状态空间 零极点计算

零极点匹配法求离散
零极点匹配法是一种常用的信号处理方法，可以用于求解离散系统的频率响应。

离散系统通常由差分方程或差分方程组表示，其频率响应可以表示为有理函数的形式，即分子多项式除以分母多项式。

而零极点匹配法就是通过匹配系统的零点和极点来确定频率响应的形式和参数。

具体来说，该方法可以分为以下几个步骤：
1. 求解系统的极点和零点。

2. 将零点和极点按照一定的规则配对。

3. 根据配对结果构造系统的频率响应函数。

4. 对频率响应函数进行化简和简化，得到最终的表达式。

需要注意的是，零极点匹配法在实际应用中需要考虑到系统的稳定性和相位特性等问题，因此需要进行一定的修正和优化。

同时，该方法也可以拓展到连续系统的求解中，具有较广泛的应用价值。

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零极点增益模型一、介绍在信号处理和控制系统设计中，零极点增益模型是一个常见的数学工具，广泛用于系统分析和设计。

本文将详细介绍零极点增益模型并解释其在实际应用中的作用。

二、什么是零极点？在控制系统中，我们经常会遇到“极点”和“零点”的概念。

极点和零点是控制系统中的特殊点，它们在系统的传输函数表达式中起着重要的作用。

1. 极点极点是一个系统的不稳定或振荡的原因，其定义为系统传输函数分母为零的点。

系统中的极点通常会导致系统的不稳定性和震荡。

2. 零点零点是系统传输函数中分子为零的点。

这个点表示系统对于输入中的特定频率或信号强度的响应为零，这通常可以用于系统控制和稳定性设计中。

三、什么是零极点增益模型？零极点增益模型是用于分析和设计控制系统的一种数学模型。

该模型可以通过传输函数的极点和零点进行描述，进而简化系统分析和设计的过程。

1. 零极点的影响系统的极点和零点的数值和分布对系统的动态响应和稳态性能都有重要影响。

例如，在实现稳定的系统控制时，设计师通常会调整系统传输函数的极点，以便将系统的振荡频率和带宽放置在可控制的范围之内。

另一方面，设计师可以调整系统传输函数的零点，以实现更大的增益和更快的响应。

2. 零极点图零极点图是用于描述控制系统零点和极点的图形表示。

在零极点图中，零点通常用一个圆圈表示，极点通常用一个叉号表示。

连接所有零点的曲线称为零轨迹，连接所有极点的曲线称为极轨迹。

通过分析零极点图，设计师可以得出关于系统性能的很多信息，例如系统的相位裕度和幅值裕度等。

四、如何利用零极点增益模型设计控制系统？1. 设计步骤利用零极点增益模型设计控制系统的基本步骤如下：（1）根据系统的物理特性和需求建立控制对象的数学模型。

（2）将模型转换成系统传输函数的形式。

（3）分析系统的零点和极点，并绘制出零极点图。

（4）根据实际情况调整系统的极点和零点。

（5）根据设计要求确定合适的控制器类型和参数，并将其加入到系统中。

第一章线性定常系统的状态空间描述及运动分析1.1 线性定常系统的传递函数描述传递函数描述局部的,有局限性的描述传递函数描述的是系统的输入--输出关系,即假定对系统结构的内部信息一无所知,只能得到系统的输入信息和输出信息,系统内部结构就像一个"黑箱"一样,因此,传递函数只能刻画系统的输入--输出特性,它被称为系统的输入--输出描述和外部描述.常用的数学工具:拉普拉斯变换主要适用于描述线性定常系统1.单变量情形回顾已知由下列常系数微分方程描述的定常系统其中 : 系统的输出 ; :系统的输入; : 时间; 均为常数 ,(希望input少,收益大)假定所有初始值(包括导数的值)全为0,对上式两边取拉普拉斯变换,得到其中为的拉普拉斯变换,则下式称为系统的传递函数 :传递函数为的真有理分式,则称系统为物理能实现的. 单输入--单输出系统的传递函数必为真有理分式.系统的特征多项式: 多项式系统的特征方程 : 代数方程系统的极点 : 特征方程的根或者说特征方程的零点系统的零点 : 多项式的零点传递函数的零点和极点 : 零极相消后剩下的系统的零点和极点 (若系统有相同的零点和极点,则称系统有零极点相消)2.传递函数矩阵考察多输入--多输出的线性定常系统.令输入变量组 : {} , 输出变量组 : {} 且假定系统的初始变量为 0 .用和分别表示和的拉普拉斯变换, 表示系统的由第个输入端到第个输出端的传递函数,其中则由系统的线性属性(即满足叠加原理) 可以导出:称由上式所定义的为系统的传递函数矩阵. 容易看出, 为的一个有理分式矩阵. 当的元传递函数除严格真还包含真有理分式时,即它的一个或一些元传递函数中分母和分子多项式具有相等的最高幂次时,称为真有理分式矩阵.通常,当且仅当为真的或严格真的时,它才是物理上可实现的.作为一个判别准则,当且仅当零阵时, 为严格真的;非零常阵传递函数矩阵为真的.1.2 线性定常系统的状态空间描述1. 状态和状态空间定义1.1 动力学系统的状态定义为完全的表征系统时间域行为的一个最小内部变量组.组成这个变量组的变量称为系统的状态变量,其中为初始时刻由初始变量构成的列向量称为系统的状态向量,简称为状态.状态空间则定义为状态向量取值的一个向量空间.几点解释:1. 状态向量组可完全的表征系统行为的属性.2. 状态变量组的最小性.3. 状态变量组在数学上的特征.4. 状态变量组包含了系统的物理特征.5. 状态变量组选取上的不唯一性定理1.1 系统任意选取的两个状态变量组之间为线性非奇异的关系2.动态系统的状态空间描述和输入--输出描述不同,状态空间描述中把系统动态过程的描述考虑为一个更加细致的过程,输入引起系统状态的变化,而状态和输入则决定了输出的变化."输入"引起"状态"的变化 ( 一个运动的过程)数学上必须采用微分方程或差分方程来表征并且称这个数学方程为系统的状态方程考虑最为一般的连续动态过程: (一个一阶非线性时变微分方程组)进而,在引入向量表示的基础上,还可将状态方程简洁的表示为向量方程的形式:其中"状态"和"输入"决定"输出"的变化 (一个变量见的转换过程)描述这种转换过程的数学表达式为变换方程,并且称之为系统的输出方程或量测方程.最一般的,一个连续的动力学系统的输出方程具有以下形式:表示为向量方程的形式为其中系统的状态空间描述由状态方程和输出方程组成.离散动态过程(离散系统)的状态空间的描述: 只在离散时刻取值,用来表示其状态空间过程描述只反映离散时刻的变量组间的因果关系和转换关系.通常,可采用两条可能的途径来组成系统的状态空间描述:一是分析途径,适用于结构和参数已知的系统;二是辨识的途径,适用于结构和参数难于搞清楚的系统.3.线性定常系统的状态空间描述限于考虑线性定常系统的连续动态过程,此时,向量函数将都具有线性的关系,且不显含时间 .从而线性定常系统的状态空间描述的表达式为其中维状态向量维控制输入向量维输出向量系统矩阵输入矩阵输出矩阵前馈矩阵以上统称为系统的系数矩阵,均为实常阵.线性定常系统也叫做线性时不变系统(linear time-invariant L TI),完全由系数矩阵决定.简记为.对于线性定常系统,我们分别称系统矩阵的特征值,特征向量,若尔当标准型,特征方程,特征多项式为系统的特征值,特征向量,若尔当标准型,特征方程,特征多项式,系统的特征值也称作系统的极点.若,则此系统为单输入线性定常系统;若,此系统为单输出线性定常系统;若,此系统为单输入--单输出系统,或单变量系统.考虑线性定常离散系统的状态空间描述,其一般形式为其中维状态向量维控制输入向量维输出向量阶实常系数矩阵简记为1.3 输入输出描述导出状态空间描述------------- 系统的实现问题(第五章详解)考虑单输入--单输出线性定常系统.表征此系统动态过程的输入-输出描述,时域为或等价的频域描述即传递函数其中和分别表示和的拉普拉斯变换对于由上式描述的系统,可以引进状态变量 ,将其写成状态空间描述形式,其中为维状态变量分别为的常矩阵由"上"写成"下",称为实现问题,实现不具有唯一性1. 当时,有如下结论:定理1.2 给定单输入--单输出线性定常系统的输入输出描述如"上",当时,其对应的一个状态空间描述为:2. 当时,已知"上"求其状态空间描述.先求极限然后令为严格真,直接按的形式写出即可.3. 当时, 此时输入输出关系为此时状态空间描述形式为:1.4 由状态空间描述导出的传递函数矩阵对于多输入--多输出线性定常系统,传递函数矩阵是表征系统输入输出特性的最基本的形式.1. 传递函数矩阵的表示的基本表达式定理1.3 对应于状态空间描述的传递函数矩阵为并且 ,当时, 为真的 , 时, 为严格真的,且有2.的实用关系式有给出的关系式在理论分析上很重要,但从计算的角度而言不方便,下面给出由计算的两个实用算式.定理1.4 给定状态空间描述的系数矩阵 , 求出则相应的传递函数矩阵可表示为注: 的根 : 系统的极点 ; 分子的根 : 系统的零点推论1.1 若的最小多项式为则系统的传递函数矩阵可表示为2. 脉冲响应矩阵和状态空间描述定理1.11 线性定常系统其中的实常阵的脉冲响应矩阵为将其写作更为常用的形式定理1.12 两个代数等价的线性定常系统具有相同的脉冲响应矩阵.定理1.13 两个代数等价的线性定常系统具有相同的输出零状态响应和输出零输入响应.3. 脉冲响应矩阵和传递函数矩阵定理1.14 分别表示线性定常系统的脉冲响应矩阵和传递函数矩阵,则有推论1.2 给定两个线性定常系统 ,设两者都具有相同的输入和输出维数,状态维数不一定相同,则两系统具有相同的脉冲响应矩阵(即相同的传递函数矩阵)的充要条件为1.8 线性定常离散系统的运动分析归结为对定常的线性差分方程进行求解.1. 线性定常离散系统的运动规律对于上述系统,其状态运动的表达式为或2. 脉冲传递函数矩阵取初始状态 , 则可得到系统的输入输出关系式为其中为线性定常离散系统的传递函数矩阵, 按习惯称为脉冲传递函数矩阵.G(z) 为 z 的有理分式矩阵,通常只讨论其为真的或严格真的情况,此时 G(z) 为物理可实现的. 1.9 线性定常系统的时间离散化1. 问题的提出把连续时间系统化为等价的离散时间系统的问题. (课本P22 或百度文库)2.线性定常系统按采样周期T的离散化线性定常系统引入三点基本假设,以保证系统离散化后的描述简单,且是可复原的1. 采样器的采样方式取为以常数 T 为周期的等间隔采样. 采样瞬时为2. 保持器为零阶的.3. 采样周期的值要满足香农(Shannon)采样定理所给出的条件香农定理:离散信号可以完满地复原为原来的连续信号的条件为采样频率满足.考虑到 , 故上式可化为定理1.15 上述系统的时间离散化模型为其中注 :定理1.15提供了线性定常连续系统时间离散化的算法, 离散化系统仍为定常系统.不管A是否奇异,离散化后系统矩阵G一定是非奇异的.。

同批工件间同时到达的耦合关系？工件本来是一个个到达，如C-C+1-C+2，但考虑为批次同时到达，C 可以直接到C+2;基于更新过程的关键更新定理，将小车与B2、B4间的耦合关系用节点间的批量到达速率、批量离开速率变化替代？B2的输出与B4的输入之间相互依赖 节点二：两次小车装载之间通常会有多个工件到达B2，在小车两次到达的间隔中B2内的工件数量曲线是单调非减的。

因此，实际上小车回到B2时B2拥有的工件数量的期望（锯齿的上尖点）远远比稳态后（稳态后不变，中间水平线）计算的期望要大 节点四：实际上小车来到B4时B4拥有的工件数量的期望远远比稳态后计算的期望要小，当小车容量C 越大、小车速度越慢（保持当量运载能力不变）的时候这个偏差越明显，这样将提高小车由于阻塞停留在B4处的计算概率（实际堵塞概率比计算值要小），降低前环节的处理能力。

平均在制品数量：()()()()()121112223331122334444444441112123,,,01011111C4,,2011WIP=;N N CS w b S w b S w b b w b w b w N i S w b S w b w w P w P w P w Pw P N +======+===⨯+⨯+⨯+⨯+⨯∑∑∑∑∑∑∑∑∑第4项改为乘以W4;第五项(节点四在制品数期望)就是小车阻塞的概率乘以节点4的个数（N4+1）状态之间的转换速率：存在概率路径，则用概率路径乘以速率，不存在概率路径，则直接用速率。

实际上概率路径之和一定=11i b =-0i b =1i b =2i b =B2B4节点3：2C+2个状态对应2C+2个方程右边第一项：上标为W3，漏了V ，第二项是只可能是从小车上只有一个变为空车返回状态右边VP3load （0）=VP2(0)，节点2空闲节点S3(1,1)-与S(i ，1)的状态平衡方程不一样，所以要分开写: 首先不是0个，并且只是1个，所以概率累乘；一出两进 如果运输2个或以上，则不可能经过状态S3(0,-1) C-1出C-1进上述两式合并？1<=i<=C 节点三2C+2个方程 V ，u4已知 需要求P式中，()333,S w b P 为系统稳态后，节点三处于状态 ()33,w b 的概率；V 为小车从B2到B4的运载速率，同时也是B4到B2的空车返回速率；λ2*为B2的到达速率()()1*21121P0PV 1PB μλ⨯---=；P01,PV1分别表示W1处于空闲与阻塞的概率而此时B2不可能处于堵塞状态，所以分母为1-阻塞的概率 μ4*为W4的加工速率*44μμ=；(3,4)(,)i i PB w w k -为当小车将i w 个工件运达B4时，B4的剩余空间为k 的概率。

第2章 状态空间表达式的解第1节 线性定常齐次状态方程的解线性定常齐次状态方程0(0)x Ax x x ==的解为0()Atx t e x = (0)t > 式中，22()2!!kAt k tAt e I At A k ∞∆==+++=∑ 证明：用拉普拉斯变换法。

对 x A x = 作拉氏变换，得0()()s X s x AX s -=10()()X s sI A x -=-110()[()]x t L sI A x --=-因为 223111()()sI A I A A I s s s -+++=故 1223111()sI A I A A s s s --=+++12023111()[]x t L I A A x s s s-=+++ 2201()2!I At A t x =+++0Ate x =顺便可知])[(11---=A sI L eAt第2节 矩阵指数函数Ate1、Ate 的定义和性质（1）定义22()2!!kAtk tAt e I At A k ∞==+++=∑ 式中 A —线性定常系统系统矩阵，n n ⨯阶；Ate —矩阵指数函数，n n ⨯阶时变矩阵。

若A 中各元素均小于某定值，Ate 必收敛；若A 为实矩阵，Ate 绝对收敛。

（2）基本性质：◆组合性质：)(2121t t A At At ee e+=其中21,t t 为相衔接的两时间段。

推论1：I eeee A t t A t A At ===--0)()(推论2：)(1][t A At ee --=◆微分性质：A e Ae e tAt At At ==d d ◆当A 、B 两阵可交换，即 BA AB =，则tB A BtAt eee )(+=◆若1-P 存在，则P e P eAAP P 11-=-2、Ate 的计算 （1）级数计算法()!kAtk At e k ∞==∑ （2）拉氏变换法])[(11---=A sI L eAt当A 阵维数较高时，预解矩阵可采用递推法计算。

电路中零极点
在电路分析中，零极点是描述电路频率特性的重要概念。

零点是指系统函数在某个特定频率处的值为零的点，而极点则是系统函数在某个特定频率处的一阶导数为零的点。

在分析电路的频率响应时，零极点可以提供重要的信息，包括系统的稳定性、增益和相位等。

在电路中，零极点的存在会影响系统的频率响应。

具体来说，一个电路系统的传递函数可以表示为一系列的零点和极点的形式。

当输入信号的频率接近零点或极点时，系统的输出信号会受到较大的影响，可能会产生幅度跳跃、相位失真等现象。

因此，通过分析电路中的零极点，可以了解系统在不同频率下的响应特性，从而优化电路设计。

在分析电路中的零极点时，通常需要使用电路分析方法和数学工具。

例如，使用交流等效电路分析方法可以得到系统函数的具体形式，然后根据数学工具求解零极点的位置。

此外，还可以使用计算机仿真软件进行电路的频域分析和参数优化。

综上所述，零极点是描述电路频率特性的重要概念，通过分析零极点的位置和特性，可以深入了解电路在不同频率下的响应特性，优化电路设计，提高系统的性能。

现代控制理论实验院系：计算机与电子信息学院班级：电气09-1姓名：学号:指导老师：禹柳飞实验一线性控制系统状态空间法分析第一部分线性控制系统状态空间模型的建立及转换一、实验目的1 掌握线性控制系统状态空间模型的建立方法。

2 掌握MATLAB中的各种模型转换函数。

二、实验项目1 已知系统的传递函数求取其状态空间模型。

2 MATLAB中各种模型转换函数的应用。

3 连续时间系统的离散化。

三、实验设备与仪器1、计算机2、MATLAB软件四、实验原理及内容（一）系统数学模型的建立1、传递函数模型—tf功能：生成传递函数，或者将零极点模型或状态空间模型转换成传递函数模型。

格式：G=tf(num,den)其中，（num,den）分别为系统的分子和分母多项式系数向量。

返回的变量G为传递函数对象。

【例】：已知G（S）=错误！未找到引用源。

用MA TLAB语句将上述传递函数表示出来。

编程如下：num=[2 9]；den=[1 2 4 6];Sys=tf(num,den)MATLAB中运行结果如下图所示：2、状态方程模型—ss功能：生成状态方程，或者将零极点模型或传递函数模型转换成状态方程模型。

格式：G=ss(A,B,C,D)其中，A,B,C,D分别为状态方程的系统矩阵、输入矩阵、输出矩阵和前馈矩阵。

【例】：已知系统状态空间模型为编程如下：>>A=[0 1;-1 -2];>>B=[0;1];>>C=[1,3]; D=1];>>G=ss(A,B ,C ,D)运行结果如下图：3、零极点模型—zpk功能：生成零极点模型，或将状态方程模型或传递函数模型转换成零极点模型。

格式：G=zpk(z, p, K)其中，z,p,K分别表示系统的零点、极点和增益。

【例】：G(s)=6（s+3）/（s+1）（s+2）（s+5）使用MATLAB 语句将上述零极点增益模型表示出来。

编程如下：z=[-3];p=[-1,-2,-5];k=[6];G=zpk(z,p,k)（二）连续时间系统离散化函数名称：c2d格式：G=c2d(G1,Ts)，其中Ts 为采样周期。

psrr波形与极点零点
PSRR（Power Supply Rejection Ratio）是一个衡量电源抑制比的参数，它描述了放大器在输入电源变化时输出的变化程度。

PSRR通常以分贝（dB）为单位表示，计算公式如下：
\[PSRR(dB)=20\cdot\log_{10}\left(\frac{\Delta V_{\text{in}}}{\Delta
V_{\text{out}}}\right)\]
其中，\(\Delta V_{\text{in}}\)是输入电源的变化，\(\Delta V_{\text{out}}\)是输出的变化。

在电子电路中，特别是放大器电路，为了更好地理解PSRR，我们通常会绘制PSRR波形图。

这个图形显示了放大器在不同频率下对电源变化的敏感性。

极点（poles）和零点（zeros）则是用于描述系统或电路的频率响应的概念。

极点和零点是传递函数的根，它们对应于导致传递函数为零或无穷大的频率。

在极点零点分析中，可以通过计算传递函数的极点和零点来了解系统的频率响应。

这些极点和零点的位置直接影响系统的稳定性和频率特性。

在设计放大器电路时，分析极点和零点有助于理解系统的动态行为。

综合来看，PSRR波形是描述放大器对电源变化敏感性的图形，而极点零点分析是用于了解系统频率响应的工具，两者都是电子电路设计中重要的概念。