第3章 角动量守恒

v v
dm
v F
m
x
11
以m和dm 为研究系统 t 时刻水平总动量为 mv +dm⋅ 0 t+dt 时刻 增量
= mv
mv + dm⋅ v = (m+ dm)v
dp = (m + dm)v − mv = dm⋅ v
Fdt = dp = dm⋅ v
根据动量定理， 根据动量定理，
dm ∴F = v = 500×3 =1.5×103 N dt
16
静止的原子核衰变时辐射出一个电子和一个中微子后成为 例1 静止的原子核衰变时辐射出一个电子和一个中微子后成为 一个新的原子核，已知电子的动量为1.2×10-23kg.m/s,中微子的 一个新的原子核，已知电子的动量为 中微子的 动量为6.4×10-23kg.m/s，且它们的运动方向相互垂直 动量为 ，且它们的运动方向相互垂直. 求:新原子核的动量的值和方向. 新原子核的动量的值和方向. 解：原子衰变前后系统动量守恒
t
t +dt
火箭体质量为M 火箭体质量为
r 速度 V
M + dM
喷出的气体 dm
r r 速度 u +V
r r V +dV
v pe
v v v pe + pν + pN = 0
v v 2 2 pe 与 pν 垂直： pN = pe + pν 垂直： 因为
v pN
θ
(
)
α
1/ 2
v pν
pe 1.2×10−23 所以： 所以： α＝ = = 61.9o arctg 6.4×10−23 pν
θ＝ o－ o =118.1o 180 61.9

在光滑桌面上运动，速度分别为
v1

10i ,
v2

3.0i
5.0
j
（SI制）碰撞后合为一体，求碰撞后的速度？
解：方法一，根据动量守恒定律
m1v1 m2v2 (m1 m2 )v
解得：
v
7i
25
j
7
方法二，利用动量守恒分量式：
(m1 m2 )vx m1v1x m2v2x vx 7m / s
例 题 12
12、一子弹在枪筒里前进时所受的合力大小为 F 400 4105 t
3
（SI），子弹从枪口射出时的速率为300m/s。假设子弹离
开枪口时合力刚好为零，则
（1）子弹走完枪筒全长所用的时间；
（2）子弹在枪筒中所受力的冲量； （3）子弹的质量 m ；
解：（1）根据题意，子弹离开枪口时合力为零，
f mg
f t(N)
30N L L L 0 t 4 30 ft 70 10tL 4 t 7
0
Ft ft f
t(s) 47
当 t 4s 时 Ftt mv4 mv0 v4 8m / s
(2)当 t 6s 时
6
4 Ftdt mv6 mv4 v6 v4 8m / s
人造卫星的角动量守恒。
A1 : L1 mv1(R l1)
l2
l1 m
A2 : L2 mv2 (R l2 )
A2
A1
mv1(R l1) mv2 (R l2 )
v2 6.30km/s
v2

v1
R l1 R l2
o
B

r
m
r F M
Lr pC
M 0
dL 0 dt
合外力矩为零时,质点角动量(动量 矩)为恒量。
M 0, L C , r mv r p C M rF sin 可能性1、 S F = 0 ； 表示F 平行r （过 o点) 2、 sin =0 没有转动！！
微分公式
dB dA d ( A B) A B dt dt dt
dL d dr dp r p pr dt dt dt dt v p r F r F M
m1v z1 m2 v z 2 常量
动量守恒定律的几点说明：
1. 系统的动量守恒是指系统的总动量不变， 系统内任 一物体的动量是可变的, 各物体的动 量必相对于同一惯性参考系。。 2. 动量定理及动量守恒定律只适用于惯性系。 3. 动量若在某一惯性系中守恒，则在其它一 切惯性系中均守恒。 4.若某个方向上合外力为零，则该方向上动量 守恒，尽管总动量可能并不守恒。
v2 θ tg v1
1
v2
例4.水平光滑铁轨上有一小车M，长l， 车 端站有一人m，人和车原都不动。现人从车 的一端走到另一端。问人和车各移动多少 距离？ l
分析：
动量守恒 ＋相对运动
x人地
x车地 x车地+x人地=l
解： 以地为参考系
mv人地 MV车地= 0 mv人地 dt MV车地 dt
角动量定理
dL M dt
1、力矩意义（在转动中）
相对确定的点o r 是 质点与o 的连线
F
M
r o
M r F

● 讨论：
1）质点系动量定理微分形式
F mac
t2
F外dt P P0
(F dP ) dt
积分形式
t1
2) 质心处的质点（质点系总质量）代替质点系整体的平动
3）若 F 0 vc不变
质心速度不变就是动量守恒（同义语）
4) F mac
意义：质心的加速度决定于质点系所受的合外力.
牛顿第二定律的最初表达式 F dp d(mv) dt dt
冲量: 力的时间积累
过程量. 方向：速度变化的方向；单位：Ns ;
变力的冲量 I FiΔti
i
若力连续变化 I t2 Fdt t1
动量: p＝mv （状态量, 矢量）
大小：mv 单位：kgm/s
方向：速度的方向
二、质点的动量定理 (theorem of momemtum)
设物体受外力 F , 考虑 dt 时间内力的积累:
由 F dp dt
Fdt dp (微分形式)
对上式积分得 t2-t1 时间内力的积累：
t2 F (t)dt t1
p2 dp
p1
p2

p1
动量定理
I
t2 F (t )dt
t1

p2

p1
(积分形式)
合外力对质点在一段时间内的冲量等于此过程始末状态质 点动量的增量.
以火箭本身作为研究对象，以F表示喷出气体对火箭的推力， 则由牛顿第二定律，有
F M dv dt
Mdv udM udm
F

dm u
dt
可见火箭发动机的推力与燃料燃烧速率及 喷出气体的相对速度成正比.

力在时间上的积累效应：
平动
冲量
动量的改变
转动
冲量矩
角动量的改变
力在空间上的积累效应 功
改变能量
本章从牛顿力学出发给出动量和角动量的定义，推 导这两个守恒定律，并讨论它们在牛顿力学中的应 用。下一章讨论能量。
2
§3.1 冲量与动量定理
一、冲量
dI Fdt 力的时间积累
t'
I F( t )dt t0
美国科学家一再强调，这次撞击不会摧毁彗星或使彗 星偏离其运行轨道进而撞击地球。
11
§3.2 动量守恒定律
一、质点系的动量定理
1、两个质点的系统 质点系（内力、外力）
内力： f f ' 外力：F1 , F2
m1 : f , F1
F1
f

dp1 dt
f
F1
m2 : f ', F2
第三章 动量与角动量
（Momentum and Angular Momentum）
1
牛顿定律是瞬时的规律。能量、动量和角动量是最基 本的物理量。它们的守恒定律是自然界中的基本规律， 适用范围远远超出了牛顿力学。
在有些问题中，如：碰撞（宏观）、散射（微观）， 我们往往只关心过程中力的效果——力对时间和空间 的积累效应。
or
Pi
mi vi
常矢量
i
i
一个质点系所受的合外力为零时，这一质点 系的总动量就保持不变。
16
2、分量形式 当某个方向系统所受的合外力为零时，则 在该方向上系统的动量守恒，即有
当 Fx=0 时， m1v1x m2v2 x ... mnvnx px =常量 当 Fy=0 时， m1v1 y m2v2 y ... mnvny p y =常量 )

Iy Ix
0.1148
6.54
为 I 与x方向的夹角。
Fx 6.1N Fy 0.7N
F F F 6.14N
2 x
2 y
知识回顾
运动状态的变化是力 持续作用的累积效应 力对空间的累积作用的规律 力对时间的累积作用的规律 ( )
动量 P P mv
冲量 I
I y Fy t mv2 sin 30 mv sin 45 1

y
O

v2 30o 45o x v1 n
t 0.01s v1 10m/s v2 20m/s m 2.5g
I x 0.061Ns
I y 0.007Ns
I
tg
2 2 I x I y 6.14 102 Ns
系统的内力对于系统内的每一质点均属于外力
一. 质点系的动量定理
P 表示质点系在时刻 t 的动量
P miv i
i
问题: 系统从P状态 思路:
Q状态 P ?
叠加
对每个质点讨论 Pi
?
质点系 Pi
?
一. 质点系的动量定理 1、两个质点的情况 t2 F1＋F12 dt m1v1 m1v10
t1
t2 P P＝ Fdt 2 1
t1
即

t1
F合dt I 合 p2 p1 mv2 mv1
在给定的时间间隔内，外力作用在质点上的冲量， 等于该质点在此时间内动量的增量——动量定理
说明
动量定理从牛顿第二定律导出, 此定理只适用于惯性参照系 动量定理说明质点动量的 改变是由外力和外力作用时 其定量关系为: 间两个因素，即冲量决定的

例1.
如图一质量为m 的质点，沿直线运动，
在A 点的速度大小为v ，距质点运动轨迹距离 为b 处有一参考点o（固定点） ， 求：质点在A 处相对o 点的角动量
解： 设A 点对参考点o矢径 与运动直线夹角为
r
L r P
L
●
m b A
●
v
方向？
o
r
L rmv sin( )
dr dr v v dt dt
1 dS rvdt sin 2
dS 1 rv sin dt 2
r dr
dr
m
●

r F
万
考虑太阳与行星组成的系统， 因行星所受的太阳引力相对于太阳的力矩为0， 故行星相对于太阳的角动量守恒：
L r mv 常矢量
(r1 r2 ) f12 0
r1 r2
F1 m1 f 12
●
f 21 m2
●

t2
t1
(r1 F1 r2 F2 )dt
t2 t1
r1
r2
F2

(r1 f12 r2 f12 )dt ( L1 L2 )
第三章 动量与角动量
§3 角动量 角动量守恒定律 一. 角动量 二. 角动量定理 三. 角动量守恒定律 四. 质点系角动量定理 作业： 3.27，3.29
§3 角动量
角动量守恒定律
在物理学上除了根据物理现象和实验定律来
定义物理量外，还可以通过 已有物理量之间的数学运算来定义新的物理量， 这种定义物理量的方法对物理学的发展起了 很重要的推动作用，借助这些新的概念，

，'定轴转动时刚体的转动定律
^ 刚体紐定轴转动时，刚体的角加速度与它所受的合外力矩成正比，与刚体的转 动惯量成反比，这称为刚体的转动定律。 31
：
//？
叫
式 ^ 、 7、必须是对同一刚体、同一转轴而言。
8，角动量守恒定律
物体所受的合外力矩等于零，或者不受外力矩的作用，物体的角动量保持不 变。这个结论叫做角动量守恒定律。 I 二加^常矢量
一 转动惯量为/ ^ ^ ^ ^
、
12001^8 ^ 0 1 2 。 一 质 量 为 ^ ： 801^8的人，开始时站在转台的中心， ^ 2111时，转台的角速度是多大？
^ 』：2
"； 2 ^ 。 第 页
山# 、理工大学备课紙
年
质量连续分布的刚体 】二 厂2(1^ ^ 厂2一3^
月
日
刚体的转动惯量是刚体作转动时惯性大小的量度。其大小决定于刚体转轴的 位置,刚体本身的形状，质量的大小及其质量分布情况。 6，刚体的角动量 刚体上各质点的角动量之和,即为刚体的角动量。一个刚体绕某一定轴转动， 其角动量为 ：加
+ 爐 2 ―威2
由碎块和破盘组成的系统总角动量守恒。
】00 ―】产；十771^^^
^为破盘的角速度。
~ ^ 嫩 、 ^ (^]^!!^^
―
7 ^ ^ 十 卿 0 尺
^ = 0
^0
圆盘余下部分的角动量为
第
页
山系理工大学备课紙
年
I ^ (告魔2 一肌尺2》
月
日
一平面转台绕中心轴转动，每转一周所需时间为纟^ 108，转台对轴的
距轴为「处，取一小段^！厂，其质量01加： 9^^ ，这一小段(！"所受摩擦力矩 习题3-6图 整个杆所受摩擦力矩 1^1 ^2 「2 〃

第三章 （角）动量守恒定律和能量守恒定律
4
物理学
第五版
1 动量定理与动量守恒定律
t2 1、冲量： Fdt（过程量） I
t1
2、动量定理（质点或质点系）
t2 Fdt dp t Fdt p p0 1 动量： p mv （状态量）
用 于 碰 撞
1子弹与细棒碰撞过程角动量守恒mglgl子弹与细棒从竖直位置运动到水平位置过程中子弹细棒和地球组成的系统机械能守恒两个守恒的应用物理学第五版第三章角动量守恒定律和能量守恒定律24mglgl2细棒和子弹系统开始下落瞬间的角加速度物理学第五版第三章角动量守恒定律和能量守恒定律252角动量方法时间能量方法角动量守恒能量守恒求解力学问题的路径突出过程矢量性与瞬时性牛顿运动定律转动定律突出始末状态矢量关系的角动量定理突出始末状态标量关系的动能定理功能原理机械能守恒定律能量转化与守恒定律物理学第五版第三章角动量守恒定律和能量守恒定律26
第三章 （角）动量守恒定律和能量守恒定律
(2)
23
物理学
第五版
4例 两个守恒的应用
（2）细棒和子弹系统开始下落瞬间的角加速度
M J
1 M m0 gL mgL 2
O
1 2 J m0 L mL 3
2
v0
m0
m
1 m0 g mg 2 1 m0 L mL 3
第三章 （角）动量守恒定律和能量守恒定律
15
物理学
第五版
1 功
力的功： W F dr
力矩的功：W
3 功 动能定理

2
1
Md
2 动能定理: W Ek Ek 0 1 质点(系)： E k mv 动 2

再经过 dt 时间，火箭喷出质量 dm 气体，喷出的 速率为 u。
在t+dt 时刻，火箭的速率增加为 v+dv。此时系统 的总动量为：
dm(v u) (M dm)(v dv)
由于喷出气体质量 dm 等于火箭质量的减少-dm， 所以上式可写为：
dm(v u) (M dm)(v dv) Mv
Fxex 0, Fyex 0, Fzex 0,
px mi vix Cx py miviy Cy pz miviz Cz
4)动量守恒定律只在惯性参考系中成立，是自然 界最普遍，最基本的定律之一。
例1 一静止的原子核衰变辐射出一个电子和一
个中微子成为一个新的原子核。已知电子和中微子
1 r2
mv 2
2
位于2点对 参考 点O的 角动量为：
L2 r2 mv
O
很容易算出，两者大小相等， 方向相同，且： L1 L2 L r mv
3.8 质点系的角动量定理
定义：质点系的角动量：
L
ΣLi
对于系内任一质 dLｉ
点，角动量定理给出：dｔ
ri F i
ji
f ij
对于系内所有质点，对上式求和：
O
r
m
v
v
r
角动量
dL
L r P r (mv)
d
rP
r
d
p
d
r
p
dt dt
dt dt
由于第 2 项为 0，所以得到：dL r F
力矩：M r F
dt
角动量定理：M d L dt
质点所受的合外力矩，等于它的角动量对时间
的微分。
3.7 角动量守恒定律
角动量定理：M d L