二次根式知识点归纳完整版

二次根式知识点总结1. 二次根式的定义和性质二次根式是指具有形式√a的数，其中a是非负实数。

以下是二次根式的一些重要性质：•非负性：对于任何非负实数a，√a也是一个非负实数。

•平方性：对于任何非负实数a，(√a)2=a。

•唯一性：每个非负实数都有唯一的平方根。

2. 化简和计算二次根式化简和计算二次根式是处理二次根式的基本操作。

下面是一些常见的规则和方法：•合并同类项：如果两个或多个二次根式具有相同的根指数并且根下的值相同，则可以合并它们。

•分解因子：对于某些特定的二次根式，可以将其分解为更简单的形式，例如√ab=√a⋅√b。

•有理化分母：当一个二次根式出现在分母中时，可以通过乘以适当的形式来有理化分母，例如√2=√22。

•乘法和除法规则：二次根式可以与其他数进行乘法和除法运算，例如√a⋅√b=√ab和√a√b =√a√b⋅√b√b=√abb。

3. 二次根式的性质和定理二次根式具有许多重要的性质和定理，这些性质和定理可以帮助我们解决各种问题。

以下是一些常见的性质和定理：•无理数性质：对于大多数非完全平方数a，√a是一个无理数。

•比较大小：对于两个非负实数a和b，如果a<b，那么√a<√b。

•平方根的加法公式：√a+√b不能化简为一个更简单的形式，除非a和b 存在某种特殊关系（例如互为有理数倍）。

•平方根的乘法公式：√a⋅√b=√ab，其中a和b可以是任意非负实数。

4. 解二次根式的方程和不等式解二次根式的方程和不等式是应用二次根式知识的重要方面。

以下是一些解决这类问题的方法：•方程：将方程两边进行平方操作，然后化简为二次根式形式，最后解得方程的解。

•不等式：根据二次根式的性质，可以比较大小或使用其他方法来解决不等式。

5. 与其他数学概念的关系二次根式与其他数学概念之间存在着密切的关系。

以下是一些与二次根式相关的重要概念：•平方数：对于某个非负实数a，如果存在另一个非负实数b，使得b2=a，那么a就是一个平方数。

二次根式【知识回顾】1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。

2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。

3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。

4.二次根式的性质：（1）（a ）2=a （a ≥0）； （2）==a a 25.二次根式的运算：（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术平方根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．（a≥0，b≥0）；=（b≥0，a>0）． （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．a （a ＞0）a -（a ＜0）0 （a =0）；【典型例题】1、概念与性质例1、下列各式1）-，其中是二次根式的是_________（填序号）．例2、求下列二次根式中字母的取值范围（1）xx--+315；（2）22)-(x例3、在根式1) ，最简二次根式是（）A．1) 2) B．3) 4) C．1) 3) D．1) 4)例4、已知：的值。

求代数式22,211881-+-+++-+-=xyyxxyyxxxy例5、已知数a，b，若=b－a，则( )A. a>bB. a<bC. a≥bD. a≤b2、二次根式的化简与计算例1. 将根号外的a 移到根号内，得 ( )A. ；B. －；C. －；D.例2. 把（a －b ）－1a －b 化成最简二次根式例3、计算：例4、先化简，再求值：11()b a b b a a b ++++，其中a=512，b=512．例5、如图，实数a 、b 在数轴上的位置，化简 ：222()a b a b ---4、比较数值 （1）、根式变形法当0,0a b >>时，①如果a b >>a b <<例1、 比较与（2）、平方法当0,0a b >>时，①如果22a b >，则a b >；②如果22a b <，则a b <。

二次根式1、算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。

2、解不等式（组）：尤其注意当不等式两边乘(除以)同一个负数，不等号方向改变。

如：-2x＞4，不等式两边同除以-2得x＜-2。

不等式组的解集是两个不等式解集的公共部分。

如｛3、分式有意义的条件：分母≠04、绝对值：｜a｜=a （a≥0）；｜a｜= - a （a＜0）一、二次根式的概念一般地，我们把形如 a （a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。

★正确理解二次根式的概念，要把握以下五点：（1）二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号“”，“”的根指数为2，即“2”，我们一般省略根指数2，写作“”。

如25 可以写作 5 。

（2）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子。

（3）式子 a 表示非负数a的算术平方根，因此a≥0， a ≥0。

其中a≥0是 a 有意义的前提条件。

（4）在具体问题中，如果已知二次根式 a ，就意味着给出了a≥0这一隐含条件。

（5）形如b a （a≥0）的式子也是二次根式，b与 a 是相乘的关系。

要注意当b是分数时不能写成带分数，例如832 可写成8 23，但不能写成 2232 。

练习：一、判断下列各式，哪些是二次根式？（1） 6 ；（2）-18 ；（3）x2+1 ；（4）3-8 ；（5）x2+2x+1 ；（6）3｜x｜；（7）1+2x （x＜-12）X≥-2X＜5的解集为-2≤x＜5。

二、当x 取什么实数时，下列各式有意义？（1）2-5x ；（2）4x 2+4x+1二、二次根式的性质：二次根式的性质符号语言文字语言应用与拓展注意a （a ≥0）的性质a ≥0 （a ≥0）一个非负数的算术平方根是非负数。

（1）二次根式的非负性（a ≥0，a ≥0）应用较多，如：a+1 +b-3 =0，则a+1=0，b-3=0，即a= -1，b=3；又如x-a +a-x ，则x 的取值范围是x-a ≥0，a-x ≥0，解得x=a 。

二次根式复习【知识回忆】1. 二次根式： 式子 a 〔 a ≥ 0〕叫做二次根式。

2. 最简二次根式： 必定同时满足以下条件：⑴被开方数中 不含开方开的尽的因数或因式 ； ⑵被开方数中 不含分母 ； ⑶分母中 不含根式 。

3. 同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，假设被开方数相同，那么这几个二次根式就是同类二次根式。

4. 二次根式的性质：〔1〕〔2〔 a ≥ 0〕；〔2〕a 〕 = a 2aa 5. 二次根式的运算： ⑴二次根式的加减运算：先把二次根式化成最简二次根式，尔后合并同类二次根式即可。

⑵二次根式的乘除运算：a 〔 a ＞0〕0 〔 a =0〕；a 〔 a ＜ 0〕① ab =a ?b 〔 a ≥ 0,b ≥ 0〕；②aaba 0,b 0b【例题讲解】例 1 计算：〔1〕 (3)2 ；〔2〕 (2 ) 2 ； 〔3〕 ( a b )2〔a+b ≥ 0〕3解析：依照二次根式的性质可直接获取结论。

例 2 计算：⑴6·15⑵ 1 ·24⑶ a 3 · ab 〔 a ≥ 0，b ≥ 0〕2解析：本例先利用二次根式的乘法法那么计算， 再利用积的算术平方根的意义进行化简得出计算结果。

例 3计算：〔1〕32+23－22+3〔 2〕12 +18 － 8 －32〔 3〕40 －1 +10510【基础训练】1．化简：〔 1〕72____ ；〔2〕252242___ __；〔3〕612 18 ____；〔4〕75x3 y2 (x0, y0) ____；〔5〕204_______ 。

2.(08 ，安徽 ) 化简42=_________。

3. 〔 08，武汉〕计算 4 的结果是Ａ .2Ｂ．± 2Ｃ． -2Ｄ． 44. 化简：〔1〕〔 08，泰安〕9 的结果是；〔 2〕〔 08，南京〕12 3 的结果是；〔3〕(08 ，宁夏 ) 528 =；〔 4〕〔 08，黄冈〕 5 x -2x =_____ _；5．〔 08，重庆〕计算82的结果是A、 6B、 6C、 2D、 26．〔 08，广州〕 3 的倒数是。

二次根式知识点归纳和题型归类一、知识框图二、知识要点梳理知识点一、二次根式的主要性质：1.；2.；3.；4.积的算术平方根的性质：；5. 商的算术平方根的性质：.6.假设，那么.知识点二、二次根式的运算1．二次根式的乘除运算(1) 运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号.(2)注意每一步运算的算理；2．二次根式的加减运算先化简，再运算，3．二次根式的混杂运算(1) 明确运算的序次，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里；(2) 整式、分式中的运算律、运算法那么及乘法公式在二次根式的混杂运算中也同样适用.一. 利用二次根式的双重非负性来解题〔a0 〔a≥0〕，即一个非负数的算术平方根是一个非负数。

〕1.〕。

A、3；B、x ；C、x21；D、x1以下各式中必然是二次根式的是〔2．等式(x 1)2＝1－ x 成立的条件是 _____________ ．3．当 x____________ 时，二次根式2x 3 有意义．4.x 取何值时，以下各式在实数范围内有意义。

〔 1〕〔 2〕1〔3〕5x 2 x1x4〔 4〕假设x( x1)x x1，那么 x 的取值范围是〔 5〕假设x3x3，那么 x 的取值范围是。

x1x16.假设3m 1 有意义，那么m能取的最小整数值是；假设 20m 是一个正整数，那么正整数m的最小值是________．7.当 x 为何整数时，10x11有最小整数值，这个最小整数值为。

8. 假设2004 a a2005a ，那么a2004 2=_____________；假设y x33x 4 ，那么x y9．设 m、n 满足n m299m22mn =。

m 3，那么10. 假设三角形的三边a、 b、 c 满足a24a 4 b 3 =0，那么第三边c的取值范围是11. 假设|4x8 |x y m0 ，且 y 0 时，那么〔〕 A 、0m1 B 、m2C、m 2 D、 m 2利用二次根式的性质2a(a b)(即一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值)来解题二． a =|a|=0(a0)a(a0)1.x33x2＝－x x 3 ，那么〔〕 A.x≤0 B. x≤－ 3Ｃ. x≥－ 3 D.－ 3≤x≤ 02.． a<b，化简二次根式 a 3b 的正确结果是〔〕A．a ab B ．a ab C． a ab D ．a ab3.假设化简 | 1-x |-28x16 的结果为2x-5 那么〔〕 A 、 x 为任意实数B、1≤ x≤ 4C、 x≥1 D 、x≤ 4 x4. a， b， c 为三角形的三边，那么(a b c)2(b c a) 2(b c a) 2=5.当 -3<x<5 时，化简26921025 =。

二次根式知识点归纳定义：一般的，式子a ( a ≥ 0 ) 叫做二次根式。

其中“”叫做二次根号，二次根号下的a 叫做被开方数。

性质：1、2≥0,等于a;a<0,等于-a 3、4、 反过来:56、最简二次根式：1．被开方数不含分母；2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．7、同类二次根式：几个二次根次化成最简二次根式以后如果被开数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式8、数的平方根与二次根式的区别：①4的平方根为±2，算术平方根为2；②4=2，二次根式即是算术平方根9、二次根式化运算及化简：①先化成最简 ②合并同类项二次根式中考试题精选一.选择题：1.【05宜昌】化简20的结果是 （ ）.A. 25B.52C. .D.54 2.【05南京】9的算术平方根是 （ ）.A.-3B.3C.± 3D.813.【05南通】已知2x <, ）.A 、2x -B 、2x +C 、2x --D 、2x -A ．a 2＋a 3=a 5B ．(－2x)3=－2x 3C ．(a －b)(－a ＋b)=－a 2－2ab －b 2D =5.【05无锡】下列各式中，与y x 2是同类项的是（ ）A 、2xyB 、2xyC 、－y x 2D 、223y x 6.【05武汉】若a ≤1，则化简后为（ ）.A.B. C. D.7.【05绵阳】化简时，甲的解法是：==，乙的解法是：，以下判断正确的是（ ）.A. 甲的解法正确，乙的解法不正确B. 甲的解法不正确，乙的解法正确C. 甲、乙的解法都正确D. 甲、乙的解法都不正确8.【05杭州】设22a b c ===,则,,a b c 的大小关系是: （ ）. (A)a b c >> (B)a c b >> (C)c b a >> (D)b c a >> 9.【05丰台】4的平方根是（ ）. A. 8B. 2C. ±2D. ±210.【05北京】下列根式中，与3是同类二次根式的是（ ）. A.24B.12C.32D.1811.【05南平】下列各组数中，相等的是（ ）.A.(-1)3和1B.(-1)2和-1C.|-1|和-1 和112.【05宁德】下列计算正确的是（ ）.A 、x 2·x 3＝x 6B 、(2a 3)2＝4a 6C 、(a －1)2＝a 2－1D 、 4 ＝±213.【05毕节―a 的正整数a 的值有( ).A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个14.【05黄岗】已知y x ,为实数，且()02312=-+-y x ，则y x -的值为（ ）.A ．3B ．– 3C ．1D ．– 115.【05湘潭】下列算式中，你认为错误的是 ( ). A ．aa b ++b a b+=1 B ．1÷b a×a b=1 C +1 D ．21()a b +·22a b a b--=1a b+二、填空题1.【05连云港】计算：)13)(13(-+= ．2.【05南京】10在两个连续整数a 和b 之间，a<10<b, 那么a , b 的值分别是 。

二次根式知识点总结王亚平1. 二次根式的概念二次根式的定义： 形如)0(≥a a 的式子叫二次根式，其中a 叫被开方数，只有当a 是一个非负数时，a 才有意义．2. 二次根式的性质1. 非负性：)0(≥a a 是一个非负数．注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到． 2.)0()(2≥=a a a注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：)0()(2≥=a a a 3. ⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2a a a a a a 注意：（1）字母不一定是正数． （2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．3. 最简二次根式和同类二次根式1、最简二次根式：（1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或2、同类二次根式（可合并根式）：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式4. 二次根式计算——分母有理化1．分母有理化定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。

2．有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。

有理化因式确定方法如下：①单项二次根式：利用a a a =⋅来确定，如：a 与a ，b a +与b a +，b a -与b a -等分别互为有理化因式。

②两项二次根式：利用平方差公式来确定。

如b a +与b a -，b a +与b a -，y b x a +与y b x a -分别互为有理化因式。

3．分母有理化的方法与步骤：①先将分子、分母化成最简二次根式；②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；5. 二次根式计算——二次根式的乘除1．积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。

)0,0(≥≥⋅=b a b a ab2．二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。

专题01二次根式的概念和性质（知识点考点串编）【思维导图】例．（2022·浙江·九年级专题练习）当0x =的值等于（ ）A ．4B ．2CD ．0练习1．（2021·全国·八年级专题练习）当a 为实数时，下列各式中是二次根式的是（）个A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个练习2．（2021·河北·结果相同的是（ ）．◉知识点一：二次根式的定义知识点技巧：二次根式概念：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。

【注意】1.二次根式，被开方数a 可以是一个具体的数，也可以是代数式。

2.二次根式是一个非负数。

3.二次根式与算术平方根有着内在联系，（a ≥0）就表示a 的算术平方根。

A ．321-+B ．321+-C ．321++D ．321--练习3．（2021·河南林州·八年级期末）已知当12a <<a -的值是（ ）A ．3-B ．12a-C ．32a-D ．23a -例．（2021·n 的最小值是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8练习1．（2020·甘肃·酒泉市第二中学八年级期中）若x 、y 为实数，且0x +=，则2019x y æöç÷èø的值( )A ．-2B ．1C ．2D练习2．（2020·江苏·丰县欢口镇欢口初级中学八年级阶段练习）如果3y ，则2x y -的平方根是（ ）A ．-7B．1C ．7D ．±1练习3．（2021·全国·n 的值是( )A ．B ．1C ．2D ．5例．（2022·全国·九年级专题练习）在函数1y =中，自变量x 的取值范围是（ ）A ．x ＜2B ．x ≥2C．x ＞2D ．x ≠2练习1．（2022·全国·九年级专题练习）函数y =x 的取值范围是（ ）A ．x ≥2B ．x ＞﹣2C ．x ≤2D ．x ＜2练习2．（2022·全国·九年级专题练习）函数y 中自变量x 的取值范围是（）◉知识点二：二次根式有意义的条件知识点技巧：二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a ≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。

二次根式知识点总结
一、二次根式的定义
二次根式是指形如 $\sqrt{a}$ 的无理数或代数式，其中 $a$ 是一个
非完全平方数，即 $a$ 不能表示为某个正整数的平方。

二、简化二次根式
1. 将二次根式 $\sqrt{a}$ 化简为 $\sqrt{b}$ 的形式，其中
$b$ 是 $a$ 的正因子；
2. 对于 $\sqrt{a}\pm\sqrt{b}$，可通过有理化分母的方法化为
$\frac{\sqrt{c}\pm\sqrt{d}}{e}$ 的形式，其中 $c$、$d$、$e$ 均
为整数。

三、二次根式的运算
1. 二次根式加减法：将同类项合并，并对结果进行简化；
2. 二次根式乘法：利用分配律，将每一项分别与另一个二次根式相乘，并化简结果；
3. 二次根式除法：将除数、被除数都乘以分母的共轭复数，化为分母
为整数的形式后进行约分。

四、二次根式的应用
1. 应用勾股定理求直角三角形的一条边；
2. 当面积或体积为二次根式时，可通过二次根式的运算得到结果。

五、注意事项
1. 化简二次根式时，应将完全平方因子提出；
2. 二次根式运算时，不同二次根式之间不能进行加减法；
3. 对于 $\sqrt{a}$，$a$ 不能为负数。

二次根式的知识点汇总二次根式是指含有平方根（开方）的代数式。

学习和掌握二次根式的知识点，对于进一步理解和应用高等数学和物理学等学科内容至关重要。

以下是二次根式的知识点汇总：一、基本概念与性质：1.平方根与二次根式的概念：平方根的定义及其在代数中的性质，二次根式的定义与示例。

2.约分与化简：二次根式的约分、化简及约分规则。

3. 同类二次根式的合并与分解：同类二次根式的合并与分解法则，如$\sqrt{a} \pm \sqrt{b} = \sqrt{(\pm \sqrt{a})^2 + (\pm\sqrt{b})^2}$。

二、四则运算：1. 加减法：同类二次根式的加减法规则，如$\sqrt{a} \pm \sqrt{b} = \sqrt{(\pm \sqrt{a})^2 + (\pm \sqrt{b})^2}$。

2. 乘法：二次根式的乘法规则，如$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$。

3. 除法：二次根式的除法规则，如$\frac{a+b}{c+d}=\frac{(a+b)(c-d)}{(c+d)(c-d)}$。

4.有理化方法：如分子、分母都有二次根式时的有理化方法，分别是乘以共轭式和有理化因式。

三、二次根式的化简与证明：1.合并同类项：在二次根式的化简中，将同类项合并为一个二次根式。

2.分解因式：在二次根式的化简中，将二次根式分解为若干个二次根式相乘的形式。

3.公因式提取：在二次根式的化简中，提取公因式使其化简为整数或其他形式。

四、二次根式的应用：1.代数方程的解：使用二次根式求解一元二次方程。

2.几何意义：二次根式在几何中的应用，例如计算三角形的边长、面积等。

3.物理问题：通过建立代数模型和运用二次根式，解决物理问题，如自由落体、速度、力等。

五、常见的二次根式：1. $\sqrt{a^2}=，a，$，其中$a$表示任意实数。

2. $\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}$，其中$a$和$b$分别表示任意非负实数。

二次根式知识点1. 二次根式的定义二次根式指的是形如√a的数，其中a为非负实数。

a被称为被开方数，√a被称为二次根式，也可以叫做平方根。

2. 二次根式的基本性质① 非负性：二次根式必须为非负实数。

② 同根式的加减法：同一指数的二次根式可以进行加减法运算，结果等于指数不变时各自运算后相加减。

③ 同根式的乘法：同一指数的二次根式可以进行乘法运算，结果等于指数不变时各自运算后相乘。

④ 同底数的指数运算：同一被开方数的不同指数的二次根式，可以进行指数运算，结果等于底数相同时指数相加或相减后的二次根式。

⑤ 合并同类项：不同被开方数的二次根式不能进行加减运算，必须化为同一被开方数才能进行操作。

3. 二次根式的化简① 化简含有平方数的二次根式例如：√36 = √（6²）= 6② 化简含有分数的二次根式例如：√（1/4）= 1/√4= 1/2③ 化简含有根号的二次根式例如：√（128）= √（2*64）= 8√2④ 去除被开方数中的平方因子例如：√（80）= √（16*5）= 4√54. 二次根式的应用由于二次根式代表着平方根，所以在一些实际问题中，经常出现二次根式的应用。

例1：计算正方形对角线的长度设正方形边长为a，则对角线长度d = √（a²+a²）=a√2例2：炮弹落地问题假设炮弹以初速度v以角度α斜抛，落地时的水平距离为x，求炮弹所需的最小速度v。

根据物理学上的知识，可以得到：x = v²sin2α/g其中g为重力加速度，有g = 9.8m/s²，化简可得：v = √（gx/ sin2α）在实际问题中，二次根式的应用还有很多，比如在建筑设计中计算楼梯踏步和踏板的长度，计算圆周率的近似值等等。

5. 二次根式的拓展除了√a这种形式的二次根式外，还可以拓展为含有多个根号的形式。

例如：√（a±√b）化简时，可以拆分成两个二次根式相加或相减的形式：当加号为正号时，可拆分为：√（a+√b）+√（a-√b）当减号为负号时，可拆分为：√（a-√b）-√（a+√b）在拓展的形式中，二次根式的化简变得更为复杂，需要运用其他方法进行化简。

二次根式知识点总结1. 二次根式的定义二次根式是指形如√a的数式，其中a是一个非负实数。

在二次根式中，a被称为被开方数，√a被称为二次根号。

二次根式可以是完全平方数，也可以是非完全平方数。

2. 二次根式的化简化简二次根式的目的是将其写成最简形式。

对于完全平方数，化简的过程比较简单，只需要将√a的值直接提取出来即可。

而对于非完全平方数，需要用到分解质因数的方法来化简。

比如对于√18，可以分解质因数得到√(2×3×3)，然后将成对的质因数提取出来得到3√2。

3. 二次根式的运算（1）二次根式的加减法二次根式的加减法遵循着类似项相加的原则。

即对于同一次幂的二次根式，可以进行加减运算。

比如√8 + √32，可以将8和32分解质因数得到√(2×2×2) + √(2×2×2×2×2)，然后将相同的项加在一起得到2√2 + 4√2，再进行合并得到6√2。

（2）二次根式的乘法二次根式的乘法用到了平方根的性质，即√a×√b=√(a×b)。

对于二次根式的乘法，可以直接将被开方数相乘再提取出来即可。

比如(√5 + √3)×(√5 - √3)，可以将其展开得到√5×√5 - √5×√3 +√3×√5 - √3×√3，再合并得到5 - 3=2。

（3）二次根式的除法二次根式的除法也用到了平方根的性质，即√a/√b=√(a/b)。

对于二次根式的除法，可以直接将被开方数相除再提取出来即可。

比如(√12 + √3)/(√3)，可以将其展开得到√12/√3 + √3/√3，再化简得到2√3 + 1。

4. 二次根式的化简与支配数在二次根式的运算中，有时候会出现需要化简的情况。

这就需要用到支配数的概念。

支配数是指对于一个二次根式，可以找到一个更小的数，使得原二次根式是这个数的倍数。

比如对于√75，可以找到√25×3，这里25就是√75的支配数。

二次根式知识点总结大全二次根式是含有平方根的代数表达式，在高中数学中，学习和掌握二次根式的相关知识点是非常重要的。

下面是二次根式的知识点总结：一、二次根式的定义与性质1.定义：二次根式是形如√a的代数式，其中a为非负实数。

2.平方根的性质：a)非负实数的平方根是唯一的。

b)负实数不能作为平方根。

3.二次根式的性质：a)如果a≥0，则√a≥0。

即非负数的平方根是非负数。

b)如果a≥b≥0，则√a≥√b。

c)如果a>b≥0，则√a>√b。

二、二次根式的化简与运算1.化简二次根式：a) 利用化简公式√(ab) = √a · √b，可以将二次根式中的因数分解为二个较简单的二次根式。

b)利用化简公式√(a/b)=√a/√b，可以将二次根式中的因式进行有理化，即分子或分母有理化。

2.二次根式的四则运算：a)加减：对于同根号下的项，进行加减运算，其他项保持不变。

b)乘法：将同根号下的对应项相乘，其他项保持不变。

c)除法：将被除数和除数分别有理化后进行除法运算。

三、二次根式的大小比较1.二次根式的大小比较：a)在同号的情况下，二次根式的大小比较与内部的实数部分大小比较一致。

b)在异号的情况下，二次根式的大小比较与内部的实数部分的大小关系相反。

2. 已知ab≥0，√a ≥ √b的条件：a)若a≥0，b≥0，则√a≥√b。

b)若a<0，b<0，则√a≤√b。

c)若a<0，b≥0，则√a≤√b。

d)若a≥0，b<0，则√a≥√b。

四、求二次根式的值1.简单二次根式的值：如求√4的值等，可以直接得到结果。

2.复杂二次根式的值：如求√(2+√3)的值等，可以通过有理化的方法，先进行化简，再进行求值。

五、二次根式的应用1.几何应用：二次根式可以用来计算各种几何图形的边长、面积、体积等。

2.物理应用：在物理学中，二次根式可以用来求解力、速度、加速度等物理量。

3.经济应用：在经济学中，二次根式可以用来描述成本、效益等经济指标。

九年级数学二次根式知识点一、二次根式1. 定义：二次根式是形如√a的表达式，其中a是非负实数。

2. 运算规则：(1) 乘法规则：√a * √b = √(a * b)(2) 除法规则：√a / √b = √(a / b)，其中b不能为0(3) 幂运算规则：(√a)^n = (√a)^(n / 2)，其中n为偶数，a为非负实数3. 合并同类项：(1) 如果二次根式的底数相同，则可以合并为一个根号，即√a ±√a = ±2√a(2) 如果二次根式的根次相同，则可以合并为同一个根次的根号，即√a^n ±√a^n = ±2√a^n(3) 如果二次根式的底数和根次都相同，则可以合并为同一个根号，即√a^n * √a^n = a^n，(√a^n) / (√a^n) = 1二、二次根式的化简1. 因式分解法：将二次根式的底数a分解为素数的乘积，然后利用乘法规则、除法规则和合并同类项的规则将二次根式化简为最简形式。

2. 有理化分母法：利用有理化分母公式将二次根式的分母有理化。

(1) a + √b有理化分母：a + √b = (a + √b) * (a - √b) / (a - √b)(2) a - √b有理化分母：a - √b = (a - √b) * (a + √b) / (a + √b)(3) 1 / (a + √b)有理化分母：1 / (a + √b) = (a - √b) / (a^2 - b)(4) 1 / (a - √b)有理化分母：1 / (a - √b) = (a + √b) / (a^2 - b)三、二次根式的运算1. 加减运算：将二次根式化为最简形式，然后合并同类项。

2. 乘法运算：将二次根式的底数和根次分别相乘。

3. 除法运算：将二次根式的底数和根次分别相除。

4. 化简运算：利用因式分解法或有理化分母法将二次根式化简为最简形式。

四、二次根式的应用二次根式在实际问题中具有广泛的应用，例如计算物体的体积、面积等。

二次根式知识点一、二次根式的定义形如\（＼sqrt{a}（a\geq0)＼）的式子叫做二次根式。

其中，＼（a\）叫做被开方数。

需要注意的是，二次根式有意义的条件是被开方数为非负数。

例如，＼（＼sqrt{5}＼），＼（＼sqrt{16}＼），＼（＼sqrt{x^2 ＋1}＼）（其中\（x\）为任意实数）都是二次根式。

而\（＼sqrt{－5}＼）就不是二次根式，因为被开方数\（－5\）是负数，不符合定义。

二、二次根式的性质1、＼（＼sqrt{a^2} ＝｜a|＼）当\（a\geq0\）时，＼（＼sqrt{a^2} ＝ a\）；当\（a<0\）时，＼（＼sqrt{a^2} ＝ a\）。

例如，＼（＼sqrt{3^2} ＝ 3\），＼（＼sqrt{（－5)＾2} ＝ 5\）。

2、＼（（＼sqrt{a}）＾2 ＝ a\）（＼（a\geq0\））这一性质表明，先开方再平方，结果就是被开方数本身，但前提是被开方数必须是非负的。

比如，＼（（＼sqrt{7}）＾2 ＝ 7\）。

3、＼（＼sqrt{ab} ＝＼sqrt{a} ＼cdot ＼sqrt{b}＼）（＼（a\geq0\），＼（b\geq0\））这意味着，两个非负实数的积的算术平方根等于这两个数的算术平方根的积。

例如，＼（＼sqrt{12} ＝＼sqrt{4 ＼times 3} ＝＼sqrt{4} ＼times ＼sqrt{3} ＝ 2\sqrt{3}＼）4、＼（＼sqrt{＼frac{a}｛b}｝＝＼frac{＼sqrt{a}｝｛＼sqrt{b}｝＼）（＼（a\geq0\），＼（b>0\））这表示，非负实数的商的算术平方根等于被除数和除数的算术平方根的商。

比如，＼（＼sqrt{＼frac{8}｛2}｝＝＼frac{＼sqrt{8}｝｛＼sqrt{2}｝＝＼frac{2\sqrt{2}｝｛＼sqrt{2}｝＝ 2\）三、二次根式的化简1、把被开方数分解质因数，将能开得尽方的因数移到根号外。

二次根式知识点归纳二次根式是指含有平方根的式子，一般形式为√a，其中a为非负实数。

下面将对二次根式的知识点进行归纳：1. 二次根式的定义：二次根式是指形如√a的式子，a为非负实数。

2. 简化二次根式：对于二次根式√a，如果a可以写成两个数的乘积，其中一个因数的平方是a，那么就可以将二次根式简化为这个因数。

3. 二次根式的运算：- 加减法：只有当二次根式的根数相同才能相加或相减。

即√a ± √b = √a ±√b。

- 乘法：二次根式的乘法可以按照分配律进行计算，即√a * √b = √(a * b)。

- 除法：二次根式的除法可以借助有理化的方法进行计算，即√a / √b = √(a / b)。

4. 二次根式的合并：- 同根式的合并：当两个二次根式的根数相同且系数相同时，可以合并为一个二次根式。

例如：3√2 + 2√2 = 5√2。

- 合并同类项：当两个二次根式的根数和系数都相同时，可以合并为一个二次根式。

5. 化简含有二次根式的表达式：- 分解因式法：对于含有二次根式的表达式，可以利用分解因式的方法将其化简为乘积的形式。

- 有理化法：利用有理化的方法将含有二次根式的分母有理化，即将分母中的二次根式去除。

6. 二次根式的平方与立方：- 二次根式的平方：(√a)^2 = a。

- 二次根式的立方：(√a)^3 = a * √a。

7. 二次根式的应用：- 几何意义：二次根式可以用来表示一些几何问题中的长度或面积，例如表示一个正方形的对角线长度。

- 物理意义：在物理问题中，二次根式可以用来表示某些量的大小，例如速度的大小。

以上是关于二次根式的一些基本知识点的归纳总结。

掌握这些知识点，可以帮助我们更好地理解和运用二次根式。

算术平方根（二次根式）知识点汇总知识点一： 二次根式的概念： （0a ≥）的式子叫做二次根式。

注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以0a ≥知识点二：取值范围1.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a ≧0是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。

2.二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a ﹤0没有意义。

0a ≥）的非负性0a ≥）表示a 的算术平方根，0a ≥）是一个非负数，0(0)a ≥≥注：（0a ≥）表示a 的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（0a ≥0(0)a ≥≥这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。

这个性质在解答题目时应用0=，则a=0,b=00b =，则a=0,b=020b =，则a=0,b=0。

知识点四：二次根式2的性质 ：2(0)a a =≥文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。

注：二次根式的性质公式2(0)a a =≥是逆用平方根的定义得出的结论。

上面的公式也可以反过来应用：若，则2a =，如：22=，212=.知识点五：二次根式的性质 a =文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。

注： 1、一定要弄明白被开方数的底数a 是正数还是负数，若是正数或0，则等于a 本身，即a a ==(0)a ≥；若a 是负数，则等于a 的相反数-a,即(0)a a a ==-≤；2a 的取值范围可以是任意实数，即不论a 取何值，一定有意义；3a ，再根据绝对值的意义来进行化简。

知识点六：21、不同点：2与2表示一个正数a 的算术平方根的平a 的平方的算术平方根；在2中，0a ≥a 可以是正实数，0，负实数。

但2与20≥0≥.2、相同点：当被开方数都是非负数，即当0a≤时，2无意a≥时，20=-.a。