， ∴r 2＝(|a －b | 2)2＋(7)2，即2r 2＝(a －b )2＋14. ① ∵所求的圆与x 轴相切，∴r 2＝b 2. ② 又∵所求圆心在直线3x －y ＝0上，∴3a －b ＝0. ③ 联立①②③，解得a ＝1，b ＝3，r 2＝9或a ＝－1，b ＝－3，r 2＝9. 故所求的圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝9或(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝9. 题型二 与圆有关的最值问题 例2 已知实数x 、y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.求： (1)y x 的最大值和最小值； (2)y －x 的最小值； (3)x 2＋y 2的最大值和最小值. 思维启迪 显然实数x ，y 所确定的点在圆x 2＋y 2－4x ＋1＝0上运动， 而y x 则可看成是圆上的点与原点连线的斜率， y －x 可以转化为截距，x 2＋y 2可以看成是圆上点与原点距离的平方. 解 (1)如图，方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0表示以点(2,0)为圆心，以3为半径的圆. 设y x ＝k ，即y ＝kx ， 则圆心(2,0)到直线y ＝kx 的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、 最小值. 由|2k －0|k 2＋1 ＝3，解得k 2＝3， ∴k max ＝3，k min ＝－ 3. (也可由平面几何知识，得OC ＝2，CP ＝3，∠POC ＝60°，直线OP 的倾斜角为60°，直线OP ′的倾斜角为120°) (2)设y －x ＝b ，则y ＝x ＋b ，仅当直线y ＝x ＋b 与圆切于第四象限时，截距b 取最小值，由点到直线的距离公式， 得|2－0＋b |2＝3，即b ＝－2±6， 故(y －x )min ＝－2－ 6. (3)x 2＋y 2是圆上点与原点的距离的平方，故连接OC ， 与圆交于B 点，并延长交圆于C ′，则 (x 2＋y 2)max ＝|OC ′|2＝(2＋3)2＝7＋43， (x 2＋y 2)min ＝|OB |2＝(2－3)2＝7－4 3. 思维升华 把有关式子进行转化或利用所给式子的几何意义解题，充分体现了数形结合以及转化的数学思想，其中以下几类转化极为常见，要注意熟记：(1)形如m ＝y －b x －a 的最值问 题，可转化为动直线斜率的最值问题；(2)形如t ＝ax ＋by 的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如m ＝(x －a )2＋(y －b )2的最值问题，可转化为两点间距离的平方的最值问题. 已知两点A (－1,0)，B (0,2)，点P 是圆(x －1)2＋y 2＝1上任意一点，则△P AB 面积的最大值与最小值分别是 ( ) A.2，1 2(4－5) B.12(4＋5)，1 2(4－5) C.5，4－ 5 D.12(5＋2)，1 2(5－2) 答案 B 解析 如图，圆心(1,0)到直线AB ： 2x －y ＋2＝0的距离为d ＝ 4 5 ， 故圆上的点P 到直线AB 的距离的最大值是 45＋1，最小值是4 5 －1， 又|AB |＝5， 故△P AB 面积的最大值和最小值分别是2＋52，2－5 2 . 题型三 与圆有关的轨迹问题 例3 设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM 、ON 为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹. 思维启迪 结合图形寻求点P 和点M 坐标的关系，用相关点法(代入法)解决. 解 如图所示，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为???? x 2，y 2， 线段MN 的中点坐标为? ?? ?? x 0－32，y 0＋42.由于平行四边形的对角线互 相平分， 故x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋4 2.从而? ???? x 0＝x ＋3y 0 ＝y －4 . N (x ＋3，y －4)在圆上，故(x ＋3)2＋(y －4)2＝4. 因此所求轨迹为圆：(x ＋3)2＋(y －4)2＝4， 但应除去两点????－95，125和??? ?－215，28 5(点P 在直线OM 上的情况). 思维升华 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法： ①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程. ②定义法：根据圆、直线等定义列方程. ③几何法：利用圆的几何性质列方程. ④代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等. 如图所示，已知 P (4,0)是圆x 2＋y 2＝36内的一点，A ， B 是圆上两动点，且满足∠APB ＝90°，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨 迹方程. 解 设AB 的中点为R ，坐标为(x ，y )，连接OR ，PR ， 则在Rt △ABP 中，|AR |＝|PR |. 又R 是弦AB 的中点，所以在Rt △OAR 中，|AR |2＝|AO |2－|OR |2＝36－(x 2＋y 2). 又|AR |＝|PR |＝ (x －4)2＋y 2， 所以有(x －4)2＋y 2＝36－(x 2＋y 2)， 即x 2＋y 2－4x －10＝0. 因此点R 在一个圆上，而当R 在此圆上运动时，点Q 即在所求的 轨迹上运动. 设Q (x ，y )，R (x 1，y 1)，因为R 是PQ 的中点， 所以x 1＝x ＋42，y 1＝y ＋0 2，代入方程x 2＋y 2－4x －10＝0， 得(x ＋42)2 ＋(y 2)2－4×x ＋42 －10＝0， 整理得x 2＋y 2＝56，此即为所求顶点Q 的轨迹方程. 利用方程思想求解圆的问题 典例：(12分)已知圆x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0和直线x ＋2y －3＝0交于P ，Q 两点，且OP ⊥OQ (O 为坐标原点)，求该圆的圆心坐标及半径. 思维启迪 (1)求圆心及半径，关键是求m . (2)利用OP ⊥OQ ，建立关于m 的方程求解. (3)利用x 1x 2＋y 1y 2＝0和根与系数的关系或利用圆的几何性质. 规范解答 解 方法一 将x ＝3－2y ， 代入方程x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0， 得5y 2－20y ＋12＋m ＝0. [2分] 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1、y 2满足条件： y 1＋y 2＝4，y 1y 2＝12＋m 5. [4分] ∵OP ⊥OQ ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0. 而x 1＝3－2y 1，x 2＝3－2y 2. ∴x 1x 2＝9－6(y 1＋y 2)＋4y 1y 2＝ －27＋4m 5 . [6分] 故－27＋4m 5＋12＋m 5 ＝0，解得m ＝3， [9分] 此时Δ>0，圆心坐标为????－12，3，半径r ＝5 2. [12分] 方法二 如图所示，设弦PQ 中点为M ， ∵O 1M ⊥PQ ，∴M O k 1＝2. [2分] ∴O 1M 的方程为y －3＝2????x ＋12， 即y ＝2x ＋4. [4分] 由方程组? ???? y ＝2x ＋4 x ＋2y －3＝0. 解得M 的坐标为(－1,2). [6分] 则以PQ 为直径的圆可设为(x ＋1)2＋(y －2)2＝r 2. ∵OP ⊥OQ ，∴点O 在以PQ 为直径的圆上. ∴(0＋1)2＋(0－2)2＝r 2，即r 2＝5，|MQ |2＝r 2. 在Rt △O 1MQ 中，|O 1Q |2＝|O 1M |2＋|MQ |2. ∴1＋(－6)2－4m 4＝????－1 2＋12＋(3－2)2＋5. ∴m ＝3. [9分] ∴半径为5 2，圆心坐标为????－12，3. [12分] 方法三 设过P 、Q 的圆系方程为 x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＋λ(x ＋2y －3)＝0. [2分] 由OP ⊥OQ 知，点O (0,0)在圆上. ∴m －3λ＝0，即m ＝3λ. [4分] ∴圆系方程可化为 x 2＋y 2＋x －6y ＋3λ＋λx ＋2λy －3λ＝0. 即x 2＋(1＋λ)x ＋y 2＋2(λ－3)y ＝0. [6分] ∴圆心M ? ?? ?? －1＋λ2，2(3－λ)2，又圆心在PQ 上. ∴－1＋λ2＋2(3－λ)－3＝0， ∴λ＝1，∴m ＝3. [9分] ∴圆心坐标为????－12，3，半径为52 . [12分] 温馨提醒 (1)在解决与圆有关的问题中，借助于圆的几何性质，往往会使得思路简捷明了，简化思路，简便运算. (2)本题中三种解法都是用方程思想求m 值，即三种解法围绕“列出m 的方程”求m 值. (3)本题的易错点：不能正确构建关于m 的方程，找不到解决问题的突破口，或计算错误. 方法与技巧 1.确定一个圆的方程，需要三个独立条件.“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法，是指根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数. 2.解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算. 失误与防范 1.求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程. 2.过圆外一定点，求圆的切线，应该有两个结果，若只求出一个结果，应该考虑切线斜率不存在的情况. A组专项基础训练 (时间：40分钟) 一、选择题 1.设圆的方程是x 2＋y 2＋2ax ＋2y ＋(a －1)2＝0，若0 D.不确定 答案 B 解析 将圆的一般方程化成标准方程为(x ＋a )2＋(y ＋1)2＝2a ， 因为00， 即 (0＋a )2＋(0＋1)2>2a ，所以原点在圆外. 2.若圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心位于第三象限，那么直线x ＋ay ＋b ＝0一定不经过( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案 D 解析 圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心为????a ，－3 2b ， 则a <0，b >0.直线y ＝－1a x －b a ，k ＝－1a >0，－b a >0， 直线不经过第四象限. 3.圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为 ( ) A.x 2＋(y －2)2＝1 B.x 2＋(y ＋2)2＝1 C.(x －1)2＋(y －3)2＝1 D.x 2＋(y －3)2＝1 答案 A 解析 设圆心坐标为(0，b )，则由题意知 (0－1)2＋(b －2)2＝1，解得b ＝2， 故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1. 4.点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是 ( ) A.(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B.(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C.(x ＋4)2＋(y －2)2＝4 D.(x ＋2)2＋(y －1)2＝1 答案 A 解析 设圆上任一点坐标为(x 0，y 0)， x 20＋y 20 ＝4，连线中点坐标为(x ，y )， 则????? 2x ＝x 0＋42y ＝y 0－2?????? x 0＝2x －4 y 0＝2y ＋2 ， 代入x 20＋y 20＝4中得(x －2)2＋(y ＋1)2 ＝1. 5.若直线ax ＋2by －2＝0(a >0，b >0)始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －8＝0的周长，则1a ＋2 b 的最小 值为 ( ) A.1 B.5 C.4 2 D.3＋2 2 答案 D 解析 由题意知圆心C (2,1)在直线ax ＋2by －2＝0上， ∴2a ＋2b －2＝0，整理得a ＋b ＝1， ∴1a ＋2b ＝(1a ＋2b )(a ＋b )＝3＋b a ＋2a b ≥3＋2 b a ×2a b ＝3＋22， 当且仅当b a ＝2a b ，即b ＝2－2，a ＝2－1时，等号成立. ∴1a ＋2 b 的最小值为3＋2 2. 二、填空题 6.如果直线l 将圆C ：(x －2)2＋(y ＋3)2＝13平分，那么坐标原点O 到直线l 的最大距离为________. 答案 13 解析 由题意，知直线l 过圆心C (2，－3)， 当直线OC ⊥l 时，坐标原点到直线l 的距离最大， |OC |＝ 22＋(－3)2＝13. 7.若方程x 2＋y 2－2x ＋2my ＋2m 2－6m ＋9＝0表示圆，则m 的取值范围是________；当半径最大时，圆的方程为________. 答案 2 解析 ∵原方程可化为(x －1)2＋(y ＋m )2＝－m 2＋6m －8， ∴r 2＝－m 2＋6m －8＝－(m －2)(m －4)>0， ∴2 当m ＝3时，r 最大为1， 圆的方程为(x －1)2＋(y ＋3)2＝1. 8.已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0关于直线y ＝2x ＋b 成轴对称，则a －b 的取值范围是________. 答案 (－∞，1) 解析 ∵圆的方程可化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5－a ， ∴其圆心为(－1,2)，且5－a >0，即a <5. 又圆关于直线y ＝2x ＋b 成轴对称， ∴2＝－2＋b ，∴b ＝4.∴a －b ＝a －4<1. 三、解答题 9.一圆经过A (4,2)，B (－1,3)两点，且在两坐标轴上的四个截距的和为2，求此圆的方程. 解 设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0. 令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0，所以x 1＋x 2＝－D . 令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0，所以y 1＋y 2＝－E . 由题意知－D －E ＝2，即D ＋E ＋2＝0. ① 又因为圆过点A 、B ，所以16＋4＋4D ＋2E ＋F ＝0. ② 1＋9－D ＋3E ＋F ＝0. ③ 解①②③组成的方程组得D ＝－2，E ＝0，F ＝－12. 故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －12＝0. 10.已知圆C 和直线x －6y －10＝0相切于点(4，－1)，且经过点(9,6)，求圆C 的方程. 解 因为圆C 和直线x －6y －10＝0相切于点(4，－1)， 所以过点(4，－1)的直径所在直线的斜率为－1 16＝－6， 其方程为y ＋1＝－6(x －4)，即y ＝－6x ＋23. 又因为圆心在以(4，－1)，(9,6)两点为端点的线段的中垂线y －52＝－57(x －13 2)， 即5x ＋7y －50＝0上， 由????? y ＝－6x ＋23， 5x ＋7y －50＝0 解得圆心为(3,5)， 所以半径为 (9－3)2＋(6－5)2＝37， 故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －5)2＝37. B 组 专项能力提升 (时间：30分钟) 1.(2012·湖北)过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为 ( ) A.x ＋y －2＝0 B.y －1＝0 C.x －y ＝0 D.x ＋3y －4＝0 答案 A 解析 当圆心与P 的连线和过点P 的直线垂直时，符合条件. 圆心O 与P 点连线的斜率k ＝1， ∴过点P 垂直于OP 的直线方程为x ＋y －2＝0. 2.光线从A (1,1)出发，经y 轴反射到圆C ：x 2＋y 2－10x －14y ＋70＝0的最短路程为________. 答案 62－2 解析 圆心坐标为C (5,7)，半径为2，A (1,1)关于y 轴的对称点为A 1(－1,1)， ∴最短路程为|A 1C |－2＝62－2. 3.设P 为直线3x ＋4y ＋3＝0上的动点，过点P 作圆C ：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，切点分别为A ，B ，则四边形P ACB 的面积的最小值为________. 答案 3 解析 依题意，圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的圆心是点C (1,1)，半径是1， 易知|PC |的最小值等于圆心C (1,1)到直线3x ＋4y ＋3＝0的距离，即10 5＝2， 而四边形P ACB 的面积等于 2S △P AC ＝2×(1 2|P A |·|AC |) ＝|P A |·|AC |＝|P A |＝ |PC |2－1， 因此四边形P ACB 的面积的最小值是 22－1＝ 3. 4.已知D 是由不等式组? ???? x －2y ≥0，x ＋3y ≥0所确定的平面区域，则圆x 2＋y 2＝4在区域D 内的弧长 为________. 答案 π 2 解析 作出可行域D 及圆x 2＋y 2＝4，如图所示， 图中阴影部分所在圆心角θ＝α－β所对的弧长即为所求. 易知图中两直线的斜率分别为12、－13，得tan α＝12，tan β＝－1 3， tan θ＝tan(α－β)＝12＋1 3 1－12× 13 ＝1， 得θ＝π4，得弧长l ＝θ·R ＝π4×2＝π2 (R 为圆的半径). 5.(2013·课标全国Ⅱ)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为2 3. (1)求圆心P 的轨迹方程； (2)若P 点到直线y ＝x 的距离为 2 2 ，求圆P 的方程. 解 (1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r . 则y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2.∴y 2＋2＝x 2＋3，即y 2－x 2＝1. ∴P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1. (2)设P 的坐标为(x 0，y 0)， 则|x 0－y 0|2 ＝22，即|x 0－y 0|＝1.∴y 0－x 0＝±1，即y 0＝x 0±1. ①当y 0＝x 0＋1时，由y 20－x 20＝1得(x 0＋1)2－x 2 0＝1. ∴????? x 0＝0，y 0＝1， ∴r 2＝3.∴圆P 的方程为x 2＋(y －1)2＝3. ②当y 0＝x 0－1时，由y 20－x 20＝1得(x 0－1)2－x 20＝1. ∴????? x 0＝0，y 0＝－1， ∴r 2＝3.∴圆P 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝3. 综上所述，圆P 的方程为x 2＋(y ±1)2＝3. 6.在以O 为原点的直角坐标系中，点A (4，－3)为△OAB 的直角顶点，已知|AB |＝2|OA |，且点B 的纵坐标大于0. (1)求AB → 的坐标； (2)求圆x 2－6x ＋y 2＋2y ＝0关于直线OB 对称的圆的方程. 解 (1)设AB →＝(x ，y )，由|AB |＝2|OA |，AB →·OA → ＝0， 得????? x 2＋y 2＝100，4x －3y ＝0，解得????? x ＝6，y ＝8或? ???? x ＝－6，y ＝－8. 若AB → ＝(－6，－8)，则y B ＝－11与y B >0矛盾. 所以????? x ＝－6，y ＝－8 舍去.即AB →＝(6,8). (2)圆x 2－6x ＋y 2＋2y ＝0， 即(x －3)2＋(y ＋1)2＝(10)2， 其圆心为C (3，－1)，半径r ＝10， ∵OB →＝OA →＋AB → ＝(4，－3)＋(6,8)＝(10,5)， ∴直线OB 的方程为y ＝1 2 x . 设圆心C (3，－1)关于直线y ＝1 2x 的对称点的坐标为(a ，b )， 则??? ?? b ＋1a －3＝－2，b －12＝12·a ＋32， 解得????? a ＝1， b ＝3， ∴所求的圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝10. 1．抛物线的概念 平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线． 2．抛物线的标准方程与几何性质 【知识拓展】 1．抛物线y 2＝2px (p >0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F ????p 2，0的距离|PF |＝x 0＋p 2，也称为抛物线的焦半径． 2．y 2＝ax 的焦点坐标为????a 4，0，准线方程为x ＝－a 4 . 3．设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦， 若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 (1)x 1x 2＝p 2 4 ，y 1y 2＝－p 2. (2)弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p sin 2α(α为弦AB 的倾斜角)． (3)以弦AB 为直径的圆与准线相切． (4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p ，通径是过焦点最短的弦． 【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( × ) (2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是(a 4，0)，准线方程 是x ＝－a 4 .( × ) (3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( × ) (4)AB 为抛物线y 2 ＝2px (p >0)的过焦点F (p 2，0)的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 2 4 ，y 1y 2 ＝－p 2，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p .( √ ) 1．(2016·四川)抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是( ) A ．(0,2) B ．(0,1) C ．(2,0) D ．(1,0) 答案 D 解析 ∵对于抛物线y 2＝ax ，其焦点坐标为???? a 4，0， ∴对于y 2＝4x ，焦点坐标为(1,0)． 2．(2016·甘肃张掖一诊)过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|PQ |等于( ) A ．9B ．8C ．7D ．6 答案 B 解析 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1. 根据题意可得，|PQ |＝|PF |＋|QF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝8. 3．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( ) 第八章 平面解析几何 （时间120分钟，满分150分） 、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分?在每小题给出的四个选项中，只有 项是符合题目要求的） 1 .抛物线y 2= ax （a 丰0）的焦点到其准线的距离是 C ? |a| 解析：由已知焦点到准线的距离为 p =鸟 答案：B 2.过点A(4, a)与B(5 , b)的直线与直线 y = x + m 平行，则|AB| = B. .2 b — a 解析：由题知 ----- =1, ?- b — a = 1. 5— 4 ???|AB|= (5-4)2+ (b — a)2= 2. 答案：B 答案: ax + 2by — 2 = 0(a >0, b >0)始终平分圆 x 2 + y 2 — 4x — 2y — 8 = 0 的周长，则* + f 的 最小值为 ( ) A . 1 B . 5 C . 4 2 D . 3+ 22 解析：由(x — 2)2+ (y — 1)2= 13,得圆心(2,1), ???直线平分圆的周长，即直线过圆心. ?? a + b = 1. 12 ,12 b 「2a ?-a + b = (a + b )(a + b )= 3 + a + T 》3 + 22 ， 当且仅当b =弓，即a = 2 — 1, b = 2 — 2时取等号， a b D .不确定 3.已知双曲线 2 2 X —y^= 1的离心率为e , 抛物线x = 2pf 的焦点为（e,0）,则p 的值为（ B . 1 1 Cd 解析: 依题意得e = 2，抛物线方程为 y2= 2p x ，故 8p = 2,得 p = 和 4.若直线 〖圆的解析几何方程〗 圆的标准方程：在平面直角坐标系中，以点O（a，b）为圆心，以r为半径的圆的标准方程是（x-a）^2+（y-b）^2=r^2。 圆的一般方程：把圆的标准方程展开，移项，合并同类项后，可得圆的一般方程是x^2+y^2+Dx+Ey+F=0。和标准方程对比，其实D=-2a，E=-2b，F=a^2+b^2。 圆的离心率e=0，在圆上任意一点的曲率半径都是r。 〖圆与直线的位置关系判断〗 平面内，直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是： 1.由Ax+By+C=0，可得y=（-C-Ax）／B，（其中B不等于0），代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的一元二次方程f（x）=0。利用判别式b^2-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下： 如果b^2-4ac>0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。 如果b^2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。 如果b^2-4ac<0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。 2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C／A，它平行于y轴（或垂直于x轴），将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为（x-a）^2+（y-b）^2=r^2。令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1 第三章 平面与空间直线 § 3.1平面的方程 1.求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程： （1）通过点)1,1,3(1-M 和点)0,1,1(2-M 且平行于矢量}2,0,1{-的平面（2）通过点 )1,5,1(1-M 和)2,2,3(2-M 且垂直于xoy 坐标面的平面； （3）已知四点)3,1,5(A ，)2,6,1(B ，)4,0,5(C )6,0,4(D 。求通过直线AB 且平行于直线CD 的平面，并求通过直线AB 且与ABC ?平面垂直的平面。 解： （1）Θ }1,2,2{21--=M M ，又矢量}2,0,1{-平行于所求平面， 故所求的平面方程为： ?? ? ??++-=-=--=v u z u y v u x 212123 一般方程为：07234=-+-z y x （2）由于平面垂直于xoy 面，所以它平行于z 轴，即}1,0,0{与所求的平面平行，又 }3,7,2{21-=M M ，平行于所求的平面，所以要求的平面的参数方程为： ?? ? ??+-=+-=+=v u z u y u x 317521 一般方程为：0)5(2)1(7=+--y x ，即01727=--y x 。 （3）（ⅰ）设平面π通过直线AB ，且平行于直线CD ： }1,5,4{--=，}2,0,1{-= 从而π的参数方程为： ?? ? ??+-=+=--=v u z u y v u x 235145 一般方程为：0745910=-++z y x 。 （ⅱ）设平面π'通过直线AB ，且垂直于ABC ?所在的平面 ∴ }1,5,4{--=， }1,1,1{4}4,4,4{}1,1,0{}1,5,4{==-?--=? 第八章 空间解析几何与向量代数 §8.1向量及其线性运算 1.填空题 （1）点)1,1,1(关于xoy 面对称的点为（)1,1,1(-），关于yoz 面对称的点为（)1,1,1(-），关于xoz 面对称的点为（)1,1,1(-）. （2）点)2,1,2(-关于x 轴对称的点为（)2,1,2(-），关于y 轴对称的点为（)2,1,2(---），关于z 轴对称的点为（)2,1,2(-），关于坐标原点对称的点为（)2,1,2(--）. 2. 已知两点)1,1,1(1M 和)1,2,2(2M ，计算向量21M M 的模、方向余弦和方向角. 解：因为)0,1,1(21=M M ，故2||21= M M ，方向余弦为2 2 cos = α，22cos =β，0cos =γ，方向角为4πα=，4π β=， 2 πγ=. 3. 在yoz 平面上，求与)1,1,1(A 、)2,1,2(B 、)3,3,3(C 等距离的点. 解：设该点为),,0(z y ，则 222222)3()3(9)2()1(4)1()1(1-+-+=-+-+=-+-+z y z y z y ， 即?????-+-+=-+-+-+=-+2 2222 2) 3()3(9)2()1(4)2(4)1(1z y z y z z ，解得???==33y z ，则该点 为)3,3,0(. 4. 求平行于向量k j i a 432-+=的单位向量的分解式. 解：所求的向量有两个，一个与a 同向，一个与a 反向. 因为 29)4(32||222=-++=a ，所以)432(29 1k j i e a -+± =. 5. 已知点)6,2,1(-B 且向量在x 轴、y 轴和z 轴上的投影分别为1,4,4-， 求点A 的坐标. 解：设点A 的坐标为),,(z y x ，由题意可知)1,4,4()6,2,1(-=----z y x ，则5,6,5=-==z y x ，即点A 的坐标为)5,6,5(-. §8.2 数量积 向量积 1.若3 ),(,4||,3||π = ==Λ b a b a ，求b a c 23-=的模. 解：b b b a a b a a b a b a c 22233233)23()23(||2 ?+?-?-?=-?-= 圆锥曲线第1讲 椭圆 【知识要点】 一、椭圆的定义 1. 椭圆的第一定义： 平面内到两个定点1F 、2F 的距离之和等于定长a 2（ 2 12F F a >）的点的轨迹叫椭圆，这两 个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距。 注1：在椭圆的定义中，必须强调：到两个定点的距离之和（记作a 2）大于这两个定点之间的距离 2 1F F （记作c 2），否则点的轨迹就不是一个椭圆。具体情形如下： （ⅰ）当c a 22>时，点的轨迹是椭圆； （ⅱ）当c a 22=时，点的轨迹是线段21F F ； （ⅲ）当c a 22<时，点的轨迹不存在。 注2：若用M 表示动点，则椭圆轨迹的几何描述法为 a MF MF 221=+（c a 22>， c F F 221=），即 2 121F F MF MF >+. 注3：凡是有关椭圆上的点与焦点的距离问题，通常可利用椭圆的第一定义求解，即隐含条件： a MF MF 221=+千万不可忘记。 2. 椭圆的第二定义： 平面内到某一定点的距离与它到定直线的距离之比等于常数e （10< 注1：若题目已给出椭圆的标准方程，那其焦点究竟是在x 轴还是在y 轴，主要看长半轴跟谁走。长半轴跟x 走，椭圆的焦点在x 轴；长半轴跟y 走，椭圆的焦点在y 轴。 （1）注2：求椭圆的方程通常采用待定系数法。若题目已指明椭圆的焦点的位置，则可设 其方程为12222=+b y a x （0>>b a ）或122 22=+b x a y （0>>b a ）；若题目未指明椭圆的焦 点究竟是在x 轴上还是y 轴上，则中心在坐标原点的椭圆的方程可设为 12 2=+ny mx （0>m ，0>n ，且n m ≠）. 三、椭圆的性质 以标准方程122 22=+b y a x （0>>b a ）为例，其他形式的方程可用同样的方法得到相关结论。 （1）范围：a x a ≤≤-，b y b ≤≤-； （2）对称性：关于x 轴、y 轴轴对称，关于坐标原点中心对称； （3）顶点：左右顶点分别为)0,(1a A -，)0,(2a A ；上下顶点分别为),0(1b B ，),0(2b B -； （4）长轴长为a 2，短轴长为b 2，焦距为c 2； （5）长半轴a 、短半轴b 、半焦距c 之间的关系为2 2 2 c b a +=； （6）准线方程：c a x 2 ± =； （7）焦准距：c b 2 ； （8）离心率： a c e = 且10< 同济大学(高等数学)_第八章_向量代数与解 析几何 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 第五篇 向量代数与空间解析几何 第八章 向量代数与空间解析几何 解析几何的基本思想是用代数的方法来研究几何的问题，为了把代数运算引入几何中来，最根本的做法就是设法把空间的几何结构有系统的代数化，数量化. 平面解析几何使一元函数微积分有了直观的几何意义，所以为了更好的学习多元函数微积分，空间解析几何的知识就有着非常重要的地位. 本章首先给出空间直角坐标系，然后介绍向量的基础知识，以向量为工具讨论空间的平面和直线，最后介绍空间曲面和空间曲线的部分内容. 第1节 空间直角坐标系 1.1 空间直角坐标系 用代数的方法来研究几何的问题，我们需要建立空间的点与有序数组之间的联系，为此我们通过引进空间直角坐标系来实现. 1.1.1 空间直角坐标系 过定点O ，作三条互相垂直的数轴，这三条数轴分别叫做x 轴(横轴）、y 轴(纵轴)、z 轴(竖轴)，它们都以O 为原点且具有相同的长度单位. 通常把x 轴和y 轴配置在水平面上，而z 轴则是铅垂线；它们的正方向要符合右手规则：右手握住z 轴，当右手的四指从x 轴的正向转过2 角度指向y 轴正向时，大拇指的指向就是z 轴的正向，这样就建立了一个空间直角坐标系（图8-1），称为Oxyz 直角坐标系，点O 叫做坐标原点. 图8-1 在Oxyz 直角坐标系下，数轴Ox ,Oy ,Oz 统称为坐标轴，三条坐标轴中每两条可以确定一个平面，称为坐标面，分别为xOy ，yOz ，zOx ，三个坐标平面 y x z O 蒙日圆定理(解析几何 证法) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 2 蒙日圆定理 （纯解析几何证法） 蒙日圆定理的内容： 椭圆的两条切线互相垂直，则两切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，该圆的半径等于椭圆长半轴和短半轴平方和的算术平方根。 如图，设椭圆的方程是22 221x y a b +=。两切线PM 和PN 互相垂直，交于点P 。 求证：点P 在圆2222x y a b +=+上。 证明： 若两条切线中有一条平行于x 轴时，则另一条必定平行于y 轴，显然前者通过短轴端点，而后者通过长轴端点，其交点P 的坐标只能是： (),special P a b ±± (1) 它必定在圆2222x y a b +=+上。 现考察一般情况，两条切线均不和坐标轴平行。可设两条切线方程如下： :PM y kx m =+ (2) 1 :PN y x n k =-+ (3) 联立两切线方程(2)和(3)可求出交点P 的坐标为： ()222,1 1n m k nk m P k k -??+ ?++?? (4) 从而P 点距离椭圆中心O 的距离的平方为： ()22 22 222222111 n m k nk m OP k k n k m k -????+=+????++????+= + (5) 3 现将PM 的方程代入椭圆方程，消去y ，化简整理得： 22222221210k km m x x a b b b ???? +++-= ? ????? (6) 由于PM 是椭圆的切线，故以上关于x 的一元二次方程，其判别式应等于0，化 简后可得： ()22 22 2211b m m b a k ??=+- ??? (7) 对于切线PN ，代入椭圆方程后，消去y ，令判别式等于0，同理可得： ()22 222 21b n k n b a ??=+- ??? (8) 为方便起见，令： 22222,,,,a A b B m M n N k K ===== (9) 这样(7)和(8)就分别化为了关于M 和N 的一元一次方程，不难解出： M B AK =+ (10) A N B K =+ (11) 将(10)和(11)代入(5)，就得到： 2 221 NK M OG A B a b K +==+=++ (12) 证毕。 07-05 圆的方程 点一点——明确目标 掌握圆的标准方程、一般方程、参数方程，能根据需要选择园方程的恰当形式解决问题. 做一做——热身适应 1.方程x 2+y 2－2（t +3）x +2（1－4t 2）y +16t 4+9=0（t ∈R ）表示圆方程，则t 的取值范围是 . 解析：由D 2+E 2－4F >0，得7t 2－6t －1<0， 即－ 7 1 第三章 平面与空间直线 § 平面的方程 1.求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程： （1）通过点)1,1,3(1-M 和点)0,1,1(2-M 且平行于矢量}2,0,1{-的平面（2）通过点 )1,5,1(1-M 和)2,2,3(2-M 且垂直于xoy 坐标面的平面； （3）已知四点)3,1,5(A ，)2,6,1(B ，)4,0,5(C )6,0,4(D 。求通过直线AB 且平行于直线CD 的平面，并求通过直线AB 且与ABC ?平面垂直的平面。 解： （1）Θ }1,2,2{21--=M M ，又矢量}2,0,1{-平行于所求平面， 故所求的平面方程为： 一般方程为：07234=-+-z y x （2）由于平面垂直于xoy 面，所以它平行于z 轴，即}1,0,0{与所求的平面平行，又}3,7,2{21-=M M ，平行于所求的平面，所以要求的平面的参数方程为： 一般方程为：0)5(2)1(7=+--y x ，即01727=--y x 。 （3）（ⅰ）设平面π通过直线AB ，且平行于直线CD ： }1,5,4{--=，}2,0,1{-= 从而π的参数方程为： 一般方程为：0745910=-++z y x 。 （ⅱ）设平面π'通过直线AB ，且垂直于ABC ?所在的平面 ∴ }1,5,4{--=AB ， }1,1,1{4}4,4,4{}1,1,0{}1,5,4{==-?--=?AC AB 均与π'平行，所以π'的参数式方程为： 一般方程为：0232=--+z y x . 2.化一般方程为截距式与参数式： 042:=+-+z y x π. 解： π与三个坐标轴的交点为：)4,0,0(),0,20(),0,0,4(--， 所以，它的截距式方程为： 14 24=+-+-z y x . 又与所给平面方程平行的矢量为：}4,0,4{},0,2,4{-， ∴ 所求平面的参数式方程为： 3.证明矢量},,{Z Y X =平行与平面0=+++D Cz By Ax 的充要条件为： 0=++CZ BY AX . 证明： 不妨设0≠A ， 则平面0=+++D Cz By Ax 的参数式方程为： 故其方位矢量为：}1,0,{},0,1,{A C A B --， 从而v 平行于平面0=+++D Cz By Ax 的充要条件为： ，}1,0,{},0,1,{A C A B -- 共面? ? 0=++CZ BY AX . 4. 已知连接两点),12,0(),5,10,3(z B A -的线段平行于平面0147=--+z y x ，求B 点的z 坐标. 解： Θ }5,2,3{z +-= 而平行于0147=--+z y x 由题3知：0)5(427)3(=+-?+?-z 从而18=z . 5. 求下列平面的一般方程. ⑴通过点()1,1,21-M 和()1,2,32-M 且分别平行于三坐标轴的三个平面; ⑵过点()4,2,3-M 且在x 轴和y 轴上截距分别为2-和3-的平面; 2021年广东省新高考数学总复习第九章《平面解析几何》 高考专题突破五 高考中的圆锥曲线问题 第1课时 范围、最值问题 题型一 范围问题 例1 (2020·模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 23 －y 2＝1的离心率互为倒数，且直线x －y －2＝0经过椭圆的右顶点． (1)求椭圆C 的标准方程； (2)设不过原点O 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，且直线OM ，MN ，ON 的斜率依次成等比数列，求△OMN 面积的取值范围． 解 (1)∵双曲线的离心率为 233， ∴椭圆的离心率e ＝c a ＝32 . 又∵直线x －y －2＝0经过椭圆的右顶点， ∴右顶点为点(2,0)，即a ＝2，c ＝3，b ＝1， ∴椭圆方程为x 24 ＋y 2＝1. (2)由题意可设直线的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)， M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．联立????? y ＝kx ＋m ，x 24 ＋y 2＝1， 消去y ，并整理得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－1)＝0， 则x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4(m 2－1)1＋4k 2 ， 于是y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m ) ＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2. 又直线OM ，MN ，ON 的斜率依次成等比数列， 故y 1x 1·y 2x 2＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2 x 1x 2 ＝k 2， 则－8k 2m 2 1＋4k 2 ＋m 2＝0. 由m ≠0得k 2＝14，解得k ＝±12 . 又由Δ＝64k 2m 2－16(1＋4k 2)(m 2－1) ＝16(4k 2－m 2＋1)>0，得0 第11讲 解析几何之直线与圆的方程 一．基础知识回顾 （一）直线与直线的方程 1．直线的倾斜角与斜率：(1)直线的倾斜角①定义：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴________与直线l________方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为________．②倾斜角的范围为__________．(2)直线的斜率①定义：一条直线的倾斜角α的________叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝________，倾斜角是90°的直线斜率不存在．②过两点的直线的斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2) (x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝____________. 2．直线的方向向量：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线的一个方向向量为P 1P 2→，其坐标 为________________，当斜率k 存在时，方向向量的坐标可记为(1，k)． 3 4.12112212M 的坐标为(x ，y)，则????? x ＝ ，y ＝ ，此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式． 二．直线与直线的位置关系 1．两直线的位置关系：平面上两条直线的位置关系包括平行、相交、重合三种情况． (1)两直线平行：对于直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，l 1∥l 2?_________________.对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 2B 2C 2≠0)，l 1∥l 2?________________________. (2)两直线垂直：对于直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，l 1⊥l 2?k 12k 2＝____.对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，l 1⊥l 2?A 1A 2＋B 1B 2＝____. 2．两条直线的交点：两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，如果两直线相交，则交点的坐标一定是这两个方程组成的方程组的____；反之，如果这个方程组只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点必是l 1和l 2的________，因此，l 1、l 2是否有交点，就看l 1、l 2构成的方程组是否有________． 3.常见的直线系方程有：(1)与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程是：Ax ＋By ＋m ＝0 (m ∈R 且m ≠C )；(2)与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程是Bx －Ay ＋m ＝0 (m ∈R)； (3)过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0 (λ∈R)，但不包括l 4．平面中的相关距离：(1)两点间的距离平面上两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离|P 1P 2|＝____________________.(2)点到直线的距离：平面上一点P (x 0，y 0)到一条直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝_______________.(3)两平行线间的距离已知l 1、l 2是平行线，求l 1、l 2间距离的方法：①求一条直线上一点到另一条直线的距离；②设l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0，则l 1与l 2之间的距离d ＝________________. 三．圆与圆的方程 1．圆的定义：在平面内，到________的距离等于________的点的________叫圆． 2．确定一个圆最基本的要素是________和________． 3．圆的标准方程；(x －a )2＋(y －b )2＝r 2 (r >0)，其中________为圆心，____为半径． 4．圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是__________________，其中 圆心为___________________，半径r ＝____________________________. 四．点线圆之间的位置关系 1．点与圆的位置关系：点和圆的位置关系有三种．圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，点 专题一求圆的轨迹方程 教学目标： 1、掌握直线与圆的标准方程与一般方程，能根据问题的条件选择适当的 形式求圆的方程； 2、掌握直线与圆的位置关系，可以应用直线与圆的位置关系求圆的方程 3、理解圆的标准方程与一般方程之间的关系，会进行互化。 教学重难点： 1、掌握圆的标准方程与一般方程，能根据问题的条件选择适当的形式求圆 的方程； 2、会求曲线的轨迹方程（圆） 教学过程： 第一部分知识点回顾 一、圆的方程 : 1 .圆的标准方程：x a? y b 2 r2o 2 ?圆的一般方程：x2 y2 Dx Ey F 0（D2+ E2—4F 0） 特别提醒：只有当D2+ E2—4F 0时，方程x2 y2 Dx Ey F 0才表示圆心为（D, E）,半径为1~E2~4F的圆 2 2 2 思考：二元二次方程Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0表示圆的充要条件是什么？ 答案：（A C 0,且 B 0 且D2 E2 4AF 0 ））； 3 .圆的参数方程：y a r s°s (为参数)，其中圆心为(a,b)，半径为 r 。圆的参数方程的主要应用是三角换元: (3) 已知P( 1, -3)是圆y ；；煮(为参数，0 2 )上的点，则圆的 普通方程为，P 点对应的 值为，过P 点的圆的切线方程是 (答：x 2 y 2=4 ； — ； x ,3y 4 0)； 3 (4) 如果直线l 将圆：x 22-240平分，且不过第四象限，那么I 的斜率 的取值范围是_ (答: [0 , 2]); (5) 方程x 22 - 0表示一个圆，则实数k 的取值范围为(答：k 丄)； (6) 若 M {(x, y) | y 3sos (为参数，0 )}， N (x, y) | y x b , 若MN ，则b 的取值范围是(答：-33& ) 二、点与圆的位置关系：已知点M x 0 ,y 0 及圆C: x-a $ y b ? r 2 r 0 , (1) 点 M 在圆 C 外 |CM | r x 0 a 2 y 。b 2 r 2; (2) 点 M 在圆 C 内 CM| r x 0 a 2 y 。b 2 r 2; (3) 点 M 在圆 C 上 CM r x 0 a $ y 0 r 2。女口 点P(5a+1,12a)在圆(x -1 )2 + y 2=1的内部，则a 的取值范围是(答: 2 ^22, r x r cos , y r sin ； x y t x r cos ,y r sin (0 r .,t)。 X i ,y i ,B X 2,y 2为直径端点的圆方程 x x 1 x X 2 y y 1 y y 2 0 如 (1) 圆C 与圆(X 1)2 y 2 1关于直线y x 对称， 则圆 C 的方程为 (答: x 2 (y 1)2 1); (2) 圆心在直线2x y 3上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是 (答: (x 3)2 (y 3)2 9或(x 1)2 (y 1)2 1 )； 高考专题第九章 解析几何 第一节 直线与方程 1.(2014·广东，10)曲线y ＝e －5x ＋2在点(0,3)处的切线方程为________. 2.(2014·四川，14)设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|P A |·|PB |的最大值是________. 3.(2014·江苏，11)在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋b x (a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是________. 1.(2016·福建福州模拟)设不同直线l 1:2x －my －1＝0,l 2:(m －1)x －y ＋1＝0.则“m ＝2”是“l 1∥l 2”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 2.(2016·河北邢台模拟)已知点P (x ，y )为曲线y ＝x ＋1x 上任一点，点A (0，4)，则直线AP 的斜率k 的取值范围是( ) A.[－3，＋∞) B.(3，＋∞)C.[－2，＋∞) D.(1，＋∞) 3.(2016·广西南宁调研)已知直线ax ＋4y －2＝0与2x －5y ＋b ＝0互相垂直，垂足为(1，c )，则a ＋b ＋c 的值为( ) A.－4 B.20 C.0 D.24 4.(2015·山东省实验中学期末)已知倾斜角为α的直线l 与直线x －2y ＋2＝0平行,则tan 2α的值为( ) A.45B.43C.34D.23 5.(2016·四川乐山模拟)已知集合A ＝???? ??（x ，y ）|y －3x －2＝a ＋1,B ＝{(x ,y )|(a 2－1)x ＋(a －1)y ＝15},求a 为何值时,A ∩B ＝?. 6.(2015·盐城模拟)经过两条直线2x －3y ＋3＝0,x －y ＋2＝0的交点,且与直线x －3y －1＝0平行的直线的一般式方程为______________________. 9.7 抛物线 必备知识预案自诊 知识梳理 1.抛物线的定义 平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )的 的点的轨迹叫作抛物线.点F 叫作抛物线的 ,直线l 叫作抛物线的 . 注意若定点F 在定直线l 上,则动点的轨迹为过点F 且垂直于l 的一条直线. 2.抛物线的几何性质 标准方程 y 2=2px (p>0) y 2=-2px (p>0) x 2=2py (p>0) x 2=-2py (p> 0) p 的几何意义:焦点F 到准线l 的距 离 图 形 顶 点 对称轴 x 轴 焦 点 F p 2,0 F -p 2,0 F 0,p 2 F 0,-p 2 离心率 e= 准线方程 x=-p 2 x=p 2 y=-p 2 y=p 2 范 围 x ≥0,y ∈R x ≤0,y ∈R y ≥0,x ∈R y ≤0,x ∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 焦半径 (其 中 P (x 0,y 0)) |PF|= x 0+p 2 |PF|= -x 0+p 2 |PF|= y 0+p 2 |PF|= -y 0+p 2 1.设AB 是过抛物线y 2 =2px (p>0)焦点F 的弦,若 A(x1,y1),B(x2,y2),如图所示,则 (1)x1x2=p2 4 ,y1y2=-p2; (2)弦长|AB|=x1+x2+p=2p ppp2p (α为弦AB所在直线的 倾斜角); (3)以弦AB为直径的圆与准线相切; (4)S△AOB=p2 2pppα (α为弦AB所在直线的倾斜角); (5)∠CFD=90°. 2.抛物线y2=2px(p>0)的通径长为2p. 考点自诊 1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”. (1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线. () (2)若直线与抛物线只有一个交点,则直线与抛物线一定相切.() (3)若一抛物线过点P(-2,3),则其标准方程可写为y2=2px(p>0).() (4)抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形.() (5)方程y=ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线,且其焦点坐标是p 4 ,0. () 2.(2020天津河北区线上测试,5)已知抛物线y2=4x与x2=2py(p>0)的焦点间的距离为2,则p的值为() A.2√3 B.4 C.6 D.12 3.(2020北京,7)设抛物线的顶点为O,焦点为F,准线为l.P是抛物线上异于O的一点,过P作PQ⊥l于Q,则线段FQ的垂直平分线() A.经过点O B.经过点P C.平行于直线OP D.垂直于直线OP 4.(2020全国1,理4)已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,点A到C的焦点的距离为12,到y轴的距离为9,则p=() A.2 B.3 C.6 D.9 5.设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F(1,0),过点P(1,1)的直线l与抛物线C交于A,B 两点,若P恰好为线段AB的中点,则|AB|= . 关键能力学案突破 考 点 抛物线的定 义及其应用 【例1】(1)(2020辽宁大连模拟,文12)已知抛物线y2=2x的焦点为F,以点P(9 2 ,0)为圆心,|PF|为半径作一圆与抛物线在x轴上方交于M,N两点,则|MF|+|NF|等于() A.8 B.18 C.2√2 D.4 第一章矢量与坐标 § 1.1矢量的概念 1.下列情形中的矢量终点各构成什么图形？ （1）把空间中一切单位矢量归结到共同的始点； （2）把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点； （3）把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点； （4）把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始点. 解： 2.设点 O 是正六边形 ABCDEF的中心， 在矢量 OA 、 OB 、 OC 、 OD 、 OE 、 OF 、 AB 、 BC 、 CD、DE 、 EF O 和 FA 中，哪些矢量是相等的？ [解 ]： 图 1-1 3.设在平面上给了一个四边形ABCD，点 K、L、 M、N 分别是边ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、 ＤＡ的中点，求证：KL ＝ NM .当ABCD是空间四边形时，这等式是否也成立？ [证明 ]： . 4.如图1-3，设ABCD-EFGH是一个平行六面体， 在下列各对矢量中，找出相等的矢量和互为相反 矢量的矢量： (1) AB、; (2) AE、; (3) AC 、 CD CG EG ; (4)AD 、 GF ;(5)BE 、 CH . 解： 图1—3 § 1.2矢量的加法 1.要使下列各式成立，矢量a,b 应满足什么条件？ （1）a b a b;（2）a b a b ; （3）a b a b ;（4）a b a b ; （5）a b a b . 解： § 1.3数量乘矢量 1试解下列各题． ⑴化简 (x y) (a b) (x y) (a b) ． ⑵已知 a e1 2 e2e3， b 3e12e2 2 e3，求a b ， a b 和 3 a 2 b ． ⑶ 从矢量方程组解：3 x 4 y a ，解出矢量 x ，y．2 x 3 y b 2 已知四边形ABCD 中， AB a 2 c ，CD 5 a 6 b 8 c ，对角线AC 、 BD 的中 点分别为 E 、 F ，求EF． 解： 3 设AB a 5 b ， BC 2 a 8 b ，CD3( a b) ，证明： A 、 B 、 D 三点共线．解： （江苏专版）高考数学一轮复习第九章解析几何第八节曲线与方 程教案理（含解析）苏教版 第八节 曲线与方程 1．曲线与方程 一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C 上的点与一个二元方程f (x ，y )＝0的实数解建立了如下关系： (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解． (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线． 2．求动点轨迹方程的一般步骤 (1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x ，y )表示曲线上任意一点M 的坐标； (2)写出适合条件p 的点M 的集合P ＝{M |p (M )}； (3)用坐标表示条件p (M )，列出方程f (x ，y )＝0； (4)化方程f (x ，y )＝0为最简形式； (5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上． 3．曲线的交点 设曲线C 1的方程为F 1(x ，y )＝0，曲线C 2的方程为F 2(x ，y )＝0，则C 1，C 2的交点坐标 即为方程组? ?? ?? F 1x ，y ＝0，F 2x ，y ＝0 的实数解．若此方程组无解，则两曲线无交点． [小题体验] 1．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足PA ＝2PB ，则点P 的轨迹方程为________． 解析：设P 点的坐标为(x ，y )， ∵A (－2,0)，B (1,0)，动点P 满足PA ＝2PB ， ∴ x ＋2 2 ＋y 2 ＝2 x －1 2 ＋y 2 ， 平方得(x ＋2)2 ＋y 2 ＝4[(x －1)2 ＋y 2 ]， 化简得(x －2)2 ＋y 2 ＝4， ∴点P 的轨迹是以(2,0)为圆心、2为半径的圆，方程为(x －2)2 ＋y 2 ＝4.第九章 9.7解析几何
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