导数与函数的单调性

A．[ ，1]∪[2，3）

B．[－1， ]∪[ ， ]


C．[ ， ]∪[1，2）

D．（ ，－1]∪[ ， ]∪[ ，3）



小结
利用导数求函数单调区间的一般过程：
先求函数f(x)Байду номын сангаас定义域 求出导数 f ' (x)
判断 f ' (x)的正负
（方法3:导数法）
解：函数的定义域为 R，函数导数为 f ( x) 2x-4
令f (x) 0,解的x 2,则f(x)的
单调递增区间为2,
再令f ( x) 0,解得x 2,则f(x)的
单调递减区间为 ,2
例1：求函数 f (x) 2x3 3x2 36 x 16的单调区间
练习：求下列函数的单调区间.
(1) f (x) x ln x
(2) f (x) ex x 1
思考交流 函数单调性决定了函数图像的大致形状，如何根据
导数信息来画函数的简图呢？ 例3、已知函数f (x)的导函数f ' (x)满足下列信息：
当x 2时，f '( x) 0; 当2 x 3时，f '( x) 0; 当x 3时，f '( x) 0；当x 3或x 2时，f '( x) 0.
设函数f ( x)在定义域内的某个区间(a, b)上可导, f '( x) 0 f ( x)在(a, b)内单调递增
，
f '( x) 0 f ( x)在(a, b)内单调递减
思考
如果在某个区间内恒有 f '( x) 0，则 f ( x) 是什么函数？
函数f ( x) 为常函数.
引例： 讨论函数 y x2 4x 3的单调性
知识回顾
问题1．导数的定义与几何意义是什么.
y
f (x x) f (x)
f '(x)= lim lim
x x0
x0
x
几何意义：函数 y=f(x) 在点 x0 处的导数 f(x0),
就是曲线y=f(x) 在点 P(x0, f(x0)) 处的切线的斜率.
问题2．函数单调性的定义是什么？
试画出函数f (x)图像的大致形状.
yA y f (x)
B
o 2 3x
变式练习1：已知函数f(x)的导函数 f '( x) 的图像如下图
所示，那么函数f(x)的图像最有可能的是 ( A )
变式练习 2：函数 y f (x) 在定义域 ( 3 ,3) 内的图像如图所示．
2
记 y f (x) 的导函数为 y f '(x) ，则 f '(x) 0 的解集为（ A ）
一般地，在给定区间上任取两个自变量 x1 , x2 ，当 x1 x2 时，
若 f (x1) f (x2 ) ，则 f(x)在这个区间上单调递增. 若 f (x1) f (x2 ) ，则 f (x)在这个区间上单调递减.
引例：讨论函数 y x2 4x 3的单调性
（法一：定义法）解：取x1 x2 R, f (x1) f (x2 ) (x12 4x1 3) (x22 4x2 3) (x1 x2 )(x1 x2 ) 4(x1 x2 ) (x1 x2 )(x1 x2 4) 则当x1 x2 2时，x1 x2 4 0, f (x1) f (x2 ) 则y f (x)单调递减 当2 x1 x2 , x1 x2 4 0, f (x1) f (x2 ) 则y f (x)单调递增 综上y f (x)单调递增区间为(2,) y f (x)单调递减区间为(,2)
f (x) 1，增 f (x) 2，增 f (x) 3，减
自主探究
观察函数y=x2－4x＋3的图象上的点的切线：
y
0 ....2
. ..
小结:该函数在区间
,2上递减,切线
斜率小于0,即其导数
为负,在区间 2,
上递增,切线斜率大 于0,即其导数为正.
x 而当x=2时其切线斜
解不等式f ' (x)>0 得函数单调递增区间
解不等式f ' (x)<0 得函数单调递减区间
规范写出单调区间
（法二：图像法） y x2 4x 3 y
0
2
x
递增区间：2,
递减区间： ,2
自主探究
问题：用单调性定义讨论函数单调性 虽然可行，但比较麻烦;如果函数图象 也不方便作出来时.是否有更为简捷的 方法呢？
讨论下面函数的导数及其单调性
(1) y f (x) x (2) y f (x) 2x 5 (3) y f (x) 3x 4
率为0,即导数为0.函 数在该点单调性发生 改变.
猜测下面一般性的结论:
如果在某区间上 f (x) 0,则f(x)为该区间上增函数;
如果在某区间上 f (x) 0 ,则f(x)为该区间上减函数.
深入思考，揭示本质
问题 1：我们回到单调性定义，以增函数为例，观察 x1 x2 ， f (x1) f (x2 ) 的正负符号，如何用数学式子表示？
例2 求函数f (x) x ln x 1的单调区间
解：函数的定义域为 0,, f (x) ln x 1
当ln x 1 0时，解得x 1 .则f (x)的 e
单调递增区间是(1 ,) e
当ln x 1 0时，解得0 x 1 .则f (x)的 e
单调递减区间是(0, 1) e
于零，也就是割线斜率大于 0.
问题4：既然是“任取”，那么我们干脆把两个点无限靠近， 大家觉得可以得到什么. 瞬时变化率，就是某点切线的斜率，也就是区间内任意一点 处的导数都大于零.
f (x1) f (x2 ) 0 f '(x) 0 f (x)为增函数 x1 x2
小结
函数单调性与其导数正负的关系：
同号，可以用 ( f (x1 ) f (x2 ))( x1 x2 ) 0表示.
问题2：还可以用其他方法表示吗？ f (x1 ) f (x2 ) 0 x1 x2
问题3：结合上一章的变化率，观察这个式子和变化率有什 么联系呢？
平均变化率 y 0 ，就是区间内任取两点的平均变化率大 x