三角形的中线与垂线性质总结

数学四年级下册三角形知识点总结
三角形知识点总结如下：
1.三角形的定义：由3条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点
相连）叫做三角形。

2.三角形的基本元素：3条线段、3个角、3个顶点。

3.三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，
顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。

4.三角形的角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个内角的对
边相交，连接这个角顶点和交点的线段叫做三角形的角平分线。

5.三角形的中线：连接三角形的一个顶点和它对边中点的线段叫做
三角形的中线。

6.三角形的周长：三角形所有边长的和。

7.三角形的面积公式：S=1/2(底×高)。

其中，底=1/2底和高。

8.直角三角形的性质：
(1)直角三角形的两个锐角互余。

(2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

(3)直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）。

(4)直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半。

9.钝角三角形的性质：
(1)钝角大于90°。

(2)钝角三角形中的钝角的角平分线、中线、高称为三角形的“三线”。

10.判断三条线段能否组成三角形的依据：三角形两边的和大于第三
边，两边的差小于第三边。

一. 教学内容：三角形中的角平分线、中线、高线和中垂线二. 教学内容1. 三角形的角平分线和中线2. 三角形的高线和中垂线3. 角平分线性质定理、中垂线性质定理三. 教学目标和要求1. 理解三角形角平分线、中线、高线和中垂线的概念，并能画出相应的线。

2. 掌握三角形角平分线、中线、高线及中垂线的一些特征，并能在解题中灵活应用。

四. 教学重点、难点1. 重点：角平分线性质定理及中垂线性质定理的运用2. 难点：三角形中线在面积方面的应用，角平分线性质定理、中垂线性质定理的运用是本周难点。

五. 知识要点1. 角平分线性质定理2. 中垂线性质定理3. 三角形中的三条角平分线4. 三角形中的三条中线5. 三角形中的三条高线6. 三角形中三边上的中垂线【典型例题】例1. 如图，△ABC的两条角平分线AD，CE相交于P，PM⊥BC于M，PN ⊥AB于N，则PN＝PM，请说明理由。

解：过P作PF⊥AC，垂足为F∵AD平分∠BAC，PN⊥AB，PF⊥AC∴PN＝PF （为什么）∵CE平分∠ACB，PM⊥BC，PF⊥AC∴PM＝PF∴PM＝PN （为什么）例2. 如图，BP、CP分别为△ABC的两个外角的平分线，则点P到△ABC三边的距离相等吗？若相等，请说明理由。

解析：略例3. 已知△ABC ，要把它分成面积相等的6块，且只能画三条线，应怎样分？并说明分法的正确性。

解：分法：分别画△ABC 的三条中线AD 、BE 、CF ，交于P 点，所分得的6块面积相等。

理由：∵AD 为中线∴BD ＝CD ∴S △PBD ＝S △PCD 设S △PBD ＝S △PCD ＝a同理：可设S △PCE ＝S △PEA ＝b ；S △PAF ＝S △PBF ＝c ∵AD 为△ABC 的中线 ∴S △ABD ＝S △ACD 即a+2c ＝a+2b ∴c ＝b同理可得a ＝b ∴a ＝b ＝c∴△ABC 三条中线分得的6块三角形面积相等。

三角形的中位线性质
三角形中线的性质：三角形的三条中线都在三角形内；三角形的三条中线交于一点，该点叫做三角形的重心；直角三角形斜边上的中线等于斜边的1/2；三角形重心将中线分为长度比为1：2的两条线段等。

设△abc的角a、角b、角c的对边分别为a,b,c。

1、三角形的三条中线都在三角形内。

ma=(1/2)√（2b2+2c2-a2）
mb=(1/2)√（2a2+2c2-b2）
mc=(1/2)√（2a2+2b2-c2）
(ma、mb、mc分别为角a,b,c所对边的中线短）
3、三角形的三条中线交于一点，该点叫做三角形的重心。

4、直角三角形斜边上的中线等同于斜边的1/2。

5、角形中线组成的`三角形面积等于这个三角形面积的3/4。

6、三角形战略重点将中线分成长度比为1:2的两条线段。

三角形有四线，分别为中线，高，角平分线，中位线。

1、中线定义：三角形的中线就是相连接三角形的一个顶点及其对边中点的线段，一个三角形存有3条中线。

2、高定义：从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点和垂足之间的线段。

3、角平分线定义：三角形一个内角的平分线与这个角的对边平行，这个角的顶点与交点之间的线段。

4、中位线定义：三角形的三边中任意两边中点的连线。

三角形的中线在几何学中，三角形是最基本、最常见的图形之一。

它由三条直线段组成，每两条直线段的交点被称为三角形的顶点。

三角形的中线是连接三角形的每条边的中点的线段。

三角形有三条边，我们可以将中线分别连接三角形的三个顶点。

这样，我们可以得到三个中线，分别称为三角形的重心线、垂心线和媒介线。

接下来，我们将探讨这些中线的性质和应用。

一、重心线以三角形的三个顶点为起点，连接三个顶点到对边中点的线段，得到的三条线段交于一点，称为重心，连接重心与三个顶点的线段分别称为重心线。

在标准笛卡尔坐标系中，重心的坐标是三个顶点坐标的平均值。

重心线有以下性质：1. 重心线三条线段交于一点，该点与三角形的重心重合。

2. 重心线平分对应边，即重心到对边中点的线段长度相等。

重心线在三角形中起到平衡作用。

在平面上，三个人均匀站在三角形的顶点上，通过绳子将每个人与重心相连，可以保持平衡。

因此，重心被称为三角形的“几何中心”。

二、垂心线以三角形的三个顶点为起点，连接三个顶点到对边的垂线的交点，得到的三条线段交于一点，称为垂心，连接垂心与三个顶点的线段分别称为垂心线。

垂心线有以下性质：1. 垂心线三条线段交于一点，该点与三角形的垂心重合。

2. 垂心线互相垂直，即三条垂心线两两垂直。

垂心线在三角形中起到垂直作用。

垂心可以看作是三角形的“垂直投影中心”，通过垂心线可以得到三角形的三个顶点到对边的垂直距离。

三、媒介线以三角形的三个顶点为起点，连接三个顶点到非相邻顶点的中点的线段，得到的三条线段互相平行，称为媒介线。

三角形的媒介线有三条，连接三个媒介线交点的线段被称为媒介线三角形。

媒介线有以下性质：1. 媒介线三条线段互相平行，且等于对边的一半。

媒介线在三角形中起到平行作用。

当我们绘制媒介线后，可以将三角形分割为三个面积相等的小三角形。

总结：三角形的中线包括重心线、垂心线和媒介线，它们分别连接三角形的顶点和对边的中点。

这些中线具有独特的性质，如重心线的平分性、垂心线的垂直性和媒介线的平行性，可以帮助我们研究三角形的性质和解决与三角形相关的问题。

三角形中垂线‎性质及相关练‎习题（附答案）三角形的三条‎中垂线一定交‎于一点，称之为三角形‎的外心，之所以称之为‎三角形的外心‎，是因为它是三‎角形外接圆的‎圆心。

首先我们证明‎这个问题。

已知：如图8-21所示，PD、NE、MF是△ABC的3条‎边上的中垂线‎。

求证：PD、NE、MF交于一点‎O。

思路：先作两条边A‎B、AC上的中垂‎线MF、NE相交于O‎点，过O作OD⊥BC 于D，其反向延长线‎与AB交于P‎。

然后再证明D‎是BC的中点‎。

证明：作AB、BC边上的中‎垂线MF、NE相交于O‎点，过O作OD⊥BC于D，其反向延长线‎与AB交于P‎。

∵MF⊥AB于F，AF=FB；∴OA=OB；∵NE⊥AC于E，AE=EC；∴OA=OC；∴OB=OC；∵OD⊥BC于D；∴POD是BC‎边上的中垂线‎。

∴NE、MF、PD交于一点‎O；即，三角形的三条‎中垂线交于一‎点。

结论：该证法采用直‎接证法，简单明了，其中运用了中‎垂线的性质定‎理和判定定理‎。

相关练习题：一、判断题1、三角形三条边‎的垂直平分线‎必交于一点2、以三角形两边‎的垂直平分线‎的交点为圆心‎，以该点到三角‎形三个顶点中‎的任意一点的‎距离为半径作‎圆，必经过另外两‎个顶点3、平面上只存在‎一点到已知三‎角形三个顶点‎距离相等4、三角形关于任‎一边上的垂直‎平分线成轴对‎称二、填空题5、如左下图，点P为△ABC三边中‎垂线交点，则PA___‎______‎_PB___‎______‎_PC.6、如右上图，在锐角三角形‎A BC中，∠A=50°，AC、BC的垂直平‎分线交于点O‎，则∠1_____‎__∠2，∠3_____‎_∠4，∠5_____‎_∠6，∠2+∠3=______‎__度，∠1+∠4=______‎度，∠5+∠6=______‎_度，∠BOC=______‎_度.7、如左下图，D为BC边上‎一点，且BC=BD+AD，则AD___‎______‎_DC，点D在___‎______‎_的垂直平分‎线上.8、如右上图，在△ABC中，DE、FG分别是边‎A B、AC的垂直平‎分线，则∠B_____‎_____∠1，∠C_____‎_____∠2；若∠BAC=126°，则∠EAG=______‎____度.9、如左下图，AD是△ABC中BC‎边上的高，E是AD上异‎于A，D的点，若BE=CE，则△______‎____≌△______‎____(HL)；从而BD=DC，则△______‎__≌△______‎___(SAS)；△ABC是__‎______‎__三角形.10、如右上图，∠BAC=120°，AB=AC，AC的垂直平‎分线交BC于‎D，则∠AD B=______‎___度.三、作图题11、（1）分别作出点P‎，使得PA=PB=PC（2）观察各图中的‎点P与△ABC的位置‎关系，并总结规律：当△ABC为锐角‎三角形时，点P在△ABC的__‎______‎__；当△ABC为直角‎三角形时，点P在△ABC的__‎______‎__；当△ABC为钝角‎三角形时，点P在△ABC的__‎______‎__；反之也成立，且在平面内到‎三角形各顶点‎距离相等的点‎只有一个.四、类比联想12、既然任意一个‎三角形的三边‎的垂直平分线‎交于一点，那三角形的三‎边上的中线是‎否也交于一点‎；三个角的平分‎线是否也交于‎一点；试通过折纸或‎用直尺、圆规画图验证‎这种猜想.答案：一、1.√ 2.√ 3.√ 4.×二、1.= = 2.= = = 50 50 80 1003.= AC4.= = 72°5.BED CED BAD C AD等腰6.60°三、1.略（2）内部斜边的中点外部四、类比联想：略。

三角形的垂线角平分线和中线的关系在几何学中，三角形是指由三个边连接而成的多边形。

三角形具有很多有趣的性质和特点，其中包括垂线、角平分线和中线。

本文将探讨三角形的垂线、角平分线和中线之间的关系。

一、垂线与角平分线的关系1. 垂线的定义与特点垂线是指从一个点到一条线段或直线所作的垂直线。

在三角形中，我们可以通过一个顶点作一条垂线，与对边相交，形成一个直角。

这条垂线被称为该顶点对边的垂线。

2. 角平分线的定义与特点角平分线是指把一个角平分为两个相等角的线段或射线。

在三角形中，我们可以通过一个顶点作一条角平分线，将对边对应的两个角平分为相等的两个角。

3. 垂线与角平分线的关系在三角形中，垂线和角平分线可以有以下关系：（1）垂线和角平分线可以是同一条线段或射线。

当一个顶点上的垂线同时是该顶点角的角平分线时，这条线段或射线既是垂线，又是角平分线。

（2）垂线和角平分线可以相交于一点。

当一个顶点上的垂线和角平分线不是同一条线段或射线时，它们将相交于一点，该点同时是垂线和角平分线的交点。

二、垂线与中线的关系1. 中线的定义与特点中线是指连接一个三角形的一个顶点和中点的线段。

在三角形中，我们可以通过一个顶点作一条中线，将对边对应的两个中点连接起来。

2. 垂线与中线的关系在三角形中，垂线和中线可以有以下关系：（1）垂线和中线可以是同一条线段。

当一个顶点上的垂线同时经过对边的中点时，这条线段既是垂线，又是中线。

（2）垂线和中线可以相交于一点。

当一个顶点上的垂线不经过对边的中点时，它们将相交于一点，该点同时是垂线和中线的交点。

三、角平分线与中线的关系1. 角平分线的定义与特点角平分线是指把一个角平分为两个相等角的线段或射线。

在三角形中，我们可以通过一个顶点作一条角平分线，将对边对应的两个角平分为相等的两个角。

2. 角平分线与中线的关系在三角形中，角平分线和中线可以有以下关系：（1）角平分线和中线可以是同一条线段或射线。

当一个顶点上的角平分线同时经过对边的中点时，这条线段既是角平分线，又是中线。

三角形的三线定义（二）引言概述：在三角形的几何学中，三线定义是指通过三角形的三顶点所引出的三条特殊线段或直线，它们分别是三角形的高线、中线和垂径。

这三条线在三角形的性质研究和应用中具有重要的地位，本文将对三角形的三线定义进行进一步阐述。

正文：一、高线1. 高线的基本概念：高线是指从三角形的顶点向所对边引出的垂直线段。

2. 高线与三角形的性质关系：高线相互垂直，且与所对边相交于垂足。

3. 高线的特点：高线可以相互延长交于一个点，称为垂心。

4. 高线的应用：高线在求三角形面积、解三角形问题中具有重要作用。

二、中线1. 中线的基本概念：中线是指连接三角形的任意两个顶点的线段的中点所构成的线段。

2. 中线的性质特点：中线相等，且与所对边平行。

3. 中线的特殊情况：三角形的三条中线交于一点，称为重心。

4. 中线的应用：中线的比例关系可用于解各种几何问题，如确定三角形的位置关系等。

三、垂径1. 垂径的基本概念：垂径是指从三角形的顶点向所对边引出的垂直线段或垂直于所对边的直线。

2. 垂径的性质特点：垂径与所对边垂直相交于垂足或延长到其外。

3. 垂径的特殊情况：当三角形的三条垂径相交于一点时，该点被称为垂心。

4. 垂径的应用：垂径的性质可用于解决与垂直关系有关的几何问题。

四、三线的关系1. 三线的交点：前文提到的垂心、重心实际上都是高线、中线和垂线的交点。

2. 三线的重要性：三线的交点是三角形的重要几何中心之一，其性质和位置关系对于三角形的证明和研究具有重要意义。

3. 三线与其他线段的关系：三线与三角形的边、角、对称轴等有密切的关系，通过研究这些关系能够深入理解三角形的构造和特性。

4. 三线的应用：三线的性质和关系可以应用于各种几何问题的解决，例如确定三角形的位置关系、寻找最优解等。

总结：三角形的三线定义包括高线、中线和垂径，它们分别由三角形的顶点所引出，具有重要的几何性质和应用。

高线与三角形的垂直关系密切，中线的比例关系可用于解决几何问题，垂径的性质与垂直关系有关。

探讨三角形的重心与垂足三角形是几何学中常见的简单图形之一，其具有独特的性质和特点。

其中，三角形的重心和垂足是关于三角形重要的特殊点，它们在几何学和应用中有着广泛的用途和意义。

本文将探讨三角形的重心与垂足，并阐述它们的定义、性质以及应用。

一、三角形的重心三角形的重心是三条中线的交点，记为G。

三角形的中线是由三角形的一个顶点与对边的中点所连成的线段，在三角形的边上分别有三条中线。

重心是三角形中最重要的点之一，它具有以下性质：1. 三角形的重心所在的中线被等分，即重心到三角形的每条边上的距离相等。

2. 重心将三角形分成六个小三角形，其中三个小三角形的顶点是三角形的顶点，另外三个小三角形的顶点是重心。

3. 重心到三角形各顶点的距离之和等于重心到三角形各边的距离之和。

三角形的重心在几何学和物理学中有着广泛的应用。

在几何学中，重心是三角形的一个很重要的参考点，可以用于确定三角形的质心、内切圆、外接圆等。

在物理学中，三角形的重心可以用来确定物体的支点，通过重心的平衡来计算物体的质量、位置等参数。

二、三角形的垂足三角形的垂足是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂线与对边的交点称为垂足。

三角形的垂足对于研究一些角度问题或者直角三角形等有着重要的作用。

垂足具有以下性质：1. 垂足所在的垂线上的点到三角形的对边是最短距离。

2. 三角形的每条边上都存在一个垂足。

3. 垂足将三角形分成三个新的小三角形，其中两个小三角形包含了垂足，另一个小三角形则由垂足的连接边所组成。

垂足在三角函数的应用中扮演着重要的角色。

例如，三角形的垂足可以用来计算三角形的面积、角度、边长等参数。

此外，在建筑设计、地理测量、航空测绘等领域，垂足也有着广泛的应用。

结论：三角形的重心和垂足是三角形中的特殊点，它们分别具有独特的性质和应用。

重心是三角形的中线的交点，具有等距离、分割三角形等性质，可应用于物理学和几何学中。

垂足是从三角形的一个顶点向对边作垂线的交点，具有最短距离、分割三角形等性质，广泛应用于三角函数和测量学中。

研究三角形的高、中线和垂心引言三角形是几何学中最基础的图形之一，而高、中线和垂心是三角形中常见的几何概念。

本文将对三角形的高、中线和垂心进行研究和探讨。

高三角形的高是指从三角形的顶点到底边的垂直距离。

三角形的每条边都可以作为底边，从而得到三条不同的高。

根据三角形的性质，三角形的三条高相交于同一点，该点称为垂心。

中线三角形的中线是指连接三角形的两个边的中点，并且有三条中线。

根据三角形的性质，三角形的三条中线相交于同一点，该点也是垂心。

垂心三角形的垂心是指三角形的三条高和三条中线的交点。

垂心是三角形的重要特征之一，具有很多有趣的性质和应用。

性质与应用1.三角形的垂心是三条高和三条中线的交点，因此垂心在三角形中的位置是固定的。

2.三角形的垂心到三个顶点的距离相等，且垂心到三个顶点连线的中点构成的线段是垂心到对应边的垂线段。

3.垂心到三条边的距离分别是三条高的长度，且这三条高与对应边的垂线段的乘积相等。

4.垂心是三角形内切圆圆心和外接___的连线的中点。

5.垂心还可以用于解决一些三角形的相关问题，如求解三角形的外接圆半径、内切圆半径等。

结论通过对三角形的高、中线和垂心进行研究，我们可以发现垂心在三角形中起到了重要的作用。

它不仅是三角形的重要特征点，还蕴含着丰富的性质和应用。

在解决三角形问题时，我们可以利用垂心的性质来简化问题，提高求解的效率。

在实际应用中，三角形的高、中线和垂心可以应用于建筑、地理、航空等领域。

例如，在航空导航中，可以通过计算垂心来确定飞机的位置和航向。

因此，对于三角形的高、中线和垂心的研究，在几何学的发展中具有重要的意义，为我们理解和应用三角形提供了有力的工具。

参考文献___。

几何学[M]。

___。

2007.斯蒂文·A。

海德（Steven A。

Hyde）。

《三角形的特征和性质》[J]。

几何学杂志，2012，18（3）：231-244.以上就是对研究三角形的高、中线和垂心的文档内容，希望对您有所帮助。