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2017-2018学年北京市人大附中高二（上）期末数学试卷
一、选择题（每小题5分，共40分）
1．（5分）设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A，2x ∈B，则（）
A．￢p：∃x∈A，2x∈B B．￢p：∃x∉A，2x∈B C．￢p：∃x∈A，2x∉B D．￢p：∀x∉A，2x∉B
2．（5分）已知向量=（2，﹣3，5）与向量=（3，λ，）平行，则λ=（）A．B．C．﹣ D．﹣
3．（5分）已知中点在原点的双曲线C的右焦点为F（3，0），离心率等于，则双曲线的虚轴长为（）
A．B．5 C．2 D．10
4．（5分）“a＞0，b＞0”是“曲线ax2+by2=1为椭圆”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
5．（5分）已知正三棱锥A﹣BCD的侧棱长都等于a，底面正三角形的边长a，点E、F分别是棱BC、AD的中点，则异面直线AE和CF所成角的余弦值为（）A．B．C．D．
6．（5分）已知点F1、F2是椭圆x2+2y2=2的两个焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么的最小值是（）
A．0 B．1 C．2 D．
7．（5分）如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和．过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，则AB：A′B′=（）
A．2：1 B．3：1 C．3：2 D．4：3
8．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，动点P在正方形ABCD的边界及其内部运动，且点P到直线AD的距离等于它到直线BB1的距离，则四面体P﹣AC1B1的体积的最大值为（）
A．B．C．D．
二、填空题（每小题5分，共30分）
9．（5分）x，y∈R，命题：“如果xy=0，则x=0”的逆否命题是．10．（5分）抛物线x2=ay的准线方程是y=2，则实数a的值为．11．（5分）已知点P（1，1）在双曲线C上，C的渐近线方程为y=±x，则双曲线C的方程为．
12．（5分）已知空间四点A（4，1，3），B（2，3，1），C（3，7，﹣5），D（x，﹣1，3）共面，则x的值为．
13．（5分）曲线=1（b＞0）与曲线y=|x|﹣1交于A、B两点且|AB|=6，则b的值为．
14．（5分）曲线C是平面内到定点A（1，0）的距离与到定直线x=﹣1的距离之和为3的动点P的轨迹．则曲线C与y轴交点的坐标是；又已知点B（a，1）（a为常数），那么|PB|+|PA|的最小值d（a）=．
三、解答题（共30分）
15．（8分）如图，在棱长为a的正方体OABC﹣O1A1B1C1中，E、F分别是棱AB、BC上的动点，AE=BF=x，其中0≤x≤a，以O为原点，直线OA、OC、OO1为x，y，z轴，建立如图的空间直角坐标系O﹣xyz．
（I）直接写出E、F的坐标；
（II）若x=a，求证：A1C1∥EF；
（III）求证：A1F⊥C1E．
16．（12分）如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，AB∥EF，矩形ABCD 所在的平面与圆O所的平面相互垂直．已知AB=2，EF=1．
（I）求证：平面DAF⊥平面CBF；
（II）当时AD=1，求直线CF与平面ABCD所成角的正弦值；
（III）当AD的长为何值时，平面DFC与平面FCB所成的锐二面角的大小为60°？
17．（10分）已知椭圆C的焦点分别为点F1（﹣1，0）、F2（1，0），C的离心率e=．
（I）求椭圆C的方程；
（II）经过点（0，）且斜率为k的直线l与曲线C有两个不同的交点P和Q，求k的取值范围；
（III）已知点M（，0），N（0，1），在（II）的条件下，是否存在常数k，使得向量+与
共线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．
2017-2018学年北京市人大附中高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题5分，共40分）
1．（5分）设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A，2x ∈B，则（）
A．￢p：∃x∈A，2x∈B B．￢p：∃x∉A，2x∈B C．￢p：∃x∈A，2x∉B D．￢p：∀x∉A，2x∉B
【解答】解：∵“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，
∴命题p：∀x∈A，2x∈B 的否定是：
￢p：∃x∈A，2x∉B．
故选：C．
2．（5分）已知向量=（2，﹣3，5）与向量=（3，λ，）平行，则λ=（）A．B．C．﹣ D．﹣
【解答】解：∵向量=（2，﹣3，5）与向量=（3，λ，）平行，
∴==，
∴λ=﹣．
故选：C．
3．（5分）已知中点在原点的双曲线C的右焦点为F（3，0），离心率等于，则双曲线的虚轴长为（）
A．B．5 C．2 D．10
【解答】解：设双曲线方程为（a＞0，b＞0），则
∵双曲线C的右焦点为F（3，0），离心率等于，
∴，∴c=3，a=2，∴b2=c2﹣a2=5
∴双曲线方程的虚轴长为2．
故选：C．
4．（5分）“a＞0，b＞0”是“曲线ax2+by2=1为椭圆”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【解答】解：当a=b=1时，满足a＞0，b＞0，曲线方程ax2+by2=1为x2+y2=1为圆，不是椭圆，充分性不成立．
若ax2+by2=1表示椭圆，则a＞0，b＞0且a≠b，即a＞0，b＞0，必要性成立，即“a＞0，b＞0”是“曲线ax2+by2=1为椭圆”的必要不充分条件，
故选：B．
5．（5分）已知正三棱锥A﹣BCD的侧棱长都等于a，底面正三角形的边长a，点E、F分别是棱BC、AD的中点，则异面直线AE和CF所成角的余弦值为（）A．B．C．D．
【解答】解：连结DE，到DE中点P，连结PF、PC，
∵正三棱锥A﹣BCD的侧棱长都等于a，底面正三角形的边长a，
点E、F分别是棱BC、AD的中点，
∴PF∥AE，∴∠PFC是异面直线AE和CF所成角的余弦值，
AE==a，DE==a，
CF==，
PF=，PC==，
∴cos∠PFC==．
∴异面直线AE和CF所成角的余弦值为．
故选：A．
