2024届高三第二次联考理科数学（答案在最后）考试时间120分钟，满分150分注意事项：1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名､座位号和考籍号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”.2.选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案：非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上､试卷上答题无效.3.考试结束后由监考老师将答题卡收回.一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}21230,31x A xx x B x -=--=>∣∣ ，则A B ⋂=（）A.(]1,1- B.[]1,3- C.(]1,3 D.[)3,∞+2.某圆锥的轴截面是斜边长为2的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为（）A.πC. D.2π3.若角α的终边位于第二象限，且1sin 2α=，则πsin 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.12B.12-C.32D.32-4.14C 同位素测年法最早由美国学者Willard Frank Libby 在1940年提出并试验成功，它是利用宇宙射线在大气中产生的14C 的放射性和衰变原理来检测埋在地下的动植物的死亡年代，当动植物被埋地下后，体内的碳循环就会停止，只进行放射性衰变.经研究发现，动植物死亡后的时间n （单位：年）与λ满足关系式lg25730lg n λ=，且0n P P λ=（动植物体内初始14C 的含量为0P ，死亡n 年后14C 的含量为n P ）.现在某古代祭祀坑中检测出一样本中14C 的含量为原来的70%，可以推测该样本距今约（）（参考数据：lg20.30,lg70.85≈≈）A.2750年B.2865年C.3050年D.3125年5.若复数z 满足21z -=，则z 的最小值为（）A.0B.1D.26.在ABC 中，“CA CB AB +<”是“ACB ∠是钝角”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.2023世界科幻大会在成都举办，主题场馆以自由､扩散､无界的未来建筑形象诠释科学与科幻主题，提取古蜀文化中神秘“古蜀之眼（黄金面具）”融入“星云”屋顶造型，建筑首层围绕共享中庭设置了剧场､主题展区及博物馆三大主题空间.现将4名志愿者安排到这三个主题空间进行志愿服务，则每个主题空间都有志愿者的不同的安排方式有（）A.6种B.18种C.24种D.36种8.若函数()()2log 21xf x ax =+-是偶函数，则a =（）A.-1B.12-C.1D.129.已知一样本数据（如茎叶图所示）的中位数为12，若,x y 均小于4，则该样本的方差最小时，,x y 的值分别为（）A.1，3B.11，13C.2，2D.12，1210.已知12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左，右焦点，点()()000,0M x y y ≠是双曲线E 上的点，点C 是12MF F 内切圆的圆心，若121212CMF CMF CF F S S S =+ ，则双曲线E 的渐近线为（）A.0y ±=B.0x =C.20x = D.20y =11.已知函数()e ,,x x tf x kx x t⎧=⎨<⎩ ，若对任意的实数,m t ，均满足关于x 的方程()f x m =至多有一根，则k 的取值范围是（）A.(]0,e B.(1,e ∞-⎤-⎦C.[]1,e D.)2e ,1-⎡⎣12.若函数()1sin cos 22f x x x =+在区间][0,,,2a a a ⎡⎤⎣⎦上的值域分别为[][],,,m n p q ，则下列命题错误的是（）A.若[][][],,1,1m n p q ==-，则a 的最小值为4π3B.若[][],,m n p q =，则a 的最小值为π3C.若m q ，则a 的取值范围为2π,π3⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.若n p ，则a 的取值范围为2π0,9⎛⎤ ⎥⎝⎦二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若抛物线22y px =-过点()1,2-，则该抛物线的焦点为__________.14.函数()e cos xf x x x =+在点0x =处的切线方程为__________.15.在ABC 中，1cos ,7,87A AB BC =-==，则BC 边上的高为__________.16.如图，在平行四边形ABCD 中，4,44DC AB AF EC =====，且EF 交AC 于点G ，现沿折痕AC 将ADC 折起，直至满足条件DC BC ⊥，此时cos EGF ∠=__________.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（12分）已知数列{}n a 的前n 项和()2*12n S n kn k =-+∈N ，且n S 的最大值为92.（1）确定常数k ，并求n a ；（2）求数列{}n a 的前15项和15T .18.（12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1160,,CAA AB BC AC CC ∠===.（1）求证：1AC A B ⊥；（2）若底面ABC 是正三角形，且平面11ACC A ⊥平面ABC ，求直线1A B 与平面11BCC B 所成角的正弦值.19.（12分）某半导体公司打算对生产的某批蚀刻有电源管理芯片的晶圆进行合格检测，已知一块直径为120mm 的完整的晶圆上可以切割若干块电源芯片，检测方法是：依次检测一块晶圆上的任意4块电源芯片.若4块电源芯片均通过检测，再检测该晶圆其他位置的1块电源芯片，若通过检测，则该块晶圆合格；若恰好3块电源芯片通过检测，再依次检测该晶圆其他位置的2块电源芯片，若都通过检测，则该块晶圆也视为合格，其他情况均视为该块晶圆不合格.假设晶圆上的电源芯片通过检测的概率均为12，且“各块芯片是否通过检测”相互独立.（1）求一块晶圆合格的概率；（2）已知检测每块电源芯片所需的时间为10秒，若以“一块晶圆是否合格”为标准，记检测一块晶圆所需的时间为X （单位：秒），求X 的分布列及数学期望.20.（12分）在平面直角坐标系中，分别过点()()2,0,2,0A B -的直线12,l l 的斜率之积为34-.（1）求1l 与2l 的交点P 的轨迹方程；（2）已知直线AP 与直线2x =交于点Q ，线段QB 的中点为M ，若点F 的坐标为()1,0F ，证明：点B 关于直线FM 的对称点在PF 上.21.（12分）已知函数()()()ln f x x b x a =++的导函数为()f x '.（1）当0a =且1b =时，求()f x '的最小值；（2）当0a ≠且0b =时，若()f x 存在两个极值点，求a 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在22､23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为cos ,1sin ,x t y t αα=⎧⎨=+⎩（t 为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，点M 是曲线:1sin C ρθ=-上的一动点.（1）若直线l 过点()2,0A ，求直线l 的斜率；（2）设直线l 恒过定点N ，若32MN =，求点M 的极径M ρ.23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数()()223,f x x a x ba b +=-++∈R .（1）当1a b ==时，解不等式()6f x ；（2）若函数()f x 的最小值为m ，且2a b +=，求m 的最小值.2024届高三第二次联考理科数学参考答案及评分标准一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.()1,0-14.210x y -+=15.216.12-解析：1.解：由2230x x -- 解得[]1,3A =-，由131x ->解得()1,B ∞=+，所以(]1,3A B ⋂=，选C.2.解：由题可知该圆锥的底面半径为1，选B.3.解：因为角α的终边位于第二象限，则cos 2α==-，所以π3sin cos 22αα⎛⎫+==- ⎪⎝⎭，选D.4.解：经过n 年后含量为00.7P ，所以有0107n P P =，代入关系式得10lg25730lg 7n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()lg 1071lg7573057302865lg2lg2n ÷-=⨯=⨯≈，所以2865n ≈，选B.5.解：设i z x y =+（i 为虚数单位），有()2i 1x y -+=，即22(2)1,x y z -+=在复平面上对应的点在该圆上，所以z 是该圆上的点到原点距离的最小值，z 的最小值为1，选B .6.解：“CA CB AB +< ”等价于“CA CB CB CA +<- ”，平方可化为0CA CB ⋅<，显然,,A B C 不共线，原条件等价于ACB ∠是钝角，选C .7.解：首先将志愿者分成三组有246C =种，安排到三个主题空间有336A =种，根据分步乘法计数原理，不同的安排方式有6636⨯=种，选D.8.解：因为x ∈R ，所以()()()()22212log 21log log 2112xxxxf x ax ax a x -⎛⎫+-=++=+=+-- ⎪⎝⎭，又()()f x f x -=，所以11,2a a a =-=，选D.9.解：因为,x y 均小于4，由茎叶图可知，中位数为1010122x y+++=，所以4x y +=，样本的平均值为12351010141516201010x y +++++++++++=，要使样本的方差2S 最小，即使22x y +最小，又222()82x y x y ++= ，当且仅当“2x y ==”时，等号成立，所以,x y 均为2，选C.10.解：设12MF F 内切圆的半径为r ，则有1212111224MF r MF r F F r ⋅=⋅+⋅，所以12MF MF c -=，由双曲线的定义可知2c a =，继而,b E =的渐近线为22220x y a b-=，化简为0y ±=，选A.11.解：①若0k =，对于0m =，方程()f x m =有无数个解，不符合题意；②若0k <，函数()f x 在区间(),t ∞-上为减函数，在区间[),t ∞+上为增函数，对于任意{}()max e ,,t m kt ∞∈+，方程()f x m =恒有两不同的解，不符合题意；③若0k >，函数()f x 在区间()[),,,t t ∞∞-+上为增函数，当x t <时，()max f x kt →，当x t 时，()min e tf x =，若满足题设条件，则只需满足e tkt 即可，当0t 时，恒成立，当0t >时，e tk t即可，令()()()()2e 1e ,,t tt g t g t g t t t-'==在(),1∞-上为减函数，在()1,∞+上为增函数，所以()()min 1e g t g ==，即0e k < .综上所述：k 的取值范围为0e k < ，选A .12.由题可知()πsin 6f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，令()()41,π2π3f x x k k =-=+∈N ，令()()π1,2π3f x x k k ==+∈N ，若1m =-，则4π3a ，当4π3a =时，872ππ33a =>，此时[][][],,1,1m n p q ==-，A 正确；因为[][],,m n p q =，若π3a，则12m p ==，所以()122f a =，解得π3a =或0a =（舍），所以a 的最小值为π,B 3正确；又因为当2π03a <<时，12m =，此时()12f a >，与条件m q 不符，当2π8π39a 时，()()2f a f a ，此时()m q f a ==，满足条件m q ，当8π4π93a <<时，()()2m f a f a =<，不满足条件m q ，当4π3a时，1m =-，不满足条件m q ，C 错误；因为当()2π0,9a n f a p <== ，满足条件n p ，当2ππ93a <<时，()()2n f a f a p =>=，不满足条件n p ，当π3a 时，1n =，不满足条件n p ，D 正确，选C.13.解：将()1,2-代入抛物线方程得2p =，所以抛物线的焦点为()1,0-.14.解：因为()01f =，又()()ecos sin 1xf x x x =-+'，有()02f '=，所以在点0x =处的切线方程为()120y x -=-，化简为210x y -+=.15.解：因为43sin 7A ==，由正弦定理得sin 4313sin 7782AB A C BC ⋅==⨯⨯=，设BC 边上的高为h ，则sin 2h AC C =⋅=.16.解：由题意可知AGF CGE ≅ ，所以1GF GE ==，折起后如图所示，因为DC BC ⊥，易得BC ⊥平面1D AC ，继而得到平面1D AC ⊥平面ABC ，分别过点,E F 作AC 的垂线,EM FN ，垂足分别为点,M N ，又平面1D AC ⋂平面ABC AC =，即有,EM MN MN NF ⊥⊥，同时易证得EM NF ⊥，222211,2322EF EM MN NF EF EM MN NF =++=++=++= ，所以EF =221131cos 2112EGF ∠+==-⨯⨯.三､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（12分）解：（1）当n k =时，212n S n kn =-+取得最大值，即222119,3,222k S k k k k =-+===所以2132n S n n =-+，当2n 时，()2211173(1)31222n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-+---+-=-⎢⎥⎣⎦，当1n =时，1152a S ==（符合上式），所以72n a n =-；（2）151532T S S =-+2211153153152333.222⎛⎫⎛⎫=--⨯+⨯+-⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭18.（12分）解：（1）作AC 的中点O ，连接1,,OA OB AC ，因为1160,CAA AC CC ∠==，所以1ACC 是正三角形，又点O 为AC 的中点，所以1AO AC ⊥，又因为AB BC =，点O 为AC 的中点，所以BO AC ⊥，因为1AO OB O ⋂=，又因为1,A O OB ⊂平面1AOB ，所以AC ⊥平面1AOB ，又因为1A B ⊂平面1AOB ，所以1AC A B ⊥；（2）由平面11ACC A ⊥平面ABC ，平面11ACC A ⋂平面ABC AC =，因为1A O ⊂平面11ACC A ，又由（1）知1A O AC ⊥，所以1AO ⊥平面ABC ，分别以1,,OB OC OA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设2AC a =，则())()0,,0,,0,0,0,,0A a BC a -，())()111,,,0,2A B a C a ，所以()()10,,,,0BB a BC a == ，设平面11BCC B 的法向量(),,n x y z =，所以100BB n ay BC n ay ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取非零向量()1n =- ，又因为)1,0,A B =，设直线1A B 与平面11BCC B 所成角为θ，所以111sin cos ,5A B n A B n A B nθ⋅===⨯ ，所以直线1A B 与平面11BCC B所成角的正弦值为5.19.（12分）解：（1）设第一次取出的4块均通过检测为事件1A ，第一次取出的4块中恰有3块通过检测为事件2A ，第二次取出的1块通过检测为事件1B ，第二次取出的2块均通过检测为事件2B ，这一块晶圆合格为事件C ，()()()()()111222P C P A P B A P A P B A =+∣∣4324344111113;2222232C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）X 的可能取值为20,30,40,50,60，并且()0211120224P X C ==⨯⨯=，()121111302224P X C ==⨯⨯⨯=，()22311134022216P X C ⎛⎫==⨯⨯⨯=⎪⎝⎭，()4343441111*********P X C C ⎛⎫⎛⎫==⨯+⨯⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3341111602228P X C ⎛⎫==⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，所以X 的分布列为X2030405060P 141431631618期望()11331295203040506044161688E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.20.（12分）解：（1）设点P 的坐标为()1,,x y l 的斜率为2,2y l x +的斜率为2y x -，由3224y y x x ⨯=-+-化简可得()221243x y x +=≠±，所以点P 的轨迹方程为()221243x y x +=≠±；（2）“点B 关于直线FM 的对称点在PF 上”等价于“FM 平分PFB ∠”，设直线AP 的方程为()()20y k x k =+≠，则()()2,4,2,2Q k M k ，设点()00,P x y ，由()222143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2222341616120k x k x k +++-=，得2028634k x k -+=+且021234k y k =+，①当PF x ⊥轴时，01x =，此时12k =±，所以()()31,,2,2,2,12P Q M ⎛⎫±±± ⎪⎝⎭，此时，点M 在PFB ∠的角平分线所在的直线1y x =-或1y x =-+上，FM 平分PFB ∠，②当12k ≠±时，PF的斜率为0204114PF y k kx k ==--，所以PF 的方程为()244140kx k y k +--=，所以点M 到直线PF 的距离()222412,41k k d k BE k +====+点B 关于直线FM 的对称点在PF 上.21.（12分）解：（1）当0a =且1b =时，()()()()11ln ,0,,ln 1f x x x x f x x x∞=+∈++'=+，令函数()()1ln 1,0,h x x x x ∞=++∈+，则有()22111x h x x x x-=-='，当()0,1x ∈时，()()0,h x h x '<为减函数；当()1,x ∞∈+时，()()0,h x h x '>为增函数，所以()min ()12h x h ==，即()f x '的最小值为2；（2）当0b =时，()()ln f x x x a =+，因为此时(),x a ∞∈-+，有()()ln x f x x a x a=+++'，令()()g x f x ='，有()()2212()()a x a g x x a x a x a '+=+=+++，①当0a >时，因为220x a a a a +>-+=>，所以()0g x '>，即()f x '在(),a ∞-+上为增函数，故()f x 不可能存在两个极值点，②当0a <时，解()0g x '=，得2x a =-，显然2a a ->-，故当(),2x a a ∈--时，()()0,g x f x '<'为减函数，当()2,x a ∞∈-+时，()()0,g x f x '>'为增函数，所以()()min ()2ln 2f x f a a '='-=-+，i.当()ln 20a -+ ，即2e a -- 时，()()0,f x f x ' 在(),a ∞-+上为增函数，故()f x 不存在极值点，ii.当()ln 20a -+<，即2e 0a --<<时，又因为222a a a a -<-<-，所以()2222ln 12ln ln2122a a f a a a a '⎛⎫-=+-=--++ ⎪-⎝⎭，又由第（1）问知：1ln 12x x ++ ，所以1ln 1x x+ ，继而有()()212ln 2ln 2a a a a ⎡⎤-+=-+⎢⎥--⎣⎦ ，所以23ln202a f a ⎛⎫'--> ⎪⎝⎭，又因为12a a ->-，所以()110f a a -=->'，又因为()()2ln 20f a a '-=-+<，所以存在()212,2,2,12a x a a x a ⎛⎫∈--∈- ⎪⎝⎭使得()0f x '=，且()f x 在()()120,,,x x ∞+上为增函数，在()12,x x 上为减函数，所以12,x x 分别是()y f x =的极大值点和极小值点，综上所述，a 的取值范围为()2e ,0--.22.（10分）解：（1）将()2,0A 代入直线l 的参数方程cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩，即2cos 01sin t t αα=⎧⎨=+⎩，解得1tan 2α=-，所以直线l 的斜率为12-；（2）由直线l 的参数方程可知点N 的坐标为()0,1，又点M 是曲线:1sin C ρθ=-上的一动点，设点M 的极坐标为()1sin ,θθ-，在OMN 中，由余弦定理得：2312cos 4M M MON ρρ∠=+-⨯⨯，即23π12cos ,42M M ρρθ⎛⎫=+-⨯⨯- ⎪⎝⎭即()231214M M M ρρρ=+-⨯⨯-，解得12M ρ=或16M ρ=.23.（10分）解：（1）当1a b ==时，()6f x 等价于316x x -++ ；当1x - ，原不等式等价于316x x --- ，解得21x -- ，当13x -<<，原不等式等价于316x x -++ ，解得13x -<<，当3x ，原不等式等价于316x x -++ ，解得34x ，综上所述：不等式()6f x 的解集为24x - ；（2）因为()222222333f x x a x b x a x b a b =-++---=+ ，即223m a b =+，又由柯西不等式()222131()3a b a b ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭ ，所以23()34m a b += ，当且仅当“3a b =”，即“13,22a b ==”时，等号成立.。
