.成都七中函数复习学案 第三节函数的单调性、最值、导数

A7.函数与方程(2)一、基础知识1.强化数形结合思想：借助于图象解决代数问题,借助于代数性质刻画图象.图象性质和代数性质结合使用.2.强化方程()()f x g x =的根的情况可以通过函数()y f x =与()y g x =的交点来刻画.二、典型例题与基本方法1.已知32, 2()(1),2x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩,若关于x 的方程()f x k =有且只有一个解,则实数k 的取值范围是2.已知函数21|1|,1()42, 1.x x f x x x x -+<⎧=⎨-+≥⎩则函数||()2()2x g x f x =-的零点个数为 3.已知113k ≤<,函数()21x f x k =--的零点分别为1212,().x x x x <函数()2121x k g x k =--+的零点分别为3434,().x x x x <,则4321)()(x x x x -+-的最小值为4.定义在R 上的奇函数()f x ,当0x ≥时,2log (1)(01)()|3|1(1)x x f x x x +≤<⎧=⎨--≥⎩则函数1()()2g x f x =-的所有零点之和为5.已知函数2,0(),0x x f x x x x ≤⎧=⎨->⎩若函数2()()log g x f x m =+有三个不同的零点, 则实数m 的取值范围是6.若直线2y a =与函数|1|(0,xy a a =->且1)a ≠的图象有两个公共点,则a 的取值范围是 7.已知直线1y kx =+与()11f x x x x x=+--的图象恰有四个不同的交点,则实数k 的取值范围为8.已知以4T =为周期的函数(1,1]()1|2|,(1,3]x f x x x ⎧⎪∈-=⎨--∈⎪⎩其中0.m >若方程3()f x x =恰有5个不同的实数解,则实数m 的取值范围为9.已知函数2(),()(1).1x x f x g x a a x +==>- (1)若存在0(2,)x ∈+∞,使0().f x m = 求实数m 的取值范围；(2)若对任意1(2,)x ∈+∞,都存在2(1,2)x ∈使得12()()g x f x =成立,求实数a 的最小值．10.设222()1,().ax x af x x axg x x ++=--+=(1)若()0f x b +=在[1,2]上有两个不相等的实根,求(1)g b +的取值范围；(2)若存在1[1,2]x ∈,使得对任意的21[,1],2x ∈都有12(())f x g x ≥成立,求实数a 的取值范围.11.已知函数n mx x f +=)(的图象经过点(1,2),(1,0),A B -且函数()20)h x p =>与函数n mx x f +=)( 的图象只有一个交点．(1)求函数)(x f 与)(x h 的解析式；(2)设函数()()(),F x f x h x =-求()F x 的最小值与单调区间；(3)设,a R ∈解关于x 的方程422log [(1)1]log ()log (4)f x h a x h x --=---.B7.练习 姓名：1.已知01,a <<则方程log ||xa a x =的实根的个数是2.已知函数22()2(1)5f x x m x m =+-++有两个相异的零点.若这两个零点均比1大, 则实数m 的取值范围为3.已知函数2()2||3.f x x x a =--若直线1y =与函数()y f x =的图象有4个交点, 则实数a 的取值范围为4.已知函数22||,2,()(2),2,x x f x x x -≤⎧=⎨->⎩函数()(2),g x b f x =--其中.b R ∈若函数()()y f x g x =-恰有4个零点,则b 的取值范围是5.对实数a 与b ,定义新运算“⊗”：,1.,1a ab a b b a b -≤⎧⊗=⎨->⎩设函数22()(2)(),f x x x x x R =-⊗-∈.若函数()y f x c =-的图象与x 轴恰有两个公共点,则实数c 的取值范围是6.对于实数,m n 定义运算“⊕”：2221,,m mn m nm n n mn m n ⎧-+-≤⊕=⎨->⎩,设()(21)(1)f x x x =-⊕-,且关于x 的方程()f x a =恰有三个互不相等的实数根123,,x x x 则123x x x 的取值范围是7.已知函数()242 1.xxf x a =⋅--(1)当1a =时,求函数()f x 的零点. (2)若函数()f x 有零点,求实数a 的取值范围.8.若关于x 的方程lg(1)lg(3)lg()x x a x -+-=-有两个不同的实数解,求实数a 的取值范围．A7.函数与方程(2)一、基础知识1.强化数形结合思想：借助于图象解决代数问题,借助于代数性质刻画图象.图象性质和代数性质结合使用.2.强化方程()()f x g x =的根的情况可以通过函数()y f x =与()y g x =的交点来刻画.二、典型例题与基本方法1.已知32, 2()(1),2x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩,若关于x 的方程()f x k =有且只有一个解,则实数k 的取值范围是解：画出()y f x =的图象,结合图象,则实数k 的取值范围是(,0]{1}.-∞2.已知函数21|1|,1()42, 1.x x f x x x x -+<⎧=⎨-+≥⎩则函数||()2()2x g x f x =-的零点个数为 解：1||||2()22.x x f x -==画出21|1|,142, 1.x x y x x x -+<⎧=⎨-+≥⎩与1||2x y -=的图象,可知,它们有2个交点,所以零点个数为2. 3.已知113k ≤<,函数()21x f x k =--的零点分别为1212,().x x x x <函数()2121x k g x k =--+的零点分别为3434,().x x x x <,则4321)()(x x x x -+-的最小值为解：由题知312421,21,1,21.2121x xx x k kk k x k k =-=+=-=+++, 所以43211312,2.11x x x x k k k k --++==-+所以4321)(()131423.111x x x x k k k k k-+-++=⋅=-+--- 又1[,1),3k ∈所以43[3,).1k-+∈+∞-,所以43212))[log 3,(().x x x x ∈-+∞-+ 4321)()(x x x x -+-的最小值为2log 3.4.定义在R 上的奇函数()f x ,当0x ≥时,2log (1)(01)()|3|1(1)x x f x x x +≤<⎧=⎨--≥⎩则函数1()()2g x f x =-的所有零点之和为解：由题可画出函数()f x 的图象,如图： 显然()y f x =与 12y =图象有5个交点,故1()()2g x f x =- 有5 个零点,从左到右依次记为12345,,,.,x x x x x 结合图象可知12456,6x x x x +=-+=,所以12450x x x x +++=.由21log (1)2x +=可求得3 1.x =所以函数1()()2g x f x =-1.5.已知函数2,0(),0x x f x x x x ≤⎧=⎨->⎩若函数2()()log g x f x m =+有三个不同的零点, 则实数m 的取值范围是 解：画2,0(),0x x f x x x x ≤⎧=⎨->⎩的图象,2()()log g x f x m =+即()y f x =与2log y m =- 有三个不同交点,由图象得21log 0,4m -<-<210log ,4m <<所以1m << 实数m的取值范围是6.若直线2y a =与函数|1|(0,xy a a =->且1)a ≠的图象有两个公共点,则a 的取值范围是 解：按01a <<和1a >分类讨论.结合|1|xy a =-的图象知当1a >时221y a =>>,只有1个公共点； 当01a <<时,为满足题设应保证021a <<.所以a 的取值范围是1(0,)27.已知直线1y kx =+与()11f x x x x x=+--的图象恰有四个不同的交点,则实数k 的取值范围为 解：()11f x x x x x =+--是偶函数,当0x ≥时,2,01,()2, 1.x x f x x x ≤<⎧⎪=⎨≥⎪⎩作出()y f x =的图象.当0k =时,直线1y kx =+与函数()11f x x x x x=+--的图象有四个公共点； 当0k <时,要使它们有四个公共点,则需直线1y kx =+与2(1)y x x=≥的图象有一个公共点. 由21kx x +=,由方程220kx x +-=有两等根,得180k ∆=+=,解得1.8k =- 当0k >时,根据对称性可得1.8k =从而满足条件k 的取值范围是11,0,.88⎧⎫-⎨⎬⎩⎭8.已知以4T =为周期的函数(1,1]()1|2|,(1,3]x f x x x ⎧⎪∈-=⎨--∈⎪⎩其中0.m >若方程3()f x x =恰有5个不同的实数解,则实数m 的取值范围为 解：若1,m ≤则3x y =与()y f x =的交点为3个.要使3xy =与()y f x =有5个交点,所以 1.m >由图易知直线3x y =与第二个折线段无交点,因此当直线3x y = 与第一折线段和第二个半椭圆相交,而与第三个半椭圆无公共点时,方程恰有5个实数解.3x >有解.3m >== 令1,t x =则11(,),53t∈3m >==3.m >3m>3m >3x <恒成立.3m <== 令1,t x =则11(,),97t∈3m <==3.m <3m<m <综上知3m << 所以实数m的取值范围为3也可用∆法求解m 的边界值.9.已知函数2(),()(1).1x x f x g x a a x +==>- (1)若存在0(2,)x ∈+∞,使0().f x m = 求实数m 的取值范围；(2)若对任意1(2,)x ∈+∞,都存在2(1,2)x ∈使得12()()g x f x =成立,求实数a 的最小值． 解：(1)若存在0(2,)x ∈+∞,使0()f x m =成立,则实数m 的范围是函数2()1x f x x +=-在区间(2,)+∞上的值域,因为函数23()111x f x x x +==+--在区间(2,)+∞上为减函数,可得2()1x f x x +=-的值域为(1,4). 所以实数m 的取值范围为(1,4).(2)因为对任意1(2,)x ∈+∞,都存在2(1,2)x ∈使得12()()g x f x =成立,所以(())1xg a a x >=在区间(2,)+∞上的值域是函数()f x 在区间(1,2)上值域的子集. 函数23()111x f x x x +==+--在区间(1,2)上为减函数,所以()f x 在区间(1,2)上的值域为(4,).+∞函数(())1x g a a x >=在区间(2,)+∞上为增函数,所以(())1xg a a x >=在区间(2,)+∞上的值域为2(,).a +∞所以24,a ≥又 1.a >所以 2.a ≥所以实数a 的最小值为2.10.设222()1,().ax x af x x axg x x ++=--+=(1)若()0f x b +=在[1,2]上有两个不相等的实根,求(1)g b +的取值范围；(2)若存在1[1,2]x ∈,使得对任意的21[,1],2x ∈都有12(())f x g x ≥成立,求实数a 的取值范围. 解： (1)依题意可设212()()1()().F x f x b x ax b x x x x =+=--++=---其中121 2.x x ≤<≤(1)21(2) 4.g b a b F +=++=-+又1212(2)(22(2)()(2)).F x x x x -=-----=-++因为121 2.x x ≤<≤所以129(2)(2)16.x x +<<+从而(2)(16,9).F -∈-- 于是(1)(2)4(12,5).g b F +=-+∈--(2)由题意,问题转化为212max ()()x f x g x ≤≤≥对任意的21[,1]2x ∈恒成立.对于函数22()ax x a g x x ++=,令1,t x=则[1,2].t ∈222()().ax x a g x at t a h t x ++==++= 则问题转化为12max ()()x f x h t ≤≤≥对任意的[1,2]t ∈恒成立.因为2()1f x x ax =--+的对称轴为.2ax =-当12a-<即2a >-时,12max ()(1).x f x f a ≤≤==-当122a ≤-≤即42a -≤≤-时,212max ()() 1.24x a a f x f ≤≤=-=+ 当22a->即4a <-时,12max ()(2)2 3.x f x f a ≤≤==--所以21223,4max ()1,424,2.x a a af x a a a ≤≤--<-⎧⎪⎪=+-≤≤-⎨⎪->-⎪⎩①当4a <-时,223a at t a --≥++对[1,2]t ∈恒成立,即2()330u t at t a =+++≤对[1,2]t ∈恒成立.110,28a <-<所以(1)440.u a =+≤于是 1.a ≤-从而 4.a <-②当42a -≤≤-时,2214a at t a +≥++对[1,2]t ∈恒成立,则22()104a v t at t a =++--≤对[1,2]t ∈恒成立,因为111,248a <-<所以2(1)20.4a u a =-≤于是0a ≤或8.a ≥从而42a -≤≤-. ③当2a ≥-时,2a at t a -≥++对[1,2]t ∈恒成立,则2122t a t t t-≥=++对[1,2]t ∈恒成立,得4a ≤-从而2a -≤≤综上,满足题意a的范围是(,-∞11.已知函数n mx x f +=)(的图象经过点(1,2),(1,0),A B -且函数()20)h x p =>与函数n mx x f +=)( 的图象只有一个交点．(1)求函数)(x f 与)(x h 的解析式；(2)设函数()()(),F x f x h x =-求()F x 的最小值与单调区间；(3)设,a R ∈解关于x 的方程422log [(1)1]log ()log (4)f x h a x h x --=---. 解：(1)由函数n mx x f +=)(的图像经过点(1,2),(1,0),A B - 得2,0m n m n +=-+=解得 1.m n ==从而() 1.f x x =+由函数()20)h x p =>与函数1)(+=x x f 的图象只有一个交点,得210,x -=2440.p ∆=-=又0,p >从而 1.p=()0).h x x ∴=≥(2)2()11)(0)F x x x =-=≥1,=即1x =时,min ()0.F x =()F x 在[0,1]为减函数,在[1,)+∞为增函数. (3)原方程可化为422log (1)log log x -=即22221log log (1)log log 2x =-+=.即10400(1)(4)x x a x a x x x ->⎧⎪->⎪⎨->⎪⎪-=--⎩也就是214(3)5x x a a x ⎧<<⎪<⎨⎪=--+⎩令2(3)5,.y x y a =--+= 如图所示①当14a <≤时,原方程有一解3x =131454xy②当5a 4<<时,原方程有两解13x =23x =；③当5a =时,原方程有一解3x =；④当1a ≤或5a >时,原方程无解．B7.练习 姓名：1.已知01,a <<则方程log ||xa a x =的实根的个数是解：分别作出x y a =和log |(01|)a y x a =<<的图象,图象有两个交点,故方程的实根的个数为2.2.已知函数22()2(1)5f x x m x m =+-++有两个相异的零点.若这两个零点均比1大, 则实数m 的取值范围为 解：设两个零点为12,.x x 从而有12120,2,(1)(1)0,x x x x ∆>⎧⎪+>⎨⎪-->⎩即有2224(1)4(5)0,2(1)2,(5)2(1)10,m m m m m ⎧--+>⎪-->⎨⎪++-+>⎩解得 2.m <-实数m 的取值范围为(,2).-∞-3.已知函数2()2||3.f x x x a =--若直线1y =与函数()y f x =的图象有4个交点, 则实数a 的取值范围为解：()f x 的图象如下：(1)31,(0)3.f a f a =--=-从而3113.a a --<<-所以21,.33a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭实数a 的取值范围为21,.33⎛⎫-- ⎪⎝⎭4.已知函数22||,2,()(2),2,x x f x x x -≤⎧=⎨->⎩函数()(2),g x b f x =--其中.b R ∈若函数()()y f x g x =-恰有4个零 点,则b 的取值范围是解：函数()()y f x g x =-有4个零点,即方程()(2)f x f x b +-=有4个不同的实根,函数()y f x =和函数(2)y f x =-的图象关于直线1x =对称,画出它们的图象如图所示.分析知,当02x ≤≤时,()(2)2f x f x +-=,当2x >时,22()(2)(2)2|2|58.f x f x x x x x +-=-+--=-+再由对称性,可以画出函数()(2),y f x f x x R +-∈=的图象,如图所示,结合图象分析,b 的取值范围是7(,2).45.对实数a 与b ,定义新运算“⊗”：,1.,1a ab a b b a b -≤⎧⊗=⎨->⎩设函数22()(2)(),f x x x x x R =-⊗-∈. 若函数()y f xc =-的图象与x 轴恰有两个公共点,则实数c 的取值范围是 解：函数2222)32,12()(2)(.3,12x x f x x x x x x x x ⎧--≤≤⎪⎪=-⊗-⎨⎪-<->⎩=⎪或 由图可知,函数()y f x =与y c =的图象有两个公共点,所以实数c 的取值范围是3(,2](1,).4-∞--- 6.对于实数,m n 定义运算“⊕”：2221,,m mn m n m n n mn m n ⎧-+-≤⊕=⎨->⎩,设()(21)(1)f x x x =-⊕-,且关于x 的方程 ()f x a =恰有三个互不相等的实数根123,,x x x 则123x x x 的取值范围是解：不妨设123x x x <<,由已知可得22,0(),0x x f x x x x -≤⎧=⎨-+>⎩,画出()y f x =及 y a =的图象如图所示.由已知条件结合图象可知223212210,1,22x x x x x x <<=--=-+, 所以22123221(2).x x x x x =-- 因为2102x <<,所以22210,4x x -<-<所以123x x x 的取值范围是1(,0).32-7.已知函数()242 1.x x f x a =⋅--(1)当1a =时,求函数()f x 的零点. (2)若函数()f x 有零点,求实数a 的取值范围.解：(1)2()24212(2)210,x x x x f x =⋅--=--=21x =或122x =-(舍去).所以0.x = 所以函数()f x 的零点为0.(2)若函数()f x 有零点,则24210x xa ⋅--=有解.于是22111112().42422x x x x x x a +==+=+ 令1,2x t =则0t >于是22.a t t =+所以20,a >所以实数a 的取值范围为(0,).+∞ 8.若关于x 的方程lg(1)lg(3)lg()x x a x -+-=-有两个不同的实数解,求实数a 的取值范围．解：已知方程等价于10,30,0,(1)(3),x x a x x x a x ->⎧⎪->⎪⎨->⎪⎪--=-⎩即2213,53,53.x x a x x x x a <<⎧⎪<=-+-⎨⎪-+-=⎩于是253,(1,3).a x x x =-+-∈令2()53,(1,3),().f x x x x g x a =-+-∈=则已知方程有两个不同的实数解当且仅当()f x 与()g x 的图象有两个不同的交点.如图可得到133.4a << 所以实数a 的取值范围为13(3,).4。

一、选择题1．已知实数满足约束条件020360x y x y x y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =-的最小值为（ ）A ．4-B ．3-C ．2-D ．1-2．不等式20ax bx c -+>的解集为{}|21x x -<<，则函数2y ax bx c =++的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知0x >，0y >，21x y +=，若不等式2212m m x y +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．4m ≥或2m ≤-B ．2m ≥或4m ≤-C ．24m -<<D ．42m -<<4．设x ，y 满足约束条件4100,20,0,0,x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩则23z x y =-的最大值为（ ）A ．10B ．8C ．5D ．6- 5．不等式112x x ->+的解集是（ ）． A ．{}|2x x <-B ．{}|21x x -<<C ．{}|1x x <D ．{}|x x ∈R 6．若正数x ，y 满足35x y xy += ，则43x y + 的最小值为（ ）A ．275B ．245 C ．5 D ．6 7．函数()21f x nx x =+- (0,)bx a b a R +>∈的图像在点()(),b f b 处的切线斜率的最小值是（ ）A ．2B 3C ．1D ．28．若实数,x y 满足约束条件22x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则z x y =+的最大值为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．29．已知直线l 的方程为2x +3y ＝5，点P （a ，b ）在l 上位于第一象限内的点，则124123a b +++的最小值为（ ） ABCD10．命题p :变量(),x y 满足约束条件3450y x x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩，则y z x =的最小值为14，命题q :直线2x =的倾斜角为2π，下列命题正确的是（ ） A ．p q ∧ B ．()()p q ⌝∧⌝ C ．()p q ⌝∧ D ．()p q ∧⌝11．设实数,x y 满足2025020x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则112z x y =+的取值范围是（ ） A ．514z ≤≤ B ．1524z ≤≤ C ．112z ≤≤ D ．312z ≤≤ 12．已知实数x ，y 满足2402401x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩，则2x y +的最大值为（ ）A ．2B ．8C ．11D ．13二、填空题13．123,,x x x 为实数，只要满足条件1230x x x >>>，就有不等式121233log 20202log 2020log 2020x x x x x x k +≥恒成立，则k 的最大值是__________．14．若,x y 满足约束条件5,5,25,x y x y x y +⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩则25x y +=的整数解的个数为___________.15．已知x ，y 满足约束条件21034032120x y x y x y ++⎧⎪-+⎨⎪-+⎩，则3z x y =+的最大值为___________.16．已知变量x ，y 满足430401x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则点(),x y 对应的区域的222x y xy +的最大值为______．17．设ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且3cos 2cos a C c A b ⋅=⋅+，则()tan A C -的最大值为__________.18．若x ，y ，z 满足约束条件4802400x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则z =__________．19．已知实数x ，y 满足约束条件2020220x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪--≥⎩，则2z x y =+的最小值为________.20．已知0m >，0n >，且111223m n +=++，则2m n +的最小值为________. 三、解答题21．已知函数()2f x x ax b =--. （1）若关于x 的不等式()0f x <的解集为{}2|5x x -<<，求关于x 的方程()13218x x x a b --=的解；（2）若()()11f x f x +=-，且()f x 在()0,3上有两个零点，求实数b 的取值范围. 22．已知函数2()31f x ax x =+-；（1）若()0f x <的解集为(1,)b -，求()f x 的零点，（2）若()f x 在(1,1)-内恰有1个零点，求a 的取值范围．23．已知函数2()12a f x x x =-+ （1）若()0f x ≥，在R 上恒成立，求实数a 的取值范围；（2）若[]1,2,()2x f x ∃∈≥成立，求实数a 的取值范围.24．已知关于x 的一元二次不等式2(3)30x m x m -++<．（Ⅰ）若不等式的解集为(2,3)-，求实数m 的值；（Ⅱ）若不等式的解集中恰有两个整数，求实数m 的取值范围． 25．若不等式2122x x mx -+>的解集为{}|02x x <<. （1）求m 的值；（2）已知正实数a ，b 满足4a b mab +=，求+a b 的最小值.26．如图，某房地产开发公司计划在一栋楼区内建造一个矩形公园ABCD ，公园由矩形的休闲区（阴影部分）1111D C B A 和环公园人行道组成，已知休闲区1111D C B A 的面积为1000平方米，人行道的宽分别为4米和10米，设休闲区的长为x 米．（1）求矩形ABCD 所占面积S （单位：平方米）关于x 的函数解析式；（2）要使公园所占面积最小，问休闲区1111D C B A 的长和宽应分别为多少米？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】 根据约束条件作出可行域，将目标函数变形为122z y x =-，通过平移直线法可求出2z -的最大值，从而可得z 的最小值．【详解】作出已知不等式组所表示的平面区域，如图所示：将目标函数2z x y =-变形为122z y x =-，由图可知当直线经过点(0,2)A 时，截距2z -最大，所以，2z x y =-的最小值为4-．故选：A【点睛】方法点睛：解决线性规划问题的关键是正确地作出可行域，准确地理解z 的几何意义，求最优解时采用“平移直线法”． 利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：(1)在平面直角坐标系内作出可行域；(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解；(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.2．C解析：C【分析】根据一元二次不等式的解集与一元二次方程的解求出,,a b c 的关系，然后再判断二次函数的图象．【详解】∵不等式20ax bx c ++>的解集为{}|21x x -<<， ∴21210b a c a a ⎧-+=⎪⎪⎪-⨯=⎨⎪<⎪⎪⎩，∴20b a c a a =-⎧⎪=-⎨⎪<⎩， 2222(2)y ax bx c ax ax a a x x =++=--=--，图象开口向下，两个零点为2,1-．故选：C ．【点睛】 关键点点睛：本题考查一元二次不等式的解集，二次函数的图象，解题关键是掌握一元二次不等式的解集与一元二次方程的解、二次函数的图象之间的关系．3．D解析：D【分析】 先根据已知结合基本不等式得218x y +≥，再解不等式228m m +<即可得答案. 【详解】解：由于0x >，0y >，21x y +=， 所以()212142448y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当4y x x y =，即122x y ==时等号成立，由于不等式2212m m x y+>+成立， 故228m m +<，解得：42m -<<.故实数m 的取值范围是：42m -<<.故选：D.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，一元二次不等式的解法，考查运算能力，是中档题. 4．C解析：C【分析】作出不等式对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数的最大值即可．【详解】画出约束条件所表示的平面区域，如图所示，由23z x y =-得到233z y x =-， 平移直线233z y x =-，当过A 时直线截距最小，z 最大， 由04100y x y =⎧⎨--=⎩ 得到5(,0)2A ， 所以23z x y =-的最大值为max 523052z =⨯-⨯=， 故选C ．【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．5．A解析：A分析：首先对原式进行移项、通分得到302x ->+，之后根据不等式的性质可得20x +<，从而求得不等式的解集. 详解：将原不等式化为1202x x x --->+，即302x ->+， 即302x <+，则有20x +<，解得2x <-， 所以不等式102x x ->+的解集为{}|2x x <-，故选A. 点睛：该题是一道关于求不等式解集的题目，解答该题的关键是熟练掌握分式不等式的解法，属于简单题目.6．A解析：A【解析】正数x ，y 满足35x y xy +=,则13155y x+=，()13492743433355555x y x y x y y x y x ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭故答案为A.点睛：这个题目考查的是含有两个变量的表达式的最值的求法，解决这类问题一般有以下几种方法，其一，不等式的应用，这个题目用的是均值不等式，注意要满足一正二定三相等；其二，二元化一元，减少变量的个数；其三可以应用线线性规划的知识来解决，而线性规划多用于含不等式的题目中．7．D解析：D【分析】先求导数,根据导数几何意义得切线斜率,再根据基本不等式求最值.【详解】11()2()2f x x b k f b b x b ''=+-∴==+≥= ,当且仅当1b =时取等号，因此切线斜率的最小值是2，选D.【点睛】利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化. 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.8．B【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求目标函数的最大值．【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z x y =+得y x z =-+，平移直线y x z =-+，由图象可知当直线y x z =-+经过点B 时，直线y x z =-+的截距最大，此时z 最大．由2x y x=⎧⎨=⎩解得(2,2)B ． 代入目标函数z x y =+得224z =+=．即目标函数z x y =+的最大值为4．故选：B ．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．利用平移确定目标函数取得最优解的条件是解决本题的关键，属于中档题．9．C解析：C【分析】由题意可得2a +3b ＝5，a ，b ＞0，可得4a ＝10﹣6b ，（3b ＜5），将所求式子化为b 的关系式，由基本不等式可得所求最小值．【详解】直线l 的方程为2x +3y ＝5，点P （a ，b ）在l 上位于第一象限内的点，可得2a +3b ＝5，a ，b ＞0，可得4a ＝10﹣6b ，（3b ＜5）， 则1216412311696a b b b+=+++-+ 120=[（11﹣6b ）+（9+6b ）]（1611696b b +-+）120=（7()61169611696b b b b -+++-+）72620+≥， 当且仅当()61169611696b b b b -+=-+时，即b 1546-=，a 465-=，上式取得最小值726+， 故选：C ．【点评】本题考查基本不等式的运用：求最值，考查变形能力和化简运算能力，属于中档题． 10．A解析：A【分析】由约束条件作出可行域，由y z x=的几何意义求得最小值判断p 为真命题，由直线2x =的倾斜角判断q 为真命题，再由复合命题的真假判断得答案．【详解】 解：变量(),x y 满足约束条件3450y x x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩作出可行域如图：目标式y z x =表示可行域内点(),x y 与()0,0的连线的斜率，由图可知，当过点()4,1D 时，min 14z =，即y z x =的最小值为14，命题p 为真命题； 直线2x =的倾斜角为2π正确，故命题q 为真命题． 所以p q ∧为真命题，()()p q ⌝∧⌝为假命题，()p q ⌝∧为假命题，()p q ∧⌝为假命题；故选：A【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，考查复合命题的真假判断，属于中档题．11．B解析：B【分析】画出不等式组对应的平面区域，由,x y 都取最大值得出z 的最小值，当z 取最大值时，点(),x y 落在直线250x y +-=上，再结合基本不等式得出z 的最大值.【详解】该不等式组对应的平面区域如下图所示由可行域易知，当4,2x y ==时，112z x y =+取得最小值111442+= 当点(),x y 落在直线250x y +-=上时，112z x y =+取得最大值 此时25x y +=，2225224x y xy +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭ 112542225x y z x y xy xy +∴=+==≥ 当且仅当2x y =，即55,24x y ==时取等号，显然55,24⎛⎫ ⎪⎝⎭在可行域内 即1524z ≤≤ 故选：B【点睛】 关键点睛：平面区域的最值问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案.12．C解析：C【分析】根据条件作出可行域，根据图形可得出答案. 【详解】由实数x ，y 满足2402401x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩，作出可行域，如图.设2z x y =+，则化为2y x z =-+ 所以z 表示直线2y x z =-+在y 轴上的截距.2401x y y -+=⎧⎨=-⎩可得()6,1A --，2401x y y +-=⎧⎨=-⎩可得()61B -， 根据图形可得，当直线2y x z =-+过点()61B -，时截距最大， 所以2z x y =+的最大值为11. 故选：C【点睛】方法点睛：解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.二、填空题13．【分析】根据对数的运算性质可得设原不等式可化为由可得令小于等于的最小值即可【详解】由题意设则又所以原不等式可化为由可得则原不等式可化为又当且仅当时等号成立所以即的最大值为故答案为：【点睛】关键点点睛 解析：322+【分析】根据对数的运算性质，可得1212lg 2020log 2020lg lg x x x x =-，23232lg 20202log 2020lg lg x x x x =-，1313lg 2020log 2020lg lg x x k k x x =-，设12lg lg a x x =-，23lg lg b x x =-，原不等式可化为12k a b a b +≥+，由0,0a b >>，可得()12k a b a b ⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭，令k 小于等于()12a b a b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的最小值即可. 【详解】 由题意，121122lg 2020lg 2020log 2020lg lg lg x x x x x x ==-，2322332lg 20202lg 20202log 2020lg lg lg x x x x x x ==-，131133lg 2020lg 2020log 2020lg lg lg x x k k k x x x x ==-， 设12lg lg a x x =-，23lg lg b x x =-，则13lg lg x x a b -=+， 又lg 20200>，所以原不等式可化为12ka b a b+≥+， 由1230x x x >>>，可得0,0a b >>，则原不等式可化为()12k a b a b ⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭， 又()1221233b a a b a b a b ⎛⎫++=+++≥+=+⎪⎝⎭2b a a b =时，等号成立，所以3k ≤+k的最大值为3+故答案为：3+ 【点睛】关键点点睛：本题考查不等式恒成立问题，解题关键是将原不等式转化为()12k a b a b ⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭.本题中利用对数的运算性质，将三个对数转化为以10为底的对数，进而设12lg lg a x x =-，23lg lg b x x =-，可将原不等式化为12k a b a b+≥+，进而结合,a b 的范围可得到()12k a b a b ⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭.考查学生的逻辑推理能力，计算求解能力，属于中档题.14．4【分析】先画出约束条件所表示的平面可行域然后根据画出所表示的直线确定边界再求解满足上整数点的个数【详解】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示作出直线直线与可行域的边界交于两点由解得又且当时解析：4 【分析】先画出约束条件所表示的平面可行域，然后根据画出25x y +=所表示的直线确定边界，再求解满足25x y +=上整数点的个数.【详解】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线25x y +=，直线52y x =-与可行域的边界交于,B D 两点， 由25,25,x y x y +=⎧⎨-=⎩解得3,(3,1)1,x D y =⎧∴-⎨=-⎩， 又(0,5),[0,3],[1,5]B x y ∴∈∈-，且,x y Z ∈，当0x =时，5y =；当1x =时3y =； 当2x =时，1y =；当3x =时，1y =-， ∴整数解的个数为4. 故答案：4. 【点睛】关键点点睛：该题考查线性规划问题，考查最优解的整数点的个数问题，正确解题的关键是画出可行域.15．-2【分析】根据条件作出可行域由目标函数表示的几何意义可得答案【详解】由xy 满足约束条件作出可行域如图将化为表示直线在轴上的截距由图可知当直线过点时直线在轴上的截距最大此时最大由解得所以的最大值为故解析：-2 【分析】根据条件作出可行域，由目标函数表示的几何意义可得答案. 【详解】由x ，y 满足约束条件21034032120x y x y x y ++⎧⎪-+⎨⎪-+⎩，作出可行域，如图.将3z x y =+化为3y x z =-+，z 表示直线3y x z =-+在y 轴上的截距.由图可知，当直线3y x z =-+过点时，直线3y x z =-+在y 轴上的截距最大，此时z 最大.由210340x y x y ++=⎧⎨-+=⎩，解得()1,1C -所以z 的最大值为()3112⨯-+=- 故答案为：-2【点睛】方法点睛：解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.16．【分析】作出可行域令所以利用函数的单调性即可求最值【详解】由解得：所以由解得：所以表示可行域内的点与原点连线的斜率所以令所以在单调递减在单调递增当时当时所以的最大值为故答案为：【点睛】思路点睛：非线解析：53【分析】 作出可行域，令y t x =，OA OB y k k x ≤≤，所以7,313t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，22111222x y x ytxy y x t⎛⎫+⎛⎫=+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用函数的单调性即可求最值.【详解】由43040x yx y-+=⎧⎨+-=⎩解得：13575xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以137,55A⎛⎫⎪⎝⎭，由140xx y=⎧⎨+-=⎩解得：13xy=⎧⎨=⎩，所以()1,3B，yx表示可行域内的点与原点连线的斜率，所以OA OByk kx≤≤,707513135OAk-==-，30310OBk-==-，令7,313ytx⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，所以22111222x y x ytxy y x t⎛⎫+⎛⎫=+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1y tt=+在7,113⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，在[]1,3单调递增，当3t=时，1713109213791y⎛⎫=+=⎪⎝⎭，当75t=时，1153233y⎛⎫=+=⎪⎝⎭，所以222x yxy+的最大值为53，故答案为：53.【点睛】 思路点睛：非线性目标函数的常见类型及解题思路：1.斜率型：()0by ay b a a z ac d cx d c x c++==⋅≠++表示的是可行域内的点(),x y 与点,d b c a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭连线所在直线的斜率的ac倍；2.距离型：（1）()()22z x a y b =-+-表示的是可行域内的点(),x y 与(),a b 之间距离的平方；（2）z Ax By C =++=(),x y 到直线0Ax By C ++=倍.17．【分析】利用正弦定理将化为然后利用三角形内角和定理将用代换再利用两角和的正弦公式展开整理可得再由同角三角函数关系可得将其代入展开式消去结合基本不等式即可求出的最大值【详解】解：∵由正弦定理边角互化得解析：12【分析】利用正弦定理将3cos 2cos a C c A b ⋅=⋅+化为3sin cos 2sin cos sin A C C A B ⋅=⋅+，然后利用三角形内角和定理将B 用()A C π-+代换，再利用两角和的正弦公式展开整理可得2sin cos 3sin cos A C C A ⋅=⋅，再由同角三角函数关系可得3tan tan 2A C =，将其代入()tan A C -展开式消去tan A ，结合基本不等式即可求出()tan A C -的最大值． 【详解】解：∵ 3cos 2cos a C c A b ⋅=⋅+由正弦定理边角互化得3sin cos 2sin cos sin A C C A B ⋅=⋅+，又∵ ()()sin sin sin sin cos cos sin B A C A C A C A C π=-+=+=+⎡⎤⎣⎦， ∴ 3sin cos 2sin cos sin cos cos sin A C A C C A A C +⋅=⋅+， ∴ 2sin cos 3sin cos A C C A ⋅=⋅∵ 当cos 0C ≤或cos 0A ≤时，等式不成立， ∴ ,0,2A C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3tan tan 2A C =，∴ ()22tan tan tan tan tan tan 112tan ==32123132tan tan tan tan CA C C A C C C A C CC-==++++-，又∵ tan 0C >，∴2tan tan 3C C ≥=+当且仅当23tan tan C C ==，即tan 3C =等号成立， ∴()tan tan tan tan tan tan 1tan =21123A CA CC CA C -≤++-=.故答案为：12【点睛】本题主要考查正弦定理，两角差的正切公式及基本不等式的应用，需要注意的是在利用基本不等式时，要根据条件确定tan 0C >.18．【分析】画出满足条件的平面区域结合的几何意义以及点到直线的距离求出的最小值即可【详解】画出满足约束条件的平面区域如图所示：而的几何意义表示平面区域内的点到点的距离显然到直线的距离是最小值由得最小值是【分析】画出满足条件的平面区域，结合z =z 的最小值即可． 【详解】画出x ，y ，z 满足约束条件4802400x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，的平面区域，如图所示：而22(4)z x y =++的几何意义表示平面区域内的点到点()40-，的距离， 显然()40-，到直线240x y -+=的距离是最小值， 由8445541d -+==+，得最小值是455， 故答案为45． 【点睛】本题主要考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，属于中档题．19．【解析】作可行域如图则直线z=x+2y 过点A （20）时z 取最小值2点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化即数形结合的思想需要注意的是：一准确无误地作出可行域；二画目标函数所对应的直线时要注意与约束条解析：【解析】作可行域，如图，则直线z=x+2y 过点A （2，0）时z 取最小值2.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.20．【分析】先换元令则；再采用乘1法求出的最小值即可得解【详解】解：令则且而当且仅当即时等号成立的最小值为故答案为：【点睛】本题考查利用基本不等式求最值采用换元法和乘1法是解题的关键考查学生的转化思想分解析：3+【分析】先换元，令2s m =+，2t n =+，则1113s t +=，226m n s t +=+-；再采用“乘1法”，求出2s t +的最小值即可得解．【详解】解：令2s m =+，2t n =+，则2s >，2t >，且1113s t +=，2(2)2(2)26m n s t s t ∴+=-+-=+-，而112223(2)()3(12)3(32)3(322)s t s ts t s t s t t s t s+=++=+++⨯+=+，当且仅当2s tt s=，即s =时，等号成立．2s t ∴+的最小值为3(3+，2263(322)63m n s t ∴+=+-+-=+故答案为：3+ 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，采用换元法和“乘1法”是解题的关键，考查学生的转化思想、分析能力和运算能力，属于中档题．三、解答题21．（1）14x =；（2）10b -<<. 【分析】（1）利用韦达定理求出,a b ，代入()13218x x x a b --=中可得4151x -=，从而解得不等式.（2）由()()11f x f x +=-可得()f x 关于1x =对称，求出a 值.再利用根的分布知识结合二次函数图象求解b 的取值范围. 【详解】解:（1）因为不等式()0f x <的解集为{}25x x -<<， 所以2-和5是方程0f x 的两解，所以5210a b =-⎧⎨-=-⎩即310a b =⎧⎨=⎩所以1313335108,5252x x x x x x x --==， 因为320x >，所以13551x x -=，4151x -= 故14x =()2因为()()11f x f x +=-，所以()f x 的图像关于直线1x =对称，所以12a=，得2,a =故有()22f x x x b =-- 因为()f x 在()0,3有两个零点，所以()000f ∆>⎧⎨>⎩即4400b b +>⎧⎨->⎩解得10b -<<. 【点睛】二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析． 22．（1）函数()f x 的零点为11,4-；（2）9[2,4]4a ⎧⎫∈-⋃-⎨⎬⎩⎭． 【分析】（1）由不等式解集与一元二次方程的根的关系得方程的根，由方程根的定义可求参数值，然后解方程可得零点．（2）可利用一元二次方程根的分布分类求解．注意分类0a =和0a ≠，在0a ≠时，()0f x =在(1,1)-上有一个解，还有1-是一个解，1是一个解分别求出另一解判断，另外0∆=时进行检验．从而可得结论．【详解】（1）依题意得方程2310ax x +-=的两根为-1，b ， 将1x =-代入方程得4a =，于是方程2310ax x +-=可化为24310x x +-=，解得1x =-或14x =． 所以函数()f x 的零点为11,4-． （2）因为函数2()31f x ax x =+-在(1,1)-内恰有1个零点，所以该函数图象在(1,1)-内与x 轴只有一个公共点．（i ）当0a =时，由()31=0f x x =-，得1=(1,1)3x ∈-，故0a =满足题意； （ii ）当0a ≠时，①当函数()f x 的图象在x 轴两侧时，则由(1)(1)(4)(2)0f f a a -=-+<，解得24a -<<，此时24a -<<且0a ≠，满足题意当2a =-时，1(1,1)2x =∈-，满足题意； 当4a =时，1(1,1)4x =∈-，满足题意． ②当函数()f x 的图象在x 轴同侧时，则由23-4(1)0a ∆=⨯⨯-=， 解得94a =-． 由29()31=04f x x x =+--即2912+4=0x x -解得()21,13x =∈-， 故94a =-，满足题意． 综上所述，a 的取值范围是9[2,4]4⎧⎫-⋃-⎨⎬⎩⎭．【点睛】易错点睛：本题考查一元二次不等式的解集、一元二次方程的根、二次函数的图象之间的关系，掌握三个“二次”的关系是解题关键．利用二次函数图象可得一元二次方程根的分布的知识．要注意根的分布结论都是在开区间(,)a b 有解，而实际解题时还要分类讨论a 或者b 是方程根的情形，否则可能漏解． 23．（1）[]44-，；（2）(],3∞-． 【分析】（1）由二次不等式()0f x ≥恒成立可得0∆≤，于是可求得a 的取值范围；（2）分离参数得12a x x ≤-在区间[]1,2上有解，转化为求1y x x =-在区间[]1,2上的最大值求解即可．【详解】（1）由题意得()2102a f x x x =-+≥在R 上恒成立， ∴2404a ∆=-≤， 解得44a -≤≤，∴实数a 的取值范围为[]4,4-．（2）由题意得[]21,2,122a x x x ∃∈-+≥成立， ∴[]11,2,2a x x x ∃∈≤-成立． 令()[]1,?1,2g x x x x=-∈， 则()g x 在区间[]1,2上单调递增， ∴()()322max g x g ==， ∴322a ≤， 解得3a ≤，∴实数a 的取值范围为(],3∞-．【点睛】解题时注意以下结论的运用：（1）()a f x >恒成立等价于()max a f x >，()a f x >有解等价于()min a f x >； （2）若函数()f x 的最值不存在，则可利用函数值域的端点值来代替．24．（Ⅰ）2m =-；（Ⅱ）[0,1)(5,6]⋃．【分析】（1）根据不等式的解集为(2,3)-，得到关于x 的一元二次方程2(3)30x m x m -++=的两根分别为2-、3，代入方程求解即可.（2）将不等式2(3)30x m x m -++<，转化为()(3)0x m x --<，然后分3m <和3m >讨论求解.【详解】（1）由题意可知，关于x 的一元二次方程2(3)30x m x m -++=的两根分别为2-、3， 则2(2)2(3)30m m -+++=，整理得5100m +=，解得2m =-；（2）不等式2(3)30x m x m -++<，即为()(3)0x m x --<． ①当3m <时，原不等式的解集为(,3)m ，则解集中的两个整数分别为1、2，此时01m ≤<；②当3m >时，原不等式的解集为(3,)m ，则解集中的两个整数分别为4、5，此时56m <≤．综上所述，实数m 的取值范围是[0,1)(5,6]⋃．【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法以及应用，还考查了分类讨论求解问题的能力，属于中档题.25．（1）1；（2）9.【分析】（1）根据不等式与对应方程的关系，列方程求出m 的值；（2）先求得141b a +=，可得14()()a b a b b a +=++，展开后利用基本不等式求出+a b 的最小值．【详解】（1）不等式2122x x mx -+>可化为21(2)02x m x +-<， 即[2(2)]0x x m +-<，所以不等式对应方程的两根为0和2(2)m --，又不等式的解集为{|02}x x <<，所以2(2)2m --=，解得1m =；（2）由正实数a ，b 满足4a b mab +=，所以4a b ab +=，所以141b a+=， 所以1444()()5529b a b a b a b b a a b a +=++=+++， 当且仅当26a b ==时取等号，所以+a b 的最小值为9．【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，也考查了利用基本不等式求最值，是基础题． 26．（1）1000(20)(8),(0)S x x x =++>；（2）休闲区1111D C B A 的长和宽应分别为50米，20米.【分析】（1）先表示休闲区的宽，再表示矩形ABCD 长与宽，最后根据矩形面积公式得函数解析式，注意求函数定义域；（2）根据基本不等式求S 最小值，再根据等号取法确定休闲区1111D C B A 的长和宽.【详解】（1）因为休闲区的长为x 米，休闲区1111D C B A 的面积为1000平方米，所以休闲区的宽为1000x 米；从而矩形ABCD 长与宽分别为20x +米1000,8x +米， 因此矩形ABCD 所占面积1000(20)(8),(0)S x x x =++>，（2）100020000(20)(8)1160811601960S x x x x =++=++≥+=当且仅当200008,50x x x ==时取等号，此时100020x= 因此要使公园所占面积最小，休闲区1111D C B A 的长和宽应分别为50米，20米.【点睛】本题考查函数应用、求函数解析式、利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属基础题.。

四川省成都市第七中学导数及其应用多选题试题含答案一、导数及其应用多选题1．已知函数()21xx x f x e+-=，则下列结论正确的是（ ） A ．函数()f x 存在两个不同的零点 B ．函数()f x 既存在极大值又存在极小值C ．当0e k -<<时，方程()f x k =有且只有两个实根D ．若[),x t ∈+∞时，()2max 5f x e=，则t 的最小值为2 【答案】ABC 【分析】首先求函数的导数，利用导数分析函数的单调性和极值以及函数的图象，最后直接判断选项． 【详解】对于A ．2()010f x x x =⇒+-=，解得152x -±=，所以A 正确； 对于B ．22(1)(2)()x xx x x x f x e e--+-=-=-'， 当()0f x '>时，12x -<<，当()0f x '<时，1x <-或2x >，所以(,1),(2,)-∞-+∞是函数的单调递减区间，(1,2)-是函数的单调递增区间， 所以(1)f -是函数的极小值，(2)f 是函数的极大值，所以B 正确．对于C ．当x →+∞时，0y →，根据B 可知，函数的最小值是(1)f e -=-，再根据单调性可知，当0e k -<<时，方程()f x k =有且只有两个实根，所以C 正确；对于D ：由图象可知，t 的最大值是2，所以D 不正确． 故选：ABC.【点睛】易错点点睛：本题考查了导数分析函数的单调性，极值点，以及函数的图象，首先求函数的导数，令导数为0，判断零点两侧的正负，得到函数的单调性，本题易错的地方是(2,)+∞是函数的单调递减区间，但当x →+∞时，0y →，所以图象是无限接近轴，如果这里判断错了，那选项容易判断错了．2．若函数()f x 满足对于任意1x ，2(0,1)x ∈，()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤⎪⎝⎭，则称函数()f x 为“中点凸函数”．则下列函数中为“中点凸函数”的是（ ）A ．2()2f x x x =-B ．()tan f x x =C ．()sin cos f x x x =-D ．()e ln x f x x =-【答案】ABD 【分析】用计算()()121222f x f x x x f ++⎛⎫-⎪⎝⎭的正负值来解，运算量大，比较复杂.我们可分析“中点凸函数”的几何特征，结合图像作答.由已知“中点凸函数”的定义，可得“中点凸函数”的图象形状可能为：【详解】由“中点凸函数”定义知：定义域内12,x x 对应函数值的平均值大于或等于122x x +处的函数值，∴下凸函数：任意连接函数图象上不同的两点所得直线一定在图象上方或与图象重合. 设()()11,Ax f x ，()()22,B x f x 为曲线()f x 在(0,1)上任意两点A 、B 、C 、D 选项对应的函数图象分别如下图示： ①2()2f x x x =-符合题意 ②()tan f x x =符合题意③()sin cos 24f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭放大局部图像可见，在,14段，并不满足12,x x 对应函数值的平均值大于或等于122x x +处的函数值.不合题意④()e ln x f x x =-'1()e x f x x =-，''21()e 0x f x x+=>根据导函数作出图像如下符合题意. 故选：ABD 【点睛】本题主要考查了函数的新定义及其应用，其中解答中正确理解函数的新定义，以及结合函数的图象求解是解答的关键，学生可利用数形结合求解，需要较强的推理与运算能力.3．已知函数()1ln f x x x x=-+，给出下列四个结论，其中正确的是（ ） A ．曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为10x y ++= B ．()f x 恰有2个零点C ．()f x 既有最大值，又有最小值D ．若120x x >且()()120f x f x +=，则121=x x 【答案】BD 【分析】本题首先可根据()10f -=以及13f判断出A 错误，然后根据当0x >时的函数单调性、当0x <时的函数单调性、()10f -=以及()10f =判断出B 正确和C 错误，最后根据()()120f x f x +=得出()121f x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，根据函数单调性即可证得121=x x ，D 正确.【详解】函数()1ln f x x x x=-+的定义域为()(),00,-∞⋃+∞， 当0x >时，()1ln f x x x x=-+，()2221111x x f x x x x -+-'=--=；当0x <时，1ln f x x x x，()2221111x x f x x x x -+-'=--=， A 项：1ln 1110f，22111131f，则曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为031y x ，即33y x =--，A 错误；B 项：当0x >时，222215124x x x f xx x ，函数()f x 是减函数，当0x <时，222215124x x x f xx x ，函数()f x 是减函数，因为()10f -=，()10f =，所以函数()f x 恰有2个零点，B 正确； C 项：由函数()f x 的单调性易知，C 错误； D 项：当1>0x 、20x >时， 因为()()120f x f x +=， 所以1222222221111ln lnf x f x x x x fx x x x ， 因为()f x 在()0,∞+上为减函数，所以121x x =，120x x >， 同理可证得当10x <、20x <时命题也成立，D 正确， 故选：BD. 【点睛】本题考查函数在某点处的切线求法以及函数单调性的应用，考查根据导函数求函数在某点处的切线以及函数单调性，导函数值即切线斜率，若导函数值大于0，则函数是增函数，若导函数值小于0，则函数是减函数，考查函数方程思想，考查运算能力，是难题.4．已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，其导函数()f x '满足()1f x x'<，且()11f =，则下列结论正确的是（ ） A ．()2f e > B ．10f e ⎛⎫> ⎪⎝⎭C ．()1,x e ∀∈，()2f x <D ．1,1x e ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭， ()120x f x f ⎛⎫+> ⎪⎝⎭- 【答案】BCD 【分析】令()()ln F x f x x =-，求导得：'1()()0F x f x x'=-<，可得函数的单调性，再结合(1)1f =，可得(1)1F =，对选项进行一一判断，即可得答案；【详解】令()()ln F x f x x =-，∴'1()()0F x f x x'=-<， ()F x ∴在(0,)+∞单调递减， (1)1f =，(1)(1)1F f ∴==，对A ，()(1)()11()2F e F f e f e <⇒-<⇒<，故A 错误； 以B ，111(1)()110eF F f f e e ⎛⎫⎛⎫>⇒+>⇒> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确； 对C ，(1,)()(1)()ln 1x e F x F f x x ∈∴<⇒-<，()1ln f x x ∴<+，(1.),ln (0,1)x e x ∈∈， 1ln (1,2)x ∴+∈，()2f x ∴<，故C 正确；对D ，111,1,,()x x F x F e x x ⎛⎫⎛⎫∈>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1ln ln f x x f x x ⎛⎫⇒->+ ⎪⎝⎭1()2ln f x f x x ⎛⎫⇒-> ⎪⎝⎭，1,1,ln (1,0)x x e ⎛⎫∈∴∈- ⎪⎝⎭，1()2f x f x ⎛⎫∴->- ⎪⎝⎭1()20f x f x ⎛⎫⇒-+> ⎪⎝⎭，故D 正确； 故选：BCD. 【点睛】根据条件构造函数，再利用导数的工具性研究函数的性质，是求解此类抽象函数问题的关键.5．对于函数2ln ()xf x x=，下列说法正确的是（ ）A ．()f x 在x =12eB ．()f x 有两个不同的零点C ．ff f <<D ．若()21f x k x <-在()0,∞+上恒成立，则2e k >【答案】ACD 【分析】求得函数的导数312ln ()-'=xf x x，根据导数的符号，求得函数的单调区间和极值，可判定A 正确；根据函数的单调性和()10f =，且x >()0f x >，可判定B 不正确；由函数的单调性，得到f f >，再结合作差比较，得到f f >，可判定C 正确；分离参数得到()221ln 1x k f x x x +>+=在()0,∞+上恒成立，令()2ln 1x g x x +=，利用导数求得函数()g x 的单调性与最值，可判定D 正确. 【详解】由题意，函数2ln ()x f x x=，可得312ln ()(0)xf x x x -'=>，令()0f x '=，即312ln 0xx -=，解得x =当0x <<()0f x '>，函数()f x 在上单调递增；当x >()0f x '<，函数()f x 在)+∞上单调递减，所以当x =()f x 取得极大值，极大值为12f e=，所以A 正确； 由当1x =时，()10f =，因为()f x 在上单调递增，所以函数()f x 在上只有一个零点，当x >()0f x >，所以函数在)+∞上没有零点，综上可得函数在(0,)+∞只有一个零点，所以B 不正确；由函数()f x 在)+∞上单调递减，可得f f >，由于ln ln 2ln ,242f f ππ====，则2ln ln 2ln ln 22444f f ππππππ-=-=-，因为22ππ>，所以0f f ->，即f f >，所以ff f <<，所以C 正确；由()21f x k x <-在()0,∞+上恒成立，即()221ln 1x k f x x x +>+=在()0,∞+上恒成立， 设()2ln 1x g x x +=，则()32ln 1x g x x --'=， 令()0g x '=，即32ln 10x x --=，解得x =所以当0x<<()0g x '>，函数()g x 在上单调递增； 当x>()0g x '<，函数()g x 在)+∞上单调递减， 所以当x=()g x 取得最大值，最大值为22e eg e =-=， 所以2ek >，所以D 正确. 故选：ACD. 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．6．函数()ln f x x x =、()()f x g x x'=，下列命题中正确的是（ ）.A ．不等式()0g x >的解集为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减C ．若函数()()2F x f x ax =-有两个极值点，则()0,1a ∈D ．若120x x >>时，总有()()()2212122m x x f x f x ->-恒成立，则m 1≥ 【答案】AD 【分析】对A ，根据()ln f x x x =，得到()()ln 1f x xg x x x'+==，然后用导数画出其图象判断；对B ，()1ln f x x '=+，当x e >时，()0f x '>，当0x e <<时，()0f x '<判断；对C ，将函数()()2F x f x ax =-有两个极值点，()ln 120x a x+=+∞在，有两根判断；对D ，将问题转化为22111222ln ln 22m m x x x x x x ->-恒成立，再构造函数()2ln 2m g x x x x =-，用导数研究单调性. 【详解】对A ，因为()()()ln 1ln f x x f x x x g x x x'+===、， ()2ln xg x x-'=， 令()0g x '>，得()0,1x ∈，故()g x 在该区间上单调递增；令()0g x '<，得()1x ∈+∞，，故()g x 在该区间上单调递减. 又当1x >时，()0g x >，()10,11g g e ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 故()g x 的图象如下所示：数形结合可知，()0g x >的解集为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，故正确；对B ，()1ln f x x '=+，当x e >时，()0f x '>，当0x e <<时，()0f x '<，所以函数()f x 在()0,e 上单调递减，在(,)e +∞上单调递增，错误；对C ，若函数()()2F x f x ax =-有两个极值点，即()2ln F x x x ax =-有两个极值点，又()ln 21F x x ax '=-+，要满足题意，则需()ln 2100x ax -+=+∞在，有两根， 也即()ln 120x a x+=+∞在，有两根，也即直线()2y a y g x ==与的图象有两个交点.数形结合则021a <<，解得102a <<. 故要满足题意，则102a <<，故错误； 对D ，若120x x >>时，总有()()()2212122m x x f x f x ->-恒成立， 即22111222ln ln 22m m x x x x x x ->-恒成立， 构造函数()2ln 2m g x x x x =-，()()12g x g x >，对任意的120x x >>恒成立， 故()g x ()0+∞，单调递增，则()ln 10g x mx x '=--≥()0+∞， 恒成立， 也即ln 1x m x+≤，在区间()0,∞+恒成立，则()max 1g x m =≤，故正确. 故选：AD.【点睛】 本题主要考查导数在函数图象和性质中的综合应用，还考查了数形结合的思想、转化化归思想和运算求解的能力，属于较难题.7．对于函数2ln ()x f x x =，下列说法正确的是（ ） A．函数在x =12e B ．函数的值域为1,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C ．()f x 有两个不同的零点D．(2)f f f <<【答案】ABD【分析】 求导，利用导数研究函数的单调区间，进而研究函数的极值可判断A 选项，作出函数()f x 的抽象图像可以判断BCD 选项.【详解】函数的定义域为()0,∞+，求导2431ln 212ln ()x x x x x f x x x ⋅-⋅-'==， 令()0f x '=，解得：x =所以当x e =时，函数有极大值()12f e e =，故A 正确；对于BCD ，令()0f x =，得ln 0x =，即1x =，当x →+∞时，ln 0x >，20x >，则()0f x >作出函数()f x 的抽象图像，如图所示：由图可知函数的值域为1,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，故B 正确；函数只有一个零点，故C 错误；又函数()f x 在),e +∞32e π<<<，则(2)3)f f f π<<，故D 正确；故选：ABD【点睛】方法点睛：本题考查利用导数研究函数单调性，函数的极值，函数的值域，及求函数零点个数，求函数零点个数常用的方法：（1）方程法：令()0f x =，如果能求出解，有几个解就有几个零点．（2）零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[],a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．（3）数形结合法：转化为两个函数的图像的交点个数问题．先画出两个函数的图像，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．8．在单位圆O ：221x y +=上任取一点()P x y ，，圆O 与x 轴正向的交点是A ，将OA 绕原点O 旋转到OP 所成的角记为θ，若x ，y 关于θ的表达式分别为()x f θ=，()y g θ=，则下列说法正确的是（ ）A ．()x fθ=是偶函数，()y g θ=是奇函数；B ．()x f θ=在()0，π上为减函数，()y g θ=在()0，π上为增函数；C ．()()1f g θθ+≥在02πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，上恒成立；D ．函数()()22t fg θθ=+.【答案】ACD【分析】 依据三角函数的基本概念可知cos x θ=，sin y θ=，根据三角函数的奇偶性和单调性可判断A 、B ；根据辅助角公式知()()4f g πθθθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，再利用三角函数求值域可判断C ；对于D ，2cos sin2t θθ=+，先对函数t 求导，从而可知函数t 的单调性，进而可得当1sin 2θ=，cos 2θ=时，函数t 取得最大值，结合正弦的二倍角公式，代入进行运算即可得解．【详解】由题意，根据三角函数的定义可知，x cos θ=，y sin θ=，对于A ，函数()cos f θθ=是偶函数，()sin g θθ=是奇函数，故A 正确；对于B ，由正弦，余弦函数的基本性质可知，函数()cos f θθ=在()0,π上为减函数，函数()sin g θθ=在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭为增函数，在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭为减函数，故B 错误； 对于C ，当0θπ⎛⎤∈ ⎥2⎝⎦，时，3,444πππθ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦()()cos sin 4f g πθθθθθ⎛⎫+=+=+∈ ⎪⎝⎭，故C 正确； 对于D ，函数()()222cos sin2t f g θθθθ=+=+，求导22sin 2cos22sin 2(12sin )2(2sin 1)(sin 1)t θθθθθθ'=-+=-+-=--+， 令0t '>，则11sin 2θ-<<；令0t '<，则1sin 12θ<<， ∴函数t 在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在5,66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，当6πθ=即1sin 2θ=，cos 2θ=时，函数取得极大值1222t =⨯= 又当2θπ=即sin 0θ=，cos 1θ=时，212012t =⨯+⨯⨯=，所以函数()()22t fg θθ=+取得最大值2，故D 正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：考查三角函数的值域时，常用的方法：（1）将函数化简整理为()()sin f x A x ωϕ=+，再利用三角函数性质求值域；（2）利用导数研究三角函数的单调区间，从而求出函数的最值.。

A2.函数的基本性质一、基础知识1.设,A B 是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个数,x 在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应,那么就称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数,记作(),.y f x x A =∈2.单调性：设函数()f x 的定义域为,I 如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ,当12x x <时,都有12()(),f x f x <那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数,区间D 称为()f x 的单增区间.减函数类似定义.3.最值：设函数()f x 的定义域为,I 如果存在实数M 满足①,().x I f x M ∀∈≤②00,().x I f x M ∃∈=则称M 是函数()y f x =的最大值.类似定义最小值.4.奇偶性：如果对于函数()f x 的定义域内的任意一个数,x 都有()(),f x f x =-那么函数()f x 为偶函数, 如果对于函数()f x 的定义域内的任意一个数,x 都有()(),f x f x =--那么函数()f x 为奇函数.5.周期性：如果对于函数()f x 的定义域内的任意一个数,x 存在非零常数,T 使得()(),f x T f x +=那么函数()f x 叫做周期函数.非零常数T 称为函数()f x 的周期.二、典型例题与基本方法1.已知函数1(1)25,2f x x -=-且()6,f a =则实数a 的值为2.已知函数3||3||x y x -=+的定义域为[,](,),a b a b Z ∈值域为[0,1],则满足条件的整数对(,)a b 共有 个.3.设()f x 是定义在R 上的以5为周期的奇函数,若23(2)1,(3),3a a f f a ++>=-则实数a 的取值范围是4.已知定义在R 上的函数()f x ,对任意的实数x ,均有(3)()3,(2)()2f x f x f x f x +≤++≥+且(1)2,f =(2018)f =5.函数2y x =+的值域为6.已知函数32331(),248f x x x x =-++则2018()2018k k f ==∑7.已知函数()f x 是定义在R 上的单调递增函数,且满足对任意的实数x 都有3(()3)4,f f x x -= 则()()f x f x +-=8.已知关于x 的方程||20||mx x --=恰好有两个不同的实数根,则实数m 的取值范围为9.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数,且(1)(1)f x f x +=-,当[0,1]x ∈时,()2,f x x =若在区间[2,3]-上方 程42()0x a f x +-=恰有四个不相等的实数根,则实数a 的取值范围是10.已知函数()f x 由下表给出其中(0,1,2,3,4)k a k =等于01234,,,,a a a a a 中k 出现的次数,则(1)i ii a=-=∑11.定义在R 上的函数()f x ,对任意的x R ∈有()()2()(),f x y f x y f x f y ++-=且(0)0.f ≠(1)判断函数()f x 的奇偶性. (2)若存在非零常数c 使得()0,2c f =试问函数()f x 是否是周期函数？12.设函数(),f x ax =其中0,a >求实数a 的取值范围,使得函数()f x 在区间[0,)+∞上是单调函数.13.已知()f x 是定义在(0,)+∞上的严格递增函数,且当*n N ∈时,*(),(())3,f n N f f n n ∈=求(100)f 的值.B2.练习 姓名：1.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数,()g x 是定义在R 上的奇函数,且32()()1,f x g x x x -=++ 则(2)(2)f g =2.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(3)(),f x f x +=且当3[0,)2x ∈时,3(),f x x =-则11()2f =3.函数()f x 是R 上的奇函数,()g x 是R 上周期为4的周期函数,已知(2)(2)6,f g -=-=且2((2)(2))((2)(2))1,(20(2))2f fg g f g g f ++-+=则(0)g =4.设函数:,f R R →满足(0)1,f =且对任意,,x y R ∈都有(1)()()()2,f xy f x f y f y x +=--+ 则(8)f =5.奇函数()f x 在定义域(1,1)-内是单调递增的,已知2(1)(1)0,f m f m -+-<则实数m 的取值范围是6.设()f x 是连续的偶函数,且当0x >时,()f x 是单调递减的,则满足3()()4x f x f x +=+的所有x 的和为7.设()f x 是[0,1]上的不减函数,且满足①(0)0,f =②()(),32x f x f =③(1)1().f x f x -=-求17()2018f 的值.8.设()f x 是定义在区间[0,1]上的函数,满足(0)0,(1)1,f f ==且对任意的,[0,1],()x y x y ∈≤都有22()(1)()(),2x yf a f x a f y +=-+其中常数a 满足0 1.a <<求实数a 的值.A2.函数的基本性质一、基础知识1.设,A B 是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个数,x 在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应,那么就称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数,记作(),.y f x x A =∈2.单调性：设函数()f x 的定义域为,I 如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ,当12x x <时,都有12()(),f x f x <那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数,区间D 称为()f x 的单增区间.减函数类似定义.3.最值：设函数()f x 的定义域为,I 如果存在实数M 满足①,().x I f x M ∀∈≤②00,().x I f x M ∃∈=则称M 是函数()y f x =的最大值.类似定义最小值.4.奇偶性：如果对于函数()f x 的定义域内的任意一个数,x 都有()(),f x f x =-那么函数()f x 为偶函数, 如果对于函数()f x 的定义域内的任意一个数,x 都有()(),f x f x =--那么函数()f x 为奇函数.5.周期性：如果对于函数()f x 的定义域内的任意一个数,x 存在非零常数,T 使得()(),f x T f x +=那么函数()f x 叫做周期函数.非零常数T 称为函数()f x 的周期.二、典型例题与基本方法1.已知函数1(1)25,2f x x -=-且()6,f a =则实数a 的值为解：令11,2t x =-则2(1).x t =+于是()4(1)54 1.f t t t =+-=-所以()416,f a a =-=所以7.4a =2.已知函数3||3||x y x -=+的定义域为[,](,),a b a b Z ∈值域为[0,1],则满足条件的整数对(,)a b 共有 个.解：6()13||f x x =-+是R 上的偶函数,是[0,)+∞上的减函数,且(0)1,(3)0.f f ==所以定义域可能是[3,0],[3,1],[3,2],[3,3],[2,3],[1,3],[0,3]------,所以满足条件的整数对(,)a b 共有7个.3.设()f x 是定义在R 上的以5为周期的奇函数,若23(2)1,(3),3a a f f a ++>=-则实数a 的取值范围是 解：(2)(3)(3).f f f =-=-所以23(3)(2) 1.3a a f f a ++==-<--所以03a <<或 2.a <- 所以实数a 的取值范围是(,2)(0,3).-∞-4.已知定义在R 上的函数()f x ,对任意的实数x ,均有(3)()3,(2)()2f x f x f x f x +≤++≥+且(1)2,f =(2018)f =解：()3(3)(21)(1)2,f x f x f x f x +≥+=++≥++即()1(1),f x f x +≥+于是(1)1(11)(2)()2,f x f x f x f x ++≥++=+≥+即(1)() 1.f x f x +≥+所以(1)() 1.f x f x +=+即(1)() 1.f x f x +-=所以2017201711(2018)((1)())(1)1(1)201722019.i i f f i f i f f ===+-+=+=+=∑∑5.函数2y x =+的值域为 解：定义域为{|1x x ≤-或1}.x ≥当1x ≥时,2()f x x =+[1,)+∞上单调递增,所以()(1) 1.f x f ≥= 当1x ≤-时,2()(f x x x x x =+=+===()f x 在(,1]-∞-单调递增,1() 1.2f x <≤所以函数2y x =+1(,).2+∞6.已知函数32331(),248f x x x x =-++则2018()2018k k f ==∑ 解：311()(),24f x x =-+则311()()().42g x f x x =-=- 因为311()()().42g x f x x =-=-3331111(1)(1)(1)()().4222g x f x x x x -=--=--=-=-- 所以()(1)0.g x g x +-=即11()(1)0,44f x f x -+--=也就是1()(1).2f x f x +-= 令,2018k x =则1()(1).201820182k k f f +-=即20181()().201820182k k f f -+= 2018201820180002018120192()(()()).20182018201822k k k k k k f f f ===-=+==∑∑∑所以20182019().20184k k f ==∑7.已知函数()f x 是定义在R 上的单调递增函数,且满足对任意的实数x 都有3(()3)4,f f x x -= 则()()f x f x +-=解：令3()3,t f x x =-则() 4.f t =因为()f x 是定义在R 上的单调递增函数,所以()4f t =有唯一解0t t =.即0() 4.f t =所以30()3.t f x x =-于是30()3.f x x t =+令0,x t =则3000()3.f t t t =+因为0() 4.f t =所以30004()3.f t t t ==+因为()f x 是定义在R 上的单调递增函数,所以0 1.t =于是330()33 1.f x x t x =+=+注意到3()13f x x -=是奇函数,于是()1()10f x f x -+--=,所以()() 2.f x f x +-=8.已知关于x 的方程||20||mx x --=恰好有两个不同的实数根,则实数m 的取值范围为 解：方法1 显然根不为0,于是2||2||x x m -=令2()||2||(0)f x x x x =-≠,则()f x 是定义域上的偶函数, 如图,数形结合知道实数m 的取值范围为{|0m m ≥或1}.m =-方法2 ||2,||m x x -=令()||.||m g x x x =-显然()g x 是(,0)(0,)-∞+∞上的偶函数, 所以()2g x =的恰好有两个不同的实数根也就是()2g x =有且只有1个正实数根. 当0,().mx g x x x>=-若0,m >则()g x 在(0,)+∞单调递增,0lim (),lim (),x x f x f x +→+∞→=-∞=+∞所以()2g x =有且只有1个正实数根. 若0m =,()2g x =有且只有1个正实数根2.若0m <,()g x 在上单调递减,在)+∞上单调递增.且g =所以 2.= 所以 1.m =-所以实数m 的取值范围为{|0m m ≥或1}.m =-9.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数,且(1)(1)f x f x +=-,当[0,1]x ∈时,()2,f x x =若在区间[2,3]-上方 程42()0x a f x +-=恰有四个不相等的实数根,则实数a 的取值范围是 解：令1,t x =-则12,x t +=+于是(2)(),f t f t +=所以()f x 是周期为2的周期函数.因为()f x 是偶函数,所以当[1,0]x ∈-时,()2.f x x =- 方程42()0x a f x +-=可化为1()2.2f x x a =+所以()y f x =与122y x a =+的图象 在区间[2,3]-上恰有四个不同的交点. 所以实数a 的取值范围是113(0,][,)42410.已知函数()f x 由下表给出其中(0,1,2,3,4)k a k =等于01234,,,,a a a a a 中k 出现的次数,则(1)i ii a=-=∑解：因为01234,,,,a a a a a 总共5个,k a 从次数的角度看可得01234 5.a a a a a ++++=因为k ka 表示01234,,,,a a a a a 中所有出现的k 的和,所以从数值和的角度看012340123401234.a a a a a a a a a a ++++=++++于是012340123401234 5.a a a a a a a a a a ++++=++++=其中0 5.k a ≤≤若存在某个5,k a =不妨设 5.i a =即i 出现5次,于是01234.a a a a a i =====于是5.i a i ==矛盾. 所以{0,1,2,3,4}.k a ∈因为4012344012345,a a a a a a ≤++++=所以40a =或1.若41a =,则01234,,,,a a a a a 中4出现1次,又44,a ≠所以在0123,,,a a a a 中恰好有1个的值为4. 因为012344012345,1,a a a a a a ++++==,所以012301231,a a a a +++= 于是若4,(0)i a i =>则0123401231i a a a a a =≤+++=矛盾.若04,a =则0出现4次,又41a =,即4出现1次,所以012344a a a a a ++++=矛盾. 于是40,a =所以012301230123 5.a a a a a a a a +++=+++=40a =还表明4出现的次数为0,0至少出现1次,即{0,1,2,3}.k a ∈显然30a =或1.若31,a =则0120124,012 2.a a a a a a ++=++=且3出现1次.于是只能是03,a =所以12121,12 2.a a a a +=+=解得120, 1.a a ==即012343,0,1,1,0a a a a a =====矛盾. 所以30,a =则0120125,012 5.a a a a a a ++=++=因为340,a a ==所以{0,1,2}.k a ∈于是22,a =若不然0121250121212214a a a a a =++=+≤⨯+⨯=矛盾. 所以此时012342,1,2,0,0.a a a a a =====4012340(1) 3.iii aa a a a a =-=-+-+=∑11.定义在R 上的函数()f x ,对任意的x R ∈有()()2()(),f x y f x y f x f y ++-=且(0)0.f ≠(1)判断函数()f x 的奇偶性. (2)若存在非零常数c 使得()0,2c f =试问函数()f x 是否是周期函数？ 解：(1)令0,2(0)2(0)(0),(0) 1.x y f f f f ====令0,x =则()()2(0)()2().f y f y f f y f y +-==所以()().f y f y -= 又()f x 的定义域为,R 所以()f x 是偶函数. (2)令,,22c c x t y =+=则()()2()(),222222c c c c c c f t f t f t f ++++-=+即()()2()().22c c f t c f t f t f ++=+ 又()0,2c f =所以()()0,f t c f t ++=即()().f t c f t +=-(2)()()(())().f t c f t c c f t c f t f t +=++=-+=--=所以函数()f x 是否是周期函数,且2c 是它的一个周期.12.设函数(),f x ax =其中0,a >求实数a 的取值范围,使得函数()f x 在区间[0,)+∞上是单调函数.解：若函数()f x 在区间[0,)+∞上是单调函数.设120,x x ≤<则12()()f x f x -恒为正数或恒为负数.22121212()()))()f x f x ax ax a x x -=-=--=12()a x x --12()x x a =--.12,x x >+所以0 1.<<所以若1a ≥,1,a <≤于是12()()0,f x f x ->此时()f x 在区间[0,)+∞上是单调递减.若01a <<,显然(0)1,f =当0,()1x f x >=的解为220.1a x a =>-于是22(0)()1af f a=-, 所以()f x 在区间[0,)+∞上不单调.所以实数a 的取值范围为[1,).+∞13.已知()f x 是定义在(0,)+∞上的严格递增函数,且当*n N ∈时,*(),(())3,f n N f f n n ∈=求(100)f 的值.解：若(1)1,f =则3((1))(1)f f f ==矛盾,若(1)2,f =则3((1))(2).f f f ==不矛盾. 若(1)3,f ≥则3((1))(3).f f f =≥于是(3)(1).f f ≤矛盾.所以(1) 2.f =(2)((1)) =3,f f f =(3)((2))6,f f f ==(6)((3))9,(9)((6))18,(18)((9))27,f f f f f f f f f ====== (27)((18))54,f f f ==(54)((27))81,(81)((54))162,(162)((81))243.f f f f f f f f f ======因为(81)162,(162)243,f f ==注意到162818124316281.-==-= 又()f x 是定义在(0,)+∞上的严格递增函数,所以(100)16210081181.f =+-=B2.练习1.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数,()g x 是定义在R 上的奇函数,且32()()1,f x g x x x -=++ 则(2)(2)f g =解：32(2)(2)22113,f g -=++=32(2)(2)(2)(2)13(2)(2).f g f g ---=-+-+=-=+所以(2)5,(2)8,(2)(2)40.f g f g ==-=-2.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(3)(),f x f x +=且当3[0,)2x ∈时,3(),f x x =-则11()2f = 解：()f x 的周期为3,111()().22f f =-()f x 又是奇函数,所以3111111()()()(()).22228f f f =-=-=--= 3.函数()f x 是R 上的奇函数,()g x 是R 上周期为4的周期函数,已知(2)(2)6,f g -=-=且2((2)(2))((2)(2))1,(20(2))2f fg g f g g f ++-+=则(0)g = 解：因为()f x 是R 上的奇函数,所以(2)(2)6,(0)0.f f f =--=-=因为()g x 是R 上周期为4的周期函数,所以 (2)(2) 6.g g =-=(20(2))(120)(304)(0).g f g g g =-=-⨯=((2)(2))((2)(2))(0)(12)(0)(0)(0).f f g g f g f g f g g ++-+=+=+=221((2)(2))((2)(2))(0)1,2(20(2))(0)(0)f fg g f g g g f g g ++-+===(0) 2.g =4.设函数:,f R R →满足(0)1,f =且对任意,,x y R ∈都有(1)()()()2,f xy f x f y f y x +=--+则(8)f =解：(1)()()()2,f xy f x f y f y x +=--+(1)()()() 2.f xy f y f x f x y +=--+于是()()()2()()() 2.f x f y f y x f y f x f x y --+=--+即()().f y x f x y +=+令0,y =则()1,f x x =+所以(8)9.f =5.奇函数()f x 在定义域(1,1)-内是单调递增的,已知2(1)(1)0,f m f m -+-<则实数m 的取值范围是 解：22(1)(1)(1),f m f m f m -<--=-21111,m m -<-<-<解得01,m <<所以实数m 的取值范围是(0,1).6.设()f x 是连续的偶函数,且当0x >时,()f x 是单调递减的,则满足3()()4x f x f x +=+的所有x 的和为 解：33()(||)()().44x x f x f x f f x x ++===++所以3||=,4x x x ++于是223=0,4x x x +⎛⎫- ⎪+⎝⎭即33()()0.44x x x x x x +++-=++也就是222(53)(33)0.(4)x x x x x +++-=+因为22530,330x x x x ++=+-=均存在两个实数根,所以12345, 3.x x x x +=-+=-则满足3()()4x f x f x +=+的所有x 的和为8.-7.设()f x 是[0,1]上的不减函数,且满足①(0)0,f =②()(),32xf x f =③(1)1().f x f x -=-求17()2018f 的值. 解：解(1)(10)1(0) 1.f f f =-=-=1(1)1().322f f ==21111()(1)1()1.33322f f f =-=-=-= 因为()f x 是[0,1]上的不减函数,所以112(),[,].233f x x =∈ 因为()(),32x f x f =所以1711731173()()().20182201822018nn f f f ⨯⨯=== 注意到12212018672,20181345.3333⨯=⨯=所以4417117311377()()().201822018162018f f f ⨯== 1377641()1().20182018f f =-6411641311923()()().20182201822018f f f ⨯== 192395()1().20182018f f =-2295195218551()()().201822018420188f f f ⨯=== 于是19237().20188f =6417().201816f =13779().201816f =179().2018256f = 8.设()f x 是定义在区间[0,1]上的函数,满足(0)0,(1)1,f f ==且对任意的,[0,1],()x y x y ∈≤都有 22()(1)()(),2x y f a f x a f y +=-+其中常数a 满足0 1.a <<求实数a 的值. 解：令0,1,x y ==则222101()()(1)(0)(1).22f f a f a f a +==-+= 令10,,2x y ==则22410112()()(1)(0)().422f f a f a f a +==-+= 令1,1,2x y ==则222222411312()()(1)()(1)(1)2.422f f a f a f a a a a a +==-+=-+=- 令13,,44x y ==则2224224641311344()()(1)()()(1)(2)23.2244f f a f a f a a a a a a a +==-+=-+-=-+ 于是26423.a a a =-+因为01,a <<所以42123.a a =-+解得21.2a =于是2a =。

A3.指数对数函数一、基础知识1.n 次方根：若,nx a =则x 叫做a 的n 次方根,其中n 是大于1的正整数.当n 是奇数时,正数的n 次方根是一个正数,负数的n 次方根是一个负数.此时x =当n 是偶数时,正数的n 次方根有两个,x =负数的没有n 次方根.0的n 次方根是0,0.= 2.分数指数幂**10,,,1).0,,,1).m m nnm naa m n N n aa m n N n a-=>∈>==>∈>0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.3.函数(0,xy a a =>且1)a ≠叫做指数函数,其中自变量x 的取值范围是,R 底数a 是一个大于0且不等于1的常量.当1a >时,()xf x a =是R 上的增函数,当01a <<时,()xf x a =是R 上的减函数.4.如果(0,xa N a =>且1)a ≠,那么数x 叫做以a 为底N 的对数,记作log .a x N =其中a 叫做对数的底数,N 叫做真数.常用对数10log lg ,N N =自然对数e log ln N N =. 如果0,a >且1,0,0,0,0a M Nbc ≠>>>>那么 ①log ()log log .a a a MN M N =+ ②log log log .a a a M M N N =- ③log log .m n a a nb b m= ④log log .log c a c b b a =⑤1log .log a b b a= ⑥log .a N a N = 5.把函数log (0,a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数,其中自变量x 的取值范围为(0,).+∞当1a >时,()log a f x x =是(0,)+∞上的增函数,当01a <<时,()log a f x x =是(0,)+∞上的减函数.6.函数(),y f x x A =∈的值域为.B 用y 表示x 得().x y ϕ=如果对于y 在B 中的任何一个值,通过(),x y x ϕ=在A 中都有唯一的值和它对应,那么()x y ϕ=就表示x 是自变量y 的函数.这样的函数(),x y yB ϕ=∈叫做函数(),y f x x A =∈的反函数,记作1().x f y -=互为反函数的两个函数的图象关于直线y x =对称.7.函数自身的对称性①()y f x =满足()()f a x f b x +=-,则()y f x =关于直线2a bx +=轴对称 ②()y f x =满足()()f a x f b x +=--,则()y f x =关于点(,0)2a b+中心对称 ③()y f x =满足()()f a x f b x c ++-=,则()y f x =关于点(,)22a b c+中心对称 两函数相互对称性①()y f a x =+与()y f b x =-的图象关于直线2b ax -=轴对称 ②()y f a x =+与()y f b x =--的图象关于点(,0)2b a-中心对称③()y f a x =+与()y c f b x =--的图象关于点(,)22b a c-中心对称 8.函数图象的常见变换：①平移变换(左加右减上加下减)、②对称变换(轴对称中心对称)、 ③翻折变换(|()|,(||)y f x y f x ==)、④伸缩变换((),()).y mf x y f mx == 二、典型例题与基本方法1.41233322338(4a a b ab a--÷-=+=3.函数212log (2)y x x =-的单调递减区间为4.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数,且在区间[0,)+∞上单调递增,若1(ln )ln (1),2f x f x f ⎛⎫- ⎪⎝⎭<则x 的取值范围是5.已知定义域为R 的函数()f x 满足(1)(1),(2)2018(),f x f x f x f x +=---=-则(2019)f =6.已知函数2()|log |,0,()(),f x x a b f a f b =>>=则当22a b a b+-取最小值时,b =7.已知()f x 是定义在R 上的函数,且(3)(9),(4)(2).f x f x f x f x -=-+=-若当[3,0]x ∈-时,()6,xf x -=则(919)f =8.已知函数()f x 对任意的实数x 均满足()(2)0,f x f x +-=且在[1,)+∞上单调递增,若()(1),g x f x =+且2122(log )3(1)(log ),g a g g a -≤则实数a 的取值范围为9.对于自然数,,()a b c a b c ≤≤和实数,,,,x y z ω若111170,.xyza b c x y z ωω===++=则a b c ++= 10.设函数()3,()(2).xg x h x g x ==(1)解方程()8()(1)0.h x g x h --= (2)令()p x =求20171()2018i ip =∑的值.(3)若(1)()()g x af xg x b++=+是实数集R 上的奇函数,且(()1)(2())0f h x f k g x -+-⋅>对任意实数x 恒成立,求实数k 的取值范围.11.已知函数()y f x =的图象与函数(0xy a a =>且1)a ≠的图象关于y x =对称()()[()(2)1]g x f x f x f =+-若()y g x =在区间1[,2]2上是增函数,求实数a 的取值范围.12.已知()f x 是定义在(0,)+∞上的单调递增函数,对于任意的正数,m n 满足()()(),f m f n f mn +=对于0a b <<满足|()||()|2().2a bf a f b f +==(1)若(2)1,f =解不等式()(8) 2.f x f x +-< (2)求证：32b <<B3.练习 姓名：1.1324lg 2493-=2.函数2()ln(23)f x x x =--的单调递减区间为3.已知函数1()log (01)axf x a b x-=<<+为奇函数,当(1,],x a ∈-函数()f x 的值域是(,1],-∞ 则a b +的值为4.若221,x y+=则x y +的取值范围是5.若对任意的实数1(0,],2x ∈都有22log 0xa x --<恒成立,则实数a 的取值范围是6.已知函数||13||22()21x x x f x +++=+的最大值为,M 最小值为,m 则M m +的值为7.已知函数2431()().3ax x f x -+=(1)若1a =-,求()f x 的单调区间. (2)若()f x 有最大值3,求实数a 的值.8.已知函数22(),.21x xa af x a R ⋅-+=∈+ (1)试判断()f x 的单调性,并证明你的结论. (2)若()f x 为定义域上的奇函数,求函数()f x 的值域.A3.指数对数函数一、基础知识1.n 次方根：若,nx a =则x 叫做a 的n 次方根,其中n 是大于1的正整数.当n 是奇数时,正数的n 次方根是一个正数,负数的n 次方根是一个负数.此时x =当n 是偶数时,正数的n 次方根有两个,x =负数的没有n 次方根.0的n 次方根是0,0.= 2.分数指数幂**10,,,1).0,,,1).m m nnm naa m n N n aa m n N n a-=>∈>==>∈>0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.3.函数(0,xy a a =>且1)a ≠叫做指数函数,其中自变量x 的取值范围是,R 底数a 是一个大于0且不等于1的常量.当1a >时,()xf x a =是R 上的增函数,当01a <<时,()xf x a =是R 上的减函数.4.如果(0,xa N a =>且1)a ≠,那么数x 叫做以a 为底N 的对数,记作log .a x N =其中a 叫做对数的底数,N 叫做真数.常用对数10log lg ,N N =自然对数e log ln N N =. 如果0,a >且1,0,0,0,0a M Nbc ≠>>>>那么 ①log ()log log .a a a MN M N =+ ②log log log .a a a M M N N =- ③log log .m n a a nb b m= ④log log .log c a c b b a =⑤1log .log a b b a= ⑥log .a N a N =5.把函数log (0,a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数,其中自变量x 的取值范围为(0,).+∞当1a >时,()log a f x x =是(0,)+∞上的增函数,当01a <<时,()log a f x x =是(0,)+∞上的减函数.6.函数(),y f x x A =∈的值域为.B 用y 表示x 得().x y ϕ=如果对于y 在B 中的任何一个值,通过(),x y x ϕ=在A 中都有唯一的值和它对应,那么()x y ϕ=就表示x 是自变量y 的函数.这样的函数(),x y yB ϕ=∈叫做函数(),y f x x A =∈的反函数,记作1().x f y -=互为反函数的两个函数的图象关于直线y x =对称.7.函数自身的对称性①()y f x =满足()()f a x f b x +=-,则()y f x =关于直线2a bx +=轴对称 ②()y f x =满足()()f a x f b x +=--,则()y f x =关于点(,0)2a b+中心对称 ③()y f x =满足()()f a x f b x c ++-=,则()y f x =关于点(,)22a b c+中心对称 两函数相互对称性①()y f a x =+与()y f b x =-的图象关于直线2b ax -=轴对称 ②()y f a x =+与()y f b x =--的图象关于点(,0)2b a-中心对称 ③()y f a x =+与()y c f b x =--的图象关于点(,)22b a c-中心对称 8.函数图象的常见变换：①平移变换(左加右减上加下减)、②对称变换(轴对称中心对称)、 ③翻折变换(|()|,(||)y f x y f x ==)、④伸缩变换((),()).y mf x y f mx ==二、典型例题与基本方法1.41233322338(4a a b ab a--÷-=+解：原式111251111123333622333331111111111223333353362(8)2()(2).4()2()()2a a b a b a a a a a a b a a a a ab a b a a a a b a --⋅=÷⨯=-⨯⨯=⨯⨯=++⋅-=8125lg252lg100 4.12⨯⨯==-=--3.函数212log (2)y x x =-的单调递减区间为解：220u x x =->知定义域为(0,2),且22u x x =-在(0,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减.而12log y u =是减函数,则212log (2)y x x =-的单调递减区间为(0,1).4.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数,且在区间[0,)+∞上单调递增,若1(ln )ln (1),2f x f x f ⎛⎫- ⎪⎝⎭<则x 的取值范围是解：函数()f x 是定义在R 上的奇函数,所以()()()()1ln lnln ln 2ln f x f f x f x f x x ⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭, 所以|(ln )|(1).f x f <因为()f x 在[0,)+∞上单调递增,所以1ln 1x -<<,x 的取值范围是1(,e).e5.已知定义域为R 的函数()f x 满足(1)(1),(2)2018(),f x f x f x f x +=---=-则(2019)f = 解：(1)(1)f x f x +=--表明函数()y f x =关于直线0x =对称.即()().f x f x -=(2)2018()f x f x -=-表明函数()y f x =关于点(1,1009)中心对称.于是(1)1009.f =于是(2)2018()2018().f x f x f x -=-=--即(2)2018().f t f t +=- 于是(4)2018(2)2018(2018())().f t f t f t f t +=-+=--=这表明函数()f x 的一个周期为4.(2019)(45051)(1)(1)1009.f f f f =⨯-=-==6.已知函数2()|log |,0,()(),f x x a b f a f b =>>=则当22a b a b+-取最小值时,b =解：2()|log |,0,()(),f x x a b f a f b =>>=所以1,01.ab b a =<<<22221()1211b a b b b a b b b b b b++==-+≥---当且仅当1b b -=即b =此时1b b >,所以01b <<满足题设要求.7.已知()f x 是定义在R 上的函数,且(3)(9),(4)(2).f x f x f x f x -=-+=-若当[3,0]x ∈-时,()6,xf x -=则(919)f =解：(4)(2)f x f x +=-表明()f x 的一个周期为6,(3)(9)(3)f x f x f x -=-=-表明()f x 关于直线0x =对称.于是(919)(61531)(1)(1) 6.f f f f =⨯+==-=8.已知函数()f x 对任意的实数x 均满足()(2)0,f x f x +-=且在[1,)+∞上单调递增,若()(1),g x f x =+且2122(log )3(1)(log ),g a g g a -≤则实数a 的取值范围为解：()f x 关于点(1,0)中心对称,于是()(1)g x f x =+关于点(0,0)中心对称即是奇函数.且()g x 在R 上单调递增.212222(log )3(1)(log )(log )(log ).g a g g a g a g a -≤=-=-所以2(log )(1).g a g ≤所以0 2.a <≤于是实数a 的取值范围为(0,2].9.对于自然数,,()a b c a b c ≤≤和实数,,,,x y z ω若111170,.xyza b c x y z ωω===++=则a b c ++= 解：log 70,log 70,log 70.a b c x y z ωωω===于是707070111log ,log ,log .a b c x y zωωω=== 于是707070707011111log log log log log .a b c abc abc x y z ωωωωωω++=++=== 所以70257.abc ==⨯⨯所以2,5,7.a b c ===于是14.a b c ++=10.设函数()3,()(2).xg x h x g x == (1)解方程()8()(1)0.h x g x h --=(2)令()p x =求20171()2018i ip =∑的值.(3)若(1)()()g x af xg x b++=+是实数集R 上的奇函数,且(()1)(2())0f h x f k g x -+-⋅>对任意实数x 恒成立,求实数k 的取值范围.解：(1)2()8()(1)38390xxh x g x h --=-⋅-=,解得39x=或31x=-(舍).于是 2.x =(2)()xp x ==所以1()(1) 1.x x x x p x p x -+-=+=== 所以2018()() 1.20182018i i p p -+=20172017201720172017201711111120182018(()())()()()()2().2018201820182018201820182018i i i i j i i i i i i j i p p p p p p p ======--+=+=+=∑∑∑∑∑∑ 所以201712017().20182i i p ==∑ (3)1(1)3()()3x xg x a af xg x b b++++==++是R 上的奇函数,则(0)0,(1)(1).f f f =-=-解得3, 1.a b =-= 从而1332()3(1),3131x xx f x +-==-++容易验证()f x 是R 上的增函数. (()1)(2())(()2).f h x f k g x f k g x ->--⋅=⋅-于是()1() 2.h x k g x ->⋅-即2313 2.x x k ->⋅-于是13.3xx k <+因为13 2.3x x +≥所以 2.k <所以实数k 的取值范围为(,2).-∞11.已知函数()y f x =的图象与函数(0xy a a =>且1)a ≠的图象关于y x =对称，()()[()(2)1]g x f x f x f =+-若()y g x =在区间1[,2]2上是增函数,求实数a 的取值范围. 解：()log ,a f x x =令log ,a u x =则()[(1log 2)].a g x u u =-- 若01,a <<则log a u x =是减函数,1[log 2,log ],2a a u ∈于是1log 21log .22a a -≤ 即2log 21log 2.a a -≤-于是1log 21log .a a a ≥-=所以1 2.a≤解得10.2a <≤ 若1,a >则log a u x =是增函数,1[log ,log 2],2aa u ∈于是1log 21log .22a a -≥ 即2log 21log 2.a a -≥-于是1log 21log .a a a ≤-=所以12a≤,在1a >下无解. 综上所述实数a 的取值范围为1(0,].212.已知()f x 是定义在(0,)+∞上的单调递增函数,对于任意的正数,m n 满足()()(),f m f n f mn +=对于0a b <<满足|()||()|2().2a bf a f b f +== (1)若(2)1,f =解不等式()(8) 2.f x f x +-< (2)求证：32b <<解：(1)22(2)(2)(2)(4).f f f f ==+=()(8)((8))f x f x f x x +-=-.于是((8))(4).f x x f -<所以0 80 (8) 4.x x x x >⎧⎪->⎨⎪-<⎩解得04x <<-48.x +<<所以不等式的解集为{|04x x <<-48}.x +<(2)证明：易知(1)0.f =又()f x 在(0,)+∞上单调递增,所以当(0,1)x ∈,()0.f x <当(1,),x ∈+∞()0.f x > 因为|()||()|,f a f b =所以()().f a f b =-(若不然,()(),f a f b =注意到()f x 在(0,)+∞上单调递增,所以,a b =矛盾).从而0()()(),f a f b f ab =+=于是 1.ab =因为0,a b <<所以01a b <<<,从而()0.f b >又1,2a b +>=所以()0.2a b f +>因为|()|2(),2a b f b f +=所以2()2()(()).22a b a b f b f f ++==因为()f x 在(0,)+∞上单调递增,所以2().2a b b +=又 1.ab =所以2042 1.b b <--<结合 1.b >解得32b <<所以32b <<B3.练习 姓名：1.1324lg 2493-=解：13241lg lg 4.24932-=+=-+=2.函数2()ln(23)f x x x =--的单调递减区间为解：f (x ) 的定义域为{}13x x x <->或,根据复合函数单调性满足同增异减的性质知道单调递减区间为(,1)-∞-.3.已知函数1()log (01)axf x a b x-=<<+为奇函数,当(1,],x a ∈-函数()f x 的值域是(,1],-∞ 则a b +的值为 解：10,xb x->+定义域对称,所以 1.b =此时函数()f x 为奇函数. 12()log log (1),11aa x f x x x-==-+++因为01,a <<所以()f x 在(1,]a -上单调递增, 所以()1,f a =于是 1.a =所以a b +=4.若221,x y +=则x y +的取值范围是解：因为122x y =+≥=即2122.4x y +-≤=所以 2.x y +≤-当且仅当1x y ==-时取等. 当,0x y -→-∞→时,.x y +→-∞所以x y +的取值范围是(,2].-∞-5.若对任意的实数1(0,],2x ∈都有22log 0x a x --<恒成立,则实数a 的取值范围是 解：1log (),4x a x >则121101,log ().24a a <<>于是1 1.4a <<实数a 的取值范围是1(,1).4 6.已知函数||13||22()21x x x f x +++=+的最大值为,M 最小值为,m 则M m +的值为 解：||133||||22()2.2121x x x x x f x +++==+++令3||().21x x g x =+()(),g x g x -=-所以()g x 是R 上的奇函数. max min ()()0, 4.g x g x M m +=+=7.已知函数2431()().3ax x f x -+= (1)若1a =-,求()f x 的单调区间. (2)若()f x 有最大值3,求实数a 的值.解：当1a =-时,2431()().3x x f x --+=令243,t x x =--+由于()t x 在(,2)-∞-上单调递增,在(2,)-+∞上单调递减.而1()3ty =在R 上单调递减.依据同增异减,所以函数()f x 的递增区间是(2,),-+∞递减区间是(,2).-∞- (2)令2()1()43,()().3h x h x ax x f x =-+=由于()f x 有最大值3,所以()h x 的最小值为 1.-所以12160,1.4a a a ->=-解得 1.a = 8.已知函数22(),.21x x a a f x a R ⋅-+=∈+ (1)试判断()f x 的单调性,并证明你的结论. (2)若()f x 为定义域上的奇函数,求函数()f x 的值域. 解：(1)()f x 是增函数．证明如下：函数()f x 的定义域为,R 且2().21x f x a =-+ 任取12,,x x R ∈且12.x x <则21212121222(22()().2121(21)()21)x x x x x x f x f x a a --=--+=++++ 因为2x y =在R 上单调递增,且12.x x <所以121221022220,21,0,210.x x x x x x<<->+>+>所以21()()0.f x f x ->即21()().f x f x >所以()f x 在R 上是单调增函数．(2)因为()f x 是定义域上的奇函数,所以()().f x f x -=-即2202121x x a a -⎛⎫-+-= ⎪++⎝⎭对任意实数x 恒成立.化简得22220.2121x x x a ⎛⎫⋅-+= ⎪++⎝⎭所以220, 1.a a -==也可利用(0)0f =求得 1.a = 所以()21.21x f x =-+因为211,x +>所以10 1.21x <<+所以220.21x -<-<+ 所以211121x -<-<+.故函数()f x 的值域为。

3.2 导数与函数的单调性、极值、最值【导学目标】1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)．【重点知识梳理】1．函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．2．函数的极值(1)判断f(x0)是极值的方法一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤①求f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根附近的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．3．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：①求f(x)在(a，b)内的极值；②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．【高频考点突破】考点一利用导数研究函数的单调性例1 已知函数f (x )＝e x －ax －1.(1)求f (x )的单调增区间；(2)是否存在a ，使f (x )在(－2,3)上为减函数，若存在，求出a 的取值范围，若不存在，请说明理由．【拓展提高】(1)利用导数的符号来判断函数的单调性；(2)已知函数的单调性求参数范围可以转化为不等式恒成立问题；(3)f (x )为增函数的充要条件是对任意的x ∈(a ，b )都有f ′(x )≥0且在(a ，b )内的任一非空子区间上f ′(x )不恒为零．应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．【变式探究】(1)设函数f (x )＝13x 3－(1＋a )x 2＋4ax ＋24a ，其中常数a >1，则f (x )的单调减区间为_____________________．(2)已知a >0，函数f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上是单调递增函数，则a 的取值范围是________．考点二 利用导数求函数的极值例2 (2014·福建)已知函数f (x )＝e x －ax (a 为常数)的图象与y 轴交于点A ，曲线y ＝f (x )在点A 处的切线斜率为－1.(1)求a 的值及函数f (x )的极值；(2)证明：当x >0时，x 2<e x .【拓展提升】(1)导函数的零点并不一定就是原函数的极值点．所以在求出导函数的零点后一定要注意分析这个零点是不是原函数的极值点．(2)若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有极值，那么y ＝f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．【变式探究】 设f (x )＝e x1＋ax 2，其中a 为正实数． (1)当a ＝43时，求f (x )的极值点； (2)若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值范围．考点三 利用导数求函数的最值例3 已知函数f (x )＝e x －ax 2－bx －1，其中a ，b ∈R ，e ＝2.71828…为自然对数的底数． 设g (x )是函数f (x )的导函数，求函数g (x )在区间[0,1]上的最小值．【拓展提升】(1)求解函数的最值时，要先求函数y ＝f (x )在(a ，b )内所有使f ′(x )＝0的点，再计算函数y ＝f (x )在区间内所有使f ′(x )＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．(2)可以利用列表法研究函数在一个区间上的变化情况．【变式探究】 已知函数f (x )＝(x －k )e x .(1)求f (x )的单调区间；(2)求f (x )在区间[0,1]上的最小值．【真题感悟】1.（2015高考江苏）已知函数),()(23R b a b ax x x f ∈++=.（1）试讨论)(x f 的单调性；（2）若a c b -=（实数c 是a 与无关的常数），当函数)(x f 有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是),23()23,1()3,(+∞--∞ ，求c 的值.2.（2014·广东卷） 曲线y ＝e －5x ＋2在点(0，3)处的切线方程为________．3.（2014·江西卷） 若曲线y ＝e －x 上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．4.（2014·江西卷） 已知函数f (x )＝(x 2＋bx ＋b )1－2x (b ∈R)．(1)当b ＝4时，求f (x )的极值；(2)若f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，13上单调递增，求b 的取值范围．5.（2014·全国卷） 曲线y ＝x e x－1在点(1，1)处切线的斜率等于( )A ．2eB ．eC ．2D ．16.（2014·新课标全国卷Ⅱ）设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0，0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．37.（2013·新课标全国卷Ⅰ）已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x≤0，ln （x ＋1），x ＞0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2，1]D ．[－2，0]8.（2013·广东卷） 若曲线y ＝kx ＋ln x 在点(1，k )处的切线平行于x 轴，则k ＝________．9.（2013·江西卷） 设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(1)＝________．10.（2013·北京卷） 设L 为曲线C ：y ＝ln x x在点(1，0)处的切线． (1)求L 的方程；(2)证明：除切点(1，0)之外，曲线C 在直线L 的下方．11.（2013·全国卷） 若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1x 在⎝⎛⎭⎫12，＋∞是增函数，则a 的取值范围是( ) A ．[－1，0] B ．[－1，＋∞)C ．[0，3]D ．[3，＋∞)【提升训练】1．与直线2x －y ＋4＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线方程是( )．A ．2x －y ＋3＝0B ．2x －y －3＝0C ．2x －y ＋1＝0D ．2x －y －1＝02．若函数h (x )＝2x －k x ＋k 3在(1，＋∞)上是增函数，则实数k 的取值范围是( )． A ．[)2,-+∞B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－∞，2)3．函数f (x )＝(4－x )e x 的单调递减区间是( )．A ．(－∞，4)B ．(－∞，3)C ．(4，＋∞)D ．(3，＋∞)4．函数f (x )＝ax 3＋bx 在x ＝1a处有极值，则ab 的值为( ) A ．2 B ．－2 C ．3 D ．－35．对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x －1)f ′(x )≥0，则必有( )．A ．f (0)＋f (2)<2f (1)B ．f (0)＋f (2)≤2f (1)C ．f (0)＋f (2)≥2f (1)D ．f (0)＋f (2)>2f (1)6．已知函数f (x )的定义域为[－1,5]，部分对应值如下表．f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示．下列关于函数f (x )的命题：①函数y ＝f (x )是周期函数；②函数f (x )在[0,2]上是减函数；③如果当x ∈[－1，t ]时，f (x )的最大值是2，那么t 的最大值为4；④当1<a <2时，函数y ＝f (x )－a 有4个零点．其中真命题的个数有 ( )．A ．4B ．3C ．2D ．17．函数y ＝x －2sin x 在[0，π]上的递增区间是________．8．函数f (x )＝x 3－3x 2＋1在x ＝________处取得极小值．9．若曲线f (x )＝ax 5＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．10．已知函数y ＝－13x 3＋bx 2－(2b ＋3)x ＋2－b 在R 上不是单调减函数，则b 的取值范围是________．11．设函数f (x )＝ax 3－3x 2，(a ∈R )，且x ＝2是y ＝f (x )的极值点，求函数g (x )＝e x ·f (x )的单调区间．12．已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R)．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋2'()2m x f x ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦ 在区间(t,3)上总不是单调函数，求m 的取值范围．答案例1【变式探究】【答案】(1)(2,2a)(2)(0,3]例2【变式探究】例3【解析】 由f (x )＝e x －ax 2－bx －1，有g (x )＝f ′(x )＝e x －2ax －b .所以g ′(x )＝e x －2a .因此，当x ∈[0,1]时，g ′(x )∈[1－2a ，e －2a ]．当a ≤12时，g ′(x )≥0， 所以g (x )在[0,1]上单调递增，因此g (x )在[0,1]上的最小值是g (0)＝1－b ；当a ≥e 2时，g ′(x )≤0，所以g (x )在[0,1]上单调递减， 因此g (x )在[0,1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b ；当12<a <e 2时，令g ′(x )＝0得x ＝ln(2a )∈(0,1)， 所以函数g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减，在区间[ln(2a )，1]上单调递增．于是，g (x )在[0,1]上的最小值是g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b .综上所述，当a ≤12时，g (x )在[0,1]上的最小值是 g (0)＝1－b ；当12<a <e 2时，g (x )在[0,1]上的最小值是 g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b ；当a ≥e 2时，g (x )在[0,1]上的最小值是 g (1)＝e －2a －b .【变式探究】(2)当k －1≤0，即k ≤1时，f (x )在[0,1]上单调递增，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (0)＝－k ；当0<k －1<1，即1<k <2时，f (x )在[0，k －1]上单调递减，在[k －1,1]上单调递增，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (k －1)＝－e k －1；当k －1≥1，即k ≥2时，f (x )在[0,1]上单调递减，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (1)＝(1－k )e.综上，当k ≤1时，f (x )在[0,1]上的最小值为f (0)＝－k ；当1<k <2时，f (x )在[0,1]上的最小值为f (k －1)＝－e k －1；当k ≥2时，f (x )在[0,1]上的最小值为f (1)＝(1－k )e.【真题感悟】1.（2015高考江苏分）【答案】（1）当时， 在上单调递增；当时， 在，上单调递增，在上单调递减； 当时， 在，上单调递增，在上单调递减． （2）0a =()f x (),-∞+∞0a >()f x 2,3a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭()0,+∞2,03a ⎛⎫- ⎪⎝⎭0a <()f x (),0-∞2,3a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭20,3a ⎛⎫- ⎪⎝⎭1.c =2.（2014·广东卷）【答案】y ＝－5x ＋3 【解析】 本题考查导数的几何意义以及切线方程的求解方法．因为y ′＝－5e －5x ，所以切线的斜率k ＝－5e 0＝－5，所以切线方程是：y －3＝－5(x －0)，即y ＝－5x ＋3.3.（2014·江西卷）【答案】(－ln 2，2) 【解析】 设点P 的坐标为(x 0，y 0)，y ′＝－e －x .又切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，所以－e－x 0＝－2，可得x 0＝－ln 2，此时y ＝2，所以点P 的坐标为(－ln 2，2)．4.（2014·江西卷）【解析】(1)当b ＝4时，f ′(x )＝－5x （x ＋2）1－2x，由f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝0. 所以当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(－2，0)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，故f (x )在x ＝－2处取得极小值f (－2)＝0，在x ＝0处取得极大值f (0)＝4.(2)f ′(x )＝－x [5x ＋（3b －2）]1－2x ，易知当x ∈⎝⎛⎭⎫0，13时，－x 1－2x <0， 依题意当x ∈⎝⎛⎭⎫0，13时，有5x ＋(3b －2)≤0，从而53＋(3b －2)≤0，得b ≤19. 所以b 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，19. 5.（2014·全国卷）【答案】C 【解析】 因为y ′＝(x e x －1)′＝e x －1＋x e x －1，所以y ＝x e x－1在点(1，1)处的导数是y ′|x ＝1＝e 1－1＋e 1－1＝2，故曲线y ＝x e x－1在点(1，1)处的切线斜率是2. 6.（2014·新课标全国卷Ⅱ）【答案】D【解析】 y ′＝a －1x ＋1，根据已知得，当x ＝0时，y ′＝2，代入解得a ＝3. 7.（2013·新课标全国卷Ⅰ）【答案】D 【解析】若x ≤0，|f (x )|＝|－x 2＋2x |＝x 2－2x ，x ＝0时，不等式恒成立，x <0时，不等式可变为a ≥x －2，而x －2<－2，可得a ≥－2；若x >0，|f (x )|＝|ln(x ＋1)|＝ln(x ＋1)，由ln(x ＋1)≥ax ，可得a ≤ln （x ＋1）x 恒成立，令h (x )＝ln （x ＋1）x ，则h ′(x )＝x x ＋1－ln （x ＋1）x 2，再令g (x )＝x x ＋1－ln(x ＋1)，则 g ′(x )＝－x （x ＋1）2<0，故g (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以g (x )<g (0)＝0，可得h ′(x )＝x x ＋1－ln （x ＋1）x 2<0，故h (x )在(0，＋∞)上单调递减，x →＋∞时，h (x )→0， 所以h (x )>0，a ≤0.综上可知，－2≤a ≤0，故选D.8.（2013·广东卷）【答案】－1【解析】 ∵y ′＝k ＋1x，∴y ′|x ＝1＝k ＋1＝0，故k ＝－1. 9.（2013·江西卷）【答案】2【解析】 f (e x )＝x ＋e x ，利用换元法可得f (x )＝ln x ＋x ，f ′(x )＝1x＋1，所以f ′(1)＝2. 10.（2013·北京卷）【解析】(1)设f (x )＝ln x x ，则f ′(x )＝1－ln x x 2. 所以f ′(1)＝1.所以L 的方程为y ＝x －1.(2)令g (x )＝x －1－f (x )，则除切点之外，曲线C 在直线L 的下方等价于g (x )>0(x >0，x ≠1)． g (x )满足g (1)＝0，且g ′(x )＝1－f ′(x )＝x 2－1＋ln x x 2. 当0<x <1时，x 2－1<0，ln x <0，所以g ′(x )<0，故g (x )单调递减；当x >1时，x 2－1>0，ln x >0，所以g ′(x )>0，故g (x )单调递增．所以g (x )>g (1)＝0(x >0，x ≠1)．所以除切点之外，曲线C 在直线L 的下方．11.（2013·全国卷）【答案】D【解析】 f ′(x )＝2x ＋a －1x 2≥0在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上恒成立，即a ≥1x 2－2x 在⎝⎛⎭⎫12 ，＋∞上恒成立，由于y ＝1x 2－2x 在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上单调递减，所以y <3，故只要a ≥3. 【提升训练】1．【解析】设切点坐标为(x 0，x 20)，则切线斜率为2x 0， 由2x 0＝2得x 0＝1，故切线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.【答案】D2．【解析】由条件得h ′(x )＝2＋k x 2＝2x 2＋k x 2≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k ≥－2x 2在(1，＋∞)上恒成立，所以k ∈[)2,-+∞．【答案】A3．【解析】f ′(x )＝-e x ＋(4－x )·e x ＝e x (3－x )，令f ′(x )<0，由于e x >0，∴3－x <0，解得x >3.【答案】D4．【解析】f ′(x )＝3ax 2＋b ，由f ′⎝⎛⎭⎫1a ＝3a ⎝⎛⎭⎫1a 2＋b ＝0，可得ab ＝－3.故选D. 【答案】D5．【解析】不等式(x －1)f ′(x )≥0等价于1010'()0'()0x x f x f x -≥-≤⎧⎧⎨⎨≥≤⎩⎩或可知f (x )在(－∞，1)上递减，(1，＋∞)上递增，或者f (x )为常数函数，因此f (0)＋f (2)≥2f (1)．【答案】C6．【答案】D7．【解析】y ′＝1－2cos x ，令1－2cos x ≥0，得cos x ≤12，解得2k π＋π3≤x ≤2k π＋53π，k ∈R ，又0≤x ≤π，∴π3≤x ≤π. 【答案】⎣⎡⎦⎤π3，π8．【解析】f ′(x )＝3x 2－6x ，令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝2，当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0， 当x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，显然当x ＝2时f (x )取极小值．【答案】29．【答案】(－∞，0)10．【解析】y ′＝－x 2＋2bx －(2b ＋3)，要使原函数在R 上单调递减，应有y ′≤0恒成立，∴Δ＝4b 2－4(2b ＋3)＝4(b 2－2b －3)≤0，∴－1≤b ≤3，故使该函数在R 上不是单调减函数的b 的取值范围是b <－1或b >3.【答案】(－∞，－1)∪(3，＋∞)11．【解析】f ′(x )＝3ax 2－6x ＝3x (ax －2)．因为x ＝2是函数y ＝f (x )的极值点．所以f ′(2)＝0，即6(2a －2)＝0，因此a ＝1，经验证，当a ＝1时，x ＝2是函数f (x )的极值点，所以g (x )＝e x (x 3－3x 2)，g ′(x )＝e x (x 3－3x 2＋3x 2－6x )＝e x (x 3－6x )＝x (x ＋6)(x －6)e x .因为e x >0，所以y ＝g (x )的单调增区间是(－6，0)和(6，＋∞)；单调减区间是(－∞，－6)和(0，6)．12.【解析】 (1)根据题意知，f ′(x )＝()1a x x- (x ＞0)， 当a ＞0时，f (x )的单调递增区间为(0,1]，单调递减区间为(1，＋∞)；当a ＜0时，f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1]；当a ＝0时，f (x )不是单调函数．(2)∵f ′(2)＝－a 2＝1，∴a ＝－2， ∴f (x )＝－2ln x ＋2x －3.∴g (x )＝x 3＋⎝⎛⎭⎫m 2＋2x 2－2x ，∴g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2.∵g (x )在区间(t,3)上总不是单调函数，且g ′(0)＝－2，由题意知：对于任意的t ∈[1,2]，g ′(t )＜0恒成立，∴－373＜m ＜－9.。

2024年高考数学总复习第三章《导数及其应用》测试卷及答案解析(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知曲线y＝f(x)在x＝5处的切线方程是y＝－x＋5，则f(5)与f′(5)分别为() A．5，－1B．－1,5C．－1,0D．0，－1答案D解析由题意可得f(5)＝－5＋5＝0，f′(5)＝－1，故选D.2．已知函数f(x)＝x sin x＋ax，且f1，则a等于()A．0B．1C．2D．4答案A解析∵f′(x)＝sin x＋x cos x＋a，且f1，∴sin π2＋π2cosπ2＋a＝1，即a＝0.3．若曲线y＝mx＋ln x在点(1，m)处的切线垂直于y轴，则实数m等于() A．－1B．0C．1D．2答案A解析f(x)的导数为f′(x)＝m＋1x，曲线y＝f(x)在点(1，m)处的切线斜率为k＝m＋1＝0，可得m＝－1.故选A.4．已知f1(x)＝sin x＋cos x，f n＋1(x)是f n(x)的导函数，即f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，f n＋1(x)＝f n′(x)，n∈N*，则f2020(x)等于()A．－sin x－cos x B．sin x－cos xC．－sin x＋cos x D．sin x＋cos x答案B解析∵f1(x)＝sin x＋cos x，∴f2(x)＝f1′(x)＝cos x－sin x，∴f3(x)＝f2′(x)＝－sin x－cos x，∴f4(x)＝f3′(x)＝－cos x＋sin x，∴f5(x)＝f4′(x)＝sin x＋cos x＝f1(x)，∴f n(x)是以4为周期的函数，∴f2020(x)＝f4(x)＝sin x－cos x，故选B.5．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋ln x(其中e为自然对数的底数)，则f′(e)等于()A ．1B ．－1C ．－eD ．－e －1答案D解析已知f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，其导数f ′(x )＝2f ′(e)＋1x，令x ＝e ，可得f ′(e)＝2f ′(e)＋1e ，变形可得f ′(e)＝－1e ，故选D.6．函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为()A ．(－1,1]B ．(0,1]C ．[1，＋∞)D ．(0，＋∞)答案B解析由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，又由y ′＝x －1x≤0，解得0<x ≤1，所以函数的单调递减区间为(0,1]．7．(2019·沈阳东北育才学校模拟)已知定义在(0，＋∞)上的函数f (x )＝x 2＋m ，g (x )＝6ln x －4x ，设两曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在公共点处的切线相同，则m 值等于()A ．5B ．3C ．－3D ．－5答案D解析f ′(x )＝2x ，g ′(x )＝6x －4，令2x ＝6x－4，解得x ＝1，这就是切点的横坐标，代入g (x )求得切点的纵坐标为－4，将(1，－4)代入f (x )得1＋m ＝－4，m ＝－5.故选D.8．(2019·新乡模拟)若函数f (x )＝a e x ＋sin x 在－π2，0上单调递增，则a 的取值范围为()B ．[－1,1]C ．[－1，＋∞)D ．[0，＋∞)答案D解析依题意得，f ′(x )＝a e x ＋cos x ≥0，即a ≥－cos xe x 对x ∈－π2，0恒成立，设g (x )＝－cos xe x ，x ∈－π2，0，g ′(x )g ′(x )＝0，则x ＝－π4，当x ∈－π2，－g ′(x )<0；当x －π4，0时，g ′(x )>0，故g (x )max ＝g (0，则a ≥0.故选D.9.(2019·河北衡水中学调研)如图所示，某几何体由底面半径和高均为5的圆柱与半径为5的半球面对接而成，该封闭几何体内部放入一个小圆柱体，且小圆柱体的上下底面均与外层圆柱的底面平行，则小圆柱体积的最大值为()A.2000π9B.4000π27C ．81πD ．128π答案B解析小圆柱的高分为上下两部分，上部分同大圆柱一样为5，下部分深入底部半球内设为h (0<h <5)，小圆柱的底面半径设为r (0<r <5)，由于r ，h 和球的半径5满足勾股定理，即r 2＋h 2＝52，所以小圆柱体积V ＝πr 2(h ＋5)＝π(25－h 2)(h ＋5)(0<h <5)，求导V ′＝－π(3h －5)·(h ＋5)，当0<h ≤53时，体积V 单调递增，当53<h <5时，体积V 单调递减．所以当h ＝53时，小圆柱体积取得最大值，V max ＝＝4000π27，故选B.10．(2019·凉山诊断)若对任意的0<x 1<x 2<a 都有x 2ln x 1－x 1ln x 2<x 1－x 2成立，则a 的最大值为()A.12B ．1C ．eD ．2e答案B解析原不等式可转化为1＋ln x 1x 1<1＋ln x 2x 2，构造函数f (x )＝1＋ln x x ，f ′(x )＝－ln xx2，故函数在(0,1)上导数大于零，单调递增，在(1，＋∞)上导数小于零，单调递减．由于x 1<x 2且f (x 1)<f (x 2)，故x 1，x 2在区间(0,1)上，故a 的最大值为1，故选B.11．(2019·洛阳、许昌质检)设函数y ＝f (x )，x ∈R 的导函数为f ′(x )，且f (x )＝f (－x ),f ′(x )<f (x )，则下列不等式成立的是(注：e 为自然对数的底数)()A ．f (0)<e －1f (1)<e 2f (2)B ．e －1f (1)<f (0)<e 2f (2)C ．e 2f (2)<e －1f (1)<f (0)D ．e 2f (2)<f (0)<e －1f (1)答案B解析设g (x )＝e －x f (x )，∴g ′(x )＝－e －x f (x )＋e －x f ′(x )＝e －x (f ′(x )－f (x ))，∵f ′(x )<f (x )，∴g ′(x )<0，∴g (x )为减函数．∵g (0)＝e 0f (0)＝f (0)，g (1)＝e －1f (1),g (－2)＝e 2f (－2)＝e 2f (2)，且g (－2)>g (0)>g (1)，∴e －1f (1)<f (0)<e 2f (2)，故选B.12．(2019·廊坊省级示范高中联考)已知函数f (x )＝－13x 3－12x 2＋ax －b 的图象在x ＝0处的切线方程为2x －y －a ＝0，若关于x 的方程f (x 2)＝m 有四个不同的实数解，则m 的取值范围为()A.－323，－B.－2－323，－2答案D解析由函数f (x )＝－13x 3－12x 2＋ax －b ，可得f ′(x )＝－x 2－x ＋a ，则f (0)＝－b ＝－a ，f ′(0)＝a ＝2，则b ＝2，即f (x )＝－13x 3－12x 2＋2x －2，f ′(x )＝－x 2－x ＋2＝－(x －1)(x ＋2)，所以函数f (x )在(－2,1)上单调递增，在(－∞，－2)，(1，＋∞)上单调递减，又由关于x 的方程f (x 2)＝m 有四个不同的实数解，等价于函数f (x )的图象与直线y ＝m 在x ∈(0，＋∞)，上有两个交点，又f (0)＝－2，f (1)＝－56，所以－2<m <－56，故选D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2019·陕西四校联考)已知函数f (x )＝ln x ＋2x 2－4x ，则函数f (x )的图象在x ＝1处的切线方程为________________．答案x －y －3＝0解析∵f (x )＝ln x ＋2x 2－4x ，∴f ′(x )＝1x ＋4x －4，∴f ′(1)＝1，又f (1)＝－2，∴所求切线方程为y －(－2)＝x －1，即x －y －3＝0.14．已知函数f (x )＝(x －a )ln x (a ∈R )，若函数f (x )存在三个单调区间，则实数a 的取值范围是________．答案－1e2，解析f ′(x )＝ln x ＋1x (x －a )＝ln x ＋1－ax，函数f (x )＝(x －a )ln x (a ∈R )，若函数f (x )存在三个单调区间，则f ′(x )有两个变号零点，即f ′(x )＝0有两个不等实根，即a ＝x (ln x ＋1)有两个不等实根，转化为y ＝a 与y ＝x (ln x ＋1)的图象有两个不同的交点．令g (x )＝x (ln x ＋1)，则g ′(x )＝ln x ＋2，令ln x ＋2＝0，则x ＝1e 2，即g (x )＝x (ln x ＋1)[g (x )]min ＝－1e 2，当x →0时，g (x )→0，当x →＋∞时，f (x )→＋∞，所以结合f (x )的图象(图略)可知a －1e 2，15．(2019·山师大附中模拟)已知函数f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x ，其中e 是自然对数的底数，f (a －1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________．答案－1，12解析由函数f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x f ′(x )＝3x 2－2＋e x ＋1e x ≥－2＋e x ＋1ex ≥－2＋2e x ·1e x＝0，当且仅当x ＝0时等号成立，可得f (x )在R 上递增，又f (－x )＋f (x )＝(－x )3＋2x ＋e －x －e x ＋x 3－2x ＋e x －1e x 0，可得f (x )为奇函数，则f (a －1)＋f (2a 2)≤0，即有f (2a 2)≤0－f (a －1)＝f (1－a )，即有2a 2≤1－a ，解得－1≤a ≤12.16．(2019·湖北黄冈中学、华师附中等八校联考)定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，且对任意的不相等的实数x 1，x 2∈[0，＋∞)有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立，若关于x 的不等式f (2mx －ln x－3)≥2f (3)－f (－2mx ＋ln x ＋3)在x ∈[1,3]上恒成立，则实数m 的取值范围是______________．答案12e ，1＋ln 36解析∵函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，∴函数f (x )为偶函数．又f (2mx －ln x －3)≥2f (3)－f (－2mx ＋ln x ＋3)＝2f (3)－f (2mx －ln x －3)，∴f (2mx －ln x －3)≥f (3)．由题意可得函数f (x )在(－∞，0)上单调递增，在[0，＋∞)上单调递减．∴|2mx －ln x －3|≤3对x ∈[1,3]恒成立，∴－3≤2mx －ln x －3≤3对x ∈[1,3]恒成立，即ln x2x ≤m ≤ln x ＋62x对x ∈[1,3]恒成立．令g (x )＝ln x2x ，x ∈[1,3]，则g ′(x )＝1－ln x 2x 2∴g (x )在[1，e ]上单调递增，在(e,3]上单调递减，∴g (x )max ＝g (e)＝12e .令h (x )＝ln x ＋62x ，x ∈[1,3]，则h ′(x )＝－5－ln x2x 2<0，∴h (x )在[1,3]上单调递减，∴h (x )min ＝h (3)＝6＋ln 36＝1＋ln 36.综上可得实数m 的取值范围为12e ，1＋ln 36.三、解答题(本大题共70分)17．(10分)(2019·辽宁重点高中联考)已知函数f (x )＝x 3＋mx 2－m 2x ＋1(m 为常数，且m >0)有极大值9.(1)求m 的值；(2)若斜率为－5的直线是曲线y ＝f (x )的切线，求此直线方程．解(1)f ′(x )＝3x 2＋2mx －m 2＝(x ＋m )(3x －m )＝0，令f ′(x )＝0，则x ＝－m 或x ＝13m ，当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：f ′(x )＋0－0＋f (x )增极大值减极小值增从而可知，当x ＝－m 时，函数f (x )取得极大值9，即f (－m )＝－m 3＋m 3＋m 3＋1＝9，∴m ＝2.(2)由(1)知，f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋1，依题意知f ′(x )＝3x 2＋4x －4＝－5，∴x ＝－1或x ＝－13，又f (－1)＝6，＝6827，所以切线方程为y －6＝－5(x ＋1)或y －6827＝－即5x ＋y －1＝0或135x ＋27y －23＝0.18．(12分)(2019·成都七中诊断)已知函数f (x )＝x sin x ＋2cos x ＋ax ＋2，其中a 为常数．(1)若曲线y ＝f (x )在x ＝π2处的切线斜率为－2，求该切线的方程；(2)求函数f (x )在x ∈[0，π]上的最小值．解(1)求导得f ′(x )＝x cos x －sin x ＋a ，由f a －1＝－2，解得a ＝－1.此时2，所以该切线的方程为y －2＝－2x ＋y －2－π＝0.(2)对任意x ∈[0，π]，f ″(x )＝－x sin x ≤0，所以f ′(x )在[0，π]内单调递减．当a ≤0时，f ′(x )≤f ′(0)＝a ≤0，∴f (x )在区间[0，π]上单调递减，故f (x )min ＝f (π)＝a π.当a ≥π时，f ′(x )≥f ′(π)＝a －π≥0，∴f (x )在区间[0，π]上单调递增，故f (x )min ＝f (0)＝4.当0<a <π时，因为f ′(0)＝a >0，f ′(π)＝a －π<0，且f ′(x )在区间[0，π]上单调递减，结合零点存在定理可知，存在唯一x 0∈(0，π)，使得f ′(x 0)＝0，且f (x )在[0，x 0]上单调递增，在[x 0，π]上单调递减．故f (x )的最小值等于f (0)＝4和f (π)＝a π中较小的一个值．①当4π≤a <π时，f (0)≤f (π)，故f (x )的最小值为f (0)＝4.②当0<a <4π时，f (π)≤f (0)，故f (x )的最小值为f (π)＝a π.综上所述，函数f (x )的最小值f (x )min，a ≥4π，π，a <4π.19．(12分)(2019·武汉示范高中联考)已知函数f (x )＝4ln x －mx 2＋1(m ∈R )．(1)若函数f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线2x －y －1＝0平行，求实数m 的值；(2)若对于任意x ∈[1，e ]，f (x )≤0恒成立，求实数m 的取值范围．解(1)∵f (x )＝4ln x －mx 2＋1，∴f ′(x )＝4x －2mx ，∴f ′(1)＝4－2m ，∵函数f (x )在(1，f (1))处的切线与直线2x －y －1＝0平行，∴f ′(1)＝4－2m ＝2，∴m ＝1.(2)∵对于任意x ∈[1，e ]，f (x )≤0恒成立，∴4ln x －mx 2＋1≤0，在x ∈[1，e ]上恒成立，即对于任意x ∈[1，e ]，m ≥4ln x ＋1x 2恒成立，令g (x )＝4ln x ＋1x 2，x ∈[1，e ]，g ′(x )＝2(1－4ln x )x 3，令g ′(x )>0，得1<x <14e ，令g ′(x )<0，得14e <x <e ，当x 变化时，g ′(x )，g (x )的变化如下表：x 14(1,e )14e14(e ,e)g ′(x )＋0－g (x )极大值∴函数g (x )在区间[1，e ]上的最大值g (x )max ＝g (14e )＝141244ln e 1(e )+＝2e e ，∴m ≥2ee，即实数m 的取值范围是2ee ，＋20．(12分)已知函数f (x )＝ln x －ax (ax ＋1)，其中a ∈R .(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若函数f (x )在(0,1]内至少有1个零点，求实数a 的取值范围．解(1)依题意知，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝1x －2a 2x －a ＝2a 2x 2＋ax －1－x ＝(2ax －1)(ax ＋1)－x，当a ＝0时，f (x )＝ln x ，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，由f ′(x )>0，得0<x <12a，由f ′(x )<0，得x >12a，函数f (x )当a <0时，由f ′(x )>0，得0<x <－1a ，由f ′(x )<0，得x >－1a ，函数f (x )－1a，＋.(2)①当a ＝0时，函数f (x )在(0，1]内有1个零点x 0＝1;②当a >0时，由(1)知函数f (x )若12a ≥1，即0<a ≤12时，f (x )在(0,1]上单调递增，由于当x →0时，f (x )→－∞且f (1)＝－a 2－a <0知，函数f (x )在(0,1]内无零点；若0<12a <1，即当a >12时，f (x )1上单调递减，要使函数f (x )在(0,1]内至少有1个零点，只需满足0，即ln 12a ≥34，又∵a >12，∴ln 12a <0，∴不等式不成立．∴f (x )在(0,1]内无零点；③当a <0时，由(1)知函数f (x )－1a，＋若－1a ≥1，即－1≤a <0时，f (x )在(0,1]上单调递增，由于当x →0时，f (x )→－∞，且f (1)＝－a 2－a >0，知函数f (x )在(0,1]内有1个零点；若0<－1a <1，即a <－1时，函数f (x )－1a，1上单调递减，由于当x →0时，f (x )→－∞，且当a <－1时，，知函数f (x )在(0,1]内无零点．综上可得a 的取值范围是[－1,0]．21．(12分)(2019·湖北黄冈中学、华师附中等八校联考)在工业生产中，对一正三角形薄钢板(厚度不计)进行裁剪可以得到一种梯形钢板零件，现有一边长为3(单位：米)的正三角形钢板(如图)，沿平行于边BC 的直线DE 将△ADE 剪去，得到所需的梯形钢板BCED ，记这个梯形钢板的周长为x (单位：米)，面积为S (单位：平方米)．(1)求梯形BCED 的面积S 关于它的周长x 的函数关系式；(2)若在生产中，梯形BCED 试确定这个梯形的周长x 为多少时，该零件才可以在生产中使用？解(1)∵DE ∥BC ，△ABC 是正三角形，∴△ADE 是正三角形，AD ＝DE ＝AE ，BD ＝CE ＝3－AD ，则DE ＋2(3－AD )＋3＝9－AD ＝x ，S ＝(3＋AD )·(3－AD )·sin 60°2＝3(12－x )(x －6)4(6<x <9)，化简得S ＝34(－x 2＋18x －72)(6<x <9)．故梯形BCED 的面积S 关于它的周长x 的函数关系式为S ＝34(－x 2＋18x －72)(6<x <9)．(2)∵由(1)得S ＝34(－x 2＋18x －72)(6<x <9)，令f (x )＝S x ＝x －72x ＋x <9)，∴f ′(x )1令f ′(x )＝0，得x ＝62或x ＝－62(舍去)，f (x )，f ′(x )随x 的变化如下表：x(6,62)62(62，9)f ′(x )＋0－f (x )单调递增极大值单调递减∴当x ＝62时，函数f (x )＝S x有最大值，为f (62)＝923－36.∴当x ＝62米时，该零件才可以在生产中使用．22．(12分)(2019·衡水中学调研)已知函数f (x )＝k e x －x 2(其中k ∈R ，e 是自然对数的底数)．(1)若k ＝2，当x ∈(0，＋∞)时，试比较f (x )与2的大小；(2)若函数f (x )有两个极值点x 1，x 2(x 1<x 2)，求k 的取值范围，并证明：0<f (x 1)<1.解(1)当k ＝2时，f (x )＝2e x －x 2，则f ′(x )＝2e x －2x ，令h (x )＝2e x －2x ，h ′(x )＝2e x －2，由于x ∈(0，＋∞)，故h ′(x )＝2e x －2>0，于是h (x )＝2e x －2x 在(0，＋∞)上为增函数，所以h (x )＝2e x －2x >h (0)＝2>0，即f ′(x )＝2e x －2x >0在(0，＋∞)上恒成立，从而f (x )＝2e x －x 2在(0，＋∞)上为增函数，故f (x )＝2e x －x 2>f (0)＝2.(2)函数f (x )有两个极值点x 1，x 2，则x 1，x 2是f ′(x )＝k e x －2x ＝0的两个根，即方程k ＝2x ex 有两个根，设φ(x )＝2x e x ，则φ′(x )＝2－2x ex ，当x <0时，φ′(x )>0，函数φ(x )单调递增且φ(x )<0；当0<x <1时，φ′(x )>0，函数φ(x )单调递增且φ(x )>0；当x >1时，φ′(x )<0，函数φ(x )单调递减且φ(x )>0.作出函数φ(x )的图象如图所示，要使方程k ＝2x e x 有两个根，只需0<k <φ(1)＝2e，故实数k f (x )的两个极值点x 1，x 2满足0<x 1<1<x 2，由f ′(x 1)＝1e x k －2x 1＝0得k ＝112e x x ，所以f (x 1)＝1e x k －x 21＝112e x x 1e x －x 21＝－x 21＋2x 1＝－(x 1－1)2＋1，由于x 1∈(0,1)，所以0<－(x 1－1)2＋1<1，所以0<f (x 1)<1.。

A19.导数分析单调性与极值一、基础知识1.导数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某个区间(,)a b 内,如果()0,f x '>那么()y f x =在这个区间内单调递增,如果()0,f x '<那么()y f x =在这个区间内单调递减.2.函数()y f x =在点x a =的函数值()f a 比它在点x a =附近其他点的函数值都小,()0.f a '=而且在点x a =附近的左侧()0,f x '<右侧()0.f x '>我们把点a 叫做函数()y f x =的极小值点,()f a 叫做函数()y f x =的极小值.函数()y f x =在点x b =的函数值()f b 比它在点x b =附近其他点的函数值都大,()0.f b '=而且在点x b =附近的左侧()0,f x '>右侧()0.f x '<我们把点b 叫做函数()y f x =的极大值点,()f b 叫做函数()y f x =的极大值.3.极大值和极小值统称为极值,极值反映了函数在某一点附近的大小情况,刻画的是函数的局部性质.二、典型例题与基本方法1.函数2()2ln f x x x =-的单调减区间为2函数()(3)e xf x x =-的单调递增区间是( )A. (),2-∞B. ()0,3C. ()1,4D. ()2,+∞3.函数()3223f x x x a =-+的极大值为6,那么a 的值是4.函数x e y x =在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21上的最小值为5.已知函数()122x x a f x +=+在132⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上单调递增,则实数a 的取值范围为6.函数3120172017 1.2x xf x x -⎛⎫+=+-+ ⎪⎝⎭若()()sin cos sin22f f t θθθ++-<对R θ∀∈恒成立,则t 的取 值范围是7.已知函数()f x =若关于x 的方程()()210fx mf x m -+-=恰好有3个不相等的实根,则m 的取值范围是8.已知()f x 是定义域为()0,+∞的单调函数，若对任意的()0,x ∈+∞，都有()13log 4f f x x ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦，且方程()323694f x x x x a -=-+-+在区间(]0,3上有两解，则实数a 的取值范围是9.已知函数()214ln 52f x x x x =+-． (1)求()f x 的极值；(2)若()f x 在区间()21m m +，上单调递减，求实数m 的取值范围．10.已知函数()()ln f x x x m m R =--∈. (1)若函数()f x 有两个零点，求m 的取值范围；(2)证明：当3m ≥-时，关于x 的不等式()()20xf x x e +-<在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立.11.已知函数，其中 为实常数．(1)若是()f x 的极大值点，求()f x 的极小值；(2)若不等式对任意，恒成立，求 的最小值．B19.练习 姓名：1.函数 （ 为自然对数的底数）的递增区间为( )A. B.C.D.2.若函数()ln f x kx x =-在区间()2,+∞单调递增，则k 的取值范围是3.函数()ln xf x x=，则( ) A. x e =为函数()f x 的极大值点 B. x e =为函数()f x 的极小值点 C. 1x e =为函数()f x 的极大值点 D. 1x e=为函数()f x 的极小值点4.已知函数()()22e 2x k f x x x kx =--+(k 是常数，e 是自然对数的底数，e ＝2.71828…)在区间()02，内存在两个极值点，则实数k 的取值范围是5.已知a 是实数,函数()()2f x xx a =-(1)若()13,f '=求a 的值及曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程; (2)求()f x 在区间[]0,2上的最小值.6.已知函数()22ln f x x x ax =-+ ()a R ∈.(1)当2a =时，求()f x 的图象在1x =处的切线方程；(2)若函数()f x 与()g x ax m =-的图象在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的交点，求实数m 的取值范围.A19.导数分析单调性与极值一、基础知识1.导数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某个区间(,)a b 内,如果()0,f x '>那么()y f x =在这个区间内单调递增,如果()0,f x '<那么()y f x =在这个区间内单调递减.2.函数()y f x =在点x a =的函数值()f a 比它在点x a =附近其他点的函数值都小,()0.f a '=而且在点x a =附近的左侧()0,f x '<右侧()0.f x '>我们把点a 叫做函数()y f x =的极小值点,()f a 叫做函数()y f x =的极小值.函数()y f x =在点x b =的函数值()f b 比它在点x b =附近其他点的函数值都大,()0.f b '=而且在点x b =附近的左侧()0,f x '>右侧()0.f x '<我们把点b 叫做函数()y f x =的极大值点,()f b 叫做函数()y f x =的极大值.3.极大值和极小值统称为极值,极值反映了函数在某一点附近的大小情况,刻画的是函数的局部性质.二、典型例题与基本方法1.函数2()2ln f x x x =-的单调减区间为 解析2()2ln f x x x =-的定义域是(0,)+∞2函数()(3)e xf x x =-的单调递增区间是( )A. (),2-∞B. ()0,3C. ()1,4D. ()2,+∞ 解析()()()()'x 332x x x f x e x e x e '=-+-=-.令()0f x '>，解得2x >，故选D. 3.函数()3223f x x x a =-+的极大值为6,那么a 的值是解析：∵函数()3223f x x x a =-+，导数2()660f x x x '=-=，可得0,1.x =导数在0x =的左侧大于0,右侧小于0.故(0)6f a ==为极大值．导数在1x =的左侧小于0,右侧大于0,故(1)f 为极小值．故 6.a =4.函数x e y x =在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21上的最小值为解析由题意，得221()x x x xe e x y e x x --'==，所以当1(,1)2x ∈时0y '<，当(1,2)x ∈时0y '>，所以函数x e y x =在1x =处取得最小值，且最小值为e .5.已知函数()122x x a f x +=+在132⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上单调递增,则实数a 的取值范围为解析令2,82xt t ⎤=∴∈⎥⎣⎦当0a =时()22f x t t ==单调递增，满足题意； 当0a >时()2a f x t t =+在⎫+∞⎪⎪⎭012a ≤⇒<≤； 当0a <时2a t t +在2⎤⎥⎣⎦非负，所以2010a ≥⇒-≤<；综上实数a 的取值范围为[]11-， 6.函数3120172017 1.2x xf x x -⎛⎫+=+-+ ⎪⎝⎭若()()sin cos sin22f f t θθθ++-<对R θ∀∈恒成立,则t 的取 值范围是解析令()320172017xxg x x -=+-，则()3120172017112x xf x xg x -⎛⎫+=+-+=+ ⎪⎝⎭， ()()1111sin cos sin2sin cos sin22222f f t f f t θθθθθθ⎛⎫⎛⎫++-=+-++--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11sin cos sin22222g g t θθθ⎛⎫⎛⎫=+-+--+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即11sin cos sin2022g g t θθθ⎛⎫⎛⎫+-+--< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对R θ∀∈恒成立， 因为()320172017xxg x x -=+-是R 上的奇函数，也是增函数，sin cos sin21t θθθ++-<，令(sin cos ,m m θθ+=≤≤，则2sin cos sin212m m θθθ++-=+-，所以t >，故填)+∞.7.已知函数()f x =若关于x 的方程()()210fx mf x m -+-=恰好有3个不相等的实根,则m 的取值范围是解析当0x >时，()1212x xf x e -==， ()1'x f x e -==， 当102x <<时, ()'0f x >， ()f x 递增，当12x >时， ()'0f x <， ()f x 递减， 当0x <时， ()()1212x x f x e --==， ()'0f x =<，即()f x 递减， 注意x →+∞时， ()0f x →且()0f x >，可作出函数()f x 的图象（简图）如图， ()00f =，12f ⎛⎫=⎪⎝⎭，由()()210fx mf x m -+-=得()1f x =或()1f x m =-，从图象知()1f x =有三个不同的根，因此11m -=或()1f x m =-无实根，即10m -<，所以{|m 1m <或2}m =．8.已知()f x 是定义域为()0,+∞的单调函数，若对任意的()0,x ∈+∞，都有()13log 4f f x x ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦，且方程()323694f x x x x a -=-+-+在区间(]0,3上有两解，则实数a 的取值范围是解析由题意知必存在唯一的正实数a ，满足()13log f x x a +=， ()4f a = ①，∴()13log f a a a += ②，由①②得： 13log 4a a =-，∴413a a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得3a =．故()133log f x x =-，由方程()323694f x x x x a -=-+-+在区间(]0,3上有两解，即有3213log 694x x x x a =-+-+在区间(]0,3上有两解，由()32694g x x x x a =-+-+，可得()23129g x x x =-+'，当13x <<时， ()0g x '<， ()g x 递减；当01x <<时， ()0g x '>， ()g x 递增． ()g x 在1x =处取得最大值a ， ()04g a =-， ()34g a =-， 分别作出13log y x =，和32694y x x x =-+-的图象，可得两图象只有一个交点()1,0，将32694y x x x =-+-的图象向上平移，至经过点()3,1，有两个交点，由()31g =，即41a -=，解得5a =，当05a <≤时，两图象有两个交点，即方程两解．故(0,5]. 9.已知函数()214ln 52f x x x x =+-． (1)求()f x 的极值；(2)若()f x 在区间()21m m +，上单调递减，求实数m 的取值范围． 解析()()()()1441'5x x f x x x x--=+-=，1和4别是()'0f x =的两根，根据单调性可知极大值为()9f 12=-，极小值为()f 48ln212=-. ()2由上得()()()144'5(0)x x f x x x x x --=+-=>，由()'014f x x <⇒<<． 故()f x 的单调递减区间为()14，，212 1 14m m m m ≥⎧⎪∴<+⎨⎪+≤⎩，解得：m 的取值范围： 112⎡⎫⎪⎢⎣⎭，． 10.已知函数()()ln f x x x m m R =--∈. (1)若函数()f x 有两个零点，求m 的取值范围；(2)证明：当3m ≥-时，关于x 的不等式()()20xf x x e +-<在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立.解析（1）令()ln 0f x x x m =--=，∴ln m x x =-；令()ln g x x x =-，∴()11'1xg x x x-=-=， 令()'0g x >，解得01x <<，令()'0g x <，解得1x >，则函数()g x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，∴()()max 11g x g ==-. 要使函数()f x 有两个零点，则函数()g x 的图象与y m =有两个不同的交点， 则1m <-，即实数m 的取值范围为(),1-∞-.（2）∵()()20xf x x e +-<，∴()2ln xm x e x x >-+-.设()()2ln xh x x e x x =-+-， 1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴()()1'1xh x x e x ⎛⎫=--⎪⎝⎭， 设()1x u x e x =-，∴()21'0x u x e x =+>，则()u x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，又1202u ⎛⎫=<⎪⎝⎭， ()110u e =->，∴01,12x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00u x =，即01x e x =，∴00ln x x =-. 当01,2x x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时， ()0u x <， ()'0h x >；当(]0,1x x ∈时， ()0u x >， ()'0h x <； ∴函数()h x 在01,2x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在[]0,1x 上单调递减， ∴()()()00000max 2ln xh x h x x e x x ==-+- ()00000122212x x x x x =-⋅-=--. 设()212x x x ϕ=--，∴()222222'2x x x x ϕ-=-=，当1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， ()'0x ϕ>恒成立，则()x ϕ在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，∴()()13x ϕϕ<=-，即当1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时， ()3h x <-， ∴当3m ≥-时，关于x 的不等式()()20xf x x e +-<在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立.11.已知函数，其中 为实常数． (1)若是 的极大值点，求 ）的极小值；(2)若不等式对任意，恒成立，求 的最小值．解析（1）， 因为 ．由 ，得 ，所以,此时． 则．所以 在上为减函数，在 上为增函数． 所以 为极小值点，极小值．（2）不等式即为 ．所以 ．ⅰ）若 ，则 ，． 当 时取等号；ⅱ）若，则 ，．由（1）可知在上为减函数．所以当时，． 因为．所以于是．B19.练习 姓名：1.函数 （ 为自然对数的底数）的递增区间为( )A. B.C.D.解析 ,由于 恒成立,所以当 时,,则增区间为.,故选择D. 2.若函数()ln f x kx x =-在区间()2,+∞单调递增，则k 的取值范围是解由函数()ln f x kx x =-在区间()2,+∞单调递增可得： ()'0f x ≥在区间()2,+∞恒成立， ()1'f x k x=-，1,2⎫+∞⎪⎭3.函数()ln xf x x=，则( ) A. x e =为函数()f x 的极大值点 B. x e =为函数()f x 的极小值点C. 1x e =为函数()f x 的极大值点D. 1x e=为函数()f x 的极小值点 解析()21ln (0)x f x x x '-=>，当()0f x '=时， x e =，当()0,x e ∈时， ()0f x '>，函数()f x 递增， 当(),x e ∈+∞时， ()0f x '<，函数()f x 递减，所以当x e =时， ()f x 取得极大值，则x e =为函数的极大值点，故选择A.4.已知函数()()22e 2x k f x x x kx =--+(k 是常数，e 是自然对数的底数，e ＝2.71828…)在区间()02，内存在两个极值点，则实数k 的取值范围是 解析由函数的解析式可知： ()()()'11x f x ex k x =-+- ， 函数的极值点满足： ()()()()()'110,11x x f x e x k x e x k x =-+-=∴-=- ，很明显1x = 是函数的一个极值点，函数的另外一个极值点满足： ()(),0,11,2x k e x =∈⋃ ，函数存在两个极值点，则函数y k = 的图象与函数xy e = 的图象在区间()()0,11,2⋃ 有一个交点， 故： ()()21,,k e e e ∈⋃ .5.已知a 是实数,函数()()2f x x x a =-(1)若()13,f '=求a 的值及曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程;(2)求()f x 在区间[]0,2上的最小值.解析：（1） ()232f x x ax '=-因为()1323,f a =-=所以0.a =当0a =时, ()()11,13,f f '== 所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为320.x y --=（2）由（1）可知, ()232f x x ax '=-.令()0,f x '=解得1220,.3a x x == 当20,3a ≤即0,a ≤ ()f x 在[]0,2上单调递增,从而()min 00.f f == 当22,3a ≥即3,a ≥ ()f x 在[]0,2上单调递减,从而()min 284.f f a ==- 当202,3a <<即03,a << ()f x 在20,3a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,在2,23a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增, 从而3min 24.327a a f f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭综上所述,6.已知函数()22ln f x x x ax =-+ ()a R ∈. (1)当2a =时，求()f x 的图象在1x =处的切线方程；(2)若函数()f x 与()g x ax m =-的图象在1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的交点，求实数m 的取值范围. 解析（1）当2a ＝时，f (x )＝2ln x －x 2＋2x ，则f ′(x )＝2x－2x ＋2， 所以切点坐标为(1,1)，切线的斜率k ＝f ′(1)＝2， 则切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.（Ⅱ）由题意可得：2ln x －x 2＋m =0有两个不同的根，令h (x )＝2ln x －x 2＋m ，则h ′(x )＝2x －2x ＝()()211x x x -+-， ∵x ∈，∴h ′(x )＝0时，x ＝1. ∴当＜x ＜1时，h ′(x )＞0；当1＜x ＜e 时，h ′(x )＜0.故h (x )在x ＝1处取得极大值h (1)＝m －1. 又1e h ⎛⎫⎪⎝⎭＝m －2－，h (e)＝m ＋2－e 2， ()221140h e h e e e ⎛⎫∴-=-+< ⎪⎝⎭，则()1h e h e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，()h x ∴在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为()h e ， ()h x ∴在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点的条件是()2110{ 1120h m h m e e =->⎛⎫=--≤ ⎪⎝⎭，解得2112m e <≤+， ∴实数m 的取值范围是211,2e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦.。