《公式法》习题
1、多项式2244x xy y -+-分解因式的结果是（ ）.
A ．2(2)x y -
B ．2(2)x y --
C ．2(2)x y --
D ．2()x y + 2、41x -的结果为（ ）.
A ．22(1)(1)x x -+
B ．22(1)(1)x x +-
C ．2(1)(1)(1)x x x -++
D ．3(1)(1)x x -+
3、222516a kab a ++是一个完全平方式，那么k 值为（ ） .
4、分解因式：241x -= ．分解因式：24a -= ．
5、（1）运用公式法计算：2222
181********--． （2）用简便方法计算：228001600798798-+×．
6、 分解因式：（1）221664a x ax ++ （2）216(23)a b -+
7、把下列各式分解因式．
（1）249x -； （2）224169x y -；
（3）2125a -+； （4）220.01625m n -．
8、把下列各式分解因式．
（1）2816a a ++； （2）2(2)6(2)9a b a b ++++；
（3）221222
x xy y ++； （4）2244mn m n ---．
9、把下列各式分解因式．
（1）269x x ++； （2）242025x x -+；
（3）222816a b abc c -+； （4）221424a ab b ++；
（5）2()4()4a b a b +-++； （6）（x +6）2（x －6）2 ．
10、把(1)(3)1x x --+分解因式利用分解因式进行简便运算.
11、已知2a －b =3，求－8a 2+8ab －2b 2的值. 已知x +y =21
，xy =83，求
x3y＋2x2y2+xy3的值.
12、观察下列等式
12－02=1 22－12=3 32－22=5 42－32=7
根据以上计算，你发现了什么规律，请用含有n的式子表示该规律.用因式分解的知识证明你发现的规律.
内插法计算公式 1、X1、Y1为《建设工程监理与相关服务收费标准》附表二中计费额的区段值；Y1、Y2为对应于X1、X2的收费基价；X为某区段间的插入值道；Y为对应于X由插入法计算而得的收费基价。 2、计费额小于500万元的，以计费额乘以3.3%的收费专率计算收费基价； 3、计费额大于1,000,000万元的，以计费额乘以1.039%的收费率计算收费基价。 【例】若计算得计费额为600万元，计算其收费基价属。 根据《建设工程监理与相关服务收费标准》附表二：施工监理服务收费基价表，计费额处于区段值500万元（收费基价为16.5万元）与1000万元（收费基价为30.1万元）之间，则对应于600万元计费额的收费基价： 内插法（Interpolation Method） 什么是内插法 在通过找到满足租赁交易各个期间所支付的最低租金支付额及租赁期满时租赁资产估计残值的折现值等于租赁资产的公平价值的折现率，即租赁利率的方法中，内插法是在逐步法的基础上，找到两个接近准确答案的利率值，利用函数的连续性原理，通过假设关于租赁利率的租赁交易各个期间所支付的最低租金支付额及租赁期满时租赁资产估计残值的折现值与租赁资产的公平价值之差的函数为线性函数，求得在函数值为零时的折现率，就是租赁利率。 内插法原理 数学内插法即“直线插入法”。其原理是，若A(i1,b1),B(i2,b2)为两点，则点P（i,b)在上述两点确定的直线上。而工程上常用的为i在i1,i2之间，从而P在点A、B之间，故称“直线内插法”。 数学内插法说明点P反映的变量遵循直线AB反映的线性关系。 上述公式易得。A、B、P三点共线，则 (b-b1)/(i-i1)＝（b2-b1)/(i2-i1)=直线斜率，变换即得所求。 内插法的具体方法 求得满足以下函数的两个点，假设函数为线性函数，通过简单的比例式求出租赁利率。 以每期租金先付为例，函数如下：
线性插值法计算公式解析 2011年招标师考试实务真题第16题：某机电产品国际招标项目采用综合评价法评标。评标办法规定，产能指标评标总分值为10分，产能在100吨/日以上的为10分，80吨/日的为5分，60吨/日以下的为0分，中间产能按插值法计算分值。某投标人产能为95吨/日，应得（）分。A．8.65 B．8.75 C．8.85 D．8.95 分析：该题的考点属线性插值法又称为直线内插法，是评标办法的一种，很多学员无法理解公式含义，只能靠死记硬背，造成的结果是很快会遗忘，无法应对考试和工作中遇到的问题，对此本人从理论上进行推导，希望对学员有所帮助。 一、线性插值法两种图形及适用情形 F F F2
图一：适用于某项指标越低得分越高的项目评 分计算，如投标报价得分的计算 图二：适用于某项投标因素指标越高，得分越高的情 形，如生产效率等 二、公式推导 对于这个插值法，如何计算和运用呢，我个人认为考生在考试时先试着画一下上面的图，只有图出来了，根据三角函数定义，tana=角的对边比上邻边，从图上可以看出，∠A是始终保持不变的，因此，根据三角函数tana，我们可以得出这样的公式 图一：tana＝（F1-F2）/(D2-D1)=(F-F2)/(D2-D)＝（F1-F）/(D-D1)，
通过这个公式，我们可以进行多种推算，得出最终公式如下F=F2+（F1-F2）*(D2-D)/ (D2-D1) 或者F= F1-（F1-F2）*(D-D1)/(D2-D1) 图二：tana＝（F1-F2）/(D2-D1)＝(F-F2)/ (D-D1)＝（F1-F）/(D2-D)通过这个公式我们不难得出公式： F= F2+（F1-F2）*(D-D1)/(D2-D1) 或者F=F1-（F1-F2）*(D2-D)/(D2-D1) 三：例题解析 例题一：某招标文件规定有效投标报价最高的得30分，有效投标报价最低的得60分，投标人的报价得分用线性插值法计算，在评审中，评委发现有效的最高报价为300万元，有效最低的报价为240万元，某A企业的有效投标报价为280万元，问他的价格得分为多少 分析，该题属于图一的适用情形，套用公式 计算步骤：F=60+(30-60)/(300-240)*(280-240)=40 例题二：某招标文件规定，水泵工作效率85%的3分，95%的8分，某投标人的水泵工作效率为92%，问工作效率指标得多少分？ 分析：此题属于图二的适用情形，套用公式 F＝3+（92%-85%）*（8-3）/（95%-85%）＝3+7/2＝6.5 （此文档部分内容来源于网络，如有侵权请告知删除，文档可自行编辑修改内容， 供参考，感谢您的配合和支持）
辅助角公式的推导
辅助角公式sin cos )a b θθθ?+=+的推导 在三角函数中，有一种常见而重要的题型，即化sin cos a b θ θ+为一个角的 一个三角函数的形式，进而求原函数的周期、值域、单调区间等.为了帮助学生 记忆和掌握这种题型的解答方法,教师们总结出公式 sin cos a b θθ+ )θ?+或sin cos a b θθ+ cos()θ?-,让学生在大量的训练和考试中加以记忆和活用.但事与愿违,半个 学期不到,大部分学生都忘了,教师不得不重推一遍.到了高三一轮复习,再次忘记,教师还得重推!本文旨在通过辅助角公式的另一种自然的推导,体现一种解决问题的过程与方法,减轻学生的记忆负担;同时说明“辅助角”的范围和常见的取角方法,帮助学生澄清一些认识;另外通过例子说明辅助角公式的灵活应用,优化解题过程与方法;最后通过例子说明辅助公式在实际中的应用,让学生把握辅助角与原生角的范围关系,以更好地掌握和使用公式. 一.教学中常见的的推导方法 教学中常见的推导过程与方法如下 1.引例 例1 α+cos α=2sin （α+6π）=2cos （α-3 π ）. 其证法是从右往左展开证明,也可以从左往右“凑”,使等式得到证明,并得出 结论: 可见 α+cos α可以化为一个角的三角函数形式. 一般地,asin θ+bcos θ是否可以化为一个角的三角函数形式呢 2.辅助角公式的推导 例2化sin cos a b θ θ+为一个角的一个三角函数的形式. 解:asin θ+bcos θ sin θ cos θ), ① =cos ? =sin ?, 则asin θ+bcos θ θcos ?+cos θsin ?) θ+?),(其中tan ?=b a )
高一数学期末复习————必修4之《辅助角公式》 一．知识点回顾 对于形如y=asinx+bcosx 的三角式，可变形如下： y=asinx+bcosx = ++++a b x a a b x b a b 222 2 2 2 (sin cos )· · 。记 a a b 2 2 +=cos θ， b a b 22 +=sin θ，则cos cos sin ))y x x x θθθ+=+ 由此我们得到结论：asinx+bcosx=a b x 22++sin()θ，（* cos ,θ= sin θ=来确定。通常称式子（*）为辅助角公式，它可以将多个三角式的函数问 题，最终化为y=Asin(?+ωx )+k 的形式。 二．训练 1.化下列代数式为一个角的三角函数 （1 ）1sin 2αα+； （2 cos αα+； （3）sin cos αα- （4 ）sin()cos()6363 ππ αα-+-． （5）5sin 12cos αα+ （6）sin cos a x b x +
2．函数 y ＝2sin ? ???? π 3－x －cos ? ?? ?? π 6＋x (x ∈R)的最小值等于 ( ) A ．－3 B ．－2 C ．－1 D ．－ 5 3.若函数()(1)cos f x x x =，02 x π ≤<，则()f x 的最大值为 ( ) A ．1 B ．2 C 1 D 2 4.（2009安徽卷理）已知函数()cos (0)f x x x ωωω=+>，()y f x =的图像与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的单调递增区间是( )A.5[,],1212k k k Z ππππ-+∈ B.511[,],1212k k k Z ππππ++∈C.[,],36k k k Z ππππ-+∈ D.2[,],63k k k Z ππππ++∈ 5. 如果函数y=sin2x+acos2x 的图象关于直线x=-π 8 对称，那么a= ( ) （A ）2 （B ）-2 （C ）1 （D ）-1 6．函数y ＝cos x ＋cos ? ????x ＋π3的最大值是________． 7.已知向量(cos(),1)3a x π=+r ,1 (cos(),)32 b x π=+-r , (sin(),0)3 c x π =+r ,求函数()h x =2a b b c ?-?+r r r r 的最大值及相应的x 的值. （本题中可以选用的公式有21cos 21 cos ,sin cos sin 222 a αααα+= =）
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线性插值法计算公式解析 2011年招标师考试实务真题第16题：某机电产品国际招标项目采用综合评价法评标。评标办法规定，产能指标评标总分值为10分，产能在100吨/日以上的为10分，80吨/日的为5分，60吨/日以下的为0分，中间产能按插值法计算分值。某投标人产能为95吨/日，应得（）分。A． B．8.75 C． D． 分析：该题的考点属线性插值法又称为直线内插法，是评标办法的一种，很多学员无法理解公式含义，只能靠死记硬背，造成的结果是很快会遗忘，无法应对考试和工作中遇到的问题，对此本人从理论上进行推导，希望对学员有所帮助。 一、线性插值法两种图形及适用情形 F F F2
图一：适用于某项指标越低得分越高的项目 评分计算，如投标报价得分的计算 图二：适用于某项投标因素指标越高，得分越高的 情形，如生产效率等 二、公式推导 对于这个插值法，如何计算和运用呢，我个人认为考生在考试时先试着画一下上面的图，只有图出来了，根据三角函数定义，tana=角的对边比上邻边，从图上可以看出，∠A是始终保持不变的，因此，根据三角函数tana，我们可以得出这样的公式
图一：tana＝（F1-F2）/(D2-D1)=(F-F2)/(D2-D)＝（F1-F）/(D-D1)，通过这个公式，我们可以进行多种推算，得出最终公式如下 F=F2+（F1-F2）*(D2-D)/ (D2-D1) 或者F= F1-（F1-F2）*(D-D1)/(D2-D1) 图二：tana＝（F1-F2）/(D2-D1)＝(F-F2)/ (D-D1)＝（F1-F） /(D2-D) 通过这个公式我们不难得出公式： F= F2+（F1-F2）*(D-D1)/(D2-D1) 或者F=F1-（F1-F2）*(D2-D)/(D2-D1) 三：例题解析 例题一：某招标文件规定有效投标报价最高的得30分，有效投标报价最低的得60分，投标人的报价得分用线性插值法计算，在评审中，评委发现有效的最高报价为300万元，有效最低的报价为240万元，某A企业的有效投标报价为280万元，问他的价格得分为多少 分析，该题属于图一的适用情形，套用公式 计算步骤：F=60+(30-60)/(300-240)*(280-240)=40 例题二：某招标文件规定，水泵工作效率85%的3分，95%的8分，某投标人的水泵工作效率为92%，问工作效率指标得多少分
辅助角公式2010-4-7 一、教学目标 1、会将ααcos sin b a +（a 、b 不全为零）化为只含有正弦的一个三角比的形式 2、能够正确选取辅助角和使用辅助角公式 二、教学重点与难点 辅助角公式的推导与辅助角的选取 三、教学过程 1、复习?引入 两角和与差的正弦公式 ()sin αβ+=_________________________________ ()sin αβ-=_________________________________ 口答：利用公式展开sin 4πα??+ ??? =_____________________ 反之, αα 化简为只含正弦的三角比的形式，则可以是αα=_____________________________ 尝试：将以下各式化为只含有正弦的形式，即化为)sin(βα+A ()0A >的形式 （1 1cos 2 αα+ （2 ）sin αα 2、辅助角公式?推导 对于一般形式ααcos sin b a +（a 、b 不全为零），如何将表达式化简为只含有正弦的三角比形式？ sin cos )) a b αααααβ+==+ 其中辅助角β 由cos sin ββ?=????=?? β（通常πβ20<≤）的终边经过点(,)a b ------------------我们称上述公式为辅助角公式，其中角β为辅助角。
3、例题?反馈 例１、试将以下各式化为)sin(βα+A ()0A >的形式. （11cos 2αα- （2）ααcos sin + （3αα （4）ααcos 4sin 3- 例2、试将以下各式化为)sin(βα+A （),[,0ππβ-∈>A ）的形式. （1）sin cos αα- （2）ααsin cos - （3）cos αα- 例3、若sin(50)cos(20)x x +++ 0360x ≤< ，求角x 的值。 例42)cos()12123x x ππ+ ++=，且 02 x π-<<，求sin cos x x -的值。 4、小结?思考 （1）公式()sin cos a b αααβ++中角β如何确定? （2）能否会将ααcos sin b a +（a 、b 不全为零）化为只含有余弦的 一个三角比的形式？ 5、作业布置 (1)3cos 66ππαα????+-+ ? ????? =________________（化为)sin(βα+A ()0A >的形式） (2) 、关于x 的方程12sin x x k =有解，求实数k 的取值范围。 (3)、已知46sin 4m x x m -=-，求实数m 的取值范围。 (4)、利用辅助角公式化简： ()sin801cos50??? 四、教学反思
公式法解一元二次方程 一、课前预习 1.一元二次方程的一般形式______________________________________ 2.写出下列一元二次方程的a,b,c,并求出b 2-4ac 的值 （1）2x 2-3x=0 （2）3x 2（3）4x 2+x+1=0 二、课堂流程 归纳：1、一般地，式子b 2-4ac 叫做关于x 的方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)根的________，通常用希腊字母△表 示，即△=________ 2、当△＞0时，方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)有__________________________当△_____0时，方程 ax 2+bx+c=0 (a ≠0)，有两个相等的实数根; 当△＜0时，方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)______________________________ 当△≥0时，方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)的实数根可写为_____________________,这个式子叫做一元 二次方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)的求根公式。用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法。 （三）当堂训练： 例1：不解方程，判定方程根的情况 （1）16x 2+8x=-3 (2）9x 2+6x+1=0 （3）2x 2-9x+8=0 ( 4）x 2-7x-18=0 例2.用公式法解下列方程： (1) x 2 -4x-7=0 (2) 2x 2 -2 2x+1=0 (3) 5 x 2 -3x=x+1 (4) x 2 +17=8x 三、课后作业 1、下列方程中，无实数根的是（ ） A.4x 2+3x=2 B.2x 2-4x+7=0 C.2x 2 +1=4x D. 4x 2-20x=25 2.下列方程中，有两个相等的实数根的是（ ） A. x 2-5x-1=0 B.9 x 2=4 x 2- (3x-1) C.23x 2-267 x-2=0 D. 2x 2+（3.若关于x 的方程mx 2+(2m+1)x+m=0有实数根，则m 的取值范围为_________ 4.如果分式3 322---x x x 的值为0,则x 值为 A.3或-1 B.3 C.-1 D.1或-3 5. 已知三角形两边长分别是1和2,第三边的长为2x 2-5x+3=0的根,则这个三角形的周长是 A.4 B.214 C.4或2 14 D.不存在
辅助角公式 一． 合一变形?把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的 B x A y ++=)sin(??形式。()sin cos ααα?A +B =+，其中tan ?B = A ． 二． 练习 1.x x y cos sin += 2. x x y cos sin 3+= 3. x x y 3cos 3sin 3+= 4. x x y 2cos 2sin += 5. x x y cos 23sin 21+= 6. )cos (sin 2x x y -= 7. x x y sin 6cos 2-= 8. x x y cos 53sin 153+= 9. )4 cos(46)4sin(42x x y -+-=ππ 10. x x y 2cos 2sin 23+= 11. ()x x x y cos sin cos 2+= 12. 4 3cos 33sin cos 2+-??? ?? +=x x x y π 13. x x y sin 2 3cos 23-= 14.已知函数2π()2sin 24f x x x ??=+- ???，ππ42x ??∈???? ，． （I ）求()f x 的最大值和最小值；
（II ）若不等式()2f x m -<在ππ42 x ??∈????，上恒成立，求实数m 的取值范围． 分析：观察角，单角二次型，降次整理为sin cos a x b x +形式． 解：（Ⅰ）π()1cos 221sin 222f x x x x x ? ???=-+=+ ??????? ∵ π12sin 23x ??=+- ?? ?． 又ππ42x ??∈????，∵，ππ2π2633x -∴≤≤，即π212sin 233x ??+- ???≤≤， max min ()3()2f x f x ==，∴． （Ⅱ）()2()2()2f x m f x m f x --∴且min ()2m f x <+， 14m <<∴，即m 的取值范围是(1 4)，． 15. （1）已知1sin sin 3 x y +=，求2sin cos y x -的最大值与最小值． （2）求函数sin cos sin cos y x x x x =?++的最大值． 分析：可化为二次函数求最值问题． 解：（1）由已知得：1sin sin 3y x = -，sin [1,1]y ∈-，则2sin [,1]3 x ∈-． 22111sin cos (sin )212y x x ∴-=--，当1sin 2x =时，2sin cos y x -有最小值1112 -；当2sin 3x =-时，2sin cos y x -有最小值49． （2）设sin cos x x t +=(t ≤≤，则21sin cos 2t x x -?=，则21122 y t t =+-，当 t =时，y 有最大值为12 +
本文集资料共4个分类：学习方法、记忆方法、快速阅读、潜能开发。每个分类都有多个资料，可在百度文库、新浪爱问共享、豆丁文库中直接搜索：“学习方法：”“记忆方法：”“快速阅读：”“潜能开发：”，即可找到更多资料。科学记忆法在数学教学中应用的做法和体会，阐述了在数学课堂教学中，结合知识特点，巧妙运用科学有效的记忆法，可以激发学生对数学学习的兴趣，从而提高数学学习的效率。 步骤/方法 1. 1.口诀记忆法 中学数学中，有些方法如果能编成顺口溜或歌诀，可以帮助记忆。例如， 根据一元二次不等式ax+bx-c＞0（a＞0，△＞0）与ax+bx+c（a＞0，△＞0） 的解法，可编成乘积或分式不等式的解法口诀：“两大写两旁，两小写中间”。 即两个一次因式之积（或商）大于0，解答在两根之外；两个一次因式之积 （或商）小于0，解答在两根之内。当然，使用口诀时，必先将各个一次因 式中X 的系数化为正数。利用口诀时，必先将各个一次因式中X 的系数化为 正数。利用这一口诀，我们就很容易写出乘积不等式（x-3）·（2x-1）＞0 的解是x＜-3 或X＞3，分式不等式＜0 的解是- 2＜x＜。这种记忆法对低年级特别适用。 2. 2.分类记忆法 遇到数学公式较多，一时难于记忆时，可以将这些公式适当分组。例如 求导公式有18 个，就可以分成四组来记：（1）常数与幂函数的导数（2 个）； （2）指数与对数函数的导数（4 个）；（3）三角函数的导数（6 个）；（4） 反三角函数的导数（6 个）。求导法则有7 个，可分为两组来记：（1）和差、 积、商复合函数的导数（4 个）；（2）反函数、隐函数、幂指数函数的导数 （3 个）。 3. 3.“四多”记忆法 要使记忆对象经久不忘，一般来说要经过多次反复的感知。“四多”即 多看、多听、多读、多写。特别是边读边默写，记忆效果更佳。例如，甲对 某组公式单纯抄写四次，乙对同组公式抄写两次然后默写（默写不出时可看 书）两次，实验证明，乙的记忆效果优于甲。 4. 4.静心记忆法 记忆要从平心静气开始，根据一定的记忆目标，找出适合于自己学习特 点的记忆方法。比如记忆环境的选择就因人而异。有人觉得早晨记忆力好； 有人感到晚上记忆力好；有人习惯于边走边读边记；有人则要在安静的环境 下记忆才好等等。不管选择何种方式记忆，都必须保持“心静”。心静才能 集中注意力记忆，心静才能形成记忆的优势兴奋中心，记忆需从静始！ 5. 5.首次记忆法 首次记忆有四种方式： （1）背诵记忆法。将运算过程和结果在理解的基础上背诵记熟，这种记 忆称为背诵记忆。比如，加法与乘法法则，两数和、差的平方、立方的展开 式等记忆都是背诵记忆。 （2）模型记忆法。有许多数学知识有它具体的模型，我们可以通过模型 来记忆。有些数学知识可有规律的列在图表内，借助于图表来记忆，这些记 忆都称模型记忆。 （3）差别记忆法。有些数学知识之间有许多共性，少数异性。要记住它
辅助角公式sin cos )a b θθθ?+=+的推导 在三角函数中，有一种常见而重要的题型,即化sin cos a b θ θ+为一个角的 一个三角函数的形式,进而求原函数的周期、值域、单调区间等.为了帮助学生记 忆和掌握这种题型的解答方法,教师们总结出公式sin cos a b θ θ+ ＝ )θ?+或sin cos a b θθ+ cos()θ?-，让 一．教学中常见的的推导方法 教学中常见的推导过程与方法如下 1.引例 例1 求证 α+cos α=2ｓｉｎ(α+6π)=２cos(α－3 π )． 其证法是从右往左展开证明,也可以从左往右“凑”，使等式得到证明,并得出 结论： 可见 , α＋cos α可以化为一个角的三角函数形式. 一般地,a ｓin θ+bcos θ 是否可以化为一个角的三角函数形式呢? 2.辅助角公式的推导 例2 化sin cos a b θ θ+为一个角的一个三角函数的形式. 解: asin θ＋bc ｏｓθ sin θ cos θ）, ① =ｃos ? =s ｉn ?, 则ａsin θ+bco ｓθ ｉn θco ｓ?+ｃos θsi ｎ?) ｎ（θ+?）,(其中tan ?=b a ) ② =sin ? ＝c ｏｓ?,则asin θ＋b ｃo ｓ θ ｓin θs ｉn ?＋c ｏｓθcos ?) ｏ s(θ-?)，（其中tan ?=a b )
其中?的大小可以由ｓin ?、ｃo ｓ?的符号确定?的象限,再由tan ?的 值求出.或由tan ?＝b a 和（a ，b)所在的象限来确定． 推导之后,是配套的例题和大量的练习． =co ｓ ? =s ｉｎ??让学生费解.二是这种 “规定”式的推导,学生难记 易忘、易错！ 二．让辅助角公式sin cos a b θ θ+ )θ?+来得更自然 能否让让辅助角公式来得更自然些？这是我多少年来一直思考的问题.2０0９年春.我又一次代2008级学生时，终于想出一种与三角函数的定义衔接又通俗易懂的教学推导方法. 首先要说明，若a=0或b=0时,sin cos a b θ θ+已经是一个角的一个三角函 数的形式，无需化简.故有ａb ≠0. １.在平面直角坐标系中,以a 为横坐标,b 为纵坐标描一点P(a,b ）如图1所示，则总有一个角?,它的终边经过点P.设OP=ｒ 由三角函数的定义知 sin ?＝b r co ｓ? =a r = . 所以ａs ｉn θ+bco ｓθ ? si ｎθ ｉn ?c ｏs θ )θ?+.(其中ｔan ?=b a ) 2．若在平面直角坐标系中,以b 为横坐标,以a 为纵坐标可以描点P （ｂ，ａ),如图2所示，则总有一个角?的终边经过点Ｐ（b ，a),设OP=r,则 由
内插法计算公式 内插法计算公式 1、X1、Y1为《建设工程监理与相关服务收费标准》附表二中计费额的区段值；Y1、Y2为对应于X1、X2的收费基价；X为某区段间的插入值道；Y为对应于X由插入法计算而得的收费基价。 2、计费额小于500万元的，以计费额乘以3.3%的收费专率计算收费基价； 3、计费额大于1,000,000万元的，以计费额乘以1.039%的收费率计算收费基价。 【例】若计算得计费额为600万元，计算其收费基价属。 根据《建设工程监理与相关服务收费标准》附表二：施工监理服务收费基价表，计费额处于区段值500万元（收费基价为16.5万元）与1000万元（收费基价为30.1万元）之间，则对应于600万元计费额的收费基价： 内插法（Interpolation Method） 什么是内插法 在通过找到满足租赁交易各个期间所支付的最低租金支付额及租赁期满时租赁资产估计残值的折现值等于租赁资产的公平价值的
折现率，即租赁利率的方法中，内插法是在逐步法的基础上，找到两个接近准确答案的利率值，利用函数的连续性原理，通过假设关于租赁利率的租赁交易各个期间所支付的最低租金支付额及租赁期满时租赁资产估计残值的折现值与租赁资产的公平价值之差的函数为线性函数，求得在函数值为零时的折现率，就是租赁利率。 内插法原理 数学内插法即“直线插入法”。其原理是，若A(i1,b1),B(i2,b2)为两点，则点P（i,b)在上述两点确定的直线上。而工程上常用的为i在i1,i2之间，从而P在点A、B之间，故称“直线内插法”。 数学内插法说明点P反映的变量遵循直线AB反映的线性关系。 上述公式易得。A、B、P三点共线，则 (b-b1)/(i-i1)＝（b2-b1)/(i2-i1)=直线斜率，变换即得所求。 内插法的具体方法 求得满足以下函数的两个点，假设函数为线性函数，通过简单的比例式求出租赁利率。 以每期租金先付为例，函数如下： A表示租赁开始日租赁资产的公平价值； R表示每期租金数额； S表示租赁资产估计残值； n表示租期； r表示折现率。 通过简单的试错，找出二个满足上函数的点（a1，b1）（a2，b2），
辅 助 角 公 式 专 项 训 练（主观题安徽2012高考数学） 1.已知函数1()sin cos 44f x x x = -。 （1）若5cos 13x =-，,2x ππ??∈???? ，求()f x 的值； （2）将函数()f x 的图像向右平移m 个单位，使平移后的图像关于原点对称，若0m π<<，求m 的值。 2.已知函数211()sin 2sin cos cos sin()222 f x x x π???=+-+(0)?π<<，其图像过点1(,)62π。 (1)求的?值； (2)将()y f x =的图像上各点的横坐标缩短到原来的12 ，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图像，求函数()y g x =在区间0, 4π??????上的最值。 3.已知函数()2cos sin()32 f x x x π =+-。 （1）求函数()f x 的最小正周期及取得最大值时x 的取值集合； （2）求函数()f x 图像的对称轴方程。 4.已知函数2()2cos sin cos f x a x b x x =+，且(0)f =，1()42 f π=。 （1）求()f x 的单调递减区间； （2）函数()f x 的图像经过怎样的平移才能使所得图像对应的函数成为奇函数？
5.设22()cos()2cos ,32 x f x x x R π=++∈。 （1）求()f x 的值域；（2）求()f x 的对称中心。 6.已知()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ =-+-+。 （1）求函数()f x 的最小正周期和图像的对称轴方程； （2）求函数()f x 在区间,122ππ??- ????上的值域。 7.已知函数11()cos()cos(),()sin 23324 f x x x g x x ππ=+-=-。 （1）求()f x 的最小正周期； （2）求函数()()()h x f x g x =-的最大值，并求使()h x 取得最大值的x 的集合。 8.设2()sin()cos 1468f x x x πππ =--+，若函数()y g x =与()y f x =的图像关于直线x=1对称，求当40,3 x ??∈????时，()y g x =的最大值。 9.已知函数2()2cos 2sin 4cos f x x x x =+-。 （1）求()3 f π 的值；（2）求()f x 的最值。 10.已知向量(sin ,cos )m A A =r ，1)n =-r ，1m n =r r g ，且A 为锐角。 （1）求角A 的大小；（2）求函数()cos 24cos sin ()f x x x A x R =+∈的值域。
辅助角公式 一、教学目标 1、会将ααcos sin b a +（a 、b 不全为零）化为只含有正弦的一个三角比的形式 2、能够正确选取辅助角和使用辅助角公式 二、教学重点与难点 辅助角公式的推导与辅助角的选取 三、教学过程 1、复习?引入 两角和与差的正弦公式 ()sin αβ+=_________________________________ ()sin αβ-=_________________________________ 口答：利用公式展开sin 4πα??+ ??? =_____________________ 反之, αα 化简为只含正弦的三角比的形式，则可以是αα=_____________________________ 尝试：将以下各式化为只含有正弦的形式，即化为)sin(βα+A ()0A >的形式 （1 1cos 2 αα+ （2 ）sin αα 2、辅助角公式?推导 对于一般形式ααcos sin b a +（a 、b 不全为零），如何将表达式化简为只含有正弦的三角比形式？ sin cos )) a b αααααβ+==+ 其中辅助角β 由cos sin ββ?=????=?? β（通常πβ20<≤）的终边经过点(,)a b ------------------我们称上述公式为辅助角公式，其中角β为辅助角。
3、例题?反馈 例１、试将以下各式化为)sin(βα+A ()0A >的形式. （11cos 2αα- （2）ααcos sin + （3αα （4）ααcos 4sin 3- 例2、试将以下各式化为)sin(βα+A （),[,0ππβ-∈>A ）的形式. （1）sin cos αα- （2）ααsin cos - （3）cos αα- 例3、若sin(50)cos(20)3x x +++=，且0360x ≤<，求角x 的值。 例42)cos()12123x x ππ+ ++=，且 02 x π-<<，求sin cos x x -的值。 4、小结?思考 （1）公式()sin cos a b αααβ++中角β如何确定? （2）能否会将ααcos sin b a +（a 、b 不全为零）化为只含有余弦的 一个三角比的形式？ 5、作业布置 (1)3cos 66ππαα????+-+ ? ????? =________________（化为)sin(βα+A ()0A >的形式） (2) 、关于x 的方程12sin x x k =有解，求实数k 的取值范围。 (3)、已知46sin 4m x x m -=-，求实数m 的取值范围。 (4)、利用辅助角公式化简： ()sin801cos50??? 四、教学反思
辅助角公式 集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988）
推导 对于f(x)=asinx+bcosx(a>0)型函数，我们可以如此变形 ，设点(a,b)为某一角φ(-π/2<φ<π/2)终边上的点，则 ，因此 就是所求辅助角公式。 又因为 ，且-π/2<φ<π/2，所以 ，于是上述公式还可以写成 该公式也可以用余弦来表示（针对b>0的情况） ，设点(b,a)为某一角θ(-π/2<θ<π/2)终边上的点，则 ，因此 同理， ，上式化成 若正弦和余弦的系数都是负数，不妨写成f(x)=-asinx-bcosx，则 再根据 得 记忆 很多人在利用辅助角公式时，经常忘记反正切到底是b/a还是a/b，导致做题出错。其实有一个很方便的记忆技巧，就是不管用正弦还是余弦来表示asinx+bcosx，的位置永远是你用来表示函数名称的系数。 例如用正弦来表示asinx+bcosx，则反正切就是b/a（即正弦的系数a在分母）。如果用余弦来表示,那反正切就要变成a/b（余弦的系数b 在分母）。 疑问 为什么在推导辅助角公式的时候要令辅助角的取值范围为(-π/2,π/2)？其实是在分类讨论a>0或b>0的时候，已经把辅助角的终边限定在一、四象限内了，此时辅助角的范围是(2kπ- π/2,2kπ+π/2)(k是整数)。而根据三角函数的周期性可知加上2kπ后函数值不变，况且在(-π/2,π/2)内辅助角可以利用反正切表示，使得公式更加简洁明了。 提出者
，原名李心兰，字竟芳，号秋纫，别号壬叔。出身于读书世家，其先祖可上溯至南宋末年汴梁（今）人李伯翼。生于1811年 1月22日，逝世于1882年12月9日，人，是中国近代着名的数学家、天文学家、力学家和，创立了二次的幂级数展开式。[1]（就是现在的）他研究各种，和对数函数的幂级数展开式，这是李善兰也是19 世纪中国数学界最重大的成就。[1]在19世纪把西方近代知识翻译为中文的传播工作中﹐李善兰作出了重大贡献。他的译书也为中国近代物理学的发展起了启蒙作用。同治七年，李善兰到北京担任同文馆天文﹑算学部长﹐执教达13年之久﹐为造就中国近代第一代科学人才作出了贡献。李善兰为近代科学在中国的传播和发展作出了开创性的贡献。 继之后，李善兰成为清代数学史上的又一杰出代表。他一生翻译西方科技书籍甚多，将近代科学最主要的几门知识从天文学到植物细胞学的最新成果介绍传入中国，对促进近代科学的发展作出卓越贡献。[1] 公式应用 例1 求sinθ/(2cosθ+√5)的最大值 解：设sinθ/(2cosθ+√5)=k 则sinθ-2kcosθ=√5k ∴√[1+(-2k)2]sin(θ+α)=√5k 平方得k2=sin2(θ+α)/[5-4sin2(θ+α)] 令t=sin2(θ+α) t∈[0,1]则k2=t/(5-4t)=1/(5/t-4) 当t=1时有kmax=1 辅助角公式可以解决一些sin与cos角之间的转化 例2 化简5sina-12cosa 解：5sina-12cosa =13(5/13*sina-12/13*cosa) =13(cosbsina-sinbcosa) =13sin(a-b) 其中，cosb=5/13,sinb=12/13 例3 π/6≤a≤π/4 ,求sin2a+2sinacosa+3cos2a的最小值 解：令f(a)=sin2a+2sinacosa+3cos2a =1+sin2a+2cos2a
化一公式（第一课时） 一、教材分析 化一公式在必修4的教材中并没有出现专门的一节进行讲解，是因为化一公式的本质其实就是两角和的正弦公式的逆应用。 二、教学重点 对特殊角的化一公式的应用，两角和正弦的逆应用。知道要从系数中提出22b a +. 三、教学难点 对22b a +的探究，理解为什么要提这个出来。 四、教学过程 （一）、知识回顾引入 前面我们学习了两角和的正弦公式，大家回顾一下应该等于： αββαβαcos sin cos sin )sin(+=+ 那我们看一下 ?? ? ??+απ3sin =απαπsin 3cos cos 3sin +ααsin 21cos 23+= 则那么请同学看下面两个题应该等于多少 例一：化简下面式子 （1）=+ααcos 2 2sin 22 （2）=+ααcos 2 3sin 21 解释：第一个式子中的2 2可以看成4cos ,4sin ππ,变式后利用两角和正弦的逆应用课进行化简。第二个式子中的21和2 3可以看成3sin ,3cos ππ。 （二）、新授知识 那么现在我们来看下一个题： 例二：化简下面式子 （1）=+ααcos 2sin 2 （2）ααcos 3sin += （提示学生和例一的关系，让学生自己转化到例一去）
解答：（1）??? ??+=??? ? ??+4sin 2cos 22sin 222πααα （2）??? ??+=??? ? ??+3sin 2cos 23sin 212πααα 为什么要提2出来呢？ 因为提出来后可以在里面创造出特殊角的三角函数，是我们想要的 那么刚才的这些题我们都比较容易看出他们和特殊角之间的关系，那么如果遇到较为复杂的系数我们该提多少出来呢？ 例三：化简下面式子 =+x b x a cos sin （让学生思考并讨论） 学生讨论后指出这里应该提出22b a +，因为里面剩下的 2222,b a b b a a ++刚好 可以构一个角的正弦与余弦。 所以)sin(cos sin 22?++=+x b a x b x a ，我们把这种把两三角函数变为一个三角函数的公式称为化一公式。 由此我们就可以处理任何类似的式子了 例三：化简下面式子 =+x x cos 53sin 153 解答：先观察，把153与53的公因式53先提出来，变为x x cos sin 3+，再利用公式，提出21322=+，可以变为??? ??+=??? ? ??+6sin 56cos 21sin 2356πx x x 练习：化简下面式子： （1）x x sin 23cos 23- （2）x x cos sin 3+ （3）x x cos 4 6sin 42+ （让学生上来做并讲解） （三）总结 同学们你们来说说这节课你收获到了什么？ 1，化一公式 2，逆向思维 3，化归的思想 （四）作业 练习册
§15．5．2．1 公式法（一） 教学目标 （一）教学知识点 运用平方差公式分解因式． （二）能力训练要求 1．能说出平方差公式的特点． 2．能较熟练地应用平方差公式分解因式． 3．初步会用提公因式法与公式法分解因式．?并能说出提公因式在这类因式分解中的作用． 4．知道因式分解的要求：把多项式的每一个因式都分解到不能再分解．（三）情感与价值观要求 培养学生的观察、联想能力，进一步了解换元的思想方法． 教学重点 应用平方差公式分解因式． 教学难点 灵活应用公式和提公因式法分解因式，并理解因式分解的要求． 教学方法 自主探索法． 教具准备 投影片． 教学过程 Ⅰ．提出问题，创设情境 出示投影片，让学生思考下列问题． 问题1：你能叙述多项式因式分解的定义吗？ 问题2：运用提公因式法分解因式的步骤是什么？ 问题3：你能将a2-b2分解因式吗？你是如何思考的？ [生]1．多项式的因式分解其实是整式乘法的逆用，?也就是把一个多项式化成了几个整式的积的形式． 2．提公因式法的第一步是观察多项式各项是否有公因式，如果没有公因式，?就不能使用提公因式法对该多项式进行因式分解． 3．对不能使用提公因式法分解因式的多项式，不能说不能进行因式分解．[生]要将a2-b2进行因式分解，可以发现它没有公因式，?不能用提公因式法分解因式，但我们还可以发现这个多项式是两个数的平方差形式，所以用平方差公式可以写成如下形式：
[师]多项式的乘法公式的逆向应用，就是多项式的因式分解公式，如果被分解的多项式符合公式的条件，就可以直接写出因式分解的结果，这种分解因式的方法称为运用公式法．今天我们就来学习利用平方差公式分解因式．Ⅱ．导入新课 [师]观察平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）的项、指数、符号有什么特点？ （让学生分析、讨论、总结，最后得出下列结论） （1）左边是二项式，每项都是平方的形式，两项的符号相反． （2）右边是两个多项式的积，一个因式是两数的和，另一个因式是这两数的差． （3）在乘法公式中，“平方差”是计算结果，而在分解因式，?“平方差”是得分解因式的多项式． 由此可知如果多项式是两数差的形式，并且这两个数又都可以写成平方的形式，那么这个多项式可以运用平方差公式分解因式． 出示投影片 [做下列填空题的作用在于训练学生迅速地把一个单项式写成平方的形式．?也可以对积的乘方、幂的乘方运算法则给予一定时间的复习，避免出现4a2=（4a）2?这一类错误] 填空： （1）4a2=（）2； （2）4 9 b2=（）2； （3）0.16a4=（）2；（4）1.21a2b2=（）2； （5）21 4 x4=（）2； （6）54 9 x4y2=（）2． 例题解析： 出示投影片： [例1]分解因式 （1）4x2-9 （2）（x+p）2-（x+q） [例2]分解因式 （1）x4-y4（2）a3b-ab 可放手让学生独立思考求解，然后师生共同讨论，纠正学生解题中可能发生的错误，并对各种错误进行评析． [师生共析] [例1]（1）
21.2.2 公式法 学习目标 1、经历推导求根公式的过程，加强推理技能训练，进一步发展逻辑思维能力； 2、会用公式法解简单系数的一元二次方程； 3进一步体验类比、转化、降次的数学思想方法。 重点：用公式法解简单系数的一元二次方程； 难点：推导求根公式的过程。 导学流程 复习提问： 1、用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？ 2、用配方法解方程3x2-6x-8=0; 3、你能用配方法解下列方程吗？请你和同桌讨论一下. ax2＋bx＋c＝0(a≠0). 推导公式 用配方法解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0). 因为a≠0，方程两边都除以a，得 _____________________＝0. 移项，得x2＋x＝________， 配方，得x2＋x＋______＝______－, 即 (____________) 2＝___________ 因为a≠0，所以4 a2＞0，当b2－4 ac≥0时，直接开平方，得 _____________________________. 所以x＝_______________________ 即x＝_________________________ x＝ ( b2－4 ac≥0) 由以上研究的结果，得到了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式： 精讲点拨 利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a、b、c的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法. 合作交流
b2－4 ac为什么一定要强调它不小于0呢？如果它小于0会出现什么情况呢？ 展示反馈 学生在合作交流后展示小组学习成果。 ①当b2－4ac＞0时，方程有＿＿个＿＿＿＿＿＿＿＿的实数根；（填相等或不相等） ②当b2－4ac＝0时，方程有＿＿＿个＿＿＿＿的实数根 x ＝x2＝＿＿＿＿＿＿＿＿ 1 ③当b2－4ac＜0时，方程＿＿＿＿＿＿实数根. 深入探究：自学P36页例2，完成下列特别各题： 应用公式法解下列方程: (1) 2 x2＋x－6＝0； (2) x2＋4x＝2； (3) 5x2－4x－12＝0； (4) 4x2＋4x＋10＝1－8x. 巩固提高：完成P37页练习 课堂小结 1、一元二次方程的求根公式是什么？ 2、用公式法解一元二次方程的步骤是什么？ 达标测评 （A）1、应用公式法解方程： (1) x2－6x＋1＝0； (2)2x2－x＝6；