2015届高考数学(人教,理科)大一轮配套解答题增分系列讲座：“平面解析几何”类题目的审题技巧与解题规范

[课堂练通考点]1．(2014·云南检测)直线x ＝π3的倾斜角等于 ( )A ．0 B.π3 C.π2D ．π解析：选C 直线x ＝π3，知倾斜角为π2.2．直线l ：x sin 30°＋y cos 150°＋1＝0的斜率是( ) A.33B. 3 C ．－ 3D ．－33解析：选A 设直线l 的斜率为k ，则k ＝－sin 30°cos 150°＝33.3．在等腰三角形AOB 中，AO ＝AB ，点O (0,0)，A (1,3)，点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为( )A ．y －1＝3(x －3)B ．y －1＝－3(x －3)C ．y －3＝3(x －1)D ．y －3＝－3(x －1)解析：选D 因为AO ＝AB ，所以直线AB 的斜率与直线AO 的斜率互为相反数，所以k AB ＝－k OA ＝－3，所以直线AB 的点斜式方程为：y －3＝－3(x －1)．4．若过点P (1－a,1＋a )与Q (3,2a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是________．解析：k ＝tan α＝2a －(1＋a )3－(1－a )＝a －1a ＋2.∵α为钝角，∴a －1a ＋2＜0，即(a －1)(a ＋2)＜0，故－2＜a ＜1.答案：(－2,1)5．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：(1)过定点A (－3,4)； (2)斜率为16.解：(1)设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k－3,3k ＋4，由已知，得(3k ＋4)⎝⎛⎭⎫4k ＋3＝±6， 解得k 1＝－23或k 2＝－83.故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0.(2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程是y ＝16x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ，已知，得|－6b ·b |＝6，∴b ＝±1.∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.[课下提升考能]第Ⅰ组：全员必做题1．若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( )A.13 B ．－13C ．－32D.23解析：选B 设P (x P ,1)，由题意及中点坐标公式得x P ＋7＝2，解得x P ＝－5，即P (－5,1)，所以k ＝－13.2．直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a ，b ，c 应满足( ) A ．ab ＞0，bc ＜0 B ．ab ＞0，bc ＞0 C ．ab ＜0，bc ＞0D ．ab ＜0，bc ＜0解析：选A 由于直线ax ＋by ＋c ＝0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变形为y ＝－a b x －c b .易知－a b ＜0且－cb＞0，故ab ＞0，bc ＜0.3．若实数a ，b 满足a ＋2b ＝3，则直线2ax －by －12＝0必过定点( ) A ．(－2,8) B ．(2,8) C ．(－2，－8)D ．(2，－8)解析：选D a ＋2b ＝3⇒4a ＋8b －12＝0，又2ax －by －12＝0，比较可知x ＝2，y ＝－8故选D.4．将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线为( ) A ．y ＝－13x ＋13B ．y ＝－13x ＋1C ．y ＝3x －3D ．y ＝13x ＋1解析：选A 将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°得到直线y ＝－13x ，再向右平移1个单位，所得直线的方程为y ＝－13(x －1)，即y ＝－13x ＋13.5．(2014·浙江诸暨质检)已知两点M (2，－3)，N (－3，－2)，直线l 过点P (1,1)且与线段MN 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是( )A ．k ≥34或k ≤－4B ．－4≤k ≤34C.34≤k ≤4 D ．－34≤k ≤4解析：选A 如图所示，∵k PN ＝1－(－2)1－(－3)＝34，k PM ＝1－(－3)1－2＝－4，∴要使直线l 与线段MN 相交，当l 的倾斜角小于90°时，k ≥k PN ；当l 的倾斜角大于90°时，k ≤k PM ，由已知得k ≥34或k ≤－4，故选A.6．已知A (3,5)，B (4,7)，C (－1，x )三点共线，则x ＝________. 解析：因为k AB ＝7－54－3＝2，k AC ＝x －5－1－3＝－x －54.A ，B ，C 三点共线，所以k AB ＝k AC ，即－x －54＝2， 解得x ＝－3. 答案：－37．已知两点A (0,1)，B (1,0)，若直线y ＝k (x ＋1)与线段AB 总有公共点，则k 的取值范围是________．解析：y ＝k (x ＋1)是过定点P (－1,0)的直线，k PB ＝0，k P A ＝1－00－(－1)＝1.∴k 的取值范围是[0,1]． 答案：[0,1]8．过点M (－3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________________． 解析：(1)当过原点时，直线方程为y ＝－53x ，(2)当不过原点时，设直线方程为x a ＋y－a ＝1，即x －y ＝a .代入点(－3,5)，得a ＝－8. 即直线方程为x －y ＋8＝0. 答案：y ＝－53x 或x －y ＋8＝09．已知两点A (－1,2)，B (m,3)． (1)求直线AB 的方程；(2)已知实数m ∈⎣⎡⎦⎤－33－1，3－1，求直线AB 的倾斜角α的取值范围． 解：(1)当m ＝－1时，直线AB 的方程为x ＝－1； 当m ≠－1时，直线AB 的方程为y －2＝1m ＋1(x ＋1)．(2)①当m ＝－1时，α＝π2；②当m ≠－1时，m ＋1∈⎣⎡⎭⎫－33，0∪(0， 3 ]， ∴k ＝1m ＋1∈(－∞，－ 3 ]∪⎣⎡⎭⎫33，＋∞，∴α∈⎣⎡⎭⎫π6，π2∪⎝⎛⎦⎤π2，2π3.综合①②知，直线AB 的倾斜角α∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3. 10．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．解：(1)证明：法一：直线l 的方程可化为y ＝k (x ＋2)＋1， 故无论k 取何值，直线l 总过定点(－2,1)．法二：设直线l 过定点(x 0，y 0)，则kx 0－y 0＋1＋2k ＝0对任意k ∈R 恒成立，即(x 0＋2)k －y 0＋1＝0恒成立，∴x 0＋2＝0，－y 0＋1＝0，解得x 0＝－2，y 0＝1，故直线l 总过定点(－2,1)．(2)直线l 的方程为y ＝kx ＋2k ＋1，则直线l 在y 轴上的截距为2k ＋1，要使直线l 不经过第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧k ≥0，1＋2k ≥0，解得k 的取值范围是[0，＋∞)．(3)依题意，直线l 在x 轴上的截距为－1＋2k k ，在y 轴上的截距为1＋2k ，∴A ⎝⎛⎭⎫－1＋2k k ，0，B (0,1＋2k )．又－1＋2kk <0且1＋2k >0，∴k >0.故S ＝12|OA ||OB |＝12×1＋2k k(1＋2k )＝12⎝⎛⎭⎫4k ＋1k ＋4≥12(4＋4)＝4， 当且仅当4k ＝1k ，即k ＝12时，取等号．故S 的最小值为4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0. 第Ⅱ组：重点选做题1．(2014·哈尔滨模拟)函数y ＝a sin x －b cos x 的一条对称轴为x ＝π4，则直线l ：ax －by＋c ＝0的倾斜角为( )A ．45°B ．60°C ．120°D ．135°解析：选D 由函数y ＝f (x )＝a sin x －b cos x 的一条对称轴为x ＝π4知，f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫π2，即－b ＝a ，∴直线l 的斜率为－1，∴倾斜角为135°.2．已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0＜a ＜2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，则a ＝________.解析：由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2,2)，直线l 1的纵截距为2－a ，直线l 2的横截距为a 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×2×(2－a )＋12×2×(a 2＋2)＝a 2－a ＋4＝⎝⎛⎭⎫a －122＋154，当a ＝12时，面积最小． 答案：12。

2009~2013年高考真题备选题库 第8章 平面解析几何第5节 椭圆考点一 椭圆的定义、标准方程1．（2013新课标全国Ⅰ，5分）已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A.x 245＋y 236＝1B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1 解析：本题考查直线与椭圆的位置关系、斜率公式、焦点弦和中点弦问题，意在考查考生通过解方程组求解弦的中点的能力．运用两点式得到直线的方程，代入椭圆方程，消去y ，由根与系数的关系得到a ，b 之间的关系，并由a ，b ，c 之间的关系确定椭圆方程．因为直线AB 过点F (3,0)和点(1，－1)，所以直线AB 的方程为y ＝12(x －3)，代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1消去y ，得⎝⎛⎭⎫a 24＋b 2x 2－32a 2x ＋94a 2－a 2b 2＝0，所以AB 的中点的横坐标为32a 22⎝⎛⎭⎫a 24＋b 2＝1，即a 2＝2b 2，又a 2＝b 2＋c 2，所以b ＝c ＝3，选择D.答案：D2．（2013广东，5分）已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于12，则C的方程是( )A.x 23＋y 24＝1 B.x 24＋y 23＝1 C.x 24＋y 22＝1 D.x 24＋y 23＝1 解析：本题主要考查椭圆的图像、方程、性质等知识，考查数形结合的数学思想方法，意在考查考生的抽象概括能力、运算求解能力．依题意，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，c a ＝12，c 2＝a 2－b 2，解得a 2＝4，b 2＝3.答案：D3．（2013天津，13分）设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，离心率为33，过点F且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433.(1)求椭圆的方程；(2)设A ，B 分别为椭圆的左、右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点．若·＋·＝8，求k 的值．解：本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、向量的运算等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质，考查考生的运算求解能力以及运用方程思想解决问题的能力．(1)设F (－c,0)，由c a ＝33，知a ＝3c .过点F 且与x 轴垂直的直线的方程为x ＝－c ，代入椭圆方程有(－c )2a 2＋y 2b 2＝1，解得y ＝±6b 3，于是26b 3＝433，解得b ＝2，又a 2－c 2＝b 2，从而a ＝3，c ＝1，所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.(2)设点C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由F (－1,0)得直线CD 的方程为y ＝k (x ＋1)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 23＋y 22＝1，消去y ，整理得(2＋3k 2)x 2＋6k 2x ＋3k 2－6＝0. 由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝－6k 22＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－62＋3k 2.因为A (－3，0)，B (3，0)所以·＋·＝(x 1＋3，y 1)·(3－x 2，－y 2)＋(x 2＋3，y 2)·(3－x 1，－y 1)＝6－2x 1x 2－2y 1y 2＝6－2x 1x 2－2k 2(x 1＋1)(x 2＋1) ＝6－(2＋2k 2)x 1x 2－2k 2(x 1＋x 2)－2k 2 ＝6＋2k 2＋122＋3k 2.由已知得6＋2k 2＋122＋3k 2＝8，解得k ＝±2.4．（2012山东，5分）已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32.双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为( )A.x 28＋y 22＝1 B.x 212＋y 26＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 220＋y 25＝1解析：因为椭圆的离心率为32，所以e ＝c a ＝32，c 2＝34a 2，c 2＝34a 2＝a 2－b 2，所以b 2＝14a 2，即a 2＝4b 2.双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，代入椭圆方程得x 2a 2＋x 2b 2＝1，即x 24b 2＋x 2b 2＝5x 24b 2＝1，所以x 2＝45b 2，x ＝±25b ，y 2＝45b 2，y ＝±25 b ，则在第一象限双曲线的渐近线与椭圆C 的交点坐标为(25b ，25b )，所以四边形的面积为4×25 b ×25b ＝165b 2＝16，所以b 2＝5，所以椭圆方程为x 220＋y 25＝1.答案：D5．（2011浙江，5分）已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与双曲线C 2：x 2－y 24＝1有公共的焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点．若C 1恰好将线段AB 三等分，则( )A ．a 2＝132B ．a 2＝13C ．b 2＝12D ．b 2＝2解析：对于直线与椭圆、圆的关系，如图所示，设直线AB 与椭圆C 1的一个交点为C (靠近A 的交点)，则|OC |＝a3，因tan ∠COx ＝2， ∴sin ∠COx ＝25， cos ∠COx ＝15， 则C 的坐标为(a35，2a 35)，代入椭圆方程得a 245a 2＋4a 245b 2＝1，∴a 2＝11b 2.∵5＝a 2－b 2，∴b 2＝12.答案：C6．（2011新课标全国，5分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么C 的方程为____．解析：根据椭圆焦点在x 轴上，可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，∵e ＝22，∴c a ＝22.根据△ABF 2的周长为16得4a ＝16，因此a ＝4，b ＝22，所以椭圆方程为x 216＋y 28＝1.答案：x 216＋y 28＝17．（2012陕西，13分）已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率．(1)求椭圆C 2的方程；(2)设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆C 1和C 2上，＝2，求直线AB 的方程． 解：(1)由已知可设椭圆C 2的方程为y 2a 2＋x 24＝1(a >2)，其离心率为32，故a 2－4a ＝32，则a ＝4，故椭圆C 2的方程为y 216＋x 24＝1.(2)法一：A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )，由＝2及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，所以x 2A ＝41＋4k 2， 将y ＝kx 代入y 216＋x 24＝1中，得(4＋k 2)x 2＝16，所以x 2B ＝164＋k 2， 又由＝2，得x 2B ＝4x 2A ，即164＋k 2＝161＋4k 2， 解得k ＝±1，故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x . 法二：A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )， 由＝2及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上， 因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，所以x 2A ＝41＋4k 2，由＝2，得x 2B ＝161＋4k 2，y 2B ＝16k 21＋4k 2， 将x 2B ，y 2B 代入y 216＋x 24＝1中，得4＋k 21＋4k2＝1，即4＋k 2＝1＋4k 2， 解得k ＝±1，故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x .8．(2010天津，12分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝32，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.(1)求椭圆的方程；(2)设直线l 与椭圆相交于不同的两点A ，B ，已知点A 的坐标为(－a,0)，点Q (0，y 0)在线段AB 的垂直平分线上，且·＝4，求y 0的值．解：(1)由e ＝c a ＝32，得3a 2＝4c 2，再由c 2＝a 2－b 2，得a ＝2b .由题意可知12×2a ×2b ＝4，即ab ＝2.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ，ab ＝2得a ＝2，b ＝1.所以椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由(1)可知A (－2,0)，设B 点的坐标为(x 1，y 1)，直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)．于是A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)，x 24＋y 2＝1. 由方程组消去y 并整理，得 (1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋(16k 2－4)＝0. 由－2x 1＝16k 2－41＋4k 2，得x 1＝2－8k 21＋4k 2，从而y 1＝4k 1＋4k 2. 设线段AB 的中点为M ，则M 的坐标为(－8k 21＋4k 2，2k 1＋4k 2)． 以下分两种情况：①当k ＝0时，点B 的坐标为(2,0)，线段AB 的垂直平分线为y 轴， 于是＝(－2，－y 0)，＝(2，－y 0)． 由·＝4，得y 0＝±2 2.②当k ≠0时，线段AB 的垂直平分线的方程为y －2k 1＋4k 2＝－1k (x ＋8k 21＋4k 2)．令x ＝0，解得y 0＝－6k1＋4k 2. 由＝(－2，－y 0)，＝(x 1，y 1－y 0)，·＝－2x 1－y 0(y 1－y 0)＝－2(2－8k 2)1＋4k 2＋6k 1＋4k 2(4k 1＋4k 2＋6k1＋4k 2) ＝4(16k 4＋15k 2－1)(1＋4k 2)2＝4，整理得7k 2＝2，故k ＝±147， 所以y 0＝±2145.综上，y 0＝±22或y 0＝±2145.考点二 椭圆的简单几何性质1．（2013新课标全国Ⅱ，5分）设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( )A.36B.13C.12D.33解析：本题主要考查椭圆离心率的计算，涉及椭圆的定义、方程与几何性质等知识，意在考查考生的运算求解能力．法一：由题意可设|PF 2|＝m ，结合条件可知|PF 1|＝2m ，|F 1F 2|＝3m ，故离心率e ＝c a ＝2c2a ＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝3m 2m ＋m ＝33.法二：由PF 2⊥F 1F 2可知P 点的横坐标为c ，将x ＝c 代入椭圆方程可解得y ＝±b 2a ，所以|PF 2|＝b 2a .又由∠PF 1F 2＝30°可得|F 1F 2|＝3|PF 2|，故2c ＝3·b 2a ，变形可得3(a 2－c 2)＝2ac ，等式两边同除以a 2，得3(1－e 2)＝2e ，解得e ＝33或e ＝－3(舍去)． 答案：D2．（2013辽宁，5分）已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|BF |＝8，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率为( )A.35B.57C.45D.67解析：本题主要考查圆锥曲线的定义、离心率，解三角形等知识，意在考查考生对圆锥曲线的求解能力以及数据处理能力．由余弦定理得，|AF |＝6，所以2a ＝6＋8＝14，又2c ＝10，所以e ＝1014＝57.答案：B3．（2013四川，5分）从椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP (O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( )A.24B.12C.22D.32解析：本题主要考查椭圆的简单几何性质，意在考查曲线和方程这一解析几何的基本思想．由已知，点P (－c ，y )在椭圆上，代入椭圆方程，得P ⎝⎛⎭⎫－c ，b2a .∵AB ∥OP ，∴k AB ＝k OP ，即－b a ＝－b 2ac ，则b ＝c ，∴a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，则c a ＝22，即该椭圆的离心率是22.答案：C4．（2012新课标全国，5分）设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( )A.12B.23C.34D.45解析：由题意可得|PF 2|＝|F 1F 2|，所以2(32a －c )＝2c ，所以3a ＝4c ，所以e ＝34.答案：C5．（2011浙江，4分）设F 1，F 2分别为椭圆x 23＋y 2＝1的左，右焦点，点A ，B 在椭圆上，若＝5，则点A 的坐标是________．解析：根据题意设A 点坐标为(m ，n )，B 点坐标为(c ，d )．F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，其坐标分别为(－2，0)，(2，0)，可得＝(m ＋2，n )，＝(c －2，d )．∵＝5，∴c ＝m ＋625，d ＝n 5.∵点A 、B 都在椭圆上，∴c 23＋d 2＝1，(m ＋625)23＋(n 5)2＝1.解得m ＝0，n ＝±1，故点A 坐标为(0，±1)．答案：(0，±1)6．(2011辽宁，12分)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，过F 的直线l 与椭圆C相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60°，＝2.(1)求椭圆C 的离心率；(2)如果|AB |＝154，求椭圆C 的方程． 解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知y 1<0，y 2>0. (1)直线l 的方程为y ＝3(x －c )，其中c ＝a 2－b 2.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3(x －c )，x 2a 2＋y 2b 2＝1得(3a 2＋b 2)y 2＋23b 2cy －3b 4＝0.解得y 1＝－3b 2(c ＋2a )3a 2＋b 2，y 2＝－3b 2(c －2a )3a 2＋b 2.因为＝2，所以－y 1＝2y 2. 即3b 2(c ＋2a )3a 2＋b 2＝2·－3b 2(c －2a )3a 2＋b 2.得离心率e ＝c a ＝23.(2)因为|AB |＝1＋13|y 2－y 1|，所以23·43ab 23a 2＋b2＝154. 由c a ＝23得b ＝53a . 所以54a ＝154，得a ＝3，b ＝ 5.椭圆C 的方程为x 29＋y 25＝1.。

“立体几何”类题目的审题技巧与解题规范[技法概述]在高考数学试题中，问题的条件以图形的形式或将条件隐含在图形之中给出的题目较多，因此在审题时，要善于观察图形，洞悉图形所隐含的特殊的关系、数值的特点、变化的趋势，抓住图形的特征，利用图形所提供信息来解决问题。

[适用题型]以下几种类型常用到此审题方法：(1)立体几何：空间多面体中的几何特征及线面位置关系； (2)解析几何：直线与圆、圆锥曲线中的几何特征；(3)函数：函数图象的判断，由三角函数图像求解析式中图像特征； (4)概率与统计：统计中频率分布直方图、茎叶图中的信息特征.[典例] (2013·辽宁高考)(本题满分12分)如图，AB 是圆的直径，P A 垂直圆所在的平面，C 是圆上的点．(1)求证：平面P AC ⊥平面PBC ；(2)若AB ＝2，AC ＝1，P A ＝1，求二面角C -PB -A 的余弦值．[失分警示][解题流程]第一步由图形特征AC ⊥BC 及条件P A ⊥平面ABC 推证面面垂直⇐⎢⎢⎡解：(1)证明：由AB 是圆的直径，得AC ⊥BC ，由P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，得P A ⊥BC .(2分)又P A ∩AC ＝A ，P A ⊂平面P AC ，AC ⊂平面P AC ，所以BC ⊥平面P AC .(4分)因为BC ⊂平面PBC ， 易漏“面内相交线”这条件导致应用线面垂直判定定理失误丢分．⇐⎣⎢⎢⎡(2)法一：过C 作CM ∥AP ，则CM ⊥平面ABC .如图，以点C 为坐标原点，分别以直线CB ，CA ，CM 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系(7分)在Rt △ABC 中，因为AB ＝2，AC ＝1，所以BC ＝ 3.因为P A ＝1，所以A (0，1，0)，B (3，0，0)，P (0，1，1).故CB u u u r ＝(3，0，0)，CP u u u r＝(0，1，1)(8分)易求错相关点的坐标导致整个题丢分．第二步确定原点建立空间直角坐标系并求出相关 点第三步求出平面 的法向量第四步 利用夹角公式 求出空间角第二步由图形特征引辅助线，作出二面角的平面角第三步根据题设条件，求解含二面角 的平面角的三角 形的相应边，进 ⇐⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡设平面BCP 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧ CB u u u r·n 1＝0， CP u u u r ·n 1＝0，所以⎩⎨⎧ 3x ＝0，y ＋z ＝0，不妨令y ＝1，则n 1＝(0，1，－1).(9分)因为AP u u u r ＝(0，0，1)，ABu u u r ＝(3，－1，0)，设平面ABP 的法向量为n 2＝(x 0，y 0，z 0)，则⎩⎨⎧ AP u u u r ·n 2＝0， AB u u u r ·n 2＝0，所以⎩⎨⎧ z 0＝0，3x 0－y 0＝0， ⇐⎣⎢⎢⎢⎡不妨令x 0＝1，则n 2＝(1，3，0)(10分)于是cos 〈n 1，n 2〉＝322＝64，(11分)所以由题意可知二面角C -PB -A 的余弦值为64. (12分) 将所求二面角与向量夹角混淆，不下结论导致步骤缺失丢1－2分．易漏“面内相交线”这一条件导致应用线面垂直判定定理失误导致丢分.易求错二面角的平面角，导致整个题丢分. ⇐⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡在Rt △ABC 中，由AB ＝2，AC ＝1，得BC ＝3，CM ＝32，BM ＝32.(10分)在Rt △P AB 中，由AB ＝2，P A ＝1，得PB ＝ 5.因为Rt △BNM ∽Rt △BAP ，所以MN 1＝325，故MN ＝3510.(11分)所以在Rt △CNM 中，CN ＝305，故cos ∠CNM ＝64.所以二面角C -PB -A 的余弦值为64.(12分) ⇐⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡法二：过C 作CM ⊥AB 于M ，因为P A ⊥平面ABC ，CM ⊂平面ABC ，所以P A ⊥CM ，又因为P A ∩AB ＝A ，且P A ⊂平面P AB ，AB ⊂平面P AB ，故CM ⊥平面P AB .(7分)过M 作MN ⊥PB 于N ，连接NC ，由三垂线定理得CN ⊥PB ，所以∠CNM 为二面角C -PB -A 的平面角.(8分)而求出二面角的 余弦值．[解答题规范专练] 立体几何 1.如图，四边形ABCD 是梯形，AB ∥CD ，∠BAD ＝90°，P A ⊥平面ABCD ，且AB ＝1，AD ＝1，CD ＝2，P A ＝3，E 为PD 的中点．(1)求证：AE ∥平面PBC ；(2)求直线AC 与PB 所成角的余弦值．解：(1)证明：取PC 的中点为F ，连接EF ，BF ， 又E 为PD 的中点，所以EF ∥DC 且EF ＝12DC ，所以EF ∥AB ，且EF ＝AB ，所以四边形ABFE 为平行四边形，所以AE ∥BF ，因为AE ⊄平面PBC ，BF ⊂平面PBC ，所以AE ∥平面PBC . (2)建立如图所示的空间直角坐标系，则A ，B ，C ，P 的坐标分别为A (0,0，0)，B (1,0,0)，C (2,1,0)，P (0,0,3)．从而AC u u u r ＝(2,1,0)，PB u u u r＝(1,0，－3)， 设AC u u u r 与PB u u u r的夹角为θ，则cos θ＝AC u u u r ·PB u u u r |AC u u ur ||PB u u u r |＝25. 2.(2014·太原模拟)如图，在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为梯形，AB ∥DC ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝P A ＝1，CD ＝2，点E 在棱PB 上，且PE ＝2EB .(1)求证：PD ∥平面EAC ； (2)求二面角A -EC -B 的余弦值．解：(1)证明：连接BD 交AC 于点O ，则OB ∶OD ＝AB ∶DC ＝1∶2，即OD ＝2OB .又PE ＝2EB ，∴OB OD ＝BEPE，连接OE，则OE ∥PD .又OE ⊂平面EAC ，PD ⊄平面EAC ， ∴PD ∥平面EAC .(2)设CD 的中点为F ，连接AF ，则AB ＝CF ，∴四边形ABCF 是正方形，如图，分别以AF ，AB ，AP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则点A (0,0,0)，B (0,1,0)，C (1,1,0)，P (0,0，1)，设点E (x ，y ，z )，则PE u u u r ＝(x ，y ，z －1)，EB u u u r＝(－x,1－y ，－z )．由PE u u u r ＝2EB u u u r ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2x ，y ＝2(1－y )，z －1＝－2z ，解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝23，z ＝13.∴E ⎝⎛⎭⎫0，23，13，∴AE u u u r ＝⎝⎛⎭⎫0，23，13，AC u u u r ＝(1,1,0)．设n ＝(a ，b ，c )是平面AEC 的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AE u u u r ＝23b ＋13c ＝0，n ·AC u u u r＝a ＋b ＝0，令a ＝1，得b ＝－1，c ＝2，n ＝(1，－1,2)，同理可得平面BEC 的一个法向量m ＝(0,1,1)， cos 〈m ，n 〉＝－1＋26×2＝36，图像可判断二面角A -EC -B 是钝角，∴二面角A -EC -B 的余弦值是－36. 3．一个多面体的三视图和直观图如图所示，其中M ，N 分别是AB ，SA 的中点．(1)求证：NB ⊥MC ；(2)求平面SAD 与平面SMC 所成角的余弦值． 解：(1)证明：如图，建立空间直角坐标系，则D (0,0,0)，A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,1,0)，S (0,0,2)， M ⎝⎛⎭⎫1，12，0，N ⎝⎛⎭⎫12，0，1， ∴CM u u u r ＝⎝⎛⎭⎫1，－12，0，BN u u u r ＝⎝⎛⎭⎫－12，－1，1， ∴CM u u u r ·BN u u u r ＝1×⎝⎛⎭⎫－12＋⎝⎛⎭⎫－12×(－1)＋0×1＝0， ∴CM u u u r ⊥BN u u u r，即NB ⊥MC .(2)易知平面SAD 的一个法向量是DC u u u r＝(0,1,0)，设平面SMC 的法向量为n ＝(a ，b ，c )，又SM u u u r ＝⎝⎛⎭⎫1，12，－2，SC u u u r ＝(0,1，－2)，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋12b －2c ＝0，b －2c ＝0，令c ＝1，则b ＝2，a ＝1，故n ＝(1,2,1)， 于是cos 〈DC u u u r ，n 〉＝DC u u u r·n| DC u u ur ||n |＝26＝63. 故平面SAD 与平面SMC 所成角的余弦值为63.。

[课堂练通考点]1. (2013·惠州调研)“m ＞n ＞0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 把椭圆方程化成x 21m ＋y 21n ＝1.若m ＞n ＞0，则1n ＞1m ＞0.所以椭圆的焦点在y轴上．反之，若椭圆的焦点在y 轴上，则1n ＞1m＞0即有m ＞n ＞0.故为充要条件．2. (2013·广东高考)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于12，则C 的方程是( )A.x 23＋y 24＝1 B.x 24＋y 23＝1 C.x 24＋y 22＝1 D.x 24＋y 23＝1 解析：选D 依题意，设椭圆方程为x 2a 2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，c a ＝12，c 2＝a 2－b 2，解得a 2＝4，b 2＝3.3. (2013·江南十校联考)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距依次成等差数列，则该椭圆的离心率是( )A.45 B.35 C.25D.15解析：选B 由题意知2a ＋2c ＝2(2b )，即a ＋c ＝2b ，又c 2＝a 2－b 2，消去b 整理得5c 2＝3a 2－2ac ，即5e 2＋2e －3＝0，∴e ＝35或e ＝－1(舍去)．4．(2014·池州模拟)已知点M (3，0)，椭圆x 24＋y 2＝1与直线y ＝k (x ＋3)交于点A ，B ，则△ABM 的周长为________．解析：M (3，0)与F (－3，0)是椭圆的焦点，则直线AB 过椭圆左焦点F (－3，0)，且|AB |＝|AF |＋|BF |，△ABM 的周长等于|AB |＋|AM |＋|BM |＝(|AF |＋|AM |)＋(|BF |＋|BM |)＝4a ＝8.答案：85. (2014·莆田模拟)点A ，B 分别是椭圆x 236＋y 220＝1长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，P A ⊥PF .(1)求点P 的坐标；(2)设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于|MB |，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值．解：(1)由题意可知点A (－6,0)，F (4,0) 设点P 的坐标为(x ，y )，则AP ＝(x ＋6，y )，FP＝(x －4，y )，且y ＞0，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y 220＝1，(x ＋6)(x －4)＋y 2＝0.即2x 2＋9x －18＝0，解得⎩⎨⎧x ＝32，y ＝532或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6，y ＝0.(舍) ∴点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫32，532.(2)直线AP 的方程为x －3y ＋6＝0，设点M 的坐标为(m,0)，由题意可知|m ＋6|2＝|m －6|.又－6≤m ≤6， ∴m ＝2，∴d 2＝(x －2)2＋y 2＝x 2－4x ＋4＋20－59x 2＝49⎝⎛⎭⎫x －922＋15. ∴当x ＝92时，d 取得最小值15.[课下提升考能]第Ⅰ卷：夯基保分卷1．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m 的值为( ) A.14B.12C ．2D ．4解析：选D 由题意可得，1m ＝12，所以m ＝4，选D. 2．设F 1、F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点的距离为( )A ．4B ．3C ．2D ．5解析：选A 由题意知|OM |＝12|PF 2|＝3，∴|PF 2|＝6，∴|PF 1|＝2a －|PF 2|＝10－6＝4.3．(2013·石家庄模拟) 中心在坐标原点的椭圆，焦点在x 轴上，焦距为4，离心率为22，则该椭圆的方程为( )A.x 216＋y 212＝1 B.x 212＋y 28＝1 C.x 212＋y 24＝1 D.x 28＋y 24＝1 解析：选D 依题意，2c ＝4，c ＝2，又e ＝c a ＝22，则a ＝22，b ＝2，所以椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.4．已知P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上的一点，若1PF ·2PF ＝0，tan ∠PF 1F 2＝12，则此椭圆的离心率为( )A.12B.23C.13D.53解析：选D ∵1PF ·2PF ＝0，∴1PF ⊥2PF ，∴|PF 1|＋|PF 2|＝655c ＝2a ，∴e ＝ca ＝53. 5．若方程x 2|a |－1＋y 2a ＋3＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是________．解析：因为方程x 2|a |－1＋y 2a ＋3＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，所以|a |－1＞a ＋3＞0，解得－3＜a ＜－2.答案： (－3，－2)6. (2013·辽宁高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|AF |＝6，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率e ＝________.解析：设椭圆的右焦点为F 1，在△ABF 中，由余弦定理可解得|BF |＝8，所以△ABF 为直角三角形，又因为斜边AB 的中点为O ，所以|OF |＝c ＝5，连接AF 1，因为A ，B 关于原点对称，所以|BF |＝|AF 1|＝8，所以2a ＝14，a ＝7，所以离心率e ＝57.答案：577．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，点P ⎝⎛⎭⎫55a ，22a 在椭圆上．(1)求椭圆的离心率；(2)设A 为椭圆的左顶点，O 为坐标原点，若点Q 在椭圆上且满足|AQ |＝|AO |，求直线OQ 的斜率．解：(1)因为点P ⎝⎛⎭⎫55a ，22a 在椭圆上，故a 25a 2＋a 22b 2＝1，可得b 2a 2＝58.于是e 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝38，所以椭圆的离心率e ＝64. (2)设直线OQ 的斜率为k ，则其方程为y ＝kx .设点Q 的坐标为(x 0，y 0)． 由条件得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0.x 20a 2＋y 20b 2＝1. 消去y 0并整理得x 20＝a 2b 2k 2a 2＋b2.①由|AQ |＝|AO |，A (－a,0)及y 0＝kx 0得，(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2，整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0. 而x 0≠0，故x 0＝－2a 1＋k 2.代入①，整理得(1＋k 2)2＝4k 2·a 2b 2＋4.由(1)知a 2b 2＝85，故(1＋k 2)2＝325k 2＋4，即5k 4－22k 2－15＝0，可得k 2＝5. 所以直线OQ 的斜率k ＝±5.8. (2014·黄山模拟)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2.点P (a ，b )满足|PF 2|＝|F 1F 2|.(1)求椭圆的离心率e ；(2)设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点．若直线PF 2与圆(x ＋1)2＋(y －3)2＝16相交于M ，N 两点，且|MN |＝58|AB |，求椭圆的方程．解：(1)设F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c ＞0)， 因为|PF 2|＝|F 1F 2|， 所以(a －c )2＋b 2＝2c . 整理得2(c a )2＋ca －1＝0.即2e 2＋e －1＝0， 所以e ＝12或－1(舍)．(2)由(1)知a ＝2c ，b ＝3c ，可得椭圆方程为3x 2＋4y 2＝12c 2， 直线PF 2的方程为y ＝3(x －c )． A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎨⎧3x 2＋4y 2＝12c 2，y ＝3(x －c ).消去y 并整理，得5x 2－8cx ＝0. 解得x 1＝0，x 2＝85c .得方程组的解⎩⎨⎧x 1＝0，y ＝－3c ，⎩⎨⎧x 2＝85c ，y 2＝335c .不妨设A ⎝⎛⎭⎫85c ，335c ，B (0，－3c )，所以|AB |＝⎝⎛⎭⎫85c 2＋⎝⎛⎭⎫335c ＋3c 2＝165c . 于是|MN |＝58|AB |＝2c .圆心(－1，3)到直线PF 2的距离 d ＝|－3－3－3c |2＝3|2＋c |2.因为d 2＋⎝⎛⎭⎫|MN |22＝42，所以34(2＋c )2＋c 2＝16.整理得7c 2＋12c －52＝0，得c ＝－267(舍)，或c ＝2.所以椭圆方程为x 216＋y 212＝1.第Ⅱ卷：提能增分卷1. (2014·长春调研)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，右焦点到直线x ＋y ＋6＝0的距离为2 3.(1)求椭圆的方程；(2)过点M (0，－1)作直线l 交椭圆于A ，B 两点，交x 轴于N 点，且满足NA ＝－75NB，求直线l 的方程．解：(1)设椭圆的右焦点为(c,0)(c ＞0)，则|c ＋6|2＝23，c ＋6＝±26，c ＝6或c ＝－36(舍去)．又离心率c a ＝32，6a ＝32，故a ＝22，b ＝a 2－c 2＝2，故椭圆的方程为x 28＋y 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，N (x 0,0)，因为NA ＝－75NB，所以(x 1－x 0，y 1)＝－75(x 2－x 0，y 2)，y 1＝－75y 2.①易知当直线l 的斜率不存在或斜率为0时，①不成立， 于是设直线l 的方程为y ＝kx －1(k ≠0)，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2＋4y 2＝8. 消去x 得(4k 2＋1)y 2＋2y ＋1－8k 2＝0，② 因为Δ＞0，所以直线与椭圆相交， 于是y 1＋y 2＝－24k 2＋1，③y 1y 2＝1－8k 24k 2＋1， ④由①③得，y 2＝54k 2＋1，y 1＝－74k 2＋1，代入④整理得8k 4＋k 2－9＝0，k 2＝1，k ＝±1， 所以直线l 的方程是y ＝x －1或y ＝－x －1.2．已知椭圆C 的中心为坐标原点O ，一个长轴端点为(0,2)，短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l 与y 轴交于点P (0，m )，与椭圆C 交于相异两点A ，B ，且AP＝2PB .(1)求椭圆的方程； (2)求m 的取值范围．解：(1)由题意知椭圆的焦点在y 轴上，设椭圆方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)，由题意知a ＝2，b ＝c ，又a 2＝b 2＋c 2，则b ＝2， 所以椭圆的方程为y 24＋x 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知，直线l 的斜率存在，设其方程为y ＝kx ＋m ，与椭圆方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＋2x 2＝4，y ＝kx ＋m . 则(2＋k 2)x 2＋2mkx ＋m 2－4＝0， Δ＝(2mk )2－4(2＋k 2)(m 2－4)＞0.由根与系数的关系知⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2mk 2＋k 2，x 1x 2＝m 2－42＋k2.又由AP ＝2PB ，即(－x 1，m －y 1)＝2(x 2，y 2－m )，得－x 1＝2x 2，故⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－x 2，x 1x 2＝－2x 22， 可得m 2－42＋k 2＝－2⎝⎛⎭⎫2mk 2＋k 22， 整理得(9m 2－4)k 2＝8－2m 2，又9m 2－4＝0时不符合题意，所以k 2＝8－2m 29m 2－4＞0，解得49＜m 2＜4，此时Δ＞0，解不等式49＜m 2＜4得23＜m ＜2或－2＜m ＜－23，所以m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－2，－23∪⎝⎛⎭⎫23，2. 3．(2014·兰州模拟)已知椭圆方程为y 22＋x 2＝1，斜率为k (k ≠0)的直线l 过椭圆的上焦点且与椭圆相交于P ，Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与y 轴相交于点M (0，m )．(1)求m 的取值范围； (2)求△MPQ 面积的最大值． 解：(1)设直线l 的方程为y ＝kx ＋1， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 22＋x 2＝1，可得(k 2＋2)x 2＋2kx －1＝0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2k k 2＋2，x 1x 2＝－1k 2＋2.可得y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2＝4k 2＋2.设线段PQ 的中点为N ，则点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－k k 2＋2，2k 2＋2， 由题意有k MN ·k ＝－1，可得m －2k 2＋2k k 2＋2·k ＝－1，可得m ＝1k 2＋2，又k ≠0，所以0<m <12.(2)设椭圆的焦点为F ，则S △MPQ ＝12·|FM |·|x 1－x 2|＝2m (1－m )3，所以△MPQ 的面积为2m (1－m )3⎝⎛⎭⎫0<m <12. 设f (m )＝m (1－m )3，则f ′(m )＝(1－m )2(1－4m )． 可知f (m )在区间⎝⎛⎭⎫0，14上递增，在区间⎝⎛⎭⎫14，12上递减． 所以，当m ＝14时，f (m )有最大值f ⎝⎛⎭⎫14＝27256. 即当m ＝14时，△MPQ 的面积有最大值3616.。

第八章 平面解析几何第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程1．直线的倾斜角(1)定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角．当直线与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.(2)倾斜角的范围为[0，π)． 2．直线的斜率(1)定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝tan_α，倾斜角是90°的直线没有斜率．(2)过两点的直线的斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝y 1－y 2x 1－x 2.3．直线方程1．利用两点式计算斜率时易忽视x 1＝x 2时斜率k 不存在的情况．2．用直线的点斜式求方程时，在斜率k 不明确的情况下，注意分k 存在与不存在讨论，否则会造成失误．3．直线的截距式中易忽视截距均不为0这一条件，当截距为0时可用点斜式． 4．由一般式Ax ＋By ＋C ＝0确定斜率k 时易忽视判断B 是否为0，当B ＝0时，k 不存在；当B ≠0时，k ＝－A B.[试一试]1．若直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m －1在x 轴上的截距为1，则实数m 是( ) A ．1 B ．2 C ．－12D ．2或－12解析：选D 当2m 2＋m －3≠0时，即m ≠1或m ≠－32时，在x 轴上截距为4m －12m 2＋m －3＝1，即2m 2－3m －2＝0，故m ＝2或m ＝－12.2．过点M (－2，m )，N (m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为________． 解析：∵k MN ＝m －4－2－m ＝1，∴m ＝1.答案：13．过点M (3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为________． 解析：①若直线过原点，则k ＝－43，所以y ＝－43x ，即4x ＋3y ＝0.②若直线不过原点． 设x a ＋ya ＝1，即x ＋y ＝a . 则a ＝3＋(－4)＝－1， 所以直线的方程为x ＋y ＋1＝0. 答案：4x ＋3y ＝0或x ＋y ＋1＝01．求斜率可用k ＝tan α(α≠90°)，其中α为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互联系不可分割，牢记：“斜率变化分两段，90°是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论”．2．求直线方程的一般方法(1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程，选择时，应注意各种形式的方程的适用范围，必要时要分类讨论．(2)待定系数法，具体步骤为： ①设所求直线方程的某种形式； ②由条件建立所求参数的方程(组)； ③解这个方程(组)求出参数； ④把参数的值代入所设直线方程． [练一练]1．直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( ) A ．[0，π) B.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π C.⎣⎡⎦⎤0，π4 D.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎭⎫π2，π 解析：选B 设倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α其中sin α∈[－1,1]．又θ∈[0，π)，∴0≤θ≤π4或3π4≤θ＜π. 2．过点(5,10)且到原点的距离是5的直线的方程为________． 解析：当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0； 当斜率存在时，设其为k ，则所求直线方程为y －10＝k (x －5)， 即kx －y ＋(10－5k )＝0. 由点到直线的距离公式，得|10－5k |k 2＋1＝5， 解得k ＝34.故所求直线方程为3x －4y ＋25＝0.综上知，所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0. 答案：x －5＝0或3x －4y ＋25＝0直线的倾斜角与斜率1．(2013·秦皇岛模拟)直线x ＋3y ＋1＝0的倾斜角是( ) A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：选D 由直线的方程得直线的斜率为k ＝－33，设倾斜角为α，则tan α＝－33，又α∈[0，π)，所以α＝5π6.2．若直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，而α∈⎣⎡⎭⎫π6，π4∪⎣⎡⎭⎫2π3，π则k 的取值范围是________． 解析：当α∈⎣⎡⎭⎫π6，π4时，k ＝tan α∈⎣⎡⎭⎫33，1； 当α∈⎣⎡⎭⎫2π3，π时，k ＝tan α∈[)－3，0. 综上k ∈[)－3，0∪⎣⎡⎭⎫33，1.答案：[)－3，0∪⎣⎡⎭⎫33，1[类题通法]1．求倾斜角的取值范围的一般步骤： (1)求出斜率k ＝tan α的取值范围；(2)利用三角函数的单调性，借助图像或单位圆数形结合，确定倾斜角α的取值范围． 2．求倾斜角时要注意斜率是否存在.直线方程[典例] 根据所给条件求直线的方程： (1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为1010； (2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12. [解] (1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式． 设倾斜角为α，则sin α＝1010(0＜α＜π)， 从而cos α＝±31010，则k ＝tan α＝±13.故所求直线方程为y ＝±13(x ＋4)．即x ＋3y ＋4＝0或x －3y ＋4＝0.(2)由题设知截距不为0，设直线方程为x a ＋y12－a ＝1，又因为直线过点(－3,4)，所以－3a ＋412－a ＝1，解得a ＝－4或a ＝9.故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0. [类题通法]1．在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件． 2．对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用． [针对训练]经过点P (－5，－4)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为5的直线方程是( ) A ．8x ＋5y ＋20＝0或2x －5y －12＝0 B ．8x －5y －20＝0或2x －5y ＋10＝0 C ．8x ＋5y ＋10＝0或2x ＋5y －10＝0 D ．8x －5y ＋20＝0或2x －5y －10＝0解析：选D 由题意设所求方程为y ＋4＝k (x ＋5)，即kx －y ＋5k －4＝0.由12·|5k －4|·|4k －5|＝5得，k ＝85或k ＝25.直线方程的综合应用角度一 与基本不等式相结合求最值问题1．已知直线l 过点M (1,1)，且与x 轴，y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点．求：(1)当|OA |＋|OB |取得最小值时，直线l 的方程； (2)当|MA |2＋|MB |2取得最小值时，直线l 的方程． 解：(1)设A (a,0)，B (0，b )(a ＞0，b ＞0)． 设直线l 的方程为x a ＋y b ＝1，则1a ＋1b＝1，所以|OA |＋|OB |＝a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋ba≥2＋2a b ·ba＝4， 当且仅当a ＝b ＝2时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0. (2)设直线l 的斜率为k ，则k ＜0，直线l 的方程为y －1＝k (x －1)，则A ⎝⎛⎭⎫1－1k ，0，B (0,1－k ), 所以|MA |2＋|MB |2＝⎝⎛⎭⎫1－1＋1k 2＋12＋12＋(1－1＋k )2＝2＋k 2＋1k2≥2＋2k 2·1k 2＝4，当且仅当k 2＝1k2，即k ＝－1时，|MA |2＋|MB |2取得最小值4，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0.角度二 直线方程与平面向量的综合2．已知直线l 过点M (2,1)，且与x 轴，y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点．求当MA ·MB 取得最小值时，直线l 的方程．解：设A (a,0)，B (0，b )则a ＞0，b ＞0，直线l 的方程为x a ＋y b ＝1，所以2a ＋1b ＝1.故MA ·MB ＝－MA ·MB ＝－(a －2，－1)·(－2，b －1)＝2(a －2)＋b －1＝2a ＋b －5＝(2a ＋b )⎝⎛⎭⎫2a ＋1b －5＝2b a ＋2ab≥4，当且仅当a ＝b ＝3时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0. [类题通法]1．含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过两条定直线交点的直线系，即能够看出“动中有定”．2．求解与直线方程有关的最值问题，选设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值.第二节两直线的位置关系1．两直线的位置关系2．两直线的交点设两条直线的方程是l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，两条直线的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解，若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立．3．几种距离 (1)两点间的距离：平面上的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)间的距离公式 d (A ，B )＝|AB |(2)点到直线的距离：点P (x 1，y 1)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d(3)两条平行线间的距离：两条平行线Ax ＋By ＋C1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d1．在判断两直线的位置关系时，易忽视斜率是否存在，两条直线都有斜率可据条件进行判断，若无斜率，要单独考虑．2．运用两平行直线间的距离公式时易忽视两方程中的x ，y 的系数分别相等这一条件盲目套用公式导致出错．[试一试]1．(2013·长春调研)已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是( )A.1710 B.175 C ．8D ．2解析：选D ∵63＝m 4≠14－3，∴m ＝8，直线6x ＋my ＋14＝0可化为3x ＋4y ＋7＝0，两平行线之间的距离d ＝|－3－7|32＋42＝2.2．已知p ：直线l 1：x －y －1＝0与直线l 2：x ＋ay －2＝0平行，q ：a ＝－1，则p 是q 的 ( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由于直线l 1：x －y －1＝0与直线l 2：x ＋ay －2＝0平行的充要条件是1×a －(－1)×1＝0，即a ＝－1.1．与已知直线垂直及平行的直线系的设法与直线Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)垂直和平行的直线方程可设为： (1)垂直：Bx －Ay ＋m ＝0； (2)平行：Ax ＋By ＋n ＝0. 2．转化思想在对称问题中的应用对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称，利用坐标转移法． [练一练]1．点(2,3)关于直线x ＋y ＋1＝0的对称点是________．解析：设对称点为(a ，b )，则⎩⎨⎧b －3a －2＝1，a ＋22＋b ＋32＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝－3. 答案：(－4，－3)2．(2014·张家口质检)已知直线l 过点(－1,2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则直线l 的方程为________．解析：由直线l 与直线2x －3y ＋4＝0垂直，可知直线l 的斜率是－32，由点斜式可得直线l 的方程为y －2＝－32(x ＋1)，即3x ＋2y －1＝0.答案：3x ＋2y －1＝0两直线平行与垂直1．已知过点A (－2，m )和点B (m,4)的直线为l 1，直线2x ＋y －1＝0为l 2，直线x ＋ny ＋1＝0为l 3.若l 1∥l 2，l 2⊥l 3，则实数m ＋n 的值为( )A ．－10B ．－2C ．0D ．8解析：选A ∵l 1∥l 2， ∴k AB ＝4－mm ＋2＝－2.解得m ＝－8. 又∵l 2⊥l 3，∴－1n ×(－2)＝－1，解得n ＝－2，∴m ＋n ＝－10.2．“a ＝2”是“直线ax ＋2y ＝0与直线x ＋y ＝1平行”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：选C 当a ＝2时，直线ax ＋2y ＝0即x ＋y ＝0与直线x ＋y ＝1平行；当直线ax ＋2y ＝0与直线x ＋y ＝1平行时，－a2＝－1，a ＝2.综上所述，“a ＝2”是“直线ax ＋2y ＝0与直线x ＋y ＝1平行”的充要条件，故选C.3．经过两直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P ，且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程为________．解析：法一 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，即P (0,2)． ∵l ⊥l 3，∴直线l 的斜率k 1＝－43，∴直线l 的方程为y －2＝－43x ，即4x ＋3y －6＝0.法二 ∵直线l 过直线l 1和l 2的交点，∴可设直线l 的方程为x －2y ＋4＋λ(x ＋y －2)＝0， 即(1＋λ)x ＋(λ－2)y ＋4－2λ＝0. ∵l 与l 3垂直，∴3(1＋λ)＋(－4)(λ－2)＝0， ∴λ＝11，∴直线l 的方程为12x ＋9y －18＝0，即4x ＋3y －6＝0. 答案：4x ＋3y －6＝0 [类题通法]充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决本题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线l 1和l 2，l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意．距离问题[典例] 已知A (4，－3)，B (2，－1)和直线l ：4x ＋3y －2＝0，在坐标平面内求一点P ，使|P A |＝|PB |，且点P 到直线l 的距离为2.解：设点P 的坐标为(a ，b )． ∵A (4，－3)，B (2，－1)，∴线段AB 的中点M 的坐标为(3，－2)． 而AB 的斜率k AB ＝－3＋14－2＝－1， ∴线段AB 的垂直平分线方程为 y ＋2＝x －3， 即x －y －5＝0.∵点P (a ，b )在直线x －y －5＝0上， ∴a －b －5＝0.①又点P (a ，b )到直线l ：4x ＋3y －2＝0的距离为2， ∴|4a ＋3b －2|5＝2， 即4a ＋3b －2＝±10，②由①②联立可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4，或⎩⎨⎧a ＝277，b ＝－87.∴所求点P 的坐标为(1，－4)或⎝⎛⎭⎫277，－87. [类题通法]1．点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求．注意直线方程为一般式． 2．动点到两定点距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在两定点所在线段的垂直平分线上，从而计算简便，如本例中|P A |＝|PB |这一条件的转化处理．[针对训练]与直线7x ＋24y －5＝0平行，并且到它的距离等于3的直线方程是______________________．解析：设所求直线方程为7x ＋24y ＋m ＝0， 由3＝|m ＋5|72＋242，∴m ＝70或－80.答案：7x ＋4y －80＝0或7x ＋24y ＋70＝0对称问题角度一 点关于点的对称1．过点P (0,1)作直线l 使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，求直线l 的方程．解：设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上， 代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0， 解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上， 所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0. 角度二 点关于线对称2．已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)，求点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标． 解：设A ′(x ，y )，再由已知得⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－3313，y ＝413，故A ′⎝⎛⎭⎫－3313，413. 角度三 线关于线对称3．在[角度二]的条件下，求直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程． 解：在直线m 上取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上． 设对称点M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×⎝⎛⎭⎫a ＋22－3×⎝⎛⎭⎫b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，得M ′⎝⎛⎭⎫613，3013.设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0， 得N (4,3)．又∵m ′经过点N (4,3)，∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0. 角度四 对称问题的应用4．光线从A (－4，－2)点射出，到直线y ＝x 上的B 点后被直线y ＝x 反射到y 轴上的C点，又被y 轴反射，这时反射光线恰好过点D (－1,6)，求BC 所在的直线方程．解：作出草图，如图所示，设A 关于直线y ＝x 的对称点为A ′，D 关于y 轴的对称点为D ′，则易得A ′(－2，－4)，D ′(1,6)．由入射角等于反射角可得A ′D ′所在直线经过点B 与C .故BC 所在的直线方程为y －66＋4＝x －11＋2，即10x －3y ＋8＝0.[类题通法]解决对称问题的方法(1)中心对称①点P (x ，y )关于O (a ，b )的对称点P ′(x ′，y ′)满足⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2a －x ，y ′＝2b －y . ②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决． (2)轴对称①点A (a ，b )关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(B ≠0)的对称点A ′(m ，n )，则有⎩⎪⎨⎪⎧n －b m －a ×⎝⎛⎭⎫－A B ＝－1，A ·a ＋m 2＋B ·b ＋n 2＋C ＝0.②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．第三节圆的方程1．圆的定义及方程2．点与圆的位置关系点M (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系： (1)若M (x 0，y 0)在圆外，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2. (2)若M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2. (3)若M (x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2.对于方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆时易忽视D 2＋E 2－4F ＞0这一成立条件． [试一试]方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示圆的充要条件是( ) A.14＜m ＜1 B ．m ＜14或m ＞1C ．m ＜14D ．m ＞1解析：选B 由(4m )2＋4－4×5m ＞0知m ＜14或m ＞1.1．确定一个圆的方程，需要三个独立条件．“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法：是指根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数．2．求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算． (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上． (2)圆心在任一弦的中垂线上．(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线． [练一练]1．圆心在y 轴上且通过点(3,1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是( ) A ．x 2＋y 2＋10y ＝0 B ．x 2＋y 2－10y ＝0 C ．x 2＋y 2＋10x ＝0D ．x 2＋y 2－10x ＝0解析：选B 设圆心为(0，b )，半径为r ，则r ＝|b |， ∴圆的方程为x 2＋(y －b )2＝b 2. ∵点(3,1)在圆上，∴9＋(1－b )2＝b 2，解得：b ＝5. ∴圆的方程为x 2＋y 2－10y ＝0.2．以直线3x －4y ＋12＝0夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程为______________． 解析：法一：直线3x －4y ＋12＝0与两坐标轴的交点分别为A (－4,0)，B (0,3)，所以线段AB 的中点为C ⎝⎛⎭⎫－2，32，|AB |＝5. 故所求圆的方程为(x ＋2)2＋⎝⎛⎭⎫y －322＝⎝⎛⎭⎫522. 法二：易得圆的直径的两端点为A (－4,0)，B (0,3)， 设P (x ，y )为圆上任一点，则P A ⊥PB.∴k P A ·k PB ＝－1得y x ＋4·y －3x ＝－1(x ≠－4，x ≠0)，即x (x ＋4)＋y (y －3)＝0. 化简得(x ＋2)2＋⎝⎛⎭⎫y －322＝⎝⎛⎭⎫522. 答案：(x ＋2)2＋⎝⎛⎭⎫y －322＝254圆的方程1．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为( ) A ．x 2＋(y －2)2＝1 B ．x 2＋(y ＋2)2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D ．x 2＋(y －3)2＝1 解析：选A 设圆心坐标为(0，b )，则由题意知(0－1)2＋(b －2)2＝1，解得b ＝2，故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.2．经过点(1,0)，且圆心是两直线x ＝1与x ＋y ＝2的交点的圆的方程为( ) A ．(x －1)2＋y 2＝1 B ．(x －1)2＋(y －1)2＝1 C ．x 2＋(y －1)2＝1D ．(x －1)2＋(y －1)2＝2解析：选B 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，x ＋y ＝2得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即所求圆的圆心坐标为(1,1)，又由该圆过点(1,0)，得其半径为1，故圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1.3. 过直线2x ＋y ＋4＝0和圆(x ＋1)2＋(y －2)2＝4的交点，并且面积最小的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2＋265x －125y ＋375＝0B ．x 2＋y 2＋265x －125y －375＝0C ．x 2＋y 2－265x －125y ＋375＝0D ．x 2＋y 2－265x －125y －375＝0解析：选A 设所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2－4＋k (2x ＋y ＋4)＝0，即x 2＋y 2＋2(k ＋1)x ＋(k －4)y ＋1＋4k ＝0，化为圆的标准方程得[x ＋(k ＋1)]2＋⎣⎡⎦⎤y ＋12(k －4)2＝(k ＋1)2＋14(k －4)2－(4k ＋1)，由(k ＋1)2＋14(k －4)2－(1＋4k )＞0，得5k 2－16k ＋16＞0，此时，所求圆的半径r＝(k ＋1)2＋14(k －4)2－(1＋4k )＝125k 2－16k ＋16.显然，当k ＝－－1610，即k ＝85时，5k 2－16k ＋16有最小值165，此时，圆的半径最小，从而面积最小．故所求的圆的方程为x 2＋y 2＋265x －125y ＋375＝0.[类题通法]1．利用待定系数法求圆的方程关键是建立关于a ，b ，r 或D ，E ，F 的方程组． 2．利用圆的几何性质求方程可直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程，体现了数形结合思想的运用．与圆有关的最值问题角度一 斜率型最值问题1．已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.求yx 的最大值和最小值．解：原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆． yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设yx＝k ，即y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝ 3，解得k ＝±3.(如图)所以yx 的最大值为3，最小值为－ 3.角度二 截距型最值问题2.在[角度一]条件下求y －x 的最大值和最小值．解：y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b |2＝ 3，解得b ＝－2±6.(如图)所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6. 角度三 距离型最值问题3．在[角度一]条件下求x 2＋y 2的最大值和最小值．解：x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．(如图)又圆心到原点的距离为(2－0)2＋(0－0)2＝2，所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x 2＋y 2的最小值是()2－32＝7－4 3. 角度四 利用对称性求最值4．(2013·重庆高考)已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．52－4 B.17－1 C ．6－2 2D.17解析：选A 两圆的圆心均在第一象限，先求|PC 1|＋|PC 2|的最小值，作点C 1关于x 轴的对称点C ′1(2，－3)，则(|PC 1|＋|PC 2|)min ＝|C ′1C 2|＝52，所以(|PM |＋|PN |)min ＝52－(1＋3)＝52－4.[类题通法]数形结合法求解与圆有关的最值问题(1)形如t ＝y －b x －a 形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；(2)形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如t ＝(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的最值问题．与圆有关的轨迹问题[典例] xOy 中，已知圆为22，在y 轴上截得线段长为2 3.(1)求圆心P 的轨迹方程； (2)若P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程． [解] (1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r .由题设y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2，从而y 2＋2＝x 2＋3. 故P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1. (2)设P (x 0，y 0)．由已知得|x 0－y 0|2＝22.又P 点在双曲线y 2－x 2＝1上，从而得⎩⎪⎨⎪⎧|x 0－y 0|＝1，y 20－x 20＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧ x 0－y 0＝1，y 20－x 20＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝－1.此时，圆P 的半径r ＝ 3. 由⎩⎪⎨⎪⎧ x 0－y 0＝－1，y 20－x 20＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝1.此时，圆P 的半径r ＝ 3. 故圆P 的方程为x 2＋(y －1)2＝3或x 2＋(y ＋1)2＝3. [类题通法]求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下做法 (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． (2)定义法：根据圆、直线等定义列方程． (3)几何法：利用圆与圆的几何性质列方程．(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等． [针对训练]已知OP ＝(2＋2cos α，2＋2sin α)，α∈R ，O 为坐标原点，向量OQ 满足OP ＋OQ ＝0，则动点Q 的轨迹方程是________．解析：设Q (x ，y )，由OP ＋OQ ＝(2＋2cos α＋x,2＋2sin α＋y )＝(0,0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2－2cos α，y ＝－2－2sin α， ∴(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝4. 答案：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝4第四节直线与圆、圆与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系(半径r ，圆心到直线的距离为d )2．圆与圆的位置关系(两圆半径r 1、r 2，d ＝|O 1O 2|)1．对于圆的切线问题，尤其是圆外一点引圆的切线，易忽视切线斜率k 不存在情形． 2．两圆相切问题易忽视分两圆内切与外切两种情形． [试一试]1．(2014·石家庄模拟)过点(2,3)与圆(x －1)2＋y 2＝1相切的直线的方程为________． 解析：设圆的切线方程为y ＝k (x －2)＋3，由圆心(1,0)到切线的距离为半径1，得k ＝43，所以切线方程为4x －3y ＋1＝0，又直线x ＝2也是圆的切线，所以直线方程为4x －3y ＋1＝0或x ＝2.答案：x ＝2或4x －3y ＋1＝02．(2013·北京东城模拟)已知圆C ：x 2＋y 2－6x ＋8＝0, 则圆心C 的坐标为________；若直线y ＝kx 与圆C 相切，且切点在第四象限，则k ＝________.解析：圆的方程可化为(x －3)2＋y 2＝1，故圆心坐标为(3,0)；由|3k |1＋k 2＝1, 解得k ＝±24，根据切点在第四象限，可得k ＝－24. 答案：(3,0) －241．圆的切线问题(1)过圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)上一点M (x 0，y 0)的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2；(2)过圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外一点M (x 0，y 0)引切线，有两条，求方程的方法是待定系数法，切点为T 的切线长公式为|MT |＝ x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F ＝|MC |2－r 2(其中C 为圆C 的圆心，r 为其半径)．2．求圆的弦长的常用方法(1)几何法：设圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为l ，则⎝⎛⎭⎫l 22＝r 2－d 2. (2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式： |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]. 注意：常用几何法研究圆的弦的有关问题． [练一练]1．(2014·泉州模拟)过坐标原点且与圆x 2－4x ＋y 2＋2＝0相切的直线方程为( ) A ．x ＋y ＝0 B ．x －y ＝0C ．x ＋y ＝0或x －y ＝0D ．x ＋3y ＝0或x －3y ＝0解析：选C 圆x 2－4x ＋y 2＋2＝0的圆心为(2,0)，半径为2，易知过原点与该圆相切时，直线必有斜率．设斜率为k ，则直线方程为y ＝kx ，则|2k |k 2＋1＝2， ∴k 2＝1，∴k ＝±1， ∴直线方程为y ＝±x .2．圆x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0截直线5x －12y ＋c ＝0所得的弦长为8，则c 的值是( ) A ．10 B ．10或－68 C ．5或－34D ．－68解析：选B ∵弦长为8，圆的半径为5， ∴弦心距为52－42＝3，∵圆心坐标为(1，－2)， ∴|5×1－12×(－2)＋c |13＝3，∴c ＝10或c ＝－68.直线与圆的位置关系1．(2013·陕西高考)已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定解析：选B 由点M 在圆外，得a 2＋b 2＞1，∴圆心O 到直线ax ＋by ＝1的距离d ＝1a 2＋b 2＜1，则直线与圆O 相交．2．(2014·江南十校联考)直线x －y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x －1＝0有两个不同交点的一个充分不必要条件是( )A ．－3＜m ＜1B ．－4＜m ＜2C ．0＜m ＜1D ．m ＜1解析：选C 根据直线与圆有两个不同的交点，可知圆心到直线的距离d 小于半径． ∵圆x 2＋y 2－2x －1＝0可化为(x －1)2＋y 2＝2，即圆心是(1,0)，半径是2， ∴d ＝|1－0＋m |2＜2，∴|m ＋1|＜2，∴－3＜m ＜1，由题意知m 的取值范围应是(－3,1)的一个真子集，故选C. [类题通法]判断直线与圆的位置关系常见的方法(1)几何法：利用d 与r 的关系．(2)代数法：联立方程随之后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交． 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．切线、弦长问题[典例] ＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( )A ．2x ＋y －3＝0B ．2x －y －3＝0C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝0[解析] 根据平面几何知识，直线AB 一定与点(3,1)，(1,0)的连线垂直，这两点连线的斜率为12，故直线AB 的斜率一定是－2，只有选项A 中直线的斜率为－2.[答案] A(2)过点(3,1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________．[解析] 最短弦为过点(3,1)，且垂直于点(3,1)与圆心的连线的弦，易知弦心距d ＝(3－2)2＋(1－2)2＝2，所以最短弦长为2r 2－d 2＝222－(2)2＝2 2. [答案] 2 2 [类题通法]1．处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长一半、弦心距、半径构成直角三角形． 2．圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径建立关系解决问题． [针对训练](2014·济南模拟)已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，且|AB |＝ 3，则OA ·OB 的值是( ) A ．－12B.12 C ．－34D ．0解析：选A 在△OAB 中，|OA |＝|OB |＝1，|AB |＝ 3，可得∠AOB ＝120°，所以OA ·OB ＝1×1×cos 120°＝－12.圆与圆的位置关系[典例] 12：(x ＋m )2＋∈R )相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是________．[解析] 由两圆在点A 处的切线互相垂直，可知两切线分别过另一圆的圆心，即AO 1⊥AO 2，在直角三角形AO 1O 2中，(25)2＋(5)2＝m 2，∴m ＝±5，|AB |＝2×25×55＝4. [答案] 4在本例条件下求AB 所在的直线方程.解：由本例可知m ＝±5.当m＝5时，⊙O1：x2＋y2＝5，①⊙O2：x2＋y2＋10x＋5＝0.②②－①得，x＝－1，即AB所在直线方程为x＝－1.当m＝－5时，⊙O1：x2＋y2＝5，①⊙O2：x2＋y2－10x＋5＝0.②②－①得，x＝1，即AB所在直线方程为x＝1.∴AB所在的直线方程为x＝1或x＝－1.[类题通法]1．两圆位置关系的判断常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．2．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到．[针对训练]与圆x2＋y2＋4x－4y＋7＝0和x2＋y2－4x－10y＋13＝0都相切的直线共有()A．1条B．2条C．3条D．4条解析：选C由题意知，两圆圆心分别为(－2,2)与(2,5)，半径分别为1和4，圆心距为(－2－2)2＋(2－5)2＝5，显然两圆外切，故公切线的条数为3.第五节椭圆1．椭圆的定义(1)满足以下条件的点的轨迹是椭圆：①在平面内；②与两个定点F1、F2的距离之和等于常数；③常数大于|F1F2|.(2)焦点：两定点．(3)焦距：两焦点间的距离．2．椭圆的标准方程和几何性质1．椭圆的定义中易忽视2a ＞|F 1F 2|这一条件，当2a ＝|F 1F 2|其轨迹为线段F 1F 2，当2a ＜|F 1F 2|不存在轨迹．2．求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，而直接设方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．3．注意椭圆的范围，在设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上点的坐标为P (x ，y )时，则|x |≤a ，这往往在求与点P 有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因．[试一试]若直线x －2y ＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为( ) A.x 25＋y 2＝1 B.x 24＋y 25＝1 C.x 25＋y 2＝1或x 24＋y 25＝1 D ．以上答案都不对解析：选C 直线与坐标轴的交点为(0,1)，(－2,0)，由题意知当焦点在x 轴上时，c ＝2，b ＝1，∴a 2＝5，所求椭圆的标准方程为x 25＋y 2＝1.当焦点在y 轴上时，b ＝2，c ＝1，∴a 2＝5，所求椭圆标准方程为y 25＋x 24＝1.故选C.1．求椭圆标准方程的方法(1)定义法：根据椭圆定义，确定a 2，b 2的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程． (2)待定系数法：根据椭圆焦点是在x 轴还是y 轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a ，b ，c 的方程组，解出a 2，b 2，从而写出椭圆的标准方程．2．椭圆上任意一点M 到焦点F 的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a ＋c ，最小距离为a －c .3．求椭圆离心率e 时，只要求出a ，b ，c 的一个齐次方程，再结合b 2＝a 2－c 2就可求得e (0＜e ＜1)．[练一练]1．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与双曲线x 2m 2－y 2n 2＝1(m ＞0，n ＞0)有相同的焦点(－c,0)和(c,0)，若c 是a 、m 的等比中项，n 2是2m 2与c 2的等差中项，则椭圆的离心率是( )A.33B.22C.14D.12解析：选D 在双曲线中m 2＋n 2＝c 2，又2n 2＝2m 2＋c 2，解得m ＝c2，又c 2＝am ，故椭圆的离心率e ＝c a ＝12.2．椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是3，则这个椭圆方程为________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a －c ＝3，c a ＝12，解得⎩⎨⎧a ＝23，c ＝ 3.∴椭圆方程为x 212＋y 29＝1或y 212＋x 29＝1.答案：x 212＋y 29＝1或y 212＋x 29＝1椭圆的定义及标准方程1.(2014·三明模拟)设F 1，F 2是椭圆x 49＋y 24＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|∶|PF 2|＝4∶3，则△PF 1F 2的面积为( )A ．30B ．25C ．24D ．40解析：选C ∵|PF 1|＋|PF 2|＝14， 又|PF 1|∶|PF 2|＝4∶3， ∴|PF 1|＝8，|PF 2|＝6. ∵|F 1F 2|＝10，∴PF 1⊥PF 2.∴S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×8×6＝24.2．(2014·烟台质检)一个椭圆中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2, 3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆方程为( )A.x 28＋y 26＝1 B.x 216＋y 26＝1 C.x 28＋y 24＝1 D.x 216＋y 24＝1解析：选A 设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由点P (2, 3)在椭圆上知4a 2＋3b 2＝1.又|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|，即2a ＝2·2c ，c a ＝12，又c 2＝a 2－b 2，联立得a 2＝8，b 2＝6.3．已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A.x 264－y 248＝1 B.x 248＋y 264＝1 C.x 248－y 264＝1 D.x 264＋y 248＝1 解析：选D 设圆M 的半径为r ，则|MC 1|＋|MC 2|＝(13－r )＋(3＋r )＝16，∴M 的轨迹是以C 1、C 2为焦点的椭圆，且2a ＝16,2c ＝8，故所求的轨迹方程为x 264＋y 248＝1.[类题通法]1．椭圆定义的应用主要有两个方面：一是利用定义求椭圆的标准方程；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等．2．利用定义和余弦定理可求得|PF 1|·|PF 2|，再结合|PF 1|2＋|PF 2|2＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2| 进行转化，可求焦点三角形的周长和面积．3．当椭圆焦点位置不明确时，可设为x 2m ＋y 2n ＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )，也可设为Ax 2＋By 2＝1(A ＞0，B ＞0，且A ≠B )．椭圆的几何性质[典例] (2013·福建高考)椭圆Γ：x a 2＋y b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c ，若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．[解析] 直线y ＝3(x ＋c )过点F 1，且倾斜角为60°，所以∠MF 1F 2＝60°，从而∠MF 2F 1＝30°，所以MF 1⊥MF 2.在Rt △MF 1F 2中，|MF 1|＝c ，|MF 2|＝3c ，所以该椭圆的离心率e ＝2c 2a ＝2cc ＋3c ＝3－1.[答案] 3－1本例条件变为“过F1，F2的两条互相垂直的直线l1，l2的交点在椭圆的内部”求离心率的取值范围.解：作图分析可知以线段F1F2为直径的圆在椭圆的内部，所以c＜b，从而c2＜b2，即c2＜a2－c2，⎝⎛⎭⎫ca2＜12，0＜ca＜22，故e∈⎝⎛⎭⎫0，22.[类题通法]椭圆几何性质的应用技巧(1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形．(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如－a≤x≤a，－b≤y≤b,0＜e＜1，在求椭圆的相关量的范围时，要注意应用这些不等关系．[针对训练]1．椭圆x29＋y24＋k＝1的离心率为45，则k的值为()A．－21B．21C．－1925或21 D.1925或21解析：选C若a2＝9，b2＝4＋k，则c＝5－k，由ca＝45，即5－k3＝45，得k＝－1925；若a2＝4＋k，b2＝9，则c＝k－5，由ca＝45，即k－54＋k＝45，解得k＝21.2．若椭圆上存在点P，使得点P到两个焦点的距离之比为2∶1，则此椭圆离心率的取值范围是()A．[14，13] B．[13，12]C．(13，1) D．[13，1)解析：选D设P到两个焦点的距离分别为2k，k，根据椭圆定义可知：3k＝2a，又结合椭圆的性质可知．椭圆上的点到两个焦点距离之差的最大值为2c，即k≤2c，∴2a≤6c，即e≥13.又∵0＜e＜1，∴13≤e＜1.直线与椭圆的位置关系[典例] (2013·天津高考)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，离心率为33，过点F且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433.(1)求椭圆的方程；(2)设A ，B 分别为椭圆的左、右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点．若AC ·DB ＋AD ·CB ＝8，求k 的值．[解] (1)设F (－c,0)，由c a ＝33，知a ＝3c .过点F 且与x 轴垂直的直线的方程为x ＝－c ，代入椭圆方程有(－c )2a 2＋y 2b 2＝1，解得y ＝±6b 3，于是26b 3＝433，解得b ＝2，又a 2－c 2＝b 2，从而a ＝3，c ＝1，所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.(2)设点C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由F (－1,0)得直线CD 的方程为y ＝k (x ＋1)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 23＋y 22＝1，消去y ，整理得(2＋3k 2)x 2＋6k 2x ＋3k 2－6＝0. 由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝－6k 22＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－62＋3k 2.因为A (－3，0)，B (3，0)所以AC ·DB ＋AD ·CB ＝(x 1＋3，y 1)·(3－x 2，－y 2)＋(x 2＋3，y 2)·(3－x 1，－y 1) ＝6－2x 1x 2－2y 1y 2＝6－2x 1x 2－2k 2(x 1＋1)(x 2＋1) ＝6－(2＋2k 2)x 1x 2－2k 2(x 1＋x 2)－2k 2 ＝6＋2k 2＋122＋3k 2.由已知得6＋2k 2＋122＋3k 2＝8，解得k ＝±2.[类题通法]1．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．2．直线和椭圆相交的弦长公式 |AB |＝ (1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]或|AB |＝ ⎝⎛⎭⎫1＋1k 2[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2].[针对训练](2013·全国新课标Ⅱ)平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)右焦点的直线x ＋y －3＝0交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12.(1)求M 的方程；(2)C ，D 为M 上的两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值．解：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，y 2－y 1x 2－x 1＝－1， 由此可得b 2(x 2＋x 1)a 2(y 2＋y 1)＝－y 2－y 1x 2－x 1＝1.因为x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，y 0x 0＝12，所以a 2＝2b 2.又由题意知，M 的右焦点为(3，0)，故a 2－b 2＝3. 因此a 2＝6，b 2＝3. 所以M 的方程为x 26＋y 23＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x 26＋y 23＝1，解得⎩⎨⎧x ＝433，y ＝－33，或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝ 3.因此|AB |＝463.由题意可设直线CD 的方程为y ＝x ＋n ⎝⎛⎭⎫－533＜n ＜3， 设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋n ，x 26＋y 23＝1得3x 2＋4nx ＋2n 2－6＝0. 于是x 3,4＝－2n ±2(9－n 2)3.因为直线CD 的斜率为1，所以|CD |＝2|x 4－x 3|＝439－n 2. 由已知，四边形ACBD 的面积S ＝12|CD |·|AB |＝8699－n 2.当n ＝0时，S 取得最大值，最大值为863.。

专题七 平面解析几何1.设F 1、F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( )A.12B.23C.34D.452.已知双曲线C 1：x 2a 2－y2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( )A ．x 2＝833yB ．x 2＝1633yC ．x 2＝8yD ．x 2＝16y3.直线x ＋3y －2＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，则弦AB 的长度等于( ) A ．2 5 B ．2 3 C. 3 D ．14.如图，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M ，N 是双曲线的两顶点．若M ，O ，N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是( )A ．3B ．2 C. 3 D. 25.已知P ，Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为( )A ．1B ．3C ．－4D ．－86.椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2.若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为( )A.14B.55C.12D.5－2 7.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________．8.过直线x ＋y －22＝0上点P 作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P 的坐标是__________．9.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，点P ⎝⎛⎭⎫5a 5，22a 在椭圆上． (Ⅰ)求椭圆的离心率；(Ⅱ)设A 为椭圆的左顶点，O 为坐标原点，若点Q 在椭圆上且满足|AQ |＝|AO |，求直线OQ 的斜率的值．10.(2012·高考江苏卷)如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －120²(1＋k 2)x 2(k ＞0)表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．11.如图，F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°.(Ⅰ)求椭圆C 的离心率；(Ⅱ)已知△AF 1B 的面积为403，求a ，b 的值．12.已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率．(Ⅰ)求椭圆C 2的方程；(Ⅱ)设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆C 1和C 2上，OB →＝2OA →，求直线AB 的方程．13.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：2x2－y2＝1.(1)设F是C的左焦点，M是C右支上一点，若|MF|＝22，求点M的坐标；(2)过C的左顶点作C的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；(3)设斜率为k(|k|<2)的直线l交C于P、Q两点，若l与圆x2＋y2＝1相切，求证：OP⊥OQ.14.如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形．(Ⅰ)求该椭圆的离心率和标准方程；(Ⅱ)过B1作直线交椭圆于P，Q两点，使PB2⊥QB2，求△PB2Q的面积．专题七 平面解析几何1.C 由题意可知∠PF 2x ＝60°，|PF 2|＝（3a2－c ）cos60°＝3a －2c ，由|PF 2|＝|F 1F 2|，得3a －2c ＝2c ，∴e ＝34，故选C.2.D ⎩⎪⎨⎪⎧c a＝2a ·p 2a 2＋b 2＝2，可得p ＝8，故选D.3.B 圆心到直线的距离d ＝|0＋0－2|2＝1，∴|AB |＝2r 2－d 2＝24－1＝2 3.4.B 设椭圆、双曲线的长轴和实轴分别为2a 1，2a 2，则易得a 1＝2a 2，又∵焦距相等， ∴e 2∶e 1＝2.5.C P A 方程为：y －8＝4(x －4)，即y ＝4x －8， 同理QA 为：y ＝－2x －2， 解得x ＝1，∴y ＝－4.6.B 如图|AF 1|＝a －c ， |F 1F 2|＝2c ，|F 1B |＝a ＋c ， ∴4c 2＝a 2－c 2，∴e ＝c a ＝55.7.43根据题意，x 2＋y 2－8x ＋15＝0，将此化成标准形式为(x －4)2＋y 2＝1，得到该圆的圆心为M (4，0)，半径为1，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，只需要圆心M (4，0)到直线y ＝kx －2的距离d ≤1＋1＝2即可，所以有d ：|4k －2|k 2＋1≤2，化简得k (3k －4)≤0，解得0≤k ≤43，所以k 的最大值为43.8.(2，2) 设P (x 0，y 0)如图 |PO |＝2.∴⎩⎨⎧x 20＋y 20＝4x 0＋y 0－22＝0. 则x 20＋(x 0－22)2＝4， ∴x 20－22x 0＋2＝0.∴(x 0－2)2＝0，∴x 0＝2，y 0＝ 2.9.解：(Ⅰ)因为点P ⎝⎛⎭⎫55a ，22a 在椭圆上，故a 25a 2＋a 22b 2＝1，可得b 2a 2＝58. 于是e 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝38，所以椭圆的离心率e ＝64.(Ⅱ)设直线OQ 的斜率为k ，则其方程为y ＝kx ，设点Q 的坐标为(x 0，y 0)．由条件得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0，x 20a 2＋y 20b2＝1. 消去y 0并整理得x 20＝a 2b 2k 2a 2＋b2.①由|AQ |＝|AO |，A (－a ，0)及y 0＝kx 0，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2.整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0，而x 0≠0，故x 0＝－2a 1＋k 2，代入①，整理得(1＋k 2)2＝4k 2²a 2b2＋4.由(Ⅰ)知a 2b 2＝85，故(1＋k 2)2＝325k 2＋4，即5k 4－22k 2－15＝0，可得k 2＝5. 所以直线OQ 的斜率k ＝±5.10.解：(1)令y ＝0，得kx －120(1＋k 2)x 2＝0，由实际意义和题设条件知x ＞0，k ＞0，故x ＝20k 1＋k2＝20k ＋1k≤202＝10，当且仅当k ＝1时取等号． 所以炮的最大射程为10千米．(2)因为a ＞0，所以炮弹可击中目标⇔存在k ＞0，使3.2＝ka －120(1＋k 2)a 2成立⇔关于k 的方程a 2k 2－20ak ＋a 2＋64＝0有正根 ⇔判别式Δ＝(－20a )2－4a 2(a 2＋64)≥0 ⇔a ≤6.所以当a 不超过6(千米)时，可击中目标．11.解：(Ⅰ)由题意可知，△AF 1F 2为等边三角形，a ＝2c ，所以e ＝12.(Ⅱ)法一：因为a 2＝4c 2，b 2＝3c 2，所以bc＝3，直线AB 的方程可为：y ＝－3(x －c )， 将其代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12c 2，得B (85c ，－335c )，所以|AB |＝1＋3²⎪⎪⎪⎪85c －0＝165c . 由S △AF 1B ＝12|AF 1|²|AB |sin ∠F 1AB ＝12a ²165c ²32＝235a 2＝403，解得a ＝10，b ＝5 3. 法二：设|AB |＝t .因为|AF 2|＝a ，所以|BF 2|＝t －a ，由椭圆定义|BF 1|＋|BF 2|＝2a 可知，|BF 1|＝3a －t ， 再由余弦定理(3a －t )2＝a 2＋t 2－2at cos60°可得，t ＝85a ， 由S △AF 1B ＝12a ²85a ²32＝235a 2＝403知，a ＝10，b ＝5 3.12.解：(Ⅰ)由已知可设椭圆C 2的方程为y 2a 2＋x 24＝1(a ＞2)．其离心率为32，故a 2－4a ＝32，则a ＝4，故椭圆C 2的方程为y 216＋x24＝1.(Ⅱ)法一：A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )，由OB →＝2OA →及(Ⅰ)知，O 、A 、B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，所以x 2A ＝41＋4k 2，将y ＝kx 代入y 216＋x 24＝1中，得(4＋k 2)x 2＝16，所以x 2B ＝164＋k 2， 又由OB →＝2OA →得x 2B ＝4x 2A ，即164＋k 2＝161＋4k 2， 解得k ＝±1，故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x . 法二：A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )， 由OB →＝2OA →及(Ⅰ)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，所以x 2A ＝41＋4k 2， 由OB →＝2OA →得x 2B ＝161＋4k 2，y 2B ＝16k 21＋4k 2，将x 2B ，y 2B 代入y 216＋x 24＝1中，得4＋k 21＋4k 2＝1，即4＋k 2＝1＋4k 2，解得k ＝±1， 故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x .13.解：(1)双曲线C ：x 212－y 2＝1，左焦点F ⎝⎛⎭⎫－62，0.设M (x ，y )，则|MF |2＝⎝⎛⎭⎫x ＋622＋y 2＝⎝⎛⎭⎫3x ＋222，由M 点是右支上一点，知x ≥22，所以|MF |＝3x ＋22＝22，得x ＝62.所以点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫62，±2.(2)由(1)知，左顶点A ⎝⎛⎭⎫－22，0，渐近线方程：y ＝±2x .过点A 与渐近线y ＝2x 平行的直线方程为：y ＝2⎝⎛⎭⎫x ＋22，即y ＝2x ＋1.解方程组⎩⎨⎧y ＝－2xy ＝2x ＋1，得⎩⎨⎧x ＝－24，y ＝12.所求平行四边形的面积为S ＝|OA ||y |＝24. (3)设直线PQ 的方程是y ＝kx ＋b ，因直线PQ 与已知圆相切，故|b |k 2＋1＝1，即b 2＝k 2＋1(*)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b2x 2－y 2＝1，得(2－k 2)x 2－2kbx －b 2－1＝0. 设P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2kb2－k 2，x 1x 2＝－1－b 22－k 2.又y 1y 2＝(kx 1＋b )(kx 2＋b )，所以OP →²OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝(1＋k 2)x 1x 2＋kb (x 1＋x 2)＋b 2 ＝（1＋k 2）（－1－b 2）2－k 2＋2k 2b 22－k 2＋b 2 ＝－1＋b 2－k 22－k 2.由(*)知，OP →²OQ →＝0，所以OP ⊥OQ .14.解：(Ⅰ)如图，设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，右焦点为F 2(c ，0)．因△AB 1B 2是直角三角形且|AB 1|＝|AB 2|，故∠B 1AB 2为直角，从而|OA |＝|OB 2|，即b ＝c2.结合c 2＝a 2－b 2得4b 2＝a 2－b 2，故a 2＝5b 2，c 2＝4b 2，所以离心率e ＝c a ＝255.在Rt △AB 1B 2中，OA ⊥B 1B 2，故S △AB 1B 2＝12²|B 1B 2|²|OA |＝|OB 2|²|OA |＝c2²b ＝b 2，由题设条件S △AB 1B 2＝4得b 2＝4，从而a 2＝5b 2＝20.因此所求椭圆的标准方程为x 220＋y 24＝1.(Ⅱ)由(Ⅰ)知B 1(－2，0)、B 2(2，0)．由题意，直线PQ 的倾斜角不为0，故可设直线PQ 的方程为：x ＝my －2.代入椭圆方程得(m 2＋5)y 2－4my －16＝0. (*) 设P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)，则y 1，y 2是上面方程的两根，因此y 1＋y 2＝4mm 2＋5，y 1²y 2＝－16m 2＋5.又B 2P →＝(x 1－2，y 1)，B 2Q →＝(x 2－2，y 2)，所以B 2P →²B 2Q →＝(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2 ＝(my 1－4)(my 2－4)＋y 1y 2＝(m 2＋1)y 1y 2－4m (y 1＋y 2)＋16 ＝－16（m 2＋1）m 2＋5－16m 2m 2＋5＋16＝－16m 2－64m 2＋5，由PB 2⊥QB 2，知B 2P →²B 2Q →＝0，即16m 2－64＝0， 解得m ＝±2.当m ＝2时，方程(*)化为：9y 2－8y －16＝0，故y 1＝4＋4109，y 2＝4－4109， |y 1－y 2|＝8910，△PB 2Q 的面积S ＝12|B 1B 2|²|y 1－y 2|＝16910.当m ＝－2时，同理可得(或由对称性可得)△PB 2Q 的面积S ＝16910，综上所述，△PB 2Q 的面积为16910.。

[课堂练通考点]1．已知m ，n ，m ＋n 成等差数列，m ，n ，mn 成等比数列，则抛物线mx 2＝ny 的焦点坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫0，12 B.⎝⎛⎭⎫12，0 C.⎝⎛⎭⎫0，14 D.⎝⎛⎭⎫14，0解析：选A 由题意知，2n ＝m ＋m ＋n 且n 2＝m ·mn ，解得m ＝2，n ＝4，故抛物线为x 2＝2y ，其焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，12. 2．(2013·福建模拟)设抛物线y 2＝6x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，垂足为A ，如果△APF 为正三角形，那么|PF |等于( )A ．4 3B ．6 3C ．6D ．12解析：选C 设点P 的坐标为(x p ，y p )，则|PF |＝x p ＋32.过点P 作x 轴的垂线交x 轴于点M ，则∠PFM ＝∠APF ＝60°，所以|PF |＝2|MF |，即x p ＋32＝2⎝⎛⎭⎫x p －32，解得x p ＝92，所以|PF |＝6.3．(2013·郑州质检)过抛物线y 2＝8x 的焦点F 作倾斜角为135°的直线交抛物线于A ，B 两点，则弦AB 的长为( )A ．4B ．8C ．12D ．16解析：选D 抛物线y 2＝8x 的焦点F 的坐标为(2,0)，直线AB 的倾斜角为135°，故直线AB 的方程为y ＝－x ＋2，代入抛物线方程y 2＝8x ，得x 2－12x ＋4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则弦AB 的长|AB |＝x 1＋x 2＋4＝12＋4＝16.4．(2014·辽宁五校联考)设抛物线x 2＝12y 的焦点为F ，经过点P (2,1)的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，又知点P 恰为AB 的中点，则|AF |＋|BF |＝________.解析：分别过点A ，B ，P 作准线的垂线，垂足分别为M ，N ，Q ，根据抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离，得|AF |＋|BF |＝|AM |＋|BN |＝2|PQ |＝8.答案：85．(2014·厦门模拟)如图所示，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P (1,2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上．(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1＋y 2的值及直线AB 的斜率． 解：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)．∵点P (1,2)在抛物线上，∴22＝2p ×1，解得p ＝2.故所求抛物线的方程是y 2＝4x ，准线方程是x ＝－1.(2)设直线P A 的斜率为k P A ，直线PB 的斜率为k PB ，则 k P A ＝y 1－2x 1－1(x 1≠1)，k PB ＝y 2－2x 2－1(x 2≠1)， ∵P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补，∴k P A ＝－k P B.由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上，得y 21＝4x 1，① y 22＝4x 2，② ∴y 1－214y 21－1＝－y 2－214y 22－1，∴y 1＋2＝－(y 2＋2)． ∴y 1＋y 2＝－4.由①－②得，y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝－1(x 1≠x 2)．[课下提升考能]第Ⅰ卷：夯基保分卷1．(2013·沈阳模拟) 抛物线x 2＝12y 的焦点F 到其准线l 的距离是( )A ．2B ．1 C.12D.14解析：选D 因为2p ＝12，p ＝14，所以由抛物线的定义可知所求的距离为14.2．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线与曲线x 2＋y 2－6x －7＝0相切，则p 的值为( ) A ．2 B ．1 C.12D.14解析：选A 注意到抛物线y 2＝2px 的准线方程是x ＝－p2，曲线x 2＋y 2－6x －7＝0，即(x －3)2＋y 2＝16是圆心为(3,0)，半径为4的圆．于是依题意有⎪⎪⎪⎪p 2＋3＝4.又p ＞0，因此有p 2＋3＝4，解得p ＝2，故选A.3．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－2解析：选B 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题知抛物线的焦点坐标为F (p2，0)，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y ＝x －p 2，即x ＝y ＋p 2，将其代入抛物线方程得y 2＝2px ＝2p (y ＋p2)＝2py ＋p 2，所以y 2－2py －p 2＝0，所以y 1＋y 22＝p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x ，准线方程为x ＝－1，故选B.4．(2014·北京东城区期末)已知抛物线y 2＝2px 的焦点F 与双曲线x 27－y 29＝1的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上，且|AK |＝2|AF |，则△AFK 的面积为( )A ．4B ．8C ．16D ．32解析：选D 由题可知抛物线焦点坐标为F (4,0)．过点A 作直线AA ′垂直于抛物线的准线，垂足为A ′，根据抛物线定义知，|AA ′|＝|AF |，在△AA ′K 中，|AK |＝2|AA ′|，故∠KAA ′＝45°，所以直线AK 的倾斜角为45°，直线AK 的方程为y ＝x ＋4，代入抛物线方程y 2＝16x 得y 2＝16(y －4)，即y 2－16y ＋64＝0，解得y ＝8.所以△AFK 为直角三角形，故△AFK 的面积为12×8×8＝32. 5．(2014·武汉调研)已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (1,0)，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点．若AB 的中点的坐标为(2,2)，则直线l 的方程为________．解析：由于抛物线的焦点坐标为(1,0)，所以抛物线的方程为y 2＝4x .显然当直线的斜率不存在或为零时不满足题意，故设直线l 的方程为y －2＝k (x －2)，其中k ≠0，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋(2－2k )，y 2＝4x ，消去y 得k 2x 2＋[4k (1－k )－4]x ＋4(1－k )2＝0，显然4k 2－4k ＋42k 2＝2，解得k ＝1.故直线l 的方程为y ＝x .答案：y ＝x6．(2013·江西高考) 抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________.解析：由x 2＝2py (p >0)得焦点F ⎝⎛⎭⎫0，p 2，准线l 为y ＝－p2，所以可求得抛物线的准线与双曲线x 23－y 23＝1的交点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋p 22，－p 2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋p 22，－p 2，所以|AB |＝ 12＋p 2，则|AF |＝|AB |＝12＋p 2，所以p |AF |＝sin π3，即p 12＋p 2＝32，解得p ＝6.答案：67．已知抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，过点K (0，－1)的直线l 与C 相交于A ，B 两点，点A 关于y 轴的对称点为D.(1)证明：点F 在直线BD 上；(2)设FA ·FB ＝89，求∠DBK 的平分线与y 轴的交点坐标．解：(1)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (－x 1，y 1)，l 的方程为y ＝kx －1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2＝4y ，得x 2－4kx ＋4＝0， 从而x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝4.直线BD 的方程为y －y 1＝y 2－y 1x 2＋x 1(x ＋x 1)，即y －x 214＝x 2－x 14(x ＋x 1)，令x ＝0，得y ＝x 1x 24＝1，所以点F 在直线BD 上．(2)因为FA ·FB ＝(x 1，y 1－1)·(x 2，y 2－1)＝x 1x 2＋(y 1－1)·(y 2－1)＝8－4k 2， 故8－4k 2＝89，解得k ＝±43，所以l 的方程为4x －3y －3＝0,4x ＋3y ＋3＝0. 又由(1)得x 2－x 1＝±16k 2－16＝±473，故直线BD 的斜率为x 2－x 14＝±73，因而直线BD 的方程为7x －3y ＋3＝0，7x ＋3y －3＝0. 设∠DBK 的平分线与y 轴的交点为M (0，t )， 则M (0，t )到l 及BD 的距离分别为3|t ＋1|5，3|t －1|4，由3|t ＋1|5＝3|t －1|4，得t ＝19或t ＝9(舍去)， 所以∠DBK 的平分线与y 轴的交点为M ⎝⎛⎭⎫0，19. 8．已知过点A (－4,0)的动直线l 与抛物线G ：x 2＝2py (p ＞0)相交于B ，C 两点．当直线l 的斜率是12时，AC ＝4AB .(1)求抛物线G 的方程；(2)设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围．解：(1)设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，当直线l 的斜率为12时，l 的方程为y ＝12(x ＋4)，即x ＝2y －4.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，x ＝2y －4，得2y 2－(8＋p )y ＋8＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1y 2＝4， ①y 1＋y 2＝8＋p 2， ② 又∵AC ＝4AB ，∴y 2＝4y 1，③由①②③及p ＞0得：y 1＝1，y 2＝4，p ＝2， 则抛物线G 的方程为x 2＝4y .(2)设l ：y ＝k (x ＋4)，BC 的中点坐标为(x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝k (x ＋4)，得x 2－4kx －16k ＝0，④ ∴x 0＝x 1＋x 22＝2k ，y 0＝k (x 0＋4)＝2k 2＋4k .∴线段BC 的中垂线方程为y －2k 2－4k ＝－1k (x －2k )，∴线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为： b ＝2k 2＋4k ＋2＝2(k ＋1)2，对于方程④，由Δ＝16k 2＋64k ＞0得k ＞0或k ＜－4. ∴b ∈(2，＋∞)．故b 的取值范围为(2，＋∞)． 第Ⅱ卷：提能增分卷1．(2014·淄博模拟)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于不同的A ，B 两点．(1)如果直线l 过抛物线的焦点，求OA ·OB 的值；(2)如果OA ·OB ＝－4，证明直线l 必过一定点，并求出该定点． 解：(1)由题意：抛物线焦点为(1,0)， 设l ：x ＝ty ＋1，代入抛物线y 2＝4x ， 消去x 得y 2－4ty －4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4，∴OA ·OB ＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋1)(ty 2＋1)＋y 1y 2 ＝t 2y 1y 2＋t (y 1＋y 2)＋1＋y 1y 2 ＝－4t 2＋4t 2＋1－4＝－3.(2)证明：设l ：x ＝ty ＋b 代入抛物线y 2＝4x ，消去x 得 y 2－4ty －4b ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4b ，∴OA ·OB ＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋b )(ty 2＋b )＋y 1y 2 ＝t 2y 1y 2＋bt (y 1＋y 2)＋b 2＋y 1y 2 ＝－4bt 2＋4bt 2＋b 2－4b ＝b 2－4B.令b 2－4b ＝－4，∴b 2－4b ＋4＝0，∴b ＝2. ∴直线l 过定点(2,0)．∴若OA ·OB ＝－4，则直线l 必过一定点(2,0)．2．(2014·珠海模拟)在平面直角坐标系xOy 中，设点F ⎝⎛⎭⎫12，0，直线l ：x ＝－12，点P 在直线l 上移动，R 是线段PF 与y 轴的交点，RQ ⊥FP ，PQ ⊥l .(1)求动点Q 的轨迹方程C ；(2)设圆M 过A (1,0)，且圆心M 在曲线C 上，TS 是圆M 在y 轴上截得的弦，当M 运动时，弦长|TS |是否为定值？请说明理由．解：(1)依题意知，点R 是线段FP 的中点，且RQ ⊥FP ，∴RQ 是线段FP 的垂直平分线． ∵|PQ |是点Q 到直线l 的距离． 点Q 在线段FP 的垂直平分线上， ∴|PQ |＝|QF |.故动点Q 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线， 其方程为y 2＝2x (x ＞0)．(2)弦长|TS |为定值．理由如下：取曲线C 上一点M (x 0，y 0)，M 到y 轴的距离为d ＝|x 0|＝x 0，圆的半径r ＝|MA |＝(x 0－1)2＋y 20， 则|TS |＝2r 2－d 2＝2y 20－2x 0＋1， 因为点M 在曲线C 上，所以x 0＝y 202，所以|TS |＝2y 20－y 20＋1＝2，是定值．3. (2014·长春三校调研)在直角坐标系xOy 中，点M ⎝⎛⎭⎫2，－12，点F 为抛物线C ：y ＝mx 2(m ＞0)的焦点，线段MF 恰被抛物线C 平分．(1)求m 的值；(2)过点M 作直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，设直线F A ，FM ，FB 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，问k 1，k 2，k 3能否成公差不为零的等差数列？若能，求直线l 的方程；若不能，请说明理由．解：(1)由题得抛物线C 的焦点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，14m ，线段MF 的中点N ⎝⎛⎭⎫1，18m －14在抛物线C 上，∴18m －14＝m,8m 2＋2m －1＝0， ∴m ＝14(m ＝－12舍去)．(2)由(1)知抛物线C ：x 2＝4y ，F (0,1)．设直线l 的方程为y ＋12＝k (x －2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＋12＝k (x －2)，x 2＝4y ，得x 2－4kx ＋8k ＋2＝0， Δ＝16k 2－4(8k ＋2)＞0， ∴k ＜2－62或k ＞2＋62.由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝8k ＋2，假设k 1，k 2，k 3能成公差不为零的等差数列，则k 1＋k 3＝2k 2.而k 1＋k 3＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝x 2y 1＋x 1y 2－x 2－x 1x 1x 2＝x 2x 214＋x 1x 224－x 2－x 1x 1x 2＝⎝⎛⎭⎫x 1x 24－1(x 1＋x 2)x 1x 2＝⎝⎛⎭⎫8k ＋24－1·4k 8k ＋2＝4k 2－k4k ＋1，k 2＝－12－12－0＝－34，∴4k 2－k 4k ＋1＝－32，8k 2＋10k ＋3＝0，解得k ＝－12(符合题意)或k ＝－34(不合题意，舍去)．∴直线l 的方程为y ＋12＝－12(x －2)，即x ＋2y －1＝0.∴k 1，k 2，k 3能成公差不为零的等差数列，此时直线l 的方程为x ＋2y －1＝0.。

[课堂练通考点]1. 直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定解析：选A 由于直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1过定点(1,1)，而(1,1)在椭圆内，故直线与椭圆必相交．2．(2014·郑州模拟) 已知F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，过点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且|AF |＝3|BF |，则线段AB 的中点到该抛物线准线的距离为( )A.53B.83C.103D ．10解析：选B 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其中x 1＞0，x 2＞0，设过A ，B 两点的直线方程为x ＝my ＋1，将x ＝my ＋1与y 2＝4x 联立得y 2－4my －4＝0，y 1y 2＝－4，则由⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋1＝3(x 2＋1)，x 1x 2＝y 214·y 224＝(y 1y 2)216＝1，解得x 1＝3，x 2＝13，故线段AB 的中点到该抛物线的准线x ＝－1的距离等于x 1＋x 22＋1＝83，选B.3．(2013·嘉兴一模) 经过椭圆x 22＋y 2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A ，B 两点．设O 为坐标原点，则OA ·OB 等于( )A ．－3B ．－13C ．－13或－3D ．±13解析：选B 依题意，当直线l 经过椭圆的右焦点(1,0)时，其方程为y －0＝tan 45°(x －1)，即y ＝x －1，代入椭圆方程x 22＋y 2＝1并整理得3x 2－4x ＝0，解得x ＝0或x ＝43，所以两个交点坐标分别为(0，－1)，⎝⎛⎭⎫43，13，∴OA ·OB ＝－13，同理，直线 l 经过椭圆的左焦点时，也可得OA ·OB ＝－13. 4. (2014·东北三省联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，F (2，0)为其右焦点，过F且垂直于x 轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2.则椭圆C 的方程为________．解析：则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，b2a ＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝2，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.答案：x 24＋y 22＝15．已知双曲线方程2x 2－y 2＝2.(1)求以A (2,1)为中点的双曲线的弦所在的直线方程；(2)过点B (1,1)能否作直线l ，使l 与所给双曲线交于Q 1，Q 2两点，且点B 是弦Q 1Q 2的中点？如果l 存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由．解：(1)设A (2,1)的中点弦两端点为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2.又据对称性知x 1≠x 2，由P 1，P 2在双曲线上，则有关系2x 21－y 21＝2,2x 22－y 22＝2.两式相减得2(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0， ∴2×4(x 1－x 2)－2(y 1－y 2)＝0. ∴y 1－y 2x 1－x 2＝4，即以A (2,1)为中点的弦所在直线的斜率k ＝4. 故所求中点弦所在直线方程为 y －1＝4(x －2)，即4x －y －7＝0.(2)可假定直线l 存在，采用(1)的方法求出l 的方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－y 2＝2，2x －y －1＝0，消去y ，得2x 2－4x ＋3＝0.Δ＝(－4)2－4×2×3＝－8＜0，无实根，因此直线l 与双曲线无交点，故满足条件的直线l 不存在．[课下提升考能]第Ⅰ卷：夯基保分卷1．已知椭圆x 24＋y 22＝1上有一点P ，F 1，F 2是椭圆的左、右焦点，若△F 1PF 2 为直角三角形，则这样的点P 有 ( )A ．3个B ．4个C ．6个D ．8个解析：选C 当∠PF 1F 2为直角时，根据椭圆的对称性知，这样的点P 有2个，同理当 ∠PF 2F 1为直角时，这样的点P 有2个；当P 点为椭圆的短轴端点时，∠F 1PF 2最大，且为直角，此时这样的点P 有2个．故符合要求的点P 有6个．2. 椭圆x 24＋y 23＝1的离心率为e ，点(1，e )是圆x 2＋y 2－4x －4y ＋4＝0的一条弦的中点，则此弦所在直线的方程是( )A ．3x ＋2y －4＝0B ．4x ＋6y －7＝0C ．3x －2y －2＝0D ．4x －6y －1＝0解析：选B 依题意得e ＝12，圆心坐标为(2,2)，圆心(2,2)与点(1，12)的连线的斜率为2－122－1＝32，所求直线的斜率为－23，所以所求直线方程是y －12＝－23(x －1)．即4x ＋6y －7＝0. 3．过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F ，斜率为43的直线交抛物线于A ，B 两点，若AF ＝λFB (λ＞1)，则λ的值为( )A ．5B ．4 C.43D.52解析：选B 根据题意设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由AF ＝λFB 得⎝⎛⎭⎫p 2－x 1，－y 1＝λ⎝⎛⎭⎫x 2－p 2，y 2， 故－y 1＝λy 2，即λ＝－y 1y 2.设直线AB 的方程为y ＝43⎝⎛⎭⎫x －p 2，联立直线与抛物线方程，消元得y 2－32py －p 2＝0.故y 1＋y 2＝32p ，y 1·y 2＝－p 2，(y 1＋y 2)2y 1·y 2＝y 1y 2＋y 2y 1＋2＝－94，即－λ－1λ＋2＝－94.又λ＞1，故λ＝4.4．已知椭圆x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)，左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是( )A ．1 B. 2 C.32D. 3解析：选D 由椭圆的方程，可知长半轴长为a ＝2；由椭圆的定义，可知|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＝8，所以|AB |＝8－(|AF 2|＋|BF 2|)≥3.由椭圆的性质，可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，即2b 2a＝3，可求得b 2＝3，即b ＝ 3.5．(2013·兰州名校检测) 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e .直线l ：y ＝ex ＋a 与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，设|AM |＝e |AB |，则该椭圆的离心率e ＝________.解析：因为点A ，B 分别是直线l ：y ＝ex ＋a 与x 轴、y 轴的交点，所以点A ，B 的坐标分别是⎝⎛⎭⎫－a e ，0，(0，a )．设点M 的坐标是(x 0，y 0)，由|AM |＝e |AB |, 得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝a e (e －1)，y 0＝ea .(*) 因为点M 在椭圆上，所以x 20a 2＋y 20b 2＝1，将(*)式代入，得(e －1)2e 2＋e 2a 2b2＝1，整理得，e 2＋e －1＝0, 解得e ＝5－12. 答案：5－126．(2014·沈阳模拟)已知点A (－2，0)，点B (2，0)，且动点P 满足|P A |－|PB |＝2，则动点P 的轨迹与直线y ＝k (x －2)有两个交点的充要条件为k ∈________.解析：由已知得动点P 的轨迹为一双曲线的右支且2a ＝2，c ＝2，则b ＝c 2－a 2＝1，∴P 点的轨迹方程为x 2－y 2＝1(x ＞0)，其一条渐近线方程为y ＝x .若P 点的轨迹与直线y ＝k (x －2)有两个交点，则需k ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)．答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)7. 如图，椭圆长轴的端点为A ，B ，O 为椭圆的中心，F 为椭圆的右焦点，且AF ·FB ＝1，|OF |＝1. (1)求椭圆的标准方程；(2)记椭圆的上顶点为M ，直线l 交椭圆于P ，Q 两点，问：是否存在直线l ，使点F 恰为△PQM 的垂心，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，则c ＝1，又∵AF ·FB ＝(a ＋c )·(a －c )＝a 2－c 2＝1.∴a 2＝2，b 2＝1， 故椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)假设存在直线l 交椭圆于P ，Q 两点，且F 恰为△PQM 的垂心，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，∵M (0,1)，F (1,0)， ∴直线l 的斜率k ＝1.于是设直线l 为y ＝x ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 22＋y 2＝1.得 3x 2＋4mx ＋2m 2－2＝0，x 1＋x 2＝－43m ，①x 1x 2＝2m 2－23.②∵MP ·FQ ＝x 1(x 2－1)＋y 2(y 1－1)＝0. 又y i ＝x i ＋m (i ＝1,2)，∴x 1(x 2－1)＋(x 2＋m )(x 1＋m －1)＝0，即 2x 1x 2＋(x 1＋x 2)(m －1)＋m 2－m ＝0.将①②代入得2·2m 2－23－4m 3(m －1)＋m 2－m ＝0，解得m ＝－43或m ＝1，经检验m ＝－43符合条件．故存在直线l ，使点F 恰为△PQM 的垂心，直线l 的方程为y ＝x －43.8．(2013·郑州模拟)已知圆C ：(x ＋3)2＋y 2＝16，点A (3，0)，Q 是圆上一动点，AQ 的垂直平分线交CQ 于点M ，设点M 的轨迹为E .(1)求轨迹E 的方程；(2)过点P (1,0)的直线l 交轨迹E 于两个不同的点A ，B ，△AOB (O 是坐标原点)的面积S ＝45，求直线AB 的方程． 解：(1)由题意|MC |＋|MA |＝|MC |＋|MQ |＝|CQ |＝4>23， 所以轨迹E 是以A ，C 为焦点，长轴长为4的椭圆， 即轨迹E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意，直线AB 的斜率不可能为0，而直线x ＝1也不满足条件， 故可设AB 的方程为x ＝my ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，x ＝my ＋1，消去x 得(4＋m 2)y 2＋2my －3＝0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2m4＋m 2，y 1·y 2＝－34＋m2.S ＝12|OP ||y 1－y 2|＝12(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝2m 2＋3m 2＋4. 由S ＝45，解得m 2＝1，即m ＝±1.故直线AB 的方程为x ＝±y ＋1，即x ＋y －1＝0或x －y －1＝0为所求． 第Ⅱ卷：提能增分卷1. 已知中心在坐标原点的椭圆E 的长轴的一个端点是抛物线y 2＝45x 的焦点，且椭圆E 的离心率是63. (1)求椭圆E 的方程；(2)过点C (－1,0)的动直线与椭圆E 相交于A ，B 两点．若线段AB 的中点的横坐标是－12，求直线AB 的方程． 解：(1)由题知椭圆E 的焦点在x 轴上，且a ＝5，又c ＝ea ＝63×5＝303， 故b ＝a 2－c 2＝5－103＝53，故椭圆E 的方程为x 25＋y 253＝1，即x 2＋3y 2＝5. (2)依题意，直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋1)，将其代入x 2＋3y 2＝5，消去y ，整理得(3k 2＋1)x 2＋6k 2x ＋3k 2－5＝0.设A ，B 两点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)． 则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝36k 4－4(3k 2＋1)(3k 2－5)＞0，(*)，x 1＋x 2＝－6k 23k 2＋1. 由线段AB 中点的横坐标是－12，得x 1＋x 22＝－3k 23k 2＋1＝－12，解得k ＝±33，符合(*)式．所以直线AB 的方程为x －3y ＋1＝0或x ＋3y ＋1＝0.2．已知椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，椭圆C 的短轴的一个端点P 到焦点的距离为2.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知直线l ：y ＝kx ＋3与椭圆C 交于A ，B 两点，是否存在k 使得以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O ？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)设椭圆的焦半距为c ，则由题设得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝32，解得⎩⎨⎧a ＝2，c ＝3，故所求C 的方程为y 24＋x 2＝1.(2)存在k 使得以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O .理由如下：设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线l 的方程y ＝kx ＋3代入y 24＋x 2＝1并整理得(k 2＋4)x 2＋23kx －1＝0. (*)则x 1＋x 2＝－23k k 2＋4，x 1x 2＝－1k 2＋4. 因为以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O ， 所以OA ·OB ＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝0. 又y 1y 2＝k 2x 1x 2＋3k (x 1＋x 2)＋3， 即y 1y 2＝－k 2k 2＋4－6k 2k 2＋4＋3＝－4k 2＋12k 2＋4，于是有－1k 2＋4＋－4k 2＋12k 2＋4＝0，解得k ＝±112. 经检验知：此时(*)的判别式Δ＞0，适合题意． 即(*)的判别式Δ＞0恒成立． 所以当k ＝±112时，以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O . 3. (2013·广州二模)已知对称中心为坐标原点的椭圆C 1与抛物线C 2：x 2＝4y 有一个相同的焦点F 1，直线l ：y ＝2x ＋m 与抛物线C 2只有一个公共点．(1)求直线l 的方程；(2)若椭圆C 1经过直线l 上的点P ，当椭圆C 1的离心率取得最大值时，求椭圆C 1的方程及点P 的坐标．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ，x 2＝4y .消去y ，得x 2－8x －4m ＝0，∵ 直线l 与抛物线C 2只有一个公共点， ∴Δ＝82＋4×4m ＝0，解得m ＝－4. ∴直线l 的方程为y ＝2x －4. (2)∵抛物线C 2的焦点为F 1(0,1)，依题意知椭圆C 1的两个焦点的坐标为F 1(0,1)，F 2(0，－1) 设椭圆C 1的方程为y 2a 2＋x 2a 2－1＝1(a ＞1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －4，y 2a 2＋x 2a 2－1＝1.消去y, 得(5a 2－4)x 2－16(a 2－1)x ＋(a 2－1)(16－a 2)＝0.(*) 由Δ＝162(a 2－1)2－4(5a 2－4)(a 2－1)(16－a 2)≥0，得a 4－4a 2≥0(a 2＞0且a 2－1＞0)，解得a 2≥4.∵a ＞1， ∴a ≥2， ∴e ＝1a ≤12，当a ＝2时，e max ＝12，此时椭圆C 1的方程为y 24＋x 23＝1.把a ＝2代入方程(*)，解得x ＝32.又y ＝2x －4， ∴y ＝－1，∴点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫32，－1.。

[课堂练通考点]1. (2013·青岛一模)圆(x －1)2＋y 2＝1与直线y ＝33x 的位置关系是( ) A ．直线过圆心 B ．相交 C ．相切D ．相离解析：选B ∵圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为(1,0)，半径r ＝1， ∴圆心到直线y ＝33x 的距离为|3|3＋9＝12＜1＝r ，故选 B. 2. (2013·西安质检)若a 2＋b 2＝2c 2(c ≠0)，则直线ax ＋by ＋c ＝0被圆x 2＋y 2＝1所截得的弦长为( )A.12 B ．1 C.22D. 2解析：选D 因为圆心(0,0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离d ＝|c |a 2＋b 2＝|c |2|c |＝22，因此根据直角三角形的关系，弦长的一半就等于1－⎝⎛⎭⎫222＝22，所以弦长为 2. 3. (2014·吉林模拟)已知直线x ＋y －k ＝0(k ＞0)与圆x 2＋y 2＝4交于不同的两点A ，B ，O是坐标原点，且有|OA ＋OB |≥33|AB|，那么k 的取值范围是( )A.()3，＋∞ B ．[2，＋∞) C ．[2，22)D ．[3，22)解析：选C 当|OA ＋OB |＝33|AB|时，O ，A ，B 三点为等腰三角形的三个顶点，其中OA ＝OB ，∠AOB ＝120°，从而圆心O 到直线x ＋y－k ＝0(k ＞0)的距离为1，此时k ＝2；当k ＞2时|OA ＋OB |＞33|AB |，又直线与圆x 2＋y 2＝4存在两交点，故k ＜22，综上，k 的取值范围为[2，22)，故选C.4. (2014·陕西模拟)已知点P 是圆C ：x 2＋y 2＋4x －6y －3＝0上的一点，直线l ：3x －4y －5＝0.若点P 到直线l 的距离为2，则符合题意的点P 有________个．解析：由题意知圆的标准方程为(x ＋2)2＋(y －3)2＝42，∴圆心到直线l 的距离d ＝|－6－12－5|5＝235＞4，故直线与圆相离，则满足题意的点P 有2个．答案：25．求过点P (4，－1)且与圆C ：x 2＋y 2＋2x －6y ＋5＝0切于点M (1,2)的圆的方程． 解： 设所求圆的圆心为A (m ，n )，半径为r ， 则A ，M ，C 三点共线，且有|MA |＝|AP |＝r ，因为圆C ：x 2＋y 2＋2x －6y ＋5＝0的圆心为C (－1,3)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧n －2m －1＝2－31＋1，(m －1)2＋(n －2)2＝(m －4)2＋(n ＋1)2＝r ， 解得m ＝3，n ＝1，r ＝5，所以所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝5.[课下提升考能]第Ⅰ卷：夯基保分卷1. 圆x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0与直线2tx －y －2－2t ＝0(t ∈R )的位置关系为( ) A ．相离 B ．相切C ．相交D ．以上都有可能解析：选C ∵圆的方程可化为(x －1)2＋(y ＋2)2＝9， ∴圆心为(1，－2)，半径r ＝3. 又圆心在直线2tx －y －2－2t ＝0上， ∴圆与直线相交．2. 圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系是( ) A ．相离 B ．相交 C ．外切D ．内切解析：选B 圆O 1的圆心坐标为(1,0)，半径为r 1＝1，圆O 2的圆心坐标为(0,2)，半径r 2＝2，故两圆的圆心距|O 1O 2|＝5，而r 2－r 1＝1，r 1＋r 2＝3，则有r 2－r 1<|O 1O 2|<r 1＋r 2，故两圆相交．3. (2013·安徽高考)直线x ＋2y －5＋5＝0被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为( ) A ．1 B ．2 C ．4D. 4 6解析：选C 依题意，圆的圆心为(1,2)，半径r ＝5，圆心到直线的距离d ＝|1＋4－5＋5|5＝1，所以结合图形可知弦长的一半为r 2－d 2＝2，故弦长为4.4．过点(1,1)的直线与圆(x －2)2＋(y －3)2＝9相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为( ) A ．2 3 B ．4 C ．2 5D ．5解析：选B 由圆的几何性质可知，当点(1,1)为弦AB 的中点时，|AB |的值最小，此时|AB |＝2r 2－d 2＝29－5＝4.5．(2013·福建模拟) 已知直线l ：y ＝－3(x －1)与圆O ：x 2＋y 2＝1在第一象限内交于点M ，且l 与y 轴交于点A ，则△MOA 的面积等于________．解析：依题意，直线l ：y ＝－3(x －1)与y 轴的交点A 的坐标为(0，3)．由{ x 2＋y 2＝1， y ＝－3(x －1)得，点M 的横坐标x M ＝12，所以△MOA 的面积为S ＝12|OA |×x M ＝12×3×12＝34. 答案：346．以圆C 1：x 2＋y 2－12x －2y －13＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0公共弦为直径的圆的方程为______________．解析：法一：将两圆方程相减得公共弦所在直线方程为4x ＋3y －2＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y －2＝0，x 2＋y 2－12x －2y －13＝0.解得两交点坐标A (－1,2)，B (5，－6)．∵所求圆以AB 为直径，∴所求圆的圆心是AB 的中点M (2，－2)，圆的半径为r ＝12|AB |＝5，∴圆的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝25.法二：易求得公共弦所在直线方程为4x ＋3y －2＝0.设所求圆x 2＋y 2－12x －2y －13＋λ(x 2＋y 2＋12x ＋16y －25)＝0(λ≠－1)，则圆心为－12λ－122(1＋λ)，－16λ－22(1＋λ).∵圆心在公共弦所在直线上，∴4×－12λ－122(1＋λ)＋3－16λ－22(1＋λ)－2＝0，解得λ＝12.故所求圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋4y －17＝0.答案：x 2＋y 2－4x ＋4y －17＝07. 已知圆C 的圆心与点P (－2,1)关于直线y ＝x ＋1对称，直线3x ＋4y －11＝0与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝6，求圆C 的方程．解：设点P 关于直线y ＝x ＋1的对称点为C (m ，n )，则由⎩⎪⎨⎪⎧1＋n 2＝－2＋m 2＋1，n －1m ＋2·1＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0，n ＝－1. 故圆心C 到直线3x ＋4y －11＝0的距离d ＝|－4－11|9＋16＝3，所以圆C 的半径的平方r 2＝d 2＋|AB |24＝18.故圆C 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝18.8. 已知点M (3,1)，直线ax －y ＋4＝0及圆(x －1)2＋(y －2)2＝4. (1)求过M 点的圆的切线方程；(2)若直线ax －y ＋4＝0与圆相切，求a 的值．解：(1)圆心C (1,2)，半径为r ＝2，当直线的斜率不存在时，方程为x ＝3. 由圆心C (1,2)到直线x ＝3的距离d ＝3－1＝2＝r 知，此时，直线与圆相切． 当直线的斜率存在时，设方程为y －1＝k (x －3)， 即kx －y ＋1－3k ＝0. 由题意知|k －2＋1－3k |k 2＋1＝2，解得k ＝34.故方程为y －1＝34(x －3)，即3x －4y －5＝0.故过M 点的圆的切线方程为x ＝3或3x －4y －5＝0. (2)由题意有|a －2＋4|a 2＋1＝2，解得a ＝0或a ＝43.第Ⅱ卷：提能增分卷1．(2013·枣庄月考)已知：圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0. (1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝22时，求直线l 的方程．解：将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0配方得标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.(1)若直线l 与圆C 相切． 则有|4＋2a |a 2＋1＝2.解得a ＝－34. (2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质，得⎩⎨⎧|CD |＝|4＋2a |a 2＋1，|CD |2＋|DA |2＝|AC |2＝22，|DA |＝12|AB |＝ 2.解得a ＝－7或a ＝－1.故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0.2．(2013·湛江六校联考)已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，是否存在斜率为1的直线l ，使以l 被圆截得的弦AB 为直径的圆过原点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．解：假设存在斜率为1的直线l ，满足题意，则OA ⊥O B.设直线l 的方程是y ＝x ＋b ，其与圆C 的交点A ，B 的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)则y 1x 1·y 2x 2＝－1，即x 1x 2＋y 1y 2＝0.①由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0. 消去y 得，2x 2＋2(b ＋1)x ＋b 2＋4b －4＝0， ∴x 1＋x 2＝－(b ＋1)，x 1x 2＝12(b 2＋4b －4)，②y 1y 2＝(x 1＋b )(x 2＋b )＝x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2 ＝12(b 2＋4b －4)－b 2－b ＋b 2＝12(b 2＋2b －4)．③ 把②③式代入①得，得b 2＋3b －4＝0，解得b ＝1或b ＝－4，且b ＝1或b ＝－4都使得Δ＝4(b ＋1)2－8(b 2＋4b －4)>0成立．故存在直线l 满足题意，其方程为y ＝x ＋1或y ＝x －4.3．(2013·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A (0,3)，直线l ：y ＝2x －4.设圆C 的半径为1，圆心在l 上．(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程；(2)若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．解：(1)由题设，圆心C 是直线y ＝2x －4和y ＝x －1的交点，解得点C (3,2)，于是切线的斜率必存在．设过A (0,3)的圆C 的切线方程为y ＝kx ＋3，由题意，得|3k ＋1|k 2＋1＝1，解得k ＝0或－34，故所求切线方程为y ＝3或3x ＋4y －12＝0.(2)因为圆心在直线y ＝2x －4上，所以圆C 的方程为(x －a )2＋[y －2(a －2)]2＝1. 设点M (x ，y )，因为MA ＝2MO ，所以x 2＋(y －3)2＝2x 2＋y 2，化简得x 2＋y 2＋2y －3＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝4，所以点M 在以D (0，－1)为圆心，2为半径的圆上．由题意，点M (x ，y )在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点，则|2－1|≤CD ≤2＋1，即1≤a 2＋(2a －3)2≤3.由5a 2－12a ＋8≥0，得a ∈R ； 由5a 2－12a ≤0，得0≤a ≤125. 所以点C 的横坐标a 的取值范围为0，125.。