二次根式方法总结大全

二次根式运算公式大全哎呀，说起二次根式运算公式，我那心里头就跟吃了蜜似的甜啊。

这个公式啊，就像我小时候的那块糖，一想到它，嘴角就忍不住往上扬。

咱们先来回顾一下，二次根式的定义吧，就是根号下面带个x²，再往上加个负号或者正号。

哎呀，这个公式啊，其实就像是数学界的哆啦A梦，总能给你带来惊喜。

首先，我要说，最基础的二次根式运算公式，就是开方。

比如，根号下9，哎呀，这个简单，不就是3嘛。

再比如，根号下16，这不就是4嘛，4²就是16。

哎呀，这个开方啊，就像是魔术一样，一眨眼就把复杂的数字变简单了。

然后，咱们来说说平方根。

这个啊，就像是二次根式的“亲爹亲妈”，它可是非常关键。

比如说，我要找根号下25的平方根，哎呀，这还用说嘛，5嘛。

再比如，我要找根号下144的平方根，这不就是12嘛，12²就是144。

哎呀，这个平方根啊，就像是数学界的孙悟空，能七十二变，什么问题都能解决。

接下来，咱们来说说二次根式的乘除法。

这个啊，就像是二次根式的“好帮手”，它可以帮助我们解决很多问题。

比如说，我要计算根号下8乘以根号下2，哎呀，这不就是根号下16嘛，16的平方根就是4。

再比如，我要计算根号下27除以根号下9，哎呀，这不就是根号下3嘛。

这个乘除法啊，就像是数学界的哆啦A梦，有什么问题都能帮你解决。

最后，咱们来说说二次根式的加减法。

这个啊，就像是二次根式的“好朋友”，它可以帮助我们解决很多问题。

比如说，我要计算根号下5加根号下5，哎呀，这不就是2根号下5嘛。

再比如，我要计算根号下18减去根号下9，哎呀，这不就是根号下9嘛。

这个加减法啊，就像是数学界的孙悟空，有什么问题都能帮你解决。

哎呀，说了这么多，其实二次根式运算公式大全，就像是数学界的百科全书，它可以帮助我们解决很多问题。

只要我们掌握了这些公式，就像是有了哆啦A梦，孙悟空这样的好帮手，还有什么问题能难倒我们呢？哎呀，我都要开心得跳起来了！。

二次根式知识点总结二次根式是高中数学中重要的知识点之一，它在解决一元二次方程、求解勾股定理以及图形的面积计算等问题中起到了重要的作用。

本文将对二次根式的定义、性质以及相关的数学运算进行总结，并探讨其在实际问题中的应用。

一、二次根式的定义二次根式是指形如√a的代数式，其中a为非负实数。

它可以表示为一个单独的根号表达式，也可以是两个或多个二次根式之间的运算。

二、二次根式的性质1. 二次根式与有理数的关系：二次根式可以是有理数或无理数。

当根号内的数可以化简为有理数时，二次根式即为有理数；否则，二次根式为无理数。

2. 二次根式的相等性：两个二次根式相等的条件是它们的被开方数相等。

3. 二次根式的大小比较：对于非负实数a和b，若a > b，则有√a >√b。

4. 二次根式的运算性质：对于非负实数a和b，有以下运算性质：- 加法：√a + √b = √(a + b)- 减法：√a - √b = √(a - b)，其中a ≥ b- 乘法：√a * √b = √(a * b)- 除法：√a / √b = √(a / b)，其中b ≠ 0三、二次根式的化简当二次根式存在可以化简的情况时，可以通过以下方法进行化简：1. 提取因子法：将根号内的数分解为两个数的乘积，其中一个数是完全平方数，并提取出完全平方数的根号作为整体。

2. 有理化分母法：对于含有二次根式的分数，可以通过有理化分母的方法化简，即将分母有理化为一个有理数或二次根式。

四、二次根式的应用1. 解一元二次方程：一元二次方程的形如ax^2 + bx + c = 0，其中a ≠ 0。

通过二次根式的求解方法，可以求得方程的解，并通过图像分析得到方程的根的性质。

2. 求解勾股定理：在平面几何中，勾股定理是指在直角三角形中，直角边的平方等于两个其他边的平方之和。

通过二次根式的运算，可以准确计算出直角三角形的边长。

3. 计算图形的面积：在几何问题中，经常需要计算图形的面积，而某些图形的面积计算涉及到二次根式。

二次根式的知识点总结关于二次根式的知识点总结二次根式的知识点总结篇11．二次根式：一般地，式子a,(a0)叫做二次根式。

注意：（1）若a0这个条件不成立，则xx（2）是一个重要的非负数，即；a≥0，a不是二次根式；2．重要公式：（1）(a)2a(a0),（2）a2aa(a0)；注意使用a()(a0)a(a0)3．积的算术平方根：abab(a0,b0)，积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积；注意：本章中的公式，对字母的取值范围一般都有要求。

4．二次根式的乘法法则：abab(a0,b0)。

5．二次根式比较大小的方法：（1）利用近似值比大小；（2）把二次根式的系数移入二次根号内，然后比大小；（3）分别平方，然后比大小。

6．商的算术平方根：式的算术平方根。

7．二次根式的除法法则：（1）a(a0,b0)；baa(a0,b0)，商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除bb；（2）abab(a0,b0)；（3）分母有理化：化去分母中的根号叫做分母有理化；具体方法是：分式的分子与分母同乘分母的有理化因式，使分母变为整式。

8．常用分母有理化因式：a与a，b与ab，mnb与manb，它们也叫互为有理化因式。

9．最简二次根式：（1）满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。

①被开方数的因数是整数，因式是整式。

②被开方数中不含能开的尽的因数或因式。

（2）最简二次根式中，被开方数不能含有小数、分数，字母因式次数低于2，且不含分母。

（3）化简二次根式时，往往需要把被开方数先分解因数或分解因式。

（4）二次根式计算的最后结果必须化为最简二次根式。

10．二次根式化简题的几种类型：（1）明显条件题；（2）隐含条件题；（3）讨论条件题。

11．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。

12．二次根式的混合运算：（1）二次根式的混合运算包括加、减、乘、除、乘方、开方六种代数运算，以前学过的，在有理数范围内的一切公式和运算律在二次根式的混合运算中都适用。

二次根式【知识回顾】1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。

2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。

3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。

4.二次根式的性质：（1）（a ）2=a （a ≥0）； （2）==a a 25.二次根式的运算：（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术平方根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．（a≥0，b≥0）；=（b≥0，a>0）． （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．a （a ＞0）a -（a ＜0）0 （a =0）；【典型例题】1、概念与性质例1、下列各式1）-，其中是二次根式的是_________（填序号）．例2、求下列二次根式中字母的取值范围（1）xx--+315；（2）22)-(x例3、在根式1) ，最简二次根式是（）A．1) 2) B．3) 4) C．1) 3) D．1) 4)例4、已知：的值。

求代数式22,211881-+-+++-+-=xyyxxyyxxxy例5、已知数a，b，若=b－a，则( )A. a>bB. a<bC. a≥bD. a≤b2、二次根式的化简与计算例1. 将根号外的a 移到根号内，得 ( )A. ；B. －；C. －；D.例2. 把（a －b ）－1a －b 化成最简二次根式例3、计算：例4、先化简，再求值：11()b a b b a a b ++++，其中a=512，b=512．例5、如图，实数a 、b 在数轴上的位置，化简 ：222()a b a b ---4、比较数值 （1）、根式变形法当0,0a b >>时，①如果a b >>a b <<例1、 比较与（2）、平方法当0,0a b >>时，①如果22a b >，则a b >；②如果22a b <，则a b <。

⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2a a a a a a 二次根式知识方法题型总结一、本章知识内容归纳1.概念：①二次根式——形如 的式子；当 时有意义，当 时无意义；②最简二次根式——根号中不含 和 的二次根式；③同类二次根式—— 的二次根式；2.性质：①)0(0≥≥a a 非负性; ②)0()(2≥=a a a ;③ (字母从根号中开出来时要带绝对值 再根据具体情况判断是否需要讨论)3.运算: 运算结果每一项都是最简二次根式，且无可合并的同类二次根式.①乘法和积的算术平方根可互相转化:)0,0(≥≥=⋅b a ab b a ;②除法和商的算术平方根可互相转化:)0,0(>≥=b a ba b a③加减法：先化为最简二次根式，然后合并同类二次根式；④混合运算：有理式中的运算顺序，运算律和乘法公式等仍然适用；⑤乘法公式的推广：)0,.....0,0(...............21321321≥⋅≥⋅≥⋅⋅⋅=⋅⋅⋅n n n a a a a a a a a a a a 二、本章常用方法归纳方法1.开方 ①偶数次方：a a n n =2； ②奇数次方：a a a n n ⋅=+12方法2.分母有理化：①概念：分母有理化就是通过 使得其中 叫做该分母的有理化因式；②常用的有理化因式：a 与a 、b a +与b a -、b a +与b a -互为有理化因式；③分母有理化步骤：先将二次根式尽量化简，找分母最简有理化因式；将计算结果化为最简二次根式的形式。

方法3. 非0的二次根式的倒数①a 的倒数：a aa a ==11（a>0）; ②b a 的倒数：a b（a>0, b>0）; ③※因为=-+++)1)(1(n n n n ， 所以)1(n n ++的倒数为 ；方法4.利用“”外的因数化简“” ①a a aa a ==1)0(≥a ； ②)0,0(2≥≥=b a b a b a ；三、本章典型题型归纳（一）二次根式的概念和性质1．x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？（1）2+x －x 23-；（2）x -－11+x ；（3）2||12--x x ；2．若x 、y 为实数，y ＝2-x ＋x -2＋3．则y x =3．根据下列条件，求字母x 的取值范围：（1）3)3(2+=+x x ； （2）x x -=2；（3）122+-x x ＝1－x ； （4）※22)3()2(-+-x x ＝1 ；4．已知12-a ＋a b 2-＋c b a ++＝0．则a= , b= , c= .5.已知()039322=+-+-x x y x ，则11++y x =______________6．在实数范围内因式分解：x 4－4＝______________．7．已知a,b,c 为三角形的三边， 则222)()()(a c b a c b c b a -++--+-+=8.若最简二次根式1452+x 与最简二次根式164-x 可以合并，则x 的取值为 ※9．已知a<0，化简二次根式b a 3- =※10．把mm 1-根号外的因式移到根号内，得 （二）二次根式的运算11．乘除法口算：（1）61 （3）8517÷= （5）312=（2）81= （4）322= （6）y x 5= （9）33= （11）326-= （8）y x xy 3212÷= （10）26= （12）b b2142= （15）)25(122)341(-÷⋅-= 12. 计算：（能简算的要简算）（1）0(π1)123+-+-． （2）8＋(－1)3－2×22(3) 2484554+-+(5) x xx x 3)1246(÷-(8)62332)(62332(+--+）（11）673)32272(-⋅++※(12) 21418122-+- 3的整数部分是a ，小数部分是b ，则=-b a 314．在数轴上与表示3的点的距离最近的整数点所表示的数是___________15．若一个正方体的长为cm 62，宽为cm 3，高为cm 2，则它的体积为 3cm .※16．23231+-与的关系是17．甲、乙两人对题目“化简并求值：21122-++a a a ，其中51=a ”有不同的解答： 甲的解答：549211)1(1211222=-=-+=-+=-++a a a a a a a a a a a ， 乙的解答：5111)1(1211222==-+=-+=-++a a a a a a a a a a 。

二次根式知识点总结王亚平1. 二次根式的概念二次根式的定义： 形如)0(≥a a 的式子叫二次根式，其中a 叫被开方数，只有当a 是一个非负数时，a 才有意义．2. 二次根式的性质1. 非负性：)0(≥a a 是一个非负数．注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到． 2.)0()(2≥=a a a注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：)0()(2≥=a a a 3. ⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2a a a a a a 注意：（1）字母不一定是正数． （2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．3. 最简二次根式和同类二次根式1、最简二次根式：（1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或2、同类二次根式（可合并根式）：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式4. 二次根式计算——分母有理化1．分母有理化定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。

2．有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。

有理化因式确定方法如下：①单项二次根式：利用a a a =⋅来确定，如：a 与a ，b a +与b a +，b a -与b a -等分别互为有理化因式。

②两项二次根式：利用平方差公式来确定。

如b a +与b a -，b a +与b a -，y b x a +与y b x a -分别互为有理化因式。

3．分母有理化的方法与步骤：①先将分子、分母化成最简二次根式；②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；5. 二次根式计算——二次根式的乘除1．积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。

)0,0(≥≥⋅=b a b a ab2．二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。

二次根式的知识点总结关于二次根式的知识点总结导语：一般地，形如√a的代数式叫做二次根式，其中，a 叫做被开方数。

当a≥0时，√a表示a的算术平方根；当a小于0时，√a的值为纯虚数。

以下是小编整理关于二次根式的知识点总结，以供参考。

1．二次根式：一般地，式子a,(a0)叫做二次根式.注意：（1）若a0这个条件不成立，则（2）是一个重要的非负数，即；a ≥0. a不是二次根式；2．重要公式：（1）(a)2a(a0),（2）a2aa(a0) ；注意使用a()(a0). a(a0)3．积的算术平方根：abab(a0,b0)，积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积；注意：本章中的公式，对字母的取值范围一般都有要求.4．二次根式的乘法法则：abab(a0,b0).5．二次根式比较大小的方法：（1）利用近似值比大小；（2）把二次根式的系数移入二次根号内，然后比大小；（3）分别平方，然后比大小.6．商的算术平方根：式的'算术平方根.7．二次根式的除法法则：（1）a(a0,b0)； baa(a0,b0)，商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除bb（2）abab(a0,b0)；（3）分母有理化：化去分母中的根号叫做分母有理化；具体方法是：分式的分子与分母同乘分母的有理化因式，使分母变为整式.8．常用分母有理化因式：a与a，b与ab， mnb与manb，它们也叫互为有理化因式.9．最简二次根式：（1）满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，① 被开方数的因数是整数，因式是整式。

② 被开方数中不含能开的尽的因数或因式；（2）最简二次根式中，被开方数不能含有小数、分数，字母因式次数低于2，且不含分母；（3）化简二次根式时，往往需要把被开方数先分解因数或分解因式；（4）二次根式计算的最后结果必须化为最简二次根式.10．二次根式化简题的几种类型：（1）明显条件题；（2）隐含条件题；（3）讨论条件题.11．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式.12．二次根式的混合运算：（1）二次根式的混合运算包括加、减、乘、除、乘方、开方六种代数运算，以前学过的，在有理数范围内的一切公式和运算律在二次根式的混合运算中都适用；（2）二次根式的运算一般要先把二次根式进行适当化简，例如：化为同类二次根式才能合并；除法运算有时转化为分母有理化或约分更为简便；使用乘法公式等.形如a,(a0)的式子，叫做二次根式（1）二次根式a中，被开方数必须是非负数。

第二十一章二次根式【知识要点1.二次根式：式子a（a≥0）叫做二次根式。

2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑵被开方数中不含分母；⑶分母中不含根式。

3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。

4.二次根式的性质：（1）（a）2=a（a≥0）；（2）5.二次根式的运算：（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就能够用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，•变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也能够将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．a≥0，b≥0）；=b≥0，a>0）．（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．【典型例题】1、概念与性质例1下列各式1其中是二次根式的是_________（填序号）．a（a＞0）==aa2a-（a＜0）0 （a=0）；例2、求下列二次根式中字母的取值范围（1）x x --+315；（2）22)-(x 例3、 在根式1) 222;2);3);4)275x a b x xy abc +-，最简二次根式是（ ） A ．1) 2) B ．3) 4) C ．1) 3) D ．1) 4)例4、已知：的值。

求代数式22,211881-+-+++-+-=x y y x x y y x x x y例5、 （2009龙岩）已知数a ，b ，若2()a b -=b －a ，则 ( )A. a>bB. a<bC. a≥bD. a≤b2、二次根式的化简与计算例1. 将根号外的a 移到根号内，得 ( )A. ；B. －；C. －；D.例2. 把（a －b ）－1a －b 化成最简二次根式例3、计算：例4、先化简，再求值：11()b a b b a a b ++++，其中a=512+，b=512-． 例5、如图，实数a 、b 在数轴上的位置，化简 ：222()a b a b ---3、在实数范围内分解因式例. 在实数范围内分解因式。

二次根式的化简与运算规律归纳二次根式是指具有平方根符号的数学表达式，常见形式为√a。

在数学中，化简和运算是我们经常需要进行的操作，对于二次根式也不例外。

本文将就二次根式的化简和运算规律进行归纳，并给出相应的例子加以说明。

一、二次根式的化简规律1. 同底数的二次根式可以进行简化。

当两个二次根式的底数相同时，可将它们合并为一个二次根式，并将系数相加。

例如：√2 + √2 = 2√22. 二次根式的乘积与商可以进行简化。

当两个二次根式相乘时，可以将它们的底数相乘并将系数相乘。

例如：√3 × √5 = √15当两个二次根式相除时，可以将它们的底数相除并将系数相除。

例如：√6 ÷ √2 = √33. 二次根式的分子和分母可以进行有理化。

对于分子或分母含有二次根式的分式，可以通过乘以一个适当的二次根式，使分子或分母的二次根式被消去。

例如：(4√2)/(√3) = (4√2) × (√3)/(√3) = 4√6/3二、二次根式的运算规律1. 二次根式的加减法规律当两个二次根式的底数和指数都相同时，可直接对其系数进行加减运算。

例如：3√2 + 2√2 = 5√2当两个二次根式的底数相同但指数不同时，不能直接进行运算，需要将它们化为相同指数的形式后再进行计算。

例如：√2 + √8 = √2 + 2√2 = 3√22. 二次根式的乘法规律当两个二次根式相乘时，可以将它们的底数相乘并将系数相乘，指数保持不变。

例如：√2 × √3 = √(2 × 3) = √63. 二次根式的除法规律当两个二次根式相除时，可以将它们的底数相除并将系数相除，指数保持不变。

例如：√6 ÷ √2 = √(6 ÷ 2) = √3三、二次根式的实际应用二次根式在实际生活和学习中有着广泛的应用。

例如，在几何学中，二次根式被用于计算圆的周长和面积，以及三角形的斜边长度等。

此外，在物理学和工程学中，二次根式也常用于计算物体的速度、加速度、电流等。

二次根式知识点总结一、定义二次根式是指形如 $a\sqrt{x}$ 的数，其中 $a$ 为实数，$x\geq 0$ 为非负实数。

二、化简方法1.去掉根号下的完全平方因式。

如$\sqrt{16x^2}=4x\sqrt{x}$。

2.去掉根号下的分数。

如$\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$。

3.化简分数。

如$\frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{2}}{4}\cdot\frac{\sqrt {2}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{8}}{8}$。

4.乘法公式。

如 $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$。

5.加法公式。

如 $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ 不能化简，但可以化简 $\sqrt{a}-\sqrt{b}$，即 $\sqrt{a}-\sqrt{b}=\frac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$。

6.配方法。

（1）平方配方法：如 $a+b\sqrt{c}$ 和$d+e\sqrt{c}$ 相乘，则$(a+b\sqrt{c})(d+e\sqrt{c})=(ad+2be\sqrt{c}+ce\sqrt{c} )$。

（2）凑平方法：如 $\sqrt{a}+\sqrt{b}$，则$a+b+2\sqrt{ab}=(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2$。

三、运算方法1.加减法。

只有当两个二次根式的根号下相同时才能进行加减法，如 $3\sqrt{2}+4\sqrt{2}=7\sqrt{2}$。

2.乘法。

二次根式的乘法可以直接使用乘法公式进行计算。

3.除法。

二次根式的除法不能直接计算，需要使用有理化分母的方法。

具体做法是，将被除二次根式的分母有理化，使其变为整数，然后分子和分母同除以变形后分母的根号下的值。

四、解二次根式的应用1.求两个数之间的距离。

2.计算房屋面积和体积。

3.计算几何形体的周长和面积。

4.解某些数学问题的过程中。