天津市第一中学高三数学上学期月考试卷 文(含解析)

天津一中2022-2023-1高三年级第三次月考数学试卷（答案）本试卷总分150分，考试用时120分钟。

考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。

一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、已知集合3{Z |Z}1A x x=∈∈-，2{Z |60}B x x x =∈--≤，则A B ⋃=（ ） A ．{2} B ．}{2,0,2- C ．{}2,1,0,1,2,3,4-- D ．}{3,2,0,2,4--【详解】{A x =∈2Z |x x --{2,1,0,1,2,3,4--．，b ，c 为非零实数，则“A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【分析】根据不等式的基本性质可判定“a ＞b ＞c ”能推出“a +b ＞2c ”，然后利用列举法判定“a +b ＞2c ”不能推出“a ＞b ＞c ”，从而可得结论．【解答】解：∵a ＞b ＞c ，∴a ＞c ，b ＞c ，则a +b ＞2c ， 即“a ＞b ＞c ”能推出“a +b ＞2c ”，但满足a +b ＞2c ，取a ＝4，b ＝﹣1，c ＝1，不满足a ＞b ＞c ， 即“a +b ＞2c ”不能推出“a ＞b ＞c ”，所以“a ＞b ＞c ”是“a +b ＞2c ”的充分不必要条件， 故选：A ．3、已知2log 0.8a =，0.12b =，sin 2.1c =，则（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b<c<a 【答案】B【详解】因为22log 0.8log 10<=，0.10122>=，0sin 2.11<<， 所以a c b <<， 故选：B 4、函数2sin ()1x xf x x -=+的图象大致为 （ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】【分析】根据函数的定义域、奇偶性以及2f π⎛⎫⎪⎝⎭的值来确定正确选项. 【详解】由题意，函数2sin ()1x xf x x -=+的定义域为R ， 且22sin()sin ()()()11x x x xf x f x x x -----===--++，所以函数()f x 奇函数，其图象关于原点对称，所以排除C 、D 项，2120212f πππ-⎛⎫=> ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以排除B 项． 故选：A5、已知1F 、2F 分别为双曲线2222:1x y E a b-=的左、右焦点，点M 在E 上，1221::2:3:4F F F M F M =，则双曲线E 的渐近线方程为 （ ） A ．2y x =± B ．12y x =±C．y = D．y =【答案】C【解析】由题意，1F 、2F 分别为双曲线2222:1x y E a b-=的左、右焦点，点M 在E 上，且满足1221:||:2:3:4F F F M F M =，可得122F F c =，23F M c =，14F M c =， 由双曲线的定义可知21243a F M F M c c c =-=-=，即2c a =，又由b ==，所以双曲线的渐近线方程为y =．故选：C ．6、设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若34S =，4566a a a ++=，则96S S = （ ）A ．32B ．1910 C ．53D ．196【答案】B【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，若1q =，则456133a a a a S ++==，矛盾． 所以，1q ≠，故()()33341345631111a q a q q a a a q S qq--++===--，则332q=， 所以，()()()63113631151112a q a q S q S qq--==+⋅=--， ()()()9311369311191114a q a q S q q S qq--==++=--， 因此，9363192194510S S S S =⋅=．故选：B ． 7、直线1y kx =-被椭圆22:15x C y +=截得最长的弦为（ ） A ．3 B ．52C ．2D【答案】B【解析】联立直线1y kx =-和椭圆2215xy +=，可得22(15)100k x kx +-=，解得0x =或21015kx k =+，则弦长21015kl k =+，令215(1)k t t +=≥，则10l === 当83t =，即k =，l 取得最大值55242⨯=， 故选：B8、设函数()sin()(0)4f x x πωω=->，若12()()2f x f x -=时，12x x -的最小值为3π，则（ ）A ．函数()f x 的周期为3πB ．将函数()f x 的图像向左平移4π个单位，得到的函数为奇函数 C ．当(,)63x ππ∈，()f x的值域为D ．函数()f x 在区间[,]-ππ上的零点个数共有6个 【答案】D【解析】由题意，得23T π=，所以23T π=，则23T πω==，所以()sin(3)4f x x π=-选项A 不正确； 对于选项B ：将函数()f x 的图像向左平移4π个单位，得到的函数是 ()sin[3()]cos344f x x x ππ=+-=为偶函数，所以选项B 错误；对于选项C ：当时(,)63x ππ∈，则33444x πππ<-<，所以()f x的值域为，选项C 不正确；对于选项D ：令()0,Z 123k f x x k ππ=⇒=+∈，所以当3,2,1,0,1,2k =---时，[,]x ππ∈-，所以函数()f x 在区间[,]-ππ上的零点个数共有6个，D 正确， 故选：D ．9、设函数()(),01,,10,1xx mf x x x m x ⎧≤<⎪⎪=⎨-⎪-<<+⎪⎩，()()41g x f x x =--.若函数()g x 在区间()1,1-上有且仅有一个零点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(]11,1,4⎡⎫--⋃+∞⎪⎢⎣⎭B ．(]1,1,4⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭C ．{}11,5⎡⎫-⋃+∞⎪⎢⎣⎭D ．{}11,15⎛⎫-⋃ ⎪⎝⎭【答案】C 【详解】令()()410g x f x x =--=，则()41f x x =+，当01x ≤<时，41xx m=+，即4x mx m =+，即函数1y x =与24y mx m =+的交点问题，其中24y mx m =+恒过A 1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭.当10x -<<时，()411x x m x -=++，即1114mx m x -+=++，即函数3111x y =-++与24y mx m =+的交点问题 分别画出函数1y ，2y ，3y 在各自区间上的图象： 当2y 与3y 相切时，有且仅有一个零点，此时()411xx m x -=++，化简得：()24510mx m x m +++=，由()2251160m m ∆=+-=得：11m =-，219m =-（舍去）当直线2y 的斜率，大于等于直线1y 的斜率时，有且仅有一个零点，把()1,1B 代入24y mx m =+中，解得：15m =，则15m ³综上，m 的取值范围是{}11,5⎡⎫-⋃+∞⎪⎢⎣⎭故选：C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10、已知复数z 满足()2i i z -=，则5i z -=___________．【答案】3【解析】因为圆22:20(0)C x ax y a -+=>的标准方程为：()222x a y a -+=，所以圆必坐标为(,0)a ，半径为a ，由题意得：32a a += 解得：3a = ，故答案为：3.12、已知3π3sin 85α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πcos 24α⎛⎫+= ⎪⎝⎭________． 【答案】725-【解析】2πcos 2cos 22cos 1488ππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦232cos 182ππα⎡⎤⎛⎫=-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦223372sin 1218525πα⎛⎫⎛⎫=--=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为：725- 13、直线l 与双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b -=>>的一条渐近线平行，l 过抛物线2:4C y x =的焦点，交C 于A ，B 两点，若||5AB =，则E 的离心率为_______．【详解】依题意，点F 的坐标为(1,0)，设直线l 的方程为1x my =+，联立方程组214x my y x=+⎧⎨=⎩，消去x 并整理得：2440y my --=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则124y y m +=，124y y =-，则2212||()4(1)5AB y y m ++=，解得：12m =±，∴直线l 的方程为220x y +-=或220x y --=；直线的斜率为：2±．直线l 与双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b -=>>的一条渐近线平行，可得2b a =，所以22224b a c a ==-，1e >，解得e =故14、已知1a >，1b >，且lg 12lg a b =-，则log 2log 4a b +的最小值为_______． 【答案】9lg2【解析】由已知，令lg 2log 2lg a m a ==，lg 4log 4lg b n b==， 所以lg 2lg a m =，lg 42lg 2lg b n n ==，代入lg 12lg a b =-得：lg 24lg 21m n+=， 因为1a >，1b >，所以lg 24lg 24log 2log 4()1()()5lg 2(lg 2lg 2)a b m nm n m n m n n m+=+⨯=++=++ 2lg 25lg 25lg 24lg 29lg 2n m≥+=+=．当且仅当4lg 2lg 2m n n m=时，即1310a b ==时等号成立． log 2log 4a b +的最小值为9lg2． 故答案为：9lg2．15、在Rt ABC 中，90C ∠=，若ABC 所在平面内的一点P 满足0PA PB PC λ++=，当1λ=时，222PA PB PC+的值为 ；当222PA PB PC+取得最小值时，λ的值为 ．【答案】5；-1【解析】（1）如图5-26，以C 为坐标原点建立直角坐标系， 因为0PA PB PC λ++=，所以点P 为ABC 的重心，设BC a =，AC b =，所以(),0A b ，()0,B a ，易得,33a b P ⎛⎫⎪⎝⎭，所以222222222411499991199a b a b PA PBPC b a ++++=+5=． （2）设(,)P x y ,则(,),(,),(,)PA b x y PB x a y PC x y =--=--=--, 所以2,2,b x x a y y λλ-=⎧⎨-=⎩可得(2),(2),b x a y λλ=+⎧⎨=+⎩于是222222222||||()()||PA PB x b y x y a x y PC +-+++-=+()222222222x y bx ay a b x y +--++=+ 22222222(2)(2)2(2)2(2)2x y x y x y λλλλ+++-+-+=++()()222222222x y x y λλλλ+++=++ 2222(1)11λλλ=++=++…当1λ=-时取等号,所以222||||||PA PB PC +的最小值为1． 故答案为：5；-1．三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16、如图，在平面四边形ABCD 中，对角线AC 平分BAD ∠，ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos cos cos 0B a C c A ++=． （1）求B ；（2）若2AB CD ==，ABC 的面积为2，求AD ． 【答案】（1）34B π=；（2）4=AD ．【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再根据两角和的正弦公式及诱导公式即可得到cos B=出B；（2）由三角形面积公式求出a，再利用余弦定理求出AC，即可求出cos CAB∠，依题意cos cosCAB CAD∠=∠，最后利用余弦定理得到方程，解得即可；【详解】（1）cos cos cos0B aC c A++=，cos sin cos cos sin0B B AC A C++=，()cos sin0B B A C++=，cos sin0B B B+=，因为0Bπ<<，所以sin0B>，所以cos B=34Bπ=．（2）因为ABC的面积2S=，所以1sin22==ABCS ac B，2=，所以a=由余弦定理得AC==所以222cos2AB AC BCCABAB AC+-∠==⋅因为AC平分BAD∠，所以cos cosCAB CAD∠=∠，所以2222cosCD AC AD AC AD CAD=+-⋅⋅∠，所以24202AD AD=+-⨯28160AD AD-+=，所以4=AD．17、如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABEF为正方形，DF⊥平面ABEF，//CD EF，2DF=，22EF CD==，2EN NC=，2BM MA=．（1）求证：//MN平面ACF；（2）求直线AD与平面BCE所成角的正弦值；（3）求平面ACF与平面BCE夹角的正弦值．【答案】（1）见解析；（2；（3）45【详解】（1）证明：在EF上取点P，使2EP PF=，因为2EN NC=，所以//NP FC，于是//NP平面ACF，因为2BM MA=，四边形ABEF为正方形，所以//MP AF，所以//MP平面ACF，因为MP PN P =，所以平面//MNP 平面ACF ，因为MN ⊂平面MNP ，所以//MN 平面ACF ；（2）解：因为DF ⊥平面ABEF ，所以DF FA ⊥，DF EF ⊥， 又因为四边形ABEF 为正方形，所以AF EF ⊥，所以FA 、FE 、FD 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系， (2AD =-，0，2)，(2EB =，0，0)，(0EC =，1-，2)，设平面BCE 的法向量为(m x =，y ，)x ， 2020EB m x EC m y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令1z =，(0m =，2，1)， 所以直线AD 与平面BCE所成角的正弦值为||2||||22AD m AD m ⋅=⋅⋅ （3）解：(2FA =，0，0)，(0FC =，1，2)， 设平面ACF 的法向量为(n u =，v ，)w ，2020FA n u FC n v w ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1w =-，(0n =，2，1)-， 由（1）知平面BCE 的法向量为(0m =，2，1)， 设平面ACF 与平面BCE 所成二面角的大小为θ，||33cos ||||55m n m n θ⋅===⋅⋅，4sin 5θ==．所以平面ACF 与平面BCE 所成二面角的正弦值为45． 18、已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点为12,F F ，P 为椭圆上一点，且212PF F F ⊥，12tan PF F ∠=． （1）求椭圆C 的离心率；（2）已知直线l 交椭圆C 于,A B 两点，且线段AB 的中点为11,2Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，若椭圆C 上存在点M ，满足234OA OB OM +=，试求椭圆C 的方程．【答案】（1）e =（2）22551164x y +=．【分析】（1）由212tan 2b a PF F c ∠==222a c b -=，建立关于e 的方程，即可得到结果； （2）设()()()112200,,,,,A x y B x yM x y ，由（1）可知224a b =，可设椭圆方程为22244x y b +=，根据234OA OB OM +=，可得120120234234x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，设1:(1)2AB y k x =--将其与椭圆方程联立，由韦达定理和点M 满足椭圆方程，可求出2b ，进而求出结果.【详解】（1）解：因为2212tan 22b b a PF F c ac ∠==26b =，即()226a c -=， 则()261e -=，解得e =（2）设()()()112200,,,,,A x y B x y M x y ，由22234c e a ==，得2243a c =，所以222221134b a c c a =-==，所以224a b =设2222:14x y C b b+=，即22244x y b +=由于,A B 在椭圆上，则2221144x y b +=，2222244x y b +=，①由234OA OB OM +=，得120120234234x x x y y y +=⎧⎨+=⎩，即120120234234x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩ 由M 在椭圆上，则2220044x y b +=,即212222144232344x x y y b ⎛⎫+= ⎪++⎛⎫ ⎪⎝⎝⎭⎭， 即()()()222211121222441249464x y x x y y x y b +++++=，②将①代入②得：212124x x y y b +=，③线段AB 的中点为11,2Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设1:(1)2AB y k x =--可知()22211244y k x x y b⎧=--⎪⎨⎪+=⎩ ()()22222148444410k x kk x k k b +-+++-+=212284121142k k x x k k ++==⨯⇒=+， 所以222220x x b -+-=，其中0∆>，解得212b >， 所以21222x x b ⋅=-，AB 方程为112y x =-又()2121212121111111122422b y y x x x x x x -⎛⎫⎛⎫=--=-++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，④ 将④代入③得：22221422425b b b b --+⋅=⇒=， 经检验满足212b >， 所以椭圆C 的方程为22551164x y +=. 19、已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且455=S 455=S ，40342=+a a .数列}{n b 的前n 项和为n T ，满足n n b T 413=+)(*N n ∈.（1）求数列}{n a 、}{n b 的通项公式；（2）若1)23(+⋅-=n n n n n a a a b c ，求数列}{n c 的前n 项和n R ； （3）设n n n b S d =，求证：11248-=+-<∑n n k k n d . 【答案】（1）32+=n a n ，14-=n n b ；（2）51524-+=n R n n ；（2）证明见详解． 【详解】（2）；（3）124n n n n n b c b b ++=， 112(3)44n n n n n n b n n c b b +-++∴==， 则12124)2(444--+=++<n n n n n n c ，122-+<n n ． 设1122n n k k k S '-=+=∑， 11123422122nn k n k k n S '--=++∴==++⋯+∑ 213422222n n n S +'∴=++⋯+ 12111(1)121112422334122222221()2n n n n n n n n n S ---+++'∴=-+++⋯+=-+=--，1482n n n S -+'∴=- 综上，11248-=+-<∑n n k k n c ． 20、已知函数()e cos x f x x =，()cos (0)g x a x x a =+<，曲线()y g x =在π6x =处的切线的斜率为32．（1）求实数a 的值；（2）对任意的π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()'()0f x g x -≥恒成立，求实数t 的取值范围； （3）设方程()'()f x g x =在区间()ππ2π,2π32n n n +⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭N 内的根从小到大依次为1x 、2x 、…、n x 、…，求证：12n n x x +->π．【答案】（1）1a =-；（2）1t ≥；（2）证明见详解．【分析】（1）由'π362g ⎛⎫= ⎪⎝⎭来求得a 的值. （2）由()'()0f x g x -≥，对x 进行分类讨论，分离常数t 以及构造函数法，结合导数求得t 的取值范围.（3）由()'()f x g x =构造函数()e cos sin 1x x x x ϕ=--，利用导数以及零点存在性定理，结合函数的单调性证得12n n x x +->π.【详解】（1）因为()cos (0)g x a x x a =+<，则()'1sin g x a x =-， 由已知可得'π131622g a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，解得1a =-． （2）由（1）可知()'1sin g x x =+，对任意的π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()'()0tf x g x -≥恒成立， 即e cos 1sin x t x x ≥+对任意的π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦恒成立， 当2x π=-时，则有00≥对任意的R t ∈恒成立； 当π02x -<≤时，cos 0x >，则1sin e cos x x t x+≥， 令1sin ()e cos x x h x x +=，其中π02x -<≤， ()()2'2e cos e (cos sin )(1sin )e cos x x x x x x x h x x --+=2(1cos )(1sin )0e cos x x x x-+=≥且()'h x 不恒为零， 故函数()h x 在π,02⎛⎤- ⎥⎝⎦上单调递增，则max ()(0)1h x h ==，故1t ≥． 综上所述，1t ≥．（3）由()'()f x g x =可得e cos 1sin x x x =+，e cos 1sin 0x x x --=，令()e cos sin 1x x x x ϕ=--，则()'e (cos sin )cos x x x x x ϕ=--， 因为()ππ2π,2π32x n n n +⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭N ，则sin cos 0x x >>，所以，()'0x ϕ<，所以，函数()ϕx 在()ππ2π,2π32n n n +⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭N 上单调递减，因为π2π3ππ2πe cos 2π33n n n ϕ+⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πsin 2π13n ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭π2π31e 12n +=π2π3e 102+≥>，π2π202n ϕ⎛⎫+=-< ⎪⎝⎭， 所以，存在唯一的()ππ2π,2π32n x n n n +⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭N ，使得()0n x ϕ=， 又1ππ2(1)π,2(1)π32n x n n +⎛⎫∈++++ ⎪⎝⎭()n +∈N ，则()1ππ2π2π,2π32n x n n n ++⎛⎫-∈++∈ ⎪⎝⎭N 且()10n x ϕ+=， 所以，()()12π112πe cos 2πn x n n x x ϕ+-++-=-()1sin 2π1n x +---12π11e cos sin 1n x n n x x +-++=--112π11e cos e cos n n x x n n x x ++-++=-()112π1e e cos 0n n x x n x ++-+=-<()n x ϕ=， 因为函数()ϕx 在()ππ2π,2π32n n n +⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭N 上单调递减， 故12n n x x +-π>，即12n n x x +->π．。

天津一中2024届高三年级第五次月考试卷数 学本试卷总分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一．选择题（本大题共9小题，每小题5分，共45分）1. 已知集合{}1,2,3,4,5U =，{}1,2A =，{}1,0,2,3B =-，则()UB A ⋃=ð（ ）A. {}3B. {}0,2,3,4,5C. {}1,0,2,3,4,5-D. {}2,3,4,52. 已知n 为正整数，则“22n n ≥”是“3n =”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 已知4log 2a =，e12b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，12πc =，则（ ）A. a b c >>B. b a c >>C. c b a >>D. c a b >>4. 已知函数()f x 的部分图象如下图所示，则()f x 的解析式可能是（ ）A ()2e ln e 1x xx f x ⋅=-B. ()21sin x f x x +=C. ()22e ex xx f x -+=- D. ()e 1cos e 1x x f x x +=⋅-.5. 已知各项均为正数的数列{}n a 前n 项和为n S ，11a =，211lg lg lg2n n n a a -++=，*n ∈N ，则9S =（ ） A. 511B. 61C. 41D. 96. 在一段时间内，分5次测得某种商品价格x （万元）和需求量()t y 之间的一组数据，绘制散点图如图所示，利用最小二乘法求得相应的经验回归方程为ˆ28.111.5yx =-，根据上述信息，如下判断正确的是（ ）价格x 1.4 1.6 1.822.2 需求量y12 10 7m3A. 商品的价格和需求量存在正相关关系B. y 与x 不具有线性相关关系C. 6m =D. 价格定为1.9万元，预测需求量大约为6.25t7. 已知AB ，CD 分别是圆台上、下底面圆直径，且AB CD ⊥，若圆台上底面圆直径为2，下底面圆直径为8，母线长为5，则三棱锥A BCD -的体积为（ ） A283B.323C. 14D. 188. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点记为1F ，2F 且124F F =，直线l 过2F 且与该双曲线的一条渐近线平行，记l 与双曲线的交点为P ，若所得12PF F △的内切圆半径恰为3b，则此双曲线的方程为（ ）A. 2213y x -=B. 2213x y -=C. 22122x y -=D. 22331210x y -=9. 已知函数()()sin cos ,0f x x a x x ωωω=+∈>R 的最大值为2，其部分图象如图所示，则下列判断错误的是（ ）的的.A. a ω⋅=B. 函数π6f x ⎛⎫-⎪⎝⎭为奇函数 C. 若函数()f x 在区间(]0,m 上至少有4个零点，则11π6m ≥ D. ()f x 在区间ππ,36⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增 二．填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）10. 已知i 为虚数单位，化简1i1i-+的结果为______．11. 在6x ⎛+ ⎝的展开式中，3x 项的系数为______．12. 已知抛物线()220y px p =>，经过抛物线上一点()1,2的切线截圆()()22:40C x a y a -+=>的弦长为a 的值为______．13. 市场上某种产品由甲、乙、丙三个厂商供应且甲、乙、丙三家产品市场占比为2:3:5由长期的经验可知，三家产品的正品率分别为0.9,0.9,0.8，将三家产品按照市场比例混合在一起．从中任取一件，则此产品为正品的概率______；若在市场上随机购买两件产品，则这两件产品中恰有一个是正品的概率为______．14. 在ABC 中，2AB =，4AC =，60BAC ∠=︒，AB a =，AC b = ，若13AMAC = ，13BH BM = ，则AH = ______（用a ，b表示）；若P 是AC 上一动点，过P 分别做PF BC ⊥交BC 于F ，PE AB ⊥交AB 于E ，则()PE PF PA +⋅的最小值是______．15. 若方程0x x a k -+=在区间[]0,2上有解，其中44a -+≤<，则实数k 的取值范围为______．（结果用a 表示）三．解答题（本大题共5小题，共75分）16. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知2cos 3cos23A A -=． （1）求cos A 的值；（2）若△ABC 为锐角三角形，3b =，2c =， （ⅰ）求a 值；（ⅱ）求()sin 2A C -的值．17. 如图，已知多面体111ABC A B C -，1A A ，1B B ，1C C 均垂直于平面ABC ，120ABC ∠=︒，14A A =，11C C =，12AB BC B B ===．（1）求证：1AB ⊥平面111A B C ；（2）求直线1AC 与平面1ABB 所成角的正弦值； （3）求点A 到平面111A B C 的距离．18. 已知椭圆()222210x y a b a b+=>>左右焦点为1F ，2F ，A 是上顶点，B是右顶点，2AB AF =．（1）求椭圆的离心率；（2）当13BF =+时，直线l 与椭圆相切于第二象限的点D ，与y 轴正半轴相交于点M ，直线AB 与直线l 相交于点H ，H '为H 在x 轴上投影，若3DHB HH S MO'=V （DHB S 表示DHB △的面积，O 为坐标原点），求直线l 的方程．19. 已知数列{}n a 是等差数列，2516a a +=，534a a -=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且22=-n n S b ，（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；的（2）若集合1|nn i i *M n b a λ=⎧⎫=∈<⎨⎬⎩⎭∑N 中恰有四个元素，求实数λ的取值范围；（3）设数列{}n c 满足1,,n n n b n b b n +⎧=⎨⎩为奇数为偶数，{}n c 的前n 项和为n T ，证明：12111118846nn k k T =-⨯<<∑． 20. 已知0m >，函数()1emx f x x -=-，()()ln 1x g x f x x m+=-+． （1）若函数()f x 的最小值是0，求实数m 的值；（2）已知曲线()y f x =在点()()1,1f 处切线的纵截距为正数． （ⅰ）证明：函数()g x 恰有两个零点； （ⅱ）证明：()11mmg x m m->-．参考答案一．选择题（本大题共9小题，每小题5分，共45分）1. 已知集合{}1,2,3,4,5U =，{}1,2A =，{}1,0,2,3B =-，则()UB A ⋃=ð（ ）A. {}3B. {}0,2,3,4,5C. {}1,0,2,3,4,5-D. {}2,3,4,5【答案】C 【解析】【分析】先求U A ð，再根据并集运算求解.【详解】由题意可得：{}3,4,5U A =ð，所以()U B A ⋃=ð{}1,0,2,3,4,5-. 故选：C.2. 已知n 为正整数，则“22n n ≥”是“3n =”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据题意结合充分、必要条件分析判断.【详解】若“22n n ≥”，不能推出3n =，例如2n =，即充分性不成立； 若“3n =”，则29,28n n ==，可得22n n ≥，即必要性成立；综上所述：“22n n ≥”是“3n =”的必要不充分条件. 故选：B.3. 已知4log 2a =，e12b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，12πc =，则（ ）A. a b c >>B. b a c >>C. c b a >>D. c a b >>【答案】D 【解析】【分析】利用换底公式计算a ，利用指数函数单调性判断b ，c 即可得答案.【详解】因为242log 21log 2log 42a ===，e 2111224b ⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，102ππ1c =>=， 所以c a b >>. 故选：D4. 已知函数()f x 的部分图象如下图所示，则()f x 的解析式可能是（ ）A. ()2e ln e 1x xx f x ⋅=-B. ()21sin x f x x +=C. ()22e ex xx f x -+=- D. ()e 1cos e 1x x f x x +=⋅-【答案】A 【解析】【分析】利用排除法，根据题意结合函数定义域以及函数值的符号分析判断. 【详解】由题意可知：()f x 的定义域为{}|0x x ≠，故B 错误； 当0x >，()f x 先正后负，则有：对于C ：因为2e 1e ,20x x x -<<+>，则e e 0x x --<，可知()220e e x xx f x -+=<-，故C 错误；对于D ：因为e 1x>，则e 10e 1x x +>-，但cos x 的符号周期性变化，故D 错误；故选：A.5. 已知各项均为正数的数列{}n a 前n 项和为n S ，11a =，211lg lg lg2n n n a a -++=，*n ∈N ，则9S =（ ） A. 511 B. 61 C. 41 D. 9【答案】A 【解析】【分析】由对数运算可知2112n n n a a -+=，分析可知数列{}n a 的奇项、偶项均构成公比为4的等比数列，利用分组求和以及等比数列求和公式运算求解. 【详解】因为2111lg lg lg lg 2n n n n n a a a a -+++==，可得2112n n n a a -+=，则21122n n n a a +++=，可得24n na a +=， 可知数列{}n a 的奇项、偶项均构成公比为4的等比数列， 且数列{}n a 的各项均为正数，11a =，且122a a =，可得22a =，所以()()()459135792468214145111414S a a a a a a a a a --=++++++++=+=--.故选：A.6. 在一段时间内，分5次测得某种商品的价格x （万元）和需求量()t y 之间的一组数据，绘制散点图如图所示，利用最小二乘法求得相应的经验回归方程为ˆ28.111.5yx =-，根据上述信息，如下判断正确的是（）价格x 1.4 1.6 1.822.2 需求量y12 10 7m3A. 商品的价格和需求量存在正相关关系B. y 与x 不具有线性相关关系C. 6m =D. 价格定为1.9万元，预测需求量大约为6.25t【答案】D 【解析】【分析】由散点图判断A ，根据回归直线方程判断B ，求出x ，y ，根据回归直线方程必过样本中心点求出m ，令 1.9x =求出 y ，即可判断D.【详解】由散点图可知，商品的价格和需求量存在负相关关系，故A 错误；由经验回归方程ˆ28.111.5yx =-，可知y 与x 具有线性相关关系，故A 错误； 又 1.4 1.6 1.82 2.2 1.85x ++++==，1210733255m my +++++==，又经验回归直线方程ˆ28.111.5yx =-必过样本中心点(),x y ， 则3228.111.5 1.85m+=-⨯，解得5m =，故C 错误； 当 1.9x =时， 28.111.5 1.9 6.25y =-⨯=，所以价格定为1.9万元，预测需求量大约为6.25t ，故D 正确． 故选：D ．7. 已知AB ，CD 分别是圆台上、下底面圆的直径，且AB CD ⊥，若圆台上底面圆直径为2，下底面圆直径为8，母线长为5，则三棱锥A BCD -的体积为（ ） A.283B.323C. 14D. 18【答案】B 【解析】【分析】由题意可得：圆台的高124O O =，可证CD ⊥平面2O AB ，结合锥体的体积公式运算求解. 【详解】设圆台上、下底面圆的圆心分别为12,O O ，为如图所示：可知圆台的高124O O ==，因为12,O O CD AB CD ⊥⊥，且121O O AB O =I ，12,O O AB ⊂平面2O AB ， 可知CD ⊥平面2O AB ，所以三棱锥A BCD -的体积为1132824323A BCD V -=⨯⨯⨯⨯=. 故选：B.8. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点记为1F ，2F 且124F F =，直线l 过2F 且与该双曲线的一条渐近线平行，记l 与双曲线的交点为P ，若所得12PF F △的内切圆半径恰为3b，则此双曲线的方程为（ ）A. 2213y x -=B. 2213x y -=C. 22122x y -=D. 22331210x y -=【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件探求出12PF F △的内切圆圆心坐标，借助点到直线距离公式计算可得2c a =，结合124F F =求,,a b c ，即可得方程.【详解】设双曲线22221x y a b-=半焦距为c ，则12(,0),(,0)F c F c -，由对称性不妨令与l 平行的渐近线为by x a=， 直线l 方程为：()by x c a=-，即0bx ay bc --=， 设12PF F △的内切圆O '与12PF F △三边相切的切点分别为0(,0)A x ，B，C ， 如图所示，的则1212||||||||(||||)PF PF PC CF PB BF -=+-+()()1200022AF AF x c c x x a =-=+--==， 即0x a =，而AO x '⊥轴，圆O '半径为3b ，则(,)3b O a '-， 点O '到直线l3b =，整理得|43|a c c -=， 且c a >，解得2c a =，又因为1224F F c ==，可得2221,2,3a c b c a ===-=，所以双曲线的方程为2213y x -=.故选：A.9. 已知函数()()sin cos ,0f x x a x x ωωω=+∈>R 的最大值为2，其部分图象如图所示，则下列判断错误的是（ ）A. a ω⋅=B. 函数π6f x ⎛⎫-⎪⎝⎭为奇函数 C. 若函数()f x 在区间(]0,m 上至少有4个零点，则11π6m ≥ D. ()f x 在区间ππ,36⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增【答案】D 【解析】【分析】利用辅助角公式化简函数解析式，再根据函数的最大值及()00f >求出a ，由π14f ⎛⎫=⎪⎝⎭求出ω的取值，再根据周期确定ω的值，即可得到函数解析式，即可判断A ，根据图象变换结合奇偶性判断B ；根据题意以π23x +为整体，结合正弦函数性质分析判断CD.【详解】因为()()sin cos f x x a x x ωωωϕ=+=+（其中sin ϕ=cos ϕ=，2=，且0a >，解得a =则()πsin 2sin 3f x x x x ωωω⎛⎫==+⎪⎝⎭， 又因为πππ2sin 1443f ω⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即ππ1sin 432ω⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 结合图象可知ππ5π2π,436k k ω+=+∈Z ，解得28,k k ω=+∈Z ， 且π,024T ω>>，则2ππ2ω>，解得04ω<<，所以0,2k ω==，可知a ω=，故A 正确； 所以()π2sin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭， 对于选项B ：πππ2sin 22sin 2663f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦为奇函数，故B 正确； 对于选项C ：因为(]0,x m ∈，则πππ2,2333x m ⎛⎤+∈+ ⎥⎝⎦， 由题意可得：π24π3m +≥，解得11π6m ≥，故C 正确； 对于选项D ：因为ππ,36x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，则ππ2π2,333x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，且sin y x =在π2π,33⎛⎫- ⎪⎝⎭内不单调，所以()f x 在区间ππ,36⎛⎫- ⎪⎝⎭上不单调，故D 错误； 故选：D.【点睛】方法点睛：函数()sin y A x ωϕ=+的解析式的确定： （1）A 由最值确定； （2）ω由周期确定；（3）ϕ由图象上的特殊点确定．提醒：根据“五点法”中的零点求ϕ时，一般先根据图象的升降分清零点的类型．二．填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）10. 已知i 为虚数单位，化简1i1i-+的结果为______． 【答案】i - 【解析】【分析】根据题意结合复数的除法运算求解即可.【详解】由题意可得：()()()21i 1ii 1i 1i 1i --==-++-. 故答案为：i -.11. 在6x ⎛+ ⎝的展开式中，3x 项的系数为______．【答案】15 【解析】【分析】根据二项式定理可得通项为36216C rr Tx-+=，令3632r -=，运算求解即可.【详解】因为6x ⎛+ ⎝的展开式通项为3662166C C ,0,1,2,,6rr r r r r T x x r --+===⋅⋅⋅， 令3632r -=，解得2r =， 所以3x 项的系数为2615C =. 故答案为：15.12. 已知抛物线()220y px p =>，经过抛物线上一点()1,2的切线截圆()()22:40C x a y a -+=>的弦长为a 的值为______． 【答案】1 【解析】【分析】由题意可得：24y x =，设切线方程()21x m y =-+，结合相切可得1m =，根据垂径定理结合弦长关系列式求解即可.【详解】因为抛物线()220y px p =>过点()1,2，则24p =，可得24y x =，显然切线斜率不为0，设切线方程为()2112x m y my m =-+=+-，联立方程2124x my m y x=+-⎧⎨=⎩，消去x 得()244210y my m -+-=，则()21616210m m ∆=--=，解得1m =，可得切线方程为1x y =-，即10x y -+=，又因为圆()()22:40C x a y a -+=>的圆心(),0C a ，半径2r =，则圆心(),0C a 到直线10x y -+=的距离d =，由题意可得：2222+=，解得1a =.故答案为：1.13. 市场上某种产品由甲、乙、丙三个厂商供应且甲、乙、丙三家产品市场占比为2:3:5由长期的经验可知，三家产品的正品率分别为0.9,0.9,0.8，将三家产品按照市场比例混合在一起．从中任取一件，则此产品为正品的概率______；若在市场上随机购买两件产品，则这两件产品中恰有一个是正品的概率为______． 【答案】 ①. 0.85##1720 ②. 0.255##51200【解析】【分析】设相应事件，结合全概率公式求此产品为正品概率；并结合独立重复性事件的概率公式求恰有一个是正品的概率.【详解】记任取一件，此产品由甲、乙、丙三个厂商供应分别为事件123,,A A A ，此产品为正品为事件B ， 由题意可知：()()()()()()1231230.2,0.3,0.5,|0.9,|0.9,|0.8P A P A P A P B A P B A P B A ======， 可得()()()()()()()112233|||0.85P B P B A P A P B A P A P B A P A =++=， 所以此产品为正品的概率为0.85；的这两件产品中恰有一个是正品的概率为()20.8510.850.255⨯⨯-=. 故答案为：0.85；0.255. 14. 在ABC 中，2AB =，4AC =，60BAC ∠=︒，AB a =，AC b = ，若13AMAC = ，13BH BM = ，则AH = ______（用a ，b表示）；若P 是AC 上一动点，过P 分别做PF BC ⊥交BC 于F ，PE AB ⊥交AB 于E ，则()PE PF PA +⋅的最小值是______．【答案】 ①. 2139a b + ②. 14-##0.25-【解析】【分析】根据平面向量线性运算法则计算出AH，利用余弦定理求出BC ，即可得到AB BC ⊥，设D 为AB 的中点，则()21PE PF PA PD =+⋅- ，再求出min PD ，即可得解.【详解】依题意()1133AH AB BH AB BM AB AM AB =+=+=+-2133AB AM =+21121213333939AB AC AB AC a b =+⨯=+=+ ；因为2AB =，4AC =，60BAC ∠=︒，由余弦定理BC ===， 所以222AB BC AC +=，所以AB BC ⊥，则四边形PEBF 为矩形，则PE PF PB +=，设D 为AB 的中点，则()()()PB PD P D E PF P P B DA A PA D +⋅⋅⋅==++()()2221PD DB D PD PD D DB P B =⋅+-=-=- ，当PD AC ⊥时PD取得最小值，且最小值为sin AD BAC ∠=，所以221114PD -≥-=- ， 即()PE PF PA +⋅ 的最小值是14-.故答案为：2139a b + ；14-15. 若方程0x x a k -+=在区间[]0,2上有解，其中44a -+≤<，则实数k 的取值范围为______．（结果用a 表示）【答案】2,04a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】把方程0x x a k -+=在区间[]0,2上有解，转化为函数()22,,x ax x af x x ax x a⎧-≥=⎨-+<⎩的图象与直线y k =-在区间[]0,2上有交点，根据函数单调性，分类讨论分别求出最值求解即可.【详解】因为方程0x x a k -+=，即x x a k -=-在区间[]0,2上有解，设函数()22,,x ax x af x x x a x ax x a⎧-≥=-=⎨-+<⎩，则函数()f x 的图象与直线y k =-在区间[]0,2上有交点．因为44a -+≤<，所以0222a<-+≤<， 所以函数()f x 在0,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在,2a a ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，在(),a ∞+上单调递增． 当24a ≤<时，在区间[]0,2上，()2max24a af x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，()()min 00f x f ==，则204a k ≤-≤，解得204a k -≤≤．当42a -+≤<时，因为()()00f f a ==，224a af ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()242f a =-．令2424a a =-，解得4a =-±，又42a -+≤<，所以2424a a ≥-，则204a k ≤-≤，解得204a k -≤≤，综上，实数k 的取值范围为2,04a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 故答案为：2,04a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是将问题转化为函数()22,,x ax x af x x ax x a ⎧-≥=⎨-+<⎩的图象与直线y k =-在区间[]0,2上有交点，分类讨论得到()f x 的最值，即可求出k 的取值范围.三．解答题（本大题共5小题，共75分）16. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知2cos 3cos23A A -=． （1）求cos A 的值；（2）若△ABC 为锐角三角形，3b =，2c =，（ⅰ）求a 的值；（ⅱ）求()sin 2A C -的值． 【答案】（1）1cos 3A =或cos 0A =（2）（ⅰ）3；【解析】【分析】（1）根据题意，利用二倍角余弦公式化简求解； （2）（ⅰ）由题意可知：1cos 3A =，利用余弦定理分析求解；（ⅱ）由1cos 3A =结合倍角公式求sin2,cos 2A A ，利用正弦定理可得sin C =，结合两角和差公式运算求解.【小问1详解】由题可得()22cos 32cos 13A A --=，即23cos cos 0A A -=， 解得1cos 3A =或cos 0A =. 【小问2详解】因为△ABC 为锐角三角形，则1cos 3A =， 由余弦定理可得22212cos 9423293a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=，即3a =；因为1cos 3A =，且π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin A ==，可得227sin22sin cos 2cos sin 9A A A A A A ===-=-由正弦定理可得sin sin a c A C =，则sin sin c A C a ==，且π0,2C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则7cos 9C ==，所以()sin 2sin 2cos cos 2sin A C A C A C -=-=. 17. 如图，已知多面体111ABC A B C -，1A A ，1B B ，1C C 均垂直于平面ABC ，120ABC ∠=︒，14A A =，11C C =，12AB BC B B ===．（1）求证：1AB ⊥平面111A B C ；（2）求直线1AC 与平面1ABB 所成角的正弦值； （3）求点A 到平面111A B C 的距离． 【答案】（1）证明见解析（2（3） 【解析】【分析】（1）首先取AC 的中点O ，11A C 的中点D ，连接OD ，OB ，以O 为原点，,,OB OC OD 分别为,,x y x 轴建系，再利用向量法证明即可；（2）求出平面1ABB 的法向量，利用空间向量法求出线面角的正弦值； （3）利用空间向量法求出点到平面的距离. 【小问1详解】取AC 的中点O ，11A C 的中点D ，连接OD ，OB . 因为120ABC ∠=︒，2AB BC ==，所以AC ==，BO AC ⊥，又因为1A A ，1B B ，1C C 均垂直于平面ABC ，11////DO AA CC ， 所以DO ⊥平面ABC ，以O 为原点，,,OB OC OD 分别为,,x y x 轴建立空间直角坐标系，如图所示：则()0,A ，()1,0,0B ，()11,0,2B，()10,4A，()1C ，()12AB =，()112A B =-，()110,3A C =-.设平面111A B C 的法向量(),,n x y z = ，则1111=0=0n A B n A C ⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩ ，即2030x z z ⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩，令y =，得()2n = ， 所以1//n AB ，又1AB ⊄平面111A B C ，所以1AB ⊥平面111A B C ； 【小问2详解】因为()1=AC，()1=2AB ，()1=0,0,2BB，设平面1ABB 的法向量(),,m a b c = ，则11=0=0m AB m BB ⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩ ，即2020a c c ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，令1b =，得()m = ，设直线1AC 与平面1ABB 所成角为θ，则11sin AC m AC m θ⋅===⋅ ， 所以直线1AC 与平面1ABB. 【小问3详解】因为平面111A B C的法向量为()2n =，()10,0,4AA = ，所以点A 到平面111A B C的距离1n AA d n ⋅===.18. 已知椭圆()222210x y a b a b+=>>左右焦点为1F ，2F ，A 是上顶点，B是右顶点，2AB AF =．（1）求椭圆的离心率；（2）当13BF =+时，直线l 与椭圆相切于第二象限的点D ，与y 轴正半轴相交于点M ，直线AB 与直线l 相交于点H ，H '为H 在x 轴上投影，若3DHB HH S MO'=V （DHB S 表示DHB △的面积，O 为坐标原点），求直线l 的方程． 【答案】（1（2）250x y -+= 【解析】【分析】（1）根据题意可得相应坐标，结合长度关系可得249b a =，即可得离心率；（2）设()0000,,0,0D x y x y ，分析可知直线l 的方程为00194x x y y+=，求相应点的坐标，结合面积关系列式求解即可. 【小问1详解】由题意可知：()1,0F c -，()2,0F c ，()0,A b ，(),0B a ，则2ABAF ==，整理得249b a =，所以椭圆的离心率c e a ===. 【小问2详解】 由（1）可知：c =，则13BF a c a =+=+=，解得3,2a c b ===， 可知椭圆方程为22194x y +=，直线:132x y AB +=，设()0000,,0,0D x y x y ，则2200194x y +=，对于直线00194x x y y+=，可知点()00,D x y 在该直线上， 联立方程0022194194x x y yx y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得00x x y y =⎧⎨=⎩， 可知直线00194x x y y +=与椭圆切于点()00,D x y ，即直线l 的方程为00194x x y y+=， 令0x =，解得04y y =，即040,M y ⎛⎫⎪⎝⎭， 令0y =，解得09x x =，即090,E x ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 联立方程00132194x yx x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得()()000000363234323y x x y x y x y ⎧-=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，即()()()00000000036343363,,,0232323y x y H H x y x y x y ⎛⎫⎛⎫---⎪⎪---⎝⎝'⎭⎭， 可得()()0000000012333323423x y x HH x y MO x y y -'--==-， 且()()0000000000043431121121123332232223DHB BEH BEDx x S S S y y x x y x x x y ⎛⎫--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-⋅--⋅=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由3DHB HH S MO '=可得()()0000000004333112322323x y x y x x y x y ⎛⎫--⎛⎫--= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，整理得20000344120y x y x -+-=，则()()20003441y x y -=+，又因为220194x y +=，即()()222020414161y y y -+=+， 整理得()()()2202204441y y y -=-+， 且002y <<，则()2200441y y -=-，整理得200580y y -=，解得085y =或00y =（舍去）， 代入2200194x y +=，解得095x =-或095x =（舍去）， 所以直线l 的方程为2155x y -+=，即250x y -+=. 【点睛】方法点睛：有关圆锥曲线弦长、面积问题的求解方法（1）涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解； （2）面积问题常采用12S =⨯ 底⨯高，其中底往往是弦长，而高用点到直线距离求解即可，选择底很重要，选择容易坐标化的弦长为底．有时根据所研究三角形的位置，灵活选择其面积表达形式，若求多边形的面积问题，常转化为三角形的面积后进行求解；（3）在求解有关直线与圆锥曲线的问题时，应注意数形结合、分类与整合、转化与化归及函数与方程思想的应用．19. 已知数列{}n a 是等差数列，2516a a +=，534a a -=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且22=-n n S b ，（1）求数列{}n a 和{}n b 通项公式；（2）若集合1|nn i i *M n b a λ=⎧⎫=∈<⎨⎬⎩⎭∑N 中恰有四个元素，求实数λ的取值范围；（3）设数列{}n c 满足1,,n n n b n b b n +⎧=⎨⎩为奇数为偶数，{}n c 的前n 项和为n T ，证明：12111118846nn k k T =-⨯<<∑． 【答案】（1）21n a n =+；2nn b =的（2）353,322⎡⎫⎪⎢⎣⎭（3）证明见详解 【解析】【分析】（1）根据题意列式求得132a d =⎧⎨=⎩，即可得数列{}n a 的通项公式；根据n S 与nb 之间的关系分析可知{}n b 为等比数列，即可得数列{}n b 的通项公式；（2）由（1）可知：212ni i a n n ==+∑，设222n nn nc +=，原题意等价于关于n 的不等式n c λ<恰有4个不同的解，结合数列{}n c 的单调性分析求解； （3）根据等比数列求和可得()28413kk T =-，分析可知23118424k k kT <≤⨯⨯，结合等比数列求和公式分析证明. 【小问1详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意可得：53251242516a a d a a a d -==⎧⎨+=+=⎩，解得132a d =⎧⎨=⎩，所以()32121n a n n =+-=+； 又因为22=-n n S b ，若1n =，可得1122b b =-，解得12b =； 若2n ≥，可得1122--=-n n S b ，两式相减得122n n n b b b -=-，即12n n b b -=；可知数列{}n b 是以首项12b =，公比2q =的等比数列，所以1222n nn b -=⨯=.【小问2详解】 由（1）可知：()2132122ni i n n a n n =++==+∑，若1nn i i b a λ=<∑，即222nn n λ<+，可得222nn nλ+<， 设222n nn nc +=，原题意等价于关于n 的不等式n c λ<恰有4个不同的解， 令()()()()2211112131120222n nn n n n n n n n n c c ++++++-++-=-=≤， 当且仅当1n =时，等号成立， 可得1234c c c c =>>>⋅⋅⋅，且45335,232c c ==，则353322λ≤<， 所以实数λ的取值范围为353,322⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【小问3详解】由题意可知：12,2,n n n n b n +⎧=⎨⎩为奇数为偶数，则2221212222k k k k k c c +-+=+=，则()()3521212212814822241143k k kkk k Tc c c c +--=++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅+==--，因为*k ∈N ，则0248k≤⨯-，即()064841kk<⨯≤-，可得()213124841k k k T =≤⨯-，则1121111111184112464614n nnknk k k T ==⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭≤==-<⎪⨯⎝⎭-∑∑； 又因*k ∈N ，则0414kk<-<，可得()213384841k k k T =>⨯-，则1123111311132418488414n nnknk k k T ==⎛⎫- ⎪⎝⎭>==-⨯⨯-∑∑；综上所述：12111118846nn k kT =-⨯<<∑. 20. 已知0m >，函数()1emx f x x -=-，()()ln 1x g x f x x m+=-+． 为（1）若函数()f x 的最小值是0，求实数m 的值；（2）已知曲线()y f x =在点()()1,1f 处切线的纵截距为正数． （ⅰ）证明：函数()g x 恰有两个零点； （ⅱ）证明：()11mmg x m m ->-．【答案】（1）1m =（2）（ⅰ）证明见详解；（ⅱ）证明见详解 【解析】【分析】（1）求得，利用导数分析可知()f x 的最小值为1ln m f m -⎛⎫⎪⎝⎭，结合题意列式求解； （2）根据（1）结合导数的几何意义可得01m <<.（ⅰ）求得，结合导数判断原函数单调性结合零点存在性定理分析证明；（ⅱ）由（i ）可得要证()11mmg x m m->-，即证()111mmg xmm->-，先证明()12ln m g x m>，再构造函数()()12ln 0H x x x x x =-+>，利用导数判断出函数的单调性，从而可得出结论.【小问1详解】因为()1emx f x x -=-，则()1e 1mx f x m -'=-，且0m >， 令()0f x ¢>，解得1ln m x m ->；令()0f x '<，解得1ln mx m-<； 可知()f x 在1ln ,m m -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭内单调递减，在1ln ,m m -⎛⎫+∞⎪⎝⎭内单调递增， 则()f x 的最小值为1ln ln 0m mf m m -⎛⎫== ⎪⎝⎭，解得1m =. 【小问2详解】由（1）可知：()1emx f x x -=-，()1e 1mx f x m -'=-， 可得()11e1m f -=-，()11e 1m f m -'=-，即切点坐标为()11,e1m --，斜率1e 1m k m -=-，则切线方程为()()()11e1e 11m m y m x ----=--，令0x =，可得()11e m y m -=-，由题意可得：()110em m ->-，且0m >，解得01m <<；（i ）因为()()()1ln 1ln 1e 01mx x x g xf x x m m m-++=-+=-<<， 可知()g x 的定义域为()0,∞+，()2111e 1e mx mx m x g x m mx mx---=-='， 设()()21e10mx h x m x x -=->，则()()211e 0mx h x m mx -=+>'在()0,∞+内恒成立，可知函数()h x 在()0,∞+上递增， 由（1）可知：当1m =时，()1e0x f x x -=-≥，即1e x x -≥，当且仅当1x =时，等号成立，则3211333322222211e 1111m m h m m m m m m m -⎛⎫ ⎪+----- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-≥+⋅+-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，可得3332222110h m m m m m ---⎛⎫+>⋅⋅⋅-= ⎪⎝⎭，又因()01h =-，由零点的存在性定理可得，存在3210,1x m -⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭，使得()10h x =，即1111e mx mx m -=，（*）当()10,x x ∈时，()0h x <，即()0g x '<，()g x 为减函数，当()1,x x ∈+∞时，()0h x '>，即()0g x '>，()g x 为增函数， 又因为01m <<，()111e m g m-=-， 设()()11e01x G x x x -=-<<，则()()121e 001x G x x x-'=+><<， 所以函数()G x 在()0,1上递增， 所以()()10G x G <=，即()111e 0m g m-=-<，因为()1e0x x x -≥>，所以1ln x x -≥1-≥2ln x ≥，则()g x mx mx ≥>-所以44440g m m m ⎛⎫>⋅= ⎪⎝⎭，且241m>，当01m <<时，1111e1mx mx m-=>， 所以由()x ϕ的单调性可知11mx >，且111x m>>， 所以当()11,x x ∈时，()0g x '<，()g x 为减函数，当()1,x x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 为增函数， 所以由零点的存在性定理可知，()g x 在区间441,m ⎛⎫⎪⎝⎭上存在唯一的零点， 11ee1ln 11e e e 0e m mg m--+⎛⎫=-=> ⎪⎝⎭，且11e <， 所以由零点的存在性定理可知，()g x 在区间1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭上存在唯一的零点， 所以函数()g x 恰有两个零点， （ii ）因为1111emx mx m-=，即112ln ln 10m x mx ++-=， 则11ln 12ln 2x m mx +=--+，所以()1111121ln 112ln 2emx x m g x x m m x m m-+=-=++-， 有基本不等式可得()112112ln 22ln 22ln m m mg x x m x m m m m m=++-≥-=， 当且仅当1211x m x =，即11x m=时，取等号，由1111emx mx m-=，由11x m =可得1m =，这与01m <<矛盾，所以11x m ≠，所以()()12ln mg x g x m≥>， 要证()11mmg x m m ->-，即证()111mmg xmm->-，设()()12ln 0H x x x x x=-+>，则()22211110H x x x x ⎛⎫=--=--≤ ⎪⎝⎭'所以函数()H x 在()0,∞+上递减， 所以当01x <<时，()()10H x H >=， 因为01m <<，所以101m m <<，所以1112ln 2ln m m mm m m m m-=>-，又()()12ln m g x g x m≥>，所以()11m m g x m m ->-.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤 （1）作差或变形； （2）构造新的函数()h x ；（3）利用导数研究()h x 的单调性或最值； （4）根据单调性及最值，得到所证不等式．特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．。

天津市第一中学2024-2025学年高三上学期数学统练9一、单选题1．已知集合{}0,1,2,3,4,5U =，{}1,2,4A =，{}0,3,4B =，则()U A B = ð（）A ．{}2,4B ．{}2,5C ．{}1,2D ．{}0,2,42．对于任意实数a ，b ，“222a b ab +>”是“22a b >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．下列四个函数中，既是偶函数又在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数的是（）A ．sin y x x =B ．sin2y x =C ．tan y x =D ．cos2x y =4．已知函数()21cos 4f x x x =+，则曲线()y f x =在点ππ,22f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处切线的斜率为（）A ．π14+B ．π14-C ．π4D ．π12+5．设0.13a =，sin3b =，0.1log 3c =，则（）A ．c b a >>B ．a b c >>C ．b a c >>D ．a c b>>6．已知函数()4f x x x=+，()2xg x a =+，若[]12,3x ∃∈，[]22,3x ∀∈，使得()()12f x g x ≥，则实数a 的取值范围是().A ．11,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．(],0-∞C ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．(],4-∞-7．已知函数()2cos (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在()0,π有且仅有2个极小值点，且在,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则ω的取值范围为（）A ．529,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．511,23⎡⎤⎢⎣⎦C ．1729,66⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1711,63⎛⎤ ⎝⎦8．在ABC V 中，4AB =，E 是BC 边中点，线段AE120BAC ∠=︒，D 是BC 边上一点，AD 是BAC ∠的角平分线，则AD 的长为（）A ．23B ．43C ．2D ．839．某牧场今年年初牛的存栏数为1100头，预计以后每年存栏数的增长率为10%，且在每年年底卖出100头牛.若该牧场从今年起每年年初的计划存栏数构成数列{}n c ，11100c =，则11c 大约为（）（参考数据：81.1 2.1≈，91.1 2.4≈，101.1 2.6≈，111.1 2.9≈）A ．1240B ．1260C ．1280D ．1290二、填空题10．已知i 为虚数单位，则1i12i+=-.11．设34813log 4log 8log log 7m ⋅⋅=，那么m =.12．已知向量a ，b 满足2a = ，()3,0b = ，则向量a 在向量b 方向上的投影向量的坐标为()1,0，则a b -=.13．已知0a b >>，621a b a b+=+-，则3a b -的最小值为.14．在ABC V 中，60A ∠=︒，3BC = ，点D 为AB 的中点，点E 为CD 的中点，若设AB a = ，AC b = ，则AE可用a ，b表示为；若13BF BC = ，则AE AF ⋅的最大值为.15．已知函数()21,02,0x a x x f x x ax x ⎧++->=⎨-+≤⎩.若1a =-，则函数=的零点为；若函数=的最小值为a ，则实数a 的值为.三、解答题16．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知()cos 2cos b C a c B =-.(1)求角B 的大小；(2)设2a =，3c =（i ）求b 的值；（ii ）求()sin 2A B -的值.17．设函数()2π(sin cos )22f x x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.(1)求函数()f x 的最小正周期；(2)求函数()f x 的单调递增区间及对称轴；(3)在锐角ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且π3A =，求()fB 的取值范围.18．已知等比数列{}n a 的公比1q >，12314++=a a a ，21a +是1a ，3a 的等差中项.等差数列{}n b 满足122b a =，43b a =.(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)()nn nb c n a =∈N å，求数列{}n c 的前n 项和；(3)将数列{}n a 与数列{}n b 的所有项按照从小到大的顺序排列成一个新的数列，求此新数列的前2n 项和.19．已知函数()ln e 1f x mx x =-+-.(1)讨论()f x 的单调性；(2)当1m =时，求函数()f x 的最小值，并证明()*2112,ln nk n n n kn =->≥∈∑N ；(3)当0m >时，若关于x 的不等式()e mxxf x >在区间0,+∞上有解，求m 的取值范围.20．给定数列{}n A ，若对任意m ，*n ∈N 且m n ≠，m n A A +是{}n A 中的项，则称{}n A 为“H 数列”；若对任意m ，*n ∈N 且m n ≠，m n A A 是{}n A 中的项，则称{}n A 为“J 数列”.(1)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若21n n S =-，试判断数列{}n a 是否为“J 数列”，并说明理由；(2)设数列{}n b 既是等比数列又是“J 数列”，且18b =，216b ≥，求公比q 的所有可能值；(3)设等差数列{}n c 的前n 项和为n T ，对任意*n ∈N ，n T 是数列{}n c 中的项，求证：数列{}n c 是“H 数列”.。

2023届天津市第一中学高三上学期第一次月考数学试题一、单选题1．设全集R U =，集合{}{}22802345A x x x B =--<=∣，，，，，则()U A B =ð（ ） A ．{}2 B ．{}23，C ．{}45，D ．{}345，， 【答案】C【分析】解不等式后由补集与交集的概念求解 【详解】由题意得(2,4)A =-，则(){4,5}U A B ⋂=ð， 故选：C2．已知,a b ∈R ，则“2a b >>”是“22a b ->-”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据不等式的性质以及充分不必要条件的判断，即可求解. 【详解】若2a b >>时，则20,20a b ->->,因此22=2a b b ->--， 若22a b ->-时，比如5,1a b ==，但不满足2a b >>， 因此“2a b >>”是“22a b ->-”的充分不必要条件. 故选：A 3．函数2sin ()||2xf x x =+的部分图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据奇偶性及函数值的正负判断即可.【详解】因为2sin ()2xf x x =+，定义域为R 所以2sin()2sin ()()22x xf x f x x x --==-=--++所以()f x 为奇函数，且(0)0f =，排除CD 当()0,x π∈时，sin 0x >，即()0f x >，排除A 故选：B.4．已知函数()11e xm f x x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭是偶函数，则m 的值是（ ） A ．2- B ．1-C ．1D ．2【答案】A【分析】先求出函数的定义域，然后根据偶函数的定义取特殊值求解 【详解】函数的定义域为{}0x x ≠，因为函数()11e xm f x x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭是偶函数， 所以(1)(1)f f -=，所以11111e 1e m m -⎛⎫⎛⎫-+=⨯+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭， e 11e 11em m--=+--，所以(e 1)21e m -=-， 得2m =-， 故选：A5．已知函数()f x 是(),-∞+∞上的偶函数，且()()11f x f x -=+，当[]0,1x ∈时，()21x f x =-，则()()20212022f f +的值为（ ）A ．1B ．2C ．1-D ．0【答案】A【分析】由偶函数可得()()f x f x -=，由()()11f x f x -=+可得对称性，再化简整理可得周期2T =，进而根据性质转换()()20212022f f +到[]0,1x ∈，再代入解析式求解即可.【详解】由题，因为偶函数，所以()()f x f x -=，又()()11f x f x -=+，所以()()()111f x f x f x -+=-=+,即()()2f x f x =+，所以()f x 是周期函数，2T =，故()()()()10202120221021211f f f f +=+=-+-= 故选：A6．已知函数()()||0.542π()2,log 3,log 5,cos 3x f x a f b f c f ⎛⎫==== ⎪⎝⎭，则（ ）A ．a c b >>B ．a b c >>C ．b a c >>D ．c a b >>【答案】B【分析】直接由指数、对数的运算以及特殊角的三角函数值求解即可. 【详解】0.52|log 3|log 3223a ===，4|log 5|log 22b ==2π1cos3222c ==a b c >>.故选：B ． 7．已知35a b =且211a b+=，则a 的值为（ ） A ．3log 15 B ．5log 15C ．3log 45D ．5log 45【答案】C【分析】令350a b k ==>，利用指对数互化，换底公式及对数的运算法则可得45k =，即得.【详解】令350a b k ==>， 则35log ,log a k b k ==，351111log 3,log 5log log k k a k b k ====，又211a b+=， ∴2log 3log 5log 451k k k +==，即45k =， ∴3log 45a =. 故选：C.8．设函数e e ()sin 2x x f x x --=+，不等式()e (ln 1)0xf a x f x x -+++≤对0x >恒成立，则实数a 的最大值为（ ） A ．e 1- B ．1C ．e 2-D ．0【答案】D【分析】先由定义证()f x 为奇函数，结合均值不等式可证()1cos 0f x x '≥+≥，得()f x 在R 上单调递增，故结合奇偶性与单调性，恒成立转化为e ln 1x a x x x ≤---对0x >恒成立．令()e ln 1x g x x x x =---，用导数法求()g x 最小值，即有()min a g x ≤.【详解】因为e e ()sin 2x xf x x ---=-，所以()()f x f x -=-，所以()f x 为R 上的奇函数．因为e e ()cos cos 1cos 02x x f x x x x -+'=+≥=+≥，所以()f x 在R 上单调递增．不等式()e (ln 1)0x f a x f x x -+++≤可转化为()(ln 1)e xf x x f x a ++≤-，所以ln 1e x x x x a ++≤-，即e ln 1x a x x x ≤---对0x >恒成立． 令()e ln 1x g x x x x =---，则ln ln ()e e ln 1e (ln )1x x x x g x x x x x +=---=-+-， 令()e 1x h x x =--，则()e 1x h x '=-．当0x >时，()0h x '>，()h x 在(0,)+∞上单调递增；当0x <时，()0h x '<，()h x 在(,0)-∞上单调递减．所以0min ()(0)e 010h x h ==--=，即()0h x ≥，所以()0g x ≥，且当ln 0x x +=时，()g x 取最小值0， 故0a ≤，即实数a 的最大值为0． 故选：D.【点睛】1.通常函数不等式恒成立问题涉及奇偶性与单调性可先进行转化； 2.含参不等式恒成立问题，一般通过构造函数解决.一般将参数分离出来，构造函数用导数法讨论不含参数部分的最值；或者包含参数一起构造函数，用导数法对参数分类讨论.当参数不能分离出来时，也可尝试将不等式左右变形成一致形式，即可将该形式构造成函数，通过导数法分析单调性，将问题等价成对应自变量的不等式.9．已知函数()()212f x x mx x =++∈R ，且()y f x =在[]0,2x ∈上的最大值为12，若函数()()2g x f x ax =-有四个不同的零点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．()0,1C ．1,14⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．51,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】由()y f x =在[]0,2x ∈上的最大值为12，讨论可求出2m =-，从而()2122f x x x =-+，若()()2g x f x ax =-有4个零点，则函数()y f x =与2y ax =有4个交点，画出图象，结合图象求解即可【详解】若0m ≥，则函数()212f x x mx =++在[]0,2上单调递增， 所以()212f x x mx =++的最小值为12，不合题意，则0m <， 要使函数()212f x x mx =++在[]0,2x ∈上的最大值为12． 如果22m-≥，即4m ≤-，则()912222f m =+≤，解得522m -≤≤-，不合题意；若22m -<，即40m -<<，则2912,2211,242m m ⎧+≤⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩解得52,22,m m ⎧-≤≤-⎪⎨⎪≥-⎩即2m =-， 则()2122f x x x =-+． 如图所示，若()()2g x f x ax =-有4个零点，则函数()y f x =与2y ax =有4个交点，只有函数2y ax =的图象开口向上，即0a >．当2y ax =与(2y x =-122x -+）有一个交点时，方程221202ax x x +-+=有一个根，0∆=得1a =，此时函数()()2g x f x ax =-有二个不同的零点，要使函数()g x =()2f x ax -有四个不同的零点，2y ax =与2122y x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭有两个交点，则抛物线2y ax =的图象开口要比2y x =的图象开口大，可得1a <， 所以01a <<，即实数a 的取值范围为()0,1． 故选：B【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合应用，考查二次函数的性质的应用，考查数形结合的思想，解题的关键是由已知条件求出m 的值，然后将问题转化为函数()y f x =与2y ax =有4个交点，画出函数图象，结合图象求解即可，属于较难题二、填空题 10．复数i2i=+_________. 【答案】12i 55+【分析】根据复数的除法运算直接求解.【详解】解：()()()i 2i i 12i 2i 2i 2i 55-==+++-. 故答案为:12i 55+.11．已知函数()f x 的导函数，满足()()321f x xf x '=+，则()1f 等于_______________.【答案】5-【分析】求导，令1x =，可解得()1f '，进而可得()1f .【详解】由()()321f x xf x '=+，得()()2213f x f x ''=+，令1x =，得()()1213f f ''=+，解得()13f '=-，所以()()()312112315f f '=+=⨯-+=-，故答案为：5-.12．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水，实行“阶梯水价”.计算方法如下表：若某户居民本月交纳的水费为90元，则此户居民本月用水量为___________. 【答案】320m 20立方米【分析】根据题设条件可得水费与水价的关系式，根据该关系式可求用水量. 【详解】设用水量为x 立方米，水价为y 元，则()3,01236612,1218729(18),18x x y x x x x ≤≤⎧⎪=+-<≤⎨⎪+->⎩，整理得到：3,012636,1218990,18x x y x x x x ≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪->⎩，当012x ≤≤时，036y ≤≤；1218x <≤时，3672y <≤；故某户居民本月交纳的水费为90元，则用水量大于18立方米， 令99090x -=，则20x =（立方米）， 故答案为：320m .13．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，满足(2)()f x f x +=-，当[0x ∈，1)时，2()f x x =，则23()2f =_______． 【答案】14-【分析】根据题意，分析可得(4)(2)()f x f x f x +=-+=，则函数()f x 是周期为4的周期函数，由此可得231()()22f f =-，结合函数的解析式计算可得答案． 【详解】根据题意，函数()f x 是定义在R 上的奇函数，满足(2)()f x f x +=-， 则(2)()()f x f x f x +=-=-，则有(4)(2)()f x f x f x +=-+=，则函数()f x 是周期为4的周期函数， 则23111()(12)()()2222f f f f =-+=-=-， 又由当[0x ∈，1)时，2()f x x =，则2111()()224f ==，则2311()()224f f =-=-，故答案为：14-．14．已知函数()212-,02=1+1,>02xx f x x x ≤⎧⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎪⎪⎩，则不等式()313xf ->的解集为___________.【答案】()1,+∞【分析】分别在条件31>0x -，310x -≤下化简不等式，再求其解，由此可得不等式()31>3x f -的解集.【详解】当310x -≤时，即0x ≤时，()31131=22x x f ---⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以不等式()31>3xf -可化为3112>32x --⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以0x ≤且3111>2x --⎛⎫⎪⎝⎭，所以满足条件的x 不存在，即当0x ≤时，不等式无解，当31>0x -时，即>0x 时，()()2131=31+12xxf --，此时不等式()31>3x f -可化为()2131+1>32x-，得31>2x -或31<2x --，解得>1x ， 所以不等式()31>3xf -的解集为()1,+∞，故答案为：()1,+∞.15．已知正数,a b 满足1,a b c +=∈R ，则222312a c bc b abc ab++++的最小值为__________．【答案】2【分析】把1a b +=平方得到2221,0,0a ab b a b ++=>>，代入结论构造基本不等式，再分析计算可求出最小值.【详解】解：由1a b +=，得2221,0,0a ab b a b ++=>>， 则222312a c bc b abc ab++++ 222213221a a ab b c c b ab ⎛⎫++=++ ⎪+⎝⎭2214221a b c c b a ⎛⎫=+++ ⎪+⎝⎭221221c c ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭≥+()226212221c c =++-≥=+， 当且仅当4a bb a =，即2b a =，()226211c c =++，即()2213c +=时取“等号”，所以当212,,133a b c ==时，222312a c bc b abc ab++++的最小值为2．故答案为：2三、解答题16．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos (cos cos )C a B b A c +=.(1)若cos A =cos(2)A C +的值；(2)若c =ABC a ，b 的值.【答案】(1)(2)2a =，3b =或3a =，2b =【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式求出C ，由同角三角函数的基本关系求出sin A ，即可求出sin 2A 、cos 2A ，最后利用两角和的余弦公式计算可得； （2）由面积公式及余弦定理得到方程组，解得即可.【详解】(1)解：因为2cos (cos cos )C a B b A c +=， 由正弦定理得2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=， 即2cos sin()2cos sin sin C A B C C C +==， 因为(0,)C π∈，sin 0C >，所以1cos 2C =， 由C 为三角形内角得3C π=；由cos A =，则sin A =所以sin 22sin cos 2A A A ===， 261cos 22cos 121164A A =-=⨯-=-，()cos 2cos 2cos sin 2sin A C A C A C +=-=1142-⨯=(2)解：因为ABC 的面积1sin 2S ab C ==6ab =①， 由余弦定理2222cos c a b ab C =+-得227a b ab =+-，则2213a b +=②， 由①②解得2a =，3b =或3a =，2b =17．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 满足AD BC ∥，且12AB AD AA ===，BD DC ==(1)求证：BD ∥平面11B CD .(2)求直线AB 与平面11B CD 所成角的正弦值. (3)求二面角111B CD C --的正弦值. 【答案】(1)证明见解析(3)正弦值为1【分析】(1)由四棱柱的性质证明11//BD B D ，根据线面平行判定定理证明BD 平面11B CD ；(2)建立空间直角坐标系，求直线AB 的方向向量和平面11B CD 的法向量利用空间向量求解线面角；(3)求平面11C CD 的法向量，利用向量夹角公式求二面角111B CD C --的夹角的余弦值，再由同角关系求其正弦值.【详解】(1)在四棱柱1111ABCD A B C D -中，11BB DD ，11BB DD =，故四边形11BB D D 是平行四边形，所以11//BD B D ，因为BD ⊄平面11B CD ，11B D ⊂平面11B CD ， 所以BD ∥平面11B CD ；(2)因为1AA ⊥平面ABCD ，AB ，AD ⊂平面ABCD ， 所以1AA AB ⊥，1AA AD ⊥，因为2AB AD ==，BD =所以222AB AD BD +=，=ABD ADB ∠∠，所以AB AD ⊥，=45ADB ∠，因为AD BC ∥，所以=45DBC ∠，又BD CD ==所以BDC △为等腰直角三角形，所以=4BC ，因为AB ，AD ，1AA 两两垂直，以A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，1AA 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()2,0,0B ，()2,4,0C ，()12,0,2B ，()10,2,2D 所以()2,0,0AB =，()1=0,4,2B C -，()11=2,2,0B D - 设平面11B CD 的法向量为(),,n x y z =∴111=0=0n B C n B D ⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩，即42=02+2=0y z x y --⎧⎨⎩，令=1x ，则=1y ，=2z ，∴()1,1,2n =设直线AB 与平面11B CD 所成角为θ，∴2sin =cos ,==2?6AB n AB nAB n⋅θ⋅所以直线AB 与平面11B CD .(3)平面11B CD 的法向量为()1,1,2n =，因为1AA ⊥平面ABCD ，11//AA DD ，所以1DD ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以1DD BD ⊥，又B D D C ⊥，1=DD DC D ⋂，1,DD DC ⊂平面11CD C ，所以BD ⊥平面11CD C ，所以BD 为平面11CD C 的法向量，所以平面11CD C 的法向量为()=2,2,0m BD -= ∴cos ,==0m nm n m n⋅，∴sin ,1m n = 所以，二面角111B CD C --的正弦值为1.18．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当],(0x ∈-∞时，()93x xm f x -=-． (1)求()f x 在(0,)+∞上的解析式；(2)当[1,2]x ∈时，1()23x x f x a +⋅+…恒成立，求实数a 的取值范围；(3)关于x 的方程1()3160x f x n -++⋅+=在[2,1]--上有两个不相等的实根，求实数n 的取值范围．【答案】(1)()93x xf x =-+(2)15,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ (3)227,93⎡⎫--⎪⎢⎣⎭【分析】(1)根据函数的奇偶性求出m 的值，进而求出函数的解析式即可；(2)利用分离参数法将原不等式转化为932()22x xa g x ⎛⎫⎛⎫≥--⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在[]1,2上恒成立，结合函数的单调性求出()max g x 即可；(3)令[]33,9xt -=∈，将原方程转化为直线13y n =-与函数()16h t t t=+的图象有两个交点．利用数形结合的思想即可求解.【详解】(1)依题意得()010f m =-=，解得1m =， 经检验1m =，符合题意.当()0,x ∈+∞时，(),0x -∈-∞，则()93x xf x -=-，因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()93x xf x f x =--=-+，即当()0,x ∈+∞时，()93x xf x =-+；(2)当[]1,2x ∈时，19323xxxx a +-+≤⋅+恒成立，即93222x xa ⎛⎫⎛⎫≥--⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立．设()93222x xg x ⎛⎫⎛⎫=--⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，易知()g x 在[]1,2上是减函数，()()max 1512g x g ==-，所以152a ≥-，即实数a 的取值范围为15,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭； (3)方程()13160x f x n -++⋅+=在[]2,1--上有两个不相等的实根， 即函数()()931316x xF x n --=+-⋅+在[]2,1--上有两个零点，令[]33,9xt -=∈，则关于t 的方程()231160t n t +-+=在[]3,9上有两个不相等的实根，由于2161613t n t t t+-==+，则直线13y n =-与()16h t t t=+的图象有两个交点．如图，因为()16h t t =+在[]3,4上单调递减，在[]4,9上单调递增， 且()48h =，()2533h =，()9799h =，所以258133n <-≤， 解得22793n -≤<-，即实数n 的取值范围为227,93⎡⎫--⎪⎢⎣⎭．19．设函数()222ln f x ax a x =--，()1eex g x x =-，其中a ∈R ，e 为自然对数的底数． (1)讨论()f x 的单调性； (2)证明：当1x >时，()0g x >；(3)若不等式()()f x g x >在()1,x ∈+∞时恒成立，求a 的取值范围． 【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析 (3)1,4a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）求导后分0a ≤与0a >两种情况讨论即可； （2）构造函数()1e-=-x s x x ，求导分析单调性与最值，证明当1x >时，1e x x ->即可；（3）结合（1）（2）讨论()(),f x g x 1的大小关系，构造函数()()()h x f x g x =-，求导放缩判断单调性，进而证明即可. 【详解】(1)()f x 定义域为()0,∞+，()241ax f x x-'=． 当0a ≤时，()0f x '<，()f x 在()0,∞+内单调递减；当0a >时，由()0f x '=，得x =x ⎛∈ ⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减；当x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增．综上所述，当0a ≤时，()f x 在()0,∞+内单调递减；当0a >时，()f x 在⎛ ⎝⎭上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增． (2)令()1e-=-x s x x ，则()1e 1x s x -=-．当1x >时，()0s x '>，()s x 单调递增，()()10s x s >=， 所以1e x x ->，从而()1110e x g x x -=->． (3)由（2）得，当1x >时，()0g x >．当0a ≤时，1x >时，()()()221ln 0f x a x x g x =--<<，不符合题意．当104a <<1=>，由（1）得，当x ⎛∈ ⎝⎭时，()()()10f x f g x <=<，不符合题意． 当14a ≥时，令()()()h x f x g x =-，1x >． ()211e 4e x h x ax x x '=-+-2111x x x x >-+-()222111110x x x x x ->-+-=>()h x 在区间()1,+∞上单调递增．又因为()10h =，所以当1x >时，()()()0h x f x g x =->，即()()f x g x >恒成立． 综上，1,4a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭．【点睛】本题主要考查了求导分情况讨论函数单调性的问题，证明不等式与恒成立的问题，需要根据题意，结合极值点与区间端点的关系分情况讨论导函数的正负，求得函数的单调性，从而证明不等式的问题.属于难题.20．已知0a >，设函数()(2)ln ,()=-+'f x x a x x f x 是()f x 的导函数． (1)若2a =，求曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；(2)若()f x 在区间(1,)+∞上存在两个不同的零点()1212,x x x x <， ①求实数a 范围； ②证明：()221(e)(2e)(3)12e---'<-x f x a a a x ．注，其中e 2.71828=⋅⋅⋅⋅⋅⋅是自然对数的底数． 【答案】(1)y x =(2)①>a【分析】(1)把1x =代入原函数与导函数得到切点及斜率，利用点斜式即可得切线方程； (2)①可设()()2ln ln f x xg x x a x x==+-，因为1x >，所以()g x 与()f x 零点相同，可根据()g x 的单调性与极值情况来确定a 的范围；②根据题意，巧设函数，利用放缩构造等思路结合导数，可分别求出22()x f x '与111x -的范围，然后相乘即可，详细过程见解析.【详解】(1)当2a =时，2()2(1)ln ,()2ln 3=-+=-+'f x x x x f x x x，所以(1)1,(1)1f k f '===．根据点斜式可得曲线()f x 在(1,(1))f 处的切线方程为y x =．(2)①当1x >时，()0f x =等价于20ln +-=xx a x． 设()2ln =+-x g x x a x ，则22ln 1(ln 1)(2ln 1)()2ln ln '-+-=+=x x x g x x x．当1x <<()0,()g x g x '<单调递减；当x >()0,()'>g x g x 单调递增； 所以，当1x >时，min [()]==g x g a ， 因为()f x 在区间(1,)+∞上存在两个不同的零点12,x x ，所以min [()]0<g x，解得>a当>a1=∈-a ax a ，则1ln 11<-=-a a x x a ， 故()221201ln 111-=+->+-=>---a a a a a x a a a g x x a a x a a a ，又202ln 2⎛⎫=> ⎪⎝⎭a a g a ， 所以()f x在区间和2⎫⎪⎭a 上各有一个零点．综上所述：>a②设()()[(3)2](2)ln (2)(2)=--+-=-+---F x f x a x a x a x a x a ， 则2()2ln (2)2ln -=++=+'--x a aF x x a x a x x，它是[1,)+∞上的增函数． 又(1)0F '=，所以()0F x '≥，于是()F x 在[1,)+∞上递增．所以()(1)0F x F ≥=，即(2)ln (3)2-+≥-+-x a x x a x a ，当1x =时取等号． 因为11x >，所以()110(3)2=>-+-f x a x a ，解得11031<<--a x ．(1) 因为()2ln 3=-'+af x x x，所以()222222ln 3-'=+x f x x x a x ， 结合()()22222ln 0=-+=f x x a x x 知()()2222222222232222-=-+=---+-'-a x ax f x a x a x x a a x ．处理1：设函数()ln xh x x =，则2ln 1()ln -='x h x x， 所以当0x e <<时，()0,()h x h x '<递减，当x e >时，()0,()h x h x '>递增，所以()()ln =≥=xh x h e e x，所以2222ln -=≥x a x e x ．处理2：因为ln 1≤-x x ，所以ln 1⎛⎫≤- ⎪⎝⎭x xe e，即ln x x e ≤，当x e =时取等号，所以ln 022222-----⎛⎫=-+>-⋅+= ⎪⎝⎭a e a e a e a e a e f e e e ． 由①可知，()f x 在[)2,x +∞上单调递增，且()20f x =，所以22-≤a ex ，即22-≥a x e ． 因为22()2=--+a a g x t t 在[,)e ∞+上是减函数，且22-≥a x e ，且()()2222()(2)22()22--=-≤=--+='a a a e a e x f x g a x g e e e e．综上可知：()221()(2)(3) 12--'-<-x f x a e a e ax e．【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．。

天津一中2020-2021-1高三年级数学学科一月考试卷本试卷分为第I 卷（选择题）、第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

第I 卷 1 页，第II 卷 至 2 页。

考生务必将答案涂写在规定的位置上，答在试卷上的无效。

一．选择题1．已知全集U =R ，{}|0A x x =>，{}|1B x x =>-，则()⋂=U C A B （ ） A．(]1,0-B．()1,1-C．()1,-+∞D．[)0,12．“(1)(1)0b a -⋅->”是“log 0a b >”成立的 （ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知3log 5a =，0.23b -=， 1.23c =，则 （ ） A．b c a <<B．b a c <<C．a c b <<D．a b c <<4．函数()()2xf x x tx e =+（实数t 为常数，且0t <）的图象大致是 （ ）A． B． C．D．5．若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且2cos 2sin 4παα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则sin 2α的值为 （ ）A．18B．38C．12D．786．为支援湖北抗击新冠疫情，无锡市某医院欲从6名医生和4名护士中抽选3人（医生和护士均至少有一人）分配到A ，B ，C 三个地区参加医疗救援（每个地区一人），方案要求医生不能去A 地区，则分配方案共有 （ ） A．264种B．224种C．250种D．236种7．已知函数21()sin cos 2f x x x x x =++，则不等式(23)(1)0f x f +-<的解集为（ ）A．(2,)-+∞B．(1,)-+∞C．(2,1)--D．(,1)-∞-8．设函数()21,25,2x x f x x x ⎧-⎪=⎨-+>⎪⎩ ，若互不相等的实数,,a b c 满足()()()f a f b f c ==，则222a b c ++的取值范围是 （ ）A．()16,32 B．()18,34 C．()17,35 D．()6,79. 已知函数13,(1,0](),()()1,1]1,(0,1]且在(⎧-∈-⎪==---+⎨⎪∈⎩x f x g x f x mx m x x x 内有且仅有两个不同的零点，则实数的取值范围是 （ ）A．91(,2](0,]42--⋃ B．111(,2](0,]42--⋃ C．92(,2](0,]43--⋃ D．112(,2](0,]43--⋃二．填空题10．设复数z 满足()25z i +=，则z i -= ．11．已知甲乙两组数据的茎叶图如图所示，若甲的众数与乙的中位数相等，则图中x 的值为 ．12．命题“2 230x R ax ax ∀∈-+>，恒成立”是假命题，则实数a 的取值范围是 ． 13．已知1cos 4α=，则sin(2)2πα-= ．14.在5212-⎛⎫⎪⎝⎭x x 的二项展开式中，x 的系数为 ．15．设函数()21722,04,0⎧+⎛⎫-+≤⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪>⎩k x x f x x x ，()40)3＝-（⎛⎫> ⎪⎝⎭g x k x k ，若存在唯一的整数x 使得()()<f x g x ，则实数k 的取值范围是 ．三．解答题16．在∆ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c．已知cos )cos a C c A =-． （1）求A；（2）若a b ==（ⅰ）求边c 的值 ； （ⅱ）求ABC 的面积．17．随着马拉松运动在全国各地逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人数逐年增加．为此，某市对参加马拉松运动的情况进行了统计调査，其中一项是调査人员从参与马拉松运动的人中随机抽取100人，对其每月参与马拉松运动训练的天数进行统计，得到以下统计表；平均每月进行训练的天数x5x ≤520x <<20x ≥人数106030（1）以这100人平均每月进行训练的天数位于各区间的频率代替该市参与马拉松训练的人平均每月进行训练的天数位于该区间的概率．从该市所有参与马拉松训练的人中随机抽取4个人，求恰好有2个人是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的概率； （2）依据统计表，用分层抽样的方法从这100个人中抽取20个，再从抽取的20个人中随机抽取4个，Y 表示抽取的是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的人数，求Y 的分布列及数学期望()E Y ．18．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，2PA AB ==，4=AD ，E 是PB 的中点，AF PC ⊥，垂足为F .（1）证明：//PD 平面ACE . （2）求点F 到平面PAB 的距离； （3）求二面角--A EF C 的正弦值. 19．已知函数()ln 1a f x x x=--. （1）若曲线()y f x =存在斜率为-1的切线，求实数a 的取值范围； （2）求函数()f x 的单调区间； （3）设函数()ln x ag x x+=，求证：当10a -<<时， ()g x 在()1,+∞上存在极小值.20．已知函数1()(ln )x f x xea x x -=-+，a R ∈.（1）当=1a 时，求函数()f x 的单减区间； （2）若()f x 存在极小值，求实数a 的取值范围； （3）设0x 是()f x 的极小值点，且0()0f x ≥，证明：()()230002f x x x ≥-.参考答案 一、单选题 1．A 2．B 3．B4．B 【解析】 【分析】先由函数零点的个数排除选项A,C;再结合函数的单调性即可得到选项. 【详解】由f（x）=0得x 2+tx=0，得x=0或x=-t，即函数f（x）有两个零点，排除A，C， 函数的导数f′（x）=（2x+t）e x +（x 2+tx）e x =[x 2+（t+2）x+t]e x ， 当x→-∞时，f′（x）＞0，即在x 轴最左侧，函数f（x）为增函数，排除D， 故选B． 5．D 6．A 【解析】 【分析】分类计数，考虑选取1名医生2名护士和选取2名医生1名护士两类情况求解. 【详解】当选取的是1名医生2名护士，共有126436C C =种选法，分配到A ，B ，C 三个地区参加医疗救援（每个地区一人），方案要求医生不能去A 地区，共有2224A =种，即一共364144⨯=种方案；当选取的是2名医生1名护士，共有216460C C =种选法，分配到A ，B ，C 三个地区参加医疗救援（每个地区一人），方案要求医生不能去A 地区，共有222A =种，即一共602120⨯=种方案.综上所述：分配方案共有264种. 故选：A 7．C 【解析】 【分析】根据条件先判断函数是偶函数，然后求函数的导数，判断函数在[0，)+∞上的单调性，结合函数的奇偶性和单调性的关系进行转化求解即可． 【详解】解：2211()sin()cos()sin cos ()22f x x x x x x x x x f x -=--+-+=++=， 则()f x 是偶函数，()sin cos sin cos (1cos )f x x x x x x x x x x x '=+-+=+=+， 当0x 时，()0f x ' ，即函数在[0，)+∞上为增函数，则不等式(23)(1)0f x f +-<得()()231f x f +<，即()()|23|1f x f +<，则|23|1x +<，得1231x -<+<，得21x -<<-， 即不等式的解集为(2,1)--， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查不等式的求解，结合条件判断函数的奇偶性和单调性，利用函数奇偶性和单调性的关系进行转化是解决本题的关键．属于中档题． 8．B 【解析】 【分析】画出函数()f x 的图象，不妨令a b c <<，则222a b +=．结合图象可得45c <<，从而可得结果． 【详解】画出函数()f x 的图象如图所示．不妨令a b c <<，则1221a b -=-，则222a b +=． 结合图象可得45c <<，故16232c <<． ∴1822234a b c <++<．选B． 【点睛】数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质． 9．A 【解析】 【详解】 【分析】试题分析：令，分别作出与的图像如下，由图像知是过定点的一条直线，当直线绕着定点转动时，与图像产生不同的交点.当直线在轴和直线及切线和直线之间时，与图像产生两个交点，此时或故答案选A .考点：1.函数零点的应用；2.数形结合思想的应用.10． 11．412．30a a ≥<或 13．78- 14．-40 15．17[3,6] 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式画出图像,再根据存在唯一的整数x 使得()()f x g x <数形结合列出临界条件满足的关系式求解即可. 【详解】解： 函数()21722,04,0k x x f x x x ⎧+⎛⎫-+≤⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪>⎩,且0,k ＞ 画出()f x 的图象如下：因为()43g x k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,且存在唯一的整数,x 使得()()f x g x <, 故()g x 与()f x 在0x <时无交点,174k k +∴≥,得173k ≥；又()43g x k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,()g x ∴过定点4,03⎛⎫⎪⎝⎭ 又由图像可知,若存在唯一的整数x 使得()()f x g x <时43x >,所以2x ≥()()58533939g k f ≥≥=＝,∴存在唯一的整数3,x =使得()()f x g x <所以()()22243g k f =≤=6k ⇒≤ ()()844163g k f ∴≤=＝6k ⇒≤.根据图像可知,当4x ≥时, ()()f x g x >恒成立.综上所述, 存在唯一的整数3,x =使得()()f x g x <,此时1763k ≤≤ 故答案为：17[3,6]【点睛】本题主要考查了数形结合分析参数范围的问题,需要根据题意分别分析定点4,03⎛⎫⎪⎝⎭右边的整数点中3x =为满足条件的唯一整数,再数形结合列出2,4x =时的不等式求k 的范围.属于难题.16．（1）45A ︒=；（2）6.sin cos cos sin cos sin cos cos 245(2)sin 5sin sin()1sin sin 62A C A CB A B B A A A b ABC A a c A B A ab C ===︒∆===+===（1）+17．222441442013642022614420303(20)10010331323()()(110105000(2)5,25201220:6100148452184()4845136()p x p A C x x x C C C C p C C C p C ≥===-=≤<<≥=====（1）记“平均每月进行训练的天数不少于20天”为事件A 由题意，分别抽取人，：人，人Y的所有可能取值为0,1,2,3,4p(Y=0)=Y=1Y=2316144204642054845280()484515()4845C C p C C p C ====Y=3Y=4∴Y 的分布列 Y 0 1 2 3 4 P 10014845 21844845 13654845 2804845 154845581461.248455==EY=18．1//2//(2,4,2)(2ABCD O BD EO PDEO ACE PD ACE PD ACE FPF PC F λλ∴∴⊂⊄∴⊥∴=-∴（1）连BD交于AC于O，连EO 矩形为中点又面平面（2）PA 平面ABCD ABCD为矩形PA，AB，AD两两垂直如图连系，则A(0,0,0)D（0,4,0）B(2,0,0)C(2,4,0)E(1,0,1)P(0,0,2)由题意设（x,y,z）设（x,y,z-2）=,4,22)022442(22)016125(,,)333,||23||F PAB AF PC F PAB AD AF AD AB λλλλλλλ--⋅=∴⋅+⋅--=∴=∴=∴⋅==又平面的一个法向量为（0,40）点F到平面PAB的距离d(3)(,,)0025003331(1,2,1)(,,)040200(1,0,1)||cos AEF n x y z x z n AE x y z n AF x n EFC m x y z m EC x y z x y z m FC m A EF C m n αα=+=⎧⎧⋅=⎪⎪⎨⎨++=⋅=⎪⎪⎩⎩=∴=-=⎧⋅=+-=⎧⎪⎨⎨+-=⋅=⎩⎪⎩∴=∴--⋅=设平面的法向量为则即令设平面的法向量为则即二面角为0||||sin 1m n α=⋅∴=19．(1) (),0-∞.(2)答案见解析；(3)证明见解析. 【解析】 【分析】 【详解】 试题分析：（1）求出函数的导数，问题转化为20x x a ++=存在大于0的实数根，根据2y x x a =++在0x >时递增，求出a 的范围即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，判断导数的符号，求出函数的单调区间即可；（3）求出函数()g x ，根据()0af e e=->，得到存在0(1,)x e ∈，满足00()g x '=，从而让得到函数单调区间，求出函数的极小值，证处结论即可. 试题解析：（1）由()ln 1a f x x x=--得()221'(0)a x af x x x x x +=+=>.由已知曲线()y f x =存在斜率为-1的切线，所以()'1f x =-存在大于零的实数根，即20x x a ++=存在大于零的实数根，因为2y x x a =++在0x >时单调递增，所以实数a 的取值范围(),0-∞. （2）由()2',0,x af x x a R x+=>∈可得 当0a ≥时， ()'0f x >，所以函数()f x 的增区间为()0,∞+；当0a <时，若(),x a ∈-+∞， ()'0f x >，若()0,x a ∈-， ()'0f x <，所以此时函数()f x 的增区间为(),a -+∞，减区间为()0,a -.（3）由()ln x ag x x+=及题设得()()()()22ln 1'ln ln ax f x x g x x x --==， 由10a -<<可得01a <-<，由（2）可知函数()f x 在(),a -+∞上递增，所以()110f a =--<，取x e =，显然1e >，()ln 10a af e e e e=--=->，所以存在()01,x e ∈满足()00f x =，即存在()01,x e ∈满足()0'0g x =，所以()g x ， ()'g x 在区间（1，+∞）上的情况如下： x 0(1,x ） 0x 0(+x ，）∞ ()'g x － 0 + ()g x ↘ 极小 ↗所以当-1<a<0时，g（x）在（1，+∞）上存在极小值.点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系. (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数. (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题. (4)考查数形结合思想的应用. 20．(1)当a=1时/11/1()(1)(0)()1()(0,1)(1)0()0(0,1)()(0,1)x x x f x xe x xg x x e g x g f x x f x --+=->=⋅-↑=<∈↓令在且在（2）由（1）知0100x x ea --=，即010x a x e -=.所以00ln ln 1a x x =+-，()()0100001ln x f x x e x x -=--.由()00f x ≥，得001ln 0x x --≥.令()1ln g x x x =--，显然()g x 在区间()0,∞+上单调递减.又()10g =，所以由()00f x ≥，得001x <≤.令()ln 1(0)H x x x x =-->，()111'1x x H x x x x--=-==， 当1x >时，()'0H x >，函数()H x 单调递增； 当01x <<时，()'0H x <，函数()H x 单调递减；所以，当1x =时，函数()H x 取最小值()10H =，所以()ln 10H x x x =--≥，即1ln x x -≥，即1x e x -≥， 所以0100x ex -≥>，()()000001ln 11210x x x x x --≥---=-≥，所以()()()()01223000000001ln 212x f x x e x x x x x x -=--≥⋅-=-，即()()230002fx x x ≥-.【点睛】本题考查了导数在研究函数单调性、极值和最值中的综合应用，利用导数证明不等式成立，变换过程复杂，需要很强的逻辑推理第一中学。

天津一中2015届高三上学期月考数学试卷（理科）一、选择题：1．（3分）i是虚数单位，的值是（）A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i2．（3分）在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数为（）A．30 B．20 C．15 D．103．（3分）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）A．B．C．D．（3分）若曲线处的切线分别为l1，l2，且l1⊥l2，4．则a的值为（）A．﹣2 B．2 C．D．﹣5．（3分）设{a n}是公比为q的等比数列，则“q＞1”是“{a n}”为递增数列的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（3分）甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一次就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为（）A．B．C．D．7．（3分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC 的形状为（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不确定8．（3分）函数f（x）的定义域是R，f（0）=2，对任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，则不等式e x•f（x）＞e x+1的解集为（）A．{x|x＞0} B．{x|x＜0}C．{x|x＜﹣1，或x＞1} D．{x|x＜﹣1，或0＜x＜1}二、填空题：9．（5分）以Rt△ABC的直角边AB为直径作圆O，圆O与斜边AC交于D，过D作圆O的切线与BC交于E，若BC=3，AB=4，则OE=．10．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．11．（5分）在直角坐标系xoy 中，已知曲线C1：（t为参数）与曲线C2：（θ为参数，a＞0 ）有一个公共点在X轴上，则a等于．12．（5分）某学校2014-2015学年高一、2014-2015学年高二、2015届高三年级的学生人数之比为3：3：4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从2014-2015学年高二年级抽取名学生．13．（5分）若点O和点F分别为椭圆+=1的中心和左焦点，点P为椭圆上点的任意一点，则•的最大值为．14．（5分）设函数f（x）=sin，若存在f（x）的极值点x0满足x02+[f（x0）]2＜m2，则m的取值范围是．三、解答题：15．（15分）已知锐角三角形△ABC内角A、B、C对应边分别为a，b，c．．（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）求cosB+cosC的取值范围．16．（15分）盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同．（1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P；（2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1，x2，x3，随机变量X表示x1，x2，x3中的最大数，求X的概率分布和数学期望E（X）．17．（15分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC=CD=2，AC=4，∠ACB=∠ACD=，F为PC的中点，AF⊥PB．（1）求PA的长；（2）求二面角B﹣AF﹣D的正弦值．18．（15分）数列{a n}的各项均为正数，S n为其前n项和，对于任意的n∈N*，总有a n，S n，a n2成等差数列．（1）求a1；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）设数列{b n}的前n项和为T n，且b n=，求证：对任意正整n，总有T n＜2．19．（16分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（2，）．（1）求椭圆的标准方程；（2）四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC、BD过原点O，若k AC•k BD=﹣，（i）求•的最值．（ii）求证：四边形ABCD的面积为定值．20．设函数f（x）=x2+aln（x+1）（a为常数）（Ⅰ）若函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是单凋递增函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若函数y=f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求证：．天津一中2015届高三上学期月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：1．（3分）i是虚数单位，的值是（）A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值．解答：解：=．故选：A．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2．（3分）在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数为（）A．30 B．20 C．15 D．10考点：二项式系数的性质．专题：二项式定理．分析：利用二项展开式的通项公式求出（1+x）6的第r+1项，令x的指数为2求出展开式中x2的系数．然后求解即可．解答：解：（1+x）6展开式中通项T r+1=C6r x r，令r=2可得，T3=C62x2=15x2，∴（1+x）6展开式中x2项的系数为15，在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数为：15．故选：C．点评：本题考查二项展开式的通项的简单直接应用．牢记公式是基础，计算准确是关键．3．（3分）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）A．B．C．D．考点：程序框图．专题：图表型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，分析可知：该程序的作用是计算并输出S=++的值，并输出．解答：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出S=++的值∵S=++=．故选D．点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．4．（3分）若曲线处的切线分别为l1，l2，且l1⊥l2，则a的值为（）A．﹣2 B．2 C．D．﹣考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的概念及应用．分析：两函数f（x）、g（x）在x=1处的导数即为它们在点P处切线的斜率，再根据切线垂直即可列一方程，从而可求a值．解答：解：f′（x）=，g′（x）=ax a﹣1，则f′（1）=，g′（1）=a，又曲线处的切线相互垂直，所以f′（1）•g′（1）=﹣1，即a=﹣1，所以a=﹣2．故选A．点评：本题考查了导数的几何意义及简单应用，难度不大．该类问题中要注意区分某点处的切线与过某点的切线的区别，某点处意为改点为切点，过某点则未必然．5．（3分）设{a n}是公比为q的等比数列，则“q＞1”是“{a n}”为递增数列的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；等比数列．专题：等差数列与等比数列；简易逻辑．分析：根据等比数列的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．解答：解：等比数列﹣1，﹣2，﹣4，…，满足公比q=2＞1，但“{a n}”不是递增数列，充分性不成立．若a n=﹣1为递增数列，但q=＞1不成立，即必要性不成立，故“q＞1”是“{a n}”为递增数列的既不充分也不必要条件，故选：D．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用等比数列的性质，利用特殊值法是解决本题的关键．6．（3分）甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一次就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为（）A．B．C．D．考点：相互独立事件的概率乘法公式．专题：概率与统计．分析：根据已知中的比赛规则，我们可得甲要获得冠军可分为甲第一场就取胜，或甲第一场失败，第二场取胜，由分类事件加法公式，我们分别求出两种情况的概率，进而即可得到结论．解答：解：甲要获得冠军共分为两个情况一是第一场就取胜，这种情况的概率为一是第一场失败，第二场取胜，这种情况的概率为×=则甲获得冠军的概率为故选D点评：本题考查的知识点是相互独立事件的概率乘法公式，要想计算一个事件的概率，首先我们要分析这个事件是分类的（分几类）还是分步的（分几步），然后再利用加法原理和乘法原理进行求解．7．（3分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC 的形状为（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不确定考点：正弦定理；三角形的形状判断．专题：计算题；解三角形．分析：直接利用正弦定理以及两角和的正弦函数，化简已知表达式，即可求出A的正弦函数值，然后求出角A，即可判断三角形的形状．解答：解：因为bcosC+ccosB=asinA，由正弦定理可得：sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA，所以sin（B+C）=sin2A，即sinA=sin2A，A为三角形内角，所以sinA=1，A=．三角形是直角三角形．故选A．点评：本题考查正弦定理以及两角和的正弦函数的应用，三角形形状的判断方法，考查计算能力．8．（3分）函数f（x）的定义域是R，f（0）=2，对任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，则不等式e x•f（x）＞e x+1的解集为（）A．{x|x＞0} B．{x|x＜0}C．{x|x＜﹣1，或x＞1} D．{x|x＜﹣1，或0＜x＜1}考点：函数单调性的性质；导数的运算．专题：函数的性质及应用．分析：构造函数g（x）=e x•f（x）﹣e x，结合已知可分析出函数g（x）的单调性，结合g （0）=1，可得不等式e x•f（x）＞e x+1的解集．解答：解：令g（x）=e x•f（x）﹣e x，则g′（x）=e x•[f（x）+f′（x）﹣1]∵对任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，∴g′（x）＞0恒成立即g（x）=e x•f（x）﹣e x在R上为增函数又∵f（0）=2，∴g（0）=1故g（x）=e x•f（x）﹣e x＞1的解集为{x|x＞0}即不等式e x•f（x）＞e x+1的解集为{x|x＞0}故选A点评：本题考查的知识点是函数单调性的性质，导数的运算，其中构造出函数g（x）=e x•f （x）﹣e x，是解答的关键．二、填空题：9．（5分）以Rt△ABC的直角边AB为直径作圆O，圆O与斜边AC交于D，过D作圆O的切线与BC交于E，若BC=3，AB=4，则OE=．考点：平行线分线段成比例定理．专题：计算题．分析：利用条件，可以证明EB=ED=EC，再利用三角形的中位线，即可求得OE的长．解答：解：由题意，连接OD，BD，则OD⊥ED，BD⊥AD∵OB=OD，OE=OE∴Rt△EBO≌Rt△EDO∴EB=ED，∴∠EBD=∠EDB又∠EBD+∠C=90°，∠EDB+∠EDC=90°∴∠C=∠EDC，∴ED=EC∴EB=EC∵O是AB的中点，∴∵直角边BC=3，AB=4，∴AC=5∴OE=故答案为：点评：本题考查圆的切线的性质，考查圆的性质，考查三角形中位线的性质，属于基础题．10．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为200．考点：由三视图求面积、体积．专题：规律型．分析：由三视图可知该几何体为四棱柱，然后根据棱柱体积公式计算体积即可．解答：解：由三视图可知该几何体为平放的四棱柱，其中以侧视图为底．底面为等腰梯形，梯形的上底长为2，下底长为8，梯形的高为4，棱柱的高为10．∴梯形的面积为，∴棱柱的体积为20×10=200．故答案为：200．点评：本题主要考查三视图的识别和判断，以及棱柱的体积公式，利用三视图确定几何体的直观图是解决此类问题的关键．11．（5分）在直角坐标系xoy 中，已知曲线C1：（t为参数）与曲线C2：（θ为参数，a＞0 ）有一个公共点在X轴上，则a等于．考点：椭圆的参数方程；直线的参数方程．专题：计算题．分析：化参数方程为普通方程，利用两曲线有一个公共点在x轴上，可得方程，即可求得结论．解答：解：曲线C1：（t为参数）化为普通方程：2x+y﹣3=0，令y=0，可得x=曲线C2：（θ为参数，a＞0 ）化为普通方程：∵两曲线有一个公共点在x轴上，∴∴a=故答案为：点评：本题考查参数方程化为普通方程，考查曲线的交点，属于基础题．12．（5分）某学校2014-2015学年高一、2014-2015学年高二、2015届高三年级的学生人数之比为3：3：4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从2014-2015学年高二年级抽取15名学生．考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据三个年级的人数比，做出2014-2015学年高二所占的比例，用要抽取得样本容量乘以2014-2015学年高二所占的比例，得到要抽取的2014-2015学年高二的人数．解答：解：∵2014-2015学年高一、2014-2015学年高二、2015届高三年级的学生人数之比为3：3：4，∴2014-2015学年高二在总体中所占的比例是=，∵用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，∴要从2014-2015学年高二抽取，故答案为：15点评：本题考查分层抽样方法，本题解题的关键是看出三个年级中各个年级所占的比例，这就是在抽样过程中被抽到的概率，本题是一个基础题．13．（5分）若点O和点F分别为椭圆+=1的中心和左焦点，点P为椭圆上点的任意一点，则•的最大值为6．考点：平面向量数量积的运算；椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设P（x，y），由数量积运算及点P在椭圆上可把•表示为x的二次函数，根据二次函数性质可求其最大值．解答：解：设P（x，y），则•=（x，y）•（x+1，y）=x2+x+y2，又点P在椭圆上，故+=1，所以x2+x+（3﹣）=+x+3=+2，又﹣2≤x≤2，所以当x=2时，+2取得最大值为6，即•的最大值为6，故答案为：6．点评：本题考查平面向量的数量积运算、椭圆的简单性质，属中档题．14．（5分）设函数f（x）=sin，若存在f（x）的极值点x0满足x02+[f（x0）]2＜m2，则m的取值范围是（﹣∞﹣2）∪（2，+∞）．考点：利用导数研究函数的极值．专题：三角函数的图像与性质．分析：由题意可得，f（x0）=±，且=kπ+，k∈z，再由题意x02+ [f（x0）]2＜m2，可得当m2最小时，|x0|最小，而|x0|最小为|m|，继而可得关于m的不等式，解得即可．解答：解：由题意可得，f（x0）=±，且=kπ+，k∈z，即 x0=m．再由x02+[f（x0）]2＜m2，可得当m2最小时，|x0|最小，而|x0|最小为|m|，∴m2 ＞m2+3，∴m2＞4．解得 m＞2，或m＜﹣2，故m的取值范围是（﹣∞﹣2）∪（2，+∞）故答案为：（﹣∞﹣2）∪（2，+∞）点评：本题主要正弦函数的图象和性质，函数的零点的定义，体现了转化的数学思想，属于中档题三、解答题：15．（15分）已知锐角三角形△ABC内角A、B、C对应边分别为a，b，c．．（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）求cosB+cosC的取值范围．考点：余弦定理；同角三角函数基本关系的运用；正弦函数的定义域和值域．分析：（Ⅰ）由余弦定理表示出b2+c2﹣a2=2bccosA，代入即可得到sinA的值，然后根据A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的大小；（Ⅱ）由三角形为锐角三角形且由（Ⅰ）得到A的度数可知B+C的度数，利用C表示出B并求出B的范围，代入所求的式子中，利用两角差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简后，再利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数为sin（B+），然后根据求出的B的范围求出B+的范围，根据角的范围，利用正弦函数的图象即可求出sin（B+）的范围即为cosB+cosC的取值范围．解答：解：（Ⅰ）由余弦定理知，b2+c2﹣a2=2bccosA，∴，∵，∴；（Ⅱ）∵△ABC为锐角三角形，且，∴，∴===，∵，∴，即cosB+cosC的取值范围是．点评：此题考查了余弦定理，同角三角函数间的基本关系，两角和与差的正弦、余弦函数公式及特殊角的三角函数值，是一道综合题．16．（15分）盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同．（1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P；（2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1，x2，x3，随机变量X表示x1，x2，x3中的最大数，求X的概率分布和数学期望E（X）．考点：离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：（1）先求出取2个球的所有可能，再求出颜色相同的所有可能，最后利用概率公式计算即可；（2）先判断X的所有可能值，在分别求出所有可能值的概率，列出分布列，根据数学期望公式计算即可．解答：解（1）一次取2个球共有=36种可能，2个球颜色相同共有=10种可能情况∴取出的2个球颜色相同的概率P=．（2）X的所有可能值为4，3，2，则P（X=4）=，P（X=3）=于是P（X=2）=1﹣P（X=3）﹣P（X=4）=，X的概率分布列为X 2 3 4P故X数学期望E（X）=．点评：本题考查了排列组合，概率公式以概率的分布列和数学期望，知识点比较多，属基础题．17．（15分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC=CD=2，AC=4，∠ACB=∠ACD=，F为PC的中点，AF⊥PB．（1）求PA的长；（2）求二面角B﹣AF﹣D的正弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；点、线、面间的距离计算；二面角的平面角及求法．专题：计算题；证明题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（I）连接BD交AC于点O，等腰三角形BCD中利用“三线合一”证出AC⊥BD，因此分别以OB、OC分别为x轴、y轴建立空间直角坐标系如图所示．结合题意算出A、B、C、D各点的坐标，设P（0，﹣3，z），根据F为PC边的中点且AF⊥PB，算出z=2，从而得到=（0，0，﹣2），可得PA的长为2；（II）由（I）的计算，得=（﹣，3，0），=（，3，0），=（0，2，）．利用垂直向量数量积为零的方法建立方程组，解出=（3，，﹣2）和=（3，﹣，2）分别为平面FAD、平面FAB的法向量，利用空间向量的夹角公式算出、夹角的余弦，结合同角三角函数的平方关系即可算出二面角B﹣AF﹣D的正弦值．．解答：解：（I）如图，连接BD交AC于点O∵BC=CD，AC平分角BCD，∴AC⊥BD以O为坐标原点，OB、OC所在直线分别为x轴、y轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，则OC=CDcos=1，而AC=4，可得AO=AC﹣OC=3．又∵OD=CDsin=，∴可得A（0，﹣3，0），B（，0，0），C（0，1，0），D（﹣，0，0）由于PA⊥底面ABCD，可设P（0，﹣3，z）∵F为PC边的中点，∴F（0，﹣1，），由此可得=（0，2，），∵=（，3，﹣z），且AF⊥PB，∴•=6﹣=0，解之得z=2（舍负）因此，=（0，0，﹣2），可得PA的长为2；（II）由（I）知=（﹣，3，0），=（，3，0），=（0，2，），设平面FAD的法向量为=（x1，y1，z1），平面FAB的法向量为=（x2，y2，z2），∵•=0且•=0，∴，取y1=得=（3，，﹣2），同理，由•=0且•=0，解出=（3，﹣，2），∴向量、的夹角余弦值为cos＜，＞===因此，二面角B﹣AF﹣D的正弦值等于=点评：本题在三棱锥中求线段PA的长度，并求平面与平面所成角的正弦值．着重考查了空间线面垂直的判定与性质，考查了利用空间向量研究平面与平面所成角等知识，属于中档题．18．（15分）数列{a n}的各项均为正数，S n为其前n项和，对于任意的n∈N*，总有a n，S n，a n2成等差数列．（1）求a1；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）设数列{b n}的前n项和为T n，且b n=，求证：对任意正整n，总有T n＜2．考点：数列与不等式的综合；等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）（2）由题意可得，利用和等差数列的通项公式即可得出．（3）由（2）可得．当n≥2时，，利用裂项求和即可证明．解答：解：（1）∵对于任意的n∈N*，总有a n，S n，a n2成等差数列．∴，令n=1，得，解得a1=1．（2）当n≥2时，由，，得，∴（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣1）=0，∵∀n∈N*，a n＞0，∴a n﹣a n﹣1=1，∴数列{a n}是公差为1的等差数列，∴a n=1+（n﹣1）×1=n．（3）由（2）可得．当n≥2时，，∴=2﹣．当n=1时，T1=b n=1＜2．∴对任意正整n，总有T n＜2．点评：熟练掌握利用求a n和等差数列的通项公式、放缩法、裂项求和等是解题的关键．19．（16分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（2，）．（1）求椭圆的标准方程；（2）四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC、BD过原点O，若k AC•k BD=﹣，（i）求•的最值．（ii）求证：四边形ABCD的面积为定值．考点：直线与圆锥曲线的关系；三角形的面积公式；平面向量数量积的运算；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）把点代入椭圆的方程，得到，由离心率，再由a2=b2+c2，联立即可得到a2、b2、c2；（2）（i）设A（x1，y1），B（x2，y2），设k AC=k，由k AC•k BD=﹣=﹣，可得．把直线AC、BD的方程分别与椭圆的方程联立解得点A，B，的坐标，再利用数量积即可得到关于k的表达式，利用基本不等式的性质即可得出最值；（ii）由椭圆的对称性可知S四边形ABCD=4×S△AOB=2|OA||OB|sin∠AOB，得到=4，代入计算即可证明．解答：解：（1）由题意可得，解得，∴椭圆的标准方程为．（2）（i）设A（x1，y1），B（x2，y2），不妨设x1＞0，x2＞0．设k AC=k，∵k AC•k BD=﹣=﹣，∴．可得直线AC、BD的方程分别为y=kx，．联立，．解得，．∴=x1x2+y1y2===2，当且仅当时取等号．可知：当x1＞0，x2＞0时，有最大值2．当x1＜0，x2＜0．有最小值﹣2．ii）由椭圆的对称性可知S四边形ABCD=4×S△AOB=2|OA||OB|sin∠AOB．∴=4=4=4=4==128，∴四边形ABCD的面积=为定值．点评：熟练掌握椭圆的定义、标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为联立方程得到一元二次方程的根与系数的关系、数量积、基本不等式的性质、三角形的面积计算公式等是解题的关键．20．设函数f（x）=x2+aln（x+1）（a为常数）（Ⅰ）若函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是单凋递增函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若函数y=f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求证：．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：转化思想．分析：（Ⅰ）已知原函数的值为正，得到导函数的值非负，从而求出参量的范围；（Ⅱ）利用韦达定理，对所求对象进行消元，得到一个新的函数，对该函数求导后，再对导函数求导，通过对导函数的导导函数的研究，得到导函数的最值，从而得到原函数的最值，即得到本题结论．解答：解：（Ⅰ）根据题意知：f′（x）=在[1，+∞）上恒成立．即a≥﹣2x2﹣2x在区间[1，+∞）上恒成立．∵﹣2x2﹣2x在区间[1，+∞）上的最大值为﹣4，∴a≥﹣4；经检验：当a=﹣4时，，x∈[1，+∞）．∴a的取值范围是[﹣4，+∞）．（Ⅱ）在区间（﹣1，+∞）上有两个不相等的实数根，即方程2x2+2x+a=0在区间（﹣1，+∞）上有两个不相等的实数根．记g（x）=2x2+2x+a，则有，解得．∴，．∴令．，记．∴，．在使得p′（x0）=0．当，p′（x）＜0；当x∈（x0，0）时，p′（x）＞0．而k′（x）在单调递减，在（x0，0）单调递增，∵，∴当，∴k（x）在单调递减，即．点评：本题考查的是导数知识，重点是利用导数法研究函数的单调性、究极值和最值，难点是多次连续求导，即二次求导，本题还用到消元的方法，难度较大．。