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真题演练集训1．已知方程错误!－错误!＝1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（）A．（－1，3) B．(－1，错误!）C．(0，3) D．（0，错误!）答案：A解析:由题意，得（m2＋n)（3m2－n）>0，解得－m2〈n〈3m2，又由该双曲线两焦点间的距离为4,得m2＋n＋3m2－n＝4，即m2＝1，所以－1〈n〈3。
2．已知双曲线x24－错误!＝1（b＞0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b,则双曲线的方程为( )A。
错误!－错误!＝1 B.错误!－错误!＝1C.错误!－错误!＝1 D。
错误!－错误!＝1答案:D解析：根据圆和双曲线的对称性，可知四边形ABCD为矩形．双曲线的渐近线方程为y＝±错误!x,圆的方程为x2＋y2＝4,不妨设交点A 在第一象限，由y＝错误!x，x2＋y2＝4得x A＝错误!，y A＝错误!，故四边形ABCD的面积为4x A y A＝错误!＝2b，解得b2＝12,故所求的双曲线方程为错误!－错误!＝1，故选D。
3．已知F1,F2是双曲线E：错误!－错误!＝1的左，右焦点,点M在E 上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝错误!，则E的离心率为( ）A。
2 B.错误!C。
错误!D．2答案：A解析:设F1(－c,0）,将x＝－c代入双曲线方程，得错误!－错误!＝1，所以错误!＝错误!－1＝错误!，所以y＝±错误!.因为sin ∠MF2F1＝错误!，所以tan∠MF2F1＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!－错误!＝错误!－错误!＝错误!,所以e2－错误!e－1＝0，所以e＝错误!。
故选A.4．已知椭圆C1：错误!＋y2＝1（m>1）与双曲线C2：错误!－y2＝1（n>0）的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则( )A．m>n且e1e2〉1 B．m〉n且e1e2<1C．m〈n且e1e2>1 D．m〈n且e1e2<1答案：A解析:由于m2－1＝c2，n2＋1＝c2,则m2－n2＝2,故m〉n，又(e1e2)2＝错误!·错误!＝错误!·错误!＝错误!＝1＋错误!>1，所以e1e2〉1。
课时跟踪检测(五十二)[高考基础题型得分练]1．双曲线x 2－my 2＝1的实轴长是虚轴长的2倍，则m ＝( ) A.14 B.12 C ．2 D ．4答案：D解析：双曲线的方程可化为x 2－y 21m＝1，∴实轴长为2，虚轴长为21m，∴2＝2×21m，解得m ＝4.2．已知双曲线C 的渐近线方程为y ＝±2x ，且经过点(2,2)，则C 的方程为( ) A.x 23－y 212＝1 B.x 212－y 23＝1C.y 23－x 212＝1 D.y 212－x 23＝1 答案：A解析：由题意，设双曲线C 的方程为y 24－x 2＝λ(λ≠0)，因为双曲线C 过点(2,2)，则224－22＝λ，解得λ＝－3，所以双曲线C 的方程为y 24－x 2＝－3，即x 23－y 212＝1.3．[2017·吉林长春模拟]已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，以F 1F 2为直径的圆与双曲线的一个交点是P ，且△F 1PF 2的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是( )A. 2B. 3 C ．2 D ．5答案：D解析：不妨设点P 位于第一象限，F 1为左焦点，|PF 2|＝m －d ，|PF 1|＝m ，|F 1F 2|＝m ＋d ，其中m ＞d ＞0，则有(m －d )2＋m 2＝(m ＋d )2，解得m ＝4d ，故双曲线的离心率 e ＝|F 1F 2||PF 1|－|PF 2|＝5.4．若双曲线x 2＋y 2m ＝1的一条渐近线的倾斜角α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π3，则m 的取值范围是( )A ．(－3,0)B ．(－3，0)C ．(0,3) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，0 答案：A解析：由题意可知m <0，双曲线的标准方程为x 2－y 2－m＝1，经过第一、三象限的渐近线方程为y ＝－mx ，因为其倾斜角α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π3，所以－m ＝tan α∈(0，3)，故m ∈(－3,0)．5．[2017·河南郑州模拟]已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，过F 作斜率为－1的直线交双曲线的渐近线于点P ，点P 在第一象限，O 为坐标原点，若△OFP 的面积为a 2＋b 28，则该双曲线的离心率为( ) A.53 B.73 C.103D.153答案：C解析：如图所示，由 k PF ＝－1，得∠PFO ＝π4，由 k OP ＝tan ∠POF ＝b a，得 sin ∠POF ＝b a 2＋b 2＝b c ， cos ∠POF ＝a a 2＋b2＝a c， 所以sin ∠OPF ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫∠POF ＋π4＝b c ×22＋a c ×22＝a ＋b 2c.。
课时跟踪检测(五十五)[高考基础题型得分练]1．已知椭圆C 的方程为x 216＋y 2m 2＝1(m >0)，如果直线y ＝22x 与椭圆的一个交点M 在x 轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F ，则m 的值为( )A ．2B ．2 2C ．8D ．2 3答案：B解析：根据已知条件得c ＝16－m 2，则点⎝ ⎛⎭⎪⎫16－m 2，2216－m 2在椭圆x 216＋y 2m 2＝1(m >0)上，∴16－m 216＋16－m22m2＝1，可得m ＝2 2.2．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK ⊥l ，垂足为K ，则△AKF 的面积是( )A ．4B ．3 3C ．4 3D ．8答案：C解析：∵y 2＝4x ，∴F (1,0)，l ：x ＝－1， 过焦点F 且斜率为3的直线l 1：y ＝3(x －1)， 与y 2＝4x 联立，解得A (3,23)， ∴AK ＝4，∴S △AKF ＝12×4×23＝4 3.3．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是抛物线y ＝2x 2上的两点，直线 l 是AB 的垂直平分线．当直线 l 的斜率为12时，直线 l 在 y 轴上的截距的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，＋∞ B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－1)答案：A解析：设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程为y ＝12x ＋b ，过点A ，B 的直线可设为y ＝－2x ＋m ，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x 2，y ＝－2x ＋m ，得2x 2＋2x －m ＝0，从而有x 1＋x 2＝－1，Δ＝4＋8m ＞0，m ＞－12，①又AB 的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，m ＋1在直线l 上， 即m ＋1＝－14＋b ，得m ＝b －54，将m ＝b －54代入①，得b ＞34，所以直线 l 在y 轴上的截距的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫34，＋∞.4．经过椭圆x 22＋y 2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A ，B 两点．设O为坐标原点，则OA →·OB →＝( )A ．－3B ．－13C ．－13或－3D ．±13答案：B解析：依题意，当直线l 经过椭圆的右焦点(1,0)时， 其方程为y －0＝tan 45°(x －1)，即y ＝x －1， 代入椭圆方程x 22＋y 2＝1并整理得3x 2－4x ＝0，解得x ＝0或x ＝43，所以两个交点坐标分别为(0，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13， 所以OA →·OB →＝－13，同理，直线 l 经过椭圆的左焦点时，也可得OA →·OB →＝－13.5．[2017·云南昆明高三摸底]已知斜率为2的直线l 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)交于A ，B 两点，若点P (2,1)是AB 的中点，则C 的离心率等于( )A ．2 2B ．2 C. 3 D. 2答案：D解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入双曲线方程，得x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b2＝1，两式相减，得x 1＋x 2x 1－x 2a2＝y 1＋y 2y 1－y 2b2，∴y 1－y 2x 1－x 2＝b 2x 1＋x 2a 2y 1＋y 2， ∴2＝b 2a 2×21，∴a ＝b ，故双曲线是等轴双曲线，则离心率为 2.6．[2017·贵州安顺月考]在抛物线y ＝x 2上关于直线y ＝x ＋3对称的两点M ，N 的坐标分别为________．答案：(－2,4)，(1,1)解析：设直线MN 的方程为y ＝－x ＋b ，代入y ＝x 2中， 整理得x 2＋x －b ＝0，令Δ＝1＋4b >0，∴b >－14.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－1，y 1＋y 22＝－x 1＋x 22＋b ＝12＋b ，由⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12＋b 在直线y ＝x ＋3上，得 12＋b ＝－12＋3，解得b ＝2， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋2，y ＝x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－2，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝1，y 2＝1.7．已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若MA →·MB →＝0，则k ＝________.答案：2解析：如图所示，设F 为焦点，取AB 的中点P ，过A ，B 分别作准线的垂线，垂足分别为G ，H ，连接MF ，MP ，由MA →·MB →＝0知，MA ⊥MB ， 则|MP |＝12|AB |＝12(|AG |＋|BH |)，所以MP 为直角梯形BHGA 的中位线， 所以MP ∥AG ∥BH ，所以∠GAM ＝∠AMP ＝∠MAP ， 又|AG |＝|AF |，AM 为公共边， 所以△AMG ≌△AMF ，所以∠AFM ＝∠AGM ＝90°，则MF ⊥AB ， 所以k ＝－1k MF＝2.8．[2017·辽宁大连名校联考]已知斜率为2的直线经过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F 1，与椭圆相交于A ，B 两点，则弦AB 的长为________．答案：553解析：由题意知，椭圆的右焦点F 1的坐标为(1,0)， 直线AB 的方程为y ＝2(x －1)．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －，x 25＋y24＝1消去y ，整理得3x 2－5x ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝53，x 1x 2＝0.则|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝＋k2x 1＋x 22－4x 1x 2]＝＋22⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫532－4×0＝553. 9．[2017·辽宁鞍山检测]设A ，B 分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)和双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的公共顶点，P ，M 分别为双曲线和椭圆上异于A ，B 的两动点，且满足AP →＋BP →＝λ(AM →＋BM →)，其中λ∈R ，|λ|＞1，设直线AP ，BP ，AM ，BM 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，k 4且k 1＋k 2＝5，则k 3＋k 4＝________.答案：－5 解析：如图所示，∵满足AP →＋BP →＝λ(AM →＋BM →)，其中λ∈R ，|λ|＞1， ∴－2PO →＝λ(－2MO →)， ∴O ，M ，P 三点共线． 设P (x 1，y 1)，M (x 2，y 2)，y 1x 1＝y 2x 2＝k ≠0， 则x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b2＝1， ∴x 21－a 2a 2＝y 21b 2，x 22－a 2a 2＝－y 22b2，∵k 1＋k 2＝5，∴5＝y 1x 1＋a ＋y 1x 1－a ＝2x 1y 1x 21－a 2＝2x 1y 1a 2y 21b 2＝2b 2a 2·1k.∴k 3＋k 4＝y 2x 2＋a ＋y 2x 2－a ＝2x 2y 2x 22－a 2＝－2b 2a 2·1k＝－5.10．[2017·广东揭阳一中期末]已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，右焦点为F (1,0)．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)设点O 为坐标原点，过点F 作直线l 与椭圆E 交于M ，N 两点，若OM ⊥ON ，求直线l 的方程．解：(1)依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧1a ＝22，a 2＝b 2＋1，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1，所以椭圆E 的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，①当MN 垂直于x 轴时，直线l 的方程为x ＝1，不符合题意； ②当MN 不垂直于x 轴时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)．联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝k x －，消去y ，整理得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0， 所以x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1·x 2＝k 2－1＋2k 2. 所以y 1·y 2＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝－k21＋2k2.因为OM ⊥ON ，所以OM →·ON →＝0，所以x 1·x 2＋y 1·y 2＝k 2－21＋2k2＝0，所以k ＝±2，即直线l 的方程为y ＝±2(x －1)．[冲刺名校能力提升练]1．中心为原点，一个焦点为F (0,52)的椭圆，截直线y ＝3x －2所得弦中点的横坐标为12，则该椭圆方程为( ) A.2x 275＋2y225＝1 B.x 275＋y 225＝1C.x 225＋y 275＝1 D.2x 225＋2y275＝1 答案：C解析：由已知得c ＝52，设椭圆的方程为x 2a 2－50＋y 2a 2＝1，联立得⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－50＋y 2a2＝1，y ＝3x －2，消去y ，得(10a 2－450)x 2－12(a 2－50)x ＋4(a 2－50)－a 2(a 2－50)＝0， 设直线y ＝3x －2与椭圆的交点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，由根与系数关系，得x 1＋x 2＝a 2－10a 2－450， 由题意知，x 1＋x 2＝1，所以a 2－10a 2－450＝1， 解得a 2＝75，所以该椭圆方程为x 225＋y 275＝1.2．[2017·陕西西安中学模拟]如图，过抛物线y ＝14x 2的焦点F 的直线l 与抛物线和圆x 2＋(y －1)2＝1交于A ，B ，C ，D 四点，则AB →·DC →＝________.答案：－1解析：不妨设直线AB 的方程为y ＝1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，y ＝14x 2，解得x ＝±2，则A (－2,1)，D (2,1)，因为B (－1,1)，C (1,1)， 所以AB →＝(1,0)，DC →＝(－1,0)，所以AB →·DC →＝－1.3.[2017·贵州联考]已知中心在原点O ，左焦点为F 1(－1,0)的椭圆C 的左顶点为A ，上顶点为B ，F 1到直线AB 的距离为77|OB |.(1)求椭圆C 的方程；(2)若椭圆C 1的方程为：x 2m 2＋y 2n 2＝1(m >n >0)，椭圆C 2的方程为：x 2m 2＋y 2n2＝λ(λ>0，且λ≠1)，则称椭圆C 2是椭圆C 1的λ倍相似椭圆．如图，已知C 2是椭圆C 的3倍相似椭圆，若椭圆C 的任意一条切线l 交椭圆C 2于两点M ，N ，试求弦长|MN |的取值范围．解：(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，∴直线AB 的方程为x －a ＋yb＝1，∴F 1(－1,0)到直线AB 的距离d ＝|b －ab |a 2＋b 2＝77b ，a 2＋b 2＝7(a －1)2， 又b 2＝a 2－1，解得a ＝2，b ＝3， 故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)椭圆C 的3倍相似椭圆C 2的方程为x 212＋y 29＝1，①若切线l 垂直于x 轴，则其方程为x ＝±2，易求得|MN |＝2 6. ②若切线l 不垂直于x 轴，可设其方程为y ＝kx ＋b ， 将y ＝kx ＋b 代入椭圆C 的方程，得 (3＋4k 2)x 2＋8kbx ＋4b 2－12＝0， ∴Δ＝(8kb )2－4(3＋4k 2)(4b 2－12) ＝48(4k 2＋3－b 2)＝0， 即b 2＝4k 2＋3，(*)设M ，N 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 将y ＝kx ＋b 代入椭圆C 2的方程，得(3＋4k 2)x 2＋8kbx ＋4b 2－36＝0， 由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－8kb3＋4k2， x 1x 2＝4b 2－363＋4k 2，|x 1－x 2|＝4k 2＋9－b 23＋4k2， ∴|MN |＝1＋k 2×4k 2＋9－b 23＋4k2＝461＋k23＋4k2＝261＋13＋4k2. ∵3＋4k 2≥3，∴1<1＋13＋4k 2≤43，即26<26·1＋13＋4k2≤4 2. 综合①②得，弦长|MN |的取值范围为[26，4 2 ]．4．[2017·江西赣南五校3月联考]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线x ＋y ＋1＝0与以椭圆C 的右焦点为圆心，椭圆的长半轴长为半径的圆相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)设P 为椭圆C 上的一点，若过点M (2,0)的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点S 和T ，满足OS →＋OT →＝tOP →(O 为坐标原点)，求实数t 的取值范围．解：(1)由题意知，以椭圆C 的右焦点为圆心，椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为(x －c )2＋y 2＝a 2，∴圆心到直线x ＋y ＋1＝0的距离d ＝|c ＋1|2＝a ，(*)∵椭圆C 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形， ∴b ＝c ，a ＝2b ＝2c ， 代入(*)式，得b ＝c ＝1， ∴a ＝2b ＝2，故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意知，直线l 的斜率存在， 设直线l 的方程为y ＝k (x －2)，将直线l 的方程代入椭圆方程，得 (1＋2k 2)x 2－8k 2x ＋8k 2－2＝0，∴Δ＝64k 4－4(1＋2k 2)(8k 2－2)＝－16k 2＋8>0，∴k 2<12.设P (x 0，y 0)，S (x 1，y 1)，T (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝8k 21＋2k 2，x 1x 2＝8k 2－21＋2k 2，对于OS →＋OT →＝tOP →，当t ＝0时，直线l 为x 轴，点P 在椭圆上任意位置均符合题意．当t ≠0时，有⎩⎪⎨⎪⎧tx 0＝x 1＋x 2＝8k 21＋2k2，ty 0＝y 1＋y 2＝kx 1＋x 2－＝－4k 1＋2k2，∴x 0＝1t ·8k 21＋2k 2，y 0＝1t ·－4k 1＋2k 2， ∵点P 在椭圆上， ∴32k4t 2＋2k22＋16k2t 2＋2k22＝1，整理得t 2＝16k21＋2k2，由k 2<12知，0<t 2<4，∴t ∈(－2,0)∪(0,2)，综上可得，t 的取值范围为(－2,2)．。
真题演练集训1．已知O为坐标原点，F是椭圆C：错误!＋错误!＝1(a>b〉0）的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E。
若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为( ）A.错误!B。
错误!C。
错误! D.错误!答案:A解析：设E（0，m)，则直线AE的方程为－错误!＋错误!＝1,由题意可知，M错误!,错误!和B（a,0）三点共线，则错误!＝错误!，化简得a＝3c，则C的离心率e＝错误!＝错误!。
2．如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆错误!＋错误!＝1（a ＞b＞0）的右焦点，直线y＝错误!与椭圆交于B,C两点,且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________．答案:6 3解析：由题意可得B错误!，C错误!，F(c，0),则由∠BFC＝90°得错误!·错误!＝错误!·错误!＝c 2－错误!a 2＋错误!b 2＝0，化简得错误!c ＝错误!a ，则离心率e ＝错误!＝错误!＝错误!.3．设椭圆x 2a 2＋错误!＝1(a ＞错误!）的右焦点为F ，右顶点为A .已知错误!＋错误!＝错误!，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率．(1）求椭圆的方程；(2）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ,与y 轴交于点H .若BF ⊥HF ，且∠MOA ≤∠MAO ,求直线l 的斜率的取值范围．解:（1）设F (c ，0），由错误!＋错误!＝错误!,即错误!＋错误!＝错误!，可得a 2－c 2＝3c 2,又a 2－c 2＝b 2＝3,所以c 2＝1，因此a 2＝4。
所以,椭圆的方程为错误!＋错误!＝1。
（2)设直线l 的斜率为k (k ≠0），则直线l 的方程为y ＝k （x －2)．设B （x B ，y B ),由方程组错误!消去y ，整理得（4k 2＋3)x 2－16k 2x ＋16k 2－12＝0.解得x ＝2或x ＝8k 2－64k 2＋3，由题意得x B ＝错误!,从而y B ＝错误!.由（1)知,F (1，0），设H (0，y H ），有错误!＝(－1，y H )，错误!＝错误!。
考点规范练点与直线、两条直线的位置关系
基础巩固
.已知直线与直线平行,则它们之间的距离是()
.
.若动点分别在直线和上移动,则的中点到原点的距离的最小值为()
.若向量()与向量()共线,则直线必经过定点()
.()
.()
.()
.()
.已知平行四边形的一条对角线固定在()()两点点在直线上移动,则点的轨迹方程为()
.
如图所示,已知两点()(),从点()射出的光线经直线反射后再射到直线上,最后经直线反射后
又回到点,则光线所经过的路程是()
〚导学号〛
.(上海,理)已知平行直线,则与之间的距离是.
.已知点()关于直线对称的点是(),则直线在轴上的截距是.
.已知点()到直线的距离不大于,则的取值范围是.
.已知两条直线:(): ().当分别为何值时与:
()相交?
()平行?
()垂直?
.已知光线从点()射出,到直线上的点后被直线反射到轴上的点,又被轴反射,这时反射光线
恰好过点(),求所在的直线方程.
能力提升
.点到点'()和到直线的距离相等,且到直线的距离等于,这样的点共有()
个
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个。
真题演练集训1．设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A,直线l过点B（1,0）且与x 轴不重合，l交圆A于C,D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.(1）证明｜EA|＋|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；（2)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围．解：(1)因为｜AD|＝|AC|，EB∥AC，故∠EBD＝∠ACD＝∠ADC.所以|EB｜＝｜ED｜,故｜EA｜＋|EB|＝｜EA|＋|ED｜＝｜AD｜.又圆A的标准方程为（x＋1)2＋y2＝16，从而｜AD|＝4，所以｜EA｜＋｜EB|＝4。
由题设得A（－1，0)，B(1，0)，|AB|＝2，由椭圆定义可得，点E的轨迹方程为错误!＋错误!＝1(y≠0）．（2）当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k（x－1)（k≠0），M（x1，y1），N（x2，y2)．由错误!得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0,则x1＋x2＝错误!，x1x2＝错误!，所以|MN｜＝1＋k2｜x1－x2|＝错误!。
过点B(1，0)且与l垂直的直线m:y＝－错误!（x－1)，A到m的距离为错误!，所以|PQ|＝2错误!＝4错误!。
故四边形MPNQ的面积为S＝错误!|MN|｜PQ|＝12错误!。
可得当l与x轴不垂直时,四边形MPNQ面积的取值范围为（12,8错误!）．当l与x轴垂直时，其方程为x＝1,|MN｜＝3,｜PQ|＝8，四边形MPNQ的面积为12。
综上，四边形MPNQ面积的取值范围为一种作图工具如图①所示．O是滑槽AB的中点,短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N 处铰链与ON连接,MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动,且DN＝ONN绕O转＝1，MN＝3 .当栓子D在滑槽AB内做往复运动时，带动．．动一周(D不动时，N也不动),M处的笔尖画出的曲线记为C。
以O 为原点, AB所在的直线为x轴建立如图②所示的平面直角坐标系．① ②(1）求曲线C 的方程；(2)设动直线l 与两定直线l 1：x －2y ＝0和l 2：x ＋2y ＝0分别交于P ，Q 两点．若直线l 总与曲线C 有且只有一个公共点，试探究：△OPQ 的面积是否存在最小值?若存在,求出该最小值；若不存在，请说明理由．解:(1)设点D (t,0）（｜t |≤2），N (x 0，y 0)，M (x ,y ），依题意,错误!＝2错误!，且|DN ，→｜＝｜错误!|＝1，所以(t －x ，－y ）＝2(x 0－t ，y 0),且错误!即错误!且t (t －2x 0)＝0.由于当点D 不动时，点N 也不动，所以t 不恒等于0,于是t ＝2x 0，故x 0＝错误!,y 0＝－错误!.代入x 错误!＋y 错误!＝1，可得错误!＋错误!＝1，故曲线C的方程为错误!＋错误!＝1。
课时跟踪检测(五十)［高考基础题型得分练］1. ［2017 •浙江温州十校联考］对任意的实数k，直线y = kx- 1与圆C: x2+ y2-2x —2 = 0的位置关系是()A相离B. 相切C. 相交D .以上三个选项均有可能答案：C解析：直线y= kx—1恒经过点A(0，—1)，圆x2+ y2—2x—2 = 0的圆心为C(1,0)，半径为..3，而|AC =.力3，故直线y= kx —1与圆x2+ y2—2x—2 = 0相交.2. 已知圆X2+ y2+ 2x—2y+ a= 0截直线x+ y + 2= 0所得弦的长度为4，则实数a的值是( )A.—2B.—4C.—6D.—8答案：B2 2解析：将圆的方程化为标准方程为(x +1) + (y —1) = 2 —a,所以圆心为(一1,1),半径r=.2 —a,圆心到直线x+y + 2 = 0的距离d=" "=”•.：2,P2故r2—d2= 4，即2 —a—2= 4，所以a=—4,故选B.3. ［2017 •辽宁大连期末］圆x2+ y2+ 2y—3= 0被直线x+ y—k= 0分成两段圆弧，且较短弧长与较长弧长之比为 1 : 3,则k =( )A. 2—1 或—2—1B. 1 或—3C. 1 或—,2D. . 2答案：B解析：由题意知，圆的标准方程为x2+ (y+ 1)2= 4.较短弧所对圆周角是90°,所以圆心(0，—1)到直线x + y —k= 0的距离为 = .2.卩岁=2,解得k= 1 或一3.答案：C解析：圆C 的圆心C i (O,O)，半径r i = 1,22圆C 2的方程可化为(x — 3) + (y — 4) = 25— m 所以圆心C 2(3,4)，半径25 — m 从而 | CC 2| =寸3? + 4 = 5.由两圆外切，得| CC 2| = r i +「2，即1 +寸25 — n = 5,解得m = 9,故选C.5. [2017 •江西南昌模拟]已知过定点 R2,0)的直线I 与曲线y = 2 — x 2相交于A, B 两 点，0为坐标原点，当 & AOB = 1时，直线l 的倾斜角为()A. 150°B. 135°C. 120°D.不存在答案：A1解析：由于AOB = 2“『2 x 2sin / AO = 1,n/• sin / AOB= 1,二/ A0B=~2,•••点O 到直线l 的距离OM 为1,而 OP= 2, OMk 1，在直角厶 OMP K/ OP = 30°, •直线I 的倾斜角为150°,故选A.6. [2017 •山东青岛一模]过点F (1 , ,3)作圆O x 2 + y 2= 1的两条切线，切点分别为A和B,则弦长|AB =()A. 3 C. 2C. 9D.— 11B. 2D. 4 的切线,••• A 电 OP•- R1, 3), O 0,0), •••|OP =1 + 3= 2.又••• |OA = 1,在 Rt △ APO 中, cos / AO = 1,•••/ A O = 60°,• | AB = 2| OA sin / AO = 3.7. 若a 2 +b 2 = 2C 2(C M 0)，则直线ax + by +c = 0被圆x 2+ y 2= 1所截得的弦长为()1 A .2B . 1答案：D因此根据直角三角形勾股定理，弦长的一半就等于1 - 22 2 = ¥ ，所以弦长为2.2 2&直线l 与圆x + y + 2x -4y + a = 0（a v 3）相交于A, B 两点，若弦AB 的中点为（一2,3）, 则直线I 的方程为（）A. x + y — 3= 0 C. x — y + 5= 0答案：C解析：设直线的斜率为k ,又弦AB 的中点为（一2,3）, 所以直线l 的方程为kx — y + 2k + 3 = 0,22由x + y + 2x — 4y + a = 0得圆的圆心坐标为（一1,2）, 所以圆心到直线的距离为 2,所以 |— k—22+ 2k +引=2,解得 k = 1,Q k 2+1'所以直线l 的方程为x — y + 5= 0.9. [2017 •河北唐山模拟]过点A （3,1）的直线l 与圆C: x 2 + y 2— 4y — 1 = 0相切于点B,则 CA- CB= ______ .答案：5解析: 因为圆心（0,0）到直线ax + by + c = 0的距离d = |c | = |c |,a + b . 2| c |B. x + y — 1 = 0 D. x — y — 5= 0解析：解法一：由已知得，圆心C（0,2），半径r = .5,△ ABC 是 直角三角形，| AC =；］—i 〕2+ 1-2• C0S Z ACB= AC = .10，••• CA ・ CB= | CA I CEp cos / ACB= 5.解法二：CA- CB= (CB+ BA • CB= CB + BA- CB 由于 | BQ = 5, ABL BC因此 CA- CB= 5+ 0= 5.2 210. ___________________________ 已知直线ax + y — 2= 0与圆心为C 的圆(x — 1) + (y — a ) = 4相交于A, B 两点，且厶 ABC 为等边三角形，则实数 a = .答案：4土 15解析：依题意，圆C 的半径是2,圆心C (1 , a )到直线ax + y — 2= 0的距离等于 今x 2=3,于是有 ----- 2"=汀3，即 a — 8a +1 = 0，解得 a = 4±15.{a 2 +1 v甘11. 若曲线C ： x + y — 2x = 0与曲线C ： y (y — mx-n ) = 0有四个不同的交点，则实数 m的取值范围是为 __________ .解析：整理曲线 C 的方程得，(x — 1)2+ y 2= 1,故曲线C 为以点C (1,0)为圆心，1为半 径的圆;曲线C 2则表示两条直线，即x 轴与直线I : y = n (x + 1)，显然x 轴与圆G 有两个交点，依题意知直线1与圆相交，故有圆心C 到直线1的距离d =⑴ 需-。
课时跟踪检测(五十二)[高考基础题型得分练]1．双曲线x 2－my 2＝1的实轴长是虚轴长的2倍，则m ＝( ) A.14 B.12 C ．2 D ．4答案：D解析：双曲线的方程可化为x 2－y 21m＝1，∴实轴长为2，虚轴长为21m，∴2＝2×21m，解得m ＝4.2．已知双曲线C 的渐近线方程为y ＝±2x ，且经过点(2,2)，则C 的方程为( ) A.x 23－y 212＝1 B.x 212－y 23＝1C.y 23－x 212＝1 D.y 212－x 23＝1 答案：A解析：由题意，设双曲线C 的方程为y 24－x 2＝λ(λ≠0)，因为双曲线C 过点(2,2)，则224－22＝λ，解得λ＝－3，所以双曲线C 的方程为y 24－x 2＝－3，即x 23－y 212＝1.3．[2017·吉林长春模拟]已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，以F 1F 2为直径的圆与双曲线的一个交点是P ，且△F 1PF 2的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是( )A. 2B. 3 C ．2 D ．5答案：D解析：不妨设点P 位于第一象限，F 1为左焦点，|PF 2|＝m －d ，|PF 1|＝m ，|F 1F 2|＝m ＋d ，其中m ＞d ＞0，则有(m －d )2＋m 2＝(m ＋d )2，解得m ＝4d ，故双曲线的离心率 e ＝|F 1F 2||PF 1|－|PF 2|＝5.4．若双曲线x 2＋y 2m ＝1的一条渐近线的倾斜角α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π3，则m 的取值范围是( )A ．(－3,0)B ．(－3，0)C ．(0,3) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，0 答案：A解析：由题意可知m <0，双曲线的标准方程为x 2－y 2－m＝1，经过第一、三象限的渐近线方程为y ＝－mx ，因为其倾斜角α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π3，所以－m ＝tan α∈(0，3)，故m ∈(－3,0)．5．[2017·河南郑州模拟]已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，过F 作斜率为－1的直线交双曲线的渐近线于点P ，点P 在第一象限，O 为坐标原点，若△OFP 的面积为a 2＋b 28，则该双曲线的离心率为( ) A.53 B.73 C.103D.153答案：C解析：如图所示，由 k PF ＝－1，得∠PFO ＝π4，由 k OP ＝tan ∠POF ＝b a，得 sin ∠POF ＝b a 2＋b 2＝b c ， cos ∠POF ＝a a 2＋b2＝a c， 所以sin ∠OPF ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫∠POF ＋π4＝b c ×22＋a c ×22＝a ＋b 2c.又∵S △OPF ＝12c ·|PF |·22＝a 2＋b 28＝c28，得|PF |＝c22，由正弦定理，得a ＋b 2c c ＝bcc22，整理得a ＝3b ，又a 2＋b 2＝c 2，故e ＝103. 6．[2015·新课标全国卷Ⅰ]已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C的两个焦点．若MF 1→·MF 2→＜0，则y 0的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－36，36 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，223D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，233答案：A解析：由题意知，a ＝2，b ＝1，c ＝3， ∴ F 1(－3，0)，F 2(3，0)，∴ MF 1→＝(－3－x 0，－y 0)，MF 2→＝(3－x 0，－y 0)． ∵ MF 1→·MF 2→＜0，∴ (－3－x 0)(3－x 0)＋y 20＜0， 即x 20－3＋y 20＜0.∵ 点M (x 0，y 0)在双曲线上， ∴ x 202－y 20＝1，即x 20＝2＋2y 20，∴ 2＋2y 20－3＋y 20＜0， ∴ －33＜y 0＜33.故选A. 7．已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．答案：44解析：由x 29－y 216＝1，得a ＝3，b ＝4，c ＝5.∴|PQ |＝4b ＝16>2a . 又∵A (5,0)在线段PQ 上， ∴P ，Q 在双曲线的右支上， 且PQ 所在直线过双曲线的右焦点，由双曲线定义知，⎩⎪⎨⎪⎧|PF |－|PA |＝2a ＝6，|QF |－|QA |＝2a ＝6，∴|PF |＋|QF |＝28.∴△PQF 的周长是|PF |＋|QF |＋|PQ |＝28＋16＝44.8．已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点P 在双曲线上，则双曲线的离心率是________．答案：3＋1解析：因为MF 1的中点P 在双曲线上，|PF 2|－|PF 1|＝2a ，△MF 1F 2为正三角形，边长都是2c ，所以3c －c ＝2a ，所以e ＝c a＝23－1＝3＋1. 9．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P .若点P 的横坐标为2a ，则C 的离心率为________．答案：2＋ 3解析：如图，F 1，F 2为双曲线C 的左，右焦点，将点P 的横坐标2a 代入x 2a 2－y 2b2＝1中，得y 2＝3b 2，不妨令点P 的坐标为(2a ，－3b )， 此时kPF 2＝3b c －2a ＝ba，得到c ＝(2＋3)a ，即双曲线C 的离心率e ＝ca＝2＋ 3.10．[2017·江南十校联考]已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点P (4，－10)．(1)求双曲线的方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0. (1)解：∵e ＝2，∴可设双曲线的方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)． ∵双曲线过点(4，－10)， ∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线的方程为x 2－y 2＝6.(2)证明：证法一：由(1)可知，a ＝b ＝6， ∴c ＝23，∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)， ∴kMF 1＝m 3＋23，kMF 2＝m3－23，kMF 1·kMF 2＝m 29－12＝－m 23. ∵点M (3，m )在双曲线上， ∴9－m 2＝6，m 2＝3， 故kMF 1·kMF 2＝－1， ∴MF 1⊥MF 2.∴MF 1→·MF 2→＝0.证法二：由(1)可知，a ＝b ＝6，∴c ＝23， ∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)，MF 1→＝(－23－3，－m )，MF 2→＝(23－3，－m )，∴MF 1→·MF 2→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2， ∵点M (3,0)在双曲线上， ∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0， ∴MF 1→·MF 2→＝0.[冲刺名校能力提升练]1．如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A. 2B. 3C.32D.62答案：D解析：|F 1F 2|＝2 3.设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．∵|AF 2|＋|AF 1|＝4，|AF 2|－|AF 1|＝2a ， ∴|AF 2|＝2＋a ，|AF 1|＝2－a . 在Rt △F 1AF 2中，∠F 1AF 2＝90°， ∴|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2， 即(2－a )2＋(2＋a )2＝(23)2， ∴a ＝2，∴e ＝c a＝32＝62.故选D. 2.[2017·广西柳州、北海、钦州三市联考]已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)与抛物线y2＝8x 有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，若|PF |＝5，则双曲线的渐近线方程为( )A ．x ±2y ＝0B ．2x ±y ＝0C ．x ±3y ＝0 D.3x ±y ＝0答案：D解析：抛物线y 2＝8x 的焦点坐标为(2,0)，准线方程为直线x ＝－2，∵双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)与抛物线y 2＝8x 有一个公共的焦点F ，则双曲线的半焦距c ＝2，∴a 2＋b 2＝4，①又∵|PF |＝5，∴点P 的横坐标为3，代入抛物线y 2＝8x 得y ＝±26，则P (3，±26)， ∵点P 在双曲线上，则有9a 2－24b2＝1，②联立①②，解得a ＝1，b ＝3，∴双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的渐近线方程为y ＝±3x .3．[2017·山西太原二模]已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于点A ，B ，若|AB |＝|AF 2|，∠F 1AF 2＝90°，则双曲线的离心率为( )A.6＋32 B.6＋ 3C.5＋222D.5＋2 2答案：B解析：∵|AB |＝|AF 2|，∠F 1AF 2＝90°， ∴|BF 2|＝2|AF 2|.又由双曲线的定义知，|BF 1|－|BF 2|＝2a ， ∴|AF 1|＋|AB |－2|AF 2|＝2a ， 即|AF 1|＋(1－2)·|AF 2|＝2a . 又|AF 2|－|AF 1|＝2a ，∴|AF 2|＝2(2＋2)a ，|AF 1|＝2(1＋2)a . 在Rt △AF 1F 2中，|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2， 即[2(2＋2)a ]2＋[2(1＋2)a ]2＝(2c )2，∴c 2a2＝9＋62，∴e ＝9＋62＝6＋ 3.故选B. 4．设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线分别交于点A ，B .若点P (m,0)满足|PA |＝|PB |，则该双曲线的离心率是________．答案：52解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋m ＝0，y ＝bax ，得点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫am3b －a ，bm3b －a ， 由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋m ＝0，y ＝－b a x ，得点B 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－am 3b ＋a ，bm 3b ＋a ，则AB 的中点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2m9b 2－a 2，3b 2m 9b 2－a 2，而k AB ＝13，由|PA |＝|PB |，可得AB 的中点C 与点P 连线的斜率为－3，即k CP ＝3b 2m 9b 2－a2a 2m 9b 2－a2－m ＝－3，化简得⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝14，所以双曲线的离心率e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2＝1＋14＝52. 5．[2017·甘肃兰州诊断]已知曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线的方程为y＝3x ，右焦点F 到直线x ＝a 2c 的距离为32.(1)求双曲线C 的方程；(2)斜率为1且在y 轴上的截距大于0的直线l 与双曲线C 相交于B ，D 两点，已知A (1,0)，若DF →·BF →＝1，证明：过A ，B ，D 三点的圆与x 轴相切．(1)解：依题意有b a ＝3，c －a 2c ＝32，∵a 2＋b 2＝c 2，∴c ＝2a ，∴a ＝1，c ＝2，∴b 2＝3， ∴双曲线C 的方程为x 2－y 23＝1.(2)证明：设直线l 的方程为y ＝x ＋m (m ＞0)，B (x 1，x 1＋m )，D (x 2，x 2＋m )，BD 的中点为M ， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 2－y 23＝1，得2x 2－2mx －m 2－3＝0，∴x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝－m 2＋32，又DF →·BF →＝1，即(2－x 1)(2－x 2)＋(x 1＋m )(x 2＋m )＝1，∴m ＝0(舍去)或m ＝2， ∴x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－72，点M 的横坐标为x 1＋x 22＝1，∵DA →·BA →＝(1－x 1)(1－x 2)＋(x 1＋2)(x 2＋2) ＝5＋2x 1x 2＋x 1＋x 2＝5－7＋2＝0， ∴AD ⊥AB ，∴过A ，B ，D 三点的圆以点M 为圆心，BD 为直径， ∵点M 的横坐标为1， ∴MA ⊥ x 轴．∴过A ，B ，D 三点的圆与x 轴相切．6．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，实轴长为2 3. (1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 左支交于A ，B 两点，求k 的取值范围； (3)在(2)的条件下，线段AB 的垂直平分线l 0与y 轴交于M (0，m )，求m 的取值范围．解：(1)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．由已知，得a ＝3，c ＝2， 再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1， ∴双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )， 将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧1－3k 2≠0，Δ＝－k 2，x A ＋x B ＝62k 1－3k 2<0，x A x B ＝－91－3k 2>0，解得33<k <1. 此时，l 与双曲线左支有两个交点．故k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫33，1. (3)由(2)，得x A ＋x B ＝62k1－3k 2，∴y A ＋y B ＝(kx A ＋2)＋(kx B ＋2) ＝k (x A ＋x B )＋22＝221－3k 2.∴AB 的中点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫32k 1－3k 2，21－3k 2. 设直线l 0的方程为y ＝－1kx ＋m ，将点P 的坐标代入直线l 0的方程，得m ＝421－3k 2.∵33<k <1，∴－2<1－3k 2<0. ∴m <－2 2.∴m 的取值范围为(－∞，－22)．。
课时跟踪检测(五十五)[高考基础题型得分练]1．已知椭圆C 的方程为x 216＋y 2m 2＝1(m >0)，如果直线y ＝22x 与椭圆的一个交点M 在x 轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F ，则m 的值为( )A ．2B ．2 2C ．8D ．2 3答案：B解析：根据已知条件得c ＝16－m 2，则点⎝ ⎛⎭⎪⎫16－m 2，2216－m 2在椭圆x 216＋y 2m 2＝1(m >0)上，∴16－m 216＋16－m22m2＝1，可得m ＝2 2.2．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK ⊥l ，垂足为K ，则△AKF 的面积是( )A ．4B ．3 3C ．4 3D ．8答案：C解析：∵y 2＝4x ，∴F (1,0)，l ：x ＝－1， 过焦点F 且斜率为3的直线l 1：y ＝3(x －1)， 与y 2＝4x 联立，解得A (3,23)， ∴AK ＝4，∴S △AKF ＝12×4×23＝4 3.3．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是抛物线y ＝2x 2上的两点，直线 l 是AB 的垂直平分线．当直线 l 的斜率为12时，直线 l 在 y 轴上的截距的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，＋∞ B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－1)答案：A解析：设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程为y ＝12x ＋b ，过点A ，B 的直线可设为y ＝－2x ＋m ，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x 2，y ＝－2x ＋m ，得2x 2＋2x －m ＝0，从而有x 1＋x 2＝－1，Δ＝4＋8m ＞0，m ＞－12，①又AB 的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，m ＋1在直线l 上， 即m ＋1＝－14＋b ，得m ＝b －54，将m ＝b －54代入①，得b ＞34，所以直线 l 在y 轴上的截距的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫34，＋∞.4．经过椭圆x 22＋y 2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A ，B 两点．设O为坐标原点，则OA →·OB →＝( )A ．－3B ．－13C ．－13或－3D ．±13答案：B解析：依题意，当直线l 经过椭圆的右焦点(1,0)时， 其方程为y －0＝tan 45°(x －1)，即y ＝x －1， 代入椭圆方程x 22＋y 2＝1并整理得3x 2－4x ＝0，解得x ＝0或x ＝43，所以两个交点坐标分别为(0，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13， 所以OA →·OB →＝－13，同理，直线 l 经过椭圆的左焦点时，也可得OA →·OB →＝－13.5．[2017·云南昆明高三摸底]已知斜率为2的直线l 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)交于A ，B 两点，若点P (2,1)是AB 的中点，则C 的离心率等于( )A ．2 2B ．2 C. 3 D. 2答案：D解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入双曲线方程，得x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b2＝1，两式相减，得x 1＋x 2x 1－x 2a2＝y 1＋y 2y 1－y 2b2，∴y 1－y 2x 1－x 2＝b 2x 1＋x 2a 2y 1＋y 2， ∴2＝b 2a 2×21，∴a ＝b ，故双曲线是等轴双曲线，则离心率为 2.6．[2017·贵州安顺月考]在抛物线y ＝x 2上关于直线y ＝x ＋3对称的两点M ，N 的坐标分别为________．答案：(－2,4)，(1,1)解析：设直线MN 的方程为y ＝－x ＋b ，代入y ＝x 2中， 整理得x 2＋x －b ＝0，令Δ＝1＋4b >0，∴b >－14.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－1，y 1＋y 22＝－x 1＋x 22＋b ＝12＋b ，由⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12＋b 在直线y ＝x ＋3上，得 12＋b ＝－12＋3，解得b ＝2， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋2，y ＝x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－2，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝1，y 2＝1.7．已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若MA →·MB →＝0，则k ＝________.答案：2解析：如图所示，设F 为焦点，取AB 的中点P ，过A ，B 分别作准线的垂线，垂足分别为G ，H ，连接MF ，MP ，由MA →·MB →＝0知，MA ⊥MB ， 则|MP |＝12|AB |＝12(|AG |＋|BH |)，所以MP 为直角梯形BHGA 的中位线， 所以MP ∥AG ∥BH ，所以∠GAM ＝∠AMP ＝∠MAP ， 又|AG |＝|AF |，AM 为公共边， 所以△AMG ≌△AMF ，所以∠AFM ＝∠AGM ＝90°，则MF ⊥AB ， 所以k ＝－1k MF＝2.8．[2017·辽宁大连名校联考]已知斜率为2的直线经过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F 1，与椭圆相交于A ，B 两点，则弦AB 的长为________．答案：553解析：由题意知，椭圆的右焦点F 1的坐标为(1,0)， 直线AB 的方程为y ＝2(x －1)．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －，x 25＋y24＝1消去y ，整理得3x 2－5x ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝53，x 1x 2＝0.则|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝＋k2x 1＋x 22－4x 1x 2]＝＋22⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫532－4×0＝553. 9．[2017·辽宁鞍山检测]设A ，B 分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)和双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的公共顶点，P ，M 分别为双曲线和椭圆上异于A ，B 的两动点，且满足AP →＋BP →＝λ(AM →＋BM →)，其中λ∈R ，|λ|＞1，设直线AP ，BP ，AM ，BM 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，k 4且k 1＋k 2＝5，则k 3＋k 4＝________.答案：－5 解析：如图所示，∵满足AP →＋BP →＝λ(AM →＋BM →)，其中λ∈R ，|λ|＞1， ∴－2PO →＝λ(－2MO →)， ∴O ，M ，P 三点共线． 设P (x 1，y 1)，M (x 2，y 2)，y 1x 1＝y 2x 2＝k ≠0， 则x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b2＝1， ∴x 21－a 2a 2＝y 21b 2，x 22－a 2a 2＝－y 22b2，∵k 1＋k 2＝5，∴5＝y 1x 1＋a ＋y 1x 1－a ＝2x 1y 1x 21－a 2＝2x 1y 1a 2y 21b 2＝2b 2a 2·1k.∴k 3＋k 4＝y 2x 2＋a ＋y 2x 2－a ＝2x 2y 2x 22－a 2＝－2b 2a 2·1k＝－5.10．[2017·广东揭阳一中期末]已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，右焦点为F (1,0)．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)设点O 为坐标原点，过点F 作直线l 与椭圆E 交于M ，N 两点，若OM ⊥ON ，求直线l 的方程．解：(1)依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧1a ＝22，a 2＝b 2＋1，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1，所以椭圆E 的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，①当MN 垂直于x 轴时，直线l 的方程为x ＝1，不符合题意； ②当MN 不垂直于x 轴时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)．联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝k x －，消去y ，整理得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0， 所以x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1·x 2＝k 2－1＋2k 2. 所以y 1·y 2＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝－k21＋2k2.因为OM ⊥ON ，所以OM →·ON →＝0，所以x 1·x 2＋y 1·y 2＝k 2－21＋2k2＝0，所以k ＝±2，即直线l 的方程为y ＝±2(x －1)．[冲刺名校能力提升练]1．中心为原点，一个焦点为F (0,52)的椭圆，截直线y ＝3x －2所得弦中点的横坐标为12，则该椭圆方程为( ) A.2x 275＋2y225＝1 B.x 275＋y 225＝1C.x 225＋y 275＝1 D.2x 225＋2y275＝1 答案：C解析：由已知得c ＝52，设椭圆的方程为x 2a 2－50＋y 2a 2＝1，联立得⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－50＋y 2a2＝1，y ＝3x －2，消去y ，得(10a 2－450)x 2－12(a 2－50)x ＋4(a 2－50)－a 2(a 2－50)＝0， 设直线y ＝3x －2与椭圆的交点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，由根与系数关系，得x 1＋x 2＝a 2－10a 2－450， 由题意知，x 1＋x 2＝1，所以a 2－10a 2－450＝1， 解得a 2＝75，所以该椭圆方程为x 225＋y 275＝1.答案：－1解析：不妨设直线AB 的方程为y ＝1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，y ＝14x 2，解得x ＝±2，则A (－2,1)，D (2,1)，因为B (－1,1)，C (1,1)， 所以AB →＝(1,0)，DC →＝(－1,0)， 所以AB →·DC →＝－1.3.[2017·贵州联考]已知中心在原点O ，左焦点为F 1(－1,0)的椭圆C 的左顶点为A ，上顶点为B ，F 1到直线AB 的距离为77|OB |.(1)求椭圆C 的方程；(2)若椭圆C 1的方程为：x 2m 2＋y 2n 2＝1(m >n >0)，椭圆C 2的方程为：x 2m 2＋y 2n2＝λ(λ>0，且λ≠1)，则称椭圆C 2是椭圆C 1的λ倍相似椭圆．如图，已知C 2是椭圆C 的3倍相似椭圆，若椭圆C 的任意一条切线l 交椭圆C 2于两点M ，N ，试求弦长|MN |的取值范围．解：(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，∴直线AB 的方程为x －a ＋yb＝1，∴F 1(－1,0)到直线AB 的距离d ＝|b －ab |a 2＋b 2＝77b ，a 2＋b 2＝7(a －1)2， 又b 2＝a 2－1，解得a ＝2，b ＝3， 故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)椭圆C 的3倍相似椭圆C 2的方程为x 212＋y 29＝1，①若切线l 垂直于x 轴，则其方程为x ＝±2，易求得|MN |＝2 6. ②若切线l 不垂直于x 轴，可设其方程为y ＝kx ＋b ， 将y ＝kx ＋b 代入椭圆C 的方程，得 (3＋4k 2)x 2＋8kbx ＋4b 2－12＝0， ∴Δ＝(8kb )2－4(3＋4k 2)(4b 2－12) ＝48(4k 2＋3－b 2)＝0， 即b 2＝4k 2＋3，(*)设M ，N 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 将y ＝kx ＋b 代入椭圆C 2的方程，得 (3＋4k 2)x 2＋8kbx ＋4b 2－36＝0， 由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－8kb3＋4k2， x 1x 2＝4b 2－363＋4k 2，|x 1－x 2|＝4k 2＋9－b 23＋4k2， ∴|MN |＝1＋k 2×4k 2＋9－b 23＋4k2＝461＋k23＋4k2＝261＋13＋4k2. ∵3＋4k 2≥3，∴1<1＋13＋4k 2≤43，即26<26·1＋13＋4k2≤4 2. 综合①②得，弦长|MN |的取值范围为[26，4 2 ]．4．[2017·江西赣南五校3月联考]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线x ＋y ＋1＝0与以椭圆C 的右焦点为圆心，椭圆的长半轴长为半径的圆相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)设P 为椭圆C 上的一点，若过点M (2,0)的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点S 和T ，满足OS →＋OT →＝tOP →(O 为坐标原点)，求实数t 的取值范围．解：(1)由题意知，以椭圆C 的右焦点为圆心，椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为(x －c )2＋y 2＝a 2，∴圆心到直线x ＋y ＋1＝0的距离d ＝|c ＋1|2＝a ，(*)∵椭圆C 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形， ∴b ＝c ，a ＝2b ＝2c ， 代入(*)式，得b ＝c ＝1， ∴a ＝2b ＝2，故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意知，直线l 的斜率存在， 设直线l 的方程为y ＝k (x －2)， 将直线l 的方程代入椭圆方程，得 (1＋2k 2)x 2－8k 2x ＋8k 2－2＝0，∴Δ＝64k 4－4(1＋2k 2)(8k 2－2)＝－16k 2＋8>0，∴k 2<12.设P (x 0，y 0)，S (x 1，y 1)，T (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝8k 21＋2k 2，x 1x 2＝8k 2－21＋2k 2，对于OS →＋OT →＝tOP →，当t ＝0时，直线l 为x 轴，点P 在椭圆上任意位置均符合题意．当t ≠0时，有⎩⎪⎨⎪⎧tx 0＝x 1＋x 2＝8k 21＋2k2，ty 0＝y 1＋y 2＝kx 1＋x 2－＝－4k 1＋2k2，∴x 0＝1t ·8k 21＋2k 2，y 0＝1t ·－4k 1＋2k 2， ∵点P 在椭圆上， ∴32k4t 2＋2k22＋16k2t 2＋2k22＝1，整理得t 2＝16k21＋2k2，由k 2<12知，0<t 2<4，∴t ∈(－2,0)∪(0,2)，综上可得，t 的取值范围为(－2,2)．。
=5.课时跟踪检测(五十二)［高考基础题型得分练］1.双曲线x2—my = 1的实轴长是虚轴长的 2 倍，贝U m=( )1A. 41B.2C. 2D. 4答案：D解析：双曲线的方程可化为22 y 彳X -了 = 1,m•••实轴长为2,虚轴长为2m••• 2 =2X2m解得m= 4.2•已知双曲线C的渐近线方程为y =±2x，且经过点(2,2)，则C的方程为(2 2 2 2x y x yA~ ——= 1 B.石——=13 12 12 32 2y xC.? —= 13 122 2y xD.士一 = 112 3答案：A2解析：由题意，设双曲线C的方程为七-x2=X ( 20),因为双曲线C过点⑵2),则|2-2 2 22 =入，解得入=—3,所以双曲线C的方程为£ —x =—3，即——右=1.2 2x y3. ［2017 •吉林长春模拟］已知F1, F2是双曲线g—午=1(a>0, b> 0)的两个焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线的一个交点是戸，且厶RPR的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是() A. .2C. 2D. 5答案：D解析：不妨设点P位于第一象限，F i为左焦点，|P冋=m-d, |PF| = m, I F1F2I = m+ d,I F1F2I其中m> d>0，则有(m- d)2+ m= ( m^ d)2,解得m= 4d,故双曲线的离心率e=1 PF|- 1 PF|24.若双曲线X2+ m= 1的一条渐近线的倾斜角a€0, n3，贝y m的取值范围是()C. (0,3)答案：A程为 y = •. — mx为一1的直线交双曲线的渐近线于点 P,点P 在第一象限，O 为坐标原点，若△ OFP 的面积为葺？，则该双曲线的离心率为()8, b ,口由 k op = tan / PO =孑得./ b bsin /— POI = —2 2={a 2+ b 2 cacos / P0=——22= Q a 2+ b 2 c所以 sin / OP = sin [/ POFF nT =匚申+冬乎=a ^b4 丿 C 2C 2^2CA. ( — 3,0)B. ( — 3, 0) D.解析：由题意可知m <0,双曲线的标准方程为 2X 2—工=1，经过第一、三象限的渐近线方—m因为其倾斜角a € |0, —，所以冒一 m= tana € (0 , 3)，故 m € ( — 3,0). 2 25. [2017 •河南郑州模拟]已知双曲线 扌一p=1(a >0, b >0)的右焦点为F ,过F 作斜率1又OPF= ^C •I PF•c|PF =丽由正弦定理，得a+ b2cc c2：2整理得a= 3b, 又a2+ b2= c, 故e^^；10.36. [2015 •新课标全国卷I ]已知Mx o, y o）是双曲线C：1上的一点，F1, F2是C 的两个焦点.若MF・MF v 0,则y。
