河南省洛阳市2015届高三第三次统一考试数学(文)试题

2014—2015学年高中三年级第二次统一考试数学试卷（文）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名，考号填写在答题卷上． 2．考试结束，将答题卷交回．一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．1．已知i 是虚数单位，若复数z 满足zi ＝1＋i ，则复数z 的实部与虚部之和为A ．0B ．1C ．D ．42．已知集合A ＝{1，2m ＋1}，B ＝{2，4}，则“m A ∩B ＝{4}”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．若α∈[0，2π）sin α＋cos α的α的取值范围是A ．[0，2π] B ．[0，π] C ．[0，34π] D ．[0，34π]∪[74π，2π）4．曲线f （x ）＝21x ax ＋＋在点（1，f （1））处切线的倾斜角为34π，则实数a ＝A ．1B ．－1C ．7D ．－75．过抛物线24y x ＝的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，若｜AF ｜＝5，则｜BF ｜＝ A ．14 B ．1 C ．54D ．2 6．已知圆C ：224x y ＋＝，若点P （0x ，0y ）在圆C 外，则直线l : 004x x y y ＋＝与圆C 的位置关系为A ．相离B ．相切C ．相交D ．不能确定 7．执行下面的程序，若输入的x ＝2，则输出的所有x 的值的和为A ．6B ．21C ．101D ．1268．已知不等式2,0,x y x y m⎧⎪⎨⎪⎩＋≤≥≥表示的平面区域的面积为2，则21x y x ＋＋＋的最小值为A ．32 B ．43C ．2D ．4 9．若函数y ＝f （2x ＋1）是偶函数，则函数y ＝f （2x ）的图象的对称轴方程是A ．x ＝－1B ．x ＝－12 C ．x ＝12D ．x ＝1 10．已知P 是△ABC 所在平面内一点，若AP uu u r ＝34BC uu ur －23BA uu r ，则△PBC 与△ABC 的面积的比为 A ．13 B ．12 C ．23 D ．3411．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体 的三视图，则该几何体的各个面中最大面的面积为A ．1 BCD ．12．已知函数f （x ）＝,1,1.x e x f x x ⎧⎨⎩≤（－1）,＞若方程f （x ）－kx ＝1有两个不同实根，则实数k 的取值范围为A ．（13e －，e ）B ．（12e －，1）∪（1，e －1] C ．（13e －，1）∪（1，e ） D ．（12e －，e －1]第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分．13．双曲线2214x b2y －＝（b ＞0）的离心率为，则此双曲线的焦点到渐近线的距离为__________。

洛阳市2016-2017学年高中三年级第三次统一考试数学试卷（理）本试卷分第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分：共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上． 2．考试结束，将答题卡交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1·已知复数22z = ⎪⎝⎭（其中i 为虚数单位），则z =( ) A ．1B ．-iC ．-1D ．i2．已知集合22194x y M x ⎧⎫⎪⎪=+=⎨⎬⎪⎪⎩⎭，132x y N y ⎧⎫=+=⎨⎬⎩⎭，M ∩N =( )A ．∅B ．{(3,0),(0,2)}C ．[一2,2]D ．[一3,3]3.已知a 、b ∈R ，则“ab =1”是“直线“ax +y -l =0和直线x +by -1=0平行”的( ) A ．充分不必要条件 B ．充要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分又不必要条件4．利用如图算法在平面直角坐标系上打印一系列点，则打印的点在圆x 2+y 2=25内的个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．55．已知数列{}n a 为等差数列，且22016201804a a x dx +=-⎰，则2017a 的值为( )A ．2πB ．2πC ．2πD ．π6．祖冲之之子祖暅是找国南北朝时代伟大的科学家，他在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是，如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．此即祖咂原理，利用这个原理求球的体积时，需要构造一个满足条件的几何体，已知该几何体三视图如图所示，用一个与该几何体的下底面平行相距为h (0<h <2)的平面截该几何体，则截面面积为( )A ．4πB ．2h πC ．()22h π-D ．()24h π-7．已知随机变量()1,1Z N :，其正态分布密度曲线如图所示，若向正方形OABC 中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为( )A ．6038B ．6587C ．7028D ．7539附：若()2,Z N μσ:，则：()0.6826;P Z μσμσ-<≤+=()220.9544;P Z μσμσ-<≤+=()330.9974;P Z μσμσ-<≤+=8．已知实数x ，y 满足若目标函数Z =ax +y 的最大值为39a +，最小值为33a -，则实数a 的取值范围是( )A A ．{}11a a -≤≤B ．{}1a a ≤-C ．{}11a a a ≤-≥或D ．{}1a a ≥9．若空间中四个不重合的平面1234,,,αααα满足122334,,αααααα⊥⊥⊥，则下列结论一定正确的是( ) A ．14αα⊥B ．14ααPC ．14αα与既不垂直也不平行D ．14αα与的位置关系不确定10．设()52501252x a a x a x a x -=++++L ，则2413++a a a a 的值为( ) A ．6160-B ．122121-C ．34-D ．90121-11.已知点A 足抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点B 为抛物线的焦点，P 在抛物线上且满足PA m PB =，当m 取最大值时，点P 恰好在以A ，B 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为( ) A1BC．12D112．已知函数()()()()22132228122=x x x f x e x x x -⎧--≤⎪⎨⎪-+->⎩，若在区间(1,)∞上存在()2n n ≥个不同的数123,,,,n x x x x L ，使得()()()1212n nf x f x f x x x x ==L成立，则n 的取值集合是( ) A ．{2,3,4,5}B ．{2,3}C ．{2,3,5}D ．{2,3,4}第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13.已知1=a r ，2b =r，a r 与b r 的夹角为120°，0a b c ++=r r r r ，则a r 与c r 的夹角为 ．14.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，()12=n n S b a ---则ab= ． 15．已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB =3，AC =4，AB ⊥AC ，AA 1=2,则该三棱柱内切球的表面积与外接球的表面积的和为 ．16．已知函数()22f x x =+，点O 为坐标原点，点()()()*,n A n f n n N ∈，向量i r =(0，1)，n θ是向量n OA u u u u r 与i r 的夹角，则使得312123cos cos cos cos sin sin sin sin n nt θθθθθθθθ++++<L 恒成立的实数t 的最小值为 ．三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤． 17．（本小题满分12分） 已知函数())()cos cos =f x xx x m m R -+∈，将()y f x =的图象向左平移6π个单位后得到g (x )的图象，且y =g (x )在区间,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的最小值为32． (1)求m 的值；(2)在锐角△ABC 中，若1322C g ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，求sin A +cos B 的取值范围．18.（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠BAC =90°，AB =AC =AA 1=2，E 是BC 中点． (1)求证：A 1B //平面AEC 1；(2)在棱AA 1上存在一点M ，满足B 1M ⊥C 1E ，求平面MEC 1与平面ABB 1A 1所成锐二面角的余弦值．19.（本小题满分12分）某市为了了解全民健身运动开展的效果，选择甲、乙两个相似的小区作对比，一年前在甲小区利用体育彩票基金建设了健身广场，一年后分别在两小区采用简单随机抽样的方法抽取20人作为样本，进行身体综合素质测试，测试得分分数的茎叶图（其中十位为茎，个们为叶）如图：(1)求甲小区和乙小区的中位数；(2)身体综合素质测试成绩在60分以上(含60)的人称为“身体综合素质良好”，否则称为“身体综合素质一般”。

2014-2015学年河南省洛阳市高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题意的）1．设集合A={0，1}，B={﹣1，0，m﹣2}，若A⊆B，则实数m=（）A．0 B．1C．2D．3考点：集合的包含关系判断及应用．专题：计算题；集合．分析：本题利用集合的包含关系得到元素与元素的关系，从而求出参数的值．解答：解：∵集合A={0，1}，∴1∈A．∵A⊆B，∴1∈B．∵B={﹣1，0，m﹣2}，∴1=m﹣2．∴m=3．故选：D．点评：本题考查的知识点是集合与元素的关系，本题思维量小，过程简单，是容易题．2．设复数z1=1+i，z2=2+bi，其中i为虚数单位，若z1•z2为实数，则实数b=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1D．2考点：复数的基本概念．专题：数系的扩充和复数．分析：由题意可得z1•z2=2﹣b+（2+b）i，由实数的定义可得2+b=0，解方程可得．解答：解：∵z1=1+i，z2=2+bi，∴z1•z2=（1+i）（2+bi）=2﹣b+（2+b）i，∵z1•z2为实数，∴2+b=0，解得b=﹣2故选：A点评：本题考查复数的基本概念，属基础题．3．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S8=32，则a2+a7=（）A．1 B．4C．8D．9考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：利用等差数列的通项公式和前n项和公式求解．解答：解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，S8=32，∴，∴a2+a7=8．故选：C．点评：本题考查等差数列的两项和的求法，是基础题，解题时要注意等差数列的性质的合理运用．4．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=3，AD=，AA1=h，则异面直线BD与B1C1所成的角为（）A．30°B．60°C．90°D．不能确定，与h有关考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：由B1C1∥BC，知∠DBC是异面直线BD与B1C1所成的角（或所成的角的平面角），由此能求出异面直线BD与B1C1所成的角为60°．解答：解：∵B1C1∥BC，∴∠DBC是异面直线BD与B1C1所成的角（或所成的角的平面角），∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=3，AD=，AA1=h，∴tan∠DBC===，∴异面直线BD与B1C1所成的角为60°．故选：B．点评：本题考查异面直线所成的角的大小的求法，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．5．某程序的框图如图所示，运行该程序时，若输入的x=0.1，则运行后输出的y值是（）A．﹣1 B．0.5 C．2D．10考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：按照程序框图的流程，判断输入的值是否满足判断框中的条件，“是”按y=lgx求出y．解答：解：当x=0.1时，满足第一个判断框中的条件，执行“是”，也满足第二个判断框中的条件，执行“是”，将x=0.1代入y=lgx得y=﹣1故选A．点评：本题考查解决程序框图的选择结构时，关键是判断出输入的值是否满足判断框中的条件．6．抛物线y2=4x的焦点到双曲线的渐近线的距离是（）A．B．C．1D．考点：抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据抛物线的标准方程，算出抛物线的焦点F（1，0）．由双曲线标准方程，算出它的渐近线方程为y=±x，化成一般式得：，再用点到直线的距离公式即可算出所求距离．解答：解：∵抛物线方程为y2=4x∴2p=4，可得=1，抛物线的焦点F（1，0）又∵双曲线的方程为∴a2=1且b2=3，可得a=1且b=，双曲线的渐近线方程为y=±，即y=±x，化成一般式得：．因此，抛物线y2=4x的焦点到双曲线渐近线的距离为d==故选：B点评：本题给出抛物线方程与双曲线方程，求抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离，着重考查了抛物线、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．7．已知f（x）在R上是奇函数，且满足f（x+4）=f（x），当x∈（0，2）时，f（x）=2x2，则f（2015）=（）A．2 B．﹣2 C．8D．﹣8考点：函数解析式的求解及常用方法．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由题意知函数的周期为4，故f（2015）=f（﹣1），又由奇函数可求f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2．解答：解：∵f（x+4）=f（x），∴f（2015）=f（504×4﹣1）=f（﹣1），又∵f（x）在R上是奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2．故选B．点评：本题考查了函数的奇偶性与周期性的应用，属于基础题．8．已知向量=（cosθ，sinθ），θ∈（，π），=（0，﹣1），则与的夹角等于（）A．θ﹣B．+θC．﹣θD．θ考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：由向量夹角公式可得cos＜，＞==﹣sinθ=cos（），再由∈（，π），＜，＞∈[0，π]，y=cox在[0，π]上单调递减，可得结论．解答：解：•=cosθ×0+sinθ×（﹣1）=﹣sinθ，||=1，||=1，∴cos＜，＞==﹣sinθ=cos（），∵θ∈（，π），∴∈（，π），又＜，＞∈[0，π]，y=cox在[0，π]上单调递减，∴＜，＞=，故选C．点评：本题考查向量的数量积运算、夹角公式及诱导公式等知识，属基础题．9．直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B 两点，则“k=1”是“△OAB的面积为”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：直线与圆；简易逻辑．分析：根据直线和圆相交的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．解答：解：若直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B 两点，则圆心到直线距离d=，|AB|=2，若k=1，则|AB|=，d=，则△OAB的面积为×=成立，即充分性成立．若△OAB的面积为，则S==×2×==，解得k=±1，则k=1不成立，即必要性不成立．故“k=1”是“△OAB的面积为”的充分不必要条件．故选：A．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用三角形的面积公式，以及半径半弦之间的关系是解决本题的关键．10．x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为7，则的最小值为（）A．14 B．7C．18 D．13考点：基本不等式；简单线性规划．专题：计算题．分析：作出可行域，得到目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最优解，从而得到3a+4b=7，利用基本不等式即可．解答：解：∵x、y满足约束条件，目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0），作出可行域：由图可得，可行域为△ABC区域，目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）经过可行域内的点C时，取得最大值（最优解）．由解得x=3，y=4，即C（3，4），∵目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为7，∴3a+4b=7（a＞0，b＞0），∴=（3a+4b）•（）=（9++16+）≥（25+2）=×49=7（当且仅当a=b=1时取“=”）．故选B．点评：本题考查线性规划，作出线性约束条件下的可行域，求得其最优解是关键，也是难点，属于中档题．11．若函数f（x）=x2﹣ax+lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）C．[2，+∞） D ．（2，+∞）考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：求出原函数的导函数，由导函数等于0得到a=x+，利用基本不等式求得x+的范围得答案．解答：解：∵f（x）=x2﹣ax+lnx，∴f'（x）=x﹣a+，由题意可知存在实数x＞0，使得f'（x）=x﹣a+=0，即a=x+成立，∴a=x+≥2（当且仅当x=，即x=1时等号取到），∴实数a的取值范围是[2，+∞）．故选：C．点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，过曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是中档题．12．已知定义在实数集R上的函数f（x）满足f（1）=2，且f（x）的导数f′（x）在R上专题：计算题．分析：构造函数g（x）=f（x）﹣x﹣1，g'（x）=f′（x）﹣1＜0，从而可得g（x）的单调性，结合f（1）=2，可求得g（1）=1，然后求出不等式的解集即可．解答：解：令g（x）=f（x）﹣x﹣1，∵f′（x）＜1（x∈R），∴g′（x）=f′（x）﹣1＜0，∴g（x）=f（x）﹣x﹣1为减函数，又f（1）=2，∴g（1）=f（1）﹣1﹣1=0，∴不等式f（x）＜x+1的解集⇔g（x）=f（x）﹣x﹣1＜0=g（1）的解集，即g（x）＜g（1），又g（x）=f（x）﹣x﹣1为减函数，∴x＞1，即x∈（1，+∞）．故选A．点评：本题利用导数研究函数的单调性，可构造函数，考查所构造的函数的单调性是关键，也是难点所在，属于中档题．二、填空题（每小题5分，共20分）13．等比数列{a n}的各项都是正数，若a3a15=64，则log2a9等于3．考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意和等比数列的性质可得a9=8，代入要求的式子化简即可．解答：解：∵等比数列{a n}的各项都是正数，且a3a15=64，∴a 9===8，∴log2a9=log28=3故答案为：3点评：本题考查等比数列的性质，涉及对数的运算，属基础题．14．在面积为S的△ABC内任取一点P，则△PAB的面积大于的概率为．考点：几何概型；诱导公式的作用；二倍角的正弦；二倍角的余弦．专题：概率与统计．分析：设DE是△ABC平行于BC的中位线，可得当P点位于△ABC内部的线段DE上方时，能使△PAB的面积大于，因此所求的概率等于△ADE的面积与△ABC的面积比值，根据相似三角形的性质求出这个面积比即可．解答：解：分别取AB、AC中点D、E，连接DE∵DE是△ABC的中位线，∴DE上一点到BC的距离等于A到BC距离的一半设A到BC的距离为h，则当动点P位于线段DE上时，△PAB的面积S=BC•h=S△ABC=S因此，当点P位于△ABC内部，且位于线段DE上方时，△PAB的面积大于．∵△ADE∽△ABC，且相似比=∴S△ADE：S△ABC=由此可得△PAB的面积大于的概率为P==．故答案为：．点评：本题给出三角形ABC内部一点P，求三角形PBC面积大于或等于三角形ABC面积的一半的概率，着重考查了相似三角形的性质和几何概型的计算等知识，属于基础题．15．如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体的体积为．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：三视图复原的几何体是四棱锥，利用几何体的数据求解几何体的体积即可．解答：解：由题意可知三视图复原的几何体是底面为边长为2的正方形，一条侧棱垂直底面正方形的顶点的四棱锥，并且棱锥的高为2，所以几何体的体积为：=．故答案为：．点评：本题考查三视图与几何体的直观图的关系，考查空间想象能力与计算能力．16．已知函数f（x）=1﹣ax﹣x2，若对于∀x∈[a，a+1]，都有f（x）＞0成立，则实数a的取值范围是（﹣，﹣）．考点：二次函数在闭区间上的最值．专题：函数的性质及应用．分析：根据二次函数的性质结合函数的图象得到不等式组，解出即可．解答：解：令f（x）=1﹣ax﹣x2=0，∴x1=，x2=，若f（x）＞0成立，∴，解得：﹣＜a＜﹣．故答案为：（﹣，﹣）．点评：本题考查了二次函数的性质，函数的最值问题，是一道中档题．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知c=2，C=．（1）若△ABC的面积等于，求a，b；（2）若cosA=，求b．考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：（1）由三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，将sinC的值代入求出ab的值，再由余弦定理列出关系式，利用完全平方公式变形后，将ab的值代入即可求出a+b的值，由此求得a、b的值．（2）由cosA=，求得sinA=，由正弦定理求得a的值．再求得sinB=sin（A+C）的值，由=，求得b的值．解答：解：（1）∵S△ABC=absinC==，∴ab=4①．由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab，即4=（a+b）2﹣12，则a+b=4 ②．由①②求得a=b=2．（2）∵cosA=，∴sinA=，由正弦定理可得=，即=，求得a=．又sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=+=，故由=，即=，求得b=．点评：此题考查了正弦定理、余弦定理的应用，三角形的面积公式，以及完全平方公式的运用，属于基础题．18．（12分）年龄在60岁（含60岁）以上的人称为老龄人，某小区的老龄人有350人，他理”，﹣1代表“生活不能自理”．（Ⅰ）随机访问该小区一位80岁以下的老龄人，该老人生活能够自理的概率是多少？（Ⅱ）按健康指数大于0和不大于0进行分层抽样，从该小区的老龄人中抽取5位，并随机地访问其中的3位．求被访问的3位老龄人中恰有1位老龄人的健康指数不大于0的概率．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）根据80岁以下老龄人的人数，即可估计该地区80岁以下老龄人生活能够自理的概率．（Ⅱ）由分层抽样方法可得被抽取的5位老龄人中有4位健康指数大于0，有1位健康指数不大于0，设被抽取的4位健康指数大于0的老龄人为1，2，3，4，健康指数不大于0的老龄人为B；列举从这五人中抽取3人的结果，由古典概型公式计算可得答案．解答：解：（Ⅰ）该小区80岁以下老龄人生活能够自理的频率为，所以该小区80岁以下老龄人生活能够自理的概率约为．（Ⅱ）该小区健康指数大于0的老龄人共有280人，健康指数不大于0的老龄人共有70人，由分层抽样可知，被抽取的5位老龄人中有4位健康指数大于0，有1位健康指数不大于0．设被抽取的4位健康指数大于0的老龄人为1，2，3，4，健康指数不大于0的老龄人为B．从这五人中抽取3人，结果有10种：（1，2，3），（1，2，4），（1，2，B），（1，3，4），（1，3，B），（1，4，B），（2，3，4），（2，3，B），（2，4，B），（3，4，B，），其中恰有一位老龄人健康指数不大于0的有6种：（1，2，B），（1，3，B），（1，4，B），（2，3，B），（2，4，B），（3，4，B，），∴被访问的3位老龄人中恰有1位老龄人的健康指数不大于0的概率为．点评：本题考查概率的计算，考查学生利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，属于中档题．19．（12分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC，点D是AB的中点．（1）求证：BC1∥平面CA1D；（2）求证：平面CA1D⊥平面AA1B1B；（3）若底面ABC为边长为2的正三角形，BB1=，求三棱锥B1﹣A1DC的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）连接AC1交A1C于点E，连接DE，由直三棱柱的几何特征及三角形中位线定理，可得DE∥BC1，进而由线面平行的判定定理得到结论；（2）先利用面面垂直的性质定理证明直线CD⊥平面AA1B1B，再由面面垂直的判定定理证明所证结论即可（3）三棱锥B 1﹣A1DC的体积=，求出棱锥的底面面积和高，代入棱锥体积公式，可得答案．解答：证明：（1）连接AC1交A1C于点E，连接DE∵四边形AA1C1C是矩形，则E为AC1的中点又∵D是AB的中点，DE∥BC1，又DE⊂面CA1D，BC1⊄面CA1D，∴BC1∥平面CA1D；（2）AC=BC，D是AB的中点，∴AB⊥CD，又∵AA1⊥面ABC，CD⊂面ABC，∴AA1⊥CD，∵AA1∩AB=A，∴CD⊥面AA1B1B，又∵CD⊂面CA1D，∴平面CA1D⊥平面AA1B1B（3）则由（2）知CD⊥面ABB1B，∴三棱锥B1﹣A1DC底面B1A1D上的高就是CD=，又∵BD=1，BB 1=，∴A1D=B1D=A1B1=2，=，∴三棱锥B 1﹣A1DC的体积===1点评：本题主要考查了直棱柱中的线面、面面关系，线面及面面平行、垂直的判定定理和性质定理的应用，棱锥的体积，推理论证的能力和表达能力，注意证明过程的严密性20．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P，A两点，其中点P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k（1）若直线PA平分线段MN，求k的值；（2）当k=2时，求点P到直线AB的距离d；（3）对任意k＞0，求证：PA⊥PB．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：计算题；证明题；压轴题；数形结合；分类讨论；转化思想．分析：（1）由题设写出点M，N的坐标，求出线段MN中点坐标，根据线PA过原点和斜率公式，即可求出k的值；（2）写出直线PA的方程，代入椭圆，求出点P，A的坐标，求出直线AB的方程，根据点到直线的距离公式，即可求得点P到直线AB的距离d；（3）要证PA⊥PB，只需证直线PB与直线PA的斜率之积为﹣1，根据题意求出它们的斜率，即证的结果．解答：解：（1）由题设知，a=2，b=，故M（﹣2，0），N（0，﹣），所以线段MN中点坐标为（﹣1，﹣）．由于直线PA平分线段MN，故直线PA过线段MN的中点，又直线PA过原点，所以k=．（2）直线PA的方程为y=2x，代入椭圆方程得，解得x=±，因此P（，），A（﹣，﹣）于是C（，0），直线AC的斜率为1，故直线AB的方程为x﹣y﹣=0．因此，d=．（3）设P（x1，y1），B（x2，y2），则x1＞0，x2＞0，x1≠x2，A（﹣x1，﹣y1），C（x1，0）．设直线PB，AB的斜率分别为k1，k2．因为C在直线AB上，所以k2=，从而kk1+1=2k1k2+1=2•===．因此kk1=﹣1，所以PA⊥PB．点评：此题是个难题．考查椭圆的标准方程和简单的几何性质，以及直线斜率的求法，以及直线与椭圆的位置关系，体现了方程的思想和数形结合思想，同时也考查了学生观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．21．（12分）已知函数f（x）=x+alnx．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）没有零点，求a的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（I）由已知得x＞0，，由此利用导数性质能求出f（x）的单调区间．（II）由（I）导数性质能求出当﹣e＜a≤0时，f（x）没有零点．解答：解：（I）∵f（x）=x+alnx，∴x＞0，，∴当a≥0时，在x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，∴f（x）的单调增区间是（0，+∞），没的减区间；当a＜0时，函数f（x）与f′（x）在定义域上的情况如下：x （0，﹣a）﹣a （﹣a，+∞）f′（x）﹣0 +f（x）↘极小值↗函数的增区间是（﹣a，+∞），减区间是（0，a）．（II）由（I）可知当a＞0时，（0，+∞）是函数f（x）的单调增区间，且有f（e）=﹣1＜1﹣1=0，f（1）=1＞0，所以，此时函数有零点，不符合题意；当a=0时，函数f（x）在定义域（0，+∞）上没零点；当a＜0时，f（﹣a）是函数f（x）的极小值，也是函数f（x）的最小值，所以，当f（﹣a）=a[ln（﹣a）﹣1]＞0，即a＞﹣e时，函数f（x）没有零点，综上所述，当﹣e＜a≤0时，f（x）没有零点．点评：本题考查函数的单调区间的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意导数性质和分类讨论思想的合理运用．请在下面的三个题中任选一题做答【选修4—1】集合证明选讲22．（10分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD于点E，DA平分∠BDE．（1）证明：AE是⊙O的切线；（2）如果AB=2，AE=，求CD．考点：与圆有关的比例线段．专题：几何证明．分析：（1）首先通过连接半径，进一步证明∠DAE+∠OAD=90°，得到结论．（2）利用第一步的结论，找到△ADE∽△BDA的条件，进一步利用勾股定理求的结果解答：（1）证明：连结OA，在△ADE中，AE⊥CD于点E，∴∠DAE+∠ADE=90°∵DA平分∠BDC．∴∠ADE=∠BDA∵OA=OD∴∠BDA=∠OAD∴∠OAD=∠ADE∴∠DAE+∠OAD=90°即：AE是⊙O的切线（2）在△ADE和△BDA中，∵BD是⊙O的直径∴∠BAD=90°由（1）得：∠DAE=∠ABD又∵∠BAD=∠AED∵AB=2求得：BD=4，AD=2 ∴∠BDA=∠ADE=∠BDC=60°进一步求得：CD=2 故答案为：（1）略（2）CD=2点评：本题考查的知识点：证明切线的方法：连半径，证垂直．三角形相似的判定，勾股定理的应用．【选修4—4】坐标系与参数方程23．已知直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半径为极轴）中，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ．（1）分别将直线l和曲线C的方程化为直角坐标系下的普通方程；（2）设直线l与曲线C交于P、Q两点，求|PQ|．考点：参数方程化成普通方程；点的极坐标和直角坐标的互化．专题：选作题；坐标系和参数方程．分析：（1）消去参数，可得直线l的普通方程，圆ρ=4cosθ，等式两边同时乘以ρ，可得曲线C的方程化为直角坐标系下的普通方程；（2）求出圆心和半径，再求出圆心到直线的距离，即可求|PQ|．解答：解：（1）直线l的参数方程为（t为参数），普通方程为y=x+2﹣2；圆ρ=4cosθ，等式两边同时乘以ρ得到ρ2=4ρcosθ，即x2+y2=4x，即（x﹣2）2+y2=4；（2）x2+y2=4x，即（x﹣2）2+y2=4，表示以（2，0）为圆心，半径等于2的圆．圆心到直线的距离为=1，∴|PQ|=2=2．点评：本题考查参数方程化成普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程，考查直线与圆的位置关系，比较基础．【选修4—5】不等式选讲24．设函数f（x）=+的最大值为M．（Ⅰ）求实数M的值；（Ⅱ）求关于x的不等式|x﹣1|+|x+2|≤M的解集．考点：二维形式的柯西不等式；绝对值不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）根据函数f（x）=+=•+≤•=3，求得实数M的值．（Ⅱ）关于x的不等式即|x﹣1|+|x+2|≤3，由绝对值三角不等式可得|x﹣1|+|x+2|≥3，可得|x﹣1|+|x+2|=3．根据绝对值的意义可得x的范围．解答：解：（Ⅰ）函数f（x）=+=•+≤•=3，当且仅当=，即x=4时，取等号，故实数M=3．（Ⅱ）关于x的不等式|x﹣1|+|x+2|≤M，即|x﹣1|+|x+2|≤3．由绝对值三角不等式可得|x﹣1|+|x+2|≥|（x﹣1）﹣（x+2）|=3，∴|x﹣1|+|x+2|=3．根据绝对值的意义可得，当且仅当﹣2≤x≤1时，|x﹣1|+|x+2|=3，故不等式的解集为[﹣2，1]．点评：本题主要考查二维形式的柯西不等式的应用，绝对值的意义，绝对值三角不等式，属于基础题．。

洛阳市2016-2017学年高中三年级第三次统一考试数学试卷（文）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合{}{}|110,,|A x x x N B x x a A =<<∈==∈，则A B =（ ）A ．{1,2,3}B ．{}|13x x <<C ．{2,3}D ．{|1x x << 2. 欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位，x R ∈）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系.它在复变函数论里有极其重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式，若3iz e π=，则复数2z 在复平面中所对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3.已知命题p ：x R ∀∈，都有23x x <；命题q ：0x R ∃∈，使得32001x x =-，则下列复合命题正确的是（ ）A ．p q ∧B ．p q ⌝∧C ． p q ∧⌝D ． p q ⌝∧⌝4.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，则C 的两条渐近线的方程为（ ）A ．y =B ．y x = C.2y x =± D ．12y x =± 5.已知等比数列{}n a 满足12851,232a a a a ==+，则9a =（ ） A ．12-B ．98C.648 D ．18 6.如图，在正方形ABCD 中，,M N 分别是,BC CD 的中点，若AC AM BN λμ=+，则λμ+的值为（ ）A ．B ． C.1 D ．-1 7.若实数,x y 满足条件211x x y x ⎧≥-⎨≤+⎩，则z x y =+的最大值为（ ）A ．-1B ．12-C.5 D ．7 8.利用如图算法在平面直角坐标系上打印一系列点，则打印的点在圆2225x y +=内的个数为（ ）A ．2B ．3 C.4 D ．59.已知函数()()221xxf x ax a R =+∈+，若()ln33f =，则1ln 3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．-2 B ．-3 C.0 D ．110.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．56π B ．53π C. 13π+ D ．213π+ 11.将函数()y f x =的图象向左平移02πϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位后得到()sin 2g x x =的图象，当12,x x 满足()()122f x g x -=时，12min3x x π-=，则ϕ的值为（ ）A ．512πB ．3π C.4π D ．6π12.若对任意实数[]0,1m ∈，总存在唯一实数[]1,1x ∈-，使得20x m x e a +-=成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[]1,e B ．1(1,]e e +C.(0,]e D ．1[1,]e e+ 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.“15a =”是“直线()2120ax a y +-+=与直线()1330a x ay +++=垂直”的 条件（从“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”中选取一个填入）.14.已知函数()ln2f x a x bx =+在1x =处取得最大值ln21-，则a = ，b = ．15.已知P 是抛物线24y x =上的动点，Q 在圆()()22:331C x y ++-=上，R 是P 在y 轴上的射影，则PQ PR +的最小值是 ． 16.如图，四边形ABCD 为直角梯形，90,//,10,20ABC CB DA AB DA CB ∠=︒===，若AB 边上有一点P ，使C P D∠最大，则AP = ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列{}n a 满足11313,1n n n a a a a +-==+. （1）证明；数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列，并求{}n a 的通项公式；（2）令12n n b a a a =，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .18.在四棱柱1111ABCD A B C D -中，四边形ABCD 是平行四边形，1A A ⊥平面ABCD ，60BAD ∠=︒，12,1,AB BC AA ==，E 为11A B 中点.（1）求证：平面1A BD ⊥平面1A AD ； （2）求多面体1A E ABCD -的体积.19. 某销售公司为了解员工的月工资水平，从1000位员工中随机抽取100位员工进行调查，得到如下的频率分布直方图：（1）试由此图估计该公司员工的月平均工资；（2）该公司工资发放是以员工的营销水平为重要依据来确定的，一般认为，工资低于450。

河南省洛阳市2015届高三上学期期中考试数学试卷（文A ）本试卷是高三文科试卷，以基础知识和基本技能为载体，科核心知识的同时，突出考查考纲的基本能力兼顾覆盖面.试题重点考查：集合、不等式、复数、程序框图，向量、三视图、导数、简单的线性规划、直线与圆、圆锥曲线、立体几何、数列、函数的性质及图象、三角函数的性质、三角恒等变换与解三角形、统计，概率等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷.第I 卷（选择题，共60分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名，考号填写在答题卷上.2.考试结束，将答题卷交回.【题文】一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

【题文】1.设集合{}{}01,102A B m ==--，，，,若A B ⊆，则实数m = A.0 B.1 C.2 D.3【知识点】集合及其运算A1 【答案解析】D ∵集合A={0，1}，∴1∈A ．∵A ⊆B ，∴1∈B ．∵B={-1，0，m-2}，∴1=m-2．∴m=3．故选：D ．【思路点拨】本题利用集合的包含关系得到元素与元素的关系，从而求出参数的值． 【题文】2.已知，其中i 为虚数单位,121,2z i z bi =+=+,若12z z 为实数，则实数b = A.-2 B.-1 C.1 D.2 【知识点】复数的基本概念与运算L4【答案解析】A ∵z 1=1+i ，z 2=2+bi ，∴z 1•z 2=（1+i ）（2+bi ）=2-b+（2+b ）i ， ∵z 1•z 2为实数，∴2+b=0，解得b=-2故选：A【思路点拨】由题意可得z 1•z 2=2-b+（2+b ）i ，由实数的定义可得2+b=0，解方程可得． 【题文】3.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若8=32S ，则27=a a + A.1 B.4 C.8 D.9 【知识点】等差数列及等差数列前n 项和D2【答案解析】C ∵等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 8=322+a 7)=32， ∴a 2+a 7=8．故选：C ．【思路点拨】利用等差数列的通项公式和前n 项和公式求解．【题文】4.在长方体1111ABCD A B C D -中，BD 与B 1C 1所成的角为 A.30° B.60° C.90° D.不能确定，与h 有关【知识点】单元综合G12 【答案解析】B∵B 1C 1∥BC ，∴∠DBC 是异面直线BD 与B 1C 1所成的角（或所成的角的平面角），∵长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=3，AD=AA 1=h ，∴tan ∠DBC=∴异面直线BD 与B 1C 1所成的角为60°．故选：B ．【思路点拨】由B 1C 1∥BC ，知∠DBC 是异面直线BD 与B 1C 1所成的角（或所成的角的平面角），由此能求出异面直线BD 与B 1C 1所成的角为60°．【题文】5.某程序的框图如图所示，运行该程序时，若输入的x =0.1，则运行后输出的y 的值是A.-1B.0.5C.2D.10【知识点】算法与程序框图L1【答案解析】A 当x=0.1时，满足第一个判断框中的条件，执行“是”，也满足第二个判断框中的条件，执行“是”，将x=0.1代入y=lgx 得y=-1故选A ．【思路点拨】按照程序框图的流程，判断输入的值是否满足判断框中的条件，“是”按y=lgx 求出y ．【题文】6.抛物线24y x =的焦点到双曲线A.【知识点】双曲线及其几何性质抛物线及其几何性质【答案解析】B ∵抛物线方程为y 2=4x ∴2p=4，抛物线的焦点F （1，0）又∵双曲线的方程为x 2∴a 2=1且b 2=3，可得a=1且为，即，y=0．因此，抛物线y 2=4x 的焦点到双曲线渐近线的距离为B 【思路点拨】根据抛物线的标准方程，算出抛物线的焦点F （1，0）．由双曲线标准方程，算出它的渐近线方程为y=0，再用点到直线的距离公式即可算出所求距离．【题文】7.已知()f x 为R 上的奇函数，且满足(4)=()f x f x +，当()0,2x ∈时，2()=2f x x ，则(2015)=fA.2B.-2C.8D.-8 【知识点】函数的奇偶性与周期性B4【答案解析】B ∵奇函数f （x ）的定义域为R ，且满足f （x ）=f （x+4），∴y=f （x ）是周期为4的奇函数，又当x ∈（0，2）时，f （x ）=2x 2，∴f （2015）=f （503×4+3）=f （3）=f （-1）=-f （1）=-2．故答案为：B ．【思路点拨】由已知得f （2015）=f （（1）=-2．【题文】8.已知向量()cos sin a θθ=，,),(0,1)b =-，则a 与b 的夹角等于D.θ【知识点】平面向量的数量积及应用F3【答案解析】C a b ⋅=cosθ×0+sinθ×（-1）=-sinθ，|a |=1，|b |=1，∴cos ＜,a b ＞a b a b⋅=-sinθ= cos ），∵θπ），＜,a b ＞∈[0，π]， ∴，y=cox 在[0，π]上单调递减，∴＜,a b ＞．【思路点拨】由向量夹角公式可得cos ＜,a b a b a b⋅=-sinθ=cos ），∈（ π），＜,a b ＞∈[0，π]，y=cox 在[0，π]上单调递减，可得结论．【题文】9.已知直线l ：1y kx =+与圆O ：221x y +=相交于A ，B 两点，则“1k =”是“△OAB A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 【知识点】直线与圆、圆与圆的位置关系H4【答案解析】A 若直线l ：y=kx+1与圆O ：x 2+y 2=1相交于A ，B 两点，则圆心到直线距离|AB|=2若k=1，则|AB|=OABOABk=±1，则k=1不成立，即必要性不成立．故“k=1”是“△OAB的充分不必要条件．故选A．【思路点拨】根据直线和圆相交的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．【题文】10.已知实数x、y满足约束条件1,1,2 2.x yx yx y+≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩若目标函数(0,0)z ax by a b=+>>的最大值为7A.3B.4C. 7D.12【知识点】简单的线性规划问题E5【答案解析】C作出不等式组1,1,2 2.x yx yx y+≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（1，0），B（3，4），C（0，1）设z=F（x，y）=ax+by（a＞0，b＞0），将直线l：z=ax+by进行平移，并观察直线l在x轴上的截距变化，可得当l经过点B时，目标函数z达到最大值．∴z max=7，即3a+4b]，∵a＞0，b＞0，(25+12⨯2)=7，当且仅当a=b=17．故答案为：7【思路点拨】作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，利用直线平移法求出当x=3且y=4时，z=ax+by7，即3a+4b=7．再利用整体代换法，根据基本不等式加以计算，可得当a=b=1时7．【题文】11.y 轴的切线，则实数a 的取值范围是 A.(,2][2,)-∞-+∞B.(,2(2,)-∞-+∞)C.[2,)+∞D.(2,)+∞【知识点】导数的应用B12【答案解析】D ∵f （x ）= 2-ax+lnx ，∴f'（x ）由题意可知存在实数x ＞0，使得f'（x ），即∴（当且仅当x=1时等号取到），∴实数a 的取值范围是[2，+∞）．故选：D ．【思路点拨】求出原函数的导函数，由导函数等于0得到，利用基本不等式求得的范围得答案． 【题文】12.已知定义在实数集R 上的函数()f x 满足(1)=3f ，且()f x 的导函数为()f x '在R 上恒有()1f x '>，则不等式()2f x x >+的解集为A.()1-∞-，B.()1+∞，C.()11-，D.()()11-∞-+∞，，【知识点】导数的应用B12【答案解析】B 令F （x ）=f(x)-x-2,因为F （1）=0，()f x '在R 上恒有()1f x '>，为增函数，所以 ()2f x x >+的解集为()1+∞，，故答案为B 【思路点拨】构造新函数求大于0的解，利用单调性求出。

洛阳市2014——2015学年高三第三次统一考试数学试卷（文） 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中。

只有一项是符合题目要求的．1．复数z 满足（1＋i ）z ＝3＋i ，则复数z 在复平面内所对应的点的坐标是A ．（1，－2）B ．（－2，1）C ．（－1，2）D ．（2，－1）2．设集合A ＝{x ｜2x －6x ＋8＜0}，B ＝{x ｜2＜2x ＜8}，则A ∪B ＝A ．{x ｜2＜x ＜3}B ．{x ｜1＜x ＜3}C ．{x ｜1＜x ＜4} D ．{x ｜3＜x ＜4}3．下列函数中，在其定义域内，既是奇函数又是减函数的是A ．f （x ）＝－3xB ．f （xC ．f （x ）＝－tanxD ．f （x ）＝1x4．“等式sin （α＋γ）＝sin2β成立”是“α，β，γ成等差数列”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 5．设F 1、F 2分别是椭圆2212516x y ＋＝的左、右焦点， P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，｜OM ｜＝3，则P 点到椭圆左焦点的距离为A ．2B ．3C ．4D ．56．执行如图所示的程序框图，输出的T ＝A ．17B ．29C ．44D ．527．为了得到函数y ＝12cos2x 的图象，可以把函数y ＝ 12sin （2x ＋3π）的图象上所有的点 A ．向右平移12π个单位 B ．向右平移6π个单位 C ．向左平移12π个单位 D ．向左平移6π个单位8．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是A ．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥βB ．若m ∥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α∥βC ．若m ∥n ，m ∥α，则n ∥αD ．若m ∥n ，m ⊥α，n ⊥β，则α∥β9．在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC ＝CD ，点O 在线段CD 上（点O 与点C ，D 不重合），若AO ＝x AB ＋y AC ，则x 的取值范围是A ．（－1，0）B ．（0，13） C ．（0，1） D ．（－13，0）10．已知正项等比数列{n a }满足a 7＝a 6＋2a 5，若a m ，a n 8a 1，则1m ＋9n的最小值为 A ．2 B ．4 C ．6 D ．811．一个几何体的侧视图是边长为2的正三角形，正视图与俯视图的尺寸如图所示，则此几何体的体积为A ．12＋3πB ．12＋3πC ＋D ＋12．已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为F 1、F 2，这两条曲线在第一象限的交点为P ，△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形．若｜PF 1｜＝10，设椭圆与双曲线的离心率分别为e 1、e 2，则e 1＋e 2的取值范围是A ．（54，＋∞）B ．（43，＋∞）C ．（32，＋∞）D ．（53，＋∞）第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题。

洛阳市2017--2018 学年高中三年级第三次统一考试数学试卷（文）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限2.）A．0 B．2 C．0或2 D．0或1或23.下列函数为奇函数的是（）A B．4.，（）A B C. 2 D5.点到其渐近线的距离等于（）A B．3 C.5 D6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．87.）A.1B.3 C，5 D.78.下面的程序框图取材于中国古代数学著作《孙子算经》.执行该程序框图.）A.9B.16C.23D.309.下列叙述中正确的个数是（）①将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差不变；.A.1 B，2 C.3 D，410.）A B11.）A12.）A第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.14.是．15.外接球的表面积为．16.的值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（1（2.18. 高中生在被问及“家，朋友聚集的地方，个人空间”三个场所中“感到最幸福的场所在哪里?”这个问题时，从洛阳的高中生中，随机抽取了55人，从上海的高中生中随机抽取了45人进行答题.（1）“恋家（在家里感到最幸福）”与城市有关：（2） 从被调查的不“恋家”的上海学生中，用分层抽样的方法选出4人接受进一步调查，从被选出的4 人中随机抽取2人到洛阳交流学习，求这2人中含有在“个人空间”感到幸福的学生的概率.19.（1（2.20.过的横坐标为3.（1（2若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.21.（1?（2.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程.（1（2.23.选修4-5：不等式选讲（1（2.试卷答案一、选择题1-5： DCCBA 6-10：ADCBB 11、12：AD 二、填空题三、解答题17.解：（11为首项，2为公差的等差数列. （2(22n+18.解：（1）由已知得，.（2）用分层抽样的方法抽出4 人.其中在“朋友聚焦的地方”感到幸福的有3人，在“个人空间”感到幸福的有119.（1（211A CBS=11A MB=由（13h=1111A MBA CBSS20.解：（1，（2）由（121.解：（1显然此方程无解.. （2..22.解：（1（2..23.解：（1.（2.所以{|y y=-31|x+|(3≥由（1。

2015届高三第三次模拟考试文科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试用时120分钟．考试结束后，将试题纸和答题卡一并交回．第Ⅰ卷(选择题 共60分)注意事项：1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将姓名、座位号和准考证号填写在答题卡和试卷规定的位置．2．答题时，考生需用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ={x |-1<x <1}，B ={x |x 2-3x ≤0}，则A ∩B 等于( )． A ．[-1，0] B ．(-1，3] C ．[0，1) D ．{-1，3} 2．已知(1)2i z i +=⋅，那么复数z 对应的点位于复平面内的( )．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．函数f (x )=sin(-2x )的一个递增区间是( )．A ．(0,)4πB ．(,)2ππ--C ．3(,2)4ππD ．(,)24ππ--4．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 1-a 4=0，则42SS =( )．A ．-8B ．8C ．5D ．155．如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 为BD 1的中点，则△P AC 在该正方体各个面上的射影可能是( )．A ．①④B ．②③C ．②④D ．①② 6．直线ax +by -a =0与圆x 2+y 2+2x -4=0的位置关系是( )．A ．相离B ．相切C ．相交D ．与a ，b 的取值有关7．已知△ABC 是非等腰三角形，设P (cos A ，sin A )，Q (cos B ，sin B )，R (cosC ，sin C )，则△PQR 的形状是( )．A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．不确定8．已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸(单位：cm )，则这个几何体的体积是A B C D1A 1B1C 1DP ① ③④ ②( )．A ．8cm 3B ．12cm 3C ．24cm 3D ．72cm 39．下图是某算法的程序框图，若程序运行后输出的结果是27，则判断框①处应填入的条件是( )．A ．n >2B ．n >3C ．n >4D ．n >510．P 是双曲线24x -y 2=1右支(在第一象限内)上的任意一点，A 1，A 2分别是左右顶点，O 是坐标原点，直线P A 1，PO ，P A 2的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则斜率之积k 1k 2k 3的取值范围是( )．A ．(0，1)B ．(0，18)C ．(0，14)D ．(0，12)11．已知函数f (x )=|2x -1|，f (a )>f (b )>f (c )，则以下情 况不可能．．．发生的是( )． A ．a <b <c B ．a <c <b C ．b <c <a D ．b <a <c12．点P 在直径为5的球面上，过P 作两两互相垂直的三条弦(两端点均在球面上的线段)，若其中一条弦长是另一条弦长的2倍，则这三条弦长之和的最大值是( )．A ．B ．CD第Ⅱ卷(非选择题 共90分)本卷包括必考题和选考题两部分．第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必修作答．第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若平面区域||||22(1)x y y k x +≤⎧⎨+≤+⎩是一个三角形，则k 的取值范围是___________．14．一个立方体骰子的六个面分别标有数字1，2，2，3，3，4；另一个立方体骰子的六个面分别标有数字1，3，4，5，6，8．掷两粒骰子，则其最上面所标的两数之和为7的概率是___________． 15．设a =(4，3)，a 在b，b 在x 轴上的投影为1，则b =___________． 16．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n =(a +1)n 2+a ，某三角形三边之比为a 2：a 3：a 4，则该三角形的(第8题图)面积___________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)数列{a n }中，a 1=2，a n +1=a n +kn (k 是不为零的常数，n ∈N *)，且a 1，a 2，a 3成等比数列． (Ⅰ)求k 的值和{a n }的通项公式；(Ⅱ)求数列{n n a kn k-⋅}的前n 项和T n ．18．(本小题满分12分)在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB =BC =CA =AA 1=2，侧棱AA 1⊥面ABC ，D 、E 分别是棱A 1B 1、AA 1的中点，点F 在棱AB 上，且AF =14AB ．(Ⅰ)求证：EF ∥平面BDC 1； (Ⅱ)求三棱锥D －BEC 1的体积．19．(本小题满分12分)为了调查高一新生中女生的体重情况，校卫生室 随机选取20名女生作为样本测量她们的体重(单位：kg )，获得的所有数据按照区间(40，45]，(45，50]，(50，55]，(55，60]进行分组，得到频率分布直方图如图所示．已知样本中体重在区间(45，50]上的女生数与体重在区间(55，60]上的女生数之比为4:3． (Ⅰ)求a ，b 的值；(Ⅱ)从样本中体重在区间(50，60]上的女生中随机抽取两人，求体重在区间(55，60]上的女生至少有一人被抽中的概率．20．(本小题满分12分) 已知⊙C 过点P (1，1)，且与⊙M ：(x +2)2+(y +2)2=r 2(r >0)关于直线x +y +2=0对称． (Ⅰ)求⊙C 的方程； (Ⅱ)过点P 作两条相异直线分别与⊙C 相交于A ，B ，且直线P A 和直线PB 的倾斜角互补，O 为坐标原点，试判断直线OP 和AB 是否平行？请说明理由．(Ⅱ)设g (x )=f (x )-3x，试问过点(2，2)可作多少条直线与曲线y =g (x )相切？请说明理由．(第18题图)a请考生在第22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号．22．(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲在△ABC 中，AB =AC ，过点A 的直线与其外接圆交于点P ，交BC 延长线于点D ．(Ⅰ)求证：PC PDAC BD=； (Ⅱ)若AC =2，求AP ·AD 的值．23．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xoy 中，动点A 的坐标为(2-3sin α，3cos α-2)，其中α∈R ．以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的方程为ρcos(θ -4π)=a ．(Ⅰ)判断动点A 的轨迹表示什么曲线； (Ⅱ)若直线l 与动点A 的轨迹有且仅有一个公共点，求实数a 的值．24．(本小题满分10分)选修4-5；不等式选讲若实数a ，b 满足ab >0，且a 2b =4，若a +b ≥m 恒成立． (Ⅰ)求m 的最大值； (Ⅱ)若2|x -1|+|x |≤a +b 对任意的a ，b 恒成立，求实数x 的取值范围．D文科数学参考答案一、选择题 1．C 解析：∵A =(-1，1)，B =[0，3]，则A ∩B =[0，1)．故选C ． 2．A 解析：2211111i i iz i i i i-==⋅=+++-．故选A ． 3．D解析：f (x )=-sin(2x )，由2k π+2π≤2x ≤2k π+32π得k π+4π≤x ≤k π+34π，取k =-1．故选D ． 4．C解析：8a 1-a 4=0⇒q 3=8⇒q =2，242222S S q S S S +==1+q 2=5．故选C ． 5．A 解析：△P AC 在上下底面上的射影为①，在其它四个面上的射影为④．故选A ．6．C 解析：直线即a (x -1)+by =0，过定点P (1，0)，而点P 在圆(x +1)2+y 2=5内，故相交． 故选C ． 7．B 解析：易知这三个点都在单位圆上，而且都在第一，二象限，由平几知识可知，这样的三个点构成的必然是钝角三角形．故选B ． 8．B 解析：三视图的直观图是有一个侧面垂直于底面三棱锥，底面是底边长为6高为4的等腰三角形，三棱锥的高为3，∴这个几何体的体积V =1132⨯×6×4×3=12．故选B ．9．B 解析：由框图的顺序，s =0，n =1，s =(s +n )n =(0+1)×1=1；n =2，依次循环s =(1+2)×2=6，n =3；注意此刻3>3仍然是“否”，所以还要循环一次s =(6+3)×3=27，n =4，此刻输出s =27．故选B ．10．B 解析：k 1k 2k 3=3322111122(4)44428y y y y y y x x x x x x y x ⋅⋅===⋅<⋅=+--⋅．故选B ．11．D 解析：当x ≤0时，f (x )递减；当x ≥0时，f (x )递增，∴b <a <c 不可能．故选D ． 12．C 解析：设三条弦长分别是a ，2a ，h ，则a 2+(2a )2+h 2=25，即5a 2+h 2=25，三条弦长之和S =3a +h ，将h =S -3a 代入5a 2+h 2=25，得14a 2-6aS +S 2-25=0，由∆≥0得S 2≤70．故选C ． 二、填空题 13．(-∞，-2)∪(0，23]． 解析：直线y +2=k (x +1)过定点(-1，-2)，作图得k 的取值范围是 (-∞，-2)∪(0，23]． 14．16解析：在36对可能的结果中，和为7的有6对：(1，6)，(2，5)，(2，5)，(3，4)，(3，4)，(4，3)．∴得到两数之和为7的概率是61366=． 15．(1，-1) 解析：由题意可知b 的终点在直线x =1上，可设b =(1，y )，则||⋅=a b b=，17y 2+48y +31=0，∴y =-1或y =-3117(增解，舍去)，∴b =(1，-1)．16解析：∵{a n }是等差数列，∴a =0，S n =n 2，∴a 2=3，a 3=5，a 4=7． 设三角形最大角为θ，由余弦定理，得cos θ=-12，∴θ=120°．∴该三角形的面积S =12×3×5×sin120°=三、解答题17．(Ⅰ)解：a 1=2，a 2=2+k ，a 3=2+3k ，由a 22=a 1a 3得，(2+k )=2(2+3k )，∵k ≠0，∴k =2．······················································································2分 由a n +1=a n +2n ，得a n -a n -1=2(n -1)， ∴a n =a 1+(a 2-a 1)+(a 3-a 2)+···+(a n -a n -1)=2+2[1+2+···+(n -1)]=n 2-n +2．·························6分(Ⅱ)解：(1)122n n n n a k n n n n k n ---==⋅⋅．·······························································8分 ∴T n =12301212222n n -+++⋅⋅⋅+， 2341101221222222n n n n n T +--=+++⋅⋅⋅++，························································10分 两式相减得，234111111111111111(1)22222222222n n n n n n n n n T +-++--+=+++⋅⋅⋅+-=--=-，∴T n =1-12nn +．·······················································································12分 18．(Ⅰ)证明：设O 为AB 的中点，连结A 1O ，∵AF =14AB ，O 为AB 的中点，∴F 为AO 的中点，又E 为AA 1的中点，∴EF ∥A 1O ．又∵D 为A 1B 1的中点，O 为AB 的中点，∴A 1D =OB ． 又A 1D ∥OB ，∴四边形A 1DBO 为平行四边形． ∴A 1O ∥BD ．又EF ∥A 1O ，∴EF ∥BD ． 又EF ⊄平面DBC 1，BD ⊂平面DBC 1． ∴EF ∥平面DBC 1．…………………6分 (Ⅱ)解：∵AB =BC =CA =AA 1=2，D 、E 分别为A 1B 1、AA 1的中点，AF =14AB ，∴C 1D ⊥面ABB 1A 1． 而11D BEC C BDE V V --=，1111BDE ABA B BDB ABE A DE S S S S S ∆∆∆∆=---=1113222121112222⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=．∵C 1D∴111113332D BEC C BDE BDE V V S C D --∆==⋅=⨯=．………………………………12分19．(Ⅰ)解：样本中体重在区间(45，50]上的女生有a ×5×20=100a (人)，·····················1分(第18题解图)样本中体重在区间(50，60]上的女生有(b +0.02)×5×20=100(b +0.02)(人)，··············2分 依题意，有100a =43×100(b +0.02)，即a =43×(b +0.02)．①·································3分 根据频率分布直方图可知(0.02+b +0.06+a )×5=1，②··········································4分 解①②得：a =0.08，b =0.04．······································································6分 (Ⅱ)解：样本中体重在区间(50，55]上的女生有0.04×5×20=4人，分别记为 A 1，A 2，A 3，A 4，··················································································7分体重在区间(55，60]上的女生有0.02×5×20=2人，分别记为B 1，B 2．··················8分 从这6名女生中随机抽取两人共有15种情况：(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，A 4)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，A 3)，(A 2，A 4)，(A 2，B 1)， (A 2，B 2)，(A 3，A 4)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)，(B 1，B 2)．·······10分 其中体重在(55，60]上的女生至少有一人共有9种情况：(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)， (B 1，B 2)．····························································································11分记“从样本中体重在区间(50，60]上的女生随机抽取两人，体重在区间(55，60]上的女生 至少有一人被抽中”为事件M ，则P (M )=93155=．··········································12分 20．(Ⅰ)解：设圆心C (a ，b )，则222022212a b b a --⎧++=⎪⎪⎨+⎪=⎪+⎩，解得00a b =⎧⎨=⎩．·······················3分则圆C 的方程为x 2+y 2=r 2，将点P 的坐标代入得r 2=2，故圆C 的方程为x 2+y 2=2．·····································································5分 (Ⅱ)解：由题意知，直线P A 和直线PB 的斜率存在，且互为相反数， 故可设P A ：y -1=k (x -1)，PB ：y -1=-k (x -1)，且k ≠0，······································6分 由221(1)2y k x x y -=-⎧⎨+=⎩，得(1+k 2)x 2-2k (k -1)x +k 2-2k -1=0，······································7分 ∵点P 的横坐标x =1一定是该方程的解，故可得x A =22211k k k --+．····················8分同理，x B =22211k k k +-+．···········································································9分∴(1)(1)2()B A B A B A AB B A B A B A y y k x k x k k x x k x x x x x x ------+===---=1=k OP ．······················11分∴直线AB 和OP 一定平行．·····································································12分依题设，f (1)=5，f ′(1)=-3，∴a =-3，b =-2．···················································4分∴f ′(x )=2-22232223x x x x x ---=，令f ′(x )>0，又x >0，∴x ．∴函数的单调增区间为，+∞)．······················································6分 (Ⅱ)g (x )=f (x )-3x =2x -2ln x ，g ′(x )=2-2x．设过点(2，2)与曲线g (x )的切线的切点坐标为(x 0，y 0)，则y 0-2=g ′(x 0)(x 0-2)，即2x 0-2ln x 0-2=(2-02x )(x 0-2)，∴ln x 0+02x =2．·····················8分令h (x )=ln x +2x -2，则h ′(x )=212x x-，∴x =2． ∴h (x )在(0，2)上单调递减，在(2，+∞)上单调递增．······································10分 ∵h (12)=2-ln2>0，h (2)=ln2-1<0，h (e 2)=22e>0． ∴h (x )与x 轴有两个交点，∴过点(2，2)可作2条曲线y =g (x )的切线．···············12分22．(Ⅰ)证明：∵∠CPD =∠ABC ，∠D =∠D ，∴△DPC ～△DBA ． ∴PC PD AB BD=． 又∵AB =AC ，∴PC PDAC BD=．·····································································5分 (Ⅱ)解：∵∠ACD =∠APC ，∠CAP =∠CAD ，∴△APC ～△ACD ． ∴AP AC AC AD =，∴AC 2=AP ·AD =4．·······························································10分 23．(Ⅰ)解：设动点A 的直角坐标为(x ，y )，则23sin ,3cos 2.x y αα=-⎧⎨=-⎩∴动点A 的轨迹方程为(x -2)2+(y +2)2=9，其轨迹是以(2，-2)为圆心，半径为3的圆．·····················································5分(Ⅱ)解：直线l 的极坐标方程ρcos(θ-4π)=a化为直角坐标方程是x +y a ．=3，得a =3，或a =-3．··························································10分24．(Ⅰ)解：由题设可得b =24a >0，∴a >0．∴a +b =a +24a =2422a a a++≥3， 当a =2，b =1时，a +b 取得最小值3，∴m 的最大值为3．·································5分 (Ⅱ)解：要使2|x -1|+|x |≤a +b 对任意的a ，b 恒成立，须且只须2|x -1|+|x |≤3．用零点区分法求得实数x 的取值范围是-13≤x ≤53．········································10分。

2015-2016学年河南省洛阳市高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题．每小题5分．在每小题给出的四个选项中-只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合M={x|x2≤4}，N={﹣1，0，4}，则M∩N=（）A．{﹣1，0，4}B．{﹣1，0}C．{0，4}D．{﹣2，﹣1，0}2．（5分）下列说法正确的是（）A．命题“若x2＜1，则﹣l≤x＜l”的逆否命题是“若x2≥1，则x＜﹣1或x≥l”B．命题“∀x∈R，e x＞0”的否定是“∀x∈R，e x≤0”C．“a＞0”是“函数f（x）=|（ax﹣1）x|在区间（﹣∞，0）上单调递减”的充要条件D．若“p∨q”为真命题，则p，q中至少有一个为真命题3．（5分）已知函数f（x）=，若f（f（1））=4a，则实数a等于（）A．B．C．2 D．44．（5分）在锐角三角形ABC中，角A，B所对的边分别为a，b，若2asinB=b，则角A=（）A．B．C．D．5．（5分）已知向量，若A、B、D三点共线，则实数m、n应该满足的条件是（）A．m+n=1 B．m+n=﹣1 C．mn=1 D．mn=﹣16．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，a n+1=3S n（n∈N*），则S6=（）A．44B．45C．（46﹣1） D．（45﹣1）7．（5分）已知非零向量，满足•=0，且|﹣|=2||，则向量﹣与的夹角为（）A．B．C． D．8．（5分）为了得到函数y=3cos2x的图象，只需把函数y=3sin（2x+）的图象上所有的点（）A．向右平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度D．向左平移移动个单位长度9．（5分）使f（x）=sin（2x+θ）﹣cos（2x+θ）为偶函数，且在[，]上是减函数的θ的一个值是（）A． B． C．D．﹣10．（5分）在正项等比数列{a n}中，10a1，成等差数列，则=（）A．5 B．4 C．25 D．4或2511．（5分）设函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有3f（x）+xf′（x）＞0，则不等式（x+2015）3f（x+2015）+27f（﹣3）＞0的解集（）A．（﹣2018，﹣2015）B．（﹣∞，﹣2016）C．（﹣2016，﹣2015）D．（﹣∞，﹣2012）12．（5分）若实数a，b，c，d满足（b+a2﹣3lna）2+（c﹣d+2）2=0，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为（）A．B．2 C．2 D．8二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知向量=（2，1），=（0，1），=（2，3），若λ∈R且（+λ）∥，则λ=．14．（5分）观察下面数表：设1027是该表第m行的第n个数，则m+n等于．15．（5分）设α为锐角，若cos（α+）=，则sin（2α+）的值为．16．（5分）已知函数f（x）=e x﹣mx+1的图象为曲线C，若曲线C存在与直线y=x 垂直的切线，则实数m的取值范围是．三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知函数f（x）=4sinωx•sin（ωx+）+1（ω＞0）的最小正周期是π．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）求函数f（x）在[，]上的值域．18．（12分）设数列{a n}是等差数列，a3=5，a5=9，数列{b n}的前n项和为S n，S n=2n+1﹣2（n∈N*）．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）若c n=a n•b n（n∈N*），T n为数列{c n}的前n项和，求T n．19．（12分）已知函数f（x）=e x（ax+b），曲线y=f（x）在（0，f（0））处的切线方程为y=4x+1．（1）求a，b的值；（2）求函数f（x）的单调区间与极值．20．（12分）已知锐角三角形ABC中，向量=（2﹣2sinB，cosB﹣sinB），=（1+sinB，cosB+sinB），且⊥．（1）求角B的大小；（2）当函数y=2sin2A+cos（）取最大值时，判断三角形ABC的形状．21．（12分）已知f（x）=x3+ax2﹣a2x+2（1）若a≠0，求函数f（x）的单调区间；（2）若不等式2xlnx≤f′（x）+a2+1恒成立，求实数a的取值范围．四、选做题请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．【选修4-l：几何证明选讲】22．（10分）如图，点A是以线段BC为直径的圆O上一点，AD⊥BC于点D，过点B作圆O的切线，与CA的延长线相交于点E，点G是AD的中点，连接CG并延长与BE相交于点F，延长AF与CB的延长线相交于点P．（1）求证：BF=EF；（2）求证：PA是圆O的切线．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在平面直角坐标系xOy中，l是过定点P（4，2）且倾斜角为α的直线，在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系（取相同单位长度）中，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ．（Ⅰ）写出求直线l的参数方程，并将曲线C的方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线C与直线l相交于不同的两点M、N，求|PM|+|PN|的取值范围．【选修4-5：不等式选讲】24．设函数f（x）=|x﹣|+|x+m|（m＞0）（1）证明：f（x）≥4；（2）若f（2）＞5，求m的取值范围．2015-2016学年河南省洛阳市高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题．每小题5分．在每小题给出的四个选项中-只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合M={x|x2≤4}，N={﹣1，0，4}，则M∩N=（）A．{﹣1，0，4}B．{﹣1，0}C．{0，4}D．{﹣2，﹣1，0}【解答】解：由x2≤4得﹣2≤x≤2，则集合M={x|﹣2≤x≤2}，又N={﹣1，0，4}，所以M∩N={﹣1，0}，故选：B．2．（5分）下列说法正确的是（）A．命题“若x2＜1，则﹣l≤x＜l”的逆否命题是“若x2≥1，则x＜﹣1或x≥l”B．命题“∀x∈R，e x＞0”的否定是“∀x∈R，e x≤0”C．“a＞0”是“函数f（x）=|（ax﹣1）x|在区间（﹣∞，0）上单调递减”的充要条件D．若“p∨q”为真命题，则p，q中至少有一个为真命题【解答】解：命题“若x2＜1，则﹣l≤x＜l”的逆否命题是“若x＜﹣1或≥1，则x2≥1”，A错误；命题“∀x∈R，e x＞0”的否定是“∃x∈R，e x≤0”，B错误；当a=0时，g（x）=（ax﹣1）x=﹣x，“函数f（x）=|（ax﹣1）x|在区间（﹣∞，0）上单调递减”；∴“a＞0”是“函数f（x）=|（ax﹣1）x|在区间（﹣∞，0）上单调递减”的充要条件错误；若“p∨q”为真命题，则p，q中至少有一个为真命题，正确．3．（5分）已知函数f（x）=，若f（f（1））=4a，则实数a等于（）A．B．C．2 D．4【解答】解：由分段函数可知f（1）=1+1=2，∴f（f（1））=f（2）=4+2a，即4a=4+2a，∴2a=4，解得a=2．故选：C．4．（5分）在锐角三角形ABC中，角A，B所对的边分别为a，b，若2asinB=b，则角A=（）A．B．C．D．【解答】解：利用正弦定理化简b=2asinB得：sinB=2sinAsinB，∵sinB≠0，∴sinA=，∵A为锐角，∴A=．故选：A．5．（5分）已知向量，若A、B、D三点共线，则实数m、n应该满足的条件是（）A．m+n=1 B．m+n=﹣1 C．mn=1 D．mn=﹣1【解答】解：由题意可得，∴，故有，∴mn=1，6．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，a n+1=3S n（n∈N*），则S6=（）A．44B．45C．（46﹣1） D．（45﹣1）=3S n（n∈N*），【解答】解：∵a n+1﹣S n=3S n，∴S n+1∴S n=4S n，+1S1=1，S2=3+1=4．∴数列{S n}是等比数列，首项为1，公比为4．∴S n=4n﹣1．∴S6=45．故选：B．7．（5分）已知非零向量，满足•=0，且|﹣|=2||，则向量﹣与的夹角为（）A．B．C． D．【解答】解：∵非零向量，满足•=0，且|﹣|=2||，∴，解得=，不妨令=（1，0），则=（0，）．∴=（1，﹣），设向量﹣与的夹角为θ．∴cosθ===﹣，∴．故选：D．8．（5分）为了得到函数y=3cos2x的图象，只需把函数y=3sin（2x+）的图象上所有的点（）A．向右平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度D．向左平移移动个单位长度【解答】解：∵y=3cos2x=3sin（2x+）=3sin[2（x+）+]，∴把函数y=3sin（2x+）的图象上所有的向左平移个单位，可得函数y=3cos2x 的图象，故选：C．9．（5分）使f（x）=sin（2x+θ）﹣cos（2x+θ）为偶函数，且在[，]上是减函数的θ的一个值是（）A． B． C．D．﹣【解答】解：∵f（x）=sin（2x+θ）﹣cos（2x+θ）=2sin（2x+θ﹣）为偶函数，∴θ﹣=kπ+，k∈Z，即θ=kπ+，故θ应从A、D中选取．若θ=，f（x）=2sin（2x+）=2cos2x，在[，]上，2x∈[，]，f（x）是减函数，满足条件．若θ=﹣，f（x）=2sin（2x﹣）=﹣2cos2x，在[，]上，2x∈[，]，f（x）是增函数，不满足条件．故选：A．10．（5分）在正项等比数列{a n}中，10a1，成等差数列，则=（）A．5 B．4 C．25 D．4或25【解答】解：设正项等比数列{a n}的公比为q，则q＞0，由10a1，成等差数列可得2×a3=10a1+3a2，∴a1q2=10a1+3a1q，∴q2﹣3q﹣10=0，解得q=5，或q=﹣2（舍去），∴==q2=25．故选：C．11．（5分）设函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有3f（x）+xf′（x）＞0，则不等式（x+2015）3f（x+2015）+27f（﹣3）＞0的解集（）A．（﹣2018，﹣2015）B．（﹣∞，﹣2016）C．（﹣2016，﹣2015）D．（﹣∞，﹣2012）【解答】解：构造函数g（x）=x3f（x），g′（x）=x2（3f（x）+xf′（x））；∵3f（x）+xf′（x）＞0，x2＞0；∴g′（x）＞0；∴g（x）在（﹣∞，0）上单调递增；g（x+2015）=（x+2015）3f（x+2015），g（﹣3）=﹣27f（﹣3）；∴由不等式（x+2015）3f（x+2015）+27f（﹣3）＞0得：（x+2015）3f（x+2015）＞﹣27f（﹣3）；∴g（x+2015）＞g（﹣3）；∴x+2015＞﹣3，且x+2015＜0；∴﹣2018＜x＜﹣2015；∴原不等式的解集为（﹣2018，﹣2015）．故选：A．12．（5分）若实数a，b，c，d满足（b+a2﹣3lna）2+（c﹣d+2）2=0，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为（）A．B．2 C．2 D．8【解答】解解：∵实数a、b、c、d满足：（b+a2﹣3lna）2+（c﹣d+2）2=0，∴b+a2﹣3lna=0，设b=y，a=x，则有：y=3lnx﹣x2，且c﹣d+2=0，设c=x，d=y，则有：y=x+2，∴（a﹣c）2+（b﹣d）2就是曲线y=3lnx﹣x2与直线y=x+2之间的最小距离的平方值，对曲线y=3lnx﹣x2求导：y′（x）=﹣2x，与y=x+2平行的切线斜率k=1=﹣2x，解得：x=1或x=﹣（舍），把x=1代入y=3lnx﹣x2，得：y=﹣1，即切点为（1，﹣1），切点到直线y=x+2的距离：=2，∴（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值就是8．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知向量=（2，1），=（0，1），=（2，3），若λ∈R且（+λ）∥，则λ=2．【解答】解：+λ=（2，1+λ），∵（+λ）∥，∴3×2﹣2（1+λ）=0，解得λ=2．故答案为：2．14．（5分）观察下面数表：设1027是该表第m行的第n个数，则m+n等于13．【解答】解：根据上面数表的数的排列规律，1、3、5、7、9…都是连续奇数，第一行1个数，第二行2=21个数，且第1个数是3=22﹣1第三行4=22个数，且第1个数是7=23﹣1第四行8=23个数，且第1个数是15=24﹣1…第10行有29个数，且第1个数是210﹣1=1023，第2个数为1025，第三个数为1027；所以1027是第10行的第3个数，所以m=10，n=3，所以m+n=13；故答案为：13．15．（5分）设α为锐角，若cos（α+）=，则sin（2α+）的值为．【解答】解：设β=α+，∴si nβ=，sin2β=2sinβcosβ=，cos2β=2cos2β﹣1=，∴sin（2α+）=sin（2α+﹣）=sin（2β﹣）=sin2βcos﹣cos2βsin=．故答案为：．16．（5分）已知函数f（x）=e x﹣mx+1的图象为曲线C，若曲线C存在与直线y=x 垂直的切线，则实数m的取值范围是m＞2．【解答】解：∵f（x）=e x﹣mx+1，∴f′（x）=e x﹣m，∵曲线C存在与直线y=x垂直的切线，∴f′（x）=e x﹣m=﹣2成立，∴m=2+e x＞2，故答案为：m＞2．三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知函数f（x）=4sinωx•sin（ωx+）+1（ω＞0）的最小正周期是π．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）求函数f（x）在[，]上的值域．【解答】解：（1）f（x）=4sinωxsin（ωx+）+1=4sinωx（sinωx+cosωx）+1=2sinωxcosωx+2sin2ωx+1=sin2ωx+﹣cos2ωx+1=2sin（2ωx﹣）++1，∵T==π，∴ω=1∴f（x）=2sin（2x﹣）+，∴由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z可解得函数f（x）的单调递增区间为：[k，k]，k∈Z．（2）∵x∈[，]，2x﹣∈[0，]，∴sin（2x﹣）∈[0，1]，∴f（x）=2sin（2x﹣）++1∈[1+，3+]．18．（12分）设数列{a n}是等差数列，a3=5，a5=9，数列{b n}的前n项和为S n，S n=2n+1﹣2（n∈N*）．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）若c n=a n•b n（n∈N*），T n为数列{c n}的前n项和，求T n．【解答】解：（1）在等差数列{a n}中，由a3=5，a5=9，得，∴a n=a3+（n﹣3）d=5+2（n﹣3）=2n﹣1；在等比数列{b n}中，由S n=2n+1﹣2，得b1=S1=2，当n≥2时，=2n，验证n=1时成立，∴．（2）∵c n=a n•b n=（2n﹣1）•2n，∴，，两式作差可得：=．∴．19．（12分）已知函数f（x）=e x（ax+b），曲线y=f（x）在（0，f（0））处的切线方程为y=4x+1．（1）求a，b的值；（2）求函数f（x）的单调区间与极值．【解答】解：（1）∵f（x）=e x（ax+b），∴f′（x）=e x（ax+b+a），又∵曲线y=f（x）在（0，f（0））处的切线方程为y=4x+1，∴f（0）=e0b=1，f′（0）=e0（b+a）=4，故a=3，b=1；（2）f（x）=e x（3x+1），f′（x）=e x（3x+4），故当x∈（﹣∞，﹣）时，f′（x）＜0，当x∈（﹣，+∞）时，f′（x）＞0；故函数f（x）在（﹣∞，﹣）上是减函数，在（﹣，+∞）上是增函数；故当x=﹣时，f（x）有极小值为f（﹣）=•（3×（﹣）+1）=﹣3．20．（12分）已知锐角三角形ABC中，向量=（2﹣2sinB，cosB﹣sinB），=（1+sinB，cosB+sinB），且⊥．（1）求角B的大小；（2）当函数y=2sin2A+cos（）取最大值时，判断三角形ABC的形状．【解答】解：（1）∵⊥，∴•=0，即：（2﹣2sinB）（1+sinB）+（cosB﹣sinB）（cosB+sinB）=0，化简可得3﹣4sin2B=0，∴sinB=，∵三角形ABC是锐角三角形，∴B=．（2）由（1）可知，B=，函数y=2sin2A+cos（）=2sin2A+cos（）=2sin2A+cos（）=﹣cos2A+cos2A++1=sin（2A﹣）+1．当2A﹣=时，即A=时，y有最大值，此时A=B=C，∴△ABC是正三角形．21．（12分）已知f（x）=x3+ax2﹣a2x+2（1）若a≠0，求函数f（x）的单调区间；（2）若不等式2xlnx≤f′（x）+a2+1恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）f'（x）=3x2+2ax﹣a2=（x+a）（3x﹣a）由f'（x）=0得x=﹣a或，（1）当a＞0时，由f'（x）＜0，得﹣a＜x＜．由f'（x）＞0，得x＜﹣a或x＞，此时f（x）的单调递减区间为（﹣a，），单调递增区间为（﹣∞，﹣a）和（，+∞）．（2）当a＜0时，由f'（x）＜0，得，由f'（x）＞0，得x或x＞﹣a，此时f（x）的单调递减区间为（，﹣a），单调递增区间为（﹣∞，）和（﹣a，+∞），综上：当a＞0时，f单调递减区间为（﹣a，），单调递增区间为（﹣∞，﹣a）和（，+∞），当a＜0时，（x）的单调递减区间为（，﹣a），单调递增区间为（﹣∞，）和（﹣a，+∞），（2）依题意x∈（0，+∞），不等式2xlnx≤f′（x）+a2+1恒成立，等价于2xlnx≤3x2+2ax+1在（0，+∞）上恒成立，可得a≥lnx﹣﹣，在（0，+∞）上恒成立，设h（x）=lnx﹣﹣，则h′（x）=﹣+=﹣，令h′（x）=0，得x=1，x=﹣（舍），当0＜x＜1时，h′（x）＞0；当x＞1时，h′（x）＜0，当x变化时，h′（x），h（x）变化情况如下表：∴当x=1时，h（x）取得最大值，h（x）max=﹣2，∴a≥﹣2．∴a的取值范围是[﹣2，+∞）．四、选做题请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．【选修4-l：几何证明选讲】22．（10分）如图，点A是以线段BC为直径的圆O上一点，AD⊥BC于点D，过点B作圆O的切线，与CA的延长线相交于点E，点G是AD的中点，连接CG并延长与BE相交于点F，延长AF与CB的延长线相交于点P．（1）求证：BF=EF；（2）求证：PA是圆O的切线．【解答】证明：（1）∵BC是圆O的直径，BE是圆O的切线，∴EB⊥BC．又∵AD⊥BC，∴AD∥BE．可得△BFC∽△DGC，△FEC∽△GAC．∴，得．∵G是AD的中点，即DG=AG．∴BF=EF．（2）连接AO，AB．∵BC是圆O的直径，∴∠BAC=90°．由（1）得：在Rt△BAE中，F是斜边BE的中点，∴AF=FB=EF，可得∠FBA=∠FAB．又∵OA=OB，∴∠ABO=∠BAO．∵BE是圆O的切线，∴∠EBO=90°，得∠EBO=∠FBA+∠ABO=∠FAB+∠BAO=∠FAO=90°，∴PA⊥OA，由圆的切线判定定理，得PA是圆O的切线．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在平面直角坐标系xOy中，l是过定点P（4，2）且倾斜角为α的直线，在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系（取相同单位长度）中，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ．（Ⅰ）写出求直线l的参数方程，并将曲线C的方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线C与直线l相交于不同的两点M、N，求|PM|+|PN|的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵直线l过定点P（4，2），且倾斜角为α，∴l的参数方程为（t为参数）．由ρ=4cosθ，得ρ2=4ρcosθ，将代入上式中，整理得曲线C的普通方程为x2+y2﹣4x=0．（Ⅱ）将l的参数方程代入x2+y2=4x中，得t2+4（sinα+cosα）t+4=0，由题意有△=16（sinα+cosα）2﹣16＞0，得sinα•cosα＞0，∵0≤α＜π，∴sinα＞0，且cosα＞0，从而0＜α＜．设点M，N对应的参数分别为t1，t2，由韦达定理，得t1+t2=﹣4（sinα+cosα）＜0，t1•t2=4＞0，∴t1＜0，且t2＜0，∴|PM|+|PN|=|t1|+|t2|=﹣t1﹣t2=4（sinα+cosα）=．由0＜α＜，得，∴≤1，故|PM|+|PN|的取值范围是．【选修4-5：不等式选讲】24．设函数f（x）=|x﹣|+|x+m|（m＞0）（1）证明：f（x）≥4；（2）若f（2）＞5，求m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由m＞0，有f（x）=|x﹣|+|x+m|≥|﹣（x﹣）+x+m|=+m ≥4，当且仅当=m，即m=2时取“=”，所以f（x）≥4成立．（Ⅱ）f（2）=|2﹣|+|2+m|．当＜2，即m＞2时，f（2）=m﹣+4，由f（2）＞5，求得m＞．当≥2，即0＜m≤2时，f（2）=+m，由f（2）＞5，求得0＜m＜1．综上，m的取值范围是（0，1）∪（，+∞）．。