2021年广东省新高考数学总复习第九章《平面解析几何》专题：高考中的圆锥曲线问题第1课时

2024年高考数学总复习第九章《平面解析几何》第3课时证明与探索性问题题型一证明问题例1设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 22＋y 2＝1上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP →＝2NM →.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线x ＝－3上，且OP →·PQ →＝1.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .(1)解设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，则N (x 0,0)，NP →＝(x －x 0，y )，NM →＝(0，y 0)．由NP →＝2NM →得x 0＝x ，y 0＝22y .因为M (x 0，y 0)在C 上，所以x 22＋y 22＝1.因此点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝2.(2)证明由题意知F (－1,0)．设Q (－3，t )，P (m ，n )，则OQ →＝(－3，t )，PF →＝(－1－m ，－n )，OQ →·PF →＝3＋3m －tn ，OP →＝(m ，n )，PQ →＝(－3－m ，t －n )．由OP →·PQ →＝1，得－3m －m 2＋tn －n 2＝1.又由(1)知m 2＋n 2＝2，故3＋3m －tn ＝0.所以OQ →·PF →＝0，即OQ →⊥PF →.又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .思维升华圆锥曲线中的证明问题多涉及证明定值、点在定直线上等，有时也涉及一些否定性命题，证明方法一般是采用直接法或反证法．跟踪训练1已知椭圆T ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点A (0,1)，离心率e ＝63，圆C ：x 2＋y 2＝4，从圆C 上任意一点P 向椭圆T 引两条切线PM ，PN .(1)求椭圆T 的方程；(2)求证：PM ⊥PN .(1)解由题意可知b ＝1，c a ＝63，即2a 2＝3c 2，又a 2＝b 2＋c 2，联立解得a 2＝3，b 2＝1.∴椭圆方程为x 23＋y 2＝1.(2)证明方法一①当P 点横坐标为±3时，纵坐标为±1，PM 斜率不存在，PN 斜率为0，PM ⊥PN .②当P 点横坐标不为±3时，设P (x 0，y 0)，则x 20＋y 20＝4，设k PM ＝k ，PM 的方程为y －y 0＝k (x －x 0)，y 0＝k (x －x 0)，y 2＝1，消去y 得(1＋3k 2)x 2＋6k (y 0－kx 0)x ＋3k 2x 20－6kx 0y 0＋3y 20－3＝0，依题意Δ＝36k 2(y 0－kx 0)2－4(1＋3k 2)(3k 2x 20－6kx 0y 0＋3y 20－3)＝0，化简得(3－x 20)k 2＋2x 0y 0k ＋1－y 20＝0，又k PM ，k PN 为方程的两根，所以k PM ·k PN ＝1－y 203－x 20＝1－(4－x 20)3－x 20＝x 20－33－x 20＝－1.所以PM ⊥PN .综上知PM ⊥PN .方法二①当P 点横坐标为±3时，纵坐标为±1，PM 斜率不存在，PN 斜率为0，PM ⊥PN .②当P 点横坐标不为±3时，设P (2cos θ，2sin θ)，切线方程为y －2sin θ＝k (x －2cos θ)，2sin θ＝k (x －2cos θ)，y 2＝1，联立得(1＋3k 2)x 2＋12k (sin θ－k cos θ)x ＋12(sin θ－k cos θ)2－3＝0，令Δ＝0，即Δ＝144k 2(sin θ－k cos θ)2－4(1＋3k 2)[12(sin θ－k cos θ)2－3]＝0，化简得(3－4cos 2θ)k 2＋4sin 2θ·k ＋1－4sin 2θ＝0，k PM ·k PN ＝1－4sin 2θ3－4cos 2θ＝(4－4sin 2θ)－33－4cos 2θ＝－1.所以PM ⊥PN .综上知PM ⊥PN .题型二探索性问题例2在平面直角坐标系xOy 中，曲线C ：y ＝x 24与直线l ：y ＝kx ＋a (a >0)交于M ，N 两点，(1)当k ＝0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；(2)y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM ＝∠OPN ？说明理由．解(1)由题设可得M (2a ，a )，N (－2a ，a )，或M (－2a ，a )，N (2a ，a )．又y ′＝x 2，故y ＝x 24在x ＝2a 处的导数值为a ，C 在点(2a ，a )处的切线方程为y －a ＝a (x －2a )，即ax －y －a ＝0.y ＝x 24在x ＝－2a 处的导数值为－a ，C 在点(－2a ，a )处的切线方程为y －a ＝－a (x ＋2a )，即ax ＋y ＋a ＝0.故所求切线方程为ax －y －a ＝0和ax ＋y ＋a ＝0.(2)存在符合题意的点，证明如下：设P (0，b )为符合题意的点，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2.将y ＝kx ＋a 代入C 的方程得x 2－4kx －4a ＝0.故x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4a .从而k 1＋k 2＝y 1－b x 1＋y 2－bx 2＝2kx 1x 2＋(a －b )(x 1＋x 2)x 1x 2＝k (a ＋b )a.当b ＝－a 时，有k 1＋k 2＝0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补，故∠OPM ＝∠OPN ，所以点P (0，－a )符合题意．思维升华解决探索性问题的注意事项探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论；(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要开放思维，采取另外合适的方法．跟踪训练2(2018·广州模拟)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点且离心率e ＝22，直线l 与E 相交于M ，N 两点，l 与x 轴、y 轴分别相交于C ，D 两点，O 为坐标原点．(1)求椭圆E 的方程；(2)判断是否存在直线l ，满足2OC →＝OM →＋OD →，2OD →＝ON →＋OC →？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解(1)＝22，＋12b 2＝1，b2＋c 2，2＝2，2＝1.所以椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)存在直线l ，满足2OC →＝OM →＋OD →，2OD →＝ON →＋OC →.理由如下：方法一由题意，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (km ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则－m k，D (0，m )．kx ＋m ，y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0，所以Δ＝16k 2－8m 2＋8>0.(*)由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－21＋2k 2.因为2OC →＝OM →＋OD →，2OD →＝ON →＋OC →，所以MC →＝CD →＝DN →，所以C ，D 是线段MN 的两个三等分点，得线段MN 的中点与线段CD 的中点重合．所以x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2＝0－m k ，解得k ＝±22.由C ，D 是线段MN 的两个三等分点，得|MN |＝3|CD |.所以1＋k 2|x 1－x 2|＝即|x 1－x 2|＝3|m k |，解得m ＝±55.验证知(*)成立．所以存在直线l ，满足2OC →＝OM →＋OD →，2OD →＝ON →＋OC →，此时直线l 的方程为y ＝22x ±55或y ＝－22x ±55.方法二设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，C (m,0)，D (0，n )，由2OC →＝OM →＋OD →，2OD →＝ON →＋OC →，(m ，0)＝(x 1，y 1)＋(0，n )，(0，n )＝(x 2，y 2)＋(m ，0)，解得M (2m ，－n )，N (－m,2n )．又M ，N 两点在椭圆上，n 2＝1，4n 2＝1，m 2＋n 2＝1，2＋8n 2＝2，＝±105，＝±55，故所求直线l 的方程为52x －10y ＋25＝0或52x －10y －25＝0或52x ＋10y ＋25＝0或52x ＋10y －25＝0.1．(2018·聊城模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，点P 为椭圆上一点，△F 1PF 2面积的最大值为3.(1)求椭圆C 的方程；(2)过点A (4,0)作关于x 轴对称的两条不同直线l 1，l 2分别交椭圆于M (x 1，y 1)与N (x 2，y 2)，且x 1≠x 2，证明直线MN 过定点，并求△AMN 的面积S 的取值范围．解(1)设a 2－b 2＝c 2，则c a ＝32，设P (x ，y )，则12F PF S ＝c |y |，∵|y |≤b ，∴12F PF S ≤bc ＝3.＝2，＝1.∴椭圆C的方程为x24＋y2＝1.(2)设MN方程为x＝ny＋m(n≠0)，＝ny＋m，2＋4y2－4＝0，得(n2＋4)y2＋2nmy＋m2－4＝0，由题意知，Δ＝16(n2－m2＋4)>0，∴y1＋y2＝－2nmn2＋4，y1y2＝m2－4n2＋4，∵关于x轴对称的两条不同直线l1，l2的斜率之和为0，即y1x1－4＋y2x2－4＝0，即y1ny1＋m－4＋y2ny2＋m－4＝0，得2ny1y2＋m(y1＋y2)－4(y1＋y2)＝0，即2n(m2－4)n2＋4－2nm2n2＋4＋8nmn2＋4＝0.解得m＝1.直线MN方程为x＝ny＋1，∴直线MN过定点B(1,0)．又|y1－y2|＝＝4n2＋3(n2＋4)2＝41n2＋4－1(n2＋4)2，令1n2＋4＝t，∴t∴|y1－y2|＝4－t2＋t∈(0，3)，又S＝12|AB||y1－y2|＝32|y1－y2|2．(2018·菏泽模拟)已知抛物线E的顶点为平面直角坐标系xOy的坐标原点O，焦点为圆F：x2＋y2－4x＋3＝0的圆心F.经过点F的直线l交抛物线E于A，D两点，交圆F于B，C两点，A，B在第一象限，C，D在第四象限．(1)求抛物线E的方程；(2)是否存在直线l使2|BC|是|AB|与|CD|的等差中项？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．解(1)∵圆F的方程为(x－2)2＋y2＝1，∴圆心F的坐标为(2,0)，半径r＝1.根据题意设抛物线E的方程为y2＝2px(p>0)，∴p2＝2，解得p＝4.∴抛物线E的方程为y2＝8x.(2)∵2|BC|是|AB|与|CD|的等差中项，|BC|＝2r，∴|AB|＋|CD|＝4|BC|＝4×2r＝8.∴|AD|＝|AB|＋|BC|＋|CD|＝10.讨论：若l垂直于x轴，则l的方程为x＝2，代入y2＝8x，解得y＝±4.此时|AD|＝8，不满足题意；若l不垂直于x轴，则设l的斜率为k(k≠0)，此时l的方程为y＝k(x－2)，＝k(x－2)，2＝8x，得k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0.设A(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1＋x2＝4k2＋8k2.∵抛物线E的准线方程为x＝－2，∴|AD|＝|AF|＋|DF|＝(x1＋2)＋(x2＋2)＝x1＋x2＋4，∴4k2＋8k2＋4＝10，解得k＝±2.易知k＝±2符合题设．∴存在满足要求的直线l：2x－y－4＝0或直线l：2x＋y－4＝0.3．(2018·三明质检)已知顶点是坐标原点的抛物线Γ的焦点F在y轴正半轴上，圆心在直线y ＝12x上的圆E与x轴相切，且E，F关于点M(－1,0)对称．(1)求E和Γ的标准方程；(2)过点M的直线l与E交于A，B，与Γ交于C，D，求证：|CD|>2|AB|.(1)解设Γ的标准方程为x2＝2py(p>0)，则已知E在直线y＝12x上，故可设E(2a，a)．因为E，F关于M(－1,0)1，0，＝－1，＝2.所以Γ的标准方程为x2＝4y.因为E与x轴相切，故半径r＝|a|＝1，所以E的标准方程为(x＋2)2＋(y＋1)2＝1.(2)证明由题意知，直线l的斜率存在，设l的斜率为k，那么其方程为y＝k(x＋1)(k≠0)，则E(－2，－1)到l的距离d＝|k－1|k2＋1，因为l与E交于A，B两点，所以d2<r2，即(k－1)2k2＋1<1，解得k>0，所以|AB|＝21－d2＝22kk2＋1.2＝4y，＝k(x＋1)消去y并整理得x2－4kx－4k＝0.Δ＝16k2＋16k>0恒成立，设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4k，那么|CD|＝k2＋1|x1－x2|＝k2＋1·(x1＋x2)2－4x1x2＝4k2＋1·k2＋k.所以|CD|2|AB|2＝16(k2＋1)(k2＋k)8kk2＋1＝2(k2＋1)2(k2＋k)k＝2k(k2＋1)2(k＋1)k>2kk＝2.所以|CD|2>2|AB|2，即|CD|>2|AB|.4．(2018·兰州诊断)椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作垂直于x 轴的直线与椭圆E在第一象限交于点P，若|PF1|＝322，且a＝2b2.(1)求椭圆E的方程；(2)已知点P关于y轴的对称点Q在抛物线C：y2＝mx上，是否存在直线l与椭圆交于A，B，使得A ，B 的中点M 落在直线y ＝2x 上，并且与抛物线C 相切，若直线l 存在，求出l 的方程，若不存在，请说明理由．解(1)由题意可得4c 2＝92，＝2b 2，b 2＋c 2，解得a 2＝2，b 2＝1，所以椭圆方程为x 22＋y 2＝1.(2)由(1)可知1y 2＝mx 可得抛物线方程是y 2＝－12x .若直线l 斜率存在，设直线l 与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)y 21＝1，y 22＝1，两式作差可得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，A ，B 的中点M 落在直线y ＝2x 上，则有y 1＋y 2＝2(x 1＋x 2)，代入可得y 1－y 2x 1－x 2＝－14，直线l 方程可以设为y ＝－14x ＋b ，与抛物线方2＝－12x ，＝－14x ＋b ，消元可得方程y 2－2y ＋2b ＝0，直线与抛物线相切则有Δ＝4－8b ＝0，即b ＝12，则直线l 的方程为x ＋4y－2＝0，与椭圆方程联立得y 2＝1，4y －2＝0，消元可得方程9y 2－8y ＋1＝0，Δ＝64－4×9＝28>0，所以直线x ＋4y －2＝0满足题意．当直线l 斜率不存在时，直线x ＝0满足题意．综上所述，直线l 的方程为x ＝0或x ＋4y －2＝0.5．(2018·甘肃西北师范大学附属中学诊断)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，过右焦点F 且斜率为1的直线交椭圆C 于A ，B 两点，N 为弦AB 的中点，O 为坐标原点．(1)求直线ON 的斜率k ON ；(2)求证：对于椭圆C 上的任意一点M ，都存在θ∈[0,2π)，使得OM →＝cos θOA →＋sin θOB →成立．(1)解设椭圆的焦距为2c ，因为c a ＝63，所以a 2－b 2a 2＝23，故有a 2＝3b 2.从而椭圆C 的方程可化为x 2＋3y 2＝3b 2.①知右焦点F 的坐标为(2b,0)，据题意有AB 所在的直线方程为y ＝x －2b .②由①②得4x 2－62bx ＋3b 2＝0.③设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦AB 的中点N (x 0，y 0)，由③及根与系数的关系得：x 0＝x 1＋x 22＝32b 4，y 0＝x 0－2b ＝－24b .所以k ON ＝y 0x 0＝－13，即为所求．(2)证明显然OA →与OB →可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量OM →，有且只有一对实数λ，μ，使得等式OM →＝λOA →＋μOB →成立．设M (x ，y )，由(1)中各点的坐标有(x ，y )＝λ(x 1，y 1)＋μ(x 2，y 2)，故x ＝λx 1＋μx 2，y ＝λy 1＋μy 2.又因为点M 在椭圆C 上，所以有(λx 1＋μx 2)2＋3(λy 1＋μy 2)2＝3b 2，整理可得λ2(x 21＋3y 21)＋μ2(x 22＋3y 22)＋2λμ(x 1x 2＋3y 1y 2)＝3b 2.④由③有x 1＋x 2＝32b 2，x 1·x 2＝3b 24.所以x 1x 2＋3y 1y 2＝x 1x 2＋3(x 1－2b )(x 2－2b )＝4x 1x 2－32b (x 1＋x 2)＋6b 2＝3b 2－9b 2＋6b 2＝0.⑤又点A ，B 在椭圆C 上，故有x 21＋3y 21＝3b 2，x 22＋3y 22＝3b 2.⑥将⑤，⑥代入④可得，λ2＋μ2＝1.所以，对于椭圆上的每一个点M ，总存在一对实数，使等式OM →＝λOA →＋μOB →成立，且λ2＋μ2＝1.所以存在θ∈[0,2π)，使得λ＝cos θ，μ＝sin θ.也就是：对于椭圆C 上任意一点M ，总存在θ∈[0,2π)，使得等式OM →＝cos θOA →＋sin θOB →成立．6.如图，椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率是32，点P(0，1)在短轴CD上，且PC→·PD→＝－1.(1)求椭圆E的方程；(2)设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A，B两点．是否存在常数λ，使得OA→·OB→＋λPA→·PB→为定值？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．解(1)由已知，点C，D的坐标分别为(0，－b)，(0，b)，又点P的坐标为(0,1)，且PC→·PD→＝－1，1－b2＝－1，ca＝32，a2－b2＝c2，解得a＝22，b＝2，所以椭圆E的方程为x28＋y22＝1.(2)当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋1，A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，x28＋y22＝1，y＝kx＋1，得(4k2＋1)x2＋8kx－4＝0，其判别式Δ＝(8k)2＋16(4k2＋1)>0，所以x1＋x2＝－8k4k2＋1，x1x2＝－44k2＋1，从而，OA→·OB→＋λPA→·PB→＝x1x2＋y1y2＋λ[x1x2＋(y1－1)(y2－1)]＝(1＋λ)(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝(－4λ－8)k2＋(－4λ－3)4k2＋1＝－3λ＋14k2＋1－λ－2.所以当λ＝－13时，－3λ＋14k2＋1－λ－2＝－53，此时OA→·OB→＋λPA→·PB→＝－53为定值．当直线AB 斜率不存在时，直线AB 即为直线CD ，此时，OA →·OB →＋λPA →·PB →＝OC →·OD →－13PC →·PD →＝－2＋13＝－53.故存在常数λ＝－13，使得OA →·OB →＋λPA →·PB →为定值－53.。

2021年广东省新高考数学总复习第九章《平面解析几何》第2课时 定点与定值问题题型一 定点问题例1 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点(0,1)，其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列．直线l 与x 轴正半轴和y 轴分别交于点Q ，P ，与椭圆分别交于点M ，N ，各点均不重合且满足PM →＝λ1MQ →，PN →＝λ2NQ →.(1)求椭圆的标准方程；(2)若λ1＋λ2＝－3，试证明：直线l 过定点，并求此定点．解 (1)设椭圆的焦距为2c ，由题意知b ＝1，且(2a )2＋(2b )2＝2(2c )2，又a 2＝b 2＋c 2，∴a 2＝3.∴椭圆的标准方程为x 23＋y 2＝1. (2)由题意设P (0，m )，Q (x 0,0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，设l 方程为x ＝t (y －m )，由PM →＝λ1MQ →知(x 1，y 1－m )＝λ1(x 0－x 1，－y 1)，∴y 1－m ＝－y 1λ1，由题意y 1≠0，∴λ1＝m y 1－1. 同理由PN →＝λ2NQ →知λ2＝m y 2－1. ∵λ1＋λ2＝－3，∴y 1y 2＋m (y 1＋y 2)＝0， ①联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3y 2＝3，x ＝t (y －m )，得(t 2＋3)y 2－2mt 2y ＋t 2m 2－3＝0， ∴由题意知Δ＝4m 2t 4－4(t 2＋3)(t 2m 2－3)>0， ②且有y 1＋y 2＝2mt 2t 2＋3，y 1y 2＝t 2m 2－3t 2＋3， ③ ③代入①得t 2m 2－3＋2m 2t 2＝0，∴(mt )2＝1，由题意mt <0，∴mt ＝－1，满足②，得直线l 的方程为x ＝ty ＋1，过定点(1,0)，即Q 为定点．思维升华 圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关． 跟踪训练1 (2018·聊城模拟)已知圆x 2＋y 2＝4经过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点和两个顶点，点A (0，4)，M ，N 是椭圆C 上的两点，它们在y 轴两侧，且∠MAN 的平分线在y 轴上，|AM |≠|AN |.(1)求椭圆C 的方程；(2)证明：直线MN 过定点．(1)解 圆x 2＋y 2＝4与x 轴交于点(±2,0)，即为椭圆的焦点，圆x 2＋y 2＝4与y 轴交于点(0，±2)，即为椭圆的上下两顶点，所以c ＝2，b ＝2.从而a ＝22，因此椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1. (2)证明 设直线MN 的方程为y ＝kx ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 28＋y 24＝1， 消去y 得(2k 2＋1)x 2＋4kmx ＋2m 2－8＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4km 2k 2＋1，x 1x 2＝2m 2－82k 2＋1. 直线AM 的斜率k 1＝y 1－4x 1＝k ＋m －4x 1； 直线AN 的斜率k 2＝y 2－4x 2＝k ＋m －4x 2.k 1＋k 2＝2k ＋(m －4)(x 1＋x 2)x 1x 2＝2k ＋(m －4)(－4km )2m 2－8＝16k (m －1)2m 2－8. 由∠MAN 的平分线在y 轴上，得k 1＋k 2＝0.又因为|AM |≠|AN |，所以k ≠0，所以m ＝1.因此，直线MN 过定点(0,1)．题型二 定值问题例2 (2018·北京)已知抛物线C ：y 2＝2px 经过点P (1,2)，过点Q (0,1)的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线P A 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N .(1)求直线l 的斜率的取值范围；(2)设O 为原点，QM →＝λQO →，QN →＝μQO →，求证：1λ＋1μ为定值． (1)解 因为抛物线y 2＝2px 过点(1,2)，所以2p ＝4，即p ＝2.故抛物线C 的方程为y 2＝4x .由题意知，直线l 的斜率存在且不为0.设直线l 的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋1，得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0. 依题意知Δ＝(2k －4)2－4×k 2×1>0，解得k <0或0<k <1.又P A ，PB 与y 轴相交，故直线l 不过点(1，－2)．从而k ≠－3.所以直线l 的斜率的取值范围是(－∞，－3)∪(－3,0)∪(0,1)．。

热点探究课(六) 高考中的圆锥曲线问题[命题解读] 圆锥曲线是平面解析几何的核心内容，每年高考必考一道解答题，常以求圆锥曲线的标准方程、位置关系、定点、定值、最值、范围、探索性问题为主．这些试题的命题有一个共同的特点，就是起点低，但在第(2)问中一般都伴有较为复杂的运算，对考生解决问题的能力要求较高．热点1 圆锥曲线的标准方程与性质圆锥曲线的标准方程在高考中占有十分重要的地位．一般地，求圆锥曲线的标准方程是作为解答题中考查“直线与圆锥曲线”的第一小题，最常用的方法是定义法与待定系数法．离心率是高考对圆锥曲线考查的另一重点，涉及a ，b ，c 三者之间的关系．另外抛物线的准线，双曲线的渐近线也是命题的热点．如图1，椭圆x 2a ＋y 2b＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于P ，Q 两点，且PQ ⊥PF 1.图1(1)若PF 1＝2＋2，PF 2＝2－2，求椭圆的标准方程； (2)若PF 1＝PQ ，求椭圆的离心率e . 【导学号：62172279】 [解] (1)由椭圆的定义，2a ＝PF 1＋PF 2＝(2＋2)＋(2－2)＝4，故a ＝2. 设椭圆的半焦距为c ，由已知PF 1⊥PF 2， 因此2c ＝F 1F 2＝PF 21＋PF 22 ＝＋22＋－22＝2 3.3分即c ＝3，从而b ＝a 2－c 2＝1， 故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.5分(2)连结F 1Q ，如图，由椭圆的定义知PF 1＋PF 2＝2a ，QF 1＋QF 2＝2a ，又PF 1＝PQ ＝PF 2＋QF 2＝(2a －PF 1)＋(2a －QF 1)， 可得QF 1＝4a －2PF 1. ① 又因为PF 1⊥PQ 且PF 1＝PQ ， 所以QF 1＝2PF 1. ②8分 由①②可得PF 1＝(4－22)a ， 从而PF 2＝2a －PF 1＝(22－2)a . 由PF 1⊥PF 2，知PF 21＋PF 22＝F 1F 22，即(4－22)2a 2＋(22－2)2a 2＝4c 2，12分可得(9－62)a 2＝c 2，即c 2a2＝9－62，因此e ＝ca＝9－62＝6－ 3.14分[规律方法] 1.用定义法求圆锥曲线的标准方程是常用的方法，同时应注意数形结合思想的应用．2．圆锥曲线的离心率刻画曲线的扁平程度，只需明确a ，b ，c 中任意两量的关系都可求出离心率，但一定注意不同曲线离心率取值范围的限制．[对点训练1] 已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x 轴上，离心率为22，它的一个顶点为抛物线x 2＝4y 的焦点．(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线y ＝x －1与抛物线相切于点A ，求以A 为圆心且与抛物线的准线相切的圆的方程．[解] (1)椭圆中心在原点，焦点在x 轴上．设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，因为抛物线x 2＝4y 的焦点为(0,1)， 所以b ＝1.2分 由离心率e ＝c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2＝1＋c 2， 从而得a ＝2，所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.6分(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝x －1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，所以点A (2,1).8分因为抛物线的准线方程为y ＝－1，所以圆的半径r ＝1－(－1)＝2，所以圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.14分热点2 圆锥曲线中的定点、定值问题定点、定值问题一般涉及曲线过定点、与曲线上的动点有关的定值问题以及与圆锥曲线有关的弦长、面积、横(纵)坐标等的定值问题． ☞角度1 圆锥曲线的定值问题(2016·北京高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1过A (2,0)，B (0,1)两点．(1)求椭圆C 的方程及离心率；(2)设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值．[解] (1)由题意得a ＝2，b ＝1， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.3分又c ＝a 2－b 2＝3，所以离心率e ＝c a ＝32.5分 (2)证明：设P (x 0，y 0)(x 0＜0，y 0＜0)，则x 20＋4y 20＝4. 又A (2,0)，B (0,1)， 所以直线PA 的方程为y ＝y 0x 0－2(x －2).7分令x ＝0，得y M ＝－2y 0x 0－2，从而BM ＝1－y M ＝1＋2y 0x 0－2. 直线PB 的方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1.9分 令y ＝0，得x N ＝－x 0y 0－1，从而AN ＝2－x N ＝2＋x 0y 0－1. 所以四边形ABNM 的面积S ＝12AN ·BM＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 0y 0－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2y 0x 0－2 ＝x 20＋4y 20＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋＝2x 0y 0－2x 0－4y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝2.从而四边形ABNM 的面积为定值.14分 [规律方法] 1.求定值问题的常用方法：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．2．定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思路是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关．在这类问题中选择消元的方法是非常关键的． ☞角度2 圆锥曲线中的定点问题设椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为e ＝22，且过点⎝⎛⎭⎪⎫－1，－62.(1)求椭圆E 的方程；(2)设椭圆E 的左顶点是A ，若直线l ：x －my －t ＝0与椭圆E 相交于不同的两点M ，N (M ，N 与A 均不重合)，若以MN 为直径的圆过点A ，试判定直线l 是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标. 【导学号：62172280】[解] (1)由e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝12，可得a 2＝2b 2，2分椭圆方程为x 22b 2＋y 2b2＝1，代入点⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－62可得b 2＝2，a 2＝4， 故椭圆E 的方程为x 24＋y 22＝1.5分(2)由x －my －t ＝0得x ＝my ＋t ，把它代入E 的方程得(m 2＋2)y 2＋2mty ＋t 2－4＝0， 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则 y 1＋y 2＝－2mt m 2＋2，y 1y 2＝t 2－4m 2＋2，x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋2t ＝4tm 2＋2， x 1x 2＝(my 1＋t )(my 2＋t )＝m 2y 1y 2＋tm (y 1＋y 2)＋t 2＝2t 2－4m2m 2＋2.8分因为以MN 为直径的圆过点A ， 所以AM ⊥AN ，所以AM →·AN →＝(x 1＋2，y 1)·(x 2＋2，y 2) ＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＋y 1y 2 ＝2t 2－4m 2m 2＋2＋2×4t m 2＋2＋4＋t 2－4m 2＋2＝3t 2＋8t ＋4m 2＋2＝t ＋t ＋m 2＋2＝0.10分因为M ，N 与A 均不重合，所以t ≠－2，所以t ＝－23，直线l 的方程是x ＝my －23，直线l 过定点T ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0， 由于点T 在椭圆内部，故满足判别式大于0，所以直线l 过定点T ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0.14分[规律方法] 1.假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点．2．从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意．[对点训练2] 已知椭圆E ：x 28＋y 24＝1，A ，B 分别是椭圆E 的左、右顶点，动点M 在射线l ：x ＝42(y >0)上运动，MA 交椭圆E 于点P ，MB 交椭圆E 于点Q .(1)若△MAB 垂心的纵坐标为－47，求点P 的坐标；(2)试问：直线PQ 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． [解] (1)由题意知A (－22，0)，B (22，0)．设△MAB 的垂心为H ，因为AB 边上的高所在的直线方程为l ：x ＝42，且△MAB 垂心的纵坐标为－47，所以H (42，－47)．所以直线BH 的斜率为k BH ＝4722－42＝－14，所以直线AM 的方程为y ＝(114)(x ＋22)． 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝114x ＋22，x 28＋y 24＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝322，y ＝72或⎩⎨⎧x ＝－22，y ＝0，4分所以P 点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫322，72.6分 (2)设P 点的坐标为(x 1，y 1)，Q 点的坐标为(x 2，y 2)，则y 21＝12(8－x 21)，y 22＝12(8－x 22)，直线AP 的方程为y ＝y 1x 1＋22(x ＋22)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝y 1x 1＋22x ＋22，x ＝42⇒M ⎝ ⎛⎭⎪⎫42，62y 1x 1＋22.8分由于M ，B ，Q 三点共线，所以k BM ＝k BQ ，从而62y 1x 1＋22－042－22＝y 2－0x 2－22，即3y 1x 1＋22＝y 2x 2－22，两边平方得9y21x 1＋222＝y 22x 2－222⇒92－x 21x 1＋222＝12－x 22x 2－222⇒x 1－22x 1＋22＝x 2＋22x 2－22，整理得2x 1x 2－52(x 1＋x 2)＋16＝0.(*) 设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 28＋y24＝1⇒(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－8＝0，所以x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－81＋2k 2，代入(*)得m 2＋52km ＋8k 2＝0，解得m ＝－2k ，或m ＝－42k .当m ＝－2k 时，直线PQ 的方程为y ＝kx －2k ，即y ＝k (x －2)，恒过点(2，0)； 当m ＝－42k ，直线PQ 的方程为y ＝kx －42k ，即y ＝k (x －42)，恒过点(42，0)，此种情况不合题意．综上可知，直线PQ 恒过点(2，0).16分热点3 圆锥曲线中的最值、范围问题圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类：一是涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；二是求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时求解与之有关的一些问题．平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)右焦点的直线x ＋y －3＝0交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12.(1)求M 的方程；(2)C ，D 为M 上的两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值． [解] (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，y 2－y 1x 2－x 1＝－1，由此可得b 2x 2＋x 1a 2y 2＋y 1＝－y 2－y 1x 2－x 1＝1.因为x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，y 0x 0＝12，所以a 2＝2b 2.又由题意知，M 的右焦点为(3，0)，故a 2－b 2＝3. 因此a 2＝6，b 2＝3.所以M 的方程为x 26＋y 23＝1.8分(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x 26＋y 23＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝433，y ＝－33，或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝ 3.因此AB ＝463.由题意可设直线CD 的方程为y ＝x ＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－533<n <3，设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋n ，x 26＋y23＝1，得3x 2＋4nx ＋2n 2－6＝0.于是x 3,4＝－2n ±－n 23.因为直线CD 的斜率为1， 所以CD ＝2|x 4－x 3|＝439－n 2.由已知，四边形ACBD 的面积S ＝12CD ·AB ＝8699－n 2， 当n ＝0时，S 取得最大值，最大值为863，所以四边形ACBD 面积的最大值为863.16分[规律方法] 范围(最值)问题的主要求解方法：(1)几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决．(2)代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数或等量关系，利用判别式、基本不等式、函数的性质、导数法进行求解．[对点训练3] 已知椭圆C ：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的焦距为4，且过点(2，－2)．(1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆焦点的直线l 与椭圆C 分别交于点E ，F ，求OE →·OF →的取值范围．[解] 由椭圆C ：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的焦距为4.得曲线C 的焦点F 1(0，－2)，F 2(0,2).2分 又点(2，－2)在椭圆C 上， 2a ＝2＋0＋2＋＋2＝42，所以a ＝22，b ＝2，即椭圆C 的方程是y 28＋x 24＝1.5分(2)若直线l 垂直于x 轴，①则点E (0,22)，F (0，－22)，OE →·OF →＝－8. ②若直线l 不垂直于x 轴，设l 的方程为y ＝kx ＋2，点E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，将直线l 的方程代入椭圆C 的方程得到：(2＋k 2)x 2＋4kx －4＝0，则x 1＋x 2＝－4k 2＋k 2，x 1x 2＝－42＋k 2，8分所以OE →·OF →＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝(1＋k 2)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4＝－4－4k 22＋k 2＋－8k 22＋k 2＋4＝202＋k 2－8.10分因为0<202＋k 2≤10，所以－8<OE →·OF →≤2.综上可知，OE →·OF →的取值范围是[－8,2].14分热点4 圆锥曲线中的探索性问题(答题模板)圆锥曲线的探索性问题主要体现在以下几个方面：(1)探索点是否存在；(2)探索曲线是否存在；(3)探索命题是否成立．涉及这类命题的求解主要是研究直线与圆锥曲线的位置关系问题．(本小题满分16分)在直角坐标系xOy 中，曲线C ：y ＝x 24与直线l ：y ＝kx ＋a (a＞0)交于M ，N 两点．(1)当k ＝0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；(2)y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM ＝∠OPN ？说明理由．[解] (1)由题设可得M (2a ，a )，N (－2a ，a )，或M (－2a ，a )，N (2a ，a ).2分 又y ′＝x 2，故y ＝x 24在x ＝2a 处的导数值为a ，C 在点(2a ，a )处的切线方程为y －a＝a (x －2a )，即ax －y －a ＝0.4分y ＝x 24在x ＝－2a 处的导数值为－a ，C 在点(－2a ，a )处的切线方程为y －a ＝－a(x ＋2a )，即ax ＋y ＋a ＝0.6分故所求切线方程为ax －y －a ＝0或ax ＋y ＋a ＝0.7分 (2)存在符合题意的点．证明如下：设P (0，b )为符合题意的点，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2.8分将y ＝kx ＋a 代入C 的方程，得x 2－4kx －4a ＝0. 故x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4a .10分 从而k 1＋k 2＝y 1－b x 1＋y 2－bx 2＝2kx 1x 2＋a －b x 1＋x 2x 1x 2＝k a ＋ba.13分 当b ＝－a 时，有k 1＋k 2＝0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补， 故∠OPM ＝∠OPN ，所以点P (0，－a )符合题意.16分[答题模板] 第一步：分别求出曲线y ＝x 24在M 点，N 点处的导数．第二步：利用点斜式分别写出在M 点、N 点的切线方程．第三步：联立直线y ＝kx ＋a 与抛物线y ＝x 24，并写出根与系数的关系式．第四步：由k PM ＋k PN ＝0，结合根与系数的关系式，探索点P 的坐标． 第五步：检验反思，查关键点，规范步骤．[温馨提示] 1.(1)在第(2)问中，不能把条件∠OPM ＝∠OPN 适当转化为k 1＋k 2＝0，找不到解题的思路和方法，而不能得分．(2)运算能力差或运算不细心，导致运算结果错误而扣分或者不得分．2．数学阅卷时，主要看关键步骤、关键点，有则得分，无则扣分，所以解题时要写全关键步骤．(1)本题的关键点一是利用导数的几何意义求切线方程，二是把条件中转化为只需直线PM ，PN 的斜率之和为0.(2)解析几何对运算能力要求较高，解题时一定要细心准确，否则可能是思路正确，但是运算结果错误，而不得分．[对点训练4] 如图2，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是22，点P (0,1)在短轴CD上，且PC →·PD →＝－1.(1)求椭圆E 的方程；(2)设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于A ，B 两点．是否存在常数λ，使得OA →·OB →＋λPA →·PB →为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．图2[解] (1)由已知，点C ，D 的坐标分别为(0，－b )，(0，b )． 又点P 的坐标为(0,1)，且PC →·PD →＝－1，于是⎩⎪⎨⎪⎧1－b 2＝－1，c a ＝22，a 2－b 2＝c 2，解得a ＝2，b ＝ 2.4分所以椭圆E 的方程为x 24＋y 22＝1.5分(2)当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1，A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝kx ＋1，得(2k 2＋1)x 2＋4kx －2＝0.8分其判别式Δ＝(4k )2＋8(2k 2＋1)>0，所以x 1＋x 2＝－4k 2k 2＋1，x 1x 2＝－22k 2＋1. 从而，OA →·OB →＋λPA →·PB →＝x 1x 2＋y 1y 2＋λ[x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1)] ＝(1＋λ)(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1 ＝－2λ－k 2＋－2λ－2k 2＋1＝－λ－12k 2＋1－λ－2. 所以，当λ＝1时，－λ－12k 2＋1－λ－2＝－3.10分此时，OA →·OB →＋λPA →·PB →＝－3为定值． 当直线AB 斜率不存在时，直线AB 即为直线CD .此时，OA →·OB →＋λPA →·PB →＝OC →·OD →＋PC →·PD →＝－2－1＝－3. 故存在常数λ＝1，使得OA →·OB →＋λPA →·PB →为定值－3.14分热点探究训练(六) A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)1．(2017·扬州模拟)如图3，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，P 是椭圆上一点，O 为坐标原点，M 在PF 1上，F 1M →＝λMP →(λ∈R )，PO ⊥F 2M .图3(1)若椭圆方程为x 28＋y 24＝1，P (2，2)，求点M 的横坐标；(2)若λ＝2，求椭圆离心率e 的取值范围. 【导学号：62172281】 [解] (1)∵x 28＋y 24＝1，∴F 1(－2,0)，F 2(2,0)，∴k OP ＝22，kF 2M ＝－2，kF 1M ＝24. ∴直线F 2M 的方程为y ＝－2(x －2)，直线F 1M 的方程为：y ＝24(x ＋2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x －y ＝24x ＋解得x ＝65，∴点M 的横坐标为65.6分(2)设P (x 0，y 0)，M (x M ，y M )，∵F 1M →＝2MP →，∴F 1M →＝23(x 0＋c ，y 0)＝(x M ＋c ，y M )，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 0－13c ，23y 0，F 2M →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 0－43c ，23y 0.∵PO ⊥F 2M ，OP →＝(x 0，y 0)，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 0－43c x 0＋23y 20＝0，即x 20＋y 20＝2cx 0.联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋y 20＝2cx 0x 20a 2＋y 2b2＝1，消去y 0得：c 2x 20－2a 2cx 0＋a 2(a 2－c 2)＝0.解得x 0＝a a ＋c c 或x 0＝a a －cc. ∵－a <x 0<a ，∴x 0＝a a －c c∈(0，a )，∴0<a 2－ac <ac, 解得e >12.综上，椭圆离心率e 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.14分 2．(2017·无锡期末)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，一个焦点到相应的准线的距离为3，圆N 的方程为(x －c )2＋y 2＝a 2＋c 2(c 为半焦距)，直线l ：y ＝kx ＋m (k >0)与椭圆M 和圆N 均只有一个公共点，分别设为A ，B .(1)求椭圆方程和直线方程； (2)试在圆N 上求一点P ，使PBPA＝2 2. [解] (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝12，a2c －c ＝3，解得a ＝2，c ＝1，所以b ＝3，所以椭圆M 的方程为：x 24＋y 23＝1.圆N 的方程为(x －1)2＋y 2＝5.由直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆M 只有一个公共点，所以由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝kx ＋m ，得(3＋4k 2)x2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，①所以Δ＝64k 2m 2－4(3＋4k 2)(4m 2－12)＝0得m 2＝3＋4k 2.② 由直线l ：y ＝kx ＋m 与N 只有一个公共点，得|k ＋m |1＋k2＝5，即k 2＋2km ＋m 2＝5＋5k 2，③ 将②代入③得km ＝1，④由②，④且k >0，得：k ＝12，m ＝2.所以直线方程为：y ＝12x ＋2.6分(2)将k ＝12，m ＝2代入①可得A ⎝⎛⎭⎪⎫－1，32， 又过切点B 的半径所在的直线l ′为：y ＝－2x ＋2，所以得交点B (0,2)，设P (x ，y )，因为PBPA＝22，则x 20＋y 0－2x ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝8，化简得：7x 20＋7y 20＋16x 0－20y 0＋22＝0，⑤又P (x ，y )满足x 20＋y 20－2x 0＝4，⑥将⑤－7×⑥得：3x 0－2y 0＋5＝0，即y 0＝3x 0＋52.⑦将⑦代入⑥得：13x 20＋22x 0＋9＝0，解得x 0＝－1或x 0＝－913，所以P (－1,1)或P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－913，1913.14分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2017·泰州中学高三摸底考试)已知椭圆Γ：x 24＋y 2＝1.(1)椭圆Γ的短轴端点分别为A ，B (如图4)，直线AM ，BM 分别与椭圆Γ交于E ，F 两点，其中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，12满足m ≠0，且m ≠± 3. ①证明直线EF 与y 轴交点的位置与m 无关；②若△BME 面积是△AMF 面积的5倍，求m 的值．(2)若圆O ：x 2＋y 2＝4.l 1，l 2是过点P (0，－1)的两条互相垂直的直线，其中l 1交圆O 于T ，R 两点，l 2交椭圆Γ于另一点Q .求△TRQ 面积取最大值时直线l 1的方程. 【导学号：62172282】图4[解] (1)①因为A (0,1)，B (0，－1)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，12，且m ≠0，∴直线AM 的斜率为k 1＝－12m ，直线BM 的斜率为k 2＝32m，∴直线AM 的方程为y ＝－12m x ＋1，直线BM 的方程为y ＝32mx －1，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝－12m x ＋1，得(m 2＋1)x 2－4mx ＝0，∴x ＝0，x ＝4m m 2＋1，∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫4m m 2＋1，m 2－1m 2＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝32m x －1，得(m 2＋9)x 2－12mx ＝0，∴x ＝0或x ＝12m m 2＋9，∴F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12m m 2＋9，9－m 2m 2＋9；据已知m ≠0，m 2≠3， ∴直线EF 的斜率k ＝m 2－11＋m 2－9－m 29＋m 24m 1＋m 2－12m 9＋m2＝m 2＋m 2－－4m m －＝－m 2＋34m，∴直线EF 的方程为y －m 2－1m 2＋1＝－m 2＋34m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －4m m 2＋1， 令x ＝0，得y ＝2，∴EF 与y 轴交点的位置与m 无关．②S △AMF ＝12MA ·MF sin ∠AMF ，S △BME ＝12MB ·ME sin ∠BME ，∠AMF ＝∠BME ，5S △AMF ＝S △BME ，∴5MA ·MF ＝MB ·ME ， ∴5MA ME ＝MB MF，∴5m4m m 2＋1－m ＝m12m9＋m2－m .∵m ≠0， ∴整理方程得1m 2＋1＝15m 2＋9－1，即(m 2－3)(m 2－1)＝0， 又有m ≠±3，∴m 2－3≠0，∴m 2＝1，∴m ＝±1为所求.8分(2)因为直线l 1⊥l 2，且都过点P (0，－1)，所以设直线l 1：y ＝kx －1，即kx －y －1＝0， 直线l 2：y ＝－1kx －1，即x ＋ky ＋k ＝0，所以圆心(0,0)到直线l 1：y ＝kx －1，即kx －y －1＝0的距离d ＝11＋k2，所以直线l 1被圆x 2＋y 2＝4所截的弦 TR ＝24－d 2＝23＋4k21＋k2； 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋ky ＋k ＝0，x 24＋y 2＝1，得k 2x 2＋4x 2＋8kx ＝0，所以x Q ＋x p ＝－8kk 2＋4，所以QP ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 264k2k 2＋2＝8k 2＋1k 2＋4， 所以S △TRQ ＝12QP ·TR ＝84k 2＋3k 2＋4＝324k 2＋3＋134k 2＋3≤32213＝161313， 当4k 2＋3＝134k 2＋3，即k 2＝52，解得k ＝±102时等号成立， 此时直线l 1：y ＝±102x －1.16分 2．(2017·苏北四市期末)如图5，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的离心率e ＝12，左顶点为A (－4,0)，过点A 作斜率为k (k ≠0)的直线l 交椭圆C 于点D ，交y 轴于点E .图5(1)求椭圆C 的方程；(2)已知点P 为AD 的中点，是否存在定点Q ，对于任意的k (k ≠0)都有OP ⊥EQ ？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由；(3)若过点O 作直线l 的平行线交椭圆C 于点M ，求AD ＋AEOM的最小值． [解] (1)因为左顶点为A (－4,0)，所以a ＝4， 又e ＝12，所以c ＝2，b 2＝a 2－c 2＝12，所以椭圆C 的标准方程为x 216＋y 212＝1.(2)直线l 的方程为y ＝k (x ＋4)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 216＋y 212＝1，y ＝k x ＋，消元得，x 216＋[kx ＋212＝1.化简得(x ＋4)[(4k 2＋3)x ＋16k 2－12]＝0，所以x 1＝－4，x 2＝－16k 2＋124k 2＋3.8分 当x ＝－16k 2＋124k 2＋3时，y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16k 2＋124k 2＋3＋4＝24k 4k 2＋3，所以D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16k 2＋124k 2＋3，24k 4k 2＋3. 因为P 为AD 的中点，所以P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－16k24k ＋3，12k 4k ＋3，k OP ＝－34k (k ≠0)，直线l 的方程为y ＝k (x ＋4)，令x ＝0得E 点坐标为(0,4k )，假设存在定点Q (m ，n )(m ≠0)，使得OP ⊥EQ ，则k OP ·k EQ ＝－1，即－34k ·n －4km ＝－1恒成立，所以(4m ＋12)k －3n ＝0恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧4m ＋12＝0，－3n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－3，n ＝0，所以存在定点Q ，对于任意的k (k ≠0)都有OP ⊥EQ ，且定点Q 的坐标为(－3,0).12分 (3)因为OM ∥l ，所以OM 的方程可设为y ＝kx ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 216＋y 212＝1，y ＝kx ，得M 点的横坐标为x ＝±434k 2＋3，由OM ∥l ，得AD ＋AE OM ＝|x D －x A |＋|x E －x A ||x M |＝x D －2x A|x M |＝－16k 2＋124k 2＋3＋8434k 2＋3＝13·4k 2＋94k 2＋3＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋3＋64k 2＋3≥22， 当且仅当4k 2＋3＝64k 2＋3即k ＝±32时取等号， 所以当k ＝±32时，AD ＋AE OM的最小值为2 2.16分。

2021年广东省新高考数学总复习第九章《平面解析几何》微专题十二 圆锥曲线中性质的推广[真题研究]一道高考解析几何试题的命题背景可能就是圆锥曲线的一个性质定理的特殊情况．如果掌握了定理的原理，也就把握了试题的本质．对一些典型的试题，不应满足于会解，可以引导学生深入探究试题背后的知识背景，挖掘问题的本质．这样才能真正找到解决问题的方法，学会用更高观点去看待数学问题，把握问题的本质．正如《普通高中数学课程标准(实验)》所倡导的数学探究性课题学习，引导学生围绕某个数学问题，观察分析，自主探究，提出有意义的数学问题，探求适当的数学结论和规律．一、试题展示题1 (2020·模拟)如图1所示，设抛物线C ：y 2＝2x ，点A (2,0)，B (－2，0)，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程；(2)证明：∠ABM ＝∠ABN .(1)解 当l 与x 轴垂直时，l 的方程为x ＝2，可得点M 的坐标为(2,2)或(2，－2)．所以直线BM 的方程为y ＝12x ＋1或y ＝－12x －1. 即x －2y ＋2＝0或x ＋2y ＋2＝0.(2)证明 当l 与x 轴垂直时，AB 为MN 的垂直平分线，所以∠ABM ＝∠ABN .当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －2)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1>0，x 2>0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)，y 2＝2x ，得ky 2－2y －4k ＝0，显然方程有两个不等实根． 所以y 1＋y 2＝2k ，y 1y 2＝－4. 直线BM ，BN 的斜率之和k BM ＋k BN ＝y 1x 1＋2＋y 2x 2＋2＝x 2y 1＋x 1y 2＋2(y 1＋y 2)(x 1＋2)(x 2＋2). ① 将x 1＝y 1k ＋2，x 2＝y 2k＋2及y 1＋y 2，y 1y 2的表达式代入①式分子，可得x 2y 1＋x 1y 2＋2(y 1＋y 2)＝2y 1y 2＋4k (y 1＋y 2)k ＝－8＋8k＝0. 所以k BM ＋k BN ＝0，可知BM ，BN 的倾斜角互补，所以∠ABM ＝∠ABN .综上，∠ABM ＝∠ABN .题2 (2018·全国Ⅰ)设椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，点M 的坐标为(2,0)．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程；(2)设O 为坐标原点，证明：∠OMA ＝∠OMB .(1)解 由已知得F (1,0)，l 的方程为x ＝1.由已知可得，点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫1，22或⎝⎛⎭⎫1，－22.又M (2,0)， 所以AM 的方程为y ＝－22x ＋2或y ＝22x － 2. 即x ＋2y －2＝0或x －2y －2＝0.(2)证明 当l 与x 轴重合时，∠OMA ＝∠OMB ＝0°.当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以∠OMA ＝∠OMB .当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1<2，x 2<2，直线MA ，MB 的斜率之和为。

第9讲 圆锥曲线的综合问题最新考纲 1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法；2.了解圆锥曲线的简单应用；3.理解数形结合的思想.知 识 梳 理1.直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或变量y )的一元方程，即⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，F （x ，y ）＝0消去y ，得ax 2＋bx ＋c ＝0. (1)当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则Δ＞0⇔直线与圆锥曲线C 相交；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C 相切； Δ＜0⇔直线与圆锥曲线C 相离.(2)当a ＝0，b ≠0时，即得到一个一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合. 2.圆锥曲线的弦长设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k2·|y 1－y 2|诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)直线l 与椭圆C 相切的充要条件是：直线l 与椭圆C 只有一个公共点.( ) (2)直线l 与双曲线C 相切的充要条件是：直线l 与双曲线C 只有一个公共点.( ) (3)直线l 与抛物线C 相切的充要条件是：直线l 与抛物线C 只有一个公共点.( ) (4)如果直线x ＝ty ＋a 与圆锥曲线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则弦长|AB |＝1＋t 2|y 1－y 2|.( )(5)若抛物线C 上存在关于直线l 对称的两点，则需满足直线l 与抛物线C 的方程联立消元后得到的一元二次方程的判别式Δ＞0.( )解析 (2)因为直线l 与双曲线C 的渐近线平行时，也只有一个公共点，是相交，但并不相切.(3)因为直线l 与抛物线C 的对称轴平行或重合时，也只有一个公共点，是相交，但不相切. (5)应是以l 为垂直平分线的线段AB 所在的直线l ′与抛物线方程联立，消元后所得一元二次方程的判别式Δ＞0.答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)×2.直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( )A.相交B.相切C.相离D.不确定解析 直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1恒过定点(1，1)，又点(1，1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交. 答案 A3.若直线y ＝kx 与双曲线x 29－y 24＝1相交，则k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，23D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ 解析 双曲线x 29－y 24＝1的渐近线方程为y ＝±23x ，若直线与双曲线相交，数形结合，得k ∈⎝⎛⎭⎪⎫－23，23.答案 C4.过点(0，1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有( ) A.1条B.2条C.3条D.4条解析 过(0，1)与抛物线y 2＝4x 相切的直线有2条，过(0，1)与对称轴平行的直线有一条，这三条直线与抛物线都只有一个公共点. 答案 C5.已知F 1，F 2是椭圆16x 2＋25y 2＝1 600的两个焦点，P 是椭圆上一点，且PF 1⊥PF 2，则△F 1PF 2的面积为________.解析 由题意可得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝20，|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2＝144＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|＝202－2|PF 1|·|PF 2|， 解得|PF 1|·|PF 2|＝128，所以△F 1PF 2的面积为12|PF 1|·|PF 2|＝12×128＝64.答案 646.(2017·嘉兴七校联考)椭圆x 24＋y 23＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A ，B ，当m＝________时，△FAB 的周长最大，此时△FAB 的面积是________.解析 设椭圆x 24＋y 23＝1的右焦点为F ′，则F (－1，0)，F ′(1，0).由椭圆的定义和性质易知，当直线x ＝m 过F ′(1，0)时△FAB 的周长最大，此时m ＝1，把x ＝1代入x 24＋y 23＝1得y 2＝94，y ＝±32，S △FAB ＝12|F 1F 2||AB |＝12×2×3＝3.答案 1 3第1课时 直线与圆锥曲线考点一 直线与圆锥曲线的位置关系【例1】 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1(－1，0)，且点P (0，1)在C 1上. (1)求椭圆C 1的方程；(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝4x 相切，求直线l 的方程. 解 (1)椭圆C 1的左焦点为F 1(－1，0)，∴c ＝1， 又点P (0，1)在曲线C 1上，∴0a 2＋1b2＝1，得b ＝1，则a 2＝b 2＋c 2＝2，所以椭圆C 1的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意可知，直线l 的斜率显然存在且不等于0，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋m消去y ，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0. 因为直线l 与椭圆C 1相切，所以Δ1＝16k 2m 2－4(1＋2k 2)(2m 2－2)＝0. 整理得2k 2－m 2＋1＝0.①由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋m消去y ，得k 2x 2＋(2km －4)x ＋m 2＝0. 因为直线l 与抛物线C 2相切，所以Δ2＝(2km －4)2－4k 2m 2＝0，整理得km ＝1.② 综合①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝22，m ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－22，m ＝－ 2.所以直线l 的方程为y ＝22x ＋2或y ＝－22x － 2. 规律方法 研究直线与圆锥曲线的位置关系时，一般转化为研究其直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数，消元后，应注意讨论含x 2项的系数是否为零的情况，以及判别式的应用.但对于选择、填空题要充分利用几何条件，用数形结合的方法求解.【训练1】 在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点F (1，0)的距离比它到y 轴的距离多1.记点M 的轨迹为C .(1)求轨迹C 的方程；(2)设斜率为k 的直线l 过定点P (－2，1)，若直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点，求实数k 的取值范围.解 (1)设点M (x ，y )，依题意|MF |＝|x |＋1， ∴（x －1）2＋y 2＝|x |＋1，化简得y 2＝2(|x |＋x )，故轨迹C 的方程为y 2＝⎩⎪⎨⎪⎧4x （x ≥0），0（x ＜0）.(2)在点M 的轨迹C 中，记C 1：y 2＝4x (x ≥0)；C 2：y ＝0(x ＜0). 依题意，可设直线l 的方程为y －1＝k (x ＋2).由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k （x ＋2），y 2＝4x ，可得ky 2－4y ＋4(2k ＋1)＝0.①①当k ＝0时，此时y ＝1.把y ＝1代入轨迹C 的方程，得x ＝14.故此时直线l ：y ＝1与轨迹C 恰好有一个公共点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1. ②当k ≠0时，方程①的Δ＝－16(2k 2＋k －1)＝－16(2k －1)(k ＋1)，② 设直线l 与x 轴的交点为(x 0，0)，则由y －1＝k (x ＋2)，令y ＝0，得x 0＝－2k ＋1k.③(ⅰ)若⎩⎪⎨⎪⎧Δ＜0，x 0＜0，由②③解得k ＜－1，或k ＞12.所以当k ＜－1或k ＞12时，直线l 与曲线C 1没有公共点，与曲线C 2有一个公共点，故此时直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点.(ⅱ)若⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝0，x 0≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧2k 2＋k －1＝0，2k ＋1k＜0，解集为∅.综上可知，当k ＜－1或k ＞12或k ＝0时，直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点.考点二 弦长问题【例2】 (2016·四川卷)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l ：y ＝－x ＋3与椭圆E 有且只有一个公共点T . (1)求椭圆E 的方程及点T 的坐标；(2)设O 是坐标原点，直线l ′平行于OT ，与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，且与直线l 交于点P .证明：存在常数λ，使得|PT |2＝λ|PA |·|PB |，并求λ的值. (1)解 由已知，a ＝2b ，则椭圆E 的方程为x 22b 2＋y 2b 2＝1.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 22b 2＋y 2b 2＝1，y ＝－x ＋3，得3x 2－12x ＋(18－2b 2)＝0.①方程①的判别式为Δ＝24(b 2－3)，由Δ＝0，得b 2＝3，此时方程①的解为x ＝2，所以椭圆E 的方程为x 26＋y 23＝1.点T 的坐标为(2，1).(2)证明 由已知可设直线l ′的方程为y ＝12x ＋m (m ≠0)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋m ，y ＝－x ＋3，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－2m3，y ＝1＋2m 3.所以P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2m 3，1＋2m 3.|PT |2＝89m 2.设点A ，B 的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 26＋y 23＝1，y ＝12x ＋m ，可得3x 2＋4mx ＋(4m 2－12)＝0.②方程②的判别式为Δ＝16(9－2m 2)， 由Δ>0，解得－322<m <322.由②得x 1＋x 2＝－4m 3，x 1x 2＝4m 2－123.所以|PA |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2m 3－x 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2m 3－y 12＝52⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－2m 3－x 1，同理|PB |＝52⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－2m 3－x 2. 所以|PA |·|PB |＝54⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2m 3－x 1⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2m 3－x 2＝54⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2m 32－⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2m 3（x 1＋x 2）＋x 1x 2 ＝54⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2m 32－⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2m 3⎝ ⎛⎭⎪⎫－4m 3＋4m 2－123 ＝109m 2. 故存在常数λ＝45，使得|PT |2＝λ|PA |·|PB |.规律方法 有关圆锥曲线弦长问题的求解方法：涉及弦长的问题中，应熟练的利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解.【训练2】 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点(0，3)，离心率为12，左、右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0).(1)求椭圆的方程；(2)若直线l ：y ＝－12x ＋m 与椭圆交于A ，B 两点，与以F 1F 2为直径的圆交于C ，D 两点，且满足|AB ||CD |＝534，求直线l 的方程.解 (1)由题设知⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，c a ＝12，b 2＝a 2－c 2，解得a ＝2，b ＝3，c ＝1，∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1. (2)由(1)知，以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1， ∴圆心到直线l 的距离d ＝2|m |5，由d ＜1，得|m |＜52.(*)∴|CD |＝21－d 2＝21－45m 2＝255－4m 2. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋m ，x 24＋y 23＝1，得x 2－mx ＋m 2－3＝0，由根与系数关系可得x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝m 2－3. ∴|AB |＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122[m 2－4（m 2－3）] ＝1524－m 2. 由|AB ||CD |＝534，得4－m 25－4m 2＝1，解得m ＝±33，满足(*). ∴直线l 的方程为y ＝－12x ＋33或y ＝－12x －33.考点三 中点弦问题【例3】 (1)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3，0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点.若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A.x 245＋y 236＝1B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1D.x 218＋y 29＝1 (2)已知双曲线x 2－y 23＝1上存在两点M ，N 关于直线y ＝x ＋m 对称，且MN 的中点在抛物线y2＝18x 上，则实数m 的值为________.解析 (1)因为直线AB 过点F (3，0)和点(1，－1)，所以直线AB 的方程为y ＝12(x －3)，代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1消去y ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫a 24＋b 2x 2－32a 2x ＋94a 2－a 2b 2＝0，所以AB 的中点的横坐标为32a 22⎝ ⎛⎭⎪⎫a24＋b 2＝1，即a 2＝2b 2，又a 2＝b 2＋c 2，所以b ＝c ＝3，a ＝32，选D.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点P (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21－y 213＝1， ①x 22－y223＝1， ②x 1＋x 2＝2x 0， ③y 1＋y 2＝2y 0， ④由②－①得(x 2－x 1)(x 2＋x 1)＝13(y 2－y 1)(y 2＋y 1)，显然x 1≠x 2.∴y 2－y 1x 2－x 1·y 2＋y 1x 2＋x 1＝3，即k MN ·y 0x 0＝3， ∵M ，N 关于直线y ＝x ＋m 对称，∴k MN ＝－1， ∴y 0＝－3x 0.又∵y 0＝x 0＋m ，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 4，3m 4，代入抛物线方程得916m 2＝18·⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 4， 解得m ＝0或－8，经检验都符合. 答案 (1)D (2)0或－8规律方法 处理中点弦问题常用的求解方法(1)点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x 1＋x 2，y 1＋y 2，y 1－y 2x 1－x 2三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率.(2)根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后，由根与系数的关系求解.【训练3】 设抛物线过定点A (－1，0)，且以直线x ＝1为准线. (1)求抛物线顶点的轨迹C 的方程；(2)若直线l 与轨迹C 交于不同的两点M ，N ，且线段MN 恰被直线x ＝－12平分，设弦MN 的垂直平分线的方程为y ＝kx ＋m ，试求m 的取值范围. 解 (1)设抛物线顶点为P (x ，y )，则焦点F (2x －1，y ). 再根据抛物线的定义得|AF |＝2，即(2x )2＋y 2＝4， 所以轨迹C 的方程为x 2＋y 24＝1.(2)设弦MN 的中点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y 0，M (x M ，y M )，N (x N ，y N )，则由点M ，N 为椭圆C 上的点，可知⎩⎪⎨⎪⎧4x 2M ＋y 2M ＝4，4x 2N ＋y 2N ＝4. 两式相减，得4(x M －x N )(x M ＋x N )＋(y M －y N )(y M ＋y N )＝0，将x M ＋x N ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，y M ＋y N ＝2y 0，y M －y N x M －x N ＝－1k 代入上式得k ＝－y 02. 又点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y 0在弦MN 的垂直平分线上，所以y 0＝－12k ＋m .所以m ＝y 0＋12k ＝34y 0.由点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y 0在线段BB ′上(B ′，B 为直线x ＝－12与椭圆的交点，如图所示)，所以y B ′＜y 0＜y B ，也即－3＜y 0＜ 3. 所以－334＜m ＜334，且m ≠0.[思想方法] 1.有关弦的三个问题(1)涉及弦长的问题，应熟练地利用根与系数的关系，设而不求计算弦长；(2)涉及垂直关系往往也是利用根与系数的关系设而不求简化运算；(3)涉及过焦点的弦的问题，可考虑利用圆锥曲线的定义求解.2.求解与弦有关问题的两种方法(1)方程组法：联立直线方程和圆锥曲线方程，消元(x 或y )成为二次方程之后，结合根与系数的关系，建立等式关系或不等式关系.(2)点差法：在求解圆锥曲线且题目中已有直线与圆锥曲线相交和被截线段的中点坐标时，设出直线和圆锥曲线的两个交点坐标，代入圆锥曲线的方程并作差，从而求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程.“点差法”的常见题型有：求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题.必须提醒的是“点差法”具有不等价性，即要考虑判别式Δ是否为正数. [易错防范]判断直线与圆锥曲线位置关系时的注意点(1)直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点.(2)直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行或重合时也相交于一点.第2课时 定点、定值、范围、最值问题考点一 定点问题【例1】 (2017·枣庄模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)过点(0，1)，其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列.直线l 与x 轴正半轴和y 轴分别交于Q ，P ，与椭圆分别交于点M ，N ，各点均不重合且满足PM →＝λ1MQ →，PN →＝λ2NQ →.(1)求椭圆的标准方程；(2)若λ1＋λ2＝－3，试证明：直线l 过定点并求此定点.解 (1)设椭圆的焦距为2c ，由题意知b ＝1，且(2a )2＋(2b )2＝2(2c )2，又a 2＝b 2＋c 2，所以a 2＝3.所以椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)由题意设P (0，m )，Q (x 0，0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 设l 方程为x ＝t (y －m )，由PM →＝λ1MQ →知(x 1，y 1－m )＝λ1(x 0－x 1，－y 1)， ∴y 1－m ＝－y 1λ1，由题意y 1≠0，∴λ1＝m y 1－1.同理由PN →＝λ2NQ →知λ2＝m y 2－1.∵λ1＋λ2＝－3，∴y 1y 2＋m (y 1＋y 2)＝0，①联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3y 2＝3，x ＝t （y －m ）得(t 2＋3)y 2－2mt 2y ＋t 2m 2－3＝0，∴由题意知Δ＝4m 2t 4－4(t 2＋3)(t 2m 2－3)＞0，② 且有y 1＋y 2＝2mt 2t 2＋3，y 1y 2＝t 2m 2－3t 2＋3，③将③代入①得t 2m 2－3＋2m 2t 2＝0， ∴(mt )2＝1.由题意mt ＜0，∴mt ＝－1，满足②，得l 方程为x ＝ty ＋1，过定点(1，0)，即Q 为定点.规律方法 圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.(2)特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.【训练1】 (2017·杭州七校联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的两焦点在x 轴上，且两焦点与短轴的一个顶点的连线构成斜边长为2的等腰直角三角形. (1)求椭圆的方程；(2)过点S ⎝⎛⎭⎪⎫0，－13的动直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点Q ，使得以线段AB 为直径的圆恒过点Q ？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.解 (1)∵椭圆两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，∴b ＝c .又斜边长为2，即2c ＝2，故c ＝b ＝1，a ＝2，椭圆方程为x 22＋y 2＝1.(2)当l 与x 轴平行时，以线段AB 为直径的圆的方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋132＝169；当l 与y 轴平行时，以线段AB 为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1. 由⎩⎨⎧x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋132＝169，x 2＋y 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，故若存在定点Q ，则Q 的坐标只可能为Q (0，1). 下面证明Q (0，1)为所求：若直线l 的斜率不存在，上述已经证明. 若直线l 的斜率存在，设直线l ：y ＝kx －13，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －13，x 2＋2y 2－2＝0，得(9＋18k 2)x 2－12kx －16＝0，Δ＝144k 2＋64(9＋18k 2)＞0，x 1＋x 2＝12k 18k 2＋9，x 1x 2＝－1618k 2＋9， QA →＝(x 1，y 1－1)，QB →＝(x 2，y 2－1)，QA →·QB →＝x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1) ＝(1＋k 2)x 1x 2－4k 3(x 1＋x 2)＋169＝(1＋k 2)·－169＋18k 2－4k 3·12k 9＋18k 2＋169＝0， ∴QA →⊥QB →，即以线段AB 为直径的圆恒过点Q (0，1).考点二 定值问题【例2】 (2016·山东卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的长轴长为4，焦距为2 2. (1)求椭圆C 的方程；(2)过动点M (0，m )(m ＞0)的直线交x 轴于点N ，交C 于点A ，P (P 在第一象限)，且M 是线段PN 的中点.过点P 作x 轴的垂线交C 于另一点Q ，延长QM 交C 于点B .①设直线PM ，QM 的斜率分别为k ，k ′，证明k ′k为定值. ②求直线AB 的斜率的最小值. (1)解 设椭圆的半焦距为c .由题意知2a ＝4，2c ＝2 2.所以a ＝2，b ＝a 2－c 2＝ 2. 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)①证明 设P (x 0，y 0)(x 0＞0，y 0＞0). 由M (0，m )，可得P (x 0，2m )，Q (x 0，－2m ). 所以直线PM 的斜率k ＝2m －m x 0＝mx 0.直线QM 的斜率k ′＝－2m －m x 0＝－3mx 0.此时k ′k ＝－3.所以k ′k为定值－3. ②解 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2). 由①知直线PA 的方程为y ＝kx ＋m .则直线QB 的方程为y ＝－3kx ＋m .联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 22＝1，整理得(2k 2＋1)x 2＋4mkx ＋2m 2－4＝0， 由x 0x 1＝2m 2－42k 2＋1，可得x 1＝2（m 2－2）（2k 2＋1）x 0， 所以y 1＝kx 1＋m ＝2k （m 2－2）（2k 2＋1）x 0＋m .同理x 2＝2（m 2－2）（18k 2＋1）x 0，y 2＝－6k （m 2－2）（18k 2＋1）x 0＋m . 所以x 2－x 1＝2（m 2－2）（18k 2＋1）x 0－2（m 2－2）（2k 2＋1）x 0 ＝－32k 2（m 2－2）（18k 2＋1）（2k 2＋1）x 0， y 2－y 1＝－6k （m 2－2）（18k 2＋1）x 0＋m －2k （m 2－2）（2k 2＋1）x 0－m ＝－8k （6k 2＋1）（m 2－2）（18k 2＋1）（2k 2＋1）x 0， 所以k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝6k 2＋14k ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫6k ＋1k ，由m ＞0，x 0＞0，可知k ＞0，所以6k ＋1k ≥26，当且仅当k ＝66时取“＝”.故此时2m －m4－8m 2－0＝66，即m ＝147，符合题意. 所以直线AB 的斜率的最小值为62. 规律方法 圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值.依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值；(2)求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得；(3)求某线段长度为定值.利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得.【训练2】 (2016·北京卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，A (a ，0)，B (0，b )，O (0，0)，△OAB 的面积为1.(1)求椭圆C 的方程；(2)设P 是椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N .求证：|AN |·|BM |为定值. (1)解 由已知ca ＝32，12ab ＝1. 又a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝1，c ＝ 3. 所以椭圆方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明 由(1)知，A (2，0)，B (0，1). 设椭圆上一点P (x 0，y 0)，则x 204＋y 20＝1.当x 0≠0时，直线PA 方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)，令x ＝0得y M ＝－2y 0x 0－2.从而|BM |＝|1－y M |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2y 0x 0－2. 直线PB 方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1. 令y ＝0得x N ＝－x 0y 0－1.∴|AN |＝|2－x N |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋x 0y 0－1.∴|AN |·|BM |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋x 0y 0－1·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2y 0x 0－2 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋2y 0－2x 0－2·⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋2y 0－2y 0－1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 20＋4y 20＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋2 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4x 0y 0－4x 0－8y 0＋8x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝4.当x 0＝0时，y 0＝－1，|BM |＝2，|AN |＝2， 所以|AN |·|BM |＝4.故|AN |·|BM |为定值. 考点三 范围问题【例3】 (2016·天津卷)设椭圆x 2a 2＋y 23＝1(a ＞3)的右焦点为F ，右顶点为A .已知1|OF |＋1|OA |＝3e|FA |，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率. (1)求椭圆的方程；(2)设过点A 的直线l 与椭圆交于点B (B 不在x 轴上)，垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H .若BF ⊥HF ，且∠MOA ≤∠MAO ，求直线l 的斜率的取值范围. 解 (1)设F (c ，0)，由1|OF |＋1|OA |＝3e|FA |，即1c ＋1a＝3c a （a －c ），可得a 2－c 2＝3c 2.又a 2－c 2＝b 2＝3，所以c 2＝1，因此a 2＝4. 所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线l 的斜率为k (k ≠0)，则直线l 的方程为y ＝k (x －2).设B (x B ，y B )，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k （x －2）消去y ，整理得(4k 2＋3)x 2－16k 2x ＋16k 2－12＝0.解得x＝2或x ＝8k 2－64k 2＋3.由题意得x B ＝8k 2－64k 2＋3，从而y B ＝－12k4k 2＋3.由(1)知F (1，0)，设H (0，y H )， 有FH →＝(－1，y H )，BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9－4k24k 2＋3，12k 4k 2＋3.由BF ⊥HF ，得BF →·FH →＝0，所以4k 2－94k 2＋3＋12ky H 4k 2＋3＝0，解得y H ＝9－4k 212k .因为直线MH 的方程为y ＝－1k x ＋9－4k 212k.设M (x M ，y M )，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －2），y ＝－1k x ＋9－4k 212k 消去y ，解得x M ＝20k 2＋912（k 2＋1）. 在△MAO 中，∠MOA ≤∠MAO ⇔|MA |≤|MO |，即(x M －2)2＋y 2M ≤x 2M ＋y 2M ，化简得x M ≥1，即20k 2＋912（k 2＋1）≥1， 解得k ≤－64或k ≥64. 所以直线l 的斜率的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－64或⎣⎢⎡⎭⎪⎫64，＋∞. 规律方法 解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.【训练3】 (2017·威海模拟)已知圆x 2＋y 2＝1过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的两焦点，与椭圆有且仅有两个公共点，直线l ：y ＝kx ＋m 与圆x 2＋y 2＝1相切，与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1相交于A ，B两点.记λ＝OA →·OB →，且23≤λ≤34.(1)求椭圆的方程； (2)求k 的取值范围；(3)求△OAB 的面积S 的取值范围. 解 (1)由题意知2c ＝2，所以c ＝1. 因为圆与椭圆有且只有两个公共点，从而b ＝1，故a ＝2，所以所求椭圆方程为x 22＋y 2＝1.(2)因为直线l ：y ＝kx ＋m 与圆x 2＋y 2＝1相切， 所以原点O 到直线l 的距离为|m |12＋k2＝1，即m 2＝k 2＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－21＋2k2.λ＝OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝k 2＋11＋2k 2，由23≤λ≤34，得12≤k 2≤1， 即k 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－22∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1. (3)|AB |2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝2－2（2k 2＋1）2， 由12≤k 2≤1，得62≤|AB |≤43. 设△OAB 的AB 边上的高为d ，则S ＝12|AB |d ＝12|AB |，所以64≤S ≤23.即△OAB 的面积S 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤64，23. 考点四 最值问题【例4】 (2015·浙江卷)已知椭圆x 22＋y 2＝1上两个不同的点A ，B 关于直线y ＝mx ＋12对称.(1)求实数m 的取值范围；(2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点). 解 (1)由题意知m ≠0，可设直线AB 的方程为y ＝－1mx ＋b .由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝－1m x ＋b消去y ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1m 2x 2－2b m x ＋b 2－1＝0.因为直线y ＝－1m x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b 2＋2＋4m2＞0，①将AB 中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2mbm 2＋2，m 2b m 2＋2代入直线方程y ＝mx ＋12解得b ＝－m 2＋22m 2②由①②得m ＜－63或m ＞63. (2)令t ＝1m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，62，则|AB |＝t 2＋1·－2t 4＋2t 2＋32t 2＋12.且O 到直线AB 的距离为d ＝t 2＋12t 2＋1.设△AOB 的面积为S (t )， 所以S (t )＝12|AB |·d ＝12－2⎝⎛⎭⎪⎫t 2－122＋2≤22. 当且仅当t 2＝12时，等号成立.故△AOB 面积的最大值为22. 规律方法 处理圆锥曲线最值问题的求解方法圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解. 【训练4】 已知椭圆C ：x 2＋2y 2＝4. (1)求椭圆C 的离心率；(2)设O 为原点.若点A 在直线y ＝2上，点B 在椭圆C 上，且OA ⊥OB ，求线段AB 长度的最小值.解 (1)由题意，椭圆C 的标准方程为x 24＋y 22＝1.所以a 2＝4，b 2＝2， 从而c 2＝a 2－b 2＝2.因此a ＝2，c ＝ 2.故椭圆C 的离心率e ＝c a ＝22. (2)设点A ，B 的坐标分别为(t ，2)，(x 0，y 0)，其中x 0≠0. 因为OA ⊥OB ，所以OA →·OB →＝0， 即tx 0＋2y 0＝0，解得t ＝－2y 0x 0.又x 20＋2y 20＝4，所以|AB |2＝(x 0－t )2＋(y 0－2)2＝(x 0＋2y 0x 0)2＋(y 0－2)2＝x 20＋y 20＋4y 20x 20＋4＝x 2＋4－x 202＋2（4－x 20）x 20＋4＝x 202＋8x 20＋4(0＜x 20≤4). 因为x 202＋8x 20≥4(0＜x 20≤4)，当且仅当x 20＝4时等号成立， 所以|AB |2≥8.故线段AB 长度的最小值为2 2.[思想方法]1.求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 2.定点的探索与证明问题(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为y ＝kx ＋b ，然后利用条件建立b 、k 等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点.(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.3.求解范围问题的方法求范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数，通过求这个函数的值域确定目标的范围，要特别注意变量的取值范围.4.圆锥曲线中常见最值的解题方法(1)几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解.[易错防范]1.求范围问题要注意变量自身的范围.2.利用几何意义求最值时，要注意“相切”与“公共点唯一”的不等价关系.注意特殊关系，特殊位置的应用.3.在解决直线与抛物线的位置关系时，要特别注意直线与抛物线的对称轴平行的特殊情况.4.解决定值、定点问题，不要忘记特值法.。

12021高考数学专题复习:椭圆1.定义:122.PF PF a +=()()()()()()12122222122222222212,,,0,,0220,021 1.00,2P x y F c F c a PF PF a a c x y y x a A a A A a x y a a c a b x y b B b B B b b a c -⇒=+⇒=>⎧=⇒=±⇒±⇒=⎧+=⎪⎪-⇒⇒+=⎨⎨=⇒=±⇒±⇒=⎪⎪⎩=-⎩令2.标准方程:()()2222222211x y F x a b y x F y ab ⎧+=⎪⎪⎪⎨⎪⎪+=⎪⎩在轴在轴 222222222222242222112x y cy y a c a b a b b a x c b b b y y MN a a a⎧+=-⎪⇒+=⇒=⎨⎪=⎩⇒=⇒=±⇒=3.长轴长:2a 短轴长:2b 焦距:2c 通径:22b MN a=4.勾股关系: 222a b c =+,1BF a5.离心率: ce a=取值范围: ()0,1 6.椭圆上点P 到焦点1F 的距离最大值为 a c + ,最小值为 a c -7.椭圆22221+=x y a b的左右焦点为,,21F F 过点1F 的弦,AB 则2ABF ∆的周长为 4a ，直线m x =与椭圆交于D C ,两点,当m 时CD F 1,∆的周长最大值为 4a21.定义:()()()121221222PF PF a PF PF a PF PF a ⎧-=⎪⇒-=⎨⎪-=⎩右支双曲线左支()()()()()()1212222212222222222212,,,0,,0220,021 1.0........0,2P x y F c F c a PF PF a a c x y y x a A a A A a x y a c a a b x y b B b B B b b c aφ-⇒=-⇒=<⎧=⇒=±⇒±⇒=⎧-=⎪⎪-⇒⇒-=⎨⎨=⇒=-⇒±⇒=⎪⎪⎩=-⎩令2.标准方程:()()2222222211x yF x a b y x F y a b⎧-=⎪⎪⎪⎨⎪⎪-=⎪⎩在轴在轴 222222222222242222112x y cy y c a a ba b b a x c b b b y y MN a a a⎧-=-⎪⇒-=⇒=⎨⎪=⎩⇒=⇒=±⇒=3.实轴长:2a 虚轴长:2b 焦距:2c 通径:22b a4.勾股关系: 222c b a =+,5.离心率: ce a=取值范围: ()1,+∞ 6.渐近线()()..b y x F x aa y x F yb ⎧=±⎪⎪⎨⎪=±⎪⎩在轴在轴 ()()22222222222222222222222211x y x y b x b y y x F x a b a b a a y x y x a x a y y x F y a b a b b b ⎧-=⇒=⇒=⇒=±⎪⎪⎨⎪-=⇒=⇒=⇒=±⎪⎩在轴在轴7.双曲线右支上点P 到左焦点1F 的距离最小值为,a c +P 到右焦点2F 的距离最小值为 c a - 双曲线上点P 到焦点距离最小值为3一.定义:.MF d =()2222,,,0,:2.22222p p p p p M x y F l x x x y x y px ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⇒=--⇒-+=+⇒= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭二．抛物线px y 22=一点()A A y x A ,焦半径2p x d AF A +== 抛物线px y 22-=一点()A A y x A ,焦半径22p x p x AF A A +-=+= 三．过焦点的直线l 与抛物线px y 22=交于()()B B A A y x B y x A ,,,两点()00,,y x M 是AB 的中点，则: 焦半径2px d AF A +==,,2p x BF B +=焦点弦()p x p x x BF AF AB B A +=++=+=02过焦点的直线l 与抛物线px y 22-=交于()()B B A A y x B y x A ,,,两点()00,,y x M 是AB 的中点，则: 焦半径2px d AF A +==,,2p x BF B += 焦点弦()p x p x p x x BF AF AB B A +-=+=++=+=002241.椭圆的两个焦点为()(),0,1,0,1-椭圆的长轴长为4，则椭圆方程为 ( )A.2214x y += B.2214y x +=C.22134x y +=D.22143x y +=2.椭圆221925x y +=的长轴长是 ( ) A.5 B.6 C.10 D.503.椭圆2212516x y +=上有一点P 到左焦点的距离是4，则点P 到右焦点的距离是 ( ) A.3 B.4 C.5 D.64.已知椭圆的焦点为()()()0,3,1,0,1,0P-在椭圆上,则椭圆的方程为 ( )A.13422=+y xB.1422=+y x C.14322=+y x D.1422=+x y5.椭圆63222=+y x 的焦距是 ( )A.2B.()232- C.52D.()232+6.椭圆长轴长为,33该椭圆的方程为 ( ) A.221128x y += B.221128x y +=或221128y x += C.22132x y += D.22132x y +=或22132y x +=57.椭圆141622=+y x 上的两个焦点是,,21F F 弦AB 过焦点,1F 则2ABF ∆的周长为 ( ) A ．8 B ．16 C ．24 D ．328.21,F F 是椭圆191622=+y x 两焦点,过2F 的直线交椭圆于点B A ,,若5=AB ,则=+11BF AF ( ) A.9 B.10 C.11 D.16 9.椭圆的焦距等于2，则=m ( ) A.5或3B.8C.5D.1610.椭圆2214x y +=的左焦点为,F P 为椭圆上一点，其横坐标为,3则=PF ( ) A.12 B.32 C.52 D.7211.()()22223310x y x y +++-=表示的曲线的标准方程为12.椭圆06322=-+m y mx 的一个焦点为(),2,0则=m ( )A.2B.3C.5D.613.椭圆5522=+ky x 的一个焦点是(),1,0那么=k14.若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为 ( )A.116922=+y x B.1162522=+y x C.1162522=+y x 或1251622=+y xD.以上都不对615.椭圆的焦点坐标为()(),0,1,0,121F F -过2F 垂直于长轴的直线交椭圆于Q P ,两点,且3=PQ ,求椭圆的方程16.椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于 ( ) A.22 B.2 C.21D.2317.已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为(),0,1F 离心率等于21,则C 的方程是 ( ) A.14322=+y xB.13422=+y xC.12422=+y xD.13422=+y x18.焦点在x 轴的椭圆过,21,3,22,2⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-B A 则椭圆的离心率为 ( ) A.23 B.21C.26D.3319.若椭圆的两焦点为()(),0,2,0,2-且椭圆过点,23,25⎪⎭⎫⎝⎛-则椭圆方程是720.椭圆221x my +=的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则=m ( )A.41B.21C.2D.421.椭圆121022=-+-m y m x 焦点在y 轴上，若焦距为4，则=m ( )A.4B.5C.8D.1422.21,F F 是椭圆125922=+y x 的焦点,直线AB 是过点(),4,0-若8=AB ,则=+B F A F 22 ( )A.12B.16C.4D.823.已知椭圆离心率为31，长轴长为12，则椭圆方程为24.已知椭圆焦点在x 轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆上点的最短 距离为3,这个椭圆方程为825.已知椭圆的离心率32=e ,短轴顶点坐标为()54,0±,椭圆的方程26.已知椭圆C: ()222210x y a b a b+=>>的左顶点和下顶点分别为,,A B AB =过椭圆焦点且与长轴垂直的弦的长为2求椭圆C 的方程27.已知椭圆2222:1x y C a b+=过点()2,1A --,且2a b =．求椭圆C 的方程28.圆()()(),.164:22+∈=-+-N m m y x C 直线43160x y --=过椭圆()0,1:2222>>=+b a by a x E的右焦点,交圆C 所得弦长为()32,3,15A 在椭圆E 上.=m ，椭圆E 方程9()()()()()()()()()()()222221122221242,13.2255210.35410.41,2.511.32612.74416.84416,511.91,4/4.110.2115,3162a a c b D a a a C a PF D c b a C x y c A a c b D a l a B a l a AB AF BF C c a b A P D x y a c =⇒==⇒=⇒=⇒=⇒=⇒=⇒+=⇒==⇒=⇒+=⇒=⇒==⇒=⇒=⇒==⇒=⇒===⇒+=⇒===⇒⎫⇒⎪⎭==⇒+()()()()()()()()2222222222222 1.51212645.6255131115294141.539221315323202143116::.1171,2.212181x y m m C my x k k k a b b a b C a c a b b a x y a a a b aa c abc A c e a b D m mx ny =+=⇒=+⇒=⇒+=⇒=+⇒=+==⎧⎧⇒-=⇒⇒⎨⎨==⇒-=⎩⎩⎧-=⎪⇒=⇒--=⇒=⇒=+=⎨⎪=⎩=⇒==⇒=⇒=++=⇒()()()()()()()()2222122222222222112141421314192110612014.112124108.22420812:113632236,2323:3632n m x y e n m n x y a PF PF A C x y A mmm m m C F A F B AB a F A F B Ax y x a e c b y x y ⎧=⎧⎪=⎪⎪⇒⇒+=⇒=⎨⎨⎪⎪=+=⎩⎪⎩=+===+=+=⇒=⇒-=+-⇒=⇒++=⇒+=-=⇒+===⇒=⇒=⇒+=1⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩10()()()()()()2222222222222222122::2:243 1.1292::232512 1.144802026 1.16412712148242823,12a b c a x y b a c c e a b c x y a b a b x y bax y x y b b b c a a AF AF A E b ⎧⎧==⎪⎪⇒=⇒+=⎨⎨-==⎪⎪⎩⎩⎧=⇒=⎪⇒=⇒+=⎨⎪=⎩⎧+=⎪⇒+=⎨=⎪⎩+=⇒=⇒+=⎧=⎧=⎪⇒=+=⇒⎨⎨∈=⎪⎩224: 1.1618251631612455r x y E l m d m =⎧⎪⎪⇒+=⇒⎨=⎪⎪⎩⎩--===⇒=2021高考数学专题复习:双曲线(2)1.双曲线22145x y -=的离心率为 ( ) A.23 B.43 C.32D.22.以双曲线2213x y -=的一个焦点为圆心，离心率为半径的圆的方程可以是 ( ) A.()2224x y -+= B.()2222x y +-= C.()2222x y -+= D.()2224x y +-=3.双曲线221412x y -=的离心率等于 ；渐近线方程为 .4.双曲线2291x y -=-的渐近线方程为 .5.双曲线方程为2221x y -=,则它的右焦点坐标为 ( )A.,02⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B.⎫⎪⎪⎝⎭C.⎫⎪⎪⎝⎭D.)6.双曲线8222=-y x 的实轴长是 ( ) A.2 B.22 C.4 D.247.已知双曲线15222=-y ax 的右焦点为()0,3,则该双曲线的离心率等于 ( )A.14 B.4 C.32 D.438.双曲线122=-x my 与椭圆2215y x +=有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为 ( )A.y =B.3y x =±C.13y x =± D.3y x =±9.双曲线12222=-bx a y 的两条渐近线互相垂直，则离心率=e ( )A.2B.3C.2D.2310.与双曲线2214y x -=有共同的渐近线，且过点()2,2的双曲线方程为 ( )A.221312x y -= B.18222=-x y C.18222=-y x D.221312y x -=11.双曲线122=+y mx 的虚轴长是实轴长的2倍，则=m ( )A.41- B.4- C.4 D.4112.以15422=-y x 的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆的方程为13.双曲线116922=-y x 上的点M 到点()0,5-的距离为,7则M 到点()0,5的距离为 ( ) A.1或13 B.15 C.13 D.114.双曲线122=-my x 的一个焦点坐标为(),0,5-则双曲线的渐近线方程为 ( )A. x y 41±=B. xy 21±=C. x y 2±=D. x y 4±=15.双曲线1322=-y m x 的离心率为,2则=m .16.经过点()62,62-M 且与双曲线22134y x -=有共同渐近线的双曲线方程为 ( ) A.22186y x -= B.22168x y -=C.22186x y -=D.22168y x -=17.已知双道曲线()0,0.1:2222>>=-b a by a x C 的离心率为2，则双曲线C 的渐近线方程为 ( )A ．y x =±B ．y x =C ．y =D ．y x =18.焦点在y 轴上的双曲线的离心率为,3则它的渐近线方程为 ( )A.2y x =±B.2y x =± C.x y 2±= D.x y 22±=19.已知中心在原点,焦点在x 轴上的双曲线的离心率为3,2实轴长为4,则双曲线的方程为 .20.已知双曲线1822=-y m x 的离心率为,3则实数=m ．21.以椭圆192522=+y x 的焦点为焦点，离心率2=e 的双曲线方程是 ( )A.112622=-y x B.114622=-y x C.114422=-y x D.112422=-y x22.双曲线122=-y mx 的焦点到它的渐近线的距离为23.设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，过抛物线24y x =的焦点和点(0,)b 的直线为l ．若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为 ( )A ．22144x y -= B ．2214y x -= C ．2214x y -= D ．221x y -=24.双曲线过点()(),6,3,3,2B A -则该双曲线的方程为25.设P 是双曲线19222=-y ax 上一点，该双曲线的一条渐近线方程是043=+y x 21,,F F 分别是 双曲线的左、右焦点，若101=PF ，则=2PF( )A.2B.18C.2或18D.1626.已知双曲线焦点在x 20y -+=平行，若点()3,2在双曲线上，求 双曲线的标准方程27.已知双曲线13222=-by x 的右焦点到一条渐近线的距离为1，则该双曲线的离心率为 ( ) A.2 B.3 C.332 D. 22328.双曲线()0,0,12222>>=-b a b y a x 和椭圆191622=+y x 有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,求双曲线的方程29.若双曲线112422=-y x 上的一点P 到它的右焦点的距离为,8则点P 到它的左焦点的距离是 ( ) A ．4B ．12C ．4或12D ．630.中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线与直线112yx =+平行，则它的离心率为( )31.与椭圆1121622=+x y 共焦点且过点()3,1的双曲线的标准方程为32.F 为双曲线22:1916x y C -=的左焦点,,P Q 为C 上的点,若PQ 的长等于虚轴长,点()5,0A 在线段PQ 上,则PQF ∆的周长为33.已知双曲线22:13x C y -=的左，右焦点分别为,,21F F 过点2F 的直线与双曲线C 的右支相交于 Q P ,两点，且点P 的横坐标为,2则Q PF 1∆的周长为 ( )A ．3B ．C ．3D ．34.0241022=+-+x y x 的圆心是()0.19222>=-a y ax 的一个焦点,此双曲线渐近线方程为 ( ) A.x y 34±= B.x y 43±= C.x y 53±= D.x y 54±=35.双曲线223x y m m -1=的一个焦点是()2,0,椭圆221y x n m-=的焦距等于,4则=n36.与双曲线12422=-y x 共焦点，且过点()2,3的椭圆方程37.双曲线与椭圆1641622=+y x 有相同的焦点，它的一条渐近线为,x y -=双曲线方程38.与椭圆1422=+y x 共焦点且过点()1,2Q 的双曲线方程39.已知12,F F 为双曲线22:1916x y C -=的左右焦点,点P 在C 的渐近线上12,0,PF PF P ⋅<横坐标取值 范围40.已知椭圆()()102222=++++-y c x y c x 的短轴长为2,b 那么直线:30l bx cy ++=截圆122=+y x 所得的弦长为41.双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐进线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO的面积为42青花瓷是中华陶瓷烧制工艺的珍品，也是中国瓷器的主流品种之一．如图，是一青花瓷花瓶，其外形上下对称，可看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面．若该花瓶的瓶口直径为瓶身最小直径的2倍，花瓶恰好能放入与其等高的正方体包装箱内，则双曲线的离心率为 ( ) A ．3B ．62C ．213D ．7243.(多选)12,F F 为双曲线()2222:1,,0x y C a b a b-=>的左右焦点,点P 在C 上,若渐进线方程为30,x y ±=焦距为42,下列说法正确的是 A.实轴长2 B.离心率2C.双曲线焦点到渐近线距离6D.存在点P ，使得21F P =44.（单选）双曲线221:14x C y -=，双曲线22222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，M 是双曲线2C 的一条渐近线上的点，且2OM MF ⊥，O 为坐标原点，若216OMF S =△，且双曲线12,C C 的离心率相同，则双曲线2C 的实轴长是 ( ) A ．32 B ．16 C ．8 D ．4()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()222222222222212.32,.43.351.11226 1.9579542.841.319.10.11.12.13.14.151.16.17.18.19 1.45204.2122123.49112413613C D e y y x x y c e C x y a a C y x c A C A A C C C D C D x y D D m n m mx ny x m n n ===±-=⇒=⇒=⇒+==-=⇒=⇒=⇒-=⇒-=+==⎧⎧+=⇒⇒⇒⎨⎨+==-⎩⎩()()()()()()2222221 2.325.26 1.327.2814329.130::2:1:2y e C y x C x y C b a b c e D a -=⇒=-=-==⇒==⇒()()()()()()()()()2222222222231310,211344421442232216,42121628.233242345,04.353411,253236166Py x y x F t t t t t t t t t t m b l a m b x c PQ x PQ l a PQ A a F a B y m m m x c n nx y c t t t t ±⇒-=⇒-=⇒+-=-+⇒=⇒=⇒-=--===+=+===⇒⊥⇒==⇒=+=⇒⇒=⇒-+=⇒=-⇒+==⇒==⇒+=⇒+=++()()()()()()()())222222222221213122612031.93::1:1:37 1.2424483812 1.323953,43,3.338405.5541,:t t t t t t t x y a b a b c y x a b c c x y x F t y t t PF PF OP c P a d l a PO PFF l ⇒++=+⇒+-=⇒=⇒+=⎧=⇒=⎪==-=⎨=⇒=⎪⎩⇒-=⇒=⇒-=-⊥⇒==⇒⇒-=⇒===⇒===()()()()()222222222122224214424143::22,20::1:243.2.2181632442:2:12P S y x x y a a b a b c e a bb P a a y a bc BC a b e PF c a c c a S ab ab b a b a b⎧⎛⎪⇒⇒== ⎨ =⎝⎭⎪⎩⎧-=⎪⇒-=⇒=⇒=⇒=⎨⎪⎩±=⇒=⇒===≥-==⇒=⎪⎩⎧===⇒=⎪⇒⎨⎪=⇒=⎩.4B ⎧⇒⎨=⎩2021高考数学专题复习:抛物线(3)1.抛物线24y x =的准线方程是 ( ) A.1y = B.1y =- C.116y = D.116y =-2.已知抛物线22y px =的准线方程是2,x =-则=p ( ) A.2 B.4 C.2- D.4-3.抛物线x y 122=上与焦点的距离等于6的点横坐标是 ( )A.1B.2C.3D.44.已知抛物线x y 42=的焦点,F 该抛物线上的一点A 到y 轴的距离为3，则=AF( )A.4B.5C.6D.75.过抛物线24y x =的焦点F 的直线交该抛物线于点,A 若3,AF =则点A 的坐标为 ( )A.()22,2B.()22,2-C.()22,2± D.()2,1±6.抛物线x y 412=上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 到y 轴的距离是 ( ) A ．1716 B.78 C.1 D ．15167.O 为坐标原点,直线x =2与抛物线()2:2,0C y px p =>交于D ,E 两点,若,OD OE ⊥则C 的焦点坐标为8.抛物线x y 82-=的准线与双曲线12822=-y x 的两条渐近线所围成的三角形的面积为 ( ) A.8 B.6 C.4 D.29.已知点P 在抛物线y x 42=上，且点P 到x 轴的距离与点P 到此抛物线的焦点的距离之比为1:3, 则点P 到x 轴的距离是 ( ) A.41 B.12 C.1 D.210.若抛物线212y x m=的焦点与椭圆12622=+y x 的右焦点重合，则m =11.点P 是抛物线x y 42=上一点P ,到该抛物线焦点的距离为4，则点P 的横坐标为 ( ) A ．2 B. 3 C. 4 D.512.抛物线x y 42=上一点P 到焦点F 的距离为10,则P 的坐标为 ( ) A.()9,6± B.()6,9 C.()6,9± D.()9,613.双曲线122=-my x 与抛物线x y 82=的一个交点为F P ,为抛物线的焦点，若,5=PF 则 双曲线的渐近线方程为 ( ) A.02=±y x B.02=±y x C.03=±y x D.03=±y x14.过抛物线24y x =的焦点作直线交抛物线于()()2211,,,y x B y x A 两点,若==+AB x x ,821( )A.10B.8C.6D.415.过抛物线24y x =的焦点作直线l 交抛物线与B A ,两点，若中点的横坐标为3，则=AB ( ) A.10 B.8 C.6 D.416.过24y x =的焦点直线l 交抛物线于()()2211,,,y x Q y x P 两点，如果,621=+x x 则=PQ17.()0.22>=p px y 上一点M 到准线和抛物线的对称轴的距离分别为10和6,该点横坐标为 ( )A.10或 1B.9或 1C.10或2D.9或218.已知双曲线()0,0.12222>>=-b a by a x 的一个焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的方程为19.抛物线y x 22=上有一点,P 它到()3,1A 的距离与到焦点的距离之和最小，则点P 的坐标是( )A.()1,2-B.11,2⎛⎫⎪⎝⎭C.()1,2D.()2,1-20.双曲线2221x y a-=()0>a 的一个焦点与抛物线218x y =的焦点重合,则此双曲线的离心率为( )A ．332 B ．3 C ．233 D ．43321.已知点P 是抛物线28y x =-上一点，设P 到此抛物线准线的距离是1d ，到直线100x y +-= 的距离是,2d 则12d d +的最小值是 ( ) A.3B.23C.62D.322. 点()2,1A -x y 4,2-=的焦点是P F ,是24y x =-上的动点，为使PA PF +取得最小值，则P 点坐标为 ( ) A.⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,41 B.()22,2- C.⎪⎭⎫⎝⎛--1,41 D.()22,2--23.双曲线22214x y b-=右焦点与抛物线x y 122=焦点重合,双曲线的焦点到其渐近线距离等于 ( )A.5B.24C.3D.524.440kx y k --=与x y =2交B A ,两点,若,4=AB 弦AB 的中点到直线102x +=的距离 ( ) A ．74 B.2 C ．94D.425.抛物线焦点在x 轴，经过点()O y M ,,20为坐标原点，若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则=OM ( )A ．．．4 D ．26.24x y =焦点为,F 上有两点()()1122,,,A x y B x y 满足2AF BF -=,则221122y x y x +--=( )A.4 B ．6 C.8 D ．1027.双曲线()2222 1.0,0-=>>x y a b a b与抛物线28y x =有一个共同焦点F ,两曲线的一个交点为P ，若5,=PF 则点F 到双曲线的渐进线的距离为 ( )B.2D.328.抛物线mx y =2的焦点为,F 点()22,2P 在此抛物线上M ,为线段PF 的中点，则点M 到该抛物线准线的距离为 ( ) A.1 B.23 C.2 D. 2529.()0,22>=p px y 焦点为()()()333222111,,,,,,y x P y x P y x P F 在抛物线上,2132x x x =+,则有( )A.123FP FP FP +=B.222123FP FP FP +=C.2132FP FP FP =+D.3122FP FP FP ⋅=30.双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的一条渐近线方程是,3x y =它的一个焦点在抛物线x y 682=的准线上,求双曲线的方程31.抛物线x y 42=的焦点为F ,准线为l ,点P 为抛物线上一点,且在第一象限,l PA ⊥,垂足为A ,4PF =, 则直线AF 的倾斜角等于 （ ） A ．712π B ．23π C ．34π D ．56π32.等轴双曲线C 的焦点在x 轴上,C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点,34,=AB 则C 的 方程为33.双曲线C 的焦点在x 轴上,离心率为,25C 与抛物线x y 82=的准线交于,A B 两点,2,=AB 则C 的 方程为34.某桥的桥洞呈抛物线形，桥下水面宽16米，当水面上涨2米后达到警戒水位，水面宽变12米，此时 桥洞顶部距水面高度约为 米35.已知抛物线2:12C y x =的焦点为,F A 为C 上一点且在第一象限，以F 为圆心，FA 为半径的圆交C 的准线于,B D 两点，且,,A F B 三点共线，则FA =（ ）A ．16B ．10C ．12D ．836.设抛物线的顶点为O ，焦点为F ,准线为l ,P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ l ⊥于Q ，则线段FQ 的垂直平分线 （ ）A. 经过点OB.经过点PC.平行于直线OPD.垂直于直线OP37.F 为24y x =的焦点,C B A ,,为该抛物线上三点,若0=++FC FB FA ,FA FB FC ++=（ ） A ．9 B ．6 C ．4 D ．338.(2020青岛模拟15)已知直线():1l y k x =-与抛物线()2:2,0C y px p =>在第一象限交点为,A l 过C 的焦点,3,F AF =则抛物线的准线方程为 ，k =39.圆058:22=-+++ay x y x C 经过抛物线:E y x 42=焦点E ,的准线与圆C 相交所得弦长为40.已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点()2,0A 的距离与P 到该抛物线准线的距离d 之 和的最小值为 （ ）A B ．3 CD ．9241.抛物线()0.2:2>=p px y C 的准线为l ，过()0,1M l 相交于点A ，与C 的一个 交点为B ,若,=则p = ．()()()()()()()()()()()()()()(()()()()()()()()()201.2.3.4.5.6.172,22,0.28.9.110.1611.12.133,3.148210.152********181,61710,6362101820.2229,6118D B C A C D D y x D B B C P m y D AB A AB x p B PQ p M p p M p p p B p M c ⎛⎫⇒=⇒ ⎪⎝⎭⇒=⇒=⇒=+=⇒=+=+=⇒=+==⇒±⎧⎪⎛⎫⎛⎫-±⇒=-⇒--=⇒⇒⎨⎪ ⎪=⇒±⎝⎭⎝⎭⎪⎩=()()()()22255 1.4::1:2:1191.22082.212,0,y a b x a b c x y B y x c a C F d C⎧⎪==⇒-=⎨=⎪⎩=⇒=⇒=⇒=⇒=-==⇒()()()()(()()()()0022212121212121221.4233,2.1792442.2442532242,.2261122,4448.y x A c a b d A x x d C pp y x M OM A y y y y x x y y y y D =⇒=-⇒==⇒=⇒=⇒=+⇒=⇒=⇒=+⇒=⇒=⇒±⇒=⇒+-+=⇒-=⇒-=-=-=⇒31()(()()()()()()((1221313222213213222273,,2,0221.352841,0.22292222230 1.618::2313,1,AF P F a PF PF a b A y x F M d D FP FP x x pp FP x FP x p FP FP FP Cx x x c x y a b a b c P A k ±⇒=-=⇒=⇒=⎛=⇒⇒⇒=⇒⎝+=++⎧⎪⎪=+⇒=+⇒+=⇒⎨⎪+=⎪⎩⎧=⎪⇒==-=⎨=⎪⎩⇒-⇒=()(()()()()()()()2222222.1612321,4,1422411331,2,11141222228,64181834,14146,.776,2362359,9312.36B x y A t a a t t tx y x y A t t m am x ay a x y d y m am AF FB A y AF PQ ⇒--=-⇒=⇒=⇒=⇒=⎛-=-⇒-=⇒=⇒-= ⎝⎭⇒=⎧⎪⎛⎫=⇒=-⇒=-⇒⇒-⇒==⎨⎪+⇒=+⎝⎭⎪⎩=⇒⇒=+==()()()()()()()(()()()()()()()123123123222min.371110336.381,0:4, 1.32,54225390,1421:140.241,2PF B x x x x x x FA FB FC x x x B F C y xx AFA k r x yF a AB l d l y PA d PA PF PA PFAF A p A ⇒⇒-+-+-=⇒++=⇒++=+++=⇒⇒==-=⇒⇒=⎧=⎧+++=⎪⇒=⇒⇒⇒==⎨⎨==-⎩⎪⎩+=+⇒+==⇒-())22222222,1,0,1241202B A p p p x B y M AM MB y x y pxp p p ⎧⎛⎫⎧⎫=+++⎪⎪⎛⎫⎪ ⎪=⇒⇒⇒⎭⎝⎭⎨⎨⎪⎝⎭⎪⎪=-=⎩⎩+-=⇒=322021高考数学专题复习:面积方程问题1.点P在椭圆1222=+yx上21,,FF两焦点012,90,F PF∠=则21PFF∆的面积是2.21,FF为双曲线141622=-yx两焦点，双曲线上点P满足021120=∠PFF,21PFF∆的面积为( )A．334B．25C.2D.53.21,FF为椭圆22214x yb+=两个焦点,,221=FF点P在双曲线上且,90021=∠PFF21PFF∆的面积是4.P为椭圆13422=+yx上的一点,21,FF为该椭圆的两个焦点，若,60021=∠PFF则21PFF∆的面积等于 ( )A.3B.3C.32 D.25.椭圆C两焦点()()0,4,0,421FF-P,在C上，若21FPF∆面积的最大值为C,12方程为336.已知21,F F 为双曲线1:22=-y x C 左右焦点,点P 在C 上,=⋅=∠21021,60PF PF PF F ( )A ．2 B.4 C.6 D.87.21,F F 是14922=+y x 的两焦点,P 是椭圆上的点，且,1:2:21=PF PF 21F PF ∆面积为 ( ) A.4 B.6 C.22 D.248.2218y x -=两个焦点为12,F F P ,是双曲线上的一点，,4:3:21=PF PF 则=∆21F PF S ( ) A.310 B.38 C.58 D.5169.设21,F F 是椭圆1422=+y x 的两个焦点，点P 在椭圆上,0,21=⋅PF PF=3410.1422=+y x 焦点为21,F F ,P 为其上的动点，当021120=∠PF F 时,=∆21PF F S . 当21PF F ∠为钝角时，点P 横坐标取值范围11.椭圆22221x y a b+=两焦点为()(),0,1,0,1-满足P b a ,4322=在椭圆上,1,21=-PF PF 椭圆方程 =∠21cos PF F12.已知点P 是椭圆22184x y +=上一点,21,F F 分别为左右焦点,若12PF F ∆的面积为,312cos F PF ∠=3513.双曲线15422=-y x 与椭圆1162522=+y x 交于点,P 左右焦点分别为12,,F F=14.已知()(),0,5,0,5BA -动点C 到B A ,两点的距离之和为6,设P 为C 上一点,0,=⋅=15.设双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F 1，F 2P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a =16.21,F F 是椭圆12222=+by a x 的左右焦点,()4,3P 是椭圆上一点,,21PF PF ⊥椭圆方程36()()()()()()()()()000022220121211tan 45142.tan 6033tan 45 3.43tan 30.1512835 1.22592414286cos 604.222274,2,4.6:3:486,2S S A S S B x y b b a m n mn c mn mn B mn mnm nm n F F PF PF S A m n m n m n m =⋅===⇒=⋅==⋅=⇒=⋅⋅⇒=⇒=⇒+=-+-+-=⇒=⇒=⇒=⎧⇒===⊥⇒=⇒⎨+=⎩=⎧⇒=⎨-=⎩()()()122200221221121218,68.249 2.121101tan 6012.22::211 1.431534,2212A A A n F F S C m n mn m n S S c y y x x a x y a b c c b PF PF PF PF PF PF F F c ==⇒=⋅⋅=⇒+=⎧⇒=⎨+=⎩⎛=⋅===⋅⋅⇒=⇒=⇒∈ ⎝⎭=⎧⎧=⎪⎪⇒⇒+=⎨⎨==⎪⎪⎩⎩⎧⇒+===⎪⇒⎨-=⎪⎩==()()()()2222121122122222203cos .252347124tan3tancos cos 2cos 1.2242522510134100168421.4146321208.94tan 454215::1:PF PF F F F PF PF PF m n mn mn m n x y m n a b m n mn S b b e a b c θθθθθ⎧+-⎪⇒∠==⎨⋅⎪⎩⋅=⇒=⇒=⇒=-=+=⎧⇒=-=⇒=⎨-=⎩+=⇒=⇒=⇒+=⇒+=⇒===⇒===()222221219161624415 1.2444520a x y S cb bc c c c c ⎧⎪⇒=⎨⎪⎩=⋅=⇒=⇒+=⇒=⇒+=+372021高考数学专题复习:离心率1.若椭圆的短轴为AB ，它的一个焦点为1F ，则满足1ABF ∆为等边三角形的椭圆的离心率是( )A.41B.21C.22D.232.椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形,则该椭圆的离心率为 ( ) A.51 B.43 C.33 D.213.直线:220l x y -+=与坐标轴的交点分别是一个椭圆的焦点和顶点，椭圆的离心率为 ( )A.5B.5C.5或5 D.254.椭圆()5.15222>=+a y ax 的的左焦点为,F 直线x m =与椭圆相交于点,,B A FAB ∆的周长的最大值 是12,则该椭圆的离心率=e38 5.已知点12,F F分别是椭圆()2222:1,0x yC a ba b+=>>的左右焦点,O为坐标原点,点P在椭圆上,且满足12212,3,F F OP tan PF F=∠=则C的离心率为6.已知P是以21,FF为焦点的双曲线()0,,12222>=-babyax上一点,若21tan,2121=∠⊥FPFPFPF,则双曲线的离心率为7.设21,FF分别是双曲线()0,0,12222>>=-babyax的左右焦点,若双曲线右支上存在一点P,使()OPFOFOP,022=⋅+为坐标原点,=则该双曲线的离心率为（）1B.12++2+8.设双曲线()0,0.1:2222>>=-babyaxC的左右焦点分别为21,FF P,是C上的点,,212FFPF⊥,45021=∠FPF则C的离心率为399.已知21,F F 是双曲线22221-=x y a b的左右焦点,点P 是以21,F F 为直径的圆与双曲线的一个交点，且12215,PF F PF F ∠=∠则双曲线离心率为10.已知双曲线()0,0.1:2222>>=-b a by a x C 的一条渐近线截圆()11:22=+-y x M，则该双曲线的离心率为 ( ) A.43B.3C.35311.已知21,F F 是双曲线()0,0.1:2222>>=-b a by a x C 的左、右焦点，过1F 的直线与C 的左支交于B A ,两点．若5:4:3::22=AF BF AB ,则双曲线的离心率为.12.已知抛物线x y 82=的准线与双曲线1:222=-y ax C 相切，则双曲线C 的离心率为 ( )A.25B.23C.552D.33240 13.设点P是双曲线(abyax12222=-)0,0>>b与圆2222bayx+=+在第一象限的交点，其中21,FF分别是双曲线的左右焦点，且212PFPF=,则该双曲线的离心率为14.21,FF是双曲线22221x ya b-=的左右两个焦点,过点1F作垂直于x轴的直线与双曲线的两条渐近线分别交于BA,两点2,ABF∆是直角三角形,则该双曲线的离心率为15.已知21,FF是双曲线22221x ya b-=的左右两个焦点,过点1F作垂直于x轴的直线与双曲线分别交于BA,两点2,ABF∆是直角三角形,则该双曲线的离心率是16.过双曲线()0,0.12222>>=-b a b y a x 的右焦点F 作垂直于x 轴的直线,交双曲线的渐近线于,A B 两点， 若OAB ∆(O 为坐标原点)是等边三角形，则双曲线的离心率为 ( )D.217.21,F F 是双曲线12222=-b y a x 左右焦点,过2F 作与x 轴垂直的弦,PQ 且==∠e Q PF ,6001 ( ) A.3 B.2 C.2 D.2618.过双曲线()0,0.12222>>=-b a b y a x 的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF的垂直平分线上，则双曲线的离心率为 ( )A ．2BC ．3D ．219.椭圆22221x y a b +=的左、右顶点分别是B A ,,左右焦点分别是21,F F 若B F F F AF 1211,,成等比数列，则此椭圆的离心率为20.椭圆2222+=1x y a b的左右焦点分别是,,21F F 过2F 作倾斜角为0120的直线与椭圆的一个交点为,M 若1MF 垂直于x 轴,则椭圆的离心率为21.双曲线()0,0.12222>>=-b a by a x 的渐近线与抛物线21y x =+相切,该双曲线的离心率为 ( )B.2C.5D.622.双曲线()0,0,12222>>=-b a b y a x 焦距为1161,1022+=x y 与其渐近线相切,双曲线方程为（ ） A.22182x y -= B.22128x y -= C.2214x y -= D.2214y x -=23.点P 在椭圆12222=+by a x 上21,,F F 是椭圆的两个焦点,90,021=∠PF F 且21PF F ∆的三条边长成等差数列， 则此椭圆的离心率是24.已知双曲线一个焦点为(),0,51-F 点P 在双曲线上，且线段1PF 的中点坐标为()2,0，则此双曲线 的离心率是 .25.双曲线的中心为原点O ,实轴在x 轴上,虚轴顶点为A ，左右焦点分别为,,21F F 线段12,OF OF 的中点 分别为12,B B ,且21B AB ∆是直角三角形,该双曲线的离心率为26.设12,F F 是双曲线1:2222=-b y a x C 的两个焦点.若在C 上存在一点,P 使,30,02121=∠⊥F PF PF PF则C 的离心率为 .27.椭圆22221+=x y a b 上一点与其中心及长轴的一个端点构成等腰直角三角形，则此椭圆的离心率为28.点A 是抛物线()0,2:21>=p px y C 与双曲线:2C 22221x y a b -=的一条渐近线的交点，若点A 到 抛物线1C 的准线的距离为,p 则双曲线2C 的离心率等于 ( ) A.2 B.3 C.5 D.629.设双曲线的一个焦点为,F 虚轴的一个端点为,B 如果直线FB 与该双曲线的一条渐进线垂直，那么此 双曲线的离心率为 ( )30.椭圆的两个焦点和短轴两顶点是一个含060角的菱形的四个顶点，则椭圆离心率为31.若双曲线()0,0,12222>>=-b a by a x 离心率[],2,2∈e 则两条渐近线夹角θ的取值范围是32.12,F F 是双曲线()22221,0,0-=>>x y a b a b 的两个焦点,过2F 作x 轴的垂线交双曲线于,A B 两点，若1,3AF B π∠<则双曲线离心率取值范围为33.已知双曲线()22221,0,0-=>>x y a b a b 的左顶点为,A 右焦点为(),0,c F 直线c x =与双曲线C 在第一象限的交点为,P 过F 的直线l 与双曲线C 过二、四象限的渐近线平行，且与直线AP 交于点,B 若ABF ∆与PBF ∆的面积的比值为2，则双曲线C 的离心率为34.已知1,F 2F 是双曲线()2222:1,0,0x y C a b a b-=>>的左右焦点，若直线2y x =与双曲线C 交于,P Q 两点，且四边形12PF QF 是矩形，则双曲线的离心率为 （ ）A ．525-B ．525+C ．5+25D ．525-35.若双曲线()0,0,12222>>=-b a by a x 的左右焦点分别为,,21F F 线段21F F 被抛物线22y bx =的焦点 分成5:7的两段,则此双曲线的离心率为36.已知抛物线()0,22>=p px y 与双曲线12222=-b y a x 有相同的焦点,F 点A 是两曲线的交点， 且x AF ⊥轴，则双曲线的离心率为 ( )51+2131+ D.221237.双曲线()0,0,12222>>=-b a b y a x 左右焦点分别为A F F ,,21是双曲线上一点122,,⊥F F AF 若直线1AF 与圆22229++=a b x y 相切,切点为,M 则双曲线离心率为38.椭圆22221+=x y a b 的左焦点1,F 该椭圆上一点A 满足1OAF ∆是等边三角形,则椭圆离心率为39.双曲线()22221,,0x y a b a b -=>的左、右焦点分别为为12,,F F 过2F 作倾斜角为60︒的直线与y 轴和双曲 线的左支分别交于点,,A B 若()21,2OA OB OF =+则该双曲线的离心率为40.已知双曲线()22221,,0x y a b a b-=>的左右焦点分别为12,,F F 圆222x y b +=与双曲线在第一象限内的交点为,M 若123,MF MF =则该双曲线的离心率为41.设双曲线()2222:1,0,0x y C a b a b-=>>的左焦点为1,F 直线:43200l x y -+=过点1F 且与双曲线C 在第二象限的交点为P ，O 为原点1,,OP OF =则双曲线C 的右焦点的坐标为 ，离心率为 ．42.已知F 为双曲线()2222:10x y C a b a b-=>>的右焦点,,A B 是双曲线C 的一条渐近线上关于原点对称的两点，0AF BF ⋅=且AF 的中点在双曲线C 上，则C 的离心率为 ( )1B.1- 1+ 143.已知O 为坐标原点，双曲线()2222:10,0x y C a a b-=>>的右焦点为F ，过点F 且与x 轴垂直的直线与双曲线C 的一条渐近线交于点A （点A 在第一象限），点B 在双曲线C 的渐近线上，且BF//OA ，若0AB OB ⋅=,则双曲线C 的离心率为 ( )D.244.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线分别为1l ,2l ,点A 是x 轴上与坐标原点O 不重合的一点,以OA 为直径的圆交直线1l 于点O ,B ,交直线2l 于点O ,C ,若2BC OA =,则该双曲线的离心率是45.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右顶点为A , 以A 为圆心的圆与双曲线C 的某一条渐近线交于两点,P Q .若60PAQ ∠=,且3OQ OP =（其中O 为原点），则双曲线C 的离心率为 ( )A ．2 B ．7 C D ．46.已知,,A B C 是双曲线()22221,0,0x y a b a b-=>>上的三个点,AB 经过坐标原点,O AC 经过双曲线的右焦点2,F 若22,2,BF AC AF CF ⊥=则该双曲线的离心率是 ( ) A.53 B.17 C.17 D.9447.设双曲线()222210x y C a b a b-=>0,>：的左、右焦点分别为12122,,2,F F FF c F =过作x 轴的垂线，与双曲线 在第一象限的交点为A ，点Q 坐标为3,2a c ⎛⎫ ⎪⎝⎭且满足22F Q F A >，若在双曲线C 的右支上存在点P 使得11276PF PQ F F +<成立，则双曲线的离心率的取值范围是___________.48.双曲线()222210x y a b a b-=>0,>的左、右焦点分别为12,,F F 过2F 作一条渐近线的垂线，垂足为,A 交另一条渐近线于点,B 且221,3AF F B =则双曲线的离心率为 ( ) A.53 17 17 D.9449.已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点,P 是它们的一个公共点,且123PF F π∠=,记椭圆和双曲线的离心率分别为12,,e e 则221213e e +的值为 ( ) A.1 B.2512C.4D.16。

9.8 圆锥曲线的综合问题1．直线与圆锥曲线的位置关系 直线与圆锥曲线的位置关系，从几何角度来看有三种：相离时，直线与圆锥曲线______公共点；相切时，直线与圆锥曲线有______公共点；相交时，直线与椭圆有______公共点，直线与双曲线、抛物线有一个或两个公共点．一般通过它们的方程来研究：设直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0与二次曲线C ：f (x ，y )＝0，由⎩⎨⎧Ax ＋By ＋C ＝0，f （x ，y ）＝0消元，如果消去y 后得：ax 2＋bx ＋c ＝0， (1)当a ≠0时， ①Δ＞0，则方程有两个不同的解，直线与圆锥曲线有两个公共点，直线与圆锥曲线________；②Δ＝0，则方程有两个相同的解，直线与圆锥曲线有一个公共点，直线与圆锥曲线________；③Δ＜0，则方程无解，直线与圆锥曲线没有公共点，直线与圆锥曲线________． (2)注意消元后非二次的情况，即当a ＝0时，对应圆锥曲线只可能是双曲线或抛物线．当圆锥曲线是双曲线时，直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是________；当圆锥曲线是抛物线时，直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是________． (3)直线方程涉及斜率k 要考虑其不存在的情形． 2．直线与圆锥曲线相交的弦长问题 (1)直线l ：y ＝kx ＋m 与二次曲线C ：f (x ，y )＝0交于A ，B 两点，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，f （x ，y ）＝0得ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，则x 1＋x 2＝________，x 1x 2＝________，||AB ＝________． (2)若弦过焦点，可得焦点弦，可用焦半径公式来表示弦长，以简化运算． 3．直线与圆锥曲线相交弦的中点问题 中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解． (1)利用根与系数的关系：将直线方程代入圆锥曲线的方程，消元后得到一个一元二次方程，利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解． (2)点差法：若直线l 与圆锥曲线C 有两个交点A ，B ，一般地，首先设出A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入曲线方程，通过作差，构造出x 1＋x 2，y 1＋y 2，x 1－x 2，y 1－y 2，从而建立中点坐标和斜率的关系．无论哪种方法都不能忽视对判别式的讨论．自查自纠 1.无 一个 两个 (1)①相交 ②相切 ③相离 (2)平行或重合 平行或重合 2.(1)－b a ca 1＋k 2||x 1－x 2＝1＋k 2b 2－4ac||a1.直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系是 ( ) A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定解：由于直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1过定点(1，1)，而(1，1)在椭圆内，故直线与椭圆必相交．故选A.2.设F 为抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，过F 作倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则|AB |＝( )A.323B.16C.32D.43 解：由题意知F (2，0)，AB 所在直线的方程为y ＝tan30°·(x －2)＝33(x －2)，联立y 2＝8x 消元得x 2－28x ＋4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝28，所以|AB |＝x 1＋x 2＋4＝32.故选C. 3．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线截椭圆x 24＋y 2＝1所得弦长为433，则此双曲线的离心率为 ( )A. 2B. 3C.62D.6 解：不妨设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为bx －ay ＝0， 联立⎩⎪⎨⎪⎧bx －ay ＝0，x 24＋y 2＝1，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2aa 2＋4b 2，y ＝2b a 2＋4b2.或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2aa 2＋4b 2，y ＝－2ba 2＋4b 2，由渐近线截椭圆x 24＋y 2＝1所得弦长为433，可得4a 2＋4b 2a 2＋4b 2＝43，即2a 2＝b 2＝c 2－a 2，解得e ＝c a ＝3.故选B.4.过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若x 1＋x 2＝6，则|AB |等于 ．解：由抛物线y 2＝4x 得p ＝2，由抛物线定义可得|AB |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2，又因为x 1＋x 2＝6，所以|AB |＝8.故填8. 5.(河北省廊坊市省级示范校高中联合体2019届高三上学期第三次联考)已知点F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1的直线交双曲线C 的左支于A ，B 两点，且|AF 2|＝3，|BF 2|＝5，|AB |＝4，则△BF 1F 2的面积为 ．解：因为|AF 2|＝3，|BF 2|＝5，又|AF 2|－|AF 1|＝2a ，|BF 2|－|BF 1|＝2a ，|AF 2|＋|BF 2|－|AB |＝4a ＝3＋5－4＝4，所以a ＝1，所以|BF 1|＝3，又|AF 2|2＋|AB |2＝|BF 2|2，则∠F 2AB ＝90°，所以sin B ＝35，所以S △BF 1F 2＝12×5×3×sin B＝12×5×3×35＝92.故填92.类型一 弦的中点问题例1 (1)已知一直线与椭圆4x 2＋9y 2＝36相交于A ，B 两点，弦AB 的中点坐标为M (1，1)，则直线AB 的方程为___________．解法一：根据题意，易知直线AB 的斜率存在，设通过点M (1，1)的直线AB 的方程为y ＝k (x －1)＋1，代入椭圆方程，整理得(9k 2＋4)x 2＋18k (1－k )x ＋9(1－k )2－36＝0.设A ，B 的横坐标分别为x 1，x 2，则x 1＋x 22＝－9k （1－k ）9k 2＋4＝1，解之得k ＝－49. 故直线AB 的方程为y ＝－49(x －1)＋1，即4x ＋9y －13＝0.解法二：设A (x 1，y 1)．因为AB 中点为M (1，1)，所以B 点坐标是(2－x 1，2－y 1)．将A ，B 点的坐标代入方程4x 2＋9y 2＝36，得4x 21＋9y 21－36＝0，①及4(2－x 1)2＋9(2－y 1)2＝36，化简为4x 21＋9y 21－16x 1－36y 1＋16＝0.②①－②，得16x 1＋36y 1－52＝0，化简为4x 1＋9y 1－13＝0.同理可推出4(2－x 1)＋9(2－y 1)－13＝0.因为A (x 1，y 1)与B (2－x 1，2－y 1)都满足方程4x＋9y －13＝0，所以4x ＋9y －13＝0即为所求． 解法三：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是弦的两个端点，代入椭圆方程，得⎩⎪⎨⎪⎧4x 21＋9y 21＝36， ①4x 22＋9y 22＝36， ②①－②，得4(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋9(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.因为M (1，1)为弦的中点，所以x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2.所以4(x 1－x 2)＋9(y 1－y 2)＝0.所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－49.故AB 方程为y －1＝－49(x －1)，即4x ＋9y －13＝0.故填4x ＋9y －13＝0.(2)已知双曲线x 2－y 23＝1上存在两点M ，N 关于直线y ＝x ＋m 对称，且MN 的中点在抛物线y 2＝18x 上，则实数m 的值为 ．解：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点P (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21－y 213＝1，①x 22－y 223＝1，②x 1＋x 2＝2x 0，③y 1＋y 2＝2y 0，④由②－①得(x 2－x 1)(x 2＋x 1)＝13(y 2－y 1)(y 2＋y 1)，显然x 1≠x 2.所以y 2－y 1x 2－x 1·y 2＋y 1x 2＋x 1＝3，即k MN ·y 0x 0＝3，因为M ，N 关于直线y ＝x ＋m 对称，所以k MN＝－1，所以y 0＝－3x 0.又因为y 0＝x 0＋m ，所以P (－m4，3m 4)， 代入抛物线方程得916m 2＝18·(－m4)，解得m ＝0或－8，经检验都符合．故填0或－8.点拨 处理中点弦问题常用的求解方法：①点差法，即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x 1＋x 2，y 1＋y 2，y 1－y 2x 1－x 2三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率．②根与系数的关系，即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后，由根与系数的关系求解．变式1 设抛物线过定点A (－1，0)，且以直线x ＝1为准线．(1)求抛物线顶点的轨迹C 的方程；(2)若直线l 与轨迹C 交于不同的两点M ，N ，且线段MN 恰被直线x ＝－12平分，设弦MN 的垂直平分线的方程为y ＝kx ＋m ，试求实数m 的取值范围．解：(1)设抛物线顶点为P (x ，y )，则焦点F (2x －1，y )．再根据抛物线的定义得|AF |＝2，即(2x )2＋y 2＝4，所以轨迹C 的方程为x 2＋y 24＝1(x ≠1)．(2)依题意知k ≠0，设弦MN 的中点为P (－12，y 0)，M (x M ，y M )，N (x N ，y N )，则由点M ，N 为椭圆C上的点，可知⎩⎪⎨⎪⎧4x 2M ＋y 2M ＝4，4x 2N ＋y 2N ＝4. 两式相减，得4(x M －x N )(x M ＋x N )＋(y M －y N )(y M ＋y N )＝0，将x M ＋x N ＝2×(－12)＝－1，y M ＋y N ＝2y 0，y M －y Nx M －x N＝－1k (k ≠0)代入上式得k ＝－y 02.又点P (－12，y 0)在弦MN 的垂直平分线上，所以y 0＝－12k ＋m.所以m ＝y 0＋12k ＝34y 0.由点P (－12，y 0)在线段BB ′上(B ′，B 为直线x ＝－12与椭圆的交点，如图所示)，所以y B ′＜y 0＜y B ，即－3＜y 0＜3.所以－334＜m ＜334，又k ≠0，则y 0＝－2k ≠0，从而有m ≠0.故m 的取值范围为(－334，0)∪(0，334)．类型二 定点问题例2 (2019·北京卷)已知抛物线C ：x 2＝ －2py经过点(2，－1)．(1)求抛物线C 的方程及其准线方程； (2)设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y ＝－1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B.求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．解：(1)由抛物线C ：x 2＝－2py 经过点(2，－1)，得p ＝2. 所以抛物线C 的方程为x 2＝－4y ，其准线方程为y ＝1. (2)证明：抛物线C 的焦点为F (0，－1)． 设直线l 的方程为y ＝kx －1(k ≠0)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2＝－4y ，得x 2＋4kx －4＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x1x 2＝－4.直线OM 的方程为y ＝y 1x 1x.令y ＝－1，得点A 的横坐标x A ＝－x 1y 1.同理得点B 的横坐标x B ＝－x 2y 2.设点D (0，n )，则DA →＝(－x 1y 1，－1－n )，DB →＝(－x 2y 2，－1－n )，所以DA →·DB →＝x 1x 2y 1y 2＋(n ＋1)2＝x 1x 2（－x 214）（－x 224）＋(n ＋1)2 ＝16x 1x 2＋(n ＋1)2 ＝－4＋(n ＋1)2. 令DA →·DB →＝0，即－4＋(n ＋1)2＝0，则n ＝1或n ＝－3.综上，以AB 为直径的圆经过y 轴上的定点(0，1)和(0，－3)．点拨 ①根据已知条件建立方程.②通过假设相关点的坐标，利用函数与方程思想及点的坐标关系，按照“设而不求”的原则计算或化简．③本题主要考查抛物线方程的求解与准线方程的确定，直线与抛物线的位置关系，圆的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．变式2 (2019·全国卷Ⅲ)已知曲线C ：y ＝x 22，D 为直线y ＝－12上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .(1)证明：直线AB 过定点；(2)若以E ⎝⎛⎭⎫0，52为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积．解：(1)证明：设D (t ，－12)，A (x 1，y 1)，则x 21＝2y 1.由于y ′＝x ，所以切线DA 的斜率为x 1，故y 1＋12x 1－t ＝x 1.整理得2tx 1－2y 1＋1＝0.设B (x 2，y 2)，同理可得2tx 2－2y 2＋1＝0. 故直线AB 的方程为2tx －2y ＋1＝0.所以直线AB 过定点(0，12)．(2)由(1)得直线AB 的方程为y ＝tx ＋12.由⎩⎨⎧y ＝tx ＋12，y ＝x 22，可得x 2－2tx －1＝0. 于是x 1＋x 2＝2t ，x 1x 2＝－1，y 1＋y 2＝t (x 1＋x 2)＋1＝2t 2＋1，则|AB |＝1＋t 2·|x 1－x 2|＝1＋t 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝2(t 2＋1)．设d 1，d 2分别为点D ，E 到直线AB 的距离，则d 1＝t 2＋1，d 2＝2t 2＋1.因此，四边形ADBE 的面积S ＝12|AB |(d 1＋d 2)＝(t 2＋3)t 2＋1.设M 为线段AB 的中点，则M (t ，t 2＋12)．由于EM →⊥AB →，而EM →＝(t ，t 2－2)，AB →与向量(1，t )平行，所以t ＋(t 2－2)t ＝0，解得t ＝0或t ＝±1.当t ＝0时，S ＝3；当t ＝±1时，S ＝42. 因此，四边形ADBE 的面积为3或42.类型三 定值问题例3 (河南八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评)已知O 为坐标原点，过点M (1，0)的直线l 与抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)交于A ，B 两点，且OA →·OB →＝－3.(1)求抛物线C 的方程；(2)过点M 作直线l ′⊥l 交抛物线C 于P ，Q 两点，记△OAB ，△OPQ 的面积分别为S 1，S 2，证明：1S 21＋1S 22为定值． 解：(1)设直线l ：x ＝my ＋1，与y 2＝2px 联立消x 得，y 2－2pmy －2p ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝－2p.因为OA →·OB →＝－3，所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(my 1＋1)(my 2＋1)＋y 1y 2＝(1＋m 2)y 1y 2＋m (y 1＋y 2)＋1＝(1＋m 2)(－2p )＋2pm 2＋1＝－2p ＋1＝－3，解得p ＝2.所以抛物线C 的方程为y 2＝4x.(2)证明：由(1)知，M (1，0)是抛物线C 的焦点，所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝my 1＋my 2＋2＋p ＝4m 2＋4.原点到直线l 的距离d ＝11＋m2，所以S 1＝12·|AB |·d ＝12×4(m 2＋1)×11＋m 2＝21＋m 2.因为直线l ′过点(1，0)且l ′⊥l ， 所以S 2＝21＋⎝⎛⎭⎫1m 2＝21＋m 2m2.所以1S 21＋1S 22＝14（1＋m 2）＋m 24（1＋m 2）＝14， 即1S 21＋1S 22为定值14. 点拨 求解此类问题的方法一般有两种：①从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；②直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线．应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，故而不必着急，以防止急中出错．设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算．变式3 (2019·合肥质检二)已知点A (1，0)和动点B ，以线段AB 为直径的圆内切于圆O ：x 2＋y 2＝4.(1)求动点B 的轨迹方程； (2)已知点P (2，0)，Q (2，－1)，经过点Q 的直线l 与动点B 的轨迹交于M ，N 两点，求证：直线PM 与直线PN 的斜率之和为定值．解：(1)如图，设以线段AB 为直径的圆的圆心为C ，取A ′(－1，0)．依题意，圆C 内切于圆O ，设切点为D ，则O ，C ，D 三点共线． 因为O 为AA ′的中点，C 为AB 的中点，所以|A ′B |＝2|OC |.所以|BA ′|＋|BA |＝2|OC |＋2|AC |＝2|OC |＋2|CD |＝2|OD |＝4>|AA ′|＝2.依椭圆的定义可知，动点B 的轨迹为椭圆，设为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，其中|BA ′|＋|BA |＝2a ＝4，|AA ′|＝2c ＝2，所以a ＝2，c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝3，所以动点B 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明：当直线l 垂直于x 轴时，直线l 的方程为x ＝2，此时直线l 与椭圆x 24＋y 23＝1相切，与题意不符；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＋1＝k (x －2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＋1＝k （x －2），x 24＋y 23＝1， 得(4k 2＋3)x 2－(16k 2＋8k )x ＋16k 2＋16k －8＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝16k 2＋8k 4k 2＋3，x 1x 2＝16k 2＋16k －84k 2＋3， 由Δ＝96(1－2k )>0⇒k <12，所以k PM ＋k PN ＝y 1x 1－2＋y 2x 2－2 ＝k （x 1－2）－1x 1－2＋k （x 2－2）－1x 2－2＝2k －⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－2＋1x 2－2＝2k －x 1＋x 2－4（x 1－2）（x 2－2）＝2k －x 1＋x 2－4x 1x 2－2（x 1＋x 2）＋4＝2k －16k 2＋8k4k 2＋3－416k 2＋16k －84k 2＋3－2×16k 2＋8k4k 2＋3＋4＝2k ＋3－2k ＝3，为定值．类型四 与弦有关的范围与最值问题例4 (甘肃兰州一中2019届高三6月冲刺模拟)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为32，过焦点F 2且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1.(1)求椭圆C 的方程；(2)点P (x 0，y 0)(y 0≠0)为椭圆C 上一动点，连接PF 1，PF 2，设∠F 1PF 2的角平分线PM 交椭圆C 的长轴于点M (m ，0)，求实数m 的取值范围．解：(1)将x ＝c 代入x 2a 2＋y 2b2＝1中，由a 2－c 2＝b 2可得y 2＝b 4a 2，所以弦长为2b 2a ，故有⎩⎪⎨⎪⎧2b2a＝1，c a ＝32，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设点P (x 0，y 0)(y 0≠0)，又F 1(－3，0)，F 2(3，0)，则直线PF 1，PF 2的方程分别为lPF 1：y 0x －(x 0＋3)y ＋3y 0＝0，lPF 2：y 0x －(x 0－3)y －3y 0＝0.由题意可知|my 0＋3y 0|y 20＋（x 0＋3）2＝|my 0－3y 0|y 20＋（x 0－3）2.由于点P 为椭圆C 上除长轴外的任一点，所以x 204＋y 20＝1，即y 20＝1－x 204， 所以|m ＋3|（32x 0＋2）2＝|m －3|（32x 0－2）2，因为－3＜m ＜3，－2＜x 0＜2，所以m ＋332x 0＋2＝3－m2－32x 0，即m ＝34x 0，因此，－32＜m ＜32.故实数m 的取值范围是(－32，32)．点拨 圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是代数法(解答题中多见)，从代数的角度考虑，通过建立函数、不等式等模型，利用二次函数法和基本不等式法、换元法、导数法等方法求最值；二是几何法(小题中多见)，从圆锥曲线的几何性质的角度考虑，根据圆锥曲线几何意义求最值．解决圆锥曲线中的取值范围问题常从五方面考虑：①利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；③利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；④利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；⑤利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．变式4 (北师大长春附属中学2019届高三四模)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)与y 轴正半轴交于点M (0，3)，离心率为12.直线l 经过点P (t ，0)(0＜t ＜a )和点Q (0，1)，且与椭圆E 交于A ，B 两点(点A 在第二象限)．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)若AP →＝λPB →，当0＜t ≤233时，求λ的取值范围．解：(1)由题意，e ＝c a ＝12且b ＝3，所以a ＝2，所以椭圆E 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)因为直线l 经过点P (t ，0)(0＜t ＜a )和点Q (0，1)，所以直线l 的斜率为1－t，直线l 的方程为y ＝－1t x ＋1，将其代入椭圆方程x 24＋y 23＝1中，消去x ，得(3t 2＋4)y 2－6t 2y ＋3t 2－12＝0，显然Δ＞0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝6t 23t 2＋4，①y 1y 2＝3t 2－123t 2＋4，②因为AP →＝λPB →，所以(t －x 1，－y 1)＝λ(x 2－t ，y 2)，所以y 1＝－λy 2，③联立①②③，消去y 1，y 2，整理得12λ（1－λ）2＝(4t2＋1)2－4. 当0＜t ≤233时，12λ（1－λ）2＝(4t 2＋1)2－4∈[12，＋∞)，解得λ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫3－52，1∪⎝ ⎛⎦⎥⎤1，3＋52，由y 1＋y 2＝(1－λ)y 2＝6t 23t 2＋4＞0且y 2＜0，故λ＞1，所以λ∈⎝⎛⎦⎥⎤1，3＋52.类型五 存在性问题例5 (天津市河北区2019届高三一模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点(2，1)，且离心率为32.(1)求椭圆C 的方程；(2)若过原点的直线l 1与椭圆C 交于P ，Q 两点，且在直线l 2：x －y ＋26＝0上存在点M ，使得△MPQ 为等边三角形，求直线l 1的方程．解：(1)由题意，⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋1b 2＝1，e ＝c a ＝32，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝22，b ＝2，c ＝6，所以椭圆C 的方程为x 28＋y 22＝1.(2)当l 1斜率不存在时，PQ 即为椭圆C 的短轴，此时不合题意；当l 1的斜率k ＝0时，此时PQ ＝42，直线l 2：x －y ＋26＝0与y 轴的交点(0，26)满足题意；当l 1的斜率k ≠0时，设直线l 1：y ＝kx ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 28＋y 22＝1，得(1＋4k 2)x 2＝8，x 2＝81＋4k 2， 设P (x 0，y 0)，则Q (－x 0，－y 0)，所以x 20＝81＋4k 2，y 20＝8k 21＋4k 2，所以|PO |＝x 20＋y 20＝8（1＋k 2）1＋4k 2，又PQ 的垂直平分线方程为y ＝－1kx ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1k x ，x －y ＋26＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－26kk ＋1，y ＝26k ＋1，M (－26k k ＋1，26k ＋1)，所以|MO |＝24（k 2＋1）（k ＋1）2，因为△MPQ 为等边三角形，所以|MO |＝3|PO |，即24（k 2＋1）（k ＋1）2＝3×8（1＋k 2）1＋4k 2，解得k ＝0(舍去)，k ＝23，所以直线l 1的方程为y ＝23x.综上可知，直线l 1的方程为y ＝0或y ＝23x.点拨 存在性问题的探求，常用方法是假设存在，并以此为基础进行推证，若推出矛盾，则不存在，否则存在．特殊情形的推证，常使思路明晰．变式5 已知椭圆的中心是坐标原点O ，焦点在x 轴上，离心率为22，坐标原点O 到过右焦点F且斜率为1的直线的距离为22.(1)求椭圆的标准方程；(2)设过右焦点F 且与坐标轴不垂直的直线l 交椭圆于P ，Q 两点，在线段OF 上是否存在点M (m ，0)，使得|MP |＝|MQ |？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：(1)依题意，设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，F (c ，0)，由坐标原点O 到直线x －y －c ＝0的距离为22，得|0－0－c |2＝22，解得c ＝1，又e ＝c a ＝22，故a ＝2，b ＝1，所以所求椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)假设存在点M (m ，0)(0＜m ＜1)满足条件． 因为直线l 与x 轴不垂直，所以设直线l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2＝2，y ＝k （x －1）得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0，Δ＞0恒成立，所以x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2. 设线段PQ 的中点为N (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝2k 21＋2k 2，y 0＝k (x 0－1)＝－k 1＋2k 2. 因为|MP |＝|MQ |，所以MN ⊥PQ ，所以k MN ·k PQ＝－1，即－k1＋2k 22k 21＋2k 2－m·k ＝－1，所以m ＝k 21＋2k 2＝12＋1k2. 因为k 2＞0，所以0＜m ＜12，即m 的取值范围为(0，12)．1．对于圆锥曲线的综合问题，①要注意将曲线的定义性质化，找出定义赋予的条件；②要重视利用图形的几何性质解题(本书多处强调)；③要灵活运用韦达定理、弦长公式、斜率公式、中点公式、判别式等解题，巧妙运用“设而不求”“整体代入”“点差法”“对称转换”等方法．2．在给定的圆锥曲线f(x，y)＝0中，求中点为(m，n)的弦AB所在直线方程或动弦中点M(x，y)轨迹时，一般可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，利用A，B 两点在曲线上，得f(x1，y1)＝0，f(x2，y2)＝0及x1＋x2＝2m(或2x)，y1＋y2＝2n(或2y)，从而求出斜率k AB＝y1－y2x1－x2，最后由点斜式写出直线AB的方程，或者得到动弦所在直线斜率与中点坐标x，y之间的关系，整体消去x1，x2，y1，y2，得到点M(x，y)的轨迹方程．3．对满足一定条件的直线或者曲线过定点问题，可先设出该直线或曲线上两点的坐标，利用坐标在直线或曲线上以及切线、点共线、点共圆、对称等条件，建立点的坐标满足的方程或方程组．为简化运算，应多考虑曲线的几何性质，求出相应的含参数的直线或曲线，再利用直线或曲线过定点的知识加以解决．以“求直线l：y＝kx＋2k＋1(k为参数)是否过定点”为例，有以下常用方法.(1)待定系数法：假设直线l过点(c1，c2)，则y －c2＝k(x－c1)，即y＝kx－c1k＋c2，通过与已知直线方程比较得c1＝－2，c2＝1.所以直线l过定点(－2，1)．(2)赋值法：令k＝0，得l1：y＝1；令k＝1，得l2：y＝x＋3，求出l1与l2的交点(－2，1)，将交点坐标代入直线系得1＝－2k＋2k＋1恒成立，所以直线l过定点(－2，1)．赋值法由两步构成，第一步：通过给参数赋值，求出可能的定点坐标；第二步：验证其是否恒满足直线方程．(3)参数集项法：对直线l的方程中的参数集项得y－1＝k(x＋2)，由直线的点斜式方程，易知直线l过定点(－2，1)．若方程中含有双参数，应考虑两个参数之间的关系．4．给出曲线上的点到直线的最短(长)距离或求动点到直线的最短(长)距离时，可归纳为求函数的最值问题，也可借助于图形的性质(如三角形的公理、对称性等)求解．5．圆锥曲线上的点关于某一直线对称的问题，通常利用圆锥曲线上的两点所在直线与已知直线l(或者是直线系)垂直，圆锥曲线上两点连成线段的中点一定在对称轴直线l上，再利用判别式或中点与曲线的位置关系求解．1．过抛物线y2＝2x的焦点作一条直线与抛物线交于A，B两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线()A.有且只有一条B.有且只有两条C.有且只有三条D.有且只有四条解：因为p＝1，所以通径长2p＝2，又|AB|＝x1＋x2＋p，所以|AB|＝3＞2p，故这样的直线有且只有两条．故选B.2．已知M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，若以F为圆心，|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是()A.(0，2)B.[0，2]C.(2，＋∞)D.[2，＋∞)解：由题意知圆心F到抛物线的准线的距离为4，且|FM|＞4，根据抛物线的定义知|FM|＝y0＋2，所以y0＋2>4，得y0>2，故y0的取值范围是(2，＋∞)．故选C.3．已知x1，x2是关于x的方程x2＋mx－(2m＋1)＝0的两个不等实根，则经过两点A(x1，x21)，B(x2，x22)的直线与椭圆x216＋y24＝1公共点的个数是()A.2B.1C.0D.不确定解：因为x1，x2是关于x的方程x2＋mx－(2m ＋1)＝0的两个不等实根，所以x1＋x2＝－m，x1x2＝－(2m＋1)，且x21＋mx1－(2m＋1)＝0，x22＋mx2－(2m＋1)＝0，则直线AB的斜率k AB＝x22－x21x2－x1＝x2＋x1＝－m，则直线AB的方程为y－x21＝－m(x－x1)，即y＋mx1－(2m＋1)＝－m(x－x1)，整理得(x－2)m＋(y－1)＝0，故直线AB恒过(2，1)点，而该点在椭圆内部，所以直线和椭圆相交，即公共点有2个．故选A.4．如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线方程为()A.y2＝9xB.y2＝6xC.y2＝3xD.y2＝3x解：如图，分别过A，B两点作AE，BD⊥准线于点E ，D.因为|BC |＝2|BF |，所以由抛物线的定义可知∠BCD ＝30°， 且|AE |＝|AF |＝3，所以|AC |＝6.即F 为AC 的中点，所以p ＝12|AE |＝32，故抛物线方程为y 2＝3x.故选C.5.(长沙市浏阳一中2019－2020学年高三上月考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，F 1，F 2分别为其左、右焦点，O 为坐标原点，若点F 2关于渐近线的对称点恰好落在以F 1为圆心，|OF 1|为半径的圆上，则双曲线C 的离心率是 ( )A. 2B. 3C.2D.3解：由题意，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，设一条渐近线方程为y ＝bax ，则F 2到渐近线的距离为b ，如图，设F 2关于渐近线的对称点为M ，F 2M 与渐近线交于A ，则|MF 1|＝c ，|MF 2|＝2b ，A 为MF 2的中点，又O 是F 1F 2的中点，OA ∥F 1M ，所以∠F 1MF 2为直角，所以△MF 1F 2为直角三角形，由勾股定理得4c 2＝c 2＋4b 2，所以3c 2＝4(c 2－a 2)，所以c 2＝4a 2，所以c ＝2a ，则e ＝2.故选C.6．(2018·邯郸二模)设点Q 是直线l ：x ＝－1上任意一点，过点Q 作抛物线C ：y 2＝4x 的两条切线QS ，QT ，切点分别为S ，T ，设切线QS ，QT 的斜率分别为k 1，k 2，F 是抛物线的焦点，直线QF 的斜率为k 0，则下列结论正确的是 ( )A.k 1－k 2＝k 0B.k 1k 2＝2k 0C.k 1－k 2＝2k 0D.k 1＋k 2＝2k 0解：设点Q (－1，t )，由过点Q 的直线y －t ＝k (x ＋1)与抛物线C ：y 2＝4x 相切，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y －t ＝k （x ＋1），整理得k 2x 2＋2(k 2＋kt －2)x ＋(k ＋t )2＝0，则Δ＝4(k 2＋kt －2)2－4k 2(k ＋t )2＝0，化简得k 2＋tk －1＝0.显然k 1，k 2是关于k 的方程k 2＋tk－1＝0的两个根，所以k 1＋k 2＝－t ，又k 0＝－t2，故k 1＋k 2＝2k 0.故选D.7．过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 且斜率为k (k ＞0)的直线l 交抛物线于点A ，B ，若AF →＝λFB →，且λ∈(13，12)，则k 的取值范围是 ( )A.(1，3)B.(3，2)C.(2，22)D.(3，22)解：如图，延长BA 交准线l 于点C ，分别过点A ，B 作AA 1⊥l 于A 1，BB 1⊥l 于B 1，设直线AB 的倾斜角为θ，|FB →|＝|BB 1→|＝m ，|F A →|＝|AA 1→|＝λm ，则|AC →|＝λm cos θ，|AC →||BC →|＝|AA 1→||BB 1→|，即λm cos θλm cos θ＋λm ＋m＝λm m ，cos θ＝1－λ1＋λ＝21＋λ－1， 则cos θ是关于λ的减函数，由λ∈(13，12)可得cos θ∈(13，12)， 故k ＝tan θ的取值范围是(3，22)．故选D.8．【多选题】已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为233，右顶点为A ，以A 为圆心，b为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点，则有 ( )A.渐近线方程为y ＝±3xB.渐近线方程为y ＝±33xC.∠MAN ＝60° D.∠MAN ＝120°解：双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±ba x ，离心率为c a ＝233，则c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝43，则b 2a 2＝13，b a ＝33， 故渐近线方程为y ＝±33x ，取MN 的中点P ，连接AP ，利用点到直线的距离公式可得d ＝AP ＝abc，则cos ∠P AN ＝AP AN ＝ab c b ＝ac ，所以cos ∠MAN ＝cos2∠P AN ＝2×a 2c 2－1＝12，则∠MAN ＝60°.故选BC.9．若双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线与抛物线y ＝x 2＋1相切，则该双曲线的离心率为 ．解：已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝bax ，代入抛物线方程y ＝x 2＋1，整理得ax 2－bx ＋a ＝0，因为渐近线与抛物线相切，所以Δ＝b 2－4a 2＝0，即c 2＝5a 2，所以离心率e ＝ca＝5.故填 5.10．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，离心率为22，过点F 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若AB 中点为(1，1)，则直线l 的斜率k ＝ .解：由题意，得c a ＝22，所以2c 2＝a 2，所以2(a 2－b 2)＝a 2，即a 2＝2b 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，⎩⎪⎨⎪⎧b 2x 21＋a 2y 21＝a 2b 2，b 2x 22＋a 2y 22＝a 2b 2，两式相减，得b 2(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋a 2(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，所以2b 2(x 1－x 2)＋2a 2(y 1－y 2)＝0，显然x 1－x 2≠0，所以2b 2＋4b 2·（y 1－y 2）（x 1－x 2）＝0，即1＋2k ＝0，所以k ＝－12.故填－12.11．已知抛物线y 2＝2px (p >0)上的点P 到点F (p2，0)的距离与到直线x ＝0的距离之差为1，过点M (p ，0)的直线l 交抛物线于A ，B 两点．(1)求抛物线的方程；(2)若△ABO 的面积为43，求直线l 的方程．解：(1)设P (x 0，y 0)，由定义知|PF |＝x 0＋p 2，所以(x 0＋p2)－x 0＝1，所以p ＝2，故抛物线的方程为y 2＝4x.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由(1)知M (2，0)． 若直线l 的斜率不存在，则方程为x ＝2， 此时|AB |＝42，所以△ABO 的面积为42，不满足题意，所以直线l 的斜率存在；设直线l 的方程为y ＝k (x －2)，代入抛物线方程得k 2x 2－4(k 2＋1)x ＋4k 2＝0，则Δ＝16(k 2＋1)2－16k 4>0，x 1＋x 2＝4＋4k2，x 1x 2＝4，所以|AB |＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝1＋k 2·42k 2＋1k 2， 点O 到直线l 的距离为d ＝2|k |1＋k 2，所以S △ABO ＝12|AB |·d ＝121＋k 2·42k 2＋1k 2·2|k |1＋k2＝43，解得k ＝±1.故直线l 的方程为y ＝x －2或y ＝－x ＋2.12．(珠海市2019－2020学年高三上摸底测试)已知离心率为223的椭圆x 2a 2＋y 2＝1(a ＞1)，与直线l交于P ，Q 两点，记直线OP 的斜率为k 1，直线OQ 的斜率为k 2. (1)求椭圆的方程； (2)若k 1k 2＝－19，则△OPQ 的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．解：(1)由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，e ＝c a ＝223，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝3，c ＝22，所以椭圆的方程为x 29＋y 2＝1.(2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，当直线PQ 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx ＋m ，联立椭圆方程得(9k 2＋1)x 2＋18km x ＋9m 2－9＝0，则x 1＋x 2＝－18km 9k 2＋1，x 1x 2＝9m 2－99k 2＋1，|PQ |＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝1＋k 2·（－18km 9k 2＋1）2－4（9m 2－9）9k 2＋1＝1＋k 2·69k 2－m 2＋19k 2＋1， 点O 到直线的距离d ＝|m |1＋k2，所以S △POQ ＝12|PQ |·d ＝3（9k 2＋1）m 2－m 49k 2＋1， 由k 1k 2＝y 1y 2x 1x 2＝k 2x 1x 2＋km （x 1＋x 2）＋m 2x 1x 2＝－19， 即k 2·9m 2－99k 2＋1－18k 2m 29k 2＋1＋m 29m 2－99k 2＋1＝－19，化简整理得到9k 2＋1＝2m 2，则S △POQ ＝32m 4－m 42m 2＝32.当直线PQ 的斜率不存在时，易算得S △POQ ＝32.综上得，△POQ 的面积是定值32.13．(2020届云南省师范大学附中高三上第一次月考)已知抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)，过其焦点F 的直线与抛物线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，满足y 1y 2＝－4.(1)求抛物线E 的方程；(2)已知点C 的坐标为(－2，0)，记直线CA ，CB 的斜率分别为k 1，k 2，求1k 21＋1k 22的最小值．解：(1)因为直线AB 过焦点F (p2，0)，设直线AB 的方程为x ＝my ＋p2，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋p 2，y 2＝2px ，消去x 得y 2－2mpy －p 2＝0，所以y 1y 2＝－p 2＝－4，因为p ＞0，所以p ＝2，因此，抛物线E 的方程y 2＝4x.(2)由(1)知抛物线的焦点坐标为F (1，0)，设直线AB 的方程为x ＝my ＋1，代入抛物线的方程得，y 2－4my －4＝0，所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4.又1k 1＝x 1＋2y 1＝m ＋3y 1，1k 2＝x 2＋2y 2＝m ＋3y 2， 所以1k 21＋1k 22＝(m ＋3y 1)2＋(m ＋3y 2)2＝2m 2＋6m (1y 1＋1y 2)＋9(1y 21＋1y 22)＝2m 2＋6m ·y 1＋y 2y 1y 2＋9·（y 1＋y 2）2－2y 1y 2y 21y 22 ＝2m 2＋6m ·4m －4＋9·（4m ）2＋816＝5m 2＋92.因此，当且仅当m ＝0时，1k 21＋1k 22有最小值92.附加题 (黑龙江大庆一中2019届高三下四模)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，直线y ＝4与y 轴的交点为P ，与抛物线C 的交点为Q ，且|QF |＝2|PQ |.(1)求p 的值；(2)已知点T (t ，－2)为C 上一点，M ，N 是C 上异于点T 的两点，且满足直线TM 和直线TN 的斜率之和为－83，证明直线MN 恒过定点，并求出定点的坐标．解：(1)设Q (x 0，4)，由抛物线定义知|QF |＝x 0＋p2， 又|QF |＝2|PQ |，|PQ |＝x 0，所以2x 0＝x 0＋p 2，解得x 0＝p2，将Q (p2，4)点代入抛物线方程，解得p ＝4.(2)由(1)知，C 的方程为y 2＝8x ，所以点T 的坐标为(12，－2)，设直线MN 的方程为x ＝my ＋n ，点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋n ，y 2＝8x ，得y 2－8my －8n ＝0，Δ＝64m 2＋32n ＞0.所以y 1＋y 2＝8m ，y 1y 2＝－8n ，所以k MT ＋k NT ＝y 1＋2x 1－12＋y 2＋2x 2－12＝y 1＋2y 218－12＋y 2＋2y 228－12＝8y 1－2＋8y 2－2＝8（y 1＋y 2）－32y 1y 2－2（y 1＋y 2）＋4＝64m－32－8n－16m＋4＝－83，解得n＝m－1，所以直线MN的方程为x＋1＝m(y＋1)，恒过定点(－1，－1)．。

2021年广东省新高考数学总复习第九章《平面解析几何》测试卷及答案解析(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．(2019·四川诊断)抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫0，116 B ．(0,1)C ．(1,0) D.⎝⎛⎭⎫116，0答案 C解析 抛物线y 2＝2px 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0，由抛物线y 2＝4x 得2p ＝4，解得 p ＝2，则焦点坐标为(1,0)，故选C.2．(2019·抚州七校联考)过点(2,1)且与直线3x －2y ＝0垂直的直线方程为( )A ．2x －3y －1＝0B ．2x ＋3y －7＝0C ．3x －2y －4＝0D ．3x ＋2y －8＝0答案 B解析 设要求的直线方程为2x ＋3y ＋m ＝0，把点(2,1)代入可得4＋3＋m ＝0，解得m ＝－7.可得要求的直线方程为2x ＋3y －7＝0，故选B.3．(2019·陕西四校联考)直线ax －by ＝0与圆x 2＋y 2－ax ＋by ＝0的位置关系是() A ．相交 B ．相切C ．相离D ．不能确定答案 B解析 将圆的方程化为标准方程得⎝⎛⎭⎫x －a 22＋⎝⎛⎭⎫y ＋b 22＝a 2＋b24，∴圆心坐标为⎝⎛⎭⎫a 2，－b 2，半径r ＝a 2＋b 22，∵圆心到直线ax －by ＝0的距离d ＝a 2＋b 22a 2＋b 2＝a 2＋b 22＝r ，∴圆与直线的位置关系是相切．故选B.4．(2018·山西四校联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，右焦点F 到渐近线的距离为2，点F 到原点的距离为3，则双曲线C 的离心率e 为( ) A.53 B.355 C.63 D.62答案 B解析 ∵右焦点F 到渐近线的距离为2，∴F (c ,0)到y ＝b a x 的距离为2，即|bc |a 2＋b 2＝2，又b >0，c >0，a 2＋b 2＝c 2，∴bc c＝b ＝2.∵点F 到原点的距离为3，∴c ＝3， ∴a ＝c 2－b 2＝5，∴离心率e ＝c a ＝35＝355. 5．(2019·凉山诊断)已知双曲线E 的渐近线方程是y ＝±2x ，则E 的离心率为( )A.2或2B. 5C.52D.5或52 答案 D解析 当双曲线焦点在x 轴上时，依题意得b a＝2， 故双曲线的离心率为e ＝c a ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝ 5. 当双曲线焦点在y 轴上时，依题意得a b ＝2，即b a ＝12， 故双曲线的离心率为e ＝c a ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝52.故选D.6．(2019·河北衡水中学模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，且椭圆C 的长轴长与焦距之和为6，则椭圆C 的标准方程为( )A.4x 225＋y 26＝1 B.x 24＋y 22＝1 C.x 22＋y 2＝1 D.x 24＋y 23＝1 答案 D解析 由椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，得c a ＝12， 椭圆C 的长轴长与焦距之和为6，即2a ＋2c ＝6，解得a ＝2，c ＝1，则b ＝3，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1，故选D. 7．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上存在一点P 满足以|OP |为边长的正方形的面积等于2ab (其中O 为坐标原点)，则双曲线的离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤1，52B.⎝⎛⎦⎤1，72 C.⎣⎡⎭⎫52，＋∞ D.⎣⎡⎭⎫72，＋∞ 答案 C解析 由条件，得|OP |2＝2ab ，又P 为双曲线上一点，从而|OP |≥a ，∴2ab ≥a 2，∴2b ≥a ，又∵c 2＝a 2＋b 2≥a 2＋a 24＝54a 2，∴e ＝c a ≥52. 8．(2019·唐山模拟)已知F 1，F 2为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过原点O 且倾斜角为30°的直线l 与椭圆C 的一个交点为A ，若AF 1⊥AF 2，12F AF S ∆＝2，则椭圆C 的方程为( ) A.x 26＋y 22＝1 B.x 28＋y 24＝1 C.x 28＋y 22＝1 D.x 220＋y 216＝1 答案 A 解析 由题意，过原点O 且倾斜角为30°的直线l 与椭圆C 的一个交点为A ，且AF 1⊥AF 2，且12F AF S ∆＝2，则可知|OA |＝c ， 设A (x ，y )，则x ＝c cos 30°＝32c ，y ＝c sin 30°＝12c ，。

2021年广东省新高考数学总复习第九章《平面解析几何》
§9.5椭圆
最新考纲
1.了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.
2.经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质．
1．椭圆的概念
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：
(1)若a>c，则集合P为椭圆；
(2)若a＝c，则集合P为线段；
(3)若a<c，则集合P为空集．
2．椭圆的标准方程和几何性质
概念方法微思考。

2021年广东省新高考数学总复习第九章《平面解析几何》
§9.3圆的方程
最新考纲
回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程．
圆的定义与方程
概念方法微思考
1．二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的条件是什么？ 提示 ⎩⎪⎨⎪
⎧
A ＝C ≠0，
B ＝0，
D 2＋
E 2－4A
F >0.
2．已知⊙C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则“E ＝F ＝0且D <0”是“⊙C 与y 轴相切于原点”的什么条件？
提示 由题意可知，⊙C 与y 轴相切于原点时，圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－D
2，0，而D 可以大于0，所以“E ＝F ＝0且D <0”是“⊙C 与y 轴相切于原点”的充分不必要条件． 3．如何确定圆的方程？其步骤是怎样的？
提示 确定圆的方程的主要方法是待定系数法，大致步骤： (1)根据题意，选择标准方程或一般方程．
(2)根据条件列出关于a ，b ，r 或D ，E ，F 的方程组．。