高二数学一个石破惊天的问题

高考数学爆强秒杀解题法2017关于高考数学爆强秒杀解题法高考数学爆强秒杀公式与方法一1，适用条件：[直线过焦点]，必有ecosA=(x-1)/(x+1)，其中A为直线与焦点所在轴夹角，是锐角。

x为分离比，必须大于1。

注上述公式适合一切圆锥曲线。

如果焦点内分(指的是焦点在所截线段上)，用该公式;如果外分(焦点在所截线段延长线上)，右边为(x+1)/(x-1)，其他不变。

2，函数的周期性问题(记忆三个)：1、若f(x)=-f(x+k)，则T=2k;2、若f(x)=m/(x+k)(m不为0)，则T=2k;3、若f(x)=f(x+k)+f(x-k)，则T=6k。

注意点：a.周期函数，周期必无限b.周期函数未必存在最小周期，如：常数函数。

c.周期函数加周期函数未必是周期函数，如：y=sinxy=sin派x相加不是周期函数。

3，关于对称问题(无数人搞不懂的问题)总结如下：1，若在R上(下同)满足：f(a+x)=f(b-x)恒成立，对称轴为x=(a+b)/2;2、函数y=f(a+x)与y=f(b-x)的图像关于x=(b-a)/2对称;3、若f(a+x)+f(a-x)=2b，则f(x)图像关于(a，b)中心对称4，函数奇偶性1、对于属于R上的奇函数有f(0)=0;2、对于含参函数，奇函数没有偶次方项，偶函数没有奇次方项3，奇偶性作用不大，一般用于选择填空5，数列爆强定律：1，等差数列中：S奇=na中，例如S13=13a7(13和7为下角标);2等差数列中：S(n)、S(2n)-S(n)、S(3n)-S(2n)成等差3，等比数列中，上述2中各项在公比不为负一时成等比，在q=-1时，未必成立4，等比数列爆强公式：S(n+m)=S(m)+q²mS(n)可以迅速求q6，数列的终极利器，特征根方程。

(如果看不懂就算了)。

首先介绍公式：对于an+1=pan+q(n+1为下角标，n为下角标)，a1已知，那么特征根x=q/(1-p)，则数列通项公式为an=(a1-x)p²(n-1)+x，这是一阶特征根方程的运用。

高二上册数学知识点趣味题在高二上册的数学学习中，我们了解了许多有趣的知识点。

下面，我将通过一些趣味题来展示这些知识点。

希望这些问题能够让你对数学更加感兴趣！1. 蛇的身体长度问题假设一条蛇的头和尾巴分别占据了整个蛇的1/4长度，身体占据了剩下的一半长度。

现在问你，蛇的身体长度和头尾长度的比是多少？解答：假设蛇的总长度为x，头尾的长度各为x/4，身体的长度为x/2。

那么，蛇的身体与头尾长度的比为 (x/2)/(x/4) = 2/1 = 2:1。

2. 数字的翻转问题我们选择一个三位数，然后将其个位和百位的数字进行交换。

这样得到的新数字比原数大36。

请问原来的三位数是多少？解答：设原来的三位数的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c。

交换个位和百位数字后，得到的新数字为 100c + 10b + a。

根据题意，可列出方程：(100c + 10b + a) - (100a + 10b + c) = 36,化简得：99(c - a) = 36，因为99是9的倍数，而36不是9的倍数，所以不存在满足题意的三位数。

3. 奇偶数之和问题设a和b分别为任意两个整数。

如果a+b是奇数，那么a和b中至少有一个是奇数。

如果a+b是偶数，那么a和b都是偶数。

请问对于整数x和y，x+y是奇数还是偶数？解答：设x和y分别为任意两个整数。

如果x+y是奇数，那么x和y中至少有一个是奇数。

如果x+y是偶数，那么x和y都是偶数。

4. 平均数问题设a、b和c为任意三个不相等的数。

那么证明a、b和c的平均数不可能等于其中任何一个数。

解答：假设a、b、c的平均数等于其中一个数，不失一般性，假设a等于平均数。

那么有：(a+b+c)/3 = a，通过化简得：b+c = 2a。

由于a、b和c是三个不相等的数，所以不能同时满足这个等式，故矛盾。

因此，可以得出结论：a、b和c的平均数不可能等于其中任何一个数。

总结：通过以上这些趣味问题，我们可以巩固和理解高二上册数学中的一些知识点。

2021年10月18日姚杰的高中数学组卷一．选择题〔共17小题〕1．〔2021•浙江〕设△ABC，P0是边AB上一定点，满足，且对于边AB上任一点P，恒有那么〔〕A．∠ABC=90°B．∠BAC=90°C．AB=AC D．AC=BC2．〔2021•广东〕对任意两个非零的平面向量和，定义○=，假设平面向量、满足||≥||＞0，与的夹角，且○和○都在集合中，那么○=〔〕A．B．1 C．D．3．〔2007•天津〕设两个向量和，其中λ，m，α为实数．假设，那么的取值范围是〔〕A．[﹣6，1]B．[4，8]C．〔﹣∞，1]D．[﹣1，6]4．〔2021•广东〕对任意两个非零的平面向量和，定义°=．假设两个非零的平面向量，满足与的夹角，且•和•都在集合中，那么•=〔〕A．B．C．1 D．5．〔2021•山东〕设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，假设〔λ∈R〕，〔μ∈R〕，且，那么称A3，A4调和分割A1，A2，点C〔c，0〕，D〔d，O〕〔c，d∈R〕调和分割点A〔0，0〕，B〔1，0〕，那么下面说法正确的选项是〔〕A．C可能是线段AB的中点B．D可能是线段AB的中点C．C，D可能同时在线段AB上D．C，D不可能同时在线段AB的延长线上6．〔2021•福建〕设，，为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足与不共线，⊥，||=||，那么|•|的值一定等于〔〕A．以，为邻边的平行四边形的面积B．以，为两边的三角形面积C．，为两边的三角形面积D．以，为邻边的平行四边形的面积7．〔2021•浙江〕，是平面内两个互相垂直的单位向量，假设向量满足〔﹣〕•〔﹣〕=0，那么||的最大值是〔〕A．1 B．2 C．D．8．〔2007•山东〕在直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，那么以下等式不成立的是〔〕A．B．C．D．9．〔2007•湖北〕连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量与向量的夹角为θ，那么的概率是〔〕A．B．C．D．10．〔2006•福建〕||=1，||=，•=0，点C在∠AOB内，且∠AOC=30°，设=m+n〔m、n∈R〕，那么等于〔〕A．B．3 C．D．11．〔2005•湖南〕P是△ABC所在平面上一点，假设，那么P是△ABC的〔〕A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心12．〔2005•江西〕在△OAB中，O为坐标原点，，那么当△OAB的面积达最大值时，θ=〔〕A．B．C．D．13．〔2005•安徽〕点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足，那么点O是△ABC的〔〕A．三个内角的角平分线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点14．平面上一点P在原坐标系中的坐标为〔0，m〕〔m≠0〕，而在平移后所得到的新坐标系中的坐标为〔m，0〕，那么新坐标系的原点O′在原坐标系中的坐标为〔A 〕A．〔﹣m，m〕B．〔m，﹣m〕C．〔m，m〕 D．〔﹣m，﹣m〕15．〔2021•桃城区校级模拟〕设向量，满足，，＜＞=60°，那么||的最大值等于〔〕A．2 B．C．D．116．〔2021•安徽〕在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足||=||=•=2，那么点集{P|=λ+μ，|λ|+|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是〔〕A．B． C． D．17．〔2021•上海〕在边长为1的正六边形ABCDEF中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、．假设m、M分别为〔++〕•〔++〕的最小值、最大值，其中{i，j，k}⊆{1，2，3，4，5}，{r，s，t}⊆{1，2，3，4，5}，那么m、M满足〔〕A．m=0，M＞0 B．m＜0，M＞0 C．m＜0，M=0 D．m＜0，M＜0二．解答题〔共13小题〕18．〔2005•上海〕在直角坐标平面中，点P1〔1，2〕，P2〔2，22〕，P3〔3，23〕，…，P n〔n，2n〕，其中n是正整数．对平面上任一点A0，记A1为A0关于点P1的对称点，A2为A1关于点P2的对称点，…，A n为A n﹣1关于点P n的对称点．〔1〕求向量的坐标；〔2〕当点A0在曲线C上移动时，点A2的轨迹是函数y=f〔x〕的图象，其中f〔x〕是以3位周期的周期函数，且当x∈〔0，3]时，f〔x〕=lgx．求以曲线C为图象的函数在〔1，4]上的解析式；〔3〕对任意偶数n，用n表示向量的坐标．19．〔2021•上海〕定义向量=〔a，b〕的“相伴函数〞为f〔x〕=asinx+bcosx，函数f〔x〕=asinx+bcosx的“相伴向量〞为=〔a，b〕〔其中O为坐标原点〕．记平面内所有向量的“相伴函数〞构成的集合为S．〔1〕设g〔x〕=3sin〔x+〕+4sinx，求证：g〔x〕∈S；〔2〕h〔x〕=cos〔x+α〕+2cosx，且h〔x〕∈S，求其“相伴向量〞的模；〔3〕M〔a，b〕〔b≠0〕为圆C：〔x﹣2〕2+y2=1上一点，向量的“相伴函数〞f〔x〕在x=x0处取得最大值．当点M在圆C上运动时，求tan2x0的取值范围．20．〔2021•江苏〕如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2，AB=1，点N是BC 的中点，点M在CC1上．设二面角A1﹣DN﹣M的大小为θ，〔1〕当θ=90°时，求AM的长；〔2〕当时，求CM的长．21．〔2021•山东〕设m∈R，在平面直角坐标系中，向量a=〔mx，y+1〕，向量b=〔x，y﹣1〕，a⊥b，动点M〔x，y〕的轨迹为E．〔Ⅰ〕求轨迹E的方程，并说明该方程所表示曲线的形状；〔Ⅱ〕m=．证明：存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A，B，且OA⊥OB〔O为坐标原点〕，并求该圆的方程；〔Ⅲ〕m=．设直线l与圆C：x2+y2=R2〔1＜R＜2〕相切于A1，且l与轨迹E只有一个公共点B1．当R为何值时，|A1B1|取得最大值？并求最大值．22．〔2007•四川〕设F1、F2分别是椭圆=1的左、右焦点．〔Ⅰ〕假设P是第一象限内该椭圆上的一点，且，求点P的作标；〔Ⅱ〕设过定点M〔0，﹣2〕的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角〔其中O为坐标原点〕，求直线l的斜率k的取值范围．23．〔2021•丰台区校级一模〕如图，△OFP的面积为m，且=1．〔I〕假设，求向量与的夹角θ的取值范围；〔II〕设，且．假设以O为中心，F为焦点的椭圆经过点P，当取得最小值时，求此椭圆的方程．24．设、为平面向量，假设存在不全为零的实数λ，μ使得λ+μ=0，那么称、线性相关，下面的命题中，、、均为平面M上的向量．①假设=2，那么、线性相关；②假设、为非零向量，且⊥，那么、线性相关；③假设、线性相关，、线性相关，那么、线性相关；④向量、线性相关的充要条件是、共线．上述命题中正确的选项是〔写出所有正确命题的编号〕25．〔2005•安徽〕椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A、B两点，与=〔3，﹣1〕共线．〔Ⅰ〕求椭圆的离心率；〔Ⅱ〕设M为椭圆上任意一点，且，证明λ2+μ2为定值．26．〔2021•江苏模拟〕如图，D是△ABC的中点，，那么λ1+λ2=．27．〔2021•泗县校级模拟〕单位圆⊙O：x2+y2=1，A〔1，0〕，B是圆上的动点，∥，．〔1〕求点P的轨迹E的方程；〔2〕求过A作直线l被E截得的弦长的最小值．28．〔2021•西安校级模拟〕向量，动点M到定直线y=1的距离等于d，并且满足，其中O是坐标原点，k是参数．〔1〕求动点M的轨迹方程，并判断曲线类型；〔2〕当时，求的最大值和最小值；〔3〕如果动点M的轨迹是圆锥曲线，其离心率e满足，求实数k的取值范围．29．〔2021•上海〕在直角坐标平面xOy上的一列点A1〔1，a1〕，A2〔2，a2〕，…，A n〔n，a n〕，…，简记为{A n}、假设由构成的数列{b n}满足b n+1＞b n，n=1，2，…，其中为方向与y轴正方向相同的单位向量，那么称{A n}为T点列，〔1〕判断，，是否为T点列，并说明理由；〔2〕假设{A n}为T点列，且点A2在点A1的右上方、任取其中连续三点A k、A k+1、A k+2，判断△A k A k+1A k+2的形状〔锐角三角形、直角三角形、钝角三角形〕，并予以证明；〔3〕假设{A n}为T点列，正整数1≤m＜n＜p＜q满足m+q=n+p，求证：．30．〔2021•临川区校级一模〕设点F〔，0〕〔p为正常数〕，点M在x轴的负半轴上，点P 在y轴上，且，．〔Ⅰ〕当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹C的方程；〔Ⅱ〕直线l过点F且与曲线C相交于不同两点A，B，分别过点A，B作直线l1：x=﹣的垂线，对应的垂足分别为A1，B1，求的值；〔Ⅲ〕在〔Ⅱ〕的条件下，记，，，λ=，求λ的值．2021年10月18日姚杰的高中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题〔共17小题〕1．〔2021•浙江〕设△ABC，P0是边AB上一定点，满足，且对于边AB上任一点P，恒有那么〔〕A．∠ABC=90°B．∠BAC=90°C．AB=AC D．AC=BC考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：设||=4，那么||=1，过点C作AB的垂线，垂足为H，在AB上任取一点P，设HP0=a，那么由数量积的几何意义可得||2﹣〔a+1〕||+a≥0恒成立，只需△=〔a+1〕2﹣4a=〔a﹣1〕2≤0即可，由此能求出△ABC是等腰三角形，AC=BC．解答：解：设||=4，那么||=1，过点C作AB的垂线，垂足为H，在AB上任取一点P，设HP0=a，那么由数量积的几何意义可得，=||•||=||2﹣〔a+1〕〕||，•=﹣a，于是•≥••恒成立，整理得||2﹣〔a+1〕||+a≥0恒成立，只需△=〔a+1〕2﹣4a=〔a﹣1〕2≤0即可，于是a=1，因此我们得到HB=2，即H是AB的中点，故△ABC是等腰三角形，所以AC=BC．应选：D．点评：此题主要考查了平面向量的运算，向量的模及向量的数量积的概念，向量运算的几何意义的应用，还考查了利用向量解决简单的几何问题的能力2．〔2021•广东〕对任意两个非零的平面向量和，定义○=，假设平面向量、满足||≥||＞0，与的夹角，且○和○都在集合中，那么○=〔〕A．B．1 C．D．考点：平面向量数量积的运算．专题：空间向量及应用．分析：由题意可得•==，同理可得•==，故有n≥m 且m、n∈z．再由cos2θ=，与的夹角θ∈〔0，〕，可得cos2θ∈〔，1〕，即∈〔，1〕，由此求得n=3，m=1，从而得到•==的值．解答：解：由题意可得•====．同理可得•====．由于||≥||＞0，∴n≥m 且m、n∈z．∴cos2θ=．再由与的夹角θ∈〔0，〕，可得cos2θ∈〔，1〕，即∈〔，1〕．故有n=3，m=1，∴•==，应选C．点评：此题主要考查两个向量的数量积的定义，得到n≥m 且m、n∈z，且∈〔，1〕，是解题的关键，属于中档题．3．〔2007•天津〕设两个向量和，其中λ，m，α为实数．假设，那么的取值范围是〔〕A．[﹣6，1]B．[4，8]C．〔﹣∞，1]D．[﹣1，6]考点：相等向量与相反向量；平面向量共线〔平行〕的坐标表示．专题：压轴题．分析：利用，得到λ，m的关系，然后用三角函数的有界性求解的比值，为了简化，把换元．解答：解：由，，，可得，设代入方程组可得消去m化简得，再化简得再令代入上式得〔sinα﹣1〕2+〔16t2+18t+2〕=0可得﹣〔16t2+18t+2〕∈[0，4]解不等式得因而解得﹣6≤k≤1．应选A．点评：此题难度较大，题目涉及到向量、三角函数的有界性、还用到了换元和解不等式等知识，表达了化归的思想方法．4．〔2021•广东〕对任意两个非零的平面向量和，定义°=．假设两个非零的平面向量，满足与的夹角，且•和•都在集合中，那么•=〔〕A．B．C．1 D．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：先求出•=，n∈N，•=，m∈N，再由cos2θ=∈〔0，〕，故m=n=1，从而求得•=的值．解答：解：∵°•=====，n∈N．同理可得°•====，m∈N．再由与的夹角，可得cosθ∈〔0，〕，∴cos2θ=∈〔0，〕，故m=n=1，∴•==，应选：D．点评：此题主要考查两个向量的数量积的定义，求得m=n=1，是解题的关键，属于中档题．5．〔2021•山东〕设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，假设〔λ∈R〕，〔μ∈R〕，且，那么称A3，A4调和分割A1，A2，点C〔c，0〕，D〔d，O〕〔c，d∈R〕调和分割点A〔0，0〕，B〔1，0〕，那么下面说法正确的选项是〔〕A．C可能是线段AB的中点B．D可能是线段AB的中点C．C，D可能同时在线段AB上D．C，D不可能同时在线段AB的延长线上考点：平面向量坐标表示的应用．专题：平面向量及应用．分析：由题意可得到c和d的关系，，只需结合答案考查方程的解的问题即可．A和B中方程无解，C中由c和d的范围可推出C和D点重合，由排除法选择答案即可．解答：解：由可得〔c，0〕=λ〔1，0〕，〔d，0〕=μ〔1，0〕，所以λ=c，μ=d，代入得〔1〕假设C是线段AB的中点，那么c=，代入〔1〕d不存在，故C不可能是线段AB 的中点，A错误；同理B错误；假设C，D同时在线段AB上，那么0≤c≤1，0≤d≤1，代入〔1〕得c=d=1，此时C和D点重合，与条件矛盾，故C错误．应选D点评：此题为新定义问题，考查信息的处理能力．正确理解新定义的含义是解决此题的关键．6．〔2021•福建〕设，，为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足与不共线，⊥，||=||，那么|•|的值一定等于〔〕A．以，为邻边的平行四边形的面积B．以，为两边的三角形面积C．，为两边的三角形面积D．以，为邻边的平行四边形的面积考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；压轴题．分析：利用向量的数量积公式表示出，有得到的夹角与夹角的关系，利用三角函数的诱导公式和条件表示成的模及夹角形式，利用平行四边形的面积公式得到选项．解答：解：假设与的夹角为θ，|•|=||•||•|cos＜，＞|=||•||•|cos〔90°±θ〕|=||•||•sinθ，即为以，为邻边的平行四边形的面积．应选A．点评：此题考查向量的数量积公式、三角函数的诱导公式、平行四边形的面积公式．7．〔2021•浙江〕，是平面内两个互相垂直的单位向量，假设向量满足〔﹣〕•〔﹣〕=0，那么||的最大值是〔〕A．1 B．2 C．D．考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：压轴题．分析：本小题主要考查向量的数量积及向量模的相关运算问题，所给出的两个向量是互相垂直的单位向量，这给运算带来很大方便，利用数量积为零的条件时要移项变化．解答：解：．∵，∵，∴，∵cosθ∈[﹣1，1]，∴的最大值是．应选C．点评：启发学生在理解数量积的运算特点的根底上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质，此题也可以利用数形结合，，对应的点A，B在圆x2+y2=1上，对应的点C在圆x2+y2=2上即可．8．〔2007•山东〕在直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，那么以下等式不成立的是〔〕A．B．C．D．考点：平面向量数量积的性质及其运算律．专题：压轴题．分析：根据，∴A是正确的，同理B也正确，再由D答案可变形为，通过等积变换判断为正确，从而得到答案．解答：解：∵，∴A是正确的，同理B也正确，对于D答案可变形为，通过等积变换判断为正确应选C．点评：此题主要考查平面向量的数量积的定义．要会巧妙变形和等积变换．9．〔2007•湖北〕连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量与向量的夹角为θ，那么的概率是〔〕A．B．C．D．考点：数量积表示两个向量的夹角；等可能事件的概率．专题：计算题；压轴题．分析：由题意知此题是一个古典概型，根据分步计数原理可以得到试验发生包含的所有事件数，满足条件的事件数要通过列举得到，题目大局部内容考查的是向量的问题，这是一个综合题．解答：解：由题意知此题是一个古典概型，试验发生包含的所有事件数6×6，∵m＞0，n＞0，∴=〔m，n〕与=〔1，﹣1〕不可能同向．∴夹角θ≠0．∵θ∈〔0，】•≥0，∴m﹣n≥0，即m≥n．当m=6时，n=6，5，4，3，2，1；当m=5时，n=5，4，3，2，1；当m=4时，n=4，3，2，1；当m=3时，n=3，2，1；当m=2时，n=2，1；当m=1时，n=1．∴满足条件的事件数6+5+4+3+2+1∴概率P==．应选C．点评：向量知识，向量观点在数学．物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份〞能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点．10．〔2006•福建〕||=1，||=，•=0，点C在∠AOB内，且∠AOC=30°，设=m+n〔m、n∈R〕，那么等于〔〕A．B．3 C．D．考点：向量的共线定理；向量的模．专题：计算题；压轴题．分析：将向量沿与方向利用平行四边形原那么进行分解，构造出三角形，由题目，可得三角形中三边长及三个角，然后利用正弦定理解三角形即可得到答案．此题如果没有点C在∠AOB内的限制，应该有两种情况，即也可能为OC在OA顺时针方向30°角的位置，请大家注意分类讨论，防止出错．解答：解：法一：如下图：=+，设=x，那么=．=∴==3．法二：如下图，建立直角坐标系．那么=〔1，0〕，=〔0，〕，∴=m+n=〔m，n〕，∴tan30°==，∴=3．应选B点评：对一个向量根据平面向量根本定理进行分解，关键是要根据平行四边形法那么，找出向量在基底两个向量方向上的分量，再根据条件构造三角形，解三角形即可得到分解结果．11．〔2005•湖南〕P是△ABC所在平面上一点，假设，那么P是△ABC的〔〕A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心考点：平面向量数量积的运算；数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：计算题；压轴题．分析：此题考查的知识点是平面向量的数量积运算，由，我们任取其中两个相等的量，如，根据平面向量乘法分配律，及减法法那么，我们可得，同理我们也可以得到PA⊥BC，PC⊥AB，由三角形垂心的性质，我们不难得到结论．解答：解：∵，那么由得：，∴PB⊥AC同理PA⊥BC，PC⊥AB，即P是垂心应选D点评：重心定理：三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍．该点叫做三角形的重心．外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点．该点叫做三角形的外心．垂心定理：三角形的三条高交于一点．该点叫做三角形的垂心．内心定理：三角形的三内角平分线交于一点．该点叫做三角形的内心．12．〔2005•江西〕在△OAB中，O为坐标原点，，那么当△OAB的面积达最大值时，θ=〔〕A．B．C．D．考点：数量积表示两个向量的夹角；向量在几何中的应用．专题：压轴题．分析：在边长为1的正方形中，减去要求的三角形以外的三角形的面积，把要求的结果表示为有三角函数的代数式，后面题目变为求三角函数的最值问题，逆用二倍角公式得到结果．解答：解：在直角坐标系里△OAB的面积=1﹣==∵θ∈〔0，]，∴2θ∈〔0，π]∴当2θ=π时取得最大，即θ=应选D．点评：此题考查简单的图形面积和三角函数的最值问题，用三角函数表示的式子，因此代入后，还要进行简单的三角函数变换，二倍角公式逆用．13．〔2005•安徽〕点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足，那么点O是△ABC的〔〕A．三个内角的角平分线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点考点：平面向量数量积的运算；向量在几何中的应用．专题：计算题；压轴题．分析：由得到，从而所以OB⊥AC，同理得到OA⊥BC，所以点O是△ABC的三条高的交点解答：解；∵∴；∴；∴OB⊥AC，同理由得到OA⊥BC∴点O是△ABC的三条高的交点应选D点评：此题考查向量的数量积及向量的运算，对学生有一定的能力要求14．平面上一点P在原坐标系中的坐标为〔0，m〕〔m≠0〕，而在平移后所得到的新坐标系中的坐标为〔m，0〕，那么新坐标系的原点O′在原坐标系中的坐标为〔A 〕A．〔﹣m，m〕B．〔m，﹣m〕C．〔m，m〕 D．〔﹣m，﹣m〕考点：向量在几何中的应用．专题：压轴题；阅读型．分析：利用平移公式求出平移向量，再利用平移公式求出新坐标系的原点O′在原坐标系中的坐标．解答：解：设按向量，那么新坐标系的原点O′在原坐标系中的坐标为〔k，l〕那么据平移公式故∴解得即新坐标系的原点O′在原坐标系中的坐标为〔﹣m，m〕应选项为A点评：此题考查平移公式的应用．15．〔2021•桃城区校级模拟〕设向量，满足，，＜＞=60°，那么||的最大值等于〔〕A．2 B．C．D．1考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：计算题；压轴题．分析：利用向量的数量积求出的夹角；利用向量的运算法那么作出图；结合图，判断出四点共圆；利用正弦定理求出外接圆的直径，求出最大值．解答：解：∵，∴的夹角为120°，设，那么；=如下图那么∠AOB=120°；∠ACB=60°∴∠AOB+∠ACB=180°∴A，O，B，C四点共圆∵∴∴由三角形的正弦定理得外接圆的直径2R=当OC为直径时，模最大，最大为2应选A点评：此题考查向量的数量积公式、向量的运算法那么、四点共圆的判断定理、三角形的正弦定理．16．〔2021•安徽〕在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足||=||=•=2，那么点集{P|=λ+μ，|λ|+|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是〔〕A．B． C． D．考点：平面向量的根本定理及其意义；二元一次不等式〔组〕与平面区域；向量的模．专题：压轴题；平面向量及应用．分析：由两定点A，B满足==2，说明O，A，B三点构成边长为2的等边三角形，设出两个定点的坐标，再设出P点坐标，由平面向量根本定理，把P的坐标用A，B的坐标及λ，μ表示，把不等式|λ|+|μ|≤1去绝对值后可得线性约束条件，画出可行域可求点集P所表示区域的面积．解答：解：由两定点A，B满足==2，说明O，A，B三点构成边长为2的等边三角形．不妨设A〔〕，B〔〕．再设P〔x，y〕．由，得：．所以，解得①．由|λ|+|μ|≤1．所以①等价于或或或．可行域如图中矩形ABCD及其内部区域，那么区域面积为．应选D．点评：此题考查了平面向量的根本定理及其意义，考查了二元一次不等式〔组〕所表示的平面区域，考查了数学转化思想方法，解答此题的关键在于读懂题意，属中档题．17．〔2021•上海〕在边长为1的正六边形ABCDEF中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、．假设m、M分别为〔++〕•〔++〕的最小值、最大值，其中{i，j，k}⊆{1，2，3，4，5}，{r，s，t}⊆{1，2，3，4，5}，那么m、M满足〔〕A．m=0，M＞0 B．m＜0，M＞0 C．m＜0，M=0 D．m＜0，M＜0考点：平面向量数量积的运算；进行简单的合情推理．专题：压轴题；平面向量及应用．分析：利用向量的数量积公式，可知只有，其余数量积均小于等于0，从而可结论．解答：解：由题意，以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、，∴利用向量的数量积公式，可知只有，其余数量积均小于等于0，∵m、M分别为〔++〕•〔++〕的最小值、最大值，∴m＜0，M＜0应选D．点评：此题考查向量的数量积运算，考查学生分析解决问题的能力，分析出向量数量积的正负是关键．二．解答题〔共13小题〕18．〔2005•上海〕在直角坐标平面中，点P1〔1，2〕，P2〔2，22〕，P3〔3，23〕，…，P n〔n，2n〕，其中n是正整数．对平面上任一点A0，记A1为A0关于点P1的对称点，A2为A1关于点P2的对称点，…，A n为A n﹣1关于点P n的对称点．〔1〕求向量的坐标；〔2〕当点A0在曲线C上移动时，点A2的轨迹是函数y=f〔x〕的图象，其中f〔x〕是以3位周期的周期函数，且当x∈〔0，3]时，f〔x〕=lgx．求以曲线C为图象的函数在〔1，4]上的解析式；〔3〕对任意偶数n，用n表示向量的坐标．考点：平面向量的综合题．专题：综合题；压轴题；平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：〔1〕利用中点坐标公式求出点A1，A2的坐标，再利用向量的坐标公式求出的坐标．〔2〕由判断出y=f〔x〕的图象是由C按平移得到的；得到C是由f〔x〕左移两个单位，下移4个单位得到，利用图象变换求出C的解析式．〔3〕利用向量的运算法那么将有以P n为起点终点的向量表示，利用向量的坐标公式求出各向量的坐标，利用等比数列的前n项和公式求出向量的坐标．解答：解：〔1〕设点A0〔x，y〕，A1为A0关于点P1的对称点，A1的坐标为〔2﹣x，4﹣y〕，A1为P2关于点的对称点A2的坐标为〔2+x，4+y〕，∴={2，4}．〔2〕∵={2，4}，∴f〔x〕的图象由曲线C向右平移2个单位，再向上平移4个单位得到．因此，设曲线C是函数y=g〔x〕的图象，其中g〔x〕是以3为周期的周期函数，且当x∈〔﹣2，1]时，g〔x〕=lg〔x+2〕﹣4．于是，当x∈〔1，4]时，g〔x〕=lg〔x﹣1〕﹣4．〔3〕=++…+，由于=，得=2〔++…+〕=2〔{1，2}+{1，23}+…+{1，2n﹣1}〕=2{，}={n，}点评：此题考查中点坐标公式、向量的坐标公式、图象的平移变换、等比数列的前n项和公式．19．〔2021•上海〕定义向量=〔a，b〕的“相伴函数〞为f〔x〕=asinx+bcosx，函数f〔x〕=asinx+bcosx的“相伴向量〞为=〔a，b〕〔其中O为坐标原点〕．记平面内所有向量的“相伴函数〞构成的集合为S．〔1〕设g〔x〕=3sin〔x+〕+4sinx，求证：g〔x〕∈S；〔2〕h〔x〕=cos〔x+α〕+2cosx，且h〔x〕∈S，求其“相伴向量〞的模；〔3〕M〔a，b〕〔b≠0〕为圆C：〔x﹣2〕2+y2=1上一点，向量的“相伴函数〞f〔x〕在x=x0处取得最大值．当点M在圆C上运动时，求tan2x0的取值范围．考点：平面向量的综合题；复合三角函数的单调性．专题：计算题；压轴题；新定义．分析：〔1〕先利用诱导公式对其化简，再结合定义即可得到证明；〔2〕先根据定义求出其相伴向量，再代入模长计算公式即可；〔3〕先根据定义得到函数f〔x〕取得最大值时对应的自变量x0；再结合几何意义求出的范围，最后利用二倍角的正切公式即可得到结论．解答：解：〔1〕g〔x〕=3sin〔x+〕+4sinx=4sinx+3cosx，其‘相伴向量’=〔4，3〕，g〔x〕∈S．〔2〕h〔x〕=cos〔x+α〕+2cosx=〔cosxcosα﹣sinxsinα〕+2cosx=﹣sinαsinx+〔cosα+2〕cosx∴函数h〔x〕的‘相伴向量’=〔﹣sinα，cosα+2〕．那么||==．〔3〕的‘相伴函数’f〔x〕=asinx+bcosx=sin〔x+φ〕，其中cosφ=，sinφ=．当x+φ=2kπ+，k∈Z时，f〔x〕取到最大值，故x0=2kπ+﹣φ，k∈Z．∴tanx0=tan〔2kπ+﹣φ〕=cotφ=，tan2x0===．为直线OM的斜率，由几何意义知：∈[﹣，0〕∪〔0，]．令m=，那么tan2x0=，m∈[﹣，0〕∪〔0，}．当﹣≤m＜0时，函数tan2x0=单调递减，∴0＜tan2x0≤；当0＜m≤时，函数tan2x0=单调递减，∴﹣≤tan2x0＜0．综上所述，tan2x0∈[﹣，0〕∪〔0，]．点评：本体主要在新定义下考查平面向量的根本运算性质以及三角函数的有关知识．是对根底知识的综合考查，需要有比拟扎实的根本功．20．〔2021•江苏〕如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2，AB=1，点N是BC 的中点，点M在CC1上．设二面角A1﹣DN﹣M的大小为θ，〔1〕当θ=90°时，求AM的长；〔2〕当时，求CM的长．考点：向量在几何中的应用．专题：立体几何．分析：〔1〕建立如下图的空间直角坐标系，D﹣xyz，设CM=t〔0≤t≤2〕，通过，求出平面DMN的法向量为，，求出平面A1DN 的法向量为，推出〔1〕利用θ=90°求出M的坐标，然后求出AM 的长．〔2〕利用cos=以及，求出CM 的长．解答：解：建立如下图的空间直角坐标系，D﹣xyz，设CM=t〔0≤t≤2〕，那么各点的坐标为A〔1，0，0〕，A1〔1，0，2〕，N〔，1，0〕，M〔0，1，t〕；所以=〔，1，0〕.=〔1，0，2〕，=〔0，1，t〕设平面DMN的法向量为=〔x1，y1，z1〕，那么，，即x1+2y1=0，y1+tz1=0，令z1=1，那么y1=﹣t，x1=2t所以=〔2t，﹣t，1〕，设平面A1DN的法向量为=〔x2，y2，z2〕，那么，，即x2+2z2=0，x2+2y2=0，令z2=1那么y2=1，x2=﹣2所以=〔﹣2，1，1〕，〔1〕因为θ=90°，所以解得t=从而M〔0，1，〕，所以AM=〔2〕因为，所以，cos==因为=θ或π﹣θ，所以=解得t=0或t=根据图形和〔1〕的结论，可知t=，从而CM的长为．点评：此题是中档题，考查直线与平面，直线与直线的位置关系，考查转化思想的应用，向量法解答立体几何问题，方便简洁，但是注意向量的夹角，计算数据的准确性．21．〔2021•山东〕设m∈R，在平面直角坐标系中，向量a=〔mx，y+1〕，向量b=〔x，y﹣1〕，a⊥b，动点M〔x，y〕的轨迹为E．〔Ⅰ〕求轨迹E的方程，并说明该方程所表示曲线的形状；〔Ⅱ〕m=．证明：存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A，B，且OA⊥OB〔O为坐标原点〕，并求该圆的方程；〔Ⅲ〕m=．设直线l与圆C：x2+y2=R2〔1＜R＜2〕相切于A1，且l与轨迹E只有一个公共点B1．当R为何值时，|A1B1|取得最大值？并求最大值．考点：平面向量数量积的运算；圆的标准方程；轨迹方程；直线和圆的方程的应用．专题：平面向量及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：〔1〕由a⊥b，所以a•b=0，代入坐标化简整理即得轨迹E的方程mx2+y2=1．此为二元二次曲线，可分m=0、m=1、m＞0且m≠1和m＜0四种情况讨论；〔2〕当m=时，轨迹E的方程为=1，表示椭圆，设圆的方程为x2+y2=r2〔0＜r＜1〕，当切线斜率存在时，可设圆的任一切线方程为y=kx+t，由直线和圆相切可得k和t的关系，由OA⊥OB，所以x1x2+y1y1=0，只需联立直线和圆的方程，消元，维达定理，又可以得到k和t的关系，这样就可解出r．当切线斜率不存在时，代入检验即可．〔3〕因为l与圆C相切，故△OA1B1为直角△，故|A1B1|2=|OB1|2﹣|OA1|2，只需求出OB1和OA1的长度即可，直线l与圆C相切，且与椭圆相切找出关系，将|A1B1|表示为R的函数，转化为函数求最值．解答：解：〔Ⅰ〕因为a⊥b，所以a•b=0，即〔mx，y+1〕•〔x，y﹣1〕=0，故mx2+y2﹣1=0，即mx2+y2=1．当m=0时，该方程表示两条直线；当m=1时，该方程表示圆；当m＞0且m≠1时，该方程表示椭圆；当m＜0时，该方程表示双曲线．〔Ⅱ〕当时，轨迹E的方程为，设圆的方程为x2+y2=r2〔0＜r＜1〕，当切线斜率存在时，可设圆的任一切线方程为y=kx+t，A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，所以，即t2=r2〔1+k2〕．①因为OA⊥OB，所以x1x2+y1y1=0，即x1x2+〔kx1+t〕〔kx2+t〕=0，整理得〔1+k2〕x1x2+kt〔x1+x2〕+t2=0．②由方程组消去y得〔1+4k2〕x2+8ktx+4t2﹣4=0．③由韦达定理代入②式并整理得〔1+k2〕，即5t2=4+4k2．结合①式有5r2=4，r=，当切线斜率不存在时，x2+y2=也满足题意，故所求圆的方程为x2+y2=．〔Ⅲ〕显然，直线l的斜率存在，设l的方程y=k1x+t1，B1〔x3，y3〕轨迹E的方程为．由直线l与圆相切得t12=R2〔1+k12〕，且对应③式有△=〔8k1t1〕2﹣4〔1+4k12〕〔4t12﹣4〕=0，即t12=1+4k12，由方程组，解得当l与轨迹E只有一个公共点时，对应的方程③应有两个相等的．由韦达定理x32===，又B1在椭圆上，所以，因为l与圆C相切，所以|A1B1|2=|OB1|2﹣|OA1|2=x32+y32﹣R2===≤，其中，等号成立的条件，。

2022-2023学年高中高二下数学普通考试学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 落在平静水面上的石头，使水面产生同心圆形波纹，在持续的一段时何内，若外围圈波的半径（单位：）与时间（单位：）的函数关系是．则在末，扰动水面面积的变化率为（ ）A.B.C.D.2. 山东省高考改革后实施选科走班制度，小明需要从物理、化学、生物、政治、历史、地理中选择三科作为自己的选科组合，物理和历史不能同时选择，则小明不同的选科情况有（ ）A.种B.种C.种D.种3. 已知数列的前项和，则( )A.B.C.D.4. 若函数在处有极值，则，的取值为( )A.，或，B.，r m t s r =8t 2s 72π/sm 2144π/sm 2256π/sm 2512π/sm 214161820{}a n n =−2n S n n 2+=a 1a 31234f(x)=+a +bx +x 3x 2a 2x=110a b a=−3b=3a=4b=−11a=4b=−11bC.，D.以上答案都不正确5. 已知函数的定义域为，且满足，其导函数，当时，，且，则不等式的解集为（ ）A.B.C.D.6. 已知 为等比数列，若 ，则( )A.B. C.或D.或7. 如图，给条线段的个端点涂色，要求同一条线段的两个端点不能同色，现有种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法种数有（）A.B.C.D.8. 若，，，则，，的大小关系为 A.B.a=−3b=3f(x)R f(x −2)=−f(−x)f (x)′x <−1(x +1)[f(x)+(x +1)f (x)]<0′f(1)=4xf(x −1)<8(−∞,−2)(2,+∞)(−2,2)(−∞,−2)∪(2,+∞){}a n =2,=8a 3a 5+=a 7a 8−3296−3296−9632754244896120ln a =−1=e b 2–√3c =ln 3a b c ()a >c >bb >c >ac >b >aC.D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 等差数列中，，，是数列的前项和，则 A.B.是中的最大项C.是中的最小项D.10. 用数字，，，，，组成没有重复数字的四位数，则下列说法正确的是( )A.可组成个不重复的四位数B.可组成个不重复的四位偶数C.可组成个能被整除的不重复四位数D.若将组成的不重复的四位数按从小到大的顺序排成一个数列，则第个数字为11. 已知等差数列的前项和为，，公差，则下列结论正确的为( )A.B.，均为的最大值C.D.当时，的前项和为，则12. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是( )A.当时，B.函数 有个零点C.的解集为D.，都有卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）c >b >aa >b >c{}a n =11a 5=−10a 12S n {}a n n ()+=1a 1a 16S 8{}S n S 9{}S n ||<||a 8a 9012345360156963852310{}a n n S n ||=||a 5a 11d <0=0a 8S 7S 8S n >0S 16d =−2{||}a n n T n =76T 12f (x)R x <0f (x)=(x +1)e x x >0f (x)=(1−x)e xf (x)2f (x)>0(−1,0)∪(1,+∞)∀,∈R x 1x 2|f ()−f ()|<2x 1x 2f(x)f'(x)f(x)=2xf'(1)+ln x f(x)(1,f(1))13. 已知函数的导函数为，且满足，则在点处的切线方程为________．14. 已知是等差数列的前项和，且，给出下列五个命题：①；②；③使得最大的值是；④数列中最大项为；⑤，其中正确的命题的序号是________.15. 已知函数有且只有一个极值点，则实数的取值范围是________.16. 一只电子蚂蚁在如图所示的网格线上由原点出发，每次只爬一格，沿向上或向右方向爬至点，则爬行方法共有________种．（用数字作答）四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17. 从包括，两人的个人中选出人排成一排．（1）若任意选人，有多少种不同的排法？（2）若，两人中有且只有一人在内，有多少种不同的排法？（3）若，两人都在内且，不相邻，有多少种不同排法？（4）若排头和排尾不允许站，正中间（第三位）不允许站，有多少种不同的排法？ 18. 首项为的等差数列，满足成等比数列，且．求的通项公式；记数列的前项和为，若，求的值． 19. 已知函数＝．（1）求曲线＝在点（）处的切线方程；（2）是否存在实数，使得在具有单调性？若存在，求所有的取值构成的集合；若不存在，请说明理由． 20. 已知数列的前项和为，．证明数列是等比数列，求出数列的通项公式；设，求数列的前项和． 21. 已知函数.f(x)f'(x)f(x)=2xf'(1)+ln xf(x)M (1,f(1))S n {}a n n >>S 6S 7S 5d <0>0S 11>0S n n 12{}S n S 12||>||a 6a 7f (x)=ax ln x −+a 12x 2a O (0,0)(5,2)A B 755A B A B A B A B 2{}a n ，，a 1a 2a 4≠a 1a 2021(1){}a n (2){}(n ∈)1a n a n−1N ∗n T n =T n 5052021n f(x)(x +a)ln x −(a +1)(x −1)y f(x)1,f(1)a f(x)(0,+∞)a {}a n n S n =2−3n(n ∈)S n a n N ∗(1){+3}a n {}a n (2)=b n n 3a n {}b n n T n f(x)=(x −2)−a(x −1+e(a ∈R)e x 12)2(1)f(x)若是的极小值点，求实数的取值范围；若，证明：当时,. 22. 设集合表示具有下列性质的函数的集合：①的定义域为；②对任意，，都有．（1）若函数，证明是奇函数；并当，，求，的值；（2）设函数（为常数）是奇函数，判断是否属于，并说明理由；（3）在（2）的条件下，若＝，讨论函数＝的零点个数．(1)x =1f(x)a (2)a =e m ≥2⋅f(x)>m(ln x −)+2x x x −1x 2Ωf(x)f(x)(−1,1)x y ∈(−1,1)f(x)∈Ωf(x)f(m)f(n)a g(x)Ωh(x)(k ≥0)y h[h(x)]−2参考答案与试题解析2022-2023学年高中高二下数学普通考试一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】C【考点】变化的快慢与变化率【解析】利用变化率的定义，即可得出结论．【解答】解：在末，扰动水面面积的变化率为．故选：．2.【答案】B【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】分有物理无历史，无物理有历史，无物理无历史讨论即可.【解答】解：当选择的科目有物理无历史时，有种情况；当选择的科目无物理有历史时，有种情况；当选择的科目无物理无历史时，有种情况，小明不同的选科情况有种.故选.3.【答案】B2s π⋅=256π162C =6C 24=6C 24=4C 346+6+4=16B【考点】数列递推式【解析】数列的前项和，所以， ，可得.【解答】解：∵，，∴.故选．4.【答案】B【考点】利用导数研究函数的极值【解析】求导数，利用函数在＝处有极值，得到两个条件＝和＝，然后利用方程组求解，．【解答】解：由题意，得函数的导数为：，因为函数在处有极值，所以，且，即解得或当，时，，，所以函数有两个相等的解，不是极值点，且函数没有极值，所以不满足条件；当，时，，，所以函数有两个不相等的解，是极值点，即满足条件．故选.5.【答案】{}a n n =−2n S n n 2==1−2=a 1S 1−1=−=3−0=3a 3S 3S 2+a 1a 3==1−2=a 1S 1−1=−=3−0=3a 3S 3S 2+=2a 1a 3B x 110f(1)10f (1)′0a b f(x)=+a +bx +x 3x 2a 2f (x)′=3+2ax +b x 2f(x)=+a +bx +x 3x 2a 2x=110f (1)′=0f(1)=10{3+2a +b =0,1+a +b +=10,a 2{ a =−3,b =3{ a =4,b =−11,a=−3b=3f (x)′=3−6x +3x 2Δ=−4×3×3=062f (x)′x =1a=4b=−11f (x)=3+8x −11′x 2Δ=−4×3×(−11)=196>082f (x)′x =1BD【考点】导数求函数的最值【解析】由题意设，求出后由条件判断出符号，由导数与函数单调性的关系判断出在上递增，由条件和图象平移判断出：函数的图象关于点中心对称，由奇函数的图象可得：函数是奇函数，令，判断出的奇偶性和单调性，再等价转化不等式，求出不等式的解集．【解答】由题意设，则，∵当时，，∴当时，，则在上递增，∵函数的定义域为，且满足，故，即，其图象关于点中心对称，∴函数的图象关于点中心对称，则函数是奇函数，令，∴是上的偶函数，且在递增，由偶函数的性质得：函数在上递减，∵，∴∴不等式化为：，即，解得：或∴不等式的解集是，故选：．6.【答案】C【考点】等比数列的性质【解析】由条件求得，，可得公比，再由，运算求得结果．【解答】解：∵为等比数列，设公比为，则，g(x)=(x +1)f(x)g'(x)g(x)(−∞,−1)f(x −1)(0,0)f(x −1)h(x)=g(x −1)=xf(x −1)h(x)g(x)=(x +1)f(x)g'(x)=f(x)+(x +1)f'(x)x <−1(x +1)[f(x)+(x +1)f'(x)]<0x <−1f(x)+(x +1)f'(x)>0g(x)(−∞,−1)f(x)R f(x −2)=−f(−x)f(x +1−2)=−f(−x −1)f(−1+x)=−f(−1−x)(−1,0)f(x −1)(0,0)f(x −1)h(x)=g(x −1)=xf(x −1)h(x)R (−∞,0)h(x)(0,+∞)f(1)=4h(2)=2f(1)=8xf(x −1)<8h(x)<h(2)|x |>2x >2x <−2(−∞,−2)∪(2,+∞)D =1a 4=2a 5q ==2a 5a 4⋅⋅=(⋅⋅)q a 3a 6a 7a 2a 5a 8{}a n q ==2，==8a 3a 1q 2a 5a 1q 41∴，．∴，∴当时，；当时，∴或.故选．7.【答案】C【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】此题暂无解析【解答】解析 法一：第一步先涂三点，这三点的颜色必须各异，不同的涂色方法种数是；第二步涂两点，各有种，所以不同的涂色方法种数有，故选．法二：第一步先涂三点，这三点的颜色必须各异，不同的涂色方法种数是；第二步除两点，假设已涂的三种颜色顺序分别为，未使用的颜色为，那么可涂的颜色分别为涂，可以选择中的一种颜色，共种方法；涂，可以选择中的一种颜色，共种方法，所以不同的涂色方法种数有，故选．8.【答案】A【考点】利用导数研究函数的单调性指数式、对数式的综合比较【解析】利用指数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵，，∵，，=a 112=4q 2q =±2q =2+=+=×+×=32+64=96a 7a 8a 1q 6a 1q 712261227q =−2+=+=×(−2+×(−2=32−64=−32.a 7a 8a 1q 6a 1q 712)612)7+=a 7a 8−3296C B ，C ，E A 34A ，D 2×2×2=96A 34C A ，B ，E A 34C ，D A ，B ，E 1，2，34C ，D C 1D 2，42C 4D 1，22(2+2)=96A 34C ln a =−1∴a ==e −11e =e b 2–√∴b =ln =ln =ln 22–√21212c =ln 3，，，，，令，，令，得，当 时，，单调递减，当时，，单调递增，∴为最大值，而，，，综上，．故选．二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】A,B【考点】等差数列的前n 项和等差数列的通项公式【解析】暂无【解答】解：，故正确．，，解得，，所以中无最小项，故错误．，，，故正确，错误．故选．10.【答案】B,C【考点】排列、组合及简单计数问题3c =ln 3∴c =ln 33∴a =ln e e b =ln 22c =ln 33f (x)=ln x x (x >0)(x)==f ′x −ln x 1x x 21−ln x x 2(x)=0f ′x =e x >e (x)<0f ′f (x)0<x <e (x)>0f ′f(x)f(e)b ====ln 223ln 26ln 236ln 86c ====ln 332ln 36ln 326ln 96∴c >b a >c >b A +=+=1a 1a 16a 5a 12A =+4d =11a 5a 1=+11d =−10a 12a 1=23a 1d =−3{}S n C =−3n +26a n =2>0a 8=−1<0a 9B D AB排列、组合的应用进行简单的合情推理【解析】【解答】解：，首位为非数，剩下的三位全排列，即个，故错误；，①在末位，有种，②不在末位，有种，所以共有种，故正确；，四个相加能被整除的四个数为，，，，它们排列出来的数一定可以被整除，所以共有种，故正确；，首位为的有个，前两位为的有个，前两位为的有个，因而第个数字是前两位为的最小数，即为，故错误．故选.11.【答案】A,B,D【考点】等差数列的性质等差数列的前n 项和等差数列的通项公式【解析】此题暂无解析【解答】解：由，得.又∵ ，．且，，则，即，故正确；∵，，，均为的 最大值，故正确；，故错误；当 时， ，则 ，∴，故正确．A 0×=300≠360C 15A 35AB 0=60A 350=96C 12C 14A 2460+96=156B C 3(0,1,2,3)(0,1,3,5)(0,2,3,4)(0,3,4,5)(1,2,4,5)34⋅+=96C 13A 23A 44CD 1=60A 3520=12A 2421=12A 2485232301D BC d <0>a 5a 11||=||a 5a 11∴≠a 5a 11∴=−a 5a 11>0a 5∴+4d =−(+10d)a 1a 1+7d =0a 1=0a 8A =0a 8d <0∴S 7S 8S n B =(+)S 16162a 1a 16=8(+)=8<0a 8a 9a 9C d =−2+7d =0a 1=14a 1=++⋯+−T 12a 1a 2a 8−−−a 9a 10a 11a 12=(+)−82a 1a 8(+++)a 9a 10a 11a 12=4(14+0)+(2+4+6+8)=56+20=76D ABD故选．12.【答案】C,D【考点】利用导数研究函数的单调性函数零点的判定定理函数奇偶性的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意得，，函数是定义在上的奇函数，当时，，所以当时，，则，本选项错误；，因为函数是定义在上的奇函数，所以，令，得是函数的一个零点，由奇函数性质得是函数的另一个零点，故函数 有个零点，本选项错误；，当时，令，解得，当时，令，解得，综上可知， 的解集为，本选项正确；，当时，，所以时，，时，，在上单调递减，在 上单调递增；当时，取最小值，且时，，所以，即；当时，，在上单调递增，在上单调递减，当时，取最大值，且时，，所以，所以，所以的值域为.所以 都有，故正确.故选.三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】ABD A f (x)R x <0f (x)=(x +1)e x x >0f(−x)=−f(x)=(−x +1)e −x f(x)=(x −1)e −x B f (x)R f(0)=0f (x)=(x +1)=0e x x =−1f(x)x =1f (x)3C x <0f (x)=(x +1)>0e x −1<x <0x >0f (x)=−f (−x)=−(1−x)>0e −x x >1f (x)>0(−1,0)∪(1,+∞)D x <0(x)=(x +2)f ′e x x <−2(x)<0f ′−2<x <0(x)>0f ′f (x)(−∞,−2)(−2,0)x =−2f (x)−e −2x <−2f (x)<0f (x)<f (0)=1−<f (x)<1e −2x >0(x)=(2−x)f ′e −x f (x)(0,2)(2,+∞)x =2f (x)e −2x >2f (x)>0f (x)>f (0)=−1−1<f (x)≤e −2f (x)(−1,]∪[,1)−e −2e −2∀,∈R x 1x 2|f ()−f ()|<2x 1x 2CD【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】对，两边求导后令，可求得，即切线斜率，在等式中令求得，据点斜式即可求得切线方程．【解答】解：对，两边求导得.令得，解得，所以，所以在点处的切线方程为，即.故答案为：.14.【答案】①②③⑤【考点】等差数列的前n 项和等差数列的性质【解析】先由条件确定第六项和第七项的正负，进而确定公差的正负，再将由第六项和第七项的正负判定．【解答】解：①，因为，所以，，所以，，所以，即，所以，故①正确；②，因为，所以，故②正确；③，因为，则，，故③正确；④，因为，，，x +y +1=0f(x)=2xf'(1)+ln x x =1f'(1)x =1f(1)f(x)=2xf'(1)+ln x f'(x)=2f'(1)+1x x =1f'(1)=2f'(1)+1f'(1)=−1f(1)=2×(−1)+0=−2M y −(−2)=−(x −1)x +y +1=0x +y +1=0,S 11S 12>>S 6S 7S 5−<0S 7S 6−>0S 6S 5<0a 7>0a 6>a 6a 7−<0a 7a 6d <0>0a 6==11>0S 11(+)×11a 1a 112a 6>S 7S 5−=+>0S 7S 5a 6a 7=6(+)=6(+)>0S 12a 1a 12a 6a 7d <0>0a 6<0a 7S所以当时，，递减，故数列的最大项不可能是，故④错误；⑤，且，所以，故⑤正确.故答案为：①②③⑤.15.【答案】【考点】利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的单调性函数的零点函数在某点取得极值的条件函数的图象【解析】1【解答】解：易得令 ，得，即．设，），则，当时，；当时，或，所以函数在区间和）上单调递减，在区间上单调递增．因为函数有且只有一个极值点，所以直线与函数的图象有一个交点，作出的图象如图所示．n ≥7<0a n S n {}S n S 12>0，<0a 6a 7+>0a 6a 7||>||a 6a 7a <0(x)=a (1+ln x)−x.f ′(x)=0f ′a(1+ln x)−x =0a =(x >0,x ≠)x 1+1nx 1e g(x)=(x >0x 1+ln x x ≠1e (x)=g ′ln x (1+ln x)2(x)>0g ′x >1(x)<0g ′0<x <1e <x <11e g(x)(0,)1e (,11e (1,+∞)f (x)=ax ln x −+a 12x 2y =a g(x)=(x >0,x ≠)x 1+ln x 1e g(x)=x 1+ln x由图得或．当时，恒成立，所以无极值，所以.故答案为：.16.【答案】【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】此题暂无解析【解答】根据题意，由原点出发，沿向上或向右方向爬至点，需要向上走步，向右走步，一共走步；可以在步中任选步向上，剩下的步向右，有种情况．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】从人中任选人来排队共有种不同的排法；先从，两人中任选人有，再从剩余的人中任选人有种不同的方法，共有种不同的排法，因，都在内种不同结果，，使用插空法共有种不同排法，第一类：所选人无、，有种不同排法；第二类：所选人有无，有种不同排法；第三类：所选人无有，有种不同排法；第四类：所选人有、，若排中间时，有，若不排中间时，有a <0a =1a =1(x)=f ′ln x −x +1≤0f (x)a <0a <021O (0,0)(5,2)257725×1C 2775A B 152A B A 5A B 5A B 5A B 5A B A A，共有种不同排法；综上，共有种不同排法．【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答18.【答案】解：设数列的公差为，则由题意，，∴或者，又∵，∴，∴，∴．，∴ …… ，由得．【考点】等比数列的性质等差数列的通项公式数列的求和【解析】此题暂无解析【解答】解：设数列的公差为，则由题意，，∴或者，又∵，∴，∴，∴．6001560(1){}a n d =(+3d)(+d)a 12a 1a 1⇒=d d 2a 1d ==2a 1d =0≠a 1a 2021d ≠0d =2=+(n −1)2=2n a n a 1(2)1a n a n+1==14n (n +1)(−)141n 1n +1=[(1−)+(−)+T n 14121213+(−)]1n 1n +1=n 4(n +1)=n 4(n +1)5052021n =2020(1){}a n d =(+3d)(+d)a 12a 1a 1⇒=d d 2a 1d ==2a 1d =0≠a 1a 2021d ≠0d =2=+(n −1)2=2n a n a 1−)111，∴ …… ，由得．19.【答案】＝，因为＝，＝，所以曲线＝在点（）处的切线方程为＝．若在具有单调性，则或恒成立，①若，则在上单调递增，因为＝，所以当时，，即单调递减，当时，，单调递增，故不具有单调性；②若，则令＝＝，则＝-＝，所以当时，，即单调递减，当时，，即单调递增，所以＝，若恒成立，则，即＝，综上，构成的集合为．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的单调性【解析】（1）求出，，利用导数的几何意义即可求得切线方程；（2）若在具有单调性，则或恒成立，分，两种情况讨论，即可求得满足条件的的取值集合．【解答】＝，因为＝，＝，所以曲线＝在点（）处的切线方程为＝．若在具有单调性，则或恒成立，①若，则在上单调递增，因为＝，(2)1a n a n+1==14n (n +1)(−)141n 1n +1=[(1−)+(−)+T n 14121213+(−)]1n 1n +1=n 4(n +1)=n 4(n +1)5052021n =2020f'(x)ln x+−a f'(1)0f(1)0y f(x)1,f(1)y 0f(x)(0,+∞)f'(x)≥0f'(x)≤0a ≤0f'(x)(0,+∞)f'(1)0x ∈(0,1)f'(x)<0f(x)x ∈(1,+∞)f'(x)>0f(x)f(x)a >0g(x)f'(x)ln x+−a g'(x)x ∈(0,a)g'(x)<0g(x)x ∈(a,+∞)g'(x)>0g(x)g(x)min g(a)g(x)≥0g(a)≥g(1)a 1a {1}f'(1)f(1)f(x)(0,+∞)f'(x)≥0f'(x)≤0a ≤0a >0a f'(x)ln x+−a f'(1)0f(1)0y f(x)1,f(1)y 0f(x)(0,+∞)f'(x)≥0f'(x)≤0a ≤0f'(x)(0,+∞)f'(1)0x ∈(0,1)f'(x)<0f(x)所以当时，，即单调递减，当时，，单调递增，故不具有单调性；②若，则令＝＝，则＝-＝，所以当时，，即单调递减，当时，，即单调递增，所以＝，若恒成立，则，即＝，综上，构成的集合为．20.【答案】证明：∵，∴，则，∴，∴，∵时，，∴，，∴数列是以为首项，为公比的等比数列；∴，∴；解：，则，令，则，两式相减可得，∴，∴．【考点】等比关系的确定等比数列的通项公式数列递推式数列的求和【解析】（1）根据，求得，整理可得，即可证明数列是等比数列，从而可求出数列的通项公式；（2）分组，再利用错位相减法，即可求数列的前项和．【解答】x ∈(0,1)f'(x)<0f(x)x ∈(1,+∞)f'(x)>0f(x)f(x)a >0g(x)f'(x)ln x+−a g'(x)x ∈(0,a)g'(x)<0g(x)x ∈(a,+∞)g'(x)>0g(x)g(x)min g(a)g(x)≥0g(a)≥g(1)a 1a {1}(1)=2−3n S n a n =2−3(n +1)S n+1a n+1−=S n+1S n =2−2−3a n+1a n+1a n =2+3a n+1a n +3=2(+3)an+1a n n =1==2−3a 1S 1a 1=3a1+3=6a 1{+3}a n 62+3=6⋅=3⋅a n 2n−12n =3⋅−3a n 2n (2)==n ⋅−nb n n 3a n 2n =(1⋅+2⋅+...+n ⋅)−(1+2+...+n)T n 21222n'=1⋅+2⋅+...+n ⋅T n 21222n 2'=1⋅+2⋅+...+n ⋅T n 22232n+1−'=1⋅+1⋅+1⋅+...+1⋅−n ⋅T n 2122232n 2n+1=−2−n ⋅2n+12n+1'=(n −1)⋅+2T n 2n+1=(n −1)⋅+2−T n 2n+1n(n +1)2=−a n+1S n+1S n =2+3a n+1a n +3=2(+3)a n+1a n {+3}an {}a n {}b n n T n (1)=2−3n S =2−3(n +1)S +1+1证明：∵，∴，则，∴，∴，∵时，，∴，，∴数列是以为首项，为公比的等比数列；∴，∴；解：，则，令，则，两式相减可得，∴，∴．21.【答案】解：的定义域为当时，，则令，得当时，,所以在上单调递减；当时，,所以在上单调递增；此时是的极小值点，符合题意；当时，令，得或.当时，则,所以当时，,所以在上单调递增；当时，,所以在上单调递减；当时，,所以在上单调递增，此时是的极小值点，符合题意；当时，当时，，所以在上单调递增，不是的极值点.当时，则所以当时，,所以在上单调递增；当时，所以在上单调递减；当时，,所以在上单调递增，此时是的极大值点，不符合题意.综合，得.证明：由可知当时，在上单调递增；又，所以当时，；当时，；所以当或时，都有.要证不等式对任意都恒成立，即证对任意都恒成立.设，则.(1)=2−3n S n a n =2−3(n +1)S n+1a n+1−=S n+1S n =2−2−3a n+1a n+1a n =2+3a n+1a n +3=2(+3)a n+1a n n =1==2−3a 1S 1a 1=3a 1+3=6a 1{+3}a n 62+3=6⋅=3⋅a n 2n−12n =3⋅−3a n 2n (2)==n ⋅−n b n n 3a n 2n =(1⋅+2⋅+...+n ⋅)−(1+2+...+n)T n 21222n '=1⋅+2⋅+...+n ⋅T n 21222n 2'=1⋅+2⋅+...+n ⋅T n 22232n+1−'=1⋅+1⋅+1⋅+...+1⋅−n ⋅T n 2122232n 2n+1=−2−n ⋅2n+12n+1'=(n −1)⋅+2T n 2n+1=(n −1)⋅+2−T n 2n+1n(n +1)2(1)f(x)x ∈R,(x)=(x −1)(−a)f ′e x ①a 0x ∈R −a >0e x (x)=0f ′x =1x <1(x)<0f ′f(x)(−∞,1)x >1(x)>0f ′f(x)(1,+∞)x =1f(x)②a >0(x)=0f ′x =1x =ln a ()1˙0<a <e ln a <1x <ln a (x)>0f ′f(x)(−∞,ln a)ln a <x <1(x)<0f ′f(x)(ln a,1)x >1(x)>0f ′f(x)(1,+∞)x =1f(x)(ii)a =e (x)=(x −1)(−e)f ′e x x ∈R (x) 0f ′f(x)R x =1f(x)( iii )a >e ln a >1x <1(x)>0f ′f(x)(−∞,1)1<x <ln a (x)<0f ′f(x)(1,ln a)x >ln a (x)>0f ′f(x)(ln a,+∞)x =1f(x)①②a ∈(−∞,e)(2)(1)a =e f(x)(0，+∞)f(1)=00<x <1f(x)<0x >1f(x)>00<x <1x >1>0f(x)x −1⋅f(x)>m(ln x −)+2x x x −1x 2x ∈(0,1)∪(1,+∞)>m(−x)+2f(x)x −1ln x xx ∈(0,1)∪(1,+∞)g(x)=−x(x >0)ln x x (x)=g ′1−ln x −x 2x 2h(x)=1−ln x −,h(1)=02h(x)(0，+∞)设且在上单调递减，所以方程的唯一解为，所以当时，，所以在上单调递增；当时，，所以在上单调递减；所以当时，.当时，对任意都恒成立.所以当时，不等式对任意都恒成立.【考点】利用导数研究不等式恒成立问题利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】解：的定义域为当时，，则令，得当时，,所以在上单调递减；当时，,所以在上单调递增；此时是的极小值点，符合题意；当时，令，得或.当时，则,所以当时，,所以在上单调递增；当时，,所以在上单调递减；当时，,所以在上单调递增，此时是的极小值点，符合题意；当时，当时，，所以在上单调递增，不是的极值点.当时，则所以当时，,所以在上单调递增；当时，所以在上单调递减；当时，,所以在上单调递增，此时是的极大值点，不符合题意.综合，得.证明：由可知当时，在上单调递增；又，所以当时，；当时，；所以当或时，都有.要证不等式对任意都恒成立，h(x)=1−ln x −,h(1)=0x 2h(x)(0，+∞)(x)=0g ′x =10<x <1(x)>0g ′g(x)(0，1)x >1(x)<0g ′g(x)(1，+∞)x >0g(x) g(1)=−1m ≥2mg(x)+2=m(−x)+2<−m +2 0ln x xx ∈(0,1)∪(1,+∞)m ≥2>m(−x)+2f(x)x −1ln x xx ∈(0,1)∪(1,+∞)(1)f(x)x ∈R,(x)=(x −1)(−a)f ′e x ①a 0x ∈R −a >0e x (x)=0f ′x =1x <1(x)<0f ′f(x)(−∞,1)x >1(x)>0f ′f(x)(1,+∞)x =1f(x)②a >0(x)=0f ′x =1x =ln a ()1˙0<a <e ln a <1x <ln a (x)>0f ′f(x)(−∞,ln a)ln a <x <1(x)<0f ′f(x)(ln a,1)x >1(x)>0f ′f(x)(1,+∞)x =1f(x)(ii)a =e (x)=(x −1)(−e)f ′e x x ∈R (x) 0f ′f(x)R x =1f(x)( iii )a >e ln a >1x <1(x)>0f ′f(x)(−∞,1)1<x <ln a (x)<0f ′f(x)(1,ln a)x >ln a (x)>0f ′f(x)(ln a,+∞)x =1f(x)①②a ∈(−∞,e)(2)(1)a =e f(x)(0，+∞)f(1)=00<x <1f(x)<0x >1f(x)>00<x <1x >1>0f(x)x −1⋅f(x)>m(ln x −)+2x x x −1x 2x ∈(0,1)∪(1,+∞)m(−x)+2f(x)即证对任意都恒成立.设，则.设且在上单调递减，所以方程的唯一解为，所以当时，，所以在上单调递增；当时，，所以在上单调递减；所以当时，.当时，对任意都恒成立.所以当时，不等式对任意都恒成立.22.【答案】对题中条件取＝＝，得＝，再取＝，得＝＝，即函数在，内为奇函数，所以（）＝＝＝，又（）＝＝，解得＝，＝．（由函数＝）是奇函数，得＝＝＝，则＝，此时＝）＝，且＝有意义，①由，则对于任意实数，（1），有＝•）＝，（）＝，所以＝（），②由＝＝，得＝，令＝，则＝，作出图像：>m(−x)+2f(x)x −1ln x xx ∈(0,1)∪(1,+∞)g(x)=−x(x >0)ln x x (x)=g ′1−ln x −x 2x 2h(x)=1−ln x −,h(1)=0x 2h(x)(0，+∞)(x)=0g ′x =10<x <1(x)>0g ′g(x)(0，1)x >1(x)<0g ′g(x)(1，+∞)x >0g(x) g(1)=−1m ≥2mg(x)+2=m(−x)+2<−m +2 0ln x xx ∈(0,1)∪(1,+∞)m ≥2>m(−x)+2f(x)x −1ln x xx ∈(0,1)∪(1,+∞)x y 0f(0)0y −x f(x)+f(−x)f(0)2f(x)(−1f f(m)+f(−n)f(m)−f(n)1f f(m)+f(n)4f(m)f(n)g(x)lg(a−g(0)lga 0lg1a 8g(x)lg(1−lg g(0)6>6x g(x)+g(y)lg+lg lg g lg g(x)+g(y)g y h[h(x)]−24h[h(x)]2t h(x)h(t)2由图可知，当时，对应有个零点，当时，只有一个，当时，，，＝，由＝＝），得在时，三个分别对应一个零点，在时，，个，共个，综上所述，当时，当或时，当时，函数＝有个零点．【考点】抽象函数及其应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答k ≤73k >1t 8<k ≤11<k +4≤<−221−1<<3t 2t 3≥7k +1−(k+<k ≤5t 0<k ≤k +2≤15k >1k ≤0<k ≤50<k ≤y h[h(x)]−26。

高中奥数题及答案题目一：数列问题题目描述：已知数列 \( a_n \) 满足 \( a_1 = 1 \) 且 \( a_{n+1} = a_n +2n \) ，求 \( a_{10} \) 的值。

解答：我们可以利用递推公式计算数列的前几项：- \( a_2 = a_1 + 2 \times 1 = 1 + 2 = 3 \)- \( a_3 = a_2 + 2 \times 2 = 3 + 4 = 7 \)- \( a_4 = a_3 + 2 \times 3 = 7 + 6 = 13 \)...通过观察，我们可以发现数列的通项公式为：\[ a_n = n^2 - n + 1 \]将 \( n = 10 \) 代入公式，得到：\[ a_{10} = 10^2 - 10 + 1 = 100 - 10 + 1 = 91 \]所以，\( a_{10} \) 的值为 91。

题目二：几何问题题目描述：在三角形 ABC 中，已知 AB = 5，AC = 7，BC = 6，求角 A 的余弦值。

解答：根据余弦定理，我们有：\[ \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \]其中，a、b、c 分别是三角形的三边长，角 A 对边的边长为 a。

将已知的边长代入公式：\[ \cos A = \frac{5^2 + 7^2 - 6^2}{2 \times 5 \times 7} = \frac{25 + 49 - 36}{70} = \frac{38}{70} = \frac{19}{35} \]所以，角 A 的余弦值为 \( \frac{19}{35} \)。

题目三：组合问题题目描述：有 5 个不同的球和 3 个不同的盒子，每个盒子至少放一个球，求所有可能的放法。

解答：首先，我们可以将 5 个球分成 3 组，每组至少有一个球。

这可以通过组合数来计算，即：\[ C(5,2) = \frac{5!}{2!(5-2)!} = 10 \]这表示有 10 种方式将 5 个球分成两组，每组至少有一个球。

高二数学必刷真题答案解析数学作为一门基础学科，对于学生的学业发展有着重要的影响。

而在高二这个阶段，数学的学习变得更为深入和复杂。

为了更好地掌握数学知识和应对高考，刷题是不可或缺的一部分。

本文将为大家提供一些高二数学必刷真题的答案解析，希望对大家的学习有所帮助。

一、函数与方程1. 解析几何题目：已知向量OA=2i+j，向量OB=3i-4j，若向量2OA+kOB平行于向量3i+4j，则k的值等于多少？解析：首先，要判断两个向量是否平行，就要判断它们的方向是否相同或者相反，因此，我们需要将3i+4j与2OA+kOB进行比较。

根据向量的线性运算性质，我们可以得到以下关系式：2(2i+j)+k(3i-4j)=3i+4j将等式左右两边按照向量的分量进行合并，得到：4i+2j+3ki-4kj=3i+4j将i和j的系数分别相等，得到以下两个方程：4+3k=32-4k=4解得k=-1。

2. 二次函数题目：已知函数y=ax^2+bx+c的图像经过点P（1,5），当x=2时，y=7，求函数的解析式。

解析：首先，根据题目中给出的点P的坐标，我们可以得到以下等式：a+b+c=5再根据题目中给出的另一个点的坐标，我们可以得到以下等式：4a+2b+c=7接下来，我们可以使用方法解方程组，将第二个等式减去第一个等式的两倍，得到：2a+b=2由此，我们可以解得a=1，b=0。

带入任意一个点的坐标，我们可以得到：c=4因此，函数的解析式为y=x^2+4。

二、数列与数学归纳法1. 等差数列题目：已知数列{an}的首项为3，公差为2，若a1+a2+a3+...+an=105，则数列的第n项为多少？解析：根据等差数列的求和公式，我们可以得到：n/2 * (a1+an) = 105由于a1=3，an=a1+(n-1)d=3+(n-1)2=2n+1，带入上述等式，可以得到：n/2 * (3+2n+1) = 105化简得到：3n+n^2=70整理得到：n^2+3n-70=0解得n=7或n=-10，由于数列是从1开始的，因此n=7。

高二数论专题训练(优秀经典练习及答案详解)高二数论专题训练（优秀经典练及答案详解）目标：本文档旨在为高二学生提供数论专题训练的优秀经典练及答案详解，帮助学生加深对数论知识的理解和应用。

1. 第一题题目：求证素数个数无穷多。

答案详解：根据数论的基本概念，假设素数个数有限，即存在有限个素数。

然而，通过对已知素数进行乘法运算得到一个新的数，此数不是已知的素数，即与假设矛盾。

因此，这个假设是错误的，素数个数无穷多。

2. 第二题题目：证明勾股定理。

答案详解：勾股定理的原理是：在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。

这一定理可以通过数论的方法进行证明，文章描述了其中的推理过程并给出详细的证明步骤。

3. 第三题题目：求解模线性方程。

答案详解：对于给定的模线性方程ax ≡ b (mod m)，使用扩展欧几里得算法可以求解方程的解集。

文章介绍了模线性方程的定义和基本性质，并给出了求解的步骤和示例。

4. 第四题题目：应用数论解决实际问题。

答案详解：数论在现实生活中有许多应用，如密码学和编码理论等。

文章选取了一个实际问题，并详细介绍了如何使用数论知识解决该问题的方法和步骤。

以上是本文档中的几个题目及其答案详解的简要概述。

通过练这些题目，希望能够帮助高二学生提高数论解题能力，深化对数论知识的理解。

总结：本文档提供了针对高二数论专题的优秀经典练习及答案详解，旨在帮助学生加强对数论知识的掌握和应用能力。

通过练习和理解这些题目，学生可以提高数论解题的能力，并在实际问题中运用数论知识取得更好的效果。

高二数学知识点：几何的三大问题平面几何作图限制只能用直尺、圆规,而那个地点所谓的直尺是指没有刻度只能画直线的尺。

用直尺与圆规因此能够做出许多种之图形,但有些图形如正七边形、正九边形就做不出来。

有些问题看起来看起来专门简单,但真正做出来却专门困难,这些问题之中最有名的确实是所谓的三大问题。

几何三大问题是:1.化圆为方-求作一正方形使其面积等於一已知圆;2.三等分任意角;3.倍立方-求作一立方体使其体积是一已知立方体的二倍。

圆与正方形差不多上常见的几何图形,但如何作一个正方形和已知圆等面积呢?若已知圆的半径为1则其面积为π(1)2=π,因此化圆为方的问题等於去求一正方形其面积为π,也确实是用尺规做出长度为π1/2的线段(或者是π的线段)。

三大问题的第二个是三等分一个角的问题。

对於某些角如90。

、180。

三等分并不难,然而否所有角都能够三等分呢?例如60。

,若能三等分则能够做出20。

的角,那麽正18边形及正九边形也都能够做出来了(注:圆内接一正十八边形每一边所对的圆周角为360。

/18=20。

)。

事实上三等分角的问题是由求作正多边形这一类问题所引起来的。

第三个问题是倍立方。

埃拉托塞尼(公元前276年~公元前195年)曾经记述一个神话提到说有一个先知者得到神谕必须将立方形的祭坛的体积加倍,有人主张将每边长加倍,但我们都明白那是错误的,因为体积差不多变成原先的8倍。

这些问题困扰数学家一千多年都不得其解,而实际上这三大问题都不可能用直尺圆规经有限步骤可解决的。

唐宋或更早之前，针对“经学”“律学”“算学”和“书学”各科目，其相应传授者称为“博士”，这与当今“博士”含义差不多相去甚远。

而对那些专门讲授“武事”或讲解“经籍”者，又称“讲师”。

“教授”和“助教”均原为学官称谓。

前者始于宋，乃“宗学”“律学”“医学”“武学”等科目的讲授者；而后者则于西晋武帝时代即已设立了，要紧协助国子、博士培养生徒。

“助教”在古代不仅要作入流的学问，其教书育人的职责也十分明晰。

2024学年高二数学重难点和易错点专项（双曲线的简单几何性质）练习重难点1已知方程求焦距、实轴、虚轴1．已知12,F F 是双曲线2221(0)3y x a a-=>的两个焦点，若双曲线的左､右顶点和原点把线段12F F 四等分，则该双曲线的焦距为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．42．双曲线221x y m-=的实轴长是虚轴长的3倍，则m 的值为（ ）A ．9B ．－9C ．19D ．19-3．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左顶点为A ，右焦点为F ，焦距为6，点M 在双曲线C 上，且MF AF ⊥，2MF AF =，则双曲线C 的实轴长为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．84．如图，这是一个落地青花瓷，其外形被称为单叶双曲面，可以看成是双曲线C ：22221x y a b -=的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面.若该花瓶横截面圆的最小直径为8cm ，瓶高等于双曲线C 的虚轴长，则该花瓶的瓶口直径为（ ）A．cm B ．24cm C ．32cmD ．cm5．若实数m 满足05m <<，则曲线221155x y m -=-与曲线221155x y m -=-的（ ）A ．离心率相等B ．焦距相等C ．实轴长相等D ．虚轴长相等6．等轴双曲线2221(0)x y a a -=>的焦距为 .7．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，M 是1C 上任意一点，12MF F △的面积的1C 的焦距为2，则双曲线22222:1y x C a b -=的实轴长为 ．重难点2已知方程求双曲线的渐近线8．双曲线()22102y x a a a-=≠的渐近线方程为（ ）A ．2y x =±B ．12y x =±C ．y =D ．2y x =±9．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为e ，若点(与点(),2e 都在双曲线上，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A ．y x =±B ．y =C ．y =D ．2y x =±10．双曲线22139x y -=的两条渐近线的夹角为（ ）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．120︒11．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2221x y -=的渐近线方程为（ ）A ．2y x =± B ．y =C ．y x =±D ．4y x =±12．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一个焦点是F ，点F 到C 的渐近线的距离为d ，则d （ ）A ．与a 有关B ．与a 无关C ．与b 有关D ．与b 无关13．双曲线2221(0)36x y a a -=>的渐近线方程为2y x =±，则=a ．14．已知双曲线()22:10y C x n n-=>的一条渐近线为0nx =，则C 的离心率为 .重难点3由双曲线的几何性质求标准方程15．已知双曲线2222:1y x C a b-=的一条渐近线斜率为2-，实轴长为4，则C 的标准方程为（ ）A ．2214x y -=B ．221416y x -=C ．2214y x -=D ．221164y x -=16倍，且一个顶点的坐标为()2,0，则双曲线的标准方程为（ ）A ．22144x y -=B ．22144-=y xC ．2214y x -=D ．2214x y -=17．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦点到渐近线的距离为4，实轴长为6，则C 的方程为（ ）A ．22149x y -=B ．22194x y -=C ．221169x y -=D ．221916x y -=18．求双曲线以椭圆22185x y +=的焦点为顶点，且以椭圆的顶点为焦点，则双曲线的方程是 （ ）A ．22135x y -=B ．22153x y -=C ．22135y x -=D ．22153y x -=19．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的实轴长为4．若点()P m 是双曲线C位于第一象限内的一点，则m =（ ）A ．2B ．1CD20．双曲线()2210,0x y m n m n -=>>的渐近线方程为y x =，实轴长为2，则m n -为（ ）A ．14-B ．1C ．12D ．12-21．如果中心在原点，对称轴在坐标轴上的等轴双曲线的一个焦点为()10,6F -，那么此双曲线的标准方程为 ．重难点4求共渐近线的双曲线方程22．若双曲线C 与双曲线2211612x y -=有相同的渐近线，且经过点(，则双曲线C 的标准方程是 ．23．与双曲线221169x y -=渐近线相同，且一个焦点坐标是()0,5的双曲线的标准方程是 ．24．若双曲线C 与2219x y -=有共同渐近线，且与椭圆2214020x y +=有相同的焦点，则该双曲线C 的方程为 .25．双曲线22:12y C x -=，写出一个与双曲线C 有共同的渐近线但离心率不同的双曲线方程 ．26．求与双曲线22143y x -=有共同的渐近线，且经过点()3,2M -的双曲线的标准方程.27．已知双曲线E 与双曲线221169x y -=共渐近线，且过点()3A -，若双曲线M 以双曲线E 的实轴为虚轴，虚轴为实轴，试求双曲线M 的标准方程.28．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的两个焦点分别为()1F ，)2F ，且过点)2P.(1)求双曲线C 的虚轴长；(2)求与双曲线C 有相同渐近线，且过点()3,6Q -的双曲线的标准方程.重难点5根据,,a b c 齐次式关系求渐近线方程29．过原点的直线l 与双曲线E ：()222210,0x y a b a b-=>>交于A ，B 两点（点A 在第一象限），AC x ⊥交x轴于C 点，直线BC 交双曲线于点D ，且1AB AD k k ⋅=，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．2y x =±B ．12y x =±C ．y =D ．y x =30．双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>，点A ，B 均在E 上，若四边形OACB 为平行四边形，且直线OC ，AB的斜率之积为3，则双曲线E 的渐近线的倾斜角为（ ）A ．π3B ．π3或2π3C ．π6D ．π6或5π631．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>> ）A ．12y x =±B ．2y x =±C ．y =D ．y =32．设12,F F 分别是双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P 满足212PF F F =，且124cos 5PF F ∠=，则双曲线的渐近线方程为（ ） A ．340x y ±= B ．430x y ±= C ．350x y ±= D ．540x y ±=33．已知F 为双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点，过点F 作x 轴的垂线与双曲线及它的渐近线在第一象限内依次交于点A 和点B ．若A B A F =，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A 0y ±=B ．0x =C 0y ±=D ．0x =34．如图，已知1F ，2F 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线交双曲线于点P ，且1230PF F ∠=︒，则双曲线的渐近线方程为 .35．过双曲线2222:1-=y W x a b 的右焦点F 作x 轴的垂线，与两条渐近线的交点分别为A ，B ，若OAB 为等边三角形，则W 的渐近线方程为 ，W 的离心率为 ．重难点6求双曲线的离心率36．设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左､右焦点，过点1F 作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为M .若2MF ，则双曲线C 的离心率为（ ）AB C ．3 D37．已知F 为双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点，平行于x 轴的直线l 分别交C 的渐近线和右支于点A ，B ，且90OAF ∠=︒，OBF OFB ∠=∠，则C 的离心率为（ ）A ．2B C ．32D38．设1F 、2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，O 为坐标原点，过左焦点1F 作直线1F P 与圆222x y a +=切于点E ，与双曲线右支交于点P ，且121||2OP F F =，则双曲线的离心率为（ ）AB ．2C D39．已知双曲线2222>:1(00,)>x y C a b a b -=的左右焦点12F F ，，点2F 关于一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则双曲线C 的离心率是（ ）AB C ．2D ．340．若0m >，双曲线1C ：2212x y m -=与双曲线2C ：2218x y m-=的离心率分别为1e ，2e ，则（ ）A ．12e e 的最小值为94B ．12e e 的最小值为32C ．12e e 的最大值为94D ．12e e 的最大值为3241．已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>，过其上焦点F 的直线与圆222x y a +=相切于点A ，并与双曲线C的一条渐近线交于点(,B A B 不重合）．若25FB FA =，则双曲线C 的离心率为 ．42．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 分别作C 的两条渐近线的平行线与C 交于A ，B 两点，若||AB =，则C 的离心率为43．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右顶点为A ，左、右焦点分别为1F ，2F ，渐近线在第一象限的部分上存在一点P ，且1OP OF =，直线1PF ，则该双曲线的离心率为 ．重难点7求双曲线离心率的取值范围44．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，D 为虚轴上的一个端点，且ADB ∠为钝角，则此双曲线离心率的取值范围为（ ）A ．(B ．C ．)2D ．)+∞45．已知1F ，2F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，若双曲线上存在点P 满足2212PF PF a ⋅=- ，则双曲线离心率的最小值为（ ）AB C ．2 D46．已知双曲线22221E y x a b-=：（0a >，0b >）的离心率为e ，若直线2y x =±与E 无公共点，则e 的取值范围是 .47．已知双曲线2222:1(0,0),x y C a b F a b-=>>为双曲线的右焦点，过点F 作渐近线的垂线()0MN MN k <，垂足为M ，交另一条渐近线于N ，若()2NM MF λλ=≥，则双曲线C 的离心率的取值范围是（ ）A ．)+∞ B ．(C ．D ．3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭48．双曲线2221y x b-=的左焦点为F ，()0,A b -，M 为双曲线右支上一点，若存在M ，使得5FM AM +=，则双曲线离心率的取值范围为（ ）A ．(B ．(C ．)+∞D ．)+∞49．如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐ꞏ金筐宝钿团化纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐朝金银细作的典范之作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的部分的旋转体．若该双曲线右支上存在点P ，使得直线P A ，PB （点A ，B 为双曲线的左、右顶点）的斜率之和为83，则该双曲线离心率的取值范围为 ．50．已知双曲线C ：22221x y a b -=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，若在C 上存在点P （不是顶点），使得21123PF F PF F ∠∠=，则C 的离心率的取值范围为 ．重难点8根据离心率求参数51．已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点，焦点在x 轴上，左右焦点分别为1F ，2F ，且它们在第一象限的交点为P ，12PF F △是以1PF 为底边的等腰三角形.若110PF =，双曲线的离心率的取值范围为(1,2)，则该椭圆的焦距的取值范围是（ ）A ．55,32⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．205,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．10,53⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．510,23⎛⎫ ⎪⎝⎭52．设双曲线2222:1y x C a b-=(0,0)a b >>的上、下焦点分别为12,F F P 是C 上一点，且12PF PF ⊥．若12PF F △的面积为4，则=a （ ）A ．8B ．4C ．2D ．153．设k 为实数，已知双曲线2214x y k-=的离心率(2,3)e ∈，则k 的取值范围为54．已知1F ，2F 是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且1260F PF ∠=︒，()121PF PF λλ=>，若C 的离2，则λ的值为 ．55．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左､右焦点分别是1F ，2F ，P 是双曲线右支上一点，2120PF F F ⋅= ，O为坐标原点，过点O 作1F P 的垂线，垂足为点H ，若双曲线的离心率e =存在实数m 满足1OH m OF =，则m = .56．已知双曲线22:113x y C m m-=+-m 的取值范围是（ ）A ．()1,1-B ．()1,3-C ．(),1-∞D ．()0,157．点P 是双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>右支上一点，1F ，2F 分别是双曲线C 的左，右焦点，M 为12PF F △的内心，若双曲线C 的离心率32e =，且121MPF MPF MF F S S S λ=+ 2，则λ=（ ） A ．12 B ．34C ．1D ．23重难点9双曲线的实际应用58．某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告；正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其它两观测点晚2s ，已知各观测点到该中心的距离是680m ，则该巨响发生在接报中心的（ ）处(假定当时声音传播的速度为340m/s ，相关各点均在同一平面上) A ．西偏北45°方向，距离B ．东偏南45°方向，距离C ．西偏北45°方向，距离D ．东偏南45°方向，距离59．如图，B 地在A 地的正东方向4km 处，C 地在B 地的北偏东30︒方向2km 处，河流的沿岸PQ （曲线）上任意一点到A 的距离比到B 的距离远2km ．现要在曲线PQ 上选一处M 建一座码头，向B 、C 两地转运货物．经测算，从M 到B 、C 两地修建公路的费用分别是a 万元/km 、2a 万元/km ，那么修建这两条公路的总费用最低是（ ）A ．2)a 万元B ．5a 万元C ．1)a 万元D ．3)a +万元60．如图是等轴双曲线形拱桥，现拱顶离水面5m ，水面宽30m AB =. 若水面下降5m ，则水面宽是 ．（结果精确到0.1m ）61．如图，一个光学装置由有公共焦点12,F F 的椭圆C 与双曲线C '构成，一光线从左焦点1F 发出，依次经过C '与C 的反射，又回到点1F .，历时m 秒；若将装置中的C '去掉，则该光线从点1F 发出，经过C 两次反射后又回到点1F 历时n 秒，若C '的离心率为C 的离心率的4倍，则mn= .62．如图1，北京冬奥会火种台以“承天载物”为设计理念，创意灵感来自中国传统青铜礼器一尊的曲线造型，基座沉稳，象征“地载万物”，顶部舒展开阔，寓意迎接纯洁的奥林匹克火种．如图2，一种尊的外形近似为某双曲线的一部分绕着虚轴旋转所成的曲面，尊高63cm ，上口直径为40cm ，底部直径为26cm ，最小直径为24cm ，则该双曲线的渐近线与实轴所成锐角的正切值为 ．63．（多选）我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，如图，利用了双曲线的光学性质：1F ，2F 是双曲线的左､右焦点，从2F 发出的光线m 射在双曲线右支上一点P ，经点P 反射后，反射光线的反向延长线过1F ；当P 异于双曲线顶点时，双曲线在点P 处的切线平分12F PF ∠.若双曲线C 的方程为221916x y -=，则下列结论正确的是（ ）A ．射线n 所在直线的斜率为k ，则44,33k ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭B ．当m n ⊥时，1232PF PF ⋅=C ．当n 过点()7,5Q 时，光线由2F 到P 再到Q 所经过的路程为13D ．若点T 坐标为()1,0，直线PT 与C 相切，则212PF =64．如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E：22221x ya b-=（0a>，0b>）的左、右焦点分别为1F，2F，从2F发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且5tan12CAB∠=-，AB BD⊥，则双曲线E的离心率为．参考答案重难点1已知方程求焦距、实轴、虚轴1．已知12,F F 是双曲线2221(0)3y x a a-=>的两个焦点，若双曲线的左､右顶点和原点把线段12F F 四等分，则该双曲线的焦距为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【详细分析】根据题意列出方程组222243c a c a ⎧=⎨=+⎩进行求解即可. 【答案详解】因为12,F F 是双曲线2221(0)3y x a a-=>的两个焦点，若双曲线的左､右顶点和原点把线段12F F 四等分，所以24c a =，即2c a =，即224c a =， 又因为223c a =+，解得2214a c ⎧=⎨=⎩，所以c =2，所以该双曲线的焦距为2224c =⨯=.故选：D2．双曲线221x y m-=的实轴长是虚轴长的3倍，则m 的值为（ ）A ．9B ．－9C ．19D ．19-【答案】C【详细分析】根据双曲线的方程，求得1,a b ==，结合题意，列出方程，即可求解.【答案详解】由双曲线221x y m-=，可得0m >，且1,a b ==，因为双曲线的实轴长是虚轴长的3倍，可得3a b =，即1=19m =. 故选：C.3．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左顶点为A ，右焦点为F ，焦距为6，点M 在双曲线C 上，且MF AF ⊥，2MF AF =，则双曲线C 的实轴长为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】A【详细分析】运用代入法，结合已知等式进行求解即可.【答案详解】把x c =代入22221x y a b -=中，得2b y a =±，即2bMF a=，因为AF a c =+，2MF AF =， 所以()22b a c a=+⇒22222c a ac a -=+，又3c =，所以2230a a +-=，解得1a =，3a =-舍去，则22a =. 故选：A4．如图，这是一个落地青花瓷，其外形被称为单叶双曲面，可以看成是双曲线C ：22221x y a b -=的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面.若该花瓶横截面圆的最小直径为8cm ，瓶高等于双曲线C 的虚轴长，则该花瓶的瓶口直径为（ ）A ．cmB ．24cmC ．32cmD ．cm【答案】D【详细分析】求出4a =，设出(),M r b ，代入双曲线方程，求出r =. 【答案详解】因为该花瓶横截面圆的最小直径为8cm ，所以4a =.设M 是双曲线C 与瓶口截面的一个交点，该花瓶的瓶口半径为r ，则(),M r b ，所以222214r b b -=，解得r =2r =.故选：D5．若实数m 满足05m <<，则曲线221155x y m -=-与曲线221155x y m -=-的（ ）A ．离心率相等B ．焦距相等C ．实轴长相等D ．虚轴长相等【答案】B【详细分析】根据双曲线的性质逐一详细分析判断即可. 【答案详解】因为05m <<，所以50,150m m ->->，所以曲线221155x y m -=-与曲线221155x y m -=-都是焦点在x 轴上的双曲线，15520155m m m +-=-=-+，所以两曲线的焦点和焦距都相同，故B 正确； 因为20201515m m m--≠-，所以离心率不相等，故A 错误； 因为1515m ≠-，所以实轴长不相等，故C 错误； 因为55m -≠，所以虚轴长不相等，故D 错误. 故选：B.6．等轴双曲线2221(0)x y a a-=>的焦距为 .【答案】【详细分析】根据等轴双曲线定义得到221a b ==，进而求出c =.【答案详解】由题意得，221a b ==，故2222c a b =+=，故c =2c =.故答案为：7．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，M 是1C 上任意一点，12MF F △的面积的1C 的焦距为2，则双曲线22222:1y x C a b-=的实轴长为 ．【答案】4【详细分析】根据椭圆焦点三角形的性质即可列方程求解2,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，进而可求解.【答案详解】由于12MF F △的面积为122M c y cb ⨯⨯≤，由题意知22222,,c b c a b c ⎧⋅=⎪=⎨⎪=+⎩所以2,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩故双曲线2C 的方程为22143y x -=，则2C 的实轴长为4．故答案为：4重难点2已知方程求双曲线的渐近线8．双曲线()22102y x a a a-=≠的渐近线方程为（ ）A ．2y x =±B ．12y x =±C．y =D．2y x =±【答案】C【详细分析】利用双曲线渐近线方程定义计算即可.【答案详解】由题意可得：双曲线()22102y x a a a -=≠渐近线斜率为k ==则其渐近线方程为：y =． 故选：C9．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为e，若点(与点(),2e 都在双曲线上，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A ．y x =± B．y = C．y =D ．2y x =±【答案】B【详细分析】根据给定条件，列出方程组，结合离心率的意义求出,a b 作答.【答案详解】由点,2)e 在双曲线22221x y a b -=上，得2222241461e a b a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，则222420e a b --=，即2222214b e e a==--，整理得42560e e -+=，解得22e =或23e =， 当22e =时，22a b =，此时方程22461a b -=无解， 当23e =时，222b a =，而22461a b -=，解得1,a b ==，所以该双曲线的渐近线方程为y =. 故选：B10．双曲线22139x y -=的两条渐近线的夹角为（ ）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．120︒【答案】C【详细分析】根据题意求得双曲线的渐近线方程，进而求得其夹角.【答案详解】由双曲线22139x y -=，可得3a b =，所以双曲线的渐近线的方程为by x a=±=，所以两渐近线y =的夹角为60︒. 故选：C.11．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2221x y -=的渐近线方程为（ ）A．2y x =± B．y = C ．y x =±D．4y x =±【答案】B【详细分析】化简双曲线的方程为标准方程，求得,a b 的值，结合双曲线的几何性质，即可求解. 【答案详解】由双曲线2221x y -=，可得其标准方程为22112x y -=，所以,12a b ==，则双曲线的渐近线方程为by x a=±=. 故选：B.12．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一个焦点是F ，点F 到C 的渐近线的距离为d ，则d （ ）A ．与a 有关B ．与a 无关C ．与b 有关D ．与b 无关【答案】BC【详细分析】根据双曲线标准方程可求得焦点坐标，再利用点到直线距离即可求出d b =，便可得出结论. 【答案详解】设双曲线C 的焦距为2c ，不妨取右焦点F 的坐标为(),0c ，如下图所示：双曲线C 的渐近线方程是by x a=±，即bx ay ±=0，所以===bcd b c， 所以d 与a 无关，与b 有关. 故选：BC.13．双曲线2221(0)36x y a a -=>的渐近线方程为2y x =±，则=a ．【答案】3【详细分析】根据双曲线的渐近线方程即可求解.【答案详解】2221(0)36x y a a -=>的渐近线方程为6y x a =±，所以623a a =⇒=，故答案为：314．已知双曲线()22:10y C x n n-=>的一条渐近线为0nx =，则C 的离心率为.2n =⇒=，进而求出双曲线的离心率.【答案详解】双曲线的一条渐近线方程为0nx =，即y =，2n =⇒=，故双曲线22:12y C x -=，所以双曲线的离心率为1e ==重难点3由双曲线的几何性质求标准方程15．已知双曲线2222:1y x C a b-=的一条渐近线斜率为2-，实轴长为4，则C 的标准方程为（ ）A ．2214x y -=B ．221416y x -=C ．2214y x -=D ．221164y x -=【答案】C【详细分析】根据双曲线的基本量关系，结合渐近线方程求解即可.【答案详解】由题意双曲线2222:1y x C a b-=的焦点在y 轴上，则24a =，2a =，又2a b -=-，则1b =，故C 的标准方程为2214y x -=.故选：C16倍，且一个顶点的坐标为()2,0，则双曲线的标准方程为（ ）A ．22144x y -=B ．22144-=y xC ．2214y x -=D ．2214x y -=【答案】A【详细分析】根据条件列关于a ，b ，c 的方程组求解即可.【答案详解】设双曲线的标准方程为22221x y a b-=，由已知得222222a b a a b c ⎧+=⎪=⎨⎪+=⎩，解得22a b =⎧⎨=⎩， 所以双曲线的标准方程为22144x y -=故选：A.17．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦点到渐近线的距离为4，实轴长为6，则C 的方程为（ ）A ．22149x y -=B ．22194x y -=C ．221169x y -=D ．221916x y -=【答案】D【详细分析】由距离公式得出4b =，进而由双曲线的性质得出方程. 【答案详解】右焦点2(,0)F c 到渐近线0bx ay -=4b ==，因为实轴长为26a =，所以3a =，即C 的方程为221916x y -=.故选：D18．求双曲线以椭圆22185x y +=的焦点为顶点，且以椭圆的顶点为焦点，则双曲线的方程是 （ ）A ．22135x y -=B ．22153x y -=C ．22135y x -=D ．22153y x -=【答案】A【详细分析】根据椭圆22185x y +=方程，可得出其焦点坐标、顶点坐标，进而得到双曲线的焦点坐标、顶点坐标，即可得到双曲线的方程.【答案详解】在椭圆22185x y +=中，c =，椭圆的焦点坐标为，(，左右顶点坐标分别为，()-，则双曲线的顶点坐标为，(，焦点坐标为，()-，且双曲线的焦点在x 轴上，所以a =c =222835b c a =-=-=，所以双曲线的方程为：22135x y -=．故选：A.19．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的实轴长为4．若点()P m 是双曲线C位于第一象限内的一点，则m =（ ）A．2 B ．1CD 【答案】B【详细分析】根据已知条件求得,a b ，从而求得双曲线的方程，代入P 点坐标，由此求得m 的值. 【答案详解】法一：双曲线的几何性质由题知22224,2,a c e abc a =⎧⎪⎪==⎨⎪⎪=-⎩，解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以双曲线C ：2214x y -=．又点()P m 是双曲线C 位于第一象限内的一点， 所以2814m -=（0m >），解得1m =. 法二：由题知24a c e a =⎧⎪⎨===⎪⎩21a b =⎧⎨=⎩， 所以双曲线C ：2214x y -=．又点()P m 是双曲线C 位于第一象限内的一点， 所以2814m -=（0m >），解得1m =.故选：B20．双曲线()2210,0x y m n m n -=>>的渐近线方程为2y x =±，实轴长为2，则m n -为（ ）A ．14- B．1C ．12 D．1【答案】A【详细分析】根据渐近线方程、实轴长求得,m n ，由此求得m n -.【答案详解】依题意222222a m ab n a m ⎧⎪⎪=⎪=⎨⎪⎪==⎪⎝⎭⎩，解得511,,44m n m n ==-=-. 故选：A21．如果中心在原点，对称轴在坐标轴上的等轴双曲线的一个焦点为()10,6F -，那么此双曲线的标准方程为 ．【答案】2211818y x -=【详细分析】根据焦点坐标及题意，设方程为22221(0)y x a a a-=>，根据焦点坐标，可求得2a ，即可得答案.【答案详解】因为一个焦点是()10,6F -，所以6c =，且焦点在y 轴，所以设等轴双曲线方程为22221(0)y x a a a-=>，所以22236c a a =+=，解得218a =，所以双曲线标准方程为2211818y x -=，故答案为：2211818y x -=.重难点4求共渐近线的双曲线方程22．若双曲线C 与双曲线2211612x y -=有相同的渐近线，且经过点(，则双曲线C 的标准方程是 ． 【答案】221912y x -=【详细分析】设双曲线C 的方程为221612x y λ-=，根据双曲线C 经过的点求得λ，从而求得双曲线C 的标准方程.【答案详解】由双曲线C 与双曲线2211612x y -=有相同的渐近线，可设双曲线C 的方程为221612x y λ-=，又C 过点(，所以34λ=-，22316124x y -=-，整理得双曲线C 的标准方程是221912y x -=．故答案为：221912y x -=23．与双曲线221169x y -=渐近线相同，且一个焦点坐标是()0,5的双曲线的标准方程是 ．【答案】221916y x -=【详细分析】设所求双曲线的方程为22221y x a b -=，由题意有2225a b +=且34a b =，解出22,a b 即可.【答案详解】双曲线221169x y -=的渐近线方程为34y x =?，由焦点坐标是()0,5，可设所求双曲线的方程为22221y x a b-=(0,0)a b >>，得2225a b +=，双曲线渐近线的方程为a y x b =±，由题意有34a b =， 解得29a =，216b =，所以双曲线的方程为221916y x -=.故答案为：221916y x -=.24．若双曲线C 与2219x y -=有共同渐近线，且与椭圆2214020x y +=有相同的焦点，则该双曲线C 的方程为 . 【答案】221182x y -=【详细分析】根据双曲线与椭圆的标准方程，求得渐近线方程与焦点坐标，由双曲线标准方程，建立方程，可得答案.【答案详解】由方程2219x y -=，则其渐近线方程为13y x =±，由椭圆2214020x y +=，则其焦点为()±，由题意可知，双曲线C 的标准方程设为22221x y a b -=，则221320b a a b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得22182a b ⎧=⎨=⎩，则双曲线C 的标准方程为221182x y -=，故答案为：221182x y -=.25．双曲线22:12y C x -=，写出一个与双曲线C 有共同的渐近线但离心率不同的双曲线方程 ．【答案】2212y x -=（答案不唯一）【详细分析】根据有共同渐近线的双曲线方程的性质进行求解即可.【答案详解】与双曲线C 有共同的渐近线的双曲线方程可设为222y x λ-=，当1λ=-时，得到双曲线方程为2212y x -=，显然该双曲线与双曲线C 有共同的渐近线但离心率不同，故答案为：2212y x -=26．求与双曲线22143y x -=有共同的渐近线，且经过点()3,2M -的双曲线的标准方程.【答案】22168x y -=【详细分析】利用待定系数法即可得到所求双曲线的标准方程.【答案详解】与双曲线22143y x -=有相同的渐近线的双曲线可设为22(0)43y x λλ-=≠又所求双曲线过点()3,2M -，则()222343λ--=，则2λ=- 则所求双曲线的方程为22243y x -=-，即22168x y -=.27．已知双曲线E 与双曲线221169x y -=共渐近线，且过点()3A -，若双曲线M 以双曲线E 的实轴为虚轴，虚轴为实轴，试求双曲线M 的标准方程.【答案】221944x y -= 【详细分析】设双曲线E 的方程为()220169-=≠x y t t ，代入点A 可得双曲线E 的标准方程，从而得到双曲线双曲线M 的标准方程.【答案详解】由题意，设双曲线E 的方程为()220169-=≠x y t t ，∵点()3A -在双曲线E上，∴(()223169--=t ，∴14t =-，∴双曲线E 的标准方程为221944y x -=， 又双曲线M 以双曲线E 的实轴为虚轴，虚轴为实轴，∴双曲线M 的标准方程为221944x y -=. 28．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的两个焦点分别为()1F，)2F，且过点)2P.(1)求双曲线C 的虚轴长；(2)求与双曲线C 有相同渐近线，且过点()3,6Q -的双曲线的标准方程. 【答案】(1)(2)221189y x -= 【详细分析】（1）由双曲线的定义可知，12||||2PF PF a -=，又222+=a b c，求得b =即可．（2）设与双曲线C 有相同渐近线的双曲线的方程为22(0)2y x λλ-=≠，将点()3,6Q -的坐标代入上述方程得λ即可．【答案详解】（1）由题意，易知22PF =，12F F =212PF F F ⊥.在21Rt PF F △中，14PF ==由双曲线的定义可知，122PF PF a -=，22a =，即1a =. ∵双曲线C的两个焦点分别为()1F，)2F，∴c =又∵222+=a b c，∴b = 故双曲线C的虚轴长为（2）由（1）知双曲线C 的方程为2212y x -=.设与双曲线C 有相同渐近线的双曲线的方程为()2202y x λλ-=≠将点()3,6Q -的坐标代入上述方程，得9λ=-故所求双曲线的标准方程为221189y x -=重难点5根据,,a b c 齐次式关系求渐近线方程29．过原点的直线l 与双曲线E ：()222210,0x y a b a b-=>>交于A ，B 两点（点A 在第一象限），AC x ⊥交x轴于C 点，直线BC 交双曲线于点D ，且1AB AD k k ⋅=，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．2y x =±B ．12y x =±C．y = D．2y x =±【答案】D【详细分析】由题可设，000011(,),(,),(,)A x y B x y D x y --，0(,0)C x ，分别表示出,,AB BC AD k k k ，逐步转化，即可求得本题答案.【答案详解】因为,A B 直线过原点，所以,A B 关于原点对称，设000011(,),(,),(,)A x y B x y D x y --， 因为AC 与x 轴垂直，所以0(,0)C x ， 设123,,AB BC AD k k k k k k ===， 则00121001,22y y k k k x x ===， 而222222210101012232222222101010101(1)(1)y y y y y y x x b k k b b x x x x x x x x a a a⎡⎤+--⋅=⋅==---=⎢⎥+---⎣⎦所以，213232221b k k k k a⋅=⋅==，所以，222,a b a ==所以渐近线方程为y =. 故选：D30．双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b -=>>，点A ，B 均在E 上，若四边形OACB 为平行四边形，且直线OC ，AB的斜率之积为3，则双曲线E 的渐近线的倾斜角为（ ）A ．π3B ．π3或2π3 C ．π6D ．π6或5π6【答案】B【详细分析】利用点差法，结合双曲线渐近线方程、平行四边形的性质、中点坐标公式进行求解即可.【答案详解】设()()1122,,,A x y B x y ，显然线段AB 的中点坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭，因为四边形OACB 为平行四边形，所以线段OC 的中点坐标和线段AB 的中点坐标相同，即为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭，因此C 点坐标为()1212,x x y y ++， 因为直线OC ，AB 的斜率之积为3，所以221212122212121233y y y y y y x x x x x x +--⋅=⇒=+--， 因为点A ，B 均在E 上，所以2222112222221,1x y x y a b a b-=-=，两式相减得：22212222123y y b bx x a a-==⇒=- 所以两条渐近线方程的倾斜角为π3或2π3， 故选：B【点睛】关键点睛：本题的关键是应用点差法和平行四边形的性质.31．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>> ）A ．12y x =±B ．2y x =±C ．y =D ．3y x =±【答案】B【详细分析】由离心率求得ba即得渐近线方程．【答案详解】c e a ==，222225c a b a a +==，2b a =， 故选：B32．设12,F F 分别是双曲线22221x y a b -=()0,0a b >>的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P 满足212PF F F =，且124cos 5PF F ∠=，则双曲线的渐近线方程为（ ） A ．340x y ±= B ．430x y ±= C ．350x y ±=D ．540x y ±=【答案】B【详细分析】结合双曲线的定义，以及条件，得到425a c c +=，再根据222c ab =+，即可求解双曲线渐近线的斜率.【答案详解】作21F Q PF ⊥于点Q ，如图所示，因为122F F PF =，所以Q 为1PF 的中点，由双曲线的定义知|122PF PF a -=，所以122PF a c =+，故1FQ a c =+，因为124cos 5PF F ∠=，所以11212cos FQ PF F F F =∠，即425a c c +=，得35c a =，所以5a =，得43b a =，故双曲线的渐近线方程为43y x =±，即430x y ±=. 故选：B33．已知F 为双曲线C ：22221x y a b -=（0a >，0b >）的右焦点，过点F 作x 轴的垂线与双曲线及它的渐近线在第一象限内依次交于点A 和点B ．若A B A F =，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A 0y ±=B ．0x =C 0y ±=D ．0x =【答案】B【详细分析】分别求出点A,B 的坐标，利用线段相等建立方程求出ba即可得解. 【答案详解】由题意得(),0F c ，双曲线C 的渐近线方程为by x a=±．设点A ，B 的纵坐标依次为1y ，2y ，因为221221c y a b -=，所以21b y a =，所以2b AF a =．因为2bc y a=，所以bcBF a =．因为A B A F =，所以22bc ba a=，得2c b =，所以a =，故b a =C 的渐近线方程为y x =，即0x =， 故选：B ．34．如图，已知1F ，2F 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线交双曲线于点P ，且1230PF F ∠=︒，则双曲线的渐近线方程为 .【答案】y =【详细分析】利用点在双曲线上及直角三角形中30︒所对的直角边等于斜边的一半，结合双曲线的定义和渐近线方程即可求解.【答案详解】设()()2,00F c c >，()0,P c y ，则220221y c a b -=，解得20b y a=±，∴22b PF a=.在21Rt PF F △中，1230PF F ∠=︒，则122PF PF =①. 由双曲线的定义，得122PF PF a -=②. 由①②得22PF a =.∵22b PF a =，∴22b a a=，即222b a =.∴ba=∴双曲线的渐近线方程为y =.故答案为：y =.35．过双曲线2222:1-=y W x a b 的右焦点F 作x 轴的垂线，与两条渐近线的交点分别为A ，B ，若OAB 为等边三角形，则W 的渐近线方程为 ，W 的离心率为 ．【答案】 3y x =±3【详细分析】根据图形则得到tan 30b a== ，再利用离心率公式即可. 【答案详解】双曲线渐近线方程为by x a =±，因为OAB 是等边三角形，则tan 30b a== y =，即3e ===，故答案为：3y x =±重难点6求双曲线的离心率36．设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左､右焦点，过点1F 作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为M .若2MF ，则双曲线C 的离心率为（ ）AB C ．3 D 【答案】A【详细分析】根据题意，先求得焦点1F 到渐近线的距离为b ，在直角1MOF △中，求得1cos bOF M c∠=，再在12MF F △中，利用余弦定理求得222343b c b =-，结合222b c a =-和离心率的定义，即可求解.【答案详解】由双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，可得1(,0)F c -，渐近线方程为b y x a=±，如图所示，则焦点1F 到渐近线by x a =-的距离为1MF b ==， 在直角1MOF △中，可得111cos MF bOF M OF c∠==， 在12MF F △中，由余弦定理得222212112112cos MF F F MF F F MF OF M =+-∠，即22222342243bb c b cb c b c=+-⨯⨯=-，所以2223c b =， 又由222b c a =-，所以22223()c c a =-，可得223c a =，所以双曲线的离心率为==ce a. 故选：A.。

著名的数学问题及其启发数学问题自古以来就吸引着人们的好奇心和思考能力。

这些问题不仅展示了数学的魅力，还激发了人类的创造力和发现精神。

在本文中，我们将探讨一些著名的数学问题，并剖析它们所带来的启发。

首先，让我们谈谈费马大定理。

这个问题由于其简洁而有趣的陈述而广为人知-“没有三个整数a、b和c能满足方程a^n + b^n = c^n，其中n大于2。

” 这个问题由17世纪法国数学家皮埃尔·德·费马提出，直到1994年才被英国数学家安德鲁·怀尔斯找到一种证明方式。

费马大定理的启示在于，即使一个问题看似简单，但它可能需要数学家们花费几个世纪的时间来理解。

接下来，让我们研究著名的哥德巴赫猜想。

该猜想声称“每个大于2的偶数都可以分解为两个质数之和。

”这个问题由18世纪德国数学家克里斯蒂安·哥德巴赫提出，但直到两个世纪后，它才被英国数学家伊万·葛里戈里奥策出一种证明方式。

哥德巴赫猜想的启示在于，一个看似简单的问题可以激发数学家们寻找新的证明方法和思维方式。

最后，我们要提到黄金分割问题。

黄金分割是指将一条线段分割为两部分，使得整条线段与较长部分之比等于较长部分与较短部分之比。

这个问题在古希腊时期就被提出，并在数学、美学、建筑等领域发挥了重要作用。

黄金分割问题的启示在于，数学的美学性质和实际应用之间存在着紧密的联系。

这些著名的数学问题激发了数学家们不断探索、思考和创新的精神。

它们告诉我们，数学不仅仅是一门学科，而是一种思维方式和解决问题的工具。

无论一个问题看起来多么困难，只要我们持续努力，保持好奇心和创造力，就有可能找到解决方案。